Aula 01 - Parte 02 Física

8/20/2019 Aula 01 - Parte 02 Física

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FÍSICA PARA PRFPROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.r 1

Aula 1 – Pa rte 2Movimento Uniforme (MU) ............................................................................................................ 2

Equação Horária do MRU ................................................................................................................ 2

Gráficos do Movimento Uniforme ................................................................................................... 3

Movimento Uniformemente ariado (MU) .................................................................................. !

Equaç"es #orárias no MU ............................................................................................................. $

e%ocidade m&dia no MU ........................................................................................................... 1'

Equação de orrice%%i ..................................................................................................................... 11

Gráficos do MU........................................................................................................................... 1

Movimento ertica% no ácuo ....................................................................................................... 2'

*ançamento vertica% +ara cima ...................................................................................................... 21

,ro+riedades do %ançamento vertica% +ara cima ............................................................................. 22

-inemática etoria% ....................................................................................................................... 2

e%ocidade etoria% M&dia ............................................................................................................ 2/

0ce%eração etoria% M&dia ............................................................................................................ 2

0ce%eração etoria% nstantnea .................................................................................................... 2

-om+osição de movimentos .......................................................................................................... 2!

,rinc4+io de Ga%i%eu ou ,rinc4+io da nde+end5ncia dos Movimentos ...................................... 2$

*ançamento Hori6onta% .................................................................................................................. 31

*ançamento 7%4quo ...................................................................................................................... 33

,ro+riedades do %ançamento o7%4quo no vácuo.............................................................................. 38

Unidade de medida de n9u%os .......................................................................................................... 3

Radiano .......................................................................................................................................... 3

Movimento -urvi%4neo ................................................................................................................... 8'

Movimento -ircu%ar Uniforme (M-U) .......................................................................................... 81

ransmissão de Movimento -ircu%ar Uniforme ............................................................................ 83

Re%ação das quest"es de concurso comentadas .............................................................................. 8

Ga7aritos ........................................................................................................................................ '


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Mo!"m#nto Un"$orm# %MU&

Um movimento é uniforme quando o valor da velocidade instantânea éconstante e diferente de zero, e se a direção da velocidade permanecer

constante, o movimento será retilíneo.

Em movimento retilíneo uniforme, as distâncias percorridas

∆ são

proporcionais aos intervalos de tempo ∆ gastos em percorrêlas. !ssim, paraiguais intervalos de tempo, teremos iguais variaç"es de espaço.

E'u()*o Hor+r"( do MRU

! função #ou equação$ %orária é uma sentença matema&tica que descreve omovimento realizado por um corpo, com o passar do tempo. 'or meio dela,podemos, por e(emplo, calcular quanto tempo demora uma viagem de carro,qual a distância percorrida por uma nave espacial com determinada

velocidade, etc.

) importante lem*rar que no estudo da +inemática não %á preocupação eme(plicar a causa do movimento, ou sea, como ele pode ser produzido oumodificado. ! +inemática se restringe aenas a descrever o movimento nosentido estritamente geométrico.

! equação %orária de um movimento mostra como o espaço varia com otempo- / f#t$

endo

s o espaço inicial correspondente ao instante inicial

= 0, e sendo

o

espaço em um instante , temos- ∆ = − 0 = e ∆ = − s.+omo ∆ = ∙ ∆, então-

− s = ∙ = s + v ∙ t

0o movimento uniforme, como a velocidade escalar é +102!02E, concluímosque a aceleração escalar é igual a 3.

!ssim, um movimento pode ser classificado como uniforme através dequalquer uma das seguintes características-

t = 0 s 1 s 2 s

posição = 0 m 10 m 20 m

velocidade = 10 m/s 10 m/s 10 m/s


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i$ a velocidade escalar instantânea é constante.ii$ a aceleração escalar instantânea é nula.iii$ 1 espaço o*edece a uma equação %orária do tipo = s v ∙ t

Gr+$"cos do Mo!"m#nto Un"$orm#0o movimento uniforme, a equação %orária do espaço, s v ∙ t , é umafunção afim #polinomial do 45 grau$ em t. 1 n6mero s corresponde aocoeficiente linear da função afim #é onde o gráfico corta o ei(o 7$.

0o movimento progressivo #v 8 3$, o espaço cresce com o tempo.0o movimento retr9grado #v : 3$, o espaço decresce com o tempo.

endo a velocidade escalar constante, isto é, a mesma em qualquer instante,concluímos que o gráfico da velocidade em função do tempo é uma retaparalela ao ei(o do tempo.

! área so* o gráfico da velocidade representa, numericamente, odeslocamento escalar do m9vel.

Área deslocamento ( ∆S)

: '

s s

; '

A


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E,#mp-o . Considere que a equação horária do espaço de um móvel seja 30 − 5, para s e t em unidades SI.

a$ ;etermine o espaço inicial e a velocidade escalar do movimento.

*$ +lassifique o movimento em progressivo ou retr9grado.c$ d$ Em que instante o m9vel passa pela origem dos espaços>

R#so-u)*o


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1 ℎ → ! " !#

'ara determinar a posição, *astar su*stituir t / 4 %ora na equação %orária de! ou na equação %orária de B #tanto fazDD$.

20 80 ∙ 1 100 $

E,#mp-o 0. ! figura seguinte representa as posiç"es de dois m9veis ! e B noinstante t / 3. 1s m9veis ! e B possuem movimentos uniformes cuas velocidadesescalares têm valores a*solutos 3 mFs e =G mFs, respectivamente. ;epois de quantotempo ! alcança B>

33m

Hamos resolver esta questão de duas maneiras.

R#so-u)*o I

Hamos determinar as equaç"es %orárias dos espaço de ! e de B. 'ara issodevemos escol%er uma origem para os espaços e orientar a traet9ria.

Hamos assumir, então, como origem dos espaços a posição inicial de ! eorientar a traet9ria de ! para B.

!ssim, o espaço inicial de ! é igual a 3, sua velocidade constante é igual a I3 mFs. !ssim, a equação %orária de ! é 0 30.

1 espaço inicial de B é igual a 33 m e sua velocidade constante é igual a I =GmFs. ua equação %orária é 300 25.

0o momento do encontro, temos que .

0 30 300 25

5 300

60

R#so-u)*o II

'odemos resolver esse e(ercícios por ?velocidade relativaA. 1s m9veis ! e B

camin%am no mesmo sentido e possuem velocidades escalares de valoresa*solutos 3 mFs e =G mFs em relação a determinado referencial.


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) fácil perce*er que o m9vel ! possui, em relação ao m9vel B, uma velocidadeescalar de valor a*soluto G mFs #/3 J =G$. ) como se o m9vel B estivesseparado e o m9vel ! tivesse que andar os 33 m com velocidade de G mFs.

0este caso-

%&' ∆%&'

∆

5 300

∆

∆ 300

5 60

Keneralizando, podemos dizer que, 'u(ndo do"s m1!#"s A # 2 c(m"n3(mno m#smo s#nt"do4 ( !#-oc"d(d# #sc(-(r d# A #m r#-()*o 2 %ou d# 2 #mr#-()*o ( A& t#m !(-or (so-uto "5u(- 6 d"$#r#n)( #ntr# os !(-or#s(so-utos d# su(s !#-oc"d(d#s #sc(-(r#s.

