Avanza Matematicas Docente 8

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Johanna Alexandra Villanueva SilvaIvonne María Suárez Higuera

Andrés Rincón GómezSoraya Padilla Chasing

Carmen Samper de CaicedoVladimir Moreno Gutiérrez

Luis Eduardo Guzmán PinedaManuel Alejandro García Riveros

Luz Helena Silva CalderónNelson Eduardo Urrego Peña

Viviana Uni Muñoz

8

2

Autores de textos

Soraya Padilla Chasing

• Especialización en Estadística. Universidad Nacional de Colombia,

Colombia.

Carmen Samper de Caicedo

• Master of Arts (Mathematics). University of Maryland, E.U.

Vladimir Moreno Gutiérrez

• Maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia,

Colombia.

Manuel Alejandro García Riveros

• Maestría en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica

Nacional, Colombia.

Luis Eduardo Guzmán Pineda

• Maestría en Didáctica de la Matemática. Instituto Latinoamericano y

del Caribe IPLAC, Cuba.

Nelson Eduardo Urrego Peña

• Doctorado en Ciencias Pedagógicas. Universidad de Ciencias

Pedagógicas Enrique José Varona, Cuba.

Luz Helena Silva Calderón


Nacional, Colombia.

Viviana Uni Muñoz

• Especialización en Educación Matemática. Universidad Distrital

Francisco José de Caldas, Colombia.

Autora de evaluaciones diagnósticas

Ivonne María Suárez Higuera

• Maestría en Educación. Universidad de los Andes, Colombia.

Autora de evaluaciones de competencias

Johanna Alexandra Villanueva Silva


Nacional, Colombia.

Autor de Pruebas Saber

Andrés Rincón Gómez

• Matemático. Pontificia Universidad Javeriana, Colombia.

Autora de Alfabetismo en medios y creatividad e innovación

Soraya Padilla Chasing

• Especialización en Estadística. Universidad Nacional de Colombia,

Colombia.

Adecuación a la equidad de género y diversidad cultural

Ángela Franco Silva

Investigación de campo

Área de Investigación y desarrollo de Carvajal Soluciones

Educativas S.A.S.

Este libro contiene textos adaptados de

Delta Matemáticas 8

ZonActiva Matemáticas 8

Director editorial

José Tomás Henao Brigard

Editora jefe de área

María Claudia Malaver Fuentes

Editora del libro

Diana Lucía Polanía Teatino

Dirección de Centro de diseño

Gloria Esperanza Vásquez Arévalo

Coordinación de arte y diagramación

María Victoria Mora Hernández

Diseño de la serie

Rocío Milena Marmolejo

Diego Alexander Ríos Botina

Diseño de cubierta

Johanna Suárez

Ilustraciones

Mauricio Restrepo López

Ignacio Martínez-Villalba Trillos

Fotografías

Archivo gráfico Editorial Norma

©2014 Shutterstockphotos

Avanza Matemáticas 8

© 2015

Carvajal Soluciones Educativas S.A.S.

Bogotá, D.C., Colombia

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro,

por cualquier medio, sin permiso de la Editorial.

Impreso por

Impreso en Colombia – Printed in Colombia

Noviembre de 2014

Depósito legal.

ISBN del libro: 978-958-776-290-7

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Carvajal Soluciones Educativas:

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© Todos los derechos reservados.

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ción y comunicación pública. En caso de existencia de titulares legítimos de

derechos pertenecientes a obras no identificadas incluidas en esta obra, y no

amparadas por excepción o límite legal alguno, estos pueden contactar al

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3

El libro que tienes en tus manos forma parte del proyecto educativo Avanza secunda-ria. En este proyecto, queremos ofrecerte herramientas para que logres un aprendizaje duradero y pertinente. Por eso, en Avanza encontrarás lo siguiente:

• Competencias para el siglo XXI. Avanza te ofrece actividades para desarrollar las Competencias básicas del área, las Competencias de pensamiento crítico, las Competencias para el trabajo colaborativo, las Competencias en TIC y las Compe-tencias en el manejo de la información. Además, te propone dos programas para el desarrollo de competencias que son particularmente importantes: el programa de Alfabetización en medios, con el que se pretende contribuir al desarrollo de tu sentido crítico frente a los mensajes del mundo digital y de los medios de co-municación, y el programa de Creatividad e innovación, a través del cual recibes orientación en relación con la resolución de problemas y con la toma de decisio-nes de forma original y pertinente para la sociedad actual.

• Red de Apoyo Digital (RAD). Avanza te brinda el acceso a la Red de Apoyo Di-gital, una plataforma educativa en la que encuentras contenidos digitales interac-tivos, actividades de evaluación y documentos de profundización que te facilitan otras formas de acceder a la información y son complemento del texto escolar.

• Sistema de Evaluación Continua. Avanza te invita a administrar tu propio aprendizaje y con ello a desenvolverte en el mundo actual. Con este fin, te ofrece evaluaciones diagnósticas, de competencias y finales (Pruebas Saber) que permi-ten identificar en qué lugar de tu proceso te encuentras. Esta información te ayuda a ser consciente de tu situación y a tomar las decisiones oportunas para cumplir con tus metas de aprendizaje.

El filósofo y premio Nobel Henri Bergson afirma que “El porvenir no es lo que va a llegar sino lo que vamos a hacer”. Por tanto, queremos que seas artífice de tu porvenir y que seas capaz de desenvolverte en un mundo dinámico, cambiante, en el que la cantidad de información se multiplica cada día más.

Así, ponemos en tus manos una propuesta que te orienta en tu formación como persona creativa, capaz de manejar con sentido crítico la información del mundo digital y de los medios de comunicación, que sabe trabajar en equipo y cuenta con las habilidades y las actitudes necesarias para tomar decisiones y resolver problemas en el complejo mundo actual.

Cordialmente,

Editorial Norma

Querido estudiante:

4

Conoce tu libro

Inicio de capítulo

Desarrollo de temas

En cada unidad de Avanza Matemáticas 8, encuentras diferentes actividades que

te ayudan a reconocer cómo y para qué sirven las Matemáticas dentro de tu mundo.

A continuación, te presentamos las secciones que son el apoyo para tu aprendizaje.

Alfabetismo en medios desde las MatemáticasMensajes presentados en diferentes medios de comunicación.

Identifica: preguntas para reconocer los elementos de la situación de comunicación en la que se encuentra un mensaje.

Analiza: preguntas de análisis del mensaje propuesto.

Opina: preguntas que te llevan a construir una opinión sobre el mensaje.

Temas: listado de los temas que desarrollarás en el capítulo.

Evaluación diagnósticaPreguntas para identificar los conocimientos previos necesarios para

los nuevos aprendizajes. Primera etapa del Sistema de Evaluación

Continua.

Ideas previasPreguntas que buscan

despertar tu interés,

presentes al comienzo de

cada tema.

Ejemplos y conceptos claveDesarrollo de los contenidos

con variedad de ejemplos y

destacando el concepto o

procedimiento más

relevante.

En qué se aplicaSituaciones de la vida real

en las que se aplican los

conceptos trabajados.

Vínculo webDirecciones de internet

para desarrollar actividades

complementarias.

Para recordarAclaraciones sobre los

contenidos.

5

Final de capítulo

Final del libro

ResumenAl final de cada tema, se realiza una recapitulación con el fin

de reforzar el aprendizaje comprensivo de los conceptos o los

procedimientos fundamentales.

Desarrolla competenciasActividades y ejercicios variados que permiten aplicar los contenidos

estudiados. Algunas actividades corresponden a Razonamiento

lógico, Entretenimiento, Trabajo colaborativo y Olimpiadas

matemáticas. Buscan desarrollar tu imaginación y creatividad.

Evaluación de competenciasActividades y ejercicios variados que permiten aplicar los contenidos

estudiados. Contribuyen a consolidar el aprendizaje y a reconocer

los contenidos que debes profundizar. Están clasificadas de acuerdo

con los procesos propuestos por el MEN.

Prueba SaberPreguntas que te preparan para las evaluaciones nacionales. Te

ayudan a repasar de forma periódica y permanente los contenidos

que debes recordar. Es la última etapa del Sistema de Evaluación

Continua.

Educación financieraSituaciones y actividades para comprender conceptos financieros y

reflexionar sobre la toma de decisiones responsables en el manejo

de los recursos y el dinero

Creatividad e innovaciónDescripción de una situación de la vida cotidiana que debes resolver.

Reto: se expone el desafío que debes resolver.

Infórmate: preguntas para analizar el problema.

Fuentes: selección de fuentes para profundizar sobre el problema.

Crea: descripción de una técnica creativa y los pasos para responder al reto propuesto.

TemaTema

1Capítulo

2Capítulo

6

ContenidoSistema de los números reales. Ecuaciones e inecuaciones lineales. Polinomios

Factorización. Fracciones algebraicas. Funciones

Unidad 1 Sistemas de los números reales.

Evaluación diagnóstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Números reales y relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Adición y sustracción de números reales . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Multiplicación y división de números

reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 Potenciación, radicación y logaritmación

de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Evalúa tus competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Unidad 2 Ecuaciones e inecuaciones lineales.

9 Ecuaciones lineales con coeficiente

entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10 Ecuaciones lineales con coeficiente

fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

11 Planteamiento y resolución de problemas

con ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12 Inecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . 56


Unidad 3 Polinomios.

13 Expresiones algebraicas y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14 Adición y sustracción de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

15 Multiplicación de monomios y

polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

16 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

17 Triángulo de Pascal y teorema del binomio . . . . . . . . . . . . 80

18 División de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19 División sintética y teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . 88

20 Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


Prueba Saber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

Creatividad e innovación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Unidad 4 Factorización.

Evaluación diagnóstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

21 Descomposición en factores primos y

máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

22 Factor común monomio y factor común

polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

23 Factor común por agrupación de términos . . . . . . . . . 113

24 Factorización de un trinomio cuadrado

perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

25 Factorización de trinomios de la

forma x2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

26 Factorización de trinomios de la

forma ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

27 Factorización de diferencia de

cuadrados perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

28 Factorización de trinomio cuadrado perfecto por

adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

29 Factorización de la diferencia o suma

de cubos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

30 Factorización de expresiones de

la forma xn ± yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

31 Factorizaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

32 Aplicaciones de la factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Evalúa tus competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

Unidad 5 Fracciones algebraicas.

33 Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

34 Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 152

35 Fracciones algebraicas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

36 Ecuaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 164


Unidad 6 Funciones.

37 Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

38 Representación gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 174

39 Función lineal y función afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

40 Funciones de variación directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . 184

41 Funciones crecientes, decrecientes

y constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


Prueba Saber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

TemaTema

3Capítulo

4Capítulo

7

Geometría Estadística y probabilidad

Unidad 7 Geometría.


42 Razonamiento inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

43 Razonamiento deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

44 Construcción de la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

45 Ángulos y rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

46 Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

47 Rectas paralelas y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

48 Triángulos congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

49 Aplicación de la congruencia

de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

50 Congruencia de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . 244

51 Mediatrices y bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

52 Desigualdades en un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

53 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

54 De cuadrilátero a paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

55 Cuadriláteros especiales: rectángulos,

rombos y trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276


Prueba Saber ............................................................286

Creatividad e innovación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290

Unidad 8 Estadística y probabilidad.


56 Tablas de frecuencia para datos agrupados . . . . . . . . 296

57 Histogramas y polígonos de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 301

58 Principios de adición y multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

59 Combinaciones y permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

60 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311


Prueba Saber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320

Educación financiera . . ..................... 321

8

Capítulo Sistema de los números reales.Ecuaciones e inecuaciones lineales.Polinomios

8

1

9

Alfabetismo en medios desde las Matemáticas

Identifica

Temas

Analiza

Opina

1. Números racionales

2. Números irracionales

3. Números reales y relación de orden

4. Valor absoluto

5. Adición y sustracción de números reales

6. Multiplicación y división de números reales

7. Potenciación, radicación y logaritmación de números

reales

8. Notación científica

9. Ecuaciones lineales con coeficiente entero

10. Ecuaciones lineales con coeficiente fraccionario

11. Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones

lineales

12. Inecuaciones lineales con una incógnita

13. Expresiones algebraicas y polinomios

14. Adición y sustracción de polinomios

15. Multiplicación de monomios y polinomios

16. Productos notables

17. Triángulo de Pascal y teorema del binomio

18. División de monomios y polinomios

19. División sintética y teorema del residuo

20. Cocientes notables

1. ¿Quiénes están interesados en difundir mensajes sobre alimentación sana?2. ¿Qué información proporciona el afiche?3. ¿En qué otros medios puedes encontrar información sobre los hábitos alimenticios?

Para contestar las siguientes preguntas ten en cuenta que la información dada en el

afiche corresponde a un consumo calórico diario.

1. ¿De cuál categoría de alimentos debes consumir a diario el mayor porcentaje?2. ¿Qué diferencia existe entre el consumo calórico de un desayuno con pan de

centeno, papaya, queso y leche y otro con pan blanco, un huevo y salchicha?3. Marcela comió papas fritas, gaseosa y salchichas. Si consumió 2172 calorías,

¿cuántas porciones pudo comer de cada alimento?4. Daniel es un joven de 16 años. En un día, consumió 1860 calorías de carbohi-

dratos, 930 calorías de grasas y 310 calorías de proteínas. ¿Daniel consumió la cantidad de calorías recomendadas ese día?

5. Con base en la tabla sobre las frutas, ¿cuál proporciona más calorías? ¿Cuál con-tiene menos proteínas? ¿Cuál presenta menos grasa?

1. ¿Cuáles crees que son las consecuencias de consumir muchas grasas?2. ¿Por qué crees que la dieta de un adolescente debe ser más rica en carbohidratos

que en proteínas y grasas?3. ¿Por qué las frutas no aparecen dentro del plato?

10

diagnósticaEvaluación

Competencias en el Manejo de la información

Lee con atención las siguientes preguntas y enunciados. En cada caso, encierra la respuesta correcta.

2

2–2

–2

–4

–4

–6

–6

X

Y

A

B

1. El conjunto de los números enteros está formado

por los números naturales y sus opuestos. ¿Cuál de

los siguientes conjuntos está formado solamente

por números enteros?

a. { }= –3, –52

, – 2, –1, –12

, –13

A .

b. { }= 0,13

, 1,32

, 2, 3B .

c. C = {–6, –5, –4, –3, –2, –1}.

d. 12

,34

, 1, 2,52

, 3D { }= .

2. Mariana ubicó en una recta numérica las fracciones 35

y 45

. Si ahora debe ubicar un número que se

encuentre entre esas fracciones, puede ubicar a

a. 4

10, porque es mayor que

35

.

b. 7

10, porque es mayor que

35

y menor que 45

.

c. 1210

, porque es mayor que 45

.

d. 1410

, porque es mayor que 35

y menor que 45

.

3. La afirmación falsa es

a. [(–5) + 8] + [(–8) + 5] = 0.

b. ( )+ = +2113

17

3 7 .

c. ÷ =53

72

356

.

d. ( )+ = +12

23

513

52

.

4. Observa la figura 1.1. Si Camila está ubicada en el

punto A y Alejandro está ubicado en el punto B,

¿cuál es el valor aproximado de la distancia entre

Camila y Alejandro?

Figura 1.1

a. 4,0 unidades, porque la distancia entre A y B es cuatro.

b. 5,4 unidades, porque la distancia entre A y B es raíz de veintinueve.

c. 2,4 unidades, porque la distancia entre A y B es raíz de seis.

d. 4,5 unidades, porque la distancia entre A y B es raíz de veinte.

5. Selecciona la expresión que representa la siguien-

te situación y su resultado.

La suma del producto entre 1000 y –3,824,

el producto entre 1000 por 2,78

y el cociente de 900 entre 100.

a. (–3,824 × 1000) + (2,78 × 1000) + (900 ÷ 100).

Resultado: –1035.

b. (–3,824 × 1000) + (2,78 × 1000) + (900 ÷ 100).

Resultado: 1035.

c. (–3,824 + 1000) × (2,78 + 1000) × (900 ÷ 100).

Resultado: 899 050.

d. (–3,824 + 1000) × (2,78 + 1000) × (900 ÷ 100).

Resultado: 8 990 508.

✗

✗

✗

✗

✗

11

De 10 puntos obtuve bien ____.

Punto Desempeño Sí No

1. Reconozco los elementos que pertenecen al conjunto de los números enteros.

2. Identifico las relaciones de orden (>, < o =) en el conjunto de los números racionales.

3. Realizo adiciones y multiplicaciones con números enteros.

4. Utilizo el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos y redondeo números.

5. Traduzco expresiones simbólicamente y realizo operaciones con expresiones decimales.

6. Reconozco las propiedades de la potenciación y radicación con números racionales.

7. Expreso en lenguaje matemático expresiones del lenguaje común.

8. Soluciono ecuaciones lineales con coeficiente entero.

9. Soluciono situaciones en contextos matemáticos con ecuaciones lineales de coeficiente entero.

10. Represento el área de regiones por medio de ecuaciones y las evalúo.

6. Selecciona la expresión equivalente a la siguiente:

⋅ ⋅( ) ( ) ( )+ +23

23

5

53 7 3

3 53

3

a. ( ) +23

8 38

.

b. ⋅( ) +23

5 7 38

.

c. ( ) +23

8 33

.

d. ( ) +23

7 33

.

7. ¿Cuál es la expresión matemática que representa lo

siguiente: 6 veces el número equivale a disminuir

en 18 a 5 veces el mismo número?

a. 6x – 18 = 5x.

b. 6x = 5x + 18.

c. 6x – 18 = –5x.

d. 6x = 5x – 18.

8. La solución de 6(x + 1) = (x + 11) es

a. x = 1. b. x = –1

c. = 177

x . d. = –175

x .

9. Si la suma de tres números consecutivos es 183,

¿cuál es la ecuación que modela la situación mate-

mática?

a. 3x – 3 = 183.

b. 3x + 3 = 183.

c. x + 3 = 183.

d. x – 3 = 183.

10. Si el lado del cuadrado mide 6 cm, ¿cuál es el área

de la región coloreada?

Figura 1.2

a. (36 – 12π) cm2.

b. (36 – 9π) cm2.

c. (12 – 9π) cm2.

d. (24 – 6π) cm2.

✗

✗

✗

✗

✗

12

Tema

Pensamiento numérico

Ideas previas

Sistema de los números reales

1

1. Ubica en una recta numérica a –12

, –14

y –25

.

2. ¿Cuántos números enteros hay entre –1 y 0? ¿Existen números entre –1 y 0?

Números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como el cociente de

dos números enteros a y b, es decir, ab

, con b ≠ 0. El conjunto de todos los números

racionales se simboliza con la letra Q.

Ejemplo 1

Hallemos la representación decimal de los siguientes números racionales.

a. –31 b. 35

c. − 299

Solución

a. –31 = –31,0 b. =35

0,6 c. − = −299

0,020202

Los números enteros se usan para contar objetos. Sin embargo, debido a la necesidad

de medir otras cantidades (como áreas, masas, tiempos, entre otras), se amplió el con-

cepto de número entero a número racional.

Los números racionales se pueden expresar como números decimales. Para ello, dividi-

mos el numerador del número racional entre su denominador.

Todo número racional puede escribirse como un decimal en el que la parte decimal es finita o infinita periódica. Si en un número decimal el período co-mienza después de la coma, el número se denomina periódico puro; en caso contrario, periódico mixto. Al dígito decimal que no pertenece al período, se le llama antiperíodo.

Cada representación decimal consta de dos partes: el número antes de la coma, que

denominaremos parte entera, y el número después de la coma, que recibe el nombre

de parte decimal. Por ejemplo, en el número 1,6, la parte entera es 1 y la parte deci-

mal es 0,6. En el número decimal –0,020202…, la parte entera es 0 y la parte decimal

–0,020202… El conjunto de dígitos que se repite en la parte decimal, en el orden en

que aparecen en el cociente, se llama período del número decimal y se caracteriza por

llevar una barra encima. Por ejemplo, − = − = −299

0,020202 0,02 .

13

Propiedad de densidad

Entre dos números racio-

nales siempre habrá otro

número racional.

Para recordar Ejemplo 2

–3,1 es decimal finito. 7,15 es decimal infinito periódico puro con período 15 y –1,0123

es decimal infinito periódico mixto con antiperíodo 01 y período 23.

Conversión de expresiones decimales a racionales

Así como es posible encontrar la representación decimal de una fracción (dividiendo

el numerador entre el denominador), podemos hallar la fracción correspondiente a un

número decimal. Sin embargo, antes de presentar el procedimiento que se debe seguir,

recordemos que si tenemos un conjunto de fracciones equivalentes, las podemos sim-

plificar para reducirlas a una misma fracción. Por ejemplo, 46

, 69

y 8

12 son equivalentes

a 23

, que es una fracción irreducible, cuya representación decimal es 0,6. Al número

completamente simplificado 23

, se le denomina fracción generatriz de 0,6.

Procedimiento para convertir una expresión decimal a una fracción

Caso 1. Dada la expresión decimal finita 4,102, la multiplicamos por 10001000

(fracción

unidad formada por 1 seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal).

Así, ⋅ =4,10210001000

41021000

. Simplificamos y obtenemos la fracción generatriz de 4,102:

=2051500

4,102 .

Caso 2. Dada la expresión decimal infinita periódica pura 7,15 , realizamos los si-

guientes pasos.

1. Representamos con una letra (incógnita) la fracción generatriz: x.

2. Igualamos la incógnita con la expresión decimal: x = 7,15.

3. Multiplicamos por 100 a ambos miembros de la ecuación del paso anterior.

(1 seguido de tantos ceros como cifras tenga el período): 100x = 715,15.

4. Sustraemos de la ecuación del paso 3, la ecuación del paso 2.

100x – x = 715,15 – 7,15

99x = 708

5. Despejamos la incógnita x y, de ser posible, simplificamos: = =x70899

23633

.

Por tanto, =7,1523633

.

Caso 3. Dada la expresión decimal infinita periódica mixta –1,0123, seguimos un pro-

cedimiento similar al del caso 2 salvo que, en el paso 2, luego de igualar la incógnita a la

expresión decimal, multiplicamos a ambos miembros de la ecuación por 100 (1 seguido

de tantos ceros como cifras tenga el antiperíodo).

Al realizar este procedimiento, obtenemos − = −1,012350114950

.

A lo largo del tiempo, las

fracciones se han escrito

de diferentes formas. Por

ejemplo, los matemáticos

indios las escribían como

las escribimos actualmente,

pero sin la línea horizontal.

Los primeros en usarla

fueron los árabes y de ellos

la aprendió el matemático

italiano Fibonacci.

Para recordar

14

Desarrolla competencias

543210–1–2

543210–1–2

43210–1–2–3–4

1. Clasifica los siguientes números en racionales o no racionales según corresponda.

a. –34 b. 3,141592...

c. 0 d. –4,93617...

e. 3,3 f. 8,05

g. 37

h. 1,02080506...

i. 913

j. 6,08911111...

2. Determina la parte entera y la parte decimal de los

siguientes números.

a. 2,1111… b. 72,08123123123…

c. 5,0123456789… d. 17

e. –89 f. –7,15341769…

g. –0,201201… h. –6,10909…

3. Escribe los siguientes números racionales en

forma de expresión decimal.

a. –3 b. 34

c. 58

d. 74

e. 25

f. − 13

g. 911

h. − 17

i. −137

4. Clasifica los siguientes números racionales en de-

cimales finitos e infinitos periódicos. Para el último

caso, indica el período y/o el antiperíodo.

a. –8,21 b. 2,708

c. –0,10303... d. 12,132424...

e. 7,666... f. 32

g. 43

h. 83

i. 114

j. 357

5. Encierra el valor aproximado del punto indicado

sobre cada recta.

a.

37

74

32

98

b.

Figura 1.1

13

− 95

− 43

− 65

6. Ubica en la recta numérica los siguientes números

decimales exactos.

Figura 1.2

a. –0,5 b. 1,25

c. –2,25 d. 2,3

e. 3,6 f. –3,3

7. Determina la fracción generatriz de los siguientes

números decimales.

a. 4,8 b. 23,4

c. –2,888… d. –12,454545…

e. 2,718281828... f. 3,141515...

g. –0,999… h. 1,999…

i. 2,999… j. 3,999…

8. Completa la tabla 1.1 teniendo en cuenta que los

números de cada columna deben ser equivalentes.

145

��

��

139

��

175

–0,2 3,6 –2,34

Tabla 1.1

9. Completa cada frase.

a. ____ es un número racional que está entre –4 y –3,7.

b. ____ es una expresión decimal finita.

c. ____, ____ y ____ son expresiones decimales periódicas puras menores que 1.

d. ____ es una expresión decimal periódica mixta con antiperíodo 21 y período 3456.

Trabajo colaborativo

10. Retoma las fracciones generatrices de las expre-

siones decimales de los literales g. a j. del punto 7.

¿Qué característica tienen en común?

11. ¿Es posible hallar un número entre 1,999… y 2,

entre –1 y –0,999…? Explica tu respuesta.

15

Resumen

Números racionales

pueden

escribirse

comodecimales

finitos por ejemplo

–12,3

3,456

9,83124

infinitos

periódicospueden ser

puros por ejemplo –2,45

12,365

mixtos por ejemplo–2,745

12,89349

que pueden

ser

OlimpiadasMatemáticas

Razonamiento lógico

12. Escribe dos números decimales periódicos puros,

cuyo período tenga una cifra.

a. ¿La suma de estos dos números es un decimal periódico? ¿Cuántas cifras tiene su período?

b. Realiza el mismo ejercicio, pero con dos nú-meros periódicos puros cuyos períodos cons-ten de dos cifras.

c. ¿Qué relación observas entre los resultados hallados en a. y b.?

13. En un edificio de apartamentos, la mitad de las

ventanas tiene cortinas; la cuarta parte de las ven-

tanas tiene macetas y la sexta parte tiene cortinas

y macetas. Hay 375 ventanas que no tienen corti-

nas ni macetas. Además, 15

de los apartamentos

tiene 5 ventanas, 25

de los apartamentos tiene 3

ventanas y los demás tienen 2 ventanas. ¿Cuántos

apartamentos tiene el edificio?

Pensamiento crítico y resolución de problemas

14. En una competencia de automovilismo, los pilo-

tos que representan a cada país recorrieron una

vuelta del circuito en los tiempos que se muestran

en la tabla 1.2.

PaísTiempo

(en minutos)

Alemania 1,11

Brasil 1,05

Inglaterra 1,13

Francia 1,07

Argentina 1,03

Tabla 1.2

a. ¿A qué país corresponde el tiempo 2120

minu-tos?

b. Escribe en orden ascendente los tiempos de llegada. ¿Qué país representa el piloto más rápido? ¿Qué país representa el más lento?

c. 3

50 minutos es la diferencia entre los tiem-

pos del piloto que representa a Francia y a __________.

15. Un grupo de trabajadores debe reemplazar el cés-

ped de dos campos de las mismas dimensiones.

Durante media jornada, todos trabajan en uno de

los campos. En la otra media jornada, la mitad de

los trabajadores continúan en el primer campo y

terminan de colocar el césped, y la otra mitad tra-

baja en el segundo campo. Al finalizar la jornada,

a la parte del segundo campo, le tomará una jor-

nada completa de 4 trabajadores para terminar el

trabajo. ¿Cuántas personas forman el grupo?

16

Tema


Ideas previas

11 11

φ


2

Escribe los nombres de los conjuntos numéricos que conoces y tres elementos que

pertenezcan a cada uno. ¿Existe un número que pertenezca a todos los conjuntos

numéricos?

Números irracionales

Los pitagóricos, buscando explicar que todo se escribía con números, hallaron uno muy

especial: el número de oro o proporción áurea. Lo encontraron en el pentágono regu-

lar (como el cociente entre la longitud de una diagonal y la medida de su lado), en la

naturaleza, en la arquitectura y en el arte (ver figura 2.1).

El número de oro 1,61803... al igual que 1,4142…, que representa a 2 , no están en el

conjunto de los números racionales. Estos números se caracterizan porque no tienen

expresión racional, su parte decimal se prolonga indefinidamente y los números que

los constituyen carecen de patrón. En síntesis, los números irracionales son infinitos no

periódicos.

El número de oro o pro-

porción áurea se simboliza

con la letra griega φ (fi)

en honor al artista griego

Fidias, quien la usó en sus

obras. ϕ = +1 52

.

Para recordar

Figura 2.1

Los números irracionales no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, es decir, no tienen expresión racional y su representación decimal es infinita no periódica.

El conjunto de todos los números irracionales se denota con la letra I.

En general, las raíces cuadradas de números primos son números irracionales.

Ejemplo 1

Determinemos cuáles números son irracionales.

a. 7 b. 83

c. 17

d. 169

Solución

a. 7 es un número primo. No es el producto de dos números enteros idénti-cos, es decir, no es un número cuadrado. Por tanto, su raíz cuadrada es un número irracional.

b. La raíz cúbica de 8 es el entero 2, por tanto, este número es racional.

c. Es el cociente de dos números enteros, su expresión decimal es 0,142857 y su parte decimal es infinita periódica. Es decir, es un número racional.

d. 169 es número cuadrado, por tanto, es racional.

Los números racionales no completan la recta numérica. Los espacios que quedan se

llenan con los números irracionales. Podemos ubicar fácilmente en la recta los números

enteros y racionales, pero los números irracionales requieren un procedimiento especial

porque no tienen una expresión racional. Utilizaremos el teorema de Pitágoras para

ubicarlos en la recta numérica. Veamos cómo se ubica a 2 .

17


0 1 2

0 1 22

2

A = 25 m2A = 48 m2

El número de oro se en-

cuentra en objetos como

las tarjetas de crédito.

Compruébalo hallando el

cociente entre su largo y

ancho.

En qué se aplica1. Dibujamos sobre la recta numérica, en la unidad de 0 a 1, un cuadrado cuyo lado

mida una unidad.

Figura 2.2

2. Trazamos la diagonal del cuadrado que pasa por cero. Calculamos la medida de

esta diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.

3. Trasladamos con el compás la medida de esta diagonal a la recta numérica, de-

jando fija la punta del compás en cero. El compás marca sobre la recta un número

menor, pero cercano a 1,5. Recordemos que ≈2 1, 4142.

Figura 2.3

Los números irracionales

más representativos son

• π ≈ 3,14159: el cociente

entre la longitud de la cir-

cunferencia y el diámetro

del círculo.

• 2 ≈ 1,4142: un ejemplo

de las raíces de números

no cuadrados.

• φ ≈ 1,611803: el número

de oro +1 5

2.

• e ≈2,7182: el número Euler.

Para recordar

1. Clasifica como racional o irracional cada número.

a. 1

25 b. 153 c. 184

d. 273 e. π f. 0,25

g. 1,46729725363... h. 5

i. 0,3333... j. 2,25

2. Halla la longitud del lado de cada cuadrado y de-

termina si el número decimal que representa la

longitud es racional o irracional. Ten en cuenta el

área de cada uno.

a. b.

Figura 2.4

3. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa.

Justifica tu respuesta.

a. Todo número par es racional.

b. Cualquier fracción negativa es irracional.

c. Todas las raíces de números enteros son nú-meros irracionales.

d. La suma de dos números irracionales es un número irracional.

e. El producto y cociente de dos números irra-cionales es un número irracional.

4. Ordena de mayor a menor los siguientes números.

a. 1,4142; 1,4142; 1,4142; 1,4142; 1,4142; 2 .

b. 7 ; 2,6457; –2,6457; 2,6457; 2,6457; –2,6457.

5. Halla la representación decimal aproximada (3 dí-

gitos) de cada número irracional en la desigual-

dad y complétala escribiendo los números ente-

ros entre los cuales se halla el número irracional.

Utiliza la calculadora.

a. ■ < <2 ■b. ■ < − <5 ■c. ■ < − <150 ■d. ■ < 5π < ■

18

Resumen

Perímetro = 12 cm

zz

3 cm

1,5 cm

5 m A

B

8 m

43210–1–2

–

–3–4

2

43210–1–2–3–4

– 1– 3

6. Determina la longitud desconocida en cada caso.

a. b.

Figura 2.5


7. Determina cuánto debe medir la escalera que va de

la puerta A a la ventana B (ver figura 2.6).

Figura 2.6

8. Ubica los siguientes números a partir del número

que indica el punto rojo.

a. − +2 2 y +2 2

b. +3 1 y − −3 2

Figura 2.7

9. Ubica los siguientes números irracionales sobre la

misma recta siguiendo el procedimiento explica-

do (debes encontrar una diagonal cuya medida

sea cada uno de ellos).

a. 6 b. − 7 c. 8 d. − 11


10. Completa la tabla con la ayuda de una calculado-

ra. Para ello, remplaza el valor de n en la expresión

( )+n

11 n

. Discute los valores con un compañero.

Valor de n Valor de la expresión

2

3

4

10

100

500

10 000

Tabla 2.1

a. ¿Qué pueden concluir luego de analizar el comportamiento de los valores de la segun-da columna de la tabla 2.1?

b. Utilicen un computador para calcular la ex-

presión ( )+n

11 n

. Remplacen n por un núme-

ro muy grande y comprueben la conclusión anterior.

c. Investiguen acerca del número de Euler y contrasten la información con la conclusión.

Los números irracionales

• son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

• son aquellos de la forma n , para n entero positivo que no es cuadrado perfecto.

• pueden escribirse de manera exacta en la recta numérica utilizando regla, compás

y el teorema de Pitágoras.

19

Tema


Ideas previas

1210

10,83,7–5,5

8642–6 –2–4 0


3

¿Cuáles pueden ser las medidas de un rectángulo, si su ancho es la mitad de su largo

y su perímetro es menor o igual que 86 cm?

Números reales y relación de orden

El ser humano, a lo largo de su historia, ha manifestado necesidades como contar, me-

dir, resolver ecuaciones y dar solución a diversos enigmas de la naturaleza. Estas necesi-

dades han sido y serán satisfechas con el uso de las diferentes clases de números.

Recordemos los conjuntos numéricos que hemos trabajado.

Números naturales o de conteo: N = {0, 1, 2, 3, 4,…}.

Números enteros: Z = {… – 3, – 2, 0, 1, 2, 3,…}.

Números racionales: { }= ∈ ∈ ≠ab

a b b, , y 0Q Z Z

(decimales finitos e infinitos periódicos).

Números irracionales: I = {x: x es un número decimal infinito no periódico}.

La unión de los conjuntos decimales finitos, decimales periódicos y no periódicos for-

man el conjunto de los números decimales, y lo llamaremos conjunto de los números

reales.

Entre los conjuntos numé-

ricos se establecen relacio-

nes de contenencia, así:

1. N ⊂ Z: todo número

natural es entero.

2. N ⊂ Z ⊂ Q: todo número

natural es entero, todo

entero es racional y todo

natural es racional.

3. Q ⊄ I y I ⊄ Q: ningún

racional es irracional y

viceversa.

Para recordar

El conjunto de los números reales denotado con la letra R, está formado por todos los números decimales, es decir, R = Q ∪ I.

En el conjunto de los números reales, al igual que en los otros conjuntos numéricos

estudiados, podemos establecer la relación de orden entre sus elementos.

Cada número real está re-

presentando por un único

punto en la recta numérica

real.

Para recordar

Para toda pareja de números reales x y z, se establece alguna de las siguientes relaciones de orden:

• x es mayor que z: x > z.

• x es menor que z: x < z.

• x es igual que z: x = z.

Ejemplo 1

En la recta de la figura 3.1 observamos que –6 < –5,5 < 0 < 3,7 < 10,8.

Figura 3.1

20

a b a b

a b a b

Conozcamos ahora algunas propiedades de la relación de orden.

Consideremos x, y, c, u y v números reales.

Propiedad Ejemplo

Si x ≤ y, entonces x + c ≤ y + c. –68 < 47, entonces –68 + 2 < 47 + 2

Si x ≤ y y u ≤ v, entonces x + u ≤ y + v.32 < 45 y –12 < 20, entonces

32 – 12 < 45 + 20

Si x ≤ y, entonces x ⋅ c ≤ y ⋅ c, siempre y cuando

c sea un número real positivo (c > 0).

–68 < 47 y 3 > 0, entonces

–68 × 3 < 47 × 3

–204 < 141 (La desigualdad se conserva)

Si x ≤ y, entonces x ⋅ c ≥ y ⋅ c, siempre y cuando

c sea un número real negativo (c < 0).

–68 < 47 y –3 < 0, entonces

–68 × (–3) > 47 × (–3)

204 > –141 (La desigualdad cambia de

sentido)

Tabla 3.1

Relaciones como x < 3,2 y –2 < x ≤ 3 representan subconjuntos infinitos de R, también

llamadas inecuaciones. Este tipo de relaciones se pueden representar en la recta nu-

mérica a través de semirrectas o segmentos y en una notación más corta denominada

intervalos.

Intervalos acotados (segmentos)

Estos subconjuntos de números reales nos sirven para representar numéricamente las

coordenadas de todos los puntos de un segmento de recta. Pueden incluir sus extre-

mos o no.

En la tabla 3.2 encontramos los posibles intervalos que representan al PQ. Las coordena-

das de sus extremos P y Q son a y b, respectivamente.

Intervalo cerrado [a, b]

Representa el conjunto de todos los núme-

ros reales entre a y b, incluidos a y b:

{x ∈ R: a ≤ x ≤ b}.

Intervalo abierto (a, b)


ros reales entre a y b:

{x ∈ R: a < x < b}.

Intervalo semiabierto a derecha [a, b)


ros reales entre a y b, incluido a:

{x ∈ R: a ≤ x < b}.

Intervalo semiabierto a izquierda (a, b]


ros reales entre a y b, incluido b:

{x ∈ R: a < x ≤ b}.

Tabla 3.2

La relación menor o igual

(≤) es una relación de

orden en el conjunto R,

porque

• es reflexiva: a ≤ a, para

todo número real a.

• es antisimétrica: si a ≤ b

y b ≤ a, entonces a = b.

• es transitiva: si a ≤ b y

b ≤ c, entonces a ≤ c.

Para recordar

Un intervalo representa

una desigualdad en donde

hay por lo menos una

incógnita.

Para recordar

21

a a

a a

8,7 8,8 8,9

8,90 8,95

9,0 9,1

4 53210–1–2–3

4 5321

72

0–1–2–3

43210–1–2–3–4

–

Intervalo cerrado no acotado a derecha [a, ∞)

Representa el conjunto de todos los números reales mayores

o iguales que a: {x ∈ R : x ≥ a}.

Intervalo cerrado no acotado a izquierda (–∞, a]

Representa el conjunto de todos los números reales menores

o iguales que a: {x ∈ R : x ≤ a}.

Intervalo abierto no acotado a derecha (a, ∞)

Representa el conjunto de todos los números reales mayores

que a: {x ∈ R : x > a}.

Intervalo abierto no acotado a izquierda (–∞, a)

Representa el conjunto de todos los números reales menores

que a: {x ∈ R : x < a}.

Tabla 3.3

Intervalos no acotados (semirrecta y recta)

Estos subconjuntos de números reales nos sirven para representar numéricamente las

coordenadas de todos los puntos de semirrectas de la recta o de toda la recta. Las semi-

rrectas pueden incluir su extremo o no.

En la tabla 3.3 están los posibles intervalos que representan a una semirrecta.

Ejemplo 2

Escribamos, empleando intervalos,

el subconjunto de los números

reales representado en cada caso.

Ejemplo 3

Mike Powell tiene el récord mundial de salto largo con un brinco de 8,95 m, el cual

logró en el Mundial de Atletismo de Tokio, en 1991. El anterior récord mundial lo tenía

Bob Beamon, con 8,9 m. ¿Cuáles distancias puede lograr un atleta que no supere el

actual récord mundial y sea mayor o igual que el anterior?

Solución

Todos los números reales mayores o iguales que 8,9 y menores que 8,95, los cuales los

representamos con la expresión 8,9 ≤ x < 8,95, o [8,9; 8,95). Gráficamente se representa

como aparece en la figura 3.3.

Figura 3.3

El conjunto de los números

reales puede representarse

con el intervalo (–∞, ∞).

Para recordar

a.

b.

c.

Figura 3.2

Solución

a. (–2, 4] b. [1, 5) c. ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥–

72

, 3

Practica realizando ejer-

cicios de reconocimiento

de intervalos ingresando

en la página http://www.

genmagic.net/mates5/

numeros_reales/gmat416c.

html

Vínculo web

22


5

–6–8

0

3

12

52

π

1. Selecciona el número que hace verdadera cada

afirmación.

a. El número ________ se encuentra entre 4 y 5.

b. Entre –3 y –72

está ______.

c. ____ es menor que –125

y mayor que ___.

d. 3 es menor que ______ y ______.

e. Entre 2 y π está ______.

–5 –6 3 4,7 5 2 –3,3

2. Utiliza los símbolos ∈ y ∉ para indicar si el número

pertenece o no al conjunto numérico dado.

a. 3 ■ Q b. – 5 ■ N

c. 12

■ I d. 3 ■ Q

e. –9 ■ Z f. 1,3 ■ I

g. 4,51 ■ Q h. − 8 ■ R

i. 3π ■ Q j. 3 2 ■ I

k. 21,3 ■ R l. − 35

■ N

m. 0 ■ Q n. 7 ■ Z

o. − 87

■ R p. 3,141592… ■ Q

3. Identifica los números del conjunto M que cum-

plen cada condición.

π{ }= −M 3,58

, 26 , –2 , 0, –10, 5,3

3, –

72

,1,7, 5,321

a. Naturales

b. Enteros no naturales

c. Racionales no enteros

d. Reales no irracionales

e. Reales no racionales


4. Determina cuáles proposiciones son verdaderas

y cuáles falsas. En las proposiciones falsas, da un

ejemplo que compruebe su falsedad.

a. Hay números enteros no racionales.

b. Todo número irracional es un número real.

c. Cero es irracional.

d. Todo decimal exacto es racional.

e. Todo número entero es un número natural.

f. 3 + π es un número racional.

g. Cualquier número decimal es un número real.

h. Ningún número racional es un número irracional.

5. Ubica dos números racionales entre cada pareja

de números dados.

a.

b.

c.

d.

Figura 3.4

6. Ordena cada conjunto de números reales de

mayor a menor.

a. –8; 35

; 0; –172

; 3; –2; 12

; 1.

__________________________

b. 25 ; 125

; –4; 15 ; –103

.

__________________________

c. 3 ; –32

; 83 ; 53

; 0; –1; 7 .

__________________________

d. 2; –67

; 0; 2 ; π; 3; 36 ; 11 .

__________________________

23

–3 –2 –1 0 1

1,5–2,3

–3,5 4

2 3

–4 –2 0 2 4 6 8

4

4,8

1,8 3,6

7,3

5 6 7

–1 0 1 2 3 4 5

7. Escribe un número real que satisfaga la desigual-

dad y pertenezca al conjunto dado.

a. 1 < ■ < 2; Q

b. –3 < ■ < –2; I

c. 7 < ■ < 9; Q

d. –1 < ■ < 1; I

e. 5 < ■ < 8; Q

f. –10 < ■ < –7; I

8. La tabla 3.4 registra los cinco primeros lugares

en una carrera atlética. Completa la información

estimando de manera adecuada los tiempos.

Atleta Tiempo

Juan Rivera 1 minuto 37 segundos

Carlos Pérez

Mauricio Ríos 1 minuto 40 segundos

Pedro Rodríguez

Julián Vanegas 1 minuto 48 segundos

Tabla 3.4

9. Escribe los símbolos <, > o = según corresponda.

a. 1,999 ■ 1,9999

b. 2,5 ■ − 2510

c. –0,33333 ■ − 13

d. –10,01001 ■ –10,01010

e. 22

■ π4

f. 1

3 ■ 3

3

10. Escribe el intervalo que representa a cada con-

junto.

a. Todos los números reales mayores que 5 y menores que 4.

b. Todos los números reales mayores

o iguales que 2 y menores que 52

.

c. Todos los números reales menores o iguales que 12,5 y mayores que 7.

d. Todos los números reales mayores o iguales que 11 y menores

o iguales que 92

.

11. Escribe el subconjunto de los números reales

representado en cada caso.

a.

b.

c.

d.

Figura 3.5

12. Escribe un intervalo que represente cada

situación.

a. El sueldo de Sara está entre $ 900 000 y $ 980 000.

b. La velocidad del carro en el viaje varió entre 90 km/h y 75 km/h.

c. Un banco hace préstamos de a lo más $ 5 000 000.

d. El carro consume semanalmente más de 5 ga-lones pero menos de 8 galones de gasolina.

e. El tiempo de cocción de un alimento está en-tre 8 y 12 minutos.

13. Utiliza las propiedades de orden para escribir dos

desigualdades equivalentes a cada una de las desi-

gualdades dadas.

a. x > 5 b. x ≤ –2

c. <x –34

d. x ≥ 1,5

e. x < 0 f. x ≥ –3

24

Resumen

5

4

1

3

14. Indica la operación y el número real que modifica

la desigualdad de la columna A para obtener una

desigualdad equivalente en la columna B.

Columna A Operación Número real Columna B

–3x ≤ 2 × + ≥ −x

23

x + 5 > –9 × + x > –14

<x12

34

× + <x32

–x > –4 × + x < 4

2x – 4 ≤ –5 × + 2x ≤ –1

Tabla 3.5

Entretenimiento

15. Completa el cuadrado de manera que en cada fila,

columna y línea resaltada queden los números 1,

2, 3, 4 y 5.

Figura 3.6


16. Observa la información que aparece en la tabla

3.6.

Nutrientes por cada 100 gramos

Fruta Calorías Proteínas Grasas

Cereza 58 1,2 0,3

Ciruela 47 0,619 0,209

Coco fresco 296 3,5 27,2

Durazno 52 0,805 0,22

Kiwi 53 0,850 0,61

Limón 29 0,69 0,610

Tabla 3.6

Datos tomados de Tablas de calorías [en línea]. <http://goo.gl/M7Mh6v> [citado en 22 Mayo 2014]

a. Ordena de menor a mayor las frutas según la cantidad de grasas presentes en 100 gramos.

b. Ordena de mayor a menor las frutas según la cantidad de proteínas presentes en 100 gra-mos.

c. Define la cantidad de calorías presente en 10 gramos de cereza.

d. Define la cantidad de proteínas presente en 1 gramo de limón.

Conjunto de los números

reales: R

está formado

por

R = Q ∪ I

entre sus

elementos una

relación de orden

permite

describir

subconjuntos

de R

intervalos pueden ser

acotados

no

acotados

establece

por medio de

25

Tema


Ideas previas

12

–4 –2 0 2 4 6 7– 2

500400300

370

2001000–500 –400

–450

–300 –200 –100


4

¿Qué números se encuentran a 7 unidades de 8 en la recta numérica?

Valor absoluto

Todo número real puede representarse con un punto en la recta numérica. ¿Existen dos

puntos que tengan la misma distancia al cero?

El valor absoluto de un número real está dado por la distancia de ese número al ori-

gen en la recta numérica y se representa como | a |: =<≥

⎧⎨⎩

aa a

a a

– , si 0

, si 0.

La distancia que hay entre dos puntos A y B sobre la recta numérica (con coor-denadas a y b, respectivamente) la calculamos utilizando la expresión | a – b |.

Ejemplo 1

Hallemos los siguientes valores absolutos utilizando la recta numérica.

| 2 | – 2 | 7 | | – 4 | 12

Solución

Ejemplo 2

Juliana y Mateo caminan sobre una carretera en forma de línea recta. Comenzaron

su caminata en el mismo punto, pero en sentidos opuestos. Juliana avanza 370 m al

oriente y Mateo avanza 450 m al occidente.

a. ¿A qué distancia del punto de partida está cada uno?

b. ¿Qué distancia separa a los dos caminantes?

Solución

Representemos en la recta numérica la situación teniendo en cuenta que una unidad

representa 100 metros (ver figura 4.2).

Figura 4.2

a. Juliana está a 370 m del punto de partida (hacia la derecha de la recta numé-rica) y Mateo se halla a 450 m del punto de partida (hacia la izquierda de la recta numérica).

b. La distancia que separa a los dos caminantes es el resultado de lo siguiente: | 370 – (–450) | = 820, es decir, 820 m.

La expresión –a representa

el opuesto de a, que en

algunos casos puede ser

un número negativo.

Para recordar

El problema de las igualda-

des en su forma aritmética

no fue conocido por los

antiguos. El primero que

utilizó el signo igual (=) y

expuso algunas cuestiones

teóricas sobre las igualda-

des fue Robert Recorde en

su obra The Ground of Arts,

publicada en Londres en

1542. Más tarde, en el siglo

XVII, el inglés Harriot y el

francés Bouguer estable-

cieron el uso de los signos

mayor que (>) y menor

que (<).

Para recordar

Si | x | ≤ a, entonces

–a ≤ x ≤ a. Si | x | ≥ a,

entonces x ≥ a o x ≤ –a.

Para recordar

En primer lugar, ubicamos cada número

en la recta numérica.

Figura 4.1

En segundo lugar, tomamos la distancia

que existe entre el cero y cada número,

así:

| 2 | = 2 =– 2 2 | 7 | = 7

| – 4 | = 4 =12

12

26


Resumen

43210–1–2–3–4

Acerca del valor absoluto de un número real a, podemos afirmar que

• está dado por la distancia de este a cero.

• se simboliza | a |.

Además, podemos obtener la distancia entre dos puntos calculando el valor absoluto

de la diferencia de sus coordenadas.

1. Completa las relaciones con los símbolos <, > o =

según corresponda.

a. | 5 | ■ –8

b. | –45 | ■ 2

c. | –9 | ■ | 9 |

d. | 4 | ■ | –100 |

2. Ordena los siguientes conjuntos de mayor a menor.

a. | –405 |; 14

; 0,2; | –0,100 |; –119

.

b. | 3,51 |; | 1,98 |; –| 4 |; | –0,1 |; 1,098.

c. | 9 |; 19

; 0,9; | –0,90 |; –9

99.

3. Halla el valor absoluto indicado reemplazando el

valor de x, y o w.

a. | x – 2 | x = 0

b. | –x – 1 | x = – 2

c. | –x | x = –9

d. | 6 – 2w | w = 4

e. | 4y + 5 | y = – 4

4. Ubica en la recta numérica los números que

hacen verdadera cada igualdad.

a. | x | = 3 b. =x12

c. | x | = 2,5 d. =x32

Figura 4.3

5. Encuentra la distancia entre cada pareja de núme-

ros y verifícala en una recta numérica.

a. 6 y 2 b. –3 y 2

c. –4 y 7 d. –5 y 0

e. –8 y –1 f. –5 y –9

6. Determina cuáles enunciados son verdaderos.

Justifica tus respuestas.

a. | 5(–2) | = 10

b. | – 3 |2 = –9

c. | –2 | = 8

d. Si x = 6, entonces, + =x12

4 7 .

e. Si w = 2, entonces, | 6 – 2w | = 4.

f. Si y = 5, entonces, + =y y18 122 .


7. En una carretera rectilínea, que se extiende en

sentido sur-norte, dos ciclistas ubicados en el mis-

mo lugar parten al mismo tiempo, pero uno hacia

el norte y el otro hacia el sur. Si uno de los ciclistas

se desplaza a 35 km/h y el otro a 28 km/h, ¿qué

distancia los separa al cabo de una hora y qué dis-

tancia los separa al cabo de 3 horas?

8. Al iniciar su vuelo, un avión se eleva 27 000 pies

para estabilizarse, luego asciende 5000 pies; cin-

co minutos después, desciende 2000 pies y, final-

mente, asciende 8000 pies, donde se mantiene el

resto del vuelo. ¿A qué altura se mantiene la últi-

ma parte del vuelo?

27

Tema


Ideas previas


5

Sobre la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm se construyó otro cuadrado.

¿Cuál es el perímetro del nuevo cuadrado?

Adición y sustracción de números reales

La operación de adición en R cumple las mismas propiedades de la adición en Q. Para

recordarlas, consideremos que x, y y z representan números reales.

Propiedad Descripción

Clausurativa x + y ∈ R

Asociativa (x + y) + z = x + (y + z)

Conmutativa x + y = y + x

Modulativax + 0 = 0 + x = x

El número 0 se denomina módulo de la adición.

InvertivaPara cada número x ∈ R, existe otro número real –x, denominado

inverso aditivo u opuesto de x, tal que x + (–x) = 0.

Tabla 5.1

La primera operación

aritmética que se conoció

fue la adición. Para resolver

esta operación, siempre se

recurría a elementos con-

cretos, puesto que no se

había llegado a un grado

suficiente de abstracción

matemática. En América,

los incas, que alcanzaron

un elevado nivel cultural,

practicaban la adición

haciendo nudos en unas

cuerdas de vivos colores

que iban contando hasta

formar el llamado quipu.

Para recordar

Ejemplo 1

Realicemos las siguientes operaciones.

a. Adicionemos − 12

y 52

b. + + −32

22

12

22

Solución

a. ( )+ = =−

= =52

–12

52

–12

5 1

242

2 Escribimos como una sustracción la adición

de 52

con el opuesto de 12

.

b. + + −32

22

12

22

Consideramos la expresión inicial.

( )= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +2

22

232

12

Aplicamos la propiedad asociativa.

= +042

Aplicamos las propiedades invertiva y

modulativa.

= =42

2 Simplificamos la fracción.

La suma de dos números

irracionales no siempre es

un número irracional, por

ejemplo ( )+ =3 – 3 0.

La suma de un número

racional y un irracional

siempre es un irracional.

Para recordar

28


Ejemplo 2

Actualmente, existen técnicas que pueden contribuir a crear energía sin agravar el

cambio climático con las emisiones de CO2. Una de ellas es el proyecto de Energía

Mareomotriz que consiste en aprovechar el mar con su oleaje y mareas. La tabla 5.2

muestra algunos lugares en donde se está llevando a cabo este proyecto. ¿Cuántos

MW se esperan producir en el mundo con este proyecto?

Lugar Capacidad Lugar Capacidad

Rhode Island (USA) 500 kW Aguaçadoura (Portugal) 24 MW

Irlanda del Norte 1 MW Cornualles (Gran Bretaña) 5 MW

Santoña (España) 1,25 MW Northern Devon (Gran Bretaña) 10 MW

Motrico (España) 480 kW Daishan (China) 150 kW

Tabla 5.2

Solución

Convertimos las cantidades a una sola unidad de medida: 1 MW = 1000 kW, enton-

ces, 500 kW = 0,5 MW; 480 kW = 0,48 MW; y 150 kW = 0,15 MW.

Luego, usamos la propiedad asociativa y clausurativa.

(1 + 24 + 5 + 10) MW + (0,5 + 1,25 + 0,48 + 0,15) MW = 42,38 MW. Así, se producirán

42,38 MW en el mundo con este proyecto.

Para x, y ∈ R, la adición de x

con el opuesto de y

x + (–y) la llamamos

sustracción de x con y y la

representamos como x – y,

donde x es el minuendo,

y el sustraendo, y (x – y) la

diferencia.

Para recordar

1. Relaciona cada expresión con su resultado.

a. (– 47) + (–18) – 15 – (–18) + 47 11π

b. ( )+ +–23

56

– –72

7 –15

c. + +–8 2 – (–3) 2 15 2 – 8 2 6 23 3 3 3 3 –356

d. –7π – (–6)π + 8π – 17π + 21π 323

e. + +–8 253

– 712

6 8 23

2. Escribe el opuesto de cada número real.

a. – 2 b. 43

c. ( )+1 5 d. ( )+–2 312

3. Escribe las frases en símbolos y efectúa los cálculos.

a. De la adición de −14 5 y 3 3 , sustrae la

adición de 5 y −3 5 .

b. Sustrae de la diferencia entre 1,2 y –2,7 la suma de 3,57 y –4,76.

c. Adiciona la diferencia entre –3π y –8π a π.

d. Sustrae la adición de –2 con su opuesto de la suma de 2 con su opuesto.


4. Escribe el número real que satisface cada igualdad.

a. 5 – (■) = 16

b. � 7 5 7( ) + =

c. –3,7 – (–1,2) = (■)

d. � 965( ) − = −

e. 43,56 + (■) = –32,54

29

Resumen



a. Si x y y son números reales, la diferencia x de y es igual a la diferencia y de x.

b. La suma de dos números racionales no ente-ros siempre es un número racional no entero.

c. Cero es el módulo en la adición, pero no en la sustracción de números reales.

d. Todo número real tiene inverso aditivo.

e. La suma de dos números reales negativos siempre es un número real negativo.

6. Formula una pregunta para cada situación, en

cuya solución sea necesario adicionar o sustraer.

a. María recorrió 13,5 km; Pedro 17,98 km; y Ana 15,37 km.

b. El peso de un elefante es 7254,38 kg, el de un tigre 291,36 kg; y el de una serpiente 21,7 kg.

c. El perímetro de la rueda de un triciclo es 20π cm, el de una bicicleta es 60π cm y el de la rueda de un camión es 140π cm.


7. Una persona abre una cuenta en el banco con

$ 700 500. Hace dos retiros: uno de $ 425 500 y

otro de $ 174 000. Luego, deposita $ 2 450 000.

¿Cuál es su saldo?

8. Un caracol trata de escalar una roca de 6 m de al-

tura. Durante el día, sube 2 m y en la noche, resba-

la 1 m. Determina en cuántos días alcanza la parte

alta de la roca.

9. Juan y Alejandro recorren entre los dos 13,8 km

en un entrenamiento atlético. Alejandro y Nelson

recorren 12 km. Si Alejandro recorrió la misma

cantidad de kilómetros que Nelson y Juan juntos,

¿cuántos kilómetros recorrió cada uno de ellos?

Entretenimiento

10. ¿Cuántos triángulos congruentes como el que está

en la cuadrícula se pueden trazar, que tengan todos

sus vértices sobre los puntos de la cuadrícula?

Figura 5.1

cumple las propiedades

La adición en R

clausurativa asociativa invertiva

al realizar una adición con más de

dos sumandos, se pueden asociar

los números de diferentes maneras

y el resultado no cambia.

modulativa

existe un número real tal que,

al adicionarse con cualquier

otro número real, el resultado

es el mismo número.

conmutativa

al adicionar dos

números reales, la

suma también es

un número real.

al cambiar el orden

de los sumandos, la

suma es la misma.

para todo número real,

diferente de 0, existe

un número, tal que al

adicionarlos, el resultado es 0.

expresa que expresa que expresa que expresa que expresa que


30

Tema


Ideas previas

15 cm

22,5 cm


6

Un parque de forma rectangular, cuyos lados miden 20 m y 30 m, tiene una fuente en el

centro. ¿Cuál es la distancia entre la fuente y cada esquina del parque?

Multiplicación y división de números reales

Pablo es un artesano y compró una piedra de pulir de forma cilíndrica con las medidas

que se indican en la figura 6.1. Él sabe que al pulir una de sus esculturas el volumen de

la piedra se reduce a la mitad. ¿Cuál será el volumen de la piedra después de pulir una

escultura?

Para resolver la situación, debemos calcular el volumen del cilindro.

Volumen del cilindro = área del círculo de la base × altura del cilindro

Simbólicamente, V = πr2h

Como la altura del cilindro es 15 cm y el radio es 11,25 cm, tenemos que

V = π(11,25 cm)2 15 cm

V = 1898,4375π cm3

Ahora, dividimos este resultado entre 2: 1898,4375π cm3 ÷ 2 ≈ 949,22π cm3. Por tanto,

después de pulir la escultura, el volumen de la piedra será 949,22π cm3, aproximada-

mente.

Con lo anterior, vemos que la operación de multiplicación en R cumple las mismas

propiedades que la multiplicación en Q. Para recordarlas, consideremos que x, y y z

representan números reales.

Propiedad Descripción

Clausurativa x ⋅ y ∈ R

Asociativa (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)

Conmutativa x ⋅ y = y ⋅ x

Modulativax ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x

El número 1 se denomina módulo de la multiplicación.

Invertiva

Para cada número x ∈ R, x ≠ 0, existe otro número real x1 llamado inverso

multiplicativo de x o recíproco de x, tal que ⋅ =xx1

1.

Distributiva x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z

Tabla 6.1

La multiplicación resul-

taba muy compleja para

los antiguos. Los griegos

se ayudaban con la tabla

pitagórica, que ya conocían

antes de nacer Pitágoras.

Los babilonios empleaban

tablas de cuadrados, y para

los romanos, la operación

era lenta y trabajosa, debi-

do a su notación numeral.

El signo de multiplicación,

cruz de San Andrés, se

atribuye a W. Oughtred

hacia 1647.

Para recordar

Figura 6.1

31


Si leemos de derecha a

izquierda en la propiedad

distributiva, es decir,

x ⋅ y + x ⋅ z = x ⋅ (y + z),

decimos que hemos facto-

rizado a x, que es común

en el sumando x ⋅ y y x ⋅ z,

porque transformamos una

adición en una multiplica-

ción.

Para recordar

Sean x, y ∈ R. La multiplica-

ción de x por el recíproco

de y, ⋅xy1

, se llama

división de x entre y y se

representa x ÷ y, donde x

es el dividendo, y el divisor

y (x ÷ y) el cociente.

Para recordar

Ejemplo 2

Factoricemos la expresión + −2 212

223

2 .

Solución

Los tres sumandos tienen como factor común a 2 , por tanto, podemos factorizarlo

de la siguiente manera:

⋅ ( )+ − = + −2 212

223

2 2 212

23

Al realizar las operaciones dentro del paréntesis tenemos que

( ) =2116

116

2

1. Completa cada enunciado con el símbolo =, <, >

o ≠, para que la expresión sea verdadera.

a. 3 ⋅ 4 ■ 4 ⋅ 3b. 20 ⋅ 0 ■ 1 ⋅ 20

c. 8 ⋅ (10 – 2) ■ (8 – 2) ⋅ 10

d. 15 ⋅ (4 + 10) ■ 50 + 150

e. 15 ⋅ 3 ■ 3 + 3 + 3

f. (14 ⋅ 2) ⋅ 3 ■ (14 ⋅ 2)(2 ⋅ 3)

2. Escribe el recíproco de cada número real.

a. 2 b. –43

c. π d. ( )+– 3 1

e. 29

f. 1

3. Resuelve las siguientes operaciones.

a. [–2(24 + (–10))] + [6(–13 – (–16))]

b. ( ) ( )× + ×2 3 5 2 –5 3 3 23 3

c. ( ) ( )+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2

52

–56

14

–12

d. –81 3

–27 2

e. –28 7

36 53

f. 8(–3) + 10 ÷ (–2) – (–9) + 8(–5) – (–9)(–4)

g. ⋅

{ }( ) ( )( ) ( )

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

–23

56

34

–12

13

–32

–14

–32

Ejemplo 1

Efectuemos las siguientes operaciones.

a. ⋅12

2 5 b. ⋅1

6

3 6

4 7 c. +⎛

⎝⎞⎠5

27

3

2

Solución

a. ⋅ = ⋅ = = =12

2 512

2 51

2 52

51

5

b. ⋅ = ⋅⋅

=1

6

3 6

4 7

1 3 6

4 7 6

3

4 7

c. ( )+⎛⎝

⎞⎠ = ⋅ + ⋅⎛

⎝⎞⎠ = +5

27

3

25

27

53

2

2 57

3 5

2

32

Resumen

35 –

22 +5

64

3016

22

2



a. Si x y y son números reales, el cociente de x entre y es igual al cociente de y entre x.

b. Existen números irracionales cuyo producto es igual a 1.

c. El cero no puede ser divisor en una división.

d. Todo número real tiene recíproco.

e. El cociente de números reales iguales siem-pre es igual a 1.

5. Escribe en los ■ los números que hacen correc-

ta la igualdad.

a. � �10 4 4 10⋅ ⋅= =

b. (3 ⋅ 5) ⋅ ■ = ■ ⋅ (5 ⋅ 2) = ■c. � � �

38

7 – 5 7 –⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) ( )− = =

d. (■ ⋅ 4) ⋅ 9 = ■ ⋅ (4 ⋅ 9) = 108

e. [3π + ■] ÷ 5,2 = [3π ÷ ■] +[8 ÷ ■]


6. Encuentra el área y la longitud de la diagonal del

rectángulo de la figura 6.2.

Figura 6.2


7. Juan trabaja en la venta de huevos. Un día compra

1500 huevos a $ 250 cada uno y en el camino se le

rompen 37 huevos. ¿Cuál es el valor mínimo en que

debe vender cada uno de los huevos que le quedan

para recuperar al menos el dinero invertido?

8. Carlos, Juan y Sofia resultaron ganadores de una

lotería. Juan recibió dos séptimos del premio,

Sofia obtuvo cuatro séptimos y Carlos recibió

$ 25 000 000. ¿Cuál es el valor del premio y cuánto

recibieron Juan y Sofia?

9. En un triple salto, la longitud del segundo salto

son los 79

de la longitud del primer salto y la lon-

gitud del tercer salto son los 57

de la longitud del

segundo. ¿Cuál fue la longitud del primer salto si

la longitud total del triple salto fue de 17,45 m?

Entretenimiento

10. Completa la figura 6.3 sabiendo que el número

de una casilla es igual al producto de los números

reales de las casillas inferiores adyacentes.

Figura 6.3

La operación de multiplicación en R cumple las siguientes propiedades.

1. Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

2. Clausurativa: el producto de dos números reales es un número real.

3. Asociativa: el producto de una multiplicación de tres o más números es el mismo, así se asocien los núme-

ros de diferentes maneras.

4. Distributiva: el producto de un número real por una adición es igual a la adición del producto del número

por cada uno de los sumandos.

5. Modulativa: existe un número real tal que al multiplicar cualquier número real con él, el resultado es el mismo.

6. Invertiva: existe un número real tal que al multiplicar cualquier número real con él, el resultado es 1.


33

Tema


Ideas previas


7 Potenciación, radicación y logaritmación de números reales

Un tanque de agua en forma de cubo tiene 5,4 m de arista. ¿Cuál es la capacidad en

metros cúbicos del tanque?

Potenciación, radicación y logaritmación de números reales

Potenciación de números reales

El Sistema Internacional de unidades (SI) se adoptó en París en 1960 con el fin de ge-

nerar un sistema universal, unificado y coherente de unidades de medida, basado en el

sistema mks (metro–kilogramo–segundo). Este sistema emplea unidades básicas como

el metro o el segundo. A estas unidades se les puede agregar prefijos que corresponden

a la multiplicación (aumento) o división (disminución) por potencias de 10, lo cual evita

el uso de cifras decimales excesivamente largas.

Así, en el caso del vatio (la unidad de potencia eléctrica), se tiene que

1 megavatio (MW) equivale a 1 000 000 de vatios, es decir,

1 MW = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 106 vatios.

Algunos prefijos que indican aumento de la unidad aparecen en la tabla 7.1.

Prefijo Símbolo Aumento de la unidad

tera T 1 000 000 000 000 = 1012 (un billón)

giga G 1 000 000 000 = 109 (mil millones)

mega M 1 000 000 = 106 (un millón)

kilo k 1000 = 103 (mil)

hecto h 100 = 102 (cien)

deca da 10 = 101 (diez)

Tabla 7.1

Escribir cantidades con tantos ceros a la derecha de 1 no es práctico, así que las reduci-

mos utilizando las potencias. Recordemos que una potencia es el producto de multipli-

car un número por sí mismo repetidas veces. De esta manera, tenemos que el número

que multiplicamos se denomina base y el número de veces que multiplicamos la base

se llama exponente.

Si a es un número real, a ≠ 0, y n es un número entero positivo, entonces, la poten-

cia an se denomina potencia n–ésima de a, y está dada por: = × × ×� �� a a a a a...n

n veces.

El número a se denomina base y el número n exponente.

Las potencias de exponente

2 se llaman cuadrados per-

fectos y las potencias de

exponente 3 se denominan

cubos perfectos.

Para recordar

34

Si a y b son números reales, distintos de cero, y m, n y k números enteros positivos, se

cumplen las siguientes propiedades.

Nombre Propiedad Ejemplo

Potencia con exponente 0 a0 = 1 (–7,9)0 = 1

Producto de potencias

de igual basean ⋅ am = an + m 68 ⋅ 69 = 617

Suma de potencias iguales + + =� �� a a ka...n n

k

n

veces

+ + = +7 5(7 ) – 6 4 6 6(7 ) 3 63 3 3

Potencia de un producto (a ⋅ b)n = an ⋅ bn (8 ⋅ 12)5 = 85 ⋅ 125

Potencia de una potencia (an)m = an ⋅ m [(–3)4]6 = (–3)24

División de potencias

de igual base

=a

aa

n

mn m– =4

44

7

52

Potencias negativas =aa

1nn

– =71

7–8

8

Tabla 7.2

Ejemplo 1

Calculemos la potencia ( )– 55

.

Solución

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= × × × × =– 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 25 55

Si la base en una potencia-

ción es positiva, entonces,

la potencia es positiva.

Si la base es negativa y el

exponente es par, enton-

ces, la potencia es positiva.

Si la base es negativa y el

exponente es impar, enton-

ces, la potencia es negativa.

Para recordar

00 es indeterminado. 0n = 0,

para n entero positivo.

Para recordar

La potenciación no es

una operación distributiva

respecto de la adición, es

decir, (a + b)n ≠ an + bn.

Para recordar

Ejemplo 2

Simplifiquemos la expresión usando las propiedades de la potenciación.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

[ ][ ]

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

(–3) 2 (–3) (–3) 2 2

2 2 (–3)

3 5 2 5 4 3 4

3 4 2

–2

Solución

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅⋅

[ ][ ]

[ ][ ]

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

(–3) 2 (–3) (–3) 2 2

2 2 (–3)

(–3) 2

2 (–3)

3 5 2 5 4 3 4

3 4 2

–210 12 4

4 4 2

–2

Usamos la propiedad división de

potencias de igual base.

⋅

⋅= ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

(–3) 2

2 (–3)

40 48

8 8

–2

Usamos las propiedades potencia

de una potencia y de un producto.

⋅[ ]= (–3) 232 40 –2 Usamos la propiedad división

de potencias de igual base.

⋅[ ]

= 1

(–3) 232 40 2 Usamos la propiedad de potencias

negativas.

⋅= 1

(–3) 264 80 Usamos las propiedades potencia

de una potencia y de un producto.

35

Radicación de números reales

La radicación es una operación inversa de la potenciación, porque dada la potencia y el

exponente se calcula la base. • No existe un número real

que sea la raíz par de un

número negativo.

• Si a < 0 y n es impar,

entonces an es el nú-

mero negativo x, tal que

xn = a.

Para recordar

Dados los números reales a y b y el número entero positivo n, =a bn si bn = a. El número a se denomina radicando; n, índice radical; y b, raíz.

Veamos algunas propiedades de la radicación que nos permitirán simplificar expre-

siones.

Si n es un número entero positivo, x y y son números reales, entonces la radicación cum-

ple las siguientes propiedades.


Raíz de un

producto⋅ ⋅=x y x yn n n ⋅ ⋅=16 25 16 25

= 4 ⋅ 5 = 20

Raíz de un

cociente=x

yx

yn

n

n; y ≠ 0 = = =100

4100

4

102

5

Relación

raíz potencia =x xmnmn = = =3 3 3 942

42 2

Adición

de raíces

+ + =a a n ac c

n a

c

c

� �� ...

veces la suma decoeficiente + + =12 5 12 – 6 12 3 12 3 125 5 5 5 5

Tabla 7.3

Ejemplo 3

Un tanque tiene capacidad para 125 cm3 de agua. Si el agua se transvasa a un tanque

en forma de cubo donde cabe exactamente, ¿cuál es la medida de la arista del cubo?

Solución

Podemos calcular el volumen de un cubo por medio de la expresión V = a3, donde a

es la medida de la arista. Por tanto, debemos hallar un número que multiplicado tres

veces por sí mismo sea igual a 125: ■3 = 125. Ese número lo calculamos establecien-

do la raíz cúbica de 125: =125 cm 5 cm33 .

Por tanto, la arista del cubo mide 5 cm.

Ejemplo 4

Simplifiquemos la expresión a b

b c

16

27

3 11

8 –33 usando las propiedades de la radicación.

Solución

= = = = =a b

b c

a b

b ca b c a b c abc abc

16

27

2

3

2

3

2

3

2

3( )

2 23

3 11

8 –33

4 3 11

3 8 –33

4

33 3 33

4

33 3 3 33

43

3333

3

36

Logaritmación de números reales

La operación con la cual hallamos el exponente n de una ecuación de la forma bn = a,

donde la base b y la potencia a son dadas, se denomina logaritmación. El símbolo para

esta operación es n = logb a, que leemos “n es el logaritmo del número real a en la base

b”. La logaritmación es otra operación inversa a la potenciación.

logb a = n si y solo si bn = a.

Para todo número real

positivo b, b ≠ 1,

logb 1 = 0, porque

b0 = 1 y logb b =1,

porque b1 = b.

Para recordar

Algunas propiedades de la logaritmación nos permiten realizar cálculos de forma más

rápida. Veamos.

Si b, x y y son números reales positivos, con b ≠ 1, y r un número racional, la logaritma-

ción cumple las siguientes propiedades.


Logaritmo

de un productologn (x ⋅ y) = logn x + logn y log2 (2 ⋅ 8) = log2 2 + log2 8 = 1 + 3 = 4

Logaritmo

de un cociente

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

xy x y

b b blog log ( ) – log ( ) ( ) =log

64512

log 64 – log 5122 2 2

= 6 – 9 = –3

Logaritmo

de una potencialogb (xr) = r ⋅ logb (x) log3 817 = 7 log3 81 = 7 × 4 = 28

Tabla 7.4

El logaritmo de un número

depende de la base que

utilicemos. Las bases más

utilizadas son 10 y e.

Los logaritmos en base

10 se llaman logaritmos

decimales. El logaritmo en

base 10 de un número x se

denota log x.

Los logaritmos en base e

se denominan neperianos

o naturales. El logaritmo

natural de un número x se

denota ln x.

Para recordar

La base de un logaritmo

siempre debe ser un nú-

mero real mayor que cero

y diferente de 1. Cuando la

base no es explícita se está

calculando en base 10, así

en las calculadoras la tecla

log, representa logaritmo

en la base 10.

Para recordar

Ejemplo 5

En un pueblo, se ha generado un rumor. Solo se sabe que todo empezó en la tarde, a

las 2:00 p. m., cuando la primera persona se lo contó a otras 3 personas en el transcur-

so de 10 minutos. Luego, cada una de las nuevas personas enteradas lo comunicó a

otras 3 en el transcurso de 10 minutos. Así continuó propagándose el rumor hasta que

todo el pueblo se enteró. Si la población está compuesta por 9840 personas, ¿cuánto

tiempo transcurrió para que 2187 personas se enteraran?

Solución

Denominamos momento a cada 10 minutos empleados para difundir el rumor. En el

momento 1, se enteraron 3 personas, en el momento 2 se enteraron 9 personas, en el

momento 3, 27 y así sucesivamente.

El número de nuevas personas enteradas corresponde a potencias de 3. Como se re-

quiere conocer en qué momento se han enterado 2187 nuevas personas, que repre-

sentan la potencia, y conocemos que la base es 3, necesitamos calcular el exponente,

es decir, 3■ = 2187 que equivale a: log3 2187 = ■, cuya solución es log3 2187 = 7.

Significa que 3 se multiplicó siete veces por sí mismo; en términos de la situación, en el

momento 7 y transcurridos 70 minutos, 2187 nuevas personas se enteraron del rumor.

Observa ejemplos de

aplicación de las propie-

dades de los logaritmos

en la página http://www.

youtube.com/watch?v=

ozJglHghRQg&hd=1

Vínculo web

37


Ejemplo 6

Simplifiquemos la expresión ⋅ ( )( ) + +log 125 625 log24381

log 815 3 3

7 utilizando las propiedades

de logaritmación.

Solución

⋅ ( )( ) + +log 125 625 log24381

log 815 3 3

7 = log5 125 + log5 625 + log3 243 – log3 81 + 7 log3 81

= 3 + 4 + 5 – 4 + 7 ⋅ 4

= 8 + 28

= 36

1. Determina si cada igualdad es verdadera o falsa.

a. 1,28 × 1,25 = 1,28 + 5

b. ( ) ( )=23

32

–3 3

c. 32 × 52 = 152

d. 32 × (34 + 33) = 36 + 35

e. (32 × 53)3 = 35 × 56

f. ÷50 2 = 5

g. ( )( )+2 7 3 – 7 = –1

h. ( )( )+ + = −3 5 3 3 – 5 – 3 1 2 15

i. log2 64 = 6

j. log10 10 = 0

k. =–log 32 512

2. Halla el término o los términos desconocidos, de

tal manera que se cumpla cada igualdad.

a. �

–13

181( ) =

b. 8,126 = 8,123 ⋅ ■■

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +

� �23

23

23

23

23

3 4

d. (3■ ⋅ 3■ ⋅ 45 ⋅ 4■)2 = 314 ⋅ 416

e. [(–1,7)■ ⋅ (–1,7)5 ⋅ (–1,7)■]■ = (–1,7)18

f. ■2 ⋅ 32 ⋅ 22 = 242

g. ( ) ( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

�45

54

312

h. �2025 2=

i. �–10 648333=

j. �625100 10

2

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k. log4 ■ = 0

l. �log45

log log431

212

12

+ =

m. log5 230 – log5 15 = log5 ■Razonamiento lógico

3. Determina para qué valores de x el resultado de

cada operación es un número real.

a. x – 1 b. +x2 1

c. x – 3 d. x1 – 2

e. log2 x = 5 f. log10 100 000 = x

g. logx 1296 = 4 h. x3 = 729

i. 13x = 169 j. x4 = –25

38

a. b. c. d.

4. Escribe el resultado de cada expresión.

a. (25 ⋅ 23)2 ⋅ 24

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× × × ×⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

13

14

13

12

3 3 5 2 2 3

c. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅[ ]

6 (–2) 6 6 (–2)

(–2) 6

–5 –6 2 3 5

4 2 –2

d. ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(–3) (– 4) (–3) (– 4)

(– 4) (– 4) (–3) (–3)

6 5 3 2

2 3 3 2

3

e. +a a a a12

–25

34

–13

f. log 10 000

g. log13 371 293

h. log166252

5

Entretenimiento

5. Selecciona la figura que continúa la secuencia.

Figura 7.1


6. Evalúa las siguientes potencias: (0,1)2, (0,1)3, (0,1)4

y (0,1)5. Discute tus respuestas con un compañero.

a. Comparen en cada potencia el exponente con el puesto que ocupa el número 1 des-pués de la coma.

b. Infieran el valor de la potencia (0,1)10.

c. Inventen una fórmula para el valor de la po-

tencia (0,1)n, donde n es un número entero positivo.

7. Relaciona, con una línea, las expresiones

equivalentes.

a. x y x y16 24 84 3 2

b. x yx

x y( – )3 33

2

c. x y

zxy

322

10 5

155 2

d. x

x yxy

( – )

2

4

e. x yx y

z32

215 105

2

3

f. log 90 – log 3 log3 3

g. ( )+xx

3log 2log1

a a log2 x

3y3

h. 2log2 xy – log2 x2y2 + log2 x3y3 log 30

i. –3log7 2 + (–2)log7 3 loga x

j. log3 15 – log3 5 + log3 1 log7 (3–22–3)

8. Simplifica las expresiones usando las propiedades.

a. ( )17

3

b. ( )−17

3

c. ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7

3

2

d. ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

3

e. ⎛⎝

⎞⎠

2 3 5

2 3 5

2 –5 3

– 4 3 2

–3

f. ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(–2) (–3) 5

4 3 5

2 3 –1

3 6 –3

2

g. a

c

18

16

5

3 h. b512 963

i. +x y(2 )53 j. x y

z

45

48

5 3

7

k. log3(27 ⋅ 243) l. ( )log5

255

m. log1,5 3,3753 n. ( )×log49

322432

3

o. ( ) + ×log216

7776– log

8125254

log (49 2401)6 5

27

39

Resumen

2

2 2

ππ

π

3,83,8

3,8


9. Calcula el volumen de los cubos de la figura 7.2.

a.

b. c.

Figura 7.2

10. Una determinada especie se reproduce dividién-

dose en 3 cada nuevo día: el primer día hay 1 in-

dividuo; el segundo día son 3; al siguiente, 9; y así

sucesivamente.

a. ¿Cuántos individuos habrá el sexto día?

b. ¿Qué potencia permite expresar la cantidad de individuos que habrá en el n-ésimo día?

11. El área de un terreno cuadrado es

1 562 500 cm2. ¿Cuál es su perímetro?

12. El Centro Acuático Nacional de Pekín “Cubo de

Agua”, tiene aproximadamente un volumen de

22 627 417 m3. ¿De cuántos metros cuadrados es

su superficie?

13. José necesita enviar por correo una maqueta que

tiene 1,5 m de largo, 10 cm de ancho y 60 cm de

alto. Sin embargo, en la empresa de correos le in-

forman que solo transportan cajas máximo de 1

metro cúbico de volumen. ¿Es posible que José

envíe su maqueta?

14. Una población de gérmenes comienza con 100 gér-

menes y se cuadruplican cada cuatro horas. La can-

tidad de gérmenes al cabo de n horas es 100 × 4n – 1.

¿Cuándo llegará la población a 102 400 gérmenes?

15. En un laboratorio de clonación, empezaron un pro-

ceso de reproducción de determinado individuo.

Se decide que de un individuo original se clonan

3 individuos en el primer ciclo y, a su vez, de cada

individuo del primer ciclo, se clonan otros tres indi-

viduos en el segundo ciclo y así sucesivamente.

Escribe una expresión que te permita determinar

el ciclo del cual salieron finalmente 81 clones.

a. ¿En cuál ciclo se clonan 27 individuos?

b. ¿Cuántos individuos hay en total en el tercer ciclo?

16. Si tengo 7 cajas y en cada caja guardo 7 bolsas, y

en cada bolsa, 7 pelotas, ¿cuántas cajas, bolsas y

pelotas tengo? Si cada caja pesa 590 g, cada bolsa

64,5 g y cada pelota 8,35 g, ¿cuánto pesa todo el

paquete?

Potenciación bn = a

si desconocemoscumplen

propiedades

que sirven

para simplificar

expresiones

n

podemos

hallarlo

utilizandologb a = n

b =a bn

podemos

hallarlo

utilizando


40

Tema


Ideas previas


8

¿Cuántos ceros tiene la expresión 54,86 × 10–25? ¿A qué número equivale 54,86 × 10–25?

Notación científica

En el trabajo científico, es común utilizar números con muchas cifras, por ejemplo, el

diámetro de un glóbulo rojo es 0,0065 cm; la distancia de la Tierra al Sol es 150 000 000

km; el número de moléculas en 1 g de agua es 33 400 000 000 000 000 000 000.

¿Cómo podemos expresar de forma abreviada estas cantidades?

Es posible, si empleamos la esencia de nuestro sistema de numeración decimal, que

radica en agrupaciones de potencias de 10.

La notación científica o notación índice estándar es la expresión abreviada de una cantidad con base en las potencias de 10.

Si x ∈ R, su escritura en notación científica es x = ±a × 10n, donde a es un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, y n es un número entero.

Ejemplo 1

Escribamos las siguientes cantidades mediante la notación científica.

a. El diámetro de un glóbulo rojo.

b. La distancia de la Tierra al Sol.

c. El número de moléculas en 1 g de agua.

Solución

a. El diámetro de un glóbulo rojo es 0,0065 cm. Por tanto, multiplicamos por 1000 (103) para desplazar la coma decimal tres lugares a la derecha: 0,0065 × 103 = 6,5. De esta igualdad, despejamos el número inicial: 0,0065 = 6,5 ÷ 103 = 6,5 × 10–3.

Así, el diámetro de un glóbulo rojo 6,5 × 10–3 cm.

b. La distancia de la Tierra al Sol es 150 000 000 km. Por tanto, dividimos por 100 000 000 (108) para desplazar la coma decimal ocho lugares a la izquier-da: 150 000 000 ÷ 108 = 1,5. De esta igualdad, despejamos el número inicial: 150 000 000 = 1,5 × 108.

Así, la distancia de la Tierra al Sol es 1,5 × 108 km.

c. El número de moléculas en 1 g de agua es 33 400 000 000 000 000 000 000. Procediendo de manera similar a la anterior, llegamos a la conclusión de que el número de moléculas en 1 g de agua es 3,34 × 1022.

Gúgol es el número uno

acompañado de cien

ceros; es tan grande, que

es mayor que el número

de todos los átomos en

el universo conocido. La

empresa Google confirma

que su nombre se inspira

en la palabra inventada

hace casi ocho décadas y

precisa que este neolo-

gismo “refleja la misión de

la compañía de organizar

la inmensa cantidad de

información disponible en la

web y en el mundo”.

Tomado de: http://www.tarin-

ga.net/posts/info/3689502/

Porque-GOOGLE-se-llama-

asi___html

Para recordar

41


Resumen

1. Relaciona cada número con su notación científi-

ca correspondiente.

a. 275,67 2,756 × 10–3

b. 2756,7 2,7567 × 103

c. 0,002756 2,7567 × 102

d. 0,00000002756 2,756 × 10–8

2. Escribe cada número en forma desarrollada.

a. 7,01 × 10–5 b. 6,2345 × 10–7

c. 3,401 × 104 d. 1,23 × 10–5

e. 1,000002 × 10–8 f. 4,01 × 1010

3. Escribe los números que hacen verdadera cada

igualdad.

a. 0,0000017 = ■ × 10■

b. 2,01 × 108 = ■c. 8 400 000 000 000 = ■ × 10■

d. 7,13 × 10–7 = ■4. Realiza las conversiones entre unidades de medi-

da utilizando correctamente la notación científica.a. 125,002 km = ______ cm

b. 11,05 × 107 mg = ______ kg

c. 900 horas = ______ segundos

d. 25,7 × 105 mL = ______ L

5. Las células miden 0,0003 cm de longitud, aproxi-

madamente, en cualquier tejido. Sus dimensiones

de ancho y espesor son iguales y equivalen a la

mitad de su longitud. Si consideramos que la cé-

lula tiene la forma de un prisma recto, ¿cuál será

su volumen?


6. Responde las preguntas teniendo en cuenta la si-

guiente información: Existen unidades de medida

del tiempo menores que el segundo: un microse-

gundo es una millonésima de segundo (10–6), un

nanosegundo es 10–9 segundos y un micromicro-

segundo es 10–12 segundos.

a. ¿Cuántos microsegundos tiene un nanose-gundo?

b. ¿Cuántos nanosegundos hay en un micromi-crosegundo?

7. Escribe en notación científica cada cantidad para los

prefijos de disminución mostrados en la tabla 8.1.

Prefijo Cantidad

micro 0,000001 (un millonésimo)

nano 0,000000001 (un milmillonésimo)

pico 0,000000000001 (un billonésimo)

femto 0,000000000000001 (un milbillonésimo)

atto 0,000000000000000001 (un trillonésimo)

Tabla 8.1


8. Resuelve las siguientes operaciones y presenta la

respuesta en notación científica.

a. (2,78 × 107) × (3,1 × 109)

b. ××

4,5 10

8 10

–8

15

c. 3,4 × 105 + 2,8 × 10– 5 – 3,4 × 105

d. ××

–7,38 10

2,5 10

–9

15

• La notación científica se usa para representar de manera simplificada un número

que se compone de varias cifras.

• Un número está escrito en notación científica si tiene la forma x = ±a × 10n, donde

a es un número real tal que 1 ≤ a < 10 y n es un número entero.


42

Evalúa tuscompetencias Competencias en el Manejo de la información

Una unidad

Sol

Tierraastronómica

París, Francia 20 de febrero del 2014. La Agencia Espacial

Europea (ESA) anunció la aprobación de la misión PLATO

(Planetary Transits and Oscillations of Stars) cuyo objetivo

es localizar y estudiar millares de sistemas exoplanetarios

(sistemas planetarios que orbitan a otra estrella que no es

el Sol) en los que podría existir agua en estado líquido. De

esta manera, se pretende ampliar el rango de posibilidades

de hallar planetas en condiciones de albergar vida.

Hasta el año 2012 sólo 7 de los 900 exoplanetas encontra-

dos fueron considerados candidatos.

La tabla 1.1 presenta los nombres de los exoplanetas y sus

distancias en año luz (longitud que recorre la luz en un

año, equivale aproximadamente a 9,46 × 1012 km) a nues-

tro Sol.

La tabla 1.2 muestra los planetas de nuestro sistema solar

y su distancia al Sol en unidades astronómicas (UA).

Exoplaneta Años luz

Gliese 163c 50

Gliese 581g 20

Gliese 581d 21

Gliese 667Cc 22

HD 85512b 36

HD 40307g 42

Kepler 22b 600

Tabla 1.1

Interpretación y representación

1. Si sólo 7 de los 900 exoplanetas son considerados

candidatos para albergar vida, eso quiere decir que

a. el 7% de los exoplanetas descubiertos tiene la posibilidad de albergar la vida.

b. menos del 1% de los exoplanetas descubier-tos tiene la posibilidad de albergar vida.

c. más de 1

10 de los exoplanetas descubiertos

tiene la posibilidad de albergar vida.

d. 17

de los exoplanetas descubiertos tienen la

posibilidad de albergar vida.

2. Completa la siguiente afirmación con base en

la tabla 1.1: El exoplaneta más cercano al Sol es

_____________ y el más lejano es ___________ .

3. Ordena los planetas de nuestro sistema de menor

a mayor distancia al Sol (en UA).

4. Si un año luz corresponde a 63 241 UA, ¿el exopla-

neta más cercano a nuestro Sol, que presenta po-

sibilidades de albergar vida, es ________________

y se encuentra a

a. 16 482 UA. b. 132 861 UA.

c. 1 264 820 UA. d. 1 328 061 UA.

5. Responde las siguientes preguntas con base en la

información de la tabla 1.2: ¿Cuál es el planeta más

cercano al Sol? ¿Cuál es el planeta más lejano?

6. ¿Cuál es la distancia en UA entre la Tierra y Venus?

