Upload
lekhanh
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Autoreferat
1. Imi¦ i nazwisko: Zbigniew Walczak
2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe:
• magister �zyki w zakresie �zyki teoretycznej
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu �ódzkiego, 1993
O q-deformacji równa« Hamiltona
• doktor nauk �zycznych w zakresie �zyki
Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu �ódzkiego, 1998
Niealgebraiczne podej±cie do problemu quasi-dokªadnej rozwi¡zywalno±ci
3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych:
• Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu �ódzkiego, 1998�2007
• Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu �ódzkiego, od 2007 roku
4. Wskazanie osi¡gni¦cia wynikaj¡cego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r.
o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki
(Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.):
Jako prac¦ habilitacyjn¡ przedstawiam jednotematyczny cykl pi¦ciu publikacji [1, 2, 3,
4, 5] zatytuªowany
Teorioinformacyjne podej±cie do problemu klasycznych i kwantowych
korelacji obecnych w mieszanych stanach kwantowych
• Z. Walczak, Total correlations and mutual information, Physics Letters A 373
(2009), 1818.
• Z. Walczak, Comment on �Quantum correlation without classical correlations�,
Physical Review Letters 104 (2010), 068901.
• Z. Walczak, Information-theoretic approach to the problem of detection of genuine
multipartite classical correlations, Physics Letters A 374 (2010), 3999.
• M. Okrasa, Z. Walczak, Quantum discord and multipartite correlations,
Europhysics Letters 96 (2011), 60003.
• M. Okrasa, Z. Walczak, On two-qubit states ordering with quantum discords,
Europhysics Letters 98 (2012), 40003.
1
1 Wprowadzenie
W kwantowej teorii informacji od ponad dwóch dekad prowadzone s¡ intensywne
badania teoretyczne i eksperymentalne dotycz¡ce klasycznych i kwantowych korelacji
obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych ukªadach kwantowych (patrz
artykuªy przegl¡dowe [6, 7, 8]). Przez niemal dwadzie±cia lat w tej dziedzinie bada«
dominowaª paradygmat Wernera [9], oparty na dychotomii mi¦dzy spl¡taniem a
separowalno±ci¡, w którym jedynym rodzajem korelacji kwantowych jest spl¡tanie
kwantowe [6]. Jednak»e stopniowo staªo si¦ jasne, »e paradygmat Wernera jest zbyt
ograniczony i wymaga zmiany, poniewa» okazaªo si¦, wbrew powszechnej intuicji, »e
pewnego rodzaju nieklasyczne korelacje s¡ obecne równie» w separowalnych stanach
mieszanych [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].
Pierwsze kroki w kierunku zmiany paradygmatu Wernera zostaªy poczynione przez
Olliviera i �urka [17], którzy wprowadzili do kwantowej teorii informacji poj¦cie
dysonansu kwantowego (ang. quantum discord) jako miary nieklasycznych korelacji
obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych.
Niezale»nie od Olliviera i �urka, w podobny sposób do zmiany paradygmatu
Wernera podeszli Henderson i Vedral [18] badaj¡c problem wspóªistnienia klasycznych
i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych.
Zainteresowanie paradygmatem Olliviera��urka gwaªtownie wzrosªo1 po tym, jak
odkryto [19, 20], »e dysonans kwantowy mo»e by¢ odpowiedzialny za niezwykª¡
efektywno±¢ obliczeniow¡ algorytmu Knilla�La�ammea [10].
Badaj¡c ewolucj¦ unitarn¡ ukªadów zªo»onych pokazano, »e je±li pocz¡tkowo dwa
podukªady s¡ w stanie o zerowym dysonansie kwantowym, to wówczas dynamika
podukªadu jest caªkowicie dodatnia [21, 22]. Odkryto równie», »e losowo wybrany
stan kwantowy ma w ogólno±ci niezerowy dysonans kwantowy, a dowolnie maªe
zaburzenie stanu o zerowym dysonansie kwantowym powoduje generowanie dysonansu
kwantowego [23]. Ponadto pokazano, »e stanów kwantowych o niezerowym dysonansie
nie mo»na lokalnie rozgªasza¢ [24]. Warto podkre±li¢, i» pomimo tego, »e w
przypadku czystych stanów spl¡tanych korelacje kwantowe ograniczaj¡ si¦ jedynie
do spl¡tania kwantowego2, to w przypadku mieszanych stanów spl¡tanych nie
ma prostej zale»no±ci mi¦dzy spl¡taniem kwantowym a dysonansem kwantowym3
[25, 26, 27, 28, 29]. Pokazano te», »e dynamika dysonansu kwantowego jest
zdecydowanie odmienna od dynamiki spl¡tania kwantowego [30, 31, 32, 33, 34, 35, 36].
Niedawno podano operacyjn¡ interpretacj¦ dysonansu kwantowego [37, 38], jak równie»
dokonano znacznego post¦pu w zrozumieniu relacji ª¡cz¡cych dysonans kwantowy z
1Do 2008 roku artykuª [17] byª cytowany 29 razy, a od 2008 roku 505 razy (wedªug bazy Web of
Science).2W tym przypadku dysonans kwantowy jest równy spl¡taniu kwantowemu.3W ogólno±ci dysonans kwantowy nie musi by¢ wi¦kszy od spl¡tania kwantowego.
2
nieodwracalno±ci¡ spl¡tania kwantowego [39], destylowalnym spl¡taniem kwantowym
[40] i rozproszonym spl¡taniem kwantowym [41, 42, 43]. Wykazano równie», »e dysonans
kwantowy, podobnie jak spl¡tanie kwantowe, nie jest monogamiczny [44, 45] i »e,
podobnie jak w przypadku spl¡tania kwantowego, mo»liwe jest wprowadzenie poj¦cia
±wiadka dysonansu kwantowego [46, 47].
Niestety, wyznaczenie dysonansu kwantowego wymaga na ogóª zastosowania
skomplikowanej procedury optymalizacyjnej, dlatego analityczn¡ posta¢ dysonansu
kwantowego znamy jedynie w przypadku dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie
Bella [25], siedmioparametrowej klasy dwuqubitowych stanów X [26], dwumodowych
stanów Gaussa [48, 49], dwuqubitowych stanów o niezerowych równolegªych
wektorach Blocha [50], dwuquditowych stanów Wernera [51] i dwuquditowych stanów
izotropowych [51].
Z tego powodu Daki¢, Vedral i Brukner [52] wprowadzili do kwantowej teorii
informacji poj¦cie geometrycznego dysonansu kwantowego (ang. geometric measure
of quantum discord albo quantum discord) jako alternatywnej wobec dysonansu
kwantowego miary korelacji kwantowych obecnych w dwuskªadnikowych stanach
kwantowych. Dzi¦ki temu, »e wyznaczenie geometrycznego dysonansu kwantowego
wymaga zastosowania prostszej procedury optymalizacyjnej ni» byªo to w przypadku
dysonansu kwantowego, znamy analityczn¡ posta¢ geometrycznego dysonansu
kwantowego w przypadku dowolnych dwuqubitowych stanów kwantowych [52], jak
równie» w przypadku dowolnych stanów kwantowych ukªadu zªo»onego z qubitu i
quditu [53, 54].
Podobnie jak dysonans kwantowy, geometryczny dysonans kwantowy staª si¦
przedmiotem intensywnych bada« [8]. W szczególno±ci sprawdzono [52], czy
geometryczny dysonans kwantowy mo»e by¢ odpowiedzialny za niezwykª¡ efektywno±¢
algorytmu Knilla�La�ammea [10]. Zbadano równie» dynamik¦ geometrycznego
dysonansu kwantowego [55, 56, 57, 58, 59, 60] oraz zale»no±ci pomi¦dzy geometrycznym
dysonansem kwantowym a innymi miarami nieklasycznych korelacji [61, 27, 62, 63, 64].
Celem przedstawionego cyklu prac [1, 2, 3, 4, 5] jest analiza teorioinformacyjnych
aspektów klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych i
wieloskªadnikowych stanach kwantowych.
2 Korelacje kwantowe bez korelacji klasycznych
W pracy [65] pokazano, »e w ukªadzie zªo»onym z nieparzystej liczby qubitów n ≥ 3
w stanie ρ12...n = 12(|W ⟩⟨W | + |W̄ ⟩⟨W̄ |), gdzie |W ⟩ = 1√
n(|00 . . . 01⟩ + |00 . . . 10⟩ +
· · · + |10 . . . 00⟩) i |W̄ ⟩ = 1√n(|11 . . . 10⟩ + |11 . . . 01⟩ + · · · + |01 . . . 11⟩) obecne s¡
n-skªadnikowe korelacje kwantowe, rozumiane jako spl¡tanie kwantowe, a ponadto
wszystkie kowariancje Cov(X1, . . . , Xn) = ⟨(X1 − ⟨X1⟩) ⊗ · · · ⊗ (Xn − ⟨Xn⟩)⟩ dla
3
bez±ladowych obserwabli X1, . . . , Xn s¡ równe zeru.
Wedªug autorów pracy [65], je±li dla pewnego wyboru obserwabli X1, . . . , Xn
kowariancja Cov(X1, . . . , Xn) jest niezerowa, wówczas w n-qubitowym stanie
kwantowym s¡ obecne n-skªadnikowe korelacje klasyczne. Ponadto, je±li dla
wszystkich mo»liwych wyborów obserwabli kowariancja jest zerowa, wówczas w
n-qubitowym stanie kwantowym nie ma n-skªadnikowych korelacji klasycznych.
U»ywaj¡c powy»szego stwierdzenia jako kryterium nieistnienia n-skªadnikowych
korelacji klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym doszli oni do bª¦dnego
wniosku, »e w stanie ρ12...n s¡ obecne jedynie n-skªadnikowe korelacje kwantowe.
