Aula 6 - Instituto Tecnológico de Aeronáuticakawakami/ee254/EE254_2oSem_2019_Aula6_hando… · 6 6 4 A 0 n 0 n 0T n 1 1 0T n 0 1 3 7 7 5; B = 2 6 6 4 B 0 0 3 7 7 5; C = [C 1 0]

Aula 6

03 Setembro 2019

EE-254 (Controle Preditivo) Aula 6 03 Setembro 2019 1 / 43

Resumo da aula passada

Uso de modelos no espaco de estados.

Implementacao em Matlab.

Uso de observador de estados.

Consideracoes sobre erro de regime na presenca de perturbacoesconstantes.


Modelo adotado (SISO - Single Input, Single Output)

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k)

x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ R, y(k) ∈ R

A ∈ Rn×n,B ∈ Rn×1,C ∈ R1×n


Equacao de predicao

y(k + 1|k)y(k + 2|k)

...y(k + N|k)

=

H(N×N)︷︸︸︷CB 0 · · · 0CAB CB · · · 0

......

. . ....

CAN−1B CAN−2B · · · CB

u(k|k)u(k + 1|k)

...u(k + N − 1|k)

+

CACA2

...CAN

x(k)

︸︷︷︸fu(N×1)

⇒ y = Hu + fu


y = Hu + fu

H =

CB 0 · · · 0CAB CB · · · 0

......

. . ....


N×N

fu = Φu x(k), Φu =

CACA2

...CAN

N×n


Formulacao em termos de incrementos da entrada ∆u

ξ(k) =

[x(k)

u(k − 1)

]

ξ(k + 1) = Aξ(k) + B∆u(k), y(k) = Cξ(k)

A =

[A B

0Tn 1

], B =

[B1

], C = [C 0]


y = G∆u + f

G =

C B 0 · · · 0

C AB C B · · · 0...

.... . .

...

C AN−1B C AN−2B · · · C B

N×N

f = Φ ξ(k), Φ =

C A

C A2

...

C AN

Obs: Caso M < N, basta suprimir as ultimas N −M colunas da matriz G .


Rejeicao de perturbacoes

Problema: Esta abordagem nao garante erro de regime nulo na presencade perturbacoes constantes.

Uma forma de contornar esse problema consiste em estimar asperturbacoes e leva-las em conta na formulacao de controle preditivo.


Topicos da aula de hoje

Estimacao de perturbacoes empregando observador de estados.

Inclusao da perturbacao estimada na equacao de predicao.

Formulacao alternativa: Determinacao de valores de equilıbrio para oestado e o controle.


Uso de observador de estado para estimar perturbacoes

Plantau y

d+

+

Vamos supor que a dinamica da planta seja descrita por um modelo daforma

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + d

sendo d uma perturbacao constante que nao pode ser medida diretamente.


x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) , y(k) = Cx(k) + d

Este modelo pode ser reescrito utilizando-se o seguinte estado aumentado:

χ(k) =

[x(k)

d(k)

]

sendo d(k + 1) = d(k). Com efeito, tem-se

χ(k + 1) =

[x(k + 1)

d(k + 1)

]=

[Ax(k) + Bu(k)

d(k)

]

=

[A 0n

0Tn 1

][x(k)

d(k)

]+

[B

0

]u(k)

y(k) = Cx(k) + d(k) = [C 1]

[x(k)

d(k)

]EE-254 (Controle Preditivo) Aula 6 03 Setembro 2019 11 / 43

Assim, o modelo torna-se

χ(k + 1) = Aχ(k) + Bu(k)

y(k) = Cχ(k)

sendo

A =

[A 0n

0Tn 1

], B =

[B

0

], C = [C 1]

Pode-se entao projetar um observador de estados para obter umaestimativa χ(k|k) do estado aumentado χ(k), que inclui a perturbacao.


Uso do observador em conjunto com o MPC

Com o uso de um estimador de perturbacoes, pode-se obter erro de regimenulo mesmo empregando a primeira abordagem de controle.

Nesse caso, a equacao de predicao deve incluir a perturbacao estimada.Para isso, pode-se redefinir o estado do modelo empregado pelocontrolador como

ξ(k) =

[χ(k)

u(k − 1)

]

Dessa forma, basta usar χ(k) e (A, B, C ) em lugar de x(k) e (A,B,C ) naformulacao de controle preditivo apresentada na aula passada.


