Aula Cálculo III - Estácio

Prof: Jorge Bitencourt

email: [email protected]

Plano de Ensino:

1 - Objetivo

- equaes diferenciais de primeira e segunda ordem;

- Solues de equaes diferenciais de primeira e segunda ordem;

- Transformada de Laplace

- Transformada inversa de Laplace

- Sries de Fourrier

2 - Ementa

3 - Metodologia

AV1: Teste + AE (Ativ Estruturada)

AV2: Prova Unificada

AV3: Prova Unificada

4 - Avaliao:

- material didtico

- Zill & Cullen - equaes diferenciais

- Boyce e Diprima - Equaes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno

- Bronson - Moderna introduo s equaes diferenciais

- Spigel - Transformada de Laplace

5 - Referncias bibliogrficas:

2T

2C - atividades estruturadas

+ lista de exerccios

CCE0116 - Calc IIIquarta-feira, 31 de julho de 2013

20:34

Pgina 1 de Calc III

O que vem a ser uma equao diferencial?

MRU:

tdtdx

xx

vtxxvtSS

+=

+=+=

0

00

fxkam =+ ..

=

dtdx

dtd

dtdv

)()()(2

tftkxdt

txdm =+

fkxdt

xdm =+2

2

xeydxdy

dxyd

=++ 3222

EDO

EDO

EDO

x - varivel dependente

t - varivel independente

Massa - Mola

K

Mf

X

f = fm + fk

x - varivel dependente

f - varivel independente

Tipo

Linearidade

Ordem

EDO - equaes diferenciais ordinrias (uma nica varivel independente)

EDP - Equaes diferenciais parciais (duas ou mais variveis independentes)

Exemplos:

x

v

yu

xtv

x

u

xdxdv

dxdu

ydxdy

=

=

=

= 15 EDO

EDO

EDP

1)

2)

3)

4)0

53

45

04

2

4

4

42

373

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=+

+

=++

=

fu

x

ua

xydxdyy

dxyd

eydxdy

dxyd

x

yx

y

x

5)

6)

7)

8)

EDP

EDPEDP

EDO

EDO

Equaes Diferenciaisquarta-feira, 31 de julho de 2013

21:20

Pgina 2 de Calc III

Equaes Diferenciais (EDO)

Uma ED classificada como LINEAR quando pode ser escrita na forma:

)()()(...)()( 111

1 xfyxadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xa nn

n

nn

n

n =++++

As EDL's so caracterizadas por:

1- A varivel dependente e suas derivadas estarem elevadas a grau um.

2- Os coeficientes dependem apenas da varivel independente.

Exemplos: OBS:

4)4(

)()(

3

3

....

2

2

..

)(

)(

)(

)(

yy

ytydt

yd

ytydt

yd

ytydt

yd

ytydtdy

nn

n

n

==

==

==

==

varivel dependente

varivel independente

xyyy =+...

2)1

a2(y) = y (BAD) / a1(x) = 2 / a0(x) = 0 / f(x) = x No linear

xyyxyx cos54)1)(2...

=+

a2(x) = (1 - x) / a1(x) = -4x / a0(x) = 5 / f(x) = cos(x) EDL - 2a ordem

0)(2)3 4.

=+

yyyx

3a ordem No linear

034)4...

2)4(

3=+ yyxyxyx

a4(x) = x3 / a3(x) = 0 / a2(x) = -x2 / a1(x) = 4x / a0(x) = -3 / f(x) = 0 EDL - 4a ordem

0)5 2..

2

..

=+= kRRRkR

2a ordem No linear

a1(x) = x2 / a0(x) = (1 - x) / f(x) = xex EDL - 1a ordem

xx

x

xeyxdxdy

xxexyydxdy

x

dxdxxexyydyx

=+=+

=+

)1(0)()(0)()6

22

2

Linearidadequarta-feira, 7 de agosto de 2013

21:00

Pgina 3 de Calc III

Objetivo: Encontrar solues (funes) que satisfaam as EDO's dadas:

OBS: A funo f tem que ser definida no intervalo I.

contnua, sem ponto de singularidade..SP

Exemplo:

16

4xy = 21

xydxdy

= soluo de ?

x

y

RxI );,( +

x

y

+

== ),0(

)0,(1x

xI

xy

4444164

4164

1633232

143

21

.

33.

4

xxxx

xxx

xxyy

xxyxy

=

=

==

===

soluo!

xxey = soluo de 02

...

=+ yyy ?

00022220)2(2)2(2

..

.

==+=+++

+=++=

+=

xxxxxxxxx

xxxxx

xx

xeexeexexeexee

xeexeeey

xeey

soluo!

y(x0)

y(x0)

y(x0).

PVI

y(x0)

y(x0)

PVC

..y(x0) x0 x1y(x1)

Nmero de Solues:

Uma dada ED, geralmente, possui um nmero infinito de solues. neste caso dizemos que uma soluo, ou

seja, uma funo que satisfaz a ED um membro da famlia de solues. Exemplo:

1+=x

Cy uma soluo da EDL 1.

=+ yyx ?

111111)(1

1112

2.

1

==++=++

=+=

CxCxCxCxxCxyCxy

),0(: xIx

y

1

C = -1 (C < 0)

C = 0

C > 0

Objetivosegunda-feira, 5 de agosto de 2013

21:00

Pgina 4 de Calc III

Uma soluo y = f(x)para uma EDO dita ser uma soluo explcita. Dizemos que uma relao G(x,y) = 0

uma soluo implcita de uma EDO, em um intervalo I, se ela define uma ou mais solues explcitas em I.

