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AUTOMATISME COMBINATOIRE - 1 -
TS CIRA Y.D
AAUUTTOOMMAATTIISSMMEE CCOOMMBBIINNAATTOOIIRREE
1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 2
2 VARIABLES LOGIQUES :......................................................................................................................... 2
3 OPERATIONS LOGIQUES : ..................................................................................................................... 3
4 FONCTIONS OU OPERATEURS LOGIQUES : .......................................................................................... 4
5 REGLES DE SIMPLIFICATION ................................................................................................................. 5
5-1 REGLES DE MORGAN : ................................................................................................................... 5
5.2 IDENTITES REMARQUABLES : ........................................................................................................ 6
5.3 PROPRIETES DE L’ALGEBRE DE BOOLE : ........................................................................................ 6
5.4 APPLICATIONS : ............................................................................................................................ 6
6 FORMES CANONIQUES ......................................................................................................................... 7
6.1 Logigramme à base de NAND, compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs
équations logiques .............................................................................................................................. 7
6.2 Logigramme à base de NOR compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs
équations logiques .............................................................................................................................. 7
7 EXEMPLE DE LOGIGRAMME INDUSTRIEL : ........................................................................................... 8
8 REGLES DE SIMPLIFICATION GRAPHIQUES (Tableau de Karnaugh) ..................................................... 8
8.1 Cas d’équations logiques utilisant deux variables : ....................................................................... 8
8.2 Cas d’équations logiques utilisant trois variables : ....................................................................... 9
8.3 Cas d’équations logiques utilisant quatre variables .................................................................... 11
9 EXERCICES ........................................................................................................................................... 11
9.1 Affichage majorité d’une décision : ............................................................................................. 11
9.2 Aspiration dans une scierie : ....................................................................................................... 12
9.3 Surveillance de ventilateurs d’un parking : ................................................................................. 13
9.4 Exemple tri de caisses : ............................................................................................................... 14
9.5 Exemple du transcodeur des nombres de 0 à 19 du binaire pur au BCD : .................................. 15
9.6 Remplissage de camions ............................................................................................................. 16
9.7 Commande d’une vanne ............................................................................................................. 18
9.8 Trémie de sable ........................................................................................................................... 19
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 2 -
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L = b
CAS N°2
L = b
CAS N°1
L = b
1 INTRODUCTION
Un automatisme combinatoire est caractérisé par le fait qu’à toutes les combinaisons des variables d’entrée
correspondent un seul état logique des variables de sortie :
Entrées logiques Sorties logiques
2 VARIABLES LOGIQUES : Une variable logique ou variable booléenne (algèbre de Boole 1815-1864) est une grandeur binaire égale à 1
ou à 0 (Un peu de logique de Boole cela ne fait pas de mal et cela évite de perdre la boule).
Elle peut représenter l’état d’un objet, exemple moteur électrique :
- à l’état marche = 1, le moteur tourne.
- à l’état arrêt = 0, le moteur est arrêté.
Elle peut représenter l’état d’un contact :
Nature du contact Autre appellation Désignation Symboles
Contact « travail » Contact à fermeture NO
Noté a
Contact « repos » Contact à ouverture NF ou NC
Noté a
Equation logique :
Elle permet de traduire une relation entre grandeurs logiques :
L L
b b
Conventions de notation logique:
- si pas d’action physique sur le capteur, l’état physique est noté par la valeur « 0 »
- si action physique sur le capteur, l’état physique est noté par la valeur « 1 »
- si le courant électrique ne circule pas dans le circuit, l’état logique est noté par la valeur « 0 »
- si le courant électrique circule dans le circuit, l’état logique est noté par la valeur « 1 »
Tableau des états logiques :
CAS N°1 : (l’état logique est égal à l’état physique)
b : état logique b : état physique L : état logique
0 Pas de courant Ouvert (au repos)
1 Fermé (à l’action)
CAS N°2 : (l’état logique est le contraire de l’état physique)
: état logique b : état physique L : état logique
1 Courant 0 Fermé (au repos)
0 Ouvert (à l’action)
SYSTEME
COMBINATOIRE
L = b
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 3 -
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Entrées API Sorties (Automate Programmable Industriel)
%I0.0
%I0.1 %Q1.0
EV
MA
LH
Exemple d’application :
Deux réalisations possibles pour la commande de l’électrovanne EV tant que l’opérateur actionne le bouton
poussoir MA (du type NO) et tant que le niveau LH n’est pas recouvert.