Jak wiadomo, je±li wyniki pomiarów obserwabli X1, . . . , Xn s¡ niezale»ne, wówczas
kowariancja Cov(X1, . . . , Xn) = 0. Jednak przeciwne stwierdzenie nie musi by¢
koniecznie prawdziwe � zerowanie si¦ kowariancji nie musi implikowa¢ niezale»no±ci
wyników pomiarów. Oznacza to, »e kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji
klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym, które zastosowano w pracy [65] jest
kryterium koniecznym nieistnienia takich korelacji, a nie kryterium wystarczaj¡cym.
W pracy [2] pokazaªem, »e w stanie ρ12...n istniej¡ n-skªadnikowe korelacje klasyczne,
pomimo zerowania si¦ wszystkich kowariancji Cov(X1, . . . , Xn).
Zaªó»my, »e X1 = X2 = · · · = Xn−1 = Xn = σz. Prawdopodobie«stwo tego, »e
wynik pomiaru obserwabli Xi jest równy ±1 wynosi p(Xi = ±1) = Tr[12(I±σz)ρi] =
12,
gdzie ρi =12I jest stanem i-tego qubitu. Z drugiej strony, ª¡czne prawdopodobie«stwo
tego, »e wynik pomiaru obserwabli X1, X2, . . . , Xn−1, Xn jest równy 1, 1, . . . , 1, 1
wynosi p(X1 = 1, X2 = 1, . . . , Xn−1 = 1, Xn = 1) = Tr[2−n(I + σz)⊗nρ12...n] =
Tr[|0⟩⟨0|⊗nρ12...n] = 0. Zatem wyniki pomiarów bez±ladowych obserwabliX1 = σz, X2 =
σz, · · · , Xn−1 = σz, Xn = σz nie s¡ niezale»ne pomimo tego, »e Cov(X1, . . . , Xn) = 0.
A to oznacza, »e w przeciwie«stwie do tego, co zostaªo zasugerowane w pracy [65] w
n-qubitowym stanie ρ12...n nie s¡ obecne jedynie n-skªadnikowe korelacje kwantowe,
rozumiane jako spl¡tanie kwantowe.
W tym kontek±cie warto wymieni¢ prac¦ [66], w której przedstawiono podej±cie
aksjomatyczne do problemu wspóªistnienia korelacji klasycznych i kwantowych
w wieloskªadnikowych stanach kwantowych. W ramach tego podej±cia pokazano,
»e zerowanie si¦ kowariancji nie mo»e by¢ wyznacznikiem nieistnienia korelacji
klasycznych w tego rodzaju stanach, co przemawia na korzy±¢ tego wyboru aksjomatów.
3 Korelacje klasyczne w wieloskªadnikowych stanach kwantowych
Praca [65] staªa si¦ punktem wyj±cia do sformuªowania, w j¦zyku klasycznej
teorii informacji, niezawodnego kryterium nieistnienia korelacji klasycznych w
wieloskªadnikowych stanach kwantowych [3].
Zauwa»my, »e z punktu widzenia autorów pracy [65] korelacje klasyczne obecne w
4
n-qubitowym stanie kwantowym ρ12...n musz¡ mie¢ zwi¡zek z pomiarami obserwabli
X1, . . . , Xn i dlatego ich zdaniem s¡ korelacjami mi¦dzy zmiennymi losowymi
odpowiadaj¡cymi pomiarom tych obserwabli � podobne podej±cie do problemu
zde�niowania czym s¡ korelacje klasyczne obecne w stanach kwantowych zostaªo
zaprezentowane równie» w pracy [24].
Dla uproszczenia, ale bez straty ogólno±ci, w pracy [3] rozwa»yªem ukªad trzech
spinów 1/2 w stanie ρABC , zakªadaj¡c jednocze±nie, »e mierzone s¡ rzuty spinów A, B
i C odpowiednio na kierunki wyznaczone przez wektory jednostkowe a, b i c � pomiar
rzutu spinu (w jednostkach ~/2) na kierunek n odpowiada pomiarowi von Neumanna
obserwabli Sn = n · σ, gdzie σ = (σx, σy, σz).
Nast¦pnie pokazaªem, »e pomiarom obserwabli Sa, Sb i Sc w stanie ρABC
odpowiadaj¡ binarne zmienne losowe A, B i C � przyjmuj¡ce warto±ci a = {1,−1},b = {1,−1} i c = {1,−1} � o rozkªadach prawdopodobie«stwa pA = [p(a)],
pB = [p(b)] i pC = [p(c)], gdzie p(a) = Tr[12(I + aSa)ρA], p(b) = Tr[1
2(I + bSb)ρB]
i p(c) = Tr[12(I + cSc)ρC ].
W klasycznej teorii informacji miar¡ zale»no±ci dyskretnych zmiennych losowych
A i B albo ich redundancji jest informacja wzajemna I(A : B) (równanie (8) w
[3]), poniewa» I(A : B) ≥ 0, a równo±¢ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A i B
s¡ niezale»ne [67]. Dlatego zerowanie si¦ informacji wzajemnej mo»na traktowa¢ jako
teorioinformacyjne kryterium niezale»no±ci zmiennych losowych � innymi sªowy, je±li
I(A : B) > 0, wówczas zmienne losowe A i B s¡ skorelowane.
Mogªoby si¦ wydawa¢, »e je±li trzy zmienne losowe s¡ parami niezale»ne, to musz¡
by¢ one koniecznie niezale»ne � jednak jak pokazaªem w pracy [3] nie musi tak by¢,
co ilustruje poni»szy przykªad.
Rozwa»my trzy spiny 1/2 w stanie ϱABC = 14(|↑↑↑⟩ ⟨↑↑↑|+|↑↓↓⟩ ⟨↑↓↓|+|↓↑↓⟩ ⟨↓↑↓|+
|↓↓↑⟩ ⟨↓↓↑|). Wyniki pomiarów obserwabli Sa, Sb i Sc, a co za tym idzie zmienne
losowe A, B i C, s¡ parami niezale»ne dla wszystkich kierunków a, b i c, poniewa»
ϱAB = ϱAC = ϱBC = 12I⊗ 1
2I. Niemniej jednak nie s¡ one niezale»ne, poniewa» je±li a =
b = c = (0, 0, 1), wówczas p(a = 1, b = 1, c = 1) = 14̸= p(a = 1)p(b = 1)p(c = 1) = 1
8.
W pracy [3] pokazaªem równie», »e teorioinformacyjne kryterium niezale»no±ci
dwóch zmiennych losowych mo»na w naturalny sposób rozszerzy¢ na przypadek
trzech zmiennych losowych, je±li we¹miemy pod uwag¦ fakt, »e informacja wzajemna
jest jedynie szczególnym przypadkiem entropii wzgl¦dnej (równanie (9) w [3]) �
informacja wzajemna jest entropi¡ wzgl¦dn¡ ª¡cznego rozkªadu prawdopodobie«stwa
pAB = [p(a, b)] wzgl¦dem iloczynu rozkªadów prawdopodobie«stwa pApB, to znaczy
I(A : B) = D(pAB||pApB).W dalszej cz¦±ci pracy [3] wyja±niªem, dlaczego z punktu widzenia klasycznej teorii
informacji wynika, »e parami niezale»ne zmienne losowe nie musz¡ by¢ koniecznie
niezale»ne, to znaczy dlaczego zerowanie si¦ informacji wzajemnych I(A : B), I(A : C)
5
i I(B : C) jest warunkiem koniecznym, a nie warunkiem wystarczaj¡cym niezale»no±ci
zmiennych losowych A, B i C.
Ponadto wyja±niªem, dlaczego z punktu widzenia klasycznej teorii informacji
zerowanie si¦ informacji wzajemnych I(C : A,B), I(B : A,C) i I(A : B,C) jest
warunkiem koniecznym i wystarczaj¡cym niezale»no±ci zmiennych losowych A, B i C.
Zatem dochodzimy do wniosku, »e (i) w stanie ρABC mog¡ by¢ obecne
trzyskªadnikowe korelacje klasyczne pomimo tego, »e nie ma w nim dwuskªadnikowych
korelacji klasycznych, (ii) stan ρABC jest stanem iloczynowym, to znaczy ρABC =
ρA ⊗ ρB ⊗ ρC , wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich mo»liwych kierunków a, b
i c wyniki pomiarów obserwabli Sa, Sb i Sc nie s¡ skorelowane wzgl¦dem dowolnego
podziaªu ukªadu zªo»onego ABC na dwa podukªady: A : BC, B : AC albo C : AB,
(iii) w stanie ρABC nie ma trzyskªadnikowych korelacji klasycznych wtedy i tylko wtedy,
gdy dla wszystkich mo»liwych kierunków a, b i c wyniki pomiarów obserwabli Sa, Sb
i Sc nie s¡ skorelowane wzgl¦dem jakiego± podziaªu ukªadu zªo»onego ABC na dwa
podukªady.
W tym miejscu warto zauwa»y¢, »e do podobnych wniosków mo»na doj±¢
stosuj¡c podej±cie aksjomatyczne [66], które jest zasadniczo odmienne od podej±cia
teorioinformacyjnego przedstawionego w pracy [3]. Ponadto warto podkre±li¢, »e wyniki
przedstawione w pracy [3] mo»na uogólni¢ na przypadek ukªadów wieloskªadnikowych.
4 Informacja wzajemna jako miara korelacji
W pracy [1] przedstawiªem argumenty przemawiaj¡ce za tym, »e kwantowa informacja
wzajemna nie mo»e by¢ uwa»ana za miar¦ caªkowitych korelacji obecnych w
dwuskªadnikowych stanach kwantowych, poniewa» istniej¡ stany, w przypadku których
kwantowa informacja wzajemna nie uwzgl¦dnia wszystkich aspektów caªkowitych
korelacji.
W pracy [1] pokazaªem, »e istniej¡ klasycznie skorelowane stany kwantowe, w
przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie udziela dobrej odpowiedzi na
pytanie, jak silne s¡ caªkowite korelacje obecne w tych stanach.
