MATEMÁTICAS DE 4º ESPA/ESPAD

MATEMÁTICAS DE 4º ESPA/ESPAD

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CEPA PLUS ULTRA

1er Premio: Concurso Fotografía matemática Plus Ultra 2018

MATEMÁTICAS ......... y un pepino

Matemáticas 4º E.S.P.A. Pág.2 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Índice

TEMA 1. POLINOMIOS. OPERACIONES. ...........................................................................................4

1 Monomios ...................................................................................................................................4

1.1 Operaciones con monomios ..............................................................................................5

2 Polinomios ..................................................................................................................................6

2.1 Operaciones con polinomios .............................................................................................7

2.2 Factorización: descomposición de un polinomio en factores: ...................................... 21

TEMA 2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS. .............................................................................................................................................................. 26

1 Ecuaciones de segundo grado ............................................................................................... 26

1.1 Resolución de ecuaciones ............................................................................................. 26

2 Sistemas de ecuaciones ......................................................................................................... 29

2.1 Métodos de resolución de sistemas ............................................................................... 30

3 Resolución de problemas ....................................................................................................... 33

4 Ejercicios rresueltos ................................................................................................................ 34

TEMA 3. TRIGONOMETRÍA ............................................................................................................... 40

1 Repaso de medidas de ángulos y equivalencias................................................................... 40

2 Triángulos rectángulos ............................................................................................................ 43

2.1 Relaciones en un triángulo rectángulo:.......................................................................... 43

3 Razones trigonométricas de un ángulo agudo ...................................................................... 44

3.1 Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas: .................................... 45

3.2 Circunferencia goniométrica: .......................................................................................... 45

4 Resolución de triángulos rectángulos .................................................................................... 46

5 Aplicaciones de la trigonometría ............................................................................................ 47

TEMA 4. FUNCIONES......................................................................................................................... 52

1 Intervalos de la recta real ........................................................................................................ 52

2 Estudio gráfico de una función (propiedades globales) ........................................................ 55

3 Función cuadrática. Parábola ................................................................................................. 58

3.1 Representación gráfica ................................................................................................... 58

4 Función de proporcionalidad inversa. Hipérbola ................................................................... 66

4.1 Representación gráfica ................................................................................................... 66

5 Función exponencial ............................................................................................................... 68

TEMA 5. PROBABILIDADES .............................................................................................................. 70

1 Experimento aleatorio. espacio muestral. sucesos. .............................................................. 70


1.1 Concepto de experimento aleatorio. .............................................................................. 70

1.2 Espacio muestral. Suceso elemental. ............................................................................ 70

1.3 Sucesos. Tipos de sucesos. ........................................................................................... 70

1.4 Operaciones con sucesos .............................................................................................. 71

2 Probabilidad ............................................................................................................................. 73

2.1 Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios simples ................................... 73

2.2 Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios compuestos ........................... 74

3 Probabilidad condicionada ...................................................................................................... 75


POLINOMIOS. OPERACIONES. Expresión algebraica: Expresión en la que se relacionan letras y números mediante las operaciones matemáticas. Las letras, a, b, c, x, y, z,..., representan números desconocidos y se denominan indeterminadas. Cada sumando es un término de la expresión.

Ejemplo 1.

32xyy3x 32 es una expresión algebraica de tres términos y dos indeterminadas.

Términos: 32y3x , 2xy , 3 Indeterminadas: x, y

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el que se obtiene al sustituir las letras por números y calcular la operación resultante.

Ejemplo 2.

a) El valor numérico de 3xy + 4x para x = 2 e y = 5 es 38, ya que:

3·2·5 + 4·2 = 30 + 8 = 38

b) El valor numérico de 6x4xxP(x) 23 para x = - 4

P(- 4) = (-4)3 – 4(-4)2 + (-4) + 6 = - 64 - 64 - 4 + 6 = -126 P(- 4) = -126

Ejemplo 3. Dado el polinomio P(x) = 4x3x2 , hallar

2

1P .

4

23

4

16

4

6

4

14

2

3

4

14

2

13

2

1

2

1P

2

1 MONOMIOS

Monomio: Es la expresión algebraica que resulta de multiplicar un número por una o varias indeterminadas. El número se denomina coeficiente, y el producto de las indeterminadas, parte literal.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo 4.

a) yz3x2 es un monomio de coeficiente 3 y parte literal yzx2

b) - x3 es un monomio de coeficiente (– 1) y parte literal3 x

PPPOOOLLLIIINNNOOOMMMIIIOOOSSS... OOOPPPEEERRRAAACCCIIIOOONNNEEESSS...


Los monomios 23y7x , 23y4x son semejantes (la parte literal 23yx es igual)

Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de su parte literal.

Ejemplo 5.

a) El grado del monomio 23z8ab es 6, (1+3+2 =6)

El grado del monomio 3 x- es 3

El grado del monomio constante 7 es cero, ya que la parte literal tendría grado 0 ( 07x y

1x0 )

1.1 Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios: Solo pueden sumarse o restarse monomios semejantes. Se suman o restan sus coeficientes, manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo 6.

a) 23y7x + 23y4x = (7+4) 23yx = 11 23yx

23y7x – 23y4x = (7-4) 23yx = 3 23yx

Multiplicación de un monomio por un número: Se multiplica el coeficiente por dicho número, manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo 7.

(-4)·( 23z3ab ) = ((-4)·3) 23zab = -12 23zab

Multiplicación de monomios: No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y las potencias de las partes literales se van multiplicando, agrupando las que tengan la misma base, sumando los grados como se indica en las propiedades de las potencias.

Ejemplo 8.

a) (3xy).(4x2y3) = 12x3y4 (no sería necesario expresar los monomios entre paréntesis, sólo se han utilizado para indicar cada uno de ellos, bastaría escribir 3xy·4x2y3 = 12x3y4 )

8356423 zb-15a)z(-5az3ab

Cociente de monomios: Se dividen los coeficientes, y las potencias de las partes literales se van dividiendo, agrupando las que tengan la misma base, restando los grados como se indica en las propiedades de las potencias.

Ejemplo 9.

a) 232

32 y2x2xy

y4x2xy)(:)y(4x

b) 43

3

64

236423

z3a

b

z9a

z3abz9a:z3ab

433-6234-1 zba3

1zba

3

1


2 POLINOMIOS

Polinomio: Expresión formada por sumas y/o restas de monomios de diferentes grados (no semejantes). A cada uno de los monomios que forman el polinomio le llamaremos término del polinomio.

Ejemplo 10.

a) 2y3x2xyy)Q(x, 23 es un polinomio en dos indeterminadas, x e y.

b) 1xx-2xP(x) 35 es un polinomio en una indeterminada, x.

Grado de un polinomio: Es el grado de su monomio de mayor grado. Cuando el polinomio sea función de una única indeterminada, el grado coincidirá con el mayor de los exponentes de dicha indeterminada.

Ejemplo 11.

a) 52xy3x2xyy)P(x, 23 es de grado 4, ya que:

Grado del monomio 32xy : 1+3=4 Grado del monomio y3x2 : 2+1=3

Grado del monomio – 2x: 1 Grado del monomio 5: 0

b) 1xx-2xQ(x) 35 es de grado 5

c) 92x3x2xR(x) 273 es de grado 7

De aquí en adelante, nos centraremos en polinomios con una indeterminada

Ordenar un polinomio: Consiste en reorganizar los términos de manera que aparezcan escritos los grados de mayor a menor (descendente) o de menor a mayor (ascendente); generalmente se ordenan de la primera forma.

Ejemplo 12. 6823 2x3xx-4x5P(x)

Ordenado de mayor a menor queda: 5x-4x2x3xP(x) 2368

Ordenado de menor a mayor queda: 8632 3x2x4xx-5P(x)

Expresión general de un polinomio en una indeterminada: un polinomio en una indeterminada, x, es de la forma

0axaxa...xaxaxaP(x) 1

2

2

2n

2n

1n

1n

n

n

con ia n1,...,i , y 0an

Los coeficientes ia pueden ser cualquier número real y el coeficiente de nx tiene que ser no nulo,

ya que es el término que nos da el grado del polinomio.

0a : Se llama término independiente del polinomio. Es el coeficiente del término de grado 0, es

decir, el término que aparece como 0a es en realidad el 0

0xa .

Observación: Cuando no aparece alguna potencia ix , se dice que el polinomio no es completo y

significa que el coeficiente correspondiente a dicha potencia es nulo, es decir, 0ai .


Por ejemplo, el polinomio del apartado b del ejemplo 10 es incompleto, faltan los términos de

grado 4 y de grado 2, sería: 1xx0x-x02xP(x) 2345

2.1 Operaciones con polinomios

Suma y resta: Se realizará sumando o restando los términos semejantes.

Ejemplo 13.

a) 33x3x12x23xx1)(2x2)3x(x 22222

13xx12x23xx1)(2x2)3x(x 22222

Ejemplo 14.

Dados los polinomios 1x4

3x

2

1xN;3x5x3xM 22 y

3

2x

3

1xxP 2

.

Calcula: a) 2M(x) + 4N(x) + 3P(x); b) M(x) – 2N(x); c) M(x) +3N(x) – P(x)

a)

3

2x

3

1x31x

4

3x

2

143x5x32xP3xN4xM2 222

x8x112xx34x3x26x10x6 2222

2x

2

3x3x5x31x

4

3x

2

123x5x3xN2xM 2222

5x2

13x2 2

b)

3

2x

3

1x1x

4

3x

2

133x5x3xPxN3xM 222

3

2x

12

29x

2

7

3

2x

3

1x3x

4

9x

2

33x5x3 2222

2

13

2

35

2

71

2

33

12

29

3

1

4

95

3

2

3

233


Multiplicación de polinomios:

1. Producto de un número por un polinomio: Se multiplica el número por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo 15.

a) 812x4x2)3x4(x 22

b) 1830x6x3)5x6(-x- 2323

2. Producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de

los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo 16.

a) 34523 8x12x4x2)3x(x4x

b) 467234 18x30x6x3)5x(-x6x-

3. Producto de dos polinomios: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada

uno de los monomios del segundo polinomio y después se agrupan los monomios semejantes.

Ejemplo 17.

a) 18x6x62x3)(-x6x)-(2 433

b) 10x15x13x12x4x10x15x5x8x12x4x2)3x(x5x)(4x 23452334523

4. Productos notables (identidades notables):

a. Cuadrado de una suma: 222 b2abab)(a

b. Cuadrado de una diferencia: 222 b2abab)(a

c. Suma por diferencia: 2bab)(ab)(a 2

Estas expresiones se obtienen del desarrollo de los cuadrados como productos:

22222 b2ababbaabab)b)(a(ab)(a

22222 b2ababbaabab)b)(a(ab)(a

2222 babbaabab)b)(a(a

Ejemplo 18.

a) 912x4x332x2(2x)3)(2x 2222

b) 2222 25x40x16(5x)5x4245x)(4

c) 222 25x16(5x)45x)5x)(4(4


5. Cociente de polinomios: Ordenamos los polinomios dividendo y divisor de forma descendente. Los colocamos como las divisiones de números, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha. Si el dividendo es incompleto, dejamos los huecos correspondientes a los términos que falten. La división se realizará de forma similar a como se procede con los números. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor; vamos multiplicando este resultado por cada término del divisor y se lo restamos al dividendo (para que resulte más sencillo y no cometamos errores con los signos, podemos ir cambiando el signo de cada producto resultante, colocarlo debajo de su correspondiente grado en el dividendo y sumar con el dividendo) ; repetimos el proceso hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el del divisor (análogo a las divisiones entre números).

Observación: En el caso de que el resto de P(x):Q(x) resulte ser 0, diremos que la división es exacta y que el polinomio P(x) es divisible por el polinomio Q(x).