1° réalisation par une commande électrique directe dite en technologie électrique câblée (à compléter):
Equation logique : EV =
2° réalisation intégrée dans un système de contrôle commande piloté par un API dite en technologie
programmée (à compléter) :
Le langage graphique utilisé est le Ladder Diagram ou le langage à réseaux de contacts (normalisé CEI61131-3)
3 OPERATIONS LOGIQUES :
On utilise trois opérations :
Désignation Opération logique Symbole
Somme logique
OU logique +
Produit logique
ET logique .
Complément logique
NON logique
EV
( %Q1.0 )
EV LH
Type NF Type NF
MA
- Si niveau supérieur au
niveau maxi, alors LH=0
- Sinon LH=1
Nmax
Conventions :
┤├ « v »
Le contact est passant si la
variable « v »associé est à 1
┤∕├ « v »
Le contact est passant si la
variable « v » associé est à 0
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 4 -
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4 FONCTIONS OU OPERATEURS LOGIQUES :
DESIGNATION SYMBOLE EUROPEEN EQUATION SYMBOLE US
ET
AND
S = a . b
OU
OR
S = a + b
NON
INVERTER
S = a
OU exclusif
XOR
S = a + b
S =a . b + a .b
NON ET
NAND
S = a . b
NON OU
NOR
S = a + b
1
&
=1
&
1
1
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 5 -
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TABLES DE VERITE ET SCHEMAS ELECTRIQUES : compléter les états logiques de S
Fonction logique (US) Schéma électrique Table de vérité
ET (AND)
a b S a b S 0 0
0 1
1 0
1 1
OU (OR)
a S
b
a b S 0 0
0 1
1 0
1 1
NON (NO)
a S a S
0
1
OU exclusif (XOR)
a b
a b
S
a b S 0 0
0 1
1 0
1 1
NON ET (NAND)
a b
r
a b S 0 0
0 1
1 0
1 1
NON OU (NOR)
a
b
r
a b S 0 0
0 1
1 0
1 1
5 REGLES DE SIMPLIFICATION
5-1 REGLES DE MORGAN :
Le complément d’un produit logique est égal à la somme des compléments de chacun des membres du produit,
soit :
Le complément d’une somme logique est égal au produit des compléments de chacun des membres de la
somme, soit :
R
S
R
S
a . b = a + b
a + b = a . b
Avec 3 variables :
a . b . c =
Avec 3 variables :
a + b + c =
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 6 -
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5.2 IDENTITES REMARQUABLES :
a . 0 = 0
a + 1 = 1 a + a = a
a + 0 = a
a . 1 = a a . a = a
= a
a + a . b = a
a . ( a + b) = a
5.3 PROPRIETES DE L’ALGEBRE DE BOOLE :
5.4 APPLICATIONS :
Simplifier les équations booléennes suivantes :
S1 = a . b . d + b . c . d + a . b . d + b . c . d
S2 = ( a . c . d + a . c . d ) . ( a + d )
S3 = ( a . b . c + a . b .c ) + ( a + c )
S4 = a . c + b . c + a . b
Commutativité a + b = b + a
a . b = b . a
Associativité (a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Distributivité a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 7 -
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6 FORMES CANONIQUES Réalisation d’une équation booléenne avec un seul type d’opérateur logique
6.1 Logigramme à base de NAND, compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs équations
logiques
FONCTION
Logigramme NON ET Décomposition
NON
S = a
S = a
OU
S = a + b
S =
ET
S = a . b
S =
6.2 Logigramme à base de NOR compléter les logigrammes proposés et justifier les par leurs équations
logiques
FONCTION
Logigramme NON OU Décomposition
NON
S = a
a
S = a
ET
S = a . b
S =
OU
S = a + b
S =
Méthode : réaliser plusieurs doubles complémentation, jusqu’à obtenir une équation logique avec un seul
