Aula 01 - Lógica - Parte 2

Raciocínio Lógico, Estatística,

Matemática e Matemática Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 115

AULA 01: Lógica: parte 2

SUMÁRIO PÁGINA

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 2

Introdução 2

Análise de argumentos por meio da tabela verdade 5

1ª Técnica: eliminando as linhas com premissas falsas 10

2ª Técnica: Tabela verdade modificada 30

3ª Técnica: Chute inicial 48

Outras técnicas de análise de argumentos 52

4ª Técnica: Análise de trás para frente 53

Condicional associado a um argumento válido 63

5ª Técnica:usando a premissa adicional 65

6ª Técnica: Regras de Inferência 71

DIAGRAMAS LÓGICOS 76

Como desenhar os diagramas 76

Negação de proposições com quantificadores 83

OUTROS EXERCÍCIOS DE LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 99

RESUMÃO 105

QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA 107

GABARITO 115



AFRFB e AFT


Caríssimos,

Conforme divulguei no site do Estratégia, vou colocar todas as questões de Esaf que tenho disponíveis, e que não sejam utilizadas nas aulas regulares, em aulas extras, de revisão. Assim, teremos aulas só de exercícios, para que vocês possam treinar à exaustão.

Minha primeira ideia era colocar estas listas de revisão ao final do curso. Depois, pensei melhor, e vou colocá-las ao final de cada “bloco”. Assim, depois da última aula de lógica, teremos a lista de revisão de lógica. Idem para “matemática”, “matemática financeira”, “estatística descritiva” e “estatística inferencial”.

Bom, apenas para que fiquem informados, a lista de lógica, envolvendo as questões referentes às aulas 0 e 1, já está com 54 exercícios, só de Esaf. E ainda nem separei as questões referentes à aula 2.

Assim, para as aulas 0 e 1, já temos os 21 exercícios da aula passada (sendo 17 de Esaf), mais os 30 exercícios da aula de hoje (sendo 23 de Esaf), mais os 54 exercícios de revisão (todos da Esaf), totalizando 105 questões. Na verdade, o total correto é 104, porque uma questão eu utilizei tanto na aula 0, quanto na aula 1, para mostrar diferentes soluções do mesmo exercício.

Dito isso, vamos à aula de hoje!

1. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 1.1. Introdução

O que você precisa saber

Exemplo de argumento:

Primeira premissa: Quem ganha na loteria fica rico.

Segunda premissa: Daniel Dantas é rico

Conclusão: Daniel Dantas ganhou na loteria.

Em um argumento lógico, temos um conjunto de proposições, chamadas premissas. As premissas são nosso ponto de partida, aquilo que consideramos verdadeiro. Sempre!

O argumento lógico afirma que o conjunto de premissas tem como conseqüência uma determinada conclusão.

Acima, temos duas premissas (Quem ganha na loteria fica rico; Daniel Dantas é rico). Estamos dizendo que essas duas premissas acarretam na nossa conclusão (Daniel Dantas ganhou na loteria). Por isso, o que temos acima é um argumento.

Um argumento pode ser válido ou inválido.

Ele será válido quando o fato de as premissas serem verdadeiras garantir que a conclusão também seja.



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Ele será inválido quando o fato de as premissas serem verdadeiras não for suficiente para que a conclusão também seja. Por sinal, o argumento dado no exemplo acima é inválido.

Notem que, para a gente, pouco importa se, no mundo real, as premissas são de fato verdadeiras ou não.

Para fazer a análise do argumento, nós consideramos que todas as premissas são verdadeiras. Sempre! Não interessa qual seja a premissa!

A tarefa de avaliar se uma premissa é realmente verdadeira é das outras ciências (física, química, biologia etc).

Na lógica, só estamos interessados na forma do argumento. O que nós analisaremos é se o argumento está bem construído, bem formulado, isto é, se as premissas, de fato, suportam a conclusão.

Assim, partimos do pressuposto de que as premissas são verdadeiras. Se, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão necessariamente também for verdadeira, então o argumento é válido. Caso contrário, se existir um caso em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão for falsa, então o argumento é inválido.

Por fim, se não for possível que todas as premissas sejam simultaneamente verdadeiras, então o argumento é inconsistente. Um argumento inconsistente é, também, válido. Como no argumento inconsistente não existe linha da tabela-verdade em que as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, então ele é considerado válido. Não falaremos mais sobre argumentos inconsistentes porque nunca vi a Esaf cobrando isso.

Então, o que vamos aprender na sequência da aula é como ver se um argumento é válido ou não. É isso.

TOME NOTA!!!

Na análise de argumentos lógicos: as premissas são sempre consideradas verdadeiras.

Exercícios

Questão 1 Serpro 2001 [ESAF]

Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.

b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.

c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.



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d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.

e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Resolução:

Temos:

1ª Premissa: Se Soninha sorri, Silvia é miss simpatia.

2ª Premissa: Soninha não sorri.

Conclusão: Silvia não é miss simpatia.

Letra A: a conclusão não é decorrência necessária das premissas.

Correto. É exatamente o conceito de um argumento inválido. Num argumento inválido, as premissas não acarretam na conclusão. O fato de as premissas serem verdadeiras não garante que a conclusão também seja.

Letra B: a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.

Em um argumento (seja ele válido ou inválido), não precisa haver qualquer relação entre as premissas.

As premissas são independentes entre si. E, além disso, são sempre consideradas verdadeiras.

Letra C: a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.

Premissas são, por definição, verdadeiras.

Letra D: a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.

Novamente, as premissas são justamente aquilo que consideramos verdadeiro. Em lógica, não nos cabe julgar a veracidade das premissas. Isto acontece em outros ramos da Ciência.

Na análise de argumentos, sempre partimos do pressuposto de que as premissas são verdadeiras.

Letra E: o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Aparentemente, esta alternativa quer dizer que os argumentos precisam de alguma correspondência com o mundo real. Aprendemos que esta necessidade não existe. Mesmo que no mundo real Soninha sorrisse, o argumento ainda seria inválido, pela forma com que foi construído.

Isso é importante: em lógica podemos chegar a conclusões que seriam absurdas no mundo real.



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E isso não seria problema algum. Nosso trabalho é apenas avaliar a forma do argumento, pouco importando se a conclusão é realmente verdadeira ou não.

Exemplo:

Primeira premissa: Se o gato não late, então o triângulo tem três lados.

Segunda premissa: O triângulo não tem três lados.

Conclusão: O gato late.

Notem que:

- no mundo real, a segunda premissa é absurda (todo triângulo tem três lados)

- no mundo real, a conclusão é igualmente absurda (gato não late, gato mia).

Nada disso importa.

A tarefa de avaliar a validade das premissas é das outras ciências. Aqui a gente só avalia se a conclusão decorre logicamente das premissas.

Considerando as premissas verdadeiras, a conclusão também será. Com isso, este argumento acima (que fala do gato e do triângulo) é válido, pois está bem construído (em sua forma).

De modo semelhante, mesmo que uma conclusão seja correta (no mundo real), isso não significa que o argumento seja válido.

Gabarito: A

Resumindo esta primeira parte da matéria:

1.2. Análise de argumentos por meio da tabela verdade.


Para analisar um argumento por meio da tabela verdade, faça o seguinte:

1 – monte uma tabela-verdade contendo todas as premissas e a conclusão.

2 – identifique as linhas em que todas as premissas são verdadeiras (pois só esses casos nos interessam, lembrem-se de que sempre consideramos premissas verdadeiras)



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3 – verifique se, nas linhas indicadas no item “2”, a conclusão também é verdadeira. Se for, o argumento é válido. Se não for, o argumento é inválido.

Este passo a passo simplesmente decorre diretamente da definição de argumento válido. Dirigimo-nos às linhas em que todas as premissas são verdadeiras e verificamos o que ocorre com a conclusão. Simples assim.

É importante dizer que, durante a prova, você deve evitar analisar um argumento pela tabela verdade, pois é o meio mais demorado. Certo?

Apesar disso, é muito importante sabermos muito bem como funciona a análise pela tabela verdade, porque isso é simplesmente a base de todas as demais técnicas que aprenderemos.

Assim, veremos exemplos simples, por mim elaborados, para entender o funcionamento da técnica.

Exemplos

Exemplo 1:

Considere o seguinte argumento:

Primeira premissa: Se chover, o rio enche.

Segunda premissa: Chove.

Conclusão: O rio enche.

Classifique o argumento em válido ou inválido.

Resolução:

Aqui não nos interessa saber se as premissas são de fato verdadeiras. Pouco importa se, de fato, está chovendo. Pouco importa se, realmente, quando chove, o rio enche. Vamos sempre partir do pressuposto de que as premissas são verdadeiras. Dado que elas são verdadeiras, temos que analisar se a conclusão também é.

Vamos dar nomes às proposições:

c: Chove.

r: O rio enche.

O argumento pode ser expresso assim:

� → �

�

�



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Utilizamos um traço horizontal para separar as premissas da conclusão. Outra forma de representar o mesmo argumento seria assim:

� → �, � |---- �

O símbolo “|----” também é usado para separar as premissas da conclusão.

Para analisar a validade do argumento, vamos construir a tabela-verdade.

� � � → � V V V

V F F

F V V

F F V

Vamos identificar as premissas e a conclusão.

Premissa Conclusão Premissa

� � � → � V V V

V F F

F V V

F F V

Agora, vamos analisar apenas as linhas em que as premissas são verdadeiras (pois, para gente, as premissas sempre são tomadas como verdadeiras).


� � � → � V V V

V F F

F V V

F F V

A linha destacada em vermelho é a única em que todas as premissas são verdadeiras. Nessa linha, a conclusão também é verdadeira. Logo, o argumento é válido, pois sempre que todas as premissas são verdadeiras, a conclusão também é.

Ou ainda: as premissas acarretam na conclusão.

De outro modo: o fato de as premissas serem verdadeiras garante a que a conclusão também seja.

Dito de outra maneira: partindo-se das informações que “Se chover o rio enche”, e que “chove”, podemos concluir que “o rio enche”.

Resposta: argumento válido.

Pronto.

Análise de argumentos por meio da tabela-verdade é apenas isso.

Fazemos a tabela verdade que engloba todas as premissas e a conclusão.



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Depois, procuramos pelas linhas em que todas as premissas são verdadeiras.

Se, em todas essas linhas, a conclusão também for verdadeira, o argumento será válido.

Exemplo 2:



Segunda premissa: Não chove.

Conclusão: O rio não enche.


Resolução:


c: Chove.

r: O rio enche.

O argumento pode ser expresso do seguinte modo:

� → �

~ �

~�

Vamos construir a seguinte tabela verdade:

� � � → � V V V

V F F

F V V

F F V

Agora vamos acrescentar a outra premissa e a conclusão:


� ~� � ~� � → � V F V F V

V F F V F

F V V F V

F V F V V

Nas linhas destacadas em vermelho, todas as premissas são verdadeiras. Em uma dessas linhas, de fato, a conclusão também é verdadeira (ver última linha).

Contudo, na penúltima linha, as duas premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Ou seja, existe um caso em que as premissas são verdadeiras e a conclusão não é, o que faz com que o argumento seja inválido.



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Ou ainda: o fato de as premissas serem verdadeiras não garante que a conclusão também seja.

Resposta: argumento inválido.

Ou seja: sabendo que “se chover o rio enche”, e sabendo que “não chove”, não podemos concluir que “o rio não enche”.

TOME NOTA!!!

Basta um único caso de premissas verdadeiras e conclusão falsa para que o argumento seja inválido.

Exemplo 3:



Segunda premissa: O rio enche.

Conclusão: Chove.


Resolução:


c: Chove.

r: O rio enche.

Agora vamos construir a tabela-verdade.

Conclusão Premissa Premissa

� � � → � V V V

V F F

F V V

F F V

Vejam a terceira linha da tabela.

Nela, as duas premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa. Ou seja, existe um caso em que temos premissas verdadeiras e conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido. O fato de as premissas serem todas verdadeiras não garante que a conclusão também seja.


Exemplo 4:



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Segunda premissa: O rio não enche.

Conclusão: Não chove.


Resolução:


c: Chove.

r: O rio enche.

Agora vamos construir a tabela-verdade.


� ~� � ~� � → � V F V F V

V F F V F

F V V F V

F V F V V

Repare na última linha.

Nela, as duas premissas são verdadeiras e a conclusão também é.

Ou seja, sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é. O argumento é válido.

Tudo certo até aqui?

Quando o número de premissas começa a aumentar, usar a tabela-verdade fica muito trabalhoso. Por isso, veremos outros métodos de análise de validade de argumentos. Mas, para entendê-los perfeitamente, é importante que vocês sejam doutores na análise pela tabela.

Os métodos que veremos a seguir, formalmente, não existem, ok? Se você pegar algum livro de lógica para estudar, não encontrará menção a tais métodos. Os livros de lógica só falam no método da tabela verdade (que acabamos de estudar), no condicional associado a um argumento lógico, e nas regras de inferência.

O que eu fiz foi adaptar esses métodos para concurso público. Para cada tipo de exercício, criei uma “técnica”, um roteirinho de como fazer. É isso.

1.3. 1ª Técnica: eliminando as linhas com premissas falsas




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Basicamente, a ideia central desta técnica está ilustrada no exemplo a seguir, em que vamos adaptar o enunciado da Questão 1:

Exemplo 5:

Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Classifique este argumento em válido ou inválido.

Resolução:

Temos:

1ª Premissa: Se Soninha sorri, Silvia é miss simpatia.

2ª Premissa: Soninha não sorri.

Conclusão: Silvia não é miss simpatia.

Vamos dar nomes às proposições.

p: Soninha sorri

q: Silvia é miss simpatia.

Vamos para a resolução já estudada, utilizando a tabela verdade.


� ~� � ~� � → � V F V F V

V F F V F

F V V F V

F V F V V

Agora analisamos as duas últimas linhas, em que todas as premissas são verdadeiras. Só nessas linhas é que nós fazemos a análise da conclusão.

Na penúltima linha as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Logo, o argumento é inválido.

Notem que, na nossa resolução, as duas primeiras linhas foram totalmente irrelevantes para a análise do argumento.

Por quê?

Porque, nelas, pelo menos uma das premissas era falsa. E para gente isso não pode. Para gente, as premissas são sempre verdadeiras.



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Aí vem a dica: se as duas primeiras linhas eram irrelevantes, nem precisávamos perder tempo montando tais linhas!!!

Neste exemplo que acabamos de ver, até que não deu tanto trabalho fazer todas as linhas da tabela verdade. Contudo, quando o número de premissas for grande, isso faz muita diferença.

Vejamos outro exemplo.

Exemplo 6:

Classifique o argumento abaixo em válido ou inválido

Premissas:

1 – Se Manuel vai ao mercado, então Cláudia vai ao cinema.

2 – Cláudia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.

3 – Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.

4 – Suelen não vai ao shopping ou Pedro não vai ao porto.

Conclusão: Manuel não vai ao mercado.

Resolução:

Vamos dar nomes às proposições simples.

m: Manuel vai ao mercado.

c: Cláudia vai ao cinema.

p: Pedro vai ao porto.

b: Beatriz vai ao boliche

s: Suelen vai ao shopping



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Pronto.

Agora, se fôssemos fazer a tabela verdade completa, teríamos 32 linhas!!!

Isso mesmo!!

Vimos na aula 0 que, se temos n proposições simples, a tabela verdade terá 2n linhas.

Ora, se temos, neste caso, 5 proposições simples, isso significa 25 = 32 linhas.

Premissa Premissa Premissa Premissa Conclusão

� � � � � � → � � ∨ � � ∧ � ~� ∨ ~� ~� V V V V V

V V V V F

V V V F V

V V V F F

V V F V V

V V F V F

V V F F V

V V F F F

V F V V V

V F V V F

V F V F V

V F V F F

V F F V V

V F F V F

V F F F V

V F F F F

F V V V V

F V V V F

F V V F V

F V V F F

F V F V V

F V F V F

F V F F V

F V F F F

F F V V V

F F V V F

F F V F V

F F V F F

F F F V V

F F F V F

F F F F V

F F F F F

E aí?

Vamos perder esse tempo todo, fazendo 32 linhas?



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Não, é claro que não.

O que fazer?

Bom, para ganharmos tempo, só vamos montar as linhas em que todas as premissas são verdadeiras.

Para facilitar nosso trabalho, vamos procurar por “premissas fáceis”.

O que é uma “premissa fácil”?

É uma premissa que apresenta um único caso de verdadeiro.

Vamos analisar a primeira premissa:


Para que ela seja verdadeira, podemos ter as seguintes situações:

- Manuel vai o mercado e Cláudia vai ao cinema.

- Manuel não vai ao mercado e Cláudia vai ao cinema.

- Manuel não vai ao mercado e Cláudia não vai ao cinema.

É muito caso para gente analisar! São muitas as situações que tornam a premissa acima verdadeira. Isso não ajuda muito a gente.

Vamos pular esta premissa.

Vamos direto para a terceira premissa:


Opa!!! Agora a coisa melhorou.

Acima temos um conectivo “e”. Há um único caso em que a proposição composta com a conjunção é verdadeira: quando as duas parcelas são verdadeiras.

Logo, o único caso em que a proposição acima é verdadeira é quando Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.

Portanto, para que a terceira premissa seja verdadeira, devemos ter, obrigatoriamente:

b: Verdadeiro

s: Verdadeiro.

Isso já facilita muito as coisas. Se fôssemos fazer uma nova tabela verdade, atentando para a restrição acima (de que b e s devem ser verdadeiras), o número de linhas já diminuiria muito. Vejam:


� � � � � � → � � ∨ � � ∧ � ~� ∨ ~� ~� V V V V V



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V V V V F

V V V F V

V V V F F

V V F V V

V V F V F

V V F F V

V V F F F

Para construir a tabela acima, formamos todas as combinações de valores lógicos para “p”, “m” e “c”.

Para “b” e “s” aí nem precisamos nos preocupar, pois são sempre verdadeiras.

Repetindo: fixamos o valor lógico de b e s. São sempre verdadeiros!!!