E,#mp-o 7. ! figura representa as posiç"es de dois m9veis ! e B no instante t/ 3. 1s m9veis ! e B possuem movimentos uniformes cuas velocidades escalarestêm valores a*solutos iguais a =3 mFs e G mFs, respectivamente. ;epois de quantotempos ! e B vão se encontrar>

33m

!nalogamente L questão anterior, vamos resolver de duas maneiras- utilizandoas equaç"es %orárias e utilizando a velocidade relativa.

R#so-u)*o I

!dotando a posição inicial de ! como a origem dos espaços e orientando atraet9ria de ! para B, temos-

i$ 1 espaço inicial de ! é igual a 3 e sua velocidade é constante e igual a I =3mFs.

ii$ 1 espaço inicial de B é igual a 33 m e sua velocidade é constante e igual aJ G mFs #a velocidade é negativa, pois o corpo está se movimentando nosentido contrário ao da traet9ria$.

Equação %orária de !- 0 20 Equação %orária de B- 300 − 5


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0o momento do encontro, temos .

0 20 300 − 5

25 300 12

R#so-u)*o II

Mesolvendo agora por ?velocidade relativaA. 1s m9veis ! e B camin%am emsentidos opostos e possuem velocidades escalares de valores a*solutos =3 mFse G mFs, em relação a determinado referencial. 1 m9vel ! possui, em relaçãoao m9vel B, uma velocidade escalar de valor a*soluto =G mFs #/=3IG$. 2udose passa como se o m9vel B estivesse parado e o m9vel ! tivesse que andar os33 metros a =G mFs.

%&' ∆%&'

∆

25 300

∆

∆ 300

25 12

Keneralizando, podemos dizer que, 'u(ndo do"s m1!#"s A # 2 c(m"n3(m#m s#nt"dos opostos4 ( !#-oc"d(d# #sc(-(r d# A #m r#-()*o 2 %ou d# 2#m r#-()*o ( A& t#m !(-or (so-uto "5u(- 6 som( dos !(-or#s (so-utosd# su(s !#-oc"d(d#s #sc(-(r#s.

34. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um menino, em frente a uma parede, emiteum som e ouve o eco 847 s depois. ;etermine a distância entre o menino e aparede.!$ 4O m

B$ P m+$ G4 m;$ NQ mE$ QG m

R#so-u)*o

0o início desta prova foram fornecidos alguns valores que poderiam serutilizados.


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Hamos considerar que a distância entre o menino e a parede sea de ( metros.!ssim, a distância percorrida pelo som foi =( metros #do menino até a paredee da parede até o menino$.

Essa distância foi percorrida em 3,P s.

"

3(0

2)

0*(

2) 3(0 ∙ 0*(

) 68 !

L#tr( 9

Mo!"m#nto Un"$orm#m#nt# V(r"(do %MUV&

Himos que quando a velocidade escalar é constante o movimento é c%amadode uniforme. ua aceleração escalar é igual a 3.

E(istem outros movimentos com aceleraç"es diferentes de zero. Estudaremos,em particular, o movimento uniformemente variado, ou sea, aquele cuaaceleração é constante e nãonula.

Hocê á pensou o que acontece com a velocidade de um avião quando eledecola de pista em um aeroporto>


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! força das tur*inas vai acelerar o avião de forma que a sua velocidadeaumentará a cada segundo, atingindo uma velocidade de 433 mFs numa pistade =333 m.

1 movimento do avião apresenta traet9ria retilínea e aceleração

constanteR este tipo de movimento é denominado Mo!"m#ntoUn"$orm#m#nt# V(r"(do.

0o Sovimento Uniformemente Hariado a aceleração é constante emqualquer instante ou intervalo de tempo, tal que-

Este movimento tam*ém é (c#-#r(do porque o valor a*soluto davelocidade do avião (um#nt( no decorrer do tempo.

Hamos analisar agora o que acontece quando uma moto está sendofreada.

- Moto freando em movimento uniformemente variado.

ua velocidade inicial pode diminuir de G mFs em cada segundo. @sto significaque em 4 s a sua velocidade passa de =3,3 mFs para 4G,3 mFsR decorrido mais4 s a velocidade diminui para 43,3 mFs e assim sucessivamente até parar#figura acima$.

0este caso o movimento é uniformemente variado e é r#t(rd(do4 porque ovalor a*soluto da velocidade d"m"nu" no decorrer do tempo #=3,3 mFs, 4G,3mFs, 43,3 mFs, G,3 mFs, 3,3 mFs$.

! aceleração é constante e igual a G mFs=

#o sinal negativo indica que avelocidade #positiva$ está diminuindo$.

E'u()#s 3or+r"(s no MUV

Equação %orária da velocidade #velocidade em função do tempo$

endo v a velocidade escalar inicial, correspondente a t / 3, e sendo v avelocidade escalar em um instante t e ( a aceleração escalar #constante$,temos-


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Essa equação mostra que a função %orária da velocidade no movimentouniformemente variado é do 45 grau.

Heamos alguns e(emplos-

Equação #@$ 3 ( mFs P mFsT 6 − 2 N mFs = mFsT

−5 − 3 G mFs mFsT −( 3 mFs P mFsT 2 3 mFs = mFsT

Equação orária do Espaço #posição em função do tempo$

+onsidere que um m9vel inicie um movimento no instante t/3. +onsidereainda que a sua posição inicial sea , sua velocidade inicial sea e que suaaceleração sea constante e igual a . 'ois *em, a posição em função dotempo é dada por-

∙ +

2

Heamos alguns e(emplos-

Equação ∙ ,-+

. #@$ #m$ #mFs$ #mFsT$

5 − 3 2+ G P ( 3+ 3 P N 5 − 6+ G 3 4=

+ 3 3 = 2 ( 1*5+ = P

V#-oc"d(d# m;d"( no MUV

Em um movimento uniformemente variado, a velocidade escalar média #$para um dado intervalo de tempo #t4, t=$ é igual L média aritmética entre asrespectivas velocidades escalares instantâneas v4 e v=.E isso é muito importante para resolver vários e(ercícios deste assunto. @stoporque sa*emos deste a primeira parte desta aula que ∆ ∙ ∆.

!ssim, no SUH, temos a seguinte relação-

∆ .

2 ∙ ∆

@sto significa que para calcular o espaço percorrido entre os instantes #t4, t=$*asta calcular a média das velocidades e multiplicar pelo tempo.


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!migos, isto é muito importanteDDD

Mepita- p(r( c(-cu-(r o #sp()o p#rcorr"do4 c(-cu-(mos ( m;d"( d(s

!#-oc"d(d#s # mu-t"p-"c(mos p#-o t#mpoDDE'u()*o d# #!$ =33#B$ 33#+$ G33#;$ O33

#E$ 4.333R#so-u)*o

Himos na primeira parte desta aula que para transformar de WmF% para mFsdevemos dividir por ,N.

!ssim, a velocidade inicial foi de N3F,N / 433 mFs.

1 carro freou completamente em 43 s. 1u sea, em 43 s a sua velocidade foiigual a 3.

Himos que p(r( c(-cu-(r o #sp()o p#rcorr"do4 c(-cu-(mos ( m;d"( d(s

!#-oc"d(d#s # mu-t"p-"c(mos p#-o t#mpo.'ortanto-


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∆ .

2 ∙ ∆

∆ 0 100

2

∙ 10

∆ 500 Suito fácil, não>

'oderíamos ter resolvido utilizando a equação de 2orricelli.

+ . 2 ∙ ∆

a*emos-

a velocidade final 0 a velocidade inicial 100

'recisamos calcular a aceleração.