type d’opération
6.3 Exemple :
Représenter la fonction « OU exclusif » en utilisant des portes NON-ET à deux entrées (logigramme avec 5
portes) puis des portes NON-OU (logigramme avec 6 portes):
S1 = a .b + b . a
&
&
&
&
& &
1
1
1
1
1 1
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 8 -
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7 EXEMPLE DE LOGIGRAMME INDUSTRIEL :
Exprimer les variables de sortie suivantes en fonction des variables d’entrée nécessaires:
Q28.5, Q28.4, Q28.3 et Q29.1
Q28.5 =
Q28.4 =
Q28.3 =
Q29.1 =
8 REGLES DE SIMPLIFICATION GRAPHIQUES (Tableau de Karnaugh)
8.1 Cas d’équations logiques utilisant deux variables :
a Pour deux variables, il existe 2² combinaisons possibles,
il faut construire un tableau à quatre 4 cases.
0 1
0 b=0 a L’équation d’une case se déduit de l’intersection d’une
b ligne et d’une colonne.
1 b=1 a Pour n variables il faut construire un tableau de 2n
cases.
a=0 a=1
b b
minterm
ab ab
ab ab
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 9 -
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Exemples : Simplifier par l’algèbre de Boole, puis graphiquement les équations logiques suivantes :
L1 = a + a . b , L2 = a + a . b , L3 = a + a . b et L4 = a . b + b + a . b + a . b Simplification graphique :
L1 = a + a . b
On affecte d’un « 1 »les cases correspondant aux termes de l’équation.
On affecte d’un « 0 » les autres cases.
On procède au regroupement des cases par 2 ou 4 des cases dites adjacentes (uniquement des regroupements
de 2n cases).
b a 0 1
0 ab +ab = a.(b+b) = a , d’où L1 = a
1
L3 = a + a . b L2 = a + a . b
L4 = a . b + b + a . b + a . b
8.2 Cas d’équations logiques utilisant trois variables :
Pour trois variables, il existe 23 combinaisons soit un tableau de 8 cases.
On utilise le code binaire réfléchi ou code Gray pour réaliser ce tableau (voir page suivante)
c ab 00 01 11 10
0
1
Exemples : Simplifier les équations logiques suivantes :
L1 = a . b . c + b . c + a . c
L2 = a . b . c + a . b . c + a . b . c
Principe : Regrouper les cases adjacentes ou symétriques affectées du « 1 » logique afin de simplifier
l’équation
Les regroupements des cases sont toujours des puissances de 2 cases ( 2, 4 ou 8 )
L’expression simplifiée s’obtient à partir des variables qui ne changent pas d’état sur les regroupements.
L1 L2
0 1
11
0 1
11
11
11
11
11
11
11
11
11
Indiquer les cases adjacentes, c'est-à-dire ne différant que par la
valeur d’une seule variable, à la cellule grisée.
En déduire les équations des trois regroupements possibles
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 10 -
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Exemple réel : (cas des cases non utilisées d’un point de vue technologique) Soit une balance permettant de vérifier la masse de paquets.
Cette balance munie de trois capteurs de masse (a, b et c) associée à un voyant H dont le fonctionnement est le
suivant:
Le voyant est allumé si : * absence de paquet
* 1 < M < 3 kg
Le voyant est éteint dans tous les autres cas.
- Compléter la table de vérité ci-dessous :
- Déterminer les différents cas réels et les traduire dans un tableau de Karnaugh.
- En déduire l’équation de H la plus simple, en notant d’un X les cas impossibles technologiquement et procéder
ou regroupement le plus judicieux.
