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Universidade Anhanguera – UNIDERP
Centro de Educação a Distância
TÍTULO DO TRABALHO
Disciplina: Matemática Aplicada
Tecnologia em Logística
Tutora a distância: Prof. Davi Prado Palheta Arakaki
Tutor Presencial: Prof. Marcio Santana dos Santos
Fagner Alexandre Silva Gottzent - 7599617471
Gilmar Parra Padilha Junior – 7980707982
Heribaldo Galindo de Souza Junior – 9977021170
Maria Ludimira Soriano de Paula – 9978021172
Yago Rocha de Oliveira – 738958563
São Bernardo do Campo, São Paulo.
2013
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Índice
1 – Introdução 2
2 – Etapa 1 3
3 – Etapa 2 4
4 – Etapa 3 6
5 – Etapa 4 7
6 – Conclusão 10
7 - Bibliografia 12
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1 - INTRODUÇÃO
Um dos problemas encarados como um passatempo até poucos anos atrás, e que se tornou de
importância crucial atualmente, é o de transmitir mensagens codificadas ou, em termos
técnicos, criptografar mensagens. Quem já leu o livro “O Código Da Vinci” com certeza já se
deparou com códigos criptografados. Este problema, bem atual, surge e revela toda a sua
importância quando é necessário enviar por meio de uma rede de computadores dados
sigilosos: saldos e senhas bancárias, informações pessoais, número de cartão de crédito, etc. É
preciso criar, então, meios seguros de transmitir esses dados de modo que somente pessoas
autorizadas tenham acesso a eles. O primeiro passo para que seja criado um código seguro é
estabelecer, de alguma maneira pré-determinada, uma correspondência entre letras e números.
Vamos usar esse exemplo para que você tenha uma noção inicial sobre um importante
conceito matemático – as funções.
Em 1694 foi introduzido o termo “função” por Leibniz, designando qualquer das várias
variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um
ponto específico da dita curva.
A palavra função foi posteriormente usada por Leonhard Euler em meados do século XVIII
para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a
definição de funções, os matemáticos foram capazes de dizer que não são diferenciáveis em
qualquer de seus pontos.
Durante o Século XIX, iniciou-se a formalização todos os diferentes ramos da matemática.
Por exemplo, a Teoria dos conjuntos, Dirichlet criou a definição "formal" de função moderna,
sendo caso especial de uma relação, cuja é um conjunto de pares ordenados, onde cada
elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados., A noção intuitiva de funções é
bem ampla, não se limitando a computações usando apenas números e nem mesmo se limita a
computações. A noção matemática de funções é bem mais ampla. As funções são definidas
abstratamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em
muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções.
Além disso, funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou
função total.
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2 - ETAPA 1
Passo 1 (Equipe)Ler os capítulos 1 e 2 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Com base nos conteúdos revistos no Passo 1, em união com seus conhecimentos, resolver os exercícios a seguir, referentes ao conteúdo de funções de primeiro grau.
Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado
insumo descrito por C (q) = 3q + 60. Com base nisso:
a) Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15, e 20 unidades desse insumo.
C = 3.0 + 60 C = 3. 5 + 60 C = 3.10 + 60 C = 3.15 + 60 C = 3.20 + 60
C = 0 + 60 C = 15 + 60 C = 30 + 60 C = 45 + 60 C = 60 + 60
C = 60 C = 75 C = 90 C = 105 C = 120
a) Esboçar o gráfico da função.
b) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q = 0?
Mesmo a empresa não produzindo nada ela tem um custo fixo de 60.
c) A função é crescente ou decrescente? Justificar.
A função é crescente, pois o cociente de preço é positivo, sempre que a empresa aumenta sua
produção o seu custo também será aumentada.
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d) A função é limitada superiormente? Justificar.
Não, podemos concluir que através da função que aumentando o número de q, aumentará
também seu custo, ela pode aumentar ilimitadamente.
3 - ETAPA 2
Passo 1 (Equipe)Ler o capítulo 3 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Com base nos conteúdos revistos no Passo 1, em união com seus conhecimentos, resolver os exercícios a seguir, referentes ao conteúdo de funções de segundo grau:
O consumo de energia para uma residência no decorrer dos meses é dado por E= - t²- 8t +210,
onde o consumo E é dado em kWh, e ao tempo associa-se t = 0 para janeiro, t = 1 para
fevereiro, e assim sucessivamente.
t = 0 Janeiro t = 1 Fevereiro t = 2 Março t = 3 Abril
E = 0² - 8.0 + 210 E = 1² - 8.1 + 210 E = 2² - 8.2 + 210 E = 3² - 8.3 + 210
E = 0 - 0 + 210 E = 1 - 8 + 210 E = 4 - 16 + 210 E = 9 - 24 + 210
E = 210 kWh E = - 7 + 210 E = -12 + 210 E = - 15 + 210
E = 203 kWh E = 198 kWh E = 195 kWh
t = 4 Maio t = 5 Junho t = 6 Julho t = 7 Agosto
E = 4² - 8.4 + 210 E = 5² - 8.5 + 210 E = 6² - 8.6 + 210 E = 7² - 8.7 + 210
E = 16 - 32 + 210 E = 25 - 40 + 210 E = 36 - 48 + 210 E = 49 - 56 + 210
E = -16 + 210 E = - 15 + 210 E = -12 + 210 E = - 7 + 210
E = 194 kWh E = 195 kWh E = 198 kWh E = 203 kWh
t = 8 Setembro t = 9 Outubro t = 10 Novembro t = 11 Dezembro
E = 8² - 8.8 + 210 E = 9² - 8.9 + 210 E = 10² - 8.10 + 210 E = 11² - 8.11 + 210
E = 64 - 64 + 210 E = 81 - 72 + 210 E = 100 - 80 + 210 E = 121 - 88 + 210
E = 0 + 210 E = 9 + 210 E = 20 + 210 E = 33 + 210
E = 210 kWh E = 219 kWh E = 230 kWh E = 243 kWh4
a) Determinar os meses em que o consumo foi de 195 kWh.
