7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

1/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Clculo III

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

2/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Clculo IIIProfessor-formador:

Jos Domingos Albuquerque Aguiar

Tutores:Aleksandros El Aurens Meira de Souza (Limoeiro)

Cleiton Lus de Siqueira Alves (Dias dvila)

Anderson Spinelli Valdevino da Silva(Santana do Ipanema)

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

3/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Clculo III

Objetivo:

Definir e compreender integrais imprprias.

Sumrio:Reviso das principais integrais indefinidas;

Reviso do mtodo da substituio;

Definir integrais imprprias;Resolver exemplos.

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

4/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Rpida Reviso de IntegraisTABELA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

5/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Rpida Reviso de IntegraisRegra da Substituio: Exemplo 1

Encontre Fazemos a substituio de u = x4+2 porque sua diferencial du = 4x3dx, que, parte do fator constante 4, ocorre na integral. Assim, usando x3dx = du/4 temos:

=

= = ( )

Note que no estgio final retornamos para a varivel original x.

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

6/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Rpida Reviso de IntegraisRegra da Substituio: Exemplo 2

Encontre Seja u = 1 - 4x2. Ento du = -8x dx, portanto x dx = - du/8

=

=

= ( ) = ( )

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

7/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Rpida Reviso de IntegraisRegra da Substituio: Exemplo 3

Encontre Seja u = x-2. Ento du = dx

=

= /

= /

=2/ =

Observao: Iremos utilizar essa integral mais a frente nesta aula

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

8/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Na definio de integral definida

,trabalhamos com uma funo f definida em umintervalo [a,b] e presumimos que f no tenha uma

descontinuidade infinita.

Estudaremos o conceito de integral definida para o

caso em que o intervalo infinito e tambm para o

caso onde f tem uma descontinuidade infinita em[a,b]. Em ambos os casos, a integral chamada

integral imprpria.

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

9/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Vamos estudar a rea da regio S que est sob a

curva y = 1/x2, acima do eixo x e direita da reta x=1.

Voc poderia pensar que, como S tem extenso

infinita, sua rea deve ser infinita, mas vamos olharcom mais ateno.

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

10/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

A(t) = = - = 1- Observe que A(t) < 1 independente de quo grande t

seja escolhido.

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

11/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Observe as figuras abaixo e note que a rea da regio

sombreada se aproxima de 1 quando t

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

12/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Isso ocorre porque:

lim = lim =

Assim, conclumos que:

12

= lim

12 = 1

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

13/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Definio de Integral Imprpria do Tipo 1

a) Se , dx existe para cada nmero t a, ento

= lim

Desde que o limite exista (como nmero).

b) Se , dx existe para cada nmero t b, ento

= lim Desde que o limite exista (como nmero).

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

14/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Definio de Integrais Convergentes e Divergentes

As integrais imprprias e sochamadas convergentesse os limites

correspondentes existem e divergentesse os limitesno existem.

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

15/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Exemplos de Integrais Convergentes e Divergentes

= 1, (obs.: esse exemplo j foi feito)logo essa integral convergente.

1

= lim 1

=

limln ||

= lim( l n l n 1 ) = logo essa integral divergente.

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

16/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Definio de Integral Imprpria do Tipo 1

(continuao)

c) Se ambas e , so convergentes, entodefinimos

=

Nesta parte, qualquer nmero real a pode ser usado.

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

17/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Definio de Integral Imprpria do Tipo 2

a) Se f contnua em [a,b) e descontnua em b, ento

= lim

Se esse limite existir (como nmero).

b) Se f contnua em (a,b] e descontnua em a, ento

= lim+

Se esse limite existir (como nmero).

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

18/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Definio de Integral Imprpria do Tipo 2

(continuao)

c) Se f tiver uma descontinuidade em c, onde a < c < b, e

ambas as integrais imprprias e foremconvergentes, ento definimos.

= +

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

19/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Exemplo de Integral Imprpria do Tipo 2

(observe que existe uma descontinuidade infinita que

ocorre em x=2.

2 = lim

+

= lim

+

=

lim+ =

Integrais Imprprias

7/26/2019 Aula Presencial 14-03-2015 (1)

20/20

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco

Na prxima aulacontinuaremos estudando

algumas aplicaes comintegrais imprprias