Ejemplo 19.

Vamos a realizar la siguiente división de polinomios: (- x + 10x3 + 4 - 2x5 ) : ( 2x - x2 )

1. Ordenamos el dividendo y dejamos espacio para los términos en los que falte su grado o

ponemos ceros. Ordenamos el divisor ( -2x5 + 0x4 + 10x3 + 0x2 - x + 4 ) :( - x2 + 2x )

2. Escribimos el dividendo y a continuación en una caja copiamos el divisor

3. Calculamos el término que hay que poner en el cociente para que al multiplicar por –x2 (el término de mayor grado del divisor) obtengamos -2x5 (el término de mayor grado del

dividendo). Si no sabemos calcularlo, podemos hacer 3

2

5

x2x

x2

.

4. Lo multiplicamos por el divisor y los resultados obtenidos se colocan en el dividendo debajo de los términos semejantes.


5. Ahora lo restamos.

6. Observa que cambia el signo de los términos hallados.

A partir de ahora el cambio de signo lo haremos directamente, si en el producto sale + escribiremos – y si sale – escribiremos +

7. Calculamos el resultado.

8. Bajamos los demás términos del dividendo. Este es ahora el resto.

Repetimos los pasos 3 a 8 hasta que el resto tenga menor grado que el divisor.

9. Buscamos el nuevo término del cociente. 2

2

4

x4x

x4

10. Multiplicamos por el cociente. Según se van obteniendo los términos les cambiamos el

signo y los colocamos debajo de sus semejantes.


11. Realizamos la suma.

12. Buscamos el nuevo término del cociente. x2x

x22

3

13. Multiplicamos por el cociente. Según se van obteniendo los términos les cambiamos el signo y los colocamos debajo de sus semejantes.


15. Buscamos el nuevo término del cociente. 4x

x4

2

2


16. Multiplicamos por el cociente. Según se van obteniendo los términos les cambiamos el signo y los colocamos debajo de sus semejantes.


Por fin, hemos terminado la división ya que el grado de 7x + 4 es uno que es menor que el del divisor (grado de - x2+ 2x es 2)


Ejemplo 20.

Realiza la división P(x):Q(x), siendo 5xx2xP(x) 34 y 3x2xQ(x) 2

Se verifica la misma relación que con números, D = d·c + r, dividendo = divisor x cociente + resto, pero con polinomios: P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)

2.1.1 Regla de Ruffini

Para dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x – a), (x + a), podemos aplicar el método anterior, o bien utilizar un algoritmo que permite obtener de forma rápida y sencilla el cociente y el resto de dicha división. Este algoritmo es lo que se conoce como la Regla de Ruffini. Veamos cómo funciona con un ejemplo.

Ejemplo 21.

Consideramos el cociente P(x) : Q(x) con 43 x5x2xP(x) y 1xQ(x)

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Ordenamos de forma decreciente, si no lo está ya, el dividendo P(x)

5x2xxP(x) 34

2. Colocamos los coeficientes de todos los términos del dividendo, incluidos los que son 0. A la izquierda escribimos el número que se resta a x en el divisor Q(x), en este caso 1 y bajamos el primer coeficiente de la izquierda, es decir, el coeficiente del término de mayor grado.

3. Multiplicamos el coeficiente bajado por el nº de la izquierda y colocamos el resultado debajo del coeficiente del término siguiente y sumamos

1 2 0 – 1 5 1 1

1 3

.

2+1=3


4. Repetimos el paso anterior con las cantidades que vamos obteniendo, hasta llegar al último término.

1 2 0 – 1 5 1 1 3 3 2

1 3 3 2 7

5. Último número obtenido, el 7 de la casilla sombreada, se corresponde con el resto de la división y los números anteriores, 1 3 3 2, son los coeficientes del cociente.

Por tanto, resto R(x) = 7 y cociente 23x3xxC(x) 23

Observaciones:

Si el dividendo hubiese sido un binomio de la forma x + 1, pondríamos a la izquierda -1, puesto que es el número que estaríamos restando a x, pues escrito en forma de resta x + 1 = x – (– 1).

Como se divide entre un polinomio de grado 1, se tiene que: El cociente será de, exactamente, un grado menor que el dividendo. El resto será de grado cero, ya que tiene que ser de grado menor que el divisor.

Ejemplo 22. Calcula P(x) : Q(x)

a) 2x2xxP(x) 23 y 2xQ(x)

Resto R(x)=0; Cociente 1xC(x)10xxC(x) 22

b) 62x4xP(x) 3 y 4xQ(x)

Resto R(x)= - 258; Cociente 6616x4xC(x) 2

c) 32xP(x) 5 y 2xQ(x)

Resto R(x)=0; Cociente 168x4x2xxC(x) 234


2.1.2 Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor x = a. Es decir, P(a) = R

Ejemplo 23. Para los apartados del ejemplo 23

a) 2x2xxP(x) 23 ; P(-2) = 0 (ya que el resto era 0)

62x4xP(x) 3 ; P(- 4) = - 258

32xP(x) 5 ; P(2) = 0

Observación: Sabemos que cuando el resto de la división de un polinomio entre un binomio x-a es 0, el polinomio es divisible por dicho binomio. Con este teorema, podemos decir que si el valor de un polinomio en x = a es 0, entonces dicho polinomio será divisible por el binomio x – a.

Por ejemplo, para 43xxP(x) 3 , se tiene que su valor numérico en el 1 es: P(1) = 1 + 3 – 4 =

0 , entonces, como éste sería el resto de dividir P(x) entre x – 1, podemos decir que el polinomio P(x) es divisible por x – 1.

2.1.3 Raíces de un polinomio:

Se dice que un valor x = a es raíz de un polinomio P(x), cuando al sustituir dicho valor en el polinomio, el resultado es 0; es decir, cuando P(a) = 0. Por ejemplo, en el apartado a) del ejemplo 20, x = – 2 es una raíz del polinomio dado y en el apartado c), x = 2 es raíz del P(x). Sin embargo, x = – 4 no es una raíz del polinomio del apartado b). Las raíces de un polinomio, también se llaman ceros del polinomio. Observaciones:

Trabajando con los números reales, podemos afirmar que:

El número de raíces reales es menor o igual que el grado del polinomio.

Un polinomio de grado impar tiene siempre, al menos, una raíz real.

Un polinomio cuyo término independiente sea 0, es decir, no aparece término independiente, siempre admite como raíz x = 0. Como se trata de una expresión en la que todos los términos contienen el factor x, al sustituir ésta por 0, se anulan todos y el

resultado es 0. Por ejemplo, para el polinomio x3x2x4xP(x) 356 , se tiene que

00030204P(0) 356 .

2.1.3.1 Métodos para calcular las raíces de un polinomio:

El primer paso será igualar el polinomio a cero, y después resolver la ecuación que nos queda.


1. Si es de Grado 1: Bastará con despejar la incógnita, x.

Ejemplo 24. Halla la raíz del polinomio P(x) = 2x+3

2

3x32x032x

(Raíz única)

2. Si es de Grado 2: Resolveremos la ecuación de segundo grado resultante.

Ejemplo 25. Busca las raíces de los polinomios siguientes

a) 35x2xP(x) 2 (a = 2; b = 5; c = 3)

b) 455xP(x) 2 (incompleta con a = 5; b = 0; c = – 45)

39x9x5

45x455x0455x 2222 → Dos raíces

c) 21x3xP(x) 2 (incompleta con a = 3; b = – 21 ;c = 0)

d) 12xxP(x) 2

12

2

2

442)(x012xx2

→ Una sola solución y parece que

sólo tiene una raíz, pero en realidad, es un mismo valor que aparece dos veces:

12

2

2

02

12

2

2

02

2

02...x

Recordamos que la fórmula para resolver 0cbxax2 con 0a es 2a

4acbbx

2

y que cuando la ecuación es incompleta, puede resolverse sin utilizarla.

Se dice que x = 1

es una raíz doble


e) 1xxP(x) 2

2

31

2

411)(x01xx2

raíces reales (porque no

existe, entre los números reales, la raíz cuadrada de negativos) → No tiene raíces reales

f) 4xP(x) 2

4x4x04x 22 → No tiene raíces reales

3. Si es de Grado mayor que 2: En este caso, la regla de Ruffini será útil para encontrar las

raíces enteras del polinomio. Las posibles raíces las buscaremos entre los divisores del término independiente. Iremos probando cada uno de ellos para ver si el resto da 0, en cuyo caso, se tratará de una raíz. El número candidato a raíz es el que colocaremos a la izquierda al aplicar Ruffini. Veámoslo con algunos ejemplos.

Ejemplo 26. Halla las raíces de los siguientes polinomios

a) 6x4xxP(x) 23

06x4xx 23 Las posibles raíces enteras estarán entre los divisores del término

independiente 6, que son: 1 , 2 , 3 , 6 . Empezamos a comprobar:

Con el 1: 1 -4 1 6 1 1 -3 -2

1 -3 -2 4

Como el resto es distinto de cero, es 4, x = 1 no es raíz del polinomio dado.

Con el -1: 1 -4 1 6 -1 -1 5 -6

1 -5 6 0

Con el 2: 1 -4 1 6 2 2 -4 -6

1 -2 -3 0

Con el 3: 1 -4 1 6 3 3 -3 -6

1 -1 -2 0

Resto 0 No es raíz

Resto 0 Es raíz

Resto 0 Es raíz

Resto 0 Es raíz


Ya no es necesario seguir probando con el resto de los divisores, ya que, un polinomio tiene, como mucho, tantas raíces reales como indica su grado. Como es de grado 3 y hemos encontrado 3 raíces, ya no puede haber más. Por tanto, los ceros de este polinomio son: x = -1, x = 2 y x = 3.

Generalmente, no se aplicará Ruffini por separado para cada valor, sino que se hará de forma continua, es decir, aplicaremos el nuevo valor a tantear a los últimos coeficientes obtenidos. Si el resto es cero, continuamos y si no lo es, probamos con otro de los divisores. Sólo escribiremos en la tabla continua los que sean raíces del polinomio. En cada aplicación, el siguiente número a probar se elegirá entre los divisores del nuevo término independiente obtenido en los coeficientes del polinomio cociente (ver punto 5 de la regla de Ruffini). No se tendrán en cuenta los ya probados y que no han sido raíz, pero sí puede volver a serlo alguno de los anteriores, es decir las raíces se pueden repetir. Este tanteo puede hacerse mentalmente o borrar los cálculos realizados cuando el resto

no sea cero.

Aplicado a este ejemplo:

Esta forma de emplear la regla de Ruffini, nos ayudará más adelante en la factorización de polinomios.

b) 3613xxP(x) 24

Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Como es de grado 4 y hemos conseguido 4 raíces, no es necesario buscar más. Los ceros de este polinomio son: x = - 2, x = 2, x = 3 , x = - 3.


c) 54x6x4xxP(x) 234

Raíces: -5, -1 y 1 (es doble)

d) 93x4x5xxP(x) 234 (divisores del término independiente 9: 1, 3, 9)

Si continuamos probando con 1 y -1, que serían los divisores de 1 (el último término independiente), no obtendríamos ningún resto 0. Entonces, no hay más raíces enteras. Tendríamos que ver si existen otras raíces. Para ello trabajaremos con el último polinomio cociente obtenido, que es de grado 2 y podemos aplicar la

fórmula para ecuaciones de segundo grado.

Último polinomio cociente: 1xxC(x) 2

2

31

2

411x01xx2

→ No tiene raíces reales, ya que no

existe la raíz cuadrada de un número negativo.