-

x

y

+k-k

222 Ryx =+

kykIkxkI

y

x

Representa-se a estrutura, comportamento e/ou desempenho de sistemas atravs de modelos

matemticos. No domnio do tempo comum representar a dinmica de um sistema atravs de uma

equao diferencial ou um sistema de equaes diferenciais. Exemplos:

S0S

V0

gdt

tsd=2

2 )(

Corpo em queda livre:

x = 0

K K K

MM

x(t) < 0 x(t) > 0

Sistema massa-mola:

0

)()(22

=+

=

=

Kxxm

tKxdt

txdm

Kxma

&&

Lei de resfriamento de Newton

T0T

)( 0TTkdtdT

=

OBS: resistncia do ar

desprezvel

0mgSEp =

2

21

mvEc =

00 kTT

00 >< kTT

Problema de valor inicial (PVI):

Resolver uma ED de 1a ordem, = f(x,y), sujeita a condio inicial y(x0) = y0, em que x0 um valor no

intervalo I um PVI.

x

y

y0

x0

(x0,y0)

Exemplo:

y = Cex uma famlia de solues de = y, sendo o intervalo I(-,)

x

y

x0

(0,1)

(0,-2)

C > 0

C < 0

C = 0 y = 0

C = 1 y = ex

C = -2 y = -2ex

xx CeyCey == &

=

ee

1xx CeCe =

y(2) = 1

y(-2) = -3

y(0) = 0

22

2 11 ==== ee

CCeCey x ( ) 22 == xx eeey2

22 333 e

eCCeCey x ====

( ) 22 33 +== xx eeey00 0 === CCeCey x

Obtendo a funo:

Modelos Matemticosquarta-feira, 14 de agosto de 2013

19:00

Pgina 6 de Calc III

Existncia e unicidade da soluo que passa por (x0,y0). Seja R uma regio no plano xy, definida por

a x b, c y d, que contm em seu interior o ponto (x0,y0), Se f(x) e so contnuas em R, ento

existe uma nica y = f(x) soluo do PVI. x

f

x

y

y0

x0 b

d

c

a

(x0,y0)

regio R

Representao de uma ED:

Forma normal: = H(x,y). Exemplos:

03)(3)()(3)3

22

2242)2

)1

24324343

2

=+=++

=

+==+=+

+=

yxyyxyxyyxyxyxy

eyyeyyeyy

senxyyxx

x

&&&

&&&

&

a1(x,y) a1(x)

EDL 1a ordem

Forma diferencial: ),(

),(),(yxN

yxMyxHy

==&

0),(),(

),(),(),(),(

=+

=

=

dyyxNdxyxM

dyyxNdxyxMyxN

yxMdxdy

yNxM

exemplos:

0)()( =+=++= dydxsenxydydxsenxysenxydxdy M(x,y) N(x,y)

02

202)4(2)4(2

442 =

+=+=+

+==+ dydxeydydxeydydxeyey

dxdy

eydxdy xxxxx

0)()3()()3()(3 432432

43

2

=++=+

= dyyxdxyxdyyxdxyxyxyx

dxdy

ADROGr

Forma padro: EDL 1a ordem

)()()( 01 xgyxadxdy

xa =+

)()(1

)()(

11

0 xgxa

yxa

xa

dxdy

=+

)(1 xa

)()( xfyxPdxdy

=+

=

=

)()(1)(

)()()(

1

1

0

xgxa

xfxa

xaxP

Exemplo:

2242

xx ey

dxdy

eydxdy

=+=+

=

=

2)(

2)(x

exf

xP

Teorema de Picardquarta-feira, 14 de agosto de 2013

20:00

Pgina 7 de Calc III

Professor: Marival

Apresentao: Professor Marival1.

Plano de Ensino2.

Avaliaes3.

Boyce, William E, Diprima, Richard C. - Equaes diferenciais elementares e problemas de

contorno, Ed. LTC 2006

a.

Edwards C. H, Penney, David E. - Equaes diferenciais Elementares - Pearson 2006.b.

Material Didticoc.

Bibliografia4.

Conduo das Aulas5.

Introduo s equaes diferenciais:

1) Definio: Tratam-se de equaes envolvendo uma funo incgnita e suas derivadas, alm de variveis

independentes.

Exemplos:

022

=+ senlg

dtd Na equao, a incgnita a funo (t). Assim, a varivel

dependente e t a varivel independente.

Nesta equao a incgnita a funo u(x,y). Assim, u a varivel

dependente e x y as variveis independentes.022

2

2

=

+

yu

x

u

2) Motivao para estudo: As equaes diferenciais esto presentes na formulao dos modelos

representativos de fenmenos fsicos, por exemplo.

3) O que se deseja com as equaes diferenciais: Encontrar uma funo incgnita que satisfaa a

equao diferencial.

4) Exemplos de equaes diferenciais em fenmenos fsicos.

sengm ..

gmP .=

sengm .. 022

=+ sengdtd

l

Pndulo Simples

Potencial em uma regio plana:

022

2

2

=

+

yu

x

uO potencial eltrico em cada regio do plano satisfaz a equao diferencial.

Lembrando que u a varivel dependente de x e y, que so as variveis independentes.

