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Probabilidade Condicional
Aula 6
Profa. Dra. Juliana Garcia CespedesUNIFEI
Exemplo
• Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade no ano passado:
Sexo Homens MulheresCurso (H) (F) Total (cursos)
Matemática Pura (M) 70 40 110Matemática Aplicada (A) 15 15 30Estatística (E) 10 20 30Computação (C.) 20 10 30Total (sexo) 115 85 200
• Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de que seja mulher?
• Do total de 30 alunos que estudam • Do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Escrevemos:
3
2
30
20)aEstatístic|mulher( P
Probabilidade condicional
Probabilidade condicional
• Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas.
• A informação do que ocorreu em determinada • A informação do que ocorreu em determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrências das etapas sucessivas.
• Neste casos, dizemos que ganhamosinformação e podemos “recalcular” as probabilidades de interesse.
Probabilidade condicional
• DEF: Dados dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P(A|B) e é dada por:
• Se P(B) = 0 usaremos P(A|B) = P(A)
0)(,)(
)()|(
BP
BP
BAPBAP
Voltando ao exemplo
• Se B indicar o evento: aluno matriculado em estatística, e A o evento: aluno é mulher, então:
)(
)()|(
BP
BAPBAP
O aluno estar matriculado em estatística e o aluno é mulher.
3
2
200/30
200/20
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Como havíamos obtido !
Inferência Bayesiana
• Observe que P(A) = P(mulher) = 85/200, e com a informação de que B ocorreu (o aluno é matriculado em Estatística), obtém-se: P(A|B)=2/3.
• Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori • Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori de A e, com a informação adicional de B ocorreu, obtemos a probabilidade a posteriori , P(A|B).
• P(A|B)>P(A), logo a informação de que B ocorreu aumentou a chance de A ocorrer.
Regra do produto deprobabilidades
• Da definição de probabilidade condicional deduzimos a regra do produto de probabilidades:
• DEF: Sejam A e B eventos de Ω. Então,
0)(com),()|()( BPBPBAPBAP
Exemplo
• Uma grande região de 100km2 tem um aqüífero subterrâneo com área igual a 2 km2 cuja localização é desconhecida. Para determinar a posição do aqüífero, perfurações são feitas ao acaso.
Ω = Região (100 km2)
• Considere o evento H: Encontrar água:
• Após um ano de pesquisas, uma área de 20 km2 já foi perfurada sem encontrar água e pode ser descartada.
02,0100
2)( HP
perfurada sem encontrar água e pode ser descartada. Representamos esse evento por I
• Qual é agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o aqüífero? P(H|B)=2/80 = 0,025
• Considere como evento B: a nova região de procura.
Essa região é igual a área inicial menos a área perfurada = 100km2 -20km2 = 80 km2.
• Portanto a probabilidade do evento B é
P(B) = 80/100 = 0,8P(B) = 80/100 = 0,8
• O evento HB representa a ocorrência de, sem informação auxiliar, encontrarmos água num furo feito na região B.
P(HB)=P(H)=0,02.
• Então a probabilidade de encontrar água dado que a região é 80 km2 é:
02,0)( BHP025,0
8,0
02,0
)(
)()|(
BP
BHPBHP
Exemplo
• Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem resolver a questão, enquanto os demais “chutam” a resposta. Um aluno os demais “chutam” a resposta. Um aluno da turma é escolhido ao acaso.
1. Qual é a probabilidade de que ele tenha acertado a questão?
Resposta 1• Se o aluno sabe resolver a questão, ele tem probabilidade
1 de acertá-la, enquanto, se ele não sabe, sua probabilidade de acerto é 1/5 = 0,2.
P(acerta|sabe) = 1, enquanto P(acerta|não sabe) = 0,2.
• Podemos então obter as seguinte probabilidades:• Podemos então obter as seguinte probabilidades:
P(sabe e acerta) = P(sabe)·P(acerta|sabe) = 0,5 · 1 = 0,5
P(não sabe e acerta) = P(não sabe)·P(acerta|não sabe) =
= 0,5 · 0,2 = 0,1
• Finalmente,
P(acerta) = P(sabe e acerta) + P(não sabe e acerta)
= 0,5 + 0,1 = 0,6.
Cont. Exemplo
2. Dado que o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele tenha ”chutado”?
• O que desejamos calcular é a probabilidade condicionalde que o aluno não saiba resolver a questão, dado que de que o aluno não saiba resolver a questão, dado que ele a acertou.
Temos:
6
1
6,0
1,0
)acerta(
)acertaesabenão()acerta|sabenão(
P
PP
Independência de eventos
• Um conceito muito importante é o de independência de eventos:
DEF: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a ocorrência de A, ou seja, ocorrência de A, ou seja,
P(A|B)=P(A), para P(B)>0
Ou de forma equivalente:
P(AB)=P(A).P(B)
Não confundir com eventos disjuntos!!!!
Exemplo
• Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10.
• No início do dia de operação um teste é • No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste ela ficará sem operar nesse dia. Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção?
