Aula 3- Densidade de Potência de Uma Onda Electromagnética

Universidade Eduardo Mondlane

Densidade de Potência e Densidade Volumétrica de Energia

Docente: Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

Licenciatura em Engenharia Eletrónica – 4º ano -PL

Faculdade de Engenharia – DEEL

Ondas Electromagnéticas e Linhas de Transmissão

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Densidade Volumétrica de Energia Elétrica

Sabe-se que onde existe campo elétrico há também energia e que a densidade volumétrica de energia elétrica máxima é dada por:

sendo Eo o valor de pico do campo elétrico. Enquanto seu valor médio é dado por:

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

Da mesma forma, pode-se afirmar que onde existe campo magnético há energia magnética e a densidade volumétrica de energia máxima é dada por:

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Da mesma forma, as energias elétrica e magnética armazenadas num volume V serão:


A energia armazenada num dado volume determina-se como:

Densidade Volumétrica de Energia Elétrica

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Energia de uma Onda

Electromagnética


A densidade volumética de energia média total associada à uma onda eletromagnética plana propagando-se na direção z sera dada por:

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Densidade de Potência de uma Onda

Electromagnética


A densidade de potência média num plano z qualquer é igual ao produto da densidade volumétrica de energia total da onda pela velocidade de propagação da energia, ou seja:

Num dielétrico perfeito a energia associada à onda é transportada a uma velocidade igual a velocidade de fase desta onda. Portanto,

É importante salientar que existem meios onde o transporte de energia associada à onda eletromagnética não ocorre à velocidade de fase.

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Densidade de Potência de uma Onda

Electromagnética


Geralmente, a densidade de potência é representada na forma vetorial, sendo Wm denominado de vetor de Poynting médio.

Para um meio qualquer, onde a impedância intrínseca pode ser complexa, o vetor de Poynting é dado por:

A potência média associada a uma ârea S de uma determinada frente de onda é determinada pela seguinte expressão:

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc. 7

Exemplo

Um copo d’água, com 10cm de diâmetro e 15cm de profundidade, é colocado para aquecer dentro de um forno de microondas. O campo elétrico gerado pelo forno tem valor máximo igual a 1kV/m e varia com uma frequência de 1GHz. Supondo-se que a onda eletromagnética é plana e incide normalmente sobre a superfície da água, qual deve ser a energia absorvida por este líquido? Qual a potência média que chega à superfície d’água? Considere que o campo eletrico na água diminui para 20% do seu valor máximo no ar. Nesta frequência a permissividade relativa da água é igual 81.


Solução

A energia pode ser calculada a partir da integração da densidade volumétrica de energia total. Neste caso, torna-se necessário encontrar o valor do campo elétrico máximo dentro d a água, este valor é 5 vezes menor (20%) que no ar, isto é, 200V/m. Sendo assim,


Velocidade de Fase, de Grupo e

Relativa

Foi visto que, para meios dielétricos perfeitos, a velocidade de fase de uma onda eletromagnética é dada por:

No espaço livre:

velocidade relativa é definida como a razão entre a velocidade de fase da onda no meio dielétrico pela velocidade da onda no vácuo, ou seja:



Relativa

Muitos materiais dielétricos são classificados de acordo com uma grandeza chamada índice de refração, que é definido como sendo o inverso da velocidade relativa da onda no meio, isto é:

Para meios não magnéticos, tem-se:

Observa-se que, quanto maior for a permissividade e/ou permeabilidade do meio, menor será a velocidade relativa da onda.


A velocidade de grupo está associada a um grupo de ondas eletromagnéticas de frequências distintas. Cada onda se propaga com velocidade de fase e velocidade de grupo


Relativa

A obtenção da velocidade de grupo pode ser demostrada a partir de duas ondas que se propagam no mesmo meio com frequências distintas.



Relativa

Consideremos duas ondas dadas pelos seguintes campos elétricos:

O campo elétrico resultante será:

Consideremos ainda que:



Relativa

Podemos então reescrever o campo total com:

Ou

Considerando-se apenas a parte real:



Relativa

Esta equação é parecida com a equação de uma onda modulada em amplitude, onde a frequência da portadora é ωo e do sinal modulador é Δω.

Considerando-se apenas a parte real:



Relativa

A velocidade do grupo de um conjunto de onda está associada à envoltória da onda resultante e é definida como sendo a velocidade de deslocamento de um dado ponto fixo desta envoltória, ou seja:


Se a permissividade do meio não varia com a frequência, então vf também não varia com a frequência e nem com o número de onda e como:


Relativa

Concuí-se que:


Ondas Planas e Ondas Uniformes

planas

Para ondas planas a fase é constante em planos perpendiculares à direcção de propagação.

