AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa · 4 Kultainen leikkaus* 25 5 Peilaus suoran suhteen 32 6 Peilaus pisteen suhteen 38 7 Kierto ja siirto tasossa 42 8 Neliöjuuri 49

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk.

Osio 3: Tasogeometriaa

Marika Toivola Tiina Härkönen

(Muuntanut ja muokannut∗Jan-Erik Sandelin)

Alkuperäinen sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0†-lisenssillä.

Muunnettu versio on lisensoitu CC-BY-SA 4.0 lisenssillä.‡

∗Muunnos LATEX-kielelle, jolla taitettu A5-sivukokoon. Muutoksia ja lisäyksiä teo-

riaosuuksiin. Englanninkielisiä tehtäviä suomenkielisiksi. Perustehtävälisäyksiä.†https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.fi‡SA-lisäys:”Jos muutat, jaa tekemäsi muutokset lähdekoodeineen avoimesti.”

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fi

Sisällysluettelo1 Yhtenevät ja yhdenmuotoiset kuviot 1

2 Mittakaava 11

3 Kolmioiden yhdenmuotoisuus 18

4 Kultainen leikkaus* 25

5 Peilaus suoran suhteen 32

6 Peilaus pisteen suhteen 38

7 Kierto ja siirto tasossa 42

8 Neliöjuuri 49

9 Neliöjuurilaskuja 55

10 Pythagoraan lause 61

11 Pythagoraan lauseen sovelluksia 67

12 Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala 74

13 Ympyrän sektorin kaaren pituus ja pinta-ala 83

14 Ympyrän tangenttikulma 91

15 Ympyrän kehä- ja keskuskulma 97

16 Kertaustehtäviä 103Kirjan tehtävien vastaukset löytyvät netistä. Kun lasket laskuja kotona,

on tärkeää, että varmistat laskeneesi oikein. Muista, että tehtävien suoritus-ta arvioitaessa pelkkä vastaus ei riitä suorituksessa.

Yhtenevät ja yhdenmuotoiset kuviot 1

1 Yhtenevät ja yhdenmuotoiset kuviot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhteneviä, mikä voi-daan merkitä seuraavasti: ABC ' DEF . Symbooli ˜ tar-koittaa samaa muotoa ja = samaa kokoa. Päällekkäin ase-tettuna yhtenevät kuviot siis peittävät täydellisesti toisen-sa.

Sivut BC ja EF ovat toistensa vastinsivuja. Kulmat α jaγ ovat puolestaan toistensa vastinkulmia. Yleisesti yhden-muotoisten kuvioiden vastaavia osia nimitetään toistensavastinosiksi. Mitä muita vastinosia löydät?

Yhtenevien kuvioiden kaikki vastinosat (sivut ja kul-mat) ovat yhtä suuria. Yhtenevyyden merkki on '.

Huomaa, että matemaattisessa yhtenevyydessä on huo-mioitava se, että kappaleet voivat olla toistensa peilikuvia- vastinosat ovat silti yhtä suuret!

Keskenään yhdenmuotoisien kuvioiden voidaan ajatel-la syntyvän siten, että kerrotaan tai jaetaan kaikki vastin-sivut jollakin samalla luvulla. Vastinkulmat pysyvät yhtäsuurina. Yhdenmuotoisuuden merkki on ˜.

Yhdenmuotoisten kuvioiden

• geometrinen muoto on tarkasti sama

• vastinkulmat ovat yhtä suuret

• vastinsivut ovat verrannollisia.

Huomaa, että yhtenevät kuviot ovat aina myös yhden-muotoisia.


Yhdenmuotoisuuden löytyminen helpottaa monien geo-metristen tehtävien ratkaisemista. Yhdenmuotoisten kuvioi-den vastinsivujen pituuksien suhde säilyy samana, jolloinvoidaan muodostaa verranto tuntemattoman sivun pituu-den ratkaisemiseksi.Esimerkki 1

Santeri on piirtänyt majan rakennuspiirustukset. Majan lat-tia on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat piirustuk-sessa 2,5 cm ja 1,5 cm. Luonnollisessa koossa lattian pitem-pi sivu on 3,6 m. Mikä on lyhemmän sivun pituus?RatkaisuEnnen kuin verrantoa voidaan käyttää, on mitat esitettäväsamoissa yksiköissä.2,5 cm = 0,025 m ja 1,5 cm = 0,015 mJotta luonnollisessa koossa oleva lattia olisi rakennuspiirus-tuksen mukainen, on vastinsivujen pituuksien suhteiden ol-tava samat.

Vastaus: Lattian lyhyemmän sivun pituus on 2,2 m.

Muista, että verranto voidaan kirjoittaa myös siten, et-tä lasketaan kuvioiden pituuksien suhteet ja verrataan nii-tä toisen kuvion vastaavien pituuksien suhteeseen. Samaan


tulokseen siis päädytään kirjoittamalla edellinen verrantomuodossa 0,025

0,015 = 3,6x .


Tehtäviä

1. Onko väite totta? Kun kaksi yhtenevää kuviota asete-taan päällekkäin, ovat päällekkäin sattuvat osat ovattoistensa vastinosia.

2. Jäljennä kuviot vihkoosi ja jaa ne kahteen yhteneväänosaan.

3. Nelikulmiot ABCD ja EFGH ovat yhteneviä.

Mikä on viereisestä nelikulmiosta

kulman C vastinkulmaa) kulman G vastinkulmab)

sivun HE vastinsivuc) sivun BC vastinsivud)

lävistäjän AC vastinosa?e)

4. Suurenna kuva vihkoosi siten, että kaikki pituudet tu-levat kaksinkertaisiksi. Vertaa sitten alkuperäisen ku-van ja piirtämäsi kuvan pinta-aloja. Kuinka monin-kertaiseksi pinta-ala kasvaa suurennoksessa?


5. Miksi yhdenmuotoisuuden löytyminen helpottaa mo-nien geometristen tehtävien ratkaisemista?

6. Kuvan suorakulmiot ovat yhdenmuotoisia. Laske si-vun x pituus.

7. Jos kahden suorakulmion kaikki vastinkulmat ovatyhtä suuria, ovatko kuviot välttämättä yhdenmuotoi-sia?

Soveltavat tehtävät

8. Korjaa väite oikeaksi. ”Jos suorakulmioiden vastinkul-mat ovat yhtä suuria, ovat kuviot yhdenmuotoisia.”

9. Huonekaluvalmistaja tekee yhdenmuotoisia pöytiä nel-jänä eri kokona. Laske puuttuvat pituudet x, y ja z.

10. Mitkä geometriset kuviot ovat aina keskenään yhden-muotoisia?

11. Piirrä ympyrä ja suorakulmio, ja jaa ne neljään yhte-nevään osaan.


12. Ovatko kaksi kolmiota yhdenmuotoiset, jos

kahden vastinsivun suhde on sama ja jos näidensivujen välinen kulma on sama?

a)

kaikkien kolmen vastinsivun suhde on sama?b)

kaksi vastinkulmaa ovat yhtä suuret?c)

13. Muodot ovat yhtenevät. Etsi kirjaimia vastaavat pi-tuudet.

14. Mikä on edellisen tehtävän yhtenevien kuvioiden vas-tinsivujen suhde?

15. Piirrä kolmio, jonka kulmien suuruudet ovat 90°, 30°ja 60°. Pystytkö piirtämään toisen kolmion, jossa onsaman suuruiset kulmat, mutta joka ei ole yhteneväensimmäisen kolmion kanssa?

16. Tee tarvittavat mittaukset ja rajaa kahden suoranavulla suorakulmiosta pala, joka on yhdenmuotoinenalkuperäisen suorakulmion kanssa.


17. Ovatko kuviot aina yhtenevät, jos niillä on sama pinta-ala ja ne ovat molemmat

kolmioitaa) ympyröitäb)

neliöitäc) suorakulmioita?d)

18. Jaa monikulmio neljään yhtenevään osaan.

Vaativat tehtävät

19. Kuviot ovat yhdenmuotoiset. Isomman kuvion kor-keus on h ja pienemmän kuvion leveys u. Isommankuvion pinta-ala merkitään A:lla. Kirjaimet a ja bovat jotain lukuarvoja.

Mitkä seuraavista yhtälöistä voivat olla totta ja mitkäovat ehdottomasti epätosia?

u = aha) u = abhb) u = bh+ ac)

A = bhd) A = bh2e) A = ah3f)


20. Suorakulmion muotoisen peltilevyn mitat ovat 0,700m ja 0,850 m. Levystä leikataan keskenään yhteneviätasakylkisiä kolmioita, joiden kanta ja korkeus ovat30,0 mm. leikkaaminen aloitetaan kärjestä A, jostaleikataan kolmiot 1, 2, 3, 4 jne. kuvion osoittamallatavalla. Montako kolmiota tällä tavalla voidaan lei-kata, kun ainoastaan edellä mainitun kaltaiset kol-miot kelpaavat? (pääsykoetehtävä teknikkokoulutuk-seen, kevät 1994)


Kartoitusmenetelmät

Kartta on mittakaavan mukaan pienennetty ja yleistettykuva jostakin alueesta. Kun kuvataan kuperaa maapallonpintaa tasossa, syntyy vääristymiä, jotka ovat sitä suurem-pia mitä laajempia alueita kartalla kuvataan. Jotta maa-pallon pintaa voitaisiin kuvata mahdollisimman pienin vir-hein, on kehitetty erilaisia karttaprojektioita. Eri kartta-projektioissa jokin perusominaisuus on oikein, mutta muis-sa ominaisuuksissa esiintyy vääristymiä.

Suomea kuvaavissa kartoissa käytetään Gauss-Krügerinprojektiota, joka on oikeakulmainen karttaprojektio. Siinämuodot ja kulmat vastaavat todellisuutta. Oikeakulmaises-sa kartassa valtioiden muodot ovat siis tunnistettavia, mut-ta niiden kokojen vertaaminen on mahdotonta. Myös meri-kartoissa käytetään useimmiten oikeakulmaista projektiota.Jos halutaan vertailla alueiden pinta-aloja, on käytettäväoikeapintaista karttaprojektiota. Siinä esimerkiksi valtioi-den pinta-alojen suhteet ovat samat kuin todellisuudessa,mutta monet niistä ovat muodoltaan vääristyneitä. Etäi-syyttä kuvaavissa kartoissa käytetään oikeapituista koordi-naatistoa, jossa mittakaava säilyy muuttumattomana kokokartan alueella.

Projektion lisäksi kartassa on tärkeä myös koordinaatis-to. Suomalaisissa kartoissa käytetty kartastokoordinaatti-järjestelmä (KKJ) perustuu maapallon pinnanmuodon jäl-jittelemiseen. KKJ-koordinaatit voidaan esittää joko maan-tieteellisinä koordinaatteina eli leveys- ja pituusasteina taisuorakulmaisina xy-koordinaatteina. Lisäksi käytössä on ko-ko maan peittävä yhtenäiskoordinaatisto (YKJ).

GPS-mittausten yleistymisestä johtuen on alettu kiin-nittää entistä enemmän huomiota koordinaattijärjestelmiinja niiden tarkkuuteen. Suomessa ollaankin siirtymässä kan-sainvälisiin koordinaattijärjestelmiin pohjautuvan EUREF-FIN –koordinaatiston käyttöön, joka on nykyistä tarkempi


ja sopii paremmin käytettäväksi myös satelliittipaikannuk-seen.

Maailmanlaajuinen satelliittipaikannus GPS (Global Po-sitioning System) on Yhdysvaltojen puolustusministeriönylläpitämä järjestelmä. Sen kehittäminen aloitettiin vuon-na 1973 sotilaallisia tarkoituksia varten. Se perustuu 24 pai-kannussatelliittiin, joilta saaduilla tiedoilla pystytään mää-rittämään GPS-paikantimen sijainti melko tarkasti. GPS-paikannin laskee saadun datan ja radioaaltojen etenemisno-peuden perusteella, kuinka kaukana se on satelliitista ja kuntiedetään etäisyys kolmesta satelliitista, voidaan sijainti las-kea. Neljättä satelliittia käytetään varmennukseen. Järjes-telmä tarvitsee myös maa-asemia ylläpitoa ja valvontaa var-ten.

GPS-satelliitit käyttävät kahta eri lähetystaajuutta, jois-ta toinen on salattu ja käytössä vain Yhdysvaltojen puolus-tusvoimilla. Siviilikäyttöön tarkoitettu GPS eli SPS (Stan-dard Positioning System) on epätarkempi kuin vastaavaUSA:n puolustusvoimien GPS eli PPS (Precise PositioningSystem). Aiemmin Yhdysvallat lähetti lisäksi tahallista häi-riösignaalia SA (Selective Availability) siviilitaajuudella, mut-ta tämä häirintä lopetettiin 2.5.2000, minkä johdosta GPS:ntarkkuus lisääntyi huomattavasti.