Masse a b c H
0 0 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Conclusion : les cases non utilisées sont à affecter de façon à simplifier l’équation au maximum
Remarque : Code binaire réfléchi
Pour le code Gray un seul chiffre change d’une combinaison à l’autre
Code décimal Code binaire
naturel
Code binaire
réfléchi
Décimal codé
binaire(BCD) 0 0000 0000 00000
1 0001 0001 00001
2 0010 0011 00010
3 0011 0010 00011
4 0100 0110 00100
5 0101 0111 00101
6 0110 0101 00110
7 0111 0100 00111
8 1000 1100 01000
9 1001 1101 01001
10 1010 1111 10000
11 1011 1110 10001
12 1100 1010 10010
13 1101 1011 10011
14 1110 1001 10100
15 1111 1000 10101
16
17
18
H =
b>1kg
a>50g
c>3kg
Voyant H
0
11
11
ab
c
Logigramme
BALANCE ?
a
b
c
H
A compléter
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 11 -
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8.3 Cas d’équations logiques utilisant quatre variables
Le tableau comporte 16 cases (24), deux dispositions sont possibles :
Retrouvez le regroupement particulier du tableau de droite sur le tableau de gauche et donnez en
l’équation logique simplifiée
Exemple : Soit à simplifier algébriquement puis graphiquement l’équation logique suivante :
L = a . d + b . c . d + a . c . d + b . c + a . b Simplification graphique :
9 EXERCICES
9.1 Affichage majorité d’une décision :
Dans une commission qui se compose de trois membres ayant le droit de vote, les votes doivent être, entre
autres, éval999uées à l'aide d'un API. Pour cela, chaque utilisateur dispose du droit de vote (BP à fermeture A,
B, C). Si la majorité des participants génère un "OUI" (décision affirmative), alors la lampe (H1) s'éclaire.
Si la majorité des participants génère un "NON" (décision négative), alors la lampe (H1) ne s'allume pas, elle
reste éteinte.
En Allemand SPS = Speicher Programmierbare Steuerungen
En Anglais PLC = Programmable Logic Controller En Français API = Automate Programmable Industriel Compléter les tableaux ci dessous et proposer le
programme le plus simple en ladder permettant la commande du voyant H1.
OPERANDE MNEMONIQUE COMMENTAIRE
A
B
C
H1
11
11
11
11
abc
d
1 0
0
0
0
1
0
0
0
0
11
1 0
0
0
11
0
1
ab
cd
11
11
11
11
ab
cd
11
11
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 12 -
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9.2 Aspiration dans une scierie :
Lors de la fabrication des fenêtres en bois, la sciure est automatiquement aspirée par un dispositif d'aspirateur
central, dont la puissance d'aspiration est fixée par les machines connectées. La puissance d'aspiration sera
déterminée par l'arrêt ou la marche de deux ventilateurs (Ventilateurs 1 et 2).
Par rapport à la puissance totale P, la puissance aspirante des deux ventilateurs se répartit comme suit :
Ventilateur 1: 1/3P; Ventilateur 2: 2/3P.
Donc la fonction suivante est insérée dans le programme API: Si une machine est en marche, le ventilateur 1 est
en marche, si les 2 machines sont en marche, le ventilateur 2 est en marche. Si les 3 machines sont en marche,
les deux ventilateurs sont en marche. La mise en marche d'un ventilateur s'effectue par les contacteurs
K1 (= Ventilateur 1) et K2 (= Ventilateur 2).
Compléter les tableaux ci dessous et proposer les équations logiques permettant la commande des ventilateurs V1 et V2.
OPERANDE MNEMONIQUE COMMENTAIRE
E0.0
E0.1
E0.2
A0.0
A0.1
11
11
11
11
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 13 -
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9.3 Surveillance de ventilateurs d’un parking :
Pour ventiler un parking souterrain, quatre ventilateurs sont installés, qui peuvent être mis en marche par les
commutateurs S1 à S4. Le feu doit être vert si au moins 3 ventilateurs sont en marche. Si seulement 2
ventilateurs sont en marche alors le feu doit être orange.