Razonamiento y argumentación

7. La Unión Astronómica Internacional define una UA

como la distancia entre el centro del Sol y una par-

tícula que orbite a su alrededor (ver figura 1.1).

Figura 1.1

Así, una UA corresponde aproximadamente a

149,6 × 106 km, lo que equivale a

a. 1 496 000 000 km.

b. 149 600 000 km.

c. 0,000001496 km.

d. 0,0001496 km.

Planeta UA

Urano 19,19

Marte 1,52

Venus 0,62

Júpiter 5,20

Tierra 1

Mercurio 0,39

Neptuno 30,11

Saturno 9,55

Tabla 1.2

43


0 0,1

0,5

1

2

0,3

1 10 40

Radio de la orbita con relación a la tierra Ma

sa d

e la

s e

stre

llas

con

re

laci

ón

al s

ol

Rad

0 0,1

RadMa

s 0 0 1

0,3

sa d

e

0,5

0 3 las

es

2

sol

2

ón

al s

ela

ció

1on

re

stre

llas

1

sco

Zona habitable


1. Interpreto información presentada en un texto.

2. Interpreto información presentada en una tabla.

3. Identifico la relación de orden entre números racionales en su representación decimal finita.

4. Resuelvo problemas aplicando multiplicación de números racionales.

5. Concluyo ideas a partir de información dada.

6. Resuelvo problemas que involucran la sustracción de números racionales.

7. Identifico y empleo la notación científica para representar medidas.

8. Modelo una situación dada empleando las propiedades del valor absoluto.

9. Simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales.

10. Identifico el porcentaje como una operación entre números racionales.

Para que un exoplaneta sea considerado habitable se

realiza un análisis de la zona habitable, es decir, la zona

alrededor de una estrella en la que coexiste vapor de

agua, agua líquida y hielo. En la figura 1.2, se muestra la

zona habitable para nuestro sistema solar y su relación

con otros sistemas.

Figura 1.2

8. Considerando x como la distancia en UA de un pla-

neta habitable al Sol, una expresión matemática

que modelaría la zona habitable de nuestro siste-

ma solar sería

a. |x – 1| ≤ 0,36.

b. |x – 1| ≥ 0,36.

c. |x – 1| ≤ 0,72.

d. |x – 1| ≥ 0,72.

Formulación y ejecución

9. Existen múltiples clasificaciones realizadas a los

exoplanetas, entre ellas, se encuentra “supertierra”,

clasificación relacionada con su tamaño y consis-

tencia. De los exoplanetas listados en la tabla 1.1,

hasta el momento sólo uno de ellos ha entrado en

dicha clasificación. Descubre el nombre de la su-

pertierra encriptado en la solución de la siguiente

operación:

5 2 5 4 513

12

2

log (8) 16

7

2

2

( )+ − + +⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

Si su solución corresponde a la distancia en años

luz del exoplaneta a nuestro Sol, ¿cuál es el nombre

de dicho exoplaneta?

10. Científicos creen que tras los 3 primeros años de

su lanzamiento (2024) y funcionamiento se habrán

descubierto miles de exoplanetas de los cuales se

espera que el 1,5% de ellos se encuentre en una

zona habitable. Si en esos 3 años el número de

exoplanetas descubiertos fuera de 1800, ¿cuántos

de ellos deben estar en una zona habitable para

asegurar que la estimación fue correcta?

Tema

Pensamiento variacional

44

Tema

Ideas previas

Ecuaciones e inecuaciones lineales

9

Escribe una ecuación que permita solucionar la situación:

Si Andrés aumenta 5,2 kg, su peso será de 72,9 kg. ¿Cuál es su peso?

Ecuaciones lineales con coeficiente entero

En Matemáticas, empleamos el signo igual en varios sentidos: para expresar el resultado

de una operación (12 × 2 = 24); para establecer una definición (n × n × n = n3); para enun-

ciar una propiedad (a × b = b × a); o para escribir expresiones que modelen una situación

de la cotidianidad (por ejemplo, si la cantidad de estudiantes de una academia, x, se dupli-

ca, se tendrán 320 estudiantes: 2x = 320).

Una igualdad con una variable, con exponente uno, que representa un valor desco-nocido y su coeficiente es un número entero se denomina ecuación lineal con una incógnita con coeficiente entero.

Ejemplo 1

Determinemos si cada una de las siguientes expresiones es una ecuación lineal con

una incógnita con coeficiente entero. Justifiquemos las respuestas.

a. 230 – y b. =x35

8

c. 3x2 + 1 = 12 × 4 d. + =x–5 143

Solución

a. No es ecuación lineal con coeficiente entero, porque no hay igualdad.

b. No lo es, porque en la ecuación la variable x tiene coeficiente racional.

c. No lo es, porque en la ecuación la variable x tiene exponente diferente de 1.

d. Es ecuación lineal con coeficiente entero, porque cumple todas las condiciones.

Toda ecuación lineal con una incógnita con coeficiente entero puede escribirse de cualquiera de las siguientes formas:

1. x + a = b; a, b ∈ R. (Ecuación aditiva).

2. ax = b, donde a ∈ Z; b ∈ R; a ≠ 1; y a ≠ 0. (Ecuación multiplicativa).

3. ax + b = c, donde a ∈ Z; b, c ∈ R; a ≠ 1; y a ≠ 0. (Ecuación aditiva-multiplicativa).

Dada una ecuación lineal con una incógnita con coeficiente entero nos interesa cono-

cer el valor de la incógnita, es decir, el número que al ser reemplazado en la ecuación la

transforma en una igualdad numérica.

Para resolver una ecuación lineal de la forma x + a = b, adicionamos el opuesto de a a ambos miembros de la igualdad. Luego, la transformamos en una ecuación equi-valente a la dada empleando las propiedades de la adición en los números reales.

45

Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación m − 3,01 = 7,5.

Solución

m − 3,01= 7,5 Ecuación original.

(m − 3,01) + 3,01 = 7,5 + 3,01 Adicionamos el opuesto de –3,01 a ambos lados de la ecuación.

m + (−3,01 + 3,01) = 10,51 Aplicamos la propiedad asociativa de la adición.

m + 0 = 10,51 Aplicamos la propiedad del inverso aditivo.

m = 10,51 Aplicamos la propiedad modulativa de la adición.

Verificamos que el valor hallado es solución reemplazándolo en la ecuación original.

m − 3,01 = 7,5 Ecuación original.

10,51 – 3,01 = 7,5 Reemplazamos m = 10,51.

7,5 = 7,5 Verificamos la respuesta.

Para resolver una ecuación lineal de la forma ax = b, multiplicamos por el recíproco de a a ambos miembros de la igualdad y la transformamos en una ecuación equiva-lente a la dada empleando las propiedades de la multiplicación en los números reales.

Ejemplo 3

Solucionemos la ecuación =x–732

.

Solución

−( ) −( ) = −( ) ⋅17

717

32

x Multiplicamos por el recíproco de –7.

13

14⋅ = −x Utilizamos la propiedad del inverso multiplicativo.

=x –3

14 Utilizamos la propiedad modulativa de la multiplicación.

Para resolver una ecuación lineal de la forma ax + c = b, primero adicionamos el opuesto de c a ambos miembros de la ecuación y después multiplicamos por el recí-proco de a a ambos miembros de la ecuación. Luego, la transformamos en una ecua-ción equivalente a la inicial, hasta despejar la incógnita, utilizando las propiedades de la adición y de la multiplicación de números reales.

Ejemplo 4

Hallemos la solución de la ecuación –4x – 5 = 23.

Solución

–4x – 5 = 23 Ecuación dada.

–4x – 5 + 5 = 23 + 5 Adicionamos el opuesto de – 5 a ambos lados de la ecuación.

–4x + [(–5) + 5] = 28 Aplicamos la propiedad asociativa de la adición.

Dos o más ecuaciones que

tienen el mismo conjunto

solución se denominan

ecuaciones equivalentes.

Para recordar

Soluciona más ecuaciones

ingresando a la página:

http://www.extremate.es/

ESO/Definitivo%20Ecuacio-

nes/ecuaciones.swf

Vínculo web

46


1. Relaciona cada enunciado con la ecuación que la modela.

a. Un número aumentado en 5 equivale al opuesto de 4,6. 10 + 2x = 21

b. Si a un número se le sustrae 5,7 se obtiene 2,98. x + 5 = –4,6

c. Seis veces un número equivale al opuesto de 2,3. x – 5,7 = 2,98

d. El doble de una cantidad es igual a tres cuartos. 3 + 2x = 21

e. El triple de la edad de Sara es igual a la edad de Carlos, que tiene 21 años. =234

x

f. Diez más que el doble de un número equivale a veintiuno. 6x = –2,3

g. Si al doble de la edad de Ana se le adicionan 3 años, se obtiene la edad de Jorge, que tiene 21 años.

3x = 21

–4x + 0 = 28 Aplicamos la propiedad modulativa de la adición.

–4x = 28 Aplicamos la propiedad invertiva de la multiplicación.

× = ×x–14

(–4) –14

28 Multiplicamos por el recíproco de –4 a ambos lados de la ecuación.

×⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =x–

14

(– 4)28– 4

Aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación.

1 × x = –7 Aplicamos la propiedad modulativa de la multiplicación.

x = –7 Obtenemos la solución de la ecuación.

2. Escribe un enunciado para cada ecuación.

a. x + 10,5 = 15

b. y − 3 = 0,7

c. t − 47

= 18,1

d. m + 12 = 923

e. x − 7,9 = 4,5

f. 2y = 21

g. –x = 1000

h. 2x + 23 = −24

i. −5t – 10 = 75


3. Determina si los valores dados son soluciones de

la ecuación.

a. x − 0,5 = 4 x = 4,5

b. m − 58

= 7

12 m =

1112

c. − 35

+ y = 0 y = − 35

d. 0,6m + 1,8 = −4 m = 3

e. 2x − 117

= −1 x = 27

47

4. Halla ecuaciones equivalentes para cada ecuación

mediante los enunciados dados.

a. = +x x13

– 2 15 3

• Adicionando el opuesto de –2x a ambos

lados.

• Multiplicando por el recíproco de 5 todos

los términos.

• Adicionando el opuesto de 3 a ambos la-

dos de la ecuación.

b. –5(1 + 3x) + 2 = (6 – x)4

• Aplicando la propiedad distributiva.

• Adicionando el opuesto de 2 a ambos la-

dos de la ecuación.

• Adicionando el opuesto de –4x después de

haber aplicado la propiedad distributiva.

5. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.


a. Para resolver una ecuación lineal de la forma x + a = b, se debe adicionar el valor de a a ambos lados de la ecuación.

b. La solución de una ecuación lineal de la for-ma x + a = b siempre es un número entero.

c. La solución de una ecuación lineal de la for-ma ax = b siempre es un número diferente de cero.

d. En la ecuación ax + c = b, el valor de x es c a

b

–.

e. Si en la ecuación ax + c = b el valor de c es cero, la ecuación no tiene solución.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. x – 46 = –77

b. y − 514

= 54,5

c. z + (−0,09) = 11,87

d. −123,05 + n = 130

e. 2,56x = –18,4

f. =–35

0,8y

g. 59,2m – 37,7 = –203,5

h. 8x − 14

= 10


7. Modela cada situación con una ecuación y resuél-

vela.

a. Un número disminuido en 45 equivale a 12,8. ¿Cuál es el número?

b. 76

menos un número específico es igual al

opuesto de 74

. ¿Cuál es el número?

c. La suma del opuesto de –25,5 y un número es −10,5. ¿Cuál es el número?

d. Si a un número se le sustrae el opuesto de

− 25

, la diferencia es 4,4. ¿Cuál es el número?

e. Si a un número se le adiciona 34

, se obtiene

24,5. ¿Cuál es el número?

f. A un número se le sustrae 0,7 y se obtiene 4,8. ¿Cuál es el número?

g. Cinco veces un número equivale a 12,6. ¿Cuál es el número?

h. El doble del peso de Raúl es 104 kg. ¿Cuál es el peso de Raúl?

i. Un persona recorrió 2000,5 m. Si en prome-dio avanzó 2 m cada segundo, ¿cuánto tiem-po empleó en el recorrido?

j. El perímetro de un terreno cuadrado es 48,4 m. ¿Cuál es la medida del lado del terreno?

k. El triple de un número aumentado en 125 es igual a 32. ¿Cuál es el número?

l. La edad de María disminuida en 24 es igual a 42. ¿Cuántos años tiene María?

8. Resuelve cada ecuación teniendo en cuenta que,

si se obtiene una ecuación equivalente sencilla

cuya incógnita tiene cero por coeficiente y queda

una igualdad numérica cierta, la ecuación tiene

infinitas soluciones, pero si se llega a una igual-

dad numérica falsa, la ecuación no tiene solución.

a. 2x – x = x

b. 3x + 5 = 3x + 7

c. x + 7 = 8 + x

d. 2(x + 3) = 2x + 6

e. 4x + 8 = 3 + 5 + 4x

48

Resumen

a. b. c. d.

Ecuaciones lineales con

coeficiente entero

son de la

forma

x + a = b

a, b ∈ R

se adiciona el opuesto

de a a ambos lados de la

igualdad y se transforma

la ecuación en una

equivalente.

ax = b

a ∈ Z; b ∈ R;

a ≠ 1 y a ≠ 0

se multiplica por el

recíproco de a a ambos

lados de la igualdad y se

transforma la ecuación en

una equivalente.

ax + b = c

a ∈ Z; b, c ∈ R;

a ≠ 1; y a ≠ 0

se adiciona el opuesto de b a ambos lados

de la igualdad y se simplifica. Luego, se

multiplica por el recíproco de a a ambos

lados de la igualdad y se transforma la

ecuación en una equivalente.

para

solucionarlas

para

solucionarlas

para

solucionarlas

Entretenimiento

9. Selecciona la figura que continúa la secuencia.

10. Se tienen 6 bloques grandes y 8 bloques pe-

queños. Si un bloque pequeño pesa 23

de uno

grande y todos los bloques juntos pesan 34 kilos,

¿cómo se deben disponer los bloques que faltan,

en cada brazo de la balanza de la figura 9.2 para

que la balanza esté en equilibrio?

Figura 9.2


Figura 9.1

Tema


49

Ideas previas


10

Escribe una ecuación que permita solucionar la siguiente situación:

La mitad del número de carros de colección que tiene Esteban más 12 es igual a 34.

¿Cuántos carros de colección tiene Esteban?

Ecuaciones lineales con coeficiente fraccionario

Un buzo desciende 3,4 m cada minuto en una expedición marina. ¿Cuánto tiempo ha

transcurrido si se encuentra a una profundidad de 27,2 m y a una de 56,1 m?

Para dar solución a esta situación, planteamos una ecuación en la que la incógnita, que

llamaremos t, es el tiempo transcurrido.

3,4 ⋅ t = 27,2

3,4 ⋅ t = 56,1

Las dos ecuaciones planteadas son lineales de la forma ax = b.

Una ecuación lineal con una incógnita con coeficiente fraccionario es una ecua-ción de la forma ax = b o ax + b = c, donde a es un número racional diferente de cero, y b y c son números reales cualesquiera.

Una vez identificamos la clase de ecuación, debemos solucionarla, es decir, hallar el

valor de la variable que hace que la ecuación sea una igualdad numérica.

Para resolver una ecuación lineal con una incógnita con coeficiente fraccionario de la forma ax = b, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el recíproco de a y aplicamos las propiedades de la multiplicación con números enteros. Si la ecuación es de la forma ax + b = c, aplicamos primero, de ser necesario, la propiedad distributi-va; de lo contrario, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones de la ecuación. Luego, resolvemos la ecuación equivalente que resulta con coeficiente entero.

Ejemplo 1

Resolvamos la primera ecuación presentada en la situación inicial: 3,4t = 27,2.

Solución

3,4t = 27,2 Ecuación original.

13, 4

(3,4t) = ⋅13, 4

27,2 Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el recíproco de 3,4.

⋅( )13, 4

3, 4 t = 8 Aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación.

1t = 8 Aplicamos la propiedad del inverso multiplicativo.

t = 8 Aplicamos la propiedad modulativa de la multiplicación.

Así, han transcurrido 8 minutos cuando el buzo está a 27,2 metros de profundidad.

Conoce más ejemplos de

resolución de ecuaciones

lineales ingresando a la

página http://www.vitutor.

net/2/7/ecuaciones_linea-

les.html

Vínculo web

Recordemos que el menor

de los múltiplos comunes

de dos o más números se

denomina mínimo común

múltiplo (m. c. m.) y se halla

al descomponer el grupo

de números en factores

primos.

Para recordar

50


Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación ( ) ( )− + − = − − +x x x13

52

323

16

4 272

.

Solución

( ) ( )− + − = − − +x x x13

52

323

16

4 272

Ecuación planteada.

− + − = − + +x x x13

152

53

23

13

72

Aplicamos la propiedad distributiva.

( ) ( )− + − = − + +x x x613

152

53

623

13

72

Multiplicamos por 6 (el m. c. m. de 2 y

3) a ambos lados de la ecuación.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − = − + +x x x613

6152

653

623

613

672

. Aplicamos la propiedad distributiva.

–2 + 45x – 10 = –4 + 2x + 21x Multiplicamos enteros.

45x – 2x – 21x = –4 + 2 + 10 Agrupamos términos semejantes.

22x = 8 Realizamos adiciones en cada lado

de la igualdad.

=x8

22 Transponemos términos.

=x411

Simplificamos y obtenemos la solución.

Verificamos el resultado reemplazándolo en la ecuación original. Como obtenemos

una igualdad cierta, la solución de la ecuación es 411

.

1. Relaciona cada expresión con la ecuación lineal

que permite resolverla.

a. Dos quintos de un número

equivalen a 38. − =34

35

x x

b. Un número menos sus

tres cuartos equivale a =34

1 200 000x

tres quintos.

c. 18 es menos un cuarto

de la suma de un ( )− + =1814

7 3x

número y 7 es 3.

d. Tres cuartos del sueldo

de Ana son un millón ⋅ =17

150 x

doscientos mil pesos.

e. De las 150 láminas de un

álbum, se perdió un séptimo. =25

38x

¿Cuántas láminas se perdieron?

2. Escribe una frase que traduzca la ecuación dada.

a. + =x x37

4 b. −−

=x

22

35

c. = +x x32

7 d. =x56

49

e. ( )− − + =x x12

3 535

3. Escribe el paso que se realizó para hallar la ecua-

ción equivalente que está a la derecha de la ecua-

ción original.

a. =z13

– 8 17,2 ; =z13

25,2

b. + =m m– 237

34

– 5 ; = m37

114

– 5

c. =p

p(2 – )

74 –

13

; 3(2 – p) = 84p – 7

d. ( )+ =xx–15

23

47

–143

; + =xx–15

23

47

–83

Son equivalentes las

expresiones ab

x , axb

,

×axb

, ×axb1

con b ≠ 0.

Para recordar

51

Resumen

Una ecuación lineal con una incógnita con coeficiente fraccionario tiene una fracción en uno

o más términos. Para resolver ecuaciones de este tipo, eliminamos los denominadores multipli-

cando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los mismos y resolvemos la ecuación

equivalente con coeficientes enteros.


4. Calcula el valor de x que satisface cada una de las

ecuaciones.

a. =x7

3

b. + =x4

56

c. + =x x3 4

10

d. =x x–74

3

e. + =xx

68

2 – 1

f. =xx

x5 –43

4

g. − + =xx

75

21145

h. =xx

5– 8 3 –

223

i. ( )= +xx

2– 25 2

34

8

j. + =x

x–2

754

92

( – 18)

k. +

=x x2( 6)

5–

34

l. + =xx

x2 –12

(3 – 20 )3

– 4(2 – 1)

m. ( )+ =x x54

(2 7) –16

3 4 –75

n. = +x x

x– 2( – 3)

9–

31

18(2 – 5) 4

5. Adriana y Mateo resolvieron la ecuación

12

x + 34

= 56

como se muestra a continuación.

Adriana

⋅ + =x12

34

56

+ = ÷x34

56

12

+ =x34

53

=x53

–34

=x1112

Mateo

⋅ + =x12

34

56

⋅ = +x12

56

34

⋅ =12

1912

x

= ÷x1912

12

=x196

a. Explica el error que cometió Adriana al resol-ver la ecuación.

b. Explica el error que cometió Mateo.

c. Resuelve correctamente la ecuación.


6. Determina si cada ecuación tiene una, infinitas o

ninguna solución. Discute tu respuesta con un com-

pañero.

a. + =x x–

43

375

– 6

b. =x x311

(2 – 1) 10 – 5

c. ( )+ = +xx

152

3 532

1

d. ( ) ( )+ =x x4

25

2 85

– 4

Tema


52

Tema

Ideas previas


11

La suma de tres números es 57. El mayor excede en 7 unidades al menor y el del medio

equivale a 43

del menor. ¿Cuáles son los números?

Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones lineales

En algunas situaciones cotidianas, es necesario escribir, en forma de ecuación, un acon-

tecimiento referente a dos momentos o a dos cantidades, inicialmente, de valor des-

conocido. Para empezar, debemos asignarle una letra a una de las cantidades de valor

desconocido, luego relacionarla con otra u otras que se mencionan en la situación y así

plantear la ecuación.

Para resolver un problema utilizando ecuaciones lineales, podemos considerar los siguientes pasos:1. Determinar los datos conocidos y desconocidos.2. Asignar variables a los valores desconocidos.3. Organizar la información que depende del valor desconocido y relacionar los datos.4. Plantear la ecuación teniendo en cuenta la relación establecida.5. Resolver la ecuación.6. Verificar la respuesta en la situación.

Para solucionar una situa-

ción problema, podemos

utilizar algunos de los

pasos propuestos (no

todos) y, también, elaborar

gráficos, tablas u otros es-

quemas que nos permitan

relacionar datos y entender

el problema.

Para recordar

Ejemplo 1

Santiago tiene un paquete de cromos para el álbum del mundial. Si su amigo Eduardo

le regala 15 cromos, tendrá 158. ¿Cuántos cromos para el álbum tiene Santiago?

Solución

Nombramos con una letra x, llamada incógnita, la cantidad de cromos que tiene Santia-

go. Reescribimos la situación con la expresión algebraica x + 15 = 158.

Resolvemos la ecuación planteada.

x + 15 = 158 Ecuación original.

x + 15 + (−15) = 158 + (−15) Adicionamos el opuesto de 15 a ambos lados de la ecuación.

x + [15 + (−15)] = 143 Aplicamos la propiedad asociativa de la adición.

x + 0 = 143 Aplicamos la propiedad del inverso aditivo.

x = 143 Aplicamos la propiedad modulativa de la adición.

Para verificar el resultado hallado, reemplazamos x = 143 en la ecuación.

x + 15 = 158 Ecuación inicial.

143 + 15 = 158 Reemplazamos x = 143.

Como obtuvimos una igualdad numérica, podemos concluir que x = 143 es solución

de la ecuación y, por tanto, Santiago tiene 143 cromos.

El interés o ganancia (i) que produce una cantidad de dinero (c), prestado a una tasa de interés dada en decimales (r), en un periodo de tiempo determinado (t), se determi-na con la fórmula i = c⋅r⋅t, donde r y t se dan en la misma unidad de tiempo.

Las ecuaciones lineales nos

permiten resolver proble-

mas de diversa índole; las

situaciones pueden estar

relacionadas con números,

edades, figuras geométri-

cas, dinero, porcentajes,

mezclas, entre otras.

En qué se aplica

53

Cuando constatamos

la respuesta frente al

enunciado y resulta alguna

contradicción, debemos

reconsiderar la solución

del problema y reanudar el

proceso.

Para recordar

Ejemplo 2

Lucía invirtió una cantidad de dinero al 2,5% mensual durante un año. Si obtuvo una

ganancia de $ 150 000, ¿cuál fue la cantidad de dinero invertida?

Solución

Como la tasa de interés está dada en meses, el tiempo también debe darse en meses.

Así, tenemos los siguientes datos: i = 150 000; r = 2,5% (es decir, r = 0,025) y t = 12.

150 000 = c ⋅ 0,025 ⋅ 12 Planteamos la ecuación.

150 000 = 0,3c Realizamos la multiplicación.

c = 500 000 Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el recíproco de 0,3.

Para verificar el resultado hallado, reemplazamos c = 500 000 en la ecuación.

150 000 = c ⋅ 0,025 ⋅ 12 Ecuación inicial.

150 000 = 500 000 ⋅ 0,025 ⋅ 12 Reemplazamos c = 500 000.

Como obtuvimos una igualdad numérica, podemos concluir que c = 500 000 es solu-

ción de la ecuación y, por tanto, Lucía invirtió $ 500 000.

Ejemplo 3

Una compañía de telefonía celular cobra $ 310 por cada minuto de tiempo al aire más

$ 6300 de cuota fija. Si Natalia paga una factura mensual de $ 62 100, ¿cuántos minutos

utiliza en el mes?

Solución

Representemos con m la cantidad de minutos que utiliza Natalia en el mes.

La ecuación que representa la situación dada es 310m + 6300 = 62 100.

Resolvamos la ecuación.

310m + 6300 = 62 100 Ecuación original.

(310m + 6300) + (−6300) = 62 100 + (−6300) Adicionamos el opuesto de 6300 a ambos lados

de la ecuación.

310m + [6300 + (−6300)] = 55 800 Aplicamos la propiedad asociativa de la adición

en los números reales.

310m + 0 = 55 800 Aplicamos la propiedad modulativa.

1310

(310m) = 1

310 55 800 Multiplicamos por el recíproco de 310 a ambos

lados de la ecuación.

⋅( )1310

310 m = 180 Aplicamos la propiedad asociativa e invertiva

de la multiplicación.

m = 180 Aplicamos la propiedad modulativa de la

multiplicación en los números reales.

Para verificar el resultado hallado, reemplazamos m = 180 en la ecuación.

310m + 6300 = 62 100 Ecuación inicial.

310 ⋅ 180 + 6300 = 62 100 Reemplazamos m = 180.

Como obtuvimos una igualdad numérica, podemos concluir que m = 180 es solución

de la ecuación y, por tanto, podemos afirmar que Natalia habló por celular 180 minu-

tos en el mes.

Cuando una persona o

una institución presta

una cantidad de dinero,

este debe producirle una

ganancia llamada interés, el

cual es un porcentaje de la

cantidad prestada. Así, por

ejemplo, si se solicita un

préstamo al 3% anual, esto

quiere decir que al cabo de

un año se deben pagar $ 3

por cada $ 100 prestados.

En qué se aplica

54


12,5 cm

7 cm

h


1. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa

de acuerdo con la siguiente situación: un agricul-

tor tiene 324 m de enrejado para cercar un terreno.

a. Si el terreno tiene forma cuadrada, la longitud de cada lado es 86 m.

b. Si el terreno tiene forma de triángulo equila-tero, la longitud de cada lado es 108 m.

c. Si el terreno tiene forma circular, la medida de su radio sería 52 m, aproximadamente.

2. Escribe una ecuación lineal que represente cada si-

tuación. Plantea la pregunta y resuelve el problema.

a. El triple de un número es 189.

b. Un número natural adicionado con su conse-cutivo equivale a 27.

c. El doble de un número, aumentado en su tri-ple, es 555.

d. En un salón hay 180 sillas y 9 filas, y cada fila tiene cierto número de sillas.

e. El perímetro de un rectángulo es 40 cm y su largo es el doble de su ancho.

3. Escribe una situación que represente cada ecua-

ción.

a. 7 + x = 28 b. 5 – 2n = n

c. 3(t + 2) = 20 d. 5r – 4 = 12

4. Resuelve cada situación planteando una ecuación.

a. 25

del número de estudiantes equivale a 42.

¿Cuántos estudiantes hay?

b. 74

de los 25

de un número es 28. ¿Cuál es el

número?

c. Tengo $ 18 000 que son los tres cuartos de los dos quintos del dinero que me regaló mi mamá. ¿Cuánto me dio mi mamá?

d. En una papelería, se vendió un tercio del nú-mero de cuadernos que se tenía. Si quedan 120 cuadernos, ¿cuántos había para la venta?

5. Usa la fórmula indicada, plantea una ecuación

lineal y resuelve la situación.

a. Perímetro del cuadrado = 4l (l: longitud del lado).

¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado

de perímetro 125,6 cm?

b. Área del rectángulo = l × a (l: largo, a: ancho).

¿Cuál es el largo de un rectángulo de área

2429,5 cm2 y ancho 43 cm?

c. Área del trapecio = ( )+

2

h b a (h: altura,

b: base menor y a: base mayor).

¿Cuál es la altura del trapecio que tiene de

área 83,85 cm2, base mayor 12,5 cm y base

menor 7 cm, que se muestra en la figura 11.1?

Figura 11.1

d. Velocidad = dt

.

Luna condujo su carro a 80 km/h durante un

cuarto de hora. ¿Qué distancia recorrió?


6. Sofía atiende los fines de semana en un almacén

de juguetes. El fin de semana pasado vendió 21

juguetes más que Elena. Entre las dos, vendieron

123 juguetes. ¿Cuántos juguetes vendió Elena?

7. Ignacio tiene el doble de la edad de Eduardo. Mi-

guel es 14 años mayor que Eduardo. La suma de

las tres edades es 62 años. ¿Cuál es la edad de cada

uno?

8. Un almacén ofrece un descuento del 20% sobre el

precio de venta de las herramientas para el hogar.

Si un martillo cuesta $ 28 000, ¿cuál es su precio

sin descuento?

9. Jorge gana el doble de Fernando; Juan gana

$ 200 000 más que Fernando y entre los tres reci-

ben $ 1 940 000. ¿Cuánto gana cada uno?

10. La suma del peso de dos litros, uno de agua y uno

de aceite, es 1,8 kg. Si un litro de la mezcla agua-

aceite pesa 0,9 kg, ¿qué cantidad de aceite contie-

ne la mezcla?

55

Resumen

11. Al estreno de una película, asistieron 700 personas

entre niños y adultos. Los adultos pagaron $ 10 000

por boleto y los niños $ 6000. Si los ingresos totales

por las ventas de boletos fueron $ 5 496 000, ¿cuán-

tos niños y cuántos adultos entraron?

12. Se combinan hidrógeno y oxígeno para producir

agua. El peso del oxígeno es ocho veces el peso

del hidrógeno. Si se combinan dos partes de hi-

drógeno por una de oxígeno y el peso del agua

obtenida es 1000 g, ¿cuál es el peso del oxígeno

utilizado en la mezcla?

13. En una competencia deportiva, el segundo parti-

cipante emplea 2,25 minutos más que el ganador

El ganador llega a la meta 4,5 minutos antes que

el competidor que ocupa el tercer lugar. El com-

petidor que ocupa el segundo puesto emplea en

total 48,48 minutos.

a. ¿Cuál es el tiempo del ganador?

b. ¿Cuál es el tiempo empleado por el tercer competidor?

14. Dos empresas de telefonía celular ofrecen planes

distintos. La compañía A cobra $ 220 por cada minu-

to al aire más una tarifa básica de $ 9400. La compa-

ñía B tiene una tarifa básica de $ 8500 y cada minuto

al aire tiene un valor de $ 280. Milena tiene un telé-

fono de la compañía A y paga una mensualidad de

$ 108 400, mientras que Jaime tiene un teléfono de

la compañía B y paga una mensualidad de $ 128 900.

a. Escribe una ecuación que represente el valor pagado por Milena.

b. Escribe una ecuación que represente el valor pagado por Jaime.

c. Determina cuál de las dos personas utiliza más minutos al mes.

15. En la carretera que une dos poblaciones, hay una

señal de límite de velocidad de 80 km/h.

a. Si Javier disminuye su velocidad en 32,5 km/h para cumplir la norma, ¿a qué velocidad viajaba?

b. Si un bus va a 12,75 km/h por debajo de la velocidad permitida, ¿a qué velocidad viaja?

16. Para llenar un dispensador de gaseosa se emplean

2,5 litros de colorante endulzado más algunas bo-

tellas de 3,5 litros de agua con gas. Si el dispen-

sador tiene una capacidad de 51,5 litros, ¿cuántas

botellas de agua se emplean para llenar el dispen-

sador?

17. Cuando a un barril le falta el 30% para llenarse,

contiene 30 litros más que cuando está lleno has-

ta el 30 %. ¿Cuántos litros le caben al barril?

Entretenimiento

18. Estos dos triángulos se intersecan en tres puntos.

Figura 11.2

¿En cuántos puntos es posible que se intersequen

dos triángulos? ¿En cuántos puntos es posible

que se intersequen un triángulo y un cuadrado?

Para resolver un problema utilizando ecuaciones lineales, determinamos los datos conocidos y

desconocidos, asignamos variables a los valores desconocidos, organizamos la información que

depende del valor desconocido para relacionar los datos. Luego, planteamos la ecuación teniendo

en cuenta la relación establecida entre los datos, resolvemos la ecuación y, finalmente, verificamos

la respuesta en la situación.


Tema


56

Tema

Ideas previas


12

Si la longitud del lado de un cuadrado es mayor o igual que 12, ¿qué puedes afirmar de

su perímetro?

Inecuaciones lineales con una incógnita

En algunos casos, las igualdades numéricas no son suficientes para traducir situaciones

cotidianas. Por ejemplo, en expresiones como: la velocidad máxima del carro no debe

superar los 120 km/h, los gastos de educación de Mariana oscilan entre $ 780 000 y

$ 820 000, o en el auditorio caben a lo sumo 400 personas.

Estas expresiones se representan mediante desigualdades.

x < y es equivalente a y > x

o x ≤ y es equivale a y ≥ x.

Para recordar

Una desigualdad es una comparación entre dos números o expresiones. Para repre-sentarlas usamos los signos < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que) o ≥ (mayor o igual que).

Una desigualdad formada por una variable, en donde el exponente de esta es uno, se

denomina inecuación lineal con una incógnita. Su solución, es el conjunto de todos

los números reales que la hacen verdadera. Para solucionarla usamos las siguientes pro-

piedades.

Sean x, y, z números reales.

1. Si en una desigualdad adicionamos un mismo número real a ambos lados, la desigualdad no cambia de sentido, es decir, si x < y, entonces x + z < y + z.

2. Si en una desigualdad multiplicamos a ambos lados por un mismo número real positivo, la desigualdad no cambia de sentido, es decir, si x < y y z > 0, entonces xz < yz.

3. Si en una desigualdad multiplicamos a ambos lados por un mismo número real ne-gativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir, si x < y y z < 0, entonces xz > yz.

Así como en las ecua-

ciones, para resolver una

inecuación despejamos la

incógnita (dejamos ésta a

un lado y las constantes al

otro lado de la inecuación).

Para recordar

Ejemplo 1

Resolvamos la inecuación + ≥x–13

25

12

.

Solución

Como la expresión tiene fracciones, multiplicamos a ambos lados de la inecuación por

el mínimo común múltiplo de los denominadores, para obtener números enteros. En

este caso, m.c.m. (3, 5, 2) = 30.

+ ≥x–13

25

12

Inecuación planteada.

( )+ ≥ ×x30 –13

25

3012

Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores.

( ) ( )+ ≥x30 –13

3025

15 Aplicamos la propiedad distributiva.

57

310

–

0–1 1

La expresión “es a lo más”

significa que “es menor o

igual”. La expresión “es a lo

menos” significa que

“es mayor o igual”.

Para recordar–10x + 12 ≥ 15 Realizamos las multiplicaciones.

–10x ≥ 15 – 12 Reagrupamos términos semejantes.

–10x ≥ 3 Realizamos sustracciones.

−( ) − ≤ −( )110

10 31

10( )x Multiplicamos por el recíproco de –10, por tanto, cambiamos

el sentido de la inecuación.

≤x –3

10 Obtenemos la respuesta.

La inecuación ≤x –3

10 indica que todos los números menores o iguales que –

310

son solución de la inecuación + ≥x–13

25

12

. La solución en intervalos es �( ⎤⎦⎥– , –

310

y la representación gráfica se observa en la figura 12.1.

Figura 12.1

Ejemplo 2

Si tres veces el valor de un helado disminuido en $ 150 es a lo más $ 1500, ¿cuál es el

precio máximo que puede tener el helado?

Solución

Representemos con x el valor de un helado. Por tanto, la inecuación que modela la

situación es 3x – 150 ≤ 1500.

Resolvemos la inecuación:

3x – 150 ≤ 1500 Consideramos la inecuación.

3x ≤ 1500 + 150 Agrupamos términos semejantes.

3x ≤ 1650 Realizamos la adición.

x ≤ 550 Obtenemos la respuesta.

En este caso, el conjunto solución es [0, 550], porque un precio no puede tener un

valor menor que cero. Esta respuesta significa que el precio máximo que puede tener

el helado es $ 550.

Ejemplo 3

Las escalas Celsius (C) y Fahrenheit (F) nos permiten medir la temperatura en diferentes

lugares. Para hacer conversiones entre estas dos escalas podemos usar la ecuación

C F= −59

( 32) .

Si durante determinado periodo, la temperatura de un lugar varió entre 22 y 28 grados

Celsius, ¿cuál fue el intervalo, en grados Fahrenheit, para este periodo?

Solución

Consideremos C como la temperatura en grados Celsius. Tenemos que la temperatura

en el periodo indicado de tiempo es: 22 < C < 28. Por tanto, F< − <2259

( 32) 28 .

Resolvamos la inecuación, es decir, despejemos F en el término central de la inecuación:

Para resolver una inecua-

ción lineal con una incóg-

nita de la forma

a < bx + c < d, donde a, b,

c y d, son números reales,

b ≠ 0, se adiciona el opues-

to de c y luego multiplica-

mos por el recíproco de

b, en las tres partes de la

inecuación.

Para recordar

Conoce otro ejemplo de

resolución de inecuaciones

lineales ingresando a la pá-

gina http://www.youtube.

com/watch?v=rrorndwkl_w

Vínculo web

58


F< − <2259

( 32) 28 Inecuación planteada.

F( ) ( ) ( )< − <95

2295

59

( 32)95

28 Multiplicamos por el recíproco de y aplicamos la propiedad distributiva.

39,6 < F – 32 < 50,4 Realizamos las operaciones indicadas.

39,6 + 32 < F – 32 + 32 < 50,4 + 32 Realizamos las adiciones.

71,6 < F < 82,4 Obtenemos la respuesta.

La solución 71,6 < F < 82,4 nos indica que si la temperatura en grados Celsius está en el

intervalo (22, 28), la temperatura en grados Fahrenheit está en el intervalo (71,6, 82,4).

1. Selecciona las inecuaciones lineales con una in-

cógnita.

a. 2x + 3 b. 3x – 4 ≤ 5

c. –8 > –20 d. x + y ≥ 3

e. –2y < 3,5 f. 4z + 2,5 ≥ 0

g. x2 + x < – 6 h. −

+ > −x

x x5

62 5

2. Explica los errores cometidos en cada afirmación.

a. Si 10 < 16, entonces, 10 − 5 > 16 − 5.

b. Si 15 > 8, entonces, 15(−2) > 8(−2).

c. Si 10,5 ≤ x, entonces, 10,5 + 15 ≥ x + 15.

d. Si y ≥ −2, entonces, −12y < 24.

e. Si −x < y, entonces, x > y.

3. Escribe el signo <, >, ≤ o ≥, según corresponda.

a. Si a < b, entonces a − 5 ____ b − 5.

b. Si 35

____ t, entonces − 65

≤ −2t.

c. Si h > 0, entonces h + 3,6 ____ 3,6.

d. Si n − 1 ≥ 3, entonces −n + 1 ____ −3.

e. Si 2,4 ____ 5, entonces −2,4 ____ –5.

4. Determina dos valores que sean solución de cada

inecuación, y dos valores que no lo sean.

a. x + 2 ≤ 5 b. >x23

1

c. 5x ≥ 2 d. 3x < 0

e. 4 – x > –3 f. −

<x 1

21

g. 2y + 6 < 12 h. m – 20 > 35

5. Expresa cada enunciado algebraicamente e indica

si es o no una inecuación lineal con una incógnita.

a. El doble de un número es 7.

b. La distancia a la casa es menor que 1 km.

c. Manuel tiene 8 años y Alejandra 15 años.

d. El sueldo de Felipe está entre un millón y un millón doscientos.

e. La estatura de Javier es más de 170 cm.

f. La capacidad de un tanque aumentada en 250 es máximo 1500 L.

g. La temperatura en una ciudad aumentada en tres grados es menor que 18 ºC.

h. El peso de un niño aumentado en 5 kg es ma-yor que 14 kilogramos.

i. La temperatura de una sustancia disminuida en 1 grado es –0,5 grados.

6. Calcula los valores de x que satisfacen la inecua-

ción y representa la solución en notación de inter-

valo y en la recta numérica.

a. 5 + x < 4 b. − 0,5m − 2,6 ≥ 4

c. 2x + 3 < 1 d. 7 – 3x > 25

e. 14x + 5 > 5 f. <xx

3– 2 6

g. 3x + 2 > 8x – 1

h. −5,6 + 5n ≤ 4,3n + 5,6

i. −3,4z + 12

> − 56

j. + + ≤ +x x x– 3 2(5 – ) 3 –12

1

59

Resumen

20 cm

3 cm

15 cm

Para resolver una inecuación lineal con una incógnita, aplicamos las propiedades de las

relaciones de orden en los números reales. La única diferencia, radica en que cuando divi-

dimos o multiplicamos cada lado de la inecuación por un número negativo, la inecuación

cambia de sentido.


7. Explica por qué las siguientes inecuaciones no

tienen solución.

a. − > +x x12

3

b. 2(x – 1) > 2x + 4

c. − − − + > − − − +xx x

x25

(3 2)3

32

2( 3)

31315

6

d. 42

x + 1 ≤ 2x − 54

≤ 2x – 1

8. Si siete canastos y medio pesan menos de 15 kg,

¿nueve canastos y medio pesan más de 19 kg?


9. Un vendedor de artículos deportivos tiene un

ingreso mensual dado por la expresión

I = 2 000 000 + 100,8t donde t es el número de

artículos vendidos en un mes.

Si el salario mensual del vendedor es mayor o

igual que $ 2 100 000, entonces,

a. ¿cuántos artículos debe vender al mes como mínimo para recibir su salario?

b. ¿cuál es el rango de artículos deportivos ven-didos en diciembre por el vendedor si justo en este mes obtuvo ingresos entre $ 3 100 000 y $ 4 000 000?

10. Una camioneta pesa 890 kg. La diferencia entre el

peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que

puede transportar debe ser por lo menos de 410 kg.

Si es necesario cargar cuatro cajas iguales, ¿cuánto

puede pesar como máximo cada una de las cajas

para poder ser transportada en la camioneta?

11. En un partido de baloncesto, el equipo A anotó 5

puntos menos que la mitad de la puntuación del

equipo B. ¿Cuál es la mayor puntuación que pue-

de tener el equipo A si el equipo B anotó menos

de 96 puntos?

12. El señor Ortiz pagará por un apartamento

$ 7 000 000 más el doble de sus ingresos anuales.

¿Cuál es su ingreso mínimo anual si desea com-

prar un apartamento de $ 120 000 000?

13. El rango de temperaturas Fahrenheit (F) de

60 ≤ F < 110, ¿a qué intervalo correspode en la

escala Celsius?


14. Trabaja con un compañero. Tomen una lámina de

cartulina de 20 cm × 15 cm. Corten cuadrados de

3 cm de lado en cada esquina de la lámina. Doblen

por los pliegues, como indica la figura 12.2, y pe-

guen para construir una caja sin tapa.

Repitan el ejercicio con láminas de 30 cm × 25 cm

y de 40 cm × 35 cm.

Figura 12.2

1. Calculen el volumen de la caja y determinen una relación con variables entre el ancho y el largo de la caja.

2. Escriban una inecuación para el volumen de cajas similares si no debe exceder 4000 cm3. ¿La inecuación es lineal con una incógnita?


60


x

2x + 1


Responde las preguntas 1 y 2 teniendo en cuenta la in-

formación anterior.

1. La expresión “al menos” hace referencia a que se in-

virtieron

a. menos de 2,1 millones de dólares.

b. más de 2,1 millones de dólares.

c. exactamente 2,1 millones de dólares.

d. máximo 2,1 millones de dólares.

2. La afirmación “se espera que la taquilla del merca-

do cinematográfico aumente en pesos un 50% con

respecto al año anterior” significa que se espera

que la taquilla aumente

a. 50 mil millones de pesos.

b. 50 millones de pesos.

c. 176 miles de millones de pesos.

d. 94,17 miles de millones de pesos.


Uno de los requerimientos relacionados con el tamaño

de la pantalla para una sala de cine 4D es que el largo

de la pantalla sea dos veces su ancho más un metro.

Figura 2.2

3. Responde la siguiente pregunta: ¿cuál de las si-

guientes ecuaciones representa el perímetro de la

pantalla (P)?

a. x(x + 1) = P para x > 0.

b. 2x + (x + 1) = P para x > 0.

c. 2x + 2(2x + 1) = P para x > 0.

d. 2x(2x + 1) = P para x > 0.

4. El ancho y el largo de una pantalla de 62 m de perí-

metro es ________ y ________, respectivamente.

Colombia: Taquilla del mercado

cinematográfico

Mile

s d

e m

illo

ne

s

de

pe

sos

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

0

50

100

150

200

250

300

350

400352,00

327,77294,04

258,09

198,08

159,98148,73

Lluvia, viento, niebla, sonidos más intensos, vibraciones y

hasta olores es lo que nos ofrece la evolución de una de las

más grandes compañías productoras de entretenimiento: el

cine 4D.

Todo gracias a los avances de la tecnología coreana que desde

2009 empezó a tocar las puertas de las grandes compañías de

cine con una inversión aproximada de al menos 2,1 millones

de dólares. Dicha tecnología ha llegado a países como México,

Chile, Perú, Brasil, India y ahora Colombia, donde se espera

un éxito igual o mayor.

La figura 2.1 muestra la taquilla del mercado cinematográfico

en Colombia en los últimos 7 años.

Para el 2014, se espera que la taquilla del mercado cinemato-

gráfico aumente en pesos un 50% con respecto al año anterior.

Figura 2.1

61



1. Interpreto información presentada en un texto.


3. Modelo una situación problema empleando una ecuación lineal.

4. Resuelvo problemas que involucran la solución de una ecuación lineal.

5. Resuelvo correctamente una ecuación lineal con coeficiente entero.

6. Resuelvo problemas que involucran la solución de una inecuación lineal.

7. Modelo una situación problema empleando para ello una ecuación lineal con coeficiente fraccionario.

8. Resuelvo problemas que involucran una ecuación lineal con coeficiente fraccionario.

9. Modelo una situación problema empleando una inecuación lineal.

10. Resuelvo problemas que involucran la solución de una inecuación lineal.

Como parte de la estrategia promocional, se ha decidi-

do que la boletería tendrá un descuento especial que

dependerá de la edad de quien compre la boleta. El

valor de la boleta corresponderá al valor de la boleta

actual ($15 000) menos un porcentaje correspondiente

a la edad del cliente (x). De esta manera, el valor de la

boleta estaría dado por la siguiente expresión:

Valor de la boleta = 15 000 − 15 000100( )x

5. Si una persona pagó $10 500 por su boleta, ¿cuán-

tos años tiene?

6. Si una persona quiere pagar por su entrada menos

de $10 000, ¿cuántos años debe tener?

a. Menos de 10 b. Entre 11 y 20

c. Entre 20 y 32 d. Más de 33


Se realizó una encuesta de satisfacción a todas las per-

sonas que ingresaron a la función de las 3:00 p. m. La

tercera parte de las personas que ingresó a la función

eran niños; la mitad, adultos menores de 40 años; y el

resto, adultos mayores de 40 años, que en total suma-

ron 20.

7. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite cono-

cer el número de personas que ingresó a la función

de las 3:00 p. m?

a. 3 2

20+ + =x xx b.

3 220+ + =x x

x

c. 3x + 2x + x = 20 d. 3x + 2x + 20 = x

8. ¿Cuántas personas ingresaron a la función de las

3:00 p. m?

a. 20 b. 40

c. 120 d. 140

Uno de los complementos que no puede faltar en un ci-

nema es la confitería. Por ello, aprovechando la apertura

de la nueva sala de cine y sólo durante el primer mes,

por la compra de dos boletas de $15 000 se reclama

totalmente gratis un tarro grande de crispetas más una

gaseosa pequeña. Sin embargo, para que la promoción

no genere pérdidas, se necesita que el valor recaudado

por la misma supere $1 000 000 diarios.

9. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones representa la

situación planteada si x representa el número de

boletas vendidas?

a. 30 000x ≥ 1 000 000

b. 30 000x > 1 000 000

c. 15 000x > 1 000 000

d. 15 000x ≥ 1 000 000

10. El número de boletas que se debe vender para que

la promoción tenga éxito debe ser mayor que ____.

Tema


62

Tema

Ideas previas

Polinomios

¿Cuál puede ser una expresión para el área de un círculo cuyo radio está dado por 3z – 10?

13 Expresiones algebraicas y polinomios

Muchas situaciones que vivimos u observamos se representan mediante expresiones

matemáticas. Algunas requieren ecuaciones, otras inecuaciones o simplemente expre-

siones en las que está implícita una relación que no es de igualdad ni de desigualdad.

Por ejemplo, la rapidez media de un automóvil que acelera uniformemente a lo largo

de un camino recto es la mitad de la suma de la rapidez inicial y la rapidez final. Si con-

sideramos vi la rapidez inicial y vf la rapidez final, entonces, la velocidad media puede

representarse por medio de la expresión ( )+12

v vi f .

Esta expresión se denomina expresión algebraica.

Una expresión algebraica es la combinación de números y letras que se relacionan mediante las diferentes operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Cada expresión separada por un signo + o un signo – la denominamos término de la expresión algebraica.

Ejemplo 1

Observemos en la tabla 13.1 algunas expresiones del lenguaje cotidiano y su equiva-

lente en una expresión algebraica.

Lenguaje cotidiano Expresión algebraica

El doble de un número. 2x

Tres veces un número incrementado en veinte. 3z + 20

Las tres cuartas partes de un número, disminuidas en ocho.34

– 8y

El perímetro de un rectángulo de largo 12,5 cm y cierto ancho. 2x + 25

Tabla 13.1

Ejemplo 2

Los términos de la expresión 3x4y2 – 5xy + 2 son 3x4y2, –5xy y 2; sus coeficientes,

3, –5 y 2; y el término independiente, 2.

Evaluar una expresión algebraica significa reemplazar las variables por valores es-pecíficos y efectuar los cálculos correspondientes. Algunas veces, evaluamos para verificar una igualdad o para despejar un valor desconocido.

En una expresión algebraica, las letras son las variables o parte literal y los números,

que multiplican a una variable o no, son los coeficientes. El número que no tiene par-

te literal es el término independiente.Las expresiones algebraicas

sirven para representar

el comportamiento de

algunos procesos que se

desarrollan en la naturaleza

y en actividades de la vida

diaria. Por ejemplo, el creci-

miento de una población o

el descuento que se ofrece

en una tienda por la com-

pra de algunos objetos.

En qué se aplica

63

x

SL

M

N Q

R

y

yx

Polinomios

La mayoría de situaciones reales y geométricas que ocurren se representan mediante

expresiones algebraicas especiales. Una de estas son los monomios.

Ejemplo 3

Observemos la figura 13.1.

El área del cuadrado LSQN está representada por la expresión: (x + y)(x + y) = (x + y)2.

Si x = 7 y y = 5, dicha área es (x + y)2 = (7 + 5)2 = 144 unidades cuadradas.

De manera similar, las dimensiones del rectángulo LSRM son largo (x + y) y ancho y, por

tanto, su perímetro es 2y + 2(x + y). Al evaluar esta expresión en x = 7 y y = 5, tenemos

que el perímetro es 2y + 2(x + y) = 2 × 5 + 2(7 + 5) = 10 + 24 = 34 unidades.

Figura 13.1

Una expresión de la forma

axnym… zk se denomina

término. La constante a es

el coeficiente del término

y xnym… zk es la parte

literal.

Un monomio es una ex-

presión algebraica formada

por un término.

Para recordar

Un monomio es una expresión algebraica que solamente contiene productos de una constante y potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son números en-teros no negativos. Es decir, es una expresión de la forma axnym… zk, donde a es una constante; x, y, …, z son variables; y los exponentes n, m, …, k son números enteros no negativos. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables.

Ejemplo 4

Determinemos cuáles de las siguientes expresiones son monomios: x y12 4 5 , y812 ,

x−2 3 , –7ab2c5 y 13. En cada monomio, establezcamos el coeficiente, la parte literal

y el grado.

Solución

Son monomios x y12 4 5 , –7ab2c5 y 13, porque los exponentes en sus variables son

números enteros no negativos. Las partes literales son x4y5, ab2c5, x0; sus coeficientes

son 12 , –7 y 13; y sus grados son 9, 8 y 0, respectivamente.

Las expresiones algebraicas y812 y x2 –3 no son monomios, porque los exponentes

de sus partes literales no son números enteros no negativos.

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Para adicionar o sustraer monomios semejantes, adicionamos o sustraemos algebrai-camente sus coeficientes y el resultado lo multiplicamos por la parte literal. Este pro-ceso lo llamamos reducción de términos semejantes.

Ejemplo 5

Reduzcamos los términos semejantes en la expresión +x y xy x y xy5 4 –12

–34

2 2 2 2 .

Solución

Asociamos los términos semejantes y tenemos:

( ) ( )+ = +x y xy x y xy x y x y xy xy5 4 –12

–34

5 –12

4 –34

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )= +x y xy5 –12

4 –34

2 2

= +x y xy92

134

2 2 .

64

La suma algebraica de varios monomios se denomina polinomio. En general, un po-linomio en una variable x, con n entero no negativo es una expresión de la forma

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn

Si an ≠ 0, se dice que el grado del polinomio es n.

Si el polinomio es de dos o más variables, su grado es igual al mayor grado de los monomios que lo componen.

Ejemplo 6

Identifiquemos cuáles expresiones algebraicas son polinomios.

x–1; x2 + 5xyz + 11, 2; +x x2 53 ; x + y. Si son polinomios, determinamos términos,

coeficientes de los términos, partes literales y el grado del polinomio.

Solución

Elaboramos la tabla 13.2 y determinamos las características de las expresiones alge-

braicas.

Expresión

algebraicaPolinomio Términos

Coeficientes

de los términos

Parte

literalGrado

x –1 No

x 2 + 5xyz + 11 Sí x 2, 5xyz, 11 1, 5, 11 x 2, xyz 1 + 1 + 1 = 3

2 Sí 2 2 0

+2 53x x No

x + y Sí x, y 1, 1 x, y 1

Tabla 13.2

Un polinomio está ordenado con respecto a una variable cuando sus grados van en orden ascendente o descendente.

Un polinomio está completo con respecto a una variable si aparece un término de cada grado, desde el grado mayor hasta grado cero.

Ejemplo 7

El polinomio +x x x–34

– 5 92 4 7 está ordenado con respecto a las potencias crecien-

tes de x; + +y y y y y6 –32

2 – 8 –14

5 4 3 2 está ordenado con respecto a las potencias

decrecientes de y.

En este caso, aparece un término de cada grado, desde cinco hasta cero. Por tanto, el

polinomio es completo de grado 5.

Un binomio es un poli-

nomio formado por dos

términos y un trinomio es

un polinomio formado por

tres términos.

Para recordar

Si en un polinomio aparece

un término sin variables,

este se denomina término

independiente o constan-

te. Un polinomio se dice

constante si solo tiene

termino constante.

Para recordar

1. Si en un término no

aparece coeficiente, este

es uno.

2. Si x es una variable cual-

quiera, diferente de 0,

x0 = 1, por tanto el grado

de este monomio es 0.

Para recordar

65


5z 7 + 7y

3y + z3a

a

b b

1. Determina cuáles expresiones son algebraicas.

a. 8 b. –xy + 3z4

c. −−

z

y z

4 7 2

d. + −m n 9212

e. + −a bcmn

4 6 f. –4(j + k)π

2. Escribe la expresión matemática correspondiente

a cada enunciado.

a. Un número incrementado en tres.

b. La mitad de una cantidad.

c. La diferencia entre el doble de un número y dieciocho.

d. Cuatro veces un número, disminuido en 5.

e. El consumo de luz en kW/h de este mes si se consumió 15% menos que el mes anterior.

f. Ana vendió su automóvil en la cuarta parte de lo que le costó.

g. La matrícula de Samuel se incrementó en $ 230 000.

h. Laura tiene el doble de dinero que Sara.


3. Escribe una expresión que represente el períme-

tro de cada figura.

a. b.

Figura 13.2


Si es falsa, conviértela en una afirmación verdadera.

a. Toda expresión algebraica es un polinomio.

b. El término independente tiene grado cero.

c. La expresión 3x + 4y tiene dos términos.

d. El número 3 es el término independiente en la expresión 3x + 4.

e. La expresión 3x2 + 4x – 2 tiene tres términos.

f. La parte literal de la expresión 4x3 – 2x + 5x–2 es 4, 2 y 5.

5. Describe una situación que se ajuste a cada expre-

sión matemática.

a. =y y–12

8 b. 4p

c. +zz

0,53

d. πr2

6. Escribe las expresiones algebraicas que se obtie-

nen en cada caso si u = x3y2z, =v x y13

2 y w = xy.

a. u – v b. v – 2(w – u)

c. uw – v d. w – 2v – 3u

7. Determina el grado e identifica el coeficiente de

cada monomio.

a. –5p2q4 b. xy z13

2 3

c. 4 d. –πxy5

e. m np2 2 4 f. π

a b7

2 4

8. Determina cuáles expresiones son polinomios y

establece su grado.

a. 5π b. + +

mnx y z

c. +y13

12 d. + +x xy z

c

3 2

e. –7x2 + 2x – 5 f. (a + b)3

g. 9x–4 + 6x4 – 8x3 h. m n3 – 8 2

9. Reduce los términos semejantes del polinomio en

cada caso.

a. 0,8a2 + 9a – 1,3a2 – 4a

b. +x xy x xy5 2 – 6 – 3 2 92 2

c. 25p3 – 2p2 – 4p3 + 8p2 – 9 + p

d. +z z z14

– 5 4 – 23 5 3

e. 17 – 6m3n2 + 8n2m3 + 6 – m3n2

10. Escribe en cada caso los exponentes que faltan

para que los términos sean semejantes.

a. –8x4y2 � �x y12

b. m n3

23 5 4n■m■

c. − x yz49

2 3 � � �y x z37

66

Resumen

Expresiones algebraicas

ejemplos

productos de números reales

y potencias de una o varias

variables, cuyos exponentes

son enteros positivos.

la suma de los

exponentes de

sus variables.

polinomios

son

combinaciones de

números y letras

utilizando diferentes

operaciones.

monomios

formados por su grado es

suma algebraica

de varios

monomios.

el grado del

término mayor.

su grado esformados por está

ordenado con respecto a

una variable si sus grados

van en orden ascendente

o descendente.

completo con respecto

a una variable si aparece

un término de cada grado

mayor hasta grado cero.

11. Ordena los polinomios de menor a mayor según

su grado.

a. 3x2y + 4xy b. 7y8 + y

c. 6xy + 3xz2 d. 5x2y3 + 2x

e. 4x – 2y + 5z f. 6x2y + 3xy2 + 4xz3

12. Ordena cada polinomio en forma descendente

con respecto a la variable indicada.

a. 6x3 – 8x5 + 9x7 + 8x – 19 + x2 – 24x4 con respecto a x.

b. x5 – y5 + 6x4y – xy4 + y3x2 – 6x3y2 con respecto a y.

c. 8a2bc2 – 9a3b2c – 9 con respecto a b.

13. Evalúa cada polinomio en el valor dado.

a. 3x2 + x + 1; x = –2

b. a2 + 2a + 1; a = 3

c. s3 + 3s2 + 3s + 1; s = –1

d. x + y – 3; x = –2; y = 1

e. r2 – 3s + 2s2; r = 2, s = –1

f. –6(a2 – b2)2; =a14

, =b –13


14. Determina si cada polinomio está ordenado y si es

un polinomio completo.

a. –4m3 – 9m2 – 2m

b. + + +x y x y x y xy xy25

0,3 5 –34

–12

2 5 4 4 3 3 2

c. 2x4y3 – 5x3y4 + 8x2y – x + 15

d. 1,3y4 – 2y3 + 0,9y2 + 3,4y

15. Analiza y escribe dos polinomios que continúen la

secuencia.

3xy + 4xz 6xy2 – 8x2z3 9xy3 + 12x3z5

__________ __________

Entretenimiento

16. Observa la figura 13.3. ¿Cuántos triángulos peque-

ños hay en la novena figura?

Figura 13.3

Tema


67

Ideas previas

Polinomios

¿Qué valor obtienes al evaluar el polinomio –3 + x – x 2 + x3 – x 4 + x 5 en x = –2?

14 Adición y sustracción de polinomios

Dos términos que tienen la misma parte literal se denominan semejantes. Para adicio-

nar o sustraer polinomios, reducimos los términos semejantes, es decir, adicionamos o

sustraemos los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

La adición de dos o más polinomios es un nuevo polinomio que se obtiene al adi-cionar los términos de cada polinomio y, si existen, reducir los términos semejantes.

Ejemplo 1

Adicionemos los polinomios 33x5 + 11x2 + 10x3; 15x2 + 26x5 + 13x3; 27x3 + 10x2 + 30x5.

Solución

Podemos desarrollar la adición de forma vertical o de forma horizontal.

Vertical

Organizamos los términos semejantes

de manera vertical y adicionamos los

coeficientes de cada columna.

33x5 + 10x3 + 11x2

26x5 + 13x3 + 15x2

30x5 + 27x3 + 10x2

89x5 + 50x3 + 36x2

Horizontal

Organizamos todos los términos en una lí-

nea horizontal y luego agrupamos los térmi-

nos semejantes para adicionarlos.

(33x5 + 11x2 + 10x3) + (15x2 + 26x5 + 13x3) +

(27x3 + 10x2 + 30x5)

= (33x5 + 26x5 + 30x5) + (10x3 + 13x3 + 27x3) +

(11x2 + 15x2 + 10x2)

= 89x5 + 50x3 + 36x2

Ejemplo 2

Sustraigamos 9x4 – 13x de 5x4 + 8x – 7.

Solución

El polinomio minuendo es 5x4 + 8x – 7 y el sustraendo es 9x4 – 13x. Entonces, adicio-

namos al polinomio minuendo el opuesto del sustraendo, esto es, –9x4 + 13x.

Vertical

5x4 + 8x – 7

–9x4 + 13x

–4x4 + 21x – 7

Horizontal

(5x4 + 8x – 7) – (9x4 – 13x) = (5x4 + 8x – 7) + (–9x4 + 13x)

= (5x4 – 9x4) + (8x + 13x) + (–7)

= –4x4 + 21x – 7

El opuesto de un núme-

ro real a es –a. De igual

manera, el opuesto de un

polinomio P(x) es –P(x).

Para recordar

Si en el polinomio no hay

términos semejantes, el

polinomio no se puede

reducir.

Para recordar

De igual manera, procedemos en la sustracción de polinomios. Recordemos que una

sustracción se puede expresar como la adición del minuendo con el opuesto del sus-

traendo.

68


x

x25

3x

x21

x65

1,5 x

Ejemplo 3

Con dos láminas de madera de dimensiones 3x metros de largo y 1,5x metros de ancho cada una, se cons-

truirá un gabinete de cocina como muestra la figura 14.1. Si la parte de atrás del gabinete es una pared, ¿es

suficiente con las láminas de madera que se tienen?

Figura 14.1

Solución

Calculemos el área de las láminas y el área del gabinete. Luego, las comparamos:

Área de las dos láminas: 2(largo × ancho) = 2(3x × 1,5x) = 9x2.

Área del gabinete = área de 2 bases (1 superior y 1 inferior) + área de 4 láminas laterales

(2 externas y 2 internas) + área de 2 entrepaños interiores + área de dos puertas.

Área de 2 bases: ( )× =xx

x252 2

52

2 Área de 4 láminas laterales: ( )× =xx

x42

2 2

Área de 2 entrepaños interiores: ( )× =xx

x256 2

56

2 Área de dos puertas: ( )× =x x x256

53

2

Área del gabinete: + + +x x x x52

256

53

2 2 2 2

Reduciendo términos semejantes tenemos:

( )+ + + = =x x x52

256

53

426

72 2 2

Así, la cantidad de madera que se tiene corresponde a 9x2 y le vamos a restar 7x2 para construir el gabinete.

Entonces, esta diferencia sería:

9x2 – 7x2 = (9 – 7)x2 = 2x2

Esto indica que la cantidad de madera es suficiente para construir el gabinete de las dimensiones dadas.

1. Completa la tabla 14.1.

Monomio Opuesto

–5yz4

–6mn5

− 12

4 3a b

5 6 2x y

Tabla 14.1

2. Reduce términos semejantes.

a. 12x – 4y – 3z + 20 – 7x + 15y – 10 – 2z – 3x – 8

b. –17y2 – 18yx – 25 y2 – 8xy + y3 – 8xy + 25y3

c. + + +a b a b a b12

13

2 – 3 –34

–16

34

d. –48xy + 35 – 13xy + 62xy + 28 – 55xy

3. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.a. (42x2 + 13x – 17) + (–45x – 28)

b. (–42x2 – 16x – 24) – (–32x + 31)

c. ( ) ( )− + − − − −a a a35

223

5 13

69

Resumen

+

+

=

+ =

=

3x3 – 8x2 + 5x – 3

9x2 – 11x + 5

5x2 – 8x – 3

La adición de dos o más polinomios es un nuevo polinomio que se obtiene al adicionar los términos

de cada polinomio y, si existen, reducir los términos semejantes. Además, una sustracción se puede

expresar como la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo.

d. –(0,5x4 – 0,6x3 + 12x + 9) – (2,3x3 – 2,5x + 6,7)

e. (26x – 12) + (–46x – 17) – (–34x + 25)

f. (4a2 – 17b2 + 43ab) – (11a2 – 10b2 + 2ba)

4. Interpreta y calcula.

a. De + +p m2 8 3 4 , sustrae

+p m– 3 2 – 9 5 3 .

b. Sustrae –900x2y3 de –300x2y + 950x2y3.

c. La suma de +ab bc12

32

y − ab bc45

– 8

sustráela de –ab + 4bc – 3.

d. Sustrae 3,5w – 9,2y + 4 de la suma de –3w + 8y – 2,5 y 9w – 4,3y + 1,7.

e. De +abc bc–57

34

, sustrae la diferencia de

bc–54

y abc97

.

5. Realiza las operaciones indicadas para los siguien-

tes polinomios en los que las variables son x, y, z.

A = –2x2 + 6xy + y2 B = 2x2 – 8xy –3xz

C = 4xy + 2x3 – zy D = –10xy + 5zy + 4xz

T = 8xz + 5x3

a. B + T b. A – B

c. (A + C) + D d. D + (T + A)

e. D + T – C f. B – (C + T)

g. (C + D) – (A + B) h. T – (A + B + C)




a. La adición de dos polinomios es un polino-mio.

b. La adición de polinomios es asociativa.

c. La diferencia de polinomios es conmutativa.

d. Adicionar el opuesto de un polinomio es lo mismo que sustraer el polinomio.

7. Completa el diagrama de la figura 14.2.

Figura 14.2


8. Determina una expresión para el perímetro de

cada figura.

a. Cuadrado de lado x2 – 3x + 7.

b. Rectángulo de largo 9x3 – 2x2 + x – 3 y ancho 6x3 + 5x – 9.

c. Triángulo de lados a2 – 2a + 1; 2a2 – 3a – 5; 6a2 – 4a – 7.

d. Hexágono regular de lado 10y3 + 5y2 – y + 8.

e. Cuadrilátero de lados 7x – 7; 5x – 9; 9x – 10; 10x – 13.

Entretenimiento

9. ¿Cuántos triángulos con sus tres vértices se pue-

den formar en los puntos de la figura 14.3?

Figura 14.3

Tema


70

Tema

Ideas previas

7z

3z

Polinomios

¿Cuáles valores completan la expresión +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +1 1

42 5 3

��x x x x y ?

15 Multiplicación de monomios y polinomios

El área del rectángulo se calcula multiplicando las longitudes de sus lados. Por ejemplo,

la expresión para el área del rectángulo de la figura 15.1 es la siguiente:

A = (3z)(7z)

= (3 × 7) (z)(z)

= 21z2 unidades cuadradas.Figura 15.1

La multiplicación de dos o más monomios es otro monomio en el que

• El coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores.

• Las variables son el producto de las variables de los factores, aplicando la propie-dad para el producto de potencias de igual base: xaxb = xa + b.

• El grado es igual a la suma de los grados de los monomios factores.

Ejemplo 1

Simplifiquemos la expresión.

( )( )( ) −x y xy y234

56

2 2

Solución

( )( ) ( )( ) − = × × − + + +x y xy y x y234

56

234

56

2 2 (2 1) (1 2 1)

= − x y54

3 4

Para multiplicar un monomio por un polinomio, usamos la propiedad distributiva de los números reales: multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo 2

Calculemos el producto de 7m4n2 con +m n m n mn– 4 –13

83 2 2 3.

Solución

( )+m n m n m n mn7 – 4 –13

84 2 3 2 2 3 Indicamos el producto.

= (7m4n2)(–4m3n) + (7m4n2) m n m n mn–13

(7 )(8 )2 2 4 2 3( ) + Aplicamos la propiedad distributiva.

= − +m n m n m n– 2873

567 3 6 4 5 5 Simplificamos.

71

y

x

x + y

3x +1

2x +2

2x

El producto de dos polinomios lo calculamos multiplicando cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio, aplicando la propiedad distributiva. Luego, simplificamos los términos semejantes.

Ejemplo 3

Hallemos el producto (x + y)(x + y) e interpretemos geométricamente el resultado.

Solución

Calculamos el producto aplicando la propiedad distributiva.

(x + y)(x + y) Tomamos la expresión a multiplicar.

= x(x + y) + y(x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.

= x2 + xy + yx + y2 Aplicamos la propiedad distributiva.

= x2 + 2xy + y2 Simplificamos términos semejantes.

Para la interpretación geométrica del resultado, veamos que el producto (x + y)(x + y) re-

presenta el área de un cuadrado de lado (x + y), el cual se ha descompuesto en cuatro

cuadriláteros como aparece en la figura 15.2.

El área de los cuadrados es x2, y y2. El área de cada rectángulo es xy.

Adicionando estas áreas, tenemos que el área del cuadrado completo es x2 + 2xy + y2.

Ejemplo 4

El rectángulo de la figura 15.3 contiene un cuadrado de lado 2x en el centro.

Determinemos una expresión que represente el área de la nueva superficie.

Solución

Debemos sustraer de la expresión del área del rectángulo la del cuadrado ubicado en

el interior para obtener el área de la región coloreada.

(2x + 2)(3x + 1) – (2x)(2x)= (6x2 + 8x + 2) – (4x2) = 2x2 + 8x + 2.

Figura 15.3

Figura 15.2

La multiplicación de

polinomios es asociativa.

A × B × C =

A × (B × C) =

(A × B) × C

pero A × B × C ≠

(A × B) × (A × C)

Para recordar

Ejemplo 5

Multipliquemos los polinomios (–2a – 5b)(3a + 4b)(–6a + 3b).

Solución

Comenzamos multiplicando los dos primeros polinomios.

[(–2a – 5b)(3a + 4b)](–6a + 3b) Aplicamos la propiedad asociativa.

= (–6a2 – 8ab – 15ab –20b2)(–6a + 3b) Aplicamos la propiedad distributiva.

= (–6a2 – 23ab – 20b2)(–6a + 3b) Simplificamos términos semejantes.

= 36a3 – 18a2b + 138a2b – 69ab2 + 120ab2 – 60b3 Aplicamos la propiedad distributiva.

= 36a3 + 120a2b – 51ab2 – 60b3 Simplificamos términos semejantes.

72


1. Relaciona cada multiplicación de la columna iz-

quierda con su producto de la columna derecha.

a. (–5x2yz)(4xy2z2) –94

3 4x y

b. ( )( )−xy x y14

92 2 2 –7x6y7

c. (0,5x4y2)(0,4x3y2z) –20x3y3z3

d. (8xyz)(–0,2x2yz4) –18x5y3

e. (–6x2y)(3x3y2) 62,5x6y3z5

f. (–125x2y2z3)(–0,5x4yz2) 0,2x7y4z

g. (–10x4y3)(0,7x2y4) –1,6x3y2z5

2. Completa cada multiplicación con las expresiones

adecuadas.

a. 8x3(4x2 – 2y2) = 8x3(4x2) – ____ (2y2)

b. –5x4y4(4x5y – 3yz3) = (–5x4y4)(4x5y) + (–5x4y4) ____

c. ( )( ) =x y x y xy12

4 – 63 2 2 2 2____ –

____ x4y4

d. ____ (6ab – 2) = –24a2b2 + 8ab

e. (2x + 3y – 4) ____ = 12x3y2 + 18x2y3 – 24x2y2

f. ____(3m – 5n – 4) = 6m2n – 10mn2 – 8mn

g. (____ + 3)(3x + 1) = –6x2 + 7x + 3

h. ( )( )+ + = + +a b b a ab b12

___32

– 212

34

2 2


3. Efectúa las operaciones indicadas en cada caso.

a. El producto de –7x2y3 con la suma de 12xy – 4, y, –5 + 5xy.

b. La diferencia entre a b12

–23

y a b23

–34

por la suma de a b14

– 3 y − +a b23

43

.

c. La suma de 5xy3 + 0,5x2y y 0,2x2y + 6xy2 por –12x2y3.

d. El producto de 8x4y3 con la diferencia de 12xy – 7 y –5 + 4xy.



a. Los exponentes de las variables iguales se adicionan en la multiplicación de monomios.

b. La multiplicación de un polinomio de grado 4 por otro de grado 2 siempre da como resul-tado un polinomio de grado 6.

c. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

d. El grado del polinomio producto es igual al producto de los grados de los polinomios factores.

e. La multiplicación de monomios es una ope-ración asociativa.

f. La multiplicación de un monomio de grado par por otro de grado impar da como resulta-do un polinomio de grado impar.

g. La multiplicación de un monomio de grado impar por otro de grado impar da como re-sultado un polinomio de grado impar.

5. Calcula si P(x) = 8x3, Q(x) = –3x2 y R(x) = 10x2y.

Luego, concluye a partir de los resultados.

a. (P(x) Q(x))R(x)

b. P(x) (Q(x) R(x))

6. Efectúa las multiplicaciones aplicando la propie-

dad distributiva.

a. (2x3 + 3y2)(5x2 – 3x2y3)

b. (3x4 + 2x2y)(2x2 – 5y2 – 3x)

c. (–8xy2 – 2xy)(7x2y2 + 6y3)

d. (10x5 + 6x2y2)(4x3 + 7y2x3)

e. (11x2 – 9y)(2xy3 – 3x3)

f. (5x3y3 + 2y4)(10x2 + 2y3x2)

g. (13x2 + 7y3z2)(–2x2 – 3y3z2)

h. (20x3 – 2y3x2)(5x3y2 – 4xy)

i. (4x2yz + 5xz3)(7x3 – 6yz2)

j. (18x3 – 2yz2)(2x3y + 4z3)

k. (–7x3 + 3y2)(5x – 4y3)

l. (–2x5y3 + 4x2y2)(10 + 2xy)

m. (–0,5xy – 0,5x2y)(10xy2 + 10x2y2)

n. (–2x3y2 – 0,3y)(0,4x2y2 – 0,6y3)

73

Resumen

2x + 1

8x + 4

5x + 6x

xx

x

x

3x + 2

2x x + 1

3x

2x + 1

x + 1

2x

3

x

x 2x

a. b. c.

?

Para multiplicar dos monomios, multiplicamos sus coeficientes entre si, y las partes literales, entre si,

teniendo presente las reglas de multiplicación de potencias de igual base: an × am = a(n + m).

Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos la propiedad distributiva, multiplicando

el monomio dado por cada uno de los términos del polinomio.

Para multiplicar polinomios, multiplicamos cada término de un polinomio por cada término del

otro; aplicando la propiedad distributiva y simplificamos términos semejantes .

7. Completa la multiplicación.

–2x5 + 3x4 + 0x3 – 5x2 – 2x + 1

× 3x2 + 2x

+ ■ ■ ■ ■ – 4x2 + ■■ ■ ■ ■ ■ + 3x2

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■8. Halla una expresión para el área coloreada de la

figura 15.4 y calcula el área si x = 8.

Figura 15.4

9. Determina una expresión para el volumen de

cada sólido de la figura 15.5 y evalúalo en x = 3.

a.

b.

Figura 15.5


10. Representa el rectángulo que tiene las dimensio-

nes indicadas y halla una expresión para su área.

a. Largo: 10x + 4; ancho: 2x + 5

b. Largo: 4x + 3; ancho: 3x + 1

11. Halla una expresión para el área de un trapecio de

bases 2x + 4 y 6x + 9 y altura 10x + 8.

12. Determina una expresión para el área superficial

de un cubo de arista 10x + 2.

13. Escribe una expresión para el área de un triángulo

de base 8m + 15 y altura 10m – 4.

14. Halla el error en cada multiplicación.

a. (7x2 + 4y3) (3x2 – y) = 21x2 – 7x2y + 12y6 – 4y3

b. (pq + 3p2) (pq – 3p2) = p2q2 + 6p3q

Entretenimiento

15. Escoge la figura que continúa la secuencia.

Figura 15.6

Tema


74

TemaIdeas previas

a

a

b

b

a

a

b

a −b

a −b (a −b)2

b(a −b)

(a −b)b

b2

a2

b2

ab

ba

Polinomios

Determina una expresión para el área de un rectángulo cuya base está dada por la

expresión 2x – 4y y su altura es la mitad de la base.

16 Productos notables

En muchas ocasiones, necesitamos hallar el producto de polinomios sin necesidad de

realizar las multiplicaciones indicadas. Esos productos los podemos calcular mediante

reglas específicas que reciben el nombre de productos notables.

Determinemos una expresión para el área del cuadrado de la figura 16.1.

Figura 16.1

El lado del cuadrado lo representamos con la expresión (a + b), por tanto, su área está

dada por (a + b)2.

Observemos que el área de dicho cuadrado también podemos obtenerla como la suma

de las siguientes áreas (ver figura 16.2).

Área cuadrado verde: a2

Área cuadrado morado: b2

Área de un rectángulo rojo: ab

Área del otro rectángulo rojo: ab

Por tanto, (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más dos veces el primer término por el segundo más el cuadrado del segundo térmi-no, es decir, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Ahora, determinemos una expresión para el área del cuadrado de lado (a – b) a partir

de la figura 16.3.

En este caso, se puede hallar el área del cuadrado azul (a – b)2 sustrayendo las áreas de

los rectángulos verde y morado, y del cuadrado rojo, del área del cuadrado de lado a,

es decir:

Área del cuadrado azul = área del cuadrado mayor – (área del rectángulo verde) –

(área del rectángulo morado) – (área del cuadrado rojo)

(a – b)2 = a2 – (a – b)b – b(a – b) – b2 Consideramos la expresión que representa el área.

= a2 – ba + b2 – ba + b2 – b2 Aplicamos la propiedad distributiva.

= a2 – 2ab + b2 Simplificamos y aplicamos la propiedad conmutativa.Figura 16.3

Figura 16.2

75

a

a

b

b

A1

A2 a −b

a +b

x

x

4

3

A1 A2

A3 A4

D C

A B

Al analizar en el otro sen-

tido el producto notable

(a + b)(a – b) = a2 – b2,

se tiene que la diferencia

de los cuadrados de dos

cantidades equivale a la

suma por la diferencia de

las cantidades.

La diferencia al cuadrado

no es igual a la diferencia

de sus cuadrados:

(a – b)2 ≠ a2 – b2.

Para recordar

Para recordar

Tenemos un cuadrado de lado a y lo modificamos agregándole b unidades al ancho y

disminuyéndole b unidades al largo, tal como se indica en la figura 16.4. Determinemos

la expresión que representa el área del rectángulo que se formó.

Figura 16.4

Las dimensiones del rectángulo obtenido son (a + b) y (a – b) y está compuesto por las

superficies A1 y A2.

A1 = a(a – b) A2 = b(a – b)

Área total = A1 + A2

= a(a – b) + b(a – b)

= a2 – ab + ba – b2

= a2 – b2

Por tanto, la expresión que representa el área del rectángulo que se formó es

(a + b)(a – b) = a2 – b2

El cuadrado de una diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer tér-mino menos dos veces el primer término por el segundo más el cuadrado del segun-do término, es decir, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo, es decir, (a + b)(a – b) = a2 – b2.

Figura 16.5

Determinemos una expresión para el área del rectángulo de la figura 16.5.

Observemos que el rectángulo ABCD está compuesto por un cuadrado y tres rectángu-

los cuyas áreas podemos expresar así:

A1= x2 A2= 4x A3 = 3x A4= 12

Por tanto, el área total estará determinada por la expresión

A Total = A1 + A2 + A3 + A4

(x + 4)(x + 3) = x2 + 4x + 3x + 12

= x2 + (4 + 3)x + 12

= x2 + 7x + 12

El producto de expresiones de la forma (x + a)(x + b) es igual al cuadrado del primer término más la suma de los segundos términos (a + b) multiplicados por el primer término (x) más el producto de los segundos términos, es decir:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.

76

a

a

a

a a

b

b

b

a

Figura 16.6

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más tres veces el cuadrado del primer término por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término.

Es decir, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo término.Es decir, (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

El cubo de la suma de dos

cantidades no es igual a la

suma de sus cubos:

(a + b)3 ≠ a3 + b3.

El cubo de la diferencia no

es igual a la diferencia de

sus cubos: (a – b)3 ≠ a3 – b3.

Para recordar

Ejemplo 1

Calculamos aplicando el producto notable conveniente.

a. ( )a a12

–34

22

b. (m2 + n2)(m2 – n2)

c. (x + 6)(x + 12) d. (a2b – ab2)3

Solución

a. Como es el cuadrado de una diferencia de dos términos, identificamos el

primer término, que es a12

, y el segundo, que es a34

2 .

( ) =a a12

–34

22

( ) ( )( ) ( )+ =a a a a12

– 212

34

34

22 2

2

+a a a14

–34

916

2 3 4

Cubo de una suma o diferencia de un binomio

Geométricamente, el concepto de volumen se asocia con el espacio que

ocupa un cuerpo. Observemos el cubo de la figura 16.6. ¿Cuál es la expre-

sión que representa su volumen?

En forma algebraica, calculamos (a + b)3 multiplicando binomios que aso-

ciamos de la siguiente manera:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b) Aplicamos la propiedad

asociativa.

= (a2 + 2ab + b2)(a + b) Aplicamos el producto notable del cuadrado de una suma.

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 Aplicamos la propiedad distributiva.

Geométricamente, descomponemos el cubo de arista a + b en seis prismas y dos cubos,

y hallamos su volumen por adición de los volúmenes de los prismas que lo forman, así:

(a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + a2b + ab2 + ab2 + a2b + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

De manera similar, algebraicamente, tenemos que el cubo de la diferencia de un bino-

mio es el siguiente:

(a – b)3 = (a – b)2(a – b) Aplicamos la propiedad asociativa.

= (a2 – 2ab + b2)(a – b) Utilizamos el cuadrado de una diferencia.

= a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3 Aplicamos la propiedad distributiva.

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Simplificamos términos.

77


m – n

m + n

m + nm – n

n

m

b. Como es la suma por la diferencia de los términos m2 y n2, tenemos que

(m2 + n2)(m2 – n2) = (m2)2 – (n2)2 = m4 – n4.

c. Como es una expresión de la forma (x + a)(x + b), tenemos que

(x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + (6)(12)

= x2 + 18x + 72

d. Como es el cubo de una diferencia de binomios, tenemos que identificar el primer término, que es a2b, y el segundo, que es ab2.

(a2b – ab2)3 = (a2b)3 – 3(a2b)2(ab2) + 3(a2b)(ab2)2 – (ab2)3 Utilizamos el producto notable.

= a6b3 – 3(a4b2)(ab2) + 3(a2b)(a2b4) – (a3b6) Multiplicamos las potencias.

= a6b3 – 3a5b4 + 3a4b5 – a3b6 Realizamos las

operaciones indicadas.

Ejemplo 2

Calculamos (m + n)2 – (m – n)2 aplicando productos notables y analizamos

geométricamente el resultado.

Solución

(m + n)2 – (m – n)2 = (m2 + 2mn + n2) – (m2 – 2mn + n2) Aplicamos los dos primeros productos notables.

= m2 + 2mn + n2 – m2 + 2mn – n2 = 4mn Reducimos términos semejantes.

En la figura 16.7, observamos la representación geométrica del resultado.

Descomponemos el cuadrado de lado m + n en cuatro rectángulos iguales de

dimensiones m y n, y un cuadrado de lado m – n. Posteriormente, sustraemos

el área del cuadrado pequeño del área del cuadrado grande y, de esta manera,

se obtiene el área de los cuatro rectángulos. Figura 16.7

1. Relaciona cada expresión matemática con su res-

pectiva frase en lenguaje cotidiano.

a. (x + y)2 El cuadrado de una suma.

b. x2 + y2 La diferencia de dos cuadrados.

c. (x – y)2 El cuadrado de una diferencia.

d. x2 – y2 La suma de dos cuadrados.

2. Escribe la expresión algebraica correspondiente.

a. El recíproco del cuadrado de la suma de a y b.

b. El doble de la suma por la diferencia de a y b.

c. La mitad del cubo de la suma de 2x y 3y.

3. Determina cuáles igualdades son verdaderas para

cualquier valor de a y b.

a. (a + b)2 = a2 + b2

b. (a – b)2 = a2 + 2ab – b2

c. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

d. (a – b)2 = a2 – b2

e. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

f. (a – b)2 = a2 – 2ab – b2

g. (a – b)2 = – a2 – 2ab – b2

h. –(a + b)2 = – a2 – 2ab – b2

78

4. Completa la tabla 16.1 escribiendo una expresión

para el área de cada cuadrado de acuerdo con la

expresión del lado.

Lado del cuadradoExpresión para el área

del cuadrado

x + 1

2x – 1

2x + 2

2x – 5y

3xy – 2x

5x + 5y

10x – 2xy

Tabla 16.1

5. Escribe el desarrollo de cada expresión aplicando

productos notables.

a. (2x + y)2 b. (a – 3b)2

c. (y2 + 2y)2 d. (2m – m2)2

e. (x + 2y)(2y – x) f. ( )−x14

12

2

g. (5 – 7z)2 h. (3x + 2)2

i. x x3 3( )( )− + j. a bc ab c56

32

2 22( )+

k. (5x – 3y2)2 l. (2 – 3n)(2 + 3n)

m. ( )x xy6 –12

22

n. (3x + a)(3x – a)

o. ( )+x47

73

2

p. [(x – a) + 3][(x – a) – 3]

q. [(a + b) + 1]2 r. [a – (b + 1)]2

6. Halla una expresión para el área de cada polígono

de la figura 16.8.

a.

b.

Figura 16.8

7. Halla una expresión para el volumen de cada cubo

de la figura 16.9.

a.

b.

Figura 16.9

8. Completa las siguientes expresiones.

a. (27 + ■)■ = 49

b. (2 + ■) (■ – ■) = 4 – a2

c. (a + b■)2 = a2 + ■ + b6

d. ■ (5 – ■) = 25 – s2

e. (■ + ■) (■ – ■) = 4y 2 – 16

f. ■ z (2z + ■)2 = 8z 3 + ■ + 50z

9. Halla la expansión de las siguientes expresiones.

a. (a – 2b)3 b. (m + 2n)3

c. (x2 – 2x)3 d. (x + x3)3

e. ( )−a b12

3

f. ( )+x 13 31

g. (0,1m + 3n)3 h. ( )x x32

–13

23

i. (m – n)3 – (m + n)3 j. (5p + 3r)3 – 2r3

k. (4r2)3 – (4r2 – 1)3

l. ( ) ( )+ +a b a b12

0,312

– (0,3 )3 3

3

10. Calcula combinando los productos notables.

a. 2(x + 2y)2 – (x – 2y)2 + (x + 2y)(x –2y)

b. (a – 3b)(–a – 3b) – (a + 3b)2 – 2(a – 3b)2

c. 5z + 5(1 – z)3 + (1 + z)3 – 5

d. (s + p)(p – s) – (p – s)(s + p)2 + (p – s)2(s + p)

e. (x + 2y + z)2 – x2 – 4y2 – z2

f. 3(2p + r)2 + (r – 2p)2

g. (y – 2)(2 + y) – (y – 2)2

h. [(a + b) – (2a – b)][(a + b) + (2a – b)]

6x + 7y

6x – 7y

7x – 7y

7x + 7y

3x +2

3x +23x +2 4z −7r

4z −7r4z −7 r

79

Resumen

Productos notables

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

de cubos

de cuadrados

de productos


11. Observa que la expresión para el área coloreada

en la figura 16.10 es x2 – y2. Demuestra que es

igual a (x – y)(x + y).

Figura 16.10


12. Lorena compra un acuario en forma de prisma

recto que tiene de lado (2x + y) metros.

a. ¿Cuál es la expresión para el volumen en metros cúbicos de ese acuario?

b. Si x = 1 metro y y = 0,5 metros, ¿cuál es la medida del lado y el volumen del acuario? ¿Corresponden estas medidas al resultado obtenido mediante el binomio al cubo?

13. Halla un polinomio para representar el área del

plano que ocupan las partes de la casa de la figura

16.11. Utiliza producto de polinomios y productos

notables.

Figura 16.11

14. ¿De cuántas formas

se puede ir del pun-

to M al N sobre las

aristas, sin pasar dos

veces por el mismo

vértice y sin subir?

