1. 45lgebraytrigonometra Sumatoria y productoria Vea el mdulo 4 del programa de televisin lgebra y trigonometra Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/ Introduccin Cuando una serie de trminos sigue una ley general de formacin, a la suma de esos trminos se les puede representar mediante un smbolo abreviador, llamado smbolo sumatoria o notacin sigma. De manera anloga, cuando una serie de trminos sigue una ley general de formacin, ese producto se puede representar mediante otro smbolo abreviador llamado productoria. Esta ser la temtica del presente mdulo. Objetivo 1. Representar mediante los smbolos abreviadores de suma y producto, ciertas expresiones que proveen una ley de formacin determinada. Preguntas bsicas 1. Cmo se denotan lo smbolos sumatoria y productoria? 2. Cul es la suma de los n primeros nmeros naturales? 3. Cul es la suma de los n primeros nmeros naturales pares? 4. Cul es la suma de los n primeros nmeros naturales impares? Contenido 4.1 Sumatoria 4.2 Productoria 4

2. 46 4.1 Sumatoria Sea f una funcin, y m, n, k enteros tales que m k n y pertenecientes al dominio de f. Entonces el smbolo ( ) n k m f k = se define as: ( ) ( ) ( 1) ... ( 1) ( ), n k m f k f m f m f n f n = = + + + + + donde k se denomina el ndice de la sumatoria, m es el lmite inferior y n es el lmite superior. Propiedadesdelasumatoria Sean f y g funciones, y m, n, k, p enteros pertenecientes al dominio de f y g, tales que ,m k n y sea C una constante real. Entonces: i. [ ]( ) ( ) ( ) ( ) n n n k m k m k m f k g k f k g k = = = = Propiedad aditiva ii. ( ) ( ) n n k m k m Cf k C f k = = = Propiedad distributiva iii. ( 1) ; n k m C n m C = = + en particular, n k m C nC = = Propiedad homognea iv. 1 ( ) ( ) ( ) pn n k m k m k p f k f k f k = = = + = + si m n y m p n Propiedad aditiva v. ( ) ( ) p nn k m J m p f k f J p + = = + = Desplazamiento del lmite vi. [ ]( ) ( 1) ( ) ( 1); n k m f k f k f n f m = = en particular, [ ] 1 ( ) ( 1) ( ) (0) n k f k f k f n f = = Propiedad telescpica Ejemplo28 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5 1 . i i = Este resultado quiere decir que le damos a i los valores consecutivos desde 1 hasta 5 y se suman los resultados. El nmero escrito en la parte inferior del signo se llama lmite inferior de la sumatoria y el nmero escrito en la parte superior se llama lmite superior de la sumatoria. Captulo1:Elementosdearitmtica 3. 47lgebraytrigonometra Ejemplo29 Represente mediante la notacin de sumatoria: 1 2 3 4 5 6 7 .x x x x x x x+ + + + + + Solucin La variacin de i es de 1 a 7 como exponente. Por tanto, 7 1 2 3 4 5 6 7 1 .i i x x x x x x x x = + + + + + + = Ejemplo30 Denote mediante la notacin de sumatoria: 4 6 8 10 12 .x x x x x+ + + + Solucin La expresin se puede escribir como 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 .x x x x x x x x x x+ + + + En este caso, una parte del exponente vara desde 2 hasta 6 de forma consecutiva tomando valo- res enteros. En consecuencia, 6 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 2 .x x x x x i i x x x x x x = + + + + = Ejemplo31 Encuentre el resultado de desarrollar la siguiente sumatoria: 10 2 3 .i i ix = Solucin Dndole a i los valores consecutivos desde 3 hasta 10 se tiene: 10 2 6 8 10 20 3 3 4 5 ... 