Aula 13 - Instituto Tecnológico de Aeronáuticakawakami/ee254/EE254_2oSem_2019_Aula13...EE-254 (Controle Preditivo) Aula 13 05 Novembro 2019 3 / 54 Formula˘c~ao empregando norma

Aula 13

05 Novembro 2019

EE-254 (Controle Preditivo) Aula 13 05 Novembro 2019 1 / 54

Aula passada

Tratamento de problemas de (nao) factibilidade.


Topicos da aula de hoje

Robustez com respeito a incertezas no ganho da planta: Uso denorma 1, programacao linear e otimizacao min-max.

Uso de norma 2: Desigualdades matriciais lineares.


Formulacao empregando norma 1

A discussao sera restrita ao caso SISO. Contudo, a extensao ao casoMIMO nao traz dificuldades conceituais.

Por simplicidade de notacao, o problema de otimizacao sera formulado emtermos de u.


Formulacao do problema

Problema de otimizacao a ser resolvido no instante k:

miny∈RN , u∈RM

J =N∑i=1

|y(k + i |k)− yref |+ ρ

M∑i=1

|u(k + i − 1|k)|

s.a.y = Hu + fu


Proposicao 1

Se (θ∗, ξ∗) e solucao de

P1 : minθ∈Θ, ξ≥0

ξ s.a − ξ ≤ f (θ) ≤ ξ

entao θ∗ e solucao deP′1 : min

θ∈Θ|f (θ)|


Exemplo

f


Prova

Hipotese: (θ∗, ξ∗) e solucao de P1.

Tese: θ∗ e solucao de P′1.

Inicialmente, vale observar que ξ∗ = |f (θ∗)|. Com efeito, as restricoes deP1 impoem que ξ∗ ≥ |f (θ∗)|. Por outro lado, se ξ∗ > |f (θ∗)|, seriapossıvel tomar ξ < ξ∗ tal que ξ ≥ |f (θ∗)|, o que viola a hipotese de que(θ∗, ξ∗) e solucao de P1.

Por absurdo, suponha agora que θ∗ nao seja solucao de P′1, isto e, assumaque ∃θ′ ∈ Θ, θ′ 6= θ∗, tal que |f (θ′)| < |f (θ∗)|. Seja entao ξ′ = |f (θ′)|.Pode-se ver que o par (θ′, ξ′) satisfaz as restricoes de P1, isto e,−ξ′ ≤ |f (θ′)| ≤ ξ′ e ξ′ ≥ 0. Alem disso, ξ′ < |f (θ∗)| = ξ∗. Conclui-seentao que (θ∗, ξ∗) nao pode ser solucao de P1, o que viola a hipoteseinicial.


Proposicao 2

Se (θ∗, ξ∗1 , ξ∗2) e solucao de

P2 : minθ∈Θ, ξ1, ξ2≥0

ξ1 + ξ2

s.a.

−ξ1 ≤ f1(θ) ≤ ξ1

−ξ2 ≤ f2(θ) ≤ ξ2

entao θ∗ e solucao de

P′2 : minθ∈Θ|f1(θ)|+ |f2(θ)|

Prova: Similar a da Proposicao 1.

Pode-se estender este resultado para um problema Pn envolvendo funcoesf1(θ), f2(θ), . . . , fn(θ).


f1

f2

|f1 |f2


Retornando ao problema inicial

A solucao do problema

miny∈RN , u∈RM

J =N∑i=1

|y(k + i |k)− yref |+ ρ

M∑i=1

|u(k + i − 1|k)|

s.a. y = Hu + fu

pode ser obtida resolvendo o seguinte PPL:

miny∈RN , u∈RM , ξ∈RN , β∈RM

N∑i=1

ξ(k + i |k) + ρ

M∑i=1

β(k + i − 1|k)

s.a.−ξ ≤ y − r ≤ ξ

−β ≤ u ≤ β

y = Hu + fu

ξ, β ≥ 0


Alternativamente:

−ξ ≤ Hu + fu − r ≤ ξ

−β ≤ u ≤ β

ξ, β ≥ 0

Com isso, o problema pode ser reescrito como

minu∈RM , ξ∈RN , β∈RM

[0TM 1TN ρ1TM

] u

ξ

β

s.a.

Hu− ξ ≤ r − fu

−Hu− ξ ≤ fu − r

u− β ≤ 0M

−u− β ≤ 0M


Por fim, pode-se colocar o problema na forma

minz∈R2M+N

cT z s.a. S ′zz ≤ b′z

sendo

z =

u

ξ

β

S ′z =

H −IN 0N×M−H −IN 0N×MIM 0M×N −IM−IM 0M×N −IM

, b′z =

r − fu

fu − r0M0M


Introduzindo restricoes de operacao

Restricoes de operacao (taxa de variacao do controle, excursao docontrole, excursao da saıda) expressas na forma S u ≤ b, comS ∈ Rr×M , b ∈ Rr podem ser agregadas ao problema impondo-se[

S ′zS 0r×(N+M)

]z ≤

[b′zb

]


Robustez a incertezas no ganho da planta



Suponha que a dinamica da planta seja descrita por

x(k + 1) = Ax(k) + εBu(k)

y(k) = Cx(k)

em que x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ R, y(k) ∈ R e ε ∈ [εmin,εmax ].