Fizemos assim porque todas as premissas devem ser verdadeiras. E a única forma de a terceira premissa ser verdadeira é se “b” e “s” forem verdadeiras.

Ou seja, já sabemos que:

b: tem que ser verdadeiro

s: tem que ser verdadeiro

Ok, a tabela-verdade agora ficou bem menor. Mas não vamos preenchê-la ainda. Vamos tentar reduzir ainda mais.

Vamos para a quarta premissa:


É uma premissa. Como qualquer premissa, deve ser verdadeira.

Temos um “ou”. Para que seja verdadeiro, pelo menos uma das parcelas deve ser verdadeira.

A primeira parcela, esta nós já sabemos alguma coisa sobre ela. Vimos que Suelen vai ao shopping (“s” é verdadeiro).

A primeira parcela do “ou” diz que Suelen não vai ao shopping. Portanto, a primeira parcela da disjunção é falsa.

Logo, para que a disjunção seja verdadeira, a segunda parcela será verdadeira. Ou seja, acabamos de concluir que Pedro não vai ao porto (ou seja, “p” é falso).

Pedro não vai ao porto

p: Falso

Repetindo: o único modo de a quarta premissa ser verdadeira é se “p” for falso.

Portanto, já podemos descartar as linhas da tabela verdade em que “p” é verdadeiro.

Nossa tabela verdade ficaria assim:


� � � � � � → � � ∨ � � ∧ � ~� ∨ ~� ~� V V F V V



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V V F V F

V V F F V

V V F F F

Vamos agora para a segunda premissa:


A segunda parcela do “ou” é falsa. Isto porque nós já vimos que Pedro não vai ao porto.

Deste modo, para que o “Ou” seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Logo, Cláudia vai ao cinema.

c: deve ser verdadeiro.

Muito bem, agora nossa tabela verdade fica ainda mais reduzida:


� � � � � � → � � ∨ � � ∧ � ~� ∨ ~� ~� V V F V V

V V F F V

Vamos para a primeira premissa:


A segunda parcela deste condicional é verdadeira (já vimos que Cláudia vai ao cinema). Com isso, automaticamente, o condicional será verdadeiro, independente do valor lógico da primeira parcela.

Assim, não interessa o valor lógico de m. Qualquer que seja, a primeira premissa será verdadeira.

Deste modo, não conseguimos excluir mais linhas da nossa tabela verdade. Ela ficará da forma como vimos acima.


� � � � � � → � � ∨ � � ∧ � ~� ∨ ~� ~� V V F V V

V V F F V

Vamos agora completar nossa tabela verdade.

Quanto às premissas, todas elas são verdadeiras. Isso mesmo!

Ora, nós fomos retirando todos os casos que tornavam as premissas falsas. Logo, nos casos restantes, todas as premissas são verdadeiras.


� � � � � � → � � ∨ � � ∧ � ~� ∨ ~� ~� V V F V V V V V V

V V F F V V V V V



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Assim, só montamos as linhas que interessam: só aquelas em que todas as premissas são verdadeiras.

Nestas linhas, vamos analisar a conclusão.


b s p m c cm → pc ∨ sb ∧ ps ~~ ∨ ~m

V V F V V V V V V F

V V F F V V V V V V

Vejam que existe um caso de premissas verdadeiras e conclusão falsa.


Com esta técnica, em vez de montarmos 32 linhas, montamos apenas 2. Isso facilita muito as coisas.

No caso específico da Esaf, vocês verão que a banca traz enunciados em que é necessário montar uma única linha.

Então a dica é:

TOME NOTA!!!

1ª Técnica: Elimine as linhas que tornam as premissas falsas.

Isso será facilitado se houver premissas fáceis (com um único caso de verdadeiro). Exemplo:

- premissas com proposições simples

- premissas com conectivo “e”.

Exercícios

Questão 2 CGU 2004 [ESAF]

Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:



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a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.

b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.

d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.

e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Resolução:

Este tipo de exercício é muito comum em provas da ESAF. Repete, e muito. Este é o caso clássico de utilização da técnica 1.

Tudo o que o enunciado traz deve ser tomado como verdadeiro (são premissas!). Partindo destas premissas, a qual conclusão podemos chegar?

Como dissemos, é um tipo de questão bem típico da ESAF! Um enunciado cheio de nomes, para tentar deixar você confuso. São várias pessoas, parece que o enunciado não acaba e você não sabe por onde começar.

Já que a ideia é deixar as pessoas cansadas e confusas, geralmente (mas não sempre) a ESAF coloca a primeira informação a ser usada no final do enunciado. É isso mesmo. A proposição simples, que é a mais fácil de ser analisada, é justamente a última premissa.

E a Esaf tem até o hábito de iniciar a frase com a expressão “Ora”.

Vejam:

Ora, Jorge é irmão de Maria.

Vamos começar.

As premissas são:

1) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro.

2) Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto.

3) Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto.

4) Jorge é irmão de Maria.

Vejamos a quarta premissa (repare que é a última).

Jorge é irmão de Maria.

Isto nos é fornecido de cara pelo enunciado. É uma proposição simples. É, portanto, a mais simples de ser analisada. Por isso começamos com ela. Nada de disjunções, de condições necessárias ou suficientes. Já sabemos, de cara, que Jorge é irmão de Maria.

Precisamos saber onde usar esta informação. Só existe uma outra premissa em que temos algo sobre Jorge e Maria. É a segunda premissa:



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“Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto.”

Trata-se de uma premissa. Como qualquer premissa, esta proposição deve ser verdadeira!!!

Nesta premissa, temos um condicional. Vejamos quem são suas parcelas:

Antecedente: Jorge é irmão de Maria

Consequente: Breno não é neto de Beto.

Qual a única situação em que o condicional é falso?

Quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Ou seja, quando temos V/F, nessa ordem.

A quarta premissa já nos garantiu que a primeira parte deste condicional é verdadeira (V).

(V) Se (Jorge é irmão de Maria), então (Breno não é neto de Beto)

Pergunta: o consequente pode ser falso?

Não, não pode, se não teríamos V/F, e o condicional seria falso.

Logo, o consequente só pode ser verdadeiro.

(V) (V) Se (Jorge é irmão de Maria), então (Breno não é neto de Beto)

Portanto, é verdadeiro que “Breno não é neto de Beto”.

Conclusão: Breno não é neto de Beto.

Agora temos que encontrar onde usar esta nova informação.

Só existe uma outra premissa que fala de Breno e Beto. É terceira premissa:

“Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto”

Sabemos que Breno não é neto de Beto. Foi o que concluímos anteriormente.

(F) Se (Carlos é filho de Pedro), então (Breno é neto de Beto)



AFRFB e AFT


O consequente é falso. Pergunta: o antecedente pode ser verdadeiro? Não, não pode, se não teríamos V/F, nessa ordem, e esta premissa seria falsa.

Se o consequente é falso, o antecedente também deve ser falso, para que o condicional seja verdadeiro.

(F) (F) Se (Carlos é filho de Pedro), então (Breno é neto de Beto)

Conclusão: Carlos não é filho de Pedro

Vamos continuar com nossa “caça ao tesouro”. Temos que saber onde usar esta conclusão. Ela aparece também na primeira premissa:

“Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro”

Para que este “ou” seja verdadeiro, ao menos uma das suas parcelas tem que ser verdadeira. Sabemos que a segunda parcela é falsa (Carlos não é filho de Pedro). Disso podemos concluir que a primeira parcela deve ser verdadeira, ou seja, “Ana é prima de Bia”.

Conclusão: Ana é prima de Bia

Pronto! Descobrimos tudo que era possível descobrir.

Conclusão: Jorge é irmão de Maria. Breno não é neto de Beto. Carlos não é filho de Pedro. Ana é prima de Bia.

Gabarito: E

Então é isso. Quando a ESAF trouxer premissas “fáceis”, use a técnica 1.

Geralmente, a premissa fácil virá precedida da palavrinha “Ora”. E, geralmente, será a última premissa fornecida.

Lembrando: quando digo “premissas fáceis”, estou me referindo àquelas que contenham: proposições simples; proposições compostas com conectivo “e”.

A ESAF ainda facilita as coisas porque, nestes casos, ela costuma fazer com que haja uma única linha da tabela verdade em que todas as premissas sejam verdadeiras. Com isso, o probleminha vira uma espécie de “caça ao tesouro”.

Sempre assim: descobrimos uma informação e temos que identificar onde utilizá-la, para obtermos a próxima informação.

Vamos ver outro exemplo:



AFRFB e AFT



Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim,

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

Resolução:

Este é o caso típico de aplicação da técnica 1. É um tipo de exercício muito cobrado pela ESAF.

Tudo que a questão fornece é verdadeiro. São nossas premissas.

Queremos descobrir qual alternativa traz uma conclusão que decorre destas premissas.

Caso fôssemos utilizar a tabela verdade, olha o trabalhão que daria. Precisaríamos montar uma tabela bem grande.

Premissas:

1) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.

2) Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel.

3) Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar.

4) Ora, não sou amiga de Clara

Repararam que a última proposição é uma proposição simples? E começa com “ora”? Adivinhem por qual proposição a gente vai começar?

Bom, antes da solução propriamente dita, vou novamente frisar o quanto é trabalhoso fazer a tabela verdade num caso desses.

Vamos dar nomes às proposições simples:

a: sou amiga de Abel

o: sou amiga de Oscar

c: sou amiga de clara

n: sou amiga de nara

Olha só que tabela grande:

Premissa Premissa Premissa Premissa

a o c n oa ∨ an ~∨ oc ~∨ ~c

V V V V



AFRFB e AFT


V V V F

V V V V

V V V F

V V F V

V V F F

V V F V

V V F F

V F V V

V F V F

V F V V

V F V F

V F F V

V F F F

V F F V

V F F F

F V V V

F V V F

F V V V

F V V F

F V F V

F V F F

F V F V

F V F F

F F V V

F F V F

F F V V

F F V F

F F F V

F F F F

F F F V

F F F F

E olha que ainda nem colocamos as possíveis conclusões.

E aí, vamos perder esse tempo todo preenchendo a tabela inteira?

Não, é claro que não.

Como todas as premissas devem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem vamos nos dar ao trabalho de preencher as linhas em que pelo menos uma das premissas é falsa.

Isto será mais tranquilo quando houver premissas fáceis.

O que é uma premissa fácil?

É uma premissa que tenha um único caso de verdadeiro. Exemplos: proposições simples, proposições com conectivo “e”.

Notem a última premissa. Ela é “fácil”. É uma proposição simples. Vamos partir dela.



AFRFB e AFT


Quarta premissa:

Não sou amiga de Clara.

Para que esta premissa seja verdadeira, temos que “eu não sou amiga de clara”. Em símbolos:

~c: Verdadeiro

Portanto:

c: F

Já descobrimos uma coisa. A proposição “c” tem que ser falsa, para que esta quarta premissa seja verdadeira.

Vamos anotar esta conclusão:

Não sou amiga de clara (c: Falso)

Já que descobrimos uma coisa sobre Clara (descobrimos que não sou amiga dela), vamos tentar usar isso para concluir algo novo.

Qual premissa fala de Clara?

A terceira premissa:

“Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar”.

Para que este “ou” seja verdadeiro, uma das parcelas deve ser verdadeira.

A primeira parcela é falsa (pois eu não sou amiga de Clara).

Portanto, a segunda parcela deve ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira.

Logo:

Não sou amiga de Oscar. (o: falso)

Nossa tabela ficaria novamente reduzida, pois só faríamos as linhas em que “o” é falso.

Vamos anotar mais esta conclusão:

Não sou amiga de Clara

Não sou amiga de Oscar

Observem agora a primeira premissa.

“Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar”.

Como “não sou amiga de Oscar”, acaba que, para que o “ou” seja verdadeiro:

Sou amiga de Abel.

Acrescentando isso ao nosso quadro:



Sou amiga de Abel



AFRFB e AFT


Por fim, a informação 2: “Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel”.

Notem que a segunda parcela do “ou” é falsa (pois eu Sou amiga de Abel).

Para que a disjunção seja verdadeira, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Logo:

Sou amiga de Nara.

Atualizando nosso quadro:



Sou amiga de Abel

Sou amiga de Nara

Deste modo, a única linha da tabela verdade que deve ser preenchida, é aquela em que as proposições c, o, a, n são, respectivamente, falso, falso, verdadeiro e verdadeiro.

É nesta linha que devemos analisar cada conclusão pretendida.

Com este método, nem precisamos realmente da tabela, o que economiza tempo.

A partir do quadro acima, vemos que a alternativa C é a correta.

Gabarito: C


Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que

a) Ana não é artista e Carlos não é compositor.

b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.

c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma.

d) Ana não é artista e Mauro gosta de música.

e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.

Resolução:

Este exercício tem um estilo muito semelhante ao anterior.

Primeiro, organizamos as premissas

1) Ana é artista ou Carlos é compositor

2) Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa

3) Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor

4) Ana não é artista e Daniela não fuma



AFRFB e AFT


Neste caso, não temos não temos proposição simples, como no exercício anterior. Mas vamos analisar a quarta premissa (novamente, repare que é a última informação):

“Ana não é artista e Daniela não fuma”

Apesar de não ser uma proposição simples, a quarta premissa também é muito fácil de ser analisada.

Por quê?

Porque apresenta o conectivo “e”. E nós sabemos que uma proposição composta com o conectivo “e” só apresenta um caso de valor lógico verdadeiro.

A proposição composta é verdadeira apenas quando todas as suas parcelas são verdadeiras.

Concluímos que é verdade que “Ana não é artista” e é verdade que “Daniela não fuma”.

Ana não é artista

Daniela não fuma

Procuremos onde usar estas conclusões. Repare que a conclusão “Daniela não fuma” não aparece mais em lugar algum. Isto acontece porque ela não tem mais utilidade para nós. Só apareceu no “e” lógico do final do enunciado e nada mais. Portanto, não vamos mais usá-la.

A primeira premissa fala de Ana, vejamos:

“Ana é artista ou Carlos é compositor”

Acabamos de descobrir que Ana não é artista.

(F) Ana é artista ou Carlos é compositor

Para que este “ou” seja verdadeiro, pelo menos uma de suas parcelas tem que ser verdadeira.

A primeira parcela já é falsa. Logo, sua outra parcela tem que ser verdadeira. Então concluímos que “Carlos é compositor”.

(F) (V) Ana é artista ou Carlos é compositor

Carlos é compositor

Agora, temos que procurar onde usar esta conclusão. Carlos aparece na terceira premissa:

“Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor”

Acabamos de descobrir que o consequente deste condicional é falso.



AFRFB e AFT


(F) Se (Flávia não é fotógrafa), então (Carlos não é compositor)

Logo, o antecedente deve ser falso, para que o condicional seja verdadeiro (se não teríamos V/F, o que não pode ocorrer!!!).

Flávia é fotógrafa

Por último, vemos que Flávia aparece na segunda premissa:

“Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa”

Acabamos de concluir que o consequente é falso. O antecedente também deve ser falso, para que o condicional seja verdadeiro.

Mauro não gosta de música

Pronto. Vamos agrupar todas as conclusões:

Ana não é artista. Daniela não fuma. Carlos é compositor. Flávia é fotógrafa. Mauro não gosta de música.

Gabarito: B

Questão 5 ANA 2009 [ESAF]

Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:

a) choveu em A e choveu em B.

b) não choveu em C.

c) choveu em A ou choveu em B.

d) choveu em C.

e) choveu em A.

Resolução:

Premissas:

1) Se chove em A, o rio transborda.

2) Se chove em B, o rio transborda

3) Se chove em C, o rio não transborda.

4) O rio transbordou

Vamos começar pela quarta proposição, que é uma proposição simples.



AFRFB e AFT


Para que ela seja verdadeira, temos que o rio transbordou.

O rio transbordou.

Vamos para a premissa 3.

3) Se chove em C, o rio não transborda.

O consequente é falso. Para que o condicional seja verdadeiro, o antecedente deve ser falso.

Não chove em C.

E já achamos a resposta.

Gabarito: B

Quanto às premissas 1 e 2, o fato de o rio transbordar já faz com que ambas sejam verdadeiras, independente de chover ou não em A e B.

Ou seja, nada concluímos sobre chover ou não em A e B. As premissas fornecidas nada permitem afirmar sobre chuva em A e B.

Questão 6 STN 2008 [ESAF]

Ao resolver um problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ≠ e. Assim, Ana corretamente conclui que:

a) x ≠ a ou x ≠ e

b) x = a ou x = p

c) x = a e x = p

d) x = a e x ≠ p

e) x ≠ a e x ≠ p

Resolução:

Neste tipo de exercício, todas as proposições fornecidas no enunciado devem ser tomadas como verdadeiras. Ou seja, nada mais são que premissas. Assim, já sabemos que são verdadeiras as seguintes proposições:

• x = a e x = p, ou x = e

• x ≠ e

A partir destas premissas, queremos saber qual das alternativas apresenta uma conclusão que torna válido o argumento. Ou ainda, qual alternativa apresenta uma conclusão que decorre das premissas acima.

Para começar a análise, nada melhor que iniciar pela proposição simples (segunda premissa).



AFRFB e AFT


A segunda premissa deve ser verdadeira. Logo, concluímos que:

Proposição Valor lógico

x ≠ e Verdadeiro

A primeira premissa também deve ser verdadeira.

Primeira premissa:

x = a e x = p, ou x = e

Nela, temos um “ou”, em que as parcelas são dadas por:

• primeira parcela: x = a e x = p

• segunda parcela: x = e

Já sabemos que a segunda parcela do “ou” é falsa (vide tabela). Logo, a primeira parcela do “ou” deve ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira.

A primeira parcela da disjunção é uma proposição composta, formada por um “e”. Esta conjunção só será verdadeira quando suas duas parcelas são verdadeiras. Ou seja, quando “

ax = ” for verdadeiro e quando “x = p” também for verdadeiro.