Jako przykªad rozwa»yªem ukªad dwóch qubitów w stanie ρAB = α|00⟩⟨00| + (1 −α)|11⟩⟨11|, α ∈ (0, 1) (równanie (5) w [1]), który jest stanem separowalnym [9], a
qubity A i B s¡ w stanie ρA(B) = α|0⟩⟨0| + (1 − α)|1⟩⟨1| b¦d¡cym mieszank¡ stanów
ortogonalnych |0⟩ i |1⟩, co oznacza, »e w stanie ρAB s¡ obecne tylko korelacje klasyczne
[17].
Zauwa»my, »e korelacje klasyczne obecne w stanie ρAB, rozumiane jako korelacje
mi¦dzy dwoma ortogonalnymi stanami qubitów A i B, s¡ w istocie rzeczy korelacjami
mi¦dzy binarnymi zmiennymi losowymi A i B odpowiadaj¡cymi pomiarom von
Neumanna obserwabli MA = a0|0⟩⟨0| + a1|1⟩⟨1| i MB = b0|0⟩⟨0| + b1|1⟩⟨1|, czyli
6
pomiarom stanu qubitu A i B w bazie obliczeniowej � je±li wynikiem pomiaru
obserwabli MA (MB) jest ai (bi), wówczas qubit A (B) jest w stanie |i⟩, a z drugiej
strony ai (bi) s¡ warto±ciami zmiennej losowej A(B) o rozkªadzie prawdopodobie«stwa
pA(B) = [pA(B)i ], gdzie p
A(B)i oznacza prawdopodobie«stwo tego, »e mierz¡c MA (MB)
otrzymamy ai (bi) [1].
ρAB MB BMAA
Nast¦pnie pokazaªem, »e je±li pomiar obserwabli MA poprzedza pomiar obserwabli
MB, to wyniki pomiarów, a co za tym idzie zmienne losowe A i B, s¡ caªkowicie
skorelowane, co ilustruje poni»szy diagram, gdzie pB|Aj|i oznacza prawdopodobie«stwo
tego, »e mierz¡c MB otrzymamy bj, pod warunkiem, »e mierz¡c MA otrzymali±my ai
(patrz równania (6) i (7) w [1]).
pAi
α
1− α
pBj
α
1− α
A
a0 b0
B
a1 b1
1
1
pB|Aj|i
Z drugiej strony pokazaªem, »e w rozwa»anym przypadku informacja wzajemna
I(A : B) (równanie (10) w [1]) mo»e by¢ dowolnie maªa (co ilustruje poni»szy
wykres), pomimo tego, »e zmienne losowe A i B s¡ caªkowicie skorelowane, czyli
kwantowa informacja wzajemna (równanie (9) w [1]), która w tym przypadku jest
równa informacji wzajemnej I(A : B), nie udziela dobrej odpowiedzi na pytanie, jak
silne s¡ korelacje obecne w stanie ρAB = α|00⟩⟨00|+ (1− α)|11⟩⟨11|.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Α
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0IHA:BL
Dzieje si¦ tak dlatego, »e informacja wzajemna I(A : B) jest równa ±redniej ilo±ci
informacji, jak¡ otrzymujemy o wyniku pomiaru obserwabli MB(MA) poznaj¡c wynik
pomiaru obserwabli MA(MB), innymi sªowy informacja wzajemna I(A : B) mówi
nam, ile caªkowicie skorelowanych bitów przypada, ±rednio rzecz bior¡c, na jedn¡ par¦
wyników. Z punktu widzenia teorii informacji mo»e by¢ ona dowolnie maªa, pomimo
tego, »e zmienne losowe A i B s¡ caªkowicie skorelowane. Wynika to z faktu, »e ±rednia
ilo±¢ informacji, jak¡ otrzymujemy poznaj¡c wynik pomiaru obserwabli MA (MB) jest
równa entropii Shannona H(A) (H(B)), która mo»e by¢ dowolnie maªa, a z drugiej
strony I(A : B) ≤ Min(H(A), H(B)).
7
Zatem w naturalny sposób pojawia si¦ pytanie: co z punktu widzenia klasycznej
teorii informacji jest miar¡ siªy korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi A i B?
W przypadku zmiennych losowych A i B o takich samych rozkªadach
prawdopodobie«stwa Cover i Thomas [67] zaproponowali nast¦puj¡c¡ miar¦ siªy
korelacji C(A,B) = I(A : B)/H(A)4 (równanie (11) w [1]).
Zauwa»my, »e w rozwa»anym powy»ej przypadku pA = pB i I(A : B) = H(A) [1],
zatem C(A,B) = 1, czyli A i B s¡ caªkowicie skorelowane dla wszystkich α ∈ (0, 1),
jak pokazali±my poprzednio w jawny sposób.
W dalszej cz¦±ci pracy [1] uogólniªem mar¦ korelacji Covera�Thomasa na przypadek
zmiennych losowych o ró»nych rozkªadach prawdopodobie«stwa.
W tym celu rozwa»yªem ukªad dwóch qutritów w stanie ρAB = 13|11⟩⟨11| +
13|20⟩⟨20| + 1
3|22⟩⟨22| (równanie (12) w [1]), w którym nie ma kwantowych korelacji,
poniewa» jest to stan separowalny [9], a qutrity A i B s¡ w stanach ρA = 13|1⟩⟨1|+ 2
3|2⟩⟨2|
i ρB = 13|0⟩⟨0|+ 1
3|1⟩⟨1|+ 1
3|2⟩⟨2|, które s¡ mieszank¡ stanów ortogonalnych.
Zauwa»my, »e korelacje klasyczne obecne w stanie ρAB s¡ korelacjami pomi¦dzy
tenarnymi zmiennymi losowymi A i B odpowiadaj¡cymi pomiarom von Neumanna
obserwabli MA = a0|0⟩⟨0|+ a1|1⟩⟨1|+ a2|2⟩⟨2| i MB = b0|0⟩⟨0|+ b1|1⟩⟨1|+ b2|2⟩⟨2|.Nast¦pnie pokazaªem, »e w tym przypadku pA ̸= pB (patrz równania (13) w [1]), a
siªa korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi A i B zale»y od wyboru kolejno±ci pomiarów
obserwabli MA i MB, co ilustruj¡ poni»sze diagramy.
a0 b0
a1 b1
a2 b2
1
1
2
1
2
A BpB|Aj|ipAi
0
1
3
2
3
pBj
1
3
1
3
1
3
b0 a0
b1 a1
b2 a2
1
1
1
B ApA|Bj|ipBi
1
3
1
3
1
3
pAj
0
1
3
2
3
W szczególno±ci pokazaªem, »e je±li pomiar obserwabli MA poprzedza pomiar
obserwabli MB, to miar¡ siªy korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi A i B jest
I(A :B)/H(B), natomiast je±li pomiar obserwabli MB poprzedza pomiar obserwabli
MA, to jest ni¡ I(A : B)/H(A), co w rozwa»anym przypadku daje I(A : B)/H(B) ≃0.579 i I(A : B)/H(A) = 1 (patrz równania (18) i (22) w [1]).
Bior¡c pod uwag¦ fakt, »e siªa korelacji pomi¦dzy zmiennymi losowymi A i B
mo»e zale»e¢ od wyboru kolejno±ci pomiarów obserwabli MA i MB, zaproponowaªem
nast¦puj¡c¡ miar¦ korelacji C(A,B) = I(A : B)/Min(H(A),H(B)) (równanie (23) w
[1]) okre±laj¡c¡ siª¦ korelacji mi¦dzy zmiennymi losowymi o dowolnych rozkªadach
4Miara korelacji Covera�Thomasa ma nast¦puj¡ce wªasno±ci (i) C(A,B) = C(B,A), (ii) 0 ≤C(A,B) ≤ 1, (iii) C(A,B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s¡ niezale»ne, (iv) C(A,B) = 1
wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s¡ caªkowicie skorelowane.
8
prawdopodobie«stwa i pokazaªem, »e ma ona takie same wªasno±ci, jak miara korelacji
Covera�Thomasa.
Zatem C(A,B) jest miar¡ siªy korelacji klasycznych obecnych w dowolnym
klasycznie skorelowanym stanie kwantowym ρAB [24], je±li przyjmiemy, »e korelacje
klasyczne obecne w tym stanie s¡ korelacjami mi¦dzy wynikami pomiarów von
Neumanna, w bazie obliczeniowej, stanu podukªadów A i B.
Warto w tym miejscu zauwa»y¢, »e C(ρAB) = maxMA,MBC(A,B) jest miar¡ siªy
korelacji klasycznych obecnych w dowolnym dwuskªadnikowym stanie kwantowym ρAB,
gdzie zmienne losowe A i B odpowiadaj¡ pomiarom von Neumana opisanym przez
zupeªne zbiory jednowymiarowych operatorów rzutowych {ΠAi } i {ΠB
i }, to znaczy
pomiarom von Neumanna obserwabli MA =∑
i aiΠAi i MB =
∑i biΠ
Bi .
5 Dysonans kwantowy a wieloskªadnikowe korelacje
W pracy [4] przedstawiªem systematyczn¡ analiz¦ korelacji kwantowych i klasycznych
obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych stanach kwantowych w ramach
paradygmatu Olliviera��urka5 [17].
Punktem wyj±cia byªo pokazanie, »e zgodnie z tym, co zostaªo zasugerowane w
pracy [68] dysonans kwantowy DA(B)(ρAB)6 jest równy minimalnej ilo±¢ korelacji, jaka
jest tracona podczas pomiaru von Neumanna bez wyboru M{ΠA(B)i } przeprowadzonego
na podukªadzie A(B), to znaczy DA(ρAB) = inf{ΠA(B)i }[I(ρAB) − I(M{ΠA(B)
i }(ρAB))],
gdzieM{ΠAi }(ρAB) =
∑i(Π
Ai ⊗I)ρAB(Π
Ai ⊗I) iM{ΠB
i }(ρAB) =∑
i(I⊗ΠBi )ρAB(I⊗ΠB
i )
(równanie (7) w [4]); pomiar M{Π̃A(B)i } dla którego osi¡gane jest in�mum nazywany jest
optymalnym pomiarem von Neumanna bez wyboru.
