Aula 6 - Geometria e Trigonometria

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 6: Geometria e Trigonometria

1. NGULOS ........................................................................................................................................ 2

1.1. Situaes em que os ngulos tm a mesma medida .............................................................................. 4

1.2. ngulos complementares, suplementares e replementares ................................................................... 5 2. TEOREMA DE TALES ....................................................................................................................... 5

3. TRINGULOS................................................................................................................................... 7

3.1. Introduo ............................................................................................................................................. 7

3.2. Elementos do tringulo ......................................................................................................................... 7

3.3. Soma dos ngulos internos de um tringulo ......................................................................................... 9

3.4. Classificao dos tringulos ............................................................................................................... 12 3.5. Congruncia de tringulos .................................................................................................................. 13

3.6. Semelhana de tringulos ................................................................................................................... 14

3.7. rea do tringulo ................................................................................................................................ 15 3.8. Teorema de Pitgoras ......................................................................................................................... 17

4. OUTROS POLGONOS ................................................................................................................... 21

4.1. Nmero de diagonais de um polgono qualquer ................................................................................. 23

4.2. Soma dos ngulos internos de um polgono qualquer ......................................................................... 26

4.3. rea dos retngulos ............................................................................................................................ 29 5. CRCUNFERNCIA E CRCULO ....................................................................................................... 31

5.1. rea do crculo e comprimento da circunferncia .............................................................................. 31 5.2. Reta tangente a uma circunferncia .................................................................................................... 43

6. FUNES TRIGONOMTRICAS ..................................................................................................... 52

6.1. Lei dos cossenos .................................................................................................................................. 66 7. GEOMETRIA ESPACIAL .................................................................................................................. 69

7.1. Poliedros ............................................................................................................................................. 70

7.2. Cilindros ............................................................................................................................................. 74

7.3. Cone .................................................................................................................................................... 76

7.4. Esfera .................................................................................................................................................. 77 8. RESUMO ................................................................................................................................... 109

9. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ........................................................................................ 110

10. GABARITO .............................................................................................................................. 124



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Carssimos,

Hoje terminamos o segundo bloco da matria. Assim, j est na hora da segunda lista de reviso.

Contudo, como a aula de hoje me tomou muito tempo (pois fazer todas as figurinhas colocadas ao longo da aula foi bem trabalhoso), vou disponibilizar a lista de reviso na semana que vem, ok?

1. NGULOS

Um ngulo uma medida da abertura entre dois segmentos de reta.

Na figura acima, temos duas aberturas, representadas por encontros de segmentos de reta.

Vamos olhar primeiro para a abertura da esquerda. Nela, os segmentos de reta esto bem abertos. Assim, o ngulo associado ser grande.

Na outra, temos segmentos de reta bem fechados. O ngulo associado ser pequeno.

Para medirmos um ngulo, usamos a unidade que se chama grau. A definio do grau feita a partir da circunferncia. Na figura abaixo temos uma circunferncia:

Ela redonda, parece uma pizza. Imagine que vamos dividir esta pizza em 360 pedaos. Isso mesmo, cada pedao ser bem pequeno.

Na figura abaixo, representamos um destes pedaos:



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O ngulo desta abertura definido como 1 (um grau).

Outra unidade de medida para os ngulos o radiano.

360 correspondem a 2 radianos. O nmero um nmero irracional, que vale aproximadamente 3,14.

TOME NOTA!!!

Graus e radianos:

360 = 2

Um ngulo muito importante o ngulo de 90. Trata-se do ngulo que vemos na quina das mesas, no cantinho da parede, na juno da parede com o teto.

Dois segmentos de reta que definem um ngulo de 90 so ditos perpendiculares.

Usamos o smbolo que parece um quadradinho com um pontinho dentro para indicar o ngulo de 90. Esse ngulo tambm chamado de ngulo reto.

Quando um ngulo tem menos de 90 ele dito agudo. Se tiver mais de 90, ento obtuso.



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ngulo reto (90)

ngulo agudo (90)

Um ngulo obtuso especial o ngulo de 180, chamado de ngulo raso.

Nesse ngulo, os dois segmentos de reta esto ao longo de uma mesma reta. como se cortssemos a pizza em apenas duas fatias: cada uma correspondente a metade da pizza.

Vejam o ngulo raso:

1.1. Situaes em que os ngulos tm a mesma medida

Existem duas importantes situaes em que os ngulos tm a mesma medida (so congruentes).

A primeira delas ocorre quando os ngulos so opostos pelo vrtice (OPV).

O vrtice nada mais que a quina do ngulo, ou ainda, o ponto em que duas retas se cruzam. o pontinho O da figura acima.

Quando duas retas se cruzam, elas definem quatro ngulos.

Os ngulos verde e vermelho so opostos e compartilham um mesmo vrtice. Quando isso ocorre, os ngulos tm a mesma medida. So conhecidos por ngulos opostos pelo vrtice.

Outra situao importante ocorre quando um feixe de retas paralelas cortado por uma transversal.



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Os ngulos que ocupam posies correspondentes tm a mesma medida. o caso dos ngulos em vermelho da figura acima.

1.2. ngulos complementares, suplementares e replementares

Dois ngulos so complementares quando a soma de ambos igual a 90.

Dois ngulos so suplementares quando a soma de ambos igual a 180.

Dois ngulos so suplementares quando a soma de ambos igual a 360.

Exemplo 1:

Calcule o suplemento e o complemento de 30.

Resoluo:

Complemento:

90 30 = 60

Os ngulos de 60 e 30 so complementares, pois a soma de ambos 90.

Suplemento:

180 30 = 150

Os ngulos 150 e 30 so suplementares, pois a soma de ambos 180.

2. TEOREMA DE TALES

Um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais forma segmentos de retas proporcionais.

Na figura abaixo, temos trs retas horizontais, paralelas entre si.



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Sejam ,, e as medidas dos segmentos de reta definidos na figura acima. O Teorema de Tales nos diz que segmentos correspondentes so proporcionais:

=

Questo 1 STN 2005 [ESAF]

Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, a, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, b, outros trs segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal b, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centmetros, dos segmentos sobre a transversal B so iguais a:

a) 6, 30 e 54

b) 6, 34 e 50

c) 10, 30 e 50

d) 14, 26 e 50

e) 14, 20 e 56

Resoluo:

A figura abaixo representa a situao dada na questo:

Ao longo da reta a a distncia total entre a primeira e a ltima das retas pertencentes ao feixe de:

2 + 10 + 18 = 30



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Ao longo da reta b, a distncia correspondente igual a 90.

Observem que a distncia total para a reta b 3 vezes maior que a distncia total para a reta a. Como as distncias correspondentes ao longo das duas retas so proporcionais, podemos concluir que cada segmento ao longo da reta b ser, tambm, 3 vezes maior que o segmento correspondente ao longo da reta a.

Preenchemos estes valores na figura abaixo:

Gabarito: A

3. TRINGULOS

3.1. Introduo

Considere trs pontos A, B e C, que no estejam ao longo de uma mesma reta (ou seja, pontos no colineares).

Se ligarmos os trs pontinhos, obtemos a figura denominada tringulo:

3.2. Elementos do tringulo



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Os pontinhos A, B e C so os vrtices do tringulo.

Os segmentos a, b e c so os lados do tringulo:

Alm disso, temos os ngulos internos do tringulo (na figura abaixo, ngulos x, y e z):

Uma altura do tringulo um segmento que parte da reta suporte de um dos lados (chamado de base), sendo perpendicular a ela, e termina no vrtice oposto.

Acima, o segmento h a altura em relao base b.

Interessante notar que o tringulo tem trs alturas, cada uma delas relativa a um lado diferente. Abaixo desenhamos outra altura:



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Na figura acima, note que no foi possvel que a altura h partisse exatamente do lado c, segundo uma perpendicular, e chegasse ao vrtice oposto.

Assim, a altura h teve que partir da reta suporte da base c. Ou seja, do prolongamento dessa base. Fazendo-se o prolongamento, a sim, foi possvel traar a altura.

3.3. Soma dos ngulos internos de um tringulo

O que voc precisa saber

A soma dos ngulos internos de qualquer tringulo 180.

Exemplo 2:

Sobre o tringulo abaixo, calcule o ngulo faltante.

A soma dos ngulos internos 180. Logo:

70 + 70 + = 180 140 + = 180

= 180 140 = 40 O ngulo x mede 40.

Detalhando um pouco mais

Considere o tringulo abaixo:



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Agora, traamos uma reta paralela a um dos lados e prolongamos os lados:

Agora usamos as propriedades que aprendemos sobre igualdade de ngulos.

Dois ngulos opostos pelo vrtice tm mesma medida:



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Quando uma transversal corta duas paralelas, so formados ngulos congruentes.

Notem que a soma de x, y e z forma um ngulo raso (=180).

Assim:

+ + = 180 O que indica que um tringulo qualquer tem a soma de seus ngulos internos igual a 180.