Abril e Junho
b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.
E = 210+203+198+195+194+195+198+203+210+219+230+243 / 12
E = 2498 / 12
E = 208,2 kWh
c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.
d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?
O mês de maior consumo foi o mês de dezembro com um consumo de 243 kWh
e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?
O mês de menor consumo foi o mês de maio com um consumo de 194 kWh
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4 - ETAPA 3
Passo 1 (Equipe)Ler o capítulo 4 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Com base nos conteúdos revistos no Passo 1, em união com seus conhecimentos, resolver os exercícios a seguir, referentes ao conteúdo de funções exponenciais:
Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a
uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) = 250. (0,6)², onde Q representa a
quantidade (em mg) e t o tempo (em dias). Então, encontrar:
a) A quantidade inicial administrada.
A quantidade inicial administrada é quando t = 0, sendo assim
Q(t) = 250. (0,6)º
Q(t) = 250. 1
Q(t) = 250mg
b) A taxa de decaimento diária.
A taxa de decaimento diária é de 0,6 do dia que corresponde a 60%.
c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.
Q(t) = 250. (0,6)³
Q(t) = 250. 0,216
Q(t) = 54mg
d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado.
Como é uma função exponencial, ela nunca vai ser totalmente eliminada, pois como função
exponencial o X nunca vai ser 0 (no caso o Q(t) vai ser sempre Q. Qualquer coisa elevado a
zero diferente e zero é um.
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5 - ETAPA 4
Passo 1 (Equipe)Ler o capítulo 6 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Construir um resumo teórico que contenha os principais aspectos sobre o conceito deDerivadas, em no máximo três páginas.
DERIVADA
Taxa de Variação Média
A taxa de variação média ou taxa de variação da variável dependente, C, em relação à
variável independente, q, é dado pela razão;
Salientamos que a taxa de variação média representa o coeficiente angular da reta que
representa graficamente tal função.
A taxa de variação média pode ser calculada para qualquer função. Se y representa a variável
dependente e x a variável independente, a taxa de variação média de, y, em relação à, x, é
calculada pela razão:
Taxa de Variação Média de um Intervalo
A taxa de variação média é calculada para intervalos da variável independente. Se
escrevermos de maneira geral um intervalo de a até b, a taxa de variação média será dado por:
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Taxa de variação média de f( para intervalo de a até b
Podemos ainda considerar o tamanho do intervalo como sendo h, b – a = h, se isolar b,
obtemos b = a + h, aí podemos escrever a Taxa de Variação Média de um Intervalo como:
Taxa de Variação Média de um Intervalo
Taxa de Variação Instantânea
Para calcular a Taxa de Variação Instantânea, devemos calcular diversas taxas de variação
médias para intervalos de tempos (muitos pequenos), cada vez mais próximos ao instante
pedido, exemplificando temos:
Ou simplesmente:
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea
De um modo geral a Derivada de uma função em um ponto nada mais é que a taxa de
variação instantânea da função no ponto que é dada como:
Lembrando que a derivada só existe se os limites laterais resultarem em um mesmo número.
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA DERIVADA
Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante
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Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente
Derivada como Inclinação da Reta Tangente
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Reta Tangente à Curva em um Ponto
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6 - Conclusão
Função e Função do 1º Grau
Neste capítulo vimos que muitas situações do nosso dia a dia (em casa, no trabalho, no laser,
etc.) podem ser representadas por funções matemáticas. Nessas análises vimos conceitos
como crescimento e decrescimento das funções, função limitada e função composta, sempre
associadas as aplicações do nosso dia a dia.
Função e Função do 2º Grau
Podemos dizer que as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou
seja, o seu maior expoente é 2 e que o gráfico que corresponde a essas funções é uma curva
denominada parábola. Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é
expressa da seguinte forma:
f (x) = ax2 + bx + c, onde a 0
Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de
segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além
disso, esse termo deve ser o de maior grau da função.
Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo
grau incompletas, como: f (x) = x2 - f (x) = ax2 - f (x) = ax2+ bx - f (x) = ax2 + c.
Função Exponencial
Vimos que uma função exponencial é obtida a partir do fator multiplicativo, e que ela se
aplica a diversas situações como:
Como o montante de juros de uma dívida;
Aplicação de juros compostos;
Crescimento populacional de uma determinada região;
Entre outros.
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Concluímos então que podemos dizer que as funções são utilizadas no nosso dia a dia, em
cálculos rotineiros como em juros, produtividade de uma empresa. A função pode ser
expressa graficamente, o que facilita a visualização do cálculo.
Derivadas
Vimos que o cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada
ou simplesmeste deslocamento de um gráfico, o processo de encontrar a derivada é chamado
"diferenciação". Em uma linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma
uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o
deslocamento da função original.
O conceito de derivada é mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra,
aprendemos que as funções o número de entrada gera um número de saída, enquanto se a
função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função
e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então
a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função
quadrática em qualquer ponto dado da função.
Bibliografia
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácono. Matemática Aplicada a Administração,
Economia e Contabilidade. 2º edição São Paulo: Cengage Learning, 2012. PLT 622.
http://www.anhanguera.com/bibliotecas/normas_bibliograficas/index.html. > Acesso em: 21
Agosto 2013.
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/index.html> Acesso em: 9
Setembro 2013.
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