Introduo aos Mtodos Numricos

Sistema de Preferncias nos Mtodos ElectreUmas das principais caractersticas introduzidas por este mtodo corresponde a um novo conceito do Modelo de Preferncia, que pretende ser uma representao mais realista que o utilizado na Teoria da Utilidade Multiatributo.

Considerando-se um problema de escolha, por exemplo: sabendo-se que uma ao a melhor do que b e c, torna-se irrelevante analisar as preferncias entre b e c.

Estas duas aes podem perfeitamente permanecer incomparveis, sem degenerar o procedimento de suporte deciso.Auxilio Multicritrio DecisonSistema de Preferncias nos Mtodos ElectreTodavia, a soluo desse tipo de problema um processo temporal, no qual as preferncias podem ser modificadas, em razo de novas informaes que se incorporam ao longo do processo.

Portanto, pode ser importante trabalhar com conceitos que possibilitem a modelagem de novas situaes, durante o processo decisrio, isto , quando algumas aes ainda permanecem incomparveis.

Assim, a ideia bsica, nesta famlia de mtodos, consiste numa nfase na anlise das relaes de dominncia.

Evitam-se, desta forma, hipteses muito rgidas e questionamentos intrigantes ao decisor, exigidos pela teoria da utilidade multiatributo e que introduzem uma srie de dificuldades na modelagem de problemas reais para alguns decisores.

Auxilio Multicritrio DecisonSistema de Preferncias nos Mtodos ElectreEm cima desse raciocnio, estes mtodos introduziram o conceito de limites de indiferena, q, que significam o limiar que uma alternativa pode transitar at ser indiferente outra.Os mtodos de classificao tradicionais partem da relao de preferncia e indiferena para compararem alternativas. Por exemplo, ao comparar duas alternativas A e B, para se dizer que A supera B, significa dizer que A , pelo menos, to bom quanto B.a estritamente prefervel a ba fracamente prefervel a ba indiferente a bb fracamente prefervel a ab estritamente prefervel a aAuxilio Multicritrio DecisonSistema de Preferncias nos Mtodos ElectreEm resumo, estes mtodos baseiam no estudo de sobreclassificao em uma lgica no compensatria (razo de substituio), com poder de veto usando as noes de concordncia e de discordncia.

As relaes de sobreclassificao construdas de tal forma, permitem avaliar se uma alternativa to boa quanto outra alternativa, na seguinte condio:

Uma maioria suficiente de critrios, considerando as suas importncias, apoia esta proposio (princpio da concordncia) e a oposio da minoria no considerada forte o suficiente para discordar desta proposio (princpio da discordncia).

Um mtodo de sobreclassificao divide-se em 2 passos: construir uma relao de sobreclassificao e explor-la, para as alternativas escolhidas do problema.

Auxilio Multicritrio DecisonPrincipais Mtodos da Escola Francesa

Sistema de preferncia.Os Mtodos ELECTRE.

Auxilio Multicritrio DecisonMtodos ElectreA famlia de mtodos ELECTRE, de origem francesa, tem como objetivo obter um subconjunto de alternativas, no qual as alternativas que fazem parte desse subconjunto sobreclassificam as que no fazem.

Em outras palavras, busca-se reduzir o tamanho do conjunto de alternativas, explorando o conceito de dominncia.

Para isso, so utilizados dois ndices: o ndice de concordncia, que mede a vantagem relativa de cada alternativa sobre as outras, e o ndice de discordncia, que mede a relativa desvantagem.

Auxilio Multicritrio DecisonMtodos ElectreOs mtodos da famlia ELECTRE so aplicados em duas fases principais:

FASE I: Construir uma relao de sobreclassificao, estabelecendo uma comparao par a par de alternativas.

FASE II: Explorar a relao de sobreclassificao, aplicando um procedimento para resolver o problema em funo da problemtica especfica a ser abordada.

Estes mtodos diferenciam-se entre si pela problemtica que tentam resolver, pelas informaes inter e intracritrios utilizadas e pela quantidade de relaes de superao construdas e pesquisadas.

Assim, desde 1968, quando surgiu o Mtodo Electre I, sucederam-se vrias verses dos mtodos Electre.

Auxilio Multicritrio DecisonMtodos ElectreOs mtodos Electre consideram os pesos como uma medida da importncia que cada critrio tem para o decisor, e no como uma taxa marginal de substituio, visto que as avaliaes de cada alternativa nos diferentes critrios no se renem em uma avaliao global.

VersoAutorAnoTipo de ProblemaUtiliza PesosIRoy1968SeleoSimIIRoy e Bertier1973OrdenaoSimIIIRoy1978OrdenaoSimIVRoy e Hugonnard1982OrdenaoNoISRoy e Skalka1985SeleoSimTRIYu Wei1992ClassificaoSimAuxilio Multicritrio DecisonMtodos ElectreAssim, empregam a informao dos pesos com a finalidade de construir ndices (ou coeficientes) de concordncia e de discordncia.

A verso IV o nico em que no se utilizam pesos, pois funciona como uma sequencia de relaes de superao agrupadas.