Figura 16.12


x

x

y

y

x – 1

x – 1

x + 1

x + 32

Sala comedor

Alcoba

principal Alcoba

auxiliar

Alcoba

auxiliar

Baño

BañoBañ

o

Cocina

Pati

o

2

x

2

x + 1

2x + 2

x + 1

M

N

Tema


80

Tema

Ideas previas

Polinomios

¿Cuál es el coeficiente del término x2y2 en la expresión (3x2 + 5y)3?

17 Triángulo de Pascal y teorema del binomio

¿Cómo desarrollarías las potencias de un binomio como (x + y)n, con n un número na-

tural y sin realizar las multiplicaciones?

Aun cuando podemos calcularlas por medio de la propiedad distributiva y productos

sucesivos, existen otros procesos que nos permiten calcular de manera más rápida esas

expresiones. Estos son el triángulo de Pascal y el teorema del binomio.

Según el exponente del binomio, podemos determinar con el triángulo de Pascal los

coeficientes de los términos del desarrollo de (x + y)n, como se muestra en la figura 17.1.

n Triángulo de Pascal

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Figura 17.1

El triángulo de Pascal es un ordenamiento de números naturales que forma un trián-gulo con una característica: la suma de dos números consecutivos en la horizontal es igual al número que aparece en medio de ellos en la fila inmediatamente inferior.

Ejemplo 1

Desarrollemos el binomio (x + 2y)7 utilizando el triángulo de Pascal.

Solución

Como el exponente es 7, miramos en el triángulo de Pascal en la fila donde n = 7. Estos

números corresponden a los coeficientes de los términos del desarrollo de la potencia.

1 +7 +21 +35 +35 +21 +7 +1

Luego, escribimos las variables iniciando con x7(2y)0, de tal manera que el exponente

de x vaya disminuyendo en una unidad y el exponente de 2y vaya aumentando en una

unidad. Esto es:

1x7(2y)0 + 7x6(2y)1 + 21x5(2y)2 + 35x4(2y)3 + 35x3(2y)4 + 21x2(2y)5 + 7x1(2y)6 + 1x0(2y)7

(x – y)n = [x + (–y)]n, por

tanto, al resolver la poten-

cia del segundo término en

el desarrollo, esta variará el

signo: intercala + y – según

el exponente sea par o

impar.

Para recordar

81

Simplificamos y tenemos que

(x + 2y)7 = x7 + 14x6y + 84x5y2 + 280x4y3 + 560x3y4 + 672x2y5 + 448xy6 + 128y7

Observemos que el desarrollo tiene 7 + 1 términos: el primer término es x7 y el último

(2y)7. Además, la suma de los exponentes de las variables en cada término 7.

El factorial de un número entero positivo n, n! (se lee n factorial), se define comon! = n × (n – 1) × (n – 2) ×… × 4 × 3 × 2 × 1

Para n y r enteros no negativos, n ≥ r, el coeficiente binomial o combinatoria ⎛⎝⎜⎞⎠⎟

n

r lo

calculamos así:

( )⎛⎝⎜⎞⎠⎟=

−!

! !

n

r

nr n r

Ejemplo 2

a. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

b. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

El factorial de 0 se define

como 0! = 1.

Para recordar

Ejemplo 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= = =

× × × ×× × ×

= × × =104

10!4!(10 – 4)!

10!4! 6!

6! 7 8 9 10

4 3 2 6!7 3 10 210

( ) = −⎛⎝

⎞⎠k

nn k

n

Por ejemplo:

( ) ( )=27

57

=7!

2! 5!7!

5! 2!

Para recordar

El teorema del binomio afirma que la expansión de (x + y)n podemos calcularla de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = + + + + … +− −( )0 1 2 3

– 1 2 2 3 3 0x y n x n x y n x y n x ynn x yn n n n n n .

Ejemplo 4

Hallemos la expansión de (x3 – 4y)4 aplicando el teorema del binomio.

Solución

(x3 – 4y)4 ( ) ( )= +x x y04 ( ) –

14 ( ) 43 4 3 3 ( ) ( ) ( )+x y x y y

24 ( ) (4 ) –

34 (4 )

44 (4 )3 2 2 3 3 4

=× ×

+×

−×

+×

x x y x y x y y4!

0! 4!–

4!1! 3!

44!

2! 2!16

4!3! 1!

644!

4! 0!25612 9 6 2 3 3 4

= x12 – 4x94y + 6x616y2 – 4x364y3 + 256y4

= x12 – 16x9y + 96x6y2 – 256x3y3 + 256y4

El desarrollo de cualquier binomio de la forma (x + y)n se caracteriza por tener n + 1 términos. El primer término es xn y el último es yn, ambos con coeficiente 1. Los exponentes de los términos en x, disminuyen en 1, de un término a otro, mientras que los términos en y aumentan en 1 de un término a otro. Además, la suma de los exponentes de las variables de cada término es n.

El desarrollo de un binomio es menos práctico a medida que n aumenta. Por tanto, in-

troducimos el teorema del binomio para generalizar el desarrollo binomial, pero antes

debemos conocer los conceptos de factorial y de coeficiente binomial.

82


Resumen

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A C D E

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1

3

4

5

6

COMBINAT =COMBINAT(23;20)

1771

Calibri (Cuerpo) 12

B

2

El triángulo de Pascal y el teorema del binomio son dos métodos numéricos que nos permiten

hallar, de manera sencilla, el desarrollo de las potencias de un binomio. Con el primero, calculamos

los coeficientes de cada término con sumas específicas. Con el segundo, usamos combinatorias.

1. Calcula el valor de cada expresión.

a. ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5

0 b.

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5

1

c. 12! ÷ 6! d. (3! × 10!) ÷ 7!

Competencias en TIC

2. El programa Excell nos permite calcular coeficien-

tes binomiales, como el coeficiente de ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

20.

1.° Buscamos el icono de Funciones en la barra de

herramientas de Excel. Damos Enter.

2.° En la nueva ventana, en el recuadro Seleccio-

nar categoría, escogemos Matemáticas y trigo-

nometría; y en el recuadro Seleccionar una fun-

ción, COMBINAT. Damos Aceptar.

3.° En la casilla Número digitamos 23 y en la casilla

Tamaño, 20. Damos Enter y obtenemos 1771.

Figura 17.2

Corrobora, con el programa Excel, los resultados

obtenidos en los literales a. y b. del punto 1.

3. Desarrolla las siguientes potencias de binomios,

utilizando el triángulo de Pascal.

a. (2x + 1)5 b. (x + y)9

c. (2n + n3)4 d. (x3 – y3)6

e. (3 + 2x2)8 f. (1 – x)12

4. Calcula las expansiones de los siguientes bino-

mios usando el teorema del binomio.

a. (x – 2y)5 b. (2 + 2b)3

c. (2x – y)4 d. (4x + 3y)6

e. (2p + r)7 f. (x + y)8


5. Halla en cada caso el término que contiene la va-

riable indicada.

a. x6 en (2x2 – y)5 b. y3 en (y + 2x)3

c. x6 en ( )+x12

23

d. y2 en (3x + 2y)5


6. Una de las representaciones más antiguas y co-

nocidas del triángulo de Pascal contiene números

que no son ni árabes ni romanos. Esta imagen (ver

figura 17.3) fue encontrada en la portada del libro

de Peter M. Higgins, Number Story. ¿Qué error tie-

ne la figura?

Figura 17.3

Tema


83

Ideas previas

9xy

h

Polinomios

El área de un triángulo está dada por la expresión 259,88z4 milímetros cuadrados y su

altura es 7,3 milímetros. ¿Cuál es la expresión para la base del triángulo?

18 División de monomios y polinomios

Hallemos una expresión para la altura del rectángulo de la figura 18.1, cuya área está

dada por el monomio 27x3yz3.

Para encontrar la altura, necesitamos dividir la expresión del área del rectángulo entre

la expresión de la base.

( ) ( )= ⎛⎝

⎞⎠⎛⎝⎞⎠

27

9279

3 3 33x yz

xyxx

y

yz

= 3x3 – 1y1 – 1z3

= 3x2z3

Así, la altura del rectángulo está dada por la expresión 3x2z3.

Figura 18.1

Para dividir un monomio entre otro monomio, dividimos los coeficientes y luego dividimos potencias de bases iguales utilizando la propiedad an ÷ am = an – m. Si en el numerador o en el denominador no hay otra potencia con la misma base, la potencia se conserva en su posición original.

Ejemplo 1

Calculemos los cocientes de las siguientes divisiones.

a. a b

ab

3

2 b.

x yz

xyz

24

3

2 5

6 c.

m n p s

m np

5

20

3 2 4 2

2

Solución

a. = = = ⋅ =− −a b

aba b a b a

bab

13

23 –1 1 2 2 1 2

2

b. = = = =− −x yz

xyzx y z x y z x

zx

z

24

3

243

8 81 8

2 5

62 – 1 1 – 1 5 6 1 0 1

c. = =m n p s

m npm n p s mnp s

5

20

14

14

3 2 4 2

23 – 2 2 – 1 4 – 1 2 3 2

Como los exponentes no son todos enteros no negativos, las expresiones de los litera-

les a. y b. no son monomios.

Si en la división de mo-

nomios la parte literal del

cociente (resultado) tiene

todos los exponentes ente-

ros no negativos, entonces,

el resultado también es un

monomio.

Para recordarPara dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada uno de los monomios que forman el polinomio dividendo entre el monomio divisor.

Ejemplo 2

Hallemos los cocientes.

a. +ab a bc

abc

15 12

5

4

b. − +x y x y x y

xy

3 6 – 12

– 9

2 3 3 2 4 4

2

84

En una fracción, el término

del numerador corres-

ponde al dividendo y el

término del denominador,

al divisor.

Para recordar

Para realizar la división de polinomios:

1. Ordenamos los polinomios dividendo y divisor, según las potencias decrecientes de la misma variable, dejando espacios para los términos que faltan en caso de que el polinomio dividendo esté incompleto.

2. Dividimos el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor y llevamos al cociente el término resultante.

3. Multiplicamos el primer término del cociente por el divisor y el producto, lo sus-traemos del dividendo para tener el primer dividendo parcial.

4. Repetimos el proceso hasta obtener un dividendo parcial cuyo grado sea menor que el del divisor. Este dividendo parcial será el residuo.

5. Verificamos que el resultado sea correcto. Para esto, corroboramos que dividendo = (cociente)(divisor) + residuo.

Solución

a. +

= + = +ab a bc

abcab

abca bcabc c

a15 12

5155

125

3 125

4 4 3

b. x y x y x y

xy

x y

xy

x y

xy

x y

xy

– 3 6 – 12

– 9

– 3

– 9

6

– 9–

12

– 9

2 3 3 2 4 4

2

2 3

2

3 2

2

4 4

2

+ = +

= +xy x x y13

–23

43

2 3 2

Si a, b y c son números

reales, = =abc

abc

ac

b ,

con c ≠ 0 y

= ⋅ = ⋅abc

ab c

ac b

1 1 ,

con c ≠ 0 y b ≠ 0.

Para recordar

• Un monomio es divisible

por otro si al simplificar

el exponente de las

variables del dividendo

y del divisor, el cociente

sigue siendo un mono-

mio. Por ejemplo:

15m3n2p4s2 es divisible

por 20m2np.

• Un polinomio es divisible

por un monomio si to-

dos sus términos son di-

visibles por el monomio.

Por ejemplo: ±3x2y3 +

6x3y2 ± 12x4y4 es divisible

por –9xy2.

Para recordar

Ejemplo 3

Calculemos el cociente y el residuo de (15y5 + 3y3 – 2y2 – 3) ÷ (3y2 + y – 1).

Solución

Como el polinomio dividendo está incompleto, 15y5 + 3y3 – 2y2 – 3, lo escribimos

como 15y5 + 0y4 + 3y3 – 2y2 + 0y – 3 e iniciamos la división.

y y y y y y y

y y y y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y

y y

y

15 0 3 –2 0 – 3 3 –1

–15 –5 5 5 –53

299

–6227

–5 8 –2

553

–53

293

–113

0

–293

–299

299

–629

299

–3

629

6227

–6227

14927

–14327

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

+ + + +

+ +

+

+ +

+

+

+

+ +

① y

yy=15

35

5

23 ② 5y3(3y2 + y – 1) = 15y5 + 5y4 – 5y3

① ③ ⑤ ⑦

②

④

⑥

⑧

85


1. Clasifica cada división según su cociente sea o no

monomio.

a. 9m2np ÷ –4mn2p3 b. x

x y

10

5

5

3 3

c. y

x y

8

4

6

3 2 d.

y

x

21

7

6

4

e. 112x8y5z4 ÷ 24x7y8z2 f. x y

x y

6

5

3 6

3 2

2. Efectúa las siguientes divisiones. Determina cuá-

les cocientes son polinomios.

a. +x y

x

3 6

5

4 6

3 b.

+x x y

x y

10 20

5

5 2 2

3 3

c. x y

x y

8 – 12

4

4 6

3 2 d.

+x y

x

14 21

7

4 6

4

e. +x y y

y

25 35

6

4 8 6

3 f.

+x y y

y

30 6

5

4 6 6

3

g. +x y x y

x y

30 60

15

4 7 3 6

3 2 h.

+x y x y

x y

3 6

5

4 7 3 6

3 2

i. +x x x

x

6 – 2 – 152

– 4

3 2

j. x x x

x

8 – 43 – 25 – 30

– 6

3 2

k. +x x x

x

3 – 45 – 2 30

– 15

3 2


3. Especifica si cada enunciado es verdadero o falso.

En el caso de que sea falso, da un contraejemplo.

a. La división de monomios puede dar como cociente un número entero.

b. La división de monomios siempre es un mono-mio, es decir, cumple la propiedad clausurativa.

c. La división de monomios cumple la propie-dad asociativa.

d. La división de monomios no es un monomio si los exponentes del numerador son meno-res que los exponentes del denominador.

e. En una división entre polinomios, el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor.

f. Al dividir un polinomio entre su opuesto adi-tivo, el cociente es 1.

g. La división entre polinomios es conmutativa.

4. Determina si las siguientes divisiones son exactas.

a. +x x

x

3 4

5

4

3 b.

+y x

x

21 3

7

6 6

4

c. +x x y

x y

10 20

5

5 2 2

3 3 d.

x y

x y

8 – 12

4

4 6

3 2

e. +x y

x

14 21

7

4 6

4 f.

+x y y

y

25 35

6

4 8 6

3

g. +x y x y

x y

30 60

15

4 7 3 6

3 2 h.

+x y x y

x y

3 60

5

4 7 3 6

3 2

i. +x y y

y

30 6

5

4 6 6

3 j. x x x

x

+ +12 2 3

2

6 4 3

3

③ y

yy

− = −5

3

53

4

22 ④ y y y y y y( )− + − = − − +5

33 1 5

53

53

2 2 4 3 2

⑤ y

yy=

2933

299

3

2 ⑥ y y y y y y( )+ − = + −29

93 1

293

299

299

2 3 2

⑦ y

y

−= −

629

3

6227

2

2 ⑧ y y y y( )− + − = − − +62

273 1

629

6227

6227

2 2

Como el grado de −y14927

14327

es menor que el divisor, la división es inexacta.

El resultado podemos escribirlo así:

+ − − ÷ + − = − + − +−

+ −y y y y y y y y

y

y y(15 3 2 3) (3 1) 5

53

299

6227

14927

14327

3 15 3 2 2 3 2

2.

86

5. Efectúa las divisiones indicadas y verifica tus res-

puestas probando la división.

a. ++

x x x

x x

3 – 8 19 – 10

– 2 5

3 2

2

b. +x x x x

x x

3 – 7 – 22 – 7 5

– 3 – 5

4 3 2

2

c. + + +

+x x x x x

x x

20 8 – 27 4 13 – 6

5 2 – 3

5 4 3 2

2

d. + +x x x x x

x

20 40 – 47 – 39 24 – 40

5 – 8

5 4 3 2

2

e. +x x x

x x

24 – 20 2 – 1

4 – 2 – 1

4 3 2

2

f. + ++

x x x x x

x x

12 – 6 – 5 8 – 4 1

3 – 2 1

5 4 3 2

3

g. + +x x x x

x

20 – 48 26 – 9 2

5 – 2

4 3 2

h. + +

+x x x x x

x x

16 – 12 – 4 – 44 4 40

4 4 – 8

5 4 3 2

3

i. + + +

+x x x x x

x x

8 – 8 4 14 – 14 10

4 – 2 5

5 4 3 2

3

j. + +

+x x x x x

x x

20 – 12 28 – 52 32 – 16

4 4 – 8

5 4 3 2

3

6. Determina cuáles son los polinomios que com-

pletan cada igualdad.

a. �x

x3 8

4 – 5+

=

b. �

x xx

40 18 – 368 – 6

2 + =

c. �x

x5 – 8

5 62

2= +

d.

�x x

x28 19 – 20

4 54 2

2+ = +

e.

�y y y

y y72 – 63 27

8 – 7 34 3

3 2+ = +

f. �x

x x7 1

2 3 – 22

+= +

7. Relaciona cada división con el cociente corres-

pondiente:

a. + + + +

+ +x x x x x

x x x

60 12 56 4 12

5 3

10 8 7 5 4

4 2

12x6 + 4x3 – 7

b. + + +

+x x x x

x

36 3 – 3 15 5

3 1

7 5 3 2

2

12x6 + 4x3

c. +x x x x

x

24 – 30 – 3 – 36 6

3 – 6

5 3 2

2

3x4 – 4x – 5

d. + + +

+x x x x

x x

5 2 10

2

5 4 3 2

3

9x5 – 2x3 + 4

e. + +x x x x

x

6 – 20 – 10 16 20

2 – 4

7 4 3

3

x2 – 2x – 3

f. x x x x x x

x x

60 12 20 4 – 35 7

5

9 8 6 5 3 2

3 2

+ + + −+

x2 + 5x

g. + + +

+x x x x x

x x

45 44 – 12 20 24

5 6

9 7 5 4 2

4 2

8x3 + 6x – 1

h. x x x x x

x x

− − − −+

2 4 6

2

5 4 3 2

3

12x5 – 3x3 + 5

87

Resumen

A

B

C

D

E

Al dividir un monomio entre otro monomio, se obtiene una expresión cuyo coeficiente es el co-

ciente de los coeficientes de los monomios y la parte literal es el cociente de las partes literales,

aplicando la propiedad de la potenciación.

Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada uno de los monomios que forman

el polinomio entre el monomio divisor.

Para realizar la división entre polinomios, primero organizamos de forma descendente los dos

polinomios en alguna de sus variables, dejando espacio para los términos faltantes, en caso

de que el polinomio dividendo esté incompleto. Luego, desarrollamos el algoritmo dividiendo

término a término.


Figura Área Base Altura

Cuadrado 36x2y2z2

Rectángulo 45x2y2z2 15xyz

Triángulo 25x2y2z2 5xyz

Paralelogramo 20x2y2z2 36xyz

Paralelogramo 28x2y2z2 7xyz

Tabla 18.1

Entretenimiento

9. Explica en qué sentido gira el eje E que aparece en

la figura 18.2.

Figura 18.2


10. La capacidad en litros de un tanque de agua de

forma de prisma rectangular es 35x3y3. Si la altu-

ra está dada por 7xy, ¿cuál es la expresión para el

área de la base?

11. Determina la expresión algebraica que representa

la longitud de la cerca necesaria para encerrar un

lote cuadrado cuya área está dada por la expre-

sión 81x2y2z2.

12. Establece la expresión para la base de un prisma

rectangular cuyo volumen está dado por el poli-

nomio –32x3y3 + 24xy3 – 40x3y3 y altura, por el mo-

nomio –8xy.

13. Indaga cuál es el dividendo de una división cuyo

divisor es 5x + 3, el cociente es 4x – 5 y el residuo

es 3.

14. Determina el dividendo de una división cuyo di-

visor es 4x + 5, el cociente es 12x2 – 3x + 4 y el

residuo es 42.

15. Determina el divisor de una división cuyo dividen-

do es 12x3 – 9x2 – 32x + 28, el residuo es 4 y el co-

ciente es 4x – 3.

16. Determina el divisor de una división cuyo dividen-

do es y5 – 2y3 – y + 1, el cociente es y3 – y, y el resi-

duo es –2y + 1.

17. Indaga cuál es la suma de las bases de un trapecio

si su área es 6x2 + 11x + 3 y su altura es 3x + 1.

18. Averigua la base de un triángulo cuya área está

dada por 12x2 – 7x – 10 y la altura por 3x + 2.

Tema


88

Tema

Ideas previas

Polinomios

El área de un rombo está dada por la expresión x x12

+ 3 + 42 y una de sus diagonales

por x + 4. ¿Cuál expresión representa a la otra diagonal?

19 División sintética y teorema del residuo

Algunas divisiones cuyo divisor es de la forma (x – a) o (x + a) se pueden realizar de una

manera más sencilla mediante un método denominado división sintética.

Veamos cómo calcular el cociente y el residuo de + + +

+x x x x x

x

4 13 – 4 29 – 11 8

4

5 4 3 2

,

aplicando el método de división sintética.

Pasos Ejemplo

1. Ordenamos el polinomio dividendo de manera descendente y teniendo

en cuenta los exponentes de la parte literal.

4x5 + 13x4 – 4x3 + 29x2 – 11x + 8

2. Escribimos los coeficientes de los términos del polinomio en forma hori-

zontal. Si falta algún exponente, escribimos 0. En el divisor, escribimos el

valor de –a.

4 13 –4 29 –11 8 –4

3. Escribimos en la parte inferior el coeficiente correspondiente al literal de

mayor exponente (4) del polinomio.

4 13 –4 29 –11 8 –4

4

4. Multiplicamos este valor (4) por –a: (4)(–4) = –16 y adicionamos este valor

con el coeficiente de la derecha (13).

4 13 –4 29 –11 8 –4

–16

4 –3

5. El resultado obtenido lo multiplicamos nuevamente por –a y repetimos el

proceso (–3)(–4) = 12.

4 13 –4 29 –11 8 –4

–16 12

4 –3 8

6. Repetimos el procedimiento anterior tantas veces como sea posible. 4 13 –4 29 –11 8 –4

–16 12 –32 12 –4

4 –3 8 –3 1 4

7. Interpretamos los resultados: los números obtenidos representan los coe-

ficientes del polinomio cociente; el grado del polinomio cociente es una

unidad menor y el último número representa el residuo.

4x4 – 3x3 + 8x2 – 3x + 1

es el cociente y el residuo es 4.

Tabla 19.1

La división sintética es un método rápido que nos permite realizar divisiones de polinomios en una sola variable y donde el divisor es de la forma (x – a) o (x + a), para a un número racional.

89

Los números que son posibles raíces de un polinomio pertenecen al conjunto de divi-

sores del término independiente y sus opuestos aditivos.

En el ejemplo anterior, las posibles raíces son todos los divisores de 36, es decir, 1, 2, 3,

4, 6, 9, 12, 18, 36, −1, −2, −3, −4, −6, −9, −12, −18, −36. Un polinomio puede tener más

de una raíz.

Para hallar el residuo de una división de polinomios sin realizar la división, donde el

divisor es de la forma (x – a) o (x + a), tenemos el procedimiento que se describe en el

siguiente teorema.

Recordemos que

x + a = x – (–a).

Para recordarEjemplo 1

Calculemos el cociente y el residuo de +x x

x

6 – 20 7

– 2

3

utilizando la división sintética.

Solución

Desarrollando la división por el método de división sintética tenemos que

6 0 –20 7 2

12 24 8

6 12 4 15

El cociente es 6x2 + 12x + 4 y el residuo es 15.

La raíz de un polinomio es el valor de la variable donde el polinomio se anula, es decir, donde toma el valor cero.

Ejemplo 2

Verifiquemos que x = 2 es raíz del polinomio 9x3 – 33x2 + 48x – 36.

Solución

Reemplazamos el valor de x por 2 en los diferentes términos del polinomio y realiza-

mos las operaciones indicadas.

9(2)3 – 33(2)2 + 48(2) – 36 = 72 – 132 + 96 – 36 = 0

Como el resultado es 0, entonces, x = 2 es una raíz del polinomio.

Teorema del residuoSi un polinomio P(x) se divide por (x – a), entonces, el residuo es r = P(a).

Ejemplo 3

Determinemos el residuo de + + +

−x x x

x

3 5 2 3

2

4 3

sin efectuar la división.

Solución

El polinomio dividendo es 3x4 + 5x3 + 2x + 3 y el polinomio divisor es (x – 2).

Para hallar el residuo, evaluamos el polinomio dividendo en x = 2.

P(2) = 3(2)4 + 5(2)3 + 2(2) + 3

= 3(16) + 5(8) + 4 + 3 = 48 + 40 + 4 + 3 = 95

Así, el residuo es 95.

90


Resumen

Si tenemos una división entre un polinomio de una sola variable y un binomio de la forma

(x – a) o (x + a), para a un número racional y x la variable, sin hacer la división podemos

• usar la división sintética para hallar el cociente y residuo.

• usar el teorema del residuo para hallar solamente el residuo.

1. Relaciona cada polinomio con una de sus raices.

a. x4 – 2x3 – 4x + 8 x = 3

b. x6 – 2x4 + 2x2 – 1 x = 4

c. 2x3 – x2 – 18x + 9 x = –1

d. 2x5 – 8x4 + 3x – 12 x = 2

e. x3 – 3x2 – 4x + 12 x = –2

2. Determina los errores cometidos en la siguiente

división sintética.

+ +x x x x

x

9 – 8 – 69 30

– 9

5 3 2

1 9 –8 –69 30 –9 Cociente:

–9 0 72 –27 x4 – 8x2 + 3x + 3

1 0 –8 3 3 Residuo = 3

3. Halla el cociente y el residuo de cada división

utilizando el método de la división sintética.

a. + +

+x x x

x

5 – 22 16

8

3 2

b. + + + +

+x x x x x x

x

5 7 – 24 3 9 – 2 6

3

7 6 5 4 3

c. + +

+x x x x x

x

3 14 – 26 – 11 5 – 6

6

5 4 3 2

4. Determina el residuo de cada división aplicando

el teorema del residuo.

a. + +x x x

x

– 6 2 24

– 2

3 2

b. x x x

x

8 – 43 – 25 – 30

– 5

3 2

c. + + +

+x x x

x

12 117 96 135

9

3 2


5. Indica cuál es la otra dimensión del sólido y halla el

polinomio que la representa. Luego, dibuja el sólido.

a. Una caja de base cuadrada de volumen V = x3 + 7x2 – 5x – 75 y profundidad x – 3.

b. Un cilindro de altura x + 2 y volumen πx3 + 6πx2 + 12πx + 8π.

c. Una caja con área de la base x + 2 y volumen (x2 + x)2 – 4.

6. Halla el valor de k para que el residuo de la división

sea cero en cada caso.

a. x2 + kx + 3, entre x + 1.

b. kx3 + 2x2 – 3, entre x + 2.

c. 4x4 – 3x2 + x – k, entre x – 3.


7. Si P(a) = P(b) = P(c) = 0 y P es un polinomio de gra-

do 3, ¿es correcto afirmar que (x – a)(x – b)(x – c) =

P(x)? Justifica tu respuesta.

8. Cuando el residuo es cero, el polinomio cociente

y el polinomio divisor son factores del polinomio

dividendo. Realiza cada división y determina si el

polinomio divisor es factor del polinomio divi-

dendo; de serlo, expresa el polinomio dividendo

como producto del divisor y el cociente.

a. (x3 – 3x2 + x – 3) ÷ (x – 3)

b. (x3 – 2x2 – 21x + 45) ÷ (x + 5)

c. (2x3 + x2 – 7x – 6) ÷ (x + 1)

d. (x4 – 5x2 + 4) ÷ (x – 2)

9. Sea P(x) = x3 + ax + 1. Si P(1) = 1, ¿cuál es el valor

de P(2)?


Tema


91

Ideas previas

Polinomios

20

Factoriza la expresión 343x3 + 294x2y + 84xy2 + 8y3.

Cocientes notables

Algunas divisiones se pueden realizar utilizando los productos notables, sin necesidad

de aplicar el algoritmo de la división. Estas divisiones se denominan cocientes notables.

Veamos la relación entre los productos y los cocientes notables.

Producto notable Cociente notable

(a – b)(a + b) = a2 – b2

+=

––

2 2a b

a ba b

(a – b)(a + b) = a2 – b2 = +–

–

2 2a b

a ba b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2+ +

+= +

22 2a ab b

a ba b

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2+

=– 2

––

2 2a ab b

a ba b

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3++

= +–3 3

2 2a b

a ba ab b

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 = + +–

–

3 32 2a b

a ba ab b

Tabla 20.1

Ejemplo 1

Determinemos el cociente de cada división utilizando cocientes notables.

a. +

x

x

– 16

4

2

b. x y

x y

25 – 49

5 – 7

2 2

c. x xy y

x y

9 6

3

2 2+ ++ d.

x xy y

x y

9 – 6

3 –

2 2+

Solución

a. +

x

x

– 16

4

2

= x – 4 b. x y

x y

25 – 49

5 – 7

2 2

= 5x + 7y

c. x xy y

x y

9 6

3

2 2+ ++ = 3x + y d.

x xy y

x y

9 – 6

3 –

2 2+ = 3x – y

Podemos generalizar el caso de los cocientes notables en donde el dividendo es un

polinomio de la forma xn ± yn, con un número entero n, n ≥ 2 y el polinomio divisor es

un polinomio de la forma x ± y.

Recuerda cómo obtener

los productos notables

ingresando a la página

http://www.amolasmates.

es/flash/productosnotables.

html

Vínculo web

92


Para n par

−−

= + + + + +− − − − −x y

x yx x y x y x y y

n nn n n n n1 2 3 2 4 3 1

−+

= − + − + −− − − − −1 2 3 2 4 3 1x y

x yx x y x y x y y

n nn n n n n

Para n impar

x y

x yx x y x y x y y

n nn n n n n1 2 3 2 4 3 1+

+= − + − + +− − − − −

−−

= + + + + +− − − − −x y

x yx x y x y x y y

n nn n n n n1 2 3 2 4 3 1

El polinomio xn + yn, donde

n es par, nunca tiene un

residuo 0 al dividirse entre

x + y o x – y.

Para recordar

Ejemplo 2

Determinemos el cociente de cada división utilizando cocientes notables.

a. ++

x y

x y

6 6

b. −−

x y

x y

7 7

c. x y

x y

24 24

6 6

−+

Solución

a. La división no es exacta porque n es par (n = 6).

b. −−

= + + + + + +x y

x yx x y x y x y x y xy y

7 76 5 4 2 3 3 2 4 5 6 .

c. x y

x y

x y

x yx x y x y y

−+

=−+

= − + −( ) ( )24 24

6 6

6 2 6 2

6 618 12 6 6 12 18 .

1. Selecciona las expresiones que se pueden simpli-

ficar con cocientes notables.

a. +

x xy y

x y

25 – 20 – 4

5 2

2 2

b. ++

x y

x y

64 27

4 3

3 3

c. ++

x y

x y

36

6

2 4

2

d. +x xy y

x y

16 – 24 9

4 – 3

2 2

e. x y

x y

49 – 4

7 – 2

2 2

f. + +

+x xy y

x y

16 24 9

4 3

2 2

g. ++

x y

x y

49

7

2 2

2. Relaciona cada división con su cociente.

a. ++

a b

a b

125 27

5 3

3 3

6x + y

b. x y

x y

36 –

6 –

2 2

25a2 – 15ab + 9b2

c. + +

+a ab b

a b

25 30 9

5 3

2 2

4x – 2y

d. x y

x y

125 – 8

5 – 2

3 3

5a + 3b

e. +

x y

x y

16 – 4

4 2

2 2

25x2 + 10xy + 4y2

f. ++

x y

x y

125 8

5 2

3 3

7x + y

g. x y

x y

49 –

7 –

2 2

5x – 2y

h. +x xy y

x y

25 – 20 4

5 – 2

2 2

25x2 – 10xy + 4y2

93

Resumen

?

a. b. c. d.

Los cocientes notables nos permiten hallar el cociente de una división sin necesidad

de efectuarla. Se obtienen de los productos notables.

3. Simplifica las siguientes expresiones.

a. +a a

a

4 – 12 9

2 – 3

2

b. + ++

a a

a

4 12 9

2 3

2

c. z y

z y

−−

343 8

7 2

3 3

d. a b

a b

125 – 27

5 – 3

3 3

e. +a ab b

a b

25 – 30 9

5 – 3

2 2

f. x y

x y

36 –

6 –

2 2

g. +

x y

x y

–4 4

h. x y

x y

–

–

4 4

i. ++

x y

x y

5 5

j. x y

x y

–

–

6 6

3 3

k. +

x

x

– 1

1

6

l. x y

x y

–

–

6 6


4. El área de un rectángulo está representada por la

expresión 64x6 – 81y4. Si el largo está representa-

do por la expresión 9y2 + 8x3, ¿cuál expresión re-

presenta el ancho?

5. Se tiene una alfombra de área x6y9 – z3w12 para

una habitación que mide w4z – x2y3 de frente.

¿Cuál expresión representa la longitud de fondo

de la habitación?

6. Una ventana necesita un vidrio cuya área está

dada por la expresión x3y15 + z12. Si la expresión

de la base es xy5 + z4, ¿cuál es la de la altura?

7. La altura de un muro está dada por la expresión

5x3 + y4 metros. Si la expresión del área es 125x9 +

y12 metros cuadrados, ¿cuál representa el largo?

8. A un costado de un lago, que tiene un área de

64x6 kilómetros cuadrados, se construyó un par-

que de 27y3 kilómetros cuadrados de área. Si uno

de los lados de la construcción total (lago y par-

que) tiene 4x2 + 3y km de longitud, ¿cuál expre-

sión representa la medida del otro lado?

9. Una finca tiene un invernadero de forma rectan-

gular con un área de x6 – y4 metros cuadrados. Si

uno de los lados mide x3 + y2 metros, ¿cuál expre-

sión representa la longitud del otro lado?

Entretenimiento

10. Escoge la figura que completa la secuencia.

Figura 20.1

94


2x2x

2x + 1

2x + 1

2x + 2

2x – 1

Para celebrar el cumpleaños 35 de las minifiguras, el Grupo LEGO y

DK Publishing han tenido una divertida iniciativa: han “regalado” a las

minifiguras una réplica del famoso libro Lego: minifigure year by year

a visual history, pero a su escala, con lo cual una minifigura puede

agarrarlo cómodamente con la mano. Es una réplica a escala en cen-

tímetros de 1:15 con relación al libro original para los humanos, cuya

portada rectangular tiene un perímetro de tan solo 7,4 cm.

Adaptado de LEGO minigures. [en línea]. <http://lego-minifigures.tumblr.com/post/

63153895113/karenhurley-to-celebrate-the-35th-anniversary>

[citado el 28 de julio de 2014].


1. Si en la réplica el ancho es 3 mm menos que el lar-

go (x), la expresión matemática que permite calcu-

lar ambas dimensiones es

a. (x + 3) + x + (x − 3) + x = 7,4.

b. (x + 3) + (x − 3) + x = 7,4.

c. (x − 3) + x + (x − 3) + x = 7,4.

d. (x + 3) + x + (x + 3) + x = 7,4.


Para presentar el pequeño tomo de LEGO, se organizó

una conferencia en la que se lanzó un nuevo prototipo

de castillo medieval. El castillo fue el resultado de tomar

un poliedro (ver figura 3.1) y retirarle 2 cubos de lado x .

Figura 3.1

2. Puedes afirmar que la expresión algebraica que

representa el volumen de la pieza es

a. 4x2(2x + 1) − 2x2.

b. 4x2(2x + 1) − 2x3.

c. 2x(2x + 1) − 2x2.

d. 2x(2x + 1) − 2x3.

3. Manuela, una de las integrantes del equipo de di-

seño, afirma que el volumen de la pieza también se

puede representar con la expresión 6x3 + 4x2. ¿Es

verdadera la afirmación? Justifica tu respuesta.

4. Francisco, otro diseñador, piensa que una modifi-

cación en el tamaño del poliedro mejoraría el aco-

ple con el resto de las piezas de la nueva colección.

Así que ha propuesto trabajar con un poliedro de

lado 2x + 1, de tal modo que su volumen esta-

ría dado por la expresión (2x + 1)3. ¿La expresión

8x3 −12x2 + 6x − 1 es equivalente a dicho volumen?

5. Manuela, por su parte, propone un poliedro como

el de la figura 3.2.

Figura 3.2

La expresión que representa el volumen de dicho

sólido es

a. (2x2 − 1)(2x + 2).

b. (2x2 + 1)(2x + 2).

c. (4x2 − 1)(2x + 2).

d. (4x2 + 1)(2x + 2).

95



1. Modelo una situación problema empleando expresiones algebraicas.

2. Modelo una situación problema empleando expresiones algebraicas.

3. Simplifico expresiones algebraicas haciendo uso de la multiplicación y sustracción de polinomios.

4. Identifico y resuelvo un producto notable.



7. Utilizo el triángulo de Pascal en el desarrollo de potencias.

8. Utilizo el teorema del binomio en el desarrollo de la potencia de un binomio.

9. Identifico un cociente notable y lo utilizo en la solución de una situación problema.

10. Utilizo el teorema del residuo y la división sintética en la solución de un problema.

6. Gustavo piensa que no es necesario irse a los extre-

mos y propone un poliedro que mejora el acople

del prototipo inicial. Si el volumen de este nuevo

prototipo es (2x + 1)2(2x + 2), una expresión alge-

braica equivalente es

a. (2x2 + 4x + 1)(2x + 2).

b. (2x2 + 1)(2x + 2).

c. (4x2 + 4x + 1)(2x + 2).

d. (4x2 + 1)(2x + 2).

7. Otras piezas clave que conforman el prototipo del

castillo son las triangulares, cuyos volúmenes se

encuentran dados por el triángulo de Pascal.

Con base en lo anterior, completa la tabla.

VolumenDesarrollo de la

expresión del volumen

V1: (3y + 1)3

V2: (3y + 1)4

V3: (3y + 1)5

Tabla 3.1

8. Siguiendo la secuencia en los volúmenes de las

piezas triangulares y empleando el teorema del

binomio, ¿cuál es la expresión que representa el

volumen de la pieza triangular V6?

a. 6561y8 + 17 496y7 + 20 412y6 + 13 608y5 +

5670y4 + 1512y3 + 252y2 + 24y + 1

b. 6561y8 − 17 496y7 + 20 412y6 − 13 608y5 +

5670y4 − 1512y3 + 252y2 − 24y + 1

c. 729y6 + 1458y5 + 1215y4 + 540y3 + 135y2 +

18y + 1

d. 729y6 − 1458y5 + 1215y4 − 540y3 + 135y2 −

18y + 1


9. Pensando en el acople del prototipo del castillo, se

ha diseñado una pieza conectora cuya base es un

rectángulo de área x3 – 1. Si una de las dimensiones

del rectángulo es x – 1. ¿Qué expresión algebraica re-

presenta el producto de las otras dos dimensiones?

10. Si de otra de las piezas de la colección, también

basada en un poliedro rectangular de volumen

2x3 + 7x2 +7x + 2, se sabe que su altura correspon-

de a la expresión x + 1, ¿qué expresión representa

el área de la base del poliedro?

96


Prueba

Encuentra la respuesta correcta entre las opciones A, B, C y D. Márcala en la hoja de respuestas,

rellenando completamente el recuadro correspondiente.

km 1

Usted está aquí

N

km 2

1. El mercado financiero de valores calcula las ganancias de una acción por

transacción realizada. El lunes, la compañía ABC Valores cotizó en el merca-

do el valor por acción a $ 2020,31. El martes, el valor por acción incremen-

tó en $ 79,69. El miércoles, se presentó una caída en el precio y terminó en 34

del precio de cierre por acción del día martes. El jueves, nuevamente

presentó caída por valor de $ 75 por acción. Finalmente, el viernes, en el

cierre de la semana, el valor por acción tuvo un incremento de 15

del pre-

cio de cierre del día anterior. ¿Cuál fue el precio por acción de la compañía

ABC Valores al cierre del mercado el día viernes?

2. Daniel viaja a lo largo de una carretera que cubre cuatro pueblos. Para

optimizar el uso de gasolina, visitará los cuatro pueblos empezando por

el más cercano y avanzando hacia el más lejano. Infortunadamente, en el

mapa que tiene se borraron los nombres de los pueblos, pero Daniel sabe

que la distancia desde donde está hasta Villa María es, aproximadamente,

158

km; hasta Río Blanco, 3 km; hasta Pueblo Nuevo, 1,065 km; y hasta

El Guadal, 134

km.

El pueblo que se encuentra más lejano en el mapa es

A. Villa María. B. Río Blanco.

C. Pueblo Nuevo. D. El Guadal.

Tiempo

(horas)

Extensión

(km2 )

8 4

16 8

24 16

Tabla 1.1

Si el fuego continúa incrementándose al mismo ritmo,

¿cuántos kilómetros cuadrados estarán afectados por

el fuego a los 2 días?

A. 32 km2

B. 96 km2

C. 128 km2

D. 200 km2

A. $ 1925 B. $ 1800 C. $ 1850 D. $ 2175

Figura 1.1

3. Se ha presentado un incendio en un bosque cercano a la ciudad. Los bomberos reportaron que la exten-

sión del fuego era de 2 km2 al momento de llegar al bosque. A pesar de los esfuerzos realizados por ellos

para apagar el incendio, este se siguió extendiendo durante todo el día. La tabla 1.1 muestra los reportes

subsiguientes emitidos por los bomberos sobre la extensión del bosque afectada por el fuego en un lap-

so de 24 horas.

97

4. Un litro es igual a 1 × 106 mm3. En 1 mm3 de sangre humana, se pueden encontrar

aproximadamente 5 × 106 glóbulos rojos. ¿Cuántos glóbulos rojos se pueden encon-

trar aproximadamente en un litro de sangre humana?

6. La velocidad de un objeto lanzado verticalmente

hacia arriba se puede calcular usando la ecuación

v = 50 – 9,8t, donde t representa el tiempo de vue-

lo en segundos y v la velocidad que se expresa en

metros por segundo (m/s). Para un experimento de

la clase de Física, el profesor desea saber para qué

valores de t la velocidad es mayor que 30,4 m/s. Los

valores que cumplen dicha condición son

A. mayores o iguales que 2 s.

B. menores o iguales que 2 s.

C. exactamente igual que 2 s.

D. estrictamente menores que 2 s.

7. Observa las dos inecuaciones lineales.

1 > x

|x| > |–1|

De las siguientes opciones, ¿cuál es el valor de x

para el cual se cumplen las dos inecuaciones si-

multáneamente?

A. x = 0

B. x = 2

C. x = 4

D. Ningún valor entero de x satisface ambas inecuaciones.

¿Después de cuántos semestres terminados

tendrán María Lucía y Juan Antonio el mismo

número de créditos cursados?

A. 9

B. 6

C. 3

D. 2

5. Juan Antonio es un estudiante de medio tiempo en una universidad. De su plan de estudios, ya

ha cursado 22 créditos y planea tomar 6 por semestre hasta terminar su carrera. Una amiga suya,

María Lucía, es estudiante de tiempo completo. Ella ha cursado 4 créditos de su plan de estudios

y planea tomar 12 por semestre hasta terminar su carrera.

A. 5 × 1012 glóbulos rojos.

B. 1 × 1012 glóbulos rojos.

C. 0,5 × 106 glóbulos rojos.

D. 0,1 × 106 glóbulos rojos.

98

?

?

( x – 1)

x – 1

x + 5

W

W + 5

8. La longitud de una ventana rectangular es 5 m más que su ancho (W). El área de la ventana es 36 m2.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones se puede usar para encontrar las dimensiones de la ventana?

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

Figura 1.4

10. Observa la figura 1.4. Describe un método que te permita hallar el área de la región coloreada.

¿Qué expresión matemática te permitiría hallar dicha área?

A. (5x + 2) y (3x + 1), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (5x + 2)(3x + 1).

B. (2x + 5) y (x + 3), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (2x + 5)(x + 3).

C. (x + 1) y (2x + 3), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (x + 1)(2x + 3).

D. (x + 5) y (2x + 3), porque (2x3 + 9x2 + 4x – 15) ÷ (x – 1) = (x + 5)(2x + 3).

Figura 1.3

9. El volumen de la pecera de la figura 1.3 se puede expresar como 2x3 + 9x2 + 4x – 15.

La profundidad del tanque esta dada por (x – 1). ¿Cuáles son las otras dos dimensiones del tanque?

Figura 1.2

A. W 2 + 5W + 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 + 5W y este resultado se iguala a 36.

B. W 2 – 5W – 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 – 5W y este resultado se iguala a –36.

C. W 2 – 5W + 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 – 5W y este resultado se iguala a 36.

D. W 2 + 5W – 36 = 0, porque W(W + 5) = W 2 + 5W y este resultado se iguala a 36.

(x + 5)2 – (x – 1)2 = [(x + 5) – (x – 1)] [(x + 5) + (x – 1)] = 12x + 24

99


Punto Desempeño Competencia Conocimiento Correcta No correcta

1.

Resuelvo problemas de situaciones aditivas

y multiplicativas usando números racionales

(representados por decimales, fracciones,

razones o porcentajes).

Formulación

y ejecuciónGenérico

2.Reconozco las relaciones de orden de nú-

meros racionales e intervalos en los reales.

Interpretación

y representaciónGenérico

3.

Resuelvo problemas que involucran

multiplicaciones y potencias con números

racionales.

Interpretación


4.Realizo operaciones con expresiones en

notación científica.

Formulación


5. Identifico relaciones entre magnitudes.Formulación


6.Identifico y manipulo expresiones numéri-

cas y algebraicas equivalentes.

Razonamiento

y argumentaciónGenérico

7.Reconozco las relaciones de orden de nú-

meros racionales e intervalos en los reales.

Razonamiento

y argumentaciónNo genérico

8.

Resuelvo problemas en situaciones de va-

riación y modelo su solución haciendo uso

de expresiones algebraicas.

Formulación

y ejecuciónNo genérico

9.

Describo y represento situaciones de

variación relacionando diferentes represen-

taciones.

Formulación


10.

Identifico un método que involucra ex-

presiones algebraicas para solucionar una

situación.

Razonamiento


Formato de respuestas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A A A A A A A A A

B B B B B B B B B

C C C C C C C C C

D D D D D D D D D

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

100

Creatividadinnovacióne

Situación

USO DE TELÉFONOS CELULARES POR ADOLESCENTES: VENTAJAS Y RIESGOS

Uso del celular por adolescentes en Colombia

Comunicación Lúdica

Servicios de voz y mensajes de texto

Jugar

Escuchar música

Hacer y ver fotos y videos

Usar el reloj

Agenda

Recurso para tareas

Bulliyng: acoso

Sexting: envío de mensajes o fotos de contenido sexual

Cuentas astronómicas: facturas abultadas

Adicción: impulso que no se puede controlar

Riesgos del uso del celular

Síntomas de la adicción al celular

Estadísticas sobre adolescentes colombianos que

Discuten con sus padres sobre Hombres Mujeres

9,5%

11,8%

13,7%

15,4%

Transtornos de sueño

Bajo rendimiento escolar

Falta de interés por otras actividades

Enajenación y distanciamiento de los familiares

el costo de uso del celular

el tiempo dedicado al

uso del celular

Estadísticas sobre adolescentes colombianos que

no saben el costo del uso de su celular

pagan el costo del uso de su celular

nunca discuten con sus padres sobre el celular

Porcentaje

47,8%

21,4%

58,3%

Uso racional del celular

El uso de la tecnología, en particular la del celular inteligente, ha cambiado esquemas comunicati-

vos, relacionales y educativos en los adolescentes. En Colombia, el 88,3% de los adolescentes afirma

que tiene un celular inteligente. Algunos expertos como Juan Camilo Rozo, de la fundación colom-

biana Conectándonos, piensa que “la mayoría de las veces los jóvenes no hacen uso adecuado de estos

teléfonos porque nadie los ha educado en el uso sano de esta tecnología”. Por su parte, otros expertos

comentan lo que el psiquiatra Álvaro Franco: que “está demostrado que el buen uso de la tecnología

incrementa la coordinación oculomotora (ojo-mano) y sobre todo el pensamiento estratégico”.

Adaptado de Que el celular no se ´robe´ a su hijo [en línea]. <http://www.eltiempo.com/archivo/documento/

CMS-12509797> [citado el 30 de julio de 2014].

Datos tomados de La encuesta Generaciones Interactivas en Iberoamérica, realizada en Colombia, muestra

de 3292 escolares entre 10 y 18 años, residentes en ámbitos urbanos y estudiantes de colegio [en línea]. <

http://www.generacionesinteractivas.org/upload/libros/La%20Generacion%20Interactiva%20en%20Ibe-

roamerica%202010.pdf > [citado el 30 de julio de 2014].

101

Reto

Infórmate

Crea

Técnica creativa

La técnica de Analogías obligadas te permite encontrar formas originales de en-

tender el reto mediante su comparación con situaciones aparentemente muy di-

ferentes. Para desarrollarla, primero forma grupos de 3 personas y pídele a cada grupo que formule dos analogías directas. El objetivo es explicar el reto, pero en un mundo paralelo. Por ejemplo, en el mundo del deporte, “enviar fotos de contenido sexual por el celular se parece a partir la garrocha a propósito del salto alto”. Luego, pídele a cada grupo que presente sus analogías y a partir de estas define con tus compañeros estrategias para encontrar una propuesta novedosa y útil para evitar riesgos y adicciones del uso irracional del celular.

Comunica

Utilizando un medio comunicativo gráfico muestra la estrategia propuesta y publí-

cala en un lugar donde tus compañeros la puedan conocer.

1. ¿Conoces adolescentes que sufran adicción al uso del celular? ¿De qué modo afecta el uso excesivo del celular su rendimiento escolar?

2. ¿Has visto videos sobre situaciones, causas y consecuencias del mal uso del celular? ¿Cómo crees que un adolescente puede controlar el uso del celular?

3. Amplía la información dada sobre cada uno de los riesgos descritos del uso del celular.

FuentesDigital

Artículo periodístico sobre el celular como herramienta para el aprendizaje

http://portal.educ.ar/debates/educacionytic/nuevos-alfabetismos/celulares-he-

rramientas-para-el-aprendizaje.php

Presentación y video sobre influencia de los celulares en los adolescentes

http://www.slideshare.net/luiquintana/como-influyen-los-celulares-en-los-ado-

lescentes-26634752

Impresa

Lee artículos de revistas en la hemeroteca de tu ciudad. Ilústrate sobre el tema.

Vivencial

Observa a tus compañeros, papás y amigos con el fin de identificar los usos que

ellos hacen del celular. Posteriormente, clasifica los usos en apropiados e inapro-

piados.

Crea una estrategia para prevenir los riesgos del uso del celular.

102

Capítulo Factorización.Fracciones algebraicas.Funciones

102

2

103


Identifica

Temas

Analiza

Opina

21. Descomposición en factores primos y máximo común divisor

22. Factor común monomio y factor común polinomio

23. Factor común por agrupación de términos

24. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

25. Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c

26. Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c

27. Factorización de diferencia de cuadrados perfectos

28. Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y

sustracción

29. Factorización de la diferencia o suma de cubos perfectos

30. Factorización de expresiones de la forma xn ± yn

31. Factorizaciones combinadas

32. Aplicaciones de la factorización

33. Fracciones algebraicas

34. Operaciones con fracciones algebraicas

35. Fracciones algebraicas complejas

36. Ecuaciones con fracciones algebraicas

37. Concepto de función

38. Representación gráfica de una función

39. Función lineal y función afín

40. Funciones de variación directa e inversa

41. Funciones crecientes, decrecientes y constantes

1. ¿Cuál es el mensaje que se quiere transmitir en la infografía?2. ¿En qué otros medios puedes encontrar mensajes sobre el transporte en la ciudad?3. ¿A quiénes les puede interesar conocer sobre emisiones de CO

2 ocasionadas por

los medios de transporte en una ciudad?

1. ¿Qué es una infografía?2. Si recorres en promedio 150 km al mes en bicicleta, ¿cuántos viajes haces y cuán-

tos kilómetros recorres en cada viaje?3. Comparando el uso de la bicicleta con el del carro particular, ¿cuál es el porcen-

taje de reducción en las emisiones de CO2 por pasajero en cada kilómetro recorri-

do? ¿Y comparado con el uso del autobús?4. ¿Cuál es el costo de 100 viajes al mes (cada uno de 6,4 km) si se realiza en bicicle-

ta, en carro o en autobús? 5. Plantea una función que permita calcular el costo de n viajes si se hacen en carro par-

ticular y otra para viajes en autobús. ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes?6. Las magnitudes “cantidad de gramos de CO

2 emitidos por pasajero en cada kiló-

metro recorrido” y “cantidad de habitantes transportados en una ciudad”, ¿están en relación de variación directa o inversa?

1. ¿Cómo crees que ha evolucionado el transporte público en tu ciudad en los últi-mos 10 años?

2. Imagina cómo serán las grandes ciudades del mundo dentro de 20 años si no se moderan los esquemas actuales de transporte.

104




d

b

a c

4

z

4z

F

B

DC G

E

A

1. Se tienen tubos de longitud 28 cm, 42 cm y 63 cm.

Si se busca hacerles la menor cantidad de cortes

para obtener trozos de la misma longitud sin que

sobre material. La longitud de cada trozo debe ser

a. 3 cm. b. 6 cm.

c. 7 cm. d. 4 cm.

2. La parte literal del segundo término y el coeficien-

te del tercer término de 3

2

2

5

9

4

2 3 4x x x+ − son, res-

pectivamente,

a. x4 y 2

5.

b. x4 y −9

4.

c. x3 y 2

5.

d. x3 y − 9

4.

3. Violeta quiere pintar una pared de su apartamento.

Si tiene pintura para una superficie definida por la

expresión 3x2 – xy – 2y2, entonces, puede pintar la

pared que tiene las dimensiones de ancho y largo

definidas con las siguientes expresiones.

a. ancho: x + y, largo: 3x + 2y (en la cocina)

b. ancho: x – y, largo: 3x + 2y (en el baño)

c. ancho: x + y, largo: 3x – 2y (en la habitación principal)

d. ancho: x – y, largo: 3x – 2y (en el corredor)

4. Observa la figura 2.1.

Figura 2.1

La igualdad que representa el área de la región co-

loreada es

a. c(b + d) = cb + cd.

b. b(a + c) = ab + bc.

c. a(b + d) = ab + ad.

d. d(a + c) = ad + dc.

5. Julio tiene un cuadrado como el de la figura 2.2.

Figura 2.2

El área del cuadrilátero CEFG está dada por la

expresión

a. z2 + 8z + 16.

b. z2 – 8z – 16.

c. z2 – 8z + 16.

d. z2 + 8z – 16.

6. Raquel tiene un cilindro que tiene una capacidad

de almacenamiento definida por la expresión

(a3 + a2b – ab2 – b3)π. Si la altura es a – b, el radio

de la base es

a. a – b.

b. a + b.

c. a2 – b2.

d. a2 + b2.

✗

✗

✗

✗

✗

✗

105



1. Calculo el máximo común divisor de varios números y reconozco su uso.

2. Identifico el coeficiente y la parte literal de los términos de un monomio o polinomio.

3. Utilizo el producto de polinomios para resolver una situación problema.

4. Utilizo la propiedad distributiva para calcular el área de sectores de figuras.

5. Utilizo los productos notables para resolver una situación problema.

6. Utilizo la división de polinomios para resolver una situación problema.

7. Identifico las fracciones equivalentes de una fracción dada.

8. Establezco relaciones entre dos variables.

9. Evaluó expresiones que determinan relaciones entre dos conjuntos numéricos.

10. Hallo la solución de una ecuación lineal.

7. Las fracciones equivalentes a 9

21 son

a. 3

7

6

35

15

14= = .

b. 3

7

6

14

12

28= = .

c. 3

7

12

35

15

28= = .

d. 3

7

18

14

12

42= = .

8. Observa la información de la tabla 2.1.

Miembro de la Familia Grupo sanguíneo

Papá A

Mamá B

Hijo mayor AB

Hijo menor O

Tabla 2.1

El grupo sanguíneo correspondiente al hijo mayor es

a. A. b. B.

c. AB. d. O.

9. La relación entre dos conjuntos A y B está dada

por la expresión yx=

2

5. Si A = {–1, –2, –3, –4, –5},

entonces,

a. B = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

5

4

5

9

5

16

55, , , , .

b. B = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

5

4

5

9

5

16

51, , , , .

c. B = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

5

2

5

9

5

16

51, , , , .

d. B = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

116

5

9

5

2

5

1

5, , , , .

10. El producto entre 2 y x + 1 equivale a x + 8. El valor

de x que cumple esta igualdad es

a. x = 6.

b. x = 0.

c. x = –1.

d. x = –8.

✗

✗

✗

✗

Tema


106

Tema

Ideas previas

Factorización

Completa la descomposición en factores primos de los siguientes números.

a. 98 = 2 ⋅ 7■

b. 216 = 2■ ⋅ ■3 c. 1575 = 3

■ ⋅ ■■ ⋅ ■

21 Descomposición en factores primos y máximo común divisor

Recordemos que podemos establecer cuál es el máximo común divisor de dos o más

números a partir de su descomposición en factores primos.

Para hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales, prime-ro descomponemos cada número en sus factores primos; segundo identificamos los factores comunes y tomamos los de menor exponente; tercero multiplicamos estos últimos.

Ejemplo 1

Hallemos el máximo común divisor de 72 y 60.

Solución

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1

Por tanto, el máximo común divisor de 72 y 60 es 22 × 3 = 12.

72 = 23 × 32

60 2

30 2

15 3

5 5

1

60 = 22 × 3 × 5

Para calcular el máximo común divisor de dos monomios, tomamos los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 2

Determinemos el máximo común divisor de los monomios 12x3y4z2 y 45x5y2.

Solución

Primero hallamos el m.c.d. de los diferentes factores de los monomios.

m.c.d. (12, 45) = 3

m.c.d. (x3, x5) = x3

m.c.d. (y4, y2) = y2

Por tanto, el máximo común divisor de estos dos polinomios es 3x3y2.

Un número natural p,

mayor que 1, se denomina

primo si sus únicos divi-

sores naturales o factores

son 1 y p. Un número

natural mayor que 1, que

no es primo, se denomina

compuesto y se factoriza

completamente cuando se

expresa como producto de

sus factores primos.

Para recordar

Un polinomio constante

P(x) = c, con c ≠ 0, es de

grado cero, porque

P(x) = cx0.

Para recordar

Recuerda cómo hallar la

descomposición en facto-

res primos de un número

ingresando a la página:

http://www.extremate.es/

Descartes%20modificado/

3_eso/Multiplos_divisores/

desfacto.htm

Vínculo web Así como hallamos el máximo común divisor de números enteros, también podemos

encontrar el máximo común divisor de dos o más monomios.

Notemos que podemos escribir los monomios del ejemplo anterior en términos de su

m.c.d., así: 12x3y4z2 = (3x3y2)(4y2z2) y 45x5y2 = (3x3y2)(15x2).

107


Cuando un polinomio se escribe como un producto, los términos del producto reci-ben el nombre de factores, y el polinomio es divisible por cada uno de sus factores.

Ejemplo 3

En el polinomio 4π(x + 1)2, tenemos que 4, π, (x + 1) y (x + 1) son factores.

De manera similar, en x[x2(x + 3) + 1], los factores son: x y [x2(x + 3) + 1].

Un polinomio es primo si no puede expresarse como el producto de dos polinomios de grado estrictamente menor que su grado. En caso contrario, el polinomio no es primo.

Si un polinomio no es primo y todos sus factores son polinomios primos, se dice que está completamente factorizado.

Ser polinomio primo

depende del contexto. Por

ejemplo, x2 + 1 es primo si

se buscan factorizaciones

con números reales. Sin

embargo, existen otros

conjuntos de números en

los que puede factorizarse

este polinomio como pro-

ducto de dos polinomios

de grado 1.

Para recordar

Ejemplo 4

El polinomio 3x2 + 5x + 2 puede expresarse como el producto entre (x + 1) y (3x + 2).

Como el polinomio es de grado 2 y cada uno de los factores es de grado 1, podemos

afirmar que 3x2 + 5x + 2 no es primo. Además, como (x + 1) y (3x + 2) son polinomios

primos, 3x2 + 5x + 2 está completamente factorizado.

Todo polinomio de grado

1, o de la forma x2 + a2

con a ∈ R, es primo.

Para recordar

1. Relaciona cada pareja de monomios con su m.c.d.

a. 2xy3z; 4xy2z 49x3y8z3

b. 12x2y3z; 8xy2z4 9x2y2z3

c. 9x7y4z3; 27x2y2z4 xy5z6

d. 3x2y6z8; 8xy5z6 4xy2z

e. 98x10y8z9; 343x3y16z3 2xy2z

2. Escribe los factores de cada expresión algebraica.

a. (x + 1)(x + 2)

b. (x + 3)4

c. x2(x + 1)

d. (2x + 3)3

e. (x − 3)(x2 + 2x − 1)

f. 2(x + 2)(x − 1)x

g. y3(y + 4)(x −2)

h. xy2(x2 + 1)(x − 1)

i. m2n3(m + n)(m − n)

3. Completa cada expresión para que se cumpla la

igualdad.

a. –20x2y3 = (5xy) _____

b. 15m2n2c = (3mnc) _____

c. –42x5y2 = (–7x3y) _____

d. 100a5bc3 = (–25a2bc) _____

e. 30xy3z5 = (6yz5) _____

f. –75p6q3r2 = (3p4q2r) _____


4. Escribe los términos por los que se debe multipli-

car para obtener un múltiplo de 12x5y7. Observa el

ejemplo.

(8x2y)(3x3y6) = 24x5y7

a. (6x3y3) ___________ = ___________

b. (4x2y2) ___________ = ___________

c. (5x3y2) ___________ = ___________

108

Resumen

Sea P un polinomio formado por dos o más monomios. El máximo común divisor de esos

monomios permite escribir a P como el producto de polinomios de menor grado que P.

Decimos que P no es primo si puede expresarse como el producto de dos o más polinomios

de grado estrictamente menor que su grado. En el caso en que cada factor sea polinomio

primo, decimos que P está completamente factorizado.

5. Determina cuáles monomios son divisibles por

4x3y2.

a. 9x3y2

b. 12x3y5

c. 16xy2

d. –20x5y4

e. –16x3y3z2

f. 24x4y5z

6. Halla el máximo común divisor de cada grupo de

monomios.

a. 18x4y3z2; 12x4y2z

b. 7x3yz; 21x2

c. 12x3z2; 10z5

d. 15x2y3z4; 25x3y3z3; 20xy3z4

e. 6x5y2; 18xy3z2; 30x3yz2

f. 12a4b4c4; 20a2b3c2; 36a3b2c4

g. 21x6y8z7; 35x4y5z4; 42x5y6z5

h. 48x2z4; 54y3z3; 60xy3

7. Une con una línea el polinomio y su respectiva

descomposición. Ten en cuenta que los siguientes

polinomios no son primos.

a. Q(x) = 2x2 + x − 1 (x − 1)(x4 + 2x2 + 3)

b. J(x) = x2 − 7x + 12 (x + 1)(2x − 1)

c. P(x) = x3 − x2 − x + 1 (x − 1)(x2 − 1)

d. R(x) = x5 − x4 + 2x3 − 2x2 + 3x − 3 (x − 4)(x − 3)

8. Clasifica los siguientes polinomios como primos o

no primos. Justifica tus respuestas.

a. 3x + 1

b. x − 2

c. 2x

d. 5

e. x2 + 4

f. x2 − 1

g. 9x2 + 1

h. x −12

5

i. 4x2 − 9

j. –33x2


9. Una pastelería vende galletas en dos tipos de ca-

jas. En una caja, caben 24 galletas y en la otra, 30.

Si para empacarlas en las cajas el pastelero hace

paquetes más pequeños en bolsas del mismo ta-

maño.

a. ¿Cuál es la cantidad de galletas que debe em-pacar en cada bolsa con el fin de maximizar el número de galletas en cada paquete?

b. ¿Cuántos paquetes de galletas deben ir en cada caja?

10. El área de un rectángulo está dada por la expre-

sión 16y2x2. ¿Cuáles son las posibles expresiones

para las dimensiones del rectángulo?¿Y cuáles las

posibles expresiones para que sea un cuadrado?

Tema


109

Ideas previas

3y

3y 4z

Factorización

Determina el máximo común divisor de las siguientes parejas de monomios.

a. 3x2y3; 6x3y b. 15x3y2z; 10x2y3z2

22 Factor común monomio y factor común polinomio

Alejandra tiene dos rectángulos cuyas áreas son 9y2 y 12yz. ¿Cuáles deben ser sus dimen-

siones si se acomodan uno al lado del otro para formar un rectángulo más grande?

El área del nuevo rectángulo está dada por la expresión 9y2 + 12yz.

Como m.c.d. (9y2, 12yz) = 3y, entonces, 3y es la longitud del lado que comparten am-

bos rectángulos. Luego, podemos expresar el área de cada rectángulo así:

9y2 = (3y)(3y) 12yz = (3y)(4z)

Por tanto, el área del rectángulo más grande está dada por

9y2 + 12yz = (3y)(3y) + (3y)(4z)

Si aplicamos la propiedad distributiva en orden contrario, es decir, si consideramos

como primer factor el factor común y luego tomamos cada término del polinomio y lo

dividimos entre el factor común, para conocer el segundo factor, obtenemos:

(3y)(3y) + (3y)(4z) = 3y(3y + 4z)

Así, la longitud del otro lado se puede expresar como (3y + 4z) (ver figura 22.1).

El monomio 3y es el lado común y se denomina factor común monomio.

En algunos casos, el factor común no es un monomio, sino un polinomio; por ejemplo,

en la expresión 3x(a + 2b) + 4y(a + 2b) – 5z(a + 2b), el factor común en los tres términos

es (a + 2b). Por tanto, la expresión como el producto de factores se representa así:

3x(a + 2b) + 4y(a + 2b) – 5z(a + 2b) = (a + 2b)(3x + 4y – 5z)

En este caso, el polinomio (a + 2b) se denomina factor común polinomio.

Figura 22.1

Para hallar el factor común de un polinomio, calculamos el máximo común divisor de los términos y aplicamos la propiedad distributiva en orden contrario.

Ejemplo 1

Factoricemos el polinomio 8x2y2 + 12x3y3 + 20x4y5.

Solución

Hallamos el máximo común divisor de los diferentes factores de los términos que com-

ponen el polinomio.

m.c.d. (8, 12, 20) = 4 m.c.d. (x2, x3, x4) = x2 m.c.d. (y2, y3, y5) = y2

Así, el máximo común divisor de los términos del polinomio es 4x2y2.

Por tanto, el polinomio factorizado es el siguiente:

8x2y2 + 12x3y3 + 20x4y5 = 4x2y2(2 + 3xy + 5x2y3)

110

Ejemplo 2

Factoricemos el polinomio (5x + 7)(3x + 5y) – 11x(3x + 5y) + 9(3x + 5y).

Solución

(5x + 7)(3x + 5y) – 11x(3x + 5y) + 9(3x + 5y) Consideramos el polinomio.

= (3x + 5y)(5x + 7 – 11x + 9) Sacamos como factor común polinomio

a (3x + 5y).

= (3x + 5y)(–6x + 16) Reducimos términos semejantes.

Ejemplo 3

Factoricemos el polinomio (x + 1)3x2 + (x + y)(x + 1)2.

Solución

El término que se repite con su menor exponente es (x + 1)2. Por tanto, corresponde

al máximo común divisor de (x + 1)3 x2 y (x + y)(x + 1)2. Con este resultado, factorizamos

el polinomio así:

(x + 1)3x2 + (x + y)(x + 1)2 = (x + 1)2[(x + 1)x2 + (x + y)] Sacamos factor común polinomio.

= (x + 1)2(x3 + x2 + x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.

Una de las aplicaciones inmediatas de la factorización de polinomios es la solución de ecuaciones. Para esto, realizamos lo siguiente:

1. Igualamos a cero la ecuación.

2. Factorizamos el polinomio.

3. Aplicamos la propiedad del producto de factores igual a cero, y resolvemos las ecuaciones de los factores.

Factorizar es expresar

una adición o sustracción

de términos como un

producto.

Para recordar

Ejemplo 4

Resolvamos la ecuación 5x(x + 2) + (x + 2) = 0.

Solución

Como el polinomio ya está igual a cero, identificamos el factor común y lo factoriza-

mos. Por tanto, se tiene lo siguiente:

5x(x + 2) + (x + 2) = 0

(x + 2)(5x + 1) = 0

Recordemos que un producto de números reales es cero si por lo menos uno de ellos

es cero, es decir:

Si x + 2 = 0, tenemos que x = −2; y si 5x + 1 = 0, entonces, x = − 15

.

Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = −2 y = − 15

x .

111


1. Relaciona cada polinomio con el factor común de

sus términos.

a. 12xy – 8xz 4x

b. 12x2 – 18xy 3xy2

c. 9axy + 3bxy 5x2y2

d. 15xy – 10xy2 4x2y

e. 12x2y2 – 6xy3 + 3xy2z 3xy

f. 15x3y2 + 10x2y3 – 15x2y2z 5xy

g. 12x3y – 8x2y2 + 4x2yz 6x

2. Factoriza cada polinomio buscando como factor

común un monomio.

Polinomio Factorización

a. 10y2x3 – 25zx4

b. 12ay2 + 18my3

c. 24mx – 36nx

d. 72b2x3 – 60cx

e. 100my + 10ny

f. 49x2n4 – 42b2n5

g. 35ab + 21ac

h. 44axy – 55bxy

i. 12ax2y – 12bx2y

j. 42axy2 – 54bxy2

Tabla 22.1

3. Factoriza cada polinomio buscando como factor

común un polinomio.

a. 15m(x – y) + 21n(x – y)

b. 8x2(a + b) – 8x(a + b)

c. 22abc(y + 4) + 6pqr(y + 4)

d. 6ab(12 – 3y) + 5pq(12 – 3y)

e. 3ab(cd – e) + 4df(cd – e)

f. 2pm(5an – 3) + 4bn(5an – 3)

g. 4am(3ph – 8z) – 3bn(3ph – 8z)

h. 7x(8abc – 9de) + 5y(8abc – 9de)

i. 9a(m + n) – 15ay(m + n) – 5y(m + n)

j. 12x(a + b) – 15y(a + b) + 2xy(a + b)

4. Factoriza los polinomios cuyos términos tengan

factor común.

a. 15x3y2 + 10x2y3 – 15x2y2z

b. 7a2bc – 14ab2 + 21abc

c. 14abc – 12a2b2c2 + 8a3b3c3

d. 51ab – 34bc + 68ac

e. 13pq + 26qr – 39pqr

f. 21abc + 28a2bc – 35bc

g. 7x2yz + 9xy2z – 11xyz2

h. 405pq – 45 pq3r + 27qr3

i. 125x + 625xy – 3125xyz

j. 729x2y2 – 243x2y + 81x2yz2

5. Escribe un polinomio que tenga como factor co-

mún de sus términos el monomio o polinomio

dado.

a. –2y2

b. 4x2y3

c. 10x2y5

d. –7x2yz

e. 10xy10z10

f. (m + n)2

g. xy3

h. (2x – y)

i. –5xy

j. (2x2 + 2y2)

k. (3x + 4y – 5z)

l. (x2 – 2y4)

m. (m + 2b + c)

n. 2a + 3b

o. a2b3

p. a2 + b3

6. Escribe polinomios con los monomios 12x3y2,

−3x4y3, 6x3y3, −4x2y4, 8x5y y 9x2y2 según las condi-

ciones.

a. Binomio cuyo factor común sea 3x2y2

b. Trinomio cuyo factor común sea 4x2y

c. Cuatro términos cuyo factor común sea 2x2y

d. Cinco términos cuyo factor común sea 4xy

e. Trinomio cuyo factor común sea 1

f. Binomio cuyo factor común sea −x2y3

112

Resumen

r R

A

C

B

Propiedad distributiva

Propiedad distributiva

a(b + c) = ab + ac

(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d

Factor común monomio

Factor común polinomio

7. Responde verdadero o falso. Justifica tu respuesta.

a. Un polinomio que tenga un factor común mo-nomio o polinomio es un polinomio primo.

b. Un binomio con factor común 5x2 puede te-ner por términos 10x3 y 5x2.

c. El binomio x2 + y2 es factor común del polino-mio x2(x2 + y2) − y(x2 + y2).

d. El polinomio cuya factorización es 3ab(a + b)2 es 3a3b + 3ab3.

e. Un polinomio no primo siempre tendrá un factor común polinomio.

f. Un polinomio cuyo factor común es 1 es un polinomio primo.

g. La propiedad distributiva aplicada en sentido contrario permite extraer un factor común de un polinomio no primo.

8. Resuelve las ecuaciones para la variable x.

a. x2 + 2x = 0

b. 7x2 + 14x = 0

c. −2x2 = 6x

d. x(x + 3) − 2(x + 3) = 0

e. −x(x + 5) = 7(x + 5)

f. (−x − 3)(x + 4) − 5(x + 4) = 0

g. (x + 1)2 − 3x(x + 1)2 = 0

h. (2x + 1)3x + 6x(2x + 1) = −9x(1 + 2x)


9. Halla la expresión factorizada para el área colorea-

da de cada una de las siguientes figuras.

a. b.

Figura 22.2

Entretenimiento

10. Si se cubre toda la plantilla con 4 piezas como la A y 4

piezas como la C, ¿cuántas piezas de B se necesitan?

Figura 22.3

11. ¿Cuáles son las soluciones enteras positivas de la

ecuación 2 ⋅ 22x = 4x + 64?


Tema


113

Ideas previas

2r

3r

Factorización

Escribe una expresión factorizada para el área no coloreada de la figura 23.1.

23 Factor común por agrupación de términos

Otro método de factorización es el factor común por agrupación de términos. En este

método, el polinomio no tiene un factor común monomio ni un factor común polino-

mio a primera vista. Sin embargo, estos van apareciendo después de agrupar e identifi-

car similitudes en los términos del polinomio.

Por ejemplo, consideremos el polinomio 6x3 + 2x − 3x2 − 1.

Los dos primeros términos tienen en común 2x y los dos últimos tienen en común –1.

Agrupando los términos del polinomio, tenemos lo siguiente:

6x3 + 2x − 3x2 − 1 = (6x3 + 2x) + (−3x2 − 1) = 2x(3x2 + 1) − (3x2 + 1)

Ahora, como los dos términos tienen en común (3x2 + 1), podemos factorizar la expresión.

6x3 + 2x − 3x2 − 1 = 2x(3x2 + 1) − (3x2 + 1) Sacamos factor común 2x y −1.

= (3x2 + 1)(2x − 1) Sacamos factor común (3x2 + 1).

Para factorizar polinomios por agrupación de términos, realizamos lo siguiente:1. Asociamos los términos que tengan un monomio común.2. Factorizamos estos términos buscando obtener polinomios comunes.3. Factorizamos el polinomio común.

Ejemplo 1

Factoricemos los siguientes polinomios.

a. 7ax + ay – 7bx – by b. a2 – b2 – 5a + 5b

Solución

a. 7ax + ay – 7bx – by = (7ax + ay) + (–7bx – by) Asociamos términos.

= a(7x + y) – b(7x + y) Sacamos factor común monomio.

= (7x + y)(a – b) Sacamos factor común polinomio.

b. a2 – b2 – 5a + 5b = (a2 – b2) + (–5a + 5b) Asociamos términos.

= (a – b)(a + b) – 5(a – b) Usamos productos notables.

= (a – b)(a + b – 5) Sacamos factor común polinomio.

Figura 23.1

Ejemplo 2

Factoricemos la expresión 8a2m – 4ab2m + 4ab2n + 2abm – 8a2n – 2abn.

Solución

8a2m – 4ab2m + 4ab2n + 2abm – 8a2n – 2abn Consideramos la expresión.

= (8a2m – 8a2n) + (–4ab2m + 4ab2n) + (2abm – 2abn) Asociamos términos.

= 8a2(m – n) – 4ab2(m – n) + 2ab(m – n) Sacamos factor común monomio.

= (m – n)(8a2 – 4ab2 + 2ab) Sacamos factor común polinomio.

= (m – n) 2a(4a – 2b2 + b) Sacamos factor común monomio.

114


Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación x3 − 9x − x2 + 9 = 0.

Solución

Como 9 es factor común de −9x + 9 y x2 es factor común de x3 − x2, entonces...

(x3 − x2) + (9 − 9x) = 0 Asociamos términos.

x2(x − 1) + 9(1 − x) = 0 Sacamos factor común en cada grupo.

x2(x − 1) − 9(x − 1) = 0 Factorizamos 1 – x = –(x – 1).

(x − 1)(x2 − 9) = 0 Sacamos factor común (x – 1). Obtenemos la factorización.

Como un producto de números reales es cero, si y solamente si por lo menos uno de

ellos es cero, tenemos lo que sigue:

Si (x − 1) = 0, entonces, x = 1.

Si (x2 − 9) = 0, entonces, x = ± 3.

Las soluciones de la ecuación son x = 3, x = −3, x = 1.

Ejemplo 4

Hallemos las dimensiones de un triángulo cuya área está dada por el polinomio

x4 + 3x3 + x + 3.

Solución

Sean b, la base del triángulo y h su altura, el área del triángulo está dado por Abh=2

:

A = x4 + 3x3 + x + 3 Igualamos expresiones.

= (x4 + 3x3) + (x + 3) Agrupamos términos.

= x3(x + 3) + (x + 3) Sacamos el factor común x3.

= (x + 3)(x3 + 1) Sacamos el factor común (x + 3).

Por tanto, bh = 2(x3 + 1)(x + 3) y, en ese caso, existen varias posibilidades para seleccio-

nar un triángulo que cumpla la condición. Por ejemplo, la base puede ser 2(x3 + 1) y la

altura (x + 3) o la base puede ser 4(x3 + 1) y altura x +12

( 3) , entre otras.

1. Relaciona cada polinomio con su factorización.

a. ax + 2bx + 4by + 2ay (2a − 3n)(x + 2y)

b. 3ax + 6bx – 2ay – 4by (a + 2b)(x + 2y)

c. 12ax – 6nx – 8ay + 4ny (a + 2b)(3x − 2y)

d. 2ax – 3nx + 4ay – 6ny (2b − 5m)(3n − 2a)

e. –4ab + 10am + 6bn 2(2a − n)(3x − 2y) – 15mn

2. Factoriza haciendo cambio de signos. Sugeren-

cia: −x − 1 = − (x + 1).a. −3x − 1 + 6x2 + 18x3

b. −5m + 10n + 4m2 − 8mn

c. 3xy − 7x2 + 7x2y − 3xy2

d. −x − 1 − 3x3 − 3x2

e. 2m − 3n − 2m2 + 3mn

f. −3m2n − 3m3 − n − m

3. Escoge dos de los tres términos de la izquierda, de

manera que al extraer el monomio común obten-

gas como otro factor el polinomio de la derecha.

a. 3x, 6x2, 4x 1 + 2x

b. −5x2, −x, x3 5x + 1

c. −5x2, x, x3 x – 5

d. a2b, a3b2, −ab a – 1

e. −m2n, −n2m, −m2n2 1 + n

115

Resumen

8

4x + 2

x

5x +1

Para factorizar un polinomio agrupando términos, asociamos los términos, de tal manera

que cada grupo tenga un monomio como factor común. Luego, factorizamos nuevamente

teniendo en cuenta que el factor común ahora es un polinomio.

4. Factoriza cada polinomio.

a. x + y + xz + yz + xz2 + yz2

b. –am + 4an – bm + 4bn

c. 12ax – 15bx + 8ay – 10by

d. 16am – 12an – 12bm + 9bn

e. 2ab + 5c + 5a + 2cb

f. 4ax2 + 4bx2 – 2ay2 – 2by2

g. 30mn – yx + 6mx – 5ny


5. Describe cada uno de los pasos del procedimien-

to realizado en la siguiente factorización por agru-

pación de términos y propón un procedimiento

agrupando otros términos.

20abx2 – 8a2xy –10b2xy + 4aby2

= (20abx2 – 8a2xy) + (–10b2xy + 4aby2)

= (4ax)(5bx – 2ay) + (2by)(–5bx + 2ay)

= (4ax)(5bx – 2ay) + (2by)(–1)(5bx – 2ay)

= (4ax)(5bx – 2ay) – (2by)(5bx – 2ay)

= (5bx – 2ay)(4ax – 2by)

6. Completa los pasos que faltan en los procedi-

mientos al factorizar por agrupación de términos.

a. mx + my – nx – ny

= m(x + y) – n( ___________ )

= (m – n)( ___________ )

b. 12ac – 15ad + 8bc – 10bd

= _____ (4c – 5d) +_____(4c – 5d)

= ( ___________ ) ( ___________ )

c. 36a2 – 96a2c – 21b2 + 56b2c

= 12a2 ( _____ – 8c) – 7b2 ( ____________ )

= ( ___________ )( ____________ )

7. Resuelve las siguientes ecuaciones para la variable x.

a. 10 + 10x − 2x2 − 2x3 = 0

b. 2x3 − 6x + x2 − 3 = 0

c. x2 − ax = a − x

d. xy − 6 = 2x − 3y

e. xy − 6 = 2x − 3y

f. x3 − 2x + 4x2 − 8 = 0


8. Halla las dimensiones de la figura cuya área es el

polinomio dado.

a. Triángulo: x3 + 2x2 + x + 2

b. Rectángulo: 3x2 − 2 + 2x − 3x

c. Triángulo: xy + 3x + 4y + 12

9. Determina una expresión factorizada para el área

coloreada de las siguientes figuras.

a.

b.

Figura 23.2

10. El área de la cuarta parte de un rectángulo está

dada por el polígono 9x2y − 12xy2 − 21x3y + 28x2y2.

Encuentra posibles dimensiones para la base y la

altura del rectángulo.

Tema


116

Tema

Ideas previas

a + b

a + b

Factorización

¿Cuál es la expresión para el área de un jardín cuadrado de lado (2z – 7)?

24 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

El área de una ventana rectangular está dada por la expresión a2 + 2ab + b2. ¿Cómo

podríamos determinar las expresiones para sus dimensiones?

Factoricemos el polinomio.

a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 Reescribimos el polinomio considerando 2ab = ab + ab.

= (a2 + ab) + (ab + b2) Agrupamos términos.

= a(a + b) + b(a + b) Sacamos factor común monomio.

= (a + b)(a + b) Sacamos factor común polinomio.

= (a + b)2 Simplificamos.

Por tanto, la longitud de los lados de la ventana está representada por el binomio (a + b)

y la ventana tiene forma cuadrada (ver figura 24.1).

Recordemos que el cuadrado de un binomio se denomina trinomio cuadrado perfec-

to, así que basta demostrar que el término medio es el doble del producto de las raíces

del primer y tercer término para realizar esta factorización.

Para factorizar trinomios cuadrados perfectos, realizamos lo siguiente:

1. Verificamos que el trinomio sea cuadrado perfecto.

2. Hallamos las raíces cuadradas positivas de los dos cuadrados perfectos positivos y formamos el binomio de grado dos que puede ser de la forma (x – a)2 o de la forma (x + a)2 según el orden de los signos.

Ejemplo 1

Determinemos si cada trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto y, de ser así,

lo factorizamos.

a. 9p2 + 24pm + 16m2 b. 16x2 – 60xy + 64y2

c. 16x2 – 64xy – 64y2 d. 16x2 – 64xy + 34y2

Solución

a. Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 9p2 es 3p. Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 16m2 es 4m.

El término del medio es 2(3p)(4m) = 24pm.

Por tanto, sí es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza así:

9p2 + 24pm + 16m2 = (3p + 4m)2

b. Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 16x2 es 4x.

Una expresión que elevada al cuadrado dé como resultado 64y2 es 8y.

El término medio sería 2(4x)(8y) = 64xy y el que aparece en el polinomio es

60xy. Por tanto, no es trinomio cuadrado perfecto y no se factoriza por medio

de este procedimiento.

Figura 24.1

Para profundizar en el

tema ingresa a la página

http://portalacademico.

cch.unam.mx/alumno/

aprende/matematicas3/

trinomiocuadrado

Vínculo web

117


Ejemplo 2

Factoricemos los siguientes trinomios.

a. 49x2 – 70xy + 25y2 b. 0,01x2 + 0,6xy + 9y2

Solución

a. 49x2 – 70xy + 25y2

7x 5y

El término del medio es

2(7x)(5y) = 70xy.

Por tanto,

49x2 – 70xy + 25y2= (7x – 5y)2.

b. 0,01x2 + 0,6xy + 9y2

0,1x 3y

El término del medio es

2(0,1x)(3y) = 0,6xy.

Por tanto,

0,01x2 + 0,6xy + 9y2 = (0,1x + 3y)2.

Ejemplo 3

Hallemos la solución de la ecuación x2 − 16x + 64 = 0.

Solución

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo.

x2 − 16x + 64 = 0 Consideramos la ecuación.

(x − 8)2 = 0 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

Como (x − 8)2 = (x − 8)(x − 8), entonces, la expresión es igual a 0 cuando x = 8. Por tanto,

la solución de la ecuación es x = 8.

c. El signo del tercer término debería ser positivo. Por tanto, no es un trinomio

cuadrado perfecto y no se puede factorizar por este método.

d. El término del centro no corresponde al doble producto de la raíz cuadrada

de los otros dos términos, por tanto, no es un trinomio cuadrado perfecto y

no se factoriza por este procedimiento.

1. Determina si el polinomio es trinomio cuadrado

perfecto.

a. 9x2 – 42xy + 49y2 b. 27x2 + 18x + 1

c. 4x2 + 12xy + 9y2 d. 16x2 – 24xy + 9y2

e. 16x2 + 36xy + 81y2 f. x4 – 2x3 + 1


2. Halla el término que falta para que el polinomio

sea un trinomio cuadrado perfecto.

a. 36x4 + _______ + 4y4

b. 144x8 – _______ + 64y2

c. 9x4 + _______ + 25y6

d. 81x4 + _______ + 121y2

e. 169x2 – 52xy2 + _______

3. Factoriza cada uno de los trinomios cuadrados

perfectos.

a. x2 + 10xy + 25y2

b. 16a2 + 16ab + 4b2

c. x6 – 12x3y2 + 36y4

d. 4x2 – 12xy + 9y2

e. 100x2 + 40xy + 4y2

f. 16m2 + 40mn + 25n2

g. 49m2 + 84mn + 36n2

h. 121m6 – 44m3n3 + 4n6

i. 81x2 – 54xy + 9y2

j. 25m2 + 70mn + 49n2

k. 144z8 + 72z4y + 9y2

118

Resumen

25x² – 35xy + 49y²

25x² – 60xy + 36y² 9x² – 12ax + 4a²

9a² + 6ab + b²

2a + 3b

2a + 3b

ab ab ab

ab

ab ab

ab ab

ab ab

ab ab

b²

a² a²

a² a²

b² b²

b² b² b²

b² b² b²

4. Relaciona cada expresión con el término que lo

hace trinomio cuadrado perfecto.

a. x2 + 26x + ■2 –1

b. y2 + ■y + 169 15

c. x2 + 2■x + 121 26

d. ■2x2 + 30x + 1 13

e. 4x2 + 4xy – ■y2 –11

f. 9x2 + 6xm + ■2m2 1

5. Resuelve cada ecuación.

a. x2 + 2x + 1 = 0

b. 20x3 = 20x2 − 5x

c. x2 + 2x + 1 − (3x − 2)2 = 0

d. x2(x2 − 4x + 4) = 4(x2 − 4x + 4)

6. Determina cuáles de los siguientes rectángulos

son también cuadrados. Ten en cuenta que la ex-

presión dada corresponde a su área.

Figura 24.2

Para factorizar el trinomio 4x2 + 92x + 529, realizamos lo siguiente:

1. Verificar si es un trinomio cuadrado perfecto.

4x2 = (2x)2

529 = 232

Como el término de la mitad es 2(2x)(23), es decir, 92x, podemos decir que el polinomio

sí es un trinomio cuadrado perfecto.

2. Como la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto, la factorizamos así:

4x2 + 92x + 529 = (2x)2 + 2(2x)(23) + 232

= (2x + 23)2

Así, 4x2 + 92x + 529 = (2x + 23)2.


7. A partir de la figura 24.3, puedes obtener diferen-

tes factorizaciones. Por ejemplo,

4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2 .

Figura 24.3

Realiza los gráficos que representen la factoriza-

ción de

a. 9a2 + 12ab + 4b2

b. 16a2 + 24ab + 9b2


8. El área de un cuadrado está dada por el polinomio

4x2 − 24xy + 36y2.

a. ¿Cuál es la longitud del lado?

b. Si el lado se reduce a la mitad, ¿cuál es la ex-presión para el área del nuevo cuadrado?

Tema


119

Ideas previas

Factorización

Halla la descomposición en factores primos de 24. ¿Qué par de números naturales al

multiplicarse da como producto 24 y como suma, 10?

25 Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c

Si analizamos el polinomio x2 + 19x + 84, vemos que no es un trinomio cuadrado per-

fecto. ¿Cómo lo podemos factorizar?

Recordemos que al multiplicar (x + p)(x + q) podemos aplicar la propiedad distributiva

de la siguiente manera:

(x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + (p × q)

= x2 + bx + c

Por tanto, basta hallar dos números p y q, tales que b = p + q y c = p × q.

Para factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, realizamos lo siguiente:1. Verificamos que el trinomio sea de la forma x2 + bx + c.2. Buscamos números p y q, tales que p + q = b y pq = c de acuerdo con la descom-

posición en factores primos de c.3. Escribimos la factorización con los factores (x + p)(x + q).

Ejemplo 1

Factoricemos el trinomio x2 + 19x + 84.

Solución

Debemos encontrar dos números p y q, tales que su producto sea 84.

Descomponemos 84 en sus factores primos y tenemos que las posibilidades son 1 y

84, 2 y 42, 3 y 28, 4 y 21, 6 y 14, 7 y 12. De estas parejas, los que suman 19 son 12 y 7.