Neste caso, a equacao de predicao para a saıda da planta pode ser escritana forma

y = εHu + fu

O problema de otimizacao a ser resolvido a cada instante de tempo serada forma min-max.


Exemplo de problema de otimizacao min-max

minθ∈[−2,2]

maxd∈[−1,1]

J(θ,d) = θ + 3d

d


Seja J ′(θ) = maxd∈[−1,1]

θ + 3d

d

´

J ′(θ′) =?



θ + 3d

d

´

J ´( ´) = 3 + ´

J ′(θ′) = 3 + θ′



θ + 3d

d

´

J ´( ´) = 3 + ´

Problema a ser resolvido: minθ∈[−2,2]

J ′(θ)



θ + 3d

d

, d*)

Solucao: θ∗ = −2, com d∗ = 1.



Problema a ser resolvido no instante k:

miny∈RN , u∈RM

maxε∈[εmin,εmax ]

J =N∑i=1

|y(k + i |k)− yref |+ ρ

M∑i=1

|u(k + i − 1|k)|

s.a.y = εHu + fu

1Nymin ≤ y ≤ 1Nymax , ∀ε ∈ [εmin,εmax ]

1Mumin ≤ u ≤ 1Mumax

Ideia: Minimizar um limitante superior para o custo J.


Minimizacao de um limitante superior para o custo

miny∈RN , u∈RM , γ∈R, ξ∈RN , β∈RM

γ

s.a.

y = εHu + fu

1Nymin ≤ y ≤ 1Nymax , ∀ε ∈ [εmin,εmax ]


−ξ ≤ y − r ≤ ξ, ∀ε ∈ [εmin,εmax ]

−β ≤ u ≤ β

γ ≥ 1TN ξ + ρ1TM β

γ, ξ, β ≥ 0


Ou ainda:

minu∈RM , γ∈R, ξ∈RN , β∈RM

γ

s.a.

1Nymin ≤ εHu + fu ≤ 1Nymax , ∀ε ∈ [εmin,εmax ]


−ξ ≤ εHu + fu − r ≤ ξ, ∀ε ∈ [εmin,εmax ]

−β ≤ u ≤ β

γ ≥ 1TN ξ + ρ1TM β

γ, ξ, β ≥ 0


Restricoes envolvendo o parametro incerto

Dificuldade: Como tratar a infinidade de restricoes envolvendoε ∈ [εmin,εmax ] ?

1Nymin ≤ εHu + fu ≤ 1Nymax

−ξ ≤ εHu + fu − r ≤ ξ, ∀ε ∈ [εmin,εmax ]

∀ε ∈ [εmin,εmax ]


As restricoes envolvendo ε sao da forma

aT1 zε+ aT2 z ≤ m (1)

em que z =

[u

ξ

].

Se, para um dado z , a desigualdade (1) for valida para ε = εmin eε = εmax , pode-se mostrar que o mesmo vale para todo ε ∈ [εmin,εmax ].

Com efeito, para z fixado, a funcao f (ε) = aT1 zε+ aT2 z e afim em ε eportanto assume o valor maximo em εmax (se aT1 z > 0) ou εmin (seaT1 z < 0).

No caso particular aT1 z = 0, a restricao considerada nao depende de ε.

Desse modo, basta impor as restricoes em ε = εmin e ε = εmax (valoresextremos da incerteza).


Exemplo

Seja uma planta com dinamica descrita por

x(k + 1) = 0,9x(k) + 0,5εu(k)

y(k) = x(k)

em que0 < εmin ≤ ε ≤ εmax

Tomando N = M = 1 e ρ = 0, o problema de otimizacao pode serformulado como

miny(k+1|k),u(k|k)∈R


|y(k + 1|k)− yref |

s.a.y(k + 1|k) = 0,9y(k) + 0,5εu(k|k)


Exemplo

Alternativamente:

minu(k|k)∈R


|0,9y(k) + 0,5εu(k|k)− yref |

Minimizando um limitante superior para o custo:

minu(k|k),γ∈R

γ

s.a.−γ ≤ 0,9y(k) + 0,5εu(k|k)− yref ≤ γ, ∀ε ∈ [εmin,εmax ]


Exemplo

ou ainda:min

u(k|k),γ∈Rγ

s.a.γ − 0,5εu(k|k) ≥ −e(k + 1)γ + 0,5εu(k|k) ≥ +e(k + 1)