Portanto:

Proposição Valor lógico

x ≠ e Verdadeiro

x = a Verdadeiro

x = p Verdadeiro

Em síntese, a tabela acima traz a linha da tabela verdade em que todas as premissas são verdadeiras. Ela economiza tempo. Ela evita que a gente precise fazer a tabela verdade inteira.

Como a análise do argumento é restrita ao caso em que todas as premissas são verdadeiras, analisamos a tabela verdade apenas na linha em que as proposições “x ≠ e”, “x = a” e “x = p” forem todas verdadeiras.

Letra A.

A conclusão exposta na letra A é: “x ≠ a ou x ≠ e”.

Esta conclusão apresenta um “ou”. A segunda parcela da disjunção é: “x ≠ e”. Já sabemos que esta parcela é verdadeira. Isso garante que a disjunção inteira seja verdadeira.

Ou seja, esta conclusão decorre das premissas. Quando as premissas são todas verdadeiras, esta conclusão também será. Esta conclusão torna o argumento válido.

Letra B.

A conclusão é: x = a ou x = p.

Já sabemos que estas duas parcelas do “ou” são verdadeiras. Logo, esta conclusão também decorre das premissas. Quando todas as premissas são verdadeiras, esta conclusão também é. Ela também torna o argumento válido.



AFRFB e AFT


Letra C.

A conclusão é: x = a e x = p.

Já sabemos que estas duas parcelas do “e” são verdadeiras. Logo, esta conclusão também decorre das premissas. Quando todas as premissas são verdadeiras, esta conclusão também é. Ela também torna o argumento válido.

Letra D.

Conclusão: x = a e x ≠p.

A segunda parcela do “e” é falsa, pois sabemos que x = p. Portanto, se todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão acima será falsa. Ela não decorre logicamente das premissas.

Letra E.

Conclusão: x ≠ a e x ≠ p

As duas parcelas do “e” são falsas. Esta conclusão não decorre das premissas.

Na minha opinião, a questão deveria ter sido anulada, por apresentar diversas alternativas corretas. Há várias alternativas que trazem conclusões que decorrem logicamente das premissas. Contudo, no gabarito oficial, foi indicada a letra C.

Gabarito: C (na minha opinião, deveria ter sido anulada)

Questão 7 MPOG 2009 [ESAF]

Suponha que um pesquisador verificou que um determinado defensivo agrícola em uma lavoura A produz o seguinte resultado: “Se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”, enquanto que o mesmo defensivo em uma lavoura distinta B produz outro resultado: “Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”. Sendo assim, se as plantas de uma lavoura A e de uma lavoura B não ficaram doentes, pode-se concluir apenas que:

a) o defensivo foi utilizado em A e em B.

b) o defensivo foi utilizado em A .

c) o defensivo foi utilizado em B.

d) o defensivo não foi utilizado em A e foi utilizado em B.

e) o defensivo não foi utilizado nem em A nem em B.

Resolução:

Premissas:



AFRFB e AFT


1 – Se o defensivo é utilizado na lavoura “A”, então as plantas de “A” não ficam doentes.

2 – O defensivo é utilizado na lavoura “B”, se, e somente se, as plantas de “B” não ficam doentes.

3 – As plantas das lavouras “A” e “B” não ficaram doentes.

Muito bem, vamos direto para a última premissa. Sabemos que:

As plantas de “A” não ficaram doentes

As plantas de “B” não ficaram doentes

Vamos agora para a segunda premissa:

(V) O defensivo é utilizado em B, se, e somente se as plantas de B não ficam doentes

Temos um bicondicional. Sua segunda parcela é verdadeira. O bicondicional só será verdadeiro se suas duas parcelas tiverem o mesmo valor lógico. Assim, essa premissa só será verdadeira se a primeira parcela também for.

Logo:

O defensivo é utilizado em B

Atualizando nossas conclusões:

As plantas de “A” não ficaram doentes

As plantas de “B” não ficaram doentes

O defensivo é utilizado em “B”

Finalmente, vamos para a primeira premissa:

(V) Se o defensivo é utilizado em A, então as plantas de “A” não ficam doentes

O consequente é falso. Isso já garante que o condicional seja verdadeiro, independente de o defensivo ter sido utilizado ou não em “A”. Ou seja, nada concluímos sobre o defensivo ter sido utilizado ou não em “A”.

Resposta: C

1.4. 2ª Técnica : Tabela verdade modificada

Aqui, não há muito o que explicar. Vamos direto para o exercício, ver como aplicar a técnica.

Exercícios



AFRFB e AFT



Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,

a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.

e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Resolução:

Temos as seguintes proposições simples:

• h: Homero é honesto.

• j: Júlio é justo

• b: Beto é bondoso.

Todas as proposições compostas do enunciado são verdadeiras (são premissas!).

Na frente de cada afirmação colocamos sua representação em símbolos lógicos:

1) Homero não é honesto, ou Júlio é justo : ~h ∨ j

2) Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso: h ∨ j ∨ b

3) Beto é bondoso, ou Júlio não é justo: b ∨ ~j

4) Beto não é bondoso, ou Homero é honesto: ~b ∨ h

Só que agora não temos nenhuma premissa “fácil”. Não há qualquer premissa que seja uma proposição simples. Não há premissa com o conectivo “e”.

O que fazer?

Seria ótimo não perdermos tempo com as linhas em que as premissas são falsas.

Só que agora isso será um pouco mais trabalhoso do que antes, justamente porque não temos mais premissas fáceis.

Neste caso, é mais seguro realmente fazer todas as linhas.

Mas, para não perdermos tanto tempo, vamos economizar nas colunas!!! Nesta situação, vamos fazer uma “tabela-verdade modificada”.

“Tabela verdade modificada”? O que é isso?



AFRFB e AFT


É uma tabelinha informal, simplificada. Seria uma tabela em que colocamos apenas as proposições simples envolvidas. Só isso. Não importa que as premissas e a conclusão não sejam representadas.

h j b

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Notem que só colocamos as colunas para h, j e b, que são as proposições simples.

As premissas (~h ∨ j, : h ∨ j ∨ b, b ∨ ~j, ~b ∨ h ) não foram representadas.

Qual a vantagem disso?

A vantagem é economizarmos nas colunas. Vamos fazer menos colunas. Só fazemos as colunas das proposições simples.

Já que estamos modificando a tabela verdade, em vez de representarmos as proposições por letras, podemos colocar também as frases de origem. Tanto faz, o resultado será o mesmo.

Assim:

Homero Júlio Beto

Honesto Justo Bondoso

Honesto Justo Não bondoso

Honesto Não justo Bondoso

Honesto Não justo Não bondoso

Não honesto Justo Bondoso

Não honesto Justo Não bondoso

Não honesto Não justo Bondoso

Não honesto Não justo Não bondoso

Em seguida, vamos lendo as informações do enunciado. Detalhe: lembrem-se que todas as informações do enunciado são verdadeiras (são premissas).

1 - Homero não é honesto, ou Júlio é justo.

Esta foi a primeira informação. Sabemos que ela é verdadeira, pois todas as informações do enunciado são verdadeiras (são premissas!).

Nesta frase acima temos um “ou”. Qual a única situação em que um “ou” é falso? Quando as duas parcelas são falsas. No caso, quando Homero for honesto e Júlio não for justo.



AFRFB e AFT


Ora, se esta situação (Homero honesto; Júlio não justo) faz com que a frase acima seja falsa, então temos que excluir esta hipótese porque isso iria contra o que está dito no enunciado.

A ideia é ir excluindo todas as hipóteses que possam tornar falsas as premissas.

Portanto, vamos riscar as linhas em que esta combinação aparece (Homero honesto e Júlio não justo).

Homero Júlio Beto









2 - Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso.

Outra informação do enunciado.

Temos conectivos “ou”. Qual a única situação em que uma proposição com o conectivo “ou” é falsa?

Quando todas as “parcelas” são falsas.

Neste caso, a proposição é falsa quando: Homero não é honesto; Júlio não é justo; Beto não é

bondoso.

Podemos riscar as linhas em que isso acontece:

Homero Júlio Beto









3 - Beto é bondoso, ou Júlio não é justo.

Outra vez um conectivo “ou”. Temos duas parcelas (a primeira referente a Beto, a segunda referente a Júlio). Qual a única situação em que uma proposição com “ou” é falsa? Quando as duas parcelas são falsas. No caso, a frase será falsa quando: Beto não for bondoso; Júlio for justo.

Homero Júlio Beto






AFRFB e AFT







4 - Beto não é bondoso, ou Homero é honesto.

Por fim, esta informação é falsa quando Beto é bondoso e Homero não é honesto. Precisamos excluir as linhas que trazem esta combinação.

Homero Júlio Beto









Ou seja, a única linha da tabela verdade que torna todas as premissas verdadeiras é aquela em que Homero é honesto, Júlio é justo e Beto é bondoso.

Portanto, a conclusão exposta em “C” é correta.

Gabarito: C

TOME NOTA!!!

2ª Técnica: Faça uma tabela verdade modificada, assim:

- faça só as colunas das proposições simples;

- como o número de colunas será reduzido, você pode optar por colocar frases em vez de letras.

Em seguida, vá riscando as linhas que tornam as premissas falsas


Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,

a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.



AFRFB e AFT


c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.

d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.

e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

Resolução:

Sabemos que as seguintes informações são verdadeiras:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

Montamos uma tabela com todas as possibilidades e vamos riscando as situações que contradizem o enunciado.

Márcia Renata Beatriz

Magra Ruiva Bailarina

Magra Ruiva Não bailarina

Magra Não ruiva Bailarina

Magra Não ruiva Não bailarina

Não magra Ruiva Bailarina

Não magra Ruiva Não bailarina

Não magra Não ruiva Bailarina

Não magra Não ruiva Não bailarina

1 - Márcia não é magra ou Renata é ruiva.

Posso excluir os casos em que Márcia é magra e Renata não é ruiva (pois esta combinação tornaria falsa a proposição acima).










2 - Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva.



AFRFB e AFT


Excluo casos em que Beatriz não é bailarina e Renata é ruiva (novamente, é a hipótese que tornaria falsa a proposição acima).










3 - Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina.

Temos um conectivo “ou”. Ele só é falso quando as duas parcelas são falsas. No caso, a proposição é falsa quando Renata é ruiva e Beatriz é bailarina.










Repare que, olhando na tabela as informações que ainda não foram riscadas, já sabemos sobre Márcia (não é magra) e Renata (não é ruiva), só nos falta saber de Beatriz.

4 - Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra.

Agora temos um condicional. Qual a única situação em que um condicional é falso? Quando o primeiro termo é verdadeiro e o segundo é falso (V/F).

Podemos separar a frase em duas “parcelas”. A primeira se refere a Beatriz; a segunda é sobre Márcia. Quando Beatriz não é bailarina, a primeira parte é verdadeira. Quando Márcia é magra, a segunda parte é falsa. Primeiro termo verdadeiro e segundo termo falso faz com que a frase acima seja falsa.

Devemos, portanto, descartar esta opção.






AFRFB e AFT








Portanto, Márcia não é magra, Renata não é ruiva e Beatriz é bailarina.

Gabarito: A

Questão 10 MTE 2003 [ESAF]

Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,

a) não durmo, estou furioso e não bebo

b) durmo, estou furioso e não bebo

c) não durmo, estou furioso e bebo

d) durmo, não estou furioso e não bebo

e) não durmo, não estou furioso e bebo

Resolução:

Primeiro, listamos todas as possibilidades.

Durmo Bebo Estou furioso

sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

Agora vamos lendo as informações do enunciado e riscando as combinações que tornariam as proposições falsas.

1. Se não durmo, bebo.

Temos um condicional. Ele só é falso quando o primeiro termo é verdadeiro e o segundo é falso. A frase acima só é falsa quando eu não durmo (primeira parte é verdadeira) e eu não bebo (segunda parte falsa). Vamos riscar as linhas correspondentes.


sim sim sim

sim sim não



AFRFB e AFT



sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

2. Se estou furioso, durmo.

Outro condicional. Ele só é falso quando eu estou furioso (primeira parte verdadeira) e não durmo (segunda parte falsa). Vamos riscar as linhas que trazem estas combinações.


sim Sim sim

sim Sim não

sim Não sim

sim Não não

não Sim sim

não Sim não

não não sim

não não não

3. Se durmo, não estou furioso.

Novo condicional. Ele só será falso quando eu durmo (primeiro termo verdadeiro) e estou furioso (segundo termo falso).


sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

4. Se não estou furioso, não bebo.

Mais um condicional. Ele só será falso se eu não estou furioso (primeiro termo verdadeiro) e eu bebo (segundo termo falso).


sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não



AFRFB e AFT


não não sim

não não não

Só restou uma opção: eu durmo, não bebo e não estou furioso.

Gabarito: D


Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Resolução:

O enunciado afirma que:

1 - Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha .

Isto é o mesmo que dizer:

Se Alexandre vai à Alemanha, então Carlos não vai ao Canadá

2 - Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá.

Ou seja:

Se Helena não vai à Holanda, então Carlos vai ao Canadá.

3 - Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá.

Então:

Se Carlos não vai ao Canadá, então Alexandre não vai à Alemanha.

4 - Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha.

Por último:

Se Helena vai à Holanda, então Alexandre vai à Alemanha.

Agora podemos construir a tabela com todas as possibilidades, e excluir as linhas que tornam falsas as proposições do enunciado.

A tabela com todas as possibilidades seria:



AFRFB e AFT


Carlos vai ao Canadá Helena vai à Holanda Alexandre vai à Alemanha

sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

E agora começamos a leitura do enunciado. Sabemos que todas as afirmações do enunciado são verdadeiras (são premissas!).

Portanto, devemos riscar as combinações que tornam falsas as premissas.

1. Se Alexandre vai à Alemanha, então Carlos não vai ao Canadá

Temos um condicional. Ele só é falso se o primeiro termo acontece (Alexandre vai à Alemanha) e o segundo não acontece (Carlos vai ao Canadá). Riscando as linhas correspondentes:


sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

2. Se Helena não vai à Holanda, então Carlos vai ao Canadá.

Outro condicional. Ele só é falso quando Helena não vai à Holanda (primeiro termo verdadeiro) e Carlos não vai ao Canadá (segundo termo falso).


sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não



AFRFB e AFT


3. Se Carlos não vai ao Canadá, então Alexandre não vai à Alemanha.

Este condicional só é falso se Carlos não vai ao Canadá (primeiro termo verdadeiro) e Alexandre vai à Alemanha (segundo termo falso).


sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

4. Se Helena vai à Holanda, então Alexandre vai à Alemanha.

Este condicional só é falso se Helena vai à Holanda (primeiro termo verdadeiro) e Alexandre não vai à Alemanha (segundo termo falso).


sim sim sim

sim sim não

sim não sim

sim não não

não sim sim

não sim não

não não sim

não não não

Pronto, usamos todas as informações do enunciado e riscamos tudo o que deveríamos. Só ficamos com uma possibilidade.

Logo, Carlos vai ao Canadá, Helena não vai à Holanda e Alexandre não vai à Alemanha.

Gabarito: C

Questão 12 AFRFB 2009 [ESAF]

Se 3 e=α , então β = 3 e .

Se =α 3e , então β ou δ são iguais a 3 e

Se δ = 3e , então β = 3e .

Se δ = 3 e , então 3 e=α .



AFRFB e AFT


Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que:

a) =α β =δ = 3e

b) =α β = 3e , mas δ = 3 e

c) 3 e=α , mas β =δ = 3e

d) =α β =δ = 3 e

e) =α δ = 3 e , mas β = 3e

Resolução:

O examinador esqueceu de dizer que α , β e δ só podem ser iguais a 3e ou 3 e . Isso é um

detalhe muito importante e poderia (ou deveria) acarretar na anulação da questão.

Nas questões anteriores, era mais razoável supor que isso ficava implícito. Quando temos que saber se Márcia é magra ou não é magra, sabemos que estão excluídas outras possibilidades. Não tem jeito. Só temos duas opções: “magra” versus “não magra”.

Ou ainda: ou Helena vai à Holanda, ou Helena não vai à Holanda. É uma opção ou outra, sem meio termo.

Agora a coisa muda. poderia ser igual a qualquer número (zero, 1, 2, 3, etc). Era realmente

importante que a questão afirmasse que , e � só podem ser iguais a �� ou √��

.

Mas não briguemos com o enunciado. Vamos lá.

Vamos fazer uma tabelinha com todas as opções e vamos riscando aquelas que tornam falsas as premissas.

α β δ 3e 3e 3e 3e 3e 3 e 3e 3 e

3e 3e 3 e 3 e

3 e 3e 3e

3 e 3e 3 e

3 e 3 e 3e

3 e 3 e 3 e

Primeira premissa:


Ela será falsa quando 3 e=α e β = 3e . Vamos riscar esta linha.

α β δ



AFRFB e AFT


3e 3e 3e 3e 3e 3 e 3e 3 e

3e 3e 3 e 3 e

3 e 3e 3e

3 e 3e 3 e

3 e 3 e 3e

3 e 3 e 3 e

Segunda premissa:


Ela será falsa quando =α 3e , β = 3e e δ = 3e . Vamos riscar esta linha:

α β δ 3e 3e 3e 3e 3e 3 e 3e 3 e

3e 3e 3 e 3 e

3 e 3e 3e

3 e 3e 3 e

3 e 3 e 3e

3 e 3 e 3 e

Terceira premissa:


Ela será falsa se δ = 3e e β = 3 e . Vamos riscar estas linhas:

α β δ 3e 3e 3e 3e 3e 3 e 3e 3 e

3e 3e 3 e 3 e

3 e 3e 3e

3 e 3e 3 e

3 e 3 e 3e

3 e 3 e 3 e

Quarta premissa:


Ela será falsa se δ = 3 e e 3e=α .



AFRFB e AFT


α β δ 3e 3e 3e 3e 3e 3 e 3e 3 e

3e 3e 3 e 3 e

3 e 3e 3e

3 e 3e 3 e

3 e 3 e 3e

3 e 3 e 3 e

Com isso, marcamos a letra D.