Mittakaava 11

2 Mittakaava

Kartta on pienennetty kuva alueesta, siinä muodot ovat sa-mat kuin todellisuudessa, mutta koko on erilainen. Jottakartalta pystyttäisiin määrittämään välimatkan todellinenpituus, on siitä löydyttävä tiedot käytetystä mittakaavasta.Jos taas halutaan tutkia tarkemmin esimerkiksi pieneliöi-den yksityiskohtia, kuviosta tehdään suurennos. Pienentä-minen ja suurentaminen ovat yhdenmuotoisuuskuvauksia,niissä kuvion muoto säilyy, mutta koko muuttuu.

Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinsivujen suhdettakutsutaan yhdenmuotoisuussuhteeksi eli mittakaa-vaksi.

Mittakaava ilmaistaan tavallisesti muodossa, jossa edel-linen tai jälkimmäinen jäsen on yksi. Pienennöksissä suh-detta ilmaisevan kaksoispisteen edessä on ykkönen. Suuren-noksissa puolestaan ykkönen on mittakaavan merkinnässäkaksoispisteen jäljessä.

Koska mittakaava on suhdeluku, jolla ei ole yksikköä,voidaan tarkasteluyksiköt valita vapaasti. Suhteeseen onkuitenkin sijoitettava luvut samoissa yksiköissä. Esimerkik-si kartan mittakaava 1 : 1000 voidaan tulkita siten, että 1m kartalla vastaa 1000 m luonnossa tai 1 mm kartalla vas-taa 1000 mm luonnossa. Senttimetrit ovat kuitenkin yleensäkartalla käytännöllisimpiä.Esimerkki 1Helsingin opaskartta on tehty mittakaavassa 1 : 20 000.Matka eduskuntatalolta presidentin linnaan Mannerheimin-tietä ja Esplanadia pitkin on kartalta mitattuna 8 cm. Kuin-ka pitkä matka on todellisuudessa?RatkaisuSuhde 1 : 20 000 tarkoittaa, että yhden senttimetrin matkakartalla vastaa luonnossa 20 000 cm:n matkaa. 8 cm:n mat-ka kartalla on tällöin luonnossa 8 cm·20 000 = 160 000 cm =

12 Mittakaava

1,6 km.Vastaus: Matka on 1,6 km pitkä.

Esimerkki 2

Lasketaan muurahaisen todellinen koko, kun kuva on mit-takaavassa 6 : 1.Muurahaisen keskiosan pituus kuvassa on 20 mm. Todelli-nen pituus saadaan verrannon avulla.

Vastaus: Muurahaisen pituus luonnossa on 3,3 mm.

Mittakaava 13

Esimerkki 3

Kolmiot ABC ja A´B´C´ ovat yhdenmuotoiset. Mikä onkäytetty mittakaava ja kolmion A’B’C korkeus? RatkaisuMittakaava on vastinsivujen suhde AB : A’B’ = 9,0 cm :3,0 cm = 3 : 1Koska vastinsivujen suhde säilyy samana, voidaan muodos-taa verranto korkeuden ratkaisemiseksi.

Vastaus: Mittakaava on 3 : 1 ja pienemmän kolmion korkeuson 2,0 cm.

14 Mittakaava

Tehtäviä

21. Täydennä mittakaavan merkintätapaa käsittelevät lauseet.

Pienennöksissä suhdetta ilmaisevan kaksoispis-teen on ykkönen.

a)

Suurennoksissa suhdetta ilmaisevan kaksoispis-teen on ykkönen.

b)

22. Kumpi mittakaavoista on suurempi?

1 : 100 000 vai 1 : 10 000a)

1 : 50 vai 1 : 500b) 150 : 1 vai 1 500 : 1c)

10 : 1 vai 1 : 1d)

23. Miten mittakaavalla merkitään, että kuva on

suurennettu 25-kertaiseksia)

pienennetty tuhannesosaan?b)

24. Piirrä kuvio vihkoosi mittakaavassa 2 : 1.

Mittakaava 15

25.Piirrä vihkoosi kolmio, joka on yhdenmuotoinen kol-mion ABC kanssa mittakaavassa

2 : 1a) 1 : 2b)

26. Mikä seuraavista kartan mittakaavan 1 : 5000 tulkin-tatavoista on oikein?

1 m kartalla vastaa 5000 m luonnossa.a)

1 cm kartalla vastaa 50 m luonnossa.b)

1 mm kartalla vastaa 5 m luonnossa.c)

27. Rakentaja on piirtänyt suunnitelmat siten, että 10metrin matkaa luonnossa vastaa yhden senttimetrinmatka kartalla. Kuinka pitkä on luonnossa kartalla 14cm pituinen tie?

28. Kartan mittakaava on 1 : 20 000. Kartalla matka on56 cm, kuinka pitkä matka on luonnossa?

29. Jyväskylän ja Pieksämäen välinen etäisyys on 88 km.Montako senttiä etäisyys on kartalla, jonka mittakaa-va on 1 : 400 000?

30. Elektronimikroskoopilla kohde suurennetaan 15000-kertaiseksi. Mikä on tällöin mittakaava?

31. Elektronimikroskoopista saatu kuva suurennetaan vie-lä optisesti 150-kertaiseksi. Mikä on kuvan mittakaa-va?

16 Mittakaava


32. Suorakulmaisen särmiön muotoisen pöydän pidempisivu on luonnossa 2,10 m ja lyhempi sivu 0,70 m. Mikäon käytetty mittakaava, kun kuvassa

pidempi sivu on 1,4 cma)

lyhyempi sivu on 1,4 cm?b)

33. Mikä on käytetty mittakaava, jos pieneliön todellinenpituus on 0,23 mm ja kuvassa sen pituus on

23 cma) 11,5 dmb) 2,07 m?c)

34. Jalkapallokenttä on kooltaan 105 m x 70 m. Piirräkenttä mittakaavassa 1:1 000.

35. Maailman pisin silta on Mandevillen ja Metrairien(Louisiana, USA) yhdistävä Second Lake Pontchart-rain –pengertie. Silta valmistui vuonna 1969. Kuinkapitkä silta on kartalla, jonka mittakaava on 1 : 80 000,kun se luonnossa on 38,42 km?

36. The scale of map is 1 : 1000. Find the actual lengthin metres represented on the map by 30 cm.

37. Oulusta Tampereelle on matkaa 487 km. Mikä on kau-punkien välinen etäisyys

autoilijan tiekartalla, jonka mittakaava on1 : 800 000?

a)

GT-kartalla, jonka mittakaava on 1 : 200 000?b)

yleistiekartalla, jonka mittakaava on1 : 1 600 000?

c)

Mittakaava 17

38. Ilmoita kaupunkien väliset etäisyydet luonnossa, kuntiedetään niiden välinen matka autoilijan tiekartalla.

Porista Vaasaan 24,1 cma)

Kuhmosta Tornioon 48,5 cmb)

Rovaniemeltä Helsinkiin 104,6 cmc)

Forssasta Tampereelle 11,5 cm.d)

39. Asunnon pohjapiirustuksen mittakaava on 1 : 200.Olohuone on piirustuksessa 4,5 cm pitkä ja 3,0 cmleveä. Mikä on olohuoneen pinta-ala todellisuudessa?

40. Kahden pisteen välimatka on 15 km. Mikä niiden vä-linen etäisyys on kartalla, jonka mittakaava on 1 : 50000?

41. Uima-allas jonka pituus ja leveys ovat 50 m ja 25 mpiirretään mittakaavassa 1:250. Kuinka suuri se onpiirroksessa?

Vaativat tehtävät

42. Valokuvanegatiivin koko on 24 mm x 36 mm. Nega-tiivista tehdyn suurennoksen pitempi sivu on 15 cm.Laske suurennoksen pinta-ala. (yo syksy 1993)

43. Maantiekartassa on joitakin teiden risteyksiä merkit-ty ympyrällä, jonka halkaisija on 1,8 mm. Mitä ristey-salueen halkaisijaa tämä vastaa todellisuudessa, kunkartan mittakaava on 1:200 000? Jos risteysalueenhalkaisija todellisuudessa on 25 m, niin kuinka suu-ri sen tulisi kyseisellä kartalla olla? (yo kevät 2001)

18 Kolmioiden yhdenmuotoisuus


Jos kolmio jaetaan kahteen osaan jollakin kolmion sivunkanssa yhdensuuntaisella suoralla, muodostuu alkuperäisenkolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio eli ABC˜DBE.

Kolmiot ABC ja DBE ovat keskenään yhdenmuotoi-set, jos niiden kaikki vastinkulmat ovat keskenäänyhtä suuria.

Yhdenmuotoisuustarkasteluissa kuitenkin riittää osoit-taa ainoastaan kaksi vastinkulmista yhtäsuuriksi. Koska kol-mion kulmien summa on 180°, on kolmansienkin vastinkul-mien oltava yhtäsuuret.

Kun kolmioiden yhdenmuotoisuus on todettu, voidaan kaik-kia kolmion vastinsivuja verrata keskenään ja pituuksiensuhteeksi saadaan sivuparista riippumatta sama arvoACDE = CB

EB = ABDB .

Kolmioiden yhdenmuotoisuus 19

Esimerkki 11,7 m pituisen henkilön varjon pituus on 2,5 m. Samanai-kaisesti Eiffeltornin varjon pituus on 441 m. Kuinka korkeatorni on?

Esimerkissä muodostuu kaksi yhdenmuotoista kolmiota, sil-lä valon säteen ja maan välinen kulma on kummassakin ta-pauksessa sama. Lisäksi Eiffeltorni ja henkilö ovat kohti-suorassa maata vasten.Eiffeltornin ja henkilön pituuksien suhde on sama kuin var-jojen pituuksien suhde, joten saamme verrannon.x

1,7 m = 441 m2,5 m

Ratkaistaan tämä kertomalla puolittain nimittäjillä:

Vastaus: Eiffeltornin korkeus on noin 300 m.


Tehtäviä

44. Kolmio jaetaan suoralla kahteen osaan. Onko muo-dostunut pikkukolmio yhdenmuotoinen alkuperäisenkolmion kanssa?

45. Erota kolmiosta kolmella erisuuntaisella suoralla kol-me alkuperäisen kolmion kanssa yhdenmuotoista kol-miota.

46. Jos suorakulmio jaetaan kahteen osaan jonkin sivunkanssa yhdensuuntaisella suoralla, onko muodostunutpienempi suorakulmio aina yhdenmuotoinen alkupe-räisen suorakulmion kanssa?

47. Laske Timon pituus.



48. Samoista kuvioista on koottu neliö ja suorakulmio,joiden pinta-alat ovat 169 cm2 ja 168 cm2. Minne onkadonnut yksi neliösenttimetri?

49. Kolmio ABC jaetaan neljään osaan kuvion mukaises-ti. Mitkä osat ovat keskenään yhteneviä?

50. Pihalla olevan puun varjo on 23,5 m pitkä. Kuinkakorkea puu on, kun vieressä olevan 10 metrisen lip-putangon varjon pituus on 17 m?

Vaativat tehtävät

51. Kolmion sisään on piirretty neliö kuvan osoittamallatavalla. Laske neliön pinta-ala.


52. Laske kuvion sisällä olevan suorakulmion pinta-ala.


Missä kaikkialla kultainen leikkaus esiin-tyy?

Kultainen leikkaus (lat. sectio aurea) on matemaattinensuhde, joka tarkoittaa janan jakoa siten, että pienemmänosan suhde suurempaan on sama kuin suuremman osan suh-de koko janaan.

Pythagoralaisten arvellaan keksineen kultaisen leikkauk-sen 500-luvulla eKr. Idea on todennäköisesti lähtenyt sään-nöllisestä viisikulmiosta, pentagonista. Kun viisikulmiollepiirretään lävistäjät syntyy niiden leikkauspisteeseen uusisäännöllinen pentagon. Piirtämistä voidaan jatkaa loputto-miin. Viisikulmioiden lävistäjät jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa.

Kultainen leikkaus esiintyy monissa eri yhteyksissä: Fi-bonaccin lukujen kahden peräkkäisen luvun suhde lähes-tyy kultaisen leikkauksen suhdetta. Taiteessa kultaista leik-kausta on käytetty paljon. Se on kohta johon ihmissilmämielellään katsoo. Usein miellyttävimmiksi ihmiskasvoik-sikin valitaan sellaiset, joiden suhteet vastaavat kultaistaleikkausta parhaiten. Aikoinaan kultaiseen leikkaukseen lii-tettiin myös mystisiä ja jumalallisia piirteitä.