Mudana de Professorquarta-feira, 28 de agosto de 2013

08:51

Pgina 8 de Calc III

3) Circuito RC (resistor - capacitor)

V(t)

resistor

capacitor

)(1 tvQCdt

dQR =+ A incgnita a funo Q(t). Assim Q(t) a varivel dependente e t a varivel independente.

4) Classificao

4.1 - Quanto ao tipo de equao diferencial, ela pode ser ordinria ou parcial. Ela ordinria se as

funes incgnitas forem somente uma varivel. Caso contrrio, ela parcial.

4.2 - Quanto a ordem, ela pode ser de 1a, 2a, ... ou de ensima ordem, dependendo da derivada de

maior ordem.

4.3 - Quanto a linearidade: Uma equao diferencial pode ser linear ou no linear. Ela linear se as

incgnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equao, isto , as incgnitas e suas derivadas

aparecem em uma soma em que cada parcela um produto de alguma derivada com uma funo que

no depende das incgnitas.

)()()()()( 22

210 tfdtyd

tadt

ydta

dtdy

taytan

n

n =++++ K

Exemplos de equaes diferenciaisquarta-feira, 28 de agosto de 2013

09:25

Pgina 9 de Calc III

1.1 - Representaes: Simbolicamente pode ser escrita como:

( ) 0,,'',',, )( =nyyyyxF K ou 0,,,,, 22 =

n

n

dxyd

dxyd

dxdyyxF K

Se a funo incgnita depende apenas de uma varivel, temos uma equao diferencial ordinria. Se

depender de mais de uma varivel, tem-se uma equao diferencial parcial.

1.2 - Exemplos:

1.2.1) Ordinria:

0324

2

2

3

32

=+

+

dxdy

dxydy

dxyd

x

1.2.2) Parcial:

,022

2

2

=

+

t

u

x

uonde u = (x,t)

1.3 - Classificao

1.3.1) A ordem de uma equao diferencial o nmero que corresponde ordem mxima das derivadas da

equao.

1.3.2) O grau de uma equao diferencial a maior potncia da derivada de maior ordem.

07)3

2

2

=

+

dxdy

dxdy

dxyd

a Eq. diferencial de 2a ordem, 1o grau

03)2

=+

ydxdy

dxdyb Eq. diferencial de 1a ordem, 2o grau

2) Verificao da soluo de uma equao diferencial:

Uma soluo de uma equao diferencial uma funo y = f(x) a qual, justamente com as derivadas, satisfaz a

equao diferencial dada.

Exemplo: Verificar se y = 4e-x+5 uma soluo da equao diferencial de segunda ordem e 1o grau.

xx edx

yde

dxdy

dxdy

dxyd

===+ 4e4;0 22

2

2

substituindo ==+ 00;0)4(4 xx ee soluo

Geometricamente, a soluo geral de uma equao diferencial de 1a ordem representa uma famlia de

curvas conhecidas como curvas-soluo, uma para cada valor constante arbitrria. Uma soluo particular

pode ser obtida se forem dadas certas condies iniciais. Uma condio inicial uma condio que especifica

o valor de y, y0 correspondente a x,x0. Essa soluo conhecida como problema de valor inicial (PVI).

x

z

y

z = f(x,y)

(x,y)

Equaes Diferenciaisquarta-feira, 4 de setembro de 2013

21:00

Pgina 10 de Calc III

02 322

32

3

=+ dyyxyxdx

yxxy

3) Mtodo de Separao de variveis para resolver equaes diferenciais de 1a ordem.

Uma equao diferencial de 1a ordem uma relao envolvendo a primeira derivada. Ento pode ser

escrita da forma:

0),(),( =+dxdyyxNyxM ou multiplicando por dx : 0),(),( =+ dyyxNdxyxM

onde M(x,y) e N(x,y) so funes envolvendo as variveis x e y.

3.1) Separao de variveis:

cdyyNdxxMbdyyNdxxMdyyNdxxMa

+=

==+

)()())()(ou0)()()

3.2) Exemplo: Reescreva a equao diferencial de 1o grau x2yy' - 2xy3 = 0 na forma da letra a do item 3.1:

dxxydxdxdyyx

xydxdyyxxyyyx

32

3232

2

0202'

== (multiplicando por dx )

multiplicando cada

membro por

Ento e

321yx 012 2 =+ dyyx

dx

xxM 2)( = 2

1)(y

yN =

3.3) Exemplo: Determinar a soluo geral da equao diferencial1

' 2 +=

x

yy

111 222 +=

+=

+=

x

dxy

dydxx

ydyx

ydxdy

multiplicou por dx multiplicou por 1/y

cxarctgyx

dxy

dy+=

+= ln12

cxarctgcxarctgccxarctg eeeekeky +=== ++ :,.xeyx

y

e

=

=log

3.1) Resolver a equao diferencial (1a lista de exerccios):

02 = dxyxdy 21xy

00 222

2 == x

dxydy

xydxy

xyxdy

cxy

cxyx

dxdyy ==+= ln10ln102 cyxycyxy

yx

=++= ln1ln

yyyy 1

1121

112

==

=

+

+

(-y)y

Equaes Diferenciaisquarta-feira, 4 de setembro de 2013

11:58


1) Resolva a equao diferencial homognea

x

yvxdvvdxdyxvy

x

yxy =+==+= ;;.;2

'