Si moins de 2 ventilateurs fonctionnent, la ventilation du parking souterrain n'est plus suffisante et le feu doit
être rouge.
Compléter les tableaux ci dessous et proposer le programme le plus simple en ladder permettant la commande des feux H1 rouge, H2 orange et H3 vert.
OPERANDE MNEMONIQUE COMMENTAIRE
E0.0 S1
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 14 -
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9.4 Exemple tri de caisses :
(d’après SCIENCES INDUSTRIELLES EN CPGE aux éditions Casteilla)
a b c d P M G commentaires
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 15 -
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9.5 Exemple du transcodeur des nombres de 0 à 19 du binaire pur au BCD :
Etablir la table de vérité de ce transcodeur en respectant les notations.
a b c d e j f g h i
Simplifier les tableaux de Karnaugh des cinq variables de sortie de ce transcodeur
Utiliser les tableaux suivants :
Nombre de
0 à 19 codé
en binaire
sur 5 bits
Transcodeur
#
#
Nombre de
0 à 19 codé
en BCD
sur 5 bits
Transcodeur
#
#
ENTREES
En binaire
Seizaine 24 : a
Huitaine 23 : b
Quataine 22 : c
Deuzaine 21 : d
Unité 20 :e
SORTIES en BCD
Unité 20 : j décimale x10
1
Huitaine 23 : f
Quataine 22 : g unité x10
0
Deuzaine 21 : h
Unité 20 : i
11
11
11
11
abc
de
11
11
11
11
Sortie i
11
11
11
11
abc
de
11
11
11
11
Sortie h
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 16 -
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9.6 Remplissage de camions
Pour remplir un camion de sable
on utilise deux trémies A et B placées
au-dessus d'une balance pour poids
lourds.
Un camion vide vient se placer
sur la balance, puis l'opérateur appuie
sur un bouton poussoir S0 pour mettre
en marche le remplissage. Dés que le
camion est plein la balance fait passer à
l'état 1 le signal logique S1. L'opérateur
doit appuyer sur S0 pendant toute la
phase de remplissage ; si on relâche
S0 ou si le camion est plein le
remplissage s'arrête automatiquement.
Le remplissage doit se faire en utilisant la plus remplie des deux trémies ou les deux
ensemble si leur poids est identique. Les trémies peuvent être remplies à tout moment,
indépendamment du reste du fonctionnement, et le système doit réagir en conséquence.
Les deux trémies A et B sont montées sur un système de pesage qui donne le poids de
sable en tonnes codé sur deux bits. Pour la trémie A les deux bits A1 et A0 valent
respectivement :
A1 A0 POIDS
0 0 Poids < 1 tonne de sable
0 1 1 tonne Poids < 2 tonnes
1 0 2 tonnes Poids < 3 tonnes
1 1 3 tonnes Poids
La trémie B possède le même système de pesage avec les deux bits B0 et B1.
L'ouverture des trémies est commandée par deux trappes TA et TB.
A B
S0
S1
B 0
B 1
A 0
A 1
11
11
11
11
abc
de
11
11
11
11
Sortie g
11
11
11
11
abc
de
11
11
11
11
Sortie f
11
11
11
11
abc
de
11
11
11
11
Sortie j
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 17 -
TS CIRA Y.D
1) Pesage des trémies
Le système de pesage des trémies est
composé de trois capteurs P0, P1 et P2. Si la
trémie contient moins d’une tonne de sable,
aucun capteur n'est actionné ; si la trémie
contient entre 1 et deux tonnes de sable le capteur
P0 est actionné. S'il y a entre deux et trois tonnes
de sable P0 et P1 sont actionnés et s'il y a trois
tonnes ou plus de sable P0, P1 et P2 sont
actionnés. A partir de ces trois capteurs on code le poids de la trémie sur deux bits A0 et A1.
- Donnez l'équation de A0 et A1 en fonction de P0, P1 et P2.
- Donnez le logigramme de A0 en utilisant que des fonctions NAND.