Kultainen leikkaus on kuvan sommittelua helpottavamenetelmä, jota voi soveltaa piirroksissa, maalauksissa se-kä valo- ja videokuvauksessa. Jos esimerkiksi tärkeässä ase-massa oleva hahmo sijoitetaan keskelle maalausta, tuleemaalauksesta helposti kömpelön ja elottoman näköinen. Ko-konaisuudesta saadaan sen sijaan kiinnostavampi ja tasa-painoisempi, jos hahmo sijoitetaan kultaisen leikkauksenmukaisesti. Jo renessanssin taiteilijat käyttivät kultaista leik-kausta tuomaan taideteoksiinsa esteettistä harmoniaa. Kuu-luisista taiteilijoista mm. Leonardo da Vinci tutki tark-kaan ihmisen ja yleensä luonnon mittasuhteita. Hän kek-si perspektiivin ja sovelsi kultaista leikkausta useissa töis-sään, mm. kuuluisassa Mona Lisassa, Pyhässä ehtoollisessa


sekä kesken jääneessä Hieronymuksessa.Varhaisin kultaisen leikkauksen sovellus arkkitehtuuris-

sa on antiikin ajalta peräisin oleva Parthenonin temppeliAteenassa. Uudempi luomus on YK:n päärakennus NewYorkissa. Se valmistui v.1952.

Kultainen leikkaus* 25

4 Kultainen leikkaus*

Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kunjana jaetaan kahteen osaan a ja b siten, että lyhyem-män osan suhde pidempään osaan on sama kuin pi-demmän osan suhde koko janaan.

Yleisesti kultaisen leikkauksen lukuarvona käytetään suh-teen käänteisarvoa b

a = 1, 618034... .Jos suorakulmio jaetaan kahteen osaan jollakin suorakul-mion sivun kanssa yhdensuuntaisella suoralla, ei yleensämuodostu alkuperäisen suorakulmion kanssa yhdenmuotois-ta suorakulmiota. Suorakulmiota sanotaan kultaiseksi suo-rakulmioksi, jos se voidaan jakaa neliöksi ja pienemmäksisuorakulmioksi siten, että pienempi suorakulmio on yhden-muotoinen alkuperäisen suorakulmion kanssa.

Suorakulmiot ABCD ja BCFE ovat yhdenmuotoisia, josniiden sivujen pituudet ovat kultaisessa suhteessa AB

BC ≈1, 618034...


Esimerkki 1Ateenassa olevan Parthenon-temppelin pääty on kultainensuorakulmio. Päädyn korkeus on 19 m. Kuinka leveä päätyon?RatkaisuKultaisen suorakulmion pidemmän sivun pituuden suhdelyhyempään sivuun on 1,618034. . . Olkoon temppelin le-veys x. Muodostetaan yhtälö.

x19 m = 1, 618034... | · 19 m

x = 19 m · 1,618034...x ≈ 31 m

Vastaus: Temppelin leveys on noin 31 m


Tehtäviä

53. Onko jana jaettu kultaisen leikkauksen suhteessa, kunosien pituudet ovat

1,0 cm ja 4,0 cma) 55 cm ja 89 cmb)

2,35 cm ja 3,8 cmc) 12,6 cm ja 28 cmd)

54. Onko jana jaettu kultaisen leikkauksen suhteessa, kunkoko janan pituus on

4,1 cm ja lyhemmän osan pituus on 1,6 cm.a)

41,1 cm ja lyhemmän osan pituus on 18,6 cm.b)

19,2 cm ja lyhemmän osan pituus on 7,4 cm.c)

37,5 cm ja lyhemmän osan pituus on 12,6 cm.d)

55. Jana on jaettu kultaisen leikkauksen suhteessa. Kuin-ka pitkä on lyhyempi osa, kun pidempi osa on

4,8 cma) 15,0 cmb) 29,6 cmc) 102,0 cmd)

56. Jana on jaettu kultaisen leikkauksen suhteessa. Kuin-ka pitkä on pidempi osa, kun lyhyempi osa on

3,8 cma) 14,0 cmb) 21,7 cmc) 86,0 cmd)


57. Tee tarvittavat mittaukset ja tutki, mitkä oheisistasuorakulmioista ovat kultaisia suorakulmioita?

58. Piirrä jana ja jaa se kahteen osaan kultaisen leikkauk-sen suhteessa.


59. Mitä kultaisen leikkauksen suhteita löydät pentagram-mista?

60. Tee tarvittavat mittaukset ja tutki, ovatko Suomenlipussa olevat suorakulmiot kultaisia suorakulmioita.

61. Antiikin kauneusihanne oli, että ihmisen navan tuleejakaa ihmisen pituus kultaisen leikkauksen suhteessa.

Miten korkealla 171 cm pitkän henkilön navantulisi tämän mukaan olla?

a)

Entä kuinka korkealla pituisesi henkilön navantulisi olla?

b)


62. Piirrä kolmio, jonka kulmat ovat 36°, 72° ja 72°. Mitävoit sanoa sivujen pituuksien suhteesta?

63. Fibonaccin lukujonon 11. ensimmäistä termiä on 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Laske jonosta kunkinkahden peräkkäisen luvun suhde. Mitä havaitset?

Vaativat tehtävät

64. Piirrä kultainen spiraali, käyttäen apuna Fibonaccinlukuja oheisen kuvion mukaisesti. Piirrä kuvaan tar-kistukseksi kahden suurimman suorakulmion lävistä-jät, niiden pitäisi leikata toisensa sisimmässä suora-kulmiossa.

65. Piirrä ympyrän sisään säännöllinen 10-kulmio. Ovat-ko monikulmion sivun pituus ja ympyrän säteen pi-tuus toisiinsa kultaisessa suhteessa?


Muoto ja symmetria

Luonnossa symmetria ei ole matemaattisen täydellistä, mut-ta selkeät erot normaalista ovat huomiota herättäviä. Jos-sakin määrin kasvien ja eläinten rakennetta voidaan pitääsymmetrisenä –myös ihmiskehoakin. Ulkomuodon symmet-rialla ei kuitenkaan ole välttämättä mitään tekemistä si-säisen anatomian kanssa. Arkipäivän puheessa symmetrial-la viitataan usein jonkinlaiseen sopusuhtaisuuteen ja kau-neuteen. Symmetria luokin useimmissa ihmisissä positiivi-sia assosiaatioita. Tutkimusten mukaan esimerkiksi kasvotkoetaan sitä kauniimmiksi mitä symmetrisemmät ne ovat.

Usein symmetriaa tulee pidettyä itsestäänselvyytenä.Siksi epäsymmetria onkin usein hätkähdyttävä piirre, jo-ka vetää heti huomion puoleensa. Etenkin ihmisten teke-mien rakenteiden ja esineiden oletetaan olevan symmetrisiä.Oletko koskaan tullut ajatelleeksi, kuinka paljon symmet-riaa esiintyykään esimerkiksi autoissa tai leintokoneissa?

Matematiikassa erotetaan useita symmetrian lajeja, jot-ka jättävät kuvion kokonaisuutena muuttumattomaksi. Sym-metria säilyttää kappaleen koon, muodon, etäisyydet se-kä kulmien suuruudet. Kappaletta sanotaan symmetriseksi,jos siinä esiintyy yksikin kolmesta perussymmetriasta. Nä-mä ovat kierto, siirto ja heijastus. Siirrola on aina suuntaja etäisyys. Heijastuksella puolestaan tarkoitetaan peiliku-van tuottamista kohteesta, jolloin kohteen kätisyys muut-tuu. Kierrossa kohdetta kierretään tietyn kulman verrankierron keskipisteen ympäri. Esimerkiksi neliötä voidaankiertää 90° siten, että se yhtyy entiseen sijaintiinsa. Neliöl-lä on nelinkertainen symmetria-akseli. Säännötöntä kuviotaei voida kiertää niin, että se yhtyisi itseensä. Symmetrisinmuoto on pallo, jota voidaan kiertää minkä verran tahan-sa minkä tahansa halkaisijan suhteen sijainnin muuttumat-ta. Pallolla on monia erikoisia matemaattisia ja fysikaali-sia ominaisuuksia. Kuulalaakerissa samankokoisten pallo-


jen asento on yhdentekevä; ne eivät voi joutua väärinpäinja pyörivät aina. Pythagoralaiset pitivätkin ympyrää ja pal-loa täydellisimpiä mahdollisina muotoina niiden kiertosym-metrian ansiosta.

Symmetrialla on niin perustava käsitteellinen asema mo-nissa teorioissa, että symmetrian puuttuminen havaitaanaina erityisen ongelmallisena. Symmetriaa tutkii matema-tiikan alue nimeltään ryhmäteoria, jolla on tärkeä rooli eri-tyisesti kvanttimekaniikassa.

32 Peilaus suoran suhteen


Jos halutaan tehdä jonkin kuvion kanssa yhtenevä kuvio,käytetään apuna yhtenevyyskuvauksia, joita ovat peilaussuoran suhteen, peilaus pisteen suhteen, yhdensuuntaissiir-to ja kierto. Koordinaatistoa apuna käyttäen kuviot ja yh-tenevyyskuvaukset voidaan esittää laskennallisesti. Tieto-konegrafiikka perustuu tähän.

Kun kuvio peilataan suoran suhteen, vastinpisteetovat

• samalla peilaussuoran normaalilla

• yhtä kaukana peilaussuorasta

Jos jokin yhtenevyyskuvauksista palauttaa kuvion täs-mälleen samaan paikkaan, jossa se alunperinkin oli, esiin-tyy kuviolla symmetriaa. Suoran suhteen symmetriseksi sa-notaan kuviota, joka kuvautuu itselleen peilaussuoran suh-teen. Peilaussuoraa sanotaan tällöin symmetria-akseliksi.

Peilaus suoran suhteen 33

Esimerkki 1Peilataan kolmio ABC suoran s suhteen, saadaan peilat-tu kolmio A’B’C’, joka on yhtenevä alkuperäisen kolmionkanssa.

Esimerkki 2Suoran suhteen symmetrisiä kuvioita ja niiden symmetria-akselit.


Tehtäviä

66. Jäljennä kuviot vihkoosi ja peilaa jana AB suoran CDsuhteen.

a)

b)


c)

67. Piirrä kolmio ABC, jonka kärkipisteet ovat A = (1,0),B = (3,-1) ja C = (2,3). Peilaa kolmio y-akselin suh-teen.

68. Jäljennä kuviot vihkoosi ja peilaa ne suoran s suhteen.Väritä muodostuneet kuviot.

69. Mikä piste on pisteen (-3, 2) kanssa symmetrinen

x-akselina) y-akselin suhteen?b)

70. Piirrä rantanäkymä ja peilaa se vedenpinnan suhteen.


71. Jäljennä seuraavat suoran suhteen symmetriset ku-viot vihkoosi ja piirrä niihin kaikki symmetria-akselit.

72. Mitkä ovat kuvapisteen koordinaatit, kun peilaat koor-dinaatiston pisteen A = (4,2)

x-akselin suhteen?a) y-akselin suhteen?b)


73. Yhdistä pisteet (-3,0), (-1,1), (0,3), (1,1) ja (3,0) täs-sä järjestyksessä. Täydennä kuvio symmetriseksi x-akselin suhteen.

74. Määritä jokaisen kuvion symmetria-akselien lukumää-rä.

75. Suunnittele suoran suhteen symmetrisiä kuvioita.

76. Mitkä kirjaimista A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L,M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, Å, Ä, Ö ovatsuoran suhteen symmetrisiä?

77. Piirrä ruutupaperille suorakulmio, jonka sivujen pi-tuudet ovat 3 ja 5 yksikköä. Peilaa suorakulmio toi-sen lävistäjänsä suhteen. Mikä kuvio syntyy?

78. Kirjoita tikkukirjaimin kaksi tytön ja kaksi pojan ni-meä, joissa kaikki kirjaimet ovat symmetrisiä suoransuhteen.


79. Kirjoita nimesi tikkukirjaimin ja peilaa se

vaakasuoran suoran suhteen.a)

pystysuoran suoran suhteen.b)

Vaativat tehtävät

80. Päättele piirtämättä mitkä ovat kolmion ABC, jos-sa A = (1,3), B = (4,0) ja C = (6,4), kuvapisteidenkoordinaatit, kun kolmio peilataan

x-akselin suhteen.a) y-akselin suhteen.b)

38 Peilaus pisteen suhteen


Kun kuvio peilataan pisteen suhteen, vastinpisteetovat

• samalla peilauspisteen kautta kulkevalla suo-ralla

• yhtä kaukana peilauspisteestä

Pisteen suhteen symmetrinen kuvio kuvautuu itselleen,kun se peilataan peilauspisteen suhteen. Peilauspistettä sa-notaan tällöin symmetriakeskukseksi ja se sijaitsee kuvionkeskipisteessä.

Esimerkki 1

Peilataan kolmio ABC pisteen P suhteen, saadaan peilat-tu kolmio A’B’C’, joka on yhtenevä alkuperäisen kolmionkanssa.

Peilaus pisteen suhteen 39

Esimerkki 2Pisteen suhteen symmetrisiä kuvioita ja niiden symmetria-keskukset.