W tym kontek±cie w naturalny sposób pojawia si¦ pytanie: jakiego rodzaju korelacje
s¡ tracone podczas optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru?
W pracy [4] pokazaªem, »e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M{Π̃Ai }
nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji obecnych w stanie ρAB, a jedynie do utraty
korelacji kwantowych, poniewa» DA(M{Π̃Ai }(ρAB)) = 0 i CA(M{Π̃A
i }(ρAB)) = CA(ρAB)7
(równanie (12) w [4]), gdzie M{Π̃Ai }(ρAB) =
∑i p̃
Ai Π̃
Ai ⊗ ρB|i (równanie (13) w [4]) jest
stanem ukªadu tu» po pomiarze M{Π̃Ai }.
5W paradygmacie Olliviera��urka miar¡ caªkowitych korelacji obecnych w stanie ρAB jest
kwantowa informacja wzajemna I(ρAB), natomiast dysonans kwantowy DA(B)(ρAB) i CA(B)(ρAB) =
I(ρAB)−DA(B)(ρAB) s¡ niesymetrycznymi miarami korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w
tym stanie.6DA(B)(ρAB) = inf{ΠA(B)
i }[I(ρAB) − J{ΠA(B)i }(ρAB)], gdzie I(ρAB) jest kwantow¡ informacj¡
wzajemn¡ stanu ρAB , a J{ΠA(B)i }(ρAB) jest kwantow¡ informacj¡ wzajemn¡ indukowan¡ przez
pomiar von Neumanna, opisany przez zbiór jednowymiarowych operatorów rzutowych {ΠA(B)i },
przeprowadzony na podukªadzie A(B) (oznaczenia z pracy [4]).7CA(B)(ρAB) = sup{ΠA(B)
i } J{ΠA(B)i }(ρAB) jest miar¡ korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala [18]
(oznaczenia z pracy [4]).
9
W tym miejscu pojawia si¦ kolejne pytanie: czy w stanie o zerowym dysonansie
kwantowym mog¡ by¢ obecne korelacje kwantowe?
Na pierwszy rzut oka mogªoby si¦ wydawa¢, »e pytanie jest retoryczne. Jednak w
pracy [4] zwróciªem uwag¦ na fakt, który do tej pory byª pomijany w tym kontek±cie, »e
w stanie M{Π̃Ai }(ρAB) =
∑i p̃
Ai Π̃
Ai ⊗ρB|i mog¡ by¢ obecne korelacje kwantowe, pomimo
tego, »e DA(M{Π̃Ai }(ρAB)) = 0, poniewa» zgodnie z klasy�kacj¡ dwuskªadnikowych
stanów kwantowych [24], je±li stany ρB|i komutuj¡, wówczas w stanie M{Π̃Ai }(ρAB) s¡
obecne jedynie korelacje klasyczne, w przeciwnym wypadku stan M{Π̃Ai }(ρAB) zawiera
zarówno klasyczne, jak i kwantowe korelacje.
Zatem w naturalny sposób pojawia si¦ pytanie: ile korelacji kwantowych pozostaªo
po przeprowadzeniu optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru M{Π̃Ai }?
Zauwa»my po pierwsze, »e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M{Π̃Bj }
nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji zawartych w stanie M{Π̃Ai }(ρAB), a
jedynie do utraty korelacji kwantowych, poniewa» DB(M{Π̃Bj }(M{Π̃A
i }(ρAB))) = 0 i
CB(M{Π̃Bj }(M{Π̃A
i }(ρAB))) = CB(M{Π̃Ai }(ρAB)) (równanie (16) w [4]). Ponadto zgodnie
z klasy�kacj¡ dwuskªadnikowych stanów kwantowych [24], stan ukªadu tu» po pomiarze
M{Π̃Bj }
8 nie zawiera korelacji kwantowych, a jedynie korelacje klasyczne, które byªy
obecne w stanie ρAB. Zatem dochodzimy do wniosku, »e w stanie M{Π̃Ai }(ρAB) byªo
dokªadnie tyle korelacji kwantowych, ile zostaªo utraconych podczas optymalnego
pomiaru von Neumanna bez wyboru M{Π̃Bj }, czyli DB(M{Π̃A
i }(ρAB)).
Zatem w ramach paradygmatu Olliviera��urka mo»emy w naturalny sposób
wprowadzi¢ miar¦ caªkowitych korelacji kwantowych obecnych w stanie ρAB jako sum¦
korelacji kwantowych traconych podczas optymalnych pomiarów von Neumanna bez
wyboru M{Π̃Ai } i M{Π̃B
j }, Q(ρAB) = DA(ρAB) + DB(M{Π̃Ai }(ρAB)) (równanie (17) w
[4]), poniewa» nast¦puj¡ce po sobie optymalne pomiary prowadz¡ jedynie do caªkowitej
utraty kwantowych korelacji obecnych w stanie ρAB, nie zmieniaj¡c przy tym korelacji
klasycznych.
Zauwa»my, »e miar¦ caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρAB) mo»na przedstawi¢
w postaci Q(ρAB) = I(ρAB) − CB(M{Π̃Ai }(ρAB)) (równanie (18) w [4]), co prowadzi
do wniosku, »e w ramach paradygmatu Olliviera��urka C(ρAB) = CB(M{Π̃Ai }(ρAB))
(równanie (19) w [4]) jest miar¡ caªkowitych korelacji klasycznych obecnych w stanie
ρAB.
W pracy [4] pokazaªem, »e w ogólnym przypadku dysonans kwantowy DA(B)(ρAB)
jest nie wi¦kszy od caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρAB), podczas gdy miara
korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala CA(B)(ρAB) jest nie mniejsza od caªkowitych
klasycznych korelacji C(ρAB). Ponadto udowodniªem, »e Q(ρAB) i C(ρAB) s¡
symetrycznymi miarami korelacji (patrz równania (21) i (22) w [4]).
8M{Π̃Bj }(M{Π̃A
i }(ρAB)) =∑
ij p̃ABij Π̃A
i ⊗ Π̃Bj , gdzie p̃AB
ij = Tr[(Π̃Ai ⊗ Π̃B
j )ρAB ] jest
prawdopodobie«stwem otrzymania odpowiednio wyników i oraz j (równanie (15) w [4]).
10
Warto podkre±li¢, »e stosuj¡c powy»sze podej±cie do problemu korelacji mo»na w
prosty sposób wyja±ni¢ wyniki otrzymane w pracach [33, 69].
W dalszej cz¦±ci pracy [4] wprowadziªem w naturalny sposób poj¦cie dysonansu
kwantowego DAk(ρA)
9 jako miary kwantowych korelacji obecnych w m-skªadnikowym
stanie kwantowym ρA, co pozwoliªo na przeprowadzenie systematycznej analizy
korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w wieloskªadnikowych stanach
kwantowych.
Zauwa»my po pierwsze, »e dysonans kwantowy DAk(ρA) jest równy minimalnej ilo±¢
korelacji, jaka jest tracona podczas pomiaru von Neumanna bez wyboru M{ΠAki }, to
znaczy DAk(ρA) = inf{ΠAk
i }[I(ρA)−I(M{ΠAki }(ρA)], gdzie M{ΠAk
i }(ρA) =∑
i(I⊗· · ·⊗ΠAk
i ⊗ · · · ⊗ I)ρA(I ⊗ · · · ⊗ΠAki ⊗ · · · ⊗ I). Ponadto optymalny pomiar von Neumanna
bez wyboru M{Π̃Aki } nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji obecnych w stanie
ρA, a jedynie do utraty korelacji kwantowych [4].
Nast¦pnie pokazaªem, »e przeprowadzaj¡c po kolei optymalne pomiary von
Neumanna bez wyboru M{Π̃A1i }, . . . ,M{Π̃Am
i } tracimy kolejno
DA1(ρA),
DA2(M{Π̃A1i1
}(ρA)),
DA3(M{Π̃A2i2
}(M{Π̃A1i1
}(ρA))),
...
DAm(M{Π̃Am−1im−1
}(. . . (M{Π̃A1i1
}(ρA))))
korelacji kwantowych, które mog¡ by¢ obecne w stanach
ρA,
M{Π̃A1i1
}(ρA),
M{Π̃A2i2
}(M{Π̃A1i1
}(ρA)),
...
M{Π̃Am−1im−1
}(. . . (M{Π̃A1i1
}(ρA))),
nie zmieniaj¡c przy tym korelacji klasycznych [4].
Zatem widzimy, »e w ramach paradygmatu Olliviera��urka
Q(ρA) = DA1(ρA) +DA2(M{Π̃A1i1
}(ρA)) +DA3(M{Π̃A2i2
}(M{Π̃A1i1
}(ρA))) + · · ·
9DAk(ρA) = inf{ΠAk
i }[I(ρA)−J{ΠAki }(ρA)], gdzie I(ρA) jest kwantow¡ informacj¡ wzajemn¡ stanu
ρA (A oznacza A1A2 . . . Am−1Am), a J{ΠAki }(ρA) jest kwantow¡ informacj¡ wzajemn¡ indukowan¡
przez pomiar von Neumanna, opisany przez zbiór jednowymiarowych operatorów rzutowych {ΠAki },
przeprowadzony na podukªadzie Ak.
11
· · ·+DAm(M{Π̃Am−1im−1
}(. . . (M{Π̃A1i1
}(ρA))))
jest miar¡ caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w m-skªadnikowym stanie
kwantowym ρA (równanie (35) w [4]).
Zauwa»my, »e miar¦ caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρA) mo»na przedstawi¢
w postaci Q(ρA) = I(ρA)− CAm(M{Π̃Am−1im−1
}(. . . (M{Π̃A1i1
}(ρA)))) (równanie (36) w [4]),
co prowadzi do wniosku, »e w ramach paradygmatu Olliviera��urka
C(ρA) = CAm(M{Π̃Am−1im−1
}(. . . (M{Π̃A1i1
}(ρA))))
jest miar¡ caªkowitych korelacji klasycznych obecnych w stanie ρA (równanie (37) w
[4]).
