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DepartamentodeTecnologíaElectrónicaeIngenieríadeSistemasyAutomáca
JoséRamónLlataGarcíaEstherGonzálezSarabiaDámasoFernándezPérezCarlosTorreFerrero
MaríaSandraRoblaGómez
Capítulo4.RespuestadeRégimenTransitorio
Automáca
Respuesta de Régimen Transitorio
4 Respuesta de Régimen Transitorio
4.1. INTRODUCCIÓN
Como se ha indicado previamente, la respuesta de un sistema dinámico estable, ante una señal de entrada limitada en amplitud, presenta dos zonas claramente diferentes. El capítulo anterior se enfocaba hacia la primera de ellas, el régimen permanente. Esto es, la zona de la respuesta en la que las señales se han estabilizado, de forma que toman valores constantes o crecimientos sostenidos. Este capítulo, por el contrario, se centra en la zona inmediatamente posterior a la introducción de la señal de entrada y donde, debido a esta entrada, se producirá una evolución de las diferentes señales del sistema hasta un nuevo estado. A esta zona se la denomina como "régimen transitorio" o "régimen dinámico".
Con objeto de comparar las características de los diferentes sistemas de control, se analiza el comportamiento de éstos ante señales típicas de prueba, tales como impulso, escalón y rampa. Además, es importante señalar que, básicamente, la respuesta de todos los sistemas dinámicos lineales puede dividirse en tres grandes grupos: sistemas de primer orden, sistemas de segundo orden y sistemas de orden superior, y que este último se puede obtener como agregación de los dos anteriores.
1
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
4.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
La función de transferencia de un sistema de primer orden tiene la forma siguiente:
1Ts
K)s(G
Donde: T: Constante de tiempo del sistema. K: Ganancia del sistema en estado estacionario.
4.2.1. Respuesta al impulso:
T1sT
K·
1Ts
K)s()·s(G)s(Y
T
t
eT
K)t(y
Valor inicial: T
Ke
T
K)0(y 0
Valor final: 0eT
K)(y
4.2.2. Respuesta al escalón unitario:
)T1s(s
T1
Ks
1
1Ts
K)s(U)·s(G)s(Y
Tiempo
Respuesta al impulso
0 T 2T 3T 4T 5T0
K/T
2
Respuesta de Régimen Transitorio
T1s
1
s
1K)s(Y
Tomando transformadas inversas de Laplace se tendrá:
T
t
e1K)t(y
Valor inicial: 0)e1(K)0(y 0
Valor final: K)e1(K)(y
Cuando t=T se alcanza el 63.2% del valor final de la respuesta:
K632.0)e1(K)T(y 1
Luego cuanto menor sea la constante de tiempo del sistema T, más rápido es el sistema.
4.2.3. Respuesta a la rampa.
)T1s(s
T1
Ks
1
1Ts
K)s(R)·s(G)s(Y
22
T1s
T
s
T
s
1K)s(Y
2
Tiempo
Respuesta al escalón
0 T 2T 3T 4T 5T
K
3
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Tomando transformadas inversas de Laplace se tendrá:
T
t
TeTtK)t(y
EJEMPLO 4.1.
A un sistema cuya función de transferencia de lazo cerrado es M s)s
( 1
1 se le aplica una
entrada como la de la figura:
Calcular y dibujar, de forma aproximada, la salida.