Tehtäviä

81. Jäljennä kuviot vihkoosi ja peilaa ne pisteen P suh-teen.

82. Piirrä kolmio AOB, jonka kärkipisteet ovat A = (2,1),O = origo ja B = (1,-2). Peilaa kolmio AOB origonsuhteen.

83. Mikä piste on pisteen (2, 1) kanssa symmetrinen

origon suhteena) pisteen (1, -1) suhteen.b)

84. Piirrä suorakulmainen kolmio ja peilaa se

toisen terävän kulman kärkipisteen suhteen.a)

suoran kulman kärkipisteen suhteen.b)

85. Piirrä ympyrä ja peilaa se keskipisteensä suhteen.

86. Piirrä neliö, jonka kärkipisteiden koordinaatit ovatA = (-2,2), B = (2,2), C = (2,-2) ja D = (-2,-2).Suorita peilaus

pisteen E = (-1,-1) suhteen.a)

pisteen F = (5,1) suhteen.b)


87. Piirrä jokin puolisuunnikas ABCD ja peilaa se pisteenB suhteen.

88. Suunnittele pisteen suhteen symmetrisiä kuvioita.

Peilaus pisteen suhteen 41

89. Mitkä kirjaimista A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L,M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, Å, Ä, Ö ovatpisteen suhteen symmetrisiä?

90. Mitkä kuvioista ovat pisteen suhteen symmetrisiä?

91. Piirrä jokin suunnikas ABCD ja siihen lävistäjät ACja BD. Peilaa suunnikas lävistäjien leikkauspisteensuhteen.

42 Kierto ja siirto tasossa


Yhdensuuntaissiirrossa kuvion kaikkia pisteitä siirre-tään yhtä pitkä matka samaan suuntaan.

Esimerkki 1Siirretään kolmiota ABC suuntajanan s = ”2 yksikköä alasja 10 yksikköä oikealle” verran.

Kierrossa kuvion jokaista pistettä kierretään kulmanα verran kiertokeskuksen O ympäri siten, että kun-kin pisteen etäisyys pisteeseen O säilyy.

Kierron suhteen symmetrinen kuvio kuvautuu kulman αsuuruisessa kierrossa itselleen, tällöin sanotaan, että kuvioon symmetrinen kulman α suuruisen kierron suhteen.

Kierto ja siirto tasossa 43

Esimerkki 2Kierrettään kolmiota ABC pisteen O ympäri 90 asteen ver-ran vastapäivään.

Esimerkki 3

Jos viereistä kuviota kierretään keskipisteensä ympäri 180°,näyttää se täsmälleen samalta alkuperäisen kuvion kanssaja sijaitsee täsmälleen samassa paikassa. Tällöin sanotaan,että on kiertosymmetrinen kulmalla 180°.Koska 180° kierto keskipisteen suhteen voidaan tehdä kah-desti ennen kuin saavutetaan täysi kierros, on keskipistesymmetrisen kuvauksen kaksinkertainen kiertokeskus.


Tehtäviä

92. Jäljennä kuvio vihkoosi ja siirrä kolmiota janan s ver-ran.

93. Millä kiertokulmalla oheinen kuvio on symmetrinen?

94. Selitä termit

symmetriakeskus,a) kiertokeskus.b)

95. Jäljennä kuvio vihkoosi ja kierrä kolmiota pisteen Oympäri vastapäivään 90°.

96. Janan päätepisteet ovat A = (-2, 1) ja B = ( 0, 3).Piste A kuvautuu siirrossa pisteeksi A’ = (1, 1). Mitkäovat pisteen B’ koordinaatit?

97. Mitä yhteistä on kuvion kierrolla pisteen suhteen jakuvion peilaamisella vastaavan pisteen suhteen?


98. Määritä jokaisen kuvion kiertosymmetrioiden luku-määrä.

99. Kuinka moninkertainen kiertokeskus kuvion keskipis-te on?

100.

Peilaa kuvio pisteen O suhteen.a)

Kierrä kuviota 180° pisteen O suhteen myötä-päivään. Mitä havaitset?

b)

101. Voiko kuvio, jolla on kiertosymmetriaa, olla myös sym-metrinen jonkin suoran suhteen?



102. Piirrä jana, jonka päätepisteet ovat A = (-2, 4) jaB = (1, 2). Kierrä janaa pisteen P = (-2, 5) ympä-ri 90° myötäpäivään. Mitkä ovat pisteiden A’ ja B’koordinaatit?

103. Montako kiertosymmetriaa kuvioilla on?

104. Piirrä neliö ABCD, jonka sivun pituus on 4,0 cm. Teeneliön pisteille janan AB määräämä yhdensuuntais-siirto.

105.

Montako symmetria-akselia kuviolla on?a)

Väritä yksi ruutu siten, että kuviolla on kaksin-kertainen kiertokeskus.

b)

106. Luettele oheisista kirjaimista ne kirjaimet, joilla

on ainoastaan symmetria-akselia)

on ainoastaan kiertosymmetriaab)

on sekä symmetria-akseli että kiertosymmetriaa.c)

J M N O P Q R X Y

107. Suunnittele kuvio, joka on symmetrinen kiertokulmal-la 60°.


108. Piirrä kolmio, joka kärkipisteet ovat A = (3, 0),B = (5, 1) ja C = (4, 4). Piste A siirretään pisteeseenA’ = (0, 1). Siirrä muita pisteitä saman verran ja sa-maan suuntaan kuin pistettä A. Mitkä ovat pisteidenB’ ja C ’ koordinaatit?

109. Piirrä ympyrä ja kierrä sitä sen kehällä olevan pisteensuhteen 130° myötäpäivään.

Vaativat tehtävät

110.

Muodosta kuvio P1 kiertämällä kuviota P ori-gon suhteen 90˚ myötäpäivään.

a)

Muodosta kuvio P2 peilaamalla kuvio P1 suo-ran y = 0 suhteen.

b)

Mikä yksittäinen yhtenevyyskuvaus olisi siirtä-nyt kuvion P kuvioksi P2?

c)


111.

Mikä yhtenevyyskuvaus muuttaa kuvion A kuvioksi

Ba) Cb) D?c)

Neliöjuuri 49

8 Neliöjuuri

Esimerkki 1

Lasketaan neliön muotoisen lattian yhden sivun pituus, kunlattian pinta-ala on 25 m2.RatkaisuNeliön pinta-ala on 25 m2, jolloin yhden sivun pituudentäytyy olla 5 m, koska 5 m · 5 m = 25 m2 .

Entä jos neliön muotoisen lattian pinta-ala onkin 20 m2.Mikä on tällöin yhden sivun pituus?RatkaisuJos sivun pituus olisi 4 m, lattian pinta-ala olisi 4 m·4 m =16 m2 . Sivun pituus ei ole nyt kokonaisluku, vaan se täytyyolla jotakin 4 m ja 5 m väliltä. Tehtävän voisi ratkaista ko-keilemalla, mutta ratkaisu löytyy helpommin, kun otetaanlaskimella neliöjuuri luvusta 20.

Tarkistus: (4,47 m)2 = 19,9809 m2 ≈ 20 m2

50 Neliöjuuri

Neliöön korottamisen käänteinen toiminto on neliöjuu-ren ottaminen. Neliöjuuri vastaa siis kysymykseen, ”Mikäluku on korotettava toiseen potenssiin, jotta saadaan ky-seessä oleva luku?”. Neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisestaluvusta, eikä neliöjuuren arvo ole koskaan negatiivinan.

Luvun a neliöjuuri√a on se positiivinen luku, jonka

neliö on a eli√a = b , jos b2 = a ja b ≥ 0 .

Esimerkki 2

1. Luvun 16 neliöjuuri√16 = 4 , koska luvun 4 neliö

42 = 16 .

2. Luvun 9 neliöjuuri√9 = 3 , koska luvun 3 neliö 32 =

9 .

Esimerkki 3

Neliöjuuri 51

Tehtäviä

112. Lue parillesi ääneen merkinnät.√13a)

√0, 46b) −

√251c)√

915d) −

√0, 058e)

113. Täydennä seuraavat.

Jos 42 = 16 , niin√16 =a)

Jos 82 = 64 , niin√64 =b)

Jos 112 = 121 , niin√121 =c)

Jos 152 = 225 , niin√225 =d)

114. Merkitse

neliöjuuri luvusta 15a)

miinus neliöjuuri kaksikymmentäb)

neliöjuuri luvusta kuusisataakolmec)

115. Piirrä vihkoosi neliö, jonka pinta-ala on 16 ruutua.Montako ruutua on neliön sivun pituus?

116. Montako ruudun sivua on neliön sivun pituus, jos senpinta-ala on

9 ruutuaa) 36 ruutuab) 49 ruutuac)

117. Onko väite tosi?√10 = 5a)

√49 = −7b)

√36 = 6c)

√18 = 9d)

52 Neliöjuuri

118. Laske.√1a)

√0b)

√49c)

√36d)

√100e)

√64f)

√81g)

√121h)

119. Laskintehtävä:Mikä on neliön sivun pituus, kun senpinta-ala on

81 cm2a) 625 cm2b) 2704 cm2?c)


120. Omakotitalon tontti on neliön muotoinen ja sen pinta-ala on 1600 m2. Paljonko aitaa tarvitaan tontin aitaa-miseen, kun tuloaukoksi jätetään 3 m?

121. Arvioi ilman laskinta mitä kokonaislukua lähinnä on√26a)

√48b)

√80c)

122. Laske.√0, 01a)

√0, 0049b)

√1, 21c)

123. Laskintehtävä:Mikä luku sopii x:n paikalle?√x = 4a)

√x = 7b)

√169 = xc)

√x = 19d)

√x = 0, 16e)

124. Laskintehtävä:Tutki, onko neliöjuurten arvot laskettuoikein.

√20, 25 = 4, 5a)

√25 = −5b)

√9999 = 99c)

√1000 = 10d)

Neliöjuuri 53

125. Laskintehtävä:Laske neliöjuuret kahden desimaalin tark-kuudella.

√3a)

√30b)

√300c)

√3000d)

√30000e)

Kun juurrettava kerrotaan 100:lla, miten neliö-juuren arvo muuttuu?

f)

126. Mikä luku on juurrettavana, kun neliöjuuren arvo

on yhtä suuri kuin juurrettava,a)

on puolet juurrettavasta,b)

on kolminkertainen juurrettavaan verrattuna?c)

127. Laskintehtävä:Neliönmuotoisen pellon, jonka pinta-alaon 49 ha, reunoille on tehty hiihtolatu. Kuinka pitkänmatkan Laura hiihtää, kun hän kiertää hiihtolenkinviisi kertaa? Anna tulos kilometreinä.

128. Laskintehtävä:Voit arvioida uimahypyissä veteen tör-määmisnopeuden kaavallanopeus ≈ 4,5 ·

√putoamismatka , missä nopeuden yk-

sikkö on m/s ja putoamismatkan m. Laske törmää-misnopeudet hypättäessä

3 metristäa) 5 metristäb) 10 metristä.c)

Vaativat tehtävät

129. Kasvin varren halkaisija d riippuu kasvuajasta t yh-tälön d = k

√t mukaisesti, jossa k > 0 on verrannolli-

suuskerroin. Kasvin varsi on 9 mm paksuinen 36 vuo-rokauden ikäisenä. Kuinka paksu varsi on 100 vuoro-kauden ikäisenä? (yo syksy 1997)

54 Neliöjuuri

130. Laskintehtävä:Suorakulmaiselle tontille, jonka pituuson 38 m itä-länsisuunnassa ja 34 m pohjois-eteläsuun-nassa, rakennetaan koilliskulmaan neliön muotoinentalo. Talo sijaitsee 6 m päässä tontin rajoista, ja senpinta-ala on 120 m2. Valitse sopiva mittakaava pohja-kaaviolle tontista taloineen, kun pohjakaavion pitäisimahtua 10 cm x 10 cm tilaan paperille ja tontin ly-hemmän sivun on kaaviossa oltava vähintään 4 cm.Piirrä luonnos pohjakaaviosta valitsemassasi mitta-kaavassa. Mikä on tontin neliömetrihinta, kun tonttimaksoi86 000 mk? (yo kevät 1996)

Neliöjuurilaskuja 55

9 Neliöjuurilaskuja

Laskulausekkeissa neliöjuuret ja potenssit ovat samanarvoi-sia. Jos sulkeita ei ole, eikä juurimerkinnän alla ole laskutoi-mituksia, lasketaan potenssit ja neliöjuuret ensiksi. Samanjuurimerkin alla olevista yhteenlaskettavista tai vähennet-tävistä ei saa ottaa neliöjuurta erikseen. Tällöin juurretta-vana olevat laskutoimitukset on suoritettava ensiksi.Esimerkki 1

√25−

√9 = 5− 3 = 2a)

Juurimerkki vastaa laskujärjestyksen osalta sulkeita- sen alla oleva lauseke pitää aina sieventää loppuunensin:

√25− 9 =

√16 = 4

b)

Esimerkki 2Laketaan lausekkeen

√5 · 3 + 32 arvo laskimella kolmen nu-

meron tarkkuudella.Laskimesta riippuen näppäily voi tahtua esimerkiksi seu-raavasti:

,jolloin saadan neliöjuuren arvoksi 4, 898979486... ≈ 4, 90 .