VersoAutorAnoTipo de ProblemaUtiliza PesosIRoy1968SeleoSimIIRoy e Bertier1973OrdenaoSimIIIRoy1978OrdenaoSimIVRoy e Hugonnard1982OrdenaoNoISRoy e Skalka1985SeleoSimTRIYu Wei1992ClassificaoSimAuxilio Multicritrio DecisonMtodos ElectreA verses I e IS resultam em uma relao de superao entre as alternativas que til para selecion-las.

As outras verses fornecem diretamente uma pr-ordem parcial das alternativas.

VersoAutorAnoTipo de ProblemaUtiliza PesosIRoy1968SeleoSimIIRoy e Bertier1973OrdenaoSimIIIRoy1978OrdenaoSimIVRoy e Hugonnard1982OrdenaoNoISRoy e Skalka1985SeleoSimTRIYu Wei1992ClassificaoSimAuxilio Multicritrio DecisonFundamentos de Superao ou SobreclassificaoSeja A o conjunto de possveis decises (alternativas) e gi(a) a avaliao de qualquer umas dessas decises, segundo um critrio i (i=1,2,3,...,n).

Aplicando a relao de superao aos elementos do conjunto A, pode-se definir que uma alternativa a supera a alternativa b (aSb) se, a for, pelo menos, to boa quanto b.

Essa relao de superao, que no necessariamente transitiva, aparece como uma possvel generalizao do conceito de dominncia.

Assim, o que se procura identificar, no contexto de um problema de deciso, se existe ou no uma relao de dominncia entre duas alternativas, ou seja, se o risco de considerar verdadeira a afirmao a alternativa a pelo menos to boa quanto a alternativa b aceitvel.

Auxilio Multicritrio DecisonFundamentos de Superao ou SobreclassificaoAs consideraes que conduzem aceitao da relao aSb pode ser expressas por dois conceitos:

Concordncia ocorre quando um subconjunto significativo dos critrios considera a alternativa a (fracamente) prefervel b.

Discordncia ocorre quando no h critrios em que a intensidade da preferncia da alternativa b em relao a ultrapasse um limite inaceitvel.

Auxilio Multicritrio DecisonProcedimentos do Mtodo ElectreFASE ITabela de avaliaes

Matriz de Concordncia

Matriz de Discordncia

Umbrais de ComparaoFASE IITeste de DominnciaTabela de Dominncias

Auxilio Multicritrio DecisonMatriz de Concordncia

ndice de concordnciaAuxilio Multicritrio DecisonMatriz de Discordnciandice de discordncia

Auxilio Multicritrio DecisonUmbrais de Preferncia e Indiferenap o umbral de preferncia e se define como o valor maior ou igual mdia das concordncias.

q o umbral de indiferena e se define como o valor maior ou igual mdia das discordncias.

Auxilio Multicritrio DecisonConstruo da Tabela de DominnciaTeste de Dominncia

A alternativa Altl domina a alternativa Altk se e somente se:

Auxilio Multicritrio DecisonConstruo da Tabela de DominnciaPrimeiroSe definem duas listas com as dominncias, primeiro uma com as comparaes por linha das alternativas, de duas em duas, e logo outra com as comparaes por coluna, se cumprem-se os testes de dominncia.

SegundoSe determina a lista de preferncias das alternativas, ordenando-as segundo o maior nmero de dominncias por linha e o menor nmero de dominncias por coluna. Assim, em primeiro lugar fica aquela que domina as demais e nenhuma a domina.

Auxilio Multicritrio DecisonExemplo 1

Selecionar a melhor opo de ampliao em um parque recreativo com novas instalaes.

Auxilio Multicritrio DecisonAvaliaesLucro EmpregosResduosTurismoC1C2C3C4Alt1159410Alt210538Alt32212914Alt43110418Alt589109Pesos7356Critrios:Lucro: Beneficio esperado (aumento percentual).Empregos: Nmero de novos postos de trabalho.Resduos: Impacto ambiental, percentagem esperado na gerao de resduos.Turismo: Aumento percentual no nmero de visitantes em relao a atual.Auxilio Multicritrio DecisonAvaliaesLucro EmpregosResduosTurismoC1C2C3C4Alt1159410Alt210538Alt32212914Alt43110418Alt589109Pesos7356Note-se que o critrio C1 (Lucro) considerado o mais importante j que tem um maior peso.

Alm disso o critrio resduo tem que ser minimizado ao contrrio dos demais que tm que ser maximizados.Auxilio Multicritrio DecisonNormalizando os pesos e determinando os valores de Lucro EmpregosResduosTurismoC1C2C3C4Alt1159410Alt210538Alt32212914Alt43110418Alt589109W7356Lucro EmpregosResduosTurismoC1C2C3C4Alt1159610Alt210578Alt32212114Alt43110618Alt58909W norm.0,33330,142860,23810,2857237710Auxilio Multicritrio DecisonClculo dos ndices de Concordncia C1C2C3C4Alt1159610Alt210578Alt32212114Alt43110618Alt58909W norm.0,33330,142860,23810,2857237710

