Aula 15 - teoremas e colorarios

Combinacoes de Funcoes ContınuasMODULO 1 - AULA 15

Aula 15 – Combinacoes de Funcoes Contınuas

Metas da aula: Estabelecer os principais fatos sobre operacoes com

funcoes contınuas bem como sobre composicao dessas funcoes.

Objetivos: Ao final desta aula, voce devera ser capaz de:

• Conhecer os resultados sobre operacoes com funcoes contınuas e sobre

composicao dessas funcoes, bem como suas aplicacoes no estabeleci-

mento da continuidade de funcoes.

Introducao

Nesta aula vamos estabelecer os principais resultados sobre operacoes

com funcoes contınuas assim como sobre a composicao dessas funcoes.

Operacoes com Funcoes Contınuas

Seja X ⊂ R, sejam f e g funcoes de X em R e seja c ∈ R. Vamos

iniciar esta aula estabelecendo a preservacao da continuidade pelas operacoes

de soma f + g, diferenca f − g, produto fg, multiplicacao por constante cf ,

e, quando g(x) 6= 0 para todo x ∈ X, do quociente f/g. Subsequentemente,

vamos analisar a questao sobre a continuidade da composicao de funcoes

contınuas.

Teorema 15.1

Sejam X ⊂ R, f, g : X → R, c ∈ R. Suponhamos que f e g sao contınuas

em x ∈ X.

(i) Entao f + g, f − g, fg e cf sao contınuas em x.

(ii) Se g(x) 6= 0 para todo x ∈ X, entao o quociente f/g e contınua em x.

Prova: Se x nao e um ponto de acumulacao de X, entao a conclusao e

automatica. Portanto, vamos assumir que x e um ponto de acumulacao de

X.

(i) Como f e g sao contınuas em x, entao

limx→x

f(x) = f(x), limx→x

g(x) = g(x).

189CEDERJ

ANALISE REAL

Combinacoes de Funcoes Contınuas

Logo, segue do Teorema 13.2 que

limx→x

(f + g) = limx→x

f + limx→x

g = f(x) + g(x).

Portanto, f+g e contınua em x. De forma inteiramente semelhante, provamos

que f − g, fg e cf sao contınuas em x.

(ii) Do mesmo modo, se g(x) 6= 0 para todo x ∈ X, o Teorema 13.2 implica

que

limx→x

(f

g

)

=limx→x

f

limx→x

g=f(x)

g(x)=

(f

g

)

(x).

Portanto, f/g e contınua em x. �

O proximo resultado e uma consequencia imediata do Teorema 15.1,

aplicado a todo ponto de X.

Teorema 15.2

Sejam X ⊂ R, f, g : X → R funcoes contınuas em X, e c ∈ R.

(i) As funcoes f + g, f − g, fg e cf sao contınuas em X.

(ii) Se g(x) 6= 0 para todo x ∈ X, entao a funcao quociente f/g e contınua

em X.

Observacao 15.1

Para definir funcoes quocientes, as vezes e mais conveniente proceder do

seguinte modo. Se g : X → R, seja X∗ := {x ∈ X : g(x) 6= 0}. Podemos

definir o quociente f/g no conjunto X∗ por

(f

g

)

(x) :=f(x)

g(x)para x ∈ X∗. (15.1)

Se g e contınua num ponto x ∈ X∗, claramente a restricao g∗ de g a X∗

tambem e contınua em x. Portanto, segue do Teorema 15.1 aplicado a g∗

que f/g∗ e contınua em x. Como (f/g)(x) = (f/g∗)(x) para x ∈ X∗ segue

que f/g e contınua em x ∈ X∗. Similarmente, se f e g sao contınuas em X,

entao a funcao f/g, definida em X∗ por (15.1), e contınua em X∗.

Exemplos 15.1

(a) Se p e uma funcao polinomial, de modo que p(x) = anxn + an−1x

n−1 +

· · · + a1x + a0 para todo x ∈ R, entao segue do Exemplo 13.1 (e) que

limx→x

p(x) = p(x) para todo x ∈ X. Portanto, uma funcao polinomial e

contınua em R.

CEDERJ 190


(b) Se p e q sao funcoes polinomiais em R, entao existe no maximo um

numero finito de raızes de q, α1, . . . , αm. Se x /∈ {α1, . . . , αm}, entao

q(x) /∈ 0 de modo que podemos definir a funcao racional r por

r(x) :=p(x)

q(x)para x /∈ {α1, . . . , αm}.

Vimos no Exemplo 13.1 (f) que se q(x) 6= 0, entao

limx→x

r(x) = limx→x

f(x)

g(x)=f(x)

g(x)= r(x).

Portanto, r e contınua em x. Assim, concluımos que uma funcao

racional e contınua em todo numero real para o qual ela esta definida.