Gabarito: D

Questão 13 ENAP 2006 [ESAF]

Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente:

a) bruxa e fada

b) bruxa e princesa

c) fada e bruxa

d) princesa e fada

e) fada e princesa

Resolução:

Novamente, tudo o que o enunciado traz é verdade (são premissas!)

Vamos montar nossa tabelinha que abarca todas as possibilidades.

Só que esta tabela será um pouco diferente das tabelas dos exercícios anteriores. Antes, cada uma das pessoas poderia ter ou não alguma característica (ser honesto ou não, ser culpado ou não, etc).

Agora, temos que saber quem é quem (quem é a bruxa, quem é a fada, quem é a princesa).

Sabemos que cada uma das mulheres da questão tem um papel e os papéis não se repetem. Assim, vamos construir a seguinte tabela:

Ana Beatriz Carla

Bruxa

Fada



AFRFB e AFT


Princesa

Vamos usar as informações dadas.

É verdade que:

1 - Ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa.

Se isso é verdadeiro, significa que uma delas TEM que ser a bruxa.

Por quê?

Porque toda premissa é verdadeira. Significa que este “ou... ou” apresenta uma parcela verdadeira e outra falsa. Só assim o “ou ou” será verdadeiro.

Dessa forma, sabemos que uma das duas é a bruxa. Se uma delas é a bruxa, podemos concluir que a bruxa não é a Beatriz.

Vamos colocar esta informação na nossa tabela.

Ana Beatriz Carla

Bruxa Não

Fada

Princesa

A segunda premissa (ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa) não nos trará conclusões neste momento. Por conta disso, vamos deixar esta informação para usar depois. Vamos para a terceira premissa.

3 - Ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa.

Analisando a terceira premissa, conclui-se que Ana não pode ser a princesa (a princesa é ou Carla ou Beatriz).

Ana Beatriz Carla

Bruxa Não

Fada

Princesa Não

4 - Ou Beatriz é fada, ou Carla é fada.

Então, Ana não é fada.

Ana Beatriz Carla

Bruxa Não

Fada Não

Princesa Não

Como Ana desempenha um papel dos três, ela só pode ser Bruxa. Foi o único papel que sobrou para ela.

Ana Beatriz Carla

Bruxa Sim Não

Fada Não



AFRFB e AFT


Princesa Não

Além disso, se Ana é a bruxa, significa que a bruxa não pode mais ser Beatriz nem Carla. Podemos também colocar isso na nossa tabela:

Ana Beatriz Carla

Bruxa Sim Não Não

Fada Não

Princesa Não

Agora, vamos para a informação que nós pulamos:

2 - Ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa.

Sabemos que Ana não é fada, porque acabamos de concluir que ela é bruxa. Como o “ou ou” é verdadeiro, uma de suas parcelas é verdadeira e a outra falsa. Já vimos que a primeira parcela (“Ana é fada”) é falsa. Então, Beatriz é obrigatoriamente a princesa para que a disjunção exclusiva (ou... ou...) seja verdadeira.

Ana Beatriz Carla

Bruxa Sim Não Não

Fada Não Não

Princesa Não Sim

Além disso, as outras duas não podem ser a princesa.

Ana Beatriz Carla

Bruxa Sim Não Não

Fada Não Não

Princesa Não Sim Não

Para Carla, só sobrou o papel de fada.

Ana Beatriz Carla

Bruxa Sim Não Não

Fada Não Não Sim

Princesa Não Sim Não

Gabarito: A

Questão 14 Enap 2006 [ESAF]

Ana possui tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira; 2) ou a gremista é morena, ou a corintiana é ruiva; 3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva; 4) ou a corintiana é morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, são, respectivamente,

a) loira, ruiva, morena.

b) ruiva, morena, loira.

c) ruiva, loira, morena.

d) loira, morena, ruiva.



AFRFB e AFT


e) morena, loira, ruiva.

Resolução:

Exercício muito parecido com o anterior.

Vamos começar com nossa tabela vazia:

Gremista Corintiana Fluminense

Loira

Morena

Ruiva

Usemos as informações:

1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira.

Conclusão: a corintiana não é loira.


Loira Não

Morena

Ruiva

Novamente vamos pular a informação 2, por ela não nos trazer uma conclusão imediata.

3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva.

Conclusão: a ruiva não é a gremista. Se a gremista fosse ruiva, a terceira premissa seria falsa.


Loira Não

Morena

Ruiva Não

4) ou a corintiana é morena, ou a fluminense é morena.

Conclusão: a gremista não é morena.


Loira Não

Morena Não

Ruiva Não

A gremista só pode ser a loira. Além disso, as outras não serão loiras. Vamos colocar estas duas descobertas na tabela:


Loira Sim Não Não

Morena Não

Ruiva Não

Voltemos à informação 2:



AFRFB e AFT


2) ou a gremista é morena, ou a corintiana é ruiva.

Sabemos que a gremista não é morena. Logo, a corintiana TEM que ser a ruiva. Sobrando para a fluminense a característica de ser morena.


Loira Sim Não Não

Morena Não Não Sim

Ruiva Não Sim Não

Gabarito: A

1.5. 3ª Técnica: Chute inicial


Quando não tivermos uma proposição simples para utilizar como ponto de partida na análise do argumento, a gente pode fazer o seguinte. Damos um “chute”. Chutamos alguma coisa. Em seguida, verificamos se este chute nos leva a algum absurdo ou não.

É importante saber que essa técnica pode levar a erros. Caso o argumento lógico apresente mais de uma linha da tabela verdade em que todas as premissas são verdadeiras, a técnica do chute pode nos levar a uma resposta errada.

Exercícios


Três meninos, Pedro, Iago e Arnaldo, estão fazendo um curso de informática. A professora sabe que os meninos que estudam são aprovados e os que não estudam não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então Iago estuda; se Pedro não estuda, então Iago ou Arnaldo estudam; se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda; se Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:

a) Pedro, Iago e Arnaldo são aprovados.

b) Pedro, Iago e Arnaldo não são aprovados.

c) Pedro é aprovado, mas Iago e Arnaldo são reprovados.

d) Pedro e Iago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado.

e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Iago é reprovado.

Resolução:

Lembram lá da técnica 1, em que tínhamos premissas “fáceis”? Eram as premissas com proposições simples. Também serviam as premissas com o conectivo “e”.

Pois então. Elas eram nosso ponto de partida na “caça ao tesouro”.



AFRFB e AFT


Só que existem argumentos que não apresentam premissas “fáceis”. Nós ficamos sem ponto de partida. É aí que entra o chute.

Você chuta alguma coisa e vê se consegue fazer com que todas as premissas sejam verdadeiras. Se você não conseguir, o seu chute deu errado. Você precisa alterar seu chute.

Premissas:

1) se Pedro estuda, então Iago estuda;

2) se Pedro não estuda, então Iago ou Arnaldo estudam;

3) se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda;

4) se Arnaldo estuda então Pedro estuda.

Vamos usar a técnica do chute (técnica 3).

Vamos chutar que Pedro não estuda.

1 Pedro não estuda

Analisemos a quarta premissa.

Se Arnaldo estuda então Pedro estuda.

Primeira parcela do condicional: Arnaldo estuda.

Segunda parcela do condicional: Pedro estuda.

Temos um condicional em que a segunda parcela é falsa. Para que o condicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa. Logo, Arnaldo não estuda.

1 Pedro não estuda

2 Arnaldo não estuda

Agora vamos para a terceira premissa:

se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda;

O antecedente é verdadeiro. Para que o condicional seja verdadeiro, o conseqüente deve ser verdadeiro.

Logo, Iago não estuda.

1 Pedro não estuda

2 Arnaldo não estuda

3 Iago não estuda

Agora vamos para a segunda premissa:

Se Pedro não estuda, então Iago ou Arnaldo estudam;

Temos um condicional com antecedente verdadeiro e conseqüente falso. Logo, esta premissa é falsa.

Mas isto é um absurdo!!! Premissas sempre devem ser verdadeiras!!



AFRFB e AFT


Só chegamos a um absurdo porque nosso chute inicial foi errado. Precisamos altera-lo.

Vamos chutar que Pedro estuda.

1 Pedro estuda

Da primeira premissa, temos que Iago estuda.

1 Pedro estuda

2 Iago estuda

O fato de Pedro estudar já garante que a segunda premissa seja verdadeira.

Vamos para a terceira premissa.

Temos:

3) se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda;

O conseqüente é falso. Para que o condicional seja verdadeiro, o antecedente também deve ser falso. Logo, Arnaldo estuda.

1 Pedro estuda

2 Iago estuda

3 Arnaldo estuda

Como Arnaldo estuda e Pedro estuda, a quarta premissa é verdadeira.

Pronto!

Achamos a linha da tabela verdade em que todas as premissas são verdadeiras. É nesta linha que a conclusão deve ser analisada.

Todas as alternativas fazem afirmações sobre ser ou não ser aprovado. O enunciado disse que quem estuda é aprovado e que quem não estuda é reprovado.

Logo, os três são aprovados.

Gabarito: A

A técnica do chute é só isso.

Qual seu grande problema? É que ela pode induzir a erros, quando houver mais de uma linha da tabela verdade em que todas as premissas são verdadeiras.

Exemplo 7:

Classifique o seguinte argumento em válido ou inválido.

Premissas:

1 – Bia vai ao boliche se e somente se Cláudia vai ao cinema

2 – Ou Amanda vai ao armazém ou Bia vai ao boliche.

Conclusão:



AFRFB e AFT


Se Amanda vai ao armazém, então Bia vai ao boliche.

Resolução:

Vamos usar a técnica do chute.

Vamos chutar que Cláudia vai ao cinema.

Chute: Cláudia vai ao cinema.

Agora vamos tentar fazer com que todas as premissas sejam verdadeiras.

Na primeira premissa, a segunda parcela do bicondicional é verdadeira. Para que a proposição composta seja verdadeira, Bia deve ir ao boliche.

Bia vai ao boliche.

Vamos para a segunda premissa. Temos um “ou exclusivo”. A segunda parcela é verdadeira. Para que a conjunção exclusiva seja verdadeira, a primeira parcela deve ser falsa.

Amanda não vai ao armazém.

Ok, já achamos a linha da tabela verdade em que todas as premissas são verdadeiras. É a linha em Cláudia vai ao cinema, Amanda não vai ao armazém e Bia vai ao boliche.

Nesta linha, vamos analisar a conclusão.

Conclusão: Se Amanda vai ao armazém, então Bia vai ao boliche.

O antecedente é falso e o consequente é verdadeiro. Nesta situação, o condicional é verdadeiro.

Ou seja, quando todas as premissas são verdadeiras, a conclusão também é.

Resposta: argumento válido.

Certo???

Errado!!!

Aí está o problema da técnica do chute. Ela é sujeita a erros.

Ela se presta a identificar uma linha da tabela verdade em que as premissas são verdadeiras. Mas não garante que seja a única.

Neste exemplo, há outra situação em que todas as premissas são verdadeiras. É o caso em que: Amanda vai ao armazém, Bia não vai ao boliche e Cláudia não vai ao cinema. Neste caso, a conclusão é falsa. Ou seja, há um caso de premissas verdadeiras e conclusão falsa. Logo, o argumento é inválido.



AFRFB e AFT


TOME NOTA!!!

3ª Técnica: Chute inicial: chute alguma coisa, para ter um ponto de partida.

Cuidado: a técnica pode conduzir a erros, se houver mais de uma linha da tabela verdade em que todas as premissas são verdadeiras.

1.6. Outras técnicas de análise de argumentos

Já vimos três técnicas de análise de argumentos:

- quando há premissas “fáceis”, conseguimos eliminar as linhas em que há premissas falsas;

- quando não há premissas “fáceis”, a gente faz uma “tabela verdade modificada”.

- quando não há premissas “fáceis”, podemos dar um chute inicial, para criar um ponto de partida.

As formas que vimos até agora são muito úteis porque:

- se prestam a resolver todas as questões usualmente cobradas pela ESAF (ressalva para a Questão 17).

- são sistemáticas (ou seja, são do tipo “receita de bolo”, dá para o aluno gravar o “como fazer”).

Existem outras técnicas, dadas a seguir, que apresentam alguns “defeitos”.

É, talvez “defeito” não seja a melhor palavra...

Vamos lá então: existem outras técnicas para as quais vocês devem dar menos atenção. Isso, assim está melhor.

Só vale a pena gastar tempo com elas se você já estiver se garantindo muito bem nas técnicas que vimos acima e se tiver com tempo de se aprofundar um pouco mais no assunto. Do contrário, nem se preocupe com elas.

É normal que alguns alunos tenham dificuldade com análise de argumentos. Se for o seu caso, enquanto você não se sentir seguro na matéria, é bom conhecer poucas técnicas. Para não correr o risco de ficar totalmente perdido com o grande número de maneiras de se analisar um argumento e, na hora da prova, simplesmente não saber o que fazer.

Caso você tenha entendido bem as técnicas anteriores, aí compensa dar uma lidinha no que vem a seguir.

As técnicas são:

- análise de “trás para frente”: é sistemática. O “defeito” dela é: não é cobrada pela ESAF (ressalva: Questão 17)

- utilização da “premissa adicional”: também é sistemática. Só que não é cobrada pela ESAF (o CESPE cobra).



AFRFB e AFT


- utilização das regras de inferência: esta é a técnica que eu adoto, por ser, de longe, a mais rápida. Desvantagem: não é sistemática, exige “jogo de cintura”.

Vamos a elas:

1.7. 4ª Técnica: análise de trás para frente

Vamos retomar o Exemplo 6:

Premissas:






Quando analisamos o argumento pela técnica 1, obtivemos:

A primeira linha da tabela acima torna o argumento inválido.

Por que ela torna o argumento inválido?

Porque, nela, nós temos premissas verdadeiras com conclusão falsa.

Em algumas situações, uma boa forma de analisar o argumento é procurando justamente pela linha da tabela verdade que “fura” o argumento, a linha que o torna inválido.

Como fazemos isso?

Simples.

Primeiro passo: forçamos a conclusão a ser falsa.

Segundo passo: tentamos fazer com que todas as premissas sejam verdadeiras.

Se conseguirmos, então nós achamos a linha que fura o argumento. Nós achamos a linha que torna o argumento inválido.



AFRFB e AFT


Se não conseguirmos, é porque esta linha não existe. Logo, o argumento é válido.

Por isso nós dizemos que a análise é de “trás para frente”. Porque partimos da conclusão e vamos para as premissas.

Vamos usar esta ferramenta para analisar o argumento acima.

Temos:

Premissas:






Primeiro passo: vamos forçar a conclusão a ser falsa.

Para que a conclusão seja falsa, temos:

Manuel vai ao mercado.

Assim, para que a conclusão seja falsa, a proposição “m” é verdadeira.

Proposição Valor lógico Em palavras

m Verdadeiro Manuel vai ao mercado.

Segundo passo: vamos tentar fazer com que as premissas sejam todas verdadeiras.

Na primeira premissa, temos:


A primeira parcela do condicional é verdadeira. A segunda parcela deverá ser verdadeira, para que o condicional seja verdadeiro. Portanto, Cláudia vai ao cinema.



c Verdadeiro Cláudia vai ao cinema

Vamos para a terceira premissa.


Para que a conjunção seja verdadeira, as duas parcelas devem ser verdadeiras.

Logo, Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.



AFRFB e AFT





b Verdadeiro Beatriz vai ao boliche

s Verdadeiro Suelen vai ao shopping

Vamos para a quarta premissa.


A primeira parcela da disjunção é falsa. Para que a proposição composta seja verdadeira, sua segunda parcela tem que ser verdadeira. Portanto, Pedro não vai ao porto.




b Verdadeiro Beatriz vai ao boliche

s Verdadeiro Suelen vai ao shopping

p Falso Pedro não vai ao porto.

Segunda premissa:


A primeira parcela da conjunção é verdadeira. Isso faz com que a premissa seja verdadeira.

Pronto.

Conseguimos!

Achamos um caso em que a conclusão é falsa e todas as premissas são verdadeiras.

Nós partimos da conclusão. Forçamo-la a ser falsa. E mesmo assim conseguimos que as premissas fossem verdadeiras. Nós localizamos a linha da tabela verdade que torna o argumento inválido.


Esta técnica da análise “de trás para frente” é útil quando a conclusão só apresenta um caso de falso. Isso ocorre quando a conclusão é:

- uma proposição simples

- uma disjunção

- um condicional



AFRFB e AFT


Abaixo, resumimos a técnica da “análise da trás para frente”:

Como nosso foco é Esaf, não devemos dar muita atenção a esta técnica. Ela é mais útil em questões do Cespe. Vejamos um exemplo:

Exercícios

Questão 16 TCE AC 2008 [CESPE]

Considere que as proposições abaixo sejam premissas de determinado argumento:

- Se Roberto é brasileiro, então Roberto tem plena liberdade de associação.

- Roberto não tem plena liberdade de associação ou Magnólia foi obrigada a associar-se.

- Se Carlos não interpretou corretamente a legislação, então Magnólia não foi obrigada a associar-se.

Assinale a opção que correspondente à proposição que é verdadeira por consequência da veracidade dessas premissas.

a) Roberto não é brasileiro nem tem plena liberdade de associação.

b) Se Roberto é brasileiro, então Carlos interpretou corretamente a legislação.

c) Se Carlos não interpretou corretamente a legislação, então Roberto é brasileiro.

d) Carlos interpretou corretamente a legislação ou Magnólia foi obrigada a associar-se.

e) Se Magnólia foi obrigada a associar-se, então Roberto não tem plena liberdade de associação.

Resolução:

Reparem que as premissas não são “fáceis”. Não temos proposições simples, nem conjunções.

Ou seja, não dá para usar a técnica 1.



AFRFB e AFT


Daria para usar a técnica 2?

Sem dúvidas. Poderíamos fazer uma tabela-verdade modificada. É uma técnica boa, que sempre funciona. E é sistemática.

Sua desvantagem é: embora não seja tão demorada quanto fazer a tabela verdade completa, ainda demanda um certo tempo.