Questo 2 CGU 2004 [ESAF]

Os ngulos de um tringulo encontram-se na razo 2:3:4. O ngulo maior do tringulo, portanto, igual a:

a) 40

b) 70

c) 75

d) 80



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e) 90

Resoluo:

A questo informa que os ngulos esto na razo 2: 3: 4.

O que isto significa?

Significa os ngulos so diretamente proporcionais a 2, a 3 e a 4. Ou ainda: se dividirmos um ngulo por 2, outro ngulo por 3 e o terceiro ngulo por 4, todas essas divises sero iguais entre si (as divises so constantes).

2

=3

=4

Todas essas divises so iguais a uma dada constante.

2

=3

=4

= Logo, temos:

= 2; = 3; = 4

A soma dos ngulos internos do tringulo igual a 180.

+ + = 180 2 + 3 + 4 = 180

9 = 180 = 20

Tendo o valor de k, podemos encontrar o maior ngulo do tringulo.

= 4 = 4 20 = 80 Gabarito: D.

3.4. Classificao dos tringulos

Quando os trs lados do tringulo tm a mesma medida, o tringulo dito equiltero.

Quando dois lados do tringulo tiverem a mesma medida, o tringulo dito issceles.

Interessante notar que todo tringulo equiltero , tambm, issceles. Se ele tem trs lados de mesma medida, ento tambm tem dois lados de mesma medida.

Por fim, o tringulo com trs lados de medidas diferentes entre si escaleno.

muito importante saber que, se um tringulo tm trs lados de mesma medida (equiltero), ento todos os seus ngulos tambm tm mesma medida. E vice-versa. O fato



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de todos os ngulos serem congruentes garante que todos os lados tambm tm mesma medida.

Em outras palavras: o tringulo equiltero se, e somente se, todos os seus ngulos internos tiverem a mesma medida.

Se todos os ngulos do tringulo forem agudos, ele dito acutngulo.

Se houver um ngulo reto (=90), ele dito retngulo.

Finalmente, se houver um ngulo obtuso, ele dito obtusngulo.

3.5. Congruncia de tringulos

Dois tringulos so congruentes quando seus lados correspondentes apresentam medidas iguais. Exemplo:

Em sntese, um tringulo a cpia do outro, eles so idnticos.

Para que dois tringulos sejam congruentes, suficiente que:

- tenham trs lados congruentes (caso LLL lado, lado, lado).

- tenham dois lados congruentes, assim como o ngulo entre ambos (caso LAL lado, ngulo, lado).

- tenham um lado e dois ngulos congruentes (casos ALA ngulo, lado, ngulo; LAA lado, ngulo, ngulo).

Se qualquer um desses casos ocorrer, j podemos garantir que os dois tringulos sero idnticos entre si.

Abaixo mostramos esses casos (lados com a mesma quantidade de marcaes so congruentes; o mesmo ocorre para ngulos).



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1

LLL: tringulos congruentes

2

LAL: tringulos congruentes

3

ALA: tringulos congruentes

4

LAA: tringulos congruentes

3.6. Semelhana de tringulos

Observem os dois tringulos da figura abaixo:



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Eles so muito parecidos. Pegamos o tringulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com isso, chegamos ao tringulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os tringulos so semelhantes. Um o outro aumentado.

Quando dois tringulos so semelhantes, seus lados so proporcionais.

Isto vale para qualquer outro polgono (quadrilteros, pentgonos etc).

Uma coisa que s vale para os tringulos a seguinte. Se dois tringulos so semelhantes, ento seus ngulos internos correspondentes so iguais entre si. E vice-versa.

Exemplo: se um tringulo pequeno apresenta ngulos de 30, 60 e 90, e um tringulo grande tambm apresenta ngulos de 30, 60 e 90, isto j suficiente para garantirmos que estes dois tringulos so semelhantes.

TOME NOTA!!!

Dois tringulos so semelhantes quando apresentam lados proporcionais.

Se os ngulos internos de um tringulo forem iguais aos do outro tringulo, j podemos garantir que so semelhantes. O contrrio tambm vale. Se dois tringulos so semelhantes, ento seus ngulos internos so iguais.

3.7. rea do tringulo

J vimos que a altura do tringulo um segmento que parte da reta suporte de um dos lados (chamado de base), sendo perpendicular a ela, e termina no vrtice oposto.

Acima, o segmento h a altura em relao base b.



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A rea do tringulo dada pelo produto entre a medida da base e da altura, dividido por 2.

= 2

Questo 3 ENAP 2006 [ESAF]

A razo de semelhana entre dois tringulos, T1, e T2, igual a 8. Sabe-se que a rea do tringulo T1 igual a 128 m2. Assim, a rea do tringulo T2 igual a

a) 4 m2.

b) 16 m2.

c) 32 m2.

d) 64 m2.

e) 2 m2.

Resoluo:

Antes de resolver a questo, vamos rever algumas coisas.

Vimos que o fato de os lados de dois tringulos serem proporcionais que faz com que eles sejam semelhantes.

Dizer que a razo de semelhana entre eles 8 significa que pegamos cada lado do tringulo menor e multiplicamos por 8, para chegarmos ao tringulo maior.

Vamos jogar nmeros para facilitar o entendimento. Vamos supor que, no tringulo menor, temos:

- base (b): 2

- altura (h): 3

Como a razo de semelhana 8, isto significa que as medidas correspondentes do tringulo grande sero iguais s medidas acima multiplicadas por 8. Com isso, no tringulo grande temos:

- base (B): 1682 = - altura (H): 2482 = A rea de um tringulo igual ao produto da base pela altura dividida por 2.

A rea do tringulo menor fica:

2 3

2= 3

A rea do tringulo menor igual a:

16 24

2= 192

Observem que a rea do tringulo maior 64 vezes maior que a do tringulo menor.

Ou seja, quando multiplicamos os lados por 8, a rea fica multiplicada por 82. Em resumo: para a rea, o efeito ao quadrado.



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Dito isso, vamos soluo da questo.

A rea do tringulo maior 128.

Para obter o tringulo menor, dividimos todos os lados por 8. Com isso, a rea ficar dividida por 82 (pois o efeito ao quadrado). A rea do tringulo menor ser:

128

64= 2

Gabarito: E

3.8. Teorema de Pitgoras

Considere o tringulo retngulo abaixo, com lados medindo a, b e c.

a o maior lado, que oposto ao ngulo reto. Ele chamado de hipotenusa.

Os demais lados so chamados de catetos.

O Teorema de Pitgoras nos diz que a soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa.

= +

Questo 4 ATRFB 2009 [ESAF]

Duas estradas retas se cruzam formando um ngulo de 90 uma com a outra. Qual o valor mais prximo da distncia cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento?

a) 5 km

b) 4 km

c) 24 km

d) 3 km

e) 25 km

Resoluo.



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A figura abaixo representa a situao dada:

Vamos chamar a distncia entre os dois carros de x.

O tringulo de lados 3, 4, e x retngulo. A hipotenusa, que o maior lado, vale x. Aplicando o teorema de Pitgoras, temos:

= 3 + 4 = 9 + 16 = 25

= 5 Gabarito: A

Questo 5 ENAP 2006 [ESAF]

A base de um tringulo issceles 2 metros menor do que a altura relativa base. Sabendo-se que o permetro deste tringulo igual a 36 metros, ento a altura e a base medem, respectivamente

a) 8 m e 10 m.

b) 12 m e 10 m.

c) 6 m e 8 m.

d) 14 m e 12 m.

e) 16 m e 14 m.

Resoluo.



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Tringulo issceles aquele que possui dois lados iguais entre si. Vamos chamar este lado de x. Seja h a altura do tringulo. Seja b a base. Temos:

A altura um segmento de reta que parte de um vrtice e vai at a reta suporte do lado oposto, formando com ela um ngulo de 90. Na figura acima, a altura h termina no lado b. Dizemos que a altura h relativa base b. Ou seja, ela tem como base o lado b.

Vamos chamar de y ao valor de metade da base.

Como a altura 2 metros maior que a base, ento = 2 + 2. O permetro de um polgono a soma das medidas de todos os seus lados. Se o permetro deste tringulo 36, ento, somando todos os seus lados, obtemos 36.

+ + 2 = 38 2 + 2 = 38 + = 18 (I)

A altura do tringulo original divide a figura em dois outros tringulos menores, e cada um deles tem um ngulo de 90.

Sempre que um tringulo apresenta um ngulo de 90, podemos aplicar o Teorema de Pitgoras.

Para melhor visualizao, vamos considerar o tringulo da esquerda:

A hipotenusa vale x e os catetos valem h e y. Logo:

= +



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Lembrando que = 2 + 2: = + 2 + 2 (II)

Temos duas equaes e duas incgnitas (x e y). Para resolver a questo, precisamos utilizar estas duas equaes para achar os valores de x e y.

S que isso d muito trabalho. Como temos alternativas, o ideal partir das alternativas, para facilitar as contas.