P0 P1 P2 A1 A0 commentaires
2) Remplissage du camion
- En respectant le fonctionnement du système, donnez en les justifiant les équations de TA et TB en
fonction de A0, A1, B0, B1 S0 et S1.
A1 A0 Poids A B1 B0 Poids B TA TB
P0P1P2
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 18 -
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9.7 Commande d’une vanne
Soit le schéma TI partiel suivant d’une installation automatisée par un API :
La vanne contrôlant le débit d’entrée est pilotée par un servomoteur électrique à deux sens de marche piloté
par deux contacteurs non représentés :KMO (pour l’ouverture) et KMF (pour la fermeture).
Cette vanne est munie de deux fins de courses type NF : SO (pour l’ouverture complète) et SF ( pour la
fermeture complète).
L’opérateur dispose de deux boutons poussoirs BOV (pour l’ouverture de la vanne) et BFV (pour la fermeture de
la vanne)
Un capteur de niveau TOR fournit une information lorsque le niveau haut est atteint (LH=1 si N>Nmax).
1) Faire un tableau des variables utiles d’un point de vue partie commande (API) en distinguant les entrées
et les sorties
2) Soit le cahier des charges des conditions particulières :
- Tant que la cuve n’est pas remplie, si appui simultané sur les 2 BP alors pas d’effet sur la
vanne.
- Si niveau haut atteint, fermer la vanne quelque soit la position des BP.
- Si appui sur un des BP alors l’API commande l’ouverture ou la fermeture de la vanne suivant
le BP sollicité.
Représenter les différents cas possibles de cet automatisme combinatoire dans une table de vérité sans
tenir compte des fins de courses de la vanne. La table de vérité comportera donc 3 entrées et 2 sorties.
Préciser le nombre de cas possibles en fonction du nombre de variables d’entrée du système.
3) Traduire les combinaisons des variables de sortie KMO et KMF en équations logiques à partir de la
table de vérité.
4) Si possible simplifier ces équations en utilisant le tableau de Karnaugh.
5) Compléter les deux équations de KMO et KMF avec les variables des deux fins de course.
BOV BFV LH KMO KMF
LH
Type NO
Nmax
M Fdc :SO
Fdc :SF
BOV type NO
BFV type NO
AUTOMATISME COMBINATOIRE - 19 -
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9.8 Trémie de sable
On actionne le bouton poussoir « marche » de type NO
Le vibreur fait couler le sable dans la trémie.
La chute du sable est détectée par la palette d,
La trémie se remplit : le capteur a passe de 1 à 0,
La trémie est pleine : le capteur b passe de 0 à 1,
Alors, le vibreur s’arrête, d passe à 0, ce qui déclenche l’ouverture de la trappe de vidange T.
La trémie est de nouveau vide, ce qui referme T.
La fermeture est détectée par le capteur c.
La trappe T est commandée par un pré actionneur monostable (vérin sorti au repos).
Compléter le grafcet (en précisant les conditions initiales de la trémie)
Compléter la table de vérité du fonctionnement :
m a b c d V T Étape du processus
0 1 0 1 0 Attente
1 1 0 1 0 Mise en fonctionnement
0 1 0 1 1 Début d’écoulement
0 0 0 1 Ecoulement
0 0 1 1 1 0 Fin de pesée
0 0 1 1 0 1 Fin d’écoulement et vidange
0 0 1 0 0 Début de vidange
0 0 0 0 0 Vidange
0 1 0 0 0 Fin de vidange
0 1 0 1 0 Attente
Compléter les tableaux de Karnaugh des sorties V et T en fonction de m, a, b, c et d et en déduire leurs équations logiques , en tenant compte des impossibilités technologiques pour leur simplification:
Silo à
sable
vibreur
V
T
Trémie de pesage
Détecteur d’écoulement d
Trémie vide : a = 1 Trémie pleine : b = 1
c Trappe
Capteur de fermeture
1
2
0
3
11
11
11
11
mab
cd
11
11
11
11
Sortie V
11
11
11
11
mab
cd
11
11
11
11
Sortie T