Por tanto, el polinomio inicial P(x) tiene sólo una raíz real, x = 3, que es doble.

e) 23x3x2xP(x) 23 (divisores del término independiente -2: 1, 2)

Para los divisores 1 y -1 del término independiente del último polinomio cociente, C(x) = 2x+1, no sale el resto cero, entonces no hay más raíces enteras; pero como sólo hemos encontrado dos raíces reales, buscamos la tercera con este

C(x): 2

1x12x012x

Las raíces de este polinomio P(x) son: x = -2 , 2

1x

y x = 1.

4. Si tenemos un producto de varios polinomios: No es necesario realizar el producto de

ellos para ver el polinomio final del que se trata y calcular después sus raíces. Sólo hay que tener en cuenta lo siguiente: Para que un producto sea 0, alguno de los factores debe ser cero.


Esto significa que igualando cada uno de los factores a cero, encontraremos todas las raíces.

Ejemplo 27.

Encuentra las raíces de los siguientes polinomios

a) x4)(x3)(xP(x)

b) 6)5x(x5)(x1)(xP(x) 2

22

15

2

15

32

15

2

15

2

15

2

24255x065xx

5x05x

1x01x

06)5x(x5)(x1)x(

2

2

Las raíces son -1, 2, 3 y 5

c) 2)3x2x(4)(3xxP(x) 2

reales raíceshay No

4

73

4

1693x023x2x

3

4x43x043x

0x

02)3x2x(4)(3xx

2

2

d) Las raíces son 3

4x

y x = 0

e) 31)(xP(x)

triple Raíz 1x01x01)x 3 (

1x01x

1x01x

1x01x

01)1)(x1)(x(x01)(x

veces tres aparece 1 xraíz la

3


SACAR FACTOR COMÚN

MÉTODOS

BÚSQUEDA DE RAÍCES

USO DE LAS IDENTIDADES NOTABLES

f) 1)(x11)(x5)(x3)(x8)(x21)(x5P(x) 2

Las raíces son: - 8 doble, - 3, - 1, 5, 11 y 21

2.2 Factorización: descomposición de un polinomio en factores:

Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo en producto de polinomios del menor grado posible, de forma que ninguno de ellos pueda descomponerse a su vez. Cada uno de los polinomios de la descomposición es un divisor del polinomio inicial. Es decir, el polinomio es divisible por cada uno de los factores de la descomposición. (Es análogo a la descomposición en factores primos de un número) Polinomio Irreducible: Cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. Por ejemplo, todos los polinomios de grado 1 son irreducibles. Métodos de factorización:

Los 3 recursos siguientes, por separado o combinados, nos ayudarán en la descomposición en factores de un polinomio. Observaciones:

Independientemente del método utilizado para la búsqueda de los factores, la expresión final de la descomposición debe ser la misma.

Si realizamos el producto de los factores encontrados, el resultado debe ser el polinomio

inicial.

1. Sacar factor común: Cuando en la expresión del polinomio dado aparezcan uno o varios factores que se repiten en todos los términos, podremos sacar factor común. Si los factores obtenidos son irreducibles, el polinomio queda descompuesto; en caso contrario, para los factores que aún admitan descomposición, utilizaremos alguna de las técnicas que se comentan en los puntos 2 y 3 siguientes.


Ejemplo 28. Factoriza los siguientes polinomios

a) )1(3xxx3xx3xP(x) 22 Ya no se puede descomponer más

b) )12x(xxx2xxx2xxP(x) 22323 Ahora tendríamos que

comprobar si se puede seguir descomponiendo el factor 1x2x2 (lo haremos con los apartados 2 y 3)

c) )xx1()1x(x)1x(x)1x(x)1x(x)x(P 232 Habría que

estudiar 2xx1

2. Identificación con las Identidades Notables: Una forma rápida de descomponer un polinomio es reconociéndolo como alguna de las llamadas Identidades Notables que apuntamos a continuación.

i) Cuadrado de una suma: 222 bab2a)ba(

ii) Cuadrado de una diferencia: 222 bab2a)ba(

iii) Suma por diferencia: 22 ba)ba()ba( (diferencia de cuadrados)

Ejemplo 29. Factoriza los siguientes polinomios

a) 2223 1)(xx1)2x(xxx2xxP(x)

b) 3)3)(x(x9xP(x) 2

c) 5)5)(2x(2x254xP(x) 2

d) 2222234 2)(3x3x4)12x(9x3x12x36x27xP(x)

El factor x se repite en todos los términos

El factor x·(x+1) aparece en todos los términos

Comenzamos sacando factor común x

Ej. 29 b)

2º del uadrado2º el por 1º del doble1º del cuadrado c

1x2x2

22

2º del cuadrado1º del cuadrado

2 3x9x

222 )5()x2(25x4

ºº 2 del cuadrado1 del cuadrado

En cada término aparecen los factores 3 y x2

2º del cuadrado2º el por 1º del doble1º del cuadrado

222 223x2)x3(4x12x9


3. Búsqueda de raíces: Hallaremos las raíces del polinomio y por cada raíz real x = a,

aparece un factor del tipo (x – a) en la descomposición.

Observaciones:

Si una raíz es doble, triple, etc., aparecerá elevado al cuadrado, al cubo, etc., su binomio correspondiente.

Si no tiene raíces reales, se tratará de un polinomio irreducible.

La raíz x = 0 origina el factor x. Un polinomio sin término independiente, siempre admite

esta raíz. Utilizaremos Ruffini cuando sea posible, pero sólo sirve para raíces enteras.

No importa el orden en que se vayan encontrando las raíces.

Ejemplo 30. Descompondremos los polinomios de los apartados a) y b) del ejemplo 29 a través del cálculo de sus raíces, en lugar de identificarlos con una identidad notable.

a) )12x(xxx2xxx2xxP(x) 22323

12

2

2

02

2

442x012xx2

Raíz doble, entonces, la

descomposición final queda: 21)(xx1)2x(xxx2xxP(x) 223

b) 9xP(x) 2

3x9x9x09x 22 )33)(x(x9x2

c) )xx(11)(xx1)(xx1)(xx1)(xxP(x) 232

2

31

2

411x01xx2

No tiene raíces reales, no se

puede descomponer más, entonces la factorización de P(x) queda como estaba:

)xx(11)(xxP(x) 2

d) 6x4xxP(x) 23

06x4xx 23 Utilizando Ruffini podemos encontrar las raíces enteras y, por

tanto, sus factores correspondientes en la descomposición.


En el caso de que aplicásemos de nuevo Ruffini para la última raíz, en la descomposición final habrá que tener en cuenta el último número que se obtiene, pues se trataría de un polinomio cociente de grado 0 y además, correspondería al coeficiente del término de mayor grado del polinomio inicial:

Observación: Para el polinomio de segundo grado que se obtiene en la 1ª factorización, no es necesario continuar con Ruffini, se podía resolver con la fórmula conocida para las ecuaciones de 2º grado. Dicha fórmula habrá que utilizarla obligatoriamente cuando no encontremos raíces enteras por Ruffini.

e) 484x10x2xP(x) 23

Como cada raíz origina un factor de la forma x – a, cuando en la división por Ruffini el resto para un x = a sale 0, estamos diciendo que el polinomio de partida es divisible por el binomio x – a, y por tanto, este binomio junto con el cociente obtenido nos dará una factorización del polinomio (recuerda que si R(x) = 0, entonces, D(x) =d(x)·C(x)). Habrá que ir comprobando si los cocientes que vamos obteniendo se pueden descomponer, puesto que se trata de conseguir factores irreducibles.


f) 3x3xxP(x) 34

Habrá que comprobar si tiene otras raíces utilizando la fórmula para resolver ecuaciones

de segundo grado:

2

31

2

411x01xx2

No tiene raíces reales, no podemos

descomponer más.

4. Caso de raíces conocidas: En el caso en el que conozcamos un polinomio de grado n y sus n raíces reales, la descomposición contendrá un factor de la forma (x-a) por cada raíz y además, habrá que añadir como factor el coeficiente del término de mayor grado, siempre que dicho coeficiente sea distinto de 1.

Ejemplo 31. Escribe la descomposición en factores del polinomio )x(P

conocidas sus raíces

a) 183x12x3xP(x) 23 raíces: x = 1, x = -2 y x = -3

3)2)(x1)(x(x3183x12x3x 23

b) 127xxP(x) 2 raíces: x = 3 y x = 4

4)3)(x(x127xx2

c) 314x5xP(x) 2 raíces: x = 5

1 y x = -3

3)(x1)(5x3)(x5

1x5314x5x2

Si hubiésemos continuado para encontrar la última raíz:

2 -10 -4 48 2 -4 28 -48

2 -14 24 0 3 6 -24

2 -8 0 4 8

2 0

Tendríamos: 24)(x3)(x2)(x484x10x2x 23

Esta factorización es la misma que la anterior, sólo habría que sacar factor común 2

en (2x - 8).


ECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO. SISTEMAS DE

ECUACIONES. PROBLEMAS.

1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma

0cbxax2 con 0a

La incógnita es x, y a, b y c los coeficientes (c es el término independiente)

Ejemplo 1.

Identifica los coeficientes a, b y c en cada una de las ecuaciones siguientes:

Ecuación a b c

01x3x2 2 2 – 3 1

012x4x2 – 1 4 – 12

02x8 2 – 8 0 – 2

0x63

x7 2

3

7 – 6 0

OBSERVACIÓN: La raíz cuadrada de un número tiene dos valores posibles que son iguales y de signo contrario. Cuando buscamos la raíz de un número, en realidad estamos buscando un número que al elevarlo al cuadrado dé lo que hay dentro de la raíz.

Es decir, si por ejemplo queremos calcular 9 , sabemos que 932 y por tanto 3 es un valor que

sirve, pero también sabemos que 93)( 2 , con lo que – 3 también sirve como solución de 9 .

A partir de ahora siempre que estemos ante una raíz cuadrada consideraremos como soluciones las dos opciones .

1.1 Resolución de ecuaciones

ECUACIÓN INCOMPLETA: Cuando b = 0 o c = 0, se pueden resolver de forma sencilla. Comentamos a continuación ambos casos:

Si 0b 0cax2 despejamos el término x2 y después extraemos la raíz cuadrada.

Ejemplo 2.

525x25x2

50x502x0502x 2222

Las soluciones son x1 = -5 y x2 = 5

Si 0c 0bxax2 sacamos factor común x e igualamos a 0 cada uno de los

factores que aparecen y resolvemos. (Estamos utilizando que para que un producto sea 0 basta con que alguno de los factores que intervienen sea 0)

EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS DDDEEE SSSEEEGGGUUUNNNDDDOOO GGGRRRAAADDDOOO...

SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS DDDEEE EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS... PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAASSS


Ejemplo 3.

7

5x57x057x

0x05)x(7x05x7x2

Las soluciones son: 7

5x1

0x2

ECUACIÓN COMPLETA: Cuando 0b y 0c , se dice que la ecuación es completa y se

resuelve aplicando la siguiente fórmula:

2a

4acbbx

2

La expresión que aparece dentro de la raíz, Δ = 4acb2 , se llama DISCRIMINANTE; suele

denotarse con la letra Δ y el estudio de su signo nos permite conocer de antemano el número de soluciones de la ecuación:

Si Δ = 04acb2 Dos soluciones

Si Δ = 04acb2 Una solución (que se dice que es doble)

Si Δ = 04acb2 No tiene solución real

Ejemplo 4.

