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COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 4º E.S.O. CURSO 2 011 – 2 012

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES AUTOEVALUACIÓN – CORRECCIÓN

NO SACAR DEL AULA INTELIGANTE

1.- En cada número fraccionario, escribe el medio o el extremo que falta en cada caso para que los racionales indicados sean equivalentes:

a)

1

2a

= 8

a b)

1

2a

=

181a

Sol.: a) 1er método: Aplicamos la condición de equivalencia de fracciones, es decir, multiplicamos en cruz e igualamos los resultados:

8

a = 2a

Volvemos a aplicar la condición y obtenemos una ecuación, cuyas soluciones serán los valores buscados de a:

8 = 2a 2 ⇒ 4 = a 2 ⇒ a = ±2 2º método: Reducimos cada castillo a una fracción, aplicando “producto de extremos partido por producto de medios” y, después, aplicamos la condición de equivalencia de fracciones:

1

21

a =

8

a ⇔

1

2a =

8

a ⇔ 8 = 2a 2 ⇒ 4 = a 2 ⇒ a = ±2

b) 1er método:

21

a =

2

8 ⇔

2

1

a =

1

4 ⇒ 4 = a 2 ⇒ a = ±2

2º método: 1

21

a =

181a

⇔ 1

2a =

8

a ¡Es el mismo que en el apartado anterior!

2.- Simplifica los siguientes racionales hasta obtener una fracción irreducible:

a) 18

12 b)

66

99 c)

16

98

4

2

Sol.:

a) 18

12 =

2

2

2 �3

2�3 =

2

3 b)

66

99 =

23 �11

2�3�11 =

3

2 c)

16

98

4

= 4�16

9�8 =

2 4

2 3

2 �2

3 �2 =

3

2

2

3 =

8

9

3.- Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, simplificando el resultado final:

a) 2

2

16

12

3

11

5

1

−+

−+

b) 3

1

3

22

2

1�3�

3

1

2

1�3�

3

1

−−

−

c) 4

1�

5,016

17,0

3−

−

+⌢

⌢

Sol.:

a) =

2

2

1 3 1

5 3

1 62

6

− + − +

= ( )

2

2

2

2

1 25 3

52

6

+

−+

=

1 45 9

252

36

+

+ =

9 2045 4572 2536 36

+

+ =

29459736

= 29�36

97�45

: 9

: 9 =

29�4

97�5 =

116

485

b) = 2 2

3 3

1 1�3�

3 21

3 � �23

= 2 2

3 3

33 �23 �2

3

= 2

2 3

13�23 �2

= 3 5

1

3 �2

c) =

35

1 19 �7 1 49 6

− +

=

39 5

19 �14 3 418 18

− +

=

34

19 �17 418

= 3

4�18 1�

17�9 4

= 3

4�2 1�

17 4

= ( )33

3 2

2

17 �2 =

7

3

2

17

4.- a) Expresa en notación científica un año-luz en centímetros, sabiendo que la velocidad de la luz es de 300 000 km/s. b) La masa del electrón es 0,00000091 miltrillonésimas de gramo. Exprésala en notación científica. Sol.:

a) 300 000 km

s � 100 000

cm

km � 3 600

s

h � 24

h

d � 365

d

año =

= 946 080 000 000 000 000 cm

año = 9,46�10 17

cm

año

b) 1 miltrillonésima = 0,000000000000000000001 = 10−21 me = 0,00000091�10−21 = 9,1�10−7�10−21 = 9,1�10−28 g 5.- Suma los siguientes radicales:

a) =−+− 384360026243 b) =+−− 3333 16022270510804

3

Sol.:

a) = 3 3 2 73 2 �3 2�3 2 2 �3�5 3 2 �3− + − = 33�2 2�3 2�3 2�2�5 2�3 3�2 2�3− + − =

= (6 – 1 + 20 – 24)� 6 = 6

b) = 3 3 34 3 4 334 2 �5 2�5 5 2�3 �5 2 2 �3 �5− − + = 3 3 3 34�2 2�5 2�5 5�3 2�5 2�2�3 2�5− − + =

= (8 – 1 – 15 + 12)� 3 10 = 4 3 10 6.- Opera y simplifica:

a) 64 33 2 5�5�5 b) yxxy23 2 81�9 c)

3

63 2

�

��

nm

nmm d)

4 3 22xx

Sol.: a) 1er método: m.c.m. (3, 4, 6) = 12

= ( ) ( )4 32 3 21212 125 � 5 � 5 = 8 9 212 5 �5 �5 = 8 9 212 5 + + = 1912 5 = 5 712 5

2º método:

= 2 3 1

3 645 �5 �5 = 32 1

3 4 65+ +

= 8 9 2

125+ +

= 19

125 = 7

1125

+ = 5�

7

125 = 712 5 b) 1er método: m.c.m. (3, 2) = 6

= ( ) ( )2 32 2 4 26 63 � 3xy x y = 4 2 4 12 6 36 3 3x y x y = 16 8 76 3 x y = 2 4 263 3xy x y

2º método:

= ( ) ( )1 1

2 2 4 23 23 � 3xy x y = 2 1 2 4 2 1

3 3 3 2 2 23 3x y x y = 2 1 2 1

2 13 3 3 23 x y+ + +

= 8 4 7

3 3 63 x y = 16 8 7

6 6 63 x y =

= 4 2 1

2 6 6 63 �3xy x y = ( )1

2 4 2 63 3xy x y = 2 4 263 3xy x y

c) 1er método: m.c.m. (3, 6, 2) = 6

= 6

6 4

6 3 9

��

�

mnm

m n =

4

63 9

�

�

m mn

m n = 6 4 1 3 1 9�m n

+ − − = 6 2 8�m n− = 3

4

m

n = 3

1 m

n n

2º método:

=

1 16 62

331

2 2�m n

m

m n

= 2 1 1 1 3

3 6 2 6 2m n+ − −

= 1 4

3 3m n−

=

1

3

1

3�

m

n n

=

1

31 m

n n

= 31 m

n n

d) 1er método:

= 8 3 2�3 2x x = 24 8

x = 3x

4

2º método:

= ( )1

1 21 4

2 2 3x x

=

1 1�2 4 22 3x x

=

12 823x

+

= 8 1

�3 8x =

1

3x = 3x

7.- Racionaliza y simplifica:

a) 21

2

+ b)

31

31

−

+ c)

223

223

−

+

Sol.:

a) = 2 1 2

�1 2 1 2

−

+ − = 22

2 2 2

1 2

−

− =

2 2 2

1 2

−−

= 2 2 2

1

−−

= 2 2 2− +

b) = 1 3 1 3

�1 3 1 3

+ +

− + =

22

22

1 2�1� 3 3

1 3

+ +

− =

1 2 3 3

1 3

+ +−

= 4 2 3

2

+−

= 2 3− −

c) = 3 2 2 3 2 2

�3 2 2 3 2 2

+ +

− + =

( )( )

22

22

3 2� 3�2 2 2 2

3 2 2

+ +

− =

3 4 6 4�2

3 4�2

+ +−

= 11 4 6

5

+−

8.- Calcula los siguientes logaritmos, aplicando la definición:

a) log 4 64 b) log 3

1

27 c) log 2 2 2

Sol.: a) log 4 64 = c ⇔ 4 c = 64 = 43 ⇒ c = 3

b) log 3 1

27 = c ⇔ 3 c =

1

27 = 3−3 ⇒ c = −3

c) log 2 2 2 = c ⇔ 2 c = 2 2 = 2 3/2 ⇒ c = 3/2 9. Calcula el valor de x en cada caso, aplicando la definición de logaritmo:

a) x = log 3 81 b) log x 125 = −3 b) log 2 (4x) = 3 Sol.:

a) x = log 3 81 ⇔ 3x = 81 = 34 ⇒ x = 4

b) log x 125 = −3 ⇔ x −3 = 125 = 53 = (1/5)−3 ⇒ x = 1/5

b) log 2 (4x) = 3 ⇔ 23 = 4x = 8 ⇒ x = 2 10.- Sabiendo que log 4 = 0,60206, calcula el valor de los siguientes logaritmos:

a) log 2 b) log 1

4 c) log 0,2 d) log 4 000

Sol.:

5

a) log 2 = 21

4log = 4log2

1⋅ =

2

1�0,60206 = 0,30103

b) log 1

4 = log 1 – log 4 = 0 – 0,60306 = –0,60306

c) log 0,2 = log 10

2 = log 2 – log 10 = 0,30103 – 1 = −0,69897

d) log 4 000 = log (4�1 000) = log 4 + log 1 000 = 0,60206 + 3 = 3,60206 11.- Calcular de la forma más rápida posible el valor de los siguientes números combinatorios:

a) 500

498

b) 100

97

Sol.:

a) 500

498

= ( )!498500!498

!500

−⋅ =

!2!498

!498499500

⋅⋅⋅

= 2

499500 ⋅ = 124 750

b) 100

97

= ( )!97100!97

!100

−⋅ =

!3!97

!979899100

⋅⋅⋅⋅

= 23

9899100

⋅⋅⋅

= 161 700