0)(2))((02)(2)(2

=++=+=++

= xdvvdxxdxvxxxdydxyxxdydxyxx

yxdxdy

)(02)1(02022 2222 xdvxdxvxdvxvxdxxdxdvxvxdxvxdxxdx ===+

)1(02)1(2)1( 22

2 vdvxdxv

x

dvxx

dxvx=

0)1(20)1(

2)1(

)1(=

=

vdv

x

dxv

dvvx

dxvc

x

yxcvx == 1ln2ln|1|ln2ln

2

22

22

)(ln)(lnlnlnlnln2ln

x

yxx

cx

yxxc

x

yxxc

x

yxx

=

=

=

2222

3

2

2

2

2 )(1ln)(ln)(ln)(.ln)(ln yxxyxx

x

yxx

yxx

x

x

yxx

=

=

=

resultado duvidoso

xyxcxyxx

ecyxx

cyxx

c

e

2222 )()(

1)(

1log)(1ln =

==

=

Equaes diferenciais exatas:

1) Definio: Uma equao diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy uma diferencial exata em uma regio do plano xy se

ela corresponde diferencial total de alguma funo f(x,y). Uma equao diferencial da forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 chamada de uma equao exata se existir uma funo f(x,y) com derivadas parciais

contnuas tais que fx(x,y) = M(x,y) e fy(x,y) = N(x,y).

2) Critrio para uma diferencial exata:

Sejam M(x,y) e N(x,y) funes contnuas com derivadas parciais contnuas em uma regio R definida a < x < b,

c < y < d. Ento a condio necessria e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy seja exata :

x

Ny

M

=

pg 15, mat did2

2a Lista de Exercciosquarta-feira, 18 de setembro de 2013

21:00


cont.

Dada a equao M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

1) Mostrar que

x

Ny

M

=

2) Suponha que +==

)(),(),(),( ygdxyxMyxfyxMx

f

3)

4)

),()('),(),( yxNygdxyxMyy

fyxNyf

=+

=

=

= dxyxMy

yxNyg ),(),()('

3) Exemplo: 3 lista, 1 exerccio:

=

=

=+ 3;3;0)32()32(x

Ny

Mdyxydxyx EXATA

cxhxyyyxfxhdyxyyxfxyyf

++=+==

)(322),()()32(),(32

2

yxcxhyxyxx

f 32))(3( 2 =++

=

cxxhyxcxhy +==++ 2)('32)('3

cyyxxyxfxxh ++== 222 3),(;)(

),( yxMx

f=

),( yxN

yf

=

Equaes diferenciais exatasquarta-feira, 18 de setembro de 2013

21:30


a) xydxdy

xdx

ydx ln22

22

=+2

1)(x

xy =

32)('x

xy =

46)("x

xy =

2222342234

2 26).2().6(126 xxxxxxxxxx

xx

x

xxx

ln29126 22

=

b)

No soluo.

tetydtdy

dtyd 322

2

.96 =+ tetty 34

.212

)(

+= 3

.64

)('33

34 t

t ete

tty +

+=

tttetete

tty 33323

4

2.184

3)(" ++

+=

++

+

+

++

+ t

ttttt e

tete

tetete

t 3433

34

333234

.212

93

.64

62.184

3

++

++

+++ ttttttttt ee

te

tee

tetetee

t 334

33

334

3332334

212

93

64

62184

3

ttt et

ett

ettt 3

43

34332

4

18129

3636

46218

43

++

++

+++

tt et

ttttt

ettt

ttt 3

332

4443

43432

4

362

43

46

4318

129

3636

46218

43

+++=

+++++

soluo[ ] [ ] tt etettt 323332 22 =+

Atividade Estruturada 01


a) 0)( 22 =+ dyxdxyxyx

yvxdvvdxdyxvy =+== //.

0)())().(( 22 =++ xdvvdxxdxvxxvx

0)(0)().( 2232222 =+=+ xdvvdxdxvvdxxdvxdxvxdxxvdxxv

cv

xv

dvx

dxv

dvx

dxxdvdxvxdvdxv =+====

1)ln(0 2222

cyx

x =+)ln(

b)

x

xyydxdy )1ln(ln +

= x

yvxdvvdxdyxvy =+== //.

0)1ln(ln)1ln(ln =++= xdydxxyydxxyyxdy)()ln(.)ln(.0)()1ln)(ln( 2 vxdxdvxvxdxvxdxdxxvxdxvxvxxdvvdxxdxxvxvx +=++

vv

dvx

dxvdxxdv

vvdxxdv

x

vx

vdxxdv

xvxvxdx

dvxxvx

lnln0ln0)ln()ln(0)ln()ln(

2

===

==

c

x

yx

cvxvv

dvx

dx=

==

lnln)ln(lnln

ln



a) 0)146()524( =+++ dyxydxxy 1)0( =y

verificao: EXATA

cxgyxyyxgdyxyyxfxyyf

+++=++=+=

)(426)(146),()146(

2

cxgyxyyyxf +++= )(43),( 2

cxxdxxxgcyxyxg +==++= 552)(4524)(' 2

413)0(5)0()1()1)(0(4)1(3)1,0(543),( 2222

=+=

=++=+++=

c

cfcxxyxyyyxf

b) 0)1(2 2 =+ dyxxydx 1)2( =yverificao: EXATA

cxgyyxxgdyxyxfxyf

+++==

)(')(1),()1( 222

cxgxgxycxgxyxyx

cxgyyxx

f===++=

++=

)(,0)('2)('22))('(2

3)1()1()2()1,2(),( 22 ==+= cfcyyxyxf

M N

M N

=

=

x

yN

xy

M 22

=

=

44yN

yM

524)('4524))(43(2

+=++++++

=

xycxgyxyx

cxgyxyyx

f



a)

cvvxxxvxvxxv

xvxxvdxvxvdvdxvxvdv

v

v

dxdv

x

+====

===

=

112211)(211823

42

3)41(3)41(3341

2222

22

22

2

b)