Como a altura maior que a base (informao dada no prprio enunciado), j podemos descartar algumas alternativas:

a) 8 m e 10 m.

b) 12 m e 10 m.

c) 6 m e 8 m.

d) 14 m e 12 m.

e) 16 m e 14 m.

Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m.

= 5 Da equao I, temos:

+ = 18 = 13 Vamos substituir estes valores de x e y na equao II, para ver se ela obedecida.

= 2 + 2 + 13 = 2 5 + 2 + 5

169 = 144 + 25

169 = 169

As duas equaes foram obedecidas. Logo, esta a alternativa correta.

Gabarito: B

Questo 6 PREFEITURA DE LIMEIRA 2007 [CESPE]

As telas de todos os televisores de tubo so retngulos, em que os comprimentos dos lados so nmeros diretamente proporcionais a 3 e 4, isto , as telas so retngulos semelhantes a um retngulo de lados 3 e 4; tambm, quando se diz que uma TV tem 29 polegadas, significa que a medida da diagonal da tela igual a 29 polegadas. A partir dessas informaes, correto concluir que o permetro da tela de uma TV de 29 polegadas igual a 29/5 do permetro do retngulo de lados 3 e 4 polegadas.

Resoluo.

Vamos desenhar um retngulo com lados proporcionais a 3 e 4:



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Com isso, garantimos que este retngulo semelhante ao retngulo de lados 3 e 4 polegadas. A constante de proporcionalidade k.

A diagonal do retngulo mede 29 polegadas.

Aplicando o teorema de Pitgoras:

3 + 4 = 29 9 + 16 = 29

25 = 29 Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

5 = 29 = 29

5

A constante de proporcionalidade 29/5.

Isto significa que, partindo do retngulo de lados 3 e 4 polegadas, multiplicamos todas as suas dimenses por 29/5, para obter as dimenses da tela da TV de 29 polegadas.

Ou seja, todas as dimenses foram multiplicadas por 29/5. Isto vale inclusive para o permetro.

O item est certo.

Gabarito: certo.

4. OUTROS POLGONOS

Se tivermos 3 ou mais pontinhos no colineares (ou seja, que no estejam ao longo de uma mesma reta), e ligarmos todos esses pontinhos, obteremos um polgono.

Exemplos:



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Acima temos polgonos com: trs lados (tringulo), quatro lados (quadriltero), cinco lados (pentgono), seis lados (hexgono), sete lados (heptgono) e oito lados (octgono).

Existem polgonos cncavos e convexos.

Os polgonos cncavos no vo ter muito interesse para gente, pois no caem em prova.

Um polgono cncavo quando existir um segmento de reta que ligue dois pontinhos do polgono de modo que este segmento de reta no esteja totalmente contido no polgono.

Exemplo:

Observem que o segmento em vermelho une dois pontinhos que esto dentro do polgono. E, apesar disso, o segmento ainda consegue sair da regio poligonal. Quando isso ocorre, o polgono cncavo.

Abaixo, temos um polgono convexo:



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Qualquer segmento de reta ligando dois pontinhos internos ao polgono tambm estar dentro do polgono. Por isso ele convexo.

Ento, daqui para frente, se falamos em polgono, fica implcito que so os convexos.

4.1. Nmero de diagonais de um polgono qualquer

O que voc precisa saber

O nmero de diagonais de um polgono de n lados :

32

Detalhando um pouco mais

Como exemplo, considere o polgono de cinco lados disposto abaixo (pentgono).

Vamos tomar o vrtice de cima como referncia. A partir deste vrtice, quantas diagonais podemos traar?

Diagonal qualquer segmento de reta que une dois vrtices de um polgono.

Embora eu tenha dito qualquer, este qualquer tem exceo. Cada lado do polgono liga dois vrtices. S que os lados no so diagonais.

Ento uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vrtices no adjacentes de um polgono.

Para exemplificarmos, vamos tomar como referncia o vrtice de cima (destacado em vermelho na figura abaixo).



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Queremos construir diagonais a partir deste vrtice. As diagonais devem ligar este vrtice aos demais.

No podemos ter diagonais ligando este vrtice aos dois vizinhos, pois a teramos lados.

Alm disso, no podemos ter diagonal ligando este vrtice a ele prprio.

Assim, dos 5 vrtices do pentgono, este vrtice em destaque s pode formar diagonal quando ligado a dois dos demais vrtices. Ou seja, s possvel construirmos 2 diagonais a partir dele.

Abaixo detalhamos as duas diagonais:

Voc pode guardar isso como regra. A partir de um vrtice, sempre conseguiremos traar 3 diagonais (onde n o nmero de vrtices do polgono). Por que precisamos subtrair 3?

Porque no podemos formar diagonais com os dois vrtices vizinhos, nem com o prprio vrtice em anlise.

TOME NOTA!!!

Nmero de diagonais que partem de um vrtice do polgono de n lados:

3



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Ok, j sabemos que de um dos vrtices do pentgono partem 2 diagonais.

Isso tambm valer para os demais vrtices. So 5 vrtices, e saem 2 diagonais de cada um deles, ento o total de diagonais ser:

5 2 = 10

Ou seja, multiplicamos a quantidade de lados (n = 5) pela quantidade de diagonais que parte de um vrtice (n 3).

Assim, a frmula para a quantidade de diagonais ficaria assim:

3 Mas h um problema grave nisso.

Acima, estamos contando cada diagonal duas vezes.

Exemplificando, a diagonal abaixo foi contada duas vezes: uma como diagonal que parte do vrtice superior, outra como diagonal que parte do vrtice inferior.

Assim, na verdade, na contagem de 10, todas as diagonais foram computadas duas vezes.

Temos que dividir esse resultado por 2. O nmero correto de diagonais fica:

10 2 = 5

Acima temos as 5 diagonais do pentgono.

Muito bem, ento a nossa frmula da quantidade de diagonais em um polgono qualquer fica:

32



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TOME NOTA!!!

Quantidade de diagonais de um polgono de n lados

32

Questo 7 MTE 2006 [ESAF]

Em um polgono de n lados, o nmero de diagonais determinadas a partir de um de seus vrtices igual ao nmero de diagonais de um hexgono. Desse modo, n igual a:

a) 11

b) 12

c) 10

d) 15

e) 18

Resoluo.

Queremos calcular quantas diagonais existem em um hexgono. Um hexgono possui 6 lados. Logo, o nmero de diagonais fica:

( 3)2

=6 (6 3)

2= 9

Um hexgono apresenta 9 diagonais.

O polgono indicado na questo apresenta n lados. O enunciado informa que a partir de um de seus vrtices possvel traar 9 diagonais. Sabemos que, para qualquer polgono, o nmero de diagonais que possvel traar a partir de um de seus vrtices dado por 3. Logo:

3 = 9 = 12

Gabarito: B

4.2. Soma dos ngulos internos de um polgono qualquer

J sabemos que, a partir de um dos vrtices de um pentgono, conseguimos traar duas diagonais:



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Com isso, dividimos o pentgono em trs tringulos. Cada tringulo tem a soma dos ngulos internos igual a 180. Com isso, a soma dos ngulos internos do pentgono ser de:

3 180 = 540

Genericamente, se o polgono tiver n lados ento, a partir de um de seus vrtices traaremos 3 diagonais. Com isso, conseguiremos dividir a figura em:

3 + 1 = 2 Dividiremos a figura em n-2 tringulos.

Logo, o polgono de n lados ter soma dos ngulos internos igual a:

2 180 TOME NOTA!!!

Soma dos ngulos internos de um polgono de n lados:

2 180

Questo 8 MPOG 2008 [ESAF]

Dois polgonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, 1+n lados e n lados. Sabe-se que o ngulo interno do polgono X excede o ngulo interno do polgono Y em 5 (cinco graus). Desse modo, o nmero de lados dos polgonos X e Y so, respectivamente, iguais a:

a) 9 e 8

b) 8 e 9

c) 9 e 10

d) 10 e 11

e) 10 e 12

Resoluo.

Mesmo que o candidato no soubesse como resolver a questo, dava para marcar a alternativa certa. Sabemos que X tem + 1 lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais que Y.



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A nica alternativa que prev isso a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que falso.

Gabarito: A

O polgono X tem + 1 lados. Assim, a soma dos ngulos internos do polgono X igual a: + 1 2 180

Multiplicando o 180 pelos termos entre colchetes:

= + 1 180 360 O polgono X tem + 1 ngulos, todos eles iguais entre si. Assim, para achar o valor de cada ngulo, basta pegar a soma e dividir por + 1.

+ 1 180 360 + 1 = 180

360

+ 1

O polgono Y tem n lados. A soma dos ngulos internos do polgono Y igual a:

2 180 = 180 360 Cada um dos ngulos internos de Y mede:

180 360 = 180

360

A diferena entre os dois ngulos internos de 5 graus. Logo:

180 360 + 1 180 360

= 5 360

360

+ 1 = 5 360 ( + 1) ( + 1)

360 + 1 = 5

360 + 1 360 ( + 1) = 5

360

( + 1) = 5

+ 1 = 3605

= 72

= 8

Questo 9 SUSEP 2010 [ESAF]

A soma S1 dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados, com n 3, dada por Si=(n-2).1800. O nmero de lados de trs polgonos convexos, P1 , P2 , e P3, so representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ngulos internos



AFRFB e AFT


dos trs polgonos igual a 32400, ento o nmero de lados do polgono P2 e o total de diagonais do polgono P3 so, respectivamente, iguais a:

a) 5 e 5

b) 5 e 44

c) 11 e 44

d) 5 e 11

e) 11 e 5

Resoluo.