013x2x2

01891243)(Δ 2 la ecuación tiene dos soluciones que son

Ejemplo 5.

a) 013x10x2


b) 10020xx2

doble) (Sol. 10 x:Solución 102

020

2

40040020)(x010020xx2

c) 3

5x

3

5x53x053x 222

incompleta

La ecuación no tiene

solución real

d) 3 x,3 x:Sol. 39x9x5

45x455x0455x 21

2222

incompleta

e) 0115x3x2

6

1075

6

132255x

No tiene solución real

f)

73

21x213x0213x

0x

021)x(3x021x3x

incompleta

2

Soluciones: x1 = 0 x2 = 7

(También se podía haber sacado factor común 3x en lugar de x)

g) 06xx2

2 x-3 x:Sol. 3

2

2

51

2

2411x 21

h) 016x9x2

3

1- x:Sol.

3

1

18

06

18

36366x

(Raíz doble)

i) 03x7x5 2 10

117

10

6049)7(x


j) 32)2x(x1)(x 2

042x3x034x2x12xx32)2x(x1)(x 2222


6

442

6

4842x


2 SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones de ese tipo. Es de la forma

c'yb'xa'

cbyax

donde: a, b, c, a’, b’, c’ son números reales; x e y son las incógnitas.

Una SOLUCIÓN del sistema es un par de valores x e y que satisface simultáneamente las dos ecuaciones.

Ejemplo 6.

194yx

12y3x

El par x =3, y =4 es una solución de este sistema ya que sustituyendo en cada ecuación dichos valores de x e y se cumplen ambas:

3·3 – 2 ·4 = 9 – 8 = 1 3 + 4·4 = 3 + 16 = 19

Sin embargo el par x = 1, y = 1 no sería solución del sistema:

3·1 – 2·1 = 1 se cumple la primera

1 + 4·1 = 1 + 4 = 5 19 no se cumple la segunda

Basta con que no se verifique una de las dos ecuaciones para concluir que un par no es solución.

TIPOS de sistemas según su solución:


Ejemplo 7.

a)

194yx

12y3x Sistema Compatible y Determinado (su única solución es la dada en el

ejemplo 6)

b)

24y2x

12yx Sistema Compatible e Indeterminado.

Tiene solución (por ejemplo x =3, y =1) pero además hay infinitas: para cualquier valor que diésemos a x en la primera ecuación, conseguiríamos, despejando, un valor de y que la cumple; si llevamos este par de valores obtenido a la segunda ecuación, comprobaremos que también la verifica. Esto ocurre porque, en realidad, la segunda ecuación es la misma que la primera multiplicada por 2:

2x – 4y = 2 2·(x – 2y) = 2 simplificando el dos en ambos miembros queda x – 2y = 1.

c)

2yx

1yx Sistema Incompatible. Ningún par de valores de x e y puede cumplir las

dos ecuaciones simultáneamente puesto que no existen dos números que su suma sea 1 y también 2.

2.1 Métodos de resolución de sistemas

Existen cuatro métodos (sustitución, igualación, reducción o eliminación y el método gráfico). La solución de un sistema, si existe, debe ser la misma sea cual sea el método de resolución elegido.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Resuelve el sistema

194yx

12y3x

1º) Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones:

4y19x194yx

12y3x

2º) Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y resolvemos la ecuación

de primer grado con una incógnita resultante:

3·(19 – 4y) – 2y = 1 57 – 12y – 2y =1 414

56y

3º) Hallamos la otra incógnita sustituyendo el valor del incógnita conocida en la

ecuación despejada:


y = 4, luego x = 19 – 4·4 = 3

Solución del sistema: x =3, y = 4.

MÉTODO DE IGUALACIÓN:

Resuelve el sistema

194yx

12y3x

1º) Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones:

4y19x194yx3

2y1x2y13x12y3x

2º) Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante:

4y193

2y1

4y)3·(192y1 12y572y1

1572y12y 5614y 414

56y

3º) Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualquiera de las dos

ecuaciones despejadas:

x = 19 – 4·4 = 3 (si hubiésemos elegido la otra: 33

2·41x

)

Solución: x = 3, y = 4.

MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN: Consiste en conseguir que el coeficiente de una de las incógnitas sea igual en las dos ecuaciones pero de signo contrario; de esta manera al sumar ambas ecuaciones dicha incógnita quedará eliminada y obtendremos una única ecuación con una incógnita.

Resuelve el sistema

194yx

12y3x

1º) Multiplicamos cada ecuación por un número de forma que los coeficientes de una

de las incógnitas queden iguales pero con signo diferente. (A veces bastará con multiplicar por un número concreto sólo una de las ecuaciones para obtener el coeficiente deseado):

194yx

24y6x

194yx

12y3x2


2º) Sumamos las dos ecuaciones del nuevo sistema y resolvemos la ecuación resultante:

217x

194yx

24y6x

7x = 21 37

21x

3º) Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualquiera de las dos

ecuaciones del sistema inicial:

(por ejemplo en la segunda) 3 + 4y =19 4y = 19 – 3 4y = 16

44

16y

Solución: x = 3, y = 4.

MÉTODO GRÁFICO: Recordando la expresión que determina una recta, y = mx + b, podemos observar que cada una de las ecuaciones del sistema está representando, precisamente, la ecuación de una recta.

Hemos comentado que al resolver un sistema estamos buscando los valores de las incógnitas que hacen que se cumplan ambas ecuaciones al mismo tiempo, esto significa que estamos estudiando la intersección de las dos rectas que representan dichas ecuaciones. Bastará dibujarlas en unos ejes de coordenadas e interpretar el resultado teniendo en cuenta las tres únicas posibilidades en la posición de dos rectas, que son las siguientes:

1º) Se cortan en un punto: dicho punto es la solución del sistema, por tanto el

sistema es compatible y determinado.

2º) Son paralelas (las rectas no se cortan nunca): el sistema no tiene solución, es incompatible.

3º) Las rectas son coincidentes (al representarlas dibujaríamos una sobre otra):

tiene infinitas soluciones, todos los puntos de esa recta verifican las dos ecuaciones. El sistema es compatible e indeterminado.

Resuelve gráficamente el sistema

194yx

12y3x

Las dos rectas se cortan en el punto (3, 4), la solución del sistema es x = 3 e y = 4


Ejemplo 8.

a)

24y2x

12yx

Las dos rectas coinciden, hay infinitas soluciones, cualquier punto de ellas es solución del sistema.

b)

2yx

1yx

Las rectas son paralelas y por tanto el sistema no tiene solución.

3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para resolver un problema algebraico seguiremos los siguientes pasos:

1. Lectura y comprensión del enunciado: realizaremos varias lecturas atentas para diferenciar lo que nos piden de los datos de que disponemos.

2. Elección de la incógnita o las incógnitas.

3. Planteamiento de la ecuación o el sistema a partir de las relaciones matemáticas entre los datos y la incógnita o incógnitas que se expresan en el enunciado.

4. Resolución de la ecuación o el sistema.

5. Evaluación de la coherencia del resultado. Hay que comprobar que el resultado obtenido

es coherente con el enunciado.

6. Escribir la respuesta.

Ejemplo 9.

En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3 cm. más largo que el mediano, el cual, a su vez, es 3 cm. más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados?. En un triángulo rectángulo, el lado más grande es siempre la hipotenusa.


La solución x = - 3 no sirve porque una longitud debe ser positiva. Por tanto, los lados del triángulo miden 9, 12 y 15 cm.

Ejemplo 10.

Pedro y Juan fueron a la farmacia y se pesaron. Pedro dijo: “si al doble de lo que peso yo le sumo lo que pesas tu obtengo 132 kg”, y Juan le contestó: “si, pero si al triple de lo que peso yo le resto lo que pesas tu obtendría 81 kg. ¿Cuánto pesa cada uno?”.

Solución: Pedro pesa 45 kg. y Juan 42 kg.

4 EJERCICIOS RRESUELTOS

1. Resuelve los siguientes sistemas. Utiliza un método distinto para cada sistema.

a)

1yx2

2y3x4 b)

7

3

10

y

2

x

7

2

5

y

3

x

c)

16

2y

3

)1x(2

2

1

2

2y

2

x

a)

1yx2

2y3x4

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución. Despejamos y en la segunda ecuación


2x - y = 1 2x - 1 = y (1)

Sustituimos dicha expresión en la primera

4x + 3y = 2 4x + 3(2x - 1) = 1 4x + 6x - 3 =2 10x = 2 +3 2

1

10

5x

Reemplazamos este valor en la expresión (1)

2x - 1 =y 0yy0y11y12

2y1

2

12

La solución del sistema es 2

1x e y = 0

b)

7

3

10

y

2

x

7

2

5

y

3

x

Antes de aplicar un método nos conviene calcular un sistema equivalente al dado pero más sencillo, sin fracciones. Para ello trabajaremos con las ecuaciones por separado.

30y21x35105

30

105

y21

105

x35

7

2

5

y

3

x

30y7x3570

30

70

y7

70

x35

7

3

10

y

2

x

Escribimos el sistema con las nuevas ecuaciones.

30y7x35

30y21x35

Resolvemos este sistema y lo haremos por el método de reducción.

Hallamos el valor de x

m.c.m. (3, 5, 7) = 105

m.c.m. (2, 10, 7) = 70


La solución del sistema es 7

6x e y = 0.

c)

16

2y

3

)1x(2

2

1

2

2y

2

x

Lo mismo que en el ejercicio anterior tenemos que expresar cada ecuación del sistema de una forma más sencilla, para ello trabajaremos con las ecuaciones por separado y luego volveremos a escribir el sistema.

Trabajaremos ahora con la segunda ecuación. Primero quitamos paréntesis

6

6

6

2y

6

)2x2(21

6

2y

3

2x21

6

2y

3

)1x(2

Por lo tanto el sistema inicial equivale a

0yx4

3yx

16

2y

3

)1x(2

2

1

2

2y

2

x

Resolvemos el sistema equivalente por el método de igualación. Despejamos y en ambas ecuaciones

13

3x3x33x4xx43x

yx4

y3x

0yx4

3yx

Primero quitamos paréntesis

Buscamos el m.c.m.(3, 6)=6. Calculamos los términos equivalentes

de la ecuación con denominador 6.


Averiguamos el valor de la incógnita y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones

despejadas, por ejemplo, en 4x = y 4(- 1) = y y = - 4 La solución del sistema es x = - 1 e y = - 4.

2. Resuelve la ecuación 6

2x11)1x(

4

)3x()2x(1x

Ecuación de segundo grado completa en la que a =3, b = -16, c = 5


6

19616

6

6025616

32

534)16()16(x

a2

ca4bbx

22

Las soluciones son 3

1xy5x 21

3. Disponemos de dos tipos de té uno de Tailandia a 5,20 €/kg, y otro de la India, a 6,20 €/kg y queremos obtener 100 kg de té a 6€/kg. ¿Cuántos kilos hemos de mezclar de cada tipo? Identifica las incógnitas, plantea un sistema y resuélvelo. x: kilos de té de Tailandia y: kilos de té de India Una vez identificadas las incógnitas, antes de plantear el problema, vamos a crear una tabla en la que se recogen los datos. Recuerda que en esta mezcla lo que nos cuesta la compra de los ingredientes y es el mismo dinero que obtendremos de la venta de la mezcla.

Kilos €/kg Coste

Té de Tailandia x 5,20 5,20x

Té de la India y 6,20 6,20y

Mezcla 100 6 6 100 = 600

Planteamiento

igualacióndemétodoelporsistemaelsolvemosRe600y20,6x20,5

100yx

Trabajamos con la ecuación obtenida

Indialadetédekg80y520600y20,6y20,5600y20,6y20,5520

Como teníamos que x =100 - y, sustituimos los 80 kg, x = 100 - 80 = 20 kg de té de Tailandia. Solución: Se mezclan 20 kg de té de Tailandia con 80 kg de té de la India.

4. Úrsula tiene actualmente cuatro años más que el triple de de la edad de su primo Adrián. Dentro de once años Úrsula tendrá el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno de ellos?