1)1ln(1)3cos(1ln)01(3)0(

|sec|ln)1()1()1(3)0(

)1(

2

222

2

=+=

+==

++=+=+=

=

+=

cy

cxyytgxdxydytgxdxydyy

tgxydxdy

Atividade Estruturada 03quarta-feira, 2 de outubro de 2013

17:07


2a lista de exerccio - Errata das respostas:

xcyouxkycyxoukyx

cyxxyxcx

33)322)2

)(1)()1 22

==

=+=+

==

3a lista de exerccios:

{

),();,(

3)(

)(3

)()(),(

!2;2

311)3(;02)()8

23

22

23

2222

22

yxNyfyxM

x

f

cxyxdxyx

cygxyxygdxyxyxfyxx

f

ExataEquaoyx

Nyy

M

xeyydyxydxyxNM

=

=

++=+

+++++=+=

=

=

====++

43421

Portanto:

123

),(

12)1).(3(3)3(31/;

3),(

)(0)('2)('22)(

3

23

23

23

23

++=

==+==++=

===+=

+++

=

xyxyxf

ccxeypcxyxyxf

cygygxyygyxxyy

cygxyx

yf

2a lista de exerccio

2) ;)(2' yxyy+

=

x

yvvdyydvdxvyx =+== ;;.

)2(;0)2(02)1(;02022

0).(2)(0)(2)(2)(2

22

22

vdvydyvydvyyvdyydyydyyvdydvyydyyvdyvydydvy

dyyvyvdyydvydyyxydxdyyxydxyx

ydxdy

+=+=+

==+

=++=++=+

=

0)2()(;0)2(0)2()2()2(

2

2

22

22

=

+=

+=

+

+

+

vydvy

yydyy

v

dvyydyv

dvyv

dyvy

cy

yxycy

yxycvy

v

dvy

dy=

+=+=+=

+

2lnln12lnln|2|lnln0)2(

222

)2(22

ln.2

ln2

ln yyxcyx

yec

yxyycy

yxyyc

yyx

y c=+

+==

+=

+=

+

Errata lista de exercciosquarta-feira, 25 de setembro de 2013

20:30


1a lista de exerccios:

3.6) dxxydyxx

xydxdy )()3(;

32

2 =++=

0)3(0)3(03)(0

3)(

3)3(

22222

2

=

+=

+=

+=

+

+

+ x

xdxy

dyxyxydx

ydy

x

dxxydyx

dxxyx

dyx

)3( 2 +x )( y

21

2

21

221

2

2 )3()3()3(

ln3ln21ln +=

+

==

+

=+ xcyx

yec

x

ycxy c

a b c ou k

=

baba lnlnln

Exercciosquarta-feira, 25 de setembro de 2013

21:00


Equao diferencial de 2a ordem com coeficientes constantes:

1) Definio:

a) Equao Diferencial Homognea so equaes da forma: ay" + by' + cy = 0

b) Equao diferencial no homognea so equaes da forma : ay" + by' + cy = f(x), onde a, b e c so

constantes reais.

2) Exemplos:

a) Homognea: 2y" + 3y' - 5y = 0

b) No homognea: xy''' - 2xy" + 5y' + 6y = ex

OBS: A busca da soluo geral da equao diferencial ordinria (EDO) de 2a ordem envolve a determinao

da soluo geral homognea (H) e uma soluo particular da no homognea (NH).

3) Soluo geral da EDO Homognea:

(*) y" - y' = 0; a = 1, b = 0 e c = -1

y" = y y1(x) = ex e y2(x) = e-x

As equaes 2ex e 5e-x tambm satisfazem a equao (*) por meio dos clculos das derivadas assim,

c1y1(x) = C1ex e c2y2(x) = C2ex tambm satisfazem a equao diferencial (*) para todos os valores das

constantes C1 e C2. Ento podemos escrever a soluo geral:

xx eCeCxyCxyCy 212211 )()( +=+= (**)

y' = C1ex - C2e-x e y" = C1ex + C2e-x que (*); esta equao constitui uma famlia de solues.

3.1) Condies Iniciais:

C1 + C2 = 2; Derivando (**)

y' = C1ex - C2e-x ; substituindo: x = 0 e y = 1

y(0) = 2 e y'(0) = -1, fazendo x = 0 e y = 2

xx eey

CeCCC

+=

===

23

21

23

21;1 2121

(ar2 + bx + c) = 0, ento ar2 + bx + c = 0, que chamada equao caracterstica.

