1. INTRODUCCIÓN.

Hoy en día, para satisfacer nuestras necesidades básicas en el hogar, necesitamos de un elemento muy importante como el agua. Ello nos ayuda para la preparación de nuestros alimentos, higiene personal, limpieza de utensilios de cocina, lavado de ropa y para beberla, entre otros. Si bien es cierto, es un elemento indispensable, su uso en litros es muy bajo, y eso, dependiendo de la cantidad, del clima y del estilo de vida.

Los abastecimientos de agua seguros, adecuados y accesibles, conjuntamente con un saneamiento apropiado, son, sin duda, necesidades básicas y componentes esenciales de la atención primaria de la salud. Ellos pueden ayudar a reducir muchas de las enfermedades que afectan a las poblaciones menos privilegiadas, especialmente aquellas que viven en áreas rurales y urbanas marginales.

Actualmente, con el crecimiento de la población, Unitek S.A. tiene en mente nuevos proyectos, entre los cuales se encuentra la construcción de nuevos reservorios para el año 2024.

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTEFACULTAD DE INGENIERÍACARRERA ING. INDUSTRIAL

“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”

IMPLEMENTACIÓN DE NUEVOS RESERVORIOS

PARA EL AÑO 2024

CURSO:

Cálculo II.

INTEGRANTES:

Bryan Aguirre Pando.Edson Vera Gamarra.Fiorella Navarro Morillos.Jonathan Yantas Grijalva.Paola Whusui Olazo.

PROFESOR:

Hernán Flores Velazco.

2014

2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.

Debido a que la empresa Unitek S.A. tiene el proyecto de construir nuevos reservorios de agua en los diferentes distritos de Lima, obtendremos la función de cambio con la que va creciendo la población en las zonas rurales , calcularemos la cantidad de reservorios, la capacidad de la bomba para que se pueda llenar el agua en el tanque presentado, la viabilidad del proyecto tendrá que estar hasta el año 2024.

3. OBJETIVOS.

3.1 OBJETIVO GENERAL:

Brindar a la empresa UNITEK S.A los datos precisos para la instalación de nuevos reservorios para el año 2024.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Obtener la cantidad de reservorios necesarios para el año 2024. Obtener el volumen concreto del reservorio. Obtener el trabajo del llenado del tanque. Obtener la capacidad de almacenamiento.

4. JUSTIFICACIÓN

Este trabajo se debe al crecimiento de la población, lo cual genera un aumento en el consumo del agua; por ello, la empresa Unitek S.A., una compañía que desde 1993 desarrolla proyectos de ingeniería y produce sistemas de alta tecnología para el re-uso y tratamiento al percatarse de este problema se ha propuesto realizar reservorios de agua para ayudar a reducir muchas de las enfermedades producidas por el agua que afectan a las poblaciones menos privilegiadas, especialmente aquellas que viven en áreas rurales y urbanas marginales.

Por ello, aplicaremos las fórmulas brindadas por nuestro profesor de cálculo II para hallar nuestros objetivos planteados. Tales como la integral definida, volumen de sólido, superficie de revolución y el trabajo con integrales para poder presentarle a la empresa Unitek S.A. una propuesta de solución a su problema.

5. Marco Teórico

Volumen

Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3). Existen multitud de unidades de volumen, que se utilizan dependiendo del contexto o de la finalidad de la medición. En los ámbitos académicos o técnicos se suelen emplear el metro y sus derivados. Para expresar el volumen de sustancias líquidas o gaseosas, e incluso para mercancías a granel, se suele recurrir a la capacidad del recipiente que lo contiene, medida en litros y sus derivados.

En ocasiones, cuando la densidad del material es constante y conocida, se pueden expresar las cantidades por su equivalente en peso en lugar de en volumen. Muchas de las unidades de volumen existentes se han empleado históricamente para el comercio de mercancías o para el uso diario. Aun compartiendo el mismo nombre, muchas unidades varían significativamente de una región a otra.

FORMULA DEL VOLUMEN DE UN CILINDRO:

VA=π∗r2∗h

Método del Disco

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo , y el ancho será un . Es importante saber el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo, si rotamos la función en el eje y, despejamos la función dependiendo de y. Siendo el ancho del disco . FORMULA DEL MÉTODO DEL DISCO

Integral Definida

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aun cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x).

FORMULA GENERERAL:

∫a

b

F (x )dx

Superficie de Revolución

Se denomina sólido de revolución a aquel sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica.

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

.

METODO DE LA ARANDELAS:

Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco más pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el sólido.

Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es o dependiendo del eje de rotación.

Trabajo en vaciado y llenado de tanques

FUERZA CONSTANTE FUERZA VARIABLE TRABAJO EN VACIADO Y

LLENADO DE TANQUES.

W= F. D W=∫a

b

F ( x )dx W=ρ∗g∗π∫a

b

F ( x )dx

Unitek ha decidido tener un reservorio de agua por cada millon de personas, para esto se ha basado en el crecimiento poblacional que existe segun el senso del 2003, 2007 y 2010, los resultados del INEI de los mismos son los siguientes.