∆

∆

− 10

0 − 100

10 −10/+

!gora é s9 su*stituir na f9rmulaD

0+ 100+ 2 ∙ −10 ∙ ∆

0 104000 − 20 ∙ ∆

20 ∙ ∆ 104000

∆ 500

L#tr( C

3. #!nalista 'edag9gico J Xísica J E@F' =33QF+E'EUnB$ ! velocidade de

um o*eto em queda livre aumenta continuamente enquanto cai de pequenasalturas com relação ao solo. egundo Kalileu, a aceleração é igual para todosos o*etos e tem intensidade apro(imada de V,Q mFsT , desconsiderada aresistência do ar. +om *ase nessas afirmativas, assinale a opçãocorrespondente ao valor da velocidade de um o*eto, em mFs, ap9s Gsegundos de queda livre.

a$ GV*$ PVc$ V

d$ =Ve$ 4V


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R#so-u)*o

!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s

R#so-u)*o

Hamos montar as equaç"es %orárias de ! e de B.

1 corpo ! mantém velocidade constante #seu movimento é retilíneo euniforme$ igual a 43 mFs.


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+onsiderando que a posição inicial dos dois corpos sea s 0, a equação%orária de ! é dada por-

0 10

10

Heamos o m9vel B. eu gráfico da velocidade em função do tempo é regidopor uma função afim. !ssim, seu movimento é retilíneo e uniformementevariado.

ua velocidade inicial é igual a 3 #v

0$.

ua aceleração é dada por-

∆

∆

10 − 0

2 5 /+

!ssim, a equação %orária de B é dada por-

∙ +

2

0 0 5+

2

5+

2

0o momento que o carro B alcançar o carro !, suas posiç"es serão iguais-

5+

2 10

5+ 20

+ (

+ − ( 0

0 (


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0o t/3 os carros á estavam na mesma posição #início do movimento$. 1 carroB alcança o carro ! em P segundos.

L#tr( 9

3G. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ ! posição de um m9vel em movimentoretilíneo é dada pela função %orária , = 7 > /8t ? /t/, onde , está em metrose t em segundos. 'odemos afirmar que a velocidade do corpo é igual L zero,no instante-!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s

R#so-u)*o

Hamos comparar a função %orária dada com a lei de formação

∙ ,-+

..

(* v 20 7 −(.

'odemos então escrever a equação da velocidade em função do tempo-

20 − (


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d$ 4G=,G me$ 3G,3 m

R#so-u)*o

Hamos calcular as distâncias percorridas pelos autom9veis durante a freada.

1 primeiro carro tin%a uma velocidade inicial de 43QF,N / 3 mFs. uavelocidade final é igual a 3. ! aceleração tem m9dulo igual a GmFsT. +omo%ouve uma desaceleração, então a / G mFsT.

'or 2orricelli, temos-

= . + 2 ∙ ∆

0 = 30 + 2 ∙ −5 ∙ ∆ 0 = 00 − 10∆ ∆ = 0 !

1u sea, o primeiro carro percorreu V3 metros até parar.

1 segundo carro tin%a uma velocidade inicial de V3F,N / =G mFs. uavelocidade final é igual a 3. ! aceleração tem m9dulo igual a GmFsT. +omo

%ouve uma desaceleração, então a / G mFsT.

'or 2orricelli, temos-

= . + 2 ∙ ∆ 0 = 25 + 2 ∙ −5 ∙ ∆

0 = 625 − 10∆

∆ = 62*5 ! 1 segundo carro percorreu N=,G metros até parar.

'ara que não %ouvesse colisão, a distância mínima entre os carros deveria serde V3 I N=,G / 4G=,G metros.

L#tr( 9


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Gr+$"cos do MUV

- Gráfico Aceleração x Tempo

0o movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração é constanteR ográfico é uma reta paralela ao ei(o dos tempos.

! área representa a variação da velocidade no intervalo de tempocorrespondente.

- Gráfico Velocidade x Tempo

! equação da velocidade do MRUV é uma função afim. 'ortanto, ográfico é uma reta e a declividade da reta é numericamente igual L aceleraçãoescalar.

0o gráfico, a área é numericamente igual ao deslocamento.

- Gráfico Espaço x Tempo

! equação %orária do espaço de um movimento uniformemente variado é

= + ∙ + ,-. .

'or ser uma função quadrática #polinomial do segundo grau$, seu gráfico seráum arco de pará*ola.

1 gráfico pode ter concavidade voltada para cima ou para *ai(o conforme aaceleração sea positiva ou negativa, respectivamente.


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0o instante em que t / 3, o m9vel tem espaço inicial s / s3. Este ponto ficarepresentado so*re o ei(o das ordenadas.

1 vértice da pará*ola corresponde ao espaço mínimo #se a83$ ou espaçomá(imo #se a:3$. ) nesse instante em que o corpo muda o sentido domovimento e sua velocidade é nula.

3O. #Especialista em Seio !m*iente J XZsica J 'ref. de ão 'aulo =33QFX++$Uma pedra é atirada verticalmente para cima da superfície de um planeta deum sistema solar distante. 1 planeta não tem atmosfera. 1 gráfico representaa altura s da pedra acima de seu ponto de partida, em função do tempo t,

adotandose t / 3 o instante em que a pedra é atirada.

: 0

; 0


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1 m9dulo da aceleração de queda livre pr9(imo L superfície do planeta é, emmFsT,#!$ G,3#B$ 43

#+$ 4G#;$ =3#E$ =G

R#so-u)*o

1 gráfico é uma pará*ola, concluímos que a função %orária do espaço é do =5grau. 2ratase, portanto, de um movimento uniformemente variado #SUH$.

!ssim,

= + ∙ + 2 0ote que quanto t / 3, s/3.

'ortanto, o espaço inicial é igual a 3, ou sea, = 0.0ossa equação fica-

= ∙ + 2

0o instante t / = s, correspondente L a*scissa do vértice da pará*ola, avelocidade é igual a 3 e a posição é igual a 3 m.

!ssim, o corpo percorreu 3 metros em = segundos. ua velocidade média nosdois primeiros segundos foi igual a 4G mFs.

! velocidade média no SUH é a média das velocidades. 'ortanto-

15 = + 0

2

= 30 / Hamos agora calcular a aceleração.

1 corpo começou o movimento com 3 mFs e em dois segundos suavelocidade foi igual a 3.

= ∆∆ = 30

2 = 15 /

L#tr( C


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Mo!"m#nto V#rt"c(- no V+cuo

1s antigos gregos acreditavam que quanto maior fosse a massa de um corpo,menos tempo ele gastaria na queda #muito gente ainda pensa assim, não é>

Mss$.1 físico italiano Kalileu Kalilei #4GNP4NP=$ realizou uma céle*re e(periência#por volta de 4GV3$, no início do século [H@@, que desmentiu a crença dosgregos. +ontase que pediu a dois assistentes que su*issem no topo da torrede 'isa e de lá a*andonassem, cada um, um corpo de massa diferente dooutro.

'ara surpresa geral dos presentes, os dois corpos c%egaram ao solo no mesmoinstante. ) e(atamente isso- ao contrário do que a maioria das pessoasimagina, a massa de um corpo não influi no seu tempo de queda #sedesprezarmos a resistência do ar$.

Um caso particular para o lançamento vertical, desprezando a resistência doar, ocorre quando a partícula é li*erada do repouso #vo / 3$, estando a umacerta altura em relação ao solo, c%amase 'u#d( -"!r#.

