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Aula 21
Sinais e Sistemas – Capítulo 7
Simon Haykin
Aula 21
Transformada Z Inversa
Formas de se obter a transformada Z inversa:1.Aplicação direta da equação
2.Método das frações parciais3.Método de inspeção de uma série de potência
em z ou z-1
dzzzXj
nx n 1
2
1
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Frações Parciais (aplica-se a sinais unilaterais e bilaterais)
Exemplo 1: Encontre a transformada Z inversa de
111
21
12121
1
1
zzz
zzzX
com região de convergência , usando o método de frações parciais.
21 z
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Frações Parciais
Solução: Fazendo a expansão em frações parciais, temos
13
12
11
121211
z
A
z
A
z
AzX
Para obtermos A1, A2 e A3, fazemos
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Frações Parciais
111
21
111
113
112
111
13
12
11
121211
1
121211
212111211121
121211
zzz
zz
zzz
zzAzzAzzA
z
A
z
A
z
AzX
21113
112
111 1212111211121 zzzzAzzAzzA
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Transformada Z Inversa
• Fazendo z=1/2, temos
• Fazendo z=2, temos
• Fazendo z=1, temos
1421212.21 11 AA
Expansão em Frações Parciais
21113
112
111 1212111211121 zzzzAzzAzzA
24121121121.211 22 AA
211121211 33 AA
Daí, 111 1
2
21
2
211
1
zzz
zX
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Frações Parciais
Sabemos que
111 1
2
21
2
211
1
zzz
zX
11
1
az
zYnuanyZ
n
se a região de convergência tem raio mínimo maior do que o módulo do pólo, a, e que
11
11
az
zYnuanyZ
n
se a região de convergência tem raio máximo menor do que o módulo do pólo, a.
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Transformada Z Inversa
Expansão em Frações Parciais
nunununx nnn 1.22.221
Daí,
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências (Limitada a sinais unilaterais)
Exemplo 2: Encontre a transformada Z inversa de
1
1
21
1
2
z
zzX
com região de convergência , usando o método de expansão em série de potências.
21z
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução: Se a região de convergência for do tipo |z|>a, então expressamos X(z) como uma série de potências em z-1. Se a região de convergência for do tipo |z|<a, então expressamos X(z) como uma série de potências em z.
1
1
21
1
2
z
zzX
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução: Neste caso, como a região de convergência é igual a |z|>1/2, então expressamos a série em z-1, como segue:
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução:
3
32
2
21
1
3211
11
21
21
2
2
21222
2
112
z
zz
z
zz
z
zzzz
zz
zX
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução:
n
nznxzzzzX 321 2122
Daí, concluímos que
213
12
21
20
0,0
x
x
x
x
nnx
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução: Se a região de convergência é modificada para |z|<1/2, então expressamos a série em z, como segue:
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução:
2
2
321
11
16
168
8
84
4
3216822
12
12
z
zz
z
z
zzzz
zz
zX zX
Aula 21
Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução:
Daí, concluímos que
323
162
81
20
0,0
x
x
x
x
nnx
n
nznxzzzzX 32 321682
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Uma vantagem da expansão em série de potências é a capacidade de se encontrar transformas Z inversas para sinais que não são uma razão de polinômios em z, como veremos no exemplo a seguir.
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências (Limitada a sinais unilaterais)
Exemplo 3: Encontre a transformada Z inversa de
2zezX
com região de convergência igual a todos os z, exceto z
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Transformada Z Inversa
Expansão em Série de Potências
Solução: Usando a representação em série de potências para ea, isto é
0 !k
ka
k
ae
de modo que
0
2
0
2
!! k
k
k
k
k
z
k
zzX
Assim, temos que
contráriocaso,!2
1ímpare0,0
n
nnnx
Aula 21
Análise com Transformada Z de Sistemas LTI nxnhny *Sabe-se que
zXzY
zHzXzHzY
Seja agora a equação de diferenças
Aplicando transformada Z, temos
com X(z)≠0
N
k
M
kkk knxbknya
0 0
Aplicando transformada Z, temos
N
k
kk
M
k
kkN
k
M
k
kk
nkk
n
za
zbzHzXzbzzYzaz
0
0
0 0
Aula 21
Exemplo 4: Encontre a descrição com equação de diferença de um sistema que possui a função de transferência
23
252
zz
zzH
Solução: Primeiramente reescrevemos a função de transferência como uma razão de polinômios em z-1, dividindo numerador e denominador por z2.
21
21
231
25
zz
zzzH
Análise com Transformada Z de Sistemas LTI
Aula 21
Comparando com 21
21
231
25
zz
zzzH
concluímos que M=2, N=2
N
k
kk
M
k
kk
za
zbzH
0
0
b0=0, b1=5, b2=2, a0=1, a1=3 e a2=2.
Logo, 22152213 nxnxnynyny
Análise com Transformada Z de Sistemas LTI
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI
Seja a descrição por variáveis de estado
nnn
nnn
Dxcqy
bxAqq
1
Admitamos que seja a transformada Z de q[n], então, aplicando a transformada Z em , obtemos
zQzQzQz N21~ q
nnn bxAqq 1
zzzzzzz bXAIqbXqAq 1~~~
Aplicando a transformada Z em obtemos
nnn Dxcqy
zzz DXqcY ~
Aula 21
Análise com Transformada Z de Sistemas LTI
Substituindo em
obtemos
zzz bXAIq 1~
Observe que a expressão para H(z) tem a mesma forma que a resposta em frequência definida no capítulo anterior. De fato, podemos sair de uma para a outra fazendo
zzz DXqcY ~
DbAIcH
DXbXAIcY
1
1
zz
zzzz
jez
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI - Causalidade
A resposta ao impulso de um sistema causal é nula para n<0. Logo, podemos obter a resposta ao impulso de um sistema causal a partir de sua função de transferência, aplicando a transformada Z lateral direita.
Aula 21
Análise com Transformada Z de Sistemas LTI - Estabilidade
Aula 21
Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade
Sistemas estáveis e causais possuem todos os pólos inseridos no círculo unitário.