A B C2003 2007 20101000000 2000000 3000000 aprox

Los graficos del INEI describen un crecimiento con una function cuadratica la cual decifraremos a continuacion.

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1

2

3

Valores Y

Año

pers

onas

(mill

ones

)

Como se puede observar, que en verdad se tiene un grafico cuadrático, entonces la función será de la siguiente manera.

y=a x2+bx+c

Punto A = (3,1)

Punto B = (7,2)

Punto C = (10,3)

Reemplazaremos cada punto en la ecuación

1=a32+b3+c 2=a72+b7+c3=a10+b10+c

1=a9+b3+c……………(1)

2=a49+b7+c………......(2)

3=a100+b10+c………..(3)

Despejaremos las c e igualaremos la ecuación 1 con la ecuación 2

49 a+7b−2=a 9+b3−1

−4b+1=40a

b=1−40a

4 …………………(4)

Reemplazaremos (4) en (1)

1=a9+( 1−40a4

)3+c

( 34 )−21a+c=1

c=14+21a…………………(5)

Ahora (4) y (5) reemplazaremos en (3)

a100+( 1−40 a4 )10+ 1

4+21a=3

a100+ 52−20a+ 1

4+21a=3

a=1

404………………….(6)

Ahora que tenemos a podremos resolver (4) y (5) para hallar la ecuación

1404

x2+ 91404 x

+ 61202

= y

El proyecto tendrá que ser viable hasta el 2024 reemplazando tendremos

1404

(24 )2+ 91404

(24)+ 61202

= y

y=7millonesaprox

Se tendrá un reservorio por cada millón de personas, entonces serán 7 reservorios

La forma de reservorio que se hara será de la siguiente manera

Se buscara una bomba para poder llenar los reservorios de 11.5 metros (10 metros de cilindro y 1.5 de parte esférica) de altura con un radio de 3 metros, como sabemos el ƴ=1000kg/m3

El primer paso será llenar la parte semiesférica esta se hara de la siguiente manera, por ser el mismo liquido tendremos que su peso es de 1000 kg/m3

la ecuación del circulo es

x2+ y2=h2

x2+ y2=94

y2=9/4−x2

Los limites serán desde 0 hasta 3/2.

Sustituyendo la ecuación tendremos que

w=γ . π∗r2∫0

H

(9/4−x2 ) . xdx

w=4000π∫0

2

(9 /4−x2 ). x dY

w=4000π ¿

w=6283.18kgm

Luego se buscara llenar el tanque cilíndrico, que tiene la siguiente forma

Se supone que el agua se transporta en discos muy delgados, el volumen del disco será

V=π r2∆ x

El peso de la particula de agua será

P=γ .V=γ . π∗r2∆Y

La distancia que tiene que recorrer este disco es de H-Y

Luego el trabajo es

w=∫0

H

(H−Y ) . γ . π∗r2dY

w=γ . π∗r2∫0

H

(H−Y ) . dY

w=γ .π∗r2∗H 2

2

Como sabemos que nuestro radio es de 3 metros y la altura de 10 metros y el disco tendrá que llenarse completamente se asumirá la altura completa entonces

w=1000.π∗32∗102

2

w=1413716.69

El trabajo total para el llenado de agua será

W cilindro + w esférica = W total

W=6283.18+1413716

W= 1419999.18 J

Tendremos que buscar una bomba de 1419 KW para el llenado total del tanque

CAPACIDAD DE ALMACENAMIENTO

La formula del cilindro es la siguiente

V=π∗r2∗h

V 1=π∗32∗10

V1 = 282.74 m3

V 2=π∫0

3/2

9/ 4− x2❑dX

V 2=7.07m 3

VT=V 1+V 2

VT=282.74+7.07

VT=289.81m3

RESPUESTA:

La capacidad de almacenamiento del tanque de agua es de 289.81 m3.

8. Resultados:

Se necesitan 7 reservorios de agua para el año 2024. Se necesitara una bomba que entregue un trabajo de 1419 kw para realizar

el llenado del tanque

9. Conclusiones:

Con los datos proporcionados se logró llegar a los siguientes resultados.

1. La cantidad de reservorios para abastecer la necesidad del agua es de 7.

2. El trabajo necesario para llenar el reservorio es de 1419 Kw.

10. Recomendaciones

Es recomendable emplear bien los datos que hemos obtenido del tanque de agua.

Sería bueno que UNITEK S.A siga teniendo proyectos como la construcción de reservorios de agua para seguir satisfaciendo las necesidades de la población.

11. Bibliografía

Moises Villena Muñoz Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

Frank Ayres, Jr. Ph. D. Cálculo Diferencial de Integral

René Benitez – Cálculo Diferencial

Ron Larson, Robert P. Hostetler – Cálculo

C. Henry Edwards, David E. Penney – Cálculo