MPC empregando observador de estado para estimarperturbacoes de saıda: Resumo

Informacao requerida sobre a planta:

Matrizes A,B,C do modelo no espaco de estados

Parametros de projeto:

Peso do controle ρ

Horizonte de predicao N

Horizonte de controle M

Posicoes dos polos para a dinamica do erro de estimacao de estado(incluindo a estimativa da perturbacao)


Inicializacao:

Fazer

A =

[A 0n

0Tn 1

], B =

[B

0

], C = [C 1]

Projetar o observador de estado empregando as matrizes A, B, C .

Fazer

A =

[A B

0Tn 1

], B =

[B

1

], C =

[C 0

]

G =

C B 0 · · · 0

C AB C B · · · 0

......

. . ....

C AN−1B C AN−2B · · · C AN−M B

, Φ =

C A

C A2

...

C AN

Calcular KMPC = [ 1 0 · · · 0 ](GTG + ρIM)−1GT

Fazer k = 0, u(−1) = 0, χ(0| − 1) = 0.


Rotina principal:

1 Ler y(k) (saıda da planta) e yref (valor de referencia para a saıda)

2 Obter a estimativa χ(k|k) usando o observador de estado

3 Fazer r = [yref ]N4 Fazer

ξ(k|k) =

[χ(k|k)

u(k − 1)

]5 Calcular f = Φ ξ(k|k)

6 Calcular o incremento no controle ∆u(k) = KMPC (r − f)

7 Atualizar o controle aplicado a planta: u(k) = u(k − 1) + ∆u(k)

8 Fazer k = k + 1

9 Aguardar o proximo instante de amostragem e retornar ao passo 1.


Implementacao em Matlab

matrizes_ss_du.m: Monta as matrizes KMPC ,Φ.

mpc_ss_du.m: S-function que implementa o controlador

Exemplo (sistema de levitacao magnetica):

parametros_maglev_ss.m: Define os parametros do levitadormagnetico

levitador_mpc_ss_du_pert.mdl: Diagrama de simulacao incluindoestimador de perturbacao de saıda

O que acontece ao se remover as constantes de polarizacao da malha decontrole ?


Perturbacao de entrada

Planta

u y

d+

+

Modelo da forma

x(k + 1) = Ax(k) + B[u(k) + d

]y(k) = Cx(k)

sendo d uma perturbacao constante que nao pode ser medida diretamente.

A estimacao de perturbacoes constantes na entrada da planta (ao inves dese considerar perturbacoes equivalentes na saıda) e particularmente util sea planta for de tipo 1 ou superior (por que ?).


x(k + 1) = Ax(k) + B[u(k) + d

], y(k) = Cx(k)

Este modelo pode ser reescrito utilizando o seguinte estado aumentado:

χ(k) =

[x(k)

d(k)

]

com d(k + 1) = d(k). Com efeito, tem-se

χ(k + 1) =

[x(k + 1)

d(k + 1)

]=

[Ax(k) + Bu(k) + Bd(k)

d(k)

]

=

[A B

0Tn 1

][x(k)

d(k)

]+

[B

0

]u(k)

y(k) = Cx(k) = [C 0]

[x(k)

d(k)



χ(k + 1) = Aχ(k) + Bu(k)

y(k) = Cχ(k)

sendo

A =

[A B

0Tn 1

], B =

[B

0

], C = [C 0]

Novamente, pode-se projetar um observador de estado para obter umaestimativa χ(k|k) do estado aumentado χ(k), que inclui a perturbacao deentrada d .


Perturbacao tipo rampa

Pode-se tambem modificar o modelo de modo a contemplar perturbacoesdo tipo rampa.

Para isso, assume-se d(k + 1) = d(k) + µ(k), com µ(k + 1) = µ(k).