Por exemplo:c21 = 0,3333(se 10S15) + 0,1428(se 5S9) + 0,2381(se 0S6) + 0,2857(se 8S10)= 0 + 0 + 0,2381 + 0 = 0,2381 Auxilio Multicritrio DecisonClculo dos ndices de Discordncia C1C2C3C4Alt1159610Alt210578Alt32212114Alt43110618Alt58909W norm.0,33330,142860,23810,2857237710

Auxilio Multicritrio Decison...Matriz de Concordncia Alt1Alt2Alt3Alt4Alt5Alt1-0,76190,23810,23811Alt20,2381-0,23810,23810,5714Alt30,76190,7619-0,14281Alt410,76190,8571-1Alt50,14280,428600-Matriz de Discordncia Alt1Alt2Alt3Alt4Alt5Alt1-0,14280,42860,80Alt20,5714-110,5714Alt30,71430,8571-0,71430Alt400,14280,2857-0Alt50,857110,60871-Auxilio Multicritrio DecisonTeste de Dominncia

Alt1Alt2Alt3Alt4Alt5Alt1-1001Alt20-000Alt300-01Alt4111-1Alt50000-Matriz de SuperaoAuxilio Multicritrio DecisonTabela de DominnciasDominncias por linha (L)Dominncias por coluna (K)Diferena (L-K)Preferncia Alt1A2, A5A412Alt20A1, A4-24Alt3A5A403Alt4A1, A2, A3, A5041Alt50A1, A3, A4-35Auxilio Multicritrio DecisonExemplo 2

Adquirir um carro considerando quatro possveis alternativas

Auxilio Multicritrio DecisonAvaliaesPreo ConfortoConsumoC1C2C3Alt118.000,0058Alt220.500,0065Alt324.700,0064Alt422.800,0087Pesos523Esta tabela indica a avaliao de cada alternativa em relao a cada critrio.

Importa ressaltar que o preceito adotado ser o de maximizar ou minimizar um critrio de acordo com as preferncias dos agentes de deciso. Auxilio Multicritrio DecisonNormalizando os PesosPreo ConfortoConsumoAlt118.000,0058Alt220.500,0065Alt324.700,0064Alt422.800,0087Pesos523Preo ConfortoConsumoAlt10,2090,200,333Alt20,2380,240,208Alt30,2870,240,167Alt40,2650,320,292Pesos0,50,20,3Em primeiro lugar, vamos normalizar todos os valores da Tabela e os pesos dos critrios.

Como mtodo de normalizao utilizaremos o quociente entre o elemento a ser normalizado e a soma total.

importante citar que o critrio Preo de minimizao, enquanto os outros dois so de maximizao.Auxilio Multicritrio DecisonClculo dos ndices de Concordncia Preo ConfortoConsumoAlt10,2090,200,333Alt20,2380,240,208Alt30,2870,240,167Alt40,2650,320,292Pesos0,50,20,3Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,80,80,8Alt20,2-10,5Alt30,20,2-0Alt40,20,51-Auxilio Multicritrio DecisonClculo dos ndices de Discordncia Preo ConfortoConsumoAlt10,2090,200,333Alt20,2380,240,208Alt30,2870,240,167Alt40,2650,320,292Pesos0,50,20,3Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,2410,2410,723Alt20,753-00,506Alt310,295-0,753Alt40,3370,1630-Auxilio Multicritrio Decison...Matriz de Concordncia Matriz de Discordncia Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,80,80,8Alt20,2-10,5Alt30,20,2-0Alt40,20,51-Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,2410,2410,723Alt20,753-00,506Alt310,295-0,753Alt40,3370,1630-Auxilio Multicritrio DecisonMatriz de Concordncia Matriz de Discordncia Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,80,80,8Alt20,2-10,5Alt30,20,2-0Alt40,20,51-Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,2410,2410,723Alt20,753-00,506Alt310,295-0,753Alt40,3370,1630-Dominncias por linha (L)Dominncias por coluna (K)Alt1A2, A3, A4A4Alt2A3A1, A3, A4Alt30A1, A2, A4Alt4A30Teste de DominnciaAuxilio Multicritrio DecisonTabela de DominnciasDominncias por linha (L)Dominncias por coluna (K)Diferena (L-K)Preferncia Alt1A2, A3, A4A421Alt2A3A1, A3, A4-23Alt30A1, A2, A4-34Alt4A3012Auxilio Multicritrio DecisonMatriz de Concordncia Matriz de Discordncia Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,80,80,8Alt20,2-10,5Alt30,20,2-0Alt40,20,51-Alt1Alt2Alt3Alt4Alt1-0,2410,2410,723Alt20,753-00,506Alt310,295-0,753Alt40,3370,1630-Matriz S Matriz de SuperaoAlt1Alt2Alt3Alt4Alt1-110Alt20-10Alt300-0Alt4001-S=1234Auxilio Multicritrio DecisonExercciosExerccio 10. Refaa o exerccio 2 considerando agora o mtodo ELECTRE.

Exerccio 11. Refaa o exerccio 1 considerando agora o mtodo ELECTRE.

Exerccio 12. Refaa o exerccio 9 considerando agora o mtodo ELECTRE.

Auxilio Multicritrio Decison