El sistemas que tenemos que resolver es

)11y(211x

4y3x y utilizamos el método de

reducción

Luego Adrián tiene 7 años actualmente y para calcular los de su prima Úrsula sustituimos este valor en la primera ecuación del sistema.

x = 37 + 4 = 25 años tiene Úrsula

Solución: Las edades actuales son Úrsula 25 años y Adrián 7 años.


TRIGONOMETRÍA

NES DE SEGUNCUACIMAS DE ECUECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. SISTEMAS DE E La trigonometría es la parte de la geometría que estudia las relaciones entre las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo.

1 REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

ÁNGULO: Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Las semirrectas se llaman lados del ángulo, y el origen de éstas es el vértice del mismo.

Ángulo recto: El ángulo más pequeño comprendido entre dos semirrectas perpendiculares. Mide 90º

Ángulo agudo: Cuando un ángulo es menor de 90º

Ángulo obtuso: Cuando un ángulo es mayor de 90º

Ángulo llano o extendido: El ángulo de 180º

Ángulo completo: El ángulo de 360º

Ángulo nulo: El ángulo de 0º

El sistema de medida de ángulos más utilizado en geometría elemental es el sexagesimal, cuya unidad principal es el grado sexagesimal. También se utilizan los radianes.

SISTEMA SEXAGESIMAL: Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto.

GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS ( º ‘ ’’ ): Un grado se divide en 60 minutos, y un minuto, en 60 segundos. Se denotan de la forma siguiente: grados (º), minutos (‘), segundos (‘’)

La equivalencia es análoga a la que existe entre horas, minutos y segundos:

1º ↔ 60’ ; 1’ ↔ 60’’

TTTRRRIIIGGGOOONNNOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA


También se puede usar la equivalencia directa grados-segundos: 1º = 3600’’

para transformar los 30’’

Un ángulo se puede expresar en forma decimal o en forma compleja. Por ejemplo, el ángulo 47,8º está expresado en forma decimal; el ángulo 20º 5’ 32’’ está en forma compleja y se diría que este ángulo mide 20 grados, 5 minutos y 20 segundos.

La conversión de una forma a otra, se puede realizar de forma sencilla utilizando reglas de tres.

Ejemplo 1.

a) ¿Cuántos grados son 12º 48’ 30’’? (habrá que pasar todo a grados)

12º 48’ 30’’ = 12º + 48’ en grados + 30’’ en grados

48’ en grados:

º8,0'48º8,060

148x

30’’ en minutos:

'5,0''30'5,060

130x

Los 0,5’ en grados:

º0083,0'5,0''30

º0083,0...0083333,060

15,0x

Entonces: 12º 48’ 30’’ = 12 + 0,8 + 0,0083 = 12,8083º

b) Escribe en forma compleja 265,63º

265,63º = 265º + 0,63º (hay que ir pasando la parte decimal a la unidad siguiente)

0,63º a minutos:

0,8’ a segundos:


USO DE LA CALCULADORA: Las calculadoras científicas permiten la transformación directa de una forma a otra por medio de la tecla que aparece en la imagen derecha. El modo de utilización dependerá del modelo, pero bastará con consultar las instrucciones de la calculadora para saber cómo ir introduciendo los valores.

Ejemplo 2.

Practica comprobando si son correctas las transformaciones de los apartados a y b del ejemplo 1 anterior.

RADIÁN: Un radián es el equivalente al ángulo que abarcaría un sector circular para el que la longitud de su arco mide lo mismo que el radio. Se denota por rad.

Veamos cuántos radianes corresponden al ángulo completo de 360º. Para ello, usaremos una sencilla regla de tres entre las longitudes de los arcos y los radianes. Recuerda que la longitud de

una circunferencia de radio r es 2r.

2xr

1·r2x radianes

Luego, 360º son 2 radianes. Para la conversión de grados a radianes y viceversa, podemos utilizar esta equivalencia o bien, ésta simplificada para 180º: la mitad de 360º, que son 180º,

equivaldrán a la mitad de los 2 radianes, que son radianes. Por tanto:

rad 180º

Cada radianes estamos considerando un ángulo de 180º, es decir, medio círculo.

Nota: para los radianes se trabaja con el número sin sustituirlo por ningún valor

Ejemplo 3.

a) ¿Cuántos grados son 3

rad?

Cada “bloque” de , equivale a 180º (o medio círculo) 3

rad

significa que estamos dividiendo ese sector en 3 partes hacer 3

en rad es lo mismo

que hacer, en grados 3

180

3

rad =

3

º180= 60º

b) ¿Cuántos grados son 5

9 rad? º324

5

º1809º180

5

9rad

5

9rad

5

9


b

c

a

C

BA

b

8cm.

10 cm.

C

A B

Ejemplo 4.

a) ¿Cuántos radianes son 45º? (utilizaremos proporcionalidad directa)

Entonces: rad4180

45x

b) ¿Cuántos radianes son 280º?

Entonces: rad9

14

180

280x

2 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es recto, los otros dos son agudos. Llamaremos catetos a los lados que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a ese ángulo.

2.1 Relaciones en un triángulo rectángulo:

La suma de los ángulos agudos es 90º

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Ejemplo 5.

Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos: a)

cm. 6b

6810b

b810

22

222

Simplificando la fracción 4

1

180

45

Simplificando la fracción 9

14

180

280

90ºCB

a2 = b2 + c2


a2'4cm.

5'3cm.C A

B

5 cm.

13 cm.

12 cm.

a8'1cm.

11'4 cm.C A

Bb)

cm. 13'98a

13'988'111'4a

1'84'11a

22

222

c)

cm. 4'73a

4'732'45'3a

4'2a'35

22

222

3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Consideraremos un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos, definimos las razones

trigonométricas directas del ángulo como sigue:

I) SENO: seno del ángulo (se denota sen ):

hipotenusa

opuesto catetosen

II) COSENO: coseno del ángulo (se denota cos ):

hipotenusa

contiguo catetocos

III) TANGENTE: tangente del ángulo (se denota tg o tan ): contiguo cateto

opuesto catetotg

Ejemplo 6. Calcula las razones trigonométricas del ángulo del siguiente triángulo rectángulo:

12

5 α tg

13

12 α cos

13

5 α sen

cateto opuesto

(a )

cateto contiguo o adyacente (a )

hipotenusa


3.1 Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas:

Existen dos relaciones importantes entre las tres razones anteriores. Las utilizaremos en ejercicios en los que se conozca una de ellas y tengamos que encontrar las otras dos. De las dos relaciones anteriores se deduce otra relación:

Ejemplo 7.

Sabiendo que sen α = 0’4563 halla el resto de las razones trigonométricas del ángulo α (situado en el primer cuadrante), sin calcular el ángulo α

0'5128tgα 0'8898cosα 0'4563senα0'5120'8898

0'4563tgα

0'88980'4563-1 α cos 1αcos0'45631αcosαsen 22222

8

3.2 Circunferencia goniométrica:

Consideraremos una circunferencia centrada en el (0,0) y de radio 1.

Mediremos los ángulos sobre la circunferencia partiendo del eje positivo de las x y en sentido contrario a las agujas del reloj.

El signo del seno y del coseno de un ángulo, coinciden con el signo de las coordenadas x e y del punto de corte del radio con la circunferencia en el cuadrante en el que se encuentra dicho ángulo.

1er cuadrante (0º < < 90º)

3er cuadrante (180º < < 270º) 4º cuadrante (270º < < 360º)

2º cuadrante (90º < < 180º)

1

-1 0 1 x

y Punto de coordenadas (x,y)

1αcosαsen 22 αcos

αsenαtg

1αtgαcos

1 2

2

Sustituimos la razón conocida


Por ejemplo, para un ángulo en el segundo cuadrante (un ángulo cuyo valor está entre 90º y 180º), el signo de sus razones trigonométricas sería el siguiente: El seno sería (+) porque las y’es son positivas en ese cuadrante y el coseno sería ( -) porque las x’s son negativas en esa parte. El signo de la tangente será el resultado del cociente entre los signos del seno y del coseno; en este caso, la tangente sería negativa, ya que

Este será el criterio a seguir cuando necesitemos identificar el signo que toman razones trigonométricas de un ángulo, conocido el cuadrante en el que se encuentra. Teniendo en cuenta dicho criterio se obtiene la siguiente tabla:

Seno Coseno Tangente

1er cuadrante + + + 2º cuadrante + - -

3er cuadrante - - + 4º cuadrante - + -

4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo es averiguar lo que miden sus ángulos y sus lados, sabiendo la medida de alguno de ellos. Distinguiremos dos casos distintos, según sean los datos que tengamos.

sen = y

cos = x

-1

1

-1 0 1 x

y

(x,y)

Punto de coordenadas


c

C=36º 52' 12"

15 cm.b

C

A B

a

32 cm60 cm

C

A

B

CASO 1: DADOS LOS DOS LADOS (DOS CATETOS O CATETO E HIPOTENUSA)

* Calculamos el lado que falta mediante el teorema de Pitágoras:

cm.68 a 683260a 22

* Calculamos uno de los ángulos agudos utilizando su tangente:

32

60tgC "39'55º61C

* Calculamos el otro ángulo teniendo en cuenta que son complementarios (suman90º)

"21 '4 º28"39 '55 º61º90B

CASO 2: DADOS UN LADO Y UN ÁNGULO AGUDO

* Hallamos el otro ángulo agudo teniendo en cuenta que son complementarios (suman 90º): 48" 7' 53º 12" 52' º36 º90B

* Hallamos los lados que faltan utilizando las razones trigonométricas que nos relacionan los datos:

cm. 12 b 12 12" 52' 36º cos15 b 15

b 12" 52' 36º cos

cm. 9 c 9 12" 52' 36º sen15 c 15

c 12" 52' 36º sen

5 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

La resolución de triángulos rectángulos tiene múltiples aplicaciones, entre ellas el cálculo de longitudes desconocidas. Resolveremos problemas que podamos reducir a triángulos rectángulos, dónde el uso del Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas nos llevará a la resolución del problema

Ejemplo 8.

Calcula la altura de un árbol sabiendo que si nos separamos de él 30m. lo vemos bajo un ángulo de 60º.


18 cm.

36ºap

ap

9 cm.

36º

51'96 60º tg30H 30

H º60 tg

Solución: El árbol mide 52'97 m aproximadamente

Ejemplo 9.

Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46º. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

44º 46º - 90º

3'6 46º sen5 x 5

x 46º sen

Solución: La distancia entre la base de la escalera y la pared es 3'6 m y forma un ángulo con el suelo de 44º

Ejemplo 10.

¿Qué altura alcanzará una escalera de 5 m., sabiendo que está apoyada en una pared formando un ángulo con el suelo de 45º?, ¿a qué distancia de la pared estará el pie de la escalera?

3'54 45º sen5 h 5

h 45º sen

Solución: La escalera alcanza una altura de 3'45 m. La distancia del pie de la escalera a la pared es también 3'45 m porque es un triángulo isósceles (los dos ángulos agudos miden 45º)

Ejemplo 11. Halla el área de un pentágono regular de 18 cm. de lado.

x


Ejemplo 12.

Una señal de tráfico que solemos ver en los puertos de montaña es la de la figura. Significa que por cada 100 m. recorridos horizontalmente ascendemos 12 m.

Teniendo en cuenta la interpretación de la señal anterior contesta a las siguientes preguntas:

a) Una carretera del 12% de pendiente, ¿qué ángulo forma con la horizontal?

7º de menteaproximada es horizontal la con carretera la forma que ángulo El

6'84º34" 50' 6º 100

12tg

b) ¿Cuál es la pendiente en tanto por ciento de una carretera de 20º de inclinación?