Vaikka juuren alle jäävä lauseke onkin sievenettävä en-sin, voidaan kertolaskussa neliöjuuri ottaa erikseen kerto-laskun tekijöistä ja jakolaskussa erikseen osoittajasta ja ni-mittäjästä. Sääntöjä voi soveltaa myös toisinpäin tuomallalaskut saman juurimerkinnän alle. Perimmäinen syy täl-le ilmiölle on se, että neliöjuuri on itsekin ”potenssilas-ku” (tarkalleenottaen se on ”potenssiin 0,5!”). Huomaa, ettäyhteen- ja vähennyslaskussa on ehdoton sievennys-pakko!


Juurrettavana olevien kertoja jakolaskujen las-kusäännöt:√ab =

√a ·√b ja

√ab =

√a√b

Esimerkki 3

√4 · 2 =

√4 ·√2 = 2

√2a) √

49 =

√4√9= 2

3b)

Sekaluvut on muutettava epämurtoluvuuiksi ennen

laskutoimituksia:√5 116 =

√5·16+1

16 =√

8116 =

√81√16

=94 = 21

4

c)

Yhteenlaskettavista potensseista ei voi ottaa erikseenneliöjuuria, joten tästä ei tule 6 + 8 = 14:√62 + 82 =

√36 + 64 =

√100 = 10

d)

Esimerkki 4Sievennetään laskut tuomalla ne saman juurimerkinnän al-le.

√2 ·√8 =√2 · 8 =

√16 = 4a)

√72√2=√

722 =

√36 = 6b)


Tehtäviä

131. Laske ja ilmoita vastaus murtolukuna.√925a)

√481b)

√116c)

√136d)

√49100e)

√214f)

132. Sievennä.√49a)

√1625b)

√46c)

√1215d)

133. Laske.√9 +√16a)

√9 + 16b)

√100−

√64c)

√100− 64d)

134. Laske.√64 + 16 + 1a)

√64 +

√16 +

√1b)

135. Laske.√4 ·√16a)

√4 · 16b)

√81√9

c)√819d)

√92e)

(√9)2f)

136. Laske ja ilmoita vastaus murtolukuna.√1 916a)

√719b)

√201

4c)√279d)

137. Laskintehtävä:Anna vastaukset kolmen numeron tark-kuudella.

√15− 9a)

√2 · 4 + 6b)

√22 + 32c)

√6 · 7− 42d)



√11 +

√6− 4a)

√5 ·√9 + 12b)

√13 : 13c) 1− 2 ·

√3d)

139. Laske.√2 · 3 + 10a)

√4 · 10− 3 · 8b)

√3 · 4− 3c)

√32 + 42d)

140. Laske.

4 ·√9− 2a)

√4 ·√1 + 3b)

√49−

√1 ·√16c)

√6 + 1− 2 ·

√6− 6d)

141. Laske.√2 +√4a)

√18 +

√9 +√16b)√√

25 +√81− 5c)

142. Päättele, mikä luku sopii x:n paikalle.√12 + x = 4a)

√x− 5 = 5b)

√2x = 4c) 2

√x+ 3 = −6d)

143. Laske.√3 ·√3a)

√2 ·√18b)

2 ·√3 ·√3c)

√7 · 3 ·

√7d)




√−9 · (−4)a) −

√5, 9− 12 ·

√3b)√

−8 · (−5) + 7c)√9− 6 · 3d)

145. Laske lausekkeen x = −b+√b2−4ac2a arvo ilman laskinta,

kun

a = 2, b = 3 ja c = 1a)

a = 1, b = 2 ja c = -8b)

146. Ilmoita luvut muodossa a√b , jossa a ja b ovat posi-

tiivisia kokonaislukuja.√12a)

√50b)

√25xc)

√18x2d)

√1000e)

√81a3f)

147. Millä x:n arvoilla lausekkeet on määritelty?√x− 2a)

√x+ 2b)

√1− xc)

√x2 + 3d)

Vaativat tehtävät

148. Laske lausekkeen√a2 + b2 tarkka arvo, kun a = 2 ja

b = 83 . (yo kevät 1984)

149. Laske lausekkeen√1− a2 tarkka arvo, kun

a = 12a) a =

√32b)

(yo syksy 1987)


150. Laskintehtävä:Tiesitkö, että ihmisen massa kasvaa ih-misen liikkuessa tarpeeksi nopeasti? Erityisen suu-reksi se kasvaa, jos nopeus lähestyy valon nopeut-ta 2,9979246·108 m/s. Suhteellisuusteorian mukaanmassan kasvu nopeuden kasvaessa saadaan lasketuksikaavallauusi massa = vanha massa√

1− nopeus2

valon nopeus2

.

Laske massasi, jos liikkuisit nopeudella

29 m/sa) 290 m/sb) 2,9·108 m/sc)

2,99·108 m/sd) 2,9979·108 m/se)

2,9979245·108 m/sf)

151. Minkä positiivisen luvun neliöjuuri on luku√5 − 2

? Anna vastaus sekä tarkkana arvona että likiarvonakolmen merkitsevän numeon tarkkuudella. (yo syksy1994)

Pythagoraan lause 61

10 Pythagoraan lause

Hypotenuusa on suorakulmaisessa kolmiossa suorankulman vastainen sivu. Suoran kulman viereisiä sivu-ja sanotaan kateeteiksi. Huomaa, että näitä termejäkäytetään vain suorakulmaisista kolmioista puhut-taessa - ei kaikkien kolmioiden kohdalla!

Huom! Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmionpisin sivu.Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pi-tuudet ovat 3 ja 4 ja hypotenuusan pituus on 5.

Piirretään kolmion sivuille neliöt, joiden sivujen pituudetovat yhtä suuret kuin kolmion sivujen pituudet.Kateettien neliöiden pinta-alat: 32 = 9 ja 42 = 16Hypotenuusan neliön pinta-ala: 52 = 25Jos kateettien neliöiden pinta-alat lasketaan yhteen 9+16 =25 , saadaan hypotenuusan neliön pinta-ala. Tämä omi-naisuus on voimassa kaikissa suorakulmaisissa kolmioissaja se tunnetaan nimellä Pythagoraan lause. Huomaa, että


ominaisuutta ja siitä seuraavia muita ominaisuuksia ei voihyödyntää muihin, kuin suorakulmaisiin kolmioihin!

Pythagoraan lause: Suorakulmaisessa kolmiossa ka-teettien neliöiden summa on hypotenuusan neliö.

a2 + b2 = c2

Pythagoraan lauseen avulla voidaan tutkia muun muas-sa onko kolmio suorakulmainen.

Jos kolmion kahden lyhyemmän sivun pituuksien ne-liöiden summa on yhtä suuri, kuin pisimmän sivunneliö, kolmio on suorakulmainen.


Tehtäviä

152.

Mikä oheisen suorakulmaisen kolmion sivuista on

hypotenuusaa) kateetti?b)

153. Nimeä kolmion sivusta kateetit ja hypotenuusa.

154. Voiko suorakulmaisessa kolmiossa kateetti olla pidem-pi kuin hypotenuusa?

155. Mitkä seuraavista suorakulmaisen kolmion sivujen pi-tuuksista ovat kateetteja ja mitkä hypotensuusia?

13 cm, 27 cm ja 24cm

a) 1,6 m, 2,4 m ja 2,9 mb)

58 km, 42 km ja 40km

c)

156. Onko kolmio suorakulmainen, jos kolmion sivujen pi-tuudet ovat

11 cm, 20 cm ja 9 cma) 8 cm, 6 cm ja 10 cmb)

7 cm, 24 cm ja 25 cm?c)


157. Miksi sivun x pituutta ei voida ratkaista Pythagoraanlauseen avulla oheisesta kolmiosta?

158. Kirjoita Pythagoraan lause seuraavien kolmioiden avul-la.

159. Mikä luonnollinen luku sopii x:n paikalle?

x2 + 192 = 386a) 152 + x2 = 172b)

122 + 52 = x2c) 302 + x2 = 1341d)

160. Kolmion sivujen pituudet ovat 1 cm, 16 cm ja 17 cm.Onko kolmio suorakulmainen? (yo kevät 1987)


161. Piirrä suorakulmainen kolmio ja mittaa sen sivujenpituudet. Osoita laskemalla, että kolmio on suorakul-mainen.

162. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8,0 m ja 6,0 m.Laske kolmion pinta-ala.

163. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 6,0 cm,8,0 cm ja 10,0 cm. Laske kolmion pinta-ala.

164. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 12 cm,16 cm ja 20 cm. Laske kolmion pinta-ala.


Vaativat tehtävät

165. Tarkastellaan oheista muistikolmiota. Onko väite to-si?

Kateetista saa hypotenuusan kertomalla luvulla√2.

a)

Hypotenuusa on lyhyempi kuin kateetti.b)

Hypotenuusasta saa kateetin jakamalla luvulla√2.

c)

166. Ratkaise kolmiosta x:llä merkityn sivun pituus muis-tikolmion avulla.


167. Tarkastellaan oheista muistikolmiota. Onko väite to-si?

Hypotenuusasta saa lyhimmän kateetin jakamal-la luvulla 2.

a)

Pidemmästä kateetista saa lyhimmän kateetinjakamalla luvulla

√3.

b)

Hypotenuusasta saa pidemmän kateetin kerto-malla luvulla

√3.

c)

Lyhemmästä kateetista saa hypotenuusan ker-tomalla luvulla 2.

d)

168. Ratkaise kolmioista muistikolmion avulla

hypotenuusan x pituusa) kateetin y pituus.b)

Pythagoraan lauseen sovelluksia 67

11 Pythagoraan lauseen sovelluksia

Pythagoraan lauseen avulla voidaan ratkaista mikä tahansasuorakulmion sivun pituuksista, jos kaksi sen muista sivun-pituuksista tunnetaan. Kun Pythagoraan lauseeseen sijoi-tetaan arvoja, on oltava tarkkana, että sijoittaa kateettienpituudet ja hypotensuusan pituuden oikeaan paikkaan. Tä-män jälkeen tuntematon muuttuja ratkeaa normaaleja yh-tälönratkaisusääntöjä noudattaen.Esimerkki 1

Lasketaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus,kun tiedetään kateettien pituudet.Sijoitetaan sivujen pituuden Pythagoran lauseeseen.x2 = 4, 02 + 5, 02

x2 = 16, 0 + 25, 0

x2 = 41, 0 | √ Neliöön korotus ja neliöjuuren otto

kumoavat toisensa!√x2 =

√41.0 Joten ”neliöjuurella puolittain”

x =√41.0 päästiin eroon neliöjuuresta!

Vastaus: Hypotenuusan pituus on√41, 0 ≈ 6, 4 eli n. 6,4

cm.


Esimerkki 2

Lasketaan suorakulmaisen kolmion sivun x pituus.Koska kolmio on suorakulmainen, voidaan soveltaa Pytha-goraan lausetta. Kysytty sivu on kateetti ja toinen katee-teista on 7,0 cm. Hypotenuusan pituus on 9,0 cm.x2 + 7, 02 = 9, 02 | −7, 02

x2 = 9, 02 − 7, 02

x2 = 32, 0 | √

x =√32, 0

x ≈ 5, 7

Vastaus: Sivun x pituus on 5,7 cm.


Esimerkki 3Pisteen A koordinaatit ovat (-4, 1) ja pisteen B (2,3). Laskekuinka kaukana pisteet ovat toisistaan.RatkaisuSijoitetaan pisteet A ja B koordinaatistoon ja yhdistetäänne janalla. Täydennetään kuvio suorakulmaiseksi kolmiok-si.

Pisteiden etäisyys on suorakulmaisen kolmion hypotenuusanpituus, joten se voidaan laskea käyttämällä Pythagoraanlausetta.AB2 = 62 + 22

AB2 = 36 + 4

AB2 = 40 | √

AB =√40

AB ≈ 6, 3

Vastaus: Pisteiden A ja B välinen etäisyys on 6,3.


Tehtäviä

169. Määritä kolmioista sivun x pituus.

170. Laske hypotenuusan pituus, kun kateetit ovat

3 cm ja 4 cma) 6,0 m ja 7,0 mb)

9,3 cm ja 11,2 cmc)


172. Laske kateetin pituus, kun

hypotenuusa on 5 cm ja toinen kateetti on 4 cma)

hypotenuusa on 9,0 cm ja toinen kateetti on 5,0cm

b)

hypotenuusa on 13,2 cm ja toinen kateetti on7,3 cm.

c)

173. Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 24 mm jatoinen on 46 mm pidempi. Laske hypotenuusan pi-tuus.