Por tanto, x2 + 19x + 84 = (x + 7)(x + 12).

En arquitectura, la propor-

ción áurea, =+a

b

1 5

2,

se ha usado para enmarcar

algunos edificios, pórticos

e incluso obras de arte.

Este número aparece en la

factorización del polinomio

x2 − x − 1.

Para recordar

Si la descomposición en

factores primos de un

número n es ax ⋅ by ⋅ cz, para

a, b y c números primos,

entonces, la cantidad de

divisores enteros positivos

de n es (x + 1)(y + 1)

(z + 1). Por ejemplo,

18 = 2 ⋅ 32, entonces, la

cantidad de divisores de 18

es (1 + 1)(2 + 1) = 6.

Los divisores son: 1, 2, 3, 6,

9 y 18.

Para recordar

Ejemplo 2

Factoricemos el trinomio x2 – 55x + 294.

Solución

Descomponemos 294 en sus factores primos y obtenemos que 294 = 2 ⋅ 3 ⋅ 72.

Así, 294 tiene (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 12 divisores enteros positivos.

Elaboramos la lista de los 12 divisores de 294.

1 × 294 2 × 147 3 × 98

6 × 49 7 × 42 14 × 21

Como el producto es positivo (294), los números deben tener el mismo signo.

Como la suma es negativa (–55), los números deben ser negativos.

La pareja de números cuyo producto es 294 y la suma –55 es –49 y –6.

Por tanto, x2 – 55x + 294 = (x – 6)(x – 49).

120


El hecho de que no poda-

mos hallar enteros m y n,

tales que

x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

no significa que no se pue-

da factorizar. Esto significa

que no se puede factorizar

haciendo uso de números

enteros.


Hallemos la solución de la ecuación x2 − 4x − 58 = 2.

Solución

Debemos dejar 0 a un lado de la ecuación, por tanto, adicionamos a ambos lados de

la ecuación el opuesto de 2 y obtenemos x2 − 4x − 60 = 0.

Factorizamos la expresión del lado izquierdo de la ecuación.

x2 − 4x − 60 = 0 Tomamos el trinomio del lado izquierdo.

(x + 6)(x − 10) = 0 Consideramos que 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5. Buscamos dos números cuyo producto sea –60 y suma –4.

x = −6 o x = 10 Igualamos a 0 cada factor.

Por tanto, las soluciones de la ecuación son –6 y 10. Verifiquémoslo.

1. Relaciona cada trinomio con su factorización.

a. x2 + x – 6 (x – 2)(x + 3)

b. x2 + 7x + 12 (x – 5)(x + 3)

c. x2 – x – 20 (x – 1)(x + 2)

d. x2 – 2x – 15 (x + 2)(x – 7)

e. x2 + 2x – 3 (x + 4)(x – 5)

f. x2 + x – 2 (x + 3)(x – 1)

g. x2 – 5x – 14 (x + 3)(x + 4)


2. Factoriza los siguientes trinomios.

a. x2 + 6x + 9

b. x2 + 10x + 24

c. x2 – 2x – 15

d. x2 + 11x + 30

e. x2 + 4x – 45

f. x2 + 9x + 20

g. x2 + 91x + 90

h. x2 – 17x + 72

i. x2 + 12x – 85

j. x2 + 16x – 80

3. Escribe el número que completa la expresión para

que sea un trinomio de la forma x2 + bx + c.

a. x2 + ■x + 2

b. x2 + ■x − 6

c. x2 + ■x + 2

d. x2 − ■x − 24

e. x2 + 2x − ■f. x2 + x − ■g. x2 + 23x + ■h. x2 + 7x − ■


4. Observa y describe los pasos comunes aplicados

en los siguientes procedimientos.

Procedimiento 1

x2 + 5x + 6 = ¿?

6 = 2 × 3 y 2 + 3 = 5

x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6

= (x2 + 2x) + (3x + 6)

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

Procedimiento 2

x2 – 17x + 72 = ¿?

72 = (–8) × (–9 ) y (–8) + (–9) = –17

x2 – 17x + 72 = x2 – 8x – 9x + 72

= (x2 – 8x) + (–9x + 72)

= x(x – 8) – 9(x – 8)

= (x – 8)(x – 9)

121

Resumen

Patio

x2 + x –12

Sala

x2 – 2x – 3

Cocina

x2 + 6x + 8Comedor

x2 + 7x + 12

Baño

x2 + 4x – 5

Alcoba

x2 + 11x + 30

11

10 8 9

8

8

Para factorizar el trinomio x2 − 3x − 180, procedemos de la siguiente manera.

1. 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 2. p ⋅ q = −180

p + q = −3

Entonces

p = 12

q = −15

3. x2 − 3x − 180

= (x + 12)(x − 15)

5. Aplica el procedimiento anterior para factorizar

los polinomios.

a. x2 + 6x + 8

b. p2 – 17p + 72

¿Qué relación encuentras entre este método y el

explicado en el tema? ¿Hay alguna diferencia en

el resultado?


a. m2 − 19m − 150 = 0

b. −12x − x2 + x3 = 0

c. y2 + y = 110

d. x3 − 2x2 − 24x = x2 − 2x − 24

e. m4 − 25m2 + 144 = 0

f. x2(1 − x) − 3x(1 − x) + 18(x − 1) = 0


7. El siguiente plano de un apartamento presenta las

expresiones para las áreas de cada zona. Determi-

na las dimensiones de cada espacio.

Figura 25.1

a. ¿Cuál es el polinomio que representa el perí-metro del apartamento?

b. ¿Cuál es el polinomio que representa el área del apartamento?

c. ¿Cuál es la dimensión de cada espacio si x es 11 metros?

8. Selecciona la respuesta correcta teniendo en

cuenta que los valores dados corresponden a los

totales de cada fila y columna, ¿cuál es el valor de

+ – ?

Figura 25.2

a. 5 b. 6

c. 7 d. 8

9. Halla el conjunto de los valores que puede tomar

b en el polinomio x2 + bx + 10 para que se pueda

factorizar.


Tema


122

Tema

Ideas previas

Factorización

Halla el conjunto de los valores que puede tomar b, para que x2 + bx + 36 se pueda

factorizar.

26 Factorización de trinomios de la forma ax2+ bx + c

Para multiplicar (3x + 2)(2x – 1) aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos un

trinomio de la forma ax2 + bx + c.

(3x + 2)(2x – 1) = 6x2 – 3x + 4x – 2 = 6x2 + x – 2

Notemos que el producto entre 6 y –2 (coeficiente de x2 y término independiente) es

igual al producto de los coeficientes de cada uno de los términos de los dos binomios

que multiplicamos: ac = (3 ⋅ 2) [2 ⋅ (–1)]. Además, 1 (el coeficiente de x), lo obtene-

mos adicionando dos números que salen de la reorganización de los factores de ac:

b = [3 ⋅ (–1)] + (2 ⋅ 2).

Con esta idea en mente factorizaremos trinomios de la forma ax2 + bx + c.

Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, realizamos lo siguiente:

1. Hallamos p y q números enteros, tales que p ⋅ q = a ⋅ c y p + q = b.

2. Reemplazamos b por p + q.

3. Agrupamos términos y hallamos el factor común de cada agrupación.

4. Factorizamos utilizando factor común.

Ejemplo 1

Factoricemos el trinomio 12x2 – 14x – 10.

Solución

1. Buscamos dos números p y q, tales que p ⋅ q = a ⋅ c, es decir,

p ⋅ q = 12 ⋅ (–10) = –120 y cuya suma sea b = –14.

Como 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 y p ⋅ q es negativo, los números p y q deben tener signos

diferentes. Al hacer las posibles combinaciones entre los factores de la descom-

posición prima de 120, obtenemos que los números buscados son 6 y –20.

2. Reescribimos el polinomio expresando –14 como la suma de 6 y –20, así:

12x2 – 14x – 10 = 12x2 + 6x – 20x – 10.

3. Agrupamos los términos por parejas: 12x2 – 14x – 10 = (12x2 + 6x) + (–20x – 10).

Factorizamos utilizando factor común: 12x2 – 14x – 10 = 6x(2x + 1) – 10(2x + 1).

4. Factorizamos por factor común polinomio: 12x2 – 14x – 10 = (2x + 1)(6x – 10).

Revisamos cada término para saber si hay algún factor común.

12x2 – 14x – 10 = (2x + 1)2(3x – 5).

Así, el trinomio queda totalmente factorizado como 2(2x + 1)(3x – 5).

123


Ejemplo 2

El polinomio P(x) = 2x2 + 7x + 3 representa el área de un rectángulo, donde sus dimen-

siones dependen de la variable x. ¿Cuáles son los polinomios que representan su largo

y su ancho? Si x = 4, ¿cuáles son el largo y el ancho del rectángulo?

Solución

La factorización del polinomio P(x) nos permite dar respuesta a las dos preguntas.

Entonces...

2x2 + 7x + 3 = 2x2 + 6x + x + 3 Buscamos los valores p y q. En este caso, son 6 y 1.

= (2x2 + 6x) + (x + 3) Agrupamos términos.

= 2x(x + 3) + (x + 3) Sacamos factor común monomio.

= (2x + 1)(x + 3) Sacamos factor común polinomio.

Así, el largo y el ancho del rectángulo lo representan los polinomios (2x + 1) y (x + 3),

respectivamente. Por tanto, para x = 4, el largo es 9 y el ancho es 7.

Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación 6x2 + 4x + 8 = 3x + 10.

Solución

Debemos dejar 0 a un lado de la ecuación. Para esto, adicionamos el opuesto de 3x y

de 10 a ambos lados de la ecuación. Por tanto, tenemos lo siguiente:

6x2 + 4x + 8 = 3x + 10

6x2 + x – 2 = 0

Luego, factorizamos el trinomio del lado izquierdo y obtenemos lo siguiente:

6x2 + x – 2 = 0 Consideramos el trinomio para factorizar.

6x2 + 4x – 3x – 2 = 0 Buscamos los valores p y q. En este caso, son 4 y –3.

(6x2 + 4x) + (–3x – 2) = 0 Agrupamos términos.

2x(3x + 2) – (3x + 2) = 0 Sacamos factor común monomio.

(2x – 1)(3x + 2) = 0 Sacamos factor común polinomio.

Igualamos a 0 cada factor y obtenemos = 12

x o = –23

x .


1. Completa el procedimiento.

8x2 – 2x – 3 = 8x2 – 6x + 4x – 3

= (8x2 – 6x) + (4x – 3)

= 2x( _______ ) + (4x – 3)

= (4x – 3) ( _______ )

2. Factoriza el trinomio 3x2 – 26x + 16. Explica cada

uno de los pasos.

3. ¿Qué diferencia hay entre el caso de factorización

de ax2 + bx + c y el de x2 + bx + c? ¿Se puede apli-

car el mismo método?

4. Factoriza los siguientes trinomios.

a. 2x2 – 5x – 7 b. 6x2 + 7x – 10

c. 4x2 + 13x – 35 d. 5x2 – 29x + 36

e. 18x2 + 18x – 80 f. 3x2 – 7x + 4

g. 2x2 + x – 6 h. 10x2 + 21x – 10

i. 40x2 – 22x + 3 j. 14x2 + 3x – 2

124

Resumen

2a + 3

a2a

2 + a

12 12 12

1

1

a a

a a

aa2

12 12 12a

a

a

3 +

4x

x2 x2 x2 x2 x2 x

x

x

x

x

x

x

x

x2 x2 x2 x2 x2

x2 x2 x2 x2 x2

x2 x2 x2 x2 x2

1 11 11 1

x x x x xx x x x xx x x x x

5x + 2

Para factorizar el trinomio 56x2 + 9x – 2, procedemos de la siguiente manera.

1. Hallamos p y q, tales que p ⋅ q = –112

y p + q = 9.

Como 112 = 24 ⋅ 7, entonces, p = 16

q = –7.

2. Reemplazamos 9 por 16 – 7 y obte-

nemos lo siguiente:

56x2 + 9x – 2 = 56x2 + 16x – 7x – 2

3. Agrupamos términos y factorizamos.

56x2 + 9x – 2 = 56x2 + 16x – 7x – 2

= (56x2 + 16x) + (–7x – 2)

= 8x(7x + 2) – (7x + 2)

= (7x + 2)(8x – 1)

Entonces...

56x2 + 9x – 2 = (7x + 2)(8x – 1)

k. 25x2 + 25x + 6 l. 12x2 – 4x – 5

m. 35x2 + 24x – 35 n. 3x2 + 5x – 2

ñ. 12x2 – 43x + 35 o. 110x2 – 17x – 15

p. 15x2 – 13x + 2 q. 30x2 – 11x – 30

r. 40x2 + 6x – 1 s. 12x2 – 14x – 10

t. 8x2 – 34x + 35 u. 35x2 + 9x – 2

v. 50x2 + 25x + 3 w. 56x2 – 5x – 6

x. 77x2 – 5x – 12 y. 30x2 + 61x + 30

5. Resuelve cada ecuación.

a. 12y2 + 19y = 10

b. 12k2 = 2 – 5k

c. 14p3 – 17p2 + 5p = 0

d. 4x3 – 12x2 – 16x = 0

e. 15x4 – 2x3 – x2 = 0

f. (x2 – 3x)(2x + 3) = –2(2x + 3)


6. Halla las dimensiones de los lados de los rectán-

gulos cuyas áreas están representadas por los si-

guientes trinomios.

a. 20x2 – 7x – 6

b. 12y2 + 7y – 10

c. 5m2 + 21m + 18

d. 28n2 + 31n – 5

e. 32m2 – 12m – 9

f. 10n2 + 23n + 6

g. 56r2 + 25r – 4

h. 2g2 + 5g – 12

7. Observa el método gráfico para factorizar los tri-

nomios 2a2 + 7a + 6 y 20x2 + 23x + 6.

Figura 26.1

Aplica el método anterior para factorizar los

siguientes trinomios.

a. 12x2 + 23x + 10

b. 28x2 + 39x + 5

c. 8x2 + 18x + 9

d. 10x2 + 23x + 6

e. 7x2 + 25x + 12

Tema


125

Ideas previas

a

b b 2

a

b

a – b

a – b

a b

a – b

a + b

Factorización

Si el área de un cuadrado está dada por la expresión 625a8, ¿cuál expresión representa

la longitud de su lado?

27 Factorización de diferencia de cuadrados perfectos

Se tiene un cuadrado de lado a del cual se saca un cuadrado de lado b,

como se indica en la figura 27.1.

Con la superficie que queda, se forma un nuevo rectángulo. ¿Cuáles pue-

den ser sus dimensiones?

Geométricamente, podemos representar la situación como se indica en

la figura 27.2.

El área de este rectángulo está dada por la expresión (a + b)(a – b), que

corresponde al producto notable producto de la suma por la diferencia,

es decir, (a + b)(a – b) = a2 – b2.

Por tanto, solo debemos aplicar esta igualdad en sentido contrario al inicial.

Figura 27.1

Figura 27.2

Para factorizar la diferencia de cuadrados, debemos extraer la raíz cua-drada positiva de cada cuadrado perfecto y formar los factores: uno con la suma de las raíces y el otro con su diferencia, así:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Ejemplo 1

Factoricemos los siguientes binomios.

a. x2 – 4 b. 16y2 – 36x2z6

Solución

a. Para factorizar x2 – 4, debemos calcular las raíces cuadradas de cada uno de los términos.

x2 – 4

x 2

Por tanto, x2 – 4 = (x – 2)(x + 2).

b. De manera similar,

16y2 – 36x2z6

4y 6xz3

Por tanto,

16y2 – 36x2z6 = (4y – 6xz3)(4y + 6xz3).

Ejemplo 2

Factoricemos el siguiente binomio.

x3y – xy3

Solución

x3y – xy3 = xy(x2 – y2) Sacamos factor común.

= xy(x – y)(x + y) Aplicamos diferencia de cuadrados.

Por tanto, x3y – xy3 = xy(x – y)(x + y).

126


Diferencia de cuadrados

≠ Diferencia al cuadrado

a2 – b2 ≠ (a – b)2

Para recordar

Ejemplo 4

Resolvamos la ecuación 25x2 + 9 = 18.

Solución

Debemos dejar 0 a un lado de la ecuación. Entonces, adicionamos a ambos lados de la

igualdad el opuesto de 18 y obtenemos lo siguiente:

25x2 + 9 = 18 Consideramos la ecuación.

25x2 + 9 – 18 = 18 – 18 Adicionamos a ambos lados −18.

25x2 – 9 = 0 Simplificamos.

Factorizamos la diferencia de cuadrados, así:

25x2 – 9 = 0

(5x – 3)(5x + 3) = 0

Por tanto, las soluciones de la ecuación son = 35

x o = –35

x .


Término Raíz cuadrada

x12

64a6

100x6

144y12x4

169x8y10

625x4y8z12

Tabla 27.1


2. Halla y corrige el error cometido al factorizar los

polinomios.

a. 25x16y64 – 16a36n4 = (5x4y8 – 4a6n2)

(5x4y8 + 4a6n2)

b. 36m12n14 – 64x4y2 = (18m6y7 – 32x2y)

(18m6y7 + 32x2y)

3. Factoriza los siguientes binomios.

a. 4x2 – 1

b. 36a2b4 – 144d8e10

c. 121x6y14 – 49x4y12

d. 225x14y16 – 144x8y80

e. 16x10y20z30 – 25a16n32

f. 36x400 – 64y200

4. Describe los pasos desarrollados en la siguiente

factorización.

121x2 – 154x + 49 – 81y4 + 90y2 – 25

= (121x2 – 154x + 49) – (81y4 – 90y2 + 25)

= (11x – 7)2 – (9y2 – 5)2

= (11x – 7 + 9y2 – 5)[11x – 7 – (9y2 – 5)]

= (11x + 9y2 – 12)(11x – 9y2 – 2)

5. Factoriza las siguientes expresiones.

a. (4x – 3)2 – (5x + 3)2

b. (5x – 3)2 – (6x + 5)2

c. (6x – 3)2 – (12x + 7)2

d. (7x – 3)2 – (10x + 9)2

Ejemplo 3

Factoricemos el siguiente binomio.

x3 – 4xy4

Solución

x3 – 4xy4 = x(x2 – 4y4) Sacamos factor común.

= x(x – 2y2)(x + 2y2) Aplicamos diferencia de cuadrados.

Por tanto, x3 – 4xy4 = x(x – 2y2)(x + 2y2).

127

Resumen

4

4

x

x

2x

4x

x

x

r

π

x

x

D N

A B

M C

Producto notable

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Factorización diferencia de cuadrados

6. Factoriza los siguientes polinomios.

a. x2 + 10x + 25 – 64a2

b. –49 + 25a4 + 40a3 + 16a2

c. 100a2 + 80a + 16 – 49n2 + 210n – 225

d. 49p2 – 42p + 9 – 144q2 – 120q – 25

e. 16x2 + 24x + 9 – 25x4 + 10x3 – x2

f. 4a4 – 20a2 + 25 – 16b2 + 16b – 4


a. x2 = 9

b. 4y2 – 121 = 0

c. y3 = 25y

d. 15m3 – 60m = 0

e. (az – 3)x2 – (az – 3) = 0

f. –(x – 5)2 = –4x2

Selecciona la respuesta correcta.

8. ABCD es un cuadrado de 12 dm de lado. La distan-

cia del punto N a M es 8 dm. Cada región sin color

representa triángulos isósceles iguales o cuadra-

dos iguales. El área de la región coloreada es:

a. 72 dm b. 28 dm

c. 80 dm d. 64 dm

Figura 27.3


9. Determina las dimensiones de un rectángulo que

tenga área igual a la de la región coloreada de las

siguientes figuras.

a.

b.

c.

Figura 27.4


Tema


128

Tema

Ideas previas

Factorización

¿Es la expresión 4a2 + 7a + 4 un trinomio cuadrado perfecto? ¿Por qué?

28 Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Analicemos cómo podemos factorizar el trinomio x4 + 4x2 + 16.

Observemos que x4 + 4x2 + 16 no es trinomio cuadrado perfecto porque el término 4x2

no es el doble producto entre la raíz de x4 y 16, pero podemos convertirlo en uno adi-

cionando y sustrayendo el mismo término, tal como se muestra a continuación.

x4 + 4x2 + 16 Consideramos el trinomio.

x4 + 4x2 + 4x2 + 16 – 4x2 Adicionamos y sustraemos 4x2 en el polinomio para obtener el segun-

do término de un cuadrado perfecto, es decir, 4x2 + 4x2 = 8x2.

(x4 + 8x2 + 16) – 4x2 Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

(x2 + 4)2 – 4x2 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

(x2 + 4 – 4x)(x2 + 4 + 4x) Factorizamos la diferencia de cuadrados.

Por tanto, x4 + 4x2 + 16 = (x2 + 4 – 4x)(x2 + 4 + 4x).

Para factorizar completando un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

1. Verificamos si el trinomio es trinomio cuadrado perfecto. Si lo es, factorizamos.

2. Si no es trinomio cuadrado perfecto, adicionamos y sustraemos el mismo término para formar un trinomio cuadrado perfecto y otra cantidad negativa.

3. Agrupamos y factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

4. Factorizamos la diferencia de cuadrados que resulta.

Ejemplo 1

Factoricemos el polinomio x4 + 3x2 + 4.

Solución

Para que el trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto, necesitamos tener, en el se-

gundo término, el monomio 4x2, porque

x4 + 3x2 + 4

x2 2

4x2

Entonces,

x4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + x2 – x2 + 4 Adicionamos y sustraemos x2.

= (x4 + 3x2 + x2 + 4) – x2 Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

129

= (x4 + 4x2 + 4) – x2 Simplificamos.

= (x2 + 2)2 – x2 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (x2 + 2 – x) (x2 + 2 + x) Factorizamos la diferencia de cuadrados.

= (x2 – x + 2) (x2 + x + 2) Organizamos cada trinomio con respecto a x.

Por tanto, x4 + 3x2 + 4 = (x2 – x + 2) (x2 + x + 2).

Ejemplo 2

Factoricemos los siguientes trinomios.

a. a8 – 16a4 + 36

b. 64a4 – 169a2b4 + 81b8

Solución

a. Como a8 – 16a4 + 36 no es un trinomio cuadrado perfecto, entonces:

a8 – 16a4 + 36 = a8 – 16a4 + 36 + 4a4 – 4a4 Adicionamos y sustraemos 4a4 para tener un trinomio cuadrado perfecto.

= (a8 – 12a4 + 36) – 4a4 Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

= (a4 – 6)2 – 4a4 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (a4 – 6 – 2a2)(a4 – 6 + 2a2) Factorizamos la diferencia de cuadrados.

= (a4 – 2a2 – 6)(a4 + 2a2 – 6) Ordenamos términos con respecto a a.

Así, la factorización de a8 – 16a4 + 36 = (a4 – 2a2 – 6)(a4 + 2a2 – 6).

b. Como 64a4 – 169a2b4 + 81b8 no es un trinomio cuadrado perfecto, lo com-pletamos de la siguiente manera:

64a4 – 169a2b4 + 81b8 Consideramos el trinomio.

= 64a4 – 169a2b4 + 81b8 + 25a2b4 – 25a2b4 Adicionamos y sustraemos 25a2b4.

= (64a4 – 169a2b4 + 81b8 + 25a2b4) – 25a2b4 Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

= (8a2 – 9b4)2 – 25a2b4 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (8a2 – 9b4 – 5ab2)(8a2 – 9b4 + 5ab2) Factorizamos la diferencia de cuadrados.

= (8a2 – 5ab2 – 9b4)(8a2 + 5ab2 – 9b4) Ordenamos términos con respecto a a.

Así, 64a4 – 169a2b4 + 81b8 = (8a2 – 5ab2 – 9b4)(8a2 + 5ab2 – 9b4).

Existen binomios que son sumas de cuadrados, los cuales se pueden factorizar apli-

cando el procedimiento de factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y

sustracción. Veamos.

Ingresa a la página http://

quiz.uprm.edu/tutorial_es/

Cuad_Eq/cuadeq_right.xml

y practica resolviendo otros

ejercicios.

Vínculo web

130


Ejemplo 3

Factoricemos la suma de cuadrados 81x12 + 64.

Solución

81x12 + 64 = 81x12 + 64 + 144x6 – 144x6 Adicionamos y sustraemos 144x6.

= (81x12 + 64 + 144x6) – 144x6 Agrupamos los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto.

= (9x6 + 8)2 – 144x6 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

= (9x6 + 8 – 12x3)(9x6 + 8 + 12x3) Factorizamos la diferencia de cuadrados.

= (9x6 – 12x3 + 8)(9x6 + 12x3 + 8) Ordenamos términos con respecto a x.


1. Describe los pasos desarrollados en la siguiente factorización.

9x2 – 24x – 16y2 + 40y – 9 = (9x2 – 24x) – (16y2 – 40y) – 9

= (9x2 – 24x + 16 – 16) – (16y2 – 40y + 25 – 25) – 9

= (9x2 – 24x + 16) – 16 – (16y2 – 40y + 25) + 25 – 9

= (9x2 – 24x + 16) – (16y2 – 40y + 25) + 25 – 9 – 16

= (9x2 – 24x + 16) – (16y2 – 40y + 25)

= (3x – 4)2 – (4y – 5)2

= (3x – 4 + 4y – 5)(3x – 4 – 4y + 5) = (3x + 4y – 9)(3x – 4y + 1)

2. Escoge el monomio que debe adicionarse o sustraerse para que el trinomio dado sea un trinomio cuadrado

perfecto.

a. 4x2 + 4xy + 9y2

6xy

4xy

8xy

b. 4x2 – 20xy + 16y2

12xy

–12xy

4xy

c. y4 + 4y2 + 16

–4y2

8y2

4y2

d. 9x2 – 36xy + 25y2

15xy

–21xy

6xy

e. x4 – 10x2 + 9

6x2

4x2

–4x2

f. x8 – 14x4 + 25

10x4

–4x4

4x4

g. 36x2 + 30x + 9

8x

6x

36x

h. 121x4 – 300x2 + 169

–14x2

14x2

28x2

i. 36x4 – 40x2y2 + 9y4

6x2y2

4x2y2

–6x2y2

131

Resumen

25x2 + 20x + 4

x2 + 4x + 4 x2 + 4x + 4

x2 + 4x + 4 x2 + 4x + 4

r

68 c4m2n2

144 m4n4

49 c8

64m

17

32

76m2

4

Para factorizar el trinomio 25x2 + 80x + 28, procedemos de la siguiente manera.

25x2 + 80x + 28 no es un trinomio cuadrado perfecto. Para convertirlo en uno, adicionamos y

sustraemos 64. Entonces,

25x2 + 80x + 28 = 25x2 + 80x + 64 – 64 + 28

= (5x + 8)2 – 36

= (5x + 8 + 6)(5x + 8 – 6)

= (5x + 14)(5x + 2)

Por tanto, la factorización de 25x2 + 80x + 28 = (5x + 14)(5x + 2).

3. Factoriza los siguientes polinomios.

a. 16x4 + 20x2 + 49 b. x4 + 7x2 + 16

c. x4 + 15x2 + 64 d. 81x8 – 22x4 + 1

e. 64x4 + 12x2y2 + y4 f. 25x4 + 51x2 + 36

g. x4 – 19x2 + 25 h. 4x8 – 64x4 + 144

i. 9x12 – 85x6y6 + 100y12

j. 16y4 + 20y2x2 + 49x4

4. Determina las dimensiones de los lados de un

rectángulo si las expresiones dadas representan

su área.

a. x2 – 14x + 24 b. x2 + 20x + 64

c. x2 + 22x + 72 d. x2 + 10x + 25

e. x2 – 6x + 5 f. x2 – 16x + 55

g. x2 + 24x + 63 h. x2 – 40x + 175

i. x2 – 30x + 200

j. 16x2 – 40x – 25y2 – 60y – 11

5. Factoriza cada binomio como un trinomio cua-

drado perfecto por adición y sustracción.

a. x8 + 324y8 b. 64a4 + b4

c. 144 + 36c16 d. 81d4 + 64c4

e. 81d4 + 64c4 f. 9x4 + 576y4

g. 25x8 + 100 h. 4 + 625x8


6. Determina una expresión para el área de la región

coloreada y escribe las dimensiones de un rectán-

gulo que tenga igual área. Ten en cuenta que el

área del cuadrado más grande de los literales a. y

b. es 36x2 + 36x + 9.

a. b.

c.

Figura 28.1

7. Expresa el perímetro de cada polígono como un

producto.

a.

b.

Figura 28.2

Tema


132

Tema

Ideas previas

a

a

b

b

a

a – b

a – b

b

ba

a – b

Factorización

¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 4913 cm3?

29 Factorización de la diferencia o suma de cubos perfectos

Consideremos un cubo de arista a cuyo volumen es a3. Si eliminamos un cubo de arista

b (b < a) de una esquina (ver figura 29.1), podemos representar el volumen del cuerpo

que resulta con la expresión a3 – b3.

Además, podemos descomponer el volumen del cuerpo resultante en tres sólidos cu-

yos volúmenes sean ab(a – b), a2(a – b) y b2(a – b) (ver figura 29.2).

Ahora, podemos expresar el volumen del cuerpo resultante (a3 – b3) como la suma de

los volúmenes de los sólidos anteriores. Veamos.

a3 – b3 = a2(a – b) + ab(a – b) + b2(a – b)

Sacando factor común (a – b), tenemos que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

Esta expresión, por ser un producto, es la factorización de a3 – b3.Figura 29.1

Figura 29.2

Para factorizar una diferencia de cubos, realizamos lo siguiente:1. Extraemos la raíz cúbica de cada término y formamos una diferencia entre ellos.2. Formamos un trinomio con la raíz cúbica del primer término elevada al cuadrado

más el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la segunda raíz cú-bica. Es decir, a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

De manera similar, hallamos geométricamente una expresión para a3 + b3. Tomamos un

cubo de arista a y le agregamos un cubo de arista b con (b < a) en una esquina. Podemos

representar el volumen del cuerpo resultante con la expresión a3 + b3. Descompone-

mos este volumen en tres sólidos cuya suma es (a + b)(a2 – ab + b2). Así, obtenemos que

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).

Ejemplo 1

Factoricemos el binomio 125a3b3 – 1.

Solución

Como (5ab)3 = 125a3b3 y 13 = 1, entonces:

125a3b3 – 1 = (5ab – 1)(25a2b2 + 5ab + 1).

Un cubo perfecto es toda

expresión que tiene raíz

cúbica exacta, por ejemplo,

la raíz cúbica de 27x6y12z21

es 3x2y4z7.

Para recordarPara factorizar una suma de cubos, realizamos lo siguiente:1. Extraemos la raíz cúbica de cada término y formamos una suma entre ellos.2. Formamos un trinomio con la raíz cúbica del primer término elevada al cuadrado,

menos el producto de las dos raíces cúbicas, más el cuadrado de la segunda raíz cúbica. Es decir, a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).

133


Los resultados de la dife-

rencia y suma de cubos se

pueden obtener alge-

braicamente aplicando la

propiedad distributiva. Es

decir, para la diferencia:

(x – y)(x2 + xy + y2) =

x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3

= x3 + (x2y – yx2) +

(xy2 – xy2) – y3

= x3 – y3



a. +127

3 3 6 6m n m n b. x9 + y9

Solución

a. ( )+ = +127

127

3 3 6 6 3 3 3 3m n m n m n m n Sacamos factor común.

( )( )= + − +m n mn mn m n13

19

13

3 3 2 2 Factorizamos empleando

suma de cubos.

b. x9 + y9 = (x3)3 + (y3)3 = (x3 + y3)(x6 – x3y3 + y6) Factorizamos empleando suma de cubos.

= (x + y)(x2 – xy + y2)(x6 – x3y3 + y6) Factorizamos empleando suma de cubos.

Ejemplo 3

Factoricemos la expresión (5x2 – y)3 – 64x3.

Solución

El primer término es un binomio al cubo y la expresión completa es una diferencia de

cubos. Por tanto, tenemos lo siguiente:

(5x2 – y)3 – 64x3 = (5x2 – y)3 – (4x)3

= (5x2 – y – 4x)[(5x2 – y)2 + (5x2 – y)(4x) + (4x)2]

= (5x2 – y – 4x)(25x4 – 10x2y + y2 + 20x3 – 4xy + 16x2)

1. Determina cuáles monomios de la tabla 29.1 son

cubos perfectos. En caso de serlo, halla su raíz cú-

bica.

Monomio ¿Es cubo perfecto? Raíz cúbica

216

49x3

–27x6

343x9

1000x36

216m8

144x3

x51

–64x6

27x3y6

Tabla 29.1

2. Selecciona los binomios que están compuestos

por cubos perfectos.

a. 8 – 64x3

b. 121x3 – 27y9

c. 1000x3y3 – 125x3y6

d. 36x3 – 1

e. 216x3 – y3

f. 125m6 + n9


a. x3 – 125

b. 8 – 343y6

c. 27x3y3 – 64x3y6

d. 343x6y9 – 216x12y15

e. 512x3 + 8y3

f. 729x6 – 27y9

g. 1000a3b3 + 125x3y6

h. 1331x6y9 + 216a12b15

134

Resumen

x + y

y

6x

x

2(x + 1)

x + 1

2x + 1

2

Para factorizar el binomio 512x3 – 1728y3, procedemos de la siguiente manera.

512x3 – 1728y3 = (8x)3 – (12y)3

= (8x – 12y)[(8x)2 + (8x)(12y) + (12y)2]

= (8x – 12y)(64x2 + 96xy + 144y2)

= 4(2x – 3y)(64x2 + 96xy + 144y2)

4. Factoriza las expresiones.

a. (x – y)3 – 125

b. 125(x + y)3 – (5x)3

c. 64(m – n)3 – 8(m + n)3

d. x12 – (x2 – 1)3

e. y9 + (x3 – 1)3

f. (a – b)3 – a3 + b3

g. 2x5 – 2x2y3 – 2x3y2 + 2y5


5. Determina si cada expresión es verdadera o falsa.


a. (a2 – b2)(a – b) = (a – b)3

b. (x2 – 1)3 = (x2 – 1)2(x – 1)(x + 1)

c. x3 – y3 ≠ (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3)

d. (x + y)(x2 + xy + y2) ≠ x3 + y3

e. 27(x + y)3 = 27x3 + 27y3

f. (x + y)(x3 + y3) = x4 + y4

6. Escribe una expresión algebraica que represente

cada caso. Si es una diferencia de cubos, factoriza

la expresión.

a. A un cubo de arista (a + b), se le retiran de sus esquinas cubos de arista 1.

b. De un prisma rectangular de largo x, ancho x2 y alto x3, se retiran de sus esquinas cubos de volumen x3.

c. De un cubo de volumen 64a3, se quitan cua-tro cubos de volumen 128.


7. Discute con un compañero si es posible hacer una

generalización sobre xn – yn para n par. ¿Qué fór-

mula puede aplicarse en caso de ser posible?

8. ¿Es posible hacer alguna generalización sobre xn – yn para n impar? ¿Qué fórmula puede aplicar-

se en caso de ser posible?

9. ¿Es posible hacer alguna generalización sobre xn – yn para n múltiplo de 3? ¿Qué fórmula puede

aplicarse en caso de ser posible?


10. Escribe una expresión factorizada para el volumen

de cada sólido de la figura 29.3.

a. b.

c. d.

Figura 29.3

Tema


135

Ideas previas

Factorización

¿Cuál es el cociente de ++

x yx y

9 6

3 2?

30 Factorización de expresiones de la forma xn

± yn

La factorización de binomios de la forma xn ± yn tiene dos casos especiales: xn – yn cuando

n ∈ Z+ y xn + yn, para n impar o par múltiplo de 3.

Para todo n entero positivo:xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + … + xyn – 2 + yn – 1)

Para n impar o par múltiplo de 3:xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + … – xyn – 2 + yn – 1)

Para expresiones de la forma xn – yn:

• Si n es par, podemos factorizarla como diferencia de cuadrados.

• Si n es múltiplo de 3, podemos factorizarla como diferencia de cubos perfectos.

Para expresiones de la forma xn + yn, en donde n sea par múltiplo de 3, podemos facto-

rizarlas como sumas de cubos perfectos.

Ejemplo 1


a. a6 + b6

b. a18 + b18

c. x7 + y7

Solución

a. Como a6 + b6 tiene la forma xn + yn con n par múltiplo de 3, entonces:

a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 Escribimos como potencias de 3.

= (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4) Factorizamos suma de cubos.

Por tanto, la factorización de (a6 + b6) = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4).

b. Como a18 + b18 tiene la forma xn + yn con n par múltiplo de 3, entonces:

a18 + b18 = (a6)3 + (b6)3 Escribimos la expresión como potencias de 3.

= (a6 + b6)(a12 – a6b6 + b12) Factorizamos.

= (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)(a12 – a6b6 + b12) Usamos el resultado del literal a.

Por tanto, la factorización de a18 + b18 = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)(a12 – a6b6 + b12).

c. Como x7 + y7 tiene la forma xn + yn con n impar, entonces:

x7 + y7 = (x + y)(x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6)

136

Ejemplo 2


a. x4 – 16

b. y6 – z6

Solución

a. Inicialmente, sabemos que x4 – 16 es una diferencia de cuadrados y, como tal, la factorizamos,

x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4)

= (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

También, podemos interpretar la expresión x4 – 16 como una diferencia de la

forma xn – yn para y = 2 y n = 4. Por tanto, podemos factorizarla así:

x4 – 16 = x4 – 24

= (x – 2)(x3 + 2x2 + 4x + 8)

Ahora, agrupando términos en x3 + 2x2 + 4x + 8, tenemos lo siguiente:

x3 + 2x2 + 4x + 8 = x2(x + 2) + 4(x + 2) Sacamos los factores comunes x2 y 4.

= (x + 2)(x2 + 4) Sacamos factor común (x + 2).

Podemos concluir que x4 – 16 = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4).

b. La expresión y6 – z6 podemos factorizarla de tres maneras.

Primera. Si la consideramos como diferencia de cubos, la escribimos

y6 – z6 = (y2)3 – (z2)3 y la factorizamos así:

y6 – z6 = (y2 – z2)[(y2)2 + (y2)(z2) + (z2)2]

= (y2 – z2)(y4 + y2z2 + z4)

Como y2 – z2 es una diferencia de cuadrados, entonces...

y6 – z6 = (y – z)(y + z)(y4 + y2z2 + z4)

Segunda. Si la consideramos como diferencia de cuadrados, la escribimos

y6 – z6 = (y3)2 – (z3)2 y la factorizamos así:

y6 – z6 = (y3 – z3)(y3 + z3)

Como y3 – z3 es una diferencia de cubos y (y3 + z3) una suma de cubos,

tenemos lo siguiente:

y6 – z6 = (y – z)(y2 + yz + z2)(y + z)(y2 – yz + z2)

= (y – z)(y + z)(y2 + yz + z2)(y2 – yz + z2)

Tercera. Si la consideramos como un binomio, la escribimos

y6 – z6 = (y – z)(y5 + y4z + y3z2 + y2z3 + yz4 + z5)

= (y – z)[y3(y2 + yz + z2) + z3(y2 + yz + z2)]

= (y – z)(y3 + z3)(y2 + yz + z2)

= (y – z)(y + z)(y2 – yz + z2)(y2 + yz + z2)

Por ahora el conjunto de

los números reales no per-

mite efectuar algunas fac-

torizaciones. Más adelante

conoceremos un conjunto

más amplio denominado

números complejos, en

el que podremos hacer

factorizaciones de sumas

de potencias pares que no

sean múltiplo de 3.

Para recordar

137



Término Raíz quinta Término Raíz sexta

(ab)5

4096

6c

243m5 1729

6 6a b

1024(n – 5)5 (2x3)6

7776(n6 – 1) (x – 3b)6

3125c–5 729(a + b)6

Tabla 30.1

2. Determina si cada expresión es factorizable.

a. x8 + y8

b. x4 – y4

c. y5 – z5

d. y5 + z5

e. x12 – y12

f. 9x10 + 25y10

g. 16x10 – 36y10

3. Aplica las fórmulas de suma o diferencia de po-

tencias iguales para factorizar las expresiones.

a. x5 + y5

b. m3 – n3

c. x8 – y8

d. x12 + y12

e. x9 + y9

4. Aplica las fórmulas de suma o diferencia de po-

tencias iguales para resolver los cocientes cuyo

numerador sea factorizable. ¿Siempre es posible

simplificar? Explica tu respuesta.

a. –

–

12 12x y

x y b.

–

–

18 18x y

x y

c. ++

21 21x y

x y d.

+–

34 34x y

x y

e. +–

13 13x y

x y f.

–

–

24 24x y

x y

5. Expresa cada binomio como una adición o una

sustracción de potencias iguales y aplica las fór-

mulas cuando sea posible factorizarlos.

a. 216x6 – 27y6

b. 81x10 – 144y10

c. 49x8 – 64y8

d. 343a3b3 – 512x3y6

e. 1000x9 + 1


a. x4 – y4

b. x3y3 – 1

c. x4 – y8z12

d. a2b4c6 – x8y6z4

e. x5y15 + z5

f. a12c18 – x6y6

g. m12n24 + x18y24

h. 125x21 + 343y6

i. 32x10 – 243y15

j. x13 – 1

k. 1 – x15

l. 1 + y7

m. 81x6 – 256y4

n. m11 + n11

ñ. (2x)5 + y5

o. x12 + y12

p. 64a6 + 4096b6

q. x15 + y15

r. x24 + y24


7. Factoriza (x2 + y2) y (x2 – y2) mediante las fórmulas

xn – yn = (x – y) ( xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … +

x2yn – 3 + xyn – 2 + yn – 1)

xn + yn = (x + y) ( xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – … +

x2yn – 3 – xyn – 2 + yn – 1)

¿Son lógicas las respuestas?

138

Resumen

2x – 3

2x – 3

x – 4x – 4

Expresiones de la forma

xn ± yn

para

factorizar

analizamos n

xn – yn

xn + yn

analizamos n

si n es par diferencia de

cuadrados

si n es

múltiplo de 3

diferencia de

cubos perfectos

si n es entero

positivo(x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + x2yn – 3 + xyn – 2 + yn – 1)

factorizamos como

factorizamos como

factorizamos como

si n es par

múltiplo de 3

suma de

cubos perfectos

si n es impar (x + y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3y2 + … + x2yn – 3 – xyn – 2 + yn – 1)

factorizamos como

factorizamos como

8. Analiza la siguiente frase y determina su valor de

verdad. Justifica tu respuesta.

“No se puede factorizar una suma de cuadrados perfectos”.


9. Dentro de un cubo de arista (2x – 3) que está lle-

no de agua, se sumerge otro cubo sólido, de arista

(x – 4). Determina el volumen del agua que no ha

sido desplazada por el cubo menor.

Figura 30.1

10. Se tiene un trozo de cartulina de forma rectangu-

lar cuya área es 16x2 y se recorta un sector rec-

tangular de área 625y2. Determina una expresión

para el área de la cartulina sobrante y escribe las

dimensiones que puede tener un rectángulo de

cartulina que tenga la misma área.

11. Analiza la siguiente secuencia.

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

.

.

.

¿Se cumple que 1 + 2 + 3 + ... + 15 = ?

¿Para todo número natural n se cumple que

1 + 2 + 3 + ... + n = +( 1)

2

n n?

12. ¿Se cumple que 12 + 22 = (1 + 2)2?

¿13 + 23 = (1 + 2)3?

Tema


139

Ideas previas

Factorización

Explica cómo se obtuvo el siguiente resultado.

(x – y)4(x + y)2 – (x + y)4(x – y)2 = (x – y)2(x + y)2[(x – y)2 – (x + y)2]

= (x – y)2(x + y)2[(x – y – x – y)(x – y + x + y)]

= (x – y)2(x + y)2(–4xy)

31 Factorizaciones combinadas

En algunos casos, los polinomios presentados para factorizar no se ajustan a ninguno de

los modelos estudiados hasta el momento. Sin embargo, se podrían factorizar mediante

la combinación de ellos. Por ejemplo, factoricemos el polinomio a2 + m2 – 4b2 – 2am.

Primero analizamos los términos que componen el polinomio y observamos que los

términos a2 + m2 – 2am formen un trinomio cuadrado perfecto. Luego, procedemos a

organizar nuevamente el polinomio y lo reescribimos.

a2 + m2 – 4b2 – 2am = (a2 – 2am + m2 ) – 4b2

Asociamos los tres primeros términos y factorizamos el trinomio cuadrado perfecto.

(a2 – 2am + m2 ) – 4b2 = (a – m)2 – 4b2 = (a – m)2 – (2b)2

Los dos términos son cuadrados perfectos, por tanto, factorizamos como una diferencia

de cuadrados.

(a – m)2 – (2b)2 = (a – m – 2b)(a – m + 2b)

Por tanto, el polinomio factorizado es

a2 + m2 – 4b2 – 2am = (a – m – 2b)(a – m + 2b)

Para factorizar un polinomio, analizamos lo siguiente:

1. ¿Hay factor común?

2. Si es binomio:

• ¿Es diferencia de cuadrados?

• ¿Es suma o diferencia de potencias iguales?

3. Si es trinomio:

• ¿Es trinomio cuadrado perfecto?

• ¿Es de la forma x2 + bx + c?

• ¿Es de la forma ax2 + bx + c?

4. Si tiene más de tres términos:

• ¿Se pueden agrupar términos para formar alguno de los casos anteriores?

• ¿Se pueden adicionar y sustraer términos para llevarlo a algún caso anterior?

La información es una

herramienta fundamental

en la vida moderna, tanto

así que de su manejo y

distribución dependerá la

diferencia entre desarrollo

y subdesarrollo. En cuanto

a su distribución, se sabe

que a la hora de transferirla,

la seguridad es primordial.

Desde la antigüedad, el

álgebra ha sido la herra-

mienta vital para encrip-

tar la información, para

codificarla, de manera que

solo pueda ser leída por

aquellos que conocen el

código por descifrar.

En qué se aplica

140

Ejemplo 1

Factoricemos la expresión 4x4 – 324.

Solución

4x4 – 324 Consideramos la expresión inicial.

= 4(x4 – 81) Sacamos factor común monomio.

= 4(x2 + 9)(x2 – 9) Usamos la diferencia de cuadrados.

= 4(x2 + 9)(x – 3)(x + 3) Usamos la diferencia de cuadrados.

Por tanto, el polinomio factorizado es 4x4 – 324 = 4(x2 + 9)(x – 3)(x + 3).

Ejemplo 2

Factoricemos el polinomio 5x3 + 15x2 – 5x – 15.

Solución

5x3 + 15x2 – 5x – 15 Consideramos la expresión inicial.

= 5(x3 + 3x2 – x – 3) Sacamos factor común monomio.

= 5[x(x2 – 1) + 3(x2 – 1)] Asociamos términos y sacamos factor común en cada monomio.

= 5(x2 – 1)(x + 3) Sacamos como factor común polinomio a (x2 − 1).

= 5(x + 1)(x – 1)(x + 3) Usamos la diferencia de cuadrados.

Por tanto, el polinomio factorizado es 5x3 + 15x2 – 5x – 15 = 5(x + 1)(x – 1)(x + 3).

Ejemplo 3

Factoricemos la expresión 3x3 – 3x2 – 18x.

Solución

3x3 – 3x2 – 18x Consideramos la expresión inicial.

= 3x(x2 – x – 6) Sacamos como factor común a 3x.

= 3x(x – 3)(x + 2) Factorizamos el segundo término que es un trinomio de la forma x2 + bx + c.

Por tanto, el polinomio factorizado es 3x3 – 3x2 – 18x = 3x(x – 3)(x + 2).

Ejemplo 4

Factoricemos la expresión a3 − 3a2 − a + 3.

Solución

a3 − 3a2 − a + 3 Consideremos la expresión inicial.

= (a3 − 3a2) + (−a + 3) Asociamos términos.

= a2(a − 3) − (a − 3) Sacamos factor común en cada binomio.

= (a2 − 1)(a − 3) Sacamos factor común polinomio.

= (a − 1)(a + 1)(a − 3) Factorizamos diferencia de cuadrados.

Por tanto, el polinomio factorizado es a3 − 3a2 − a + 3 = (a − 1)(a + 1)(a − 3).

141


2. Realiza las indicaciones dadas para factorizar cada polinomio.

a. Polinomio dado 18x3 – 50x

Factor común

Diferencia de cuadrados

Tabla 31.1

b. Polinomio dado ax + ay – 4bx – 4by

Asociar por parejas

Factor común en cada pareja

Factor común polinomio

Tabla 31.2

c. Polinomio dado x2 + 2xy + y2 – 1

Asociar un trinomio

Factorizar el trinomio cuadrado perfecto

Factorizar la diferencia de cuadrados

Tabla 31.3


3. Explica los pasos de dos procedimientos diferentes para factorizar el polinomio x4 – 81.

x4 – 81 Polinomio dado

(x2 – 9)(x2 + 9)

(x – 3)(x + 3)(x2 + 9)

Tabla 31.4

x4 – 81 Polinomio dado

(x – 3)(x3 + 3x2 + 9x + 27)

(x – 3)[x2(x + 3) + 9(x + 3)]

(x – 3)(x + 3)(x2 + 9)

Tabla 31.5

1. Escribe un ejemplo de cada uno de los siguientes casos de factorización.

a. Factor común

c. Diferencia de cuadrados

e. Suma de potencias iguales

b. Diferencia de potencias iguales

d. Trinomio cuadrado perfecto

f. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

142

Resumen

Y

X

7

11

Para factorizar un polinomio, podemos realizar lo siguiente:

• Hallar un factor común a todos los términos.

• Si se trata de un binomio, determinar si es suma o diferencia de potencias iguales.

• Si es un trinomio, determinar si es de la forma ax2 + bx + c, incluyendo el caso a = 1 o trinomio

cuadrado perfecto.

• Si ninguna de las situaciones anteriores se presenta, determinar si es posible su combinación.


4. Determina todas las dimensiones de un prisma

rectangular cuyo volumen está dado por la expre-

sión 5x3 + 40.

5. Factoriza cada polinomio por combinación de casos.

a. 30ax – 40ay + 6bx – 8by

b. x6 – 7x4 – 18x2

c. 10x2 – 20x – 10xy + 20y

d. 40x4 – 40x

e. 1 – x12y12

f. 6a2 + 36a + 48

g. 108a3 + 4b3

h. (2a + b)2 + 3(2a + b) – (2a + b)

i. (–m – n)4 + (–m – n)x

j. x4 + ax3 + 8x + 8a

k. 4x3y + 14x2y2 + 6xy3

l. 1 – x8

m. 3x5 – 48x

n. p4(x + y) – q4x – q4y

ñ. x2 + 2ax + a2 – 9b2

o. 64 – 25m2 + 10m – 1

p. x3 – xy2 + yx2 – y3 + zx2 – zy2

q. 2x4 + 2x

Competencias en TIC

6. Actualmente, existen diversas herramientas ma-

temáticas que nos permiten obtener resultados

numéricos y algebraicos de manera rápida. Una

de ellas es WolframAlpha.

Utiliza esta plataforma para corroborar los resultados

que obtuviste en el punto 5. Por ejemplo, para verificar

la factorización del polinomio x6 – 7x4 – 18x2, ingresa a

la página www.wolframalpha.com y en la zona central,

digita Factor x^6-7x^4-18x^2 (ver figura 31.1). Da clic

en calcular, observa la casilla Resultado y compara (ver

figura 31.2).

Figura 31.1

Figura 31.2

7. ¿Cuál es el valor de X y Y en la figura 31.3?

Figura 31.3


Tema


143

Ideas previas

Factorización

¿Cuál es la solución de la ecuación x2 + x – 12 = 0?

32 Aplicaciones de la factorización

Ejemplo 1

Una persona con un peso de 100 kg tiene obesidad grado II con un índice de masa

corporal (IMC) de 36. ¿Cuál es su estatura?

Solución

La expresión para calcular el IMC de una persona, teniendo en cuenta su peso y es-

tatura, es =IMCpeso (kg)

altura (m )2 2. En este caso, contamos con el peso y el IMC y debe-

mos encontrar la altura (H). Así, al reemplazar en la expresión, tenemos H

=36100

2, que

equivale a la ecuación 36H2 = 100. Resolviendo lo anterior, tenemos lo siguiente:

36H2 – 100 = 0 Igualamos a cero la expresión.

(6H – 10)(6H + 10) = 0 Factorizamos la diferencia de cuadrados.

6H – 10 = 0, o, 6H + 10 = 0 Igualamos a cero cada factor.

= ≈106

1,67H o = ≈ −–10

61,67H Aplicamos la propiedad del producto 0.

El valor negativo de H no lo consideramos porque la estatura debe ser un número

positivo, por tanto, la estatura de la persona es aproximadamente 1,67 metros.

Ejemplo 2

Las dimensiones de un rectángulo son 20 cm y 23 cm. Al disminuir una cantidad espe-

cífica cada dimensión, el área original se disminuye en 120 cm2. Hallemos las dimen-

siones del nuevo rectángulo.

Solución

Representamos con x la cantidad que se disminuye a cada dimensión del rectángulo.

Por tanto, las dimensiones del nuevo rectángulo son (20 – x) y (23 – x).

Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho, entonces...

Área del rectángulo original: 20 ⋅ 23 = 460

Área del nuevo rectángulo: (20 – x)(23 – x) = 460 – 120

(20 – x)(23 – x) = 460 – 120 Consideramos la ecuación.

460 – 20x – 23x + x2 = 340 Efectuamos las operaciones.

x2 – 43x + 120 = 0 Simplificamos.

(x – 40)(x – 3) = 0 Factorizamos el trinomio de la forma x2 + bx + c.

Por tanto, x = 40 o x = 3.

Descartamos la solución x = 40, pues supera los valores de las medidas del rectángulo

original. Entonces, la cantidad que se disminuyó a cada dimensión del rectángulo fue

3 cm, lo que nos arroja las nuevas medidas 17 cm y 20 cm.

Existen situaciones cotidianas que involucran cantidades, que podemos representar

con polinomios y cuya solución posiblemente dependa de la factorización y de la reso-

lución de una ecuación. Veamos algunos ejemplos.

Propiedad del producto 0

Si a y b son números reales,

tales que a × b = 0 , enton-

ces, a = 0, b = 0 o ambos

números son iguales a

cero.

Para recordar

144


Ejemplo 3

Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba alcanzará una altura h que puede repre-

sentarse por la ecuación h = Vot – 5t2, donde Vo es la velocidad inicial del objeto y t es

el tiempo que tarda en el recorrido. (Hemos aproximado a 5 el valor 4,9, que es la mitad

del valor de la gravedad).

Si el objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s,

¿cuál será la altura máxima que alcanzará y en cuánto tiempo regresará al punto de

partida?

Solución

El objeto subirá hasta cierto punto y luego comenzará a bajar nuevamente hasta lle-

gar al punto de partida. En ese momento, la altura será igual a cero. Así, obtenemos la

siguiente ecuación.

0 = 40t – 5t2 Consideramos la ecuación.

0 = 5t(8 – t) Sacamos factor común.

5t = 0 o 8 – t = 0 Aplicamos la propiedad del producto 0.

t = 0 o t = 8 Solucionamos cada ecuación.

t = 0 representa el momento en que el objeto es lanzado hacia arriba y t = 8 el momen-

to en que el que el objeto regresa al punto de partida.

Por tanto, transcurren 8 segundos antes de que el objeto vuelva al suelo.

El objeto empleará el mismo tiempo en subir y alcanzar su altura máxima que en bajar

y regresar al punto de partida. Por tanto, el objeto gastará 4 segundos en alcanzar su

altura máxima.

h = 40(4) – 5(4)2 Reemplazamos t = 4 en h = Vot – 5t2.

h = 80 Simplificamos.

El objeto alcanza su altura máxima de 80 metros a los 4 segundos de haberse lanzado

hacia arriba y regresa a los 8 segundos a su punto de partida.


1. Se lanza una pelota de tenis verticalmente hacia

arriba con una velocidad inicial de 50 m/s. Selec-

ciona la expresión algebraica que representa la

altura h alcanzada por la pelota después de t se-

gundos.

a. h = 35t – 5t2

b. h = 50t – 5t3

c. h = 5t – 50t2

d. h = 50t – 5t2

2. Considera el punto 1. ¿Cuál es la altura máxima

alcanzada por la pelota y cuál es el tiempo que

tarda en regresar al punto de partida?

3. Escribe la ecuación que modela cada situación.

a. Un rectángulo mide 10 cm más de largo que de ancho y su área es 75 cm2.

b. El producto de dos números enteros impares

consecutivos es 255.

c. La diferencia de los cuadrados de dos números

enteros consecutivos es 17.

145

Resumen

x + 3

8x – 4

x + 3

4x – 2

5x

1,6

2,5

10x

2x

4x

Podemos solucionar problemas de aplicación planteando y resolviendo una ecuación.

Aunque tenemos diferentes maneras de resolverlos, destacamos una que consiste en

igualar el polinomio a cero y factorizarlo. Esto significa que uno de los factores debe ser

cero y de allí se obtienen las soluciones de acuerdo con el contexto del problema.

4. Explica por qué el rectángulo y el triángulo rec-

tángulo de las figuras tienen igual área.

a.

b.

Figura 32.1

5. Determina las dimensiones de un rectángulo y de

un triángulo rectángulo que tengan área igual a

cada expresión dada.

a. A = 2x2 + 4x – 6

b. A = 12x2 + 18x + 6

c. A = 30x2 – 4x – 2

d. A = 12x2 – 18x + 6

e. A = 30x2 + 22x – 24


6. La base de un triángulo es 10 cm más larga que la

altura. Si el área es 28 cm2, ¿cuáles son las longitu-

des de la base y la altura?

7. Determina las dimensiones de un rectángulo que

tenga área igual a la región coloreada de cada figura.

a. b.

c.

Figura 32.2

8. El cilindro exterior del rodillo de la figura 32.3 tiene

4 cm de largo y su diámetro es 4 cm más largo que

el del rodillo interno. Si el volumen del cilindro ex-

terno es 48π cm3 más que el del cilindro interno,

¿cuáles son las dimensiones y los volúmenes de

cada cilindro?

Figura 32.3

146


R

r


1. Se desea sembrar una docena de tulipanes blan-

cos, dos docenas de tulipanes amarillos y 3 doce-

nas de tulipanes rojos. Es correcto afirmar que, para

lograr el mayor número de grupos con igual canti-

dad de tulipanes, cada grupo debe tener

a. 4 tulipanes blancos, 8 amarillos y 12 rojos.

b. 2 tulipanes blancos, 3 amarillos y 4 rojos.

c. 1 tulipán blanco, 2 amarillos y 3 rojos.

d. 3 tulipanes blancos, 6 amarillos y 9 rojos.

2. Si se deben instalar 62 aspersores, ¿es posible insta-

lar una misma cantidad de estos en cada una de las

secciones marcadas con A?

3. Todo el diseño se llevará a cabo en B. Entonces, si la

expresión que determina el área de B está dada por

100x2 – 20x + 1, ¿la expresión 10x –1 corresponde a

una de sus dimensiones?

4. El diseño de este parque incluye dos fuentes cir-

culares gemelas representadas por la zona E. Cada

fuente consta de una plataforma en cemento en

forma de anillo (ver figura 4.2).

Figura 4.2

En jardinería, las formas en que se utiliza la geometría

pueden llegar a ser confusas a medida que aumenta la

complejidad (ver figura 4.1). Sin embargo, un jardín con-

tenido en un balcón crece y se ve mejor si hacemos uso de

ella. Actualmente, tanto los jardineros caseros como los

profesionales están de acuerdo en que es clave conocer los

principios básicos geométricos de perímetro y área.

Adaptado de [en línea] <http://goo.gl/D8N7Ka> [citado el 28 de

julio de 2014].

C F F C

E

A

B

A

A

A

E

D

Figura 4.1

El área de la plataforma se encuentra dada por la

expresión πR2 – πr2. Con respecto a la expresión π(R + r)(R – r). se puede decir que corresponde a

la factorización del área de la plataforma utilizando

a. factor común monomio y diferencia de cubos perfectos.

b. factor común monomio y diferencia de cua-drados perfectos.

c. factor común monomio y trinomio cuadrado perfecto.

d. factor común polinomio y diferencia de cua-drados.


5. Si el área de cada zona A se encuentra dada por la

expresión 2x4 + 6x3 + 10x2, ¿qué expresión deter-

mina sus dimensiones?

a. x4(1 + 3x + 5x2)

b. 2x4(1 + 3x + 5x2)

c. x2(x4 + 3x + 5)

d. 2x2(x2 + 3x + 5)

6. Las dos zonas C del diseño son exclusivas para cés-

ped. Si su área se encuentra dada por la expresión

x2 + 9x + 20, ¿qué expresión determina sus dimen-

siones?

a. (x + 1)(x + 20)

b. (x + 20)(x + 2)

c. (x + 4)(x + 5)

d. (x + 9)(x + 1)

147



1. Identifico el máximo común divisor de dos o más números.

2. Reconozco cuándo un número es divisor de otro.

3. Identifico un trinomio cuadrado perfecto como el área de un cuadrado.

4. Identifico factor común y diferencias de cuadrados en la factorización de un polinomio.

5. Hallo el factor común de un polinomio.

6. Identifico cuándo un trinomio es de la forma x2 + bx + c y lo factorizo.

7. Identifico cuándo un trinomio es de la forma ax2 + bx + c y lo factorizo.

8. Reconozco una diferencia de cubos de una suma de cubos y la factorizo.

9. Reconozco expresiones de la forma xn + yn o xn – yn y las factorizo.

10. Resuelvo problemas que involucran la factorización combinada de un polinomio.

7. Si la zona C se modificara manteniendo su forma

rectangular y su nueva área estuviera representada

por la expresión 5x2 + 9x – 2, ¿qué expresión deter-

minaría sus dimensiones?

a. (x + 1)(5x – 1)

b. (x – 1)(5x + 1)

c. (x + 2)(5x – 1)

d. (x – 1)(5x – 1)

8. Para el descanso de las personas, se piensa ubicar

en la zona F dos grandes bloques embaldosados

en forma de paralelepípedo de base rectangular,

en los cuales las personas puedan sentarse.

Si su volumen se encuentra dado por la expresión

1 – x3, es posible afirmar que su altura y el área de

la base están dados, respectivamente, por las ex-

presiones

a. x – 1; 1 + x + x2.

b. 1 – x; 1 + x + x2.

c. x + 1; 1 – x + x2.

d. 1 + x; 1 + x – x2.

9. Debido a un problema de presupuesto, se decidió

modificar el volumen de los bloques de la zona F. Si

el volumen de los bloques se representa ahora por

la expresión 1 + x5, es posible afirmar que el área de

la base y su altura están dados, respectivamente,

por las expresiones

a. x4 – x3 + x2 – x + 1; 1 + x.

b. x4 + x3 + x2 + x + 1; 1 + x.

c. x4 – x3 + x2 – x + 1; 1 – x.

d. x4 – 2x3 + 2x2 – 3x + 1; 1 – x.


10. Una de las áreas más importantes y más caracte-

rísticas de los diseños del arquitecto es la zona D.

Esta zona consiste en una enorme fuente de base

rectangular y de 2 caras cuadradas, tal como se ob-

serva en la figura 4.3.

Figura 4.3

Si el volumen de la fuente se encuentra dado por

la expresión x3 – x2 – x + 1, halla las dimensiones de

la fuente.

Tema


148

TemaIdeas previas

Fracciones algebraicas

1. Halla dos fracciones equivalentes a la fracción –23

.

2. Determina si las siguientes igualdades son correctas: =–37

3–7

; =–37

–37

.

33 Fracciones algebraicas

Así como los números enteros permiten la construcción de los números racionales, los

polinomios fundamentan la construcción de las fracciones algebraicas.

De manera análoga, las representaciones y la propiedad en el numeral 4 se cumplen

para las fracciones algebraicas, es decir, podemos reescribirlas según los signos y simpli-

ficarlas o complificarlas para tener fracciones algebraicas equivalentes.

Una fracción algebraica en la variable x es una expresión de la forma P x

Q x

( )

( ), en don-

de P(x) y Q(x) son polinomios, tal que Q(x) ≠ 0. Este cociente no está definido para aquellos valores de x, en donde Q(x) = 0.

Ejemplo 1

− +2

4 5 12

x

x x,

x1 ,

+ +2 1

4

2x x, x2 + 1 y

− − +−

3 4 1

1

5 4 2

3

x x x

x son fracciones algebraicas.

El dominio de una frac-

ción algebraica es el con-

junto de todos los números

reales excepto aquellos

que hacen el denominador

cero.

Para recordar

Ejemplo 2

Hallemos los valores de x para los cuales la fracción algebraica =+ ++ −

P x

Q x

x x

x x

( )

( )

3 2

6

2

2

no está definida.

Solución

Para hallar los valores de x para los cuales la fracción algebraica no está definida, hace-

mos Q(x) = 0, es decir, x2 + x – 6 = 0.

(x + 3)(x – 2) = 0 Factorizamos el trinomio.

x + 3 = 0 o x – 2 = 0 Igualamos a cero cada factor.

x = –3 o x = 2 Despejamos x y obtenemos los resultados.

Los valores de x para los cuales la fracción algebraica no está definida son x = –3 y

x = 2, es decir, el dominio de la fracción algebraica es R – {–3, 2}.

Recordemos que un mismo número tiene varias representaciones en los números racio-

nales.

1. De acuerdo con el signo: = −−

nm

nm

;

− = − =−

nm

nm

nm

.

2. Complificación por a ≠ 0; =mn

aman

.

3. Simplificación: =aman

mn

.

4. Si =p

qmn

, entonces, pn = qm.

149

Dada la fracción algebraica P x

Q x

( )

( ), tenemos lo siguiente:

a. = −−

P x

Q x

P x

Q x

( )

( )

( )

( ), Q(x) ≠ 0. b. − = − =

−P x

Q x

P x

Q x

P x

Q x

( )

( )

( )

( )

( )

( ), Q(x) ≠ 0.

c. =P x

Q x

T x P x

T x Q x

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) para T(x) ≠ 0 y Q(x) ≠ 0.

d. =P x

Q x

R x

S x

( )

( )

( )

( ) si y solo si P(x)S(x) = Q(x)R(x) para Q(x) ≠ 0 y S(x) ≠ 0.

Ejemplo 3

Hallemos fracciones algebraicas equivalentes a las dadas mediante el uso de signos.

a. +−

x

x

2 3

2 para x ≠ 2. b. −

−−

x

x

1

1 para x ≠ 1.

Solución

a. La fracción algebraica +−

x

x

2 3

2 podemos reescribirla como

− +− −

=− −− +

=− −

−x

x

x

x

x

x

(2 3)

(2 )

2 3

2

2 3

2. Todas ellas son fracciones algebraicas

equivalentes a +−

x

x

2 3

2.

b. La fracción algebraica −−−

x

x

1

1 podemos reescribirla como

− −−

x

x

( 1)

1 o

−− −

x

x

1

(1 ). Desarrollando los paréntesis en cada caso, tenemos lo siguiente:

− −−

=− +−

=−−

=x

x

x

x

x

x

( 1)

1

1

1

1

11;

−− −

=−

− +=

−−

=x

x

x

x

x

x

1

(1 )

1

1

1

11.

Todas las fracciones algebraicas deducidas equivalen a −−−

x

x

1

1.

Dos fracciones algebraicas

pueden ser equivalentes,

pero eso no significa que

sean iguales. Por ejemplo,

la expresión constante

1 siempre está definida,

mientras que la expresión − −−

x

x

( 1)

1 no está definida

en x = 1.

Para recordar

Las fracciones algebraicas

también se llaman expre-

siones racionales.

Para recordar

Ejemplo 4

Determinemos si las siguientes fracciones algebraicas son equivalentes.

++

x

x

3 4

1 y

++

x

x

3 20

5.

Solución

Aplicamos la propiedad fundamental de fracciones equivalentes (literal d.) para verifi-

car si los productos obtenidos son iguales.

(3x + 4)(x + 5) = 3x2 + 15x + 4x + 20 = 3x2 + 19x + 20

(x + 1)(3x + 20) = 3x2 + 20x + 3x + 20 = 3x2 + 23x + 20

Como los productos no son iguales, entonces, las dos fracciones algebraicas no son

equivalentes.

Para simplificar fracciones algebraicas, factorizamos cada polinomio en la fracción algebraica para tener factores iguales tanto en el numerador como en el denomina-dor y, de esta manera, poder cancelarlos.

150


En la simplificación de

fracciones algebraicas, no

se simplifican sumandos, se

simplifican factores.

Es un error hacer:

+ ++

x x

x

5 6

2

2

2.


Hallemos fracciones algebraicas equivalentes a las dadas mediante la simplificación.

a. + − −+ +

x x x

x x

2 2

3 2

3 2

2 b.

− + −+ −

x x

x x

2 5 2

6

2

2

Solución

a. + − −+ +

x x x

x x

2 2

3 2

3 2

2 Consideramos la fracción algebraica.

=+ − ++ +

x x x

x x

( 2 ) ( 2)

( 2)( 1)

3 2

Agrupamos términos y factorizamos.

=+ − ++ +

x x x

x x

( 2) ( 2)

( 2)( 1)

2

Sacamos factor común x2.

=+ −+ +

x x

x x

( 2)( 1)

( 2)( 1)

2

Sacamos factor común (x + 2).

=+ − ++ +

x x x

x x

( 2)( 1)( 1)

( 2)( 1) Solucionamos la diferencia de cuadrados.

= x – 1 Simplificamos términos. x debe ser diferente de –1 y –2.

b. − + −

+ −x x

x x

2 5 2

6

2

2 Consideramos la fracción algebraica.

=− − +

+ −x x

x x

(2 5 2)

6

2

2 Factorizamos –1 en el numerador.

=− − −

+ −x x

x x

( 2)(2 1)

( 3)( 2) Factorizamos los trinomios cuadráticos.

=− −

+x

x

(2 1)

3 Simplificamos términos.

=−+

x

x

1 2

3 Simplificamos términos. x debe ser diferente de –3 y 2.

1. Determina cuáles expresiones son fracciones alge-

braicas. Justifica tus respuestas.

a. + +x x

x

13

2 b.

x

x12

c. x1

d. + +x x

x

22

2

e. 3x4 + 2x + 1 f. −−

x

x

( 1)

( 1)2

2. Determina el dominio de cada fracción algebraica.

a. +x x

x x

3 – 2

– 2 – 8

2

2 b.

+x x

x

3

1 – 2

2

c. x

x

4 – 4

( – 2)2 d.

x x

6

– – 22

e. +x

x x

5

10 2 f.

x

x x x

− −+ −

3

2 33 2

151

Resumen

Una fracción algebraica o expresión racional es una expresión de la forma P x

Q x

( )

( ), en donde P(x) y

Q(x) son polinomios, tal que Q(x) ≠ 0. La equivalencia entre expresiones racionales la obtenemos

de las propiedades de equivalencia entre fracciones.

Para simplificar fracciones racionales, factorizamos cada polinomio en la expresión racional para te-

ner factores iguales en el numerador y denominador, y así poder cancelarlos.

3. Completa cada expresión para que las fracciones

algebraicas sean equivalentes.

a. =812 6

xx

� b. =–66

2xx

�

c. +=

1

2x x x

� d. =–8

– –x y y x�

e. =5 3 2 2x y x y

z� f. =

14

123x y x

�

g. =–

–2 2x y

x y�

h. +

=+

–

–

2 2

3 3 2 2

x y

x y x xy y

�


4. Determina cuáles fracciones algebraicas son equi-

valentes.

a. +x y xy

x

3 9

6

2

3 b.

y x

xy

– 2

3 2 c.

x y xy

xy

9 –

3

2

2

d. +xy y

x

3

2 2 e.

x

y

9 – 1

3 f.

xy x y

x y

3 – 6

9

2 2

2 3

Tabla 33.1

5. Determina cuáles conjuntos de fracciones algebrai-

cas no son un conjunto de fracciones equivalentes.

a. +

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

yx y

x y

y

x

xy

x x

–

2 – 2,

2,

–

–4 2

2

2 2

b. { }+x y

y x

x y

x y

4 – 4

–4( – ), –1,

– –

c. −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x y

x y x y x y

16

28,

4

7,

20

35

3

5 2 2 2

d. { }++ + + +

x

x x x x

2

( 3)( 2),

11

,1

3

6. Simplifica las fracciones algebraicas.

a. x

x x

– 1

(2 – 1)( – 1) b.

+x xy y

x y

4 2 – 6

4 – 4

2 2

2 2

c. +x x

xy y

6 7 – 3

3 –

2

d. +

ab ax

ab ax

3 – 27

3

2 2

e. + + +

+ax ay bx by

x y f.

ax ay

y x

–

–( – )

2 2

2 2

g. + ++

x x x

x x

4 – 6

– 2

3 2

2 h.

+x x

x x

15 – 7 – 2

18 – 27 10

2

2

7. Determina y explica el error cometido en cada caso.

Halla la solución correcta.

a. =+

=+

x y

x y

x y

x y x y x y

– –

–

– –

( – )( )–

12 2

b. +

=+

=x x

x x

xx

– 2

– 2 1

–2–2 1

12

2

c. ++

= +x y

x yx y

4 4

2 22 2

d. + +

=+ ++ +

=++

x

x x

x x

x x

x

x

– 9

5 6

( 3)( 3)

( 3)( 2)

3

2

2

2

Tema


152

TemaIdeas previas


1. ¿Cuál es el resultado de + −74

14

94

y +35

27

?

2. ¿Qué número falta en la igualdad =7

921

� para que sea verdadera?

34 Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

La multiplicación y la división de fracciones algebraicas se definen de igual modo que las

operaciones con los números racionales. Recordemos cómo calculamos el producto y el

cociente entre números racionales. Por ejemplo, operemos las fracciones 7

15 y

518

.

a. Para calcular ×715

518

, multiplicamos numeradores y multiplicamos denomi-

nadores. Por tanto, × =××

=×

=715

518

7 5

15 187

3 187

54.

b. Para calcular ÷715

518

, multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor.

÷ = × =××

=××

=715

518

715

185

7 18

15 5

7 6

5 54225

.

Ahora, definamos estas operaciones para fracciones algebraicas.

Factorizar significa expre-

sar una expresión como

producto de factores.

Para recordar

Para multiplicar dos fracciones algebraicas, factorizamos el numerador y el denomi-nador de cada fracción. Luego, multiplicamos los numeradores entre sí y los denomi-nadores entre sí. Finalmente, simplificamos los factores comunes.

Para dividir dos fracciones algebraicas, AB

y CD

con B y D diferentes de cero, multi-

plicamos el dividendo por el recíproco del divisor: ÷ = ×AB

CD

AB

DC

para C ≠ 0.

Ejemplo 1

Calculemos el producto de las siguientes multiplicaciones.

a. ×x y

x

x

x y

–2

5

10

3

3

2

4

2 2 b.

++

×+x x

x

x

x

– 5 6

2 4

2

– 4

2

2

Solución

a. Los términos de cada fracción ya están factorizados, entonces...

× =x y

x

x

x y

x y

x y

–2

5

10

3

–20

15

3

2

4

2 2

7

4 2 Multiplicamos numeradores entre sí

y denominadores entre sí.

= xy

–43

3 Simplificamos.

Por tanto, × =x y

x

x

x y

xy

–2

5

10

3

–43

3

2

4

2 2

3

para y ≠ 0 y x ≠ 0.

153

am × an = am + n

am ÷ an = am – n

Para recordarb.

++

× +– 5 6

2 4

2

– 4

2

2

x x

x

x

x Consideramos la expresión inicial.

=+

× ++

( – 2)( – 3)

2( 2)

2

( – 2)( 2)

x x

x

x

x x Factorizamos los términos de cada fracción algebraica.

= ++

( – 2)( – 3)( 2)

2( 2) ( – 2)2

x x x

x x Multiplicamos numeradores entre sí y

denominadores entre sí.

=+– 3

2( 2)

x

x Simplificamos.

Por tanto, +

+× + =

+– 5 6

2 4

2

– 4

– 3

2( 2)

2

2

x x

x

x

x

x

x para x ≠ 2 y x ≠ –2.

La fracción ab

, con a ≠ 0,

tiene como recíproco ba

,

porque × =ab

ba

1 .

Para recordar

Ejemplo 2

Calculemos el cociente de las siguientes divisiones.

a. +

÷−x

x

x

11 12

b. ÷+ +x

x

x x

x

– 1

2

13 2

Solución

a. +

÷−x

x

x

11 12

Consideramos la expresión inicial.

=+

×−

x

x

x1

1

12

Multiplicamos +x1

1 por el recíproco de

x

x – 12.

=+

x

x x

– 1

( 1)

2

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.

=+

+x x

x x

( – 1)( 1)

( 1) Factorizamos la diferencia de cuadrados del numerador.

=x

x

– 1 Simplificamos términos.

Por tanto, +÷

−=

xx

x

x

x1

1 1

– 12 para x ≠ 1 y x ≠ –1.

b. ÷ + +– 1

2

13 2x

x

x x

x Consideramos la expresión inicial.

= ×+ +

– 1

2 1

3

2

x

xx

x x Multiplicamos al dividendo por el recíproco

del divisor.

=+ +

×+ +

x x x

xx

x x

( – 1)( 1)

2 1

2

2 Factorizamos el numerador.

=+ +

+ +x x x x

x x x

( – 1)( 1)

2 ( 1)

2

2 Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.

= – 1

2

x Simplificamos términos.

Por tanto, ÷+ +

=x

x

x x

x

x– 1

2

1 – 1

2

3 2

para x ≠ 0.


división entre fracciones

algebraicas ingresando

a la página http://www.

youtube.com/embed/

hiiPTn79CDg

Vínculo web

154

Para adicionar o sustraer dos fracciones algebraicas homogéneas, dejamos el mis-mo denominador y adicionamos o sustraemos los numeradores.

1. =ab

ab

––

2. = =ab

ab

ab

––

–

Para recordar

Ejemplo 3

Hallemos la diferencia de +x

x

x

x x

–2 – 1

– 1–

–3 – 2

( – 1)( 1)2 .

Solución

+–2 – 1

– 1–

–3 – 2

( – 1)( 1)2

x

x

x

x x Consideramos la expresión inicial.

=+ +

–2 – 1

( – 1)( 1)–

–3 – 2

( – 1)( 1)

x

x x

x

x x Factorizamos la diferencia de cuadrados.

=+

x x

x x

–2 – 1 – (–3 – 2)

( – 1)( 1) Sustraemos los numeradores y dejamos

el denominador común.

=+ ++

x x

x x

–2 – 1 3 2

( – 1)( 1) Aplicamos la propiedad distributiva.

=++

x

x x

1

( – 1)( 1) Simplificamos el numerador.

=x

1( – 1)

Simplificamos la fracción.

Por tanto, +=

x

x

x

x x x

–2 – 1

– 1–

–3 – 2

( – 1)( 1)1

( – 1)2 para x ≠ 1 y x ≠ –1.

Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Recordemos que para adicionar fracciones homogéneas en el conjunto de los números

reales, dejamos el mismo denominador y adicionamos los numeradores. Por ejemplo:

+ = =715

315

1015

23

.

Para adicionar o sustraer dos fracciones algebraicas, desarrollamos el mismo procedi-

miento que para adicionar o sustraer fracciones con números enteros.

Para adicionar o sustraer fracciones algebraicas heterogéneas...

• Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

• Convertimos las fracciones algebraicas en fracciones homogéneas con denomi-nador igual al mínimo común múltiplo hallado anteriormente.

• Adicionamos las fracciones homogéneas: se adicionan los numeradores y se es-cribe el denominador común.

Ejemplo 4

Hallemos el resultado de las siguientes operaciones.

a. +

+ ++

x

x x

x

x x

2 4

2 7 6

– 1

– – 22

2

2 b. x

x x x3

– 2 – 3–

2– 32

155

Solución

a. ++ +

+2 4

2 7 6

– 1

– – 22

2

2

x

x x

x

x x Consideramos la expresión inicial.

= ++ +

+ ++

2( 2)

( 2)(2 3)

( – 1)( 1)

( – 2)( 1)

x

x x

x x

x x Factorizamos cada sumando.

=+

+x

x

x2

2 3

– 1

– 2 Simplificamos.

2( 2)

(2 3)( 2)

( –1)(2 3)

( – 2)(2 3)

x

x x

x x

x x= −

+ − + ++

Usamos que el m.c.m. de (2x + 3) y (x – 2) es su producto y hallamos fracciones equivalentes.

=+

+ ++

2 – 4

(2 3)( – 2)

2 – 3

( – 2)(2 3)

2x

x x

x x

x x Aplicamos propiedad distributiva en el numerador.

=++

x x

x x

2 3 – 7

(2 3)( – 2)

2

Realizamos la adición de los numeradores.

Por tanto, +

+ ++ = +

+2 4

2 7 6

–1

– – 2

2 3 – 7

(2 3)( – 2)2

2

2

2x

x x

x

x x

x x

x x para x ≠ –2, x ≠ 2 ,

x ≠ –1 y ≠x –32

.

b. 3

– 2 – 3–

2– 32

x

x x x Consideramos la expresión inicial.

=+

3( – 3)( 1)

–2– 3

xx x x

Factorizamos.

=+

++

xx x

x

x x3

( – 3)( 1)–

2( 1)

( – 3)( 1) Usamos que el m.c.m. de (x – 3)(x + 1) y (x – 3) es

(x – 3)(x + 1) y hallamos fracciones equivalentes.

x x

x x

3 – 2( 1)

( – 3)( 1)= +

+ Realizamos la sustracción de los numeradores.

=+

x x

x x

3 – 2 – 2

( – 3)( 1) Aplicamos la propiedad distributiva.

=+

x

x x

– 2

( – 3)( 1) Simplificamos la expresión del numerador.

Por tanto, =+

x

x x x

x

x x3

– 2 – 3–

2– 3

– 2

( – 3)( 1)2 para x ≠ 3 y x ≠ –1.

El mínimo común múlti-

plo de dos polinomios es

el producto de los factores

comunes y no comunes de

los dos polinomios, eleva-

dos al mayor exponente.

Por ejemplo, el mínimo

común múltiplo entre 4x2y

y 6x3y2 es 12x3y2.

Para recordar

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas

Para resolver expresiones que involucran varias operaciones con fracciones algebraicas,

primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y divi-

siones y, por último, las adiciones y sustracciones.

Ejemplo 5

Simplifiquemos la expresión ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟÷ ⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎛⎝

⎞⎠

x

a

y

b

xa

y

bxa

y

b– –

2

2

2

2.


adición y sustracción entre

fracciones algebraicas


http://www.youtube.com/

embed/RTrzFF5aSwg

Vínculo web

156


Solución

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟÷ ⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎛⎝

⎞⎠

x

a

y

b

xa

y

bxa

y

b– –

2

2

2

2 Consideramos la expresión inicial.

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟÷ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x b y a

a b

xb ya

ab

xb ya

ab

– –2 2 2 2

2 2 Realizamos las operaciones indicadas en cada paréntesis.

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x b y a

a b

abxb ya

xb ya

ab

–

–

2 2 2 2

2 2 Realizamos la división indicada en el corchete.

=+⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab xb ya xb ya

a b xb ya

xb ya

ab

( – )( )

( – )2 2 Factorizamos y realizamos la multiplicación indicada en el corchete.

= +⎛⎝

⎞⎠

+⎛⎝

⎞⎠

xb ya

ab

xb ya

ab Simplificamos.

=+ +xb ya xb ya

a b

( )( )2 2

Realizamos la multiplicación.

=+xb ya

a b

( )2

2 2 Simplificamos el numerador.

Por tanto, ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟÷ ⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+⎛⎝

⎞⎠ =

+x

a

y

b

xa

y

bxa

y

b

xb ya

a b– –

( )2

2

2

2

2

2 2 para a ≠ 0 y b ≠ 0.

1. Completa las tablas 34.1 y 34.2.

× 24x2y

x

2

3

y

x

–5

6

2

2

xy

y y

3

15 – 53 2

+x y

y x y

–3 – 3

9 92 3

Tabla 34.1

÷ b2a – a2ba b

15 4

a2b2

b a

ab

–

4

2 2

+b ab a

a b

– 3 22 2

3 2

Tabla 34.2

2. Completa las fracciones con los denominadores

que hacen verdadera cada expresión. Considera

que las fracciones algebraicas son homogéneas.

a. =5–

32

2 2a b a ba

� �

b. + + =+ +

7–

6 1

14 492

x x

x x� �3. Completa la tabla 34.3.

Polinomio 1 Polinomio 2Mínimo común

múltiplo

x2 – 3x – 4 x2 – 8x + 16

x2 – 9 x3 – 27

x2 – 3x + 2 x2 – 2x + 1

121xy – 121x2 84xy – 84y2

x2 + 7x – 8 x2 – 2x + 1

4x2 – 8x + 4 x2 – 1

Tabla 34.3


operaciones combinadas


http://www.youtube.com/

embed/Me7T3mCCTcY

Vínculo web

157

4. Efectúa las multiplicaciones y divisiones. Simplifi-

ca las respuestas.

a. �x y

x y

x y

x y

– 4

4 – 8

2 2

2 2

4 3

b. �+

+x x

x x

x x

x x

2 – 6

2 – 15

2 3 – 20

6 – 18

2

2

2

2

c. �+

+x

x

x

x

6 45

– 81

3 – 27

5 252 2

d. �+

+ +x y

x y

x y

x xy y

–

–

3 3

2 2

e. �− +

+ +x

x

x

x

4 14

9 12

–9 – 12

10 35

f. �+x y

x x

x

y x

–

– 2 – 15

3

–

3 3

2

g. �+

ab ax

ab ax

3 – 27

31

3

2 2

h. +

÷x x

x

x– 4 3

2

– 1

2

2

i. +÷

x y

x

x y

x

–

1

–

– 1

2 2

2

j. ÷+

x y x

x y

x y y

xy

–

25

–

5 5

3 2

4

2 4 2

k. +

+÷

x x

x

x

x

– 2 1

1

– 1

– 1

2

2

l. + ++

÷+ +x x

x x

x x

x

7 12

– 12

3 9

– 27

2

2

2

3

m. +

+÷

+m mn n

ma mb na nb

m n

a b

– 3 2

– –

– 22 2

5. Efectúa las adiciones y sustracciones. Simplifica las

respuestas.

a. +

++x xy

x y

xy y

x y– –

2

2 2

2

2 2

b. +

+++

xx

x

x3

5 6

3

2

c. x y

y x

xy

xy–

3

2 2

d. +

++

x

x

x

x

7 – 5

2 3

– – 6

2 3

e. + + +x

x

x

x

x

x

6 5

3 – 1–

8 3

3 – 1–

1

3 – 1

f. +

++

+x x

x x x x x x

3

2 – – 2

2

2 – – 2

2

3 2 3 2

g. +

+ ++

++ +

x x

x x

x x

x x–

– 2

10 21

5 9 – 4

10 21

2

2

2

2

h. +x

x

x

x

22 – 5

–10 25

4 – 252

i. ++a b

b

b a

a

–

j. +xx y

y

y x– –

k. +++

x x

x

x x

x x

– 5

– 25

2 2

2 10

3 2

2

2

2

l. +

+x

x x x– 2 1

1– 12

m. + ++ +

++

x x

x x

x x

x x

3 2

7 10–

– 7 12

2 – 15

2

2

2

2

n. xy

x y

x

x xy y−+

+ +3

3 3 2 2

ñ. +

++

+x

x

x

xx

x

1

– 1

– 1

12

– 1

2

2

6. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica.

a. �++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

xx

x

x2 –

121

– 210 – 3

5

b. + +

+x x x x x x

2

2 5 3–

1

2 – – 6

3

– – 22 2 2

c. ++ + +

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x

x

x x x

2

1

– 1

5 6

122

d. +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y

x x y x y

2 – 2

41 1

–

2 2

e. +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟÷ ⎛⎝

⎞⎠

x y

yx

x y– 2

1–

12 2

f. +

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x

x

xx

x

x

x

– 1

1

2 –

2 – 1–

– 1

2

158

9x + 18

6x + 6

2x + 1

2x + 4

2x + 1

2x + 1

x

x



Factor Factor Producto

x58 x

1

xx

32

2 xx

49

2

xx

85

5x

+x x

x x

– 3

– 5 6

2

2

x – 2

2

+x

x x

– 6

6 92

+ +x x1

( 4)(2 3)

x

x x2 – – 32 +x

x 1

+x1

3 61

Tabla 34.4

8. Analiza y establece el error cometido. Halla la res-

puesta correcta.

÷ +x

xyx

8 – 2

3(2 )

42

= ×+

8 – 2

31

(2 )

4

2

x

xy x

= ×+

x

xy x

2(4 – )

31

(2 )

4

2

=+

×+

x

xy x

2(2 )

31

(2 )

2 2

2

=+ x

xy

2(2 )

3

2

9. Completa la tabla 34.5 si =+

Ax

x x

1

–3 ,

=Bx x

1

2 – – 12 y =+

Cx

x

2 1.

B + A

A – B

A ÷ B

B × C

C + A

Tabla 34.5

10. Simplifica las expresiones.

a. + +

+÷

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x

x

xx

x

x

6 9

4

3

4

2

2

b. +

÷ ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x x

x

x

5

– 4

5– 1

– 1

25 – 502

c. ×+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟÷

+ +x

x

x x

x

x x

x

– 16

– 4

4 4

2 – 8

8 16

– 2

2

2

2 2

d. ×+ +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥÷

+ × ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y

x y

x y

x xy y

x y

x y

x xy y

x y

–

( – )

–

–

– 2

3 3

3 2 2

3 3 2 2

11. Escribe las fracciones ++

1

1

x

x,

++

3 3

1

x

x,

++

4 5

1

x

x,

++

5 7

1

x

x,

++

5 3

1

x

x,

++

6 5

1

x

x y

++

7 7

1

x

x en los hexágonos de la

figura 34.1, de manera que la suma de cualquier

fila de tres hexágonos sea siempre la misma.