En t=0 sea aplica una entrada escalón unitario:
s
1)s(R1)t(r
Tiempo
Respuesta a la rampa
0 T 2T 3T 4T0
4
Respuesta de Régimen Transitorio
)1s(s
1)s(Y
1s
1
)s(R
)s(Y)s(M
te1)t(y
Para t= 1 segundo: y e( ) .1 1 0 6321
En t= 1 segundo la entrada es de un escalón de amplitud -2:
s
2)s(R2)t(r
1s
B
s
A
)1s(s
2)s(Y
2B2A
te12)t(y
Para t = 2 segundos: y e( ) . .2 0 632 2 1 0 6321
En t = 2 segundos la entrada es un escalón de amplitud +2:
s
2)s(R2)t(r
te12)t(y
Para t = 3 segundos: 632.0e12632.0)3(y 1
0 1 2 3 4 5
-1
-0.632
0
0.632
1
5
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
4.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Forma canónica de un sistema de segundo orden:
n2
n2
n2
wsw2s
w)s(G
Ecuación característica:
0wsw2s n2
n2
1wws 2nn2,1
2nn2,1 1jwws
Frecuencia natural amortiguada: 2
nd 1ww
dn2,1 jwws
4.3.1. Sistema no amortiguado ( 0 )
Formado por dos polos imaginarios puros:
n2,1 jws
jw
Re
2n
2
n2
nn
n2
ws
w
)jws)(jws(
w)s(G
Respuesta a un escalón unidad:
s)ws(
w)s(Y
2n
2
n2
2n
2 ws
NMs
s
A)s(Y
6
Respuesta de Régimen Transitorio
A=1; M=-1; N=0
2n
2 ws
s
s
1)s(Y
)tW(Cos1)t(y n
EJEMPLO 4.2.
Para el sistema mostrado en la figura obtener la respuesta ante un escalón unitario.
L
C
R
i VoVi
Suponiendo: 0R y F1C ;Hr1L
n2
n2
n2
i
0
wsw2s
w
)s(V
)s(V
LC1wn ; L4CR
Suponiendo: 0R y F1C ;Hr1L
1wn ; 0
1s
1
)s(V
)s(V2
i
0
;
1s
s
s
1
s)1s(
1)s(V
220
)t(Cos1)t(vo
7
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJEMPLO 4.3.
Calcular la respuesta del sistema ante un escalón unitario suponiendo:
)s/m/(N0f y m/N1k ;Kg25.0M .
k F
x
Mf
n2
n2
n2
wsw2s
wC
)s(F
)s(X
Mkwn ; k4Mf ; k/1C
2wn ; 0 ; 1C
4s
4
)s(F
)s(X2
Escalón unitario: s
1)s(F
4s
s
s
1
s)4s(
4)s(X
22
)t2(Cos1)t(vo
8
Respuesta de Régimen Transitorio
4.3.2. Sistema subamortiguado ( 10 )
Formado por dos polos complejos conjugados.
2nn2,1 1jwws
n1 ws ;
21
arctg
jw
Rewn wd
s1
s2
)arccos(
Respuesta a un escalón unidad:
s)wsw2s(
w)s(Y
n2
n2
n2
twsene1
11)t(y d
tw
2n
twsene1
11)t(y d
tw
2n
1- e-w tn
21-
1+ e-w tn
21-
1+21-
1
1-21-
1
9
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJEMPLO 4.4.
Calcular la respuesta del sistema de la figura al escalón unitario suponiendo:
6.0R y F1C ;Hr1L
L
C
R
i VoVi
n2
n2
n2
i
0
wsw2s
w
)s(V
)s(V
LC1wn ; L4CR
1wn ; 3.0
1s6.0s
1
)s(V
)s(V2
i
0
Escaló unitario: s
1)s(Vi
s)1s6.0s(
1)s(V
20
54.72t954.0sene3.01
11)t(v t3.0
20
10
Respuesta de Régimen Transitorio
EJEMPLO 4.5.
Calcular la respuesta del sistema de la figura ante un escalón unitario suponiendo:
)s/m/(N125.0f y m/N1k ;Kg25.0M
k F
x
Mf
n2
n2
n2
wsw2s
wC
)s(F
)s(X
Mkwn ; )Mk2(f ; k/1C
2wn ; 125.0 ; 1C
4s5.0s
4
)s(F
)s(X2
Escalón unitario: s
1)s(F
s)4s5.0s(
4)s(X
2
81.82t98.1sene125.01
11)t(x t25.0
2
11
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
4.3.3. Sistema con amortiguamiento crítico ( 1 )
Formado por un polo real doble.
n2,1 ws
jw
Res1s2
2n
n2
nn
n2
)ws(
w
)ws)(ws(
w)s(G
Respuesta a un escalón unidad:
s)ws(
w)s(Y
2n
n2
)ws(
C
)ws(
B
s
A)s(Y
n2
n
1C ;wB 1;A n
)ws(
11
)ws(
w
s
1)s(Y
n2
n
n
twtwn
nn ee tw1)t(y
twn
ne)tw1(1)t(y
12
Respuesta de Régimen Transitorio
EJEMPLO 4.6.
