Aula 2Aula 2

Prof. André Andrian Padialaapadial@gmail.comtwitter.com/aapadial

Ecologia de Ecologia de populações e populações e comunidadescomunidades

EcoloEcologiagia

Modelo Logístico de Modelo Logístico de Crescimento de PopulaçõesCrescimento de Populações

Gotelli, N.J. 2007. Ecologia. Ed. Planta

O modelo logístico

• Principal diferenças de pressupostos (modelos logístico e Principal diferenças de pressupostos (modelos logístico e exponencial):exponencial):

- Exponencial => recursos ilimitados -> b e d constantes- Exponencial => recursos ilimitados -> b e d constantes

- Logístico => recursos limitados -> b e d denso-- Logístico => recursos limitados -> b e d denso-dependentesdependentes dN/dt = (b’-N/dt = (b’-

d’).Nd’).N

• Denso dependênciaDenso dependência

DensidadeDensidade recursosrecursos b’b’ d’d’

Y = a-bX

N = tamanho da população

b’ = taxa de natalidade per capita b e a = constantes

O modelo logístico

NN

b’b’

b’ = b-aN = b-aNa=a=bboo

b=b=aa

N => 0N => 0 a => 0a => 0

b’ => bb’ => b

Y = a+bX

N = tamanho da população

d’ = taxa de natalidade per capita d e c = constantes

O modelo logístico

NN

d’d’

d’ = d+cN = d+cN

a=a=ddoo

b=b=cc

N => 0N => 0 c => 0c => 0

d’ => dd’ => d

b’ = b-aN = b-aN

d’ = d+cN = d+cN

N = tamanho da população

b’ = taxa de natalidade per capita d’ = taxa de mortalidade per capta

b e a = constantes d e c = constantes

O modelo logístico

b’ = b - = b - aNaN

N => N => b’b’

N=0 => b’=bN=0 => b’=b

d’ = d + = d + cNcN

N => N => d’d’

N=0 => d’=dN=0 => d’=d

Funções são mais complexas no mundo realFunções são mais complexas no mundo real• b’ e d’ podem não ser linearesb’ e d’ podem não ser lineares• b’ e d’ podem permanecer constantes até uma densidade críticab’ e d’ podem permanecer constantes até uma densidade crítica• Alguns animais podem reproduzir, caçar, cuidar da prole ou evitar predadores mais Alguns animais podem reproduzir, caçar, cuidar da prole ou evitar predadores mais eficientemente em grupo que sozinhos eficientemente em grupo que sozinhos• b’ pode aumentar e d’ diminuir com o aumento da população até um determinado b’ pode aumentar e d’ diminuir com o aumento da população até um determinado tamanho populacional ( tamanho populacional (Efeito de AlleeEfeito de Allee). ). • Efeito de Allee é relevante para populações pequenas e pode resultar em um tamanho Efeito de Allee é relevante para populações pequenas e pode resultar em um tamanho

populacional crítico abaixo do qual se tem a extinção populacional crítico abaixo do qual se tem a extinção• apenas uma das taxas (b’ ou d’) podem ser densidade dependente (isso, entretanto, apenas uma das taxas (b’ ou d’) podem ser densidade dependente (isso, entretanto, não afeta o modelo logístico. não afeta o modelo logístico.

O modelo logístico

O modelo logístico

NN

d’d’

b’b’

ddoo

bboo

Efeito Allee

• Introduzindo as duas últimas expressões na primeiraIntroduzindo as duas últimas expressões na primeira

dN/dt = (b’-N/dt = (b’-d’).Nd’).N

b’ = b - = b - aNaN

d’ = d + = d + cNcN

dN/dt = [(N/dt = [(b-aNb-aN)-)-((d+cNd+cN)].N)].N

• Rearranjando os termosRearranjando os termos

dN/dt = [(N/dt = [(b-b-dd) – ) – ((aN+aN+cNcN)].N)].N

dN/dt = [(N/dt = [(b-b-dd) – () – (a+a+cc)N].N)N].N

O modelo logístico

• Multiplicando por Multiplicando por [(b-d)/(b-d)][(b-d)/(b-d)] que é igual a 1,0que é igual a 1,0

dN/dt = [(b-d) – N/dt = [(b-d) – (a+c)N].N(a+c)N].N

X [(b-d)/(b-d)]X [(b-d)/(b-d)]

NNcadbdb

db

dt

dN)()(.

)(

)(

NNdb

ca

db

dbdb

dt

dN..

)(

)(

)(

)(.)(

Ndb

carN

dt

dN1

• considerando (considerando (b-db-d) como) como r r

O modelo logístico

• como como aa, , cc, , bb e e dd são constantes pode-se definir uma nova são constantes pode-se definir uma nova variável: Kvariável: K

ca

dbK

b’ = b- = b-aNaN

d’ = d+cN = d+cN

• significado biológicosignificado biológico

- Capacidade de suporte: - Capacidade de suporte: tamanho populacional máximo suportável por uma tamanho populacional máximo suportável por uma variedade de recursos (alimento, espaço, abrigo), expresso em número de variedade de recursos (alimento, espaço, abrigo), expresso em número de indivíduos.indivíduos.

O modelo logístico

• como como aa, , cc, , bb e e dd são constantes pode-se definir uma nova são constantes pode-se definir uma nova variável: Kvariável: K

Ndb

carN

dt

dN1

ca

dbK

K

NrN

dt

dN1

db

ca

K

1

N

KrN

dt

dN.