W pracy [4] pokazaªem, »e w ogólnym przypadku dysonans kwantowy DAk(ρA) jest
nie wi¦kszy od caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρA) � w m-skªadnikowym stanie
o zerowym dysonansie kwantowym DAi(ρA) mog¡ by¢ obecne korelacje kwantowe,
podczas gdy miara korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala CAk(ρA)
10 jest nie
mniejsza od caªkowitych klasycznych korelacji C(ρA). Ponadto udowodniªem, »e Q(ρA)
i C(ρA) s¡ symetrycznymi miarami korelacji (patrz równania (38) i (39) w [4]).
6 Porz¡dkowania stanów kwantowych ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe
W pracy [5] zbadaªem problem porz¡dkowania dwuqubitowych stanów kwantowych
diagonalnych w bazie Bella ze wzgl¦du na dysonans kwantowy i geometryczny dysonans
kwantowy.
Zauwa»my, »e w ogólno±ci mog¡ istnie¢ dwuskªadnikowe stany kwantowe ρAB i ρ′AB,
dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonans kwantowy DA(ρAB) odbiega
od porz¡dkowania zadanego przez geometryczny dysonans kwantowy DGA(ρAB)
11.
Innymi sªowy w ogólno±ci mog¡ istnie¢ stany kwantowe ρAB i ρ′AB, dla których nie jest
speªniony warunek DA(ρAB) ≤ (≥)DA(ρ′AB) ⇐⇒ DG
A(ρAB) ≤ (≥)DGA(ρ
′AB) (równanie
(1) w [5]), czyli porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest ªamane.
Ostatnio odkryto dwuqubitowe stany kwantowe, dla których porz¡dkowanie
stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest ªamane [57], co pokazuje, »e brak
jednoznacznego porz¡dkowania stanów nie jest jedynie cech¡ miar spl¡tania [70, 71,
72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80] lecz równie» takich miar korelacji kwantowych, jak
dysonanse kwantowe.
Zatem w naturalny sposób pojawia si¦ problem znalezienia dwuqubitowych stanów
kwantowych, dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe
jest zachowane.10CAk
(ρA) = sup{ΠAki } J{ΠAk
i }(ρA).11DG
A(ρAB) = infχAB ||ρAB − χAB ||2, gdzie in�mum jest wzi¦te po wszystkich stanach o zerowym
dysonansie kwantowym, DA(χAB) = 0, natomiast || · || jest norm¡ Hilberta�Schmidta, ||A|| =√Tr(A†A) (oznaczenia z pracy [5]).
12
Okazaªo si¦ jednak, »e ogólne rozwi¡zanie tego problemu � to znaczy znalezienie
wszystkich stanów, które nie ªami¡ porz¡dkowania stanów � jest bardzo trudne, nawet
w przypadku dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie Bella12 [81, 25], dla których
znamy analityczn¡ posta¢ dysonansu kwantowego DA(ρAB) [25] (równanie (16a) w [5])
i geometrycznego dysonansu kwantowego DGA(ρAB) [52] (równanie (16b) w [5]).
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
c1
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
c2
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
c3
W pracy [5] pokazaªem, »e je±li stany ρAB i ρ′AB nale»¡ do jednej z
dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów (odpowiadaj¡cych dwunastu trójk¡tom
na powy»szym rysunku)
ci = 0, − 1 ≤ cj ≤ −0.5, |ck| ≤ 1 + cj,
cl = 0, 0.5 ≤ cm ≤ 1, |cn| ≤ 1− cl,
gdzie i ̸= j ̸= k i l ̸= m ̸= n, to wówczas porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na
dysonanse kwantowe jest zachowane (równania (15) w [5]).
W szczególno±ci pokazaªem, »e je±li ρAB i ρ′AB nale»¡ do dwuparametrowej rodziny
stanów: c1 = 0, −1 ≤ c2 ≤ −0.5, |c3| ≤ 1 + c2, to porz¡dkowanie stanów jest
zachowane, poniewa» dla danego c2 oba dysonanse kwantowe s¡ wypukªymi funkcjami
c3 z minimum lokalnym w tym samym punkcie i DA(ρAB) ≥ DGA(ρAB) (DA � czarna
linia, DGA � szara linia, na rysunku poni»ej) [5].
12Stany diagonalne w bazie Bella maj¡ posta¢ ρAB = 14 (I ⊗ I +
∑3i=1 ci σi ⊗ σi), gdzie σi s¡
macierzami Pauliego, a wspóªczynniki ci ∈ R speªniaj¡ nast¦puj¡ce warunki: 0 ≤ 14 (1−c1−c2−c3) ≤ 1,
0 ≤ 14 (1−c1+c2+c3) ≤ 1, 0 ≤ 1
4 (1+c1−c2+c3) ≤ 1, 0 ≤ 14 (1+c1+c2−c3) ≤ 1. Nierówno±ci te opisuj¡
czworo±cian o wierzchoªkach (1, 1,−1), (−1,−1,−1), (1,−1, 1) i (−1, 1, 1) odpowiadaj¡cych stanom
Bella |ψ+⟩ = 1√2(|01⟩+ |10⟩), |ψ−⟩ = 1√
2(|01⟩ − |10⟩), |ϕ+⟩ = 1√
2(|00⟩+ |11⟩), |ϕ−⟩ = 1√
2(|00⟩ − |11⟩)
(rysunek powy»ej).
13
-1.0
-0.8
-0.6c2
-0.5
0.0
0.5
c3
0.0
0.1
0.2
0.3
DA,DAG
Zauwa»my, »e w podobny sposób mo»na pokaza¢, »e porz¡dkowanie stanów ze
wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest zachowane dla pozostaªych rodzin stanów [5].
Ponadto w pracy [5] pokazaªem, »e je±li stany ρAB i ρ′AB nie nale»¡ do jednej
z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów wymienionych powy»ej, to wówczas
mo»na znale¹¢ zarówno stany, dla których porz¡dkowanie stanów jest zachowane, jak
i stany, dla których porz¡dkowanie stanów jest ªamane. Na przykªad w przypadku
jednoparametrowej rodziny stanów: c1 ̸= 0, c2 = −c1, c3 = 1 porz¡dkowanie stanów
jest zachowane (lewy rysunek poni»ej), natomiast w przypadku jednoparametrowej
rodziny stanów: c1 = −0.5, c2 = 0.5, 0 < c3 ≤ 1 porz¡dkowanie stanów jest ªamane
(prawy rysunek poni»ej).
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0c1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0DA, DA
G
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0c3
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
DA, DAG
Na szczególn¡ uwag¦ zasªuguje fakt, »e w szczególno±ci mo»na znale¹¢ pary stanów,
dla których porz¡dkowanie stanów jest ªamane pomimo tego, »e ka»dy z nich nale»y
do jednej z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów, dla których porz¡dkowanie
stanów jest zachowane � wªa±nie dlatego znalezienie ogólnego rozwi¡zania problemu
porz¡dkowania stanów diagonalnych w bazie Bella ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe
jest bardzo trudne [5]. Na przykªad w przypadku stanów ρAB i ρ′AB, dla których
c1 = 0.1, c2 = 0, c3 = −0.75 i c1 = 0.1, c2 = 0, c3 = 0.9 porz¡dkowanie stanów nie
jest zachowane, poniewa» DA(ρAB) < DA(ρ′AB) a DG
A(ρAB) = DGA(ρ
′AB) pomimo tego,
»e ρAB nale»y do rodziny stanów: c2 = 0, −1 ≤ c3 ≤ −0.5, |c1| ≤ 1 + c3 podczas
gdy ρ′AB nale»y do rodziny stanów: c2 = 0, 0.5 ≤ c3 ≤ 1, |c1| ≤ 1− c3 [5].
14
W pracy [5] zauwa»yªem równie», »e wyniki numerycznego porównania dysonansów
kwantowych dla dowolnych dwuqubitowych stanów kwantowych [62, 61] prowadz¡ do
wniosku, »e istniej¡ inne stany, poza stanami diagonalnymi w bazie Bella i stanami
wskazanymi w pracy [57], dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse
kwantowe nie jest zachowane.
7 Podsumowanie
W jednotematycznym cyklu prac [1, 2, 3, 4, 5] rozwin¡ªem teorioinformacyjne podej±cie
do problemu klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych
i wieloskªadnikowych mieszanych stanach kwantowych. W szczególno±ci znalazªem
odpowiedzi na szereg wa»nych pyta« prowadz¡cych do lepszego zrozumienia korelacji
klasycznych i kwantowych obecnych w mieszanych stanach kwantowych, zarówno w
paradygmacie Wernera, jak i w paradygmacie Olliviera��urka.
• Czy z punktu widzenia paradygmatu Wernera w n-qubitowym stanie kwantowym
ρ12...n [65] s¡ obecne jedynie n-qubitowe korelacje kwantowe?
W pracy [2] wyja±niªem, »e kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji
klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym, oparte na zerowaniu si¦
wszystkich kowariancji Cov(X1, . . . , Xn), jest kryterium koniecznym nieistnienia
takich korelacji, a nie kryterium wystarczaj¡cym. Ponadto pokazaªem w jawny
sposób, »e w stanie ρ12...n istniej¡ n-skªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo
zerowania si¦ wszystkich kowariancji.
• Czy w ramach paradygmatu Wernera mo»na sformuªowa¢ niezawodne
teorioinformacyjne kryterium nieistnienia korelacji klasycznych w
wieloskªadnikowych stanach kwantowych?
W pracy [1] dla uproszczenia, ale bez straty ogólno±ci, przedstawiªem tego
rodzaju kryterium dla trzyskªadnikowych stanów kwantowych. W szczególno±ci
wyja±niªem dlaczego w trzyskªadnikowym stanie kwantowym mog¡ by¢
obecne trzyskªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo tego, »e nie ma w nim
dwuskªadnikowych korelacji klasycznych i podaªem jawny przykªad takiego
stanu.