% 36 del menteaproximada es pendiente La 0'364 20º tg

c) Si la pendiente de una carretera es del 9 % y avanzamos 700 m. ¿cuántos metros

habremos ascendido en ese tramo?

Ejemplo 13.

Hallar la altura del acantilado, x, y la del faro, h.

12 m.

100 m.

0'12 es horizontal la con

carretera la forma que ángulo del tangente La

12% 12'0100

12tg

h700 m.

m. 63 menteaproximada ascendido Habremos

m. 62'7534" 8' 5º sen700 h 700

h34" 8' 5º sen

34" 8' 5º 09'0tg


m87,2814,27º50tg47h

º50tg47h14,2747

h14,27º50tg

47

hxº50tg

m14,27º30tg47x47

xº30tg

Solución: La altura del acantilado es 27,14 m y el faro mide 28,87 m.

Ejemplo 14.

Si QR = 17 cm, ¿cuál es la altura de la torre PQ ?

Si observas el dibujo, verás que SQPSPQ . Comenzaremos por calcular SQ

m5,8º30sen17SQ17

SQº30sen

Para calcular PS , necesitamos saber cuánto mide RS

m72,14º30cos17RS17

RSº30cos

m67,22º57tg72,14PS72,14

PSº57tg

Luego m17,3167,225,8SQPSPQ

Solución: La altura de la torre es de 31,17 m


Ejemplo 15.

Calcula el área y el volumen del cono de la figura Recordemos las fórmulas del área y del volumen del cono ATotal del cono = r2 + rg

hr3

1V 2

Cono

Luego tenemos que averiguar la altura y la generatriz del cono.

generatrizlamidem21,10º54cos

6gº54cosg6

g

6º54cos

alturalamidem26,8º54tg6h6

hº54tg

ATotal del cono = r2 + rg ATotal del cono = 62 + 610,21=305,55 m2

hr3

1V 2

Cono 39,31126,863

1 2 ConoV m3

Solución: El volumen del cono es 311,39 m3 y el área total del cono es 305,55 m2


FUNCIONES

NES DE SEGUNC

1 INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Este curso vamos a estudiar las funciones reales de variable real, es decir, funciones que se calculan sobre números reales y el resultado es un número real. Los números reales sobre los que podemos calcular la función forman un conjunto llamado dominio, los números reales que resultan forman un conjunto llamado recorrido. Por lo tanto, dominio y recorrido son subconjuntos, una parte, de los números reales. Veamos las formas con las que podemos expresar esos subconjuntos:

ENTRE LLAVES, {…….} : Es el conjunto formado exclusivamente por los elementos que aparecen en el interior de las llaves.

Ejemplo 1.

a) { -6, 0.5,1, 3} Este conjunto está formado por cuatro elementos, -6, 1, 0.5 y el 3, sólo por esos cuatro números.

b) { 3 , 3

4, -7, 1 } Los elementos de este conjunto son cuatro, cuatro números reales:

3 ,4

3, -7 y 1.

INTERVALOS: Sean a y b dos números reales tales que a < b Intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a < x < b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b, no incluidos a y b. se representa por (a, b) ó ]a,b[.

Observación: en la representación gráfica de un intervalo, cuando un extremo esté incluido pintaremos en él un punto cerrado ( ) y cuando no esté incluido, pintaremos uno abierto ( ).

FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS


Ejemplo 2.

(-2, 3)1 Este conjunto está formado por los infinitos números reales (enteros, racionales e irracionales) comprendidos entre -2 y 3 no incluidos estos dos números. -1.99999, -1, -0.001, 0.5, 1, 1.25, 2.9999999 … etc.

Intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a x b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b incluidos a y b. Se representa por [a, b].

Ejemplo 3.

a) [-2, 3] Está formado por todos los números reales mayores o iguales que -2 y menores o iguales que 3.

b) [2, 4] Está formado por todos los números reales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 4.

Intervalos semicerrados o semiabiertos de extremos a y b son aquellos intervalos en los que uno de los extremos se incluye y el otro no.

[a, b) : es el conjunto de números reales x, tales que a ≤ x < b, es decir, todos los

números mayores o iguales que a y menores que b (ahora está incluido a y no está incluido b).

(a, b] : es el conjunto de números reales x, tales que a < x ≤ b, es decir, todos los números mayores que a y menores o iguales que b (ahora no está incluido a y sí está incluido b).

1 ]-2, 3[

gráficamente [a, b)={x ℝ /a ≤ x < b}

gráficamente (a, b]={ x ℝ /a < x ≤ b }


Ejemplo 4.

a) [-1, 4) Está formado por todos los números reales mayores o iguales que -1 y menores que 4.

b) (-1, 4] Está formado por todos los números reales mayores que -1 y menores o iguales que 4.

Intervalos infinitos: en alguno de los extremos, o en ambos, aparece el símbolo .

Observación: El extremo siempre es abierto; si el otro extremo es un número, puede ser abierto o cerrado.

(– , + ) = ℝ Representa toda la recta real, todos los números reales

(Cuando el extremo superior es +, también puede omitirse el signo + ) Veamos algunos ejemplos de este tipo de intervalos:

Ejemplo 5.

a) (– , 3) Está formado por todos los números reales menores que 3

b) (-2, + ) Está formado por todos los números reales mayores que -2.

c) (– , – 1) Está formado por todos los números reales menores que -1.

d) (2, + ) Está formado por todos los números reales mayores que 2.

e) [2, + ) Está formado por todos los números reales mayores o iguales que 2.

f) (– , – 1] Está formado por todos los números reales menores o iguales que -1.


2 ESTUDIO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN (PROPIEDADES GLOBALES)

Recordamos que una función es una relación entre dos variables (independiente y dependiente) de forma que a cada valor de la primera le hace corresponder uno, y solo uno, de la segunda. Una de las formas de expresar una función es mediante una gráfica, que permite describir las propiedades globales de dicha función, que entre otras son: dominio, recorrido, continuidad, puntos de corte con los ejes, crecimiento, extremos, simetría, periodicidad y tendencias.

1. Dominio (Dom f): Se llama dominio de una función al conjunto formado por los elementos del conjunto inicial (valores de x) que tienen imagen (valores de y). Tenemos que buscar las abscisas de los puntos de la gráfica. Leemos de izquierda a derecha en el eje X y vemos para que valores hay función.

2. Imagen (Im f): Se llama imagen o recorrido de una función al conjunto formado por las imágenes (valores de y) de los elementos del dominio (valores de x). Tenemos que buscar las ordenadas de los puntos de la gráfica. Leemos de abajo a arriba en el eje Y y vemos para que valores hay función.

3. Continuidad: Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, es decir, no presenta saltos. En caso contrario, la función es discontinua. Los puntos donde se producen las interrupciones o los saltos se laman puntos de discontinuidad de la función.

4. Puntos de corte con los ejes: Son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas.

EJE OY: X = 0 (0,Y0) EJE OX: Y = 0 (X0,0)

5. Crecimiento y decrecimiento:

Una función es creciente si al aumentar la variable independiente, aumenta la variable dependiente.

Una función es decreciente si al aumentar la variable independiente, disminuye la variable dependiente.

Una función es constante si al aumentar la variable independiente, la variable dependiente no varía.


6. Extremos relativos: máximos y mínimos.

Una función tiene un máximo relativo en un punto si a la izquierda de dicho

punto la función es creciente y a la derecha decreciente.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto si a la izquierda de dicho punto

la función es decreciente y a la derecha creciente.

7. Simetría:

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si al sustituir x por (- x)

la función no cambia. A estas funciones se les llama funciones pares.

Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si al sustituir x

por (- x) la función cambia de signo. A estas funciones se les llama funciones

impares.

8. Periodicidad: Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo


9. Tendencias: En ocasiones nos interesa saber cómo se comporta la función cuando la variable independiente aumenta mucho o disminuye mucho, o cuando se acerca a una valor concreto. Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Por ejemplo, en la gráfica de la derecha se observa que a medida que aumenta la variable independiente, la variable dependiente tiende a 0’5

Ejemplo 6.

Realiza el estudio gráfico de la función representada en la siguiente gráfica:

Dominio: Dom f = [ - 7 , + ∞)

Imagen: Im f = [ - 2 , 4 ]

Continuidad: Función continua.

Puntos de corte con los ejes: Eje OY: ( 0 , 2’6 ) Eje OX: ( - 4 , 0 ), ( - 2 , 0 )

Crecimiento y decrecimiento:

La función es creciente en ( - 3 , 3 ) U ( 5 , 8 )

Función decreciente en ( - 7 , - 3 ) U ( 3 , 5 ) U ( 8 , + )

Máximos y mínimos:

La función tiene máximo relativo en el punto ( 8 , 3 ) y un máximo absoluto en ( 3 , 4 )

La función tiene un mínimo relativo en el punto ( 5 , 1 ) y un mínimo absoluto en ( - 3 , -2 )

Simetría: Función no simétrica

Periodicidad: Función no periódica

Tendencias: Si la variable independiente crece (x → + ), entonces la variable dependiente se acerca cada vez más a 0, tiende a 0 (y → 0)

y = f(x)


En muchas fuentes ornamentales la trayectoria descrita por el agua es una parábola

3 FUNCIÓN CUADRÁTICA. PARÁBOLA

Se llama función cuadrática a toda función que puede escribirse de la forma

cbxax y cbxaxf(x) 22 donde a, b y c son constantes y 0a . Es

decir, una función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Su representación gráfica es siempre una curva del mismo tipo que se denomina parábola.

3.1 Representación gráfica

Dada una parábola de ecuación cbxaxy 2 ( 0a ), nos ayudaremos de los pasos

siguientes para dibujar su gráfica: 1.- Orientación: (según el signo del coeficiente a de x2 )

a) Si a > 0 CÓNCAVA (ramas hacia arriba)

b) Si a < 0 CONVEXA (ramas hacia abajo)

Ejemplo 7.

34xxy 2 a = 1 > 0 , la parábola es cóncava

2.- Vértice V(xv , yv): Se denomina vértice de una parábola al punto donde la función pasa de decreciente a creciente, o viceversa. Calcularemos la coordenada en x del vértice con la

fórmula 2a

bx

v

y llevaremos el valor obtenido a la ecuación de la parábola para

encontrar su correspondiente coordenada en y. Denotaremos dichas coordenadas por

)y,x(V VV .

Las parábolas son simétricas respecto de la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice:

La expresión del eje de simetría es Vxx


Ejemplo 8. Calcula el vértice y el eje de simetría de la función

34xxy 2

22·1

4)(xV

y

v= 2

2 - 4 ∙ 2 + 3 = -1 2,-1V:Vértice

El eje de simetría sería x = 2

Ejemplo 9.

a) Calcula tres puntos de la función cuadrática del ejemplo anterior Para calcular dos putos por los que pasa la función damos valores a la x, luego a partir de la expresión de la función calculamos los valores correspondientes de la y . Por ejemplo, vamos a asignar a x los valores -1, 1, 4

x = - 1 y = 83413141 2 A(- 1, 8)

x = 1 y = 034131412 B(1, 0)

x = 4 y = 33161634442 C(4, 3)

b) Determina los puntos simétricos de los puntos calculados en el apartado anterior.

Los puntos calculados en el apartado a) y el vértice de la parábola los dibujamos en unos ejes de coordenadas cartesianos


Dibujamos los puntos simétricos respecto del eje de simetría x = 2 Puedes comprobar que los puntos simétricos calculados gráficamente están bien determinando el valor de las ordenadas para x = 5, x = 3 y x = 0.

x = 5

8) (5,A'8

320253545y 2

x = 3

)0,3('B0

31293343y 2

x = 0

)3,0('C3

3003040y 2

Observa que la abscisa del vértice es el punto medio de las abscisas de un punto y su simétrico. Las ordenadas de los puntos simétricos son iguales.