4) Retornando a equao mais geral (H): ay" + by' + cy = 0, que tem coeficientes constantes reais, vamos

supor que y = erx onde"r" um parmetro a ser determinado. Ento y' = r.erx e y" = r2.erx. Levando as

expresses de y, y' e y" para a equao (***) temos:

5) Soluo geral de uma equao linear homognea com base na equao caracterstica:

a) Razes reais e distintas se r1 r2,ento a soluo : xrxr eCeCy 21 21 +=

b) Razes reais iguais: se r1 = r2, ento: rxrxrx exCCxeCeCy )( 2121 +=+=

c) Razes Complexas, se r1 = + i e r2 = - i: xseneCxeCy xx 21 cos +=

ED 2a ordemquarta-feira, 16 de outubro de 2013

20:30


5.1) Exemplo com duas razes reais distintas:

3)0('2)0(;06'5" ===++ yeyyyy 32;065 212 ===++ rerrr ento:

xx eCeCy 322

1 += para y = 2 e x = 0, temos C1 + C2 = 2. Como y' = 3 quando x = 0,

xx eCeCy 322

1 32'

= ento: 21 323 CC =

Logo: xx eeyCC

CCCC 32

2

1

21

21 797

9332

2

==

=

=

=+

5.2) Exemplo com razes reais e iguais:

1)0('2)0(;04'4" ===++ yeyyyy Eq. caracterstica: 0442 =++ xrxx xeCeCyrr 22

2121 .2

+=== como y = 2 e x = 0, temos C1 = 2 e y' = 1, quando x = 0;

( )xxx exeCeCy 22221 222' ++= [ ] 51)1).(0(2)1).(2).(2(1 22 =++= CCxx xeey 22 52 +=

5.3) Equaes caractersticas com razes complexas:

y" + 6y' + 12y = 0; Equao caracterstica: r2 + 6r + 12 = 0

124836;3333 ===== eir ir 332

126 ==

xseneCxeCy xx .3...3cos.. 323

1 +=

4a lista de Exerccio:

9) y" - y' - 2y = 0; y(0) = 2, y'(0) = 1

Equao caracterstica: r2 - r -2 = 0 r1 = 2 e r2 = -1

sobrando...

ED 2a ordemquarta-feira, 16 de outubro de 2013

21:00


Soluo Geral de uma equao linear no homognea (NH):

1) Teorema: seja ay" + by' + cy = F(x) uma equao diferencial linear no homognea de 2a ordem. Se yp uma

soluo particular dessa equao e se yh a soluo geral de uma equao homognea correspondente,

ento:

= +

2) Mtodo dos coeficientes a determinar:

J temos as ferramentas para encontrar yh, faltando encontrar a soluo yp. Podemos encontrar uma soluo

particular pelo mtodo dos coeficientes a determinar. A idia do mtodo tentar uma soluo yp do mesmo tipo

que F(x). Exemplos:

1. Se = 5 + 4, escolher = + .2. Se = 2 + 5, escolher = + = + .3) Se = + 9 7, escolher = + + + 7 + 7

3) Exemplos pelo mtodo coeficientes a determinar:

a) Encontrar a soluo geral da equao y" + 2y' + 3y = 2senx:

= 2 3 = 0 = + 1 + 3 = 0 = 1 = 3; "#:%& + '; = + ( = + " = 2 + 3 + = 2 + 2 2 3 3 = 2 4 2 + 2 4 = 2;4 2 = 02 4 = 2 = 15 = 25 ;

= + = %& + ' + *15+ *25+

= ; ( = ; " =? 2 3 = 24 2 = 24 = 2;2 = 0 = 24

b) Encontre a soluo geral da equao:

2002;2'2" 212

===+= rerrrexyy xxx

h exxFeCCy 2)(;221 +=+= xp

x

p

x

p

CeBy

CeBxAy

eCBxAxy

+=

++=

++=

2"

2'

.

A soluo (A+Bx) + CexMult. x

Substituindo na equao diferencial:

xxx exCeBxACeB 2)2(2)2( +=+++xxxxx exCeBxABexCeBxACeB 24)22(22422 +=+=+

41

;2;14;022 ===== BACBAB

x

p exxy .241

41

+= A soluo geral : xx exxeCCy 241

41 22

21 +=

Equao Linear no homogneaquarta-feira, 23 de outubro de 2013

20:30


4.1) Exemplos:

4) Equaes diferenciais de ordem mais alta.

0)1(1330'3"3) =+=+++=+++ rrrryyyya A raiz tripla; r = -1 xxx exCxeCeCy ++= 2321

0)1(1202) 4)4( =+=++=++ rrryyyb A raiz dupla com = 0 e = 1

A soluo geral da equao : xsenxCxxCsenxCxCy 4321 coscos +++=

ED - Ordem mais Altaquarta-feira, 23 de outubro de 2013

21:00


1) A transformada de Laplace um mtodo para resolver equaes diferenciais lineares que surgem na

matemtica aplicada Engenharia. O mtodo consiste de trs etapas:

1a: A equao diferencial dada transformada em uma equao algbrica (equao subsidiria).

2a: Esta equao subsidiria resolvida por manipulaes algbricas.

3a: A soluo subsidiria transformada em sentido contrrio, de tal maneira que fornea a soluo desejada da

equao diferencial original.

A transformada de Laplace pode levar em conta as condies iniciais e ainda evita a necessidade de calcular uma

soluo geral e uma soluo particular.

2) A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equaes diferenciais lineares com coeficientes

constantes da forma: ay" + by' + cy = f(x) ou ay" + by' + cy = f(t)

3) Definio da transformada de laplace de uma funo f:[0, ) ./ = = 0 &12/3435

6

Representamos funo original por uma letra minscula, a sua varivel por t e a sua transformada de

Laplace pela letra correspondente maiscula e a sua varivel. Ex: f(t) g(t) h(t)

F(s) G(s) H(s)

4) Exemplos:

a) A transformada de Laplace da funo f:[0, ) Definida por f(t) = 1 dada por:

ss

e

s

e

s

e

s

edtesFssst

t

stst 101)(

0.0.