Aplicando a frmula da soma dos ngulos internos de um polgono, temos:

- Soma dos ngulos internos de P1: 3 2 180 = 180 5 180 - Soma dos ngulos internos de P2: 2 180 = 180 2 180 - Soma dos ngulos internos de P3: + 3 2 180 = 180 + 1 180

Somando todos os ngulos, temos:

180 5 180 + 180 2 180 + 180 + 1 180 = = 3 180 6 180

O exerccio disse que esta soma vale 3.240.

3 180 6 180 = 3.240 Dividindo os dois lados da igualdade por 180:

3 6 = 18 = 8

Assim, os polgonos apresentam 5, 8 e 11 lados.

O nmero de diagonais do terceiro polgono dado por:

11 (11 3)

2= 44

As respostas seriam 8 e 44. No h alternativa correta.

Gabarito: anulada

4.3. rea dos retngulos

A rea de um retngulo dada pelo produto entre a base e a altura.



AFRFB e AFT


Questo 10 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

A e B so os lados de um retngulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o retngulo II. Se, ao invs disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retngulo III. Pode-se afirmar que:

a) os trs retngulos tm a mesma rea.

b) o retngulo III tem a maior rea.

c) o retngulo II tem a maior rea.

d) o retngulo I tem a maior rea.

e) os retngulos II e III tm uma rea igual, maior que a do retngulo I.

Resoluo.

O retngulo I o seguinte:

Para acharmos a rea, basta multiplicar base por altura.

abAreaI =

O tringulo II o seguinte:

Sua rea fica:

== baAreaII 8,02,1 0,96ab

Finalmente, temos o tringulo III:



AFRFB e AFT


abbaAreaIII 96,02,18,0 ==

Conclumos que o retngulo I tem a maior rea.

Gabarito: D

5. CRCUNFERNCIA E CRCULO

5.1. rea do crculo e comprimento da circunferncia

Um crculo tem formato de uma pizza inteira:

Na verdade, existe uma diferena entre crculo e circunferncia. Esta ltima corresponde apenas borda da pizza. J o crculo abrange borda + recheio.

O segmento que parte do centro do crculo at a sua borda o raio.

O dobro do raio o dimetro.

Seja r o raio do crculo. Seja um nmero real que vale aproximadamente 3,1415. A rea do crculo dada por:

E o comprimento da circunferncia igual a:

2



AFRFB e AFT



O raio do crculo A 30% menor do que o raio do crculo B. Desse modo, em termos percentuais, a rea do crculo A menor do que a rea do crculo B em:

a) 51%

b) 49%

c) 30%

d) 70%

e) 90%

Resoluo.

Vamos supor que o raio do crculo maior 1. A rea do crculo dada por:

Onde (l-se pi) um nmero que vale aproximadamente 3,14 e R o raio do crculo.

rea do crculo maior: pipi = 21

O crculo menor ter raio igual a 0,7 (pois seu raio 30% menor que o do crculo maior). Assim, sua rea ser igual a:

rea do crculo menor: pipi 49,07,0 2 =

Concluso: para obter o crculo menor, multiplicamos as medidas por 0,7. Com isso, a rea fica multiplicada por 0,49 (o efeito na rea ao quadrado).

Portanto, a rea do crculo menor 51% menor que a rea do crculo maior.

Gabarito: A



AFRFB e AFT


Questo 12 FINEP 2009 [CESPE]

A figura acima ilustra a planta baixa de um pequeno apartamento, que possui uma varanda em forma de semicrculo, em que o preo de custo do metro quadrado varia entre R$ 500,00 e R$ 550,00. Nesse caso, o preo de custo desse apartamento

A inferior a R$ 23 mil.

B superior a R$ 23 mil e inferior a R$ 29 mil.

C superior a R$ 29 mil e inferior a R$ 33 mil.

D superior a R$ 33 mil e inferior a R$ 38 mil.

E superior a R$ 38 mil

Resoluo.

Vamos calcular a rea da figura por partes. Vamos iniciar pelo retngulo destacado em amarelo abaixo:



AFRFB e AFT


A rea de um retngulo dada pelo produto entre a base e a altura.

A base do retngulo amarelo 2m. Sua altura pode ser encontrada por diferena entre as medidas informadas na figura:

O retngulo tem altura 4 e base 2. Sua rea vale:



AFRFB e AFT


2 4 = 8 Agora vamos nos concentrar no retngulo em amarelo abaixo:

Sua altura vale 6m. Sua base pode ser encontrada por diferena:

base = 8 2 = 6 Sua base tambm vale 6m. Quando a altura e a base coincidem, temos um quadrado.

A rea fica:

base altura=6 6 = 36 Por fim, vamos para o semicrculo (que a varanda).



AFRFB e AFT


Em um crculo, o segmento que sai do centro e vai at a extremidade chamado de raio.

Abaixo mostramos um crculo de raio r:

A rea de um crculo dada por:

= Onde r o valor do raio e um nmero irracional que vale aproximadamente 3,14.

Um semicrculo tem metade da rea do crculo. Sua rea ser de r/2. No caso da varanda, temos:

A distncia entre duas extremidades opostas igual a 6m.

Esta distncia chamada de dimetro. Ela corresponde ao dobro do raio.

Com isso, temos que o raio deste semicrculo vale 3m. Consequentemente, sua rea vale:

2

3,14 3

2= 14,13

A rea total dada por:

14,13 + 36 + 8 = 58,13

O metro quadrado varia entre R$ 500,00 e R$ 550,00.

500 58,13 = 29.065,00

550 58,13 = 31.971,50

O preo deste apartamento est entre R$ 29.065,00 e R$ 31.971,50.



AFRFB e AFT


Gabarito: C

Questo 13 PRF 2008 [CESPE]

Considerando, em relao s figuras acima, que, na figura I, as 4 curvas so quartos de crculo; nas figuras II, III e IV, as curvas so 2 semicrculos; na figura V, aparece 1 quarto de crculo e, interno a ele, um semicrculo, nessa situao, as figuras em que as partes sombreadas tm reas iguais so

A I e IV.



AFRFB e AFT


B I e V.

C II e III.

D II e V.

E III e IV.

Resoluo.

Figura I:

Temos quatro quartos de crculo, todos eles com raio 1cm.

Somando suas reas, temos a rea de um crculo de raio 1 cm.

Assim, a rea branca :

= = A rea total corresponde rea do quadrado de lado 2 cm igual a 4 cm2.

rea total = 4

A rea sombreada a diferena entre a rea do quadrado e a rea branca. A rea sombreada da figura I vale:

4 Figura II:



AFRFB e AFT


Vamos comear com a rea destacada em amarelo:

Temos um quarto de crculo de raio 1 cm. Sua rea fica:

=

4=4

= 0,25 Agora vamos para a rea dos dois semicrculos em vermelho:

So dois semicrculos de dimetro 1 cm (e raio 0,5 cm).

A rea vermelha fica:

= = 0,5 = 0,25 A rea total da figura II corresponde rea do crculo grande, de raio 1 cm.

A rea total igual a . rea total =

A rea sombreada dada pela diferena entre a rea total e a soma das reas amarela e vermelha.

rea sombreada = rea total rea amarela rea vermelha

A rea sombreada fica:

0,25 0,25 = 0,5



AFRFB e AFT


Figura III:

H dois semicrculos, um em branco, outro sombreado. Ambos so idnticos.

Podemos troc-los de lugar, de modo que a rea sombreada no se altera:

A rea sombreada corresponde a da rea de um crculo de raio 1 cm.

= 34

= 0,75

Figura IV:



AFRFB e AFT


Vamos traar uma reta adicional (em vermelho):

Observem que as regies a e b so idnticas s regies c e d:

Podemos transformar a regio a em sombreada e a regio c em regio branca, de modo que o total da rea sombreada no se altera.

Podemos tambm transformar a regio b em sombreada e a regio d em rea branca, de modo que o total da rea sombreada no se altera.

A rea sombreada corresponde a metade do quadrado de lado 2 cm. Logo, a rea sombreada vale 2 cm2.

Figura V:



AFRFB e AFT


Vamos dar nomes s regies:

A regio c corresponde a um semicrculo de diametro2cm (consequentemente, de raio 1 cm). Sua rea :

2

= 0,5

H tambm um quarto de crculo (correspondente s reas b + c).

O quarto de crculo de raio 2 cm tem rea igual a:

4

=

A rea sombreada igual rea b.

