Teoría Electromagnética Murphy · Teoría Electromagnética Murphy

Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————

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CAPÍTULO 6 EL CAMPO MAGNÉTICO EN LA MATERIA

Materia ⇒ constituida por cargas en movimiento @T=0K ⇒ Vibraciones atómicas considerables;

movimiento de electrones a grandes velocidades alrededor de los núcleos; conjunto de partículas cargadas en movimiento dinámico.

B ⇒ Interactúa con la materia

B ⇒ Campo promedio macroscópico

m ⇒ momento dipolar magnético modelo de la materia


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El dipolo magnético: Expansión multipolar del potencial vectorial:

dipolo + cuadrupolo + octopolo + ...

el término monoplar es cero Término dipolar —dominante:

( )o oo 2 2

o o

I I(r ) r cos d ˆ d

4 r 4 rµ µ

= θ = •π π∫ ∫1 oA l r r lÑ Ñ

( )[ ] ( ) ( )d ˆ ˆ d ˆ d• = • + •o o or r r r r r r r r


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( )[ ] ( ) ( )d ˆ 0 ˆ d ˆ d• = = • + •∫ ∫ ∫o o or r r r r r r r rÑ Ñ Ñ

( ) ( )oˆ d ˆ d• = − •∫ ∫or r r r r rÑ Ñ

Del doble producto cruz:

( ) ( ) ( )ˆ d ˆ d ˆ d× × = • − •∫ ∫ ∫o o or r r r r r r r rÑ Ñ Ñ

( ) ( )ˆ d 2 ˆ d× × = − •∫ ∫o or r r r r rÑ Ñ


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r

r+dr dr=dl

I

( ) ( )1ˆ d ˆ d

2• = − × ×∫ ∫o or r l r r lÑ Ñ


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( )oo 2

o

I 1(r ) ˆ d

24 rµ

= − × × π ∫1 oA r r lÑ

( ) ( )o oo 2 2

o o(r ) ˆ ˆ

4 r 4 rµ µ

= − × = ×π π

1 o oA r m m r

momento dipolar magnético:

( )1I d

2= ×∫m r lÑ

Integral ⇒ doble del área del lazo de corriente

Unidades: corriente por área ⇒ Am2


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Para un lazo de corriente en un plano:

m = IA

A ⇒ área del lazo

dipolo ideal ⇒ I→∞ y A→0 con m=cte. Campo magnético dipolar:

o2

ˆ(r, ) (r)

4 rµ × θ = ∇ × = ∇ × π

1m r

B A

o2

msen ˆ4 rµ θ = ∇ × π

φ

( )ˆˆm m cos ˆ sen= = θ − θm k r θ


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ˆ ˆˆ r rsenˆˆ m cos msen 0 msen

1 0 0

θ× = θ − θ = θ

rm r

θ φφ

( )o3

m ˆ(r, ) 2cos ˆ sen4 rµ

θ = θ + θπ

B r θ


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Dipolo en campo magnético externo: Tiende a alinearse con el campo

z

y

βm

IFM-I

FM-III

h

h

I

I

x

y

I

I

I

II

II

III

IV

B

B

Corte seccional Visto desde arriba

FM-I

FM-III

FM-IV

FM-II

Fuerza magnética sobre el lazo:

I(d )= ×∫MF l B


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Sub-trayectoria I: ˆd dx=l i

ˆ ˆ ˆˆd dx 0 0 dxB

0 0 B× = = −

i j kl B j

( )S / 2 S / 2

M I

S / 2S / 2

S Sˆ ˆ Î dxB IB x IB2 2

− −

−

= − = − = − − −

∫F j j j

M IÎBS− =F j


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Sub-trayectoria II: ˆ ˆd cos dy sen dz= β + βl j k

ˆ ˆ ˆˆd 0 cos dy sen dz Bcos dy

0 0 B× = β β = β

i j kl B i

( )S / 2 S / 2

M II

S / 2S / 2

ˆ Î Bcos dy IBcos y

− −

−

= β = β

∫F i i

M IIS S ˆ ÎBcos IBScos2 2−

= β − − = − β

F i i


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Sub-trayectoria III: Por simetría con I:

( )S/2

M III

S / 2

ˆ Î dxB IBS−

−

= − = −∫F j j

Sub-trayectoria IV: Por simetría con II:

( )S / 2

M IV

S/2

ˆ Î Bcos dy IBScos−

−

= β = β∫F i i

Fuerza neta:

Mˆ ˆ ˆ ÎBS IBScos IBS IBScos 0= − β − + β =F j i j i


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Fuerzas en I y III; distintos centros de acción: ⇒ Torque

M= ×N h F

h = distancia perpendicular de la línea de acción al origen

Para el lado I:

( )I M Iˆ ˆÎBS h IBSh−= × = × − =N F h j k i

Para el lado III:

( )III M III ˆ ˆÎBS h IBSh−= × = − × =N F h j k i

Torque total:

I IIIˆ ˆ ÎBSh IBSh 2IBSh= + = + =N N N i i i


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Sh sen

2= β

2S ˆ ˆ2IBS sen IBS sen

2 = β = β

N i i

2m IS=

ˆmBsen= β = ×N i m B

m tiende a alinearse con B

Para campo externo no uniforme:

( )M = ∇ •F m B


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Ejemplo 50.- Fuerza entre imanes en barra

z

y

z

m1

m2

( )M1 2 2 1− = ∇ •F m B


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2 2 ˆm= −m k o 11 3

m ˆ(r z, 0)2 zµ

= θ = =π

B k

( ) o 1 o 1 2M1 2 2 3 3

m m mˆ ˆ ˆ ˆmz z2 z 2 z

−µ µ∂ ∂ = − • = − ∂ ∂ π π

F k k k k

o 1 2

M1 2 4m m ˆ3

2 z−

µ=

πF k

o 1 24

m m ˆ ˆ3 g2 z

µ=

πk kM

o 1 243 m m

z2 g

µ=

πM


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Momentos dipolares atómicos: Momentos dipolares en la materia:

♦ electrónico ♦ de spin del electrón ♦ de spin del núcleo

Combinación ⇒ propiedades magnéticas del material Momento dipolar electrónico u orbital: “Giro” del electrón f≈1015 s-1 ⇒ corriente

I = − e

T


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Iv

-e

r

B m

Período de revolución: 2

Tπ

=ω


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e evI

2 2 rω

= − = −π π

Momento dipolar orbital:

( )2ev 1I(área) r ˆ evr ˆ

2 r 2 = = − π = − π

m n n

Ecuación de órbita; B=0:

2 2

2o

1 e v4 rr

=πε em

Ecuación de órbita; B≠0:

2 2

2o

1 e ueuB

4 rr+ =

πε em


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( )2 2euB u v (u v)(u v)r r

= − = − +e em m

u v 2u+ ≈ u v v− = ∆

euB ( v)(2u)r

= ∆em

eBr

v2

∆ =em

2 2 2 21 1 e r 1 e re vr ˆ Bˆ

2 4 4

∆ = − ∆ = − = −

m n n B

e em m


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Signo negativo ⇒ cambio en momento dipolar en dirección opuesta al campo

Cuántica-mecánicamente:

Be

ˆ ˆ2

= − = −µm n nh

c cm mem

l(l 1)= +cm

Magnetrón de Bohr:

µB =

eh2me

= 9.27X10−24Am 2

Modelo clásico:

m = 9.271X10−22 Am2


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Momento dipolar del spin del electrón: ♦Efecto totalmente cuántico (no existe un buen

modelo clásico ni semi-clásico) ♦Spin del electrón ⇒ momento dipolar magnético Componente z del momento dipolar:

µz = −(2.00232)

eh2me

Jz

h ≈ −2µBJzh = −2µB ±

12

= ∓µB

Jz ⇒ proyección en el eje z del momento angular

el momento dipolar del spin se alinea a favor del campo magnético


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Momento dipolar del spin del núcleo: ♦Núcleo ⇒ tiene asociado un spin intrínseco ♦Spin del núcleo ⇒ momento dipolar magnético ♦Valor aproximado:

µN ≈

eh2mp

=µB

1,836

Las propiedades magnéticas de la materia se pueden modelar en base

a la combinación del momento magnético electrónico y el momento

magnético del spin del electrón


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Materiales Diamagnéticos: l Diamagnetismo ⇒ cambio en momento dipolar

electrónico en presencia de un campo externo

l Los momentos dipolares se oponen al campo aplicado (dia=en contra de)

l B es menor dentro del material con respecto al espacio libre (B≈0.99999Bo)

l Todos los materiales presentan diamagnétismo

l Regla general (con muchas excepciones): los materiales con número par de electrones son diamagnéticos

l Si B=0, los dipolos se orientan azarosamente y estadísticamente m=0 (el material no presenta magnetización)


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l Ejemplos de materiales diamagnétcos:

Material # electrones χm hidrógeno 1 -0.22 X 10-8 helio 2 -0.19 X 10-5 grafito 6 -0.60 X 10-5 silicio 14 -0.39 X 10-5 azufre 16 -1.55 X 10-5 cloruro de sodio 28 -3.03 X 10-5 cobre 29 -0.94 X 10-5 germanio 32 -7.68 X 10-5 oro 47 -3.00 X 10-5 bismuto metálico 83 -16.5 X 10-5 gases nobles par