E, nesse caso, temos 4 proposições simples. A tabela verdade modificada seria bem grande (teria muitas linhas). Ou seja, usar a técnica 2 ainda seria muito trabalhoso.

Ou seja, é complicado partir das premissas para vermos o que é que dá para concluir. É complicado partir das premissas para ver qual a conclusão possível.

Ora, se está difícil partir das premissas, vamos fazer o caminho contrário. Vamos então para a análise “de trás para frente”.

Isso mesmo. Iremos de “trás para frente”. Partiremos da conclusão. Faremos com que a conclusão seja falsa. Caso, fazendo com que a conclusão seja falsa, achemos uma situação em que todas as premissas sejam verdadeiras, então o argumento é inválido. Ou seja, estamos justamente determinando a linha da tabela-verdade em que as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. ´

Repetindo:

1 – “forçaremos” a conclusão a ser falsa

2 – tentaremos fazer com que as premissas sejam verdadeiras

Se conseguirmos, o argumento é inválido (há uma situação de premissas verdadeiras e conclusão falsa).

Se não conseguirmos, o argumento é válido.

Letra A.

Conclusão: Roberto não é brasileiro e Roberto não tem plena liberdade de associação.

Nessa nossa tática de ir de “trás para frente”, a pior alternativa para analisarmos é a letra A. Nela, nós temos um “e”. Queremos forçar o caso em que a conclusão é falsa. Só que há três linhas da tabela verdade do “e” que fazem com que a proposição composta seja falsa. É muito caso para analisar.

Vamos pular para a letra B.

Letra B.

Conclusão: Se Roberto é brasileiro, então Carlos interpretou corretamente a legislação.

Queremos forçar a conclusão a ser falsa. Temos um “se... então”. Ele só é falso quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Logo:

Conclusões

1 Roberto é brasileiro



AFRFB e AFT


2 Carlos não interpretou corretamente a legislação

Vamos agora tentar fazer com que as premissas sejam verdadeiras.

Primeira premissa:

Se Roberto é brasileiro, então Roberto tem plena liberdade de associação.

Queremos que o condicional seja verdadeiro. Sabemos que a primeira parcela é verdadeira, pois Roberto é brasileiro. Logo, para que o condicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira.

Conclusões



3 Roberto tem plena liberdade de associação

Vamos para a segunda premissa:

Roberto não tem plena liberdade de associação ou Magnólia foi obrigada a associar-se.

Temos um “ou”. A primeira parcela é falsa (ver conclusão 3). Logo, para que a premissa seja verdadeira, a segunda parcela deve ser verdadeira. Ou seja, Magnólia foi obrigada a associar-se.

Conclusões



3 Roberto tem plena liberdade de associação

4 Magnólia foi obrigada a associar-se

Terceira premissa:

Se Carlos não interpretou corretamente a legislação, então Magnólia não foi obrigada a associar-se.

Outro condicional. A primeira parcela é verdadeira (ver conclusão 2). A segunda parcela é falsa (ver conclusão 4). Logo, a terceira premissa é falsa.

Ou seja, não atingimos nosso objetivo. Não conseguimos achar um caso em que a conclusão é falsa e todas as premissas são verdadeiras. Logo, esse é o argumento válido.

Gabarito: B

Na sequência, o único exercício da Esaf que encontrei em que esta técnica era útil. Mas já adianto: é um exercício “fora da curva”, bem mais difícil que o padrão da Esaf.


Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:



AFRFB e AFT


a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

Pancada!!!

Resolução.

Então, chamei a questão de “pancada”, para lembrar que ela é mais difícil mesmo. Ela tem um texto que assusta, com vários nomes diferentes. Então é normal “travar” um pouquinho, viu? Mas, se a gente respirar fundo, conseguimos enfrentar a questão!

Lembro que, durante o concurso do AFT 2010, na época dos recursos, a questão gerou muita polêmica. Minha caixa postal ficou cheia, teve muito concurseiro querendo a anulação da questão que, ao meu ver, está perfeita.

Teve muito aluno que saiu julgando as alternativas em verdadeiro ou falso, querendo argumentar que havia mais de uma alternativa correta.

O grande detalhe é: em análise de argumentos, não importa se as premissas são verdadeiras ou falsas, nem se a conclusão é verdadeira ou falsa. Isso não importa. Só analisamos a forma do argumento. Queremos saber se, assumindo que as premissas são verdadeiras, elas suportam a conclusão. Apenas isso.

Então vamos lá, vamos resolver a questão.

Premissa: Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

E cada alternativa traz uma conclusão diferente. Temos que identificar qual delas é logicamente suportada pela premissa.

Antes de fazermos isso, um comentário.

Se fôssemos tomar como base o “mundo real”, ou seja, se fôssemos tomar como base os ensinamentos de geometria, a premissa seria falsa. Isso mesmo. Ela é falsa porque existem tetraedros que são irregulares.

Pergunta: isso é relevante? Isso é importante?

Não, não é. Pouco importa o que diz a geometria. Só vamos analisar a forma do argumento. Portanto, vamos supor que a premissa é verdadeira mesmo.



AFRFB e AFT


Ok, vamos ler com calma a premissa. Olha o tanto de informações que ela nos traz:

Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Vamos dar nomes às proposições simples:

x: o poliedro é convexo

r: o poliedro é regular

t: o poliedro é um tetraedro

c: o poliedro é um cubo

o: o poliedro é um octaedro

d: o poliedro é um dodecaedro

i: o poliedro é um icosaedro.

Em símbolos, a premissa ficaria assim:

( ) ( )idoctrx ∨∨∨∨↔∧

Olha o tanto de proposições simples que nós temos. São 7 proposições simples. Fazer a tabela verdade seria algo impensável...

Vamos agora analisar as alternativas.


Premissa:

Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Conclusão:

Se um poliedro é convexo e regular, então o poliedro é um cubo.

E aí? A premissa suporta a conclusão?

Vamos escrever o argumento com símbolos:

Premissa: ( ) ( )idoctrx ∨∨∨∨↔∧

Conclusão: crx →∧

Na técnica 4, iniciamos fazendo a conclusão falsa. Para que a conclusão seja falsa, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Com isso, temos:

x: verdadeiro

r: verdadeiro



AFRFB e AFT


c: falso

Agora vamos tentar fazer a premissa verdadeira.

A primeira parcela do bicondicional é verdadeira, pois x e r são verdadeiros.

(V e V) = V (� ∧ �) ↔ (� ∨ � ∨ � ∨ � ∨ �)

Se tivermos “t” verdadeiro, a segunda parcela do bicondicional também será verdadeira.

(V e V) = V (V ou F ou ? ou ? ou ?) = V (� ∧ �) ↔ (� ∨ � ∨ � ∨ � ∨ �)

Se as duas parcelas do bicondicional são verdadeiras, então essa premissa é verdadeira.

Pronto. Achamos um caso de premissa verdadeira e conclusão falsa. É o caso em que “x”, “r” e “t” são verdadeiros e “c” é falso. O argumento é inválido.


Agora, em vez de usar símbolos, vamos usar palavras.

Vamos imaginar que temos um octaedro convexo e regular. Neste caso, a premissa seria verdadeira e a conclusão seria falsa.

Achamos um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa. O argumento é inválido.


Vamos agora analisar usando símbolos.


Conclusão: ridotc ~)~~~~(~ →∧∧∧∧

Vamos tentar fazer a conclusão ser falsa.

Isso ocorrerá se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.

Para que o antecedente seja verdadeiro, devemos ter:

c, t, o, d, i: falsos

Para que o consequente seja falso, devemos ter:

r: verdadeiro

Vamos agora tentar fazer a premissa ser verdadeira.



AFRFB e AFT


A segunda parcela do bicondicional é falsa (pois c, t, o, d, i são falsos).

Para que o bicondicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa.

A primeira parcela é: ( )rx ∧ .

Sabemos que r é verdadeiro. Assim, para que a primeira parcela seja falsa, devemos ter x falso.

Pronto. Quando x, c, t, o, d, i forem falsos e r for verdadeiro, a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa.

Mas professor, isso é um absurdo. Se o senhor afirma que r é verdadeiro e x é falso, está

dizendo que existe poliedro regular que não é convexo. Mas isso é falso. Lá na geometria a

gente aprende que todos os poliedros regulares são convexos.

Aí vem o detalhe: não interessa o que diz a geometria. Em argumentos, só vemos a forma. Não interessa o conteúdo, a correspondência com o mundo real.

A conclusão até pode ser verdadeira no mundo real. Mas não é suportada pela premissa fornecida. Logo, o argumento é inválido.


Vamos analisar com palavras.

Vamos imaginar um poliedro que seja regular, mas não seja convexo (o nome seria: côncavo)

Neste caso, a premissa seria verdadeira (pois as duas parcelas do bicondicional seriam falsas). E a conclusão seria falsa, pois a primeira parcela do bicondicional é falsa e a segunda é verdadeira.


Vamos analisar com símbolos.


Conclusão: cr ~~ →

Vamos tentar fazer a conclusão ser falsa.

Temos um condicional. Para que ele seja falso, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Isso ocorrerá quando:

~r é verdadeiro, logo r é falso

~c é falso, logo, c é verdadeiro



AFRFB e AFT


Agora vamos tentar fazer com que a premissa seja verdadeira.

A premissa é: ( ) ( )idoctrx ∨∨∨∨↔∧ .

Temos um bicondicional. Sua primeira parcela é falsa (pois r é falso). Sua segunda parcela é verdadeira, pois c é verdadeiro. Assim, o bicondicional é falso.

Ou seja, não conseguimos achar um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa. Não conseguimos achar a linha que torna o argumento inválido.

Isso é porque esta linha não existe. O argumento é válido.

Gabarito: E

Como disse, esta 4ª técnica praticamente não é cobrada pela Esaf, então vamos mudando de assunto!

1.8. Condicional associado a um argumento válido


Vou dar um exemplo com duas premissas e uma conclusão. Mas é só um exemplo. O que vem a seguir vale para qualquer argumento, com qualquer número de premissas.

Sejam a e b duas premissas. Seja c a conclusão. O argumento pode ser escrito assim:

a, b |---- c

A esse argumento pode ser associado o seguinte condicional:

cba →∧

Nesse condicional, nós temos um “e” unindo as premissas. E o conseqüente (segunda parcela) é a conclusão do argumento.

Se o argumento for válido, então esse condicional é uma tautologia. E vice-versa. Se esse condicional for uma tautologia, o argumento é válido. Dizemos que o argumento é válido se e somente se o condicional a ele associado é tautológico.

Estendendo o conceito para n premissas, temos:

O argumento

p1, p2, p3 ..., pn |---- q

é válido se e somente se o condicional

p1 ∧ p2 ∧ p3 ... ∧ pn → q

for uma tautologia.

Detalhando um pouco mais

Vimos acima que, se o argumento é válido, o condicional a ele associado é tautlógico. E se o condicional é tautológico, então o argumento associado é válido.



AFRFB e AFT


Isso pode ser entendido da seguinte forma. Nas linhas da tabela-verdade em que pelo menos uma das premissas é falsa, o condicional é verdadeiro, de cara (pois seu antecedente é falso). E essas linhas pouco importam para gente, pois, dentro de um argumento, só nos interessam as linhas da tabela verdade em que as premissas são verdadeiras.

Ok, agora vamos para as linhas da tabela-verdade em que todas as premissas são verdadeiras. Nessas linhas, se a conclusão também for verdadeira, então o argumento é válido. E, além disso, o condicional a ele associado também assume o valor lógico verdadeiro, o que faz dele uma tautologia.

Caso contrário, se, em pelo menos uma das linhas em que as premissas são verdadeiras, a conclusão for falsa, o argumento será inválido. Além disso, o condicional a ele associado não será mais uma tautologia.

O conceito de condicional associado a um argumento válido pode ser utilizado para identificar tautologias.

Exercícios

Questão 18 PREVIC 2010 [CESPE]

A proposição �� ∨ �� → (� ∧ �) é uma tautologia.

Resolução:

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa: � ∨ �

Conclusão: � ∧ �

Este argumento é inválido. Isto porque o fato de a premissa ser verdadeira não garante que a conclusão também seja.

Basta pensar no caso em que P é verdadeiro e Q é falso. Nesta linha da tabela verdade, a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa. Se existe um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa, o argumento é inválido.

Se o argumento associado a este condicional é inválido, então o condicional não é tautológico.

Gabarito: errado

Questão 19 Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo



AFRFB e AFT


e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

E todas as alternativas trazem condicionais. O condicional tautológico será aquele que pode ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q) = p ∨ q

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

p → (p ∨ q).

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa: p

Conclusão: � ∨ �

Notem que se “p” for verdadeiro (premissa verdadeira), isso já garante, automaticamente, que “� ∨ �” é verdadeiro (conclusão verdadeira).

Ou seja, o argumento é válido. Logo, o condicional associado é tautológico.

Pronto. Achamos nossa resposta.

Gabarito: A

1.9. 5ª Técnica: usando a premissa adicional




AFRFB e AFT



�, �, � ⊢ � → �

A conclusão dele é um condicional. As premissas são a, b, c e a conclusão é “d → e”.

O condicional associado a esse argumento é:

�� ∧ � ∧ �� → (� → �)

Acontece que esse condicional aí de cima é equivalente a outro condicional. Ele é equivalente a:

�� ∧ � ∧ � ∧ �� → (�)

Observem que, agora, a proposição “d” se juntou às premissas.

E agora vem o grande detalhe. Este condicional que obtivemos pode ser associado ao seguinte argumento:

�, �, �,� ⊢ �

Então podemos concluir que testar a validade do argumento

�, �, � ⊢ � → �

é o mesmo que testar a validade do argumento

�, �, �,� ⊢ �

Ou seja, inicialmente nós tínhamos um argumento em que a conclusão era o condicional “� → �”. Nós podemos trazer a proposição “d” para o lado das premissas. Nós ganhamos uma premissa adicional!!!

TOME NOTA!!!

5ª Técnica: Sempre que a conclusão for um condicional, do tipo � → �, você pode fazer o seguinte:

- considere a proposição “d” como uma premissa adicional

- a conclusão passa a ser formada apenas pela proposição “e”

Exercícios

Vamos refazer a Questão 16:








AFRFB e AFT







Resolução:

Observem que várias das alternativas trazem condicionais como conclusão.

Vamos testá-las.

A primeira alternativa em que a conclusão é um condicional é a letra B. Nesta alternativa, temos:

Premissas:




Conclusão:

Se Roberto é brasileiro, então Carlos interpretou corretamente a legislação.

Para testar a validade desse argumento, podemos contar com a premissa adicional. Agora as premissas são:




- Roberto é brasileiro (premissa adicional)

E a conclusão passa a ser:

Carlos interpretou corretamente a legislação.

Agora ganhamos uma premissa simples, fácil de ser analisada. Trata-se da “Premissa adicional”. Ela já nos permite saber, de cara, de imediato, que Roberto é brasileiro. Agora temos um ponto de partida para analisar as demais premissas.

Ou seja, a técnica 5 só serve para nos dar um ponto de partida. Agora, tendo esse ponto de partida (uma premissa “fácil”), podemos aplicar a técnica 1:



AFRFB e AFT


Da quarta premissa, temos que Roberto é brasileiro.

Conclusões


Vamos para a primeira premissa. Queremos que ela seja verdadeira. Sabemos que a primeira parcela é verdadeira (ver conclusão 1). Logo, a segunda parcela também deve ser verdadeira.

Conclusões


2 Roberto tem liberdade de associação

Vamos para a segunda premissa. Temos um “ou”. Sabemos que sua primeira parcela é falsa (pois Roberto tem plena liberdade de associação). Para que o “ou” seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, Magnólia foi obrigada a se associar.

Conclusões




Vamos para a terceira premissa. Temos um condicional. A segunda parcela é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser falsa. Portanto, Carlos interpretou corretamente a legislação.

Conclusões




4 Carlos interpretou corretamente a legislação

Ou seja, realmente podemos concluir que Carlos interpretou corretamente a legislação. A alternativa está correta.

Gabarito: B

Vamos aproveitar para analisar as demais alternativas da questão.

Letra C.

A conclusão apontada é:

Se Carlos não interpretou corretamente a legislação, então Roberto é brasileiro.

Vamos adotar a tática da premissa adicional. Nosso argumento passa a ser:

Premissas:





AFRFB e AFT



- Carlos não interpretou corretamente a legislação (premissa adicional)

Conclusão:

Roberto é brasileiro.

Da quarta premissa, temos que Carlos não interpretou corretamente a legislação.

Conclusões


Vamos para a terceira premissa. Temos um condicional em que a primeira parcela é verdadeira. Para que o condicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira.

Conclusões


2 Magnólia não foi obrigada a associar-se

Vamos para a segunda premissa. Temos um “ou” em que a segunda parcela é falsa. Para que o “ou” seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Conclusões



3 Roberto não tem plena liberdade de associação

Primeira premissa. É um condicional em que a segunda parcela é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser falsa, para que a proposição composta seja verdadeira.

Conclusões




4 Roberto não é brasileiro.

Logo, está errada a conclusão apresentada, de que Roberto é brasileiro.

Letra D.

Conclusão:

Carlos interpretou corretamente a legislação ou Magnólia foi obrigada a associar-se.

Agora, a conclusão não está mais na forma de um condicional. Assim, não podemos mais usar a dica da “premissa adicional”.

Ah, mas a conclusão é uma disjunção. Ela apresenta um único caso de falso. Podemos usar outra técnica que estudamos.



AFRFB e AFT


Para testar a validade desse argumento, vamos, novamente, ir de “trás para frente”. Vamos forçar a conclusão a ser falsa.

Para que a conclusão seja falsa, as duas parcelas do “ou” devem ser falsas.

Conclusões



Vamos para a segunda premissa. Temos um “ou” em que a segunda parcela é falsa. Para que o “ou” seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Conclusões




Primeira premissa. É um condicional em que a segunda parcela é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser falsa, para que a proposição composta seja verdadeira.

Conclusões




4 Roberto não é brasileiro.

Terceira premissa. É um condicional em que as duas parcelas são verdadeiras (ver conclusões 1 e 2).