Figura 34.1


12. Halla, en cada caso, la expresión para la razón en-

tre el área total de la figura y el área coloreada.

a.

b.

Figura 34.2

159

Resumen

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Si AB

y CD

son fracciones algebraicas, donde B ≠ 0, D ≠ 0 y C ≠ 0, entonces, definimos las siguientes

operaciones:

1. Multiplicación: ⋅ =AB

CD

ACBD

.

2. División: ⋅÷ = =AB

CD

AB

DC

ADBC

3. Adición de fracciones homogéneas: + = +AB

CB

A CB

4. Sustracción de fracciones homogéneas: − = −AB

CB

A CB

5. Adición de fracciones heterogéneas: + = +AB

CD

AD BCBD

6. Sustracción de fracciones heterogéneas: = −AB

CD

AD BCBD

–

Competencias en TIC

13. Con el programa WolframAlpha puedes obtener

los resultados de operaciones con fracciones al-

gebraicas. Para ello, ingresa a la página http://

www.wolframalpha.com. En la sección central

en blanco, digita Simplify rational expressions y da

Enter.

Por ejemplo, para hallar el resultado de la primera

operación del punto 4, �x y

x y

x y

x y

– 4

4 – 8

2 2

2 2

4 3

, en

la sección Rational expression, digita ((x^2–4y^2)/

(x^2y^2))*((x^4y^3)/(4x–8y)), da Enter y obtendrás

el resultado.

Realiza un procedimiento similar para corroborar

los resultados que obtuviste en los puntos 4. y 5.

Figura 34.3

Entretenimiento

14. Observa y analiza la secuencia de la figura 34.4.

¿Cuántos hexágonos azules habrá en el Paso 10?

Figura 34.4

Tema


160

TemaIdeas previas


Determina si la expresión + =+

xx

xx

13 4

3 4 es correcta.

35 Fracciones algebraicas complejas

En algunas ocasiones, se presentan expresiones fraccionarias en las que, tanto en el nu-

merador como en el denominador, se evidencian combinaciones de operaciones con

fracciones algebraicas. Esta clase de expresiones se denominan fracciones algebraicas

complejas o compuestas.

Una fracción en la cual el numerador o el denominador (o ambos) son fracciones alge-braicas o combinación de fracciones algebraicas (mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación o división) se denomina fracción algebraica compleja.

Ejemplo 1

Las siguientes expresiones corresponden a fracciones algebraicas complejas.

+x

yxy

+x y

x y

1 1

1–

1

++

ab

cd

11

Para operar y simplificar fracciones algebraicas complejas, interpretamos cada una de

las operaciones planteadas y vamos operando de la misma manera que con fracciones

numéricas. Analicemos algunos ejemplos.

Ejemplo 2

Simplifiquemos la expresión +1

12

32

– 1.

Solución

Resolvemos primero la adición y la sustracción planteadas en el numerador y el deno-

minador de la fracción compleja, así: +

=1

12

32

– 1

3212

.

Realizamos la divisón entre la fracción del numerador y la fracción del denominador.

= ÷ = × =3212

32

12

32

21

3 . Por tanto, +

=1

12

32

– 13 .

161

Las fracciones algebraicas

complejas permiten mo-

delar problemas de la vida

real. Por ejemplo, el pago

mensual p de la cuota por

un préstamo de $ C a n

meses, con un interés men-

sual de i% sobre el saldo,

se calcula por medio de la

siguiente expresión:

=−

+

pCi

i1

1

(1 )n

.

En qué se aplica

Ejemplo 3

Realicemos las operaciones indicadas y simplifiquemos la fracción algebraica.

+x

x

xx

1

–– 1

1– 1

2

Solución

En el numerador, no hay operaciones indicadas, entonces, comenzamos por la adición

+xx

1– 1

del denominador de la fracción del denominador.

+ =+

=+

xx

x x

x

x x

x1– 1

( – 1) 1

– 1

– 1

– 1

2

Entonces, la fracción compleja original se transforma en la siguiente:

+

=

+x

x

xx

xx

x x

x

1

–– 1

1– 1

1

–– 1

– 1

– 1

2 2

2

Ahora, realizamos la división +

x

x x

x

– 1

– 1

– 1

2

2 teniendo en cuenta que el denominador de

x2 – 1 es 1, es decir: +

=+

x

x x

x

x

x x

x

– 1

– 1

– 1

– 1

1– 1

– 1

2

2

2

2 :

+= ÷

+= ×

+

x

x x

x

x x x

x

x x

x x

– 1

1– 1

– 1

– 1

1

– 1

– 1

– 1

1

– 1

– 1

2

2

2 2 2

2=

+x x

x x

( – 1)( – 1)

– 1

2

2

Reemplazando este resultado en la fracción original, obtenemos lo siguiente:

+

=

+x

x

xx

xx x

x x

1

–– 1

1– 1

1

–( – 1)( – 1)

– 1

2 2

2

Ahora, resolvemos la sustracción planteada en el denominador de la fracción.

+=

++

xx x

x x

x x x x x

x x–

( – 1)( – 1)

– 1

( – 1) – ( – 1)( – 1)

– 1

2

2

2 2

2

=+ +

+=

+ + ++

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x

( – ) – ( – – 1)

– 1

– – – 1

– 1

3 2 3 2

2

3 2 3 2

2 =+

x

x x

2 – 1

– 12

162


1. Simplifica las fracciones numéricas.

a.

+⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

÷

12

3134

56

23

b. +

++

213

11

112

c.

+⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

57

–3

14

12

1217

d.

3 –

1325

21519

– 4

e.

×

+

4

93

15

43

f. +

+

2113

2

113

2. Relaciona cada fracción algebraica compleja con

su simplificación.

a. −x

x

6

22

−x

x

4

16

3

b. −x

x

x

4

16

2

−x–

22

c. +

−

xx

xx

2

512

x x

x

+ −(2 )( 1)

5

2 3

2

d. −−

x

11

12

−x x12

( 4)

3. Simplifica las fracciones algebraicas complejas.

a.

x

x

8–

14

12

–1

b. +

+a

a

13

1

12

3

c. x

x

x

–25

1 –5

d. x

x

1 –11

1 – 2

e. +

x

x

49

16 –81

2

f. x x

x

− −

− +

3 1

22

4. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica las

fracciones algebraicas complejas.

a. +

+x

11

1 –1

11

b. +

+

x xx

xx

x

1–

11

11

–1

c. +

+

x

x

11

1 –1

12– 4

d. +

+

xx

x

x x

21

–– 1

1– 1

–1

1

2

2

Reemplazando este resultado en la fracción original, obtenemos lo siguiente:

+

=

+xx

xx

x

x x

1

–– 1

1– 1

12 – 1

– 1

2

2

.

Lo último que debemos realizar es la división. Debemos tener en cuenta que el 1 del nu-

merador lo expresamos como 11

y así obtenemos

+

=+

xx

xx

x x

x1

–– 1

1– 1

– 1

2 – 12

2

para

x ≠ 1 y ≠x12

.

163

ResumenLas fracciones algebraicas complejas son fracciones en donde el numerador o denominador son fracciones

algebraicas o combinaciones de estas, mediante las operaciones básicas.

Es posible simplicar las fracciones algebraicas complejas usando las propiedades de las operaciones con

números racionales. Veamos.

−−

=− −

xx

x

1

11

11

1

11

1

Usamos que − =−

x

x

x1

1 1.

=− −

xx

1

11

Usamos que − =−x

x

xx

11 1

.

= − −−

x x

x

11

1

Usamos que −−

=− −−

xx

x x

x1

1

1

1.

= −− −x

x x

1

1 Efectuamos la división indicada.

=−x 1

–1 Efectuamos la sustracción del denominador.

= –x + 1 Efectuamos la división indicada.

Por tanto,

−−

= +

x

x1

11

11

– 1 para x ≠ 0 y x ≠ 1.

e.

+

+

xx

x

x

1 –1

1 –1

2 –1

11

f. +

+

x

x

xx

x

–1

11

1

–1

g.

+

+

x

xx

x

13

–4

1 –1

2

2

22

2

h. +

+

xx

xx

x

xx

2–

– 2

2

– 4–

22

i. ++

++ + x

11

11

11

11

1

Competencias en TIC

5. Las fracciones algebraicas complejas permiten

aproximar números irracionales, por ejemplo,

π ≈ ++

31

71

16

. ¿Cuál es la fracción que aproxi-

ma el valor de π? Verifica el valor usando una cal-

culadora.

Entretenimiento

6. Ubica los números 1, 6, 9, 4, 7, 0, 10, 3 en el arre-

glo de la figura 35.1, de manera que cada vertical

sume 10 y cada horizontal sume 7.

Figura 35.1

Tema


164

TemaIdeas previas

5

x + 3

5

x + 3

x – 1x ≠ – 3


¿Cuál es la solución de la ecuación 2x2 + x + 1 = 2?

36 Ecuaciones con fracciones algebraicas

Estudiaremos dos estrategias para resolver ecuaciones que involucran fracciones alge-

braicas. La primera consiste en multiplicar a ambos lados de la igualdad por el m.c.m.

de los denominadores y la otra, en multiplicar en cruz, estrategia que corresponde a la

propiedad fundamental de la equivalencia de fracciones.

Para resolver una ecuación con fracciones algebraicas, realizamos lo siguiente:1. Determinar el valor o los valores que hacen cero el denominador.2. Seleccionar uno de los siguientes métodos.

2.1. Hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones alge-braicas de la ecuación y multiplicar a ambos lados de la igualdad por este valor.

2.2. Multiplicar en cruz las fracciones.3. Resolver la ecuación que resulte del paso anterior, como en el caso de coeficien-

tes enteros.4. Verificar los resultados.

Veamos en qué casos es más conveniente uno u otro método.

Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación + =x x

32

2 1.

Solución

Primero, determinamos el valor para el cual las fracciones no están definidas, es decir,

x debe ser diferente de 0.

Luego, como tenemos una ecuación en la que uno de los términos es una adición, ha-

llamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Esto es, m.c.m. de 2 y x es 2x.

+ =xx

xx

x32

(2 )2

(2 )1

(2 ) Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por 2x.

3x + 4 = 2 Realizamos las multiplicaciones indicadas.

= –23

x Solucionamos la ecuación.

Como al reemplazar en la ecuación original el valor hallado obtenemos una igualdad

cierta y el valor obtenido es diferente de 0, podemos afirmar que =x –23

es solución

de la ecuación dada.

Ejemplo 2

¿Cuál es el valor de x para que las áreas del

cuadrado y del rectángulo de la figura 36.1

sean iguales?

Figura 36.1

165

Solución

Hallemos las áreas de cada figura e igualemos las expresiones

• Área del cuadrado: +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

53

2

. Área del rectángulo: ( )+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

xx

53

1 .

• Ecuación para resolver: ( )+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

x xx

53

53

12

, que equivale a

( )( )

+=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

x xx

25

3

53

12

para x ≠ –3.

( )( ) ( )( )

++ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +

xx

xx x

25

33

53

1 32

2 2 Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por (x + 3)2.

25 = 5(x – 1)(x + 3) Simplificamos.

5 = x2 + 2x – 3 Dividimos entre 5 a ambos lados de la igualdad y multiplicamos binomios.

0 = x2 + 2x – 8 Reducimos términos semejantes.

0 = (x + 4)(x – 2) Factorizamos.

De lo anterior, obtenemos que x = –4 o x = 2. Como la variable representa longitud,

descartamos el primer valor. Al reemplazar el resultado x = 2 en la ecuación, obtene-

mos una igualdad cierta y como es un valor diferente de 3, podemos afirmar que la

respuesta a la pregunta planteada es x = 2.

En la solución de ecuacio-

nes siempre es necesario

verificar las respuestas. Es

decir, reemplazar los valo-

res obtenidos y corroborar

que se obtengan igualda-

des ciertas.

Para recordar

Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación =x x x

4

– 2

43 – 62 .

Solución

Primero, determinamos el valor para el cual las fracciones no están definidas, es decir,

x debe ser diferente de 0 y 2.

4(3x – 6) = 4(x2 – 2x) Multiplicamos en cruz.

12x – 24 = 4x2 – 8x Aplicamos la propiedad distributiva.

x2 – 5x + 6 = 0 Igualamos a 0 y dividimos entre 4.

(x – 3)(x – 2) = 0 Factorizamos el trinomio.

De lo anterior, obtenemos que x = 3 o x = 2. Sin embargo, la solución x = 2 se debe

descartar, porque ese valor no está en el dominio de las expresiones racionales que

forman la ecuación.

La propiedad fundamen-

tal de la equivalencia de

fracciones se define así:

si =ab

cd

, a × d = b × c.

Para recordar

Ejemplo 4

Hallemos los valores de las constantes A y B, tales que +

+ +=

++

+2 1

4 4 ( 2) ( 2)2 2

x

x x

Ax

B

x.

Solución

++ +

=++

x

x x

x

x

2 1

4 4

2 1

( 2)2 2 Factorizamos.

+ ++

=+

++

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+x x

x

Ax

B

xx

(2 1)( 2)

( 2) ( 2) ( 2)( 2)

2

2 22 Multiplicamos a ambos lados de la

ecuación original por (x + 2)2.

166


Observa los ejercicios 1 a 5. Escoge el valor o valores

para los cuales la fracción algebraica no está definida.

1. + =x x2 1

24

a. –2 b. 2

c. 0 d. 4

2. + =x x

13 – 5

24

a. 5 y 0 b. 53

y 0

c. 35

y 0 d. 53

y 35

3. ++

=x x

2– 2

12

– 2

a. 2 y 0 b. –2 y 0

c. 2 y –2 d. 2

4. =+x x x

3

– 9–

7– 3

–432

a. 3 b. 0 y 3

c. –3 y 0 d. –3 y 3

5. + =+x x x

2

16 – 1

14 – 1

54 12

a. 4 y –4 b. –14

y 4

c. 14

y –14

d. –4 y 14


a. + =x x5

34

b. =x

x182

c. =x3

– 8 13 d. + =xx4

– 4

e. +

=x

x4

3– 4 f.

+=

x x3 7

8

21 – 5

3

g. =+x x5 – 16

12

28

5 h.

+=

x x2 1

5

4 – 3

9

7. Completa las siguientes ecuaciones con los valo-

res de A, B y C.

a. + −

=−

++

x

x x

Ax

Bx

2

3 4 1 42

b. + −− −

= +−

+−

x x

x x xAx

Bx

Cx

2 1

(2 1)( 2) 2 1 2

2

c. + −

=+

+−x x

Ax

Bx

5

2 3 2 ( 2) (2 1)2

d. +

+ −=

++

−x

x x

Ax

Bx

4 3

2 15 ( 5) ( 3)2



Ecuación m.c.m. de los

denominadores

++

=– 1 1

– 12

x

x

x

x

++

=– 1

–3

11

2

2

x x

x x

+ =9 –

59– 9

xx x

+ =+

4

25 – 1

35 – 1

25 12x x x

+=5

6 – 7

2

– 12 2x x x

+ =+

3

– – 2

3– 2

112x x x x

Tabla 36.1

+ =+ ++

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+xA x B

xx(2 1)

( 2)

( 2)( 2)

22 Realizamos la adición dentro del corchete.

2x + 1 = A(x + 2) + B Simplificamos términos.

2x + 1 = Ax + (2A + B) Aplicamos las propiedades distributiva y asociativa.

Como las expresiones de los lados de la ecuación son polinomios, son iguales si los

coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Así: 2 = A y 1 = 2A + B.

Resolviendo para B, tenemos 1 – 2A = B. Como A = 2, entonces, B = 1 – 2(2) = –3.

167

Resumen

Las ecuaciones con fracciones algebraicas nos permiten modelar situaciones. Para solucionar dichas ecua-

ciones, podemos usar el método del m.c.m. de los denominadores o el de producto en cruz. Modelemos

y solucionemos la siguiente situación.

Ejemplo

Un quinto de un número es seis veces menos que la mitad del número. ¿Cuál es el número?

Solución

Si x es el número desconocido, la ecuación que modela la situación es = −x x5 2

6 .

= −x x

5

12

2 Realizamos la sustracción del lado derecho.

2x = 5(x – 12) Multiplicamos en cruz.

2x = 5x – 60 Aplicamos la propiedad distributiva.

60 = 5x – 2x Agrupamos términos semejantes.

60 = 3x Simplificamos.

20 = x Despejamos el valor de x.

Al reemplazar x = 20 en la ecuación, obtenemos una igualdad cierta, por tanto, es solución del problema.

9. Completa la tabla 36.2 con las soluciones de las

ecuaciones del punto 8.

Ecuación Solución

++

=– 1 1

– 12

x

x

x

x

++

=– 1

–3

11

2

2

x x

x x

+ =9 –

59– 9

xx x

+ =+

4

25 – 1

35 – 1

25 12x x x

+=5

6 – 7

2

– 12 2x x x

+ =+

3

– – 2

3– 2

112x x x x

Tabla 36.2


10. La mitad del cuadrado de un número es igual a

la cuarta parte del número aumentado en uno.

¿Cuál es el número?

11. La tercera parte de un número aumentado en uno

es igual al recíproco del número disminuido en

uno. ¿Cuál es el número?

12. Alejandro y Felipe fueron contratados para pintar

un edificio. Alejandro puede pintar el edificio en

15 días si trabaja solo, mientras que Felipe puede

hacer el trabajo en 20 días. Si trabajan ambos, ¿en

cuántos días terminarán el trabajo?

13. Juan y Juliana viajan por el río en una canoa. Si Juan

rema solo, el viaje se realiza en 3 horas. Si Juliana le

ayuda, el viaje se hace en 2 horas. ¿Cuánto tiempo

se demora el viaje si solo rema Juliana?

168


x ( x + 1)

1x

Los hermanos Aureliano y José Arcadio estaban obstinados en que su padre

los llevara a conocer la portentosa novedad de los sabios de Memphis.

Tanto insistieron, que José Arcadio Buendía pagó el dinero en reales, corres-

pondiente a tres entradas, y los condujo hasta el centro de la carpa, donde

había un gigante de torso peludo y cabeza rapada, con un anillo de cobre en la

nariz y una pesada cadena de hierro en el tobillo, custodiando un cofre de pira-

ta. Al ser destapado por el gigante, el cofre dejó escapar un aliento glacial. Den-

tro sólo había un enorme bloque transparente, con infinitas agujas internas

en las cuales se despedazaba en estrellas de colores la claridad del crepúsculo.

Desconcertado, sabiendo que los niños esperaban una explicación inmediata,

José Arcadio Buendía se atrevió a murmurar:

–Es el diamante más grande del mundo.

–No –corrigió el gitano–. Es hielo, y si averiguas su volumen te devolveré tu

dinero más uno sobre el valor de tu dinero.

GARCÍA MÁRQUEZ, Gabriel. Cien años de soledad. Bogotá: Editorial Norma, 1967.


1. Si el bloque de hielo mencionado en el texto tuvie-

ra una forma como la que aparece en la figura 5.1,

es cierto afirmar que el volumen

a. se puede calcular multiplicando el área de la

base cuadrada 12x

por la altura x(x + 1).

b. se puede calcular multiplicando el área de la

base cuadrada x(x + 1) por la altura 1x

.

c. se puede calcular multiplicando el área de la

base rectangular 1 2( )x

por la altura (x + 1).

d. se puede calcular multiplicando el área de la

base rectangular x(x + 1) por la altura 1x

.

Figura 5.1

2. Las expresiones “te devolveré tu dinero más uno

sobre el valor de tu dinero” y “te devolveré tu dinero

más uno, sobre el valor de tu dinero” se representan

algebraicamente de la misma manera? Justifica tu

respuesta.


3. La expresión “te devolveré tu dinero más uno sobre el

valor de tu dinero” se representa matemáticamente

mediante la expresión 1+xx

para x ≠ 0. Una frac-

ción algebraica equivalente es

a. 1−x

x para x ≠ 0. b. x2 + 1 para x ≠ 0.

c. 12 +x

x para x ≠ 0. d. 1−

xx para x ≠ 0.

4. Según la figura 5.1, la expresión algebraica simpli-

ficada con la cual se puede determinar el volumen

del bloque de hielo es

a. 1+x

x para x ≠ 0. b.

12 +x

x para x ≠ 0.

c. 1+x

x para x ≠ –1. d. 12 +x

x .

5. Si el dinero que pagó José Arcadio Buendía más

uno sobre el valor del dinero es igual a 33 reales

sobre el dinero pagado, menos el dinero pagado,

¿cuál ecuación modela la situación?

169



1. Interpreto información presentada en una figura.


3. Modelo una situación problema empleando fracciones algebraicas.

4. Modelo una situación problema empleando fracciones algebraicas y las simplifico.

5. Modelo una situación matemática a partir de una ecuación con fracciones algebraicas.

6 Resuelvo ecuaciones que involucran ecuaciones algebraicas.

7 Identifico las operaciones involucradas en la solución de una ecuación con fracciones algebraicas.

8 Simplifico correctamente dos fracciones algebraicas.

9 Resuelvo problemas que involucran la solución de una ecuación con fracciones algebraicas complejas.

10 Resuelvo problemas que involucran la solución de una ecuación con fracciones algebraicas.

a. 1 33+ = −xx x

x

b. –1 33= +xx x

x

c. 1 33+ = +x

x xx

d. 1 33

–+ =x

x xx

6. Teniendo en cuenta el punto anterior, ¿cuánto di-

nero pagó José Arcadio Buendía?

a. 2 reales b. 3 reales

c. 4 reales d. 12 reales

7. ¿Qué operaciones con fracciones algebraicas em-

pleaste en la solución de dicha ecuación?

a. Adición y sustracción

b. Adición y multiplicación

c. Sustracción y división

d. Multiplicación y división

8. Si al llegar la noche y como producto del deshielo,

el volumen del cubo se encuentra dado por la ex-

presión 1

1

12( )

( )+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x

x x

x , para x ≠ 0 y x ≠ –1,

la fracción equivalente a este volumen es

a. 1+x

x para x ≠ 0 y x ≠ –1.

b. 1( )+x x

x para x ≠ 0 y x ≠ –1.

c. 1

1+x para x ≠ 0 y x ≠ –1.

d. 1

12( )+x para x ≠ 0 y x ≠ –1.


9. Muchos años después el coronel Aureliano Buendía había de recordar aquella tarde remota en que su pa-

dre lo llevó a conocer el hielo.

Si uno sobre uno menos uno sobre la edad que

tenía el coronel en ese entonces equivale a 65

,

¿cuántos años tenía el coronel cuando su padre lo

llevó a conocer el hielo?

10. Gabriel García Márquez (1927–2014) es un escritor

colombiano que ganó el premio Nobel de litera-

tura en el año de 1982 por su novela Cien años de

soledad. Soluciona el siguiente acertijo y sabrás

cuántos años dedicó a escribir dicha novela.

Si el número de mariposas amarillas que rodeaban siempre a Mauricio Babilonia, aumentado en dos, divi-dido en el número de ellas disminuido en 8 equivale a 2, ¿cuántas mariposas rodeaban siempre a Mauricio?

Tema


170

TemaIdeas previas

32 cm

x

xx

x

x

24 cm

32 −2x 24 −2x

Funciones

Escribe una expresión algebraica para el enunciado “El perímetro de un cuadrado más

10 unidades es igual a 34 unidades”. ¿Cuál es la medida del lado de dicho cuadrado?

37 Concepto de función

Sara debe construir una caja sin tapa partiendo de una lámina rectangular de cartón de

24 cm de ancho por 32 cm de largo. Piensa cortar en las esquinas cuadrados idénticos de

cualquier longitud y doblar hacia arriba lo que queda para formar la caja (ver figura 37.1).

¿Cómo se puede expresar el volumen de la caja para cualquier tamaño del cuadrado que

se corte en las esquinas?

Para responder la pregunta, Sara debe plantear una expresión matemática que le per-

mita encontrar el valor del volumen de la caja. Este valor se obtiene cuando ella corta el

cuadrado de cualquier longitud de lado en cada una de las esquinas de la lámina.

El valor del volumen depende de la longitud del cuadrado que se corte. Si llamamos x a

la longitud del cuadrado de las esquinas y V al volumen, tenemos lo siguiente:

V = largo × ancho × altura

V(x) = (32 − 2x)(24 − 2x)x V(x) = 4x3 − 112x2 + 768x

Ahora, calculemos el volumen para diferentes valores de x (ver tabla 37.1).

x V(x)

1 cm 4(1)3 – 112(1)2 + 768(1) = 4 – 112 + 768 = 660 cm3

2 cm 4(2)3 – 112(2)2 + 768(2) = 32 – 448 + 1536 = 1120 cm3

5 cm 4(5)3 – 112(5)2 + 768(5) = 500 – 2800 + 3840 = 1540 cm3

Tabla 37.1

En la expresión escrita, cada valor que tome x, entre 0 y 24, produce solamente un valor

para V. Este tipo de expresiones reciben el nombre de funciones.

Figura 37.1

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos A y B, que asigna a cada uno de los elementos del conjunto A uno y solamente uno de los elementos del conjunto B. Los elementos de A se llaman entradas o preimágenes y los de B, sa-lidas o imágenes. El conjunto de las preimágenes es el dominio y el subconjunto de B correspondiente a las imágenes, el rango de la función.

Evaluar una función sig-

nifica hallar el valor único

del rango que corresponde

a un valor específico de

su dominio. Por ejemplo,

evaluar la función

f (x) = –x + 3 en –1, significa

calcular

f (–1) = –(–1) + 3 = 4,

es decir, a –1 le correspon-

de 4.

Para recordarCuando el valor de una variable y depende del valor de una variable x, se dice que y es

función de x. Esto se representa como y = f (x) y se lee “y es igual a f de x”. En este caso, x

es la variable independiente y y la variable dependiente.

Ejemplo 1

Hallemos el volumen de la caja si Sara corta cuadrados de lado 3 cm en cada esquina.

Solución

Evaluamos V(x) en x = 3 cm.

V(3) = 4(3)3 − 112(3)2 + 768(3) = 1404. Por tanto, el volumen de la caja es 1404 cm3.

171

Costos de producción

Co

sto

($

)

Número de artículos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

En muchas situaciones de

la vida cotidiana se aplica el

concepto de función; por

ejemplo, en la asignación

del número del docu-

mento de identidad, en

la velocidad que lleva un

auto en cada momento de

su desplazamiento, entre

otros.

En qué se aplica

La arista es un segmento

que corresponde a la inter-

sección de dos caras planas

de un poliedro.


Escribamos cada una de las siguientes expresiones en términos de una función.

a. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.

b. El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista.

Solución

a. Llamemos A el área del cuadrado y x la longitud del lado. Entonces, tenemos que A(x) = x2, porque el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado la longitud de su lado. En este caso, la variable independiente es la longitud del lado (x) y la variable dependiente es el área (A).

b. Si V es el volumen del cubo y x la medida de su arista, entonces, tenemos que V(x) = x3, porque el volumen de un cubo se calcula elevando a la tres la longitud de su arista. La variable independiente es la medida de la arista (x) y la variable dependiente es el volumen (V).

Ejemplo 3

El costo en que incurre una compañía al producir diariamente determinada cantidad

de artículos es proporcional al número de artículos producidos. Si el costo de producir

10 unidades diariamente es $ 75 000 y si produce 25 artículos diarios, es $ 187 500,

entonces, la fórmula que determina el costo diario en que incurre la compañía al pro-

ducir x artículos diariamente es c(x) = 7500x.

a. ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?

b. Si el costo fue $ 135 000, ¿cuántos artículos se produjeron diariamente?

Solución

La fórmula c(x) = 7500x nos muestra cómo los costos de producir cierto artículo están

en función de la cantidad de artículos que se producen al día, es decir, la variable c(x)

es la variable dependiente, pues el valor que tome depende principalmente del valor

de la variable x, la cual corresponde a la variable independiente.

a. Para hallar el costo de producir 20 artículos al día, resolvemos lo siguiente:

c(20) = 7500 × 20 Reemplazamos x por 20 en la fórmula c(x) = 7500x.

c(20) = 150 000 Efectuamos la multiplicación indicada.

Así, concluimos que el costo de producir 20 artículos al día es $ 150 000.

b. Debemos hallar el valor de la variable independiente x que cumpla la ecua-ción c(x) = 135 000.

7500x = 135 000 Igualamos c(x) = 7500x y c(x) = 135 000.

135 000

7500=x Despejamos x.

x = 18 Efectuamos la división indicada.

Por tanto, si el costo es de $ 135 000, se producen

18 unidades diariamente.

La gráfica del costo de producción se muestra

en la figura 37.2.

Figura 37.2

172


90 cm

45 cm

x

1. Escribe la función que representa cada enuncia-

do. En cada caso, determina cuál es la variable in-

dependiente y cuál es la dependiente.

a. El área (A) de un círculo es igual al producto de π por el cuadrado del radio (r).

b. El perímetro (P) de un cuadrado es cuatro ve-ces la longitud del lado (l).

c. El costo mensual del servicio de telefonía móvil (C) es de $ 165 por cada minuto, más $ 6700 de cuota fija.

d. El valor de y es igual a la mitad del valor de x disminuido en tres octavos.

2. Halla el dominio de las siguientes funciones.

a. ( ) – 1=f x x b. ( ) – 13=f x x

c. ( )1=f xx

d. ( )1

2=

+f x

x

e. ( )3 4

=+

f xx

x f. f(x) = x2 + 5x + 6

3. Completa la tabla 37.2 evaluando cada función en

los valores dados.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) = –5x

f(x) = 2x + 1

f(x) = x2 + x

=+

( )5

f xx

x

=( ) 20 –f x x

Tabla 37.2



Figura 37.3

a. Escribe una expresión para el volumen del acuario.

b. Determina el volumen del acuario para las si-guientes medidas de x.

x V(x)

15 cm

25 cm

30 cm

40 cm

Tabla 37.3

5. Determina si cada una de las siguientes tablas

describe una función. Justifica tus respuestas.

a. x 1,5 2,3 3,2 1,5 4,1

y 3 5 8 4 3

Tabla 37.4

b. Focotopias 1 2 3 5 10

Precio ($) 60 120 180 300 600

Tabla 37.5

Elige la opción correcta y justifica tu elección para los

problemas 6 y 7.

6. Dados los conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} y

B = {1, 3, 5, 7, 9}, se define f(x) = x – 1 de A en B.

Se puede afirmar que

a. f(x) no es función, porque hay un valor de A que no tiene imagen.

b. f(x) sí es función, porque a todo número siem-pre es posible sustraerle 1.

c. f(x) sí es función, porque a cada elemento de A le corresponde un único elemento en B.

7. Lee la información de la tabla 37.6.

Artículo Valor

Hamburguesa $ 12 500

Pizza $ 5800

Papas a la francesa $ 4900

Perro caliente $ 4900

Gaseosa $ 2200

Tabla 37.6

173

Resumen

Caminata

Dis

tan

cia

a la

sa

lida

Horas

7 8 9 10 11 12 13 14 150

5

10

15

20

25

30

35

40

Una función es una relación que establece una correspondencia entre cada elemento de un

conjunto (denominado dominio) y un único elemento de un conjunto (llamado rango). La no-

tación f(x) = y indica que la función f establece correspondencia entre x y el valor y, donde y es

la variable dependiente y x la variable independiente.

De acuerdo con la tabla, se puede afirmar que:

a. La tabla no representa una función, porque hay dos artículos con el mismo precio.

b. La tabla sí representa una función, porque a todo artículo le corresponde un precio.

c. La tabla no representa una función, porque no hay una regla de asignación.

d. La tabla sí representa una función, porque las preimágenes son los artículos.


8. Un grupo de estudiantes realizó una caminata a

una reserva natural cerca de la ciudad. Se reunieron

en las afueras de la ciudad y desde ese punto salie-

ron caminando hasta la reserva. El trayecto de ida y

regreso (distancia en kilómetros desde el lugar de

salida) se representa en la figura 37.4.

Figura 37.4

a. ¿A qué hora partieron hacia la reserva?

b. ¿Cuántos kilómetros recorrieron desde que salieron hasta llegar al primer descanso?

c. ¿Cuánto tiempo se detuvieron en el primer descanso?

d. Si en la reserva estuvieron 1,5 horas, ¿a cuán-tos kilómetros está la reserva de la salida de la ciudad?

e. ¿En qué trayecto caminaron más rápido: en la primera hora de viaje o en la primera hora después del primer descanso?

f. Comparando los tiempos empleados entre el primer descanso y la reserva natural, ¿dónde caminaron más lentamente: en la ida o en el regreso?

g. ¿A qué hora empezaron el regreso?

h. ¿Cuándo emplearon más tiempo: en el viaje de ida o en el de regreso?

9. La distancia en pies de un objeto que cae en el

vacío está dada por la función s(t) = 16t2. La varia-

ble independiente t representa el tiempo y está

medida en segundos.

a. Halla s(0), s(1), s(2), s(3).

b. Halla e interpreta el valor s(3) – s(2).

c. Interpreta el valor s(b) – s(a).

Competencias en TIC

10. Un arquitecto diseña un local que tiene la forma

de un cuadrado con medio círculo montado so-

bre uno de los lados del cuadrado.

a. Si x es la longitud del lado del cuadrado, ex-presa el perímetro del local P(x) como una función de x.

b. Toma como valor aproximado de π el núme-ro decimal 3,14 y utiliza una calculadora para completar la tabla 37.7.

x 2 3 4 6 8 16

P(x) 24,56

Tabla 37.7

Tema


174

Tema

Ideas previas

Ve

nta

s (m

illo

ne

s d

e p

eso

s)

Mes

X

Y

21 4 6 83 5 7 9 10

5

10

15

20

Funciones

Completa la tabla evaluando la función g definida por la ecuación g(x) = 2x2 – 1 en los

valores dados.

x −3 −2 −1 0 1 2 3

g(x)

Tabla 38.1

38 Representación gráfica de una función

Lorena tiene una pequeña industria de confecciones. Ella trazó una gráfica

para representar el comportamiento de sus ventas durante los primeros

diez meses del año de existencia de su negocio (ver figura 38.1).

En el primer mes de funcionamiento, es decir, para x = 1, sus ventas fueron

de $ 5 000 000.

En los siguientes dos meses, las ventas se incrementaron y alcanzaron el

máximo valor en x = 3, es decir en marzo. Luego, se presentó un descenso en

las ventas. El mes con el menor ingreso fue junio, x = 6.

Podemos construir la tabla 38.2 con algunos valores aproximados de la

función, a partir de la representación gráfica en el plano cartesiano.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y (en millones pesos) 0 5 10 15 12,7 6,3 2,5 7,5 6,3 8,1 8,4

Tabla 38.2

Figura 38.1

Una función y = f(x) se representa gráficamente en el plano cartesiano como la unión de los puntos de la forma (x, y), donde los valores de la variable independiente se localizan en el eje horizontal (X), y los valores de la variable dependiente, en el eje vertical (Y).

Una manera de organizar

los puntos que genera

una función es utilizando

una tabla de correspon-

dencia entre dos filas: en

la primera fila se escriben

los valores de la variable

independiente y en la

segunda fila, los valores de

la variable dependiente.

Para recordar

Ejemplo 1

Consideremos la función g(q) = 2q + 3. En

este caso, el valor de g depende del valor de

q; por tanto, q es la variable independiente

(eje X) y g es la variable dependiente (eje Y).

Elaboremos una tabla con algunos valores.

q g(q) = 2q + 3

–2 g(–2) = 2(–2) + 3 = –1

–0,5 g(–0,5) = 2(–0,5) + 3 = 2

–1 g(–1) = 2(–1) + 3 = 1

0 g(0) = 2(0) + 3 = 3

0,5 g(0,5) = 2(0,5) + 3 = 4

1 g(1) = 2(1) + 3 = 5

1,5 g(1,5) = 2(1,5) + 3 = 6

2 g(2) = 2(2) + 3 = 7

Tabla 38.3

175

q

Y

–2–4 2 4

–2

2

4

6

g(q)

X

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

Y

2

2

–2

–2–4

4

6

4

X

Y

X

Y

–2–4 2 4

–2

2

4

6

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

Ejemplo 2

Determinemos cuáles representaciones corresponden a funciones.

a. c.

b.

Figura 38.4

Solución

a. Esta representación corresponde a la de una función, ya que para cada valor de x hay un solo valor en y. El dominio de la función es el conjunto de los números reales y el rango, el conjunto de los números reales positivos.

b. Esta representación no corresponde a la de una función, ya que cada valor de x tiene dos valores en y.

c. Esta representación no corresponde a la de una función, porque algunos va-lores de x tienen más de una imagen en y.

No todas las gráficas en el plano cartesiano representan funciones. Recordemos que

en una función f, cada valor x en el dominio tiene una y solamente una imagen f(x), de

manera que la gráfica de una función debe cumplir la prueba de la línea vertical.

La representación gráfica

de funciones se debe en

gran parte al matemático

francés René Descartes,

quien además fue el prime-

ro en utilizar el término de

función.

Para recordar

El electrocardiograma es

la representación gráfica

de la actividad eléctrica del

corazón por medio de una

función en un plano.

En qué se aplicaUbiquemos los puntos anteriores en el plano

cartesiano y unámoslos con una línea continua

(ver figura 38.2). En este caso, el dominio y el ran-

go de la función son todos los números reales.

Figura 38.2

Prueba de la línea vertical

Una curva en el plano es la representación grá-fica de una función si y solamente si cualquier recta paralela al eje Y interseca la gráfica máximo en un punto.

Figura 38.3

176


–2–4 2 4

–4

–2

2

4

y = x 2 −1

X

Y

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

6

4 6

X

Y

1 2 3 4

–2

–1

1

2

X

Y

20 40 60 80 100

200

100

300

400

Alt

ura

(cm

)

Edad (años)

Y

X

1. Observa la gráfica de la función f en la figura 38.5.

Figura 38.5

a. Completa la tabla de acuerdo con la función f.

x –2 –1 0 0,5 1 2

f(x)

Tabla 38.4

b. Escribe todos los valores de x para los que se cumple que f(x) = 0.

c. Escribe todos los valores de x para los que se cumple que f(x) = −1.

d. Escribe todos los valores de x para los que se cumple que f(x) = 8.

e. Halla el dominio y rango de f(x).


2. Determina cuáles gráficas de las figuras 38.6a a

38.6d representan funciones. Explica tu respuesta.

a.

b.

c.

d.

Figura 38.6

3. La gráfica de la figura 38.7 presenta la relación en-

tre la edad y la altura de un elefante.

Figura 38.7

a. ¿La gráfica corresponde a la de una función? Explica tu respuesta.

b. Aproximadamente, ¿cuál es la altura de un elefante de 10 años?

c. Aproximadamente, ¿cuál es la altura de un elefante de 20 años?

d. Aproximadamente, ¿cuál es la altura de un elefante de 40 años?


4. Un barril vacío, en forma de cilindro circular recto,

tiene capacidad para 20 litros y pesa 2550 gramos.

Escribe la función que da el peso total del barril

según la cantidad de agua, en litros, que contiene.

177

Resumen

La representación gráfica de una función g en el plano cartesiano es el conjunto

de puntos de coordenadas (x, g(x)), donde x pertenece al dominio de la función g.

5. El número de habitantes de una región se deter-

mina mediante la realización de un censo demo-

gráfico. En Colombia, se han realizado varios cen-

sos con los resultados que se representan en la

tabla 38.5.

Año Número de habitantes

1905 4 533 777

1912 5 472 604

1918 5 855 077

1928 7 851 110

1951 11 548 172

1964 17 484 508

1973 20 785 235

1985 27 837 932

1993 33 109 840

2005 44 888 592

Tabla 38.5

De acuerdo con los datos de la tabla 38.5...

a. Ubica los resultados de los diferentes censos en un plano cartesiano.

b. Explica a partir de la gráfica por qué el con-junto de puntos representa una función.

c. ¿Ha disminuido la población a lo largo de los años?

d. ¿En cuánto se incrementó la población en el último siglo?

e. Aproximadamente, ¿cuántos habitantes te-nía Colombia en el 2000?

Competencias en TIC

6. Para representar gráficamente funciones, pode-

mos utilizar el programa WolframAlpha. Para ello,

ingresa a la página http://www.wolframalpha.com.

Por ejemplo, para conocer la gráfica de la función

=+−

( )2

42f x

x

x, digita en la casilla central Graph

(x+2)/(x^2-4), da Enter y obtendrás la gráfica de la

figura 38.8.

Figura 38.8

Utiliza WolframAlpha para trazar la gráfica de las

siguientes funciones.

a. f(x) = –x b. = +( )3

1f xx

c. f(x) = –3x + 1 d. f(x) = x2 + 1

e. f(x) = x3 + 1 f. f(x) = –x2 + 1

7. Javier tiene cierta cantidad de ladrillos de igual

tamaño. Siempre que construye una pared cua-

drada, le faltan o le sobran ladrillos. Lo mismo le

ocurre cuando arma un cubo.

Andrés tiene el doble de ladrillos que Javier y pue-

de construir una pared cuadrada usando todos los

ladrillos. Lucía tiene el triple de ladrillos que Javier

y puede armar un cubo usando todos los ladrillos.

¿Cuál es el menor número de ladrillos que puede

tener Javier?


Tema


178

TemaIdeas previas

–2–4 2 4

–2

–4

2

4

6Y

X

Funciones

¿Cuáles funciones están representadas gráficamente por una recta?

f(x) = x + 1 g(x) = 2x h xx

( )1= i(x) = 2x2 – 1 j(x) = –x3 – 3

39 Función lineal y función afín

Función lineal

Dentro de los tipos de funciones que más se utilizan en aplicaciones de las Matemáti-

cas, están las que pueden representarse por una línea recta o un fragmento de ella. Es-

tas funciones se conocen como funciones lineales y permiten representar un aumento

o una disminución constante.

Una función es lineal si un cambio en la variable independiente produce un cambio

proporcional en la variable dependiente. Por ejemplo, si sabemos que un automóvil

viaja con una velocidad constante de 60 km/h, la distancia d que recorre dicho automó-

vil es proporcional al tiempo t. La fórmula para determinar la distancia d en función del

tiempo t está dada por d(t) = 60t.

Una función que puede escribirse como f(x) = mx, donde m representa una constan-te (número real diferente de 0), se denomina función lineal. m se conoce como la pendiente o razón de cambio de f(x) con respecto a x. En general, se escribe y = f(x).

La gráfica de la función lineal es una línea recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

Una función lineal cumple las siguientes propiedades.

• f(a + b) = f(a) + f(b)

• f(ka) = kf(a), donde k es un número real.

Una expresión lineal es

una expresión algebraica

cuya variable tiene expo-

nente 1.

Para recordar

El dominio y el rango de

una función lineal es el

conjunto de los números

reales R, excepto que se

presenten restricciones

por alguna situación en

particular.

Para recordar

Ejemplo 1

La gráfica de la figura 39.1 corresponde a una función lineal. Hallemos la expresión lineal

que la representa y mostremos que cumple las dos propiedades de este tipo de función.

Solución

Elaboramos una tabla con algunos puntos de la función.

x y

−3 6

−2 4

−1 2

0 0

2 –4

Tabla 39.1Figura 39.1

Analizando la tabla 39.1, observamos que, para obtener cada

valor de y, multiplicamos por −2 el correspondiente valor de

x, es decir, la expresión que representa a la función es y = −2x,

donde m = −2.

Verifiquemos que la función f(x) = −2x cumple las propieda-

des de una función lineal.

• f(a + b) = −2(a + b) = −2a + (−2b) = f(a) + f(b)

• f(ka) = −2(ka) = k(−2a) = kf(a)

179

–1–2 1 2

–1

–2

1

2

3Y

X

m < 0 m > 0

m = 0

Para calcular el valor de la pendiente, tomamos dos puntos de la gráfica de la función

lineal (la recta): (x1, y1) y (x2, y2) y realizamos la división =–

–1 2

1 2

my y

x x.

Para reconocer si una función f(x) dada por una tabla de datos es lineal, verificamos que los cocientes de las diferencias en los valores de y entre las correspondientes diferencias de x sea constante.

Ejemplo 2

Determinemos si los datos de la tabla 39.2

pueden representar una función lineal.

El subíndice de la variable

x representa dos valores

x1 y x2 que son diferentes.

Para recordar

−−

≠−−

y y

x x

y y

x x2 1

2 1

2 1

1 2

Para recordar

Figura 39.2

Ejemplo 3

La tabla 39.3 muestra el precio de compra de deter-

minada cantidad de litros de una sustancia química.

Ubiquemos los puntos dados en un plano cartesiano

y encontremos la ecuación de la función lineal que

representa ese precio.

x 8 12 20 36

y 2 3 5 9

Tabla 39.2

Solución

3 – 2

12 – 8 Reemplazamos los puntos (8, 2) y (12, 3) en

−−

y y

x x2 1

2 1

.

14

= Efectuamos las operaciones indicadas.

3 – 5

12 – 20 Reemplazamos los puntos (20, 5) y (12, 3) en

−−

y y

x x2 1

2 1.

–2

–814

= = Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos la fracción.

Al realizar un proceso similar con otros puntos de la tabla 39.2, podemos notar que el

cociente de las diferencias de valores de y entre los correspondientes valores de x es

constante: igual a 14

.

Por tanto, todos los pares de puntos de la tabla 39.2 hacen parte de la recta de la fun-

ción lineal 14

=y x .

Litros Precio en $

0 0

1 1800

2 3600

3 5400

5 9000

7 12 600

Tabla 39.3

La pendiente de una recta puede ser positiva o negativa, como se muestra en la figura

39.2. Si consideramos el caso en que m = 0, tenemos una ecuación lineal, que es la fun-

ción constante 0, es decir, f (x) = 0.

180

–4–8 4 8

–4

–8

4

8

12

(5, 3)(–5, 0)

(0, 3)

Y

X

Pre

cio

(p

eso

s)

Cantidad de sustancia química (litros)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2000

4000

6000

8000

10 000

12 000

14 000

Solución

Para ubicar estos puntos, realizamos una gráfica de precio versus litros de la sustancia

química, teniendo en cuenta que la variable dependiente está determinada por los

precios, mientras que la variable independiente está definida por los litros de la sus-

tancia que se adquieren (ver figura 39.3).

Figura 39.3

Para encontrar la ecuación de la función lineal, calculamos el valor de la pendiente.

9000 5400

5 3=

−−

m Reemplazamos los puntos (5, 9000) y (3, 5400) en =my y

x x

–

–1 2

1 2

.

36002

1800= =m Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos la fracción.

y = 1800x Reemplazamos m = 1800, en la ecuación general de una recta y = mx.

Una función de la forma y = mx + b se denomina función afín de la función lineal y = mx. Los valores m y b son fijos. El valor de m se denomina pendiente y el valor de b se conoce como ordenada de la intersección de la línea recta con el eje Y.

La gráfica de una función afín es una línea recta que no pasa por el origen del plano cartesiano.

Ejemplo 4

En la figura 39.4 se muestran las gráficas de la función

lineal 35

=y x y su función afín 35

3= +y x .

En estos casos, la pendiente de las rectas es

= ←←

mx

y35 cambio en

cambio en. En la función afín b = 3, por tan-

to, el punto de corte de la recta con el eje Y es (0, 3).

La relación entre la de-

manda de un artículo y su

precio de venta está dada

mediante una función afín.

En qué se aplica

El dominio y el rango de

una función afín es el con-

junto de los números reales

R, excepto que se presen-

ten restriciones por alguna

situación en particular.

Para recordar

Figura 39.4

Función afín

La definición de función afín generaliza la definición de función lineal y muestra la estre-

cha relación que hay entre una y otra. Veamos.

181


70 140 210

(245, 0)

(70, –20)

(0, 70)

(70, 50)

(140, 30)

280

–30

–60

30

60

90p

q

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

Ejemplo 5

Determinemos una función que represente la demanda semanal de un producto, te-

niendo en cuenta que si la demanda por semana es 70 unidades, el precio por unidad

es de $ 50; y si la demanda es de 140 unidades, el precio por unidad es de $ 30.

Solución

Como el precio depende de la cantidad de unidades demandadas, la cantidad de uni-

dades (q) es la variable independiente y el precio (p) es la variable dependiente.

En la figura 39.5, representamos la gráfica de la función afín que modela el problema

y la gráfica de la función lineal, de pendiente –2070

–27

= =m , asociada a esa función

afín. La función afín pasa por el punto (0, 70), de donde obtenemos que la función que

representa la demanda es 27

70= − +p q .

Analicemos ahora cuál es el dominio y el rango de esta función en particular. Como

estamos hablando de unidades de un producto y de sus precios, estos deben ser nú-

meros reales positivos. Además, observando la gráfica, el precio obtiene un valor 0

cuando se ofrecen 245 productos; de este punto en adelante, no tiene sentido la situa-

ción. Por tanto, el dominio es el intervalo (0, 245) y el rango, el intervalo (0, 70).

Figura 39.5

1. Escribe la función lineal o afín que modela cada

enunciado.

a. El valor de y es igual a la mitad del valor de x.

b. El perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de uno de sus lados.

c. El valor de y es igual al producto del opuesto de seis y el valor de x.

d. El valor de y es igual al triple del valor de x, aumentado en siete.

e. El costo de un servicio de taxi es de $ 50 por cada unidad más $ 3500 de tarifa fija.

f. La altura de un árbol es igual a tres centíme-tros por su edad en años más 24 cm.

g. El valor mensual del servicio de luz es de $ 190 por kilovatio más una cuota básica de $ 4500.

2. Determina cuáles gráficas de las figuras 39.6a a

39.6d representan funciones lineales o afines.

a.

b.

c.

d.

Figura 39.6

Dos rectas paralelas tienen

pendientes iguales.

El producto de las pen-

dientes de dos rectas

perpendiculares es –1.

Para recordar

182

–1

–1

1

1

X

Y

3. Determina si cada punto pertenece a la función

lineal o afín dada.

a. (2, 5) y = 2,5x

b. 13

, 1( ) y = 3x

c. 12

,35( )

310

=y x

d. (−2,6, 8,84) y = −3,4x

e. (−2, 3) y = 2,5x + 8

f. 13

,34( )

112

–14

= −y x

g. (−2,5, 8,5) y = −3x + 1



a. La gráfica de la función afín y = mx − b es pa-ralela a la gráfica de la función lineal y = mx.

b. Los puntos (2, 5) y (−3, −5) pertenecen a la representación gráfica de una función afín.

c. Si dos rectas en el plano son paralelas, repre-sentan dos funciones afines asociadas a la misma función lineal.

5. Halla la ecuación de la recta que tiene pendiente

m y pasa por el punto P.

a. m = 1; P = (0, 5)

b. m = –5; P = (2, –4)

c. m = 0; 12

, 2( )=P

d. 14

=m ; P = (–3, –1)

6. Halla la ecuación de las siguientes rectas.

a. Pasa por los puntos (2, 3) y (−1, 6).

b. Tiene pendiente 3 e intersecto –7 en Y.

c. Pasa por el punto (2, −1) y es paralela a la recta de ecuación y = 6x + 9.

d. Pasa por los puntos (0, 0) y (1, 3).

e. Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4, –5).

f. Pasa por el punto (−3, 4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (−4, 3).

7. Representa gráficamente las siguientes funciones

lineales y afines.

a. ( )35

=f x x b. f(x) = −1,5x

c. y = x d. 34

= −y x

e. y = 3,5x + 2 f. 23

– 1= −y x

g. ( )12

3= +f x x h. f(x) = −4x + 5


8. Para trazar la gráfica de la función f(x) = x3 – 2x, se

utiliza la tabla 39.4.

x –1 0 1

y 1 0 –1

Tabla 39.4

La gráfica se muestra en la figura 39.7.

Figura 39.7

a. ¿La gráfica de la figura 39.7 corresponde a la gráfica de f (x) = x3 – 2x?

b. Agrega los siguientes valores de x a la tabla:

–3, –2, –5, 5, 2 y 3. Traza la gráfica utilizando

estos valores. ¿Qué piensas ahora con respec-

to a la pregunta del literal a., referida a esta

nueva gráfica? Discute tus resultados con un

compañero.

c. Escriban una reflexión sobre las conclusiones a las que pudieron llegar en los literales a. y b.

Competencias en TIC

9. Utiliza una calculadora graficadora o un programa

y traza la gráfica de la función f(x) = x3 – 2x. Com-

párala con los resultados del ejercicio 8.

183

Resumen

X

Y

30 60 90 120

(0, 50)

(120, 80)

–20

20

40

60

80

• Existen dos tipos de funciones que tienen por gráfica una línea recta.

Función lineal: si la recta pasa por el origen del plano cartesiano.

Función afín: si la recta no pasa por el origen del plano cartesiano.

• Una función de la forma f(x) = mx, donde m ∈ R, recibe el nombre de función lineal y

cumple las propiedades f(a + b) = f(a) + f(b) y f(ka) = kf(a), donde k es un número real.

• Una función de la forma f(x) = mx + b se denomina función afín de la función lineal

f(x) = mx. Los valores m y b son fijos.


10. En una tienda deportiva, cada camiseta de un

equipo de fútbol tiene un costo de $ 58 500.

a. Escribe una función lineal que relacione el costo de cada camiseta con el valor que debe pagarse por la compra de x camisetas.

b. Representa gráficamente la función lineal ha-llada en el literal a.

c. ¿Cuánto se debe pagar por la compra de 25 camisetas?

11. Observa la tabla 39.5 y realiza lo que se solicita.

a b

−3 −4,5

−1,5 −2,25

0 0

2 3

Tabla 39.5

a. Escribe una función lineal que relacione las variables a y b.

b. Representa gráficamente la función lineal que hallaste en el literal a.

c. ¿Cuál es el valor de b si a = −4,5?

12. Una empresa A de telefonía móvil cobra a sus afi-

liados una cuota mensual fija de $ 6700 más $ 130

por cada minuto de tiempo al aire. La compañía B

cobra una cuota mensual fija de $ 6300 más $ 150

por cada minuto utilizado.

a. Escribe una función afín que represente el valor por pagar en la compañía A al utilizar x minutos.

b. Escribe una función afín que represente el valor por pagar en la compañía B al utilizar x minutos.

c. Representa gráficamente las dos funciones halladas en los literales a. y b.

d. ¿Cuánto debe pagar un cliente de la compa-ñía A si utiliza 150 minutos mensuales?

e. ¿Cuánto debe pagar un cliente de la compa-ñía B si utiliza 200 minutos mensuales?

13. La figura 39.8 representa la demanda mensual de

un artículo.

Figura 39.8

a. Escribe una función afín que represente la demanda del artículo.

b. Determina el dominio y el rango de la función.

Tema


184

TemaIdeas previas

Funciones

Evalúa las funciones f(x) = 2x y g xx

( )2= para diez valores de x.

Describe el comportamiento de cada función a medida que x se hace mayor.

40 Funciones de variación directa e inversa

En una tienda de helados, determinan que sus ventas mensuales V varían directamente

con respecto al valor invertido en publicidad B e inversamente con respecto al precio de

un helado P. Determinemos una función que relacione el total de las ventas con el valor

invertido en publicidad y otra que relacione el total de las ventas con el valor de un helado.

Como V y B están relacionados directamente, el cociente de ellas es igual a una cons-

tante k, es decir, =VB

k y así V = kB.

Como V y P se encuentran relacionados inversamente, el producto de las dos magni-

tudes es igual a una constante k, es decir, VP = k; por tanto, =VkP

.

Si el valor de y varía directamente con respecto al valor de x, se dice que y es una función de variación directa con respecto a x y y = kx. Si el valor de y varía inversa-mente con respecto al valor de x, se dice que y es una función de variación inversa

con respecto a x y =ykx

para x > 0. En ambos casos, k se denomina constante de variación y k > 0.

Ejemplo 1

Consideremos la situación de la tienda de helados. Si la constante de variación es

k = 3, la función que relaciona el total de las ventas con el valor invertido en publicidad

es V = 3B y la función que relaciona el total de las ventas con el valor de un helado es

3=VP

, donde B y P son las variables independientes y V la variable dependiente.

a. Representemos gráficamente las dos funciones.

b. Determinemos las ventas mensuales de la tienda de helados si se invierten $ 40 000 en publicidad.

Solución

a. Elaboramos una tabla de valores para cada una de las funciones, teniendo en cuenta que los valores de B y P, por el hecho de que corresponden a dinero, deben ser números positivos.

Dos magnitudes son direc-

tamente proporcionales si

al aumentar una, aumenta

la otra o si al disminuir una

también disminuye la otra

y, además, el cociente entre

las dos es constante. Dos

magnitudes son inversa-

mente proporcionales si al

aumentar una disminuye la

otra y viceversa y, además,

el producto de las dos es

constante.

Para recordar

La distancia que recorre

un cuerpo a una velocidad

constante está relaciona-

da directamente con el

tiempo empleado. Si v es

la velocidad constante,

d la distancia recorrida

en t unidades de tiempo,

entonces, v = d × t.

En qué se aplica

B V

0 0

0,5 1,5

1 3

2 6

Tabla 40.1

P V

0 No está definida

0,5 6

1 3

2 1,5

Tabla 40.2

185


B

V

0,5 1,5 2,51 2

1,5

3,0

4,5

6,0

P

V

1 2 3 4 5

3

6

9

12

Ejemplo 2

La distancia que recorre el sonido varía directamente con el tiempo que este viaja.

Si el sonido viaja 1340 metros en 4 segundos, ¿qué distancia recorre el sonido en 5

segundos?

Solución

Sean d: distancia recorrida por el sonido y t: tiempo empleado en el recorrido.

Como d varía directamente con t, d = kt.

Reemplazamos en la ecuación anterior d = 1340 y t = 4. Por tanto, k = 335, entonces, la

ecuación de relación directa entre las variables d y t es d = 335t.

Por tanto, la distancia que recorre el sonido en 5 segundos es d = 335 × 5 = 1675 me-

tros.

Ejemplo 3

Un recorrido de 20 km se hace a una velocidad v. Si 20

201( )= =v

t t, determinemos

si v es de variación inversa.

Solución

v es proporcional a la expresión 1t

, por tanto, v es de variación inversa con respecto

a t. La tabla 40.3 presenta los valores de la velocidad para determinados instantes de

tiempo. En ella, se puede ver cómo disminuyen los valores de la velocidad a medida

que los valores del tiempo aumentan.

Tiempo (t) Velocidad (v)

1 20

2 10

2,5 8

3 6,67

3,5 5,71

Tabla 40.3

Figura 40.1

Figura 40.2

La representación gráfica de B es una semirrecta que comienza en el origen

(ver figura 40.1) y la representación gráfica de P es una curva que no corta a

ninguno de los dos ejes (ver figura 40.2).

b. En este caso, tenemos que hallar el valor de V conociendo los valores de k y de B; por tanto, V = 3 × 40 000 = 120 000, es decir, las ventas mensuales son de $ 120 000.


1. Determina si la variación que hay entre cada pa-

reja de magnitudes es directa o inversa. Escribe la

función de variación entre ellas.

a. La velocidad y la distancia recorrida por un automóvil durante un período determinado de tiempo.

b. El salario mensual de un empleado y la canti-dad de dinero que debe pagar por impuesto sobre ingresos.

c. La velocidad con que corre un atleta, y el tiempo utilizado en un recorrido.

d. El tiempo que emplea en derretirse un cubo de hielo sumergido entre agua, y la tempera-tura del agua.

e. El número de calorías consumidas por una persona y la cantidad de ejercicio que debe realizar para quemarlas.

2. Si y varía directamente respecto a x:

a. Determina el valor de y, si x = 12 y k = 6.

b. Determina el valor de x, si y = 24 y k = 8.

c. Determina el valor de k, si x = 10 y y = 40.

186

Resumen

3. Si y varía inversamente con respecto a x...

a. Determina el valor de y si x = 18 y k = 12.

b. Determina el valor de x si y = 32 y k = 6.

c. Determina el valor de k si x = 24 y y = 28.

4. A varía directamente con respecto a B y varía inver-

samente con respecto a C. Determina el valor de A

si B = 12, C = 4 y k = 3.

5. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.


a. En la función 8=yx

, si el valor de x aumenta,

entonces, el valor de y aumenta.

b. En la función y = 4,5x, si el valor de x disminu-ye, entonces, el valor de y aumenta.

c. La representación gráfica de una función de variación directa es la misma que la de una función afín.

d. La representación gráfica de una función de variación inversa es una línea recta.

e. Si y varía inversamente con respecto a x y el valor de x se triplica, entonces, el valor de y

también se triplica.

Responde las preguntas 6 y 7 de acuerdo con las tablas

40.4 y 40.5.

Una función de la forma y = kx, para k > 0, es de variación directa.

Una función de la forma =ykx

, para x > 0 y k > 0, es de variación inversa.

En ambos casos, k se denomina constante de variación.

x y

252

1012

2014

Tabla 40.4

z w

6 2

9 3

15 5

27 9

36 12

Tabla 40.5

6. ¿La variación entre x y y es directa o inversa? ¿Cuál

es el valor de k? Escribe la función de variación.

7. ¿La variación entre z y w es directa o inversa? ¿Cuál

es el valor de k? Escribe la función de variación.


8. La utilidad por la venta de computadores varía

directamente con respecto al número de compu-

tadores vendidos. Cuando se venden 65 compu-

tadores, la utilidad es 4160 dólares.

a. Escribe una función de variación directa que relacione la utilidad u con la cantidad de computadores vendidos q.

b. ¿Cuál es el valor de k?

c. Determina la utilidad que produce la venta de 80 computadores.

d. Si la utilidad es 7488 dólares, determina la cantidad de computadores vendidos.

e. Representa gráficamente la función de varia-ción hallada.

9. El tiempo t requerido para construir un muro varía

inversamente con respecto al número de perso-

nas que trabajan en él. Si 5 trabajadores necesitan

8 horas para construir el muro...

a. Escribe una función de variación inversa que relacione el tiempo t con la cantidad de tra-bajadores m.

b. ¿Cuál es el valor de k?

c. Determina el tiempo empleado por 4 hom-bres para hacer el mismo muro.

d. Representa gráficamente la función de varia-ción hallada.

Tema


187

Ideas previas

d

v

700200

1700

1400 2100 2800 3500

–20

20

40

60

80

a b

f (a)

f (b)

y = f ( x )

Y

X

a b

f (a)

f (b)

y = f ( x )

Y

X

X

Y

a b

f (a)

f (b)

y = f ( x )

Funciones

Clasificación Interpretación gráfica

Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de valores a y b en el intervalo, se tiene que si a < b, entonces, f (a) < f(b). La gráfica de la función sube de izquier-da a derecha.

Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de valores a y b en el intervalo, se tiene que si a < b, entonces, f (a) > f(b). La gráfica de la función va bajando de izquierda a derecha.

Una función f es constante en un intervalo si para todo valor a en el intervalo, los valores de f (a) son siempre iguales. La gráfica de la fun-ción es una recta horizontal.

Tabla 41.1

Grafica las funciones f(x) = 3x + 1 y g(x) = –3x – 1. ¿Cuál es el punto de corte de cada

gráfica con respecto al eje Y? ¿Qué diferencias observas en las dos gráficas?

41 Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Daniel participa en una carrera de atletismo. En la figura 41.1, se muestra la velocidad de

Daniel a lo largo del recorrido de la carrera.

Al observar la gráfica de izquierda a derecha, vemos que la función que representa la

velocidad que lleva Daniel está dividida en tres partes: en la primera de ellas, la gráfica

sube; en la segunda parte, es una recta horizontal; y en la tercera parte, la gráfica baja.

En cada una de estas partes, la función recibe el nombre de creciente, constante y de-

creciente, respectivamente.

Figura 41.1

Conoce otro ejemplo

para diferenciar funciones

crecientes decrecientes y

constates, ingresando a la

página http://www.

youtube.com/watch?v=

Dgl23EjUtRs&hd=

Vínculo web

188


X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

4 6

X

Y

1

–1

–

–2

2

2ππ π

X

Y

5

9 17

5

–5

–5

10

15

10 15 20

20 40 6010 30 55

–2

–4

2

4

6Y

X

Ejemplo 1

En la gráfica de la figura 41.1, observamos que la función f...

• Es creciente en el intervalo [0, 200), debido a que los valores de la variable depen-

diente aumentan a medida que los valores de la variable independiente lo hacen.

• Es constante en el intervalo de [200, 1700], porque el valor de la variable depen-

diente siempre es el mismo para cualquier valor de la variable independiente.

• Es decreciente en el intervalo (1700, 3500], puesto que la velocidad de Daniel va

disminuyendo a medida que aumenta la distancia recorrida.

Ejemplo 2

Determinemos los intervalos en los que la grá-

fica de la figura 41.2 es creciente, decreciente o

constante.

Solución

En la tabla 41.2, resumimos la información.

Creciente Decreciente Constante

[0, 10) (30, 55) (-∞, 0) (55, +∞) [10, 30]

Tabla 41.2

Figura 41.2

1. Explica con tus palabras cada uno de los siguien-

tes conceptos.

a. Función creciente.

b. Función decreciente.

c. Función constante.

2. Determina los intervalos en los que la función es

creciente, decreciente o constante a partir de la

gráfica de cada función.

a.

b.

c.

Figura 41.3

189

Resumen

X

Y

5

10

–10

–5

20

30

10 15 20

Tiempo (minutos)

Niv

el d

e a

gu

a

t

Y

1,0

1,5

2,0

2,5

0,5

10 20 30 40 50

Horas

Nú

me

ro d

e t

ele

vid

en

tes

X

Y

8000

6000

4000

2000

2 4 6 8 10 12

10 000

Con base en la figura 41.6, concluimos que la función es creciente en los

intervalos (0, 5] y (5, 15]; decreciente en los intervalos (−5, 0] y (15, ∞); y

constante en el intervalo (−∞, −5].

Figura 41.6




a. La gráfica de la función afín y = 3x – 4 es cre-ciente en todo su dominio.

b. Si y representa una función de variación di-recta con respecto a x, la gráfica de la función y es decreciente.

c. Si y representa una función de variación in-versa con respecto a x, la gráfica de la función y es constante.

4. Traza la gráfica para cada función de acuerdo con

las condiciones dadas.

a. Creciente en (−∞, −2). Constante en [−2, 14). Decreciente en [14, ∞).

b. Decreciente en (−∞, −10). Creciente en [−10, 20). Decreciente en [20, ∞).


5. La audiencia que tiene un canal de televisión en

un día del año se muestra en la gráfica de la figura

41.4.

a. Determina los intervalos en los que la función es creciente.

b. Determina los intervalos en los que la función es decreciente.

c. Determina los intervalos en los que la función es constante.

Figura 41.4

6. La variación de la altura del agua en un tanque

que se llena con una bomba y que cuenta con

dos llaves que controlan la salida y la entrada del

agua se muestra en la gráfica de la figura 41.5.

a. Determina los intervalos en los que la función es creciente.

b. Determina los intervalos en los que la función es decreciente.

c. Determina los intervalos en los que la función

es constante.

Figura 41.5

190


Proveedor 1

Cliente 1

Cliente 2

Cliente 3

Cliente 4

Cliente 5

Proveedor 2

Proveedor 3

Huerta

1 2 3 4

Bu

lto

s d

e p

ap

a

Bultos de lechuga crespa

0

3

6

9

12

15

¿Te has preguntado alguna vez cómo son cultivados los alimentos que consumes y que das a tu

familia a diario? Es muy probable que la respuesta sea negativa. Aun así, la mayoría de agriculto-

res orgánicos comenzaron por hacerse esta pregunta antes de dejar de consumir alimentos de

producción extensiva (con uso de químicos para la conservación del producto) y comenzar a

producir diversos alimentos orgánicos. Esta es la pregunta que hace una huerta orgánica ubicada

en Cundinamarca, la cual tiene 3 fanegadas (19 200 m2) de gran variedad de productos orgánicos.

Adaptado de [en línea] <http://www.urosario.edu.co/Plaza-Capital/CIUDADANIA/Cultivos-organicos,-una-opcion-de-

vida-sana-y-auto/> [citado el 28 de julio de 2014].


1. Completa la afirmación teniendo en cuenta el tex-

to anterior: Las fanegadas son una medida de

a. longitud. b. área.

c. volumen. d. capacidad.

2. Si 3 fanegadas equivalen a 19 200 m2 , ¿a cuántos

m2 equivale una fanegada?

3. Si una hectárea equivale a 10 000 m2, ¿a cuántas

hectáreas corresponde una fanegada?

En la huerta, se cultivan verduras, hortalizas, plantas aro-

máticas y algunas veces papa criolla. Y, aunque se tiene

una gran variedad, se comercializan otros productos or-

gánicos cultivados en pequeñas parcelas aledañas a la

huerta.

El siguiente esquema representa la relación entre los

proveedores de la huerta y los lugares donde se comer-

cializan los alimentos.

Figura 6.1

4. Determina el valor de verdad de las siguientes afir-

maciones de acuerdo con la figura 6.1.

a. La relación proveedores-huerta es una fun-ción, porque de cada proveedor sale una úni-ca flecha a la huerta.

b. La relación huerta-clientes no es función, por-que la huerta comercializa sus productos con más de un cliente.


5. Entre los productos con mayor demanda están la

papa sabanera y la lechuga crespa. Por cada bulto

de papá que se vende, se venden 3 bultos de le-

chuga. Si x representa los bultos de papa vendido y

f(x) los bultos de lechuga crespa vendidos, escribe

una expresión que represente esta relación.


Figura 6.2

¿Esta figura representa la relación entre los bultos

de papa sabanera y lechuga crespa vendidas, des-

crita en el punto 5?

La figura 6.3 representa la función del crecimiento ve-

getativo y del crecimiento reproductivo de una varie-

dad de papa en un periodo de 120 días.

191


0 15

Plántula Desarrollo Crecimiento, tuberculación y producción

Crecimiento vegetativo

( Días )

Crecimiento reproductivo

Madurez fisiológica

30 45 90 95 120

1 2 3 4 6

Mill

on

es

de

pe

sos

Meses

0

1

3

5

7

9

11

13


1. Interpreto información presentada en textos.

2. Establezco relaciones entre magnitudes.


4. Determino cuándo una relación es una función.

5. Establezco la expresión algebraica correspondiente a una función.

6. Identifico la representación gráfica de una función de variable discreta.

7. Diferencio los periodos de crecimiento y decrecimiento de una función.

8. Identifico periodos constantes en una función.

9. Reconozco las gráficas correspondiente a una función.

10. Grafico una función a partir de una tabla de valores.

Figura 6.3

7. ¿Qué se puede afirmar acerca de la función de cre-

cimiento vegetativo en el intervalo [15, 45]?

8. En cuanto a la función de crecimiento reproducti-

vo, es correcto afirmar que

a. la función siempre es creciente.

b. la función siempre es decreciente.

c. de los 45 a 90 días, aproximadamente, la fun-ción tiene un intervalo de decrecimiento.

d. de los 95 a los 120 días, aproximadamente, la función es constante.

9. La figura 6.4 representa la función de costo de pro-

ducción de la huerta durante el primer semestre

del año. ¿Qué ecuación la representa?

Figura 6.4


Una característica de los productos 100% orgánicos

es que no emplean ningún químico como insecticida.

Para tales efectos, usan diferentes productos naturales

como uno elaborado con cáscara de cebolla cabezona.

La siguiente función representa la disminución en por-

centaje de la efectividad del insecticida natural una vez

aplicado: ( )100=f x

x para x número de días después

de la aplicación.

10. Evalúa la función para los valores de x: 1, 2, 5 y 10.

¿Cuál es el dominio y rango de f(x)?¿f(x) es una fun-

ción lineal o afín? ¿f(x) es creciente o decreciente?


192


Prueba



x

5

x2 – 2x – 3

x2

5

(x – 3)

5x x – 3

(x + 1)

x

5x + 3

(x + 1)a2 – ab + b2

a2 + ab + b2

4. Determina cuál es el sólido cuyo volumen está re-

presentado por 5x3 – 15x2.

A.

B.

C.

D.

Figura 2.2

5. La siguiente igualdad está incompleta.

�++

−+ =

− +1

1

2

1

1 4

( 1)( 1)2x

x

x

x

x x

La expresión que falta es

A. x2 – 1.

B. x + 1.

C. x2 + 1.

D. x – 1.

1. Como preparativo para su fiesta de cumpleaños,

Bruno quiere ofrecer torta de chocolate (cortada

en 15 pedazos) y pastel de manzana (cortada en 6

pedazos). Si dispone de dos tortas de chocolate y

tres pasteles de manzana, ¿cuál es la máxima can-

tidad de bandejas que puede organizar con todos

los postres si cada bandeja debe tener la misma

cantidad de tortas y pasteles?

A. 6

B. 3

C. 2

D. 1

2. Con el objetivo de mejorar la atención al cliente, se

aumentó la superficie rectangular de una plaza de

mercado. El largo de la plaza aumentó el doble de

lo que aumentó el ancho. Si el área final se puede

expresar como 2x2 + 33x + 130, donde x representa

el aumento en el ancho, ¿cuáles eran las dimensio-

nes originales (largo × ancho) de la plaza?

A. 13 × 10

B. 15 × 12

C. 12 × 13

D. 8 × 13

3. Observa la figura.

Figura 2.1

La expresión que representa el área del triángulo es

A. + +

2

4 2 2 4a a b b.

B. 2(a4 + a2b2 + b4).

C. +2

2 2a b.

D. 2(a2 + b2).

193

0

28

30

32

34

36

38

40

12:30 pm1:00 pm

1:30 pm2:00 pm

2:30 pm

Lo

ng

itu

d d

e

la s

om

bra

(cm

)

Hora del día

0

28

30

32

34

36

38

40

12:30 pm1:00 pm

1:30 pm2:00 pm

2:30 pm

Lo

ng

itu

d d

e

la s

om

bra

(cm

)

Hora del día

0

28

30

32

34

36

38

40

12:30 pm1:00 pm

1:30 pm2:00 pm

2:30 pm

Lo

ng

itu

d d

e

la s

om

bra

(cm

)

Hora del día

0

28

30

32

34

36

38

40

12:30 pm1:00 pm

1:30 pm2:00 pm

2:30 pm

Lo

ng

itu

d d

e

la s

om

bra

(cm

)

Hora del día

¿Cuál de las siguientes gráficas describe adecuadamente la información presentada en la tabla 2.1?

A.

B.

C.

D.

Figura 2.3

6. Acerca de la expresión

++

11

11

x

x

, para x ≠ 0, se puede afirmar que

A. su solución es +

2

1

x

x para x ≠ 0.

B. su solución es ++

( 1)

2 1

x x

x para x ≠ 0 y ≠ − 1

2x .

C. su solución es +

2

1

x

x para x ≠ 0 y x ≠ –1.

D. su solución es ++

(2 1)

1

x x

x para x ≠ 0 y x ≠ –1.

7. La tabla 2.1 muestra la información sobre la longitud (en cm)

de la sombra de un objeto, que se encuentra ubicado en un

mismo lugar, a diferentes horas del día.

Hora del díaLongitud de la

sombra (cm)

12:30 p. m. 40

1:00 p. m. 37

1:30 p. m. 34

2:00 p. m. 31

2:30 p. m. 28

Tabla 2.1

194

8. El salario semanal de un vendedor de seguros, en miles de

pesos, está en función del número de pólizas nuevas vendi-

das, tal como se muestra en la figura 2.4.

Si el vendedor desea tener el salario de $ 840 000 en una

semana, ¿cuántas pólizas nuevas debe vender en una

semana?

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

Sa

lari

o s

em

an

al

Número de pólizas

02 4 6 8 10 12 14 16

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 2 3 4 5 6

200

100

300

400

Dis

tan

cia

(k

m)

Tiempo (h)

Y

X

9. La gráfica de la figura 2.5 muestra la distancia recorrida por una persona

en un automóvil en un periodo de tiempo.

Con base en la información de la gráfica, se puede afirmar

que

A. la persona va en su automóvil a una velocidad constante, porque, para cualquier distancia, el cociente entre este valor y el tiempo empleado en recorrer dicha distancia siempre es igual.

B. a la segunda hora, alcanzará una velocidad de 200 km/h.

C. la función descrita es creciente, porque entre más tiem-po transcurre, el automóvil recorre más kilómetros.

D. la función descrita es decreciente, porque entre más tiempo transcurre, el automóvil recorre menos kilóme-

tros, dado que se acerca a su punto de llegada.

Figura 2.4

Figura 2.5

10. El tiempo empleado por una persona en cepillarse los dien-

tes por sesión es inversamente proporcional al número de

caries a desarrollar. Daniel desarrolló cuatro caries durante

un año y empleó un promedio de tiempo de cepillado de

30 segundos. Si aumenta el tiempo de cepillado a 2 minu-

tos en promedio, ¿crees que se incrementará el número de

caries que desarrollará en un año? Justifica tu respuesta.

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Disminuirá a 1

195



1.Reconozco el uso del mínimo común múlti-

plo en situaciones diversas.

Razonamiento


2.Resuelvo y modelo problemas en situacio-

nes de variación en contextos geométricos.

Formulación


3. Represento algebraicamente situaciones.Interpretación

y representaciónNo genérico

4.Represento y uso expresiones algebraicas

equivalentes.

Razonamiento


5.Realizo adiciones y sustracciones con frac-

ciones algebraicas.

Formulación


6.Reconozco y simplifico fracciones algebrai-

cas complejas.

Formulación


7.

Establezco y modelo relaciones entre

propiedades de las gráficas y situaciones de

variación.

Interpretación


8.Uso representaciones y procedimientos en

situaciones de proporcionalidad directa.

Razonamiento


9.

Identifico las características gráficas de

las funciones crecientes, decrecientes y

constantes.

Formulación


10.Reconozco y describo relaciones entre

magnitudes.

Interpretación



1 2 3 4 5 6 7 8 9

A A A A A A A A A

B B B B B B B B B

C C C C C C C C C

D D D D D D D D D

✗ ✗ ✗

✗

✗

✗

✗ ✗ ✗

196

Capítulo Geometría

196

3

197


Identifica

Temas

Analiza

Opina

42. Razonamiento inductivo

43. Razonamiento deductivo

44. Construcción de la geometría

45. Ángulos y rectas perpendiculares

46. Rectas paralelas

47. Rectas paralelas y triángulos

48. Triángulos congruentes

49. Aplicación de la congruencia de triángulos

50. Congruencia de triángulos rectángulos

51. Mediatrices y bisectrices

52. Desigualdades en un triángulo

53. Paralelogramos

54. De cuadrilátero a paralelogramo

55. Cuadriláteros especiales: rectángulos, rombos y trapecios

1. ¿Quiénes están interesados en mostrar los elementos urbanos de una ciudad?2. Cuándo lees “La ciudad son sus habitantes … haz parte de ella”, ¿a qué crees que

te están invitando?3. ¿De qué otra forma se podría difundir este mensaje?4. ¿A quiénes les llamaría la atención la imagen y la frase de esta valla?

1. ¿Qué características tiene una valla publicitaria?2. ¿Qué diferencia existe entre la ciudad en la que vives hoy y la ciudad en la que

vivieron tus abuelos?3. ¿Qué formas geométricas distingues en las construcciones que muestra la ima-

gen de la ciudad actual?4. ¿Podrías pensar en tu ciudad como un gran plano cartesiano? Explica por qué. 5. ¿Qué relación geométrica puedes establecer entre los ejes viales (calles, carreras,

autopistas) de tu ciudad? Identifícalas. 6. ¿Tu ciudad fue concebida en forma radial concéntrica, en cuadrícula, sin planea-

ción o de forma mixta?7. ¿Qué clase de ángulos se forman entre los tejados y las paredes de las construc-

ciones que se muestran en la imagen?

1. ¿Qué diferencia existe entre un apartamento o una casa construidos en 1960 y un apartamento o una casa construidos en 2013?

2. ¿Qué formas tienen las construcciones de tu colegio y qué espacios modificarías o incluirías?

198




Calle 12

Carr

era

10

Car

rera

9

Car

rera

8

Car

rera

7

Car

rera

6

Carr

era

5

Carre

ra 4

Calle 13

Biblioteca

Universidad

Iglesia

Museo

Banco

1. Un grupo de investigación realizó 4 experimentos

para seleccionar el procedimiento que limpiara más

el aire. El primer procedimiento dejó el 30% del aire

más limpio; el segundo, el 15%; el tercero, el 45%; y

el cuarto, el 20%. ¿Cuál crees fue el seleccionado?

a. El primer procedimiento .

b. El segundo procedimiento.

c. El tercer procedimiento.

d. El cuarto procedimiento.

2. Observa la imagen.

La brújula está apuntando a

a. 36º en la dirección Sur-Este.

b. 45º en la dirección Norte-Este.

c. 330º en la dirección Sur-Oeste.

d. 315º en la dirección Norte-Oeste.

3. Observa la imagen.

Los destellos de luz se pueden representar geomé-

tricamente a través de

a. una recta.

b. un rayo.

c. un segmento.

d. un ángulo.

4. Observa el plano de la figura 3.1.

Figura 3.1

A partir de la información del plano, se puede con-

cluir que

a. la carrera 8 y la calle 11 son paralelas.

b. las carreras 7 y 6 son perpendiculares.

c. la carrera 7 y la calle 11 son paralelas.

d. la carrera 6 y la calle 11 son perpendiculares.

5. Sean α, β y γ los ángulos internos de un triángulo.

Si α = 45º y β = 65º, entonces, la medida de γ es

a. 70º.

b. 75º.

c. 80º.

d. 85º.

✗

✗

✗

✗

✗

199


PARECEDA

EL PASO

PARE CEDA EL PASO SIGA DE FRENTE


1. Analizo situaciones de la vida cotidiana para sacar conclusiones.

2. Identifico el ángulo como parte de un objeto físico de medición.

3. Identifico rectas, rayos, segmentos o ángulos en diferentes situaciones.

4. Reconozco las rectas paralelas y perpendiculares como parte de un plano físico.

5. Reconozco la medida de los ángulos internos de un triángulo.

6. Identifico la relación entre la medida de los lados y ángulos internos en un triángulo.

7. Uso la noción de congruencia para establecer relaciones entre objetos físicos.

8. Identifico los polígonos como parte de un objeto físico.

9. Identifico las características de un trapecio.

10. Identifico la noción de paralelismo en la figura de un rectángulo.

6. Si un triángulo es rectángulo y ninguno de sus la-

dos tiene la misma medida, se puede afirmar acer-

ca de sus ángulos agudos que

a. su suma es 100º.

b. son iguales.

c. su suma es 90º.

d. su suma es mayor que 100º.

7. Flor pintó un bodegón sobre vidrio y quiere man-

darlo a enmarcar.

Si las dimensiones del vidrio son 22,5 cm de largo

por 18,5 cm de ancho, entonces, el ancho y largo

del marco (bordes internos), respectivamente, son

a. 22,5 cm por 22,5 cm.

b. 22,5 cm por 18,5 cm.

c. 18,5 cm por 22,5 cm.

d. 18,5 cm por 18,5 cm.


Figura 3.2

Las señales de tránsito que tienen forma de polí-

gonos son

a. Pare y Ceda el paso.

b. Ceda el paso y Siga de frente.

c. Pare, Ceda el paso y Siga de frente.

d. Pare y Siga de frente.

9. En cualquier trapecio, se cumple que

a. dos lados son perpendiculares.

b. dos lados son paralelos.

c. los cuatro lados tienen la misma medida.

d. los cuatro lados tienen diferente medida.

10. Para comprobar que una figura es un rectángulo,

se debe corroborar que

a. todos sus lados tienen la misma medida.

b. sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

c. todos sus lados tienen diferente medida.

d. sus dos pares de lados opuestos son perpen-diculares.

✗

✗

✗

✗

✗

Tema

Pensamientoespacial

200

1 2 3 4

1 3

2 3 4

6

Diferencia

10

a1

a2

a3

a4

Ideas previas

Geometría

Leonardo de Pisa (1175 – 1258), también conocido como Fibonacci, fue uno de los

primeros europeos en usar el sistema de numeración hindú-arábigo, en lugar de los

numerales romanos. Es conocido por la sucesión de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

1. ¿Cuál crees que es la regla de formación que siguen estos números?

2. ¿Cuáles son los tres siguientes términos de la sucesión?

42 Razonamiento inductivo

En la figura 42.1, se presentan algunos arreglos triangulares elaborados con fichas cua-

dradas.

El número de fichas cuadradas utilizadas en cada arreglo se indica en la tabla 42.1.

El razonamiento inductivo lleva a la formulación de una conclusión a partir de un patrón evidenciado en ejemplos específicos o experiencias del pasado. Se generaliza a partir de unos ejemplos.

Observemos la lista de los números de la figura 42.2 que representa a los de la tabla 42.2.

ArregloNúmero de fichas

cuadradas

1 1

2 3

3 6

4 10

Tabla 42.1

¿Cuántos cuadrados se necesitan para el séptimo arreglo y cuántos para el décimo arre-

glo?

Para responder estas preguntas, debemos determinar si existe algún patrón en la for-

ma como se escogió el número de cuadrados de cada arreglo y usar el razonamiento

inductivo.

Figura 42.2

Figura 42.1

n an

1 1

2 1 + 2 = 3

3 1 + 2 + 3 = 6

4 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Tabla 42.2

Así, el séptimo arreglo tendrá 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 cuadrados y el décimo arre-

glo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 cuadrados.

201


Las conjeturas que se formulan mediante el razonamiento inductivo no siempre son

verdaderas, pues es difícil garantizar que a largo plazo siga cumpliéndose el mismo

patrón. Además, debe asegurarse que la exploración realizada sea amplia y que no se

dejen de analizar posibles ejemplos de la situación propuesta.

Cuando de números se trata, el razonamiento inductivo puede ser útil para resolver

problemas. El proceso consiste en considerar casos para determinar un patrón.

Ejemplo 2

Hallemos la suma de los primeros 19 números impares.

Solución

Elaboramos una lista de sumas de números impares

consecutivos, como la que aparece en la tabla 42.3.

Razonando inductivamente, concluimos que la suma

de los primeros 19 números impares debe ser 192 = 361.

Ejemplo 1

Determinemos cuál es la figura que sigue en la secuencia

de la figura 42.3.

Solución

Inicialmente, observamos la figura, los elementos y su ubicación, así: cada figura es

un cuadrado, en una de las esquinas del cuadrado hay otro cuadrado y en su esquina

opuesta, líneas oblicuas. Luego, observamos que la posición del cuadrado azul se rota

90° con respecto a su posición anterior y que el número de líneas oblicuas es igual al

número que ocupa la figura en la secuencia. Este análisis junto con un razonamiento

inductivo nos lleva a concluir que la figura que sigue es la que aparece en la figura 42.4.

Figura 42.3

Figura 42.4

Adición de números

impares consecutivosSuma Patrón

1 1 12

1 + 3 4 22

1 + 3 + 5 9 32

1 + 3 + 5 + 7 16 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 25 52

Tabla 42.3

1. Lucía creció 2 cm cada año en los últimos cuatro

años. Ahora tiene 10 años y mide 158 cm. Ella ase-

gura que cuando tenga 16 años medirá 170 cm.

¿Consideras que la conjetura de Lucía es correcta?

Explica tu respuesta.

2. Atletas de países africanos han ganado el Medio

Maratón de Bogotá en los últimos tres años. ¿Se

podrá asumir que alguno de los corredores de los

países africanos ganará el maratón este año? Ex-

plica tu respuesta.

3. Halla los siguientes dos términos de cada sucesión.

a. 1, 12

, 14

, 18

… b. 1, 2, 4, 7, 11…

c. 81, 27, 9, 3… d. 2, 3, 5, 9…


4. Traza la figura que continúa cada secuencia pre-

sentada en las figuras 42.5a a 42.5c.

a.

b.

c.

Figura 42.5

202

Resumen

P

Q

P

Q

P Q

P

TQ

R

P

T

Q

R

P

TQ

R

1 3 6 10

1 4 9 16

1 5 12

1 6 15

5. Decide si la generalización establecida a partir de

las figuras es válida y justifica tu respuesta. Puedes

usar un programa de geometría dinámica o hacer

construcciones con regla y compás para investi-

gar la situación.

a. El símbolo >> o > en dos segmentos de una figura significa que son paralelos.

Figura 42.6

Generalización: todos los cuadriláteros tienen

un par de lados opuestos paralelos.

b. P y Q son puntos medios.

Figura 42.7

Generalización: el segmento que une los pun-tos medios de dos lados de un triángulo es para-

lelo al tercer lado.

c. PQ es altura del △TPR.

Figura 42.8

Generalización: las alturas de un triángulo tie-nen un extremo en un vértice y el otro en el lado

opuesto del triángulo.

El razonamiento inductivo consiste en observar distintas situaciones, identificar alguna propiedad común

a todas ellas y establecer dicha propiedad como cierta para todos los casos.

d.

Figura 42.9

Generalización: la cuerda más larga de una

circunferencia es el diámetro.


6. Los números figurados son aquellos que se pue-

den expresar utilizando configuraciones geomé-

tricas. Para cada una de las secuencias de las figu-

ras 42.10a a 42.10d, representa tres números más

de cada lista.

a. Números triangulares

b. Números cuadrados

c. Números pentagonales

d. Números hexagonales

Figura 42.10

Tema

Pensamientoespacial

203

Ideas previas

Geometría

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. Si una persona es natural de Medellín, entonces, es de Antioquia.

2. Si un número es impar, entonces, es divisible por 3.

3. Si dos rectas son perpendiculares, entonces, no son paralelas.

43 Razonamiento deductivo

El razonamiento deductivo es un proceso que realiza una persona a partir de unos

datos dados y, con base en ellos, formula una conclusión. Si los datos dados son verda-

deros y los hechos conocidos que se usan también lo son, entonces, el razonamiento

deductivo siempre produce una conclusión verdadera.

Por ejemplo, los ingenieros encargados de construir el arco de un monumento usaron los

siguientes hechos para concluir que las medidas de la estructura, durante la construcción,

debían tomarse de noche, pues el material usado para el arco era acero inoxidable.