• Czy kwantowa informacja wzajemna uwzgl¦dnia wszystkie aspekty caªkowitych
korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych?
W pracy [1] pokazaªem, »e istniej¡ klasycznie skorelowane stany kwantowe, w
przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie udziela dobrej odpowiedzi
na pytanie, jak silne s¡ caªkowite korelacje obecne w tych stanach. W
szczególno±ci znalazªem klasycznie skorelowane stany kwantowe, w przypadku
których kwantowa informacja wzajemna mo»e by¢ dowolnie maªa, pomimo tego,
15
»e caªkowite korelacje obecne w tych stanach s¡ maksymalnie silne. Ponadto
zaproponowaªem teorioinformacyjn¡ miar¦ siªy korelacji klasycznych obecnych w
klasycznie skorelowanym stanie kwantowym, któr¡ mo»na uogólni¢ na przypadek
dowolnych dwuskªadnikowych stanów kwantowych.
• Ile korelacji klasycznych i kwantowych jest obecnych w dwuskªadnikowych stanach
kwantowych z punktu widzenia paradygmatu Olliviera��urka?
W pracy [4] pokazaªem w jawny sposób, »e dysonans kwantowy DA(B)(ρAB)
jest równy ilo±ci korelacji, jaka jest tracona podczas optymalnego pomiaru von
Neumanna bez wyboru przeprowadzonego na podukªadzie A(B). Pokazaªem
równie», »e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru nie prowadzi do
utraty korelacji klasycznych zawartych w dwuskªadnikowym stanie kwantowym
ρAB. Ponadto wprowadziªem w naturalny sposób miar¦ caªkowitych kwantowych
korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych i pokazaªem, »e
dysonans kwantowy jest nie wi¦kszy od caªkowitych kwantowych korelacji, co
oznacza, »e zerowanie si¦ dysonansu kwantowego nie musi implikowa¢ znikania
kwantowych korelacji. Nast¦pnie wprowadziªem miar¦ caªkowitych klasycznych
korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych i pokazaªem, »e
miara korelacji klasycznych Hendersona�Vedrala jest nie mniejsza od caªkowitych
kwantowych korelacji.
• Ile korelacji klasycznych i kwantowych jest obecnych w wieloskªadnikowych
stanach kwantowych z punktu widzenia paradygmatu Olliviera��urka?
W pracy [4] uogólniªem w naturalny sposób poj¦cie dysonansu kwantowego
na przypadek ukªadów wieloskªadnikowych. Dzi¦ki temu mogªem w naturalny
sposób wprowadzi¢ miar¦ caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w
wieloskªadnikowych stanach kwantowych13, jak równie» miar¦ caªkowitych
klasycznych korelacji obecnych w tych stanach.
• Czy niejednoznaczne porz¡dkowanie stanów jest jedynie cech¡ miar spl¡tania
kwantowego?
W pracy [5] zbadaªem problem porz¡dkowania dwuqubitowych stanów
diagonalnych w bazie Bella ze wzgl¦du na dysonans kwantowy i geometryczny
dysonans kwantowy. W szczególno±ci zidenty�kowaªem 12 dwuparametrowych
rodzin stanów dla których porz¡dkowanie stanów ze wzgl¦du na dysonanse
kwantowe jest zachowane i pokazaªem, »e w przypadku stanów nale»¡cych do
ró»nych rodzin porz¡dkowanie stanów mo»e by¢ ªamane, co jest sprzeczne z
intuicj¡ i pokazuje, »e znalezienie ogólnego rozwi¡zania problemu porz¡dkowania
stanów ze wzgl¦du na dysonanse kwantowe jest niezwykle trudne.13Kilka miesi¦cy pó¹niej Rulli i Sarandy wprowadzili poj¦cie globalnej miary korelacji kwantowych
obecnych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych [82].
16
Pomimo tego, »e prace wchodz¡ce w skªad cyklu habilitacyjnego [1, 2, 3, 4, 5]
zostaªy opublikowane w ci¡gu kilku ostatnich lat, to byªy cytowane 18 razy (wedªug
bazy Web of Science). Wyniki opisane w pracach [2, 4, 5] zostaªy przedstawione
w pracy przegl¡dowej [8]. Natomiast artykuª [5] znalazª si¦ na okªadce Europhysics
Letters (stycze« � marzec 2013). Ponadto prace [2, 5] zostaªy wybrane do presti»owego
czasopisma Virtual Journal of Quantum Information.
5. Omówienie pozostaªych osi¡gni¦¢ naukowo�badawczych
Przed doktoratem
W pracy [83] opisano q-zdeformowan¡ przestrze« fazow¡ i wyprowadzono, z zasady
najmniejszego dziaªania, q-zdeformowane równania Hamiltona.
Prace [84, 85, 86] dotyczyªy niealgebraicznego podej±cia do problemu quasi-
dokªadnej rozwi¡zywalno±ci. W pracy [84] pokazano, »e ortogonalne wielomiany
spektralne Bendera�Dunnea mo»na skonstruowa¢ dla wszystkich modeli quasi-
dokªadnie rozwi¡zywalnych. Ponadto przedstawiono prosty sposób znajdowania
funkcji wagowych stowarzyszonych z tymi wielomianami i pokazano, »e wielomiany
Bendera�Dunnea s¡ wielomianami ortogonalnymi zmiennej dyskretnej, która przyjmuje
warto±ci ze sko«czonego zbioru dokªadnie policzalnych poziomów energetycznych
rozwa»anego modelu quasi-dokªadnie rozwi¡zywalnego. W pracy [85] pokazano, »e
pewne jednowymiarowe modele quasi-dokªadnie rozwi¡zywalne tworz¡ dublety modeli
dualnych powi¡zanych ze sob¡ pewn¡ dyskretn¡ transformacj¡, któr¡ nazwano
transformacj¡ antyizospektraln¡, poniewa» zmienia ona znaki wszystkich dokªadnie
policzalnych poziomów energetycznych modeli tworz¡cy dany dublet. Pokazano
równie», »e dualno±¢ pozwala na znalezienie górnej granicy dokªadnie policzalnej
cz¦±ci spektrum rozwa»anego modelu quasi-dokªadnie rozwi¡zywalnego i poci¡ga za
sob¡ istnienie wielomianów tego samego stopnia, które s¡ ortogonalne na dwóch
ró»nych przedziaªach, z t¡ sam¡ funkcj¡ wagow¡ � wielomiany te s¡ naturalnym
uogólnieniem standardowych wielomianów ortogonalnych zwi¡zanych z modelami
dokªadnie rozwi¡zywalnymi.
Po doktoracie
Wpracy [86] pokazano, »e w przypadku zale»nego od czasu oscylatora anharmonicznego
z zaburzeniem szóstego stopnia � najprostszy zale»ny od czasu ukªad quasi-dokªadnie
rozwi¡zywalny � równania ansatzu Bethego opisuj¡ klasyczny zespolony ukªad
dynamiczny typu Calogero�Mosera, co oznacza, »e istnieje ±cisªy zwi¡zek mi¦dzy
kwantowymi modelami quasi-dokªadnie rozwi¡zywalnymi a klasycznymi modelami
dynamicznymi. Ponadto pokazano, »e przy pomocy metody rzutowej Olshanetskyego�
Perelomova mo»na wykaza¢ podobny zwi¡zek mi¦dzy kwantowymi ukªadami quasi-
17
dokªadnie rozwi¡zywalnymi a klasycznymi ukªadami macierzowymi.
Prace [87, 88, 89, 90] po±wi¦cone byªy zagadnieniu destrukcji stanów w mechanice
kwantowej. W pracy [87] zaproponowano opis destrukcji cz¡stek rozró»nialnych i
nierozró»nialnych na gruncie mechaniki kwantowej, a nie kwantowej teorii pola. W
szczególno±ci zde�niowano kilka rodzajów odwzorowa« nazwanych super±ladami, które
zostaªy wykorzystane do opisu procesu destrukcji. Ponadto pokazano, »e poj¦cie
destrukcji stanów mo»e by¢ traktowane jako uzupeªnienie procedury pomiaru podanej
przez von Neumanna i Lüdersa. W pracy [88] pokazano na kilku przykªadach, »e
proces destrukcji stanów mo»e by¢ pomocny w opisie eksperymentów typu Einsteina�
Podolskyego�Rosena. Natomiast w pracy [89] pokazano, »e procedura destrukcji stanów
dla jednego quditu jest operacj¡ kwantow¡ i znaleziono jawn¡ posta¢ operatorów
Krausa dla tej operacji kwantowej. W pracy [90] rozwa»ono ukªad dwóch cz¡stek
rozró»nialnych o spinie 1/2 i przeanalizowano ze wszystkimi szczegóªami proces
destrukcji stanów zachodz¡cy podczas pomiaru rzutu spinu cz¡stki.
Prace [91, 92] dotyczyªy nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji. W pracy
[91] rozwa»ono eksperyment typu Einsteina�Podolskyego�Rosena i wyznaczono
nierelatywistyczn¡ spinow¡ funkcj¦ korelacji dla pary cz¡stek o dowolnym
spinie uwzgl¦dniaj¡c rozró»nialno±¢ i nierozró»nialno±¢ cz¡stek, wzgl¦dny ruch
obserwatorów, sko«czony rozmiar detektorów i odst¦p czasowy mi¦dzy pomiarami
przeprowadzanymi przez poruszaj¡cych si¦ obserwatorów. Byªa to pierwsza tak
szczegóªowa analiza nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji w eksperymencie
typu Einsteina�Podolskyego�Rosena. Z kolei praca [92] po±wi¦cona byªa wyznaczeniu
nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji typu Einsteina�Podolskyego�Rosena dla
dwóch cz¡stek rozró»nialnych o spinie 1/2 w stanie trypletowym.