3.- Puntos de corte con los ejes:

a) Con el eje X (OX): en el eje X todos los puntos tienen su segunda coordenada

y = 0, por tanto daremos el valor 0 a la y en la ecuación de la parábola y buscaremos los valores de x que cumplen esta condición. Esto equivale a resolver la ecuación de segundo grado resultante. Hay tres situaciones posibles:

i) Si la ecuación tiene 2 soluciones la parábola corta al eje X en 2 puntos

ii) Si la ecuación tiene 1 solución la parábola corta al eje X en 1 punto


iii) Si la ecuación no tiene solución la parábola no corta al eje X (esto significa que su gráfica estará siempre o por encima o por debajo del eje)

Ejemplo 10. Calcula los puntos de corte con el eje OX de 34xxy 2

Puntos de corte con el eje OX: (1 , 0) (3 , 0) b) Con el eje Y (OY): en el eje Y todos los puntos tienen su primera coordenada x = 0,

por tanto daremos el valor 0 a la x en la ecuación de la parábola y calcularemos el valor de y resultante.

Ejemplo 11. Determina el punto de corte con el eje OY de 34xxy 2

33040y 2 Punto de corte con el eje OY: (0 , 3)

4.- Representación: marcamos los puntos obtenidos en el estudio de la gráfica y los unimos

mediante una línea curva, teniendo en cuenta la simetría de la curva

Ejemplo 12.

Finalmente, obtenemos la gráfica de 34xxy 2


Ejemplo 13. Representa la función y = 3x2 – 2x + 1

Orientación: a = 3 > 0, la parábola es cóncava

Vértice:

3

2,

3

1V

3

21

3

12

3

13y

3

1

32

2x

2

vv

Puntos de corte con los ejes:

Eje OY: x = 0

y = 302 – 20 + 1 (0 , 1)

Eje OX: y = 0 3x2 – 2x + 1 = 0

6

1242

2·3

4·3·12)(2)(x

2

No corta al eje OX

Calculamos otros puntos ya que solo hemos obtenido dos puntos, el vértice y el corte con el eje OY

x = 2 9141212223y 2 (2, 9)

x = - 1 612311213y 2 (- 1,6)

Para representar la parábola utilizamos la simetría respecto a la recta paralela al eje OY que pasa por el

vértice, x =3

1

El punto

9,

3

4 es el simétrico de (2, 9)

6,

3

5 es el simétrico de (- 1, 6)

1,

3

2es el simétrico de (1, 0)

Ejemplo 14. Representa la función y = - x2 -1

Orientación: a = - 1 < 0, la parábola es convexa

Vértice:

0,-1V 1- y 01-2

0x vv

El eje de simetría es x = 0, es decir, el eje OY


Puntos de corte con los ejes:

Eje OY: x = 0 y = - 02 - 1 (0 , -1)

Eje OX: y = 0 La parábola es convexa y tiene el vértice en la parte negativa del eje OY, por lo tanto, la parábola no corta al eje OX

En este caso, solo hemos obtenido un punto al calcular el vértice y los puntos de corte con los ejes. Para calcular más puntos, damos valores a la x y sustituyendo en la ecuación de la función obtenemos los valores correspondientes valor de la y:

x = 1 y = 211112 (1 , -2). Por simetría obtenemos el punto (-1, -2)

x = - 2 y = 51412 2 (- 2 , - 5). Por simetría obtenemos el punto

(2, -5).

Con todos los puntos obtenidos procedemos a dibujar la parábola.

Ejemplo 15.

En una reserva de animales se decide introducir una cantidad de linces de tal manera

que el número de ejemplares viene dado por la función 250+ 40x +2x- =y 2 , donde y

cuenta el número de animales, x el tiempo en años trascurridos desde que se introdujeron los animales. Responde a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuántos animales se introdujeron?


En el momento en el que se introducen los linces el tiempo es cero, x =0, calculamos el número de animales

25025000250+ 040 +02- =y 2 linces se introdujeron.

b) ¿Cuántos linces hay al cabo de cinco años?

x = 5 00425020050250+ 540 +52- =y 2 linces hay al cabo de 5

años.

c) ¿Cuándo se alcanza el mayor número de animales y cuantos animales hay?

La función 250+ 40x +2x- =y 2 es una función cuadrática en la que a = - 2, por lo que

la orientación de la parábola es hacia abajo ∩. Luego la función alcanza su máximo valor en el vértice.

Vértice:

4502501040102- y 104

40

2-2

40x 2

vv

Al cabo de 10 años se alcanza el mayor número de animales que son 450.

d) ¿En qué momento la población de linces es de 288 ejemplares?

y = 288 250+ 40x +2x- = 288 2

Tenemos que resolver una ecuación de segundo grado

38- 40x +-2x0288-250+ 40x +2x- = 0 2 2

Esta ecuación es completa y utilizamos la fórmula

4

304160040-

22

38244040-x

a2

ca4bb-x

22

Después de 1 año hay 288 ejemplares y pasados 19 años vuelve a haber una población de 288 linces.

e) Si en la reserva se detecta una enfermedad que mata a los conejos y que puede poner en peligro la población de linces, ¿desaparecerán los linces?

Los linces desaparecen cuando el número de ellos es cero y = 0. Averiguamos en qué momento ocurre. Esto equivale a resolver la ecuación

250+ 40x +2x- = 0 2

Como resulta ser una ecuación de segundo grado completa utilizamos la fórmula


4

2000160040-

22

250244040-x

a2

ca4bb-x

22

La población de linces se extingue a los 25 años. La otra solución, -5, no es posible porque el tiempo no puede ser negativo. Si tienes dificultades para responder a estas preguntas puedes dibujar la función y a partir de ella obtener las respuestas a las preguntas.

El dibujo de 250+ 40x +2x- =y 2 es el de la imagen. Obsérvalo y ratifica las

respuestas de los apartados anteriores.


4 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. HIPÉRBOLA

La función de proporcionalidad inversa es un tipo de función racional cuya expresión algebraica

puede escribirse de la forma

x

k y

x

kf(x) donde k es una constante, 0k .

Su representación gráfica es siempre una curva del mismo tipo que se denomina hipérbola. Esta función es una función discontinua que no está definida en x = 0 (no existe f(0)), tiene dos ramas situadas en el primer y tercer cuadrante o segundo y cuarto cuadrante, según el signo de la constante k.

Si k > 0

Si k < 0

La hipérbola es una función simétrica respecto del origen de coordenadas, es una función impar.

4.1 Representación gráfica

Para obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa es suficiente con:

Estudiar el signo de k Elaborar una tabla de valores para valores positivos de x, y representar la una rama de la

hipérbola Utilizar la simetría de la hipérbola para representar la otra rama de la hipérbola

Ejemplo 16. Representa la función x

2y

k = 2 >0 : las ramas de la hipérbola están en el primer y tercer cuadrante.

X 2

1 1 2 3 4 5

2

1 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5

Y 4 2 1 3

2 2

1 5

2 - 4 - 2 - 1

3

2 2

1 5

2


Ejemplo 17. Seis personas tardan ocho días en hacer un trabajo.

a) Completa la siguiente tabla

Solución:

b) Obtén el tiempo que se tarda en hacer el mismo trabajo en función del número de personas. x: número de personas y: días empleados para hacer el trabajo

La función es x

48y

c) ¿Qué tipo de función es? Escribe sus características fundamentales. Es una función de proporcionalidad inversa, de constante k = 48 y decreciente. Cuantas más personas trabajen menos días serán necesarios para realizar el trabajo.

Nº de personas 1 2 3 4 6

Días

Nº de personas 1 2 3 4 6

Días 48 24 16 12 8


d) Representa la función

5 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se denominan funciones exponenciales las que tienen ecuación y = ax, siendo a un número real positivo y distinto de 1. Para su representación gráfica utilizaremos las siguientes características:

La función está definida para cualquier valor de x, su dominio son todos los números reales.

Para cualquier valor de x, la imagen siempre es un número real positivo. Nunca valdrá 0 y, por lo tanto no hay puntos de intersección con el eje de abscisas.

Son funciones continuas.

Todas pasan por el punto ( 0 , 1) (por las propiedades de las potencias a0 = 1)

Si a > 1 la función es creciente en todo su dominio

Si 0 < a < 1 la función es decreciente en todo su dominio


Para representar gráficamente una función exponencial se construye una tabla de valores y se dibuja la gráfica teniendo en cuenta las características anteriores.

Ejemplo 18. Representa la función y = 2x

Ejemplo 19. Representa la función y =

x

3

1

X -1 0 1 2 3

Y 2

1 1 2 4 8

X -1 0 1 2 3

Y 3 1 3

1 9

1 27

1


PROBABILIDADES

NES La palabra probabilidad es utilizada con frecuencia en nuestra vida cotidiana: I : “¿Qué probabilidades crees que tengo?.” J: “Me parece que una entre un millón.” En los fenómenos reales observamos los hechos que se producen, repitiéndose unos con mayor frecuencia que otros y cuyos resultados pueden estar influenciados por varias causas. Para estudiar estos resultados construiremos un modelo matemático de dicho fenómeno. La parte de las matemáticas que profundiza en tales modelos se conoce como teoría de la probabilidad.

1 EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS.

1.1 Concepto de experimento aleatorio.

Un fenómeno o experimento se dice aleatorio cuando al repetirlo en condiciones análogas no se puede predecir el resultado. Si por el contrario, se puede predecir el resultado de un experimento aún antes de realizarlo, se dice que el experimento es determinista. Son fenómenos aleatorios:

Extracción de una carta de la baraja.

Lanzamiento de un dado.

Respuestas a una encuesta.

1.2 Espacio muestral. Suceso elemental.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral (E).

Ejemplo 1.

El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado al aire es

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada elemento del espacio muestral E se llama suceso elemental o punto muestral.

1.3 Sucesos. Tipos de sucesos.

Se llama suceso (A, B, C,…) a todo subconjunto del espacio muestral E. Un suceso puede determinarse por extensión (enumerando los elementos) o dando una propiedad que se verifica por, y sólo por, los elementos de dicho subconjunto.

PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDD


Diremos que un suceso A se verifica cuando al realizar el experimento se obtiene uno de los resultados de A Dentro de los posibles sucesos de un experimento aleatorio se pueden distinguir: (Los ejemplos se refieren al experimento aleatorio “Lanzar un dado cúbico”)

Suceso elemental: Es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio.

Ejemplo 2. A = { 5 }, B = {1}

Suceso compuesto: Es un suceso formado por varios sucesos elementales.

Ejemplo 3. B = { número par }

Suceso imposible: Es un suceso que no puede producirse nunca, es decir, que sea igual

al conjunto vacío, y se representa por .

Ejemplo 4. = { 7 }

Suceso seguro: Es el suceso que contiene todos los resultados posibles del experimento. Es igual al espacio muestral.

Ejemplo 5.

Si en el lanzamiento de un dado consideramos el suceso A: “salir un nº menor que 8”, estamos ante un suceso seguro ya que se podría obtener un 1 o un 2 o un 3 o un 4 o un 5 o un 6 y todos estos resultados corresponden a números menores que 8, por tanto, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E

Suceso contrario: Dado un suceso A, se llama suceso contrario, A , al suceso que se verifica si no se verifica A.

Ejemplo 6. A = {número par} A = {número impar}.

Sucesos compatibles: Dos sucesos son compatibles cuando se pueden verificar a la vez.

Ejemplo 7. A = {2, 4, 6} B = {número menor que 5}, los sucesos A y B son compatibles.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden realizarse a la vez.