,

i k r tf r t Ae

,i k r t

f r t Ae

Onde k é o vetor de onda, e A é a amplitude da onda. Tendo em vista que o lugar geométrico dos pontos para os quais:

constantek r

Denomina-se onda plana aquela que se apresenta na forma:



planas

A característica mais notável de uma onda plana é que sua fase é a mesma para cada superfície plana…

22

2k

v



planas

Para ondas planas uniformes apresentam amplitude constante nos planos de fase constante. Ondas deste tipo só podem ser encontradas no espaço livre a uma distância infinita da fonte.

A sua energia se propaga na direção z, através do vetor de Poynting Smed.


Ondas TEM num Meio Qualquer


Meios Dielétricos e Condutores

Os meios podem ser classificados de acordo com suas características elétricas e magnéticas, como permissividade, permeabilidade e condutividade.

Eles podem ser dielétricos perfeitos, dielétricos com perdas, quase condutores, condutores ou condutores perfeitos.

A classificação também depende da frequência da onda eletromagnética que se propaga no meio.

Um meio pode ser dielétrico para uma determinada faixa de frequência e condutor para outra.



Sabe-se pela lei de Ampére que, para campos variando harmonicamente no tempo:

onde o primeiro termo do lado direito da equação representa a densidade de corrente de condução do meio e, o segundo, a densidade de corrente de deslocamento.

Se σ = 0, então, o meio é dito perfeitamente dielétrico, podendo ser considerado sem perdas quando ε e μ são números reais, ou com perdas quando ε e/ou μ assume valores complexos.

Por outro lado, se σ >> ωε, então, o meio é dito condutor, pois a corrente de condução é predominante em relação à corrente de deslocamento.



Emtermos práticos, pode-se classificar os meios como:

100

1osDiélectric

100100

1CondutoresQuase

100Condutores



Meios dielétricos podem Também ser considerados isotrópicos ou anisotrópicos. Os meios isotrópicos são aqueles onde a permissividade não muda com a direção. Neste caso, as componentes de densidade de fluxo elétrico estão relacionadas com o campo elétrico através de:



Enquanto os meios anisotrópicos são classificados como: uniaxial, onde as permissividades são idênticas em duas direções e biaxial, onde:

Se um grupo de ondas com frequências distintas se propagam num meio qualquer, onde cada onda se desloca com velocidade de fase diferente das outras, então este meio é dito dispersivo.

Por outro lado, se cada onda possui a mesma velocidade de fase das outras, o meio é dito não-dispersivo. Sendo assim, pode-se também classificar os meios de acordo

com a dispersão das ondas eletromagnéticas que se propagam neles.



Os meios podem também ser classificados comparando a velocidade de fase e de grupo, partindo das expressões seguintes:

anômalo dispersivo Meio

dispersivo enormalment Meio

dispersivo-não Meio

gf

gf

gf

vv

vv

vv


Exemplo

Uma onda eletromagnética se propaga num meio com velocidade de fase dada por onde C é uma constante qualquer. Que tipo de meio é esse?

A velocidade de grupo é duas vezes maior que a de fase, portanto, o meio é dispersivo anômalo.

Solução:


Equação de Helmholtz

Considere agora uma onda propagando-se num meio com condutividade σ, permissividade e permeabilidade μ. Se os campos variam harmonicamente no tempo, então:

As equações de Helmholtz, apresentam-se na seguinte forma:

Sendo γ denominada de constante de propagação.


Solução das Equações de Helmholtz

As soluções das equações de Helmholtz são, respectivamente:

Onde n é o vector que indica o sentido de propagação da onda.


Constantes de Amortecimento e de Fase

De uma forma geral, a constante de propagação é um número complexo representado por:

Onde α é chamado de fator de amortecimento ou atenuação da onda eletromagnética, enquanto β é denominado constante de fase. E os campos podem então ser escritos como:

Se a constante de propagação é um número complexo, então, a onda sofre uma atenuação ao longo da direção de propagação. O único meio onde não ocorre atenuação das ondas eletromagnéticas é o

dielétrico perfeito sem perdas. Neste caso, σ = 0, γ = jβ = jk e o fator de atenuação α = 0.


Impedância Intrínseca e Velocidade de Fase

Da lei de Faraday temos que:

De onde, por arranjos matemáticos obtêm-se:

Sendo n o vector direção, o parâmetro que relaciona o campo elétrico com o magnético é a admitância do meio (Y), podendo a equação ser reescrita como:

O inverso da admitância do meio é a impedância do meio, dada segundo Faraday por:


Impedância Intrínseca e Velocidade de Fase

Se for utilizada a lei de Ampére temos que:

A velocidade de fase de um meio qualquer é obtida como:


Exemplo

Mostre que num meio dielétrico sem perdas a impedância intrínseca do meio segundo a lei de Faraday e segundo lei de Ampére temos são iguais.

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