}∀ε ∈ [εmin,εmax ]

em que e(k + 1) = yref − 0,9y(k)


û(k|k)

e0,5 minû = e

0,5 maxû = e

(i)

γ − 0,5εu(k|k) ≥ −e(k + 1), ∀ε ∈ [εmin,εmax ] (i)


û(k|k)

e

+ 0,5 maxû = e

+ 0,5 minû = e

(ii)

γ + 0,5εu(k|k) ≥ +e(k + 1), ∀ε ∈ [εmin,εmax ] (ii)


û(k|k)

+ 0,5 maxû = e

0,5 minû = e

+ 0,5 minû = e

0,5 maxû = e


*

û* û(k|k)

+ 0,5 minû = e

0,5 maxû = e


Solucao

γ∗ + 0,5εminu∗(k|k) = e(k + 1) (1)

γ∗ − 0,5εmax u∗(k|k) = −e(k + 1) (2)

Subtraindo (2) de (1), obtem-se

0,5(εmin + εmax)u∗(k|k) = 2e(k + 1)

isto e,

u∗(k|k) =2e(k + 1)

ε

em que ε = 0,5(εmin + εmax) corresponde ao valor medio de ε no intervaloconsiderado.

Se ε = 1, o controle otimo sera dado u∗(k|k) = 2e(k + 1). Nesse caso, asolucao e igual a obtida na ausencia de incerteza sobre o ganho.


Solucao

O valor otimo do custo pode ser obtido somando (1) e (2):

2γ∗ + 0,5(εmin − εmax)u∗(k|k) = 0

isto e,

γ∗ =εmax − εmin

4

2e(k + 1)

ε=

e(k + 1)

2

δε

ε

em que δε = εmax − εmin.

O custo sera tanto maior quanto maior for a incerteza relativaδε

εsobre o

valor do ganho.


Introducao de restricao sobre a saıda

Suponha agora que seja introduzida uma restricao operacional da forma

y(k + 1|k) ≤ ymax

Neste caso, deve-se ter

0,9y(k) + 0,5εu(k|k) ≤ ymax , ∀ε ∈ [εmin,εmax ]

ou seja,

u(k|k) ≤ 2

ε[ymax − 0,9y(k)], ∀ε ∈ [εmin,εmax ]


u(k|k) ≤ 2

ε[ymax − 0,9y(k)], ∀ε ∈ [εmin,εmax ]

Portanto, sabendo que εmin > 0, basta impor

u(k|k) ≤

2

εmax[ymax − 0,9y(k)], se ymax − 0,9y(k) ≥ 0

2

εmin[ymax − 0,9y(k)], se ymax − 0,9y(k) ≤ 0

→ A incerteza sobre o ganho pode obrigar o uso de um controle“cauteloso” para evitar a violacao da restricao de saıda.


Uso de Desigualdades Matriciais Lineares


Motivacao

Como visto anteriormente, e possıvel obter garantias de factibilidaderecursiva e convergencia do estado para a origem empregando umhorizonte de predicao infinito.

De modo a limitar o numero de variaveis de decisao, pode-se empregar umhorizonte de controle finito, com restricoes terminais e custo terminalassociado ao estado.

Alternativamente, pode-se utilizar um horizonte de controle infinito,adotando-se uma parametrizacao da forma u(k + i |k) = Fk x(k + i |k),sendo Fk ∈ Rp×n uma matriz de ganho a ser determinada a cada instantek. Nesse caso, as variaveis de decisao passam a ser os elementos de Fk .

Na formulacao a ser apresentada (na proxima aula), a matriz Fk seraobtida como solucao de um problema de otimizacao envolvendoDesigualdades Matriciais Lineares.


O que sao Desigualdades Matriciais Lineares ?(Linear Matrix Inequalities, LMI)

Referencias:

MACIEJOWSKI (2002), p. 235.

BOYD, S.; EL GHAOUI, L.; FERON, E.; BALAKRISHNAN, V. LinearMatrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia:SIAM, 1994.


Definicao

Uma LMI e uma desigualdade matricial da forma

F (v) = F0 +l∑

i=1

viFi > 0

sendo F0,F1, . . . ,Fl matrizes simetricas.

F (v) e uma funcao afim das variaveis escalares v1,v2, . . . ,vl .

Desigualdades da forma F (v) < 0 e F (v) < G (v) sao casos particulares daexpressao acima. Com efeito, tais desigualdades podem ser reescritascomo −F (v) > 0 e G (v)− F (v) > 0.


LMIs em outras formas

Em muitos casos, LMIs podem nao estar expressas diretamente nessaforma.

Considere, por exemplo, a desigualdade de Lyapunov:

ATP + PA < 0

com A =

[−2 01 −3

]e P =

[v1 v2

v2 v3

].