00 lim =

=

=

==

para s > 0

b) Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da funo f:[0, ) definida por f(t) = eat dada por:

assa

e

sa

edtedteesFastas

tasatst

=

=

===

10)(

0).(

0

)(

0)(

0para s > 0

4) Propriedades:

a) Soma de duas funes: L7/%3 + /38 = 97/%38 + 97/38 = % +

b) Multiplicao por constante: 97:/38 = :97/38 = :

c) Derivada Primeira de uma funo: 9 ;

a) Use a transformada de Laplace para resolver a equao diferencial com problema do valor inicial:

y" - y' - 6y = 0; y(0) = 1; y'(0) = -1

)(}{1)()0()(}'{

1)()0(')0()(}"{

syyLssyyssyyL

ssysysysysyL

=

==

+==

( ) )2)(3(2)(26)(0)(61)(1)(+

===++ss

ssyssssysyssyssys

===

=+

54

;51

2321

BABABA

fraes parciais

( )tt eetyss

sy 23 451)(

254

351

)( +=+

+

=as

sFetf at

==1)()(

tabela:

232)(2322)3()2( =++=++=++ sBABAssBBsAAsssBsA

b) ;.96" 32 tetyyy =+ 6)0(';2)0( == yy

62)()0(')0()(}"{ 22 == ssysysysysyL

2)()0()(}'{ == ssyyssyyL

)(}{ syyL =

33132

)3(2

)3(1.2

)(!}.{}.{

=

=

=+ ssas

nteetL

n

natt

)3(2

)3(2)(

)3()3(2

)3()3(2)()3(2)3(

2)3)((

62)3(2)96)(()3(

2)(912)(662)(

5

22332

32

32

+

=

+

=+

=

+

=+

=++

sssy

s

s

sssys

sssy

ss

sssys

syssyssys

tt eetty 334 2121)( +=transf. inv

'

= 3 +

+ 2

Exercciosquarta-feira, 30 de outubro de 2013

19:26


1) Funes Peridicas:

Uma funo f(x) dita peridica com um perodo I se f(x+t) = f(x) para qualquer x . Disso discorre f(x +nt) = f(x)

para n = 0, 1, 2,...)

2) Srie Trigonomtrica: uma srie de funes cujos termos so obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos mltiplos sucessivos da varivel independente x por coeficientes que no dependem da varivel x e so admitidos reais.

...2...)2(cos21

21210 ++++++ xsenbsenxbxosaxaaou

=

++1

0 )]()cos([21

n

nn nxsenbnxaa

Sendo esta uma srie de funes, sua soma s ser uma funo da varivel independente e como os termos da

srie so funes trigonomtricas, funes peridicas de perodo 2. A soma s(x) ser uma funo peridica de

perodo 2 (-, ) ou (0, 2).

As funes peridicas de interesse prtico podem sempre ser representadas por uma srie trigonomtrica.

=

++=1

0 )]()cos([21)(

n

nn nxsenbnxaaxf

3) Determinao dos coeficientes de Fourier:

Para determinar os coeficientes, fazemos a integral de:

=

=

=

==

++=

++=

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pipi

dxxfa

aadxadxxf

dxnxsenbdxnxadxadxxf

nxsenbnxaaxf

n

nn

n

nn

)(1]2[

21

21)(

)()cos(21)(

)]()cos([21)(

0

000

10

10

Clculo de an:

Multiplicando-se os termos da srie por (px), sendo p um nmero fixo dado, integrando-se no intervalo (-, ):

0 0

=

++1

0 )]cos()()cos()cos([)cos(21

n

nn dxpxnxsenbdxpxnxadxpxapi

pi

pi

pi

se n p

0 00

Lembrando:

)(2])[(

)(2])cos[()cos()(

)(2])[(

)(2])[()cos()cos(

baxbasen

baxbadxbxaxsen

baxbasen

baxbasendxbxax

++

+=

+

++

=

Srie de Fourierquarta-feira, 6 de novembro de 2013

20:40


se n p

pipi

pi

pi

pi nnadxnxadxnxxf ==

)(cos)cos()(

Lembrando:

n

nxsenxdxnx4

)2(2

)(cos += ento: =pi

pipidxnxxfan )cos()(1

Clculo de bm:

Multiplicando-se agora por sen(px), entre (-, ):

=

++pi

pi

pi

pi

pi

pidxpxsennxsenbdxpxsennxadxpxsena n

n

n )()()()cos([)(21

10

Ento para n = p: pipi

pi

pi

pi nbdxnxsenbndxnxsenxf ==

)()()(

se n p

0 0 0

=

pi

pipidxnxsenxfbn )()(1

4) Funes pares e mpares:

Sejam g(x) e h(x) funes definidas no intervalo (-, ):

g(x) par se g(-x) = g(x) para todo x

h(x) impar se h(-x) = -h(x) para todo x

5) Produto de funes pares e mpares

a) O produto de uma funo par g(x) por uma funo mpar h(x):

q(x) = g(x) . h(x)

q(x) = g(-x) . h(-x)

q(x) = g(x) . h(-x)

q(x) = -g(x) . h(x)

q(x) = -q(x)

b) O produto de uma funo par g(x) por uma funo par uma funo par:

q(x) = g(x) . g(x)

q(x) = g(-x) . g(-x)

q(x) = g(x) . g(x) q(x) = q(x)

c) O produto de uma funo mpar h(x) por uma funo mpar uma funo par:

q(x) = h(x) .h(x)

q(x) = h(-x) . h(-x)

q(x) = -h(x) . -h(x) q(x) = q(x)