(c) Consideremos a serie s(x) :=∑anx

n para x ∈ R. Segue do Teste da

Raiz 11.4 que s converge se

|x| lim |an|1/n < 1.

Suponhamos que existe α := lim |an|1/n em R. Facamos

R :=1

αse α 6= 0 e R := +∞ se α = 0.

O numero R assim definido e chamado o raio de convergencia de s(x).

Defina s(x) :=∑anx

n para todo x ∈ X := (−R,R) ⊂ R. Entao a

funcao s(x) e contınua em todo x ∈ X.

De fato, seja dado ε > 0. Tomemos δ1 > 0 e r > 0 tais que −R < −r <x− δ1 < x < x+ δ1 < r < R. Como

∑anr

n converge, podemos obter

N ∈ N tal que∞∑

n=N+1

anrn <

ε

3.

Assim temos∣∣∣∣∣

∑

n=N+1

anxn

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

∑

n=N+1

anxn

∣∣∣∣∣≤ 2

∞∑

n=N+1

anrn <

2ε

3

para todo x ∈ X tal que |x − x| < δ1. Agora p(x) :=N∑

n=1

anxn e uma

funcao polinomial e, portanto, pelo item (a) e contınua em todo x ∈ R.

Logo, existe δ2 tal que se |x− x| < δ2, entao

|p(x) − p(x)| < ε

3.

191CEDERJ

ANALISE REAL


Tomemos δ := min{δ1, δ2}. Entao se |x− x| < δ, temos

|s(x) − s(x)| ≤ |p(x) − p(x)| +∣∣∣∣∣

∑

n=N+1

anxn

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

∑

n=N+1

anxn

∣∣∣∣∣

<ε

3+

2ε

3= ε.

Como ε > 0 e arbitrario, concluımos que s(x) e contınua em x para

todo x ∈ X.

(d) Consideremos as series s(x) :=∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 e c(x) :=

∞∑

k=0

(−1)k

(2k)!x2k.

Facamos ak :=(−1)k

(2k + 1)!e bk :=

(−1)k

(2k)!para k = 0, 1, 2, . . . . E facil ver

que

lim|ak+1||ak|

= 0 e lim|bk+1||bk|

= 0.

Assim, deduzimos pelo Exemplo 11.2 (c) que

lim |ak|1/k = 0 e lim |bk|1/k = 0.

Portanto, ambas as series s(x) e c(x) possuem raio de convergencia

igual a +∞. Portanto, podemos definir as funcoes

s(x) :=∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 e c(x) :=

∞∑

k=0

(−1)k

(2k)!x2k para todo x ∈ R.

Vamos ver em aula futura que, de fato, temos

s(x) = sen(x) e c(x) = cos(x) para todo x ∈ R.

Do item anterior segue entao que sen(x) e cos(x) sao funcoes contınuas

em R.

(e) E possıvel provar analiticamente que vale a classica interpretacao geometrica

para sen x e cosx. (Veja Figura 15.1.) Dessa interpretacao geometrica

vemos facilmente que valem

| sen x| ≤ |x| e sen2 x+ cos2 x = 1 para todo x ∈ R.

Da segunda relacao, segue imediatamente que | sen x| ≤ 1 e | cosx| ≤ 1.

Alem disso, valem as formulas

sen x− sen y = 2 sen

(x− y

2

)

cos

(x+ y

2

)

,

cosx− cos y = −2 sen

(x+ y

2

)

sen

(x− y

2

)

.

CEDERJ 192


Portanto, se x ∈ R, entao temos

| sen x− sen x| ≤ 2 · 1

2|x− x| · 1 = |x− x|.

Isto nos da uma outra maneira de mostrar a continuidade de sen x para

todo x ∈ R.

Da mesma forma,

| cosx− cos x| ≤ 2 · 1 · 1

2|x− x| = |x− x|,

o que tambem nos da uma outra prova da continuidade de cosx para

todo x ∈ R.

xcosx

sen x

raio = 1

Figura 15.1: A interpretacao geometrica de sen x e cosx.

Composicao de Funcoes Contınuas

Vamos agora mostrar que se f : X → R e contınua num ponto x e

se g : Y → R e contınua em y := f(x), entao a composta g ◦ f e contınua

em x. Para que tenhamos g ◦ f definida em todo X, e preciso tambem que

f(X) ⊂ Y .

Teorema 15.3

Sejam X, Y ⊂ R e sejam f : X → R e g : Y → R funcoes tais que f(X) ⊂ Y .

Se f e contınua num ponto x ∈ X e g e contınua em y := f(x) ∈ Y , entao a

funcao composta g ◦ f : X → R e contınua em x.