• Seja Oi o evento da máquina i estar operando, i=1,2. • Pelas informações disponíveis temos:
P(O1)=0,95 e P(O2)=0,90
O1
O2
O2c
0,95
0,90
0,10
Árvore de probabilidades,representa os eventos e as probabilidades condicionais associadas às realizações.
Assumimos independência entre O1 e O2, pois acreditamos que a eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra
O1c
O2
O2c
0,05
0,90
0,10
Cada um dos caminhos da árvore representa uma possível ocorrência
)()|( 212 OPOOP
• Então as possíveis ocorrências são:
005,010,005,0
045,090,005,0
095,010,095,0
855,090,095,0
adesProbabilidEventos
21
21
21
21
xOO
xOO
xOO
xOO
cc
c
c
• Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos uma máquina operando. Isto corresponde a união dos três primeiros eventos:
),()()()()()( 212121212121 OOPOOPOOPOOOOOOP cccc
Realizações disjuntas!!!
= 0,995
Teoria da confiabilidade• Esta teoria estuda sistemas e seus componentes, ex.
sistemas mecânicos (automóvel) e eletrônicos (computador).
• O objetivo da teoria é estudar a relação entre o funcionamento dos componentes e do sistema.
• A figura (a) ilustra um sistema composto de dois componentes ligados em série e a figura (b) um sistema em componentes ligados em série e a figura (b) um sistema em pararelo.
1 2
1
2a) b)
Figura (a)
• O sistema funcionará se os componentes 1 e 2 funcionarem simultaneamente. Se um dos componentes falhar, o sistema também falhará.
• Supondo que os componentes funcionem independentemente, e se pi for a probabilidade de o independentemente, e se pi for a probabilidade de o componente i (i=1,2) funcionar, então a probabilidade de o sistema funcionar será:
• Onde indicamos por F o evento “o sistema funciona” e Ai o evento “o componente i funciona”.
212121 )()()()( ppAPAPAAPFP
• A probabilidade pi é a chamada confiabilidade do componente i e P(F) é a confiabilidade do sistema.
Figura (b)
• Se os componentes 1 e 2 estiverem em paralelo, como na figura (b), então o sistema funcionará se pelo menos um dos dois componentes funcionar. Ou seja,um dos dois componentes funcionar. Ou seja,
• E a confiabilidade do sistema é p1+p2-p1p2.
2121
212121 )()()()()(
pppp
AAPAPAPAAPFP
Independência para trêseventos
• Dizemos que os eventos A, B e C são independentes se, e somente se,
)()()(
)()()(
CPAPCAP
BPAPBAP
• Se apenas as três primeiras equações forem satisfeitas, os eventos A, B e C são mutuamente independentes.
)()()()(
)()()(
)()()(
CPBPAPCBAP
CPBPCBP
CPAPCAP
Teorema de Bayes
• Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo teorema de Bayes. A versão mais simples é:
)|()()( ABPAPBAP
• Temos a probabilidade a priori, P(A), e dada a informação de B ocorreu, obtemos a probabilidade a posteriori P(A|B).Atualizamos a probabilidade inicial multiplicando-a por
P(B|A)/P(B)
)(
)|()(
)(
)()|(
BP
ABPAP
BP
BAPBAP
Partição do espaço amostral
• Os eventos C1, C2, ... Cn formam uma partição do espaço amostral se eles NÃO tem intersecção entre si e se a sua união é igual ao espaço amostral.
n
iiji CCC
1
ejipara
C1
C2
C3
C4
C5Partição do espaço amostral (n=5)
Ω
Teorema de Bayes
• Suponha que os eventos C1, C2, ... Cn formem uma partição do espaço amostral e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que para um evento A, se conheçam as probabilidades P(A|Ci) para todo i.
• Então, para qualquer j,
njCPCAP
CPCAPACP n
i ii
jjj ,...,2,1,
)()|(
)()|()|(
1
Exemplo
Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% da fazenda F3. Houve uma fiscalização e observou-se que 20% do leite produzido por F1 está com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a proporção era de 5% e 2%. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas.
Qual a probabilidade de que a amostra adulterada tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1? P(F1|A)?
• Considere o evento A: Leite está adulterado.
• Temos que:P(A|F1)=0,20, P(A|F2)=0,05 e P(A|F3)=0,02.
• F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral.
F3
F1
F2
A
)()()()( 321 FAPFAPFAPAP
• Pela regra do produto temos:
• E pelo teorema de Bayes
)()|( FPFAP
)()|()()|()()|()(
)()()()(
332211
321
FPFAPFPFAPFPFAPAP
AFPAFPAFPAP
• Portanto a probabilidade de que a amostra de leite tenha sido produzida pela fazenda F1 é de 0,615.
615,002,05,005,03,02,02,0
2,02,0)|(
)()|()()|()()|(
)()|()|(
1
332211
111
xxx
xAFP
FPFAPFPFAPFPFAP
FPFAPAFP
Inferência Bayesiana
• O teorema de Bayes, que aparentemente poderia ser encarado como mais um resultado na teoria de probabilidades, tem importância fundamental, pois fornece a importância fundamental, pois fornece a base para uma abordagem da inferência estatística conhecida como inferência Bayesiana.