+onsidere uma pedra lançada verticalmente #para cima ou para *ai(o$ oua*andonada de uma certa posição, nas pro(imidades da superfície da 2erra.;esprezando a resistência do ar que se op"e ao movimento, podemos admitirque a aceleração da pedra é constante, com direção vertical e s#nt"do d#c"m( p(r( (",oR esta aceleração é denominada de aceleração da gravidade.0a realidade, a aceleração da gravidade varia com a altitude e com a latitude,porém, se a altura no movimento for relativamente pequena, podeseconsiderar a aceleração da gravidade como sendo constante.

0o nível do mar e L latitude de PG5, a aceleração gravitacional tem m9dulo deapro(imadamente V,Q mFs=. Em muitos casos utilizaremos 43 mFsT.

! aceleração escalar pode ser Ig ou g, conforme a traet9ria sea orientadapara *ai(o ou para cima, respectivamente.

0este movimento, a traet9ria é uma reta vertical e a aceleração é constante,então ele o*edece Ls equaç"es do MRUV e vamos apenas trocar ( por 5 e Spor 3.

1rientemos sua traet9ria para *ai(o, com origem no ponto de lançamento. 1corpo pode ter sido lançado verticalmente para *ai(o com velocidade escalarinicial v3 ou, então, ter sido a*andonado em repouso #v3 / 3$.

! partir das equaç"es %orárias de um SUH, deduzimos as equaç"es.

= + 9 ! = + 92


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L(n)(m#nto !#rt"c(- p(r( c"m(

Yançandose verticalmente para cima um corpo, num local onde se possadesprezar a resistência do ar, ou mesmo no vaco, e pr9(imo da superfície

terrestre, verificase que-i$ ;urante a su*ida o movimento é retardado. !o atingir a altura má(ima a suavelocidade se anula.

!p9s atingir o pico da traet9ria, o corpo inicia seu movimento de descida emqueda livre. eu movimento é acelerado.

0este caso #do lançamento vertical para cima$, n9s orientamos a traet9ria

para cima e adotamos o solo como origem dos espaços.

+om essa orientação, a velocidade escalar inicial será positiva #v3 8 3$.

;urante a su*ida, a velocidade escalar será positiva. endo o movimentoretardado, concluímos que a aceleração escalar é negativa, pois para que omovimento sea retardado, a aceleração e a velocidade devem ter sinaisopostos.

0a descida do corpo, a velocidade escalar muda de sinal, tornandose

negativa. +omo o movimento é acelerado, então a aceleração e a velocidadedevem ter o mesmo sinal. !ssim, a aceleração continua negativa.

'or outro lado, nos movimentos verticais livres, a aceleração do corpo temm9dulo igual ao da gravidade #g$.

!ssim, com a traet9ria orientada para cima, tanto na su*ida quanto nadescida, a aceleração escalar é negativa e vale = −9.+%amando o espaço de % e fazendose as devidas su*stituiç"es, temos-

= − 9


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ℎ = ℎ + − 92

! equação de 2orricelli tam*ém pode ser usada-

= . − 29 ∙ ∆ℎ 1*serve ainda que no pico da traet9ria, temos-

i$ = −9ii$ v / 3iii$ ! altura do m9vel tornase má(ima. @ndicaremos esta altura por .

Propr"#d(d#s do -(n)(m#nto !#rt"c(- p(r( c"m(

i$ 'or um ponto p de altura % : #ou sea, menor que a altura má(ima$, om9vel passa duas vezes- uma su*indo e outra descendo. As du(s!#-oc"d(d#s s*o "5u("s #m m1du-o.

ii$ 1 tempo decorrido na su*ida é igual ao tempo decorrido na descida.

iii$ 1 tempo de su*ida é igual a /9.

iv$ ! altura má(ima é dada por < = >?.@.

E,#mp-o @. 'r9(imo da superfície terrestre e no vácuo, lançamos verticalmentepara cima um corpo com velocidade escalar de m9dulo 3 mFs. ! aceleração dagravidade é constante e se tem g / 43 mFsT. +onsiderando que o corpo ten%a sidolançado do solo, determine-

a$ o tempo de su*ida.*$ ! altura má(ima

Hamos resolver esta questão de duas maneiras-

R#so-u)*o I

1rientemos a traet9ria para cima e tomemos como origem dos espaços o solo.!s equaç"es %orárias são-

= − 9 ℎ = ℎ + − 92

endo ℎ = 0* = 30 ! 9 = 10 #@$, vem-

= 30 − 10 A ℎ = 30 − 5 A


23/50



a$ 0o pico da traet9ria a velocidade se anula.30 − 10 = 0

= 3 !9"

*$ 'ara se o*ter a altura má(ima, su*stituímos o tempo por segundos naequação do espaço.

< = 30 ∙ 3 − 5 ∙ 3 = (5 ! 'odíamos tam*ém ter utilizado a equação de 2orricelli.

= . − 29 ∙ ∆ℎ 0 = 30 − 2 ∙ 10 ∙ ?.@.

!ssim,

a$ 1 tempo de su*ida é 30/10 = 3 !9".

*$ ! altura má(ima é B?

.C = (5 !.

E,#mp-o . Yançase, a partir do solo, verticalmente para cima, uma partícula

com velocidade escalar = (0 /. ! aceleração da gravidade é constante e temm9dulo g / 43 mFsT. ;esprezase a resistência do ar. Mesponda-

a$ 2omando como origem dos espaços o solo, como origem dos tempos oinstante do lançamento e orientando a traet9ria para cima, determine a alturada partícula em função do tempo e a velocidade escalar em função do tempo.

*$ ;etermine o intervalo de tempo de su*ida, de descida e o intervalo detempo total do movimento.

c$ ;etermine a altura má(ima.

d$ ;etermine a velocidade escalar de retorno ao solo.


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R#so-u)*o

a$ 1rientemos a traet9ria para cima e tomemos como origem dos espaços osolo. !s equaç"es %orárias são-

= − 9 ℎ = ℎ + − 92

endo ℎ = 0* = (0 ! 9 = 10 #@$, vem- = (0 − 10 A ℎ = (0 − 5 A

*$ 0o pico da traet9ria a velocidade se anula.

(0 − 10 = 0

= ( !9" 'odíamos ter usado a f9rmula /9 = (0/10 = ( segundos.+omo o tempo de descida é igual ao tempo de su*ida, então o tempo dedescida tam*ém é igual a P s.

1 tempo total do movimento é igual a P I P / Q segundos.

c$ 'ara se o*ter a altura má(ima, su*stituímos o tempo por P segundos na

equação do espaço.

< = (0 ∙ ( − 5 ∙ ( = 80 ! 'oderíamos ter usado a seguinte f9rmula-

< = .

29 = (02 ∙ 10 = 80 !

d$ ;etermine a velocidade escalar de retorno ao solo.

Himos que por um ponto p de altura % : #ou sea, menor que a alturamá(ima$, o m9vel passa duas vezes- uma su*indo e outra descendo. As du(s!#-oc"d(d#s s*o "5u("s #m m1du-o.

!ssim, a velocidade escalar de retorno ao solo é a mesma velocidade inicial dolançamento, ou sea, P3 mFs.


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C"n#m+t"c( V#tor"(-

Um ponto material #qualquer corpo ou o*eto que ten%a suas dimens"esdesprezíveis em comparação com as distâncias envolvidas$ deslocase numa

traet9ria #camin%o percorrido$ a partir da posição de repouso com respeito aum referencial adotado. +onsiderando o ponto 1 como origem, estudaremos ocomportamento das grandezas vetoriais e escalares que estão envolvidas como movimento do corpo material.