174. Paljonko polku oikaisee, kun kuljetaan Keskuskatuapitkin Rantakadulle?


175. Kuinka pitkä on pisteiden (1,1) ja (3,4) välinen jana?

176. Laske pisteiden etäisyys origosta.

(2,-4)a) (-1,3)b) (3,1)c)

177. Lauri purjehti ensin 7,0 km länteen sitten 5,0 km ete-lään. Kuinka kaukana Lauri oli lähtöpisteestä?

178. Laske katkenneen puun alkuperäinen pituus.

179. Laske kolmion korkeusjanan h pituus.

180. Laske talon ullakon korkeus.


181. Suunnistaja juoksee 4,0 km pohjoiseen ja sitten 2,1km itään. Kuinka kauas hän on edennyt lähtöpaikas-taan?

182. Kahden puun etäisyys on 25,0 m. Puiden korkeudetovat 22,0 m ja 9,5 m. Laske puiden latvojen välinenetäisyys.

183. Tasakylkisen kolmion kyljet ovat 8,3 cm ja kanta 6,8cm.

Piirrä kolmio ja merkitse kuvaan kannan vastai-nen korkeus.

a)

Mikä on kolmion korkeus?b)

Mikä on kolmion pinta-ala?c)

184. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 6,5 cm.

Piirrä kolmio ja merkitse kuvaan kannan vastai-nen korkeus.

a)

Mikä on kolmion korkeus?b)

Mikä on kolmion pinta-ala?c)

185. Puutarhurilla on käytettävänään 10 suorakaiteen muo-toista laattaa, joiden koko on 20cm·60cm. Kuinka pit-källe matkalle laatat riittävät eri tavoilla laitettuna?Ilmoita vastaukset metreinä.


186. Maanviljelijällä on puolisuunnikkaan muotoinen pel-to. Monenko hehtaarin alueella hän voi viljellä siinävehnää?

187. Lattia on suorakulmion muotoinen. Lattian toinen si-vu on 7,4 m ja lävistäjä 9,2 m. Laske lattian pinta-ala.

Vaativat tehtävät

188. Johda pythagoraan kaavasta c2 = a2 + b2 laskukaa-vat kateettien pituuksille yhtälön ratkaisun sääntöjänoudattaen.

189. Laske kuvan mukaisen leijan pinta-ala. (pääsykoeteh-tävä teknikkokoulutukseen, kevät 1992)

190. Ohuen, jäykän levyn pituus on 250 cm ja leveys 210m. voidaanko levy viedä oviaukosta, jonka leveys on80 cm ja korkeus 200 cm? (yo kevät 1997)

191. Suorakulmion ABCD sivut ovat AB = 220 mm ja BC= 165 mm. Laske kärjen B etäisyys d lävistäjästä AC.(pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 1993)

74 Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala


Jokaisen ympyrän kehän pituuden p ja halkaisijan pi-tuuden d suhde on sama luku. Tämän suhteen tark-kaa arvoa merkitään kreikkalaisella kirjaimella π:

π =p

d≈ 3, 1415926535...

π (luetaan: pii) on päättymätön ja jaksoton desimaaliluku(eli irrationaaliluku). Sekä ympyrän kehän pituuden ettäympyrän pinta-alan laskuissa käytetään yleensä laskimessaolevaa π:n likiarvoa tai likiarvoa 3,14.Koska ympyrän halkaisijan pituus on kaksi kertaa säteenpituus, voidaan ympyrän kehän pituuden ja ympyrän pinta-alan laskukaavat muodostaa joko halkaisijan tai säteen avul-la.

Ympyrän kehän pituus p on luvun π ja halkaisijan dpituuden tulop = πd = 2πr .

Ympyrän pinta-ala A on luvun π ja säteen r neliöntulo.

A = πr2

Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala 75

Esimerkki 1Linnanmäellä olevan maailmanpyörän halkaisija on 24,0 m.Lasketaan kuinka pitkä matka kuljetaan yhden kierroksenaikana laskemalla maailmanpyörän kehän pituus

p = πd = 3, 14 · 24, 0 m = 75, 4 m

Vastaus: Yhden kierroksen aikana kuljetaan 75,4 metriä.

Esimerkki 2

Lasketaan ympyrän muotoisen yöpöydän pinta-ala, kun sensäde on 27,0 cm.

A = πr2 = 3, 14 · (27, 0 cm)2 = 2289 cm2 ≈ 2290 cm2

Vastaus: Yöpöydän pinta-ala on 2290 cm2 eli 0,229 m2.


Tehtäviä

192. Laske ympyrän kehän pituus, kun ympyrän halkaisijaon

1,0 cma) 3,0 cmb) 5,1 cmc) 6,7 cm.d)

193. Laske ympyrän kehän pituus, kun ympyrän säde on

2,0 cma) 4,0 cmb) 7,2 cmc) 19,0 cm.d)

194. Laske kuvan ympyröiden kehän pituudet.

195. Laske edellisen tehtävän ympyröiden pinta-alat.

196. Laske ympyrän pinta-ala, kun sen säde on

1,0 cma) 2,0 cmb) 5,2 cmc) 12,8 cmd)

197. Mittaa 1 e kolikosta halkaisija ja laske sen perusteellakolikon

kehän pituus jaa) pinta-ala.b)

198. Laske ympyrän pinta-ala, kun sen halkaisija on

3,0 ma) 16,0 mb) 25,4 mc) 210,0 md)

199. Mikä on ympyrän pinta-ala, kun sen

säde on 22 cma) halkaisija on 1,5 m?b)

200. Laske ympyrän halkaisijan pituus, kun kehän pituuson


3,0 cma) 25,0 cmb) 176,0 cmc)


201. Piirrä vihkoosi ympyrä, jonka kehän pituus on

5,0 cma) 10,0 cmb) 15,0 cm.c)

202. Polkupyörän renkaan säde on 33 cm. Montako kertaarengas pyörähtää 2 kilometrin matkalla?

203. Laske renkaan kehän pituus tuumina ja senttimetrei-nä, kun polkupyörän renkaan halkaisija on

26,0 tuumaaa) 28,0 tuumaa.b)

204. Kuinka suuri ympyrän muotoinen alue saadaan aida-tuksi 62,0 m pitkällä köydellä?

205. Suihkulähde on puoliympyrän muotoinen. Sen sädeon 1,8 m. Laske suihkulähteen

piiria) pinta-ala.b)

206. Pyöreän pöydän halkaisija on 150 cm. Laske tarvitta-van pöytäliinan pinta-ala, kun liina ulottuu vielä 8,0cm reunan ulkopuolelle.


207. Ympyrän piiri on 2,95 cm. Laske sen säde ja pinta-ala.

208. Täydennä taulukko.säde [cm] halkaisija [cm] kehän pituus [cm] pinta-ala [cm2]

11,0

19,8

128,0

198

1500

209. Maailman pienin ajokelpoinen yksipyöräinen on 20senttiä korkea ja sen pyörän halkaisija on 1,8 senttiä.Sen rakensi ruotsalainen Signar Berglund, ja hänenmaanmiehensä Peter Rosendahl on ajanut sillä usei-ta kertoja. Pisin matka on 8,5 metriä, jonka Rosen-dahl ajoi saksalaisessa televisio-ohjelmassa 29.3.1998.Montako kierrosta pyörä pyöri ajon aikana?

210. Piirrä ympyrä, jonka pinta-ala on

10 cm2a) 20 cm2b) 50 cm2.c)

211. Laske tummennetun alueen pinta-ala.

212. Ympyrän pinta-ala on 50 m2. Laske ympyrän säde,halkaisija ja kehän pituus.

213. Mikä on ympyrän säde, kun sen pinta-ala on 20 cm2?

214. Origokeskisen ympyrän säde on 9. Selvitä laskemallaonko piste A = (-4,8) ympyrän sisä- vai ulkopuolella?


215. Napakelkka rakennetaan keskuspuusta (jonka korkeusmaanpinnan yläpuolella on 1,0 m) ja 5,0 metrin työn-töpuusta. Kuinka pitkän matkan kelkka kulkee yhdel-lä kierroksella?

216. Laske Maapallon, Kuun ja Auringon ympärysmitat,kun niiden säteet ovat seuraavat: Maapallo 6378 km,Kuu 1738 km ja Aurinko 6,96·105 km. 1

217. Kuinka kauan kestäisi kävellä maapallon ympäri, joskävelyvauhti on 6 km/h (oletetaan, että voidaan kul-kea suorinta reittiä)?

Vaativat tehtävät

218. Maapallo kiertää aurinkoa nopeudella 29,78 km/s. Las-ke yhteen kierrokseen kuluva aika, kun maapallon kes-kimääräinen etäisyys auringosta on 149,597 · 109 m .Mitä itse asiassa tulit laskeneeksi?

219. Kellohametta valmistettaessa tarvitaan kahden saman-keskisen ympyräviivan rajoittama pala kangasta. Si-sempi ympyrä muodostaa hameen vyötärön ja ulompihelman. Tytölle, jonka vyötärön ympärysmitta on 60cm, halutaan ommella 60 cm pitkä kelohame. Kuinkaleveää kankaan pitää vähintään olla, jotta siitä voi-taisiin leikata hameeseen tarvittava ympyrärenkaanmuotoinen pala? Saumavaroja ja päärmeitä ei tarvit-se ottaa huomioon. (yo kevät 1998)

1Tiesitkö, ettei maa ole aivan pallon muotoinen, vaan se on navoil-taan litistynyt? Maapallon halkaisija on päiväntasaajalta mitattuna43 km pidempi, kuin jos mitataan maapallon pyörimisakselin pituusetelänvalta pohjoisnavalle. Litistymisen aiheuttaa päiväntasaajalla il-menevä suurempi keskeisvoima. Keskeisvoiman vaikutuksen pystyttuntemaan, kun autolla ajetaan riittävä kovaa mutkaista tietä.


220. Laske pienemmän neliön ala, kun suuremman neliönsivun pituus on 15 cm.


Miten maapallo kiertää auringon ympä-ri?

Maapallo ei kierrä Auringon ympäri aivan ympyrän muo-toista rataa. 1600-luvun alussa Johannes Kepler havaitsi,että planeettojen kiertoradat Auringon ympäri ovat ellipse-jä eli litistyneen ympyrän muotoisia ja niiden toisessa polt-topisteettä sijaitsee aurinko. Planeetoista Venuksen kierto-rata on lähinnä ympyrää, soikein rata on puolestaan Plu-tolla.

Kaikki planeetat kiertävät Aurinkoa samaan suuntaan,Auringon pohjoisnavalta katsottuna vastapäivään. Planee-tan kiertoaika Auringon ympäri määrää kyseisen planeetanvuoden pituuden: Lyhyin vuosi, 88 päivää, on Merkuriuk-sella, pisin, noin 248 vuotta, Plutolla. Maapallon vuosi ontarkalleen 365,26 päivää.

Tiesitkö, ettei Maapallon nopeuskaan ole koko ajan sa-ma? Kun Maapallo siirtyy pisteestä A pisteeseen B kuluusiihen yhtä paljon aikaa, kun jos Maapallo siirtyy pistees-tä C pisteeseen D. Pisteiden A ja B sekä Auringon muo-dostaman alueen pinta-ala sitä vastoin on yhtä suuri kuinAuringon ja pisteiden C ja D muodostaman alueen pinta-ala. Koska matka pisteestä A pisteeseen B on paljon pitem-pi kuin matka pisteestä C pisteeseen D, täytyy Maapallonkulkea huomattavasti nopeammin lähellä Aurinkoa. Tämävoidaan selittää kappaleiden vetovoiman perusteella. KunMaa on lähellä Aurinkoa, vetää Aurinko sitä voimakkaam-min puoleensa. Jotta Maapallo silti pysyisi radallaan, eikä


muuttaisi suuntaansa kohti aurinkoa, on sen kuljettava no-peammin.

Samaa lakia noudattavat myös aurinkokunnan ulkopuo-lelta tulevat pyrstötähdet ja samaan tapaan Kuu kiertääMaapalloa ympäri.

Ympyrän sektorin kaaren pituus ja pinta-ala 83

13 Ympyrän sektorin kaaren pituus japinta-ala

Kaksi sädettä OA ja OB sekä ympyrän kaari AB ra-jaavat sektorin. Sektorin keskuskulman α kärki onympyrän keskipisteessä.

Sektorin keskuskulman suuruus, pinta-ala ja kaaren pituusmuuttuvat samassa suhteessa. Sektorin laskukaavoissa sekuinka suuri osa ympyrästä otetaan, ilmaistaan keskuskul-man ja koko ympyrän astelukujen suhteena.

Ympyrän sektorin kaaren pituus

b =α

360◦2πr

84 Ympyrän sektorin kaaren pituus ja pinta-ala

Ympyrän sektorin pinta-ala on

A =α

360◦πr2

Esimerkki 1

Perhepizzan halkaisija on 42,0 cm. Tällöin sen pinta-ala on

A = πr2 = 3, 14 · (21.0 cm)2 ≈ 1385 cm2

ja kehän pituusp = πd = 3, 14 · 42 cm ≈ 132 cm.Jaetaan pizza tasan kuuden henkilön kesken ja lasketaankunkin saaman sektorin osat:

Yhden pizzapalan pinta-ala on siis kuudesosa koko pizzastaeli 231 cm2 ja vastaavasti pizzapalan kaaren pituus on 22cm.


