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Confiabilidade de Sistemas Reparáveis - Modelagem
Markoviana
Silvio A. B. Vieira de [email protected]
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Componente reparável
É aquele que após falhar é colocado novamente em operação através de qualquer procedimento que não seja a completa substituição do mesmo,
ou seja, é passível de reparo ou manutenção
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Avaliação da Confiabilidade de Sistemas
Sistemas não-reparáveis• Diagrama de Blocos• Árvores de falhas
Sistemas reparáveis• Análise de Markov
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Análise de Markov
É uma técnica de modelagem e análise dinâmica da confiabilidade e
disponibilidade de sistemas reparáveis, que considera a
probabilidade do sistema estar em um dos diversos estados possíveis
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Características da Análise de Markov
Lida com as probabilidades de ocorrência de eventos futuros a partir da análise das probabilidades conhecidas atualmente
A probabilidade de transição do sistema de um estado para outro não depende do histórico do sistema
Um sistema que segue Markov não possui memória
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Quais os estados do sistema?
Operacional
Falho
Degradado
Standby
Em manutenção
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Análise de Markov
Expressa a transição de um estado para outro como uma taxa instantânea
Quando essa transição corresponde à passagem de um estado operacional para um estado de falha, tem-se a taxa de falha
Quando essa transição corresponde à passagem de um estado falho para um estado operacional, tem-se a taxa de reparo
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Análise de Markov
Para um processo estacionário:
As probabilidades de transição não variam com o tempo
As taxas de transição são constantes
Os tempos de falha e os tempos de reparo dos componentes são exponenciais
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Modelagem Markoviana
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Objetivos da Modelagem Markoviana
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Quando usar os Modelos de Markov?
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Quais as restrições da Análise de Markov?
A probabilidade de mudar de um estado para outro deve ser constante (processo homogêneo). O método só pode ser usado para taxas de falha e reparo constantes
Os estados futuros são independentes dos estados passados. Isso implica que, após o reparo, o sistema retorna à condição de bom como novo (“as good as new”)
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Exemplo: 2 componentes em paralelo
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Exemplo: 2 componentes em paralelo
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Objetivo
Encontrar a probabilidade do sistema estar em cada um dos quatro possíveis estados, em função do tempo
Qual a probabilidade do sistema estar no estado jno tempo t? Pj(t) = ?
Exemplo: 2 componentes em paralelo
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Qual a confiabilidade do sistema?
Para funcionar, basta que o sistema esteja nos estados 1, 2 ou 3
A confiabilidade do sistema é a soma das probabilidades dos estados 1, 2 e 3
Exemplo: 2 componentes em paralelo
tP1tPtPtPtR 4321S
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Diagrama de Markov para o sistema em paralelo
Ambos os componentes possuem taxas de falha constantes i
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Qual a probabilidade do sistema estar no estado 1 num certo instante t+t?
É a probabilidade do mesmo se encontrar no estado 1 no instante t, menos a probabilidade do sistema estar no estado 1 em t vezes a probabilidade de transição (i t) para o estado 2 ou para o estado 3
Exemplo: 2 componentes em paralelo
ttPttPtPttP 121111
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1 t é a probabilidade condicional de uma transição para o estado 2 ocorrer durante o intervalo de tempo t uma vez que o sistema atualmente (em t) se encontra no estado 1
1 t.P1(t) é a probabilidade do sistema, que está atualmente no estado 1, realizar uma transição para o estado 2 durante o período de tempo t
Exemplo: 2 componentes em paralelo
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Qual a probabilidade do sistema estar nos estados 2, 3 ou 4 num certo instante t+t ?
Exemplo: 2 componentes em paralelo
ttPttPtPttP 221122
ttPttPtPttP 311233
ttPttPtPttP 312244
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Reearrumando as equações anteriores para os estados 1, 2 e 3
Exemplo: 2 componentes em paralelo
tPt
tPttP121
11
tPtP.t
tPttP2211
22
tPtP.t
tPttP3112
33
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No limite em que t0, tem-se que
Exemplo: 2 componentes em paralelo
tPdt
tdPt
tPttPlim 121111
0t
tPtP.dt
tdPt
tPttPlim 2211222
0t
tPtP.dt
tdPt
tPttPlim 3112333
0t
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Tem-se então o seguinte sistema de EDOs lineares de 1a. ordem:
Exemplo: 2 componentes em paralelo
0 0P ; tPtP.dt
tdP
00P ; tPtP.dt
tdP
10P ; tPdt
tdP
331123
222112
11211
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Tem-se então o seguinte sistema de EDOs lineares de 1a.
ordem. Considerando que no instante inicial (t=0) o sistema está no estado 1, chega-se à solução do
sistema de EDOs usando a transformada de Laplace:
Exemplo: 2 componentes em paralelo
tt2
212 eetP t1
21etP
tt3
211 eetP
ttt3214
2121 eee1tPtPtP1tP
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Qual a confiabilidade do sistema?