Um m9vel que se encontra no ponto '4 so*re a traet9ria no instante de tempot 4, tem o seu vetor posição 1r

r

e dado um tempo t =, o m9vel encontrase noponto '= so*re a traet9ria, tendo assim um vetor posição 2r

r

.

1 vetor deslocamento ∆D é definido como sendo a diferença dos vetoresposiç"es, ou sea- o deslocamento vetorial desse m9vel entre os pontos '4 e '=

é o*tido unindos os pontos '4 e '= por intermédio de um vetor, orientado de'4 para '=.

E,#mp-o B. 'ara ir da cidade ! L cidade B, um autom9vel percorre otraeto em azul indicado na figura em 4 %ora. ! quilometragem o*servadapelo motorista no velocímetro do autom9vel, no fim desse percurso, é de Q3Wm. Yigando a cidade ! L cidade B por um vetor, verificamos, através de umaescala, que a medida desse vetor corresponde a G3 Wm.

1 vetor "D representado na figura, que une a posição inicial L posição final dom9vel, é denominado vetor deslocamento.

Em 4 %ora o autom9vel percorre, ao longo da traet9ria curvilínea , Q3 Wm erealiza um deslocamento de ! para B de G3 Wm.

0ão se devem confundir as duas grandezas distintas que se relacionam comomovimento desse autom9vel.

0

<

"D


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Hea-

! grandeza escalar corresponde ao comprimento da traet9ria ou variação daposição. 0o caso, ∆ = 80$.! grandeza vetorial tem orientação e m9dulo ligados apenas aos pontos iniciale final. 0o caso, de ! para B, com m9dulo G3 Wm.

1*serve que o m9dulo do vetor deslocamento é sempre menor ou igual aom9dulo da variação de posição.

E"DE F G∆G

! igualdade ocorre se a traet9ria for retilínea.

V#-oc"d(d# V#tor"(- M;d"(

!té agora n9s estudamos a velocidade média como grandeza escalar. 2ratasedo quociente entre a variação da posição e o correspondente intervalo detempo.

= ∆

∆

! partir de agora, a velocidade média será tratada como grandeza vetorial edefinida da seguinte forma- o quociente entre o vetor deslocamento e ocorrespondente intervalo de tempo.

HHHHHD = "D

∆

+omo ∆ : 0, então o vetor HHHHHD terá a mesma direção e sentido do vetordeslocamento.

0o caso anterior, do autom9vel que realizou a viagem entre as cidades ! e B,temos-

= ∆∆ = 80$

1ℎ = 80$/ℎ

GHHHHHDG = E"DE

∆ = 50$

1 ℎ = 50$/ℎ


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Ac#-#r()*o V#tor"(- M;d"(

1 vetor aceleração médiam

ar

é dado pela relação-HHHHHD = ∆HHHHHD∆-.

1 vetor aceleração média tem a mesma direção e sentido de ∆HHHHD.Ac#-#r()*o V#tor"(- Inst(ntn#(

) a aceleração de um m9vel em um determinado instante.

0o caso de uma traet9ria curvilínea, o vetor D está sempre voltado paradentro da curva. 'ara entender mel%or o significado da aceleração vetorialinstantânea D, ela é decomposta em duas componentes perpendiculares- aaceleração tangencial

-HHHD e a aceleração centrípeta

IJHHHHHHD.

1 vetor D é o resultante dos vetores -HHHD e IJHHHHHHD.

Yogo,

D = -HHHD + IJHHHHHHD !K!!

. = -. + IJ. ! L"K − M!! "! NO9

A (c#-#r()*o t(n5#nc"(- ; r#spons+!#- p#-( !(r"()*o do m1du-o do!#tor !#-oc"d(d# # s1 #,"st# #m mo!"m#ntos (c#-#r(dos ou r#t(rd(dos.

C(r(ct#rDst"c(s d( (c#-#r()*o t(n5#nc"(-i$ m9dulo igual ao da aceleração escalarii$ direção- tangente L da traet9riaiii$ sentido- igual ao do vetor velocidade, se o movimento for aceleradoR opostoao do vetor velocidade, se o movimento for retardado.

A (c#-#r()*o c#ntrDp#t( ; r#spons+!#- som#nt# p#-( mud(n)( d(d"r#)*o do m1!#-4 po"s #-# $( !(r"(r o !#tor !#-oc"d(d# #m d"r#)*o.Lo5o4 #,"st# #m mo!"m#ntos d# tr(#t1r"(s cur!(s.


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C(r(ct#rDst"c(s d( (c#-#r()*o c#ntrDp#t(

i$ S9dulo igual a /P em que M é o raio de curvatura da traet9ria #se atraet9ria for circular, será o raio do círculo$.

ii$ ;ireção- perpendicular ao vetor velocidade em cada ponto.iii$ entido- para o centro da curvatura da traet9ria.

! aceleração centrípeta tam*ém é c%amada de aceleração normal.

Compos")*o d# mo!"m#ntos

) muito comum o*servar pessoas apressadas em %oppings ou em aeroportos.Basta ol%ar para as escadas rolantes. !s pessoas mais apressadas não ficamparadas na escada, mas camin%am por seus degraus e assim conseguem maisvelocidade sem grande esforço físico.

! e(plicação para esse fato é que o movimento da pessoa está sendoadicionado ao movimento da escada.

) assim tam*ém que se e(plica o que acontece quando as crianças se p"em acamin%ar na escada rolante, mas no sentido oposto ao seu deslocamento.

Estamos tratando, portanto, de situaç"es com movimentos compostos. 1sdeslocamentos o*servados são compostos pelo movimento das pessoas naescada rolante mais o movimento da pr9pria escada.

2ratando a velocidade vetorialmente, o vetor velocidade resultante QHHHHD, quedescreve o movimento da pessoa para um o*servador parado no solo, é oresultado da soma vetorial das duas velocidades- a da pessoa, em relação Lescada parada, e a de deslocamento da pr9pria escada rolante.

e a velocidade da pessoa é de = mFs, e a velocidade da escada é de 4mFs,então a velocidade resultante será de mFs #pois as velocidades estão namesma direção e sentido$.

\á para a criança que se desloca no sentido contrário ao do movimento daescada rolante, imaginando não %aver o*stáculo algum, ela vai conseguirc%egar ao início da escada dependendo apenas do m9dulo de sua velocidade.e a escada tiver velocidade 4 mFs, a criança consegue c%egar se a suavelocidade for maior que 4 mFs. e a sua velocidade for igual a 4mFs, elaficará parada em relação ao solo. +aso contrário, ou sea, se a velocidade dacriança for menor que 4 mFs, parecerá ao o*servador e(terno que a criançaestá sendo arrastada para cima lentamente.


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O Pr"ncDp"o d# G(-"-#u ou Pr"ncDp"o d( Ind#p#ndnc"( dos Mo!"m#ntos

+onsidere uma *alsa descendo o rio e um %omem parado so*re ela, no ponto!. +%amemos o movimento da *alsa #e nesse caso do %omem$ ao ser

arrastada pela correnteza, em relação L 2erra, de movimento de arrastamentoe a velocidade vetorial correspondente de velocidade de arrastamento ,%%HHHHHHHH #noe(emplo anterior, seria a velocidade da escada rolante$.

e, num determinado instante, o %omem camin%a do ponto ! para o ponto B,o movimento do %omem, em relação L *alsa, é denominado movimentorelativo L *alsa, e a correspondente velocidade vetorial é denominadavelocidade relativa %&'HHHHHHH #no e(emplo anterior, seria a velocidade da pessoacamin%ando na escada$.

