5.1. Tason yhtälö

Pisteen (x0, y0. z0) kautta kulkevan ja vektoria kcjbia vastaan kohtisuorassa

olevan tason yhtälö on

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori

kjin 32

E.2. Taso kulkee pisteen (5, -1, -4) kautta ja on kohtisuorassa vektoria kji 234

vastaan. Määritä tason yhtälö.

4(x – 5) - 3(y + 1) + 2(z + 4) = 0

4x – 20 – 3y – 3 + 2z + 8 = 0

4x – 3y + 2x – 15 = 0

TAPA 2

Tason yhtälö muotoa

4x – 3y + 2z + d = 0

Tason piste (5, -1, -4):

4 5 – 3 (-1) + 2 (-4) + d = 0

d = -15

4x – 3y + 2z + d = 0

5.2 Suoran asema tasoon nähden

Katso kuva s. 127

E.1.

Osoita, että suora R t

1

21

3

tz

ty

txon tasossa 3x – 2y + z – 8 = 0

Sijoitetaan suoran mielivaltainen piste (3 + t, 1 + 2t, 1 + t) tason yhtälöön:

3(3 + t) – 2(1 + 2t) + (1 + t) – 8 = 0

9 + 3t – 2 – 4t + 1 + t – 8 = 0

0 = 0

tosi kaikilla parametrin t arvoilla.

Täten suora on tasossa.

E.2.

Osoita, että suora R t

2

2

tz

ty

txon yhdensuuntainen tason 2x – y + z + 1 = 0

Suora on tason suuntainen, jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan.

Suoran suuntavektori:

kanssa, mutta ei ole tämän tason suora.

Suoran pisteessä (0, 2, 2) :

2 0 – 2 + 2 + 1 = 1 ≠ 0,

joten suora ei ole tasossa.

kjis

Tason normaalivektori: kjin 2

011)1(121 ns ns suora on tason suuntainen

E.3.

Määritä suoran R t

3

2

1

tz

ty

txja tason x + y + z - 4 = 0 leikkauspiste.

Koordinaatit toteuttavat tason yhtälön:

x + y – z – 4 = 0

1 – t + 2 – t + 3 + t – 4 = 0

-t + 2 = 0 t = 2

x = 1 – 2 = -1

y = 2 – 2 = 0

z = 3 + 2 = 5

Leikkauspiste: (-1, 0, 5)

5.3 Tasojen keskinäinen asema (katso s. 131)

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet.

Normaalivektorit:

a) 2x + y – z +1 = 0 ja x – y – 2z + 2 = 0

kjin 21 kjin 22

ovat erisuuntaisia, koska 1

1

1

2

Tasot leikkaavat pitkin suoraa

022

012

zyx

zyx

22

12

zyx

zyx

3x = 3z - 3

x = z - 1

Merkitään z = t

Tasojen leikkaussuoran yhtälö

R t1

1

tz

ty

tx

y = -2x + z – 1 = -2(z – 1) + z – 1 = -z + 1

Tasot leikkaavat pitkin suoraa, joka kulkee pisteen (-1, 1, 0) kautta ja on vektorin

suuntainen

kji

b) x – 2y – z + 2 = 0 ja – 2x + 4y + 2z + 5 = 0

T1: x – 2y – z + 2 = 0 T2: – 2x + 4y + 2z + 3 = 0

kjin 21

kjin 2422

Koska 12 2nn niin normaalivektorit ja täten myös tasot ovat yhdensuuntaiset

Piste (0, 1, 0) tasossa T1, mutta ei tasossa T2, sillä

-2x + 4y + 2z + 3 = -2 0 + 4 1 + 2 0 + 5 = 9 ≠ 0.

Siis tasot ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, joten niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä.

c) –x + 3y + z – 2 = 0 ja 3x – 9y – 3z + 6 = 0

-x + 3y +z - 2 = 0

Siis tasot ovat yksi ja sama taso ja yhteisiä pisteitä ovat kaikki tämän tason pisteet.

Jaetaan tason 3x – 9y – 3z + 6 = 0 yhtälö luvulla -3 saadaan

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat

a) yhdensuuntaiset b) toistensa normaalitasot

a) Tasot ovat yhdensuuntaiset, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset

kjain 21kjian 282

Siis on olemassa luku t siten, että 21 ntn

)28(2 kjiatkjai ktjtita 28

t

ta

ta

21

8

2

t

ta

21

8

42

1

a

t

Tutkitaan, toteuttaako ratkaisu myös kolmannen yhtälön:

2 = -½ (-4)

2 = 2

tosi, siis toteuttaa

Tasot yhdensuuntaiset, kun a = -4

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat

b) toistensa normaalitasot

Tasot ovat toistensa normaalitasoja, kun niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

028221 aann

5

1a

210a

Tasojen välinen kulma

= tasojen normaalien välinen kulma

E.4. Laske tasojen 2x – y – 2z + 6 = 0 ja x + 2y – 2z – 8 = 0

välinen kulma

kjin 221 kjin 222

21

2121 ),cos(

nn

nnnn

222222 )2(21)2()1(2

)2(22112

9

4

6,63),( 21 nn

Kolmen tason keskinäinen asema

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

a) 2x – 3y – z – 4 = 0, 3x + 4y + z – 5 = 0 ja 4x + 5y – 2z + 3 = 0

03254

0543

0432

zyx

zyx

zyx 1

1 2

1

0543

0432

zyx

zyx

03254

010286

zyx

zyx

5x + y - 9 = 0 10x +13y -7 = 0

0713y10x

09y 5x

(-2)

07 13y10x

0182y -10x-

11y + 11 = 0

y = -1

x sijoittamalla:

10x + 13 (-1) – 7 = 0

10x = 20

x = 2

z sijoittamalla:

3 2 + 4 (-1) + z – 5 = 0

z = 3

V: Yhtälöryhmän ratkaisu piste

(2, -1, 3)

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

b) x + y + z – 1=0 , -2x + y -2z + 2 = 0 ja 4x + y +4z = 0

0 44

0222

01

zyx

zyx

zyx 2

1 2

1

022zy 2x

022z2y2x

0 4 4

04424

zyx

zyx

3y - 1 = 0 3y + 4 = 0

4- 3y

03y

4

3-y

0y

V: Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eikä tasoilla näin ollen yhtään yhteistä pistettä

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

c) 2x + y + z – 1 = 0, -2x + y - 2z + 2 = 0 ja 2x - 3y + 3z - 3 = 0

03332

0222

012

zyx

zyx

zyx

0222

01 2

zyx

zyx

03332

022 2

zyx

zyx

2y - z + 1 = 0 -2y + z – 1 = 0

012y-

01z-2y

z

12 yz

Sijoittamalla z = 2y + 1 yhtälöön:

2x + y + (2y + 1) – 1 = 0

2x + 3y = 0 yx2

3

R t

12

2

3

tz

ty

tx

Tasojen yhteiset pisteet muodostavat suoran

R t

12

2

3

tz

ty

tx kulkee pisteen (0, 0, 1) kautta ja on vektorin

kji 22

3

suuntainen