Esimerkki 2

Ympyrän säde on 4,0 cm. Lasketaan 26° keskuskulmaa vas-taavan sektorin

1. kaaren pituus

b =α

360◦2πr =

26◦

360◦· 2 · 3, 14 · 4, 0 cm ≈ 1,8 cm

2. pinta-ala

A =α

360◦πr2 =

26◦

360◦· 3, 14 · (4, 0 cm)2 ≈ 3, 6 cm2

Vastaus: Sektorin kaaren pituus on 1,8 cm ja pinta-ala3,6 cm2.


Tehtäviä

221. Mikä tummennetuista alueista kuvaa ympyrän sekto-ria?

222. Nimeä ympyrän osat.

223. Ilmoita tummennettujen sektoreiden keskuskulmiensuuruudet, kun ympyrät on jaettu yhtäsuuriin osiin.

224. Ilmoita edellisen tehtävän sektoreiden pinta-alat, joskoko ympyrän pinta-ala on 150 cm2.

225. Ympyrä on jaettu yhtä suuriin sektoreihin kuvan mu-kaisesti. Mikä on sektorin

keskuskulman suuruus?a)

kaaren pituus, kun ympyrän kehän pituus on2,0 m?

b)


226. Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä siihen puut-tuvat tiedot.sektorin keskuskulma [ °] sektorin kaaren pituus [cm]

360 32

90

16

45

2

227. Ympyrän säde on 3,0 m. Laske sektorin kaaren pituus,kun sen keskuskulma on

180°a) 45°b) 30°c) 25°d)

228. Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä siihen puut-tuvat tiedot.sektorin keskuskulma [ °] sektorin pinta-ala [cm2]

360 60

30

90

6

6

229. Ympyrän säde on 4,0 m. Laske sektorin pinta-ala, kunsen keskuskulma on

120°a) 90°b) 30°c) 20°d)

230. Ympyrän säde on 5,0 cm. Laske 40° keskuskulmaavastaavan

sektorin alaa) kaaren pituusb)

231. Ympyrän säde on 10 cm ja keskuskulma 39°. Laskesektorin


kaaren pituus.a) pinta-alab)

232. Ympyrän halkaisija on 6,0 m. Laske 60° keskuskulmaavastaavan

kaaren pituusa) sektorin alab)

233. Mittaa tarvittavat osat oheisesta ympyrästä, jotta voitlaskea tummennetun sektorin kaaren pituuden ja pinta-alan.

234. Armeija harjoittelee ampuma-alueella, jonka laajuuson 35° ja kantama 25 km. Laske vaarallisen alueensuuruus.


235. Laske kuvioiden piirit.

236. Laske kuvan puoliympyröiden piirit ja pinta-alat.


237. Laske alueen pinta-ala.

238. Laske tummennetun alueen pinta-ala.

239. Kuinka pitkän kaaren kellon minuuttiviisari, jonka pi-tuus on 7,5 cm, kulkee

viiden minuutin aikanaa)

kahdenkymmenen minuutin aikana?b)

240. Laske tummennetun sektorin pinta-alan tarkka arvo.(Vastauksessa esiintyy π.)

241. Laske kuvion piiri ja pinta-ala.


242. Hihnapyörien keskiöväli on 1600 mm ja molempienhihnapyörien halkaisija on 320 mm. Kuinka pitkä hih-na on?

Vaativat tehtävät

243. Kuinka suuri on sektorin keskuskulma, jos ympyränsäde on 16 cm ja sektorin kaaren pituus 25 cm?

244. Laske sektorin keskuskulman suuruus, jos ympyränhalkaisija on 10,0 m ja pinta-ala 26,18 m2?

245. Laiva lähtee Mogadishusta Somaliasta (45° itäistä pi-tuutta) päiväntasaajaa pitkin kohti Sumatraa (100°itäistä pituutta). Päiväntasaajan pituus on 40 000km.

Kuinka pitkän matkan laiva kulkee?a)

Kuinka paljon pidemmän matkan lentää lokki,joka pysyttelee koko ajan 10 m laivan yläpuolella?

b)

Ympyrän tangenttikulma 91

14 Ympyrän tangenttikulma

Ympyrän tangentti on suora, joka kulkee säteen kehällä ole-van päätepisteen kautta ja on kohtisuorassa sädettä vas-taan. Tangentti siis sivuaa ympyrää ainoastaan yhdessä pis-teessä ja sen etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteensuuruinen.

Ympyrän ulkopuolisen pisteen kautta voidaan ympyrällepiirtää kaksi tangenttia. Kulmaa, jonka kyljet sijaitsevatympyrän tangenteilla, sanotaan tangenttikulmaksi. Tangant-tikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.

Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulmansumma on 180°.

Esimerkki 1Lasketaan keskuskulman suuruus, kun sitä vastaavan tan-genttikulman suuruus on 40°.Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summaon 180°, joten keskuskulma on 180◦ − 40°=140◦ .


Esimerkki 2Purjelaivan tähystyskori sijaitsee 40 m korkeudessa. Laske-taan kuinka kauaksi sieltä voi nähdä tyynellä säällä. Maa-pallon säde on 6378 km. (kuvan mittasuhteet eivät ole oi-kein)

Kuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka toinenkateeteista on kysytty etäisyys. Hypotenuusan pituus on6378 km + 0,040 km = 6378,040 km.

kysytty etäisyys =√(6378, 040 km)2 − (6378 km)2

= 22, 5885... km ≈ 23 kmVastaus: Tähystystornista voi nähdä 23 km päähän.

Huomaa, että todellisuudessa matka mitataan maapal-lon pintaa pitkin eli tässä pitäisi laskea sektorin kaaren pi-tuus, mutta koska sektorin keskuskulma on hyvin pieni, onoikeakin tulos kilometrien tarkkuudella sama.


Tehtäviä

246. Kuinka monta yhteistä pistettä voi ympyrällä ja tan-gentilla enintään olla?

247. Yhdistä kuvat ja nimitykset vihkossasi.

248. Piirrä ympyrä ja sille tangentti. Peilaa ympyrä tan-gentin suhteen.

249. Piirrä ympyrä, jonka säde on 3 cm ja sen ulkopuolellepiste P, joka on 7 cm:n päässä ympyrän keskipistees-tä. Pirrä pisteestä P ympyrälle kaksi tangenttia. Mit-taa tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulmansuuruudet.

250. Piirrä ympyrä ja sille kaksi yhdensuuntaista tangent-tia.

251. Laske tangenttikulman suuruus, kun vastaava keskus-kulma on

62°a) 98°b) 154°c)

252. Laske keskuskulman suuruus, kun vastaava tangent-tikulma on

52°a) 29°b) 70°c)


253. Kuinka suuri on kulma β?

254. Mikä on keskuskulmaa 186° vastaava tangenttikulma?


255. Piirrä ympyrä, jonka keskipiste sijaitsee pisteessä(2, 2) ja jonka säde on 4. Piirrä lisäksi ympyrälle tan-gentti pisteeseen

(-2, -2)a) (6, 2)b)

256. Piirrä ympyröiden yhteiset tangentit.

257. Päättele kulman α suuruus.

258. Määritä kulman α suuruus.


259. Määritä kulmat α ja β, kun keskuskulmaa vastaavakaari on 185 cm.

260. Laske kaaren p pituus.

261. Ympyrän kehältä erotetaan kaksi pistettä siten, ettäne ovat säteen etäisyydellä toisistaan. Mikä on pistei-siin piirrettyjen tangenttien välinen kulma?

Vaativat tehtävät

262. Jana AB on isomman ympyrän jänne ja pienemmänympyrän tangentti. Isomman ympyrän säde on 14 cmja pienemmän ympyrän säde 10 cm. Mikä on jananAB pituus?

263. Kuinka kauas voit tyynellä säällä nähdä risteilyaluk-sen kannelta, kun silmäsi ovat 13 m:n korkeudelta?Maapallon säde on 6378 km.


264. Kuinka kauas merelle voi nähdä rannalla seisova hen-kilö, jonka silmät ovat 170 cm korkeudella meren pin-nasta? Maapallon säde on noin 6380 km. (yo kevät1987)

265. Mikä on pisteen P lyhin etäisyys ympyrän kehältä,kun keskuskulmaa 152° vastaava kaari on 65 m ja pis-teestä P piirretyn tangentin pituus säteen sivuamis-pisteeseen on 74 m?

266. Mikä on keskimmäisen ympyrän säde?Vihje: käytä hyväksesi kolmioiden yhdenmuotoisuut-ta.

Ympyrän kehä- ja keskuskulma 97

15 Ympyrän kehä- ja keskuskulma

Ympyrän kehäkulma on kulma, jonka kärki on ympyränkehällä ja jonka kylkinä on kaksi jännettä tai jänne ja tan-gentti. Kehäkulman kylkien väliin jäävä kehän osa on ke-häkulmaa vastaava kaari. Kehäkulmaa vastaava keskuskul-ma puolestaan sijaitsee ympyrän keskipisteessä ja sen kyljeterottavat ympyrästä kehäkulmaa vastaavan kaaren.

Thalesin lause: Ympyrän halkaisijan päätepisteistäkehälle samaan pisteeseen piirretyt janat ovat kohti-suorassa toisiaan vastaan. Tosin sanoen puoliympy-rän kaaren sisältämä kulma on suora.

Jos kehäkulma piirretään joltain muulta ympyrän jänteeltäkuin halkaisijalta, ei kehäkulma ole 90°. Samalta jänteeltäympyrän kehälle piirretyt kehäkulmat ovat kuitenkin ainayhtä suuret, jos kehäkulmat sijaitsevat samalla jänteen ja-kamalla segmentillä eli samalla puolella jännettä. Jos sa-masta ympyrän jänteestä piirretään kaksi kehäkulmaa si-ten, että ne sijaitsevat eri segmenteissä, on kehäkulmiensumma 180°.


Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suu-ret.

Kehäkulmalause: Samalla ympyrän jänteellä sijaitse-va keskuskulma on kaksi kertaa niin suuri kuin sitävastaava kehäkulma.


Esimerkki 1

Määritetään kulmien α, β ja γ suuruudet.Koska kaikki kehäkulmat ja keskuskulma on piirretty sa-malta ympyrän jänteeltä, voidaan soveltaa yläpuolella ole-via lauseita.

Vastaus: α = 58°, β = 116° ja γ = 124°


Tehtäviä

267.

Mitkä kuvien kulmista α esittävät

kehäkulmaaa) keskuskulmaab)

tangenttikulmaa?c)

268. Piirrä ympyrä ja sen sisälle kolmio, jolla on kaksi ke-häkulmaa ja keskuskulma.

269. Onko seuraava väite totta? Ympyrän mistä tahan-sa jänteestä kehälle samaan pisteeseen piirretyt janatovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

270. Päättele kulmien α ja β suuruudet.

271. Mikä on kehäkulman suuruus, kun sitä vastaavan kes-kuskulman suuruus on

82°a) 134°b) 68°c) 258°?d)

272. Mikä on keskuskulman suuruus, kun sitä vastaavankehäkulman suuruus on

30°a) 75°b) 120°c) 3x?d)

273. Piirrä ympyrä, jonka säde on 4 cm ja siihen 65°:nkehäkulma siten, että sen


molemmat kyljet ovat jänteitäa)

ainoastaan toinen kylki muodostuu ympyrän jänteestä.b)

274. Piirrä ympyrä, jonka säde on 4 cm ja siihen 140°:n kes-kuskulma. Piirrä lisäksi keskuskulmaa vastaava kehä-kulma siten, että sen



275. Kuinka suuri on kulma α?

276. Laske kulman α suuruus.

277. Onko seuraava väite totta? Jos ympyrän sisälle piir-retään nelikulmio siten, että sen kaikki kulmat ovatkehäkulmia, on vastakkaisten kulmien summa 180°.