1 princípio da independência dos movimentos diz que a correnteza nãointerfere no tempo de deslocamento da pessoa so*re a angada, que éarrastada pela correnteza. ;a mesma maneira, afirmase que o deslocamentoda pessoa não interfere no arrastamento da angada pela correnteza.

G(-"-#u #studou o mo!"m#nto r#su-t(nt# d( compos")*o d# outrosmo!"m#ntos # p#rc##u 'u# 'u(ndo um corpo s# #ncontr( so ( ()*os"mu-tn#( d# !+r"os mo!"m#ntos4 c(d( um d#-#s s# proc#ss( como s#os d#m("s n*o #,"st"ss#m.

3Q. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um *arco navegando em lin%a reta contra acorrenteza de um rio percorreu uma distância de 8 m em /8 m"n. 0aviagem de volta o tempo gasto foi de apenas @ m"n. a*endo que avelocidade pr9pria do *arco #em relação ao rio$ foi constante e a mesma nosdois sentidos, determine a velocidade da correnteza.!$ WmF%B$ P WmF%+$ G WmF%;$ N WmF%E$ O WmF%

R#so-u)*o

Hamos considerar que o m9dulo da velocidade do rio sea de % mFs e que om9dulo da velocidade do *arco sea de mFs.


30/50




31/50



G%HHHDG = 6 + 8 G%HHHDG = 10 /

*$ 1 movimento da correnteza não interfere no intervalo de tempo datravessia #princípio de Kalileu$. 'odemos fazer o cálculo como se o rioestivesse parado.

∆ = 2(

8 / = 3 !9"

c$ !o sair de uma margem em direção L outra margem, a lanc%a é arrastadalateralmente. 1 deslocamento rio a*ai(o pode ser calculado, então, usandosea velocidade da água em relação Ls margens #com o tempo total de travessia/ segundos$.

" = 6 C 3 = 18 !

d$ 'ara um o*servador fi(o na margem, a traet9ria do *arco é está na mesmadireção da velocidade resultante.

1 deslocamento vai ser igual a 10 C 3 = 30 !.

'oderíamos ter calculado essa distância utilizando o teorema de 'itágoras.

L(n)(m#nto Hor"ont(-

+onsidere um corpo lançado %orizontalmente de determinada altura, comvelocidade inicial HHHHD. ;esprezando a resistência do ar, ele descreve umatraet9ria para*9lica, resultante da composição de dois movimentossimultâneos e independentes- um movimento uniforme na %orizontal e umaqueda livre na vertical.

! figura a*ai(o mostra duas esferas que foram postas em movimento

simultaneamente. Uma é a*andonada em queda livre e a outra foi lançada%orizontalmente. !s lin%as são fios paralelos eq]idistantes. 1*serve a posiçãode cada esfera com o passar do tempo.


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0o lançamento %orizontal no vácuo, o tempo de queda independe damassa e da velocidade %orizontal de lançamento.

3V. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um corpo é atirado do alto de um edifício de

8 m de altura, com velocidade V8 / @48 mJ s , paralela ao solo. +alcule om9dulo da velocidade do corpo no instante em que ele atinge o solo. ;esprezea resistência do ar durante o movimento do corpo.

!$ 4G mFsB$ =3 mFs+$ =G mFs;$ 3 mFsE$ G mFs

R#so-u)*o

1 lançamento %orizontal é composto por um movimento uniforme na%orizontal e uma queda livre na vertical.

+omo a velocidade %orizontal inicial é de G,3 mFs, esta será a velocidade%orizontal que acompan%ará o corpo ao longo de todo o percurso #movimentouniforme na %orizontal$.

Hamos calcular a velocidade na vertical.

@nicialmente a velocidade vertical é igual a 3.

! distância percorrida foi de 43 metros na vertical.

! aceleração é a da gravidade #dada na prova e igual a 43mFsT$.

Hamos calcular a velocidade final com a equação de 2orricelli.

= . + 2 ∙ ∆

= 0 + 2 ∙ 10 ∙ 10

= 200

= 10T 2 /


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2emos a seguinte composição de movimentos no instante em que o corpo tocao solo-

1 m9dulo da resultante é calculado através do 2eorema de 'itágoras.

%. = 5 + 10T 2

%. = 225

% = 15 /

L#tr( A

L(n)(m#nto O-D'uo

1s lançamentos o*líquos são situaç"es que podem ser estudadas pelo princípio

da independência dos movimentos de Kalileu.Uma partícula é lançada com velocidade inicial v 3, segundo um ângulo U

em relação ao ei(o %orizontal #lançamento o*líquo$, estando so* a ação daaceleração da gravidade, agindo verticalmente para *ai(o, impondo umatraet9ria para*9lica, resultante da composição de dois movimentos.

endo a velocidade uma grandeza vetorial, podese decompCla segundo osei(os ( e 7, com o intuito de estudarmos os movimentos separadamente. +omrespeito a vertical, temse o movimento uniformemente variado e movimentouniforme segundo o ei(o %orizontal, visto que a aceleração da gravidade sendovertical, não tem componente nesta direção. Em termos das componentes davelocidade inicial, perce*ese que-


34/50



V = ∙ WXs

Y = ∙ ! Z

0a %orizontal, segundo o ei(o (, o movimento é uniformeR desse modo,podemos escrever-

= + [

) = 0 + V ∙

) = V ∙

0a vertical, segundo o ei(o 7, o movimento é uniformemente variado.

1rientando o ei(o para cima, podemos escrever-Y = Y − 9

\ = \ + Y − 9

2

! equação de 2orricelli tam*ém pode ser usada-

Y. = Y

. − 29 ∙ ∆\

Propr"#d(d#s do -(n)(m#nto o-D'uo no !+cuo

0o lançamento o*líquo de um proétil no vácuo-• ! 6nica força que age so*re o mesmo é a força pesoR• ! 6nica aceleração é a da gravidadeR• 1 movimento para*9lico é composto por dois movimentos

independentesR• 0a direção vertical, a proeção do movimento é um SMUH com

aceleração igual L da gravidadeR• 0a direção %orizontal, a proeção do movimento é um SMUR• 0o ponto de altura má(ima, a componente vertical da velocidade é nula,

mas o vetor velocidade não. 0este ponto, a velocidade é mínima e o seu valoré igual ao m9dulo da componente %orizontalR

• ^ngulos complementares produzem o mesmo alcance, desde que Ho seaa mesmaR


35/50



• 1 intervalo de tempo na su*ida é igual ao intervalo de tempo na descidaaté o nível do lançamento.

• 1 alcance é má(imo quando o ângulo de lançamento é igual a PG5 e

dado por-O[ =

.

9

E,#mp-o K. 0o instante t / 3, uma partícula é lançada de um ponto 1 do solo#plano e %orizontal$ com velocidade HHHHD formando um anglo ] com a %orizontal. ãodados 9 = 10 /, GHHHHDG = 100/. a*ese ainda que !] = 0*6 e #] = 0*8.;esprezando os efeitos do ar e adotando um sistema de coordenadas com origem 1,como mostra a figura, pedemse-

a$ as equaç"es %orárias da a*scissa ( e da ordenada 7 da partícula.*$ a equação %orária da componente vertical da velocidade.c$ as coordenadas da partícula no instante t / ,3s #supondo que nesse

instante a partícula ainda não ten%a atingido o solo.d$ o m9dulo da velocidade no instante t / ,3 s.