Calcular la respuesta del sistema de la figura ante un escalón unitario suponiendo:
2R y F1C ;Hr1L
L
C
R
i VoVi
n2
n2
n2
i
0
wsw2s
w
)s(V
)s(V
LC1wn ; L4CR
1wn ; 1
2i
0
1s
1
)s(V
)s(V
Escalón unitario: s
1)s(Vi
s1s
1)s(V
20
t0 e)t1(1)t(v
13
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJEMPLO 4.7.
Calcular la respuesta del sistema de la figura ante un escalón unitario suponiendo:
)s/m/(N1f y m/N1k ;Kg25.0M
k F
x
Mf
n2
n2
n2
wsw2s
wC
)s(F
)s(X
Mkwn ; )Mk2(f ; k/1C
2wn ; 1 ; 1C
24s
4
)s(F
)s(X
Entrada escalón: s
1)s(F
s4s
4)s(X
2
t2e)t21(1)t(x
14
Respuesta de Régimen Transitorio
4.3.4. Sistema sobreamortiguado ( 1 )
Formado por dos polo reales.
2nn2,1 1jwws
1wws 2nn2,1
jw
Res1 s2
)ss)(ss(
w)s(G
21
n2
Respuesta a un escalón unidad:
s)ss)(ss(
w)s(Y
21
n2
2
ts
1
ts
2
n
s
e
s
e
12
w1)t(y
21
Si >>1 21 ss
)ss(
s)s(G
2
2
;
)ss(s
s)s(Y
2
2
ts2e1)t(y
15
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJEMPLO 4.8.
Calcular la respuesta del sistema ante un escalón unitario suponiendo:
4R y F1C ;Hr1L
L
C
R
i VoVi
n2
n2
n2
i
0
wsw2s
w
)s(V
)s(V
LC1wn ; L4CR
1wn ; 2
)26.0s)(73.3s(
1
1s4s
1
)s(V
)s(V2
i
0
Entrada escalón unitario: s
1)s(Vi
s)26.0s)(73.3s(
1)s(V0
t26.0t73.30 e07.1e0773.01)t(v
t26.00 e1)t(v
16
Respuesta de Régimen Transitorio
EJEMPLO 4.9.
Calcular la respuesta del sistema mostrado en la figura suponiendo:
)s/m/(N4f y m/N1k ;Kg25.0M
k F
x
Mf
n2
n2
n2
wsw2s
wC
)s(F
)s(X
Mkwn ; )Mk2(f ; k/1C
2wn ; 4 ; 1C
)25.0s)(74.15s(
4
4s16s
4
)s(V
)s(V2
i
0
s)25.0s)(74.15s(
4)s(V0
t254.0t74.150 e01.1e0163.01)t(v
t254.00 e1)t(v
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Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
4.3.5. Especificaciones de la respuesta transitoria
Las características de la respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario son:
- Tiempo de retardo td: Tiempo necesario para alcanzar el 50% del valor final de la respuesta.
- Tiempo de subida tr : Tiempo necesario para que la respuesta pase del 0 al 100%, del 10 al 90%, o del 5 al 95% del valor final. Para sistemas sobreamortiguados suele usarse del 10 al 90%. Para sistemas subamortiguados del 0 al 100%.
drt
- Tiempo de pico tp: Tiempo necesario para que la respuesta alcance el valor máximo.
dpt
- Tiempo de establecimiento ts : Tiempo necesario para que la respuesta se estabilice dentro de un margen del 2 al 5% del
valor final.
nst
- Máximo sobreimpulso Mp: Valor máximo de la respuesta en tanto por ciento del valor final.
y
y)t(y(%)M p
p
21p e100(%)M
Tiempo00
0.5yp
yp
Mp
td tr tp ts
+5%
-5%
18