193CEDERJ

ANALISE REAL


Prova: Seja W uma ε-vizinhanca de g(y). Como g e contınua em y, existe

uma δ′-vizinhanca V de y = f(x) tal que se y ∈ V ∩Y , entao g(y) ∈W . Como

f e contınua em x, existe uma δ-vizinhanca U de x tal que se x ∈ U∩X, entao

f(x) ∈ V (Veja Figura 15.2). Como f(X) ⊂ Y , segue que se x ∈ U ∩ X,

entao f(x) ∈ V ∩ Y de modo que g ◦ f(x) = g(f(x)) ∈ W . Mas como W e

uma ε-vizinhanca de g(y) arbitraria, isso implica que g ◦ f e contınua em x.

�

W

U

x

y = f(x)

f

V

g(y)

g

Figura 15.2: A composicao de f e g.

O teorema seguinte e uma consequencia imediata do Teorema 15.3.

Porem vamos enuncia-lo devido a sua importancia.

Teorema 15.4

Sejam X, Y ⊂ R, f : X → R contınua em X e g : Y → R contınua em Y .

Se f(X) ⊂ Y , entao a funcao composta g ◦ f : X → R e contınua em X.

Os Teoremas 15.3 e 15.4 sao muito uteis para estabelecer a continuidade

de certas funcoes. Eles podem ser usados em diversas situacoes em que seria

difıcil aplicar a definicao de continuidade diretamente.

Exemplos 15.2

(a) Seja g(x) := |x| para x ∈ R. Segue da desigualdade triangular que

|g(x) − g(x)| ≤ |x− x|

CEDERJ 194


para todo x, x ∈ R. Logo, g e contınua em todo x ∈ R. Se f : X ⊂R → R e qualquer funcao contınua em X, entao o Teorema 15.4 implica

que g ◦ f = |f | e contınua em X.

(b) Seja g(x) :=√x para x ≥ 0. Segue do Exemplo 7.2 (b) e do Teo-

rema 14.2 que g e contınua em todo numero x ≥ 0. Se f : X ⊂ R → R

e contınua em X e se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ X, entao segue do

Teorema 15.4 que g ◦ f =√f e contınua em X.

(c) Seja g(x) := sen x para x ∈ R. Vimos no Exemplo 15.1 (d) que g e

contınua em R. Se f : X ⊂ R → R e contınua em X, entao segue do

Teorema 15.4 que g ◦ f e contınua em X.

Em particular, se f(x) := 1/x para x 6= 0, entao a funcao g ◦ f(x) =

sen(1/x) e contınua em todo ponto x 6= 0.

Exercıcios 15.1

1. Determine os pontos de continuidade das seguintes funcoes e diga que

teoremas sao usados em cada caso.

(a) f(x) :=x2 + 2x+ 1

x2 + 1(x ∈ R),

(b) f(x) :=√

x+√x (x ≥ 0),

(c) f(x) :=

√

1 + | sen x|x

(x 6= 0),

(d) f(x) := cos√

1 + x2 (x ∈ R).

2. Mostre que se f : X → R e contınua em X ⊂ R e se n ∈ N, entao a

funcao fn definida por fn(x) := (f(x))n para x ∈ X e contınua em X.

3. Seja x 7→ [[x]] a funcao parte inteira. Determine os pontos de con-

tinuidade da funcao f(x) := x− [[x]], x ∈ R.

4. Seja g definida em R por g(1) := 0 e g(x) = 2 se x 6= 1, e seja

f(x) := x + 1 para todo x ∈ R. Mostre que limx→0

g ◦ f 6= g ◦ f(0).

Por que isso nao contradiz o Teorema 15.3?

5. Sejam f, g definidas em R e seja x ∈ R. Suponhamos que limx→x

f = y e

que g e contınua em y. Mostre que limx→x

g ◦ f = g(y).

6. De um exemplo de uma funcao f : [0, 1] → R que e descontınua em

todo ponto de [0, 1] mas tal que |f | e contınua em [0, 1].

195CEDERJ

ANALISE REAL


7. Seja h : R → R contınua em R satisfazendo h(m/2n) = 0 para todo

m ∈ Z, n ∈ N. Mostre que h(x) = 0 para todo x ∈ R.

8. Se f e g sao contınuas em R, seja S := {x ∈ R : f(x) ≥ g(x)}. Se

(sn) ⊂ S e lim sn = s, mostre que s ∈ S.

9. Seja g : R → R satisfazendo a relacao g(x + y) = g(x)g(y) para todo

x, y ∈ R. Mostre que se g e contınua em x = 0, entao g e contınua

em todo ponto de R. Alem disso, se tivermos g(x0) = 0 para algum

x0 ∈ R, entao g(x) = 0 para todo x ∈ R.

10. Sejam f, g : R → R contınuas num ponto x ∈ R, e seja h(x) :=

max{f(x), g(x)} para x ∈ R. Mostre que h(x) = 12(f(x) + g(x)) +

12|f(x) − g(x)| para todo x ∈ R. Use esse fato para mostrar que h e

contınua em x.

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