Sabemos que a soma das reas b e c vale . Sabemos tambm que a rea c vale 0,5. Consequentemente, a rea b vale:

0,5 = 0,5 A rea sombreada vale 0,5.

As regies sombreadas das figuras II e V tm a mesma rea.

Gabarito: D



AFRFB e AFT


5.2. Reta tangente a uma circunferncia

Uma reta tangente circunferncia quando a intercepta em um nico ponto:

Abaixo destacamos o ponto de tangncia:

O que voc precisa saber o seguinte: nesta situao, o ngulo entre o raio e o segmento tangente, no ponto de tangncia, 90:

Outra propriedade muito importante a seguinte.

Considere uma circunferncia e um ponto externo:

Agora, partindo do ponto exterior circunferncia, traamos duas tangentes circunferncia:

Seja P o ponto exterior e sejam A e B os pontos de tangncia. A medida do segmento igual medida do segmento .



AFRFB e AFT



Se de um ponto P qualquer forem traados dois segmentos tangentes a uma circunferncia, ento as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangncia sero iguais. Sabe-se que o raio de um crculo inscrito em um tringulo retngulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse tringulo for igual a 20 cm, ento seu permetro ser igual a:

a) 40 cm

b) 35 cm

c) 23 cm

d) 42 cm

e) 45 cm

Resoluo:

Um crculo inscrito ao tringulo quando ele est dentro do tringulo, tangenciando todos os seus lados. A figura abaixo representa as informaes do enunciado. Destacamos o centro do crculo e os pontos de tangncia:

O ngulo entre o raio e o segmento tangente, no ponto de tangncia, 90:

A soma dos ngulos internos de um quadriltero (n = 4) :

4 2 180 = 360 No quadriltero da figura acima, j temos trs ngulos de 90, totalizando 270. Para completar 360 faltam 90. Assim, o ngulo restante tambm de90.



AFRFB e AFT


O raio mede 1:

Podemos concluir que acima temos um quadrado de lado 1:

Agora vem a informao dada pela questo. Observem os segmentos a e b acima. Eles partem de um mesmo ponto. E ambos tangenciam a circunferncia. Quando isso acontece, os dois segmentos tm a mesma medida.

Repetindo:

- dados dois segmentos, de medidas a e b, que partem de um mesmo ponto

- ambos terminam sobre a circunferncia, tangenciando-a.

Logo:

ba = Isto vale sempre, para qualquer circunferncia.

Com o mesmo raciocnio, temos que dc = . Nossa figura fica assim:



AFRFB e AFT


A hipotenusa do tringulo vale 20 cm. Logo:

20=+ ca A questo pede o permetro do tringulo. O permetro dado pela soma de todos os seus lados. O permetro fica:

Permetro = ?)1()1()( =+++++ caac = 222 ++ ca

Lembrando que 20=+ ca , temos: Permetro = 2)(2 ++ ca

= 422202 =+ Gabarito: D

Questo 15 Enap 2006 [ESAF]

Considere um tringulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferncia inscrita neste tringulo tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, tambm, que o permetro do tringulo ABC igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, igual a

a) 18 - c.

b) 18 - x.

c) 36 - a.

d) 36 - c.

e) 36 - x.

Resoluo.

A figura abaixo representa a situao dada.



AFRFB e AFT


Os segmentos BR e BP partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a mesma circunferncia. Logo, estes dois segmentos tm o mesmo comprimento. Assim, o segmento BR tambm mede y.

Com o mesmo raciocnio, temos que PC mede z e AQ mede x.

O exerccio pede a medida do segmento CQ. Ou seja, pede-se o valor de z.

O permetro do tringulo igual a 36. Ou seja, a soma de todos os lados 36.

+ + + + + = 36 2 + 2 + 2 = 36 + + = 18



AFRFB e AFT


= 18 + O enunciado disse que o lado AB mede c metros. Portanto, conclumos que:

+ = Deste modo:

= 18 + = 18

Gabarito: A

Questo 16 SUSEP 2010 [ESAF]

Um crculo est inscrito em um tringulo issceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse crculo.

a) 1,50

b) 1,25

c) 1,00

d) 1,75

e) 2,00

Resoluo:

A figura abaixo representa o tringulo com o crculo inscrito:

Observem o tringulo retngulo AEB, destacado na figura abaixo:



AFRFB e AFT


Este tringulo retngulo. Um cateto mede 4 (), o outro cateto mede 3 (), e a hipotenusa, correspondente ao segmento , tem comprimento desconhecido. Agora aplicamos o teorema de Pitgoras:

3 + 4 = 9 + 16 =

25 = = 5

Notem que os segmentos e partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a circunferncia. Logo, ambos tm a mesma medida de 3.

Sabendo que mede 3 e que mede 5 conclumos que o segmento mede: 5 3 = 2

Observem que tem medida igual ao raio da circunferncia (=R). O segmento mede 4. Logo, fazendo a diferena, descobrimos que mede 4 . Finalmente, o segmento tambm raio, logo, mede R. Assim, descobrimos que , e medem, respectivamente, 2, (4 ) e .



AFRFB e AFT


O tringulo hachurado retngulo, pois o ngulo junto ao ponto D de 90. Isso ocorre porque se trata de um ngulo entre um segmento tangente e um raio, no ponto de tangncia.

Nesse tringulo, aplicamos o teorema de Pitgoras:

2 + = 4 4 + = 16 8 +

4 + 16 + 8 = 0 8 12 = 0 = 12

8= 1,5

Gabarito: A


Um quadriltero convexo circunscrito a uma circunferncia possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b so lados opostos, ento o permetro do quadriltero igual a:

a) 25

b) 30

c) 35

d) 40

e) 50

Resoluo.

A figura abaixo representa um quadriltero circunscrito a uma circunferncia. Ou seja, o quadriltero est do lado de fora e seus lados tangenciam a circunferncia. Podemos tambm dizer que a circunferncia est inscrita ao quadriltero.

Vamos dar nomes aos pontos:



AFRFB e AFT


J vimos que, se dois segmentos de reta partem de um mesmo ponto e terminam

tangenciando a mesma circunferncia, eles tm a mesma medida. Assim, os segmentos PD e PA tm a mesma medida. O mesmo vale para QA e QB . Ou para RC e RB . E tambm para SD e SC .

Na figura acima, estamos dizendo que PD e PA medem p. Estamos dizendo que QA e QB medem s. E assim por diante.

Vamos agora somar as medidas dos lados opostos.

PQ e SR so opostos. Somando-os, temos: )()( rqsp +++

= srqp +++

PS e QR so opostos. Somando suas medidas, temos: )()( rsqp +++

= srqp +++

Disto, conclumos que a soma dos lados opostos constante. Isto vale sempre.

Em outras palavras: sempre que um quadriltero for circunscrito a uma circunferncia, as somas de seus lados opostos sero iguais entre si.

Nesta questo da CGU, os lados que medem a e b so opostos entre si. Consequentemente, c e d tambm so opostos entre si. Vamos somar os lados opostos.

67)33()94( =++=+ xxxba



AFRFB e AFT


xxxdc 523 =+=+ Como este quadriltero est circunscrito a uma circunferncia, as duas somas acima so iguais entre si.

3567 == xxx O permetro do quadriltero fica:

30636612 ===+++ xdcba Gabarito: B

6. FUNES TRIGONOMTRICAS

Um tringulo retngulo aquele que apresenta um ngulo de 90.

Para tanto, lembramos que:

- a hipotenusa oposta ao ngulo de 90 (tambm chamado de ngulo reto); trata-se do maior lado do tringulo retngulo.

- os outros dois lados so chamados de catetos. Eles podem ter a mesma medida, ou no.

Acima, temos um tringulo retngulo, com catetos b e c e hipotenusa a. Destacamos um dos ngulos, chamado de x.

Em um tringulo retngulo, podemos definir o seno, o cosseno e a tangente de um ngulo.

O seno igual diviso entre cateto oposto ao ngulo e hipotenusa.

O cosseno igual diviso entre cateto adjacente e hipotenusa.

A tangente igual diviso entre seno e cosseno. Por conta disso, a tangente acaba coincidindo com a diviso entre cateto oposto e cateto adjacente.

Para o ngulo x, temos o seguinte:

- o cateto oposto aquele que est oposto ao ngulo; trata-se do lado b;

- o cateto adjacente aquele que est adjacente ao ngulo; trata-se do cateto c.

Ficamos com:

= cateto opostohipotenusa

=



AFRFB e AFT


! = cateto adjacentehipotenusa

=

"# = cateto opostocateto adjacente

=

H ngulos que so muito cobrados. Para estes ngulos, compensa saber os valores de seno e cosseno. So eles:

ngulo Seno Cosseno Tangente

0 0 1 0

30 1

2 3

2

33

45 22

22

1

60 32

1

2 3

90 1 0 -

Observem que as colunas do seno e do cosseno so muito parecidas. H uma mera inverso na ordem dos nmeros (para o seno, comeamos com zero e vamos aumentando at 1; para o cosseno, comeamos em 1 e vamos diminuindo at zero).