11

Equação de VerhulstEquação de Verhulst

O modelo logístico

• Pierre François VerhulstPierre François Verhulst

K

NrN

dt

dN1Equação de VerhulstEquação de Verhulst

• Nasceu em Bruxelas (Belgica)Nasceu em Bruxelas (Belgica)

• 28/10/1808 – 28/10/1808 – 15/02/184915/02/1849

• matemáticomatemático

• doutor em teoria numérica (Universidade de Ghent, doutor em teoria numérica (Universidade de Ghent, 1825)1825)

• publicou, em 1838, o modelo demográfico logísticopublicou, em 1838, o modelo demográfico logístico

• Equação é a base da teoria da estratégia r/kEquação é a base da teoria da estratégia r/k

• contribuiu para o desenvolvimento da teoria do caoscontribuiu para o desenvolvimento da teoria do caos

• como como aa, , cc, , bb e e dd são constantes pode-se definir uma nova são constantes pode-se definir uma nova variável: Kvariável: K

K

NrN

dt

dN1

Porção não Porção não utilizada da utilizada da capacidade de capacidade de suportesuporte

Crescimento Crescimento exponencialexponencial

Exemplo: Exemplo: K = 100 e N = 7K = 100 e N = 7K = 100 e N = 98K = 100 e N = 98K = 100 e N = 110K = 100 e N = 110

O modelo logístico

• Quando uma população para de crescer (dN/dt=0)?Quando uma população para de crescer (dN/dt=0)?

• r = 0 r = 0

• N = 0N = 0

• N = KN = K

K

NrN

dt

dN1

• N > K => população decresce N > K => população decresce

• N < K => população aumentaN < K => população aumenta

O modelo logístico

• Integrando a equação de crescimento para expressar o tamanho Integrando a equação de crescimento para expressar o tamanho NtNt

K

NrN

dt

dN1

rteNoNoK

KNt

/)(1

K/2K/2

O modelo logístico

Variações no crescimento populacional (dN/dt) em função do Variações no crescimento populacional (dN/dt) em função do tamanho populacional (N)tamanho populacional (N)

O modelo logístico

logísticologístico

exponencialexponencial

PRESSUPOSTOSPRESSUPOSTOS

• Como no exponencial: Como no exponencial: ausência de retardos, ausência de retardos, migração, variação genética ou migração, variação genética ou estrutura etáriaestrutura etária

• OutrosOutros

- Capacidade de suporte - Capacidade de suporte constanteconstante

- Denso-dependência linear- Denso-dependência linear

O modelo logístico

O modelo logístico

• taxa de crescimento per capita taxa de crescimento per capita (r): (r):

Máxima quando N se aproxima de 0Máxima quando N se aproxima de 0

Cai linearmente até 0 quando N Cai linearmente até 0 quando N atinge Katinge K

N>K taxa de crescimento é negativaN>K taxa de crescimento é negativa

No modelo linear => taxa independe No modelo linear => taxa independe de Nde N

PRESSUPOSTOSPRESSUPOSTOS

• Como no exponencial: Como no exponencial: ausência de retardos, ausência de retardos, migração, variação genética ou migração, variação genética ou estrutura etáriaestrutura etária

• OutrosOutros

- Capacidade de suporte - Capacidade de suporte constanteconstante

- Taxa de crescimento tem - Taxa de crescimento tem denso-denso-

dependência lineardependência linear

logísticologístico

exponencialexponencial

bo

do

Taxa de mortalidade (d)

Taxa de natalidade (b)

Tamanho da População - N Tamanho da População - N

dN

/dt

Tempo (t)

Tam

an

ho d

a p

op

ula

ção N

Exercício – 1 (logístico)Exercício – 1 (logístico)

Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). Calcule a taxa de é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). Calcule a taxa de crescimento populacional para situações em que:crescimento populacional para situações em que:

1. a população tem 50 indivíduos;1. a população tem 50 indivíduos;

2. a população tem 450 indivíduos;2. a população tem 450 indivíduos;

3. a população tem 600 indivíduos;3. a população tem 600 indivíduos;

4. quando o crescimento é máximo.4. quando o crescimento é máximo.

K

NrN

dt

dN1

Exercício – 1 (logístico)Exercício – 1 (logístico)

Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). Qual seria o é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). Qual seria o tamanho da população um ano depois, tamanho da população um ano depois,

1.1. Caso a população inicial tenha 100 borboletasCaso a população inicial tenha 100 borboletas

2.2. Caso a população inicial tenha 1000 borboletasCaso a população inicial tenha 1000 borboletas

3.3. Caso a população inicial tenha 500 borboletasCaso a população inicial tenha 500 borboletas

rteNoNoK

KNt

/)(1

Exercício – 1 (logístico)Exercício – 1 (logístico)

Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês).suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês).

1.1. Qual a taxa de crescimento máxima possível para a Qual a taxa de crescimento máxima possível para a população?população?

2. Supondo-se uma população inicial de 30 indivíduos, qual 2. Supondo-se uma população inicial de 30 indivíduos, qual seria o tamanho da população 10 meses depois?seria o tamanho da população 10 meses depois?

K

NrN

dt

dN1

rteNoNoK

KNt

/)(1

Variações do modelo

• Retardos na resposta?Retardos na resposta?

•Crescimento discreto?Crescimento discreto?

•Variação aleatória da capacidade de suporte?Variação aleatória da capacidade de suporte?

SlidesSlidesCortesia – Prof. Angelo A. AgostinhoCortesia – Prof. Angelo A. Agostinho