No caso de perturbacao de saıda, tem-se um modelo da forma

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + d(k)

Este modelo pode ser reescrito utilizando-se o seguinte estado aumentado:

χ(k) =

x(k)

d(k)

µ(k)


Com isso, tem-se

χ(k + 1) =

x(k + 1)

d(k + 1)

µ(k + 1)

=

Ax(k) + Bu(k)

d(k) + µ(k)

µ(k)

=

A 0n 0n

0Tn 1 1

0Tn 0 1

x(k)

d(k)

µ(k)

+

B

0

0

u(k)

y(k) = Cx(k) + d(k) = [C 1 0]

x(k)

d(k)

µ(k)



χ(k + 1) = Aχ(k) + Bu(k)

y(k) = Cχ(k)

sendo

A =

A 0n 0n

0Tn 1 1

0Tn 0 1

, B =

B

0

0

, C = [C 1 0]

Com base neste modelo, pode-se entao projetar um observador de estadoscomo visto anteriormente.

De modo similar, pode-se reformular o modelo de modo a contemplarperturbacoes tipo rampa na entrada do sistema.


Uma formalizacao do uso de observadores de estado para estimarperturbacoes no contexto de MPC pode ser encontrada na seguintereferencia:

MAEDER, U.; BORRELLI, F.; MORARI, M. Linear offset-free ModelPredictive Control. Automatica, v. 45, p. 2214 – 2222, 2009.


Formulacao alternativa: Determinacao de valores deequilıbrio para o estado e o controle

Referencia: Rossiter (2003), paginas 21 – 23.


Perturbacao de saıda constante

Considere que a dinamica da planta seja descrita por um modelo da forma

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + d

sendo d uma perturbacao constante.


Problema 1: Determinar valores de equilıbrio apropriadospara o estado e o controle

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) , y(k) = Cx(k) + d

Suponha inicialmente que o valor de d seja conhecido.

Pergunta: Quais devem ser os valores de equilıbrio xref ∈ Rn, uref ∈ Rpara o estado e o controle, de modo que a saıda seja igual a uma dadareferencia yref ∈ R em regime estacionario ?


x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) , y(k) = Cx(k) + d

Deseja-se determinar xref ∈ Rn, uref ∈ R de modo a satisfazer as seguintesrelacoes de equilıbrio:

xref = Axref + Buref

yref = Cxref + d

que podem ser reescritas como

(A− I )xref + Buref = 0n

Cxref = yref − d

ou ainda: [(A− I ) B

C 0

][xref

uref

]=

[0n

yref − d


[(A− I ) B

C 0

][xref

uref

]=

[0n

yref − d

]

Tem-se, portanto:[xref

uref

]=

[(A− I ) B

C 0

]−1 [0n

1

](yref − d)

desde que a inversa indicada exista.


Obs: Existencia da inversa

Vale notar que

det

([(A− I ) B

C 0

])= (−1)ndet

([(In − A) −B

C 0

])

= (−1)ndet

([(zIn − A) −B

C 0

]) ∣∣∣∣∣z=1

= (−1)nN(z)∣∣∣z=1

sendo N(z) o numerador da funcao de transferencia da planta:

H(z) = C (zIn − A)−1B

Referencia: GEROMEL, J. C.; KOROGUI, R. Controle linear de sistemasdinamicos. Sao Paulo: Edgar Blucher, 2011.


Em resumo:

det

([(A− I ) B

C 0

])= (−1)nN(z)

∣∣∣z=1

sendo N(z) o numerador da funcao de transferencia da planta:

H(z) = C (zIn − A)−1B

Portanto, a matriz em questao admitira inversa se o “ganho DC” da plantafor nao nulo (considerando ainda que nao haja cancelamento de polos ezeros em z = 1).

Obs: Esta e uma condicao conhecida na literatura da area. O desenvolvimentoaqui apresentado pode ser encontrado na Tese de Doutorado de P. A. Q. Assis(ITA, 2018).


Resumo

[xref

uref

]=

[(A− I ) B

C 0

]−1 [0n

1

](yref − d)

Alternativamente:

xref = Nx(yref − d) , uref = Nu(yref − d)

em que Nx e Nu correspondem, respectivamente, as primeiras n linhas e aultima linha da seguinte matriz:

[(A− I ) B

C 0

]−1 [0n

1

]


Problema 2: Conducao do estado para o ponto deequilıbrio calculado

Ideia: Empregar uma funcao de custo da forma

J(y, u) = (y − r)T (y − r) + ρ(u− uref)T (u− uref)

comuref = [uref ]N

O problema de otimizacao pode ser reformulado utilizando uma mudancade variaveis:

δy = y − yref , δx = x − xref , δu = u − uref


Empregando essa mudanca de variaveis, a funcao de custo torna-se

J = (δy)T (δy) + ρ(δu)T (δu)com

δy = y − r , δu = u− uref

Supondo conhecido o valor de d , a equacao de predicao pode ser escritacomo

y = Hu + Φux(k) + d

com d = [d ]N . Logo, segue que

δy + r = H(δu + uref) + Φu[δx(k) + xref ] + d

Por definicao, tem-se r = Huref + Φuxref + d. Portanto:

δy = Hδu + Φuδx(k)


Obs: Equacao de predicao

δy = Hδu + Φuδx(k)

H =

CB 0 · · · 0CAB CB · · · 0

......

. . ....


N×N

, Φu =

CACA2

...CAN

N×n

Caso seja usado um horizonte de controle M < N, pode-se impor

δu(k + i − 1|k) = 0, i = M + 1,M + 2, . . . ,N

Com isso, basta suprimir as ultimas (N −M) colunas da matriz H.


Solucao do problema de otimizacao

Problema: Minimizar

J = (δy)T (δy) + ρ(δu)T (δu)

s.a.

δy = Hδu + Φuδx(k)︸︷︷︸fu

Seguindo desenvolvimento similar ao empregado na Aula 2, chega-se a

δu∗ = −(HTH + ρI )−1HT fu

δu(k) = δu∗(k|k) = −[ 1 0 · · · 0 ](HTH + ρI )−1HTΦuδx(k)


δu(k) = δu∗(k|k) = −[ 1 0 · · · 0 ](HTH + ρI )−1HTΦuδx(k)

ou ainda:

δu(k) = −Kδ δx(k)

sendo

Kδ = [ 1 0 · · · 0 ](HTH + ρI )−1HTΦu

Vale lembrar que

δx(k) = x(k)− xref , u(k) = δu(k) + uref


MPC com determinacao de valores de equilıbrio paraestado e controle: Resumo

Informacao requerida sobre a planta:

Matrizes A,B,C do modelo no espaco de estados

Parametros de projeto:

Peso do controle ρ

Horizonte de predicao N

Horizonte de controle M

Posicoes dos polos para a dinamica do erro de estimacao de estado(incluindo a estimativa da perturbacao)


Inicializacao:

Obter Nx e Nu como, respectivamente, as primeiras n linhas e aultima linha da seguinte matriz:[

(A− I ) B

C 0

]−1 [0n

1

]Fazer

H =

CB 0 · · · 0

CAB CB · · · 0

......

. . ....

CAN−1B CAN−2B · · · CAN−MB

, Φu =

CA

CA2

...

CAN

Calcular Kδ = [ 1 0 · · · 0 ](HTH + ρI )−1HTΦu;

Fazer k = 0, χ(0| − 1) = 0.


Rotina principal:

1 Ler y(k) (saıda da planta) e yref (valor de referencia para a saıda).

2 Obter a estimativa χ(k|k) usando o observador de estado.

3 Extrair as estimativas x(k|k) e d(k|k).

4 Calcular xref = Nx

(yref − d(k|k)

)e uref = Nu

(yref − d(k|k)

).

5 Calcular δx(k|k) = x(k|k)− xref .

6 Calcular δu(k) = −Kδ δx(k|k).

7 Atualizar o controle aplicado a planta: u(k) = δu(k) + uref .

8 Fazer k = k + 1.

9 Aguardar o proximo instante de amostragem e retornar ao passo 1.


Implementacao em Matlab

matrizes_ss_delta.m: Monta as matrizes Nx , Nu, Kδ.

mpc_ss_delta.m: S-function que implementa o controlador

Exemplo (sistema de levitacao magnetica):

parametros_maglev_ss.m: Define os parametros do levitadormagnetico

levitador_mpc_ss_delta.mdl: Diagrama de simulacao incluindoestimador de perturbacao de saıda


Resumo da aula de hoje

Estimacao de perturbacoes empregando observador de estados.

Inclusao da perturbacao estimada na equacao de predicao.

Formulacao alternativa: Determinacao de valores de equilıbrio para oestado e o controle.


Topicos da proxima aula

Tratamento de restricoes - Caso SISO


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