Para chegar nesta tabela, uma forma de gravar assim. Primeiro pensamos s nos numeradores:

ngulo numerador do seno

0 0 30 1 45 2 60 3 90 4

Depois, dividimos todos eles por 2, obtendo o seno.

ngulo seno

0 02

30 12

45 22

60 32

90 42

Simplificando, chegamos a:



AFRFB e AFT


ngulo Seno

0 0

30 1

2

45 22

60 32

90 1

Para o cosseno, a seqncia semelhante.

Para achar a tangente, basta dividir seno por cosseno.


Em um tringulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 e o outro mede 2cm. Se o ngulo formado por esses dois lados mede 45, ento a rea do tringulo igual a:

a) 3/13

b) 2/12

c) 2/12

d) 23 e) 1

Resoluo.

Abaixo representamos o tringulo:

Vamos traar uma das alturas:



AFRFB e AFT


O tringulo hachurado retngulo.

O seno de 45 igual diviso entre o cateto oposto (=h) e a hipotenusa (= 2). 45 = 2

Logo:

= 45 2 Agora podemos calcular a rea.

Se a base for 2, e h for a altura relativa a esse lado, a rea fica:

= "% 2 = 2

2

Substituindo o valor de h:

= 2 45 22

= 45 2 Sabemos que o seno de 45 vale 2 2

= 22

2

= 22

= 1

Gabarito: E

Questo 19 SEDUC CE 2009 [CESPE]

Em um terreno plano, uma pessoa cujos olhos estejam a 2 m de altura do solo, observa o

ponto mais alto de um edifcio, que mede 303 + 2m de altura, sob um ngulo de 60 em relao horizontal que parte de seus olhos. Afastando-se do edifcio mais 60 m, essa pessoa avistar o ponto mais alto do edifcio, em relao mesma horizontal, sob um ngulo de



AFRFB e AFT


A 30.

B 40.

C 45.

D 50.

Resoluo.

O desenho abaixo representa a situao:

A pessoa est, inicialmente, a uma distncia x do prdio. O ngulo em vermelho vale 60.

A tangente deste ngulo igual diviso entre o cateto oposto e o cateto adjacente:

tg60 = 303 = 3 Logo:

= 30 Ela est a uma distncia de 30 metros do edifcio.

Em seguida, a pessoa se afasta 60 metros, ficando a uma distncia de 90 metros do edifcio.

O novo ngulo, destacado em vermelho, tem tangente dada por:



AFRFB e AFT


30390

=33

Sabemos que o ngulo cuja tangente vale 3/3 igual a 30. Gabarito: A

Questo 20 TRE MT 2009 [CESPE]

A figura acima ilustra a eletrnica usada nas ltimas eleies no Brasil. Ela contm um painel frontal retangular, ABGF, com inclinao = 45 em relao base ABCH o vrtice H, que no aparece explicitamente na figura, comum s faces ABCH, CDEH e AFEH. As faces BCDG e AFEH so paralelas entre si e so trapzios retngulos; todas as outras faces so retngulos. O retngulo IJKL, correspondente ao monitor de vdeo, tem dimenses IJ = 20 cm e JK = 15 cm; a distncia do segmento KL ao segmento AB igual a 2 cm e a distncia do segmento IJ ao segmento FG igual a 3 cm.

Considere que se deseje reformar a urna, de modo que o monitor seja um quadrado de 20 cm de lado, aumentando-se o comprimento do segmento JK de 15 cm para 20 cm. O comprimento da aresta CD e as distncias entre os segmentos AB e KL e entre IJ e FG devero manter-se fixas. Para isso, as arestas EF e DG sero diminudas, as arestas BG e AF sero aumentadas, e o ngulo & dever ser diminudo de 45 at um valor &, de modo que o segmento JK passe a medir 20 cm. Com base nessas informaes, correto afirmar que o valor de (&) ser igual a: A)

1

2

B) 22

5

C)22

D)3

4

E) 4

5



AFRFB e AFT


Resoluo.

Primeiro vamos focar na situao inicial, antes da reforma da urna.

Sabemos que:

- a distncia entre os segmentos AB e LK de 2 cm;

- a distncia entre os segmentos IJ e FG de 3 cm;

- a distncia entre J e K de 15 cm;

Note que, se somarmos todas estas distncias, obtemos a medida do segmento BG.

Logo, o segmento BG vale: 2 + 3 + 15 = 20 cm.

Vou agora criar o ponto W, tal que o segmento GW seja perpendicular a BC.

O tringulo BGW retngulo.

Sabemos que BG mede 20 cm e que o ngulo em vermelho de 45.

Seja x a medida do segmento GW.

O seno do ngulo igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa.

45 = 20

=22

Logo:



AFRFB e AFT


= 102 Vejam que o segmento CD tem a mesma medida de GW. Logo, tambm vale 102.

Aps a reforma, teremos:

- a distncia entre os segmentos AB e LK permanece em 2 cm;

- a distncia entre os segmentos IJ e FG permanece de 3 cm;

- a distncia entre J e K passa a 20 cm;

Note que, se somarmos todas estas distncias, obtemos a medida do segmento BG.

Logo, o segmento BG vale: 2 + 3 + 20 = 25 cm.

O segmento CD continua com a mesma medida.

Agora teremos a seguinte figura:

O seno do novo ngulo ser de:

& = 10225 =22

5

Gabarito: B

Questo 21 MTE 2006 [ESAF]

Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, ento um dos possveis valores para a tangente de x igual a:

a) -4/3

b) 4/3

c) 5/3

d) -5/3

e) 1/7



AFRFB e AFT


Resoluo.

Uma propriedade importante das funes trigonomtricas a que segue. Para qualquer ngulo ', temos:

' + ! ' = 1 Se elevarmos o seno ao quadrado, elevarmos o cosseno ao quadrado, e depois somarmos, obtemos a unidade.

Outra forma de representarmos a mesma equao :

' + ! ' = 1

TOME NOTA!!!

Para qualquer ngulo ' vale a seguinte relao: ' + ! ' = 1

Visto isso, vamos questo. Temos a seguinte igualdade:

1)()cos(3 =+ xsenx Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:

( ) 1)()cos(3 2 =+ xsenx Para qu que fizemos isso? Para poder surgir seno ao quadrado e cosseno ao quadrado. Desenvolvendo o quadrado da soma, temos:

1)()()cos(6)(cos9 22 =++ xsenxsenxx Lembrando que 1)(cos)( 22 =+ sen , temos:

=++ )()()cos(6)(cos9 22 xsenxsenxx )(cos)( 22 xxsen + Cancelando seno ao quadrado dos dois lados:

=+ )()cos(6)(cos9 2 xsenxx )(cos2 x =+ )()cos(6)(cos8 2 xsenxx 0 )()cos(6)(cos8 2 xsenxx =

)(6)cos(8 xsenx =

)cos()(

68

x

xsen=

)()cos()(

34

xtgx

xsen==

Gabarito: A



AFRFB e AFT



O sistema dado pelas equaes

=+

=

)2()()cos()2cos()cos()(

asenaysenaxaayaxsen

possui duas razes, x e y. Sabendo-se que a uma constante, ento a soma dos quadrados das razes igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

d) pisin e) picos

Resoluo.

A idia a mesma do exerccio anterior. Elevamos todas as parcelas das igualdades ao quadrado, para surgirem seno ao quadrado e cosseno ao quadrado. Em seguida, utilizaremos a propriedade que diz:

1)(cos)( 22 =+ sen Muito bem.

Vamos elevar todos os termos ao quadrado:

=++

=+

)2()cos()(2)()(cos)2(cos)cos()(2)(cos)(

22222

22222

asenaasenxyasenyax

aaasenxyayasenx

Agora vamos somar a equao de cima com a debaixo.

Do lado esquerdo da igualdade, notem que os termos destacados em vermelho vo se anular:

++

+

)()(cos)(cos)(

2222

2222

asenyax

ayasenx)cos()(2)cos()(2

aasenxyaasenxy

)2()2(cos

2

2

asen

a

=

=

Vamos ento efetuar a soma, j cancelando os termos destacados. Ficamos com:

=+++ )()(cos)(cos)( 22222222 asenyaxayasenx )2()2(cos 22 asena + Do lado direito da igualdade, temos o quadrado do seno de 2a, somado com o quadrado do cosseno deste mesmo ngulo. Sempre que temos uma soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado, a soma igual a 1.

=+++ )()(cos)(cos)( 22222222 asenyaxayasenx )2()2(cos 22 asena + =+++ )()(cos)(cos)( 22222222 asenyaxayasenx 1



AFRFB e AFT


Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar x2 em evidncia. O mesmo vale para y2.

=+++ )()(cos)(cos)( 22222222 asenyaxayasenx 1 ( ) ( ) 1)()(cos)(cos)( 222222 =+++ asenayaasenx 1

( ) ( ) 111 22 =+ yx 122 =+ yx

A soma dos quadrados das razes 1.