W pracach [93, 94, 95] pokazano, »e transformacje Bogoliubova, szeroko stosowane
w kwantowej teorii pola, mog¡ by¢ równie» u»yteczne w kwantowej teorii informacji.
Pokazano mianowicie, »e problem wyboru rozkªadu na iloczyn tensorowy przestrzeni
stanów ukªadu dwóch fermionów, z uwzgl¦dnieniem pewnej reguªy superwyboru,
mo»e by¢ przeanalizowany przy pomocy transformacji Bogoliubova operatorów
kreacji i anihilacji. Ponadto pokazano, »e w rozwa»anym przypadku zbie»no±¢
Woottersa nie jest wªa±ciw¡ miar¡ spl¡tania i znaleziono jawn¡ posta¢ spl¡tania
formowania, która pokazuje, »e spl¡tanie kwantowe zale»y od wyboru rozkªadu iloczynu
tensorowego przestrzeni Hilberta badanego ukªadu. Wykazano równie», »e zbiór stanów
separowalnych nie jest tak liczny, jak w przypadku ukªadu dwóch qubitów i istniej¡
stany, które s¡ separowalne bez wzgl¦du na wybór rozkªadu iloczynu tensorowego.
Prace [96, 97, 98] po±wi¦cone byªy zagadnieniu ewolucji ukªadu cz¡stek
niestabilnych ze szczególnym uwzgl¦dnieniem ewolucji spl¡tania kwantowego w
ukªadzie K0K̄0 w kontek±cie testowania nierówno±ci typu Bella�CHSH. W pracy
[96] przedstawiono opis cz¡stek niestabilnych w j¦zyku mechaniki kwantowej
18
ukªadów otwartych, uwzgl¦dniaj¡c reguª¦ superwyboru, która zabrania istnienia
superpozycji stanów cz¡stki i pró»ni. W tym podej±ciu ewolucja ukªadu zadana
jest przez rodzin¦ odwzorowa« caªkowicie dodatnich tworz¡cych jednoparametrow¡
póªgrup¦ dynamiczn¡. W pracy znaleziono jawn¡ posta¢ operatorów Krausa dla
tak okre±lonej ewolucji ukªadu. Pokazano równie», »e istniej¡ pewne ograniczenia
na mo»liw¡ siª¦ dekoherencji. W pracy [97] znaleziono ewolucj¦ czasow¡ ukªadu
dwóch nieoddziaªuj¡cych cz¡stek niestabilnych (rozró»nialnych i nierozró»nialnych) w
dowolnym ukªadzie odniesienia znaj¡c jedynie operatory Krausa de�niuj¡ce ewolucj¦
cz¡stek w ukªadzie spoczynkowym. Znaleziono równie» nierelatywistyczn¡ funkcj¦
korelacji EPR dla ukªadu K0K̄0 w stanie singletowym uwzgl¦dniaj¡c ªamanie symetrii
CP i dekoherencj¦. Pokazano, »e w tym przypadku statystyka cz¡stek nie ma wpªywu
na otrzymany wynik. W pracy [98] rozwa»ono ewolucj¦ spl¡tania zespoªu ukªadów
dwuskªadnikowych. W szczególno±ci zbadano ewolucj¦ spl¡tania dla ukªadów K0K̄0 w
stanie singletowym z uwzgl¦dnieniem dekoherencji i ªamania symetrii CP.
W pracy [99] pokazano, »e spinowa zredukowana macierz g¦sto±ci ukªadu dwóch
cz¡stek nierelatywistycznych o dowolnym spinie transformuje si¦ w sposób kowariantny
pod wpªywem przeksztaªce« Galileusza. Ponadto pokazano jawnie, »e spl¡tanie
kwantowe w takim ukªadzie jest niezmiennikiem transformacji Galileusza.
W pracy [100] pokazano jawnie, »e te same oscylacje neutrin otrzymujemy
niezale»nie od tego, czy s¡ one tachionami, czy zwykªymi cz¡stkami masywnymi.
W pracy [101] przeprowadzono szczegóªow¡ analiz¦ poprawionego protokoªu
rekurencyjnego IBM opisanego w [102]. W szczególno±ci pokazano, »e protokóª ten
nie jest w istocie rzeczy protokoªem rekurencyjnym, a nawet gdyby byª, to nie byªby
tak efektywny, jaki twierdz¡ autorzy pracy [102]. Ponadto przedstawiono pozbawion¡
bª¦dów wersj¦ tego protokoªu.
Bibliogra�a
[1] Z. Walczak, Total correlations and mutual information, Phys. Lett. A 373 (2009),
1818.
[2] Z. Walczak, Comment on �Quantum correlation without classical correlations�,
Phys. Rev. Lett. 104 (2010), 068901.
[3] Z. Walczak, Information-theoretic approach to the problem of detection of genuine
multipartite classical correlations, Phys. Lett. A 374 (2010), 3999.
[4] M. Okrasa, Z. Walczak, Quantum discord and multipartite correlations, EPL 96
(2011), 60003.
[5] M. Okrasa, Z. Walczak, On two-qubit states ordering with quantum discords, EPL
98 (2012), 40003.
19
[6] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki,Quantum entanglement,
Rev. Mod. Phys. 81 (2009), 865.
[7] O. Gühne, G. Tóth, Entanglement detection, Phys. Rep. 474 (2009), 1.
[8] K. Modi, A. Brodutch, H. Cable, T. Paterek, V. Vedral, The classical-quantum
boundary for correlations: Discord and related measures, Rev. Mod. Phys. 84
(2012), 1655.
[9] R. F. Werner, Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations
admitting a hidden-variable model, Phys. Rev. A 40 (1989), 4277.
[10] E. Knill, R. La�amme, Power of one bit of quantum information, Phys. Rev.
Lett. 81 (1998), 5672.
[11] S. L. Braunstein, C. M. Caves, R. Jozsa, N. Linden, S. Popescu, R. Schack,
Separability of very noisy mixed states and implications for NMR quantum
computing, Phys. Rev. Lett. 83 (1999), 1054.
[12] C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, C. A. Fuchs, T. Mor, E. Rains, P. W. Shor,
J. A. Smolin, W. K. Wootters, Quantum nonlocality without entanglement, Phys.
Rev. A 59 (1999), 1070.
[13] D. A. Meyer, Sophisticated quantum search without entanglement, Phys. Rev.
Lett. 85 (2000), 2014.
[14] E. Biham, G. Brassard, D. Kenigsberg, T. Mor, Quantum computing without
entanglement, Theor. Comput. Sci. 320 (2004), 15.
[15] A. Datta, S. T. Flammia, C. M. Caves, Entanglement and the power of one qubit,
Phys. Rev. A 72 (2005), 042316.
[16] A. Datta, G. Vidal, Role of entanglement and correlations in mixed-state quantum
computation, Phys. Rev. A 75 (2007), 042310.
[17] H. Ollivier, W. H. Zurek, Quantum discord: A measure of the quantumness of
correlations, Phys. Rev. Lett. 88 (2001), 017901.
[18] L. Henderson, V. Vedral, Classical, quantum and total correlations, J. Phys. A
34 (2001), 6899.
[19] A. Datta, A. Shaji, C. M. Caves, Quantum discord and the power of one qubit,
Phys. Rev. Lett. 100 (2008), 050502.
[20] A. Datta, S. Gharibian, Signatures of nonclassicality in mixed-state quantum
computation, Phys. Rev. A 79 (2009), 042325.
20
[21] C. A. Rodríguez-Rosario, K. Modi, A. Kuah, A. Shaji, E. C. G. Sudarshan,
Completely positive maps and classical correlations, J. Phys. A 41 (2008), 205301.
[22] A. Shabani, D. A. Lidar, Vanishing quantum discord is necessary and su�cient
for completely positive maps, Phys. Rev. Lett. 102 (2009), 100402.
[23] A. Ferraro, L. Aolita, D. Cavalcanti, F. M. Cucchietti, A. Acín, Almost all
quantum states have nonclassical correlations, Phys. Rev. A 81 (2010), 052318.
[24] M. Piani, P. Horodecki, R. Horodecki, No-local-broadcasting theorem for
multipartite quantum correlations, Phys. Rev. Lett. 100 (2008), 090502.
[25] S. Luo, Quantum discord for two-qubit systems, Phys. Rev. A 77 (2008), 042303.
[26] M. Ali, A. R. P. Rau, G. Alber, Quantum discord for two-qubit X states, Phys.
Rev. A 81 (2010), 042105.
[27] A. Al-Qasimi, D. F. V. James, Comparison of the attempts of quantum discord
and quantum entanglement to capture quantum correlations, Phys. Rev. A 83
(2011), 032101.
[28] F. F. Fanchini, M. C. de Oliveira, L. K. Castelano, M. F. Cornelio, Why the
entanglement of formation is not generally monogamic, Phys. Rev. A 87 (2013),
032317.
[29] S. Campbell, Predominance of entanglement of formation over quantum discord
under quantum channels, Quant. Inf. Proc. 12 (2013), 2623.
[30] T. Werlang, S. Souza, F. F. Fanchini, C. J. Villas Boas, Robustness of quantum
discord to sudden death, Phys. Rev. A 80 (2009), 024103.
[31] J. Maziero, L. C. Céleri, R. M. Serra, V. Vedral, Classical and quantum
correlations under decoherence, Phys. Rev. A 80 (2009), 044102.
[32] F. F. Fanchini, T. Werlang, C. A. Brasil, L. G. E. Arruda, A. O. Caldeira, Non-
Markovian dynamics of quantum discord, Phys. Rev. A 81 (2010), 052107.
[33] J. Maziero, T. Werlang, F. F. Fanchini, L. C. Céleri, R. M. Serra, System-reservoir
dynamics of quantum and classical correlations, Phys. Rev. A 81 (2010), 022116.
[34] B. Wang, Z.-Y. Xu, Z.-Q. Chen, M. Feng, Non-Markovian e�ect on the quantum
discord, Phys. Rev. A 81 (2010), 014101.
