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8/18/2019 Aula 4 , mat II 2015
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Matemática
Matemática II
Ano acadêmico 2015
8/18/2019 Aula 4 , mat II 2015
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Matemática
Integral definida
Ano acadêmico 2015
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Integral definida.
• Área sob uma curva – Se existe, dizemos que f inte!ráve" em
#a,b$%
– &uando a fun'(o f cont)nua e n(o*ne!ativa em #a,b$,
a de+ni'(o da inte!ra" de+nida coincide com ade+ni'(o da área% ortanto, neste caso, a inte!ra"
de+nida a área da re!i(o sob o !rá+co
de f de -a. at -b.%
– /bserva'(o semre que uti"izamos #a,b$ suomos a b%
• Se a3b, ent(o se a inte!ra" 4
direita existir
• Se a6b e f7a8 existir, ent(o,
∫ b
a
dx x f )(
∫ b
a
dx x f )(
∫ ∫ −=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(
0)( =∫ a
a
dx x f
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Integral definida.
9ota'(o ara a Inte!ra" :e+nida
( )b
a f x dx∫
"imite suerior deinte!ra'(o
Simbo"o deInte!ra'(o7inte!ra"8
;imite inferior de inte!ra'(o
inte!rando
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Integral definida.
• roriedades – 18 =%f7x8 inte!ráve" em #a,b$ e
– 28
– >8
– ?8 f7x8 @ !7x8 inte!ráve" e
– 58
– 8 Se f7x8 ≤ !7x8 e a ≤ b, ent(o
∫ ∫ =b
a
b
a
dx x f k dx x f k )(.)(.
∫ =a
a
dx x f 0)(
∫ ∫ −=b
a
a
b
dx x f dx x f )()(
∫ ∫ ∫ +=+b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([
∫ ∫ ∫ +=b
a
c
a
b
cdx x f dx x f dx x f )()()(
∫ ∫ ≤b
a
a
b
dx x g dx x f )()(
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Integral definida.
• Beorema Cundamenta" do Dá"cu"o – Se C7x8 uma rimitiva de f no interva"o #a,b$,
ent(o
)()()()( a F b F x F dx x f
b
a
b
a −==∫
Exemplo : Calcular
∫ 1
0
2dxx
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Integral definida.
Exemplo : Calcular
∫
1
0
2dxx
3
x 3
3
1
3
0
3
1
3
xdxx
1
0
31
0
2 =
−=
=∫
Uma primitiva de f(x) = x2 é como vimo! "(x) =
#!!im:
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Integral definida.
EFEM;/
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
C%&CU&' E %E#*
1.º caso
∫ = b
adx)x(f A
# $rea e!t$ toda acima do eixo x ou !e+a f(x) ≥ , para todo x ∈ -a /
ent0o
" : -a / R e f(x) ≥ , ∀ x ∈ -a /.
a b
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
Exemplo: #c1ar a $rea limitada pela curva = x3 4 5x6 peloeixo 7 e pela! reta! x = , e x = 2.
Solução: A =∫ +2
0
23 )3( dx x x
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
Exemplo :Calcular a $rea limitada pela curva = 8 x6 4 5x 8 9 peloeixo 7 no intervalo - 5 /.
Solução:
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
3.º caso
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
# regi0o cu+a $rea ;ueremo! calcular e!t$ !ituadaentre dua! curva!.
4.º caso
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Integral definida. C$lculo de $rea!.
Exemplo 4: AcHar a área "imitada e"as curvas 6xJ e 6 x%
π /
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Integral definida. Exerc
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Integral definida. Exerc
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Integral definida. Exerc
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Integral definida. Exerc
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Integral definida. Exerc
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Matemática
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