Gabarito: A


Sabendo-se que 22

arccos=x e que 21

arcsin=y ento o valor da expresso )cos( yx igual a:

a) 4

26 +

b) 4

26

c) 22

d) 223 +

e) 2

Resoluo.

Quando afirmamos que 22

arccos=x , isto quer dizer que x o arco cujo cosseno vale

2/2 . Analogamente, quando afirmamos que 21

arcsin=y , isto quer dizer que y o arco

cujo seno vale 1/2.

Assim, conclumos que:

45=x ; 30=y

Portanto, a questo quer que a gente calcule:

?)15cos()3045cos( == Existe uma frmula para o clculo do cosseno da diferena entre dois ngulos. Como esta foi a nica questo sobre tal assunto, creio que no vale a pena tentarmos decorar a frmula. D para resolver esta questo sem frmula.



AFRFB e AFT


Sabemos que:

1)(cos)( 22 =+ sen Disto, podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno so, no mximo, iguais a 1.

Se fosse possvel, por exemplo, termos um seno valendo 2, a quando elevamos ao quadrado j obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teramos um valor maior que 4. Logo, a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado no seria igual a 1, o que absurdo.

TOME NOTA!!!

O seno e o cosseno so sempre menores ou iguais a 1

Sabendo que tanto o seno quanto o cosseno so sempre menores ou iguais a 1, j podemos descartar as alternativas D e E.

Lembrando a tabela do cosseno:

ngulo cosseno

0 1

30 2/3 45 2/2 60 1/2

90 0

O ngulo de 15 est entre 0 e 30. Logo, seu cosseno deve estar entre 1 e 2/3 .

J podemos, portanto, descartar a letra C. A letra C traz 2/2 , que o cosseno de 45.

A letra B traz um nmero que menor que 2/3 . Tambm deve ser descartada.

Por excluso, ficamos com a letra A.

Gabarito: A

A frmula que comentamos, que d o cosseno da diferena entre dois ngulos, :

)()()cos()cos()cos( sensen += Substituindo por 45 por 30 conseguimos achar o cosseno de 15.

Questo 24 SEDUC CE 2009 [CESPE]

Em certa regio, a temperatura mdia (medida em graus Fahrenheit), ao longo de

determinado ano, foi descrita pela funo = 37()

+ 25, em que x



AFRFB e AFT


representa o nmero de dias transcorridos a partir de 1 de janeiro do referido ano. Nesse caso, correto afirmar que a temperatura mxima dessa regio, nesse ano, ocorreu em

A abril.

B maio.

C junho.

D julho.

Resoluo.

O maior valor de seno ocorre para o ngulo de 90. Para este ngulo, o seno vale 1.

Devemos lembrar tambm que o ngulo de 90 corresponde a

radianos.

Temos:

= 372( 101)

365+ 25

A funo em anlise depende do valor do seno. Quanto maior o valor do seno, maior a temperatura.

Assim, a temperatura mxima ocorrer quando o ngulo em questo for de

.

Logo:

2 101

365=

2

2 101

365=1

2

4 101 = 365

101 = 91,25

= 101 + 91,25 = 192,25

A maior temperatura ocorrer entre o 192 e o 193 dias do ano.

Vamos ver qual o 192 dia do ano.

Janeiro tem 31 dias.

Somando com os 28 dias de fevereiro, chegamos a 59.

Somando com os 31 dias de maro, temos 90.

Somando com os 30 dias de abril, temos 120.

Somando com os 31 dias de maio, temos 151.

Somando com os 30 dias de junho, vamos para 181.

Precisaremos de mais 11 dias de julho para chegarmos a 192. Logo, a temperatura mxima ocorre em julho.

Gabarito: D



AFRFB e AFT


Questo 25 ATRFB 2009 [ESAF]

Um projtil lanado com um ngulo de 30 em relao a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetria inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade mdia, nos cinco primeiros segundos, de 900km/h, a que altura em relao ao ponto de lanamento este projtil estar exatamente cinco segundos aps o lanamento?

a) 0,333 km

b) 0,625 km

c) 0,5 km

d) 1,3 km

e) 1 km

Resoluo.

Em 1 hora, a bala percorreria 900 km. Em 5 segundos, ela percorre 45/36 km (basta fazer regra de trs).

Representando a trajetria da bala, temos:

O tringulo acima retngulo, pois uma reta horizontal sempre perpendicular a uma reta vertical.

No tringulo retngulo, sabemos que o seno de um ngulo dado pela diviso entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa.

30 =

45 36

Lembrando que o seno de 30 igual a 0,5:

0,5 =

45 36

= 0,5 45

36

= 0,625

Gabarito: B



AFRFB e AFT


6.1. Lei dos cossenos

Questo 26 SEDU ES 2010 [CESPE]

Considerando que em um tringulo, o cosseno de um dos ngulos internos seja igual a 2/3 e que os lados adjacentes a esse tringulo medem 3 cm e 4cm, julgue os prximos itens, a respeito desse tringulo.

1. Esse tringulo isceles.

2. O cosseno de um dos ngulos internos desse tringulo igual a 1/10.

Resoluo.

Note que a questo no disse se o tringulo era ou no retngulo.

O teorema de Pitgoras s vale para o tringulo retngulo.

Na verdade, o teorema de Pitgoras um caso particular da chamada Lei dos Cossenos.

Considere um tringulo qualquer, de lados x, y e z. Seja a o ngulo oposto a x.

O teorema nos garante que:

= + 2 cos

No caso particular do tringulo retngulo, se o ngulo a valer 90, seu cosseno vale zero, e a frmula se reduz a:

= +

Que o Teorema de Pitgoras.

Para o tringulo fornecido na questo, temos:

= 3; = 4; cos =2

3

Aplicando a lei dos cossenos:

= + 2 cos

= 3 + 4 2 3 4 2

3

= 9 + 16 16 = 9



AFRFB e AFT


O terceiro lado mede 9.

Assim, o tringulo tem dois lados iguais a 3. Quando um tringulo tem dois lados iguais, ele chamado de issceles. O primeiro item est certo.

Vamos redesenhar o tringulo, agora com dois lados iguais:

Os ngulos a e c so iguais entre si (pois ambos so opostos a lados de medida 3).

Portanto, cos = cos =

.

Para descobrir o cosseno do ngulo b, podemos novamente aplicar a Lei dos Cossenos.

4 = 3 + 3 2 3 3 cos

16 = 9 + 9 18 cos

18 cos = 2

cos =1

9

No h qualquer ngulo cujo cosseno valha 1/10. O item est errado.

Gabarito: certo, errado.

TOME NOTA!!!

Lei dos cossenos:

Sejam x, y e z as medidas dos lados de um tringulo qualquer e seja a o ngulo oposto ao lado x.

A lei dos cossenos nos diz que:

= + 2 cos


Sabendo-se que as alturas de um tringulo medem 12, 15 e 20 e que x seu maior ngulo

interno, ento o valor de )(1 2 xsen igual a:



AFRFB e AFT


a) -1

b) 2

c) 1

d) 0

e) 32

Pancada!!!

Resoluo.

Essa uma questo bem complicadinha de resolver na hora da prova.

Sabemos que, para qualquer ngulo, vale:

1)(cos)( 22 =+ xxsen Logo:

=)(cos 2 x )(1 2 xsen Assim, o que o exerccio pediu pra gente calcular, no fundo, o valor de )(cos2 x . Sejam a, b, c os lados do tringulo. Seja 20 a altura relativa ao lado a. Seja 15 a altura relativa ao lado b. Seja 12 a altura relativa ao lado c.

A rea do tringulo calculada multiplicando-se um dos lados pela altura relativa a este lado, dividida por 2. Assim, a rea do tringulo fica:

rea = 2

122

152

20 cba==

Multiplicando todos os termos por 2:

cba 121520 ==

Das igualdades acima, conclumos que c o maior lado do tringulo. Com isso, o ngulo a ele oposto ser o maior ngulo do tringulo. Isto porque, num tringulo, o maior ngulo sempre est oposto ao maior lado. Observem a figura abaixo para melhor entendimento:

Observem que o maior ngulo do tringulo x. E ele est oposto justamente ao maior lado.



AFRFB e AFT


Vamos, na igualdade acima, achar a e b em funo de c.

53c

a = ; 54cb =

Ok, agora aplicar a lei dos cossenos.

Num tringulo qualquer, de lados a, b, c, onde z, y, x so os ngulos opostos, respectivamente, aos lados a, b, c, temos:

)cos(2222 zbccba += )cos(2222 yaccab += )cos(2222 xbaabc +=

Esta a lei dos cossenos. Vamos pegar a ltima equao, que a que traz o cosseno de x, que o maior ngulo do tringulo.

)cos(2222 xbaabc += Substituindo os valores de a e b:

)cos(54

532

259

2516 222

xcccc

c +=

)cos(25

2425

925

16 2222x

cccc +=

Dividindo os dois lados da igualdade por c2.