Ejemplo 8. A = {2, 3, 4} B = {1, 5}, los sucesos A y B son incompatibles.

1.4 Operaciones con sucesos

A veces es necesario operar con los sucesos de un experimento aleatorio para obtener nuevos sucesos a partir de ellos.

Inclusión: Se dice que un suceso A está contenido en un suceso B, BA , si siempre que se verifica A también se verifica B.


Ejemplo 9.

Lanzamos un dado y consideramos los sucesos A = {salir el 2} y B = {salir un número

par}. Se tiene que A B puesto que si obtenemos el 2, éste resultado es un número par y por lo tanto ocurre el suceso B.

Igualdad: Dos sucesos A y B son iguales si y sólo si se da la inclusión en ambos sentidos, es decir:

ABy BABA

Ejemplo 10.

En el lanzamiento del dado los sucesos A = {salir el 2} y B = {salir un número primo par} son sucesos iguales pues el único primo par es el 2.

Unión: Lamamos suceso unión, BA , al suceso que se produce si se verifica por lo menos uno de los dos. Es decir, se verifica A o B o también podrían darse ambos al mismo tiempo.

Ejemplo 11.

Consideramos los sucesos A = {salir número par} y B = {salir número primo menor que 4}. El suceso BA comprendería todos los pares junto con los primos menores que 4, es decir: A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3} y BA = {1, 2, 3, 4, 6}.

Intersección: Se llama suceso intersección, BA , al suceso que se produce si se verifican A y B a la vez.

Ejemplo 12.

Tomando los sucesos A y B del ejemplo anterior se tiene que, cuando sale el número 2, ocurre A pues es un número par y también sucede B ya que el 2 es menor que 4 y es primo. Este es el único resultado con el que se dan A y B simultáneamente, luego el suceso intersección viene representado por el conjunto BA = {2}.

OBSERVACIÓN: Al escribir la unión de varios sucesos los elementos de la intersección los consideraremos una sola vez.

Diferencia de sucesos: El suceso diferencia de los sucesos A y B, denotado B-A , consiste en que se ha producido A y no se ha producido B.

Ejemplo 13.

Continuando con los sucesos A y B mencionados, se tiene que el suceso A - B corresponde a la parte de A que no está en B, por tanto: A - B = {4, 6}.

OBSERVACIÓN: Se tiene que A-E=A y BA=B-A . Las operaciones con sucesos definidas anteriormente pueden representarse gráficamente de la forma:

BA

A B

BA

A B

A - B

A B A

A-E=A .


2 PROBABILIDAD

La probabilidad mide las posibilidades de que se verifique cada uno de los posibles resultados en un experimento aleatorio. Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

2.1 Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios simples

Diremos que un experimento aleatorio es simple cuando se realiza una sola acción (lanzar un dado, lanzar una moneda, extraer una carta de una baraja), para el cálculo de probabilidades en este tipo de experimentos utilizaremos la regla de Laplace.

2.1.1 Regla de Laplace

La regla de Laplace establece que en un experimento aleatorio simple, en el que todos los sucesos tienen la misma posibilidad de producirse (sucesos equiprobables), la probabilidad de que se presente un suceso determinado es: “La probabilidad de un suceso es igual al número de casos elementales favorables al suceso, dividido por el número de casos posibles del experimento”

Ejemplo 14.

En el experimento aleatorio “lanzar un dado”, la probabilidad del suceso A = {salir

número par} es: 0'52

1

6

3 P(A)

posibles" números "6

pares" números "3 P(A)

2.1.2 Propiedades de la probabilidad.

1. La probabilidad del suceso seguro (espacio total, E) es 1 y la del suceso imposible es 0:

1P(E) ; 0=)P(

2. El valor de la probabilidad de un suceso siempre se encuentra entre 0 y 1:

1P(A)0

3. Para el contrario de un suceso se cumple: P(A)-1=)AP(

4. Si dos sucesos son compatibles , la probabilidad de su unión es:

P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

posibles casos de Nº

Asuceso al favorables casos de Nº P(A)


Ejemplo 15.

Tenemos una urna con bolas numeradas del 0 al 9, y consideramos el experimento aleatorio “extraer una bola al azar y anotar el número”. Calcula las siguientes probabilidades:

P (sacar número 6 ) 0'110

1 P(sacar número par) 0'5

2

1

10

5

P(sacar número mayor que 4) 0'52

1

10

5

P(sacar número menor o igual que 7) 0'85

4

10

8

2.2 Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios compuestos

Aquellos experimentos en los que realizamos más de una acción, por ejemplo, lanzar dos veces el dado, extraer dos bolas de una urna…; se denominan experimentos compuestos. Un experimento compuesto, por tanto, está formado por varios experimentos simples. Para representar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio compuesto se utilizan los diagramas de árbol. Cada “rama” del diagrama de árbol corresponde a un resultado del experimento simple, con su correspondiente probabilidad, calculada utilizando la regla de Laplace. La suma de las probabilidades de las ramas que salen del mismo punto deben sumar 1.

Ejemplo 16.

Consideramos el experimento aleatorio que consiste en lazar una moneda al aire dos veces. Construye el diagrama de árbol que refleja todos los resultados posibles.

E = {CC, CX, XC, XX}

Para calcular la probabilidad de de un suceso asociado a un experimento compuesto utilizaremos la regla del producto y la regla de la suma.

La regla del producto dice que la probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que la forman.

La regla de la suma dice que la probabilidad de un suceso al que puede llegarse por varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos.

Ejemplo 17.

Dado el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de una moneda dos veces, calcula la probabilidad de los sucesos A = {Obtener dos caras} y B = {Obtener una cara y una cruz}:


P (Obtener dos caras) = 0'254

1

2

1

2

1

P (Obtener una cara y una cruz) = 0'52

1

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Ejemplo 18.

De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras, se extraen sucesivamente 2 bolas. Construye el diagrama de árbol que refleja todos los resultados posibles y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que las dos sean negras. b) Que la primera se roja y la segunda negra. c) Que sean de distinto color. d) Que sean del mismo color.

a) P(Dos bolas negras) =

0'1191

10

13

4

14

5

b) P(Primera roja y segunda

negra) = 0'25182

45

13

5

14

9

c) P(Distinto color) =

0'4991

45

13

9

14

5

13

5

14

9

d) P(Mismo color) =

0'5191

46

13

4

14

5

13

8

14

9

3 PROBABILIDAD CONDICIONADA

Cuando se desarrolla un experimento aleatorio, algunos sucesos se relacionan de modo que el conocimiento de la realización de uno de ellos interviene en la obtención de otro suceso y por tanto influye en su probabilidad. Supongamos un suceso A de probabilidad no nula y otro suceso cualquiera B. Llamamos probabilidad de B condicionada al suceso A, y se representa por P(B/A), al número definido por el cociente:

P(A)

B)P(AP(B/A)


Ejemplo 19.

Se lanzan dos dados al aire y se sabe que el resultado total de puntos ha sido 8. Queremos calcular la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido el número 5. Primero daremos nombre a los sucesos que intervienen, llamaremos:

A = {la suma de puntos es 8} B = {en algún dado sale el 5} Estamos buscando la probabilidad del suceso B pero no como tal sino condicionada a un suceso que sabemos que ha ocurrido y del cual conocemos su probabilidad que es el suceso A; en realidad nos preguntamos por la probabilidad de que en algún dado haya salido el 5 si el resultado ha sido de 8 puntos, es decir, P(B/A). Escribiremos todos los pares de puntos que corresponden a cada uno de nuestros sucesos:

A = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}

B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)}

Necesitamos también el suceso intersección: BA = {(3,5), (5,3)}

Para calcular la probabilidad que buscamos tenemos que hallar primero las probabilidades de los sucesos A y BA ; lo haremos utilizando la definición de Laplace. La cantidad de resultados posibles en el lanzamiento de dos dados es de 36, por tanto:

36

5P(A)

36

2B)P(A Entonces:

5

2

36

536

2

P(A)

B)P(AP(B/A)

La probabilidad del suceso B como tal, sin estar condicionado a otro suceso, sería simplemente la probabilidad de que al lanzar dos dados por lo menos en uno de ellos

salga el 5, que es 36

11P(B)

La definición de probabilidad condicionada da lugar a otro tipo de sucesos: Sucesos Independientes: Dos sucesos A y B se dice que son independientes cuando la

realización de uno de ellos no condiciona la del otro. Esto significa que )B(P)A/B(P y que

)A(P)B/A(P . En caso contrario se dice que los sucesos son dependientes

Ejemplo 20.

Si tiramos una moneda al aire varias veces, el resultado obtenido en un lanzamiento no influye en el resultado de los restantes. Podemos decir que la condición necesaria y suficiente para que dos sucesos A y B sean independientes es que la probabilidad de su intersección coincida con el producto de sus probabilidades:

A y B son independientes P(B)P(A)B)P(A

Utilizando esto para relacionar sucesos incompatibles y sucesos independientes se tiene que si A y B, no imposibles, son dos sucesos incompatibles entonces A y B no pueden ser independientes ya que por la incompatibilidad se tendría =BA , luego su

probabilidad P( BA ) = 0, mientras que como P(A) y P(B) son no nulos, su producto


P(A)·P(B) 0; por tanto al no cumplirse la igualdad entre el producto de las probabilidades y la probabilidad de la intersección y ser la condición anterior necesaria y suficiente es deduce que los sucesos no son independientes.

OBSERVACIONES: 1. Dado un suceso fijo A, esta función que asocia a cualquier suceso B el número )A/B(P

cumple:

)A/B(P1)A/B(P

Ejemplo 21.

Consideremos el ejemplo 19, y queremos calcular la probabilidad del suceso C = {en ninguno de los dados ha salido el número 5}, sabiendo que el resultado suma un total de 8 puntos.

Podríamos seguir los mismos pasos, es decir, escribir ahora todos los pares en los que no aparece el número 5 para obtener el suceso C y calcular las probabilidades necesarias; pero el conjunto de pares que comprende C es muy grande y nos resulta más sencillo hallar su complementario que es:

C = {en algún dado sale el 5} (es el suceso denotado antes por B)

Utilizaremos pues el suceso contrario de C para calcular la probabilidad buscada. Así:

5

3

5

21)A/C(P1)A/C(P

2. De la definición se deduce la siguiente igualdad para la intersección de dos sucesos:

)A/B(P)A(P)BA(P

siendo A el suceso que condiciona, es decir, la probabilidad de la intersección es el producto de la probabilidad del suceso que condiciona por la probabilidad condicional correspondiente. Por tanto, en caso de conocer las probabilidades condicionadas a B, escribiremos:

B)P(A / P(B)B)P(A

Ejemplo 22.

Tenemos una urna con 4 bolas verdes y 3 amarillas. Se realizan dos extracciones sin reemplazamiento, o lo que es lo mismo, sacamos una bola y sin devolverla sacamos una segunda bola. Calcula la probabilidad de que la primera bola sea amarilla y la segunda bola sea verde

Denotamos por: A = {salir 1ª bola amarilla} B = {salir 2ª bola verde} Nos interesamos por el suceso “1ª amarilla y 2ª verde”; con esta notación podemos escribir este suceso como intersección de dos sucesos, BA . Tenemos que calcular B)(A P

total: 7 bolas

3 amar.

4 verd.

1ª bola 2ª bola


Entonces: 7

2

3

2

7

3P(B/A)P(A)B)P(A

7

3P(A) puesto que hay un total de 7 bolas y de ellas 3 son amarillas

3

2

6

4 / A)P(B ya que en la urna tenemos ahora una bola menos por realizarse

extracciones sin reemplazamiento y el número de bolas verdes es de 4, pues la anterior ha sido amarilla

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MATEMÁTICAS DE 4º ESPA/ESPAD