[35] X. Hu, Y. Gu, Q. Gong, G. Guo, Necessary and su�cient condition for
Markovian-dissipative-dynamics-induced quantum discord, Phys. Rev. A 84
(2011), 022113.
21
[36] R. Lo Franco, B. Bellomo, E. Andersson, G. Compagno, Revival of quantum
correlations without system-environment back-action, Phys. Rev. A 85 (2012),
032318.
[37] V. Madhok, A. Datta, Interpreting quantum discord through quantum state
merging, Phys. Rev. A 83 (2011), 032323.
[38] D. Cavalcanti, L. Aolita, S. Boixo, K. Modi, M. Piani, A. Winter, Operational
interpretations of quantum discord, Phys. Rev. A 83 (2011), 032324.
[39] M. F. Cornelio, M. C. de Oliveira, F. F. Fanchini, Entanglement irreversibility
from quantum discord and quantum de�cit, Phys. Rev. Lett. 107 (2011), 020502.
[40] A. Streltsov, H. Kampermann, D. Bruss, Linking quantum discord to
entanglement in a measurement, Phys. Rev. Lett. 106 (2011), 160401.
[41] F. F. Fanchini, M. F. Cornelio, M. C. de Oliveira, A. O. Caldeira, Conservation
law for distributed entanglement of formation and quantum discord, Phys. Rev.
A 84 (2011), 012313.
[42] F. F. Fanchini, L. K. Castelano, M. F. Cornelio, M. C. de Oliveira, Locally
inaccessible information as a fundamental ingredient to quantum information,
New J. Phys. 14 (2012), 013027.
[43] T. K. Chuan, J. Maillard, K. Modi, T. Paterek, M. Paternostro, M. Piani,
Quantum discord bounds the amount of distributed entanglement, Phys. Rev. Lett.
109 (2012), 070501.
[44] G. L. Giorgi, Monogamy properties of quantum and classical correlations, Phys.
Rev. A 84 (2011), 054301.
[45] R. Prabhu, A. K. Pati, A. Sen(De), U. Sen, Conditions for monogamy of quantum
correlations: Greenberger-Horne-Zeilinger versus W states, Phys. Rev. A 85
(2012), 040102(R).
[46] B. Bylicka, D. Chru±ci«ski, Witnessing quantum discord in 2×N systems, Phys.
Rev. A 81 (2010), 062102.
[47] C. Zhang, S. Yu, Q. Chen, C. H. Oh, Observable estimation of entanglement of
formation and quantum discord for bipartite mixed quantum states, Phys. Rev. A
84 (2011), 052112.
[48] P. Giorda, M. G. A. Paris, Gaussian quantum discord, Phys. Rev. Lett. 105
(2010), 020503.
22
[49] G. Adesso, A. Datta, Quantum versus classical correlations in Gaussian states,
Phys. Rev. Lett. 105 (2010), 030501.
[50] B. Li, Z-X. Wang, S-M. Fei, Quantum discord and geometry for a class of two-
qubit states, Phys. Rev. A 83 (2011), 022321.
[51] E. Chitambar, Quantum correlations in high-dimensional states of high
symmetry, Phys. Rev. A 86 (2012), 032110.
[52] B. Daki¢, V. Vedral, �. Brukner, Necessary and su�cient condition for nonzero
quantum discord, Phys. Rev. Lett. 105 (2010), 190502.
[53] A. S. M. Hassan, B. Lari, P. S. Joag, Tight lower bound to the geometric measure
of quantum discord, Phys. Rev. A 85 (2012), 024302.
[54] S. Rana, P. Parashar, Tight lower bound on geometric discord of bipartite states,
Phys. Rev. A 85 (2012), 024102.
[55] X-M. Lu, Z. Xi, Z. Sun, X. Wang, Geometric measure of quantum discord under
decoherence, Quant. Inf. Comput. 10 (2010), 0994.
[56] F. Altintas, Geometric measure of quantum discord in non-Markovian
environments, Opt. Commun. 283 (2010), 5264.
[57] Y. Yeo, J-H. An, C. H. Oh, Non-Markovian e�ects on quantum-communication
protocols, Phys. Rev. A 82 (2010), 032340.
[58] Y. Li, B. Luo, H. Guo, Entanglement and quantum discord dynamics of two atoms
under practical feedback control, Phys. Rev. A 84 (2011), 012316.
[59] B. Bellomo, R. Lo Franco, G. Compagno, Dynamics of geometric and entropic
quanti�ers of correlations in open quantum systems, Phys. Rev. A 86 (2012),
012312.
[60] B. Bellomo, G. L. Giorgi, F. Galve, R. Lo Franco, G. Compagno, R. Zambrini,
Uni�ed view of correlations using the square-norm distance, Phys. Rev. A 85
(2012), 032104.
[61] J. Batle, A. Plastino, A. R. Plastino, M. Casas, Peculiarities of quantum discord's
geometric measure, J. Phys. A 44 (2011), 505304.
[62] D. Girolami, G. Adesso, Quantum discord for general two-qubit states: Analytical
progress, Phys. Rev. A 83 (2011), 052108.
[63] D. Girolami, M. Paternostro, G. Adesso, Faithful nonclassicality indicators and
extremal quantum correlations in two-qubit states, J. Phys. A 44 (2011), 352002.
23
[64] S. Rana, P. Parashar, Entanglement is not a lower bound for geometric discord,
Phys. Rev. A 86 (2012), 030302(R).
[65] D. Kaszlikowski, A. Sen(De), U. Sen, V. Vedral, A. Winter, Quantum correlation
without classical correlations, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 070502.
[66] C. H. Bennett, A. Grudka, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Postulates
for measures of genuine multipartite correlations, Phys. Rev. A 83 (2011), 012312.
[67] T. M. Cover, J. A. Thomas, Elements of information theory, John Wiley & Sons,
Hoboken, New Jersey, 2006.
[68] S. Luo, S. Fu, Geometric measure of quantum discord, Phys. Rev. A 82 (2010),
034302.
[69] G.-X. Li, Z. Yi, Z. Ficek, Nullity of quantum discord of two-qubit X-state systems,
arXiv:1101.4983 [quant-ph].
[70] J. Eisert, M. Plenio, A comparison of entanglement measures, J. Mod. Opt. 46
(1999), 145.
[71] K. �yczkowski, Volume of the set of separable states II, Phys. Rev. A 60 (1999),
3496.
[72] S. Virmani, M. B. Plenio, Ordering states with entanglement measures, Phys.
Lett. A 268 (2000), 31.
[73] K. �yczkowski, I. Bengtsson, Relativity of pure states entanglement, Ann. Phys.
295 (2002), 115.
[74] T. C. Wei, P. M. Goldbart, Geometric measure of entanglement and applications
to bipartite and multipartite quantum states, Phys. Rev. A 68 (2003), 042307.
[75] A. Miranowicz, Violation of Bell inequality and entanglement of decaying Werner
states, Phys. Lett. A 327 (2004), 272.
[76] A. Miranowicz, Decoherence of two maximally entangled qubits in a lossy
nonlinear cavity, J. Phys. A 37 (2004), 7909.
[77] A. Miranowicz, A. Grudka, Ordering two-qubit states with concurrence and
negativity, Phys. Rev. A 70 (2004), 032326.
[78] A. Miranowicz, A. Grudka, A comparative study of relative entropy of
entanglement, concurrence and negativity, J. Opt. B 6 (2004), 542.
[79] M. Ziman, V. Buºek, Entanglement-induced state ordering under local operations,
Phys. Rev. A 73 (2006), 012312.
24
[80] Y. Kinoshita, R. Namiki, T. Yamamoto, M. Koashi, N. Imoto, Selective
entanglement breaking, Phys. Rev. A 75 (2007), 032307.
[81] R. Horodecki, M. Horodecki, Information-theoretic aspects of inseparability of
mixed states, Phys. Rev. A 54 (1996), 1838.
[82] C.C. Rulli, M. S. Sarandy, Global quantum discord in multipartite systems, Phys.
Rev. A 84 (2011), 042109.
[83] P. Caban, A. Dobrosielski, A. Krajewska, Z. Walczak, On q-deformed
Hamiltonian mechanics, Phys. Lett. B 327 (1994), 287.
[84] A. Krajewska, A. Ushveridze, Z. Walczak, Bender�Dunne orthogonal polynomials,
Mod. Phys. Lett. A 12 (1997), 1131.
[85] A. Krajewska, A. Ushveridze, Z. Walczak, Anti-isospectral transformations in
quantum mechanics, Mod. Phys. Lett. A 12 (1997), 1225.
[86] D. Mayer, A. Ushveridze, Z. Walczak, On time-dependent quasi-exactly solvable
problems, Mod. Phys. Lett. A 15 (2000), 1243.
[87] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Destruction of states in
quantum mechanics, J. Phys. A 35 (2002), 3265.
[88] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Destruction in bipartite
quantum mechanics, Int. J. Theor. Phys. 42 (2003), 1015.
[89] P. Caban, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Kraus representation of destruction of
states for one qudit, Phys. Rev. A 68 (2003), 034308.
[90] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Destruction of quantum
states over discrete and continuous variables, Int. J. Quant. Inf. 2 (2004), 511.
[91] P. Caban, J. Rembieli«ski, Z. Walczak K. A. Smoli«ski, Einstein-Podolsky-Rosen
correlations and Galilean transformations, Phys. Rev. A 67 (2003), 012109.
[92] P. Caban, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Spin correlations in
nonrelativistic quantum mechanics, Int. J. Theor. Phys. 42 (2003), 1045.
[93] P. Caban, K. Podlaski, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak,
Entanglement and tensor product for two fermions, J. Phys. A 38 (2005), L79.
[94] P. Caban, K. Podlaski, J. Rembieli«ski, K. A. Smoli«ski, Z. Walczak, Tensor
product decomposition, entanglement, and Bogoliubov transformations for two
fermion system, Open Sys. Inf. Dyn. 12 (2005), 179.
25