)cos(2524

259

25161 x+=

25)cos(24251 x=

)cos(242525 x= 0)cos(24 = x

0)cos( =x 0)(cos2 =x

E conseguimos achar o valor do quadrado do cosseno de x.

Gabarito: D

7. GEOMETRIA ESPACIAL

Em geometria espacial, temos uma quantidade muito grande de tpicos, que no so cobrados em prova. Geralmente, em provas da Esaf, temos que saber como o formato dos principais slidos. Depois, basta fazer um corte na figura, o que dar origem a um polgono ou a uma circunferncia. Pronto: da camos em uma questo de geometria plana.



AFRFB e AFT


O que estou querendo dizer que, nas provas da Esaf, os problemas de geometria espacial costumam ser resolvidos com as ferramentas de geometria plana. isso.

Assim, vamos ver rapidamente o essencial de teoria e, depois, vamos direto para os exerccios.

Para diversificar um pouco os tipos de exerccios, vou usar algumas questes do Cespe tambm.

7.1. Poliedros

Poliedro um slido em que todas as suas faces so planas.

Exemplo:

Alguns exemplos de poliedros:

- a pirmide (ver desenho acima);

- paraleleppedo;

- o cubo

Em um poliedro, temos os vrtices, as arestas e as faces.

Um vrtice uma quina do poliedro. Abaixo destacamos um vrtice em vermelho:

Temos tambm as faces. As faces so as reas poligonais que delimitam o poliedro.



AFRFB e AFT


A pirmide acima tem quatro faces triangulares e uma face quadrangular. Destacamos uma destas faces em amarelo.

A aresta o segmento de reta que separa duas faces.

Em um poliedro convexo, vale a relao de Euler.

Seja A o nmero de arestas, F o nmero de faces e V o nmero de vrtices. Ento:

+ = + 2 Esta a relao de Euler.

Alguns tipos especiais de poliedro so: os prismas e as pirmides.

Prisma

Um prisma um poliedro que apresenta duas faces opostas paralelas.

Exemplo:



AFRFB e AFT


As duas faces hachuradas so paralelas:

As faces paralelas (hachuradas) so as bases. As demais faces so chamadas de faces laterais.

A rea lateral corresponde ao somatrio das reas das faces laterais.

As arestas laterais so todas paralelas entre si.

No desenho acima, as arestas laterais esto inclinadas em relao s bases. Logo, o prisma da figura anterior oblquo.

Se as arestas forem perpendiculares em relao s bases, ento o prisma reto. Segue exemplo de um prisma reto:



AFRFB e AFT


A altura de um prisma a distncia entre suas duas bases (veja na figura acima a distncia representada por h).

Por fim, o volume de um prisma o produto da rea da base pela altura.

= Um prisma muito usual o paraleleppedo. Trata-se de um prisma em que as bases so paralelogramos. Um paralelogramo um quadriltero com lados opostos paralelos.

Segue um exemplo de paraleleppedo:

Em cidades antigas, muito comum que, em vez de asfalto, as ruas tenham pedras em formato de paraleleppedo.

Se o paraleleppedo tiver todas as faces retangulares, e se todas as arestas tiverem a mesma medida, ento temos o cubo. Um cubo tambm muito comum no nosso dia a dia. Basta lembrarmos dos dados de seis faces, utilizados em jogos de azar.

Pirmide

Considere um polgono convexo, situado em um plano. E considere ainda um ponto V, fora desse plano.

Se ligarmos o ponto V a todos os pontos do polgono, delimitaremos uma pirmide.

As pirmides so muito famosas. Temos, como exemplo, as pirmides do Egito.

No desenho acima, a base da pirmide tem quatro lados ( um quadriltero). Mas poderamos ter pirmides com base triangular, quadrangular, ou com qualquer outra quantidade de lados.

Outro exemplo. Desta vez a base um pentgono:



AFRFB e AFT


A altura (h) a distncia entre a base e o vrtice.

Notem que todas as faces laterais so triangulares. A rea lateral corresponde soma de todas as reas das faces laterais.

Nas pirmides temos o aptema, que a altura de cada face lateral. Abaixo representamos um dos aptemas, em vermelho:

Esse aptema a altura da face hachurada.

Uma pirmide reta quando a sua altura forma com sua base um ngulo de 90.

O volume da pirmide igual ao produto da rea da base pela altura, dividido por 3.

= 3

7.2. Cilindros

Um cilindro muito semelhante a um prisma. A diferena que as bases so circunferncias.

Exemplo:



AFRFB e AFT


Se conectarmos os centros das bases, temos o eixo do cilindro:

Acima, temos um cilindro oblquo, pois o eixo no perpendicular s bases.

Se o eixo for perpendicular s bases, temos um cilindro reto:

A distncia entre as duas bases a altura do cilindro.

Para calcular a rea lateral do cilindro reto, temos que imaginar que possvel abrir o cilindro.

Como exemplo, suponham que o papel higinico est acabando. Est bem no finzinho. S tem mais uma volta de papel.

O papel higinico, enquanto ainda no utilizado, est l, naquele rolo, formando um cilindro.

Da voc vai e retira o papel higinico, desenrolando-o.

Em seguida, vamos colocar o papel, aberto, em cima da mesa.

O que temos?

Temos um retngulo.



AFRFB e AFT


Sua altura coincide com a altura do cilindro.

Sua base coincide com o permetro da base do cilindro.

Segue uma figura extrada do site WWW.somatematica.com.br:

Assim, se o cilindro original tem base com raio r e altura h, a rea lateral ser dada por:

= 2

O volume do cilindro, a exemplo do volume do prisma, dado pelo produto entre rea da base e altura.

=

7.3. Cone

Um cone muito semelhante a uma pirmide. A nica diferena que a base uma circunferncia, em vez de um polgono.

Exemplo:

O ponto V o vrtice. h a altura (distncia da base ao vrtice), e r o raio da base.

O eixo do cone o segmento que parte de V e vai at o centro da base:



AFRFB e AFT


O clculo do volume do cone semelhante ao volume da pirmide. Trata-se do produto da rea da base pela altura, dividido por 3:

= 3 Se o eixo do cone for perpendicular base, ento temos um cone reto.

Exemplo:

A geratriz qualquer segmento que parte de V e vai at um ponto qualquer da circunferncia.

No nosso dia a dia, temos vrios exemplos de cones retos: os cones de sinalizao de trnsito, os chapus utilizados em festa de aniversrio, a casquinha do sorvete do Mc Donalds, etc.

A rea lateral do cone reto dada por:

Onde r o raio da base e g a geratriz.

7.4. Esfera

Uma esfera um slido que parece uma bola de futebol.



AFRFB e AFT


O raio qualquer segmento de reta que sai do centro da esfera e vai at sua extremidade.

O volume da esfera :

= 43

Onde r o raio da esfera.

A rea da superfcie da esfera dada por:

4 Resumindo todos os slidos que estudamos:

Slido rea lateral Volume

Prisma Soma das reas dos quadrilteros que constituem as faces laterais

=

Cilindro reto 2 =

Pirmide Soma das reas dos tringulos que constituem as faces laterais

= 3

Cone reto = 3

Esfera 4 (*) = 43

(*) Obs: para a esfera no falamos em rea lateral, sim em rea da superfcie esfrica.

Visto isso, vamos aos exerccios:


Com relao geometria espacial, julgue os prximos itens.

Considere que um ourives deseje confeccionar uma jia cujo formato seja um poliedro convexo com 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais, sendo que um pequeno diamante dever ser incrustado em cada vrtice e no ponto mdio de cada aresta. Portanto, nesse caso, o ourives precisar de 55 diamantes.



AFRFB e AFT


Resoluo.

O poliedro tem faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

Cada face triangular corresponde a 3 arestas.

So 3 faces triangulares. Portanto, elas correspondem a 9 arestas.

A face quadrangular corresponde a 4 arestas.

A face pentagonal corresponde a 5 arestas.

Cada face hexagonal corresponde a 6 arestas. So 2 faces deste tipo, logo, so 12 arestas.

Somando tudo, temos:

9 + 4 + 5 + 12 = 32

So 32 arestas.

Mas tem um problema. Cada aresta pertence simultaneamente a duas faces diferentes. Assim, cada aresta foi contada duas vezes.

Logo, o nmero correto de arestas fica:

= 322

= 16

So 16 arestas.

O poliedro informado apresenta 7 faces.

Aplicando a relao de Euler:

+ = + 2 + 7 = 16 + 2

= 11 So 11 vrtices.

Cada vrtice vai receber um diamante. So 11 diamantes nos vrtices.

Cada ponto mdio de aresta tambm receber um diamante. So 16 diamantes nestes locais.

Somando tudo, so 11+16 = 27 diamantes.

Item errado.

Gabarito: errado


Com relao geometria espacial, julgue os prximos itens.

O volume de um cone circular reto de altura 5 cm e raio da base 6 cm 60 cm3.

Resoluo.



AFRFB e AFT

Prof. Vtor Mene

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Aula 6 - Geometria e Trigonometria