A confiabilidade do sistema em paralelo é a soma das probabilidades dos estados 1, 2 e 3
Exemplo: 2 componentes em paralelo
tP1tPtPtPtR 4321S
tttS
2121 eeetR
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Se os mesmos componentes estiverem em série
O diagrama de Markov é o mesmo As probabilidades de estado são as mesmas A confiabilidade do sistema em série é igual à
probabilidade do sistema estar no estado 1
t1S
21etPtR
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Processos de Markov
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Processos de Markov
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Probabilidades de Transição
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Processos de Markov “sem memória”
Processos de Markov com probabilidades de transição estacionárias são chamados de processos “sem memória”
Ao se analisar a probabilidade de realizar uma transição de um estado para outro em um dado instante t, não importa saber quanto tempo o sistema está no estado atual, nem como o sistema chegou a esse estado
Consequência: processos de desgaste não podem ser facilmente analisados usando modelos de Markov
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Probabilidades de Transição
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Taxas de Transição
As taxas de transição ij do estado i para o estado j são definidas como:
Considerando as probabilidades de transição estacionárias:
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Equações de Estado (dedução)
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Equações de Estado (dedução)
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Equações de Estado(forma matricial)
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Matriz de transição
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Sistema de Equações Diferenciais
Logo, o processo de Markov pode ser escrito como um conjunto de equações diferenciais lineares de primeira ordem (equações de estado) representado compactamente por
onde é a derivada do vetor de probabilidades de estado
)t(Q.T)t(Q
)t(Q
)t(Q
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Observação
Observa-se a partir das equações
que a soma dos elementos de uma dada coluna da matriz de transição é igual a zero. Consequentemente, a matriz T é singular e as equações de estado não possuem uma solução única. Contudo, como o sistema deve estar num dos possíveis (r+1) estados, tem-se que e conhecendo-se o estado inicial do sistema Pi(0)=1, podem-se estimar todas as probabilidades Pj(t).
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Solução das Equações de Estado
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Solução das Equações de Estado
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Disponibilidade X Indisponibilidade
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Exemplo
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Confiabilidade do Sistema
A confiabilidade do sistema R(t) é igual à probabilidade dele ocupar o estado 1, dada por:
O tempo médio de falha (MTTF) do sistema é dado por
tP1tPtR 01
0
dttRMTTF
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Probabilidades Estacionárias
Em algumas situações, apenas as probabilidades estacionárias são de interesse, ou seja, os valores de Pj(t) quando t tende ao infinito
Antes de obtermos as probabilidades estacionárias, vejamos os conceitos de estado atingível e processo irredutível
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Processo de Markov Irredutível
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Probabilidades Estacionárias
O processo de Markov irredutível converge para uma condição na qual a probabilidade do sistema estar em um determinado estado j é
que são as probabilidades estacionárias ou assintóticas
Note que se Pj(t) tende a um valor constante quando t tende ao infinito, então sua derivada tenderá a zero
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Probabilidades Estacionárias
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Exercício
Considere um sistema com dois componentesindependentes em paralelo, cujos estados são:
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Exercício
Considere as seguintes taxas de transição entre esses estados:• 32 = 10 = 1 : taxa de falha do componente 1• 31 = 20 = 2 : taxa de falha do componente 2• 23 = 01 = 1 : taxa de reparo do componente 1• 13 = 02 = 2 : taxa de reparo do componente 2
Construa o diagrama de Markov para o sistema Calcule a solução transiente e a solução estacionária Determine a disponibilidade média e a confiabilidade Calcule o MTTF
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Exercício
LEMBRANDO QUE, NESSE CASO,
A confiabilidade do sistema R(t) é igual à probabilidade dele ocupar os estados 1, 2 ou 3, dada por:
tPtPtPtPtR 0321 1
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Exercício
Considere agora que os 2 componentes do exercício anterior sejam colocados em série, com as mesmas
taxas de falha e reparo
Construa o diagrama de Markov para o sistema Calcule a solução transiente e a solução estacionária Determine a disponibilidade média e a confiabilidade Calcule o MTTF