Pronto. Achamos um caso em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Na situação indicada no quadro acima, temos a veracidade das premissas e a falsidade da conclusão. Achamos a linha da tabela-verdade que “fura” nosso argumento, que faz com que ele seja inválido.

Letra E.

Outra vez, temos uma conclusão na forma de um condicional. Podemos utilizar a técnica da “premissa adicional”.

Nosso argumento passa a ser:

Premissas:




- Magnólia foi obrigada a associar-se (premissa adicional)

Conclusão:



AFRFB e AFT


Roberto não tem plena liberdade de associação.

Vamos verificar sua validade.

Da premissa adicional, temos que Magnólia foi obrigada a associar-se.

Conclusões


Terceira premissa. Temos um condicional em que a segunda parcela é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser falsa, para que o condicional seja verdadeiro.

Conclusões


2 Carlos interpretou corretamente a legislação

Segunda premissa. Temos um “ou” em que a segunda parcela é verdadeira. Logo, a segunda premissa já é verdadeira. O Roberto pode ter ou não plena liberdade de associação. Tanto faz. De um jeito ou de outro, a segunda premissa é verdadeira.

Primeira premissa.

Como não sabemos que se Roberto tem ou não liberdade de associação, então há várias formas de a primeira premissa ser verdadeira. Temos os seguintes casos:

1 – Roberto é brasileiro e Roberto tem plena liberdade de associação

2 – Roberto não é brasileiro e Roberto tem pela liberdade de associação

3 – Roberto não é brasileiro e Roberto não tem plena liberdade de associação.

Nesses três casos, a primeira premissa é verdadeira.

Observem atentamente os dois primeiros casos, destacados em vermelho:

1 – Roberto é brasileiro e Roberto tem plena liberdade de associação

2 – Roberto não é brasileiro e Roberto tem pela liberdade de associação

3 – Roberto não é brasileiro e Roberto não tem plena liberdade de associação.

Eles correspondem a duas linhas da tabela-verdade em que a conclusão é falsa. Logo, é possível termos todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Portanto, o argumento é inválido.

1.10. 6ª Técnica: Regras de inferência




AFRFB e AFT


Outra ferramenta para a análise da validade de um argumento consiste na aplicação das chamadas regras de inferência. É certamente a ferramenta mais poderosa, que possibilita uma análise de argumentos com maior rapidez.

Sua grande desvantagem é: não é sistemática.

Não tem receita de bolo. Exige um certo jogo de cintura.

Muito bem. Nas regras de inferência temos o seguinte. Temos um conjunto de argumentos válidos, tidos como básicos, de uso correntes. Utilizamos estes argumentos para verificar se outros argumentos são, também, válidos.

Para concurso não interessa saber quais são esses argumentos básicos, nem ver exemplos detalhados de sua utilização. O que nos interessa é aproveitar a ideia por trás das regras de inferência.

A ideia é: combinar duas ou mais premissas para formar outras, mais simples de serem analisadas.

Vejamos alguns exercícios:

Exercícios

Vamos refazer a Questão 9, agora usando a técnica 6. Observem como é muito mais rápido:

Relembrando o enunciado:







Nova resolução:

Nesta nova solução, vamos combinar premissas para chegar em proposições mais simples (que é a ideia das regras de inferência).

As premissas são:





Vamos focar nas premissas 2 e 3:



AFRFB e AFT




As duas premissas devem ser verdadeiras (ao mesmo tempo!!!).

Uma delas afirma que Beatriz é bailarina. A outra afirma que Beatriz não é bailarina.

Quanto à Beatriz, portanto, uma das duas premissas está errada.

Não nos interessa qual das duas premissas erra sobre Beatriz.

O que interessa é isso: uma das premissas apresenta uma parcela falsa (a parcela que fala sobre Beatriz).

Assim, a outra parcela deve ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira.

E qual é a outra parcela?

A outra parcela é: “Renata não é ruiva”.

Assim, a única forma de as duas premissas serem simultaneamente verdadeiras é se Renata não for ruiva.

Renata não é ruiva.

Pronto. Isso já pode ser concluído. Já sabemos que Renata não é ruiva. Essa é a única forma de fazer com que as premissas 2 e 3 sejam verdadeiras ao mesmo tempo.

Olha só como foi mais rápido: não precisou de tabela, não precisou de chute inicial, de nada.

Por outro lado, não tem receita de bolo. Foi necessário um pouco de “jogo de cintura” para perceber que era possível combinar as premissas 2 e 3.

Bom, já sabendo que Renata não é ruiva, podemos analisar as demais premissas.

Vamos para a primeira premissa:


A segunda parcela do “ou” é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Márcia não é magra.

Vamos para a última premissa:


A segunda parcela do condicional é falsa. Para que o condicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa.

Beatriz é bailarina.

Pronto. Descobrimos que Renata não é ruiva, Márcia não é magra e Beatriz é bailarina. Isso sem precisar de chute para ser testado. Sem precisar de tabela. É bem mais rápido.



AFRFB e AFT


Mas, por outro lado, não tem “receita de bolo”, esse é o problema.

Vamos agora refazer a Questão 10:






e) não durmo, não estou furioso e bebo.

Premissas:

1 - Se não durmo, bebo.

2 - Se estou furioso, durmo.

3 - Se durmo, não estou furioso.

4 - Se não estou furioso, não bebo.

Num condicional, podemos inverter as parcelas, negado-as. Com esta ideia, a segunda premissa pode ser reescrita assim:

5 - Se não durmo, então não estou furioso.

Esta é a nossa “quinta premissa”. Temos certeza de que é verdadeira, pois é decorrente de uma das premissas fornecidas pelo enunciado.

Vamos analisar as premissas 3 e 5:

3 - Se durmo, não estou furioso.

5 - Se não durmo, então não estou furioso.

O que temos? Se eu durmo, então não estou furioso. Por outro lado, se eu não durmo, também não estou furioso. Ou seja, pouco importa se eu durmo ou não. De um jeito ou de outro, sei que não estou furioso.

Não estou furioso.

Premissa 4:

4 - Se não estou furioso, não bebo.

A primeira parcela do condicional é verdadeira. Para que o condicional seja verdadeiro, a segunda parcela também deve ser verdadeira.



AFRFB e AFT


Não bebo.

1 - Se não durmo, bebo.

O consequente é falso. Para que o condicional seja verdadeiro, o antecedente deve ser falso.

Durmo.

Pronto. Sabemos que eu não estou furioso, não bebo e durmo.


Regras de inferência são argumentos válidos tidos como “básicos”, de uso corrente. São também chamados de argumentos fundamentais. Eles são utilizados para executar passos ao longo da verificação da validade de um argumento maior.

As regras de inferência são:

1 – Regra da adição:

� ⊢ � ∨ �

2 – Regra de simplificação:

�� ∧ �� ⊢ �

3 – Regra da conjunção.

�, � ⊢ (� ∧ �)

4 – Regra da absorção.

�� → �� ⊢ (� → � ∧ �)

5 – Regra Modus Ponens

�� → ��, � ⊢ �

6 – Regra Modus Tollens

�� → ��, � ∼ �� ⊢ (~�)

7 – Regra do Silogismo Disjuntivo

�� ∨ ��, �~�� ⊢ �

8 – Regra do Silogismo Hipotético

�� → ��, �� → �� ⊢ (� → �)

9 – Regra do Dilema Construtivo

�� → ��, �� → ��, �� ∨ �� ⊢ (� ∨ �)

10 – Regra do Dilema Destrutivo.

�� → ��, �� → ��, �~� ∨ ~�� ⊢ (~� ∨ ~�)

Não vou ficar colocando a demonstração da validade de todos esses argumentos. Apenas para exemplificar, vejamos a Modus Tollens.

�� → ��, � ∼ �� ⊢ (~�)



AFRFB e AFT



� � ~� ~� � → � V V F F V

V F F V F

F V V F V

F F V V V

Na única linha em que todas as premissas são verdadeiras, a conclusão também é. Logo, o argumento é válido.

Então fica só o registro de que existem estas regras de inferência.

Para prova de concurso, você não precisa decorar quais são as regras de inferência. O que deve ficar é a ideia por trás das regras de inferência. Podemos combinar premissas para gerar outras proposições verdadeiras.

2. DIAGRAMAS LÓGICOS

2.1. Como desenhar os diagramas


Existem argumentos que apresentam proposições com quantificadores. Nestes casos, para a análise do argumento a gente utiliza os chamados diagramas lógicos.

Uma sentença aberta é uma sentença que possui pelo menos uma variável.

Exemplo:

� + 3 > 5

Acima temos uma sentença aberta. Ela possui a variável x. Cada valor de x dá origem a uma proposição, que pode ser julgada em V ou F. Isso é o que caracteriza uma sentença aberta. É o fato de ela poder dar origem a diversas proposições, conforme o valor assumido pela variável.

Em outras palavras, a sentença � + 3 > 5, por si só, não é uma proposição. Ela não pode, de imediato, ser julgada em V ou F. Cada valor de x vai dar origem a uma proposição que, aí sim, poderá ser julgada.

É muito comum que, a partir de uma sentença aberta, sejam formuladas proposições por meio de quantificadores. Quando um quantificador incide sobre uma variável, aí temos uma proposição, que pode ser julgada em V ou F.

A partir do exemplo acima, vamos criar outra frase:

Existe algum valor de x tal que � + 3 > 5.

Ah, agora mudou tudo. A expressão “existe” é um quantificador. Podemos pensar que ela é sinônimo de “algum”. Afirma-se que algum x obedece a “� + 3 > 5”. Ou seja, afirma-se que existe pelo menos um valor de x que satisfaz � + 3 > 5.



AFRFB e AFT


Essa segunda sentença é uma proposição. Apesar de apresentar uma variável, ela já pode ser julgada de imediato. No caso, sabemos que é verdadeira.

Os quantificadores são geralmente indicados por palavras como: todo, algum, nenhum.

Argumentos que envolvem proposições deste tipo são mais facilmente estudados por meio de diagramas, que representam os diversos conjuntos de possibilidades.

Exemplo de frases:

“Todo cachorro tem quatro patas”

“Algum cavalo é marrom”

“Nenhum triângulo tem 5 lados”

“Todos os homens têm olhos azuis”

Como montar os diagramas?

A técnica é bastante simples.

Vamos começar com o caso do todo.

Exemplo:

“Todo cachorro late”

Significa que o conjunto dos cachorros está dentro (está contido) do conjunto das coisas que latem. Deste modo:

A ideia é sempre essa. Sempre que nos disseram que “Todo X é Y” significa que o conjunto dos X está contido no conjunto dos Y.

Dizendo de forma um pouco diferente: o conjunto dos cachorros é um subconjunto do conjunto das coisas que latem.

Reparem que este quantificador nos traz algumas certezas e algumas incertezas.

Para melhor entendimento, mudemos de frase.

Todo dragão é um animal com mais de 15 metros de altura.

Isso nos dá certeza de que não há dragões fora do conjunto dos animais com mais de 15 metros de altura.



AFRFB e AFT


É a região cinza da figura acima. Nesta aula, vamos usar a cor cinza para indicar que não há elementos na região.

Agora, simplesmente dizer que “todo dragão é um animal com mais de 15 metros de altura” não nos dá certeza de que existem dragões, nem de que há animais com mais de 15 metros de altura. São as “regiões de incerteza”, destacadas em amarelo na figura acima.

Ou seja, nas regiões em amarelo, não sabemos se há ou não elementos.

Esta proposição em especial foi dada porque, no mundo real, de fato, não há dragões. Também não há animais com mais de 15 metros de altura.

Apesar disso, é correto dizer que “todo dragão é um animal com mais de 15 metros de altura”. Ora, se existem zero dragões, então, de fato, todos estes “zero” dragões têm mais de 15 metros de altura.

Agora vamos para o caso do algum.

“Algum brasileiro fala espanhol”

Este quantificador também nos traz algumas incertezas. Vejam como fica o desenho:

Quando dizemos que alguns brasileiros falam espanhol, nós temos a certeza que os dois conjuntos se tocam. E mais que isso: na intersecção, há pelo menos um elemento.

Ou seja, existe pelo menos uma pessoa que é brasileira e, além disso, fala espanhol.

Isso nos dá a certeza de que, na região marcada com um (X) na figura abaixo, existe pelo menos uma pessoa:



AFRFB e AFT


Quanto às demais regiões do diagrama, não sabemos se correspondem a algum indivíduo. São “regiões de incerteza”, representadas em amarelo:

Não sabemos se há brasileiros que não falam espanhol (região 1 da figura). Também não sabemos se há pessoas que falam espanhol e não são brasileiras (região 2 da figura).

Situação semelhante acontece com a seguinte proposição:

Alguns brasileiros não falam espanhol.

O diagrama é o mesmo. A única coisa que muda é a “região de incerteza”.

Agora, temos certeza de que existem brasileiros que não falam espanhol. É a região marcada com um (X) ma figura abaixo:

Não temos certeza se há pessoas que são brasileiras e falam espanhol (região 1). Também não sabemos se há pessoas que não são brasileiras e falam espanhol (região 2).

Vamos para o caso do nenhum.

“Nenhum dragão é dinossauro”



AFRFB e AFT


Neste caso, estamos afirmando que o conjunto dos dragões não apresenta intersecção com o conjunto dos dinossauros.

Assim:

Novamente: dizemos que não há intersecção entre os dois conjuntos.

Assim como nos casos anteriores, temos algumas incertezas.

A única certeza que temos é que não há intersecção entre os conjuntos. É a região cinza da figura acima. Pintamos de cinza para indicar ausência de elementos.

Contudo, simplesmente dizer que “nenhum dragão é dinossauro” não garante qualquer coisa sobre a existência de elementos dentro do conjunto dos dragões (região 1 da figura), ou dentro do conjunto dos dinossauros (região 2).

Não temos certeza se existem dragões. Nem se existem dinossauros. Apenas temos certeza de que não há dragões que também sejam dinossauros.

Esta proposição em especial foi utilizada porque, no mundo real, atualmente, não existem dinossauros. Também não existem dragões. Deste modo, realmente é correto dizer que nenhum dragão é dinossauro.

Com isso não estamos afirmando a existência de qualquer um destes dois tipos de criatura.

Nesta primeira explicação, deixei em amarelo as regiões de incerteza, para poder chamar melhor a atenção para elas.

Nos exercícios, para não sobrecarregar muito as imagens (e não gastar muito a tinta de vossas impressoras), vou deixar as “regiões de incerteza” em branco, em vez de amarelo.

Só quando eu quiser chamar a atenção para alguma região de incerteza em particular, aí eu pinto de amarelo, ok?



AFRFB e AFT


Então, para relembrar todos os desenhos, vamos ver mais alguns exemplos.

Exemplos

Exemplo 8: Represente os diagramas para as seguintes proposições:

a) Algum corintiano não é flamenguista

b) Nenhum palmeirense é vascaíno

c) Algum são paulino é botafoguense

d) Todo santista é fluminense.

Resolução:

Letra A:

A região com um (X) é aquela em que temos certeza de que há algum elemento. Nas demais, não temos certeza.

Letra B:

Só temos certeza de que não há elementos na intersecção. Por isso, pintamos com cinza para indicar a ausência de elementos na região.

Outra opção seria desenhar os conjuntos totalmente separados:



AFRFB e AFT


Letra C:

Só temos certeza de que há elementos na intersecção. Por isso marcamos com um (X). Nas demais regiões, em branco, não sabemos se há elementos.

Letra D:

Só sabemos que não existem santistas fora do conjunto vermelho. Por isso a região foi pintada com cinza, para indicar a ausência de elementos.

Uma outra possibilidade seria colocar um conjunto dentro do outro:



AFRFB e AFT


Resumindo:

- “todo” e “nenhum” só nos dão certeza sobre regiões cinzas (em que não há elementos)

- “algum” só nos dá certeza sobre região com (X) – ou seja, região que contém um elemento.

2.2. Negação de proposições com quantificadores


Exemplo:

Todo brasileiro fala espanhol.

Vamos fazer a negação?

Vamos pensar: quando é que isso é falso?

Essa proposição será falsa quando nem todo brasileiro falar espanhol.

Ou ainda, quando houver ao menos um brasileiro que não saiba falar espanhol.

Outro exemplo:

Algum brasileiro fala espanhol.

Vamos fazer a negação?

Vamos pensar: quando é que isso é falso?

Essa proposição será falsa quando não houver brasileiro que fale espanhol. Isso pode ser dito de duas maneiras:

Nenhum brasileiro fala espanhol.

Todo brasileiro não fala espanhol.

A tabela abaixo mostra como devemos fazer as negações:



AFRFB e AFT


Proposição original Negação

Todo brasileiro fala espanhol Nem todo brasileiro fala espanhol.

Algum brasileiro não fala espanhol

Algum brasileiro fala espanhol. Nenhum brasileiro fala espanhol.

Todo brasileiro não fala espanhol

É claro que o resumo acima, envolvendo algum, todo e nenhum, aplica-se, por analogia, a todos/alguém/ninguém.

Exercícios


Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é matemático”, pode-se concluir apenas que:

a) algum filósofo é poeta.

b) algum poeta é filósofo.

c) nenhum poeta é filósofo.

d) nenhum filósofo é poeta.

e) algum filósofo não é poeta.

Resolução:

As premissas envolvem filósofos, matemáticos e poetas.

Premissas:

1) Alguns filósofos são matemáticos

2) Não é verdade que algum poeta é matemático.



AFRFB e AFT


Da primeira premissa, temos que existem elementos na intersecção entre filósofos e matemáticos.

A segunda premissa nos diz que: “Não é verdade que algum poeta é matemático”.

Em outras palavras, é falso que: algum poeta é matemático.

Assim, a negação disso é verdadeira.

A negação de “algum poeta é matemático” é “nenhum poeta é matemático”

Ou seja, no fundo, a segunda premissa nos diz que “nenhum poeta é matemático”.

Isso nos garante que não há elementos na intersecção entre poetas e matemáticos. Precisamos pintar a região correspondente de cinza.