Si brilla el sol, entonces, las láminas de acero se calientan.

Si una lámina de acero inoxidable se calienta, entonces, se expande.

Si la lámina se expande, entonces, las medidas no son exactas.

Estas proposiciones, que son afirmaciones para las cuales se puede decidir si lo que se

expresa es verdadero o falso, están enunciadas como implicaciones.

Una implicación resulta de enlazar dos proposiciones con el conector si… enton-ces… que se simboliza p → q. La primera proposición de la implicación p se deno-mina el antecedente o hipótesis y la segunda proposición q, el consecuente o tesis.

Ejemplo 1

Representemos el razonamiento deductivo realizado por los ingenieros encargados

de la construcción del arco.

Solución

¿Qué sabemos? ¿Qué usamos? ¿Qué concluimos?

1. Brilla el sol.

p⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Si brilla el sol, entonces, las láminasde acero se calientan.

p → q

Las láminas de acero

se calientan.

q

2. Las láminas de acero se

calientan.

q

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Si una lámina de acero inoxidablese calienta, entonces, se expande.

q → r

Las láminas de acero

se expanden.

r

3. Las láminas de acero se

expanden.

r

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Si la lámina se expande, entonces,las medidas no son exactas.

r → s

Las medidas no

son exactas.

s

En cada paso, lo que se deduce en el paso anterior se convierte en conocimiento en el

paso siguiente. Es así como se forma una cadena que permite concluir lo siguiente: Si

brilla el sol, entonces, las medidas de las láminas no son exactas.

p → s

204


Pero ahí no termina el proceso deductivo. Los ingenieros usan la siguiente proposición

para obtener su conclusión. En ella, el antecedente es la negación del consecuente

de la implicación original, que se simboliza ¬s, y el consecuente es la negación del

antecedente, que se simboliza (¬p), así:

Si las medidas de las láminas son exactas, entonces, no brilla el sol.

¬s → ¬p

La implicación ¬s → ¬p se denomina la contrarrecíproca de la proposición p → s.

De esta manera, los ingenieros concluyen que deben tomar las medidas de noche.

La proposición recíproca de una proposición condicional se forma intercambiando el antecedente y el consecuente, es decir, si se tiene la implicación p → q, la proposi-ción q → p es su recíproca.

La contrarrecíproca es obtiene al negar las dos proposiciones originales e invertir su orden, es decir, la contrarrecíproca de p → q es ¬q → ¬p.

En varias profesiones es

indispensable desarrollar

la capacidad para razonar

deductivamente, por

ejemplo, un investigador

de la policía debe analizar

las diferentes pruebas o

evidencias que tiene de

un caso para establecer el

desarrollo de un deter-

minado acontecimiento.

Por su parte, un médico

puede dar un diagnóstico

a partir de los síntomas

que presenta un paciente,

de los exámenes que se le

practica y de sus conoci-

mientos en medicina.

En qué se aplica

Ejemplo 2

Determinemos los argumentos que permiten asegurar que dos ángulos rectos son

congruentes.

Solución

A continuación, presentamos el proceso deductivo para concluir que los ángulos rec-

tos son congruentes. El primer paso que realizamos es expresar la proposición como

una implicación: Si ∠A y ∠B son rectos, entonces, ∠A ≅ ∠B.


1. ∠A y ∠B son rectos. Definición de ángulo recto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯m ∠A = 90°

m ∠B = 90°

2. m ∠A = 90°

m ∠B = 90°Propiedad transitiva de la igualdad⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠A = m ∠B

3. m ∠A = m ∠B Definición de congruencia⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠A ≅ ∠B

Prohibido parquear vehículos, excepto los de carga.

Lunes - Miércoles - Viernes de 7:00 a. m. - 9:00 a. m.

Martes - Jueves de 6:00 a. m. - 8:00 a. m.

1. Frente a un almacén se encuentra el siguiente aviso.

Figura 43.1

Usa el razonamiento deductivo para contestar Sí o No, en los

casos que sean posibles. Justifica tu respuesta cuando sea No.

a. ¿Puede una persona estacionar su carro particular frente al almacén un miércoles a las 8:30 a. m.?

b. ¿Puede una persona estacionar su taxi frente al almacén un martes a las 9 a. m.?

c. Un camión de carga está estacionado frente al almacén un viernes. ¿Qué hora puede ser?

El proceso deductivo usado en los ejemplos anteriores podemos representarlo p → q y se

lee “p, entonces, q”. Si p y p → q son verdaderas, entonces, se concluye que q es verdadera.

205

A B

D C

2. Explica la diferencia entre razonamiento inductivo

y razonamiento deductivo.


3. Decide si cada una de las siguientes proposicio-

nes es verdadera. Si no lo es, explica por qué. Escri-

be la recíproca y determina si es verdadera. Si no

lo es, explica por qué.

a. Si un número es divisible por dos, entonces, es par.

b. Si un polígono es un rectángulo, entonces, tiene dos ángulos rectos.

c. Si un número es mayor que cero, entonces, no es negativo.

d. Si un cuadrilátero tiene tres lados congruen-tes, entonces, es un cuadrado.

e. Si dos rectas son perpendiculares, entonces, se intersecan.

4. Decide si cada proposición dada es verdadera. Es-

cribe la contrarrecíproca y determina si es verda-

dera.

a. Si el triángulo ABC es isósceles, entonces, tie-ne dos ángulos congruentes.

b. Si el número a no es un múltiplo de 9, enton-ces, no es divisible por 3.

c. Si vive en Colombia, entonces, vive en Bogotá.

d. Si dos ángulos son complementarios, enton-ces, la suma de sus medidas es igual a 90°.

e. Si el niño no tiene más de 3 años, entonces, viaja gratis en los buses.

f. Si dos rectas se intersecan, entonces, las rec-tas no son paralelas.

g. Si dos ángulos son complementarios, ento-ces, sus medidas suman 90°.

h. Si x es número primo, entonces, es impar.

5. Completa el proceso de razonamiento deductivo para justificar la afirmación en cada caso. Usa las proposiciones

dadas, que se consideran como hechos verdaderos. Recomendación: escribe las mismas proposiciones en los

cuadros del mismo color.

a. Hecho geométrico: si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces, ambos pares de lados opuestos son congruentes.

Definiciones

Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.

Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos y cuatro

lados congruentes.

Afirmación: si el cuadrilátero ABCD es rectángulo y tres de sus lados

son congruentes, entonces, es un cuadrado.Figura 43.2

¿Qué sé? ¿Qué uso? ¿Qué concluyo?

1. El cuadrilátero ABCD es un

rectángulo. Definición de rectángulo⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2. Hecho geométrico⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

3. Tres de sus lados AB, BC y CD

son congruentes.

Propiedad transitiva de la igualdad⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4.

Definición de cuadrado⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ABCD es un cuadrado.

206

Resumen

Implicación Antecedente Consecuente Recíproca Contrarrecíproca

p → q p q q → p ¬q → ¬p

Tabla 43.1

b. Hecho aritmético: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Definición: h es un número impar si h es un múltiplo de 2, aumentado en 1.

Afirmación: si k es un número impar, entonces, k2 es un número impar.


1. k es un número impar. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ k = 2n + 1, si n es un entero.

2. k2 = (2n + 1)2 Hecho aritmético⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

3. Propiedad distributiva⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4. Definición de número impar⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ k2 es un número impar.

c. Hecho geométrico: si se tienen dos puntos, entonces, existe una recta que los contiene.

Definición: el conjunto A es diferente del conjunto B si existe un elemento del conjunto A que no está

en el conjunto B.

Definición: tres o más puntos son colineales si existe una recta que los contiene.

Afirmación: si A, B y C son tres puntos no colineales, entonces, determinan tres rectas diferentes.


1. A y B son puntos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2. C y B son puntos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3. A y C son puntos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯4. A, B y C no son colineales.

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ,∉ ∉←→⎯ ←→⎯

A BC B AC y ∉←→⎯

C AB

5. ,∉ ∉←→⎯ ←→⎯

A BC B AC y ∉←→⎯

C AB ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ,←→⎯ ←→⎯AB BC y

←→⎯AC son rectas diferentes.


6. Arma un discurso deductivo para justificar cada afirmación.

a. Si k es múltiplo de 6, entonces, k aumentado en 9 es múltiplo de 3.

b. Si u es un número par, entonces, 7u es un número par.

Tema

Pensamientoespacial

207

Ideas previas

Geometría

¿Cómo crees que transmite un arquitecto la información necesaria para que los obreros

de una construcción puedan reproducir, usando cemento y ladrillos, lo que él esta

imaginando?

44 Construcción de la geometría

Para estudiar geometría, necesitamos conocer los conceptos en los que la geometría se

basa, los términos que usa para comunicar ideas, los símbolos que emplea para repre-

sentar conceptos o relaciones y las normas que la rigen.

La geometría euclidiana se construye a partir de tres nociones que no se definen: pun-

to, recta y plano, y de afirmaciones que se establecen como postulados que regulan

las relaciones entre estos objetos geométricos. Además, cuenta con las definiciones,

que son enunciados de las propiedades características de un objeto, mediante las cua-

les se puede diferenciar de otros.

Recordemos algunos postulados, así como los símbolos que representan las figuras

geométricas y la notación que se usa para nombrarlos.

Postulados

1. De la recta

Dados dos puntos, existe exactamente una recta que los

contiene.

2. De la intersección de rectas

Dos rectas se cortan en un único punto.

3. De la llaneza del plano

Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces,

toda la recta está en el plano.

4. De la intersección de planos

Si dos planos tienen puntos en común, entonces, su inter-

sección es una recta.

5. Existencia del plano

Si tres puntos no están en una misma recta, entonces, exis-

te un único plano que los contiene.

6. De correspondencia puntos números

Se puede establecer una correspondencia entre los puntos

de una recta y los números reales, tal que

a. a cada punto de la recta le corresponde exactamente

un número real.

b. a cada número real le corresponde exactamente un

punto de la recta.

El número correspondiente a cada punto se denomina su

coordenada.

7. De la medida de ángulos

A cada ángulo le corresponde un número entre 0 y 180.

8. Del par lineal

Si dos ángulos comparten un lado y los otros dos lados son

rayos opuestos, entonces, los ángulos son suplementarios.

9. De la adición de medidas de ángulos

Si Q es un punto en el interior del ∠RST, entonces, la medi-

da del ∠RST es igual a la suma de las medidas de ∠RSQ y

∠QST.

10. De la adición de medidas de segmentos

Si B está entre A y C, entonces, AB + BC = AC.

11. Del plano

Si α es un plano, entonces, tiene tres puntos no colineales.

Tabla 44.1

También, recordemos algunas definiciones.

208

A C

L

K

BC

A

ABC

R

S

T

B C

Q

A

X

Z

Y

Q

W

Figura geométrica Definición

Segmento El segmento AC (AC) es el conjunto de puntos A, C y todos los puntos de la ←→⎯AC

entre A y C.

Rayo El rayo LK (⎯→⎯LK ) está formado por todos los puntos del LK junto con todos los

demás puntos de la ←→⎯LK , tal que K está entre el punto escogido y L.

L se denomina el origen del rayo LK.

Ángulo Un ángulo (∠ABC) es la unión de dos rayos que no son colineales y que tienen el

mismo origen.

Rayos opuestos Si B es un punto entre A y C, entonces, los rayos ⎯→⎯BA y

⎯→⎯BC son opuestos.

Punto medio El punto S es punto medio del RT si S está entre R y T, y RS ≅ ST.

Bisectriz de un ángulo La bisectriz del ∠ABC (⎯→⎯BQ ) es un rayo con extremo en el vértice del ángulo y

demás puntos en el interior del ángulo, tal que el rayo con los lados del ángulo

forman dos ángulos congruentes.

Ángulos y segmentos congruentes Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.

Distancia entre puntos La distancia entre dos puntos A y B es el valor absoluto de la diferencia de sus

coordenadas.

Tabla 44.2

Ejemplo 1

Escribamos lo que podemos afirmar de la figura 44.1 y el postulado o definición que

lo asegura.

Solución

Algunas afirmaciones que podemos deducir son las siguientes:

Afirmaciones Postulado o definición

X está entre Y y Z.

XY⎯→⎯

y XZ⎯→⎯

son rayos opuestos. Definición de rayos opuestos.

∠ YXW y ∠ WXZ son suplementarios. Postulado del par lineal.

m ∠ YXW + m ∠ WXZ = 180o Definición de ángulos suplementarios.

m ∠ YXQ + m ∠ WXQ = m ∠ YXW Postulado de la adición de medida de ángulos.

0o < m ∠ YXQ < 180o Postulado de la medida de ángulos.

YX + XZ = YZ Postulado de la adición de la medida de segmentos.

Existe el plano α que contiene a los

puntos X, Y y W.Postulado de la existencia del plano.

La XY←→⎯

está en el plano α. Postulado de la llaneza del plano.

Figura 44.1

209


A B C D E F0 1

–1–2–3

2 3 4 5

G H Im

0 1 2

2

3 4I A B C D E

KL

F G Hm

–4 –3

–3,7

–2 –112

13

Un teorema es un proposición que se debe demostrar utilizando definiciones, postu-lados y otras propiedades que ya han sido demostradas.

Ejemplo 2

Determinemos cuántos puntos tiene una recta.

Solución

El dibujo que usamos para representar una recta conlleva la idea de que el

número de puntos en ella es infinito, sin embargo, es necesario analizar el pos-

tulado que valida esa afirmación. Por el Postulado de correspondencia puntos

números (ver tabla 44.1, numeral 6, literal b.), asignamos números reales a los

puntos de la recta, empezando por los enteros (ver figura 44.2).

Como el literal a. del mismo postulado asegura que a cada punto le correspon-

de un solo número, concluimos que la recta tiene tantos puntos como núme-

ros tiene el conjunto de enteros. Por ello, podemos afirmar que hay infinitos

puntos en la recta. Pero aún faltan números reales a los cuales no les hemos

asignado un punto, por ejemplo, 12

, 213

, –3,7 (ver figura 44.3).

A cada uno le corresponde un punto. Cuando terminemos el proceso de asig-

narle a cada punto de la recta un número real, no habrá un punto que sobre.

Entonces, podemos asegurar que la recta tiene infinitos puntos. Esta idea, que

demostramos haciendo uso del Postulado de correspondencia puntos números,

se convierte en un teorema.

Teorema. De la recta

Si m es una recta, entonces, m tiene infinitos puntos.

Figura 44.3

d. Cuatro puntos son coplanares si se encuen-tran en el mismo plano.

e. Tres o más puntos son colineales si existe una recta que los contiene.

f. Tres o más rectas que se encuentran en el mismo plano y tienen un punto en común se denominan rectas concurrentes.

g. Dos ángulos congruentes miden igual.

1. Determina si cada proposición es una definición o

un postulado.

a. Si dos puntos están en un plano, entonces, la recta que determinan está en el plano.

b. Rectas intersecantes son las que tienen un punto en común.

c. Dados tres puntos diferentes no colineales, hay exactamente un plano que los contiene.

Con base en los anteriores elementos, podemos deducir si otras afirmaciones acerca de

las figuras geométricas son verdaderas. El proceso que utilizamos para ello se denomina

prueba, que consiste en formar una cadena de proposiciones entrelazadas que se de-

ducen de las definiciones y postulados. Este proceso ayuda a comprender la situación

expresada en la afirmación y explicar por qué tiene que ser verdadera en caso de serlo.

Cuando una afirmación cuenta con una prueba, recibe el nombre de teorema.

Figura 44.2

210

ML

K O

P

T S

U

R

N

α

2. Observa con atención la figura 44.4 y nombra

a. tres pares de rayos opuestos

b. tres rectas que contienen al punto K

c. dos segmentos en rectas diferentes

d. tres ejemplos que ilustran el Postulado de adición de medidas de segmentos

e. un ejemplo del Postulado de la adición de medidas de ángulos

f. dos planos

g. tres pares de ángulos suplementariosFigura 44.4


3. Completa la prueba del teorema. La información que se vuelve a usar se escribe con el mismo color.

a. Teorema. Existencia del punto medio

Si se tiene un AB, entonces, existe su punto medio.

Prueba


1. AB ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AB AB⊂←→⎯

2. AB AB⊂←→⎯

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Se asigna 0 al punto A y 1 al punto B.

3. 12

es un número real.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Existe un punto C en AB←→⎯

que le correspon-

de a 12

.

4. La coordenada de A es 0, la de B

es 1 y la de C es 12

. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

AC

BC

12

012

112

12

= − =

= − =

5. AC = BC = 12 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AB ≅ BC

6. AB ≅ BC

C está entre A y B. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ C es el punto medio de AB.

b. Teorema. Punto y recta determinan un plano

Si m es una recta y K es un punto que no está en la recta, entonces, existe un plano α que los contiene.

Prueba


1. m es una recta. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Existen puntos D y E en m.

2. D, E y K no son colineales. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Existe un plano α que contiene a D, E y K.

3. D y E están en el plano α. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ La DE←→⎯

está en el plano α.

211

Resumen

A

B

C

D

B

C

D

A

La geometríase construye

a partir de

nociones de

que son

que son

que son

postulados

punto, recta y plano.

afirmaciones que se aceptan como

verdaderas sin demostración.

enunciados que proveen todas las características

necesarias de un objeto, que permiten

identificar sus ejemplos y los que no lo son.

definiciones

teoremas afirmaciones que se aceptan como

verdaderas después de ser demostradas.


4. Las propiedades de los números reales son útiles para establecer teoremas, además de los postulados, las

definiciones y los teoremas de la geometría. Escribe la información necesaria para concluir la afirmación

final. ¿Qué propiedad de la adición o igualdad se usa cuando se escribe Propiedad de reales para llegar a la

conclusión establecida?

a.

Figura 44.5


1. AB ≅ CD ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AB = CD

2. AB = CD

Propiedad de reales⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ AB + BC = BC + CD

3. B está entre A y C.

C está entre B y D. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4.

AB + BC = BC + CD

Propiedad de reales⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

5. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AC ≅ BD

b. Teorema. Bisectriz

La medida de un ángulo es igual al doble de la medida de cualquiera de los dos ángulos determinados

por la bisectriz del ángulo.


1. ⎯→⎯AC es bisectriz del

∠BAD. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠BAC = m ∠CAD

3. C está en el interior del

∠ BAD. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4.

Propiedad de reales⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ 2m ∠BAC = m ∠BADFigura 44.6

Tema

Pensamientoespacial

212

Ideas previas

A

B

CD

E

C

B

A

D

Geometría

1. Cuando un reloj análogo marca las 12:15, ¿qué clase de ángulo forman el horario y

el minutero?

2. ¿Cuál es el complemento y cuál el suplemento de un ángulo de 65°?

45 Ángulos y rectas perpendiculares

Recordemos que un ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos

no colineales y que tienen el mismo origen.

Definición

Dos ángulos son par lineal si comparten un lado y los lados no comunes son

rayos opuestos. Por ejemplo, en la figura 45.1, ∠DCB y ∠BCA son par lineal.

Definición

Si los lados de dos ángulos forman dos pares de rayos opuestos, los ángulos

se llaman opuestos por el vértice.

Teorema. Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Reformulación: si ∠ABD y ∠EBC son opuestos por el vértice,

entonces, ∠ABD ≅ ∠EBC.

Figura 45.1

Figura 45.2

Prueba


1. ∠ABD y ∠EBC son opuestos por el

vértice.

Definición de ángulosopuestos por el vértice⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

BE⎯→⎯

y BD⎯→⎯

son rayos opuestos.

yBA BC⎯→⎯ ⎯→⎯

son rayos opuestos.

2. BE⎯→⎯

y BD⎯→⎯

son rayos opuestos, BA⎯→⎯

es otro rayo.Definición de par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABD y ∠ABE son par lineal.

3. ∠ABD y ∠ABE son par lineal. Postulado de par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABD y ∠ABE son suplementarios.

4. ∠ABD y ∠ABE son suplementarios.Definición de ángulos

suplementarios⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠ABD + m ∠ABE = 180°

5. yBA BC⎯→⎯ ⎯→⎯

son rayos opuestos, BE⎯→⎯

es otro rayo.Definición de par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠CBE y ∠ABE son par lineal.

6. ∠CBE y ∠ABE son par lineal. Postulado de par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠CBE y ∠ABE son suplementarios.

7. ∠CBE y ∠ABE son suplementarios.Definición de ángulos

suplementarios⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠CBE + m ∠ABE = 180°

8. m ∠ABD + m ∠ABE = 180°

m ∠CBE + m ∠ABE = 180°Propiedad transitiva

de la igualdad⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯m ∠ABD + m ∠ABE =

m ∠CBE + m ∠ABE

9. m ∠ABD + m ∠ABE =

m ∠CBE + m ∠ABEPropiedad cancelativa⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠ABD = m ∠CBE

10. m ∠ABD = m ∠CBEDefinición de ángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABD ≅ ∠CBE

213

n

m

T

Q

P

Al

45

63

1 2

12

3

4

Ejemplo 1

En la figura 45.3, las rectas l, m y n se intersecan en P y el ⎯→⎯PT es bisectriz

del ∠APQ. ¿Cuáles ángulos son congruentes? Expliquemos la respuesta.

Solución

Afirmación Explicación

1. ∠1 ≅ ∠2 Propiedad asegurada por la definición de bisectriz de ángulo.

2. ∠1 ≅ ∠4 ∠1 y ∠4 son opuestos por el vértice.

3. ∠2 ≅ ∠5 ∠2 y ∠5 son opuestos por el vértice.

4. ∠3 ≅ ∠6

∠3 y ∠6 son opuestos por el vértice.

El teorema de ángulos opuestos por el vértice asegura la congruencia

de los ángulos.

5. ∠4 ≅ ∠5 Por la propiedad transitiva de congruencia.

Figura 45.3

Otro teorema útil sobre ángulos es el siguiente.

Teorema. Complementos de ángulos congruentes

Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.

Reformulación: si ∠1 es complemento del ∠2, ∠3 es comple-

mento del ∠4 y ∠1 ≅ ∠3, entonces, ∠2 ≅ ∠4.

Prueba


1. ∠1 es complemento del ∠2 y ∠3 es complemento del ∠4.

Definición de ánguloscomplementarios⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

m ∠1 + m ∠2 = 90°

m ∠3 + m ∠4 = 90°

2. m ∠1 + m ∠2 = 90°

m ∠3 + m ∠4 = 90°Propiedad transitiva⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠1 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4

3. ∠1 ≅ ∠3Definición de ángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠1 = m ∠3

4. m ∠1 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4

m ∠1 = m ∠3Sustitución⎯ →⎯⎯⎯ m ∠3 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4

5. m ∠3 + m ∠2 = m ∠3 + m ∠4 Propiedad cancelativa⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠2 = m ∠4

6. m ∠2 = m ∠4Definición de ángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠2 ≅ ∠4

Un ángulo especial es el ángulo recto, que mide 90°, porque define una relación entre rectas.

Definición

Dos rectas que determinan ángulos rectos son perpendiculares.

Definición

Dos ángulos son adyacentes si están en el mismo plano, tienen el vértice y un lado común,

pero no tienen puntos interiores comunes.

Figura 45.4

214

A B

DC

H

GI

JK

T

S

R

Q

α

C

B

DA

12

Ejemplo 2

Determinemos si cada pareja de ángulos de las siguientes figuras son adyacentes. Si

no lo son, identifiquemos la propiedad de la definición que no cumplen.

a. ∠ABC y ∠CBD b. ∠KIJ y ∠GHJ c. ∠TSQ y ∠QSR

Figura 45.5

Solución

a. Los ∠ABC y ∠CBD son adyacentes, porque son coplanares, ambos tienen

vértice B, comparten el lado ⎯→⎯BC y no tienen puntos interiores comunes.

b. El ∠KIJ no es adyacente al ∠GHJ , porque no comparten el vértice, aunque

son coplanares, ambos tienen un lado sobre el ⎯→⎯HJ y no comparten puntos

interiores.

c. El ∠TSQ no es adyacente al ∠QSR, porque no son coplanares, aunque tienen

el mismo vértice S, el mismo lado ⎯→⎯SQ y no comparten puntos interiores.

Estas definiciones permiten demostrar el siguiente teorema.

Teorema. Ángulos adyacentes congruentes

Dos rectas que determinan ángulos adyacentes congruentes son perpendiculares.

Reformulación: si la ←→⎯AB y la

←→⎯AC determinan al ∠1 y ∠2 adyacentes y congruentes,

entonces, las rectas son perpendiculares.

Figura 45.6Prueba


1. A es un punto entre D y C. Definición rayos opuestos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AD⎯→⎯

y ⎯→⎯AC son opuestos.

2. ∠1 y ∠2 son adyacentes. Definición ángulos adyacentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AB⎯→⎯

es rayo común de ∠1 y ∠2.

3. AD⎯→⎯

y AC⎯→⎯

son opuestos.

AB⎯→⎯

es rayo común de ∠1 y ∠2.Definición de par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠1 y ∠2 son par lineal.

4. ∠1 y ∠2 son par lineal. Postulado de par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠1 y ∠2 son suplementarios.

5. ∠1 y ∠2 son suplementarios.Definición de ángulos

suplementarios⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠1 + m ∠2 = 180°

6. ∠1 y ∠2 son congruentes. Definición de ángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠1 = m ∠2

7. m ∠1 = m ∠2

m ∠1 + m ∠2 = 180° Sustitución⎯ →⎯⎯⎯ m ∠1 + m ∠1 = 180°

8. m ∠1 + m ∠1 = 180°Propiedad de números

reales⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2m ∠1 = 180°

m ∠1 = 90°

9. m ∠1 = 90°Definición de ángulo

recto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠1 es recto.

10. ∠1 es recto.Definición rectasperpendiculares⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

AB AC⊥←→⎯ ←→⎯

215


A

G

F

E

D

B

C

(80 – x)̊(3x)˚

(2x2)

(x2 + 4x + 5)

˚

˚

(2x – 16)

50˚

˚

˚(3x – y)

x˚

(2y + 5)

(x + y) ˚

˚

95˚

x˚

(x + 2y)˚

70˚

40˚˚(4x – y)

a. b. c. d. e.

1. En el proceso de demostrar el Teorema de ángulos

opuestos por el vértice, se demostró un caso del si-

guiente teorema.

Teorema. Suplementos de ángulos congruentes

Los suplementos de ángulos congruentes son

congruentes.

a. Indica cuáles pasos de la demostración co-rresponden a la demostración del caso espe-cial y a qué situación especial de los ángulos involucrados se hace referencia.

b. ¿Qué otra situación puede darse entre dos ángulos suplementarios congruentes?

c. Reformula el teorema.

d. Escribe una demostración del Teorema de su-plementos de ángulos congruentes, que inclu-ya todos los casos posibles de ángulos suple-mentarios.

2. Escribe el teorema, postulado o definición que

justifica la conclusión presentada en cada propo-

sición, de acuerdo con la figura 45.7.

Figura 45.7

a. Si yBC BG⎯→⎯ ⎯→⎯

son opuestos, yBA BF⎯→⎯ ⎯→⎯

son opuestos, entonces, ∠ABC ≅ ∠FBG.

b. Si BD AB⊥⎯→⎯ ←→⎯

, entonces, ∠DBE y ∠EBF son complementarios.

c. Si yBC BG⎯→⎯ ⎯→⎯

son opuestos y BF⎯→⎯

es otro rayo, entonces, ∠CBF y ∠FBG son suplemen-tarios.

d. Si BE⎯→⎯

es la bisectriz del ∠DBF, entonces, m ∠DBF = 2m ∠DBE.

e. Si BE CG⊥⎯→⎯ ←→⎯

y ∠DBE ≅ ∠FBE, entonces, ∠CBD ≅ ∠GBF.

3. Determina el valor de x en cada figura.

a.

b.

Figura 45.8

4. Halla el valor de x y y en cada figura.

a. b.

c.

Figura 45.9

5. Analiza la siguiente secuencia.

Figura 45.10

¿Cuál figura completa la secuencia?

Figura 45.11


216

OA

B

C

D

P

Q

R

S

43

1 2

X

S

R

TV

W

Y

4

3

1

2

F

A

C

B

E

D

4

3

1

2

C

A

B

E G

F

D

H

4 3

12


6. Completa la información que falta en la demostración de la siguiente proposición.

Si ∠AOC ≅ ∠BOD, entonces, ∠AOB ≅ ∠DOC.

Figura 45.12


1. ∠AOC ≅ ∠BOD ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠AOC = m ∠BOD

2. Información dada gráficamente

B está en el interior del ∠AOC

C está en el interior del ∠BOD

3. B está en el interior del ∠AOC.

C está en el interior del ∠BOD. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯m ∠AOC = m ∠AOB + m ∠BOC

m ∠BOD = m ∠BOC + m ∠COD

4. m ∠AOC = m ∠BOD

m ∠AOC = m ∠AOB +

m ∠BOC

m ∠BOD = m ∠BOC +

m ∠COD

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

5. Propiedad cancelativa

de la adición⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠AOB = m ∠COD

6. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠AOB ≅ ∠DOC

7. Construye la demostración para cada uno de los

siguientes problemas.

a. Si PQ ⊥ QR, PS ⊥ SR y ∠1 ≅ ∠4, entonces, ∠2 ≅ ∠3.

Figura 45.13

b. Si yXS XW⎯→⎯ ⎯→⎯

son bisectrices de ∠RXT y ∠YXV, respectivamente, y ∠2 ≅ ∠3, entonces, ∠1≅ ∠4.

Figura 45.14

c. Si BC AD⊥←→⎯ ⎯→⎯

y ∠2 ≅ ∠3, entonces, ∠1≅ ∠4.

Figura 45.15

d. Si ∠2 ≅ ∠3, AG⎯→⎯

bisectriz del ∠EAC y CF⎯→⎯

bisectriz del ∠BCD, entonces, ∠1 ≅ ∠4 .

Figura 45.16

8. Demuestra el siguiente teorema.

Teorema. Ángulos rectos

Dos ángulos rectos son congruentes.

217

Resumen

Vista Gráfica

Comando...Entrada

Vista Algebraica

m

n

t

1 2

3 4

5 6

7 8

PuntoA = (-2.36, 3.48)B = (3, -2)C = (3.54, 4.52)

Los ángulos

se pueden

clasificar

determinados por una

transversal que corta

a dos rectas son

alternos

internos

correspondientes

en

de acuerdo

con su

medida

en

de acuerdo

con su

posición

par lineal que son

dos ángulos que comparten

un lado y los lados no

comunes son rayos opuestos.

opuestos

por el vérticeque son

dos ángulos cuyos lados

forman dos pares de rayos

opuestos.

agudos

rectos

obtusos

que miden

que miden

que miden

menos de 90°

90°

más de 90° y

menos de 180°

Competencias en TIC

9. Con un programa de geometría dinámica, constru-

ye dos rectas m y n cortadas, cada una en un pun-

to, por otra recta t. Nombra los distintos ángulos

que se forman como ∠1, ∠2 y así sucesivamente.

Figura 45.17

Los pares de ángulos determinados por las rectas

reciben nombres especiales.

• Ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠4 y ∠8,

∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7.

• Ángulos alternos internos: ∠3 y ∠6, ∠4 y ∠5.

• Ángulos internos no alternos: ∠3 y ∠5, ∠4 y

∠6.

Determina qué relación existe entre las rectas

cuando se obliga a los ángulos a cumplir la condi-

ción que se establece a continuación.

a. ∠5 ≅ ∠6

b. ∠3 ≅ ∠6

c. ∠1 ≅ ∠7

d. ∠4 y ∠6 suplementarios.


10. Halla la medida de cada ángulo descrito a conti-

nuación.

a. La medida del suplemento de un ángulo es el doble de la medida del ángulo.

b. El ∠A y el ∠B son complementarios. La me-dida del ∠A es 6° menos que el doble de la medida del ∠B.

c. Tres veces la medida del suplemento de un ángulo es ocho veces la medida del comple-mento del ángulo.

11. Explica por qué la medida del complemento de

un ángulo no puede ser la mitad de la medida del

suplemento del ángulo.

Tema

Pensamientoespacial

218

Ideas previas

A

1

2

B

A B

C

D

E

Geometría

1. ¿Crees que los rieles de un tren se pueden considerar como la representación de

dos rectas paralelas?

2. Una plomada (un peso de metal suspendido de un cordel) es una herramienta usa-

da en la construcción para marcar líneas verticales. Si se pega papel de colgadura en

una pared, ¿por qué crees que es importante usar la plomada?

46 Rectas paralelas

Una transversal es una

recta que interseca a dos o

más rectas coplanares en

puntos diferentes.

Para recordar

Figura 46.1

En una edificación, los pi-

sos deben ser perpendicu-

lares a las paredes laterales

para que sean paralelos

entre sí.

En qué se aplica

Definición

Dos rectas son paralelas si son coplanares y no se intersecan.

Los ángulos correspondientes son pares de ángulos: uno interior y otro exterior, que se

encuentran en el mismo lado de una transversal y no son adyacentes (ver figura 46.1).

Los postulados que establecen las relaciones entre los ángulos formados por dos rectas

y una transversal, y el paralelismo de las dos rectas son los siguientes.

Postulado. De rectas paralelas a ángulos

correspondientes

Si dos rectas paralelas son cortadas por una

transversal, entonces, los ángulos correspon-

dientes son congruentes.

Postulado. De ángulos correspondientes a

rectas paralelas

Si un par de ángulos correspondientes entre

rectas son congruentes, entonces, las rectas

son paralelas.

Teorema. Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta,

entonces, son paralelas entre sí.

Reformulación: si ⊥←→⎯ ←→⎯BC AB y ⊥

←→⎯ ←→⎯DE AB ,

entonces ←→⎯ ←→⎯

||BC DE .

Figura 46.2

Prueba


1. BC AB⊥←→⎯ ←→⎯

y DE AB⊥←→⎯ ←→⎯

.Definición de rectas

perpendiculares⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯∠ABC es recto.

∠BDE es recto.

2. BC←→⎯

y DE←→⎯

están cortadas por

la AD←→⎯

.

Definición de ánguloscorrespondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∠ABC y ∠BDE son

correspondientes.

3. ∠ABC es recto.

∠BDE es recto.Teorema de ángulos

rectos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABC ≅ ∠BDE

4. ∠ABC y ∠BDE son

correspondientes.

∠ABC ≅ ∠BDE

Postulado de ánguloscorrespondientes a rectas paralelas⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ BC DE

←→⎯ ←→⎯

219

T SR

Q P O

m

n

t

21

34

65

Definición

Dos rayos o segmentos son paralelos si las rectas que los contiene lo son.

Los postulados dan lugar a varios teoremas que se pueden demostrar con las

definiciones y teoremas que tenemos.

Teorema. De rectas paralelas a ángulos alternos internos

Si dos rectas son paralelas, entonces, los ángulos alternos internos son congruentes.

Reformulación: si las rectas m y n son paralelas y t es una transversal,

entonces, ∠4 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠5.

Prueba


1. Las rectas m y n son cortadas

por la transversal t.

Definición de ánguloscorrespondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∠2 y ∠6 son correspondientes.


2. ∠2 y ∠6 son correspondientes.


Las rectas m y n son paralelas.

Postulado de paralelasa ángulos correspondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠2 ≅ ∠6, ∠1 ≅ ∠5

3. Información dada

graficamente

∠2 y ∠4 son opuestos por el

vértice.


vértice.

4. ∠2 y ∠4 son opuestos por el

vértice.


vértice.

Teorema de ángulosopuestos por el vértice⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∠2 ≅ ∠4 y ∠1 ≅ ∠3

5. ∠2 ≅ ∠4 y ∠1 ≅ ∠3

∠2 ≅ ∠6 y ∠1 ≅ ∠5 Propiedad transitiva⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ∠4 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠5

El recíproco de este teorema también es un teorema.

Teorema. De ángulos alternos internos a rectas paralelas

Si un par de ángulos alternos internos formados por dos rectas y una transversal son

congruentes, entonces, las rectas son paralelas.

Reformulación: si las rectas m y n son cortadas por la transversal t y ∠4 ≅ ∠6, entonces,

m y n son paralelas (ver figura 46.4).

Ejemplo 1

Determinemos cuáles rayos de la figura 46.3 son paralelos.

Solución⎯→⎯ ⎯→⎯PO RT , porque las

←→⎯PO y

←→⎯RT son ambas perpendiculares a la

←→⎯PR .

El ⎯→⎯SQ es paralelo al

⎯→⎯PR , porque tanto la

←→⎯SQ como la

←→⎯PR son perpendiculares

a la ←→⎯TR .

Figura 46.3

Los ángulos alternos in-

ternos son aquellos pares

de ángulos interiores no

adyacentes.

Los ángulos alternos ex-

ternos son aquellos pares

de ángulos exteriores no

adyacentes.

Para recordar

Figura 46.4

220

m n

tA

D

B C21

3

Figura 46.5

Prueba


1. Las rectas m y n son cortadas por

una transversal t.Definición de ángulos

alternos internos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠4 y ∠6 son alternos internos.


graficamente


vértice.

3. ∠2 y ∠4 son opuestos por el

vértice.Teorema de ángulos

opuestos por el vértice⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠2 ≅ ∠4

4. ∠2 ≅ ∠4

∠4 ≅ ∠6Propiedad transitiva⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠2 ≅ ∠6


la transversal t.Definición de ángulos

correspondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠2 y ∠6 son correspondientes.

6. ∠2 y ∠6 son correspondientes.

∠2 ≅ ∠6Postulado de ángulos

correspondientes a paralelas⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m || n

Prueba


1. Las rectas m y n son cortadas

por la transversal t.Definición de ángulos

correspondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠1 y ∠3 son correspondientes.

2. Las rectas m y n son paralelas y t

es una transversal.Definición de ángulos

internos no alternos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠2 y ∠3 son internos no alternos.

3. m || n.

∠1 y ∠3 son correspondientes.Postulado de paralelas aángulos correspondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠1 ≅ ∠3


graficamente

BA⎯→⎯

y BC⎯→⎯

son rayos opuestos.

BD⎯→⎯

es otro rayo.

5. BA⎯→⎯

y BC⎯→⎯

son rayos opuestos.

BD⎯→⎯

es otro rayo.

Definición de ángulospar lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠1 y ∠2 forman par lineal.

6. ∠1 y ∠2 forman par lineal.Postulado del

par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯ ∠1 y ∠2 son suplementarios.

7. ∠1 y ∠2 son suplementarios

∠1 ≅ ∠3.Principio desustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯ ∠2 y ∠3 son suplementarios.

El recíproco de este teorema también es verdadero.

Otro par de ángulos que se forman entre dos rectas intersecadas por una trans-

versal y que tienen una relación especial son los ángulos internos no alternos.

Para demostrar esta relación, usaremos el Principio de sustitución.

Principio de sustitución: si se tiene una proposición verdadera sobre un objeto

geométrico A y se sabe que A es congruente con B, entonces, la proposición es

verdadera para B.

Teorema. De rectas paralelas a ángulos internos no alternos

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces, los ángulos

internos no alternos son suplementarios.

Reformulación: si m y n son dos rectas paralelas y t es una transversal, entonces,

∠2 y ∠3 son suplementarios (ver figura 46.5).

221


(4x + 19)˚A

B1

2 3

k

m

y

zE

C

D

(3x)˚

AG B F

130˚

40˚

140˚

E

D

HA

B

125˚

70˚

55˚

C

E

D

Si dos rectas son paralelas, entonces, se concluye lo siguiente:1. Ángulos correspondientes son congruentes (postulado).2. Ángulos alternos internos son congruentes (teorema).3. Ángulos internos no alternos son suplementarios (teorema).

Si se sabe que1. ángulos correspondientes son congruentes (postulado),2. ángulos alternos internos son congruentes (teorema) y3. ángulos internos no alternos son suplementarios (teorema),

entonces, se concluye que las dos rectas son paralelas.

Ejemplo 2

En la figura 46.6 hallemos m ∠1, m ∠2 y m ∠3. En la ilustración, las flechas del mismo

color en las rectas indican que las rectas son paralelas.

Solución

• El ∠BCD y el ∠ABC son congruentes, porque son alternos internos entre las rectas

paralelas k y m. Por tanto, tienen la misma medida.

• El ∠BCD y el ∠ECD son par lineal (información dada gráficamente), entonces, por el

Postulado del par lineal, son suplementarios.

Luego, 3x + (4x + 19) = 180°, de donde 7x = 161° y x = 23°.

Por tanto, 3x = 69° y 4x + 19 = 111°.

• Como ∠1 y ∠ABC son par lineal y por ello suplementarios, m ∠1 = 69°.

• Como ∠3 y ∠BCD son ángulos correspondientes entre las rectas paralelas y y z,

entonces, tienen la misma medida. Por tanto, m ∠3 = 111°.

Finalmente, el paralelismo de las rectas k y m establece la congruencia de los ángulos

alternos internos ∠2 y ∠3, que implica su congruencia. Por tanto, m ∠2 = 111°.

Figura 46.6

1. Determina cuáles rectas son paralelas de acuerdo con las figuras 46.7a y 46.7b. Indica el postulado o teore-

ma que permite asegurarlo.

a. b. ⎯→⎯BD es bisectriz del ∠ABC.

Figura 46.7

222

m

l

k

1

3 4

56

2

110°

3 1 2

480° 70°

xl

m n

65°

°

xm

n67°

1

2

°

n

m

t

B

C

A

D

1

2

3

4. Halla el valor de x en cada caso.

a. m || n

b. m || n , ∠1 ≅ ∠2

Figura 46.10

3. Halla el valor de la medida del ángulo numerado

en cada caso.

a.

b.

Figura 46.9


2. Escribe la información que falta para demostrar el siguiente teorema.

Teorema. Ángulos internos no alternos y paralelas

Si los ángulos internos no alternos determinados por dos rectas y una trans-

versal son suplementarios, entonces, las dos rectas son paralelas.

Reformulación: si m y n son dos rectas, t es una transversal, y ∠2 y ∠3 (inter-

nos no alternos) son suplementarios, entonces, m y n son paralelas.

Figura 46.8Prueba



la transversal t.Definición de ángulos

correspondientes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯


graficamente

BA⎯→⎯

y BC⎯→⎯

son rayos opuestos.

BD⎯→⎯

es otro rayo.

3. BA⎯→⎯

y BC⎯→⎯

son rayos opuestos.

BD⎯→⎯

es otro rayo.

Definición de ángulospar lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4. Postulado del

par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯

5. ∠2 y ∠3 son suplementarios. Teorema de suplementosde ángulos congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

6. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m y n son paralelas.

223

Resumen

(2y)°

x (3x – 18)°°

76°

25°

42°

x°y°

y°

v°

w°

l m

t(2x + 26)°

(3x – 33)° l

t

s

mE(5x + 40)°

(5x)°

(2x)°

Q

R

B

AO

P3

4

1 2

C D

BA

FG

1

43

2

A B

CD

A

B C

D E

1. Dos rectas que son paralelas a una tercera recta siempre son paralelas.

2. En un plano si dos rectas son perpendiculares a la misma recta, entonces, son paralelas

entre sí.

3. Todo par de ángulos alternos internos entre rectas paralelas son congruentes.

4. Si un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces, las rectas son paralelas.

5. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces, los ángulos internos no

alternos son suplementarios.

5. En cada caso de la figura 46.11, halla el valor de las

variables.

a.

b.

Figura 46.11

6. Halla en cada caso el valor de x para que la recta l

sea paralela a la recta m.

a.

b.

Figura 46.12

7. Demuestra cada afirmación.

a. Si ←→⎯ ←→⎯AO BQ ,

⎯→⎯OP biseca al ∠AOQ y

⎯→⎯QR

biseca al ∠OQB, entonces, ∠2 ≅ ∠4.

b. Si AB ⊥ BC, DC ⊥ BC y ∠1 ≅ ∠4, entonces, ←→⎯ ←→⎯CG BF .

c. Si ←→⎯ ←→⎯AB CD y

←→⎯ ←→⎯AD CB , entonces,

∠ABC ≅ ∠CDA.

d. Si ∠BCD ≅ ∠CDE y ∠ABC es suplemento del

∠CDE, entonces, ←→⎯ ←→⎯AB DC .

Figura 46.13


8. Tienes la misión de enviar a unos trabajadores a pin-

tar las demarcaciones de cada espacio de parqueo

en un parqueadero nuevo. ¿Cómo les explicas qué

deben hacer para que las líneas queden paralelas?

Discute con un compañero o compañera las venta-

jas o desventajas que hay entre hacer las demarca-

ciones perpendiculares a la pared u oblicuas a esta.

Tema

Pensamientoespacial

224

Ideas previas

K

Vértice

Lado

A

J

P

k

m

B

CD

A

k

1

2

3

45

Geometría

1. ¿Un triángulo puede tener dos ángulos rectos?

2. ¿Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos?

3. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un triángulo?

47 Rectas paralelas y triángulos

En el presente tema, recordaremos algunas definiciones relacionadas con el triángulo y,

además, demostraremos teoremas sobre las propiedades que cumplen los triángulos.

Definición

Dados tres puntos no colineales, la unión de los tres segmentos que conectan los pun-

tos es un triángulo. Los puntos se denominan vértices del triángulo y los segmentos,

lados del triángulo (ver figura 47.1).

Figura 47.1

Figura 47.2

Prueba


1. △ABC Definición de triángulo⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ C no pertenece a la AB←→⎯

.

2. C no pertenece a la AB←→⎯

. Postulado punto exterior⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Existe recta k paralela a la AB←→⎯

.


∠4 y ∠1 son alternos internos.


4. ∠4 y ∠1 son alternos internos.


Existe recta k paralela a la AB←→⎯

.

Teorema de paralelas a ángulosalternos internos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∠1 ≅ ∠4

∠3 ≅ ∠5

5. ∠1 ≅ ∠4

∠3 ≅ ∠5Definición de ángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯m ∠1 = m ∠4

m ∠3 = m ∠5

6. Información dada gráficamente ∠4 y ∠ACD forman par lineal.

7. ∠4 y ∠ACD forman par lineal.Postulado par

lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯∠4 y ∠ACD son

suplementarios.

8. ∠4 y ∠ACD son

suplementarios.Definición de ángulos

suplementarios⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠4 + m ∠ACD = 180°

9. Información dada gráficamente B está en el interior del ∠ACD.

Postulado. Paralela por un punto exterior

Si P es un punto exterior a una recta m, entonces, existe una sola recta k que pasa por P

y paralela a m (ver figura 47.2).

Este postulado sirve para justificar un paso de la demostración del siguiente teorema.

Teorema. Suma de medidas de ángulos interiores de un triángulo

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Reformulación: si △ABC, entonces, m ∠A + m ∠B + m ∠C = 180° (ver figura 47.3).

Figura 47.3

225

10. B está en el interior del ∠ACD.Postulado de adiciónmedida de ángulos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠ACD = m ∠2 + m ∠5

11. m ∠ACD = m ∠2 + m ∠5

m ∠4 + m ∠ACD = 180°

m ∠1 = m ∠4

m ∠3 = m ∠5

Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠1 + m ∠2 + m ∠3 = 180°

Este teorema nos permite clasificar triángulos de acuerdo con las medidas de sus ángu-

los, pero, antes de ello, necesitamos demostrar un teorema que se desprende de este.

Teorema. Triángulo obtusángulo o rectángulo

Un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso o un ángulo recto.

Reformulación: si △DEF y ∠D es obtuso o ∠D es recto, entonces, los otros dos ángulos

son agudos.

Prueba


1. ∠D es obtuso o ∠D es recto.Definición de ánguloobtuso y ángulo recto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠D ≥ 90°

2. △DEFTeorema de la suma de

medidas de ángulosinteriores del triángulo⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

m ∠D + m ∠E + m ∠F = 180°

3. m ∠D ≥ 90° Propiedad aditiva del orden⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯m ∠D + m ∠E + m ∠F ≥

90° + m ∠E + m ∠F

4. m ∠D + m ∠E + m ∠F ≥

90° + m ∠E + m ∠F

m ∠D + m ∠E + m ∠F = 180°

Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 180° ≥ 90° + m ∠E + m ∠F

5. 180° ≥ 90° + m ∠E + m ∠F Propiedad cancelativa⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 90° ≥ m ∠E + m ∠F

6. 90° ≥ m ∠E + m ∠FPostulado medida

de ángulos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠E < 90° y m ∠F < 90°

7. m ∠E < 90° y m ∠F < 90° Definición deángulo agudo⎯ →⎯⎯⎯⎯ ∠E es agudo y ∠F es agudo.

Definición

1. Si los tres ángulos de un triángulo son agudos, el triángulo es acutángulo.

2. Si uno de los ángulos de un triángulo es obtuso, el triángulo es obtusángulo.

3. Si uno de los ángulos de un triángulo es recto, el triángulo es rectángulo.

Ejemplo 1

En el △STR, m ∠S = 12x, m ∠T = 5x − 16 y m ∠R = 7x + 4.

Determinemos la clase de triángulo.

Solución

Por el teorema Suma de medidas de ángulos internos de un triángulo, tenemos que

m ∠S + m ∠T + m ∠R = 180°.

Por el Principio de sustitución, 12x + (5x − 16) + (7x + 4) = 180°.

Por tanto, 24x − 12 = 180°, de donde x = 8.

Esto significa que m ∠S = 96°, m ∠T = 24°, m ∠R = 60° y △STR es obtusángulo.

226

C

F

D

B

A

G

1 2

3

4C

D

BA

Existe otro teorema importante relacionado con las medidas de los ángulos de un trián-

gulo. Para expresarlo, es necesario primero dar una definición.

Figura 47.4

Prueba


1. ∠4 es ángulo externo del △ABC.Definición de ángulo

externo⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CA⎯→⎯

y CD⎯→⎯

son rayos opuestos.

2. Información dada gráficamente ∠3 y ∠4 comparten el CB

⎯→⎯ como lado.

3. CD⎯→⎯

y CA⎯→⎯

son rayos opuestos.

∠3 y ∠4 comparte al CB⎯→⎯

como lado.Definición par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ∠3 y ∠4 forman par lineal.

4. ∠3 y ∠4 forman par lineal. Postulado par lineal⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ∠3 y ∠4 son suplementarios.

5. ∠3 y ∠4 son suplementarios.Definición ángulos

suplementarios⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠3 + m ∠4 = 180°

6. △ABCTeorema medida de

ángulos internosde un triángulo⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

m ∠1 + m ∠2 + m ∠3 = 180°

7. m ∠3 + m ∠4 = 180°

m ∠1 + m ∠2 + m ∠3 = 180° Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

m ∠3 + m ∠4 =

m ∠1 + m ∠2 + m ∠3

8. m ∠3 + m ∠4 =

m ∠1 + m ∠2 + m ∠3Propiedad cancelativa⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠4 = m ∠1 + m ∠2

Figura 47.5

Definición

El ∠BCD es un ángulo externo del △ABC si ⎯→⎯CA

y ⎯→⎯CD son rayos opuestos (ver figura 47.4).

El ∠A y el ∠B del △ABC se denominan ángulos

internos no adyacentes del ∠BCD.

Teorema. Ángulo externo

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual

a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

Reformulación: si ∠4 es ángulo externo del △ABC,

entonces, m ∠4 = m ∠1 + m ∠2 (ver figura 47.5).

227


E

G HF

(3x + 4)°

11(x − 2)° 6(2x + 1)°

R

S

Q

T

(5 x )˚

(7x + 24)˚

(4x – 12)˚

30˚

A

68˚

A

70˚

A

C E

B

A

D

116˚

A

1. ¿Cuántos ángulos externos tiene el triángulo?

¿Cuáles son los ángulos internos no adyacentes

de cada ángulo externo?

2. Imagina que en el proceso de clasificación de trián-

gulos encuentras que el primer ángulo que anali-

zas es agudo. ¿Tienes que analizar la amplitud de

otro ángulo o ya puedes decidir qué clase de trián-

gulo es? Explica tu respuesta.

3. Clasifica cada triángulo usando la información

dada.

a. m ∠A = 3m ∠B; m ∠C es 20° mayor que m ∠B.

b. m ∠ J = x, m ∠K = x + 10, m ∠L = x − 10.

c.

Figura 47.6

d.

Figura 47.7

4. Calcula la medida del ∠A en cada una de las figu-

ras. Ten en cuenta que arcos del mismo color en el

vértice de un ángulo indican congruencia.

a.

b.

c.

d. m ∠BCA = 120°

e.

Figura 47.8


5. Explica por qué es verdadera cada afirmación.

a. La suma de las medidas de los ángulos inter-nos de un cuadrilátero es 360°.

b. Si dos ángulos de un triángulo son congruen-tes, los ángulos tienen que ser agudos.

c. Los ángulos agudos de un triángulo rectán-gulo son complementarios.

d. Si los tres ángulos de un triángulo son con-gruentes, cada uno de ellos mide 60°.

228

A B

C

D E

BA

D

C EB

A

D

C

X65˚

42˚

6. Escribe la información que completa la prueba del siguiente teorema.

Teorema. Tercer ángulo congruente

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo,

entonces, el tercer ángulo de cada triángulo es también congruente.

Reformulación: si para △ABC y △DEF se tiene que ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E, entonces, ∠C ≅ ∠F.


1. △ABC, △DEFTeorema de la suma de

medidas de ángulosinteriores⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2. Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3. ∠A ≅ ∠D

∠B ≅ ∠E

Definición de ánguloscongruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4.

Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

5. Propiedad cancelativa⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠C = m ∠F

6. m ∠C = m ∠F ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠C ≅ ∠F

7. Construye una prueba para cada afirmación.

a. En la figura 47.9, si ⎯→⎯ ⎯→⎯BA DE entonces,

m ∠B + m ∠C + m ∠D = 180°.

Figura 47.9

b. En la figura 47.10, si DE ⊥ AE y DB ⊥ AB, entonces, m ∠CAB = m ∠CDE.

Figura 47.10


8. Construye una figura auxiliar (un segmento, una

recta o un rayo) en cada uno de los problemas

propuestos a continuación con el fin de usar los

teoremas ya demostrados. Explica cuál es la cons-

trucción auxiliar que usaste y cuáles teoremas o

postulados justifican el proceso de solución.

a. Si ⎯→⎯ ⎯→⎯AC BD , ¿cuál es la medida del ∠AXB?

Figura 47.11

229

Resumen

P

U T

S

RQ

110˚ 125˚

90˚

130˚100˚

R

T

P

S

20˚

115˚

160˚

100˚

130˚

B E

C

DA

1. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulos es 180°.

2. La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos

interiores no adyacentes.

3. Un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso o un ángulo recto.

b. ¿Cuál es la medida del ∠QPU?

Figura 47.12

c. ¿Cuál es la medida del ∠R?

Figura 47.13

9. ¿Cuáles podrían ser las medidas de los ángulos A,

B y C en la figura 47.14, si AD || BE?

Figura 47.14

10. ¿Cuántos triángulos isósceles hay en la figura

47.15?

Figura 47.15

11. El sexto paso de la demostración del teorema Del

triángulo obtusángulo o rectángulo permite con-

cluir, a partir del postulado Medida de ángulos, que

siendo la suma de dos medidas menor o igual que

90, entonces, cada sumando también es menor

que 90. ¿Es eso cierto para cualquier par de nú-

meros? Explica con más detalle por qué ese paso

de la prueba es válido.

Competencias en TIC

12. Constuye un △ABC y un ángulo externo a cada

vértice con un programa de geometría dinámica.

Completa el enunciado del siguiente teorema, de

manera que resulte verdadero. Luego realiza la

demostración.

Teorema. Suma de medidas de ángulos externos

de un triángulo

La suma de las medidas de los ángulos externos de

un triángulo, uno en cada vértice, es __________.

13. ¿Qué propiedades tiene el segmento que une los

puntos medios de dos lados de un triángulo?

¿Qué relación existe entre el perímetro de un trián-

gulo y el del triángulo que tiene vértices en los

puntos medios de los lados del triángulo original?


Tema

Pensamientoespacial

230

Ideas previas

A

B

C D

FE

Geometría

1. ¿Qué crees que significa la palabra congruencia?

2. ¿Si dos figuras tienen la misma forma, se puede decir que son congruentes?

3. ¿Las fichas de un rompecabezas son congruentes?

48 Triángulos congruentes

Cuando dos figuras geométricas tienen el mismo tamaño y la misma forma, se denomi-

nan figuras congruentes.

Para determinar si dos triángulos son congruentes, tendríamos que compararlos colo-

cando uno encima del otro. Luego de esto, comenzaríamos a determinar la correspon-

dencia entre los vértices, si coinciden en tamaño, es decir, si los ángulos y lados de am-

bos triángulos tienen las mismas medidas. Sin embargo, para establecer la congruencia

de triángulos existen otros métodos, como veremos más adelante.

Definición

Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices, tal

que los lados y ángulos correspondientes son congruentes.

En la figura 48.1, se indica la correspondencia entre los vértices del △ABC y el △FDE, que

permite establecer la congruencia de los triángulos, ya que se establece lo siguiente:

∠A ≅ ∠F; ∠B ≅ ∠D; ∠C ≅ ∠E; AB ≅ DF; BC ≅ DE; AC ≅ EF.

Para denotar la congruencia, nombramos los vértices correspondientes en el mismo

orden, así:

△ABC ≅ △FDE.

De acuerdo con la definición de triángulos congruentes, debemos comprobar la con-

gruencia de cada par de ángulos y cada par de lados. Sin embargo, esta tarea se puede

reducir.

Para descubrir qué condiciones son suficientes para establecer la congruencia de dos

triángulos, realizamos el análisis considerando diferentes casos: cuando los dos trián-

gulos tienen un ángulo congruente, dos ángulos congruentes o los tres ángulos con-

gruentes. También, lo realizamos para la congruencia de lados: un lado congruente, dos

lados congruentes o los tres lados congruentes.

Construyamos triángulos como los que se ilustran en las figuras de la siguiente tabla.

Corroboremos que estas figuras realmente existen.

Figura 48.1

Los triángulos congruen-

tes se usan para construir

estructuras como anda-

mios, puentes, soportes

para techos, torres que

sostienen antenas o cables

de electricidad.

En qué se aplica

231

30°

30°

20°80°

20°

80° 30°

110°40°

30°

110°40°

5 cm

5 cm

6 cm

4 cm

6 cm

4 cm

4 cm5 cm

6 cm

4 cm5 cm

6 cm

A

B

CM

Un ángulo congruente Dos ángulos congruentes Tres ángulos congruentes

Un lado congruente Dos lados congruentes Tres lados congruentes

Tabla 48.1

Como se ilustra en todas las figuras anteriores, excepto en la última, podemos obtener

triángulos que difieren en forma (uno acutángulo y otro obtusángulo) o en tamaño al

exigir la congruencia de las partes indicadas. El siguiente postulado expresa lo que el

análisis anterior parece demostrar.

Postulado. Lado-Lado-Lado (LLL)

Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo,

entonces, los triángulos son congruentes.

Ejemplo 1

En la figura 48.2, M es punto medio del BC y el △ABC es isósceles con AB ≅ AC.

¿Por qué el △AMB es congruente con el △AMC?

Solución


1. M es punto medio del BC.Definición depunto medio⎯ →⎯⎯⎯⎯ BM ≅ CM

2. Propiedad reflexiva AM ≅ AM

3. BM ≅ CM

AM ≅ AM

AB ≅ AC

Postulado Lado-Lado-Lado⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ △AMB ≅ △AMCFigura 48.2

Los casos de congruencia de algunas partes de los triángulos que analizamos no agotan

todas las posibilidades. Siguiendo el proceso tenemos las situaciones de la tabla 48.2.

232

4 cm

5 cm

4 cm

5 cm

65°

65°

3 cm

6 cm29°

29°

3 cm6 cm

5 cm

100°

15°

15°5 cm

100°

8 cm

50°

60°

8 cm

50°

60°

C

A

B F

D

EC

A

B F

D

E

En este caso, todas las combinaciones, excepto la segunda, obligan a la congruencia de

los dos triángulos. Eso se manifiesta con postulados ilustrados en las siguientes figuras.

Postulado. Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Si dos lados y el ángulo incluido entre ellos en

un triángulo son congruentes con dos lados y

el ángulo incluido entre ellos en otro triángulo,

entonces, los dos triángulos son congruentes.

Figura 48.3

Postulado. Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)

Si dos ángulos y el lado incluido entre ellos en

un triángulo son congruentes con dos ángulos

y el lado incluido entre ellos en otro triángulo,


Figura 48.4

El último caso de congruencia se constituye como teorema, pues se puede demostrar,

lo que no es posible con los tres criterios de congruencia establecidos anteriormente.

Teorema. Lado-Ángulo-Ángulo (LAA)

Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en un triángulo son congruentes con

dos ángulos y el lado opuesto al ángulo correspondiente en otro triángulo, entonces,

los dos triángulos son congruentes.

Reformulación: dados △ABC y △XYZ con ∠A ≅ ∠X, ∠B ≅ ∠Y y BC ≅ YZ, entonces,

△ABC ≅ △XYZ.

Prueba


1. △ABC, △XYZ, ∠A ≅ ∠X, ∠B ≅ ∠YTeorema tercer ángulo

congruente⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠C ≅ ∠Z

2. ∠C ≅ ∠Z

∠B ≅ ∠Y

BC ≅ YZ

Postulado ALA⎯ →⎯⎯⎯⎯ △ABC ≅ △XYZ

Dos lados congruentes

y el ángulo incluido

entre ellos

Dos lados

congruentes y el

ángulo opuesto a ellos

Dos ángulos

congruentes y el lado

incluido entre ellos

Dos ángulos

congruentes y el lado

opuesto a uno de ellos

Tabla 48.2

233


A

B

D

C

B

AC

J D

B A

C

R T

U

S

26˚42˚

(y 5)˚

(x 20)˚

4125

33

P

M

Q

RT

4x 3

3z 2

2y 5

Y

X W Z80˚

z – 2x3x

(x2 – 18x + 160)°

B

TP

C

RD

(x2 + 3)˚

3,95

5,36

103˚2y + 1

4z + 1

Ejemplo 2

Decidamos si existe un triángulo congruente a cada △ABC de las siguientes figuras. Re-

cordemos que marcas de igual color en los segmentos o ángulos indican congruencia, y

flechas de igual color indican paralelismo. Si es el caso, escribamos la congruencia de los

triángulos y el postulado o teorema que lo asegura.

a. b. c.

Figura 48.5

Solución

a. △ABC ≅ △ADC por el postulado LAL, ya que BC ≅ DC, ∠BCA ≅ ∠DCA y AC ≅ AC.

b. No se puede deducir congruencia de los triángulos, porque se tiene ∠BAC ≅ ∠JAC,

AC ≅ AC y BC ≅ JC, que corresponden a dos lados y el ángulo opuesto a uno de

ellos, combinación que no obliga a la congruencia.

c. △ABC ≅ △CDA por el postulado ALA. Como AB || CD, tenemos que ∠BAC ≅ ∠DCA

(teorema De paralelas y ángulos alternos internos). Por esta misma razón, de BC || AD,

se deduce que ∠BCA ≅ ∠CAD. Finalmente, AC ≅ AC.

1. Se quiere construir, con regla y compás, un trián-

gulo congruente a uno dado. ¿Cuál postulado

usarías? ¿Por qué?

2. Haz un esquema en el cual registres la información

que se da y decide si existe congruencia entre los

△PQR y △XYZ. Si es el caso, escribe la congruencia

de los triángulos y el postulado o teorema que la

asegura.

a. PQ ≅ YZ, QR ≅ ZX, PR ≅ XY.

b. ∠P ≅ ∠Y, ∠Q ≅ ∠X, PR ≅ YZ.

c. QR ≅ ZY, PR ≅ XY, ∠R ≅ ∠Y.

d. QP ≅ ZY, ∠Q ≅ ∠Z, PR ≅ XY.

3. En cada caso, se da la congruencia entre partes

correspondientes del △DEF y el △KLM. ¿Qué dato

faltaría para establecer la congruencia de los trián-

gulos? Explica tu respuesta.

a. DE ≅ KL, DF ≅ LM.

b. ∠F ≅ ∠L, ∠E ≅ ∠M.

c. EF ≅ LM, ∠F ≅ ∠L.

d. MK ≅ DE, ∠F ≅ ∠L.


4. Halla en cada caso el valor de cada variable.

a.

b.

c.

d.

Figura 48.6

234

T

B

Q

A

N M

L

KJ

M

Z

Y

X


5. Completa cada demostración.

a. Si ⎯→⎯QB biseca al ∠TQA y QT ≅ QA, entonces, △BQT ≅ △BQA.


1. QB⎯→⎯

biseca al ∠TQA. Definición de bisectriz⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2. Propiedad reflexiva

3.

QT ≅ QA

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ △BQT ≅ △BQA

b. Si ⎯→⎯KJ NM y KJ ≅ NM, entonces, △KJL ≅ △NML.


1. KJ NM⎯→⎯

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠KJL ≅ ∠NML

2. ⎯→⎯KJ NM

∠KJL ≅ ∠NML

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ △KJL ≅ △NML

c. Si ⊥⎯→⎯XM YZ y M es el punto medio de YZ, entonces, △XYM ≅ △XZM.


1. ⊥⎯→⎯XM YZ ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∠XMZ es recto.

2. ∠XMZ es recto.

Definición de ángulorecto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3.

Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m ∠XMZ = m ∠XMY

4. m ∠XMZ = m ∠XMY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

5. M es el punto medio de YZ.

Definición de puntomedio⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯


7.

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ △XYM ≅ △XZM

Figura 48.7

Figura 48.8

Figura 48.9

235

Resumen

Q

T

R

SP

A

1 2

N E

DB

C

A

B

D

C

E

A

D

C F B

Los criterios de congruencia

de triángulos son

LLL

LAL

ALA

LAA

Si los tres lados de un triángulo son congruentes

con los tres lados de otro triángulo, entonces, los

triángulos son congruentes.

Si dos lados y el ángulo incluido entre ellos en un

triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo

incluido entre ellos en otro triángulo, entonces, los

dos triángulos son congruentes.

Si dos ángulos y el lado incluido entre ellos en un

triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado

incluido entre ellos en otro triángulo, entonces, los

dos triángulos son congruentes.

Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en un

triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado

opuesto al ángulo correspondiente en otro triángulo,


que significa

que significa

que significa

que significa

6. Demuestra cada afirmación.

a. Si T es punto medio de QS y de PR, entonces, △PQT ≅ △RST.

Figura 48.10

b. Si ∠CBN ≅ ∠CDN, ∠1 ≅ ∠2 y N es punto medio de AE, entonces, △ABN ≅ △EDN.

Figura 48.11

c. Si AC biseca al ∠DAB y al ∠DCB, entonces, △ACD ≅ △ACB.

Figura 48.12

7. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir del

punto A al punto B? Ten en cuenta las direcciones

de las flechas.

Figura 48.13


Tema

Pensamientoespacial

236

Ideas previas

A

D

E F

B

C

A B

C

A B

D

Geometría

1. Si tres ángulos de un triángulo son congruentes, respectivamente, con los tres án-

gulos de otro triángulo, ¿los triángulos son congruentes?

2. Si dos lados de un triángulo son congruentes con los dos lados de otro triángulo,

¿qué condición se debe cumplir para que los dos triángulos sean congruentes?

49 Aplicación de la congruencia de triángulos

Recordemos que contamos con cuatro criterios para demostrar la congruencia de dos

triángulos. Estos criterios nos ayudan a demostrar otras proposiciones y teoremas.

Criterios de congruencia

Postulado LLL Postulado LAL

Postulado ALA Teorema LAA

Tabla 49.1

Ejemplo 1

En la figura 49.1, si AD ≅ BC y BD ≅ AC, entonces, ∠DAB ≅ ∠CBA.

Solución

Demostremos la congruencia de los triángu-

los solapados △ABC y △BAD, de la figura 49.1,

para deducir la congruencia de los ∠DAB y

∠CBA. Para facilitar la visualización, separa-

mos los dos triángulos, como se muestra en

la figura 49.2, y registramos la información que

tenemos.Figura 49.2

Prueba


1. Propiedad reflexiva AB ≅ AB

2. AD ≅ BC y BD ≅ AC

AB ≅ ABPostulado LLL⎯ →⎯⎯⎯⎯ △ADB ≅ △BCA

3. △ADB ≅ △BCADefinición de

triángulos congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠DAB ≅ ∠CBA

Figura 49.1

237

1

A

B

2

C

D

E

1

A

B

2

C

D

E

1

A

B

2

C

D

E

1

A

B

2

C

D

E

1

A

B

2

C

D

E

La estrategia de usar triángulos para demostrar otra propiedad de las figuras es muy útil,

como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

En la figura 49.3, si C es el punto medio del AE y del BD, entonces, AB || DE.

Solución

Indicamos en la figura la congruencia de dos segmentos o dos ángulos

cuando estos se deducen.

Prueba

¿Qué sabemos? ¿Qué usamos? ¿Qué concluimos? Figura

1. C es el punto medio del AE.

Definición depunto medio⎯ →⎯⎯⎯⎯ AC ≅ CE

2. C es el punto medio del BD.Definición depunto medio⎯ →⎯⎯⎯⎯ BC ≅ CD


gráficamente

∠1 y ∠2 son opuestos

por el vértice.

4. ∠1 y ∠2 son opuestos por

el vértice. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de ángulos

opuestos por el vértice ∠1 ≅ ∠2

5. AC ≅ CE

BC ≅ CD

∠1 ≅ ∠2

Postulado LAL⎯ →⎯⎯⎯⎯ △ACB ≅ △ECD

6. △ACB ≅ △ECDDefinición de

triángulos congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABC ≅ ∠EDC


gráficamente

∠ABC y ∠EDC son alternos

internos.

8. ∠ABC y ∠EDC son alternos

internos.

∠ABC ≅ ∠EDC

Teorema de ángulos alternosinternos a paralelas⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AB || DE

Figura 49.3

238

A

B C

A

B CM

A

B CM

A

B CM

A

B CM

A

B CM

En ocasiones, es necesario hacer una construcción auxiliar de un segmento o recta, por

ejemplo, para formar triángulos y usarlos para hacer la demostración. A continuación,

se ilustra lo anterior.

Teorema. Del triángulo isósceles

Si un triángulo es isósceles, entonces, los ángulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

Reformulación: si en el △ABC, AB ≅ AC, entonces, ∠B ≅ ∠C.

Prueba


1. BCTeorema de existencia

del punto medio⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯M es punto medio

de BC.

2. M es punto medio

de BC.Definición de mediana⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

AM es mediana del

△ABC.

3. M es punto medio

de BC.

Definición depunto medio⎯ →⎯⎯⎯⎯ BM ≅ CM

4. Propiedad reflexiva AM ≅ AM

5. AB ≅ AC

AM ≅ AM

BM ≅ CM

Postulado LLL⎯ →⎯⎯⎯⎯ △ABM ≅ △ACM

6. △ABM ≅ △ACMDefinición de

triángulos congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠B ≅ ∠C

Figura 49.4

239

A

BX

C

D

E

A

BX

C

D

E

A

BX

C

D

E

A

BX

C

D

E

A

BX

C

D

E

Figura 49.5

Ejemplo 3

En la figura 49.5, si CA ≅ CE y BA ≅ DE, entonces, BX ≅ DX.

Solución

Prueba


1. CA ≅ CETeorema del triángulo

isósceles⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠CAE ≅ ∠CEA

2. Propiedad reflexiva AE ≅ AE

3. ∠CAE ≅ ∠CEA

AE ≅ AE

AB ≅ DE

Postulado LAL⎯ →⎯⎯⎯⎯ △BAE ≅ △DEA

Para facilitar la visualización, usaremos otro par de triángulos, borramos las marcas de

colores para indicar solamente las que necesitamos en esta parte de la demostración.


4. △BAE ≅ △DEA Definición de triángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABE ≅ ∠EDA


∠BXA y ∠DXE son

opuestos por el

vértice.

Teorema. De ángulos congruentes en un triángulo

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces, los lados opuestos a los

ángulos congruentes son congruentes.

En ocasiones debemos usar más de un par de triángulos congruentes para demostrar

una proposición.

240


A

BX

C

D

E

A

BX

C

D

E

L P

N

M Q

Q

P T

R

U S

A

D

C

E

B

F

a. ML ≅ QP

LP ⊥ LM

LP ⊥ PQ

b. PQ || UR

QT || RS

QT ≅ RS

c. AC ≅ BC

∠A ≅ ∠B

Figura 49.6

6. ∠BXA y ∠DXE

son opuestos por

el vértice.

Teorema de ángulosopuestos por el vértice⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∠BXA ≅ ∠DXE

7. ∠ABE ≅ ∠EDA

∠BXA ≅ ∠DXE

BA ≅ DE

Teorema LAA⎯ →⎯⎯⎯⎯ △BXA ≅ △DXE

8. △BXA ≅ △DXE Definición de triángulos

congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ BX ≅ DX

Para demostrar que dos segmentos o dos ángulos son congruentes:1. Identificamos dos triángulos en los cuales los segmentos o ángulos sean partes

correspondientes o elaboramos una construcción auxiliar que genere dos triángu-los de los cuales ellos sean partes correspondientes.

2. Demostramos que los triángulos son congruentes.3. Usamos la definición de triángulos congruentes para concluir que los segmentos

o ángulos son congruentes.

La estrategia que aplicamos en los ejemplos anteriores para demostrar la congruencia

de dos segmentos o dos ángulos, podemos resumirla como se indica a continuación.

1. Identifica dos triángulos solapados congruentes en cada caso. Determina los criterios de congruencia que

permiten afirmarlo.

241

A

B

E

1 2

34 D

F

C

W P

S

T R

Q

A

B C

3. Identifica dos pares de triángulos de la figura 49.8,

que puedes demostrar congruentes para llegar a

la conclusión dada.

Figura 49.8

a. SP ≅ TQ

b. ∠W ≅ ∠R

c. ST ≅ PQ

2. Identifica los triángulos que deben ser congruen-

tes en la figura 49.7 para llegar a la conclusión dada.

Figura 49.7

a. FD ≅ EF

b. ∠EBC ≅ ∠DCB

c. ∠3 ≅ ∠4

d. BD ≅ EC


4. Completa la información de la prueba del teorema.

Teorema. De ángulos congruentes en un triángulo

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces, los lados opuestos a los ángulos congruentes

son congruentes.

Reformulación: si ∠B ≅ ∠C, entonces, AB ≅ AC (ver figura 49.9).


1. ∠BAC Definición de bisectriz⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AT es bisectriz del ∠BAC.

2. AT es bisectriz del ∠BAC. Definición de bisectriz⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯


4. ∠B ≅ ∠C

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

5. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ AB ≅ AC

Figura 49.9

242

C

A

F G

M B

A

B C D E

T

I

N

G

B

E C

UT

1 2

34 K

50°

3x + 1 4(x 1)

50°

75°

y°

12 12

1212

48°

(3m)°

8 8

35° 35°

14x 40 2x 5x + 20

5. Demuestra que si M es punto medio de AB, ∠A ≅ ∠B, MC es bisectriz del ∠FMG, entonces, FC ≅ GC.

Figura 49.10

6. Demuestra que si AB ≅ AE, BC ≅ DE, entonces,

∠ACD ≅ ∠ADC.

Figura 49.11

7. Demuestra que si TN biseca al ∠ITG, IT ≅ TG, en-

tonces, TN biseca al ∠ING.

Figura 49.12

8. Demuestra que si ∠1 ≅ ∠2, BT ≅ BU y ∠3 ≅ ∠4,

entonces, KC ≅ KE.

Figura 49.13


9. Determina el valor de las variables de las siguien-

tes figuras usando los teoremas Del triángulo isós-

celes y De ángulos congruentes en un triángulo.

a.

b.

c.

d.

Figura 49.14

243

Resumen

Q P

NM

D

A

K

C

B

Q

R

S

T

Entretenimiento

10. ¿Cuáles de las siguientes figuras son congruentes?

Figura 49.15

Para demostrar la congruencia de dos segmentos o dos ángulos, se pueden identificar dos triángulos

en los cuales los segmentos o los ángulos sean partes correspondientes de triángulos congruentes.

11. Elabora una construcción auxiliar para probar las

siguientes afirmaciones. Indica cuál es y prueba

cada afirmación.

a. Si MN ≅ QP y MQ ≅ PN, entonces, ∠M ≅ ∠P.

b. Si AD = BC y AB = CD, entonces, AK = CK.

c. Si QR = QT y ∠R ≅ ∠T, entonces, SR = ST.

Figura 49.16



a. Todo triángulo isósceles tiene un par de án-gulos congruentes.

b. Todo triángulo equilátero es un triángulo isósceles.

c. Todo triángulo isósceles es un triángulo equi-látero.

d. Los ángulos opuestos a los lados congruen-tes de un triángulo isósceles son ángulos congruentes.

Competencias en TIC

13. Construye dos triángulos congruentes △DEF y

△HIJ con un programa de geometría dinámica.

Sea EX una mediana del △DEF e IY la mediana co-

rrespondiente al lado del △HIJ que es congruente

al DF. ¿Qué relación existe entre EX e IY ? Demues-

tra tu respuesta.

14. Construye un triángulo isósceles △ABC, donde

CA ≅ CB. Sean las medianas AM y BN. ¿Qué relación

existe entre estas? Demuestra tu respuesta.

15. Construye un triángulo isósceles △MNO. Sean R, S

y T los puntos medios de los respectivos lados del

△MNO. ¿Qué tipo de triángulo es el △RST? De-

muestra tu respuesta.

Tema

Pensamientoespacial

244

Ideas previas

Cateto

Cateto

Hipotenusa

A C

B

P R

Q

A B

C

A B

C

J

A

L

K

Teorema. Cateto - Ángulo (CA)

Si un cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectán-gulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

Figura 50.2

Teorema. Hipotenusa - Ángulo (HA)

Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rec-tángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángulos son congruentes.

Figura 50.3

Geometría

1. De acuerdo con la medida de sus lados, ¿cómo se clasifican los triángulos?

2. De acuerdo con la medida de sus ángulos, ¿cómo se clasifican los triángulos?

3. ¿Un triángulo rectángulo puede ser isósceles?

50 Congruencia de triángulos rectángulos

Un triángulo que tiene un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo. Recorde-

mos sus elementos.

Definición

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa.

Los lados opuestos a los ángulos agudos se denominan catetos (ver figura 50.1).

Para demostrar que dos triángulos son congruentes, basta mostrar la congruencia de

tres partes del triángulo, lados y ángulos, combinados adecuadamente. Como todos

los ángulos rectos son congruentes, la congruencia de triángulos rectángulos requiere

determinar solamente la congruencia de dos partes correspondientes más, como lo

establecen los siguientes dos teoremas.

El teorema de Pitágoras

afirma que para todo

triángulo rectángulo el

cuadrado de la longitud

de la hipotenusa es igual a

la suma de los cuadrados

de las longitudes de los

catetos.

Para recordar

Figura 50.1

Ejemplo 1

Demostremos que si KL ⊥ LA, KJ ⊥ JA y KA biseca

al ∠LAJ, entonces, △LAK ≅ △JAK.

Solución

Prueba


1. KL ⊥ LA, KJ ⊥ JADefinición deperpendicular⎯ →⎯⎯⎯⎯

∠KLA es recto.

∠KJA es recto.

2. ∠KLA es recto.

∠KJA es recto.

Definición detriángulo rectángulo⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

△KLA es rectángulo.

△KJA es rectángulo.

Figura 50.4

Analiza el teorema

Hipotenusa-Ángulo ingre-

sando a la página http://

www.geogebratube.org/

student/m113356

Vínculo web

245

C

A

B F

D

E

C

A

B F

D

E

C

A

B F

D

EG

Prueba


1. ∠ABC y ∠DEF rectos.Teorema de ángulos

rectos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠ABC ≅ ∠DEF

2. F y E puntos. Postulado de la recta⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Existe FE←→⎯

.

3. Existe FE←→⎯

.Teorema de la localización

de puntos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Existe G en FE

←→⎯ tal

que EG ≅ BC.

El siguiente es un teorema que necesitamos para la demostración del teorema HC, pero

por ahora no lo demostraremos.

Teorema. Localización de puntos

En un rayo, hay exactamente un punto que está a una distancia determinada del extre-

mo del rayo.

La combinación LLA no da lugar a la congruencia de los triángulos, pero en el caso de

triángulos rectángulos sí se da, tal y como lo asegura el teorema HC.

Teorema. Hipotenusa - Cateto (HC)

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes a las

partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces, los triángu-

los son congruentes.

Reformulación: si △ABC y △DEF son rectángulos, siendo ∠B y ∠E rectos,

AC ≅ DF y AB ≅ DE, entonces, △ABC ≅ △DEF.

En ocasiones, para asegurar

que un poste o un árbol se

mantengan perpendicu-

lares al piso, se ubican dos

cables de igual longitud,

ajustados a un punto del

poste o del árbol y cada

uno a una estaca en el piso.

¿Por qué se puede estar se-

guro de que las dos estacas

están a la misma distancia

del poste o árbol?

En qué se aplica3. Información dada

gráficamenteKA es opuesto a los ángu-

los rectos.

4. KA es opuesto a los ángu-

los rectos.Definición de

hipotenusa⎯ →⎯⎯⎯⎯KA es la hipotenusa del

△KLA y del △KJA.

5. Propiedad reflexiva KA ≅ KA

6. KA biseca al ∠LAJ.Definición de

bisectriz⎯ →⎯⎯⎯⎯ ∠KAL ≅ ∠KAJ

7. △KLA es rectángulo.

△KJA es rectángulo.

KA ≅ KA

KA es la hipotenusa.

∠KAL ≅ ∠KAJ

Teorema hipotenusaángulo (HA)⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ △LAK ≅ △JAK

Figura 50.5

246

C

A

B F

D

EG

C

A

B F

D

EG

C

A

B F

D

EG

C

A

B F

D

EG

C

A

B F

D

EG

4. G y D puntos. Postulado de la recta⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Existe GD←→⎯

y GD.

5. ∠DEF es recto.Definición deperpendicular⎯ →⎯⎯⎯⎯ DE FE⊥

←→⎯

6. DE FE⊥←→⎯

Definición deperpendicular⎯ →⎯⎯⎯⎯ ∠DEG es recto.

7. ∠DEG es recto.

∠ABC es recto.

Teorema de ángulosrectos⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠DEG ≅ ∠ABC

8. AB ≅ DE

EG ≅ BC

∠DEG ≅ ∠ABC

Postulado LAL⎯ →⎯⎯⎯⎯ △ABC ≅ △DEG

9. △ABC ≅ △DEGDefinición de

triángulos congruentes⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ AC ≅ DG

10. AC ≅ DG

AC ≅ DFPrincipio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ DG ≅ DF

11. DG ≅ DF Teorema del

triángulo isósceles⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ∠G ≅ ∠F

12. ∠ABC ≅ ∠DEF

∠DEG ≅ ∠ABC Principio de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∠DEF ≅ ∠DEG

13. ∠DEF ≅ ∠DEG

∠G ≅ ∠F

DG ≅ DF

Teorema LAA⎯ →⎯⎯⎯⎯ △ DEF ≅ △DEG

14. △DEF ≅ △DEG

△ABC ≅ △DEG Propiedad de sustitución⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ △ABC ≅ △DEF

247


V

X T

R

A

Q J

G

C

A

D

EB

G

F

A B

D

AE

B

C

4. La figura 50.8 representa una cometa. De acuer-

do con la información dada gráficamente, ¿cuáles

triángulos son congruentes? ¿Qué criterio lo ase-

gura?

Figura 50.8

5. Para demostrar el teorema Del triángulo isósceles

se usó como construcción auxiliar la mediana.

¿Puede demostrarse el mismo teorema usando la

altura sobre la base en vez de la mediana? Explica

tu respuesta.

Ejemplo 2

Determinemos la información adicional que debemos conocer para demostrar que

los triángulos de las figuras 50.6 son congruentes por el teorema Hipotenusa - Cateto

(HC).

a. b. c.

Figura 50.6

Solución

a. El △XRV y el △TRV comparten el RV, que es la hipotenusa de cada triángulo.

Faltaría indicar que XR ≅ RT o XV ≅ TV.

b. En este caso, falta asegurar que el △ACQ y el △GCJ son rectángulos. Esto sig-

nifica saber que el ∠A y el ∠G son rectos, ya que no lo pueden ser el ∠CQA ni

el ∠CJG.

c. Se tiene que el △BDG y △FEA son rectángulos y que BD ≅ EF, siendo estos

catetos de cada triángulo. Eso significa que falta conocer la congruencia de

las respectivas hipotenusas: AF y BG.

1. ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos se pue-

de aplicar para demostrar los teoremas CA y HA?

2. Explica cómo se demostraría el teorema Hipote-

nusa - Cateto usando el teorema de Pitágoras.

3. En un salón, se ubicarán diagonalmente dos mesas

en dos esquinas, como se muestra en la figura 50.7.

Figura 50.7

El encargado ya ubicó la mesa en la esquina A.

¿Qué medidas debe tomar para asegurarse de que

la otra mesa se ubique exactamente en la misma

posición en la esquina B? Justifica tu respuesta.

Analiza el teorema

Hipotenusa-Cateto ingre-

sando a la página http://

www.geogebratube.org/

student/m113359

Vínculo web

248

C

DE

A B

K

L

A

J

H

K

Z

D

J

A

N

CB

M

D E

A B

C

F I H

G

J K

L

M O

N

D

C

B

A

A

D

CB

E

Razonamiento lógicoDemuestra cada afirmación.

7. Si B es punto medio de AC, ∠A y ∠C son rectos y

EB ≅ DB, entonces, △BEA ≅ △BDC.

Figura 50.10

8. Si KL ⊥ LA , KJ ⊥ JA y AK⎯→⎯

es la bisectriz del ∠LAJ,

entonces, LK ≅ JK.

Figura 50.11

9. Si DH ⊥ DJ , KJ ⊥ JD y JH ≅ DK, entonces, ∠H ≅ ∠K.

Figura 50.12

10. a. Demuestra que la siguiente afirmación es

verdadera.

Si AB ≅ AC, BN ⊥ AC y CM ⊥ AB,

entonces, △ABN ≅ △ACM.

Figura 50.13

6. Determina el criterio de congruencia que se pue-

de usar para demostrar la congruencia de los

triángulos de las figuras 50.9. Si no hay forma de

hacerlo, justifica tu respuesta.

a.

b.

c.

d.

e.

Figura 50.9

249

Resumen

N

D

AR

H

O

Vista Gráfica

Comando...Entrada

Vista AlgebraicaPunto

A = (-2.36, 3.48) AY

B

C

X

B = (3, -2)C = (3.54, 4.52)

Los criterios de semejanza de triángulos rectángulos

son

Cateto - Ángulo

(CA)

Hipotenusa -

Ángulo (HA)

Hipotenusa -

Cateto (HC)

Si un cateto y un ángulo agudo de un triángulo

rectángulo son congruentes a las partes

correspondientes de otro triángulo rectángulo,


Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un

triángulo rectángulo son congruentes a las partes



Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo

rectángulo son congruentes a las partes



que significa

que significa

que significa

b. ¿Cómo puedes usar la congruencia del △ABN

y del △ACM para demostrar que MB ≅ NC?

c. Con la información del literal a., ¿de qué otra

manera puede demostrarse que MB ≅ NC?

11. Demuestra que si RH || NO , RH ≅ ON, RD es altu-

ra del △RNH y OA es altura del △ONH, entonces,

ND ≅ HA.

Figura 50.14

12. Demuestra el teorema localización de puntos.

Reformulación: si AB⎯→⎯

es un rayo y r un número

positivo, entonces, hay un punto K en AB⎯→⎯

, tal que

AK = r. Ayuda: la distancia entre dos puntos es el

valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas.

13. Un poste es perpendicular a un plano que contiene

los puntos B, C y D. En la parte superior del poste,

está el punto A y en la parte inferior sobre el plano,

el punto O. Se tienen cuerdas iguales desde A hasta

B, C y D. ¿△AOB, △AOC y △AOD son congruentes?

Competencias en TIC

14. Construye con un programa de geometría diná-

mica un △ABC, CX la altura al AB y BY la altura al AC.

Figura 50.15

¿Qué propiedad tiene el △ABC cuando CX ≅ BY?


Tema

Pensamientoespacial

250

Ideas previas

m

B

AQ

NM

NM

Q

T

NM

Q

T

NM

Q

T

NM

Q

T

Geometría

Definición

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por el

punto medio de este (ver figura 51.1).

La mediatriz de un segmento agrupa todos los puntos de un plano que tienen una

propiedad muy especial, como lo indica el siguiente teorema.

Teorema. Puntos equidistantes de los extremos de un

segmento

Si un punto es equidistante de los extremos de un seg-

mento, entonces, está sobre la mediatriz del segmento.

Reformulación: si MN es un segmento y Q un punto tal

que MQ = NQ, entonces, Q está sobre la mediatriz del MN.

1. ¿Cómo se define la mediana de un triángulo?

2. ¿Qué significa la bisectriz de un ángulo?

3. ¿Cuál es la diferencia entre la mediana y la altura de un triángulo?

51 Mediatrices y bisectrices

Figura 51.1

Prueba


1. MN es un segmento. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de la existencia

del punto medio T es punto medio de MN.

2. Q es un punto.

T es un punto.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta Existe la

←→⎯.QT

3. T es punto medio de MN ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición depunto medio MT ≅ NT

4. Propiedad reflexiva QT ≅ QT

Figura 51.2

251

B

l

m

S

A

T

Q

T

l

T

M

N

S

P

L

5. MQ = NQ ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de congruencia MQ ≅ NQ

6. MQ ≅ NQ

MT ≅ NT

QT ≅ QT

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LLL △QMT ≅ △QNT

7. △QMT ≅ △QNT ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de triángulos

congruentes ∠QTM ≅ ∠QTN

8. ∠QTM ≅ ∠QTN ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de ángulos

adyacentes congruentes←→⎯

�QT MN

9. ←→⎯

�QT MN

T es punto medio de MN.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de mediatriz

←→⎯QT es mediatriz del MN.