R#so-u)*o

HHHHD nas direç"es %orizontal ea$ 1 primeiro passo é decompor a velocidade inicial 0vertical.

V = ∙ WXs = 100 ∙ 0*8 = 80 /

Y = ∙ ! Z = 100 ∙ 0*6 = 60 /

0a direção %orizontal temos um movimento uniforme de espaço inicial nulo.

! equação é dada por ) = V ∙ → ) = 80 A

0a direção vertical temos um movimento uniformemente variado #SUH$ deespaço inicial 73 nulo, e aceleração escalar a / g / 43 mFsT #poisorientamos o ei(o 7 para cima$.

\ = \ + Y − 92


36/50



\ = 0 + 60 − 10

2

\ = 60 − 5 A

Estas equaç"es, o*viamente, s9 valem até o instante em que a partícula toca osolo.

*$ 0a vertical temos um SUH de velocidade escalar inicial Y = 60 / eaceleração a / g / 43mFsT. !ssim,

Y = Y − 9

Y = 60 − 10 A

c$ a*emos que) = 80

\ = 60 − 5

'ortanto, para t / ,3s, temos-

) = 80 ∙ 3 = 2(0

\ = 60 ∙ 3 − 5 ∙ 3 = 135

d$ Hamos calcular a velocidade na vertical no instante t / ,3s.

Y = 60 − 10

Y = 60 − 10 ∙ 3 = 30 /

+omo a velocidade 7 é positiva, concluímos que o corpo ainda está su*indo.

! velocidade na %orizontal é constante e igual a Q3 mFs.

'elo 2eorema de 'itágoras, temos-

%. = 30 + 80

%. = S4300

% = S3T 10 /


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Unidade de medida de ângulos

Ao dividir um ângulo raso em 180 partes iguais, obtemos ângulos de 1º (um grau).

Portanto, o ângulo de 1º é o ângulo que corresponde a 1180 do ângulo raso.

R(d"(no

!" outra medida de ângulos que é muito utili#ada e $a# parte do %& (%istema &nternacionalde 'nidades). ngulos medidos em radianos so $requentemente apresentados semqualquer unidade e*pl+cita. uando, porém, uma unidade é apresentada, normalmente seutili#a a sigla rad. - o que signi$ica 1 radiano

&magine uma circun$er/ncia com o raio igual a 1 metro.

arque um ponto qualquer na circun$er/ncia. &magine agora que esta circun$er/ncia éuma minipista de 2ooper. 3oc/ decide andar sobre a circun$er/ncia e*atamente ocomprimento de 1 metro.

Pois bem, o ângulo $ormado pelos dois raios trace4ados é de e*atamente 1 radiano.5a verdade, no é necess"rio que o raio se4a de 1 metro. 6 que precisa acontecer é oseguinte7

i) race uma circun$er/ncia com um raio qualquer. 9igamos que o raio se4a igual a :.ii) arque um ponto inicial na circun$er/ncia. Ao ;andar< sobre a circun$er/ncia um

comprimento igual ao raio da circun$er/ncia, estar" de$inido um arco de 1 radiano.

- a volta completa representa quantos radianos

Para responder esta pergunta, basta e$etuar uma regra de tr/s.

1 metro

1 metro


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%e quando o comprimento andado na circun$er/ncia é igual a :, o arco medido é de 1radiano, quantos radianos =" na volta completa (lembrese que o comprimento total dacircun$er/ncia é igual a 2^P).

2omprimento ;andado< nacircun$er/ncia

:adianos

P 1 2^P )

> ?bvio que aumentando o comprimento andando na circun$er/ncia, aumentar" o ângulo.Portanto, as grande#as so diretamente proporcionais.

1)

= P2^P

1

)

= 1

2^

) = 2^ "

9esta $orma, a volta completa (@0º) corresponde a 2^ ".

6bviamente, 180º é a metade de @0º, portanto 180º correspondem a ^ ".

endo em vista essas consideraBCes, podemos estabelecer a seguinte correspond/nciapara converso de unidades7

180_ ` ^ " E,#mp-o . -*prima D10º em radianos.

Resolução

Easta ;montar< uma regra de tr/s. -m casos como este de mudanBa de unidades, a regrade tr/s é sempre direta, de $orma que podemos aplicar a propriedade $undamental dasproporBCes7 o produto dos meios é igual ao produto dos e*tremos.

180_ ` ^ "

210_ ` )

180_ ∙ ) = 210_ ∙ ^

) = 210_ ∙ ^

180_ =

210^

180 =

21^

18

) = S^

6 " E,#mp-o /. -*prima .aB " em graus.


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Resolução

180_ ` ^ " ) ` 2^3 "

^ ∙ ) = 180_ ∙ 23̂

^ ∙ ) = 120_^ ) = 120_

emori#ando alguns valores b"sicos, podemos rapidamente dedu#ir outros. Por e*emplo,vamos trans$ormar @0º em radianos.

180_ ` ^ " 30_ ` ) 180_ ∙ ) = 30_ ∙ ^

) = 30_ ∙ ^180_ = 30^180 =

^6

) = ^6 "

6ra, se @0º é o mesmo que ^/6 rad, portanto para calcular 0º em radianos bastamultiplicar ^/6 rad por D (4" que 0º é o dobro de @0º).

60_ ` 2 ∙ ^6 = ^3 "

F0º é o triplo de @0º, portanto para calcular F0º em radianos basta multiplicar ^/6 rad por@ (4" que F0º é o triplo de @0º).

0_ ` 3 ∙ ^6 = ^2 "

GHº é a metade de F0º, ento para calcular GHº em radianos basta dividir ^/2 rad por D.

(5_ `^22 =

^( "

1D0º é o dobro de 0º, portanto para calcular 1D0º em radianos basta multiplicar ^/3 porD.

120_ ` 2 ∙ ^3 = 2^

3 "

DI0º é o triplo de F0º, portanto para calcular DI0º em radianos basta multiplicar ^/2 por @.


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2S0_ ` 3 ∙ ^2 = 3^

2 "

- desta $orma, podemos criar a seguinte tabela de valores not"veis.

Jraus :adianos @0º ^6 " GHº ^( " 0º ^3 " F0º ^2 " 1D0º 2^

3 " 180º ^ " DI0º 3^

2 " @0º 2^ "

Mo!"m#nto Cur!"-Dn#o

0o movimento curvilíneo plano, o corpo descreve uma traet9ria curva

qualquer, desde que a referida curva pertença a um plano.

1 movimento pode ser uniforme, uniformemente variado ou qualquer. endo atraet9ria do m9vel uma curva qualquer, a velocidade vai variarconstantemente em direção, em função do tempo, uma vez que o vetorvelocidade é sempre tangente L curva no ponto onde se encontra o m9vel.

'or outro lado, se o movimento for curvilíneo e uniforme, a intensidade davelocidade é constante enquanto que no curvilíneo variado, além da direção,varia tam*ém a intensidade da velocidade do m9vel.

Ac#-#r()*o C#ntrDp#t( %(c&

Mesponsável pela variação da direção da velocidade.


41/50



Ac#-#r()*o


42/50



b = 1M M = 1 b

Velocidades no MCU

+onsidere um movimento circular uniforme de raio R . 0um intervalo detempo t, o m9vel se desloca do ponto '4 até o ponto '=, percorrendo o arco cd,ao mesmo tempo que descreve o ângulo ce.