6) Concluso:

a) Se uma funo f(x) uma funo par, f(x)sen(nx) uma funo mpar 0)()(1 ==

pi

pipidxnxsenxfbn

b) Se f(x) uma funo mpar, f(x)cos(nx) mpar: 0)cos()(1 ==

pi

pipidxnxxfan

Srie de Fourierquarta-feira, 6 de novembro de 2013

21:22


7) Exemplo: Determinar srie de Fourier da funo f(x):

=

==

+=

pi

pi

pi

pi

pi

pipipi

dxnxxfa

dxdxa

n

n

)cos()(11][1101

0

0

1) Use a transformada de Laplace para resolver as equaes diferenciais com problema do valor inicial:

1.4) 1)0(',1)0(;04'4" ===+ yyyyy

)(}{1)()0()(}'{

1)()0(')0()(}"{ 22

syyLssyyssyyL

ssysysysysyL

=

==

==

0)(44)(41)(0)(4]1)([41)( 22 =++=+ syssyssyssyssyssys

32)44(3)2()2( 22 =++=+ sBBsssAssBsA

324)4(3244 22 =+++=++ sBABAsAssBBsAAsAs

222

)2()2()()2(3)(3)44)((

+

=

==+s

Bs

Asy

s

ssyssssy

2,2324

14==

=

=+BB

BABA

411)2(4 ==+ AA

at

natn

etyas

sy

tetyas

nsy

=

=

=

= +

)(1)(

.)()(!)( 1tt

eetyss

sy 222 41)()2(

22

41

)( +=

+

=

4a Lista de Exerccios

4) ;015'13"2 =+ yyy 49;015132 2 ==+ rr 2121 ;235

4713

rrrerr ==

=

xx eCeCy 2

3

25

1 +=

logo:

5a lista de Exerccios:

2.1) 6322'4" 2 +=+ xxyyy 212

,24024 rrrr ==+

622;622;2

24421 =+=

= rrr )622(

2)622(

1)(+ += eCeCy g

AyBAxyCBxAxy ppp 2";2';2

=+=++=

632222482632)(2)2(42 2222 +=+++++=++++ xxCBxAxBAxAxxCBxAxBAxA

632242)28(2 22 +=+++ xxCBABAxAx

122 == AA

25328 == BBA

962254)1(2 ==

+ CC

925)( 2)622(2)622(1 += + xxeCeCxy

6a lista de Exercciosquarta-feira, 16 de outubro de 2013

00:27


a) 0912

4 =+ ydxdy

dxyd

09'12"4 =+ yyy 0)0('1)0( == yy

09124 =+ rr 5,18

14414412)4(2

)9)(4(4)12()12(=

=

=r

xxx exCCxeCeCy 5,1215,1

25,1

1 )( +=+= 1))0((1 1)0(5,121 =+= CeCC

5,105,1)1()5,1)0(()1(5,10)5,1(5,1" 22)0(5,1)0(5,12)0(5,15,15,125,11 ==+++=++= CCeeCeexeCeCy xxx

xxx ex

ex

ey 5,15,15,12

312

3

==

23

=

b) 065

=+ y

dxdy

dxyd

06'5" =+ yy 1)0('1)0( == yy

2;3065 212 ===+ rrrr

212

23

1 1 CCeCeCyxx +=+=

21)0(2

2)0(3

12

23

1 23123123' CCeCeCeCeCyxx +=+=+=

4;3123

121

21

21==

=+

=+CC

CCCC

xx eey 23 43 +=



Para cada uma das equaes abaixo, determine o valor da constante r, para que a funo f(x) = erx seja

uma soluo:

a) 0)(2 =+ tydtdy

b) 0)(

= ty

dtyd

c) 02

3

=+

dtdy

dtyd

dtyd

Resolva: 036

5

=

dtdy

dtyd

dtyd

2

202

0)(2)'(02'

=

==+

=+=+

r

e

erere

eeyy

rx

rxrxrx

rxrx

023

00)23(023

0)'(2)"(3'')'(0'2"3'''

=

+=

=+=+

=+=+

rxrxrx

rxrxrxrxrxrx

rxrxrx

ereerr

ereerrreerer

eeeyyy

y(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) = -7

00)365(03650'36"5'''

1 ===

=

rrrrrrr

yyy

365=

=

PS

94

3

2

=

=

r

r

78116)81()16(0)"()"()"(7194)9()4(0)'()'()'(1

00...

320

30

29

34

21

320

30

29

34

21

3210

30

21

93

421

93

42

01

=+++=++=

=+++=++=

=++++=

++=++=

CCeCeCeCeCCCCeCeCeCeCC

CCCeCeCCeCeCCeCeCeCy

xx

xx

xxxx

026,0117

331177811643616

78116194

3332

32

32

)4(32

=

==

=+

=+

=+

=+ CC

CCCC

CCCC

06,04234,01)026,0(94 22 ===+ CC

966,0034,011026,006,0 11 ===+ CC

xx eey 94 026,006,0966,0 +=

11

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Aula Cálculo III - Estácio