Neste caso, as variaveis sao v1,v2,v3 e a LMI pode ser escrita como[−2 10 −3

] [v1 v2

v2 v3

]+

[v1 v2

v2 v3

] [−2 01 −3

]< 0

[−2v1 + v2 −2v2 + v3

−3v2 −3v3

]+

[−2v1 + v2 −3v2

−2v2 + v3 −3v3

]< 0


[−2v1 + v2 −2v2 + v3

−3v2 −3v3

]+

[−2v1 + v2 −3v2

−2v2 + v3 −3v3

]< 0

[−4v1 + 2v2 −5v2 + v3

−5v2 + v3 −6v3

]< 0

v1

[−4 00 0

]+ v2

[2 −5−5 0

]+ v3

[0 11 −6

]< 0


Sistemas de LMIs

Um sistema de LMIs da forma

F1(v) > 0

F2(v) > 0...

Fm(v) > 0

e equivalente a uma unica LMI escrita comoF1(v) 0 · · · 0

0 F2(v) · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Fm(v)

> 0


LMIs nao estritas

LMIs da forma F (v) ≥ 0 sao ditas nao estritas.

Nesse caso, a LMI e dita factıvel se ∃v tal que F (v) ≥ 0 e estritamentefactıvel se ∃v tal que F (v) > 0.


Convexidade

O conjunto V = {v ∈ Rn|F (v) > 0} e convexo.

Com efeito, sejam x ,y ∈ V e z = λx + (1− λ)y com λ ∈ [0,1]. Tem-seentao que

F (z) = F [λx + (1− λ)y ] = F0 +l∑

i=1

[λxi + (1− λ)yi ]Fi

= F0 + λ

l∑i=1

xiFi + (1− λ)l∑

i=1

yiFi

= F0 + λ[F (x)− F0] + (1− λ)[F (y)− F0] = λF (x)︸︷︷︸>0

+(1− λ)F (y)︸︷︷︸>0

Portanto, F (z) > 0, comprovando que z ∈ V.

Da mesma forma, pode-se mostrar que V = {v ∈ Rn|F (v) ≥ 0} e convexo.EE-254 (Controle Preditivo) Aula 13 05 Novembro 2019 46 / 54

Programacao Semidefinida

Problemas de otimizacao do tipo

minv

cT v s.a. F (v) ≥ 0,

sendo F (v) ≥ 0 uma LMI, sao problemas convexos.

Problemas desse tipo (custo linear e restricoes LMI) sao conhecidos comoProblemas de Programacao Semidefinida.


Complemento de Schur

Se Q(v) = QT (v),R(v) = RT (v) e Q(v),R(v),S(v) sao afins em v ,entao a LMI [

Q(v) S(v)ST (v) R(v)

]> 0

e equivalente a

R(v) > 0

Q(v)− S(v)R−1(v)ST (v) > 0

ou entao

Q(v) > 0

R(v)− ST (v)Q−1(v)S(v) > 0

Essa equivalencia permite expressar desigualdades quadraticas convexascomo LMIs.


O complemento de Schur pode tambem ser generalizado para LMIs naoestritas (Boyd et al., 1994):

A LMI [Q(v) S(v)ST (v) R(v)

]≥ 0

e equivalente a

R(v) ≥ 0

Q(v)− S(v)R†(v)ST (v) ≥ 0

S(I − RR†) = 0

sendo R† a pseudo-inversa de R.

Caso seja ainda imposta a condicao R(v) > 0, tem-se simplesmenteQ(v)− S(v)R−1(v)ST (v) ≥ 0.


Complemento de Schur: Exemplo (Maciejowski, p. 235)

Seja o seguinte PPQ:

minx

(xTQx + qT x + r) s.a Ax ≥ b

sendo Q = QT ≥ 0.

Este problema e equivalente a

minγ,x

γ

s.a.γ − xTQx − qT x − r ≥ 0

Ax ≥ b


γ − xTQx − qT x − r ≥ 0

Empregando o complemento de Schur, esta restricao pode ser reescritacomo [

1 Q1/2x

xTQ1/2 γ − r − qT x

]≥ 0


Ax ≥ b

Estas restricoes podem ser reescritas como(Ax − b)1 0 · · · 0

0 (Ax − b)2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · (Ax − b)m

≥ 0

em que (Ax − b)i denota o i-esimo elemento de Ax − b.


Resumo da aula de hoje

Robustez com respeito a incertezas no ganho da planta: Uso denorma 1, programacao linear e otimizacao min-max.

Uso de norma 2: Desigualdades matriciais lineares.


Topicos da proxima aula

Robustez com respeito a incertezas politopicas no modelo da planta.

Controle preditivo robusto empregando Desigualdades MatriciaisLineares.


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