;efinimos duas velocidades-

V#-oc"d(d#


43/50



0o caso de uma volta completa, o ângulo descrito corresponde a 08 ou /πππ r(d e o tempo para completar uma volta é o período


44/50



Em am*as as situaç"es, as velocidades tangenciais dos pontos periféricosdas duas roldanas são iguais, em cada instante. +onsiderando os pontos A e2, temos-

=

1s raios das roldanas e, portanto, dos movimentos descritos pelos pontos A e2 são R A e R 2, respectivamente. endo A e 2 as correspondentesvelocidades angulares, podemos escrever-

'ortanto, as velocidades angulares das roldanas são inversamenteproporcionais aos respectivos raios. E(emplo- e um raio é a metade do outro,sua velocidade angular será o do*ro.

'odemos escrever tam*ém-

b, ∙ P = b ∙ P

43. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ 1s ponteiros dos minutos e das %oras de umrel9gio têm comprimentos iguais a Lm"n = /48 cm e L3or( = 4@ cm,respectivamente. ;etermine a razão Vm"n J V3or( entre as velocidades daspontas destes ponteiros.!$ 4=

B$ 4P+$ 4N;$ 4QE$ =3

R#so-u)*o

Hamos calcular cada uma das velocidades de per si e depois calcular a razãopedida.

Heamos o ponteiro dos minutos. Ele dá uma volta completa em 4 %ora#período$. ua velocidade linear é dada por-

gh = 2^P

M =

2^ ∙ 2 #

1 ℎ = (^ #/ℎ

1 ponteiro das %oras dá uma volta completa em 4= %oras #período$. uavelocidade linear é dada por-

ij%, = 2^P

M

= 2^ ∙ 1*5 #

12 ℎ

= 0*25^ #/ℎ

! razão pedida é igual a-

ωωωA R A = ωωωB R B


45/50



ghij%,

= (^

0*25^ = 16

L#tr( C

E,#mp-o 0. Um m9vel e(ecuta um movimento circular uniforme de raio P3 cm,com frequência 4G rpm #rotaç"es por minuto$. ;etermine-

a$ 1 período em segundos.*$ ! velocidade angular em radianos por segundo.c$ ! velocidade linear em metros por segundo.d$ 1 m9dulo da aceleração centrípeta.

R#so-u)*o

a$ ! frequência em ertz #rotaç"es por segundo$, é-

b = 15 = 15 60 = 0*25


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a$ a frequência #em ertz$.*$ o período #em segundos$.c$ a velocidade angular #em radianos por segundo$.d$ a velocidade linear #em metros por segundo$ de um ponto da periferia.

R#so-u)*o

a$ ;ados- b = 60 no P = 10# = 0*10 o P = (*0 # = 0*0( +omo a velocidade linear é a mesma para qualquer ponto das duasengrenagens, temos-

b, ∙ P = b ∙ P 60 ∙ 0*10 = b ∙ 0*0(

b = 150 n Em ertz-

b = 150 = 150

60 = 2*5


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R#-()*o d(s 'u#st#s d# concurso com#nt(d(s

34. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um menino, em frente a uma parede, emiteum som e ouve o eco 847 s depois. ;etermine a distância entre o menino e a

parede.!$ 4O mB$ P m+$ G4 m;$ NQ mE$ QG m

3=. #SE+ =33VF+EKM!0M@1$ 0um recente teste realizado com umdeterminado modelo de autom9vel, atingiuse a velocidade de N3 WmF%.Herificouse que, nessa velocidade, o carro freia completamente em 43 s. !

partir do instante em que o motorista pisa no freio, qual a distância, em m,percorrida pelo carro até parar>#!$ =33#B$ 33#+$ G33#;$ O33#E$ 4.333

3. #!nalista 'edag9gico J Xísica J E@F' =33QF+E'EUnB$ ! velocidade deum o*eto em queda livre aumenta continuamente enquanto cai de pequenasalturas com relação ao solo. egundo Kalileu, a aceleração é igual para todosos o*etos e tem intensidade apro(imada de V,Q mFsT , desconsiderada aresistência do ar. +om *ase nessas afirmativas, assinale a opçãocorrespondente ao valor da velocidade de um o*eto, em mFs, ap9s Gsegundos de queda livre.

a$ GV*$ PVc$ Vd$ =Ve$ 4V


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3P. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ 1 gráfico a*ai(o mostra as velocidades de doiscarros, A e 2, que trafegam no mesmo sentido ao longo de uma via plana ereta. 0o instante t = 8 os carros estão alin%ados num mesmo semáforo. !p9squanto tempo o carro 2 alcançará o carro A>

!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s

3G. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ ! posição de um m9vel em movimentoretilíneo é dada pela função %orária , = 7 > /8t ? /t/, onde , está em metrose t em segundos. 'odemos afirmar que a velocidade do corpo é igual L zero,

no instante-!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s

3N. #;ocente @ J Xísica J @XF!Y =343 J +1'ES!$ Um autom9vel deslocasenuma estrada na tentativa de ultrapassagem de um camin%ão, utilizando, paratanto, uma velocidade de 43Q WmF%, quando, repentinamente, o*serva outro

carro se deslocando em sentido contrário na mesma estrada, com umavelocidade de V3 WmF%. @mediatamente, am*os os motoristas pisam ao mesmotempo no freio, reduzindo as suas respectivas velocidades com uma aceleraçãode m9dulo G mFsT. 'ara evitar uma colisão, qual deve ser a mínima distânciaentre os carros, a partir do início da freada>a$ =O,G m*$ N=,G mc$ V3,3 md$ 4G=,G me$ 3G,3 m


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3O. #Especialista em Seio !m*iente J XZsica J 'ref. de ão 'aulo =33QFX++$Uma pedra é atirada verticalmente para cima da superfície de um planeta deum sistema solar distante. 1 planeta não tem atmosfera. 1 gráfico representaa altura s da pedra acima de seu ponto de partida, em função do tempo t,

adotandose t / 3 o instante em que a pedra é atirada.

1 m9dulo da aceleração de queda livre pr9(imo L superfície do planeta é, emmFsT,#!$ G,3#B$ 43#+$ 4G#;$ =3#E$ =G

3Q. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um *arco navegando em lin%a reta contra acorrenteza de um rio percorreu uma distância de 8 m em /8 m"n. 0aviagem de volta o tempo gasto foi de apenas @ m"n. a*endo que avelocidade pr9pria do *arco #em relação ao rio$ foi constante e a mesma nosdois sentidos, determine a velocidade da correnteza.!$ WmF%B$ P WmF%+$ G WmF%;$ N WmF%

E$ O WmF%


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3V. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um corpo é atirado do alto de um edifício de8 m de altura, com velocidade V8 / @48 mJ s , paralela ao solo. +alcule om9dulo da velocidade do corpo no instante em que ele atinge o solo. ;esprezea resistência do ar durante o movimento do corpo.

!$ 4G mFsB$ =3 mFs+$ =G mFs;$ 3 mFsE$ G mFs

43. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ 1s ponteiros dos minutos e das %oras de umrel9gio têm comprimentos iguais a Lm"n = /48 cm e L3or( = 4@ cm,respectivamente. ;etermine a razão Vm"n J V3or( entre as velocidades daspontas destes ponteiros.!$ 4=B$ 4P+$ 4N;$ 4QE$ =3

G((r"tos

34. ;3=. +3. B

3P. ;3G. E3N. ;3O. +3Q. +3V. !43. +

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Aula 01 - Parte 02 Física