Vejamos cada uma das alternativas.

a) algum filósofo é poeta – não temos como garantir isso.

A intersecção entre os conjuntos verde e preto está em branco: é uma região de incerteza. Não sabemos se existem ou não elementos ali.



AFRFB e AFT


b) algum poeta é filósofo – análise idêntica à da letra “a”.

c) nenhum poeta é filósofo – novamente, não temos certeza sobre a intersecção entre os conjuntos verde e preto. Pode ser que contenha algum elemento ou não.

d) nenhum filósofo é poeta – análise idêntica à da letra “c”.

e) algum filósofo não é poeta. – esta conclusão é válida. Basta ver a região assinalada com um (X). Nela, temos o indicativo de que existem elementos dentro do conjunto preto, que estão fora do conjunto verde.

Gabarito: E


Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Resolução:

Temos duas informações importantes. Vamos colocá-las do seguinte modo:

1) Todos os que foram à formatura de Hélcio foram ao casamento de Hélio.

2) Nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio

A informação 1 pode ser representada assim:



AFRFB e AFT


A informação 2 nos diz que pelo menos um amigo de Hélcio não foi no casamento de Hélio.

É isso mesmo.

Dizer que nem todos os amigos de Hélcio foram ao casamento é o mesmo que dizer que pelo menos um dos amigos de Hélcio não foi ao tal casamento.

Ou ainda: algum amigo de Hélcio não foi ao casamento.

Vamos analisar as alternativas. Todas são referentes aos amigos de Hélcio (conjunto azul da figura acima):

a - todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

Isto é falso. Temos certeza de que há amigos de Hélcio que não foram à formatura. Basta ver que há um pedaço do conjunto azul fora do conjunto verde. E, neste pedaço, há um (X), indicando que há elementos nesta região.

b - pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

Perfeito.

Há um pedaço do conjunto azul fora do conjunto verde. Neste pedaço, há um X, indicando existência de elementos.

c - alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

Não sabemos se existem amigos de Hélcio que foram à colação de grau. A intersecção entre os conjuntos verde e azul é uma região de incerteza. Vou destacar em amarelo no diagrama abaixo:



AFRFB e AFT


Só com esta análise já dá para descartar esta alternativa.

d - alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Novamente, não sabemos se alguns foram ou não à formatura. As informações não nos permitem concluir isso.

Também não sabemos se nenhum foi ao casamento. Esta é uma possibilidade, mas não uma certeza.

e - todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Errado. Com certeza pelo menos um não foi à formatura. É o que concluímos na letra “b”.

Gabarito: B


Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.

Resolução:

Primeiro vamos separar nossas informações.



AFRFB e AFT


1) Todas as meninas loiras são, também, altas e magras

2) Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis

3) Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos

4) Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis

5) Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra

6) Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre

Como tudo isso foi dado pelo enunciado, tudo isso é verdadeiro. Estas são as nossas premissas. A partir destas premissas, a qual conclusão podemos chegar?

Vamos lá. Vamos montando nossos diagramas com base em cada informação dada.

Vamos começar com a primeira premissa:

“Todas as meninas loiras são, também, altas e magras”

Temos que colocar o conjunto das meninas loiras totalmente dentro do conjunto das meninas altas e magras. Assim:

Reparem que todas as regiões estão em branco, porque não sabemos se existem meninas loiras, nem altas e magras.

Agora a premissa 2:

“Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis”

Sabemos que não pode haver intersecção entre o conjunto das altas e magras e o conjunto das de olhos azuis. Deste jeito:



AFRFB e AFT


Todas as regiões ainda estão em branco, pois não sabemos se correspondem a algum elemento.

Vamos ver a premissa 3:

“Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos”

Vamos deixar de lado os conjuntos que já temos e montar estes. É o mesmo caso da premissa 1. Vamos colocar o conjunto das alegres dentro do conjunto das meninas de cabelos crespos.

Vamos continuar com a premissa 4:

“Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis”

Disto, temos que o conjunto das meninas de cabelos crespos toca o conjunto das meninas de olhos azuis. E mais que isso: há pelo menos um elemento nesta região. Há pelo menos uma menina de cabelo crespo e olho azul.



AFRFB e AFT


Marcamos um (X) na região em que temos certeza da existência de pelo menos um elemento.

Vamos direto para a premissa 6, que também agrega informações neste desenho.

“Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre”

Com isso, percebemos que nenhuma menina alegre tem olhos azuis. Ou seja, precisamos pintar de cinza a região que não possui elementos.

Por último, vamos ver o que diz a premissa 5:

“Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra”

Com esta informação, podemos combinar todos os conjuntos.



AFRFB e AFT


Estes conjuntos refletem as seis informações dadas no enunciado. Agora vejamos o que dizem as alternativas.

a - pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

Concluímos que nenhuma menina alegre tem olhos azuis. Veja a região cinza entre os conjuntos vermelho e azul.

b - pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

Nenhuma menina loira tem olhos azuis. Basta vermos que os conjuntos amarelo e azul não se encostam. Não há intersecção entre eles.

c - todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

De forma alguma. Nenhuma menina de cabelo crespo é loira. Os conjuntos amarelo e marrom não se encostam. Eles não têm intersecção.

d - todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

Não. Basta ver a região marcada com um (X). Há pelo menos uma menina de cabelo crespo, olho azul, que não é alegre.

e - nenhuma menina alegre é loira.

Exatamente. Vejam que os conjuntos amarelo e vermelho não se tocam.

Gabarito: E


A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é:

a) De dia, todos os gatos são pardos.



AFRFB e AFT


b) De dia, nenhum gato é pardo.

c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.

d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.

e) À noite, nenhum gato é pardo.

Resolução:

A proposição dada foi:

À noite, todos os gatos são pardos.

Quando é que a frase acima é falsa?

Ela será falsa quando, à noite, houver pelo menos um gato que não seja pardo.

E como é que escrevemos isso?

Há duas formas:

- À noite, nem todos os gatos são pardos.

- À noite, pelo menos um gato não é pardo.

Gabarito: D


Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa:

a) todos os administradores são pós-graduados.

b) alguns administradores são pós-graduados.

c) há mecânicos não pós-graduados.

d) todos os trabalhadores são pós-graduados.

e) nem todos os engenheiros são pós-graduados.

Resolução:

Premissas:

1) Todos os mecânicos são engenheiros

2) Todos os engenheiros são pós-graduados.

3) Alguns administradores são engenheiros.

Vamos montar os diagramas.



AFRFB e AFT


Da primeira premissa, temos que o conjunto dos mecânicos está dentro do conjunto dos engenheiros:

Da segunda premissa, temos que o conjunto dos engenheiros está contido no conjunto dos pós-graduados.

Da terceira premissa, temos que o conjunto dos administradores e dos engenheiros se tocam. E mais que isso. Há pelo menos um elemento nesta região.

Desenhamos o conjunto dos administradores tocando o conjunto dos engenheiros. Por isso assinalamos com um X.

Observação: na verdade, essa é só uma possibilidade de desenho. É possível que os administradores engenheiros sejam, também, mecânicos. Neste caso, o “x” ficaria na intersecção entre os conjuntos vermelho, verde e preto. Assim, qualquer conclusão só será correta se valer, também, para esta segunda possibilidade.

Mas não vamos complicar as coisas, ok? Vamos ficar só com o desenho acima.



AFRFB e AFT


Sobre as demais regiões, em branco, não temos certeza se existem ou não elementos.

Agora vamos para as alternativas.

A) todos os administradores são pós-graduados.

Isso não é certeza. Pode haver administradores que não são pós graduados. Ou seja, pode haver elementos do conjunto verde que estejam fora do conjunto azul. É uma possibilidade.

B) alguns administradores são pós-graduados.

Correto.

A única região do conjunto dos administradores sobre a qual temos certeza é aquela que toca o conjunto dos engenheiros (marcada com X). Esta área, por sinal, está dentro do conjunto azul (dos que possuem pós-graduação).

C) há mecânicos não pós-graduados.

Errado. Todos os mecânicos são pós-graduados (conjunto vermelho dentro do azul)

D) todos os trabalhadores são pós-graduados.

Não temos certeza. Pode, por exemplo, haver administradores que não são pós graduados.


Errado. Todos os engenheiros são pós-graduados (conjunto preto contido no conjunto azul).

Gabarito: B


Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que:

a) todos não-artistas são não-atletas

b) nenhum atleta é não-artista

c) nenhum artista é não-atleta

d) pelo menos um não-atleta é artista

e) nenhum não-atleta é artista

Resolução:



AFRFB e AFT


Sabemos que nenhum artista é atleta. Fazendo o diagrama correspondente:

A intersecção entre ambos é vazia. Por isso pintamos de cinza, para indicar ausência de elementos.

Letra A: todos os não artistas são não atletas.

Não temos como concluir isso. É possível que existam elementos dentro do conjunto vermelho, de tal modo que existam sim atletas que não sejam artistas.

Exemplo:

Letra B: nenhum atleta é não-artista

Também não temos como concluir isso. O exemplo dado acima, caso ocorra, tornaria falsa esta conclusão.

Letra C: nenhum artista é não-atleta.

É exatamente a mesma análise da alternativa anterior. A conclusão não é suportada pela premissa apresentada.

Letra D: pelo menos um não-atleta é artista.

Também não temo concluir isso, pois sequer sabemos se existem atletas e se existem artistas. Se todos esses conjuntos forem vazios, a conclusão acima estaria errada.

Contudo, esse foi o gabarito fornecido pela banca. A banca está supondo que o simples fato de mencionar as classes dos artistas e dos atletas já é suficiente para concluirmos que eles possuem elementos.

Assim, a banca queria o seguinte desenho:



AFRFB e AFT


Ou seja, supusemos que todos os conjuntos possuem elementos. Agora, sim, podemos concluir que pelo menos um não-atleta é artista. Vide a letra (x) dentro do conjunto azul.

Letra E: nenhum não-atleta é artista.

Também não podemos concluir isso. No diagrama pretendido pela banca, temos um “x” dentro do conjunto azul, que torna falsa esta conclusão.

Gabarito: D

Coloquei esta questão para falarmos um pouco sobre a Falácia Existencial.

Foi dada a seguinte premissa:

Nenhum artista é atleta.

Disso sabemos que os conjuntos dos artistas e dos atletas não possuem elementos em comum. E só isso. Não sabemos se existem artistas, nem se existem atletas.

O simples fato de o enunciado mencionar estas classes de pessoas não nos garante que elas contenham algum elemento. Poderiam muito bem se referir a conjuntos vazios.

Apesar disso, vez ou outra vocês encontrarão questões que pedem justamente o contrário. Há questões em que o simples fato de uma classe ser mencionada já significa que ela contém elementos. Esta é a “Falácia existencial”.

Como sempre digo: nunca brigue com a questão. Faça o que o examinador quer que você faça. Se você percebeu que a questão só pode ser resolvida cometendo esta “falácia”, vá em frente, por que discutir?

Então lá na hora da prova marque a letra “D”. Não brigue com o examinador. Deixe para fazer isso na fase de recursos.

A banca está adotando o pressuposto de que todas as classes mencionadas (artistas e atletas) possuem elementos. É a chamada pressuposição existencial.

Sobre esta pressuposição, o autor Irving Copi traz:

“Contudo, existem muitas objeções para que se faça essa pressuposição existencial. Em primeiro lugar, embora preserve as relações tradicionais entre proposições categóricas, fá-lo à custa de uma redução do seu poder de formular asserções, visto que o pressuposto existencial impossibilitaria quaisquer das proposições categóricas de forma típica a negarem



AFRFB e AFT


a existência de membros das classes designadas pelos seus termos. Em segundo lugar, a pressuposição existencial não está em completo acordo com o uso ordinário [...]

Na base de objeções como essas, os lógicos modernos recusam-se a fazer essa pressuposição existencial genérica, ainda que sua decisão os force a renunciar a uma parte da lógica aristotélica tradicional. Em contraste com a interpretação tradicional ou aristotélica, o moderno tratamento das proposições categóricas de forma típica é chamado booleano, em homenagem ao matemático e lógico inglês George Boole, um dos fundadores da moderna lógica simbólica.”

Ao final, conclui:

“Se não for explicitamente afirmado que uma classe tem membros é um erro supor que tenha. Qualquer raciocínio que gire em torno desse erro estará cometendo a Falácia da Pressuposição Existencial, ou, mais sucintamente, a Falácia Existencial.”

Mais uma vez: na hora da prova, não brigue com a banca. Se ela quer que você cometa a “Falácia Existencial”, vai fundo! Deixe para reclamar na fase de recursos.


Cada quantificador tem um nome e uma símbolo. A Esaf não cobra isso, então sugiro que quem estiver focado na Esaf nem leia o que vou falar. De todo modo, trago abaixo algumas informações adicionais.

O quantificador universal é simbolizado por: ∀. Ele indica que todos os elementos do conjunto satisfazem a uma dada sentença aberta.

Considere a sentença aberta:

p(x): x é paranaense.

A sentença aberta é indicada por p(x). Estamos indicando que o seu valor lógico depende da variável, que está entre parêntesis.

Agora, vamos considerar o conjunto formado por todos os curitibanos. Vamos chamá-lo de conjunto “A”. Todos os elementos do conjunto dos curitibanos satisfazem a sentença acima. Ou seja, se substituirmos x por qualquer elemento do conjunto A, nós daremos origem a uma proposição verdadeira.

Podemos afirmar que:

Todo curitibano é paranaense.

Em símbolos:

∀� ∈ �: �(�)

Estamos dizendo que qualquer x pertencente a “A” satisfaz a sentença aberta. Ou seja, todos os curitibanos são paranaenses.



AFRFB e AFT


O quantificador existencial é simbolizado por: ∃. Ele indica que existe pelo menos um elemento do conjunto que satisfaz à sentença aberta.

Considere a seguinte sentença aberta:

��: x é um país do hemisfério sul

“x” é uma variável. Ele pode ser substituído por qualquer país.

Seja “B” o conjunto dos países da América. Neste conjunto, temos alguns elementos que satisfazem a sentença aberta (exemplo: Chile, Uruguai). E temos outros que não satisfazem (como o Canadá e o México). Podemos dizer que:

Algum país da América é um país do hemisfério sul.

Em símbolos:

∃� ∈ �: �(�)

Estamos afirmando que existe um elemento de B que satisfaz à sentença aberta.

Por fim, temos o quantificador de existência e unicidade (∃!). Considere a seguinte sentença aberta:

��: A seleção de futebol do país x é campeã mundial de futebol.

Seja “C” o conjunto dos países língua portuguesa (Brasil, Portugal, Angola etc).

Dos elementos do conjunto “C”, só um satisfaz a sentença aberta. Se x for substituído por Brasil, aí temos uma proposição verdadeira. Nesse caso, dizemos que:

Existe um único país de língua portuguesa cuja seleção é campeã mundial de futebol.

Em símbolos:

∃!� ∈ �: �(�)

Estamos afirmando que um único elemento de “C” satisfaz à sentença aberta.

3. OUTROS EXERCÍCIOS DE LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

Existem questões de lógica de argumentação de modelos bem diferentes do que vimos nesta aula, em que seguimos estritamente o “padrão Esaf”.

Para quem tiver curiosidade de ver algumas coisas um pouco diferentes, de outras bancas, trago exercícios adicionais abaixo. Mas lembrando: se seu foco é Esaf, nem precisa esquentar a cabeça com o que vem a seguir.

Exercícios

Questão 26 Prefeitura de Santos 2005 [FCC]

Convencida sinceramente de suas ideias, Lisa escreveu um texto; entretanto, os argumentos por ela apresentados, aparentemente exatos, eram enganosos, pois não tinham por base



AFRFB e AFT


uma demonstração segura e objetiva. Assim, a melhor palavra que caracteriza o texto escrito por Lisa é que ele não era mais que

a) falácia.

b) trapaça.

c) frivolidade.

d) hipocrisia.

d) enigma.

Resolução:

Um argumento inválido, que tem a aparência de válido, mas possui falhas sutis que fazem com que as premissas não suportem a conclusão, é chamado de falácia.

Gabarito: A

Questão 27 SAEB 2004 [FCC]

Leia o seguinte texto e em seguida assinale a alternativa que contenha afirmação que, se verdadeira, revela a falácia no argumento utilizado pela empresa.

“A Delegacia do Trabalho de Pindorama notificou a empresa X em face dos altos níveis de ruídos gerados por suas operações fabris, causadores de inúmeras queixas por parte de empregados da empresa. A gerência da empresa respondeu à notificação, observando que as reclamações haviam sido feitas por funcionários novos, e que funcionários mais experientes não acham excessivo o nível de ruído na fábrica. Baseada nesta constatação, a gerência concluiu que o ruído na fábrica não era problema real, não adotando nenhuma medida para a sua redução.”

a) Como a empresa é localizada em um parque industrial, residências não estão localizadas próximas o suficiente a ponto de serem afetadas pelo ruído.

b) O nível de ruído na fábrica varia com a intensidade de atividade, atingindo seu máximo quando o maior número de empregados estiver trabalhando simultaneamente.

c) Funcionários mais experientes não sentem desconforto devido à significativa perda auditiva resultante do excesso de ruído da fábrica.

d) A distribuição de protetores auriculares a todos os funcionários não aumentaria de maneira significativa os custos operacionais da empresa.

e) A Delegacia do Trabalho de Pindorama não possui suficiente autoridade a ponto de exigir o cumprimento de uma recomendação acerca de procedimentos de segurança no trabalho.

Resolução:

Premissa: Funcionários antigos não reclamam.

Conclusão: Não se trata de um problema real.



AFRFB e AFT


Se existir uma explicação para o problema realmente existir e, ainda sim, os funcionários antigos não reclamarem, então teríamos um caso de premissa verdadeira e conclusão falsa (argumento inválido). Estaria revelada a falácia do argumento da empresa.

Esta explicação é dada na alternativa C. Funcionários antigos já teriam perda auditiva, o que justificaria a falta de reclamação. Com isso, a premissa adotada pela empresa não garante que sua conclusão seja correta.