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Materiales Paramagnéticos: l Paramagnetismo ⇒ cambio en momento dipolar

del spin del electrón en presencia de un campo externo

l Los momentos dipolares se alinean con el campo aplicado (para=a favor de)

l B es mayor dentro del material con respecto al espacio libre (B≈1.00001Bo)

l Regla general (con muchas excepciones): los materiales con número impar de electrones son paramagnéticos

l Si B=0, los dipolos se orientan azarosamente y estadísticamente m=0 (el material no presenta magnetización)


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l Ejemplos de materiales paramagnéticos:

Material # electrones χm berilio 4 79.0 X 10-8 oxígeno 8 190. X 10-8 sodio 10 0.85 X 10-5 aluminio 13 1.65 X 10-5 potasio 19 2.08 X 10-5 itrio 39 0.22 X 10-5 cloruro de níquel 45 4.00 X 10-5 tungsteno 74 7.80 X 10-5 platino 78 29.0 X 10-5 cloruro de erbio 85


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Materiales Ferromagnéticos: l Cada átomo tiene un momento dipolar fuerte,

debido a momentos de spin sin compensar

l Los momentos de átomos vecinos se alinean en la misma dirección, formando “dominios”

l Dominios ⇒ regiones con el momento dipolar en una dirección

l Ferromagnético virgen: momento dipolar de cada dominio orientado azarosamente; m=0 si B=0

l Si B≠0, los dominios tienden a alinearse con el campo; m≠0

l B es mucho mayor dentro del material con respecto al espacio libre (B≈4,500Bo)


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l Un material ferromagnético queda magnetizado al remover el campo; m≠0

l El ferromagnetismo desaparece si T>TC (Temperatura de Curie)

l Ejemplos de materiales ferromagnéticos:

Material TC

cobalto 1,131°C fierro 770°C níquel 358°C gadolinio 16°C alnico (aluminio, níquel, cobalto y cobre)


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Materiales Antiferromagnéticos: l Los momentos dipolares magnéticos de átomos

vecinos se alinean antiparalelamente; m=0

l B es casi igual dentro del material con respecto al espacio libre (B≈Bo)

l Se presenta principalmente a bajas temperaturas

l No se les ha encontrado gran aplicación práctica en la ingeniería

l Ejemplos: óxido de níquel (NiO); sulfuro ferroso (FeS); cloruro de cobalto (CoCl2)


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Materiales Ferrimagnéticos: l Alineamiento antiparalelo de los momentos

dipolares magnéticos netos de átomos vecinos, pero m≠0

l Si B≠0, hay un gran alineamiento de los dipolos con el campo

l B es mucho mayor dentro del material con respecto al espacio libre, pero no tanto como en los ferromagnéticos (B≈800Bo)

l Los materiales ferrimagnéticos son malos conductores; corrientes parásitas reducidas ⇒ aplicación fundamental en campos variables con el tiempo; transformadores, antenas, inductores

l Ejemplos: Ferritas (óxidos de Fe): Fe3O4; NiFe2O4; Ni1/2Zn1/2Fe2O4


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Materiales Superparamagnéticos l Superparamagnetismo ⇒ no es un estado magnético

natural

l Matriz de partículas ferromagnéticas (puntos) sobre una superficie no ferromagnética

l Si B≠0, dominios en cada punto se alinean con el campo, pero no hay una alineación de los dominios de puntos vecinos

l Gran proliferación de materiales superpara-magnéticos en nuestra vida cotidiana

l Ejemplos: todos los medios magnéticos de almacenamiento de información; cintas para audio, video y datos; discos flexibles y rígidos; tiras magnéticas en tarjetas bancarias y boletos


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Almacenamiento de información; analógica y digital:


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Magnetización: Magnetización ⇒ momento dipolar magnético por unidad

de volumen:

M =

lim∆τ → 0

m∆τ

Unidades ⇒

Am 2

m3=

Am

Potencial debido a material magnetizado:

( )o2

ˆ( )4

µξ = ×

πξ1A m ξ


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o2

ˆ( ) d

4µ ×

ξ = τπ ξ∫1

MA

ξ

ˆ1 ∇ = ξ ξ 2ξ

∇ ⇒ actuando sobre coordenadas de integración

A1(ξ) =

µo4π

M × ∇1ξ

dτ∫

M × ∇

1ξ

=

1ξ

∇ × M( )− ∇ ×

Mξ


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o 1( ) d

4µ ξ = ×∇ τ π ξ ∫1A M

( )o 1d

4 µ = ∇ × −∇× τ π ξ ξ ∫ M

M

d d ∇× τ = − × ξ ξ ∫ ∫M Ma

o o d( ) d

4 4µ µ∇× ×

ξ = τ +π ξ π ξ∫ ∫1

M M aA


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Densidad volumétrica de corriente de magnetización:

m = ∇ ×J M Densidad superficial de corriente de magnetización:

m ˆ= ×K M n Potencial debido a material magnetizado:

o om m( ) d da4 4µ µ

ξ = τ +π ξ π ξ∫ ∫1

J KA


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Las densidades de corriente de magnetización son REALES:

r̂

k̂M=M

φ̂K=Km

Constituyen corrientes parásitas


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Ley de Ampere:

J’ = J + Jm

( ) mo o

1'

∇× = ∇ × = = + µ µ

BB J J J

o

∇ × = + ∇ × µ

BJ M ⇒

o

∇ × − = µ

BM J

Vector H:

o≡ −

µB

H M

Unidades ⇒ Am


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Ley de Ampere:

∇ × =H J encd I• =∫ H lÑ

Medios lineales, isotrópicos y homogéneos:

m= χM H

χm ⇒ susceptilidad magnética del medio (adimensional)

χm <0 para medios diamagnéticos

χmo =0 en el espacio libre

χm >0 para los demás medios


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mo o

= − = − χµ µB B

H M H

( )o m1= µ + χ = µB H H

Permeabilidad magnética del medio:

µ = µo 1+ χm( )

Unidades ⇒

N

A2

Permeabilidad relativa:

( )m mo

k 1µ

= = + χµ

(adimensional)


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km <1 para medios diamagnéticos

kmo =1 en el espacio libre

km >1 para los demás medios

Ley de Ampere en medios LIH: 1) H debe ser paralelo o perpendicular al lazo

amperiano en todo punto. Esta condición implica que debemos conocer la dirección de H a priori.

2) H debe ser constante en el lazo amperiano usado.

Esta condición se cumple para líneas y planos infinitos con distribución de corriente uniforme.


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Ejemplo 51.- Solenoide ideal.

z

y

x

dl

I

H

µ


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De la Ley de Ampere:

encd I• =∫ H lÑ

( )encI NI nl I= =

Si el núcleo del solenoide es LIH, cumple con las condiciones de la ley de Ampere:

d Hdl Hl NI• = = =∫ ∫H lÑ

ˆnI=H k


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( )o m1= µ = µ + χB H H

ˆnI= µB k Solenoide sin núcleo (espacio libre):

o ˆnI= µB k

Generalizando: Para medios LIH, la solución es exactamente igual a la del espacio libre siempre y

cuando: oµ ⇒ µ


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Condiciones de frontera:

β

α

dl

2

1H1

H2


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De la ley de Ampere:

2 1d d d• = • + • =∫ ∫ ∫H l H l H lÑ

( )2t 1t 2t 1tH dl H dl H H dl− = −∫ ∫ ∫

encI Kdl= ∫

( )2t 1tH H dl Kdl− =∫ ∫

2t 1tH H K− =


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Las componentes tangenciales del vector H son discontinuas si existe una densidad superficial de

corriente K entre los medios Si los medios son LIH:

2t 1t

2 1

B BK− =

µ µ

Si K=0:

22t 1t

1B B

µ=

µ

Las componentes tangenciales de B son siempre

discontinuas al cambiar de medio


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0∇ • =B

2n 1nB B=

Las componentes normales de B son siempre continuas al cambiar de medio

En resumen, condiciones de frontera:

( )ˆ 0• − =2 1n B B

( )ˆ × − =2 1n H H K


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Histéresis: Ferromagnéticos ⇒ no lineales

B(B) f

H∂ µ = ∂

Ciclo de Histéresis: Representa pérdidas de energía: El campo B le cede energía al material para cambiar la orientación de los dipolos, pero esta energía no “regresa” al campo; se disipa en el medio (en forma de calor).


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M o B

H o Ia

cb

g

fe

d


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RESUMEN GLOBAL: ELECTROMAGNETOSTÁTICA

Ecuaciones de Maxwell (caso estático): Forma diferencial: ∇ • = ρD (Ley de Gauss) 0∇ × =E (Ley de Faraday) 0∇ • =B ∇ × =H J (Ley de Ampere)


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Forma integral:

d d• = ρ τ∫ ∫D aÑ (Ley de Gauss)

d 0• =∫ E lÑ (Ley de Faraday)

d 0• =∫ B aÑ

d d• = •∫ ∫H l J aÑ (Ley de Ampere)


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Ecuaciones de los materiales:

o= ε +D E P

o= −

µB

H M

En medios LIH:

= εD E

=µB

H

Ley de Lorentz:

( )[ ]q= + ×EMF E v B


——————————————————————————————————————————————— —442—

Condiciones de frontera:

( )ˆ • − = σ2 1n D D

( )ˆ 0× − =2 1n E E

( )ˆ 0• − =2 1n B B

( )ˆ × − =2 1n H H K Relatividad:

marco de referencia⇐ ⇒E B

mismo fenómeno observado desde distintos puntos de vista

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