Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fsicas y
MatematicasDepartamento de Ingeniera MatematicaMA1001-5
Introduccion al calculo5 de Mayo de 2014
Auxiliar 8: Sucesiones
Profesor: Jorge San MartinAuxiliar: Cristobal Valenzuela
P1 Usando la definicion de limite de una sucesion, demuestre las
siguientes igualdades:
a) limn
n cos(pin!)
n2+1 = 0
b) limn
2n52n7 = 1
c) limnn(|x+
1n | |x|) = 1, para x < 0
d) limn
1n = 0
e) limn cos(n!pix) = 1 para x Q
P2 Verdadero y falso: Si la proposicion es verdadera
demuestrela, si es falsa de un contraejemplo.
a) Sea f de dominio todo R y an una sucesion tal que an a La
sucesion sn = f(an) f(a)b) an l R y bn es no acotada (an bn) es no
acotada.c)Si an es una sucesion nula con an 6= 0 n N 1|an| es no
acotadad)Si lim
nnan = 0 entonces limn an = 0
e) Sean (an), (bn) y (cn) son sucesiones tales que cn = an + bn.
Si an y cn convergen, entonces bntambien converge
necesariamente.
P3 Sea (an) una sucesion de numeros reales. Se dice que an +
(diverge a infinito) si y solo si secumple que (M > 0)(no N)(n
no) an M :i) Pruebe que an + implica que 1an 0. Es valido el
reciproco?ii) Probar que an + y bn l > 0 implica que (an bn)
+iii) Mostrar con ejemplos que si an + y bn 0, pueden tenerse los
casos (an bn) 0,(an bn) + y (an bn) l > 0. Hay algun otro
caso?
P4 [Sucesion de Cauchy] Una sucesion (xn) se dice de Cauchy si
cumple lo siguiente:
( > 0)(no N)(n,m no)|xn xm| Demuestre que una sucesion (xn)
converge en R si y solo si es de Cauchy.