A lo largo del tiempo, en

diseños arquitectónicos,

se ha usado el concepto

matemático de simetría,

en el cual la mediatriz de

un segmento es esencial.

En la pirámide de Kukulkán

(en Chichén Itzá, México),

construida por los maya-

toltecas alrededor del año

1000 d.C., claramente se

distingue la simetría axial

(ver figura 51.6)

Figura 51.6

En qué se aplica

F E

D C

B A

Ejemplo 1

Si la recta l es perpendicular a la recta m y ∠A ≅ ∠B, ¿por qué l es la mediatriz del AB?

Solución

Como l ⊥ m, entonces, ∠TSA y ∠TSB son rectos (ver figura 51.3). Por tanto, son con-

gruentes. El TS es congruente a sí mismo y ∠A ≅ ∠B.

Por el teorema LAA, △TSB ≅ △TSA.

Por la definición de triángulos congruentes, tenemos que TB ≅ TA y SA ≅ SB, es decir,

tanto S como T equidistan de A y B.

Por el teorema Puntos equidistantes de los extremos de un segmento, S y T están en la

mediatriz del AB. Por el postulado de la recta, ST←→⎯

es la misma recta l. Luego, l es la

mediatriz del AB.

Figura 51.3

Figura 51.4

Figura 51.5

Definición

La distancia desde un punto Q a una recta l es la longitud

del segmento perpendicular desde Q hasta l (ver figura

51.4).

Así como la mediatriz se caracteriza como el conjunto de

puntos que equidistan de los extremos de un segmento,

la bisectriz de un ángulo también puede describirse de

forma especial, como se indica en el siguiente teorema.

Teorema. Punto equidistante a los lados de un ángulo

Si un punto equidista de los lados de un ángulo, enton-

ces, el punto está sobre la bisectriz del ángulo.

Como se habla de la distancia de un punto a una recta,

debemos mencionar en la reformulación un segmento

con extremo en el punto, perpendicular a la recta.

Reformulación: si ∠TMS, NP ⊥ MN, LP ⊥ LM y NP = LP,

entonces, MP⎯→⎯

es la bisectriz del ∠TMS.

Profundiza en la definición

de bisectriz ingresando a la

página

http://www.geogebratube.

org/student/m111784

Vínculo web

252


T

M

N

S

P

L

T

M

N

S

P

L

T

M

N

S

P

L

K

Z

W

ST

XY

A

K

F

D

B

m b. KT⎯→⎯

es bisectriz del ∠YKW.

Figura 51.7

Prueba


1. NP ⊥ MN

LP ⊥ LM ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deperpendicular ∠MLP y ∠MNP son rectos.

2. ∠MLP y ∠MNP son rectos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulo rectángulo△MLP y △MNP son

rectángulos.

3. NP = LP ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición decongruencia NP ≅ LP

4. Propiedad reflexiva MP ≅ MP

5. △MLP y △MNP son

rectángulos.

MP ≅ MP

NP ≅ LP

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema

hipotenusa - cateto (HC) △MLP ≅ △MNP

6. △MLP ≅ △MNP ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Definición de triánguloscongruentes

∠LMP ≅ ∠NMP

7. ∠LMP ≅ ∠NMP ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de bisectriz ⎯→⎯MP es bisectriz del ∠TMS.

1. Escribe todo lo que puedas deducir sobre los puntos, segmentos y ángulos de cada figura, a partir del hecho

que se da como verdadero.

a. m es mediatriz del DF.

253

Q

AN

TS

m

Q

l

X

Y

M

2. La distancia de un punto a una recta se define

como la longitud del segmento perpendicular

desde el punto hasta la recta. Argumenta por qué

crees que se usa ese segmento y no otro para de-

finir la distancia.

Figura 51.8

Razonamiento lógicoLos recíprocos de los dos teoremas demostrados en la explicación del tema también son teoremas.

Completa la demostración de cada uno.

5. Teorema. Mediatriz de un segmento

Si un punto está sobre la mediatriz de un segmento, entonces, equidista de los extremos del segmento.

Reformulación: si Q está sobre la mediatriz l de XY, entonces, QX ≅ QY.


1. Q está sobre la mediatriz

l de XY. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

mediatriz

⊥←→⎯QM XY

2. ⊥←→⎯QM XY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

Definición deperpendicularidad

3. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

4. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ∠QMX ≅ ∠QMY


6.

∠QMX ≅ ∠QMY

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LAL

7. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes QX ≅ QY

Figura 51.9

Competencias en TIC

3. Establece si cada uno de los siguientes puntos se

ubica en el interior del triángulo, en el exterior o

sobre el triángulo. Justifica tus respuestas.

a. Incentro (punto de intersección de las bisec-

trices)

b. Circuncentro (punto de intersección de las

mediatrices)c. Ortocentro (punto de intersección de las alturas)d. Baricentro (punto de intersección de las me-

dianas)

4. Indica si es aceptable usar, como construcción au-

xiliar, la mediatriz de la base del triángulo para de-

mostrar el teorema Del triángulo isósceles, en lugar

de usar la mediana. Explica tu respuesta.

254

E

GH

A FD

A

P

B

C

l

m

E

S

D

V

B E C

P

A

D

P

1 2

Q R S

T

U

6. Teorema. Bisectriz de un ángulo

Si un punto está sobre la bisectriz de un ángulo, entonces, equidista de los lados del ángulo.

Reformulación: si A está sobre la bisectriz del ∠DEF, AH ⊥ DE y AG ⊥ FE, entonces, AH ≅ AG.


1. A está sobre la bisectriz

del ∠DEF. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

bisectriz

2. AH ⊥ DE y AG ⊥ FE. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

perpendicularidad

3. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯


5.

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema

hipotenusa - ángulo (HA)

6. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes AH ≅ AG

Figura 51.10

7. Demuestra cada afirmación sin usar congruencia

de triángulos.

a. Si P está sobre la mediatriz del AB y sobre la mediatriz de BC, entonces, PA = PC.

Figura 51.11

b. Si S equidista de E y D, y V equidista de E y D,

entonces, SV←→⎯

es la mediatriz de ED.

Figura 51.12

c. Si DP⎯→⎯

biseca al ∠ADE y EP⎯→⎯

biseca al ∠DEC, entonces, P está en la bisectriz del ∠ABC.

Figura 51.13

8. Demuestra la siguiente afirmación: Si ∠1 ≅ ∠2, R

es punto medio de QS y PU ≅ TU, entonces, UR←→⎯

es mediatriz de QS.

Figura 51.14

255

Resumen

Q

N S M

R

B

D

C

A

F

K

A

L

J

Teoremas relacionados con mediatrices Teoremas relacionados con bisectrices

1. Si un punto equidista de los extremos de un segmen-

to, entonces, está sobre la mediatriz del segmento.

2. Si un punto está sobre la mediatriz de un segmento,

entonces, equidista de los extremos del segmento.

1. Si un punto equidista de los lados de un ángulo, en-

tonces, el punto está sobre la bisectriz del ángulo.

2. Si un punto está sobre la bisectriz de un ángulo, en-

tonces, equidista de los lados del ángulo.

Tabla 51.1

Entretenimiento

9. Observa el triángulo formado con fósforos. Mueve

solo dos fosforos para que resulten dos triángulos

equiláteros. Los demás fósforos no se pueden mo-

ver y no se pueden dejar lados abiertos.

Figura 51.15


10. Observa la figura 51.16 y halla en cada caso el va-

lor de la variable.

Figura 51.16

a. R está sobre la bisectriz del ∠QNM, QR = 8x − 4 y SR = 6x + 9.

b. NR⎯→⎯

es la bisectriz del ∠QNM, m ∠RNQ = 4n + 48 y m ∠RNS = 82 − 13n.

c. SR⎯→⎯

es la mediatriz del NM, MS = 6n2 − 15n + 29 y NS = 2n2 + 18n − 6. ¿Son aceptables ambos valores de la variable?

11. Explica cómo hallar en la figura lo que se solicita.

Figura 51.17

a. Un punto equidistante de AD←→⎯

y AB←→⎯

y que, a la vez, sea equidistante de D y C.

b. Un punto equidistante de AB←→⎯

, AD←→⎯

y DC←→⎯

.

12. Determina cuál construcción auxiliar permite de-

mostrar que la siguiente afirmación es verdadera sin

usar triángulos congruentes. Explica tu respuesta.

Si FL ≅ FK y AL ≅ AK, entonces, LJ ≅ KJ.

Figura 51.18

Tema

Pensamientoespacial

256

Ideas previas

12

3

4

A C

B

Geometría

1. ¿Cuánto suman las medidas de dos ángulos par lineal?

2. Si un ángulo externo de un triángulo mide 68°, ¿cuánto mide el ángulo interno

adyacente?

3. Si en un triángulo uno de sus ángulos externos mide 78°, ¿cuánto suman las

medidas de los dos ángulos internos no adyacentes?

52 Desigualdades en un triángulo

Para que un triángulo se pueda construir, las longitudes de los lados deben cumplir

determinadas condiciones que las establece el teorema De desigualdad triangular. Para

demostrarlo, primero demostraremos otros teoremas.

Definición

Para dos números reales a y b, se dice que a es mayor que b (a > b) si existe un número

positivo c tal que a = b + c.

Teorema. Relación entre medidas del ángulo externo de un triángulo y de un ángulo

interno

La medida de un ángulo externo de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera

de los ángulos internos no adyacentes.

Reformulación: si ∠4 es un ángulo externo del △ABC, entonces, m ∠4 > m ∠2 y

m ∠4 > m ∠3 (ver figura 52.1).

Prueba


1. ∠4 es un ángulo externo

del △ABC. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema del ángulo

externo m ∠2 + m ∠3 = m ∠4

2. ∠2 y ∠3 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de medida

de ángulos m ∠2 > 0, m ∠3 > 0

3. m ∠2 > 0, m ∠3 > 0

m ∠2 + m ∠3 = m ∠4 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de la relación

mayor que m ∠4 > m ∠2 y m ∠4 > m ∠3

Existen relaciones de orden entre las medidas de los ángulos de un triángulo y las

correspondientes medidas de los lados del triángulo. Estas se evidencian en el abrir y

cerrar de una puerta (ver figura 52.2). Cuanto mayor sea el ángulo de abertura, mayor es

la distancia entre el borde y el marco de la puerta.

Figura 52.2

Un ángulo externo de un

triángulo es un ángulo

que forma un par lineal

con uno de los ángulos del

triángulo.

Para recordar

Figura 52.1

Analiza relaciones entre las

longitudes de los lados de

un triángulo ingresando


geogebratube.org/student/

m114632

Vínculo web

257

S

T

R

S

T

R

D

S

T

R

D

S1

23

T

R

D

A partir de la comparación de las medidas de los ángulos o lados, se puede establecer

una relación entre las medidas de los lados o ángulos.

Teorema. Medidas desiguales de segmentos

Si las medidas de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces, el ángulo opues-

to al lado más largo tiene mayor medida que el ángulo opuesto al lado más corto.

Reformulación: si RT > RS, entonces, m ∠S > m ∠T (ver figura 52.3).Figura 52.3

Prueba


1. RT > RS ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de la relación

mayor que RT = RS + q, q > 0

2. RT = RS + q, q > 0 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de la

localización de puntos Existe D en RT, tal que RD ≅ RS.

3. Existe D y existe S. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta ydefinición de segmento Existe DS.

4. RD ≅ RS ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema del triángulo

isósceles ∠2 ≅ ∠3

5. Información dada gráficamente D está en el interior del ∠RST.

6. D está en el interior del ∠RST. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la adición de

las medidas de ángulos m ∠RST = m ∠1 + m ∠2

7. ∠1 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la

medida de ángulos m ∠1 > 0

8. m ∠RST = m ∠1 + m ∠2

m ∠1 > 0 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de la relación

mayor que m ∠RST > m ∠2

9. ∠2 ≅ ∠3 ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición decongruencia m ∠2 = m ∠3

10. m ∠RST > m ∠2

m ∠2 = m ∠3 ⎯ →⎯⎯⎯Principio desustitución m ∠RST > m ∠3


∠3 es ángulo externo del

△TDS.

12. ∠3 es ángulo externo del

△TDS. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema relación entre la medidadel ángulo externo y

medida del ángulo internom ∠3 > m ∠T

13. m ∠3 > m ∠T

m ∠RST > m ∠3 ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Propiedad transitiva m ∠S > m ∠T

258

B

AC

A

P

Bm

Propiedad de tricotomía

Si a y b son números reales,

solo una de las siguientes

expresiones es verdadera:

1. a = b

2. a < b

3. a > b

Para recordar

Figura 52.4

Ejemplo 1

Probemos que el segmento perpendicular desde un punto exterior a una recta es el

más corto de todos los segmentos que unen al punto con algún punto de la recta.

Solución

Sea P el punto, m la recta, A un punto de la recta tal que PA ⊥ m, y B otro punto de la recta.

Prueba


1. PA ⊥ m ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

perpendicularidad ∠PAB es recto.

2. ∠PAB es recto. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulo rectángulo △PAB es triángulo rectángulo.

3. △PAB es triángulo rectán-

gulo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema del triángulo

obtusángulo o rectángulo ∠PBA es agudo.

4. ∠PAB es recto. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deángulo recto m ∠PAB = 90°

5. ∠PBA es agudo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deángulo agudo m ∠PBA < 90°

6. m ∠PAB = 90°

m ∠PBA < 90° ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución m ∠PBA < m ∠PAB

7. m ∠PBA < m ∠PAB ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de medidasdesiguales de ángulos PA < PB

Como B es cualquier punto de la recta m diferente de A, el argumento desarrollado

permite generalizar y afirmar que el PA es el más corto.

Figura 52.5

En la demostración del teorema recíproco, argumentaremos de forma diferente a la

utilizada hasta el momento.

Teorema. Medidas desiguales de ángulos

Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces, el lado opues-

to al ángulo de mayor medida es de mayor longitud que el lado opuesto al ángulo de

menor medida.

Reformulación: si m ∠C > m ∠A, entonces, AB > BC (ver figura 52.4).

Prueba

Como BC y AB son números reales, solo una de las siguientes condiciones es verdadera

por la propiedad de tricotomía.

1. AB > BC 2. AB = BC 3. AB < BC

Analicemos las dos últimas posibilidades.

2. Si AB = BC, tenemos que AB ≅ BC y, por el teorema Del triángulo isósceles, ∠C ≅ ∠A.

Por la definición de congruencia, m ∠C = m ∠A. Pero se tiene como verdadero que

m ∠C > m ∠A. Por tanto, este caso no es posible.

3. Si AB < BC, por el teorema anterior, m ∠C < m ∠A. De nuevo, esto no es posible

porque m ∠C > m ∠A.

Por tanto, solo es posible la primera condición: AB > BC.

259

ZY

X

ZY

X

ZY

X

W

ZY

X

W

ZY

X

W

Ya tenemos todos los elementos que permitirán demostrar el teorema De la desigual-

dad triangular. En su demostración, es necesario elaborar una construcción auxiliar.

Teorema. De la desigualdad triangular

En un triángulo, la suma de las medidas de cualquier par de lados es mayor que la me-

dida del tercer lado.

Reformulación: si △XYZ, entonces, XY + YZ > XZ (ver figura 52.6).


1. △XYZ ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de triángulo Existen Y y Z.

2. Existen Y y Z. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta Existe YZ←→⎯

.

3. Existe YZ←→⎯

. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de la

localización de puntosExiste W en el rayo opuesto a

YZ⎯→⎯

tal que WY ≅ XY.

4. Existen W y X. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta.

Definición de segmento Construimos WX.

5. WY ≅ XY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Teorema del

triángulo isósceles ∠WXY ≅ ∠XWY

6. ∠WXY ≅ ∠XWY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de congruencia m ∠WXY = m ∠XWY

7. WY ≅ XY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de congruencia WY = XY

8. Información dada gráficamente Y está entre W y Z.

9. Y está entre W y Z. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la adición

de medida de segmentos WZ = WY + YZ

10. WZ = WY + YZ

WY = XY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución WZ = XY + YZ

11. Información dada gráficamente. Y está en el interior del ∠WXZ.

12. Y está en el interior del

∠WXZ. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la adiciónde la medida de ángulos m ∠WXZ = m ∠WXY + m ∠YXZ

13. m ∠WXY = m ∠XWY

m ∠WXZ = m ∠WXY +

m ∠YXZ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución m ∠WXZ = m ∠XWY + m ∠YXZ

Figura 52.6

260


Ejemplo 2

Para construir un triángulo, se tienen dos segmentos de 4 cm y 7,5 cm, respectivamen-

te. ¿De qué longitud debe ser el tercer segmento para formar el triángulo?

Solución

Si c es la longitud del tercer lado, según el teorema De la desigualdad triangular, se de-

ben cumplir las tres desigualdades.

c + 4 > 7,5 c + 7,5 > 4 7,5 + 4 > c

La segunda desigualdad siempre es verdadera.

De la primera, obtenemos que c > 3,5 y de la tercera, que c < 11,5.

Por tanto, c es un número entre 3,5 y 11,5.

El teorema que mayor

aplicación tiene en la

vida cotidiana es el De la

desigualdad triangular. Para

armar cualquier estructura

metálica, basada en trián-

gulos, se deben escoger las

varillas que se van a soldar

teniendo en cuenta las

condiciones establecidas

por este teorema.

En qué se aplica

1. Determina con cuáles de las siguientes medidas

se puede construir un triángulo. Justifica tus res-

puestas.

a. 4 cm, 6 cm y 8 cm

b. 3 cm, 2 cm y 6 cm.

c. 4 cm, 5 cm y 3 cm.

d. 20 cm, 12 cm y 14 cm.

e. 12 cm, 11 cm y 23 cm.

f. 16 cm, 9 cm y 12 cm.

g. 8 cm, 6 cm y 7,5 cm.

2. Para cada triángulo ABC, se dan las medidas de

sus ángulos interiores. En cada caso, determina el

lado de mayor longitud.

a. m ∠A = 28°, m ∠B = 127° y m ∠C = 25°.

b. m ∠A = 60°, m ∠B = 45° y m ∠C = 75°.

c. m ∠A = 55°, m ∠B = 35° y m ∠C = 90°.

d. m ∠A = 75°, m ∠B = 40° y m ∠C = 65°.

e. m ∠A = 70°, m ∠B = 75° y m ∠C = 35°.

f. m ∠A = 25°, m ∠B = 30° y m ∠C = 125°.

3. Determina los valores de x para que se cumpla la

relación entre los lados del triángulo ABC.

a. Lado AB: x + 2; lado BC: x + 3; lado CA: 3x + 2.

b. Lado AB: 2x − 1; lado BC: x + 5; lado CA: 10 − x.

4. Explica por qué la longitud x del tercer lado de un

triángulo (conocidas las longitudes a y b de dos

de los lados del triángulo, siendo b > a), cumple la

siguiente desigualdad: b − a < x < b + a.



a. En todo triángulo, la medida de uno de los lados es igual a la suma de la medida de los otros dos lados.

b. En todo triángulo, el ángulo de mayor ampli-tud es opuesto al lado de mayor longitud.

14. ∠YXZ ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la

medida de ángulos m ∠YXZ > 0

15. m ∠YXZ > 0

m ∠WXZ = m ∠XWY +

m ∠YXZ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Definición de la relaciónmayor que m ∠WXZ > m ∠XWY

16. m ∠WXZ > m ∠XWY ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de las medidas

desiguales de ángulos WZ > XZ

17. WZ > XZ

WZ = XY + YZ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución XY + YZ > XZ

261

D

G

F

E

H

A A A

B C B C B C

R S

T

29x

35

6x

7

21x

25

Q S

R

x – 1x

x + 1

X

Y

W Z

D E F

G

c. En un triángulo rectángulo, el lado de mayor longitud es opuesto al angulo recto.

d. En cualquier triángulo, la suma de las medi-das de cualquier par de lados es mayor que la medida del tercer lado.

e. En todo triángulo, el lado de menor longitud es opuesto al ángulo de mayor amplitud.

f. En cualquier triángulo, la medida de un ángu-lo externo es igual a la medida de cualquier ángulo interno no adyacente.

6. El △DGF es isósceles con base GF (ver figura 52.7).

Usa los signos <, = o > para completar correcta-

mente cada afirmación. Justifica tus respuestas.

Figura 52.7

a. m ∠DGF ■ m ∠DFG

b. m ∠GDF ■ m ∠DFE

c. m ∠GHF ■ m ∠DFE

d. m ∠DGF ■ m ∠DEF

e. m ∠HFG ■ m ∠FDG

f. m ∠DGF ■ m ∠DFE


7. Discute con un compañero o compañera, cuál de

las siguientes sillas es la más estable.

Figura 52.8

8. Determina el orden de las medidas de los ángulos

en los triángulos de la figura 52.9.

a.

b.

Figura 52.9

Razonamiento lógicoDemuestra que cada afirmación es verdadera.

9. Si m ∠FEG > m ∠GED, entonces, FG > EF.

Figura 52.10

10. Si ∠X ≅ ∠Z y m ∠XYW > m ∠ZYW, entonces,

XY > WY.

Figura 52.11

262

Resumen

A

B

C

2

1 3 4

G H

T

60°

k° (k + 2)°

A C

B

FE

D

A

B E

61°

DC

45°

45°

58°

42°

42°

De acuerdo con el triángulo dado, se cumplen las siguientes expresiones.

1. m ∠3 + m ∠4 = 180°

2. m ∠4 = m ∠1 + m ∠2

3. m ∠4 > m ∠2 y m ∠4 > m ∠1

4. CB + BA > AC

5. CA + CB > AB

6. AB + AC > BC

Figura 52.14


11. Nombra el lado más largo de cada gráfica de la

figura 52.12.

a.

b.

Figura 52.12

12. Natalia debe construir un triángulo isósceles cu-

yos lados congruentes midan 12 cm. ¿Cuáles pue-

den ser las medidas del tercer lado?

13. Dos lados de un triángulo miden 8 cm y 6 cm.

¿Cuál es el mayor valor y el menor valor que pue-

de tener la medida del tercer lado?

14. Lee la siguiente definición: Una mediana de un

triángulo es un segmento que va desde un vértice

al punto medio del lado opuesto.

a. Escribe la reformulación del siguiente teo-rema de acuerdo con la definición. Ten en cuenta la figura 52.13.

Teorema. La suma de las longitudes de las

medianas de un triángulo es mayor que la

mitad del perímetro.

Figura 52.13

b. Demuestra el teorema anterior usando el teorema De la desigualdad triangular, aplica-

do a los △ABE, △BDC, △AEC, △FBC, △AFC y

△ABD de la figura 52.13.

15. El señor Franco quiere encerrar una porción trian-

gular del jardín. Él tiene 15 m de alambre que

piensa usar para dos de los lados de la región

triangular y comprará el resto.

a. ¿De qué longitud deben ser los dos lados que formará con el alambre que posee si quiere tener la mayor cantidad posible de opciones para la longitud del tercer lado? Explica tu respuesta.

b. ¿De qué longitud deben ser los dos lados que formará con el alambre que posee si quiere tener la menor cantidad posible de opciones para la longitud del tercer lado? Explica tu respuesta.

Tema

Pensamientoespacial

263

Ideas previas

B

D C

A

B

D C

A

Geometría

1. ¿Cuántos lados tiene un paralelogramo?

2. ¿Todo cuadrilátero es un paralelogramo?

3. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un paralelogramo?

53 Paralelogramos

El paralelogramo es una figura geométrica de gran interés, pues a partir de su definición

(haciendo construcciones auxiliares y usando congruencia de triángulos), es posible

llegar a conocer todas las relaciones que existen entre las partes que lo componen.

Definición

Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos (ver

figura 53.1).

a. b. c.

Figura 53.1

Usamos flechas del mismo color sobre los segmentos para indicar que son paralelos.

Algunas propiedades de los paralelogramos que se demuestran se intuyen a partir de la

observación de los ejemplos presentados.

Teorema. Lados opuestos de un paralelogramo

Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Reformulación: si ABCD es un paralelogramo, entonces, AB ≅ CD y AD ≅ BC.

Prueba


1. ABCD es un paralelogramo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deparalelogramo

AB || CD

BC || AD

2. Existen B y D.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Postulado de la recta.Definición de

segmentoExiste BD.


gráficamente

∠ABD y ∠BDC son alternos

internos.

264

PQ

MN k

m

B

D C

A

B

D C

A

B

D C

A

Del último paso de esta demostración, podemos también concluir que ∠A ≅ ∠C y si en

vez de construir el BD se construye el AC, concluimos que ∠B ≅ ∠D. Así se demuestra el

siguiente teorema.

Teorema. Ángulos opuestos de un paralelogramo

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

4. AB || CD

∠ABD y ∠BDC son alternos

internos.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ángulos alternosinternos entre paralelas ∠ABD ≅ ∠BDC

5. BC || AD ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de ángulos alternos

internos entre paralelas ∠ADB ≅ ∠DBC

6. Propiedad reflexiva BD ≅ BD

7. ∠ABD ≅ ∠BDC

∠ADB ≅ ∠DBC

BD ≅ BD

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LAL △ABD ≅ △CDB

8. △ABD ≅ △CDB ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de triángulos

congruentes

AB ≅ CD

AD ≅ BC

Ejemplo 1

Expliquemos por qué la distancia de todos los puntos

de una recta m a una recta k, paralela a m, es la misma.

Solución


1. P y Q puntos en la recta m. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Definición distancia

punto a recta

PM ⊥ k

QN ⊥ k

2. PM ⊥ k

QN ⊥ k ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de rectas

perpendiculares PM || QN

3. PM || QN

k || m ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deparalelogramo PQNM es un paralelogramo.

4. PQNM es paralelogramo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de lados

opuestos de un paralelogramo PM ≅ QN

Figura 53.2

En estructuras como ven-

tanas, puertas, mesas, pare-

des o muebles se observan

caras con regiones en

forma de paralelogramo.

En qué se aplica

265

Z

Y

W

XO

Z

Y

W

XO

Z

Y

W

XO

Prueba


1. WXYZ es un paralelogramo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deparalelogramo WX || YZ

2. WX || YZ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ángulosalternos internos

entre paralelas

∠XWO ≅ ∠ZYO

∠WXO ≅ ∠YZO

3. WXYZ es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de loslados opuestos deun paralelogramo

WX ≅ ZY

4. ∠XWO ≅ ∠ZYO

∠WXO ≅ ∠YZO

WX ≅ ZY

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado ALA △WXO ≅ △YZO

5. △WXO ≅ △YZO ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de triángulos

congruentes

WO ≅ OY

XO ≅ ZO

Usando la siguiente definición y el teorema De ángulos internos no alternos entre para-

lelas, como consecuencia directa del paralelismo de los lados de un paralelogramo, se

desprende el siguiente teorema.

Definición

Dos ángulos de un polígono que compartan un lado del polígono son ángulos conse-

cutivos.

Teorema. Ángulos consecutivos de un paralelogramo.

Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

La siguiente propiedad de paralelogramos no es tan obvia.

Teorema. Diagonales de un paralelogramo.

Las diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio.

Reformulación: si WXYZ es un paralelogramo y O es el punto de intersección de las

diagonales, entonces, WO ≅ OY y XO ≅ ZO.

266


A

C

Y

X

D

B

1

2

3

4

A

C

Y

X

D

B

1

2

3

4

A

C

Y

X

D

B

1

2

3

4

A

C

Y

X

D

B

1

2

3

4

N

P O

3

4 1

2M

Q

Ejemplo 2

Demostremos la siguiente afirmación.

Si ABCD es paralelogramo y ∠1 ≅ ∠2, entonces, DX ≅ YB.

Figura 53.3

Prueba


1. ABCD es un paralelogramo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deparalelogramo AD || BC

2. AD || BC⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ángulosalternos internos

entre paralelas∠3 ≅ ∠4

3. ABCD es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ladosopuestos de unparalelogramo

AD ≅ CB

4. ∠3 ≅ ∠4

AD ≅ CB

∠1 ≅ ∠2⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado ALA △DXA ≅ △BYC

5. △DXA ≅ △BYC ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes DX ≅ YB

1. Si conoces la medida de un ángulo de un parale-

logramo, explica cómo encuentras las medidas de

los otros tres ángulos.

2. Enumera todas las propiedades que tiene un pa-

ralelogramo.

3. Completa cada afirmación sabiendo que el cuadri-

látero MNOP de la figura 53.4 es un paralelogramo.

Figura 53.4

a. Si PO = 15, MN = ■b. Si PN = 21, PQ = ■c. Si m ∠NMP = 65°, m ∠MPO = ■d. Si m ∠1 = 25° y m ∠2 = 45°, entonces,

m ∠3 + m ∠4 = ■e. △NOQ ≅ ■f. �= 1

2MQ

267

E

F

D

X

A

CB

X V W

Y Z

A

G

F

C

B

D

E

A

G

F

C

B

D

E

A

G

F

C

B

D

E

A

G

F

C

B

D

E

A

C

E

B

D

F

G

H

1 2 3

4 5 6

A B

C

D

E

G

H K

J


4. Si ABCX y DXFE son paralelogramos, entonces,

∠B ≅ ∠E.

Figura 53.5

5. Si VXYZ es un paralelogramo y ZV ≅ ZW, enton-

ces, ∠X ≅ ∠W.

Figura 53.6

6. Con los pasos que aparecen en la figura 53.7, que

son la solución gráfica de la siguiente afirmación,

realiza la demostración justificando cada afirmación.

Si ABCD es un paralelogramo y FG biseca a DB, en-

tonces DB biseca a FG.

1.° 2.°

3.° 4.°

Figura 53.7

7. A continuación, se presentan las conclusiones del

proceso de justificación del siguiente teorema.

Organízalas en el esquema que se ha usado para

construir la justificación.

Teorema. Segmentos congruentes cortados por

paralelas

Si y AC ≅ CE, entonces, BD ≅ DF.

Figura 53.8

1. Existen BG || AC y DH || CE.

2. ABGC es paralelogramo, CDHE es paralelogramo.

3. BG ≅ AC y DH ≅ CE

4. BG ≅ DH

5. ∠2 ≅ ∠1, ∠1 ≅ ∠4, ∠4 ≅ ∠5 y ∠3 ≅ ∠6

6. ∠2 ≅ ∠5

7. △BGD ≅ ∠DHF

8. BD ≅ DF

8. El pentágono de la figura 53.9 es regular y DEGH

es un paralelogramo. ¿Cuánto miden los ∠CDK y

∠EDH?

Figura 53.9


268

Resumen

Vista Gráfica

Comando...Entrada

Vista AlgebraicaPunto

A = (-2.36, 3.48)

A B

CD

X

B = (3, -2)C = (3.54, 4.52)

Un paralelogramo

es

un cuadrilátero con

ambos pares de lados

opuestos paralelos

congruentes

congruentes

suplementarios

sus puntos medios

sus lados

opuestos son

sus ángulos

opuestos son

sus dos ángulos

consecutivos son

sus diagonales se

intersecan en


9. En un paralelogramo ABCD, se tiene que m ∠B es

el doble de m ∠A. ¿Cuáles son las medidas de to-

dos los ángulos del paralelogramo?

10. En un paralelogramo QUED, se tiene que m ∠D

es 30º más que m ∠E. ¿Cuáles son las medidas de

todos los ángulos?

11. En un paralelogramo XYZW, se tiene que XY es

7 cm menos que YZ. Si el perímetro es 42 cm,

¿cuánto mide cada lado?

12. Decide si la respuesta a la pregunta es Sí, No o No

se sabe. Justifica tus respuestas.

a. EFGH es un paralelogramo. ¿Tiene ejes de simetría?

b. QRST es un paralelogramo. ¿Tiene simetría rotacional?

13. Si los cuatro lados de un paralelogramo son con-

gruentes a los cuatro lados de otro paralelogramo,

¿los paralelogramos son congruentes? Explica tu

respuesta.



a. En un paralelogramo, todos los lados son congruentes.

b. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

c. Los ángulos consecutivos de un paralelogra-mo son complementarios.

d. Un cuadrilátero que tiene ambos pares de la-dos opuestos paralelos es un paralelogramo.

e. Las diagonales de un paralelogramo son con-gruentes.

Competencias en TIC

15. Construye un paralelogramo y las bisectrices de

dos ángulos consecutivos con un programa de

geometría dinámica (ver figura 53.10). ¿Qué pro-

piedad especial tienen las bisectrices? Explica tu

respuesta.

Figura 53.10

16. Construye dos paralelogramos que tengan lados

correspondientes congruentes, pero que los án-

gulos correspondientes no sean congruentes.

Tema

Pensamientoespacial

269

Ideas previas

A R

O C

A R

O C

A R

O C

A R

O C

A R

O C

Geometría

1. Si un cuadrilátero tiene dos lados paralelos, ¿es un paralelogramo?

2. Si un cuadrilátero tiene dos ángulos consecutivos congruentes, ¿es un paralelogramo?

54 De cuadrilátero a paralelogramo

Los teoremas que estudiaremos en este tema indican cómo construir paralelogramos

sin usar las propiedades exigidas en la definición: dos pares de lados opuestos paralelos.

Teorema. Lados opuestos paralelos y congruentes

Si un par de lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces,

el cuadrilátero es un paralelogramo.

Reformulación: si OCRA es un cuadrilátero con CR || OA y CR ≅ OA, entonces, OCRA es

un paralelogramo.

Prueba


1. Existen O y R. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta.

Definición de segmento Existe OR.

2. Información dada gráficamente ∠AOR y ∠ORC son alternos internos.

3. CR || OA

∠AOR y ∠ORC son alternos

internos.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de paralelasa ángulos internos alternos ∠AOR ≅ ∠ORC

4. Propiedad reflexiva OR ≅ OR

5. ∠AOR ≅ ∠ORC

OR ≅ OR

CR ≅ OA

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LAL △AOR ≅ △CRO

6. △AOR ≅ △CRO ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes ∠ARO ≅ ∠COR

270

A R

O C

O

M P

N

O

M P

N

O

M P

N

O

M P

N

En el siguiente teorema, se establece otro procedimiento para demostrar que un cua-

drilátero es un paralelogramo.

Teorema. Lados opuestos de un cuadrilátero

Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces, el

cuadrilátero es un paralelogramo.

Reformulación: si MNOP es un cuadrilátero con MN ≅ OP y NO ≅ MP, entonces, MNOP

es un paralelogramo.

Prueba


1. Existen N y P. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta.Definición de segmento Existe NP.

2. Propiedad reflexiva NP ≅ NP

3. MN ≅ OP

NO ≅ MP

NP ≅ NP

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LLL △MPN ≅ △ONP

4. △MPN ≅ △ONP ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes ∠MNP ≅ ∠NPO


∠MNP y ∠NPO son alternos

internos.

7. Información dada gráficamente ∠ARO y ∠COR son alternos internos.

8. ∠ARO ≅ ∠COR

∠ARO y ∠COR son alternos

internos.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ángulos alternosinternos a paralelas OC || AR

9. OC || AR

CR || OA ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deparalelogramo OCRA es un paralelogramo.

271

O

M P

N

B

D F C

A E

B

D F C

A E

B

D F C

A E

B

D F C

A E

B

D F C

A E

6. ∠MNP ≅ ∠NPO

∠MNP y ∠NPO son alternos

internos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ángulosalternos internos a

paralelasMN || OP

7. MN || OP

MN ≅ OP ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de lados opuestos

paralelos y congruentes MNOP es un paralelogramo.

Observemos cómo se usó el primer teorema de este tema para terminar la demostra-

ción. Esto ayudó a reducir los pasos necesarios para completar la demostración.

Ejemplo 1

Demostremos que la siguiente afirmación es verdadera.

Si ABCD es un paralelogramo y ∠ADE ≅ ∠CBF, entonces, DEBF es un paralelogramo.

Solución

Prueba


1. ABCD es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de los ladosopuestos de unparalelogramo

AD ≅ BC

AB ≅ DC

2. ABCD es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de los ángulosopuestos de unparalelogramo

∠DAE ≅ ∠BCF

3. AD ≅ BC

∠DAE ≅ ∠BCF

∠ADE ≅ ∠CBF

⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado ALA △ADE ≅ △CBF

4. △ADE ≅ △CBF ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes

DE ≅ BF

AE ≅ CF


E está entre A y B.

F está entre C y D.

6. E está entre A y B.

F está entre C y D. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la adición

de medida de segmentos

AE + EB = AB

CF + FD = CD

Figura 54.1

272

B

D

C

A

7. AB ≅ DC ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

segmentos congruentes AB = CD

8. AE ≅ CF ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

segmentos congruentes AE = CF

9. AE + EB = AB

CF + FD = CD

AB = CD

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución AE + EB = CF + FD

10. AE + EB = CF + FD

AE = CF ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Propiedad cancelativa

de la adición EB = FD

11. EB = FD⎯ →⎯⎯⎯⎯

Definición decongruencia

de segmentosEB ≅ FD

12. EB ≅ FD

DE ≅ BF ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de lados

opuestos de un cuadrilátero DEBF es un paralelogramo.

Figura 54.2

Existen dos criterios más que pueden usarse para demostrar que un cuadrilátero es un

paralelogramo. En la demostración del primero de ellos, se utilizan nuevamente trián-

gulos congruentes. En cambio, la demostración del segundo es inusual.

Teorema. Diagonales de un cuadrilátero

Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces, el cuadrilátero es un parale-

logramo.

Teorema. Ángulos opuestos de un cuadrilátero

Si ambos pares de ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces, el

cuadrilátero es un paralelogramo.

Reformulación: si ABCD es un cuadrilátero, ∠A ≅ ∠C y ∠B ≅ ∠D, entonces, ABCD es un

paralelogramo.

Prueba


1. ABCD es un cuadrilátero.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de la suma de lasmedidas de los ángulos

de un cuadriláterom ∠A + m ∠B + m ∠C + m ∠D = 360°

2. ∠A ≅ ∠C

∠B ≅ ∠D ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de ángulos

congruentesm ∠A = m ∠C

m ∠B = m ∠D

3. m ∠A + m ∠B + m ∠C + m ∠D = 360°

m ∠A = m ∠C

m ∠B = m ∠D⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución

2m ∠A + 2m ∠B = 360°

2m ∠A + 2m ∠D = 360°

4. 2m ∠A + 2m ∠B = 360°

2m ∠A + 2m ∠D = 360° ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Propiedad cancelativa

de la multiplicaciónm ∠A + m ∠B = 180°

m ∠A + m ∠D = 180°

5. m ∠A + m ∠B = 180°

m ∠A + m ∠D = 180° ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de ángulos

suplementarios∠A y ∠B son suplementarios.

∠A y ∠D son suplementarios.


∠A y ∠B son internos no alternos.

∠A y ∠D son internos no alternos.

273


R

T

S

Q

H

J K

I

M

H IJ G

E F

Ejemplo 2

Una de las diagonales del cuadrilátero QRST de la figura 54.3 determina

dos triángulos congruentes con los lados del cuadrilátero.

¿Es QRST un paralelogramo?

Solución

Sea QS la diagonal tal que △QRS ≅ △STQ.

Por la definición de triángulos congruentes, RS ≅ QT y RQ ≅ ST, porque son lados co-

rrespondientes.

Por el teorema De lados opuestos de un cuadrilátero, podemos afirmar que el cuadrilá-

tero QRST es un paralelogramo.

Figura 54.3

7. ∠A y ∠B son internos no alternos.

∠A y ∠B son suplementarios.

∠A y ∠D son internos no alternos.

∠A y ∠D son suplementarios.

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de ángulos alternos

internos entre paralelas

AD || BC

AB || CD

8. AD || BC

AB || CD ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deparalelogramo ABCD es un paralelogramo.

1. Determina si la información de cada literal te per-

mite deducir que el cuadrilátero JIHK es un parale-

logramo. Si tu respuesta es afirmativa, justifícala. Si

es negativa, dibuja un contraejemplo.

Figura 54.4

a. IM ≅ MK

b. IH ≅ JK y IH || JK

c. IJ ≅ HK y IH ≅ JK

d. IJ || HK

e. M es el punto medio de IK y de JH.

f. ∠IJH ≅ ∠JHK y ∠HIK ≅ ∠IKJ

g. ∠HIJ y ∠IJK son suplementarios.

h. △IHK ≅ △KJI


2. Los cuadriláteros EFGH y EFIJ son paralelogramos.

Completa la información y discute tus respuestas

con un compañero o una compañera.

Figura 54.5

a. EJ y FI son ________.

b. HG y EF son ________.

c. HJ y GI son ________.

d. HE y GF son ________.

e. ∠EHG y ∠HGF son ________.

f. △HEJ y △GFI son ________.

274

A E

G

D C

F

B

A C

B

E F

A C

B

E F G

A

B

C

D

E

F

S T

1 32 4

U

W V

O

N F

M

H

J E

3. Los cuadriláteros ABCD y EBFG son paralelogra-

mos. Completa la información y discute tus res-

puestas con un compañero o una compañera.

Figura 54.6

a. ∠D y ∠G son ________.

b. ∠D y ∠BEG son ________.

c. ∠D y ∠BFG son ________.

4. En la demostración del teorema De ángulos opues-

tos de un cuadrilátero, se menciona un teorema

que aún no se ha demostrado, el cual establece

que la suma de las medidas de los ángulos de un

cuadrilátero convexo es 360º. Explica por qué la

anterior afirmación es verdadera.

Entretenimiento

5. Determina cuántos triángulos hay en la figura 54.7.

Figura 54.7


6. Demuestra el siguiente teorema.

Teorema. Puntos medios de lados del triángulo

Si en el △ABC, E es punto medio de AB y F es pun-

to medio de BC, entonces, EF || AC y 12

=EF AC .

Figura 54.8

Ayuda: realiza la construcción auxiliar que se pre-

senta en la figura 54.9.

Figura 54.9

7. Demuestra que cada afirmación es verdadera.

a. Si ABCD es un paralelogramo, E es el punto medio de AB y F es el punto medio de CD, entonces, AECF es un paralelogramo.

Figura 54.10

b. Si SW ≅ VU, ∠1 ≅ ∠2 y ∠4 ≅ ∠2, entonces, WTUV es paralelogramo.

Figura 54.11

c. Si JE ≅ EO, NF ≅ FH, JM ≅ HM y ∠JEM ≅ ∠HFM, entonces, JNHO es paralelogramo.

Figura 54.12

275

Resumen

A(2x)°

(2x)°(2x 60)°

x°B

CD

A B

CD

(3x)°

(x 25)°30°

x°

A 2y + 2

3x + 6

3y 9

y + 4

B

CD

A

y + 7y 18

2

2x + 4x

7

2

2y 4y 12

2

3x 3x

5

2B

CD

Un cuadrilátero es paralelogramo

si

un par de lados

opuestos

ambos pares de

lados opuestos

las diagonales

ambos pares

de ángulos

opuestos

paralelos y

congruentes

congruentes

bisecan

congruentes

son

son

se

son


8. Sea x un número real, tal que la medida de AB está

dada por f(x) = 6x − 54 y la medida de CD por

g(x) = 108 − 8x.

a. ¿Entre qué valores está la variable x? Explica tu respuesta.

b. Si ABCD es un paralelogramo, ¿cuál es el valor de x?

9. Si dos lados de un cuadrilátero miden cada uno

10 cm y dos ángulos consecutivos miden 100° y

80°, ¿se puede afirmar que el cuadrilátero es un

paralelogramo? Justifica tu respuesta.

10. Halla el valor de x en cada caso. Decide si ABCD

es un paralelogramo.

a.

b.

Figura 54.13

11. Determina los valores de las variables para las cua-

les ABCD es un paralelogramo.

a.

b.

Figura 54.14

12. Dibuja dos paralelogramos ABCD y EFGH que no

sean congruentes, pero AC ≅ EG y BD ≅ FH.

Competencias en TIC

13. Construye un cuadrilátero ABCD y los puntos me-

dios E, F, G y H de los lados con un programa de

geometría dinámica. Construye el cuadrilátero

EFGH. ¿Qué propiedad especial tiene?

14. Construye la figura descrita en cada caso.

a. Paralelogramo con un ángulo recto

b. Paralelogramo con un par de lados consecu-tivos congruentes

c. Rectángulo con un par de lados consecutivos congruentes

Tema

Pensamientoespacial

276

Ideas previas

A B

D C

F

E G

H

K L

N M

Geometría

Dos aviones parten en línea recta desde ciudades diferentes (que se encuentran a una

distancia de 4500 km) hacia una tercera ciudad. En un momento dado, los dos aviones

están a la mitad de sus respectivos recorridos.

¿A qué distancia está un avión del otro en ese momento?

55 Cuadriláteros especiales: rectángulos, rombos y trapecios

Entre los paralelogramos con propiedades interesantes están el rombo, el rectángulo y

el cuadrado. Estas figuras geométricas ya se han definido, pero esas definiciones pue-

den transformarse para que estén claramente ubicadas en el sistema axiomático que

estamos desarrollando.

Nombre Representación Definición anterior Definición nueva

RectánguloCuadrilátero con cuatro

ángulos rectos

Paralelogramo con un

ángulo recto

RomboCuadrilátero con cuatro

lados congruentes

Paralelogramo con un

par de lados consecuti-

vos congruentes

Cuadrado

Cuadrilátero con cuatro

ángulos rectos y cuatro

lados congruentes

Rectángulo con un par

de lados consecutivos

congruentes

Tabla 55.1

Mostremos cómo de la definición anterior de rectángulo se deduce la nueva definición.


1. ABCD es un rectángulo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Definición anterior

de rectánguloABCD es cuadrilátero.

∠A, ∠B, ∠C y ∠D son rectos.

2. ∠A, ∠B, ∠C y ∠D son rectos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Definición de rectas

perpendiculares BC ⊥ AB, AD ⊥ AB y AD ⊥ DC

3. BC ⊥ AB, AD ⊥ AB y AD ⊥ DC. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Teorema de rectasperpendiculares

BC || AD

AB || DC

4. BC || AD

AB || DC ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

paralelogramo ABCD es un paralelogramo.

277

E F

H G

El siguiente teorema menciona otra propiedad que distingue a los rectángulos de los

demás paralelogramos.

Teorema. Diagonales de un rectángulo

Un paralelogramo es un rectángulo si y solo si las diagonales son congruentes.

Este enunciado realmente establece dos teoremas.

1. Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces, el paralelogra-

mo es un rectángulo.

2. Si un paralelogramo es un rectángulo, entonces, las diagonales son congruentes.

Reformulación teorema 1: si EFGH es un paralelogramo con EG ≅ FH, entonces,

EFGH es rectángulo.

Prueba


1. EFGH es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯


EF ≅ GH y EH ≅ FG

2. EF ≅ GH y EH ≅ FG.

EG ≅ FH⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LLL △FEH ≅ △GHE

3. △FEH ≅ △GHE ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes ∠FEH ≅ ∠GHE

4. EFGH es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de losángulos consecutivosde un paralelogramo

∠FEH y ∠GHE son

suplementarios.

5. ∠FEH ≅ ∠GHE ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de congruencia m ∠FEH = m ∠GHE

6. ∠FEH y ∠GHE son

suplementarios. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

ángulos suplementarios m ∠FEH + m ∠GHE = 180°

7. m ∠FEH + m ∠GHE = 180°

m ∠FEH = m ∠GHE ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Principio de sustitucióny propiedades de números

reales

m ∠GHE + m ∠GHE = 180°

2m ∠GHE = 180°

m ∠GHE = 90°

8. m ∠GHE = 90° ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición deángulo recto ∠GHE es recto.

9. ∠GHE es recto.

EFGH es un paralelogramo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

rectángulo EFGH es rectángulo.

Reformulación teorema 2: si EFGH es rectángulo, entonces, EG ≅ FH.

Prueba

A continuación, se enumeran únicamente los pasos clave de la demostración.

¿Cómo se justifica cada uno de ellos?

1. ∠FEH ≅ ∠EFG

2. △FEH ≅ △GHE

3. EG ≅ FH

Figura 55.1

278

M

O

L N

M

O

L NS

Figura 55.2

Figura 55.3

El rombo

Teorema. Diagonales de un rombo

Un paralelogramo es un rombo si y solo si las diagonales son perpendiculares entre sí.

Reformulación 1: si LMNO es un rombo, entonces, MO ⊥ LN.

Prueba 1


1. LMNO es un rombo. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

rombo

LMNO es paralelogramo.

LM ≅ MN

2. LMNO es paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ladosopuestos de unparalelogramo

LM ≅ NO

MN ≅ LO

3. LM ≅ MN

LM ≅ NO

MN ≅ LO⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución LO ≅ NO

4. LM ≅ MN

LO ≅ NO ⎯ →⎯⎯⎯⎯

Definición decongruencia

de segmentos

LM = MN

LO = NO

5. LM = MN

LO = NO ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema puntosequidistantes de extremos

de un segmento

M está sobre la mediatriz de LN.

O está sobre la mediatriz de LN.

6. M está sobre la mediatriz de LN.

O está sobre la mediatriz de LN.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la recta

←→⎯MO es la mediatriz de LN.

7. ←→⎯MO es la mediatriz de LN. ⎯ →⎯⎯⎯⎯

Definición demediatriz MO ⊥ LN

Reformulación 2: si LMNO es un paralelogramo y MO ⊥ LN, entonces, LMNO es un

rombo.

En la segunda demostración, se nombrará el punto de intersección de las diagonales.

Prueba 2


1. LMNO es paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de lasdiagonales de un

paralelogramo

S es punto medio de MO y

de LN.

2. S es punto medio de LN. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición depunto medio LS ≅ NS

3. Propiedad reflexiva MS ≅ MS

4. MO ⊥ LN ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

rectas perpendiculares ∠MSL y ∠MSN son rectos.

5. ∠MSL y ∠MSN son rectos. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Teorema de

ángulos rectos ∠MSL ≅ ∠MSN

6. LS ≅ NS

∠MSL ≅ ∠MSN

MS ≅ MS⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LAL △MSL ≅ △MSN

7. △MSL ≅ △MSN ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes LM ≅ NM

8. LMNO es paralelogramo.

LM ≅ NM ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

rombo LMNO es un rombo.

279

C

B

A

D

P Q

S R

W X

YZ

Figura 55.4

Figura 55.5

PQRS es cuadrado.

PQRS es rectángulo. PR ≅ QS PQ ≅ QR

∠P, ∠Q, ∠R, ∠S

son rectos.PQRS es paralelogramo. PQRS es rombo.

∠P ≅ ∠Q ≅ ∠R ≅ ∠S PQ ≅ RS; PS ≅ QR PR ⊥ QS

PQ || SR, PS || RQ RS ≅ PQ ≅ QR ≅ PS

El trapecio

Otro cuadrilátero especial, que no es un paralelogramo, es el trapecio.

Definiciones

Un trapecio es un cuadrilátero con

exactamente un par de lados paralelos.

Figura 55.6

Un trapecio isósceles es un trapecio con

los lados no paralelos congruentes.

Figura 55.7

Los lados paralelos de un trapecio son las

bases del trapecio.

Los ángulos determinados por una base

y uno de los lados no paralelos se deno-

minan ángulos de la base.

Tal vez, esta demostración muestra que la nueva definición de rombo es más útil, pues

permite realizar una prueba más corta.

Otra propiedad especial del rombo es la siguiente.

Teorema. Diagonales y ángulos del rombo

Un paralelogramo es un rombo si y solo si las diagonales se bisecan.

Este teorema da lugar a las siguientes reformulaciones. Los pasos clave de la demostra-

ción se enumeran después de cada reformulación.

Reformulación 1: si ABCD es un rombo, entonces, AC bi-seca al ∠BAD y al ∠BCD, y BD biseca al ∠ABC y al ∠ADC.

Prueba

1. AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA

2. △ABC ≅ △ADC, △BAD ≅ △BCD

3. ∠BAC ≅ ∠DAC, ∠BCA ≅ ∠DCA, ∠ABD ≅ ∠CBD y ∠ADB ≅ ∠CDB

Reformulación 2: si ABCD es un paralelogramo y AC bi-seca al ∠BAD y al ∠BCD, y BD biseca al ∠ABC y al ∠ADC, entonces, ABCD es un rombo.

Prueba

1. ∠DAB ≅ ∠DCB

2. ∠BAC ≅ ∠BCA

3. AB ≅ BC

El cuadrado

El esquema de la figura 55.5 muestra todas las propiedades que se deducen de la defi-

nición de cuadrado. ¿Podemos reconocer la definición o teorema que permite deducir

cada propiedad?

280

P

S R

Q

P

S T R

Q

P

S T R

Q

P

S T R

Q

P

S T R

Q

P

S T R

Q

Observemos en la siguiente demostración el uso de las propiedades de paralelogramos

a partir de una construcción auxiliar.

Teorema. Trapecio isósceles

Si se tiene un trapecio isósceles, entonces, los ángulos de la base son congruentes y las

diagonales son congruentes.

Reformulación: si PQRS es un trapecio isósceles, entonces, ∠R ≅ ∠S y PR ≅ QS.

Prueba


1. PQRS es un trapecio. ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

trapecio PQ || RS

2. Q es un punto. Q no está en PS.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Postulado paralelapunto exterior.

Definición de segmentoExiste QT, tal que QT || PS.

3. PQ || RS

QT || PS ⎯ →⎯⎯⎯⎯Definición de

paralelogramo PQTS es un paralelogramo.

4. PQRS es un trapecio isósceles. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

trapecio isósceles PS ≅ QR

5. PQTS es un paralelogramo.⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯


PS ≅ QT

6. PS ≅ QR

PS ≅ QT ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución QT ≅ QR

7. QT ≅ QR ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯Teorema del

triángulo isósceles ∠QTR ≅ ∠QRT

8. QT || PS⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Teorema de ánguloscorrespondientes entre

paralelas∠QTR ≅ ∠S

281


P

S R

Q

B

A

C3

4

N

D

9. ∠QTR ≅ ∠QRT

∠QTR ≅ ∠S ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Principio de sustitución ∠R ≅ ∠S

10. Existen P, Q, R, S. ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Postulado de la regla.

Definición de segmento Existen PR y QS.

11. Propiedad reflexiva SR ≅ SR

12. ∠R ≅ ∠S

PS ≅ QR

SR ≅ SR⎯ →⎯⎯⎯⎯Postulado LAL △PSR ≅ △QRS

13. △PSR ≅ △QRS ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯Definición de

triángulos congruentes PR ≅ QS

1. WXYZ es un cuadrilátero. De acuerdo con las con-

diciones dadas, determina en cada caso qué tipo

de cuadrilátero es. Indica los teoremas que usaste

para llegar a la conclusión.

a. WX ≅ YZ y WX || YZ

b. WX || YZ y WX ≠ YZ

c. WX ≅ YZ, XY ≅ ZW y WY ≅ XZ.

d. WY y XZ son congruentes y mediatrices la una de la otra.

e. WXYZ es paralelogramo y WX ≅ XY.

f. ∠WZY y ∠XYZ son rectos.

g. WX ⊥ XY, XY ⊥ ZY y WZ ⊥ ZY.

2. Se tiene la siguiente definición.

Definición

Una cometa es un cuadrilátero con dos pares de

lados adyacentes congruentes.

a. Dibuja tres ejemplos de cometas.

b. ¿Alguno de los siguientes cuadriláteros es cometa: paralelogramo, trapecio isósceles, rombo, rectángulo, cuadrado? Explica tu res-puesta.

c. ¿Qué propiedad tienen las diagonales de una cometa? Escribe una conjetura y demuéstrala.


3. Si ABCD es un paralelogramo y ∠3 ≅ ∠4, enton-

ces, ABND es un trapecio isósceles.

Figura 55.8

La mediana de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los dos lados

no paralelos.

Teorema. Mediana del trapecio

La mediana de un trapecio es paralela a los dos lados paralelos del trapecio y su longi-

tud es la mitad de la suma de las longitudes de estos dos lados paralelos.

282

B

D C

A

E

A

D

BE

C

4

4

6

6

8

16

10

A

B C

D

10

60º

16

24

4

46

6

S T

UR

P O

NM

18

12

30

7

75

5

C

DA

B

3x + 5 x + y

H

K J

I

A S

L I

K

M

4. Si ASIL es un rectángulo y K es el punto medio de

IS, entonces, S es el punto medio de AM.

Figura 55.9

5. Si HIJK es un trapecio y ∠K ≅ ∠J, entonces, HK ≅ IJ,

es decir, es isósceles.

Figura 55.10

6. Si ABCD es un trapecio isósceles, AB || CD y

AD ≅ BC, entonces, △CDE es isósceles.

Figura 55.11

7. Si ABCD es un rectángulo y ACBE es un paralelo-

gramo, entonces, △DBE es isósceles.

Figura 55.12

8. Si PQRS es un cuadrado y T, U, V, W separan los la-

dos en segmentos con longitudes a y b, entonces,

TUVW es rombo y ∠TWV es recto.



a. Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces, es un rectángulo.

b. Un rombo con un ángulo recto es un cuadrado.

c. Todo rombo es un cuadrado.

d. Las diagonales de un rectángulo son con-gruentes.


10. Explica por qué los datos de las figuras no son

correctos.

a.

b.

c.

Figura 55.13

11. Halla el valor de las variables en las figuras.

a.

283

Resumen

I J

M N

L K

2x + 1

2x + 4

3x + 2

En la tabla 55.2, se marcó con ✗ la propiedad que es verdadera para todo ejemplo del cuadrilátero

correspondiente.

Rectángulo Cuadrado Rombo Trapecio isósceles

Las diagonales se bisecan. ✗ ✗ ✗

Todos los ángulos son rectos. ✗ ✗

Todos los lados son congruentes. ✗ ✗

Las diagonales son perpendiculares. ✗ ✗

Las diagonales determinan dos triángulos

congruentes.✗ ✗ ✗ ✗

Las diagonales son congruentes. ✗ ✗ ✗

Tabla 55.2

b.

Figura 55.14

12. Elabora un diagrama para determinar las propie-

dades de un rectángulo y otro diagrama para las

propiedades de un rombo.

13. Explica lo que puede hacer un carpintero para

asegurarse de que los entrepaños de un estante

sean perpendiculares a los lados del estante.

14. Se quiere delimitar un espacio en forma de rom-

bo en un parque para llenarlo de flores. El jardinero

dice que usando las dos cuerdas que tiene para re-

presentar las diagonales del rombo puede demar-

car esa figura. Explica qué debe hacer el jardinero.

15. a. Se tiene un cuadrilátero con dos lados parale-

los. Una diagonal biseca uno de sus ángulos.

¿Tiene alguna otra propiedad especial el cua-

drilátero? Justifica tu respuesta.

b. Supón ahora que además del paralelismo de dos lados del cuadrilátero, una diagonal bi-seca dos de sus ángulos. ¿Tiene alguna otra propiedad especial el cuadrilátero? Justifica tu respuesta.

16. a. En un cuadrilátero, una diagonal biseca la otra

diagonal. ¿Tiene alguna otra propiedad espe-

cial el cuadrilátero? Justifica tu respuesta.

b. Si además se tiene que la diagonal que bise-ca a la otra diagonal es perpendicular a ella, ¿tiene alguna otra propiedad especial el cua-drilátero? Justifica tu respuesta.

Competencias en TIC

17. Construye el cuadrilátero mencionado con un

programa de geometría dinámica. Halla el pun-

to medio de cada lado y únelos para formar otro

cuadrilátero.

¿Qué tipo de cuadrilátero obtienes? Explica por

qué se tiene ese resultado.

a. Rombo

b. Rectángulo

c. Trapecio

d. Trapecio isósceles

18. Construye un rectángulo WRST. Construye los

triángulos equiláteros YWT y STZ con Y y Z puntos

en el exterior del rectángulo.

¿Qué propiedad tiene el ∠RYZ? Explica por qué es

verdadera esa propiedad.

284


1

2

3

4 6

5

a.

b.

c.

60 º

60 º 60 º

60 º

90 º 30 º

70 º 70 º

40 º

Los vitrales han sido y son desde tiempos inmemoriales admirados y deseados no solo

por el impacto que genera su composición, sino por la luz y la armonía que generan

en los lugares donde se disponen. Hoy en día es común verlos adornando no solo las

ventanas de las iglesias, sino en otro tipo de establecimientos como restaurantes y ba-

res; más aún en lámparas, cuadros y en pequeñas artesanías de fácil acceso económico.

¿Cuál es el área del triángulo rectángulo que sigue

inmediatamente después en la secuencia?

3. María necesita pegar 4 triángulos congruentes con

los que pueda formar dos segmentos perpendicu-

lares sin que quede espacio. ¿Cuál de los siguientes

triángulos le puede servir para esa tarea?

Figura 7.4

4. María necesita cortar un triángulo equilátero de

tal forma que todos sus lados queden divididos en

dos partes iguales, tal y como se muestra en la figu-

ra 7.5.

Figura 7.5

Esto sólo lo podrá lograr si antes traza sobre el

vidrio

a. las tres bisectrices del triángulo.

b. las tres mediatrices del triángulo.

c. las tres alturas del triángulo.

d. las tres medianas del triángulo.


1. María, una amante de los vitrales, ha querido incur-

sionar en la elaboración de cuadros y lámparas ba-

sándose en triángulos cuadriláteros y rectas. En la

figura 7.1, se muestra parte de una secuencia que

empleará en la elaboración de uno de sus cuadros.

Figura 7.1

Selecciona la figura que sigue inmediatamente

después de la anterior secuencia.

a. b.

c. d.

Figura 7.2

2. La figura 7.3 muestra la secuencia de tamaños de

los triángulos (en cm) que empleará María en la

construcción de otro de sus cuadros.

Figura 7.3

285


A

B

F

C

D

E

G

H

3 cm

3 cm

6 cm

6 cm


1. Completo una secuencia dada empleando el razonamiento inductivo.

2. Completo una secuencia dada empleando el razonamiento deductivo.

3. Identifico dos rectas perpendiculares y las características de los ángulos que se forman entre ellas.

4. Diferencio una mediatriz de una bisectriz.

5. Reconozco los criterios de congruencia para rectángulos.

6. Identifico diferencias entre cuadriláteros.

7. Identifico diferencias entre cuadriláteros.

8. Resuelvo problemas que involucran la identificación de ángulos congruentes formados por rectas paralelas.

9. Resuelvo problemas que involucran criterios de congruencia para ángulos y triángulos.

10. Resuelvo problemas de disección de un cuadrilátero.

5. María ha desordenado un poco su taller y no en-

cuentra una pieza: el rectángulo de 4 cm y 7 cm

de lados. Como no recuerda si la usó para uno de

sus cuadros, decide cortar otra igual. ¿Qué debe

tener en cuenta María para obtener la pieza que

necesita? ¿Acaso podría cortar un rectángulo con

el mismo perímetro?


6. Una de las clientas de María le ha dicho por vía te-

lefónica lo siguiente: “Esta vez quiero que el vitral

esté hecho con cuadriláteros que tengan dos lados

paralelos y solo dos ángulos rectos”. Según las es-

pecificaciones, las piezas de vidrio que debe cortar

deben tener forma de un

a. rectángulo. b. paralelogramo.

c. rombo. d. trapecio.

7. Aparte de la forma, otro aspecto que debe tenerse

en cuenta en la elaboración de un vitral es el área.

¿La fórmula A = b × h, para b la base y h la altura,

no permite calcular el área de cuál de los siguientes

cuadriláteros?

a. Cuadrado b. Rombo

c. Rectángulo d. Paralelogramo


Observa un diseño elaborado por María en la figura 7.6.

Figura 7.6

8. Si AF || DH y DC || EF, demuestra que ∠ACD ≅ ∠FEH.

9. Emplea los criterios de congruencia de triángulos

para demostrar que △DEC ≅ △FCE.

10. María necesita dividir en 4 partes un trozo de vidrio

como el que aparece la figura 7.7. Al unir las cuatro

piezas, debe formar un rombo. Ayúdale a dividirlo

trazando dos líneas rectas sobre la figura.

Figura 7.7

286


Prueba



2

1

6

5

7

3

4

8

2

1

3

4

2

1

A5

6

1

2

3

D

FE

4 G

C

20˚


Figura 3.2

I. El ángulo 1 es recto.

II. Los ángulos 2 y 3 son complementarios.

III. El ángulo 3 es agudo.

IV. Los ángulos 4 y 5 tienen la misma medida.

Teniendo en cuenta la información de la figura 3.2,

las afirmaciones verdaderas son

A. solamente I.

B. solamente II.

C. II y III.

D. I y IV.

1. En jardinería, se suele usar la división de terrenos circulares mediante cuerdas que delimitan di-

ferentes tipos de plantas. El número de cuerdas depende del número de puntos de apoyo. En la

figura 3.1, se muestran cultivos con 1, 2 y 3 puntos de apoyo y el número máximo de regiones que

se podrían formar.

Figura 3.1

Si se quieren cultivar 32 tipos diferentes de plantas en un terreno circular, ¿cuántos puntos de

apoyo se deben usar como mínimo?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

3. Para garantizar la seguridad de técnicos al realizar

trabajos en alturas, una empresa de construcción

exige a los empleados revisar sus equipos siguien-

do indicaciones específicas. Para el uso de escaleras,

si la superficie de trabajo (normalmente una pared)

es perpendicular al suelo, el ángulo exterior forma-

do entre el suelo y la escalera no debe superar los

135º. La figura 3.3 muestra la disposición de la esca-

lera para un trabajo en particular.

Figura 3.3

Se puede afirmar que la escalera está bien posicio-

nada porque

A. la superficie de trabajo es paralela al suelo y el ángulo interno entre la escalera y el suelo es 135º.

B. la pared es perpendicular al suelo y la suma de los ángulos internos es menor que 180º.

287

Barras

Punto de

apoyo

Equidistantes

1

23

A

D

E

B

C

Dada la información anterior, es correcto afirmar

que

A. los ángulos 1 y 2 son agudos y tienen la misma medida.

B. la medida del ángulo 3 es el doble de la medi-da del ángulo 1.

C. la medida del ángulo 2 es la mitad de la medi-da del ángulo 3.

D. la suma de la medida de los ángulos 1, 2 y 3 es 180°.

6. Para medir el ancho de un hundimiento de barro

en un pantano, el propietario del terreno realizó

una medición indirecta: utilizó un sistema de 2

cuerdas: una anclada al punto A y la otra, al punto

B. Luego, tensó las cuerdas y las estiró, de tal for-

ma que se unieran en un ángulo recto en el pun-

to C. AC resultó con una medida aproximada de

120 m, y BC, de 50 m. Finalmente, prolongó AC has-

ta el punto D, de tal manera que la longitud del CD

fuera igual a la longitud del AC. De forma similar,

prolongó el BC hasta el punto E, tal que m CE =

m BC (ver figura 3.6).

Figura 3.6

El ancho del hundimiento de barro es, aproxima-

damente,

A. 150 m.

B. 130 m.

C. 110 m.

D. 90 m.

C. la superficie de trabajo es perpendicular al suelo y el ángulo interno formado entre la es-calera y el suelo es 70º.

D. la pared forma un ángulo agudo con el suelo y el ángulo externo formado entre la escalera y el suelo es menor que 135º.

4. La figura 3.4 muestra una porción del fractal cono-

cido como Triángulo de Sierpinski.

Figura 3.4

Para construirlo, se parte de un triángulo equiláte-

ro. Se trazan segmentos de recta que unen los pun-

tos medios de los lados y se forman cuatro trián-

gulos. Se retira el triángulo del centro y se repite el

proceso con los otros tres triángulos.

¿Cuántos triángulos son congruentes con el trián-

gulo morado, sin contarse el mismo?

A. 8 B. 9

C. 10 D. 11

5. La correcta calibración de los radios de una rueda

de bicicleta exige que las medidas de las barras de

soporte sean iguales y que los puntos de apoyo

sobre la rueda estén igualmente espaciados (ver

figura 3.5).

Figura 3.5

288

y

4x + 50

7x – 10

H

D

GE

FPunto de apoyo del mástil

Mástil cruzado

A

B

C21

27

18

La medida del ángulo mayor de las piezas negras

es

A. 135°. B. 100°.

C. 90°. D. 60°.

9. Observa el paralelogramo de la figura 3.9.

Figura 3.9

Las medidas de los ángulos diferentes del parale-

logramo son

A. 15° y 85°. B. 20° y 50°.

C. 45° y 90°. D. 130° y 50°.

10. Un factor determinante en la práctica del windsurf

(tabla a vela) es el área de la vela que se usará. A

mayor área, mayor es la potencia, pues es mayor

la incidencia del viento sobre la cometa. La figura

3.10 muestra las dimensiones de una vela con po-

tencia baja. Se conoce como deltoide.

Figura 3.10

Describe un método que permita aumentar la

potencia al navegar con una vela como la que se

muestra en la figura 3.10.

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

7. Como complemento al plan de ordenamiento terri-

torial de una ciudad, se está diseñando una cubier-

ta triangular para proteger las zonas verdes del tráfi-

co de peatones y bicicletas. Un diseño preliminar se

muestra en la figura 3.7. Las bancas de dicho diseño

deben ubicarse en las dos esquinas de la cubierta

que tengan mayor amplitud, condición que debe

acatar el diseñador encargado. ¿En cuáles esquinas

debe colocar las bancas?

Figura 3.7

A. En las esquinas B y C

B. En las esquinas A y C

C. En las esquinas A y B

D. En cualquier esquina el espacio es igual

8. Dentro de las ideas para remodelar el piso del lobby

de un hotel, se propone instalar un teselado com-

puesto de 3 tipos de baldosas: 2 blancas cuadradas

de tamaños diferentes y una baldosa negra en forma

de paralelogramo. Una de las baldosas blancas tiene

un área cuatro veces mayor que la otra blanca. Por

problemas con la entrega de las baldosas negras, se

debe iniciar la instalación de las blancas, dejando el

espacio para instalar las negras posteriormente. Se

disponen las baldosas blancas en el piso, colocando

una pieza grande a 45° de la pieza pequeña, como

se ilustra en la figura 3.8.

Figura 3.8

El método debe incluir tomar un mástil cruzado de

mayor tamaño.

289



1.Argumento acerca de propiedades y rela-

ciones de figuras planas.

Razonamiento


2.Reconozco clases de ángulos que se forman

cuando se cortan dos o más rectas.

Interpretación


3.

Verifico y utilizo propiedades de ángulos

interno y/o externos en un triángulo rec-

tángulo.

Razonamiento


4.

Implemento estrategias para la solución de

situaciones haciendo uso de criterios de

congruencia.

Formulación


5.

Verifico y utilizo criterios de congruencia

para hallar medidas de lados y ángulos de

triángulos isósceles.

Razonamiento


6.

Verifico y utilizo criterios de congruencia

para hallar medidas de lados y ángulos de

triángulos rectángulos.

Razonamiento


7.Reconozco y utilizo la desigualdad triangu-

lar para solucionar situaciones.

Formulación


8.

Conozco y aplico las propiedades de los

paralelogramos para hallar medidas desco-

nocidas.

Formulación


9.Reconozco relaciones entre las medidas de

los ángulos internos de un paralelogramo.

Interpretación


10.Realizo conjeturas y verifico propiedades de

cuadriláteros.

Razonamiento



1 2 3 4 5 6 7 8 9

A A A A A A A A A

B B B B B B B B B

C C C C C C C C C

D D D D D D D D D

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗ ✗

✗

290

Creatividadinnovacióne

Situación

TABAQUISMO EN COLOMBIA

Consumo de tabaco en cinco ciudades de Colombia en estudiantes de 13 a 15 años

Aspecto Porcentaje

Población que consume cigarrillo

Riesgo de inicio

Exposición al humo de tabaco en lugares públicos

Exposición a publicidad de tabaco

Quieren dejar de fumar

Compra sus cigarrillos

Recepción de información en los colegios sobre los peligros de fumar

Entre 7,4% y 34,1%

Entre 12,3% y 32%

Entre 40% y 60%

70%

Entre 40% y 69%

80%

Entre 34% y 54%

Resultados de la Encuesta Mundial de Tabaquismo en Jóvenes, 2007 (EMTAJ).

Otros datos

Cerca del 10% de personas piensa que por ser fumador es más atractivo y el 23% cree que por ello tiene más amigos. Siguiendo la tendencia, el próximo año, cerca del 9% se iniciará como fumador.

En Colombia, a pesar de la agresiva publicidad contra el uso del tabaco, aún 3 de cada 20 colombianos fuma y 1 de cada 10 muere por cáncer atribuido a esta causa.

PARDO, Constanza. PIÑEROS, Marion. Consumo de tabaco en cinco ciudades de Colombia, Encuesta Mundial de Tabaquismo en Jóvenes, 2007. En: Biomédica. Octubre-diciembre, 2010, vol. 30, no. 4.

Consecuencias de fumar

A corto plazo A mediano plazo A largo plazo

• Genera mal aliento.

• Produce tono amarillento en dedos, manos y uñas.

• Disminuye la capacidad para hacer deporte.

• Destruye la dentadura.

• Aumenta el acné.

• Deshidrata y arruga la piel.

• Aumenta el riesgo de impotencia sexual.

• Produce diversas enfermedades, entre ellas el cáncer.

• Produce enfermedades cerebrales como hemiplejía, apoplejía, paraplejía, entre otras

Prevenir el tabaquismo

Un estudio del Instituto Nacional de Cancerología (INC) realizado en Colombia en

2007 mostró que el 50,18% de los adolescentes entre 13 y 15 años fumó en algún

momento, y que de ellos el 21,88% continuaba haciéndolo. La evidencia científica

muestra que los jóvenes empiezan a fumar a los 12 años y fácilmente se convierten

en farmacodependientes. Dentro de las actividades para prevenir el consumo del ta-

baco en adolescentes, el INC, en voz de Diana Rivera, dice lo siguiente: “Les hablamos sobre el impacto en la belleza, que causa desórdenes alimenticios... es todo lo que implica cuando prenden un cigarrillo y lo ponen en su boca. El organismo tiene que trabajar tres

veces más rápido y quema el doble de calorías. Buscamos protegerlos”.

Adaptado de Colombia avanza en el control del tabaco [en línea]. <http://www.eltiempo.com/archivo/

documento/CMS-11915251> y La medicina frente a las encrucijadas del fumador [en línea]. <http://www.

revistabiomedica.org/index.php/biomedica/article/viewFile/2029/2048> [citado el 30 de julio de 2014].

291

Reto

Infórmate

Crea

Técnica creativa

La tormenta de ideas es una técnica de grupo que ayuda a generar ideas originales.

Algunas pautas para desarrollar esta técnica son las siguientes:

1. Reúnete con tu grupo de compañeros y piensa estrategias para prevenir el tabaquismo. Definan un tiempo (5 a 10 minutos) para proponer las ideas.

2. Elijan a uno de los participantes para que escriba todas las ideas que surjan.

3. Pasado el tiempo establecido, clasifíquenlas y seleccionen las ideas más útiles y creativas.

Comunica

Hagan una presentación lo más llamativa posible para exponer a sus compañeros

la estrategia que desarrollaron.

1. ¿Conoces personas que sufran de adicción al cigarrillo?¿Cómo afecta sus vidas? ¿De qué modo afecta el tabaquismo la salud de un adolescente?

2. Busca información sobre la publicidad que previene el tabaquismo.

3. ¿Has leído artículos o has visto propagandas televisivas que muestren las con-secuencias del tabaquismo en adultos? ¿Cómo crees que un adolescente pue-de prevenir el tabaquismo?

FuentesDigital

Artículo con consejos acerca de cómo dejar de fumar

http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/spanish/ency/article/001992.htm

Taller Fundamentos pedagógicos y prevención integral del consumo de tabaco

http://www.ligacancercolombia.org/pdfs/otros/Tallerprevenci%C3%B3n.pdf

Impresa

Busca en los periódicos de tu ciudad artículos relacionados con tabaquismo.

Vivencial

Visita diferentes lugares: centros comerciales, restaurantes, parques, cinemas, en-

tre otros. Observa y registra en cuáles hay más fumadores y, aproximadamente,

qué edad tienen. Busca personas que hayan sido fumadoras y pregúntales por

qué dejaron de fumar y cuánto tiempo y esfuerzos les tomó dejar de hacerlo.

Crea una estrategia para prevenir el tabaquismo entre tus compañeros.

292

Capítulo Estadística y probabilidad

292

4

293


Identifica

Analiza

Temas

Opina

56. Tablas de frecuencia para datos agrupados

57. Histogramas y polígonos de frecuencia

58. Principios de adición y multiplicación

59. Combinaciones y permutaciones

60. Probabilidad

1. ¿Quiénes están interesados en mostrar las causas y las consecuencias del seden-tarismo infantil?

2. ¿Cuál es el objetivo del artículo y de las estadísticas presentadas?3. ¿De qué otra manera se podría trasmitir este mensaje?4. ¿A qué personas les convendría leer este artículo?

1. Si se encuestaron 7489 adolescentes colombianos, ¿cuántos adolescentes no cumplen con el mínimo de actividad física recomendada?

2. ¿Qué puedes concluir sobre la tasa de obesidad en Colombia? 3. ¿Cuántos miles de personas menos mueren por tabaquismo que por sedentaris-

mo en el mundo, durante un año?4. Una persona que pesa 65 kg y que camina durante 30 min quema 81 calorías,

pero si está sentada, la quema de calorías se reduce a una por minuto. En una hora, ¿cuántas calorías más quema si en lugar de estar sentada está caminando? ¿Qué porcentaje de quema de calorías está perdiendo al estar sentada?

5. Un niño de 10 años da 15 000 pasos diarios. ¿Cuál es su gasto calórico aproxima-do en cuatro días?

1. ¿Cómo ha evolucionado tu aspecto físico y tu salud desde que tenías 10 años hasta hoy?

2. ¿Cómo te clasificas según el nivel de actividad física? ¿Lo puedes mejorar?

294




0

20

40

60

80

100

120

Precipitación (mm)

Meses

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pasaboca 1

Pasaboca 2

Pasaboca 3

Pasaboca 4

Preferencia pasabocas

20 %40 %

10 %

30 %

1. En un centro dermatológico, van a probar un trata-

miento para mejorar los procesos de cicatrización

en pacientes con quemaduras. Si fueron seleccio-

nados 18 pacientes (de los 30 que se habían re-

cibido) para iniciar con el tratamiento, la muestra

seleccionada para probar el tratamiento es de

a. 30 pacientes con quemaduras.

b. 18 pacientes con quemaduras.

c. 48 pacientes con quemaduras.

d. 12 pacientes con quemaduras.

2. Un docente quiere verificar si una nueva estrategia

de enseñanza genera aprendizajes más significati-

vos en sus estudiantes. Así, selecciona 4 cursos con

40 estudiantes cada uno. En dos cursos, desarrollará

la nueva estrategia y en los otros 2, la estrategia tra-

dicional. La variable que quiere medir el docente es

a. la nueva estrategia de enseñanza.

b. los resultados entre los cursos.

c. la estrategia de enseñanza tradicional.

d. los aprendizajes significativos.

3. La propietaria de una peluquería consolida infor-

mes semanales sobre las ventas que realizan sus

empleados (ver tabla 4.1).

Corte de cabello Cantidad semanales

Damas 21

Caballeros 12

Niñas 7

Niños 5

Tabla 4.1

Según la información del reporte, la propietaria de-

bería realizar una campaña publicitaria para mejo-

rar sus ventas, dirigida al mercado de

a. damas y caballeros.

b. damas y niñas.

c. niñas y niños.

d. caballeros y niños.

4. El IDEAM es un instituto nacional que realiza la me-

dición de la precipitación (cantidad de agua que

cae por lluvias) en el país. La figura 4.1 ilustra la pre-

cipitación registrada para cada mes del año en la

ciudad de Bogotá.

Figura 4.1

Con base en la información de la gráfica, se puede

inferir que

a. febrero y diciembre son los meses en los que menos llueve.

b. enero y junio son los meses en los que menos llueve.

c. marzo y octubre son los meses en los que más llueve.

d. abril y octubre son los meses en los que más llueve.

5. Se realiza una prueba en un supermercado para

determinar si se introducen nuevos productos. En

el día de la prueba, reparten 4 tipos de pasabocas

a 60 clientes y les piden que seleccionen el que les

gustaría comprar. Los resultados se muestran en la

figura 4.2.

Figura 4.2

✗

✗

✗

✗

295



1. Reconozco la muestra de una población de estudio.

2. Identifico la variable estadística de un estudio.

3. Analizo información de situaciones cotidianas usando el concepto de frecuencia.

4. Interpreto un fenómeno físico usando diagramas estadísticos.

5. Resuelvo una situación problema usando información de diagramas.

6. Identifico situaciones que son experimentos aleatorios.

7. Determino muestras de una población usando técnicas de conteo.

8. Reconozco los resultados posibles de un experimento aleatorio.

9. Determino los resultados posibles de un evento aleatorio.

10. Identifico diferentes eventos de una situación.

Con base en la información de la figura 4.2, se pue-

de afirmar que

a. 6 personas comprarían el pasabocas 1.

b. 12 personas comprarían el pasabocas 2.

c. 24 personas comprarían el pasabocas 3.

d. 18 personas comprarían el pasabocas 4.

6. La situación que no es un experimento aleatorio es

a. la asignación de un turno de espera a la prime-ra persona en llegar.

b. el sorteo de una rifa con 1000 boletas.

c. el día de fallecimiento de una persona.

d. el resultado de una prueba de embarazo.

7. Un partido político necesita seleccionar su fórmula

presidencial (un candidato a presidente y uno a vi-

cepresidente). Si tienen dos opciones para presiden-

te y tres para vicepresidente, las opciones de fórmu-

la presidencial que puede tener el partido son

a. 3 b. 4

c. 5 d. 6

Con base en la siguiente información, contesta las pre-

guntas 8 a 10.

En un restaurante ofrecen las siguientes opciones de

menú para almorzar.

Entrada Plato principal Bebidas Postres

Sopa Pollo en salsa LimonadaFresas con

crema

Porción de

frutaCarne asada

Jugo de

lulo

Brevas con

arequipe

Peto dulce Pescado frito NaranjadaCuajada

con miel

Tabla 4.2

8. Si los clientes pueden seleccionar una entrada, un

plato principal, una bebida y un postre, ¿cuántas op-

ciones de menú de almuerzo tiene el restaurante?

a. 27 b. 54

c. 81 d. 108

9. Si Ana desea comer pescado frito y brevas con are-

quipe, independientemente de la entrada y bebi-

da, ¿cuántas opciones de menú tiene?

a. 6 b. 9

c. 12 d. 15

10. Durante las ventas de los almuerzos, se acaban las

porciones de fruta, peto dulce, pollo en salsa, pes-

cado frito, naranjada y jugo de lulo. ¿Cuántas op-

ciones de menú quedan?

a. 1 b. 2

c. 3 d. 4

✗

✗

✗

✗

✗

✗

Tema

Pensamiento aleatorio

296

Ideas previas

Estadística y probabilidad

En una población de ocho millones de habitantes, el 15% habla un segundo idioma.

Entonces, ¿cuántos habitantes hablan un solo idioma?

56 Tablas de frecuencia para datos agrupados

Cuando los datos recopilados son numerosos, es difícil efectuar análisis directamente

sobre ellos y, por ello, se requiere organizarlos de manera que se faciliten los cálculos y la

obtención de estadísticas. Una manera de organizarlos es con una tabla de frecuencias

en donde los datos pueden o no estár agrupados.

En una tabla de frecuencias, los valores de la variable pueden aparecer individual-mente, caso en el cual se afirma que la tabla contiene datos no agrupados. Si apare-cen en intervalos, se dice que contiene datos agrupados.

En los datos agrupados, el número de datos que contiene un intervalo se denomina frecuencia absoluta . La suma de las frecuencias absolutas es el total de datos.

La frecuencia relativa compara la frecuencia absoluta con el número total de datos, es decir, es el cociente entre estos dos números. La suma de las frecuencias relativas es 1, o 100% si se expresa como porcentaje.

Ejempo 1

Una empresa que se dedica a la importación de consolas de videojuegos realiza un

estudio para determinar las preferencias y los hábitos de los clientes en relación con

este tipo de entretenimiento.

Algunos resultados del estudio aparecen en las tablas 56.1 y 56.2.

¿Cuál es su consola preferida?

Consola VotosPorcentaje

(%)

HX 520 105 21,0

Spiral 4 240 48,0

Pack 120 146 29,2

Otra 5 1,0

Ninguna 4 0,8

Total 500 100,0

Tabla 56.1

¿Durante cuántas horas jugó la última

vez que usó la consola?

Horas PersonasPorcentaje

(%)

Menos de 4 390 78,0

[4, 8) 102 20,4

[8, 12) 7 1,4

12 o más 1 0,2

Total 500 100

Tabla 56.2

La primera columna en cada una de las tablas contiene una variable: consola-horas.

En la tabla 56.1, los valores de la variable, es decir, las posibles respuestas, aparecen de

manera individual (HX 520, Spiral 4, Pack 120, Otra, Ninguna). Por tanto, decimos que

la tabla 56.1 muestra los datos no agrupados.

En un conjunto de datos

no agrupados:

• La frecuencia absoluta

es el número de veces

que aparece un dato.

• El rango es la diferencia

entre el dato mayor y el

dato menor.

Para recordar

297

Un intervalo es un subcon-

junto de números reales

que contiene todos los nú-

meros entre dos números

dados. Por ejemplo, en el

intervalo [3, 6], están todos

los números reales desde 3

hasta 6.

Para recordarLa situación en la tabla 56.2 es diferente. Los valores de la variable no aparecen de

manera individual, sino de manera agrupada en intervalos. Veamos: si una persona

afirma que la última vez que jugó lo hizo durante 3 horas y otra persona responde que

jugó durante 2,5 horas, ambas respuestas se ubicarán en la primera clase (menos de 4

horas). En este caso, estamos presentando los datos agrupados.

La segunda columna de la tabla 56.1 muestra el número de personas que respondió

cada una de las opciones de respuesta. La segunda columna de la tabla 56.2 contiene

el número de personas que dio una respuesta en el intervalo correspondiente. En los

dos casos, decimos que esta columna muestra la frecuencia absoluta.

Finalmente, en las dos tablas, la tercera columna muestra la frecuencia relativa, es de-

cir, el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre 500 (el número total de personas

encuestadas).

En una tabla de frecuencias para datos agrupados (también denominada distribu-ción de frecuencias), una clase es cada uno de los intervalos en que se agrupan los datos y su marca de clase es el punto medio de cada intervalo.

Ejemplo 2

Para un estudio sobre el crecimiento de los langostinos, se realiza lo siguiente: se

capturan algunos de ellos, se miden y se regresan al agua. Los datos de la medición

aparecen en la tabla 56.3.

1. Respondamos las siguientes preguntas según la información de la tabla 56.3.

a. ¿La tabla presenta datos agrupados o datos no agrupados?

b. ¿”Número de casos “ representa la frecuencia absoluta o la relativa?

2. Construyamos una distribución de frecuencias agrupando los datos de la tabla

56.3.

Solución

1. a. Las medidas de los langostinos aparecen en la tabla 56.3 de manera indi-

vidual, es decir, se trata de datos no agrupados.

b. ”Número de casos “ muestra cuántos langostinos tuvieron la medida in-dicada, es decir, cuántas veces se repite el dato mostrado. Por tanto, esta columna corresponde a la frecuencia absoluta.

2. Para agrupar los datos, debemos definir los intervalos. El número de intervalos

se escoge generalmente entre 5 y 20, dependiendo de la cantidad de datos, de

manera que el punto medio de cada uno pueda coincidir con algunos datos.

Para determinar la longitud de cada intervalo, dividimos el rango entre el

número de intervalos. En este caso, el rango es 91 – 72 = 19. Si agrupamos

los datos en cinco intervalos, la longitud de cada uno es aproximadamente

19 ÷ 5 = 3,8. Entonces, podemos tomar 4 mm como longitud del intervalo para

facilitar los cálculos. Además, de esta manera, el punto medio del intervalo

puede coincidir con algunas medidas, lo cual es recomendable. Con esta lon-

gitud, los intervalos son [72, 76), [76, 80), [80, 84), [84, 88), [88, 92).

Longitud de los

langostinos capturados

Longitud

(mm)

Número

de casos

72 82

73 94

75 125

76 133

77 142

79 137

80 129

81 112

82 104

84 101

86 115

87 97

88 78

90 81

91 70

Tabla 56.3

298


Estudios médicos han

determinado que cuanto

mayor sea la frecuencia

cardiaca de una persona,

menor será la expectativa

de vida. En los animales,

se da una relación similar:

cuanto más pequeño sea

un animal, mayor será su

frecuencia cardiaca y me-

nor su expectativa de vida.

En qué se aplica En algunos casos, el número de intervalos puede ser uno más o uno menos que

el elegido inicialmente, porque estamos usando una aproximación del valor ob-

tenido para la longitud del intervalo.

Determinamos cuántos datos hay en cada intervalo y esta será la frecuencia ab-

soluta. Por ejemplo, las medidas 72 mm, 73 mm y 75 mm quedarán en el primer

intervalo. La siguiente, 76 mm, estará en el segundo.

Para la tercera columna, dividimos cada una de las frecuencias absolutas entre

el número total de datos, que es 1600. Los resultados para la frecuencia relativa

aparecen redondeados a la centésima más cercana.

En las distribuciones de frecuencias, es común incluir la marca de clase (punto

medio) de cada intervalo. Para nuestro caso, la medida que corresponde al punto

medio del primer intervalo es 74 mm.

La distribución construida aparece en la tabla 56.4.

Longitud

(mm)

Número

de casos

Frecuencia

relativa

Marca

de clase

[72, 76) 301 0,19 74

[76, 80) 412 0,26 78

[80, 84) 345 0,22 82

[84, 88) 313 0,20 86

[88, 92) 229 0,14 90

Total 1600 1,00

Tabla 56.4

1. Responde y justifica tus respuestas.

a. ¿Una frecuencia relativa puede ser mayor que 1?

b. ¿Una frecuencia absoluta puede ser mayor que 1?

c. ¿Por qué la suma de las frecuencias relativas siempre es igual a 1?