278. Määritä kulmien α ja β suuruudet.


279. Määritä kulma α, kun jana AB on ympyrän tangentti.

Vaativat tehtävät

280. Helsingin ja Moision keskustat sijaitsevat samalla pi-tuuspiirillä 24° 56´ itäistä pituutta, Helsingin keskus-ta leveyspiirillä 60° 9´pohjoista leveyttä ja Moision62° 26´pohjoista leveyttä. Kuinka kaukana keskustatovat toisistaan? Maapallon ympärysmitta on 40 000km. (yo kevät 2000)

Kertaustehtäviä 103

16 Kertaustehtäviä

16.1 Yhtenevät ja yhdenmuotoiset kuviot

281. Millaisia ovat keskenään yhtenevät kuviot?

282. Millä symbolilla kuvataan

yhtenevyyttäa) yhdenmuotoisuutta?b)

283. Millaisia ovat yhdenmuotoisten kuvioiden

vastinkulmata) vastinsivut?b)

284. Ovatko yhtenevät kappaleet myös yhdenmuotoisia?

285. Merkitse kuvioiden ABCDE ja FGHIJ yhdenmuotoi-suus. Mitkä ovat vastinosia keskenään?

286. Kuvan suorakulmiot ovat yhdenmuotoisia. Laske x:llämerkityn sivun pituus.

16.2 Mittakaava

287. Kumpi mittakaavoista on pienempi?

1 : 150 000 vai 1 : 15 000a)

1 : 20 vai 1 : 200b) 400 : 1 vai 4 000 : 1c)

10 : 1 vai 1 : 1d)


288. Miten mittakaavalla merkitään, että kuva on

suurennettu 200-kertaiseksia)pienennetty sadasosaan?b)

289. Piirrä vihkoosi suorakulmainen kolmio, jonka kantaon 3 ruudun sivua ja korkeus 6 ruudun sivua. Piirrätämän kanssa yhdenmuotoinen kuvio mittakaavassa

1 : 3a) 3 : 1b)

290. Täydennä taulukko.etäisyys kartalla etäisyys luonnossa

2 cm 400 m

5 cm

9 cm

3 km

42 km

291. Mikä on yhtenevien kuvioiden mittasuhde?

292. Mikä on kartan mittakaava, kun 15 km:n pituinen tieon kartalla 30 cm?

293. Matkan pituus on luonnossa 3,5 km. Paljonko pituuson kartalla, jonka mittakaava on 1 : 15 000?

294. Kartan mittakaava on 1 : 10 000. Mikä on matka luon-nossa, jos se kartalla on 3,4 cm:n pituinen?

295. Koripallokenttä on kooltaan 28 m x 15 m. Piirrä kent-tä mittakaavassa 1:1000.

16.3 Kolmioiden yhdenmuotoisuus

296. Jos kolmio jaetaan kahteen osaan jollakin kolmion si-vun kanssa yhdensuuntaisella suoralla, mitä voit sa-noa muodostuneesta kolmiosta?


16.4 Peilaus suoran suhteen

297. Janan päätepisteet ovat (1, 1) ja (2, 3). Peilaa jana

x-akselin suhteena) y-akselin suhteen.b)

298. Täydennä lauseet.sanotaan kuviota, joka kuvautuu it-

selleen peilaussuoran suhteen.Peilaussuoraa sanotaan tällöin kuvion .

299. Mikä kuvio syntyy, kun suorakulmainen kolmio pei-lataan

kateetin suhteen?a) hypotenuusan suhteen?b)

300. Piirrä ympyrä ja suora. Peilaa ympyrä suoran suh-teen.

301. Jäljennä seuraavat suoran suhteen symmetriset ku-viot vihkoosi ja piirrä niihin kaikki symmetria-akselit.

16.5 Peilaus pisteen suhteen

302. Miten pisteen suhteen symmetrinen kuvio pitää pei-lata, jotta se kuvautuisi täsmälleen samaan paikkaan,jossa se alunperin oli?

303. Janan päätepisteet ovat (-3, 2) ja (0, 1). Peilaa janaorigon suhteen.

304. Voiko epäsäännöllisellä kuviolla olla kiertosymmetri-aa?


16.6 Kierto ja siirto tasossa

305. Luettele yhtenevyyskuvaukset.

16.7 Neliöjuuri

306. Selitä parillesi omin sanoin, mitä neliöjuurella tarkoi-tetaan.

307. Laske päässä.

√4a)

√9b)

√25c)

√100d)

√10000e)

√−49f) −

√36g)

308. Määritä kolmidesimaalinen likiarvo

√2a)

√8b)

√335c)

√4562d)

309. Mikä luku sopii x:n paikalle?

√x = 2a)

√49 = xb)

√x = 12c)

√0, 16 = xd)

√x = 100e)

310. Piirrä neliö, jonka pinta-ala on

9 ruutua,a) 25 ruutua,b) 9 cm2.c)

311. Neliönmuotoisen torin pinta-ala on 500 m2. Laske to-rin piiri.

312. Mikä on neliön sivun pituus, kun sen pinta-ala on

64 cm2a) 5776 cm2b) 110,25 cm2?c)


16.8 Neliöjuurilaskuja

313. Laske lausekkeen x = −b+√b2−4ac2a arvo, kun

a = 5, b = 3 ja c = -8a)

a = 2, b = -4 ja c = 2b)

314. Kaksitoista vuotta suurien jäätiköiden sulamisen jäl-keen alkavat jäkälät kasvaa kivien pinnalla. Jokainenjäkälä kasvaa suunnilleen ympyrän muotoisena. Jäkä-län halkaisijan ja iän välillä vallitsee seuraava yhteys:d = 7, 0 ·

√t− 12 kun t ≥ 12,

missä d on jäkälän halkaisija millimetreinä ja t jäänkatoamisesta kuluneet vuodet.

Laske kaavan avulla jäkälän halkaisija 15 vuo-den kuluttua jään katoamisesta.

a)

Laske kaavan avulla jäkälän halkaisija 50 vuo-den kuluttua jään katoamisesta.

b)

Jos jäkälän halkaisija on 45 mm, tutki kokeile-malla kuinka monta vuotta sitten jää on sulanutkyseiseltä paikalta?

c)

(Lähde: Kansainvälinen oppimistulosten arviointioh-jelma, Pisa)

315. Heilurin heilahdusaika t (= edestakaiseen heilahduk-seen kulunut aika) voidaan laskea lausekkeellat = 2π

√lg , missä l on heilurin langan pituus ja g =

9,81 m/s2. Laske heilahdusaika, kun heilurin langanpituus on

1 ma) 5 mb) 10 mc)


16.9 Pythagoraan lause

316. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 28 cm,45 cm ja 53 cm. Totea laskemalla, että kolmio on suo-rakulmainen.

317. Onko kolmio suorakulmainen, jos kolmion sivujen pi-tuudet ovat

55 cm, 100 cm ja 45 cma)

16 mm, 12 mm ja 20 mmb)

14 cm, 48 cm ja 50 cm?c)

318. Kirjoita Pythagoraan lause seuraavien kolmioiden avul-la.

319. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 6,2 cm,7,4 cm ja 9,7 cm. Laske kolmion pinta-ala.

320. Voiko tasakylkinen kolmio olla suorakulmainen?

16.10 Pythagoraan lauseen sovelluksia

321. Määritä kolmioista sivun x pituus yhden desimaalintarkkuudella.


322. Laske hypotenuusan pituus, kun kateetit ovat

3,3 cm ja 4,7 cma) 12,6 m ja 14,3 mb)

25,6 cm ja 16,0 cm.c)

323. Laske kateetin pituus, kun

hypotenuusa on 5,8 cm ja toinen kateetti on 4,0cm

a)

hypotenuusa on 16,5 cm ja toinen kateetti on5,8 cm

b)

hypotenuusa on 19,2 cm ja toinen kateetti on7,9 cm.

c)


325. Laske oheisen kuvan muotoisen alueen

piiria) pinta-alab)


326. Laske kuvassa olevan jakkaran istuinosan leveys, kunjakkaran korkeus on 42 cm.

16.11 Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

327. Pyöreän porealtaan halkaisija on 2,8 m. Laske altaanympärysmitta.

328. CD-levyn halkaisija on 12,0 cm. Laske CD-levyn

kehän pituusa) pinta-ala.b)

329. Mimmi mittasi pihakoivun ympärysmitan narulla. Hänsai ympärysmitaksi 32,0 cm. Mikä on pihakoivun hal-kaisija?

330. Maapallon piiri on noin 40 000 km. Laske maapallonhalkaisija.

331. Auton renkaan halkaisija on 55 cm. Montako kertaarengas pyörähtää, kun autolla ajetaan 500 km?

332. Suomen sisävesien pinta-ala on 31 600 km2. Mikä olisisamankokoisen

neliön sivun pituus?a) ympyrän halkaisija?b)

333. Saarella, jonka pinta-ala on 3,00 ha, on kahden ta-lon välinen etäisyys 200 m. Voiko saari olla ympyränmuotoinen? (yo syksy 1988)

334. Nosturi voi liikkua suoria kiskoja pitkin 30 m ja ku-rottua 20 m:n päähän. Kuinka suuri on nosturin saa-vuttama alue? (Vastaus 10 m2:n tarkkuudella.) (yosyksy 1989)


335. Pienempi ympyrä vierii liukumatta pitkin suurem-man ympyrän kehää nuolen suuntaan. Pienemmänympyrän halkaisija on yhtä suuri kuin suuremmanympyrän säde. Mikä pienemmän ympyrän pisteistäB, C, D, E osuu pisteeseen A? (pääsykoetehtävä tek-nikkokoulutukseen, 1989)

16.12 Ympyrän sektorin kaaren pituus ja pinta-ala

336. Kuvan ympyröiden kehän pituus on 72 cm. Ilmoitavarjostettujen sektoreiden kaarien pituudet.


337. Ilmoita edellisen tehtävän varjostettujen sektoreidenkaarien pituudet, jos ympyröiden pinta-alan tarkkaarvo on 18 π cm2.

338. Ympyräsektorin säteen pituus on r ja keskuskulmansuuruus α . Kirjoita kaava, kuinka voit laskea sektorin

kaaren pituuden ba) pinta-alan A.b)

339. Laske sektoreiden kaarien pituudet.

340. Laske edellisen tehtävän sektoreiden pinta-alat.

341. Ympyrän säde on 7,0 cm ja keskuskulma 29°. Laskesektorin

kaaren pituus.a) pinta-alab)

342. Ympyrän halkaisija on 18,0 m. Laske 70° keskuskul-maa vastaavan

kaaren pituusa) sektorin alab)

343. Kuinka suuri on sektorin keskuskulma, jos ympyränsäde on 11,0 m ja sektorin kaaren pituus on

11πa) 11π2b) 11π

6c)

344. Hihna kulkee kahden ympyrän ympäri (ulkopuolitse).Laske hihnan pituus, kun ympyröiden säteet ovat 520mm ja 310 mm. Ympyröiden keskipisteiden väli on700 mm.


16.13 Ympyrän tangenttikulma

345. Piirrä ympyrä ja sen ulkopuolelle piste P. Pirrä pis-teestä P ympyrälle kaksi tangenttia. Mittaa tangent-tikulman ja sitä vastaavan keskuskulman suuruudet.

346. Laske tangenttikulman suuruus, kun vastaava keskus-kulma on

66°a) 58°b) 134°c)

347. Laske keskuskulman suuruus, kun vastaava tangent-tikulma on

54°a) 20°b) 79°c)

348. Piirrä kahden ympyrän yhteiset tangentit, kun ympy-röillä on sama säde ja ne

leikkaavat toisensaa) sivuavat toisiaanb)

eivät kosketa toisiaan.c)

349. Määritä kulman α suuruus.

350. Ympyrän kehältä erotetaan kaksi pistettä siten, ettäne ovat ympyrän halkaisijan etäisyydellä toisistaan.Mikä on pisteisiin piirrettyjen tangenttien välinen kul-ma?

351. Kuinka kaus merelle voi tyynella säällä nähdä ranta-kalliolla seisova mies, kun hänen silmänsä ovat 10 mkorkeudella merenpinnasta? Maapallon säde on 6378km.


16.14 Ympyrän kehä- ja keskuskulma

352. Mikä on kehäkulman suuruus, kun sitä vastaavan kes-kuskulman suuruus on

80°a) 122°b) 78°c) 4x°?d)

353. Mikä on keskuskulman suuruus, kun sitä vastaavankehäkulman suuruus on

25°a) 70°b) 100°c) 2x?d)

354. Piirrä ympyrä, jonka säde on 3 cm ja siihen 120°:n kes-kuskulma. Piirrä lisäksi keskuskulmaa vastaava kehä-kulma siten, että sen



355. Määritä kulma α.

Harjoituskoe 115

16.15 Harjoituskoe

1. Jos kolmion sivujen pituudet ovat 4 m, 6 m ja 9 m,onko kolmio suorakulmainen?

2. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 7,2 m ja 5,6 m.Laske kolmion

pinta-alaa) piirib)

3. Täydennä taulukkoon puuttuvat tiedot.etäisyys kartalla etäisyys luonnossa

2 cm 800 m

4 cm

2 km

4. Kuvassa on puoliympyrä, jonka keskipiste on O. Ja-nan AB pituus on 14,0 cm.

Mitä nimitystä janasta AB jäytetään?a)

Laske puoliympyrän piiri.b)

Laske puoliympyrän pinta-ala.c)

5. Laske kaaren p pituus.

116 Harjoituskoe

6. Mikä yhtenevyyskuvaus muuttaa kolmion A kolmiok-si

Ba) Cb) Dc) Ed) F?e)

Documents

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa · 4 Kultainen leikkaus* 25 5 Peilaus suoran suhteen 32 6 Peilaus pisteen suhteen 38 7 Kierto ja siirto tasossa 42 8 Neliöjuuri 49