Gabarito: C

Questão 28 BACEN 2005 [FCC]

No Japão, muitas empresas dispõem de lugares para que seus funcionários se exercitem durante os intervalos de sua jornada de trabalho. No Brasil, poucas empresas têm esse tipo de programa. Estudos têm revelado que os trabalhadores japoneses são mais produtivos que os brasileiros. Logo, deve-se concluir que a produtividade dos empregados brasileiros será menor que a dos japoneses enquanto as empresas brasileiras não aderirem a programas que obrigem seus funcionários à prática de exercícios.

A conclusão dos argumentos é válida se assumirmos que:

a) a produtividade de todos os trabalhadores pode ser aumentada com exercícios

b) a prática de exercícios é um fator essencial na maior produtividade dos trabalhadores japoneses

c) as empresas brasileiras não dispõem de recursos para a construção de ginásios de esporte para seus funcionários

d) ainda que os programas de exercícios não aumentem a produtividade dos trabalhadores brasileiros, este programas melhorarão a saúde deles

e) os trabalhadores brasileiros têm uma jornada de trabalho maior que a dos japoneses.

Resolução:

Premissas:

1. No Japão há incentivo à prática de exercícios pelos funcionários.

2. No Brasil não há incentivo à prática de exercícios pelos funcionários.

3. A produtividade dos japoneses é maior que a dos brasileiros.

4. ????

Conclusão: Enquanto as empresas brasileiras não incentivarem a prática de exercícios, a produtividade dos empregados brasileiros será menor que a dos japoneses.

Temos que identificar a quarta premissa, que faz com que o argumento seja válido.

Todo o argumento é voltado à vinculação entre prática de exercícios e ganho de produtividade. Só que, apesar de isso ter ficado implícito, nenhuma premissa trata disso



AFRFB e AFT


explicitamente. Falta uma premissa que afirme que a prática de exercícios é preponderante para o aumento na produtividade.

Gabarito: B

Questão 29 TRT 21ª REGIÃO 2010 [CESPE]

O sustentáculo da democracia é que todos têm o direito de votar e de apresentar a sua candidatura. Mas, enganoso é o coração do homem. Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas. Por isso, todos precisam ser fiscalizados. E a alternância no poder é imprescindível. Considerando o argumento citado, julgue os itens subsequentes.

1. Esse é um argumento válido.

2. A sentença “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas” é uma premissa desse argumento.

3. A afirmação “E a alternância no poder é imprescindível” é uma premissa desse argumento.

Resolução:

Premissas:

1. O direito ao voto é sustentáculo da democracia e o direito de apresentar candidatura também é sustentáculo da democracia.

2. Maior tempo no poder causa falhas administrativas.

Conclusão:

Todos precisam ser fiscalizados e deve haver alternância no poder.

O argumento apenas traz questões comumente discutidas. Sabemos que líderes populistas que ficam muito tempo no poder geralmente se sobrepõem à própria lei e ao estado de direito, o que favorece o cometimento de diversas irregularidades administrativas e, em casos extremos, à própria queda da democracia. Por isso, realmente é importante que todos sejam fiscalizados, pois ninguém deveria estar acima da lei. Também é importante que haja alternância no poder.

Apesar de tudo que foi afirmado pelo argumento fazer parte do senso comum, do que entendemos por razoável, não houve preocupação em ligar premissas e conclusão. As premissas não foram postas de forma lógica, garantindo a validade da conclusão.

Sabemos que o argumento quis partir de fatores que, aparentemente, garantem a democracia. Depois abordou fatores que ameaçam a democracia. E, com isso, quis concluir sobre a importância da fiscalização e da alternância no poder.

Faltaram premissas que nos garantissem que:



AFRFB e AFT


- fiscalizações evitam falhas administrativas.

- falhas administrativas comprometem a democracia.

- a democracia deve ser mantida.

Apesar de estas informações estarem implícitas para muitos de nós, elas não foram trazidas para o argumento.

Com isso, o resultado é que o argumento se resume a diversas frases soltas, sem conexão.

Por isso, o argumento é inválido.

Vamos aos itens.

Primeiro item: como vimos, o argumento é inválido.

Gabarito: errado.

Segundo item:

De fato, a frase que se refere à ligação entre falhas administrativas e maior tempo no poder é uma premissa do argumento.

Gabarito: certo

Terceiro item:

A afirmação de que a alternância no poder é imprescindível é uma das parcelas da conclusão.

Gabarito: errado


Leia os argumentos abaixo e posteriormente assinale a alternativa correta.

I. “Todos os X são Y; todos os Y são Z; logo, todos os X são Z.”

II. “Na escola A, 5/6 dos professores são doutores; X leciona em A; logo, X é doutor.”

a) Ambos são argumentos dedutivos.

b) O primeiro é um exemplo canônico de um argumento indutivo. O segundo é um típico argumento dedutivo.

c) O segundo argumento apenas estaria correto com a redação seguinte: “Na escola A, 5/6 dos professores são doutores; X leciona em A; logo X não é doutor.”

d) O primeiro argumento não é válido. Seria válido, no entanto, enunciar: “Todos os X são Y; todos os Y são Z; logo, todos os Y são X.”

e) O primeiro é um exemplo canônico de um argumento classificado como válido pela lógica dedutiva. O segundo é um argumento que não é classificado como válido pela lógica dedutiva, denominado indutivo.



AFRFB e AFT


Resolução:

Tudo que vimos até aqui foram os chamados argumentos dedutivos. Nele, procura-se encadear premissas de forma de tal modo que elas suportem, logicamente, a conclusão. Neste contexto, em um argumento válido, o fato das premissas serem verdadeiras implica que a conclusão, necessariamente, também seja verdadeira.

Acontece que existem argumentos que não pretendem ser dedutivos. Eles não têm o objetivo acima descrito. Tais argumentos pretendem apenas chegar a conclusões prováveis, ou seja, que provavelmente são corretas. Tais argumentos não são classificados em válidos ou inválidos. São os chamados argumentos indutivos.

O grande exemplo de argumento indutivo é aquele obtido com o emprego da analogia. Ela, de fato, é muito utilizada no nosso dia a dia, nas mais diversas situações. Exemplo de argumento com analogia:

Já comprei diversos tênis da marca Alfa, todos eles apresentaram excelente qualidade, serviram-me muito bem. Estou precisando comprar meias novas. Embora não conheça meias de nenhuma marca disponível na loja, vou optar pelas meias da marca Alfa, pois espero que sejam de tão boa qualidade quanto seus tênis.

Notem que as premissas eram: existem tênis da marca Alfa; existem meias da marca Alfa; os tênis da marca Alfa são ótimos. E a conclusão foi: as meias da marca Alfa devem ser ótimas. Observem que a conclusão não decorre logicamente da premissa. É apenas uma conclusão provável, algo que tem uma boa chance de ser verdadeiro.

É muito raro isso ser cobrado em prova. Esta foi a única questão que encontrei a respeito.

No primeiro argumento, as premissas suportam logicamente a conclusão. É um argumento dedutivo e válido.

No segundo argumento, a pretensão é apenas chegar a uma conclusão provável. Como a grande maioria dos professores é doutores e, sabendo que X é professor, é bem provável que ele seja um doutor. Trata-se de um argumento indutivo.

Gabarito: E



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4. RESUMÃO

Tipo de questão Lembretes

Verdade/mentira Lançar uma hipótese inicial (“chute”). Em seguida, analisar todas as informações do enunciado.

Verificar se há contradição. Se houver, precisa alterar o chute.

Associação de informações Montar tabela abarcando todas as possibilidades. Ler informações do enunciado. Preencher

tabela.

Análise de argumentos Lembretes

Uma das premissas é uma proposição

simples.

Uma das premissas é uma proposição

composta pela conjunção.

Técnica 1:

Usar a proposição simples como ponto de partida para tirar conclusões imediatas. Usar as

conclusões assim obtidas para analisar as demais premissas.

Não há premissas com proposições

simples ou compostas pelo conectivo “e”.

Técnica 2:

Usar tabela simplificada, que abrange só as proposições simples.

Eliminar as linhas que tornam falsas as premissas.

Ideal quando as premissas envolverem, no máximo, três proposições simples (para que a tabela

não fique grande).

Técnica 3: lançar uma hipótese inicial (chute) para criar um ponto de partida. A partir disso,

analisar as demais premissas.

Observação: pode induzir a erros, caso haja mais de uma linha da tabela verdade com todas as

premissas verdadeiras.

Conclusão com um único caso de falso.

Exemplo:

- proposições simples;

- condicional

- disjunção

Técnica 4:

- faça com que a conclusão seja falsa.

- tente fazer com que as premissas sejam verdadeiras.

- se conseguir: argumento inválido.

- se não conseguir: argumento válido

Conclusão é um condicional Técnica 5:

- considere o antecedente do condicional como uma premissa extra.

- isto deve fazer com que tenhamos uma premissa simples de ser analisada, permitindo a



AFRFB e AFT


utilização da técnica 1.

Argumentos envolvendo quantificadores

(todo, algum, nenhum)

Usar diagramas.

“Todo” e “nenhum” nos dão certeza quanto à inexistência de elementos em certas regiões.

“Algum” nos dá certeza sobre a existência de elementos em certa região.

Observação: atentar para a possibilidade de a banca cometer a falácia existencial.



AFRFB e AFT


5. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA

Questão 1 Serpro 2001 [ESAF]

Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.

b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.

c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.

d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.

e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.


Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.

b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.

d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.

e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.


Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim,

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.


Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que

a) Ana não é artista e Carlos não é compositor.

b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.

c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma.



AFRFB e AFT


d) Ana não é artista e Mauro gosta de música.

e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.

Questão 5 ANA 2009 [ESAF]

Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:

a) choveu em A e choveu em B.

b) não choveu em C.

c) choveu em A ou choveu em B.

d) choveu em C.

e) choveu em A.

Questão 6 STN 2008 [ESAF]

Ao resolver um problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ≠ e. Assim, Ana corretamente conclui que:

a) x ≠ a ou x ≠ e

b) x = a ou x = p

c) x = a e x = p

d) x = a e x ≠ p

e) x ≠ a e x ≠ p


Suponha que um pesquisador verificou que um determinado defensivo agrícola em uma lavoura A produz o seguinte resultado: “Se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”, enquanto que o mesmo defensivo em uma lavoura distinta B produz outro resultado: “Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”. Sendo assim, se as plantas de uma lavoura A e de uma lavoura B não ficaram doentes, pode-se concluir apenas que:

a) o defensivo foi utilizado em A e em B.

b) o defensivo foi utilizado em A .

c) o defensivo foi utilizado em B.

d) o defensivo não foi utilizado em A e foi utilizado em B.

e) o defensivo não foi utilizado nem em A nem em B.


Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,



AFRFB e AFT


a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.

e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.














e) não durmo, não estou furioso e bebo


Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Questão 12 AFRFB 2009 [ESAF]





AFRFB e AFT




Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que:

a) =α β =δ = 3e

b) =α β = 3e , mas δ = 3 e

c) 3 e=α , mas β =δ = 3e

d) =α β =δ = 3 e

e) =α δ = 3 e , mas β = 3e

Questão 13 ENAP 2006 [ESAF]

Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente:

a) bruxa e fada

b) bruxa e princesa

c) fada e bruxa

d) princesa e fada

e) fada e princesa

Questão 14 Enap 2006 [ESAF]

Ana possui tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira; 2) ou a gremista é morena, ou a corintiana é ruiva; 3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva; 4) ou a corintiana é morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, são, respectivamente,

a) loira, ruiva, morena.

b) ruiva, morena, loira.

c) ruiva, loira, morena.

d) loira, morena, ruiva.

e) morena, loira, ruiva.


Três meninos, Pedro, Iago e Arnaldo, estão fazendo um curso de informática. A professora sabe que os meninos que estudam são aprovados e os que não estudam não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então Iago estuda; se Pedro não estuda, então Iago ou



AFRFB e AFT


Arnaldo estudam; se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda; se Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:

a) Pedro, Iago e Arnaldo são aprovados.

b) Pedro, Iago e Arnaldo não são aprovados.

c) Pedro é aprovado, mas Iago e Arnaldo são reprovados.

d) Pedro e Iago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado.

e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Iago é reprovado.

Questão 16 TCE AC 2008 [CESPE]












Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:






Questão 18 PREVIC 2010 [CESPE]

A proposição �� ∨ �� → (� ∧ �) é uma tautologia.

Questão 19 Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

Um exemplo de tautologia é:



AFRFB e AFT


a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo


Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é matemático”, pode-se concluir apenas que:

a) algum filósofo é poeta.

b) algum poeta é filósofo.

c) nenhum poeta é filósofo.

d) nenhum filósofo é poeta.

e) algum filósofo não é poeta.


Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.


Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.



AFRFB e AFT



A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é:

a) De dia, todos os gatos são pardos.

b) De dia, nenhum gato é pardo.

c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.

d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.

e) À noite, nenhum gato é pardo.


Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa:

a) todos os administradores são pós-graduados.

b) alguns administradores são pós-graduados.

c) há mecânicos não pós-graduados.

d) todos os trabalhadores são pós-graduados.



Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que:

a) todos não-artistas são não-atletas

b) nenhum atleta é não-artista

c) nenhum artista é não-atleta

d) pelo menos um não-atleta é artista

e) nenhum não-atleta é artista

Questão 26 Prefeitura de Santos 2005 [FCC]

Convencida sinceramente de suas ideias, Lisa escreveu um texto; entretanto, os argumentos por ela apresentados, aparentemente exatos, eram enganosos, pois não tinham por base uma demonstração segura e objetiva. Assim, a melhor palavra que caracteriza o texto escrito por Lisa é que ele não era mais que

a) falácia.

b) trapaça.

c) frivolidade.

d) hipocrisia.

d) enigma.



AFRFB e AFT



Leia o seguinte texto e em seguida assinale a alternativa que contenha afirmação que, se verdadeira, revela a falácia no argumento utilizado pela empresa.

“A Delegacia do Trabalho de Pindorama notificou a empresa X em face dos altos níveis de ruídos gerados por suas operações fabris, causadores de inúmeras queixas por parte de empregados da empresa. A gerência da empresa respondeu à notificação, observando que as reclamações haviam sido feitas por funcionários novos, e que funcionários mais experientes não acham excessivo o nível de ruído na fábrica. Baseada nesta constatação, a gerência concluiu que o ruído na fábrica não era problema real, não adotando nenhuma medida para a sua redução.”

a) Como a empresa é localizada em um parque industrial, residências não estão localizadas próximas o suficiente a ponto de serem afetadas pelo ruído.

b) O nível de ruído na fábrica varia com a intensidade de atividade, atingindo seu máximo quando o maior número de empregados estiver trabalhando simultaneamente.

c) Funcionários mais experientes não sentem desconforto devido à significativa perda auditiva resultante do excesso de ruído da fábrica.

d) A distribuição de protetores auriculares a todos os funcionários não aumentaria de maneira significativa os custos operacionais da empresa.

e) A Delegacia do Trabalho de Pindorama não possui suficiente autoridade a ponto de exigir o cumprimento de uma recomendação acerca de procedimentos de segurança no trabalho.

Questão 28 BACEN 2005 [FCC]

No Japão, muitas empresas dispõem de lugares para que seus funcionários se exercitem durante os intervalos de sua jornada de trabalho. No Brasil, poucas empresas têm esse tipo de programa. Estudos têm revelado que os trabalhadores japoneses são mais produtivos que os brasileiros. Logo, deve-se concluir que a produtividade dos empregados brasileiros será menor que a dos japoneses enquanto as empresas brasileiras não aderirem a programas que obrigem seus funcionários à prática de exercícios.

A conclusão dos argumentos é válida se assumirmos que:

a) a produtividade de todos os trabalhadores pode ser aumentada com exercícios

b) a prática de exercícios é um fator essencial na maior produtividade dos trabalhadores japoneses

c) as empresas brasileiras não dispõem de recursos para a construção de ginásios de esporte para seus funcionários

d) ainda que os programas de exercícios não aumentem a produtividade dos trabalhadores brasileiros, este programas melhorarão a saúde deles

e) os trabalhadores brasileiros têm uma jornada de trabalho maior que a dos japoneses.

Questão 29 TRT 21ª REGIÃO 2010 [CESPE]

O sustentáculo da democracia é que todos têm o direito de votar e de apresentar a sua candidatura. Mas, enganoso é o coração do homem. Falhas administrativas e maior tempo



AFRFB e AFT


no poder andam de mãos dadas. Por isso, todos precisam ser fiscalizados. E a alternância no poder é imprescindível. Considerando o argumento citado, julgue os itens subsequentes.

1. Esse é um argumento válido.

2. A sentença “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas” é uma premissa desse argumento.

3. A afirmação “E a alternância no poder é imprescindível” é uma premissa desse argumento.


Leia os argumentos abaixo e posteriormente assinale a alternativa correta.

I. “Todos os X são Y; todos os Y são Z; logo, todos os X são Z.”

II. “Na escola A, 5/6 dos professores são doutores; X leciona em A; logo, X é doutor.”

a) Ambos são argumentos dedutivos.

b) O primeiro é um exemplo canônico de um argumento indutivo. O segundo é um típico argumento dedutivo.

c) O segundo argumento apenas estaria correto com a redação seguinte: “Na escola A, 5/6 dos professores são doutores; X leciona em A; logo X não é doutor.”

d) O primeiro argumento não é válido. Seria válido, no entanto, enunciar: “Todos os X são Y; todos os Y são Z; logo, todos os Y são X.”

e) O primeiro é um exemplo canônico de um argumento classificado como válido pela lógica dedutiva. O segundo é um argumento que não é classificado como válido pela lógica dedutiva, denominado indutivo.

6. GABARITO

1 a

2 e

3 c

4 b

5 b

6 c

7 c

8 c

9 a

10 d

11 c

12 d

13 a

14 a

15 a

16 b

17 e

18 errado

19 a

20 e

21 b

22 e

23 d

24 b

25 d

26 a

27 c

28 b

29 errado certo errado

30 e

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Aula 01 - Lógica - Parte 2