2. Halla el rango del conjunto de datos.

17, 9, 8, 91, 14, 28, 9, 58, 17, 46, 58.

3. Se va a construir una distribución de frecuen-

cias de acuerdo con la siguiente información.

Dato menor: 0,2; dato mayor: 7,1; longitud de los

intervalos: 0,8. Escribe los intervalos.

4. Completa la información de la tabla 56.5 que

muestra la distribución por edades de los estu-

diantes de un colegio.

Edad

(años)

Marca

de clase

Número de

estudiantes

(frecuencia absoluta)

Frecuencia

relativa

[4, 6) 62

[6, 8) 85

[8, 10) 48

[10, 12) 44

[12, 14) 38

[14, 16) 39

[16, 18) 34

Total

Tabla 56.5

299

5. El profesor de Educación física de un colegio registró los datos de talla y peso de sus estudiantes. La informa-

ción aparece en las tablas 56.6 y 56.7.

Talla

(cm)142 144 145 148 149 151 153 154 156 158 160 162 163 164 165 167 169 170 172 173 175 177

Número de

estudiantes10 8 11 12 11 7 9 13 12 14 13 11 12 9 11 9 6 5 3 1 2 1

Tabla 56.6

Peso

(kg)39,0 40,3 41,0 42,0 43,5 45,8 47,2 48,3 50,7 52,0 53,1 54,9 55,2 57,4 59,1 59,3 61,0 63,2 66,5 68,2 70,4 71,0

Número de

estudiantes8 9 13 9 8 10 10 11 13 13 12 10 13 8 10 11 8 7 2 2 1 2

Tabla 56.7

a. ¿Qué tipo de datos muestra la tabla 56.6: agrupados o no agrupados? Justifica tu res-

puesta.

b. Halla el rango de estatura del grupo de estu-diantes.

c. Halla el rango de peso de los estudiantes.

d. Elabora una distribución de frecuencias usan-do intervalos de longitud 6 con los datos de la tabla 56.6. Registra los resultados en la ta-bla 56.8.

Talla

(cm)

Marca

de clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Total

Tabla 56.8

e. Elabora una distribución de frecuencias usan-do intervalos de longitud 7 con los datos de la tabla 56.7. Registra los resultados en la ta-bla 56.9.

Peso

(kg)

Marca

de clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Total

Tabla 56.9


6. Los intervalos de una distribución de frecuencias

no tienen siempre la misma longitud. Observa

la tabla 56.10, donde aparece la distribución por

edades de los perros atendidos en una clínica ve-

terinaria durante un año.

EdadNúmero

de perros

Porcentaje

(%)

Menos de 1 año 240

Entre 1 y 6 años 493

Más de 6 años 362

Total

Tabla 56.10

300

Resumen


Rellenar

BorrarPegar

Tablas Gráficos

A C D E

SmartArt FósDisoInicio

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

SUMA

Número de estudiantes

(frecuencia absoluta)Frecuencia

relativa

62

85

48

44

38

39

34

=SUMA (A2:A8

=SUMA (A2:A8)

Calibri (Cuerpo) 12

B

2


Rellenar

BorrarPegar

Tablas Gráficos

A C D

sDisoInicio

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

SUMA

Número de estudiantes

(frecuencia absoluta)Frecuencia

relativa

62

85

48

44

38

39

34

350

=A2/350

=A2/350

Calibri (Cuerpo) 12

B

2

Si en una tabla de frecuencias los valores de la variable aparecen en intervalos, la tabla contiene datos

agrupados. La frecuencia absoluta para cada intervalo es el número de datos que contiene. La suma de

las frecuencias absolutas es el total de datos.

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de

las frecuencias relativas es 1, o 100% si se expresa como porcentaje.

Completa los datos que faltan en la tabla 56.10 y,

con base en dicha información, responde las si-

guientes preguntas.

a. ¿Qué tipo de datos muestra la tabla 56.10: agrupados o no agrupados?

b. ¿Cuántos intervalos tiene la distribución?

c. ¿Se puede conocer la longitud de todos los intervalos? Explica tu respuesta.

d. ¿Cuál es la longitud del primer intervalo?

Competencias en TIC

7. Podemos hallar la frecuencia relativa de un conjunto de datos con el programa Excel. Para ello, digita en una

hoja de Excel las columnas Número de estudiantes (frecuencia absoluta) y Frecuencia relativa, que se muestran

en la tabla 56.5, numeral 4. Ubica el cursor en la casilla A9 y da clic en la botón Autosuma que encuentras

en la barra Herramientas (ver figura 56.1). Luego, haz clic en la casilla B2 y escribe =, haz clic en la casilla A2,

escribe el signo de división (/) y el número 350 (ver figura 56.2). Presiona el botón Enter, ubica el cursor en

la esquina inferior derecha de la celda B y copia la fórmula hasta la celda B8. Selecciona las celdas B2 a B8 y

en el menú Formato de celdas - número, escoge Porcentaje y en Posiciones decimales, digita 0. ¿Qué valores

obtienes?

e. ¿Cuál es la longitud del segundo intervalo?

f. ¿Se puede hallar el rango de edades de los perros atendidos? Explica tu respuesta.

g. ¿Cuántos perros de un año o mayores de un año fueron atendidos?

h. ¿Cuántos perros fueron atendidos durante el año?

i. ¿Qué porcentaje de los perros atendidos te-nían 6 años o menos?

Figura 56.1 Figura 56.2

Tema


301

Ideas previas

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 680 1020 1360 1700 2380

Distribución de visitantes diarios

al museo en un año

Visitantes

Día

s

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 680 1020 1360 1700 2380


al museo en un año

Visitantes

Día

s

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 680 1020 1360 1700 2380


al museo en un año

Visitantes

Día

s


Las temperaturas máximas en grados Celsius en una ciudad durante noviembre fueron

las siguientes: 16, 17, 16, 15, 20, 18, 19, 19, 17, 19, 18, 15, 19, 18, 15, 16, 21, 20, 19, 18,

17, 16, 15, 18, 17, 18, 19, 18, 20, 21. Construye la tabla de distribución de frecuencias

utilizando cuatro intervalos de clase. ¿Qué porcentaje representa al intervalo de clase

que tuvo la menor temperatura?

57 Histogramas y polígonos de frecuencia

En un museo, abierto de miércoles a domingo, registraron el número de

visitantes diarios durante el año pasado. Con la información, realizaron

una distribución de frecuencias como aparece en la tabla 57.1.

Podemos utilizar un diagrama para representar la distribución mostrada

en la tabla (ver figura 57.1). Este diagrama recibe el nombre de histograma.

Observemos sus características.

El primer intervalo va de 0 a 680, por tanto, la base del primer rectángulo

se ubica entre 0 y 680. Las alturas de los rectángulos correspondientes al

segundo, tercero y cuarto intervalos son iguales a las frecuencias. Sin em-

bargo, la altura de los rectángulos en el primero y último intervalos son la

mitad de la frecuencia, porque el ancho de estos intervalos es el doble de

los otros. De esta manera, las áreas de los rectángulos son proporcionales

a las frecuencias.

El otro diagrama que podemos utilizar para representar gráficamente dis-

tribuciones de frecuencias es el polígono de frecuencias. Para construirlo,

agregamos un intervalo al comienzo (de longitud igual al primer intervalo)

y otro al final (de longitud igual al último intervalo), ambos con frecuencia

cero. Por último, señalamos la marca de clase en cada uno.

Ubicamos los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo y

unimos todos los puntos señalados (ver figura 57.2). También, podemos

mostrar el polígono de frecuencias sin el histograma (ver figura 57.3).

Visitantes Días

[0, 680) 24

[680, 1020) 48

[1020, 1360) 54

[1360, 1700) 70

[1700, 2380) 64

Tabla 57.1

Figura 57.1

Figura 57.2 Figura 57.3

302

0

5

10

15

20

25

30

4 8 10 12 14 16 18

Distribución de edades de los estudiantes

que tienen teléfono celular

Edad (años)

Porc

en

taje

de

est

ud

ian

tes

0

5

10

15

20

25

30

4 8 10 12 14 16 18

Distribución de edades de los estudiantes

que tienen teléfono celular

Edad (años)

Porc

en

taje

de

est

ud

ian

tes

Los histogramas y los polígonos de frecuencias son diagramas que se utilizan para representar distribuciones de frecuencias de una variable cuantitativa.Los histogramas se construyen con rectángulos, de tal manera que el centro de sus bases coincida con las marcas de clase. El ancho de los rectángulos es la longitud de los intervalos y su altura es la frecuencia de la clase que representan, cuando todos los inter-valos tienen la misma longitud. Si los intervalos tienen diferente longitud, se calcula la al-tura de cada rectángulo de manera que las áreas sean proporcionales a las frecuencias.Los polígonos de frecuencias son diagramas que se obtienen uniendo los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo en un histograma. Para cerrarlo, se agregan dos puntos en las marcas de clase de dos intervalos imaginarios, uno al co-mienzo y otro al final, ambos con frecuencia cero, y de longitud igual al primero y al último intervalo, respectivamente.

Ejemplo 1

La tabla 57.2 muestra los resultados de un estudio reali-

zado en cinco colegios sobre el uso del teléfono celular

por parte de sus estudiantes.

Distribución por edades

de los estudiantes que tienen teléfono celular

Edad (años)Porcentaje

de estudiantes (%)

[4, 8) 6

[8, 10) 6

[10, 12) 17

[12, 14) 22

[14, 16) 25

[16, 18) 24

Tabla 57.2

Construyamos un histograma y un polígono de frecuen-

cias con los datos.

Solución

Trazamos los ejes y ubicamos en el eje horizontal los ex-

tremos de los intervalos, que son 4, 8, 10, 12, 14, 16 y 18.

En el eje vertical, ubicamos los números (como mínimo,

hasta 25).

Observamos los dos primeros intervalos. En cada uno

de esos grupos de edades, está el 6% de los estudiantes

que tienen celular. Como la amplitud del primer interva-

lo es el doble de la amplitud del segundo, necesitamos

que la altura del primer rectángulo sea la mitad de la

altura del segundo, para que los dos rectángulos en el

histograma representen el mismo porcentaje. De esta

manera, los dos rectángulos tienen igual área.

Observemos la tabla 57.3.

Intervalo Base Altura Área

[4, 8) 4 3 12

[8, 10) 2 6 12

Tabla 57.3

Para construir los otros rectángulos, podemos considerar

la frecuencia como su altura. Observemos la figura 57.4.

Figura 57.4

Para construir el polígono de frecuencias, imaginamos

otros dos intervalos de frecuencia 0: uno al comienzo

de amplitud 4 (porque la amplitud del primer intervalo

es 4) y otro al final de amplitud 2 (porque la amplitud

del último intervalo es 2). Señalamos el punto medio de

la parte superior de cada rectángulo y los unimos con

segmentos (ver figura 57.5).

Figura 57.5

303


0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 1 2 3 4 5 6

Ingresos familiares

Ingresos (salarios mínimos)

Fam

ilias

1. La tabla 57.4 muestra la clasificación, según su

peso, de los huevos en una granja avícola. Res-

ponde las preguntas de acuerdo con la tabla.

Peso(g) Huevos

[30, 45) 1242

[45, 60) 15 276

[60, 65) 24 403

[65, 70) 21 782

Tabla 57.4

a. ¿Cuál es la longitud de cada intervalo?

b. Si se construye un histograma en el que la altura de los rectángulos en los dos últimos intervalos corresponda a su frecuencia, ¿cuál debe ser la altura del rectángulo en el primer

intervalo? ¿Cuál será la altura del rectángulo

en el segundo intervalo?

c. Construye un histograma con los datos.

d. Para construir un polígono de frecuencias, ¿cuál debe ser la longitud del intervalo de fre-

cuencia 0 que se agrega al comienzo?¿Cuál

debe ser la longitud del intervalo de frecuen-

cia 0 que se agrega al final?

e. Construye un polígono de frecuencias con los datos.

2. a. Construye el histograma correspondiente al

polígono de frecuencias de la figura 57.6. Los

puntos resaltados corresponden a las marcas

de clase.

Figura 57.6

b. ¿A cuál de las siguientes tablas de frecuencias corresponde el polígono?

Ingresos

(salarios mínimos)Familias

[1, 2) 127

[2, 3) 132

[3, 4) 141

[4, 5) 125

[5, 6) 93

[6, 7) 72

Tabla 57.5

Ingresos


[0, 1) 127

[1, 2) 132

[2, 3) 141

[3, 4) 125

[4, 5) 93

[5, 6) 72

Tabla 57.6

Ingresos


0 127

1 132

2 141

3 125

4 93

5 72

Tabla 57.7

3. La tabla 57.8 muestra los tiempos registrados por

las 69 atletas que terminaron la prueba final del

maratón femenino en los Juegos Olímpicos de

Pekín. En esta competencia, participó la colom-

biana Bertha Sánchez, quien finalizó en el puesto

62 con un tiempo de 02:47:02.

304

Resumen

0

2

4

6

8

10

12

14

Nú

me

ros

de

em

ple

ado

s

Salarios mensuales

65 7 8 9 10 11 12

Los histogramas y los polígonos de frecuencias son diagramas

que se utilizan para representar distribuciones de frecuencias de

una variable cuantitativa. La figura 57.7 ilustra las distribuciones

de frecuencias de la variable salarios mensuales.

Para construir el histograma, se construyeron rectángulos cuyos

centro de sus bases corresponden a las marcas de clase. Su an-

cho es la longitud de cada intervalo, es decir, uno y altos, 5, 8, 12,

11, 8, 4 y 2, que corresponden a la frecuencia de clase.

El polígono de frecuencia se obtuvo uniendo los puntos medios

de la parte superior de cada rectángulo del histograma más dos

puntos que corresponden a las marcas de clase de los intervalos

imaginarios [4, 5) y [12, 13).

Figura 57.7

02:34:35 02:37:03 02:31:47 02:31:16

02:39:34 02:37:12 02:45:53 02:35:47

02:35:09 02:39:29 02:33:32 02:33:12

02:33:13 02:44:41 02:29:33 02:27:29

02:27:23 02:33:29 02:43:23 02:30:55

02:38:10 02:34:52 02:35:17 02:31:31

02:32:06 02:27:51 02:47:16 02:48:01

02:34:51 02:34:16 02:35:35 02:27:06

02:32:39 02:31:48 02:35:19 02:33:31

02:30:19 02:27:16 02:38:31 02:47:02

02:36:10 02:35:22 02:29:28 02:27:07

02:31:41 02:37:04 02:48:32 02:55:39

02:33:35 02:53:45 02:49:39 02:38:52

02:32:16 02:36:25 02:47:02 02:49:32

02:30:01 02:26:44 02:46:44 02:33:07

02:31:16 02:27:31 02:36:25 02:44:24

02:32:38 02:34:08 02:28:29 02:37:10

02:35:53

Tabla 57.8

a. Construye una distribución de frecuencias con los datos anteriores. Registra los resulta-dos en la tabla 57.9.

Tiempo (h:m:s)Marca

de claseAtletas

Frecuencia

relativa

[02:26:00, 02:31:00)

[02:31:00, 02:36:00)

[02:36:00, 02:41:00)

[02:41:00, 02:46:00)

[02:46:00, 02:51:00)

[02:51:00, 02:56:00)

Total

Tabla 57.9

Responde de acuerdo con la información anterior.

b. ¿Cuál fue el tiempo de la ganadora?

c. ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo de la ga-nadora y quien pasó la meta en último lugar?

d. ¿Qué porcentaje de las atletas que termina-ron la carrera obtuvo un tiempo inferior a 2 horas y 46 minutos?

e. ¿Cuántas atletas perdieron menos de cinco minutos con la ganadora?

f. Había 82 atletas inscritas en esta competen-cia. ¿Qué porcentaje de ellas no participó en la prueba?

g. ¿En qué intervalo se encuentra el tiempo de la colombiana?

h. Construye un histograma y un polígono de frecuencias.

Fue

nte

: ww

w.ia

af.o

rg

Tema


305

Ideas previas


A 82 estudiantes se les preguntó sobre el deporte, entre tenis o golf, que preferirían

aprender a jugar. 21 estudiantes contestaron que los dos deportes; 24 estudiantes,

que les gustaría golf; y 5 estudiantes, que no les gustaría aprender ninguno de los dos.

¿Cuántos estudiantes respondieron que preferirían jugar tenis?

58 Principios de adición y multiplicación

En un colegio, ofrecen tres tipos de electivas en Artes: música, pintura o danza; cuatro

tipos de electivas en Deportes: natación, patinaje, tenis o fútbol; y dos tipos de electivas

en Ciencias: Astronomía o Biología.

¿Cuántas opciones tiene un estudiante para escoger una de las electivas? ¿De cuántas

maneras diferentes un estudiante podría escoger una electiva de cada tipo?

Electivas que podría seleccionar un estudiante

3 + 4 + 2 = 9 Opciones de Artes Opciones de Deportes Opciones de Ciencias

Opciones que tendrían los estudiantes para seleccionar una electiva de cada tipo

3 × 4 × 2 = 24 Opciones de Artes Opciones de Deportes Opciones de Ciencias

Principio de adiciónSi se desea seleccionar un objeto que puede tener k tipos diferentes y para el primer tipo existe m1 opciones; para el segundo tipo, m2 opciones; para el tercero, m3 op-ciones; y así sucesivamente hasta el último tipo con mk opciones, entonces, el objeto puede seleccionarse de m1 + m2 + m3 + ... + ... + mk formas.

Principio de multiplicaciónSi se tienen k condiciones (o etapas), tales que la primera puede ocurrir en m1 formas distintas, la segunda de m2 formas distintas, la tercera de m3 formas distintas, y así su-cesivamente con el resto de condiciones hasta la última condición que puede ocurrir en mk formas distintas, entonces, todas las k condiciones pueden suceder en m1 × m2 × m3 × ... × mk formas distintas.

Ejemplo 1

Lucía y Martín desean ir a almorzar. Tienen cinco lugares diferentes para comer pollo,

dos para comer parrillas y tres para comer camarones. ¿A cuántos lugares diferentes

pueden ir a almorzar?

Solución

Utilizando el principio de adición, tenemos que Lucía y Martín pueden ir a

5 + 2 + 3 = 10 lugares diferentes.

Ejemplo 2

Óscar tiene una empresa de transporte de carga, que posee 10 camiones. Cierto día,

cuenta con la disponibilidad de sus diez camiones y debe enviar dos de ellos a recoger

y llevar dos encomiendas de mercancía. ¿De cuántas maneras puede Óscar asignar

estos dos trabajos?

Practica el principio de

multiplicación desarro-

llando las actividades que

encontrarás ingresando


aaamatematicas.com/

sta-basic-cntg.htm

Vínculo web

Los principios de adición y

multiplicación son técnicas

de conteo que se utilizan

para enumerar eventos

que no son fácilmente enu-

merables por su extensión.

En qué se aplica

306

BA: 12

BR: 8

BR: 8

BA: 12

BA: 12

BR: 8

BA: 11

BA: 12

BR: 7

BR: 8

BA: 12

BR: 8

Solución

Para asignar el camión que realizará el primer transporte, Óscar puede elegir a uno de

los diez camiones, es decir, hay 10 maneras de hacer la asignación.

Para asignar el segundo camión, Óscar dispondrá solamente de 9 camiones, ya que

uno de ellos ya fue asignado al primer trabajo. Por tanto, para el segundo transporte,

hay 9 posibles elecciones para la asignación.

Así, el número de asignaciones posibles para estos dos envíos es 10 × 9 = 90.

Un experimento aleatorio es un suceso en el cual se lleva a cabo una observación cuyos resultados se conocerán con posterioridad al experimento. Un experimento aleatorio, que consta de dos o más etapas, se denomina con repetición, si el ele-mento (o elementos) seleccionado en cada etapa se reintegra al lugar de donde fue tomado para que pueda ser seleccionado nuevamente en la siguiente etapa. Se denomina sin repetición, cuando el elemento (o elementos) seleccionado en cada etapa no se reintegra de donde fue tomado.

Ejemplo 3

Una urna tiene 20 bolas solo distinguibles por su color: 12 azules y 8 rojas. Se seleccio-

nan al azar, sin mirar, dos bolas, primero una y después la otra. ¿Cuál es el número de

casos en que la segunda bola seleccionada al azar es roja?

Solución

El enunciado no establece si la primera bola seleccionada se devuelve a la urna o no,

es decir, si la selección se hace con repetición o sin repetición. Para una solución com-

pleta, tenemos en cuenta las dos posibilidades de selección y empleamos un diagra-

ma de árbol que nos ayudará a determinar el número de casos.

Selección aleatoria con repetición

Construimos un árbol con cuatro ramas. Las dos primeras ramas (de izquierda a dere-

cha) corresponden a los posibles resultados de la primera selección. Las otras cuatro

ramas (dos por cada una de las dos primeras ramas) corresponden a los posibles resul-

tados de la segunda selección (ver figura 58.1).

Entonces, el número total de casos en que la segunda bola seleccionada será de color

rojo es 12 × 8 + 8 × 8 = 160.

Selección aleatoria sin repetición

Construimos un árbol con cuatro ramas. Las dos primeras (de izquierda a derecha)

corresponden a los posibles resultados de la primera selección. Las otras cuatro ramas

(dos por cada una de las dos primeras ramas) corresponden a los posibles resultados

de la segunda selección (ver figura 58.2).

Entonces, el total de casos en que la segunda bola seleccionada será de color rojo es

12 × 8 + 8 × 7 = 152.

Figura 58.1

Figura 58.2

307


Resumen

Los principios de adición y multiplicación permiten determinar el total de resultados posibles

de un experimento aleatorio, sin necedidad de describir cada resultado posible.


1. Una aerolínea local ofrece 4 vuelos diarios para

viajar de la ciudad A a la ciudad B y 4 vuelos dia-

rios para viajar de la ciudad B a la A. Una aerolínea

internacional ofrece 2 vuelos diarios para viajar de

la ciudad A a la B y 2 vuelos diarios para viajar de la

ciudad B a la A.

a. ¿Cuántos formas diferentes existen para volar de la ciudad A a la ciudad B?

b. ¿Cuántas formas diferentes existen para volar de la ciudad A a la B y devolverse?

2. Una biblioteca contiene en uno de sus estantes

7 libros de Matemáticas, 4 libros de Química, 10

libros de Biología y 12 de Literatura, de diferentes

autores. Establece el número de posibilidades que

tiene un estudiante para seleccionar

a. uno de los libros de ese estante.

b. un libro de cada materia.

3. Un restaurante ofrece un menú con tres tipos de

carnes y cinco acompañamientos. ¿Cuántas for-

mas diferentes tiene una persona para seleccionar

una carne y un acompañamiento?


4. Un concesionario de venta de vehículos ofrece

tres marcas: A, B y C. En la marca A, tiene 4 líneas; 3

líneas, en la marca B; y 5 líneas, en la C. La gama de

colores que ofrece en las tres marcas es rojo, azul,

blanco, negro, verde, amarillo; además, la pintura

puede venir en dos versiones: plana o metalizada.

a. El concesionario va a ubicar autos de las tres marcas en la vitrina de ventas. ¿Cuántos autos debe ubicar si sólo tiene en cuenta las líneas?

b. ¿Cuántos tipos diferentes de auto, de acuer-do con las diferentes características, puede vender este concesionario?

5. Un almacén de computadores ofrece computa-

dores fijos y portátiles. Los fijos provienen de tres

marcas diferentes y los portátiles, de dos marcas.

Los fijos poseen los siguientes accesorios: dos ti-

pos de pantalla plana, cuatro clases de impresora

y dos tipos de cámara; los portátiles solo cuentan

con la opción de dos clases de impresora.

a. ¿Cuántos tipos diferentes de computadores fijos se pueden ofrecer?

b. ¿Cuántos tipos diferentes de computadores portátiles se pueden ofrecer?

c. ¿Cuántos tipos diferentes de computadores fijos y portátiles se pueden ofrecer?

6. Un número entero se almacena en la memoria de

un computador como una serie de ceros y unos

(cadena de bits). Cada unidad de memoria con-

tiene 8 espacios: el primero se utiliza para el signo

del número y los siete espacios restantes para los

ceros y unos que representan el número entero.

a. ¿Cuántos números enteros positivos se pue-den almacenar en una unidad de memoria?

b. Si el computador cuenta con dos unidades de memoria, ¿cuántos números enteros po-sitivos se pueden almacenar en la memoria?

7. Un plano contiene los puntos A, B, C, D y E, en los

cuales no hay tres colineales. Entonces, ¿cuántas

rectas distintas se pueden trazar utilizando estos

cinco puntos?

8. Se toman de una baraja de 40 cartas cuatro cartas

mediante dos formas diferentes.

a. Sin devolución de cada carta tomada

b. Con devolución de la carta en cada toma

Calcula el número de formas diferentes de obte-

ner las cuatro cartas en cada método.

Tema


308

Ideas previas


Un número de teléfono fijo consta de siete dígitos, el primero de los cuales no puede

ser cero. ¿Cuántos números telefónicos distintos se pueden formar?

59 Combinaciones y permutaciones

Consideremos una urna con cuatro fichas marcadas con las letras A, C, G y T. Extraemos

3 fichas de la siguiente manera.

Caso 1. Cada ficha extraída se regresa a la urna, se revuelven las fichas y se saca la se-

gunda; de igual manera ocurrirá con la tercera ficha extraída.

Caso 2. Cada ficha extraída no se regresa a la urna, se revuelven las fichas y se saca la

segunda; de igual manera ocurrirá con la tercera ficha extraída.

Caso 3. Cada ficha extraída no se regresa a la urna, se revuelven las fichas y se saca la

segunda; de igual manera ocurrirá con la tercera ficha extraída, pero no se tiene en

cuenta el orden de las letras.

¿Cuántos resultados se obtienen en total en cada caso?

Para organizar los resultados, ubicamos las letras de las fichas que vamos extrayendo en

orden de salida de la siguiente manera: si la primera ficha extraída fue la A, la segunda

la C y la tercera la G, entonces, escribimos ACG.

Caso 1. En la tabla 59.1, listamos los resultados posibles.

Un grupo se dice ordena-

do cuando al intercambiar

dos de sus elementos, se

obtiene un nuevo resul-

tado.

Para recordar

AAA AAC AAG AAT ACA ACC ACG ACT AGA AGC AGG AGT ATA ATC ATG ATT

CAA CAC CAG CAT CCA CCC CCG CCT CGA CGC CGG CGT CTA CTC CTG CTT

GAA GAC GAG GAT GCA GCC GCG GCT GGA GGC GGG GGT GTA GTC GTG GTT

TAA TAC TAG TAT TCA TCC TCG TCT TGA TGC TGG TGT TTA TTC TTG TTT

Tabla 59.1

En total, hay 64 resultados posibles: 64 = 4 × 4 × 4 = 43. El conjunto de estos 64 resulta-

dos constituye un grupo ordenado de tres letras tomadas con repetición de un conjun-

to de cuatro letras, que se denomina permutación con repetición.

Caso 2. Si en la tabla 59.1 eliminamos los elementos que tienen letras repetidas, obte-

nemos los resultados. Así, el número total de casos ordenados sin repetición de letras

es 24, porque 24 = 4 × 3 × 2. El conjunto de estos 24 resultados constituye un grupo

ordenado de tres letras tomadas sin repetición de un conjunto de cuatro letras, que se

denomina permutación sin repetición.

Caso 3. Si en la tabla 59.1 eliminamos los elementos que tienen letras repetidas y los

que tienen las mismas letras en distinto orden y dejamos solamente uno como repre-

sentante, obtenemos ACG, ACT, AGT y CGT. El número total de casos, sin permitir la

repetición de letras y sin tener en cuenta el orden, es 4. El conjunto de estos 4 resultados

constituye un grupo de tres letras tomadas sin tener en cuenta el orden y sin repetición

de un conjunto de cuatro letras, que se denomina combinación sin repetición.

309


n! = n × (n − 1) × (n − 2) ×

... × 2 × 1 para n un número

entero no negativo.

0! = 1 y n! = n × [(n − 1)!].

Para recordarSea B un conjunto con m elementos

Una permutación es un grupo o arreglo ordenado de elementos seleccionados de B.

1. El número de permutaciones sin repetición de n elementos seleccionados de un

total de m es =−

( , )!

( )!P m n

mm n

.

2. El número de permutaciones con repetición de n elementos seleccionados de un total de m es PR(m, n) = mn.

Una combinación sin repetición de m objetos tomados de n formas diferentes es un

arreglo no ordenado y se calcula por medio de la expresión: ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

m

n

mm n n

!( )! !

.

Ejemplo 1

a. ¿Cuántas permutaciones con repetición de 4 letras se pueden formar con A, B, C, D y E?

b. ¿Cuántas combinaciones sin repetición de 4 letras se pueden formar con A, B, C, D y E?

c. Un grupo musical desea visitar seis ciudades antes de que salga su nuevo trabajo musical. Sin embargo, sólo podrán visitar cuatro ciudades. ¿Cuántos itinerarios diferentes puede planear para esta corta gira?

Solución

a. El número de permutaciones con repetición de 4 letras que se pueden hacer con 5 letras es PR(5, 4) = 54 = 625.

b. El número de combinaciones sin repetición de 4 letras que se pueden hacer

con las 5 letras es ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=5

45 .

c. Puesto que en la planeación y decisión del itinerario es importante el orden en que las cuatro ciudades seleccionadas se visiten y no es posible repetir una ciudad, entonces, el número de itinerarios es igual al número de permu-taciones sin repetición de 6 elementos tomados en grupos de 4, así:

=−

= =(6, 4)6!

(6 4)!720

2360P .


1. Clasifica las situaciones en un problema de com-

binación o en un problema de permutación.

a. Seleccionar de un curso de treinta estudian-tes dos estudiantes para que formen el equi-po de ajedrez que los representará.

b. Seleccionar de un curso de treinta estudian-tes dos estudiantes, de manera que el prime-ro seleccionado sea el representante del cur-so y el otro, el suplente.

c. Seleccionar de una lista de diez candidatos el presidente y el vicepresidente de una empre-sa de acuerdo con el número total de votos que cada una obtenga (no se acepta empate).

d. El premio en pesos que se le otorgará al ga-nador del concurso de la semana correspon-derá al número de seis cifras resultante de sa-car en forma consecutiva seis balotas de una urna. La urna contiene diez balotas iguales, numeradas del 0 al 9.

De igual manera que los

principios de adición y

multiplicación, las permu-

taciones y combinaciones

son técnicas de conteo

que facilitan el cálculo de

eventos de un experimen-

to aleatorio.

En qué se aplica

310

Resumen

A C D E G1

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

1415

PERMUTACIONES

PERMUTACIONES (7;4)

=PERMUTACIONES (7;4)

B

2

= 7

= 4

= 840

Devuelve el número de permutaciones para un número determinado

de objetos que pueden ser seleccionados de los objetos totales.

es un número de ojetos en cada permutación.

Argumentos de función

Número

Tamaño

Tamaño

PERMUTACIONES

CancelarAceptar

Tamaño7

PERMUTACIONES

1

3

4

5

6

7

PERM

2

(7;4)

os de fu

ONES

Tamaño

(

to

O

MUTACIONES

A

MUTACIONES

PERMUTACIONES

ArguA menent

Número

T ñ

PERMPERMUTAUTACIO

Arreglo de n elementos seleccionados de un conjunto de m

elementos

Ordenada:

Permutación

No ordenada:

Combinación

Sin repetición:

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−!

( )! !

m

n

mm n n

Con

repetición: mn

Sin repetición:

=−

( , )!

( )!P m n

mm n

Figura 59.1

Competencias en TIC

2. Puedes calcular diferentes permutaciones y com-

binaciones sin repetición con el programa Excel.

Por ejemplo, para hallar las permutaciones de

4 elementos tomados de un conjunto de 7 ele-

mentos, da clic en la función Permutaciones, que

encuentras en la barra de Herramientas, en la ca-

tegoría Estadística. En la casilla Número, digita 7 y,

en la casilla Tamaño, digita 4. Finalmente, da clic en

Aceptar y obtendrás el resultado que observas en

la figura 59.1. Para el cálculo de las combinacio-

nes, debes realizar un proceso similar, solamente

con un cambio: en lugar de Estadística en la barra

Herramientas, elige la opción Combinat dentro de

la categoría Matemáticas y trigonometría.

Halla los siguientes resultados con ayuda de Excel.

a. P(7, 3) b. P(15, 7)

c. ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8

3 d.

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16

6


3. La jaula de arranque de un hipódromo tiene diez

puestos. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar

diez caballos en las jaulas para una competencia?

4. Todos los participantes deben jugar contra un

oponente en la primera jornada de ajedrez. Si hay

20 participantes, ¿de cuántas maneras se pueden

formar las distintas parejas de oponentes?

5. Un publicista que utiliza en sus campañas autos

deportivos está contemplando la posibilidad de

utilizar tres autos distintos. ¿Cuántas selecciones

posibles puede organizar de un grupo de 9 autos

deportivos distintos?

6. Treinta colegios participan con su proyecto educa-

tivo para lograr financiación estatal. Si solamente

se les asignan recursos a los tres primeros puestos,

¿de cuántas maneras puede ocurrir la asignación

si es justa?

7. Hay 10 puntos en un plano, de los cuales cualquier

grupo de tres puntos no son colineales. ¿Cuántos

triángulos se pueden trazar?

Tema


311

Ideas previas


Se va a elegir una comisión de 6 personas de un grupo de 13. ¿De cuántas formas dife-

rentes se puede seleccionar este prupo?

60 Probabilidad

Los resultados de un experimento aleatorio forman un conjunto llamado espacio

muestral. Los subconjuntos del espacio muestral se llaman eventos o sucesos, y aque-

llos que tienen un solo elemento se llaman eventos simples.

La probabilidad de un evento se calcula hallando el cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados posibles. Si A es un evento de un

espacio muestral entonces: ( ) = número de resultados favorablesnúmero de resultados posibles

P A .

Ejemplo 1

En un grupo de estudiantes hay 4 hombres y 6 mujeres. Se van a escoger dos indivi-

duos para que representen el grupo.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos elegidos sean hombres?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los elegidos sea una mujer y el otro sea un hombre?

Solución

En esta situación, el orden en que los representantes sean elegidos no es relevante,

por tanto, en los dos casos el número de casos favorables es: ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=10

245 , es decir,

hay 45 parejas posibles que pueden representar al grupo.

a. Para el evento A: “los representantes son ambos hombres”, el número de ca-

sos favorables (que se seleccionen hombres) es ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=4

26 . Por tanto:

( ) =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = ≈ =

4

2

10

2

645

0,13 0,1334 13,34%P A .

b. Para el evento C: “los representantes son una mujer y un hombre”, el número

de casos favorables es: ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= × =4

1

6

14 6 24 (hemos utilizado el prin-

cipio de multiplicación). Por tanto:

( ) =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = ≈ =

4

1

6

1

10

2

2445

0,53 0,5334 53,34%P C .

Si A y B son eventos en un espacio muestral tales que A ∩ B = ∅, entonces A y B se denominan eventos mutuamente excluyentes, disyuntos, o incompatibles. En este caso: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

El concepto de probabili-

dad nació de la necesidad

del hombre por conocer

la certeza en eventos de

juegos de azar. Actualmen-

te, es utilizada en diversas

disciplinas, en conjunto

con la computación, en

métodos que disminuyen

los márgenes de error en

los cálculos de conteo.

En qué se aplica

312

Ejemplo 2

Una urna tiene 20 balotas iguales que se distinguen únicamente por su color: 4 rojas,

6 negras y 10 amarillas. De la urna, se saca al azar una balota. ¿Cuál es la probabilidad

de que se saque una balota negra o una balota amarilla?

Solución

El número de casos posibles de sacar una balota es ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=20

120 .

El evento “sacar una balota negra o una balota amarilla” es la unión de los dos eventos

disyuntos N: “sacar una balota negra”, A: “sacar una balota amarilla”.

Entonces, P(N ∪ A) = P(N) + P(A), por tanto...

( )∪ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + = =

6

1

20

1

10

1

20

1

620

1020

1620

80%P N A .

Si A es un evento de un espacio muestral, entonces, P(AC) = 1 − P(A).

Ejemplo 3

Una empresa fabrica motores para avionetas. Los motores se clasifican en modelo E1

o modelo E2. De un lote de producción de 20 motores, se sabe que 12 son motores

modelo E1. Si se selecciona al azar un grupo de 8 motores, ¿cuál es la probabilidad de

que se encuentren 3 o más motores modelo E1?

Solución

El número de casos posibles es ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=20

8

20!8!12!

= 125 970 .

Sea el evento A: “3 o más motores seleccionados son motores modelo E1”, entonces, el

evento complemento de A es Ac: “menos de 3 motores seleccionados son modelo E1”.

P(Ac) = P(2 motores seleccionados son modelo E1) + P(1 motor seleccionado es mode-

lo E1) + P(ningún motor seleccionado es modelo E1). Por tanto...

( ) =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2

8

6

20

8

12

1

8

7

20

8

12

0

8

8

20

8

P Ac =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2

8

6

12

1

8

7

12

0

8

8

20

8

( ) = × + × + ×= ≈

66 28 12 8 1 1

125 9701945

125 9700,01544P Ac .

Entonces, P(A) = 1 − P(AC) = 1 − 0,01544 = 0,98456, lo que significa que la probabilidad

de hallar “3 o más motores seleccionados con motores modelo E1” en una muestra de

tamaño 20 es aproximadamente del 98,46%.

El complemento de un

conjunto A es el conjunto

formado por los elemen-

tos que pertenecen al

conjunto universal y no

pertenecen al conjunto A.

Se denota por AC.

Para recordar

313


Resumen

Los resultados de un experimento aleatorio forman un conjunto llamado espacio muestral.

Los subconjuntos del espacio muestral se llaman eventos y cuando estos tienen un solo ele-

mento, se llaman simples.

La probabilidad de un evento se calcula hallando el cociente entre el número de casos fa-

vorables (cantidad de elementos del evento) y el número de casos posibles (cantidad de

elementos del espacio muestral).

Si A y B son eventos disyuntos, entonces, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Si A es un evento de un espacio muestral, entonces, P(Ac) = 1 − P(A).


1. Se van a repartir los premios entre un grupo de 7

estudiantes (4 mujeres y 3 hombres). Ten en cuen-

ta que se presentan dos situaciones.

(I) Los premios son iguales.

(II) Los premios son diferentes.

Ahora, encuentra la probabilidad de que

a. dos premios sean para las mujeres y uno para los hombres.

b. dos premios sean para los hombres y uno para las mujeres.

c. los tres premios sean para las mujeres.

d. los tres premios sean para los hombres.

2. Se selecciona al azar un número de cuatro cifras.

Permitiendo repeticiones y sin permitir repeticio-

nes, ¿cuál es la probabilidad de que el número se-

leccionado sea divisible por 5?

3. Se entrevistaron 20 personas para indagar sobre

el tipo de televisión al que estaban suscritas. Los

resultados de las entrevistas fueron los siguientes:

8 tienen suscripción por cable; 3, suscripción sateli-

tal; y 9 no tienen ningún tipo de suscripción.

Cada uno de los entrevistados tiene únicamente

un tipo de suscripción o no tiene suscripción al-

guna. Se seleccionan al azar tres personas. Calcula

la probabilidad de que

a. las tres personas no tengan ningún tipo de suscripción.

b. las tres personas tengan suscripción por cable.

c. las tres personas tengan suscripción satelital.

d. dos de ellas tengan suscripción satelital y la otra no tenga suscripción alguna.

e. dos de ellas tengan suscripción por cable y la otra tenga suscripción satelital.

4. Los billetes de una lotería tienen cuatro dígitos y

una serie de dos letras del alfabeto español. Si un

individuo compra un billete de la lotería, ¿cuál es

la probabilidad de que se gane el premio mayor?


5. Un centro de cómputo genera de forma aleatoria

la clave de acceso (password) de cada usuario. Si la

clave consta de 6 caracteres elegidos al azar entre

las 26 letras y los 10 dígitos, halla la probabilidad

de que la clave

a. no contenga ningún dígito.

b. no contenga ninguna letra.

c. empiece por letra y termine en dígito.

d. empiece por dígito y termine en letra.

e. tenga todos sus caracteres diferentes.

6. Ocho tarjetas numeradas del 1 al 8 se colocan en

las cajas I y II, de tal manera que las sumas de los

números de las tarjetas en cada caja sean iguales.

Si en la caja I hay tres tarjetas, entonces, siempre

se puede asegurar que

a. 3 tarjetas de la caja II tienen números impares.

b. 4 tarjetas de la caja II tienen números pares.

c. la tarjeta con el número 1 no está en la caja II.

d. la tarjeta con el número 2 está en la caja II.


314


Distribución de edades

de los visitantes del parque

Ca

nti

da

d d

e p

ers

on

as

Años

11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Distribución de las estaturas de los usuarios

de la montaña rusa para niños

Ca

nti

da

d d

e n

iño

s

Estatura (cm)

90 102 114 126 138 1500

10

20

30

40

50

60

70

80


La tabla 8.1 contiene información del número de visi-

tantes entre los 11 y 40 años que asistieron en uno de

los fines de semana de las vacaciones pasadas.

Edad de los

visitantes

Marca

de

clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

acumulada

Frecuencia

relativa

11-15 13 20 20 0,18

16-20 18 35 55 0,32

21-25 23 16 71 0,15

26-30 28 17 88 0,15

31-35 33 13 101 0,12

36-40 38 9 110 0,08

Tabla 8.1

1. Con base en la información suministrada en la ta-

bla 8.1, es falso afirmar que

a. el 32% de las personas que ingresaron al par-que durante el fin de semana están entre los 16 y los 20 años.

b. 110 personas entre los 11 y 40 años ingresaron al parque durante ese fin de semana.

c. la minoría de las personas que ingresaron al parque ese fin de semana están entre los 36 y 40 años.

d. 88 personas que ingresaron al parque ese fin de semana están entre los 26 y 30 años.

2. ¿Qué representa la figura 8.1 teniendo en cuenta la

información de la tabla 8.1?

Figura 8.1

3. La figura 8.2 muestra la estatura de las personas

que montaron en un fin de semana en la atracción

más visitada del parque, la montaña rusa para ni-

ños.

Figura 8.2

El premio Rosa de los vientos es el reconocimiento que,

desde 1998, se otorga a los mejores lugares del turis-

mo en Colombia. Entre los opcionados de este año, se

encuentra uno de los parques de diversiones de mayor

acogida en la ciudad de Bogotá. Por eso, su gerente está

realizando una serie de encuestas que le permitan tener

una visión controlada de lo que ocurre en el parque. Vea-

mos algunos de los resultados obtenidos en un fin de

semana.

315



1. Interpreto información presentada en una tabla.

2. Identifico el diagrama que representa información dada en tablas.

3. Interpreto información presentada en diagramas.


5. Diferencio el principio de la multiplicación del de la adición y lo empleo en la solución de un problema.

6. Diferencio el principio de la adición del de la multiplicación y lo empleo en la solución de un problema.

7. Diferencio una combinación de una permutación.

8. Diferencio una permutación de una combinación y la calculo.

9. Resuelvo una situación problema que involucra la probabilidad de un evento.

10. Resuelvo una situación problema que involucra la probabilidad de un evento.

Completa la tabla 8.2 con base en la información

anterior.

Estatura

(en cm)

Marca

de clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

acumulada

[90, 102) 30 30

[102, 114) 108 85

[114, 126) 120 70

132

[138, 150] 10 190

Tabla 8.2

4. Se puede concluir de la tabla 8.2 que el número de

menores de edad encuestado fue ______.


5. Lee la información de la tabla 8.3.

Atracciones

Extremas Familiares Destreza

La barca

Montaña rusa

Carros chocones

Carrusel

Botes

Rueda de la fortuna

Casa de vidrio

Mete gol

Bolos

Lanza y gana

Tabla 8.3

¿Cuántas formas diferentes tiene un visitante para

escoger una atracción de cada tipo?

6. En el parque, hay 2 lugares para comer pollo, 3 para

comer pizza y 5 para comer hamburguesa, ¿cuán-

tas opciones tiene un visitante para comer?

7. Ana y sus 5 amigos desean subir al primer vagón

de la montaña rusa. Si cada vagón tiene 3 puestos y

desean conocer cuántas posibilidades tienen para

subir al primer vagón, deberán utilizar una ______.

8. En la atracción llamada La barca, las personas son

penduladas a 1,50 m de altura. Si está formada por

6 puestos ubicados uno tras otro, ¿de cuántas for-

mas diferentes se pueden acomodar 6 personas?


9. Uno de los juegos de destreza se llama Balota de co-

lores que consiste en sacar de una bolsa que contie-

ne 8 balotas de colores 2 del mismo color en 2 opor-

tunidades seguidas. Esto se debe hacer sin devolver

la primera balota a la bolsa. Si la bolsa contiene 3

balotas rojas, 2 verdes y 3 azules, ¿cuál es la probabi-

lidad de sacar seguidas dos balotas verdes?

10. El premio Rosa de los vientos incluye todos los sitios

de turismo que hay en el país y este año los opcio-

nados son 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el

galardonado sea un parque de atracción si se sabe

que dentro de los opcionados hay 4 parques más?

316


Prueba



0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Nú

me

ros

de

fam

ilia

s

Distribución de ingresos por familia

Ingresos

(en miles de pesos)

200 400 600 1000800

1. Una empresa de comunicaciones desea ofrecer

planes de minutos destinados a jóvenes entre 16 y

20 años. Para saber cuál debería ser la cantidad de

minutos del plan, analizan la duración de las llama-

das en determinados intervalos. Esta información

se resume en la tabla 4.1.

Duración (minutos) Frecuencia

Hasta 5 100

(5, 10] 180

(10, 15] 70

(15, 20] 40

(20, 25] 10

Tabla 4.1

La información de la tabla permite concluir que

A. el número de llamadas con duración de 10 a 25 minutos (inclusive 25) es mayor que el nú-mero de llamadas con duración de 10 minutos como límite.

B. más de la mitad de las llamadas duran hasta 5 minutos.

C. el 75% de las llamadas duran más de 5 minu-tos.

D. la quinta parte de las llamada duran hasta 10 minutos.

2. Un equipo de veterinarios registró la masa de 50

gatos con edades entre uno y cuatro años para es-

tudiar fenómenos de sobrepeso en gatos de raza

persa (ver tabla 4.2).

Masa (kg) Frecuencia

(0, 2] 5

(2, 4] 15

(4, 6] 24

(6, 8] 5

(8, 10] 1

Tabla 4.2

Un gato de raza persa entre uno y cuatro años se

considera en sobrepeso si su masa es superior a 6

kg. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verda-

dera?

A. El 12% de los gatos del estudio están en sobre-peso.

B. El 60% de los gatos del estudio están en sobre-peso.

C. Menos del 5% de los gatos del estudio están en sobrepeso.

D. El 70% de los gatos del estudio no están en sobrepeso.

3. El gobierno local realizó una encuesta con el fin de

calcular el monto de un subsidio familiar para una

comunidad de 100 familias. Los resultados de la

encuesta se muestran en la figura 4.1.

Figura 4.1

El subsidio se asignará a las familias cuyos ingresos

se encuentren en las clases con frecuencia relativa

mayor o igual al 35%. El número de familias que

recibirán el subsidio es

A. 35. B. 60.

C. 75. D. 90.

317

4. Un restaurante ofrece una opción de almuerzo de

bajo precio con una serie de alternativas para pro-

teína, acompañamiento y postre, que se pueden

combinar según el gusto de los clientes. El restau-

rante ofrece lo siguiente:

Proteína Acompañamiento Postre

Carne Arroz Helado

Pollo Ensalada Torta

Pescado Papa

Fruta

Tabla 4.3

Si una persona puede escoger una proteína, dos

acompañamientos diferentes y un postre, ¿cuántas

opciones de almuerzo de bajo precio ofrece el res-

taurante?

A. 36

B. 56

C. 64

D. 72

5. Para mejorar la seguridad en transacciones elec-

trónicas, un banco solicita a sus clientes escoger

una clave que cumpla algunas condiciones: tener

4 caracteres, iniciar con una letra (de 26 posibles) y

continuar con tres dígitos diferentes.

¿Cuántas claves pueden existir que inicien con una

vocal y estén compuestas solo de dígitos pares?

A. 125

B. 300

C. 625

D. 15 625

6. Se tienen cinco libros de Matemáticas, tres de His-

toria y dos de Geografía. Se ubicarán en un estante,

uno al lado del otro, tomando de a dos libros de

cada materia, de tal forma que los libros queden

juntos por materia sin importar cómo se ubiquen.

¿De cuántas maneras diferentes se pueden orde-

nar los libros en el estante?

A. 6 B. 30

C. 108 D. 180

7. Se realizarán dos sorteos para entregar premios

en un evento. Cada sorteo se realizará con dos

bolsas de balotas: una de las bolsas tendrá balotas

con números del 1 al 31; la otra, con los meses del

año. Cada participante deberá tomar una balota

de cada bolsa y el ganador será aquel que cumpla

años el día y el mes que indiquen las balotas. Si se

toman dos balotas que forman una fecha inexis-

tente, se podrán tomar otras balotas.

Si se asume que no hay dos personas que cumplan

el mismo día, ¿cuál de las siguientes opciones le

daría a una persona mayor probabilidad de ganar

alguno de los sorteos?

A. Permitir que todas las balotas jueguen en am-bas bolsas después del primer sorteo

B. Permitir que jueguen todas las balotas en la bolsa de meses e incluir la balota ganadora de los días después del primer sorteo

C. Permitir que jueguen todas las balotas en la bolsa de días, pero excluyendo la balota gana-dora de los meses después del primer sorteo

D. Excluir las balotas ganadoras de cada bolsa después del primer sorteo

318

B

B

R

R

B

R

35

35

25

35

25

25

8. Los dados se usan con frecuencia en los juegos de mesa para avanzar o definir situaciones. En la

figura 4.2, se muestran todos los posibles resultados que se obtienen al lanzar dos dados.

9. Un juego muy popular en los casinos es la ruleta.

Este juego consiste en arrojar una bolita en una ru-

leta en movimiento que tiene, por lo general, 37

espacios con los números del 0 al 36. Los números

están desordenados. Uno de los espacios tiene co-

lor verde y los demás, color negro o rojo, tal como

se muestra en la figura 4.3.

Figura 4.3

Si se obtiene un premio mejor entre menos proba-

ble sea el evento, ¿con cuál de las siguientes juga-

das se obtiene el mejor premio?

A. Apostando al rojo

B. Apostando a que el número es par

C. Apostanto a que el número es primo

D. Apostando a un número específico

10. El diagrama de árbol de la figura 4.4 muestra la pro-

babilidad de sacar dos prendas de vestir de color

rojo (R) o blanco (B).

Figura 4.4

Describe cómo usarías la información de la figura

4.4 para hallar la probabilidad de que las dos pren-

das sean del mismo color. ¿Cuál es dicha probabli-

dad?

________________________________________

________________________________________

________________________________________

En un juego de dados entre dos personas, el ganador será aquel que luego de lanzar los 2 dados

obtenga el número mayor de la suma de los números de las caras obtenidas. Si uno de los jugado-

res obtiene 8 en su lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que gane el otro jugador?

A. 5

13B.

518

C. 1536

D. 1518

Figura 4.2

1325

319



1.Interpreto información de tablas de fre-

cuencias.

Razonamiento y

argumentaciónGenérico

2. Infiero información de tablas de frecuencias.Interpretación y

representaciónGenérico

3.

Resuelvo y formulo problemas a partir de

un conjunto de datos representados gráfi-

camente.

Formulación y

ejecuciónGenérico

4.Resuelvo situaciones usando principios de

conteo.

Formulación y

ejecuciónGenérico

5.Resuelvo situaciones usando principios de

conteo.

Formulación y

ejecuciónGenérico

6.Analizo y escojo estrategias de conteo para

solucionar situaciones.

Formulación y

ejecuciónNo genérico

7.Uso modelos para discutir la posibilidad de

ocurrencia de un evento.

Razonamiento y

argumentaciónNo genérico

8.Calculo la probabilidad de ocurrencia de un

evento a partir de información dada.

Formulación y


9.Uso modelos para discutir la posibilidad de

ocurrencia de un evento.

Razonamiento y

argumentaciónGenérico

10.

Describo un método para calcular la pro-

babilidad de un evento a partir de informa-

ción dada.

Formulación y



1 2 3 4 5 6 7 8 9

A A A A A A A A A

B B B B B B B B B

C C C C C C C C C

D D D D D D D D D

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

Glosario

320

Ángulos alternos externos: dos ángulos externos a dos rectas, no adyacentes, ubicados en distinto lado respecto a una transversal.Ángulos complementarios: dos ángulos cuyas me-didas suman 90°.

Bisectriz de un ángulo: rayo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.

Cocientes notables: cocientes que pueden ser es-critos sin efectuar la división. Son cocientes exactos.Combinación: número de arreglos de determinado tamaño que se pueden obtener de un conjunto, sin que el orden importe.Cubos perfectos: binomios en los que los términos tienen raíz cúbica exacta.

Definición: enunciado de las propiedades más ca-racterísticas de un objeto, mediante las cuales se les puede identificar y diferenciar de otros. Desigualdad: relación matemática de orden que usa los signos >, <, ≤ o ≥.

Evaluación: proceso de reemplazar en una expre-sión algebraica valores específicos.Expresión algebraica: combinación de números reales, mediante las operaciones de adición, sustrac-ción, multiplicación y división.

Factores: términos de un producto.Factorización: proceso de descomponer en factores primos un número o un polinomio.Función: regla de correspondencia entre los elemen-tos de dos conjuntos, de manera que a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde un único elemento del segundo conjunto (codominio).

Histograma: gráfico en forma de barras de una ca-racterística estadística que se ha resumido en inter-valos, de forma que la altura de las barras en cada intervalo indica la frecuencia relativa en ésta.

Intervalo: notación numérica corta para representar el conjunto de los números reales o subconjuntos infinitos de este.

Número irracional: número decimal infinito no pe-riódico.Número racional: número decimal finito o infinito periódico.

Paralelogramo: cuadrilátero con ambos pares de la-dos opuestos paralelos.Permutaciones: número de arreglos ordenados de algunos o todos los elementos de un conjunto. Postulado: proposición en la que se considera algo como cierto, sin necesidad de demostración.

Recíproco: número real diferente de cero que multi-plicado por el número real dado, da como resultado 1.Rectángulo: paralelogramo con un ángulo recto.

Teorema: generalización que puede demostrarse usando razonamiento deductivo. Términos semejantes: términos que tienen la mis-ma parte literal.

Valor absoluto: distancia desde cualquier punto de la recta numérica hasta cero.Variable dependiente: variable cuyo valor depen-de de los valores asignados a la variable indepen-diente.Verificación de la solución: examinar que un valor satisface una ecuación o una desigualdad.

C

D

E

F

B

H

I

N

P

R

T

V

A

Moreno, V.; Samper, C.; Padilla, S. (2009). Delta Matemáticas 8. Bogotá, Colombia: Editorial Norma.

García, A.; Guzmán, L.; Silva, L.; Uni, V.; Urrego, N. (2011). ZonActiva matemáticas 8. Bogotá, Colombia: Edi-

torial Voluntad.

Instituto colombiano para la evaluación de la educación (ICFES). (2013). Alineación del examen Saber 11°.

Bogotá, Colombia.

Ministerio de educación nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas,

Ciencias y Ciudadanas. Bogotá, Colombia.

Ministerio de educación nacional. (1998). Lineamientos Curriculares Matemáticas. Bogotá, Colombia.

Bibliografía

322

Si una persona, familia o empresa carece del dinero para adquirir bienes o servicios que necesita o desea, puede recurrir a las entidades financieras que están en la capacidad de facilitar la adquisición de estos bienes o servicios a través de una financiación.

Financiación y productos financieros

Los productos que ofrecen las entidades financieras para que sus clientes puedan ad-

quirir los recursos que necesitan se denominan productos financieros. Los más cono-cidos son los préstamos y los créditos, sin embargo, existen otros como microcréditos, leasing, renting, factoring, confirming, anticipo de factura y descuento comercial. Los productos de financiación se pueden clasificar como aparece a continuación, de acuer-do con el tiempo que dura la operación financiera.

Tipos de financiación

De acuerdo con el tiempo que se establece para la restitución del dinero, la financiación

puede ser a corto plazo, cuando el tiempo máximo del producto financiero es a lo más

de un año; a mediano plazo, cuando el tiempo es mayor que un año y hasta 5 años; y

financiación a largo plazo, cuando es mayor que 5 años.

La financiación es la obtención de fondos o capital necesarios para concretar un proyecto o actividad. La persona o entidad que presta el dinero cobra un interés por el préstamo, es decir, un dinero adicional que debe pagar quien recibe el beneficio.

Ejemplo 1

La financiación de un crédito de vivienda está entre 5 y 20 años y puede estable-cerse a mediano o largo plazo.

La financiación de la compra de un elec-trodoméstico, generalmente, se estable-ce a menos de un año, es decir, a corto plazo.

Los tipos de financiación también dependen de la procedencia de los recursos. En una empresa, la financiación puede proceder de inversionistas externos a la empresa, en

cuyo caso se denomina financiación externa. Por el contrario, si el origen de los fondos

es de la propia empresa, se denominará financiación interna.

323

En la figura 1.1, se resumen los tipos de financiación:

Financiación

el plazo de

vencimiento

externa interna

puede ser

según

corto mediano largo

la procedencia

de los recursos

puede ser

Agentes financieros

Las opciones que tiene un cliente para solicitar un producto financiero se

denominan agentes financieros, que se clasifican en los siguientes:

• Financiación con familiares, amigos o conocidos. Presenta una ven-taja: la facilidad del trámite. Sin embargo, se corre el riesgo de perder el dinero y/o afectar los vínculos personales que existan, debido al in-cumplimiento en los pagos acordados.

• Financiación bancaria. Se realiza con un banco, el cual exige cumplir ciertos requisitos para su aprobación, porque la persona o empresa que solicita el producto financiero debe demostrar su capacidad de pago.

• Crowdfunding. Es una nueva modalidad que se realiza a través de las redes sociales, por medio de las cuales se buscan patrocinadores que apoyen financieramente la idea de una persona o empresa emprende-dora.

Características de los productos financieros

De acuerdo con la intención que se tenga en el momento de adquirir un producto financiero, es conveniente considerar las siguientes característi-cas a fin de comparar y facilitar la toma de decisiones.

• Tipo de interés

• Plazo de pago del producto financiero: corto, mediano o largo plazo

• Comisiones y gastos asociados

• Garantías requeridas

• Duración del trámite de aprobación del producto financiero


crowdfundingcolombia.

tumblr.com/. ¿Qué otros

consejos podrías adicio-

nar para realizar un video

crowdfunding?

Para reflexionar

Figura 1.1

324

Aspectos por considerar en el momento de adquirir un producto financiero

Pensemos que queremos adquirir un televisor de última tecnología. Después de tomar la decisión de comprarlo y elaborar el presupuesto que nos permite lograr esta meta financiera, empezamos a averiguar en diferentes establecimientos donde vendan el electrodoméstico que deseamos. Indagamos sobre las características de los televisores, su precio, forma de pago o financiación, la garantía que ofrecen y el tiempo de la misma (características de la financiación). Cuando comparamos la información arrojada por cada uno de los almaneces y elegimos el establecimiento comercial donde comprare-mos el televisor, muy seguramente hemos optado por el que nos ofreció mayor garan-tía, por el que nos brindó mayor facilidad en la financiación y, por supuesto, por aquel que nos concedió el menor precio del mercado. Debemos seguir un proceso semejante a la hora de adquirir un producto o servicio financiero.

• Intereses, plazos y comisiones. Las entidades financieras, como cualquier empresa, buscan su rentabilidad, es decir, obtener ganancia de sus productos y servicios. Para llevar una buena relación con las entidades financieras y antes de tomar cualquier decisión sobre adquirir un producto o servicio financiero, es importante que conoz-camos las comisiones e intereses que nos cobrarán y los comparemos con las dife-rentes ofertas que ofrece el mercado financiero. Esto nos ayudará a tomar la decisión que más favorezca nuestra economía personal, familiar o empresarial.

Es importante saber que dentro de las políticas de los bancos está la posibilidad de ofrecer productos a menor costo, es decir, reducir las tasas de interés y las comisio-nes dependiendo la cantidad de productos que el cliente adquiera.

• Garantias y trámites. Los bancos deben ser muy cuidadosos en los estudios que realizan sobre la capacidad de endeudamiento de sus clientes para evitar que estos adquieran deudas mayores a las que pueden pagar de acuerdo con sus ingresos. Por tanto, cuando un cliente se acerca a una entidad financiera en busca de un producto financiero, es conveniente que las dos partes identifiquen claramente los siguientes aspectos.

• ¿Qué uso le dará el cliente al producto financiero que quiere adquirir? De acuerdo con la finalidad que persigue el cliente, el funcionario bancario lo

podrá orientar en relación con el producto financiero que más le convenga.

• ¿A cuánto ascienden los ingresos del cliente? Para determinar si tiene la capacidad de pago, el funcionario indagará sobre sus

ingresos y enfrentará ese dato con el tipo de producto financiero que requiera.

• ¿Cuáles bienes o garantías ofrece el cliente? De acuerdo con los bienes o garantías que ofrezca el cliente, el funcionario ban-

cario podrá establecer si cuenta con el respaldo para su deuda.

Además, las entidades financieras deben conocer de sus clientes lo siguiente:

• Vida crediticia, es decir, si ha tenido productos financieros, cuál ha sido su com-portamiento en relación con el pago de dichas obligaciones bancarias.

• Ingresos y gastos.• Características y estado en que se encuentran los bienes que puede ofrecer

como garantía de sus deudas y si están libres de hipotecas.• Características y estado en que se encuentran las instalaciones y maquinaria, en

caso de que el cliente sea una empresa .

Ingresa a la página www.

datacredito.com.co. Da clic

en la sección Personas y

lee la reglamentación que

garantiza la protección

de los derechos de los

ciudadanos y la calidad

de la información almace-

nada en la base de datos

(Habeas data y código de

conducta). ¿Consideras

que son suficientes para

proteger la información de

las personas?

Para reflexionar

325

1. Determina cuál es la diferencia entre financiación, producto financiero y agente

financiero.

2. Averigua el significado financiero de los términos comisión y garantía.

3. ¿Crees que un menor de edad puede adquirir un producto financiero? Justifica

tu respuesta.

4. ¿Crees que es importante no aparecer registrado en la base de Datacrédito a la

hora de adquirir un producto financiero? ¿Por qué?

5. Averigua con tus padres o familiares si en alguna ocasión han solicitado algún

producto financiero, cuál era el propósito para adquirir ese producto y cuáles

requisitos les exigieron.

Competencias financieras

Para conocer la información sobre sus posibles clientes, los bancos recurren a diversas fuentes. Algunas de ellas pueden ser las siguientes:

• Documentación que aporta el cliente. Por ejemplo, estados de sus cuentas de aho-rro y de crédito, escrituras de sus propiedades, declaración de renta y patrimonio, entre otros.

• Bases de datos. Por ejemplo, Datacrédito, la central de información que registra a las personas que tienen deudas pendientes con entidades financieras o comerciales.

Requisitos para obtener un crédito en el Banco AVANZA.¿Quiénes pueden obtener un crédito?• Personas dedicadas a: ventas por catálogo, confecciones, peluquería,

restaurantes, dueños de taxi, talleres, misceláneas, ventas en galerías, producción de arepas o alimentos, floristerías, almacenes, y en general cualquier negocio que le genere un ingreso.

¿Cómo pueden obtener un crédito? • Pueden acercarse a la oficina más cercana o comunicarse por teléfono

para que podamos tomar su solicitud de crédito, la cual no tiene costo o llamar a la línea gratuita nacional 080009000.

• Un analista de crédito debidamente identificado lo contactará para to-mar información de sus movimientos económicos.

• En 8 días hábiles recibirá una respuesta sobre su crédito.¿Cuáles documentos se requieren?• Fotocopia del documento de identidad (cédula de ciudadanía).• Fotocopias de los dos últimos recibos de los servicios públicos donde

funciona el negocio.• Dos referencias comerciales y una referencia personal.• Si el crédito es mayor a $ 3 000 000, fotocopia de la cédula de un

codeudor y certificado de ingresos del mismo.

Ejemplo 2

Raúl necesita ampliar su taller de fabricación de muebles y decidió buscar financiación en un banco. Antes de tomar la decisión, buscó información y encontró los siguientes requisitos que le exige una entidad financiera.

326

En el lenguaje cotidiano, utilizamos las palabras préstamo y crédito como si fueran sinónimas.

Sin embargo, en términos financieros, existen diferencias entre ellas, las cuales presentaremos a

continuación.

Préstamo

Definición

El préstamo es la operación finaciera mediante la cual una persona o en-

tidad, conocida como prestamista o acreedor, entrega una cantidad de

dinero a otra persona, denominada deudor, quien se compromete a de-

volverla con el pago de unos intereses y dentro de un límite de tiempo

pactados con anterioridad.

Características

El prestamista entrega la totalidad del dinero de la transacción financiera al

deudor.

El deudor retira la totalidad del dinero desde el inicio de la operación.

El deudor paga intereses por la cantidad total de dinero que recibe. Los inte-

reses que paga son más bajos que en otros productos financieros.

TiempoEl plazo para la devolución del dinero con sus intereses es mayor a un año,

es decir, la financiación es a mediano o largo plazo.

Cuota

Es la cantidad de dinero mensual que el deudor paga al prestamista para la

devolución del préstamo. Generalmente, una parte de la cuota correspon-

de a los intereses y otra al abono de la deuda adquirida. Las cuotas pueden

ser fijas o variables de acuerdo con el interés pactado.

Comisiones

asociadas

El cliente debe cancelar comisiones y otros gastos de trámite, que corres-

ponden a gastos por el estudio del préstamo, gastos de documentos, segu-

ros, entre otros.

Tabla 1.1

Los préstamos pueden ser personales, pignorativos o hipotecarios, dependiendo de si la garantía es personal o está asociada a un bien inmueble.

Préstamo, crédito y microcrédito

Ejemplo 3

Enrique quiere comprar un apartamento para su familia. Ya estuvo viendo varios pro-yectos inmobiliarios y se decidió por uno de ellos. Él no cuenta con todo el dinero que cuesta el apartamento y decide sacar un préstamo en una entidad bancaria. Después

de comparar los diferentes productos financieros que le ofrecían, optó por un prés-

tamo hipotecario, es decir, un préstamo cuyo dinero se invertirá en la compra de un bien inmueble y la garantía de pago de la deuda es el mismo inmueble.

Ingresa a la página

http://www.asobancaria.

com/. ¿Para qué sirve la

Asobancaria?

Para reflexionar

¿Cómo crees que se

regulan las tasas de crédito

propuestas por los bancos

que operan en Colombia?

Para reflexionar

327

Crédito

Definición

El crédito es la operación financiera mediante la cual una entidad finan-

ciera pone a disposición de una persona o empresa una cantidad de di-

nero durante un periodo de tiempo limitado. Durante ese periodo de

tiempo se podrá utilizar toda o parte de la cantidad fijada y, a cambio, se

pagarán intereses solamente por la cantidad de dinero utilizada.

Características

El prestamista no entrega el dinero en su totalidad al principio, sino que

entrega solamente una parte al deudor.

El deudor va utilizando cantidades parciales de acuerdo con sus necesi-

dades.

El deudor paga intereses por la parte del dinero que utiiza.

TiempoEl plazo de pago es generalmente un año con la opción de renovar o

ampliar.

CuotaEl crédito carece normalmente de cuotas. El compromiso consiste en de-

volver el capital una vez se haya finalizado el contrato.

Comisiones

asociadas

Las comisiones asociadas corresponden a los gastos por el estudio, aper-

tura, formalización, cancelación anticipada, entre otras.

Tabla 1.2

Ejemplo 4

Natalia compró con su tarjeta de crédito un computador que le costó $ 1 200 000. El pago lo hará en 12 cuotas iguales. Si el inte-rés que le cobra su entidad bancaria es del 28,8% anual, ¿cuánto dinero pagará en intereses por el crédito?

Solución

Como el crédito es a 12 meses y el interés es 28,8% anual, en-tonces, debemos calcular cuánto es el 28,8% de 1 200 000, es decir, 1 200 000 × 0,288 = 345 600.

Por tanto, Natalia pagará $ 345 600 en intereses por el crédito de $ 1 200 000.

Microcréditos

Definición

El microcrédito es un tipo de producto financiero que está dirigido a perso-

nas con dificultades para acceder a préstamos o créditos por la falta de res-

paldo económico. Es utilizado generalmente por personas independientes y

microempresas que quieren desarrollar una iniciativa empresarial. Son con-

siderados productos financieros sociales porque buscan apoyar a pequeños

empresarios.

TiempoEl plazo de pago es variable de acuerdo con el proyecto al que se destinan:

pueden ser de corto o mediano plazo.

Tipo

de interés

Es menor al establecido por el mercado de valores e, incluso, se llega hasta

el no pago de intereses.

Comisiones

asociadasNo conllevan gastos de comisiones.

Tabla 1.3

Una hipoteca es un dere-

cho que recae sobre un

bien inmueble que, aun-

que permanezca en poder

del deudor, da derecho al

acreedor a tomar el bien

hipotecado, en caso de

que el deudor incumpla la

obligación por la cual sirvió

de garantía dicho bien.

¿Se puede afirmar que una

hipoteca es una garantia

ante una obligación o

deuda? ¿Por qué?

Para reflexionar

Las entidades financieras

solicitan la figura de un

codeudor para algunos

créditos y préstamos. Esta

persona deberá responder

por los pagos ante la enti-

dad financiera en el caso

de que el titular del crédito

o préstamo no pueda. Si

una persona conocida le

solicita a tus padres que

sean sus codeudores, ¿qué

les recomendarías a tus

padres?

Para reflexionar

328


1. Una persona con un ingreso mensual de $ 2 000 000 solicita a una entidad finan-

ciera un préstamo para libre inversión de $ 10 000 000 para pagarlo en 36 meses. La

entidad financiera, después de hacer el estudio del préstamo, le envía la siguiente

información: Cuota mensual: $ 399 929, tasa de interés fija: 2,12% y no incluye los

costos de seguro de vida. Responde las siguientes preguntas teniendo en cuenta

solamente el valor a cancelar, sin incluir los costos de seguro de vida.

a. ¿Cuánto dinero pagará en total el cliente?

b. Del dinero que pagará, ¿qué cantidad corresponde a los intereses?

c. ¿Qué porcentaje representa esa cantidad?

2. La familia Rojas solicita en una entidad financiera un préstamo hipotecario para

una vivienda cuyo valor comercial es $ 210 000 000. La entidad financiera le envía

la siguiente información:

Valor del inmueble $ 210 000 000

Valor del préstamo $ 147 000 000

Plazo 5 años

Ingresos mensuales requeridos $ 12 363 474

Valor cuota mensual $ 3 709 042

Tasa de crédito fija para vivienda 10,70%

Tabla 1.4



Plazo 10 años




Tabla 1.5



Plazo 15 años




Tabla 1.6



Plazo 20 años




Tabla 1.7

a. ¿Cuánto dinero paga en total la familia Rojas por el préstamo de $ 147 000 000 en cada caso?

b. ¿Qué porcentaje del dinero que paga corresponde a los intereses?

c. ¿Qué podría hacer la familia Rojas para disminuir el valor de la cuota mensual?

329

En la actualidad, es frecuente el uso de otros productos financieros diferentes al crédito y préstamo para la compra y alquiler de bienes o equipos necesarios para el funciona-miento de una empresa. Estos son el leasing y el renting.

Leasing

Definición

Es un contrato de arrendamiento financiero de un bien que ha adquirido la

entidad financiera con la opción de compra por parte del cliente cuando se

dé por terminado el plazo acordado en el contrato. La entidad financiera es

quien adquiere el bien que solicita el cliente y le cede su uso a este durante

un determinado periodo de tiempo. En contraprestación, el cliente paga una

cuota periódica a la entidad a modo de alquiler.

Clases

Existen dos tipos de leasing: financiero y operativo. En el primero, el dueño

del bien es la entidad financiera y, en el segundo, el propietario es el fabri-

cante del bien.

Tiempo

La duración del contrato está ligado generalmente a la vida útil del bien.

Al finalizar el contrato, el cliente lo puede devolver, continuar su uso con una

cuota menor o comprarlo pagando la diferencia entre lo que ha pagado y el

valor del bien.

Ventajas

Este producto financiero le permite a una persona o empresa adquirir un

bien que puede ser un equipo o un inmueble sin necesidad de pagarlo des-

de el comienzo.

Permite hacer el cambio del equipo cuando este, por cuestiones del pro-

greso, ya no cumpla con las exigencias de la persona que lo necesita y no

requiere la cancelación del contrato. Exige menos garantías y su trámite es

más rápido que el de un préstamo o un crédito.

Tabla 1.8

Leasing y renting

Una empresa que adquiere

un leasing para la compra

de computadores se ve

beneficiada porque no

necesita desembolsar en el

momento de la adquisición

de los computadores la to-

talidad de su valor. ¿Por qué

es cierta esta afirmación?

Para reflexionar

Ejemplo 5

La familia González desea adquirir un apartamento y decidió comprarlo por medio de un leasing. La ventaja de este medio consiste en que pueden vivir en arriendo en el apartamento que eligieron durante el período del contrato y, cuando este finalice, tendrán la opción de comprarlo. En la entidad financiera les informaron que el plazo mínimo del convenio es de 10 años.

330

El valor del arriendo que pagarán durante ese tiempo lo pueden negociar con la enti-dad financiera. Además, tienen la posibilidad de hacer abonos extraordinarios cuando lo deseen.

Algunas condiciones para aplicar a un leasing de vivienda son las siguientes:

• Aplica para vivienda nueva o usada.

• El cliente debe pagar una cuota inicial del 30% del valor de la vivienda.

• El cliente cuenta con un plazo entre 10 y 15 años para pagar el resto del dinero.

• El cliente debe pagar intereses por el valor del dinero financiado durante el tiempo que dure el leasing.

• El cliente puede deshacer el negocio, pero no se le devolverá el dinero aportado.

• El cliente puede ceder el negocio a otra persona.

Renting

Definición

Es un contrato de alquiler de un bien como maquinarias, vehículos,

computadores. La propiedad del bien es de la entidad financiera, de la

compañía fabricante o de quien lo haya adquirido y lo arriende para que

otro lo utilice durante un tiempo determinado a cambio de un pago de

arriendo periódico. En este tipo de contrato, no se tiene la posibilidad de

adquirir el bien.

Duración

del contrato

El tiempo de duración del contrato oscila entre 2 y 5 años, es decir, la

financiación es a mediano plazo.

Comisiones

asociadas

El cliente no tiene que correr con los gastos asociados al funcionamiento

del bien, su mantenimiento y sus seguros.

Recomendaciones

Este tipo de producto financiero es más adecuado para adquirir equipos

de vida útil corta. En esta categoría, entran los equipos informáticos cuya

obsolescencia es cada día mayor.

Requisitos

El proceso de este contrato es muy sencillo: se solicita una cotización a

la empresa que ofrece el servicio de renting y se formaliza el contrato.

Generalmente, no exige garantías.

Tabla 1.9

¿Consideras que es cierta la

siguiente afirmación?

Un renting permite al que

lo adquiere, disfrutar del

uso de un equipo sin tener

que realizar una elevada

inversión. Además, se ase-

gura su correcto estado y

funcionamiento, permitien-

do una rápida adaptación a

la evolución tecnológica de

los equipos.

Para reflexionar

Ejemplo 6

Ernesto tiene una empresa agrícola y necesita 5 tractores durante 3 meses para alistar varios terrenos. Él averiguó y encontró que una entidad financiera le podía alquilar los vehículos. Si Ernesto compra los tractores que nece-sita, corre el riesgo de perder su inversión por el devalúo comercial y tecnológico de los vehículos. La empresa con la que hará la operación financiera se encargará de asumir el mantenimiento y administración de los trac-tores. Ernesto pagará un valor mensual por el alquiler, el cual se establecerá de acuerdo con el uso en kilómetros/horas en promedio que emplee cada vehículo y el lugar donde esté ubicada su finca.

331


1. Busca en internet empresas en Colombia dedicadas al leasing y averigua cuáles

bienes ofrecen y las condiciones que exigen para hacer un convenio.

2. Busca en internet empresas en Colombia dedicadas al renting y averigua cuáles

bienes ofrecen y las condiciones que exigen para hacer un convenio.

3. Determina en cada situación qué recomendarías: leasing o renting. Justifica tus res-

puestas.

a. Una empresa de confecciones requiere instalaciones para ubicar su planta de produccción.

b. Una agencia de publicidad necesita cámaras de fotografía de largo alcance para una campaña publicitaria.

c. Una familia necesita una automóvil para su transporte diario.

d. Una empresa de construcción requiere dos volquetas para transportar escom-bros.

e. Una empresa de telecomunicaciones necesita computadores de última tecno-logía para un nuevo proyecto.

4. Una entidad financiera ofrece las siguientes opciones de leasing para una vivienda:


Cuota inicial $ 70 000 000

Plazo 5 años



Tabla 1.10



Plazo 15 años



Tabla 1.11

a. ¿Cuánto dinero en intereses paga un cliente por el leasing en cada caso?

b. ¿Cuánto dinero en total paga un cliente por el inmueble en cada caso?

5. Una entidad financiera ofrece para una vivienda de $ 210 000 000 las siguientes

condiciones para un crédito hipotecario.



Plazo 15 años


Valor cuota mensual $1 972 058

Tabla 1.12

Si comparas las anteriores condiciones con las del leasing, ¿cuál le conviene más a un cliente? Justifica tu respuesta.

332332

El mundo financiero está interesado cada día en ofrecer mayores productos y servicios que les faciliten a sus clientes la administración de sus empresas. Con esta intención, se han desarrollado los productos financieros factoring y confirming, que aún en Colombia no son muy conocidos, pero se espera que a medida que pase el tiempo, más empresas los utilicen.

Factoring

Definición

Es la operación financiera por medio de la cual una empresa comercial cede

su cartera de cobros por las ventas a crédito a una empresa o entidad finan-

ciera, denominada compañía de facturación. Esta compañía se encarga de

realizar los cobros y asume los riesgos por los clientes que no paguen, ya

que es la que responde a la empresa que la contrató por todos los pagos.

Cuándo

contratarlo

Esta operación financiera es conveniente cuando el volumen de las ventas

a plazo es elevado e implica un aumento en los costos de administración

y gestión de las cuentas por cobrar, asimismo, cuando se requiere liquidez

inmediata para otras inversiones.

Comisiones

asociadas

Los gastos y comisiones varían de acuerdo con la entidad financiera con la

que se contrata el factoring.

Tiempo de

duración

La duración es indefinida con la posibilidad de que cualquiera de las partes

solicite su finalización.

Ventajas

La empresa que contrata este servicio recibe por adelantado entre el 80% y

el 95% del valor de las facturas que cedió al factor.

La empresa que contrata este servicio, no invierte tiempo en la administra-

ción de la tarea de cobranza.

Tabla 1.13

Factoring y confirming

Ingresa a la página www.

superfinanciera.gov.co.

¿Cuál es la función princi-

pal de esta entidad?

Para reflexionar

Ejemplo 7

Una entidad financiera que ofrece el servicio de factoring acepta cobrar las facturas de una empresa que fabrica productos de papelería. Las facturas de la empresa están a 60 y 90 días, sin embargo, la entidad financiera acepta hasta un plazo de 180 días.

Requisitos que exige la entidad financiera para hacer el factoring

• Se acuerda un porcentaje de desembolso sobre el valor de las facturas, el cual se divide en dos componentes: descuento y provisión.

• El descuento aplicado se establece de acuerdo con las tasas de interés del merca-do, más un margen comercial entre el 5% y el 15%.

• El pago de la factura se efectúa en el momento en que la empresa endosa las fac-turas a la entidad financiera.

• Las provisiones están entre el 15% y el 20%. Este dinero se le reintegra a la empresa que ha contratado el factoring, una vez el cliente ha cancelado la factura.

• El contrato de factoring se firma a partir de facturas de $ 100 000.

333


Confirming

Definición

Es la operación financiera en la cual una empresa denominada confirmado-

ra se hace cargo del pago de las facturas que la empresa cliente tiene o está

debiendo a sus proveedores. Esta operación tiene como condición que el

vencimiento del pago de las facturas sea a largo plazo y la empresa cliente

tenga solvencia.

Comisiones

asociadas

La empresa confirmadora cobra a la empresa cliente una comisión o un

valor por pago adelantado de las facturas que se les debe a los proveedores.

Características

Es un servicio de gestión de pagos y no de deudas que pueda tener la em-

presa.

Permite mejorar los procesos administrativos de pagos de la empresa, pues

los delega a la entidad financiera.

A los proveedores de la empresa, les da la posibilidad de cobrar las facturas,

pues se anticipa a la fecha de vencimiento.

Tabla 1.14

Fianza y pignoración

La fianza y la pignoración son garantías para respaldar la deuda, que aporta quien soli-cita la financiación de un dinero.

La pignoración consiste en entregar a disposición de la entidad financiera un bien o un derecho de una empresa para garantizar el pago de una deuda contraída con la entidad

financiera. La fianza consiste en depositar como respaldo de una deuda una cantidad de dinero.

La pignoración del bien o la entrega de la fianza tiene efecto durante el periodo de tiempo que dure la operación financiera. En el momento en que el deudor cancele la finanza, el bien pignorado o el dinero depositado de la fianza vuelve a su poder. Los costos de estas operaciones financieras son menores que los de una hipoteca.

1. ¿Cuál es la diferencia entre factoring y confirming?

2. Averigua en internet cuáles empresas en Colombia ofrecen el servicio de factoring,

cuáles condiciones exigen a sus clientes y cuál es el beneficio que ellos obtienen.

3. Averigua en internet cuáles empresas en Colombia ofrecen el servicio de confir-

ming, cuáles condiciones exigen a sus clientes y cuál es el beneficio que ellos ob-

tienen.

4. La pignoración es muy frecuente en la compra de vehículos. Averigua en qué con-

siste y cuáles son las ventajas para el acreedor.

5. Averigua en qué consisten las finanzas de arriendo y qué entidades ofrecen el ser-

vicio.

¿Si el volumen de ventas

a plazo de una empresa

es elevado y conlleva un

aumento en los costes ad-

ministrativos y de gestión,

sería más conveniente que

la empresa adquiriera un

factoring o un confirming?

¿Cuál es el producto finan-

ciero más adecuado para

una empresa con elevado

número de proveedores y

gran volumen de compras?

Para reflexionar

334

Otros productos financieros relacionados con el cobro y pago de facturas son el antici-po de factura y el descuento comercial.

Anticipo de factura

Definición

Es una actividad financiera que se realiza entre una empresa y una entidad

bancaria. La empresa presenta a la entidad bancaria una factura emitida a

un cliente que tenga fecha de vencimiento futura y el banco le paga dicha

factura a la empresa. En la fecha de vencimiento de la factura, el proveedor

le paga a la empresa y la empresa, a su vez, le devuelve al banco el dinero

que le adelantó.

Garantías

La empresa no debe presentar ningún tipo de garantía. Esta transacción

se fundamenta en la confianza entre el banco y la empresa que solicita el

servicio.

El banco analiza la capacidad de pago del cliente de la empresa que debe

la factura para determinar si accede a esta transacción.

Comisiones

asociadas

La empresa debe pagar al banco una comisión que corresponde a un por-

centaje de la factura que se anticipa.

TiempoLa empresa debe devolver el dinero al banco en la fecha de vencimiento

de la factura.

VentajasLa negociación de este producto financiero es muy rápida, porque general-

mente se realiza con el banco del cual se es cliente.

Tabla 1.15

Antes de conocer otros productos financieros, es importante que conozcamos algunos

documentos que sirven como respaldo de una deuda: la letra de cambio y el pagaré.

Letra de cambio

Es un documento de crédito formal por medio del cual la persona que lo firma (deudor

o librado) se compromete a pagar a otra persona o entidad (acreedor o librador) una suma de dinero, en efectivo o en especie, en un tiempo establecido. Este documento está regulado por el Código de comercio colombiano en los artículos 691 a 708.

Los elementos que contiene una letra de cambio son los siguientes:

1. Información del librado o deudor

2. Fecha en la que se diligencia la letra y en la que se pagará la deuda

3. Información del librador o acreedor

4. Ciudad en la que se firma la letra de cambio

5. Monto del dinero prestado

6. Interés pactado por mora en el pago (ver figura 1.2)

Anticipo de factura y descuento comercial

¿En qué casos será conve-

niente para una empresa

adquirir un anticipo de

factura?

Para reflexionar


www.encolombia.com/

derecho/CodigoComercio-

Colombiano/CodComer-

cioContenido.htm.

¿Qué asuntos comerciales

se rigen por el código

comercial colombiano?

Para reflexionar

335

C.C o NIT DIRECCIÓN TEL.

Pesos M/L

Firma

Señor (es)______________________________________________________________

_________________________________el día_____del mes_______________de _____

SE SERVIRÁ(N) UD.(S) PAGAR SOLIDARIAMENTE EN________________________________por esta única

de cambio sin protesto excusado el aviso de rechazo a la presentación para el pago, a la orden de

___________________________________________________________la cantidad de:

más intereses durante el plazo de___________________% de mora de____________% mensuales

Las letras de cambio las puede endosar una persona a otra, es decir, puede cambiarse el acreedor. Esto se realiza escribiendo el nombre del nuevo acreedor al respaldo de la letra de cambio y consignando las firmas de la persona que cede sus derechos y de la persona que recibe el derecho.

Figura 1.2

Pagaré

Es un documento que contiene la promesa de pago que realiza una persona (otorgan-

te o suscriptor) quien se compromete con otra persona (beneficiario o portador) a pagarle en una fecha determinada cierta cantidad de dinero. Este documento también está regulado por el Código de comercio colombiano.

El pagaré debe contener lo siguiente:

• El nombre de la persona a quien debe hacerse el pago

• El nombre de la persona que debe hacer el pago

• La promesa incondicional de pagar determinada suma de dinero

• La fecha de vencimiento

• Lugar y fecha en que se firma el documento

• Firma del otorgante

Hay diferentes formatos de pagaré. En la figura 1.4 se presentan dos.

Figura 1.3

Un pagaré puede no llenar-

se en su totalidad pero se

recomienda que la fecha

en la que será pagado

nunca falte. ¿Por qué crees

que suceda esto?

Para reflexionar

336


336

VencimientoInterés $

Capital $

Total $

Nombre y firma del suscriptor

Por este PAGARÉ, yo ______________________________________

prometo incondicionalmente pagar a la orden de_______________

_______la cantidad de $____________ el día_____ de ____ de___.

La suma que ampara su título causará intereses a razón de_______%

y a razón de_____% anual en caso de mora.

Nombre:Dirección:Población: Firma(s)Tel:

Valor recibido a mi (nuestra) entera satisfacción. Este pagaré forma parte de una serie

numerada del 1 al ____ y todos están sujetos a la condición de que al no pagarse cualquiera

de ello a su vencimiento, serán exigibles todos los que sigan en número, además de los ya

vencidos desde la fecha de vencimiento de este documento hasta el día de sus liquidación,

causará intereses moratorios al tipo de ______% mensual, pagadero en esta ciudad con el

principal.

Debo(mos) y pagaré(mos) incondicionalmente por este Pagaré a la orden de_____________

______________________________________en _____________ el___________________

La cantidad de

No. Por $

1. ¿Cuál es la diferencia entre un anticipo de factura y un descuento comercial?

2. Las PYME son Pequeñas Y Medianas Empresas con un número pequeño de traba-

jadores y con una facturación moderada. Averigua por qué para las PYME el des-

cuento comercial es una de las formas más habituales de financiación.

La diferencia entre una letra de cambio y un pagaré reside en lo siguiente: en la letra de cambio, se da una orden de pagar una determinada suma de dinero, mientras que en el pagaré, se hace una promesa incondicional.

Teniendo claro lo que significa una letra de cambio y un pagaré, podemos aprender sobre otros productos financieros.

Descuento comercial

Definición

Es la operación comercial por medio de la cual las entidades financieras

anticipan a sus clientes el pago de letras de cambio, pagarés, contratos o

facturas conformadas, que han recibido de terceros.

Comisiones

asociadas

La entidad financiera descuenta un valor al cliente por anticiparle el pago

del documento.

Tiempo

El tiempo establecido es el vencimiento del documento. Si al vencerse el

documento el deudor no paga la deuda, la entidad financiera reclamará

a la empresa emisora del derecho de cobro que ha recibido el descuento.

Ventajas Es una manera que tienen las empresas de tener liquidez rápidamente.

Tabla 1.16

Ejemplo 8

José tenía una factura por un valor de $ 3 000 000 que tendría un descuento del 10% durante un plazo de 1 año. ¿Cuál es el valor del descuento?

Solución

La fórmula para calcular el descuento comercial está dada por la expresión D = C × d × t, donde D representa el valor en intereses, C es el capital incial, d la tasa de descuento aplicada y t el tiempo en el cual se aplica el descuento.

D = 3 000 000 × 0,1 × 1 = 300 000

Lo que debe pagar por la factura con el descuento es 3 000 000 – 300 000 = 2 700 000.

Figura 1.4

Avanza matemáticas 8 / Andrés Rincón y otros ; ilustrador Mauricio Restrepo López. -- Bogotá : Carvajal Soluciones Educativas, 2014.

336 páginas : ilustraciones ; 28 cm. -- (Avanza matemáticas) ISBN 978-958-776-290-7

1. Matemáticas - Enseñanza secundaria 2. Matemáticas - Enseñanza secundaria - Libros de texto I. Rincón, Andrés II. Restrepo López, Mauricio, ilustrador III. Serie 510.7 cd 21 ed. A1467352

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

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Avanza Matematicas Docente 8