10 .i i ix x x x x = = + + + + Ejemplo32 Exprese mediante la notacin de sumatoria 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 .x x x x x+ + + + Solucin El coeficiente de las x vara desde 4 hasta 8. El exponente vara como el coeficiente, pero con una unidad menos en cada trmino. Por tanto, 8 3 4 5 6 7 1 4 4 5 6 7 8 .i i x x x x x ix = + + + + = Tambin hubiramos podido escribir la suma anterior como: ( ) 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 1 .i i x x x x x i x = + + + + = + Mdulo4:Sumatoriayproductoria Escuche Biografa de Galois en su multimedia de lgebra y trigonometra 4. 48 Ejemplo33 Calcule 1 (2 1). n k k = Solucin ( ) ( ) 2 2 2 1 1 22 2 (2 1) ( 1) ; ac . 1 1 , segn la propiedad telescpica. n n k k k k k f k k n n = = = = = = Ejemplo34 Calcule 1 . n k k = Solucin Del ejemplo anterior se tiene: 2 1 (2 1) . n k k n = = Si se aplican las propiedades aditiva yhomognea, se tiene: 2 1 1 2 1 . n n k k k n = = = Pero 1 1 ; n k n = = por tanto: 2 1 2 . n k k n n = = + ( )2 1 1 . 2 2 n k n nn n k = ++ = = Ejemplo35 Calcule ( )2 1 3 3 1 . n k k k = + Solucin ( ) ( ) 32 3 1 1 3 3 1 1 ; n n k k k k k k = = + = ac ( ) 3 ,f k k= y segn la propiedad telescpica, ( )2 3 1 3 3 1 . n k k k n = + = Ejemplo36 Calcule 2 1 . n k k = Captulo1:Elementosdearitmtica 5. 49lgebraytrigonometra Solucin En el ejemplo anterior se tiene que: ( )2 3 1 3 3 1 , n k k k n = + = de donde resulta 2 3 1 1 1 3 3 1 . n n n k k k k k n = = = + = Por tanto: ( )2 3 1 1 3 3 . 2 n k n n k n n = + + = Al despejar 2 1 n k k = se obtiene: ( )( )2 1 1 2 1 . 6 n k n n n k = + + = Ejemplo37 Calcule ( )( ) 4 1 1 2 . k k k k = + + Solucin ( )( ) 4 1 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 210. k k k k = + + = + + + = Ejemplo38 Usando notacin sigma exprese 1 2 2 3 3 4 4 5 .a b a b a b a b+ + + Solucin Obsrvese que los subndices de la letra a varan de 1 a 4 y los de la b son una unidad mayor que los de a, luego cada trmino de la suma es de la forma 1,k ka b + en donde k recorre los valores 1, 2, 3, 4. Entonces: 4 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 .k k k a b a b a b a b a b + = + + + = Ejemplo39 Escriba bajo el smbolo sumatoria: 3 4 5 log2 log log log . 2 3 4 + Mdulo4:Sumatoriayproductoria 6. 50 Solucin Se observa que la expresin se puede escribir como: 1 1 1 2 1 3 1 4 log log log log . 1 2 3 4 + + + + + Los numeradores del argumento son de la forma 1 + k, con k variando de 1 a 4. Los denominadores del argumento varan de 1 a 4. Como los signos se alternan, hay que multiplicar por una expresin de la forma ( ) 1 1 , k con k variando de 1 a 4. Por tanto: ( ) ( ) ( ) 4 1 1 13 4 5 log2 log log log 1 log . 2 3 4 k k k k = + + = 4.2 Productoria Al igual que la notacin discutida en el numeral anterior, el smbolo productoria, que se denota por , significa una operacin, en este caso producto, donde los trminos del producto siguen una ley general de formacin. Con el smbolo se denotar el producto 1 2 3 4 ... na a a a a en la forma siguiente: 1 2 3 4 ... na a a a a = 1 . n i i a = De la misma manera como ocurre con el smbolo sumatoria, se le dan valores a i, enteros consecutivos, desde el valor indicado en la parte inferior del smbolo productoria, hasta el valor indicado en la parte superior del mismo. Captulo1:Elementosdearitmtica 7. 51lgebraytrigonometra Captulo 1: Elementos de aritmtica 1. Halle el 12% de 80. RTA: 9.6. 2 Al precio de venta de un artculo se le han hecho dos descuentos sucesivos: el primero, de 1d %; el segundo, que se calcula tomando como base el precio ya rebajado, de 2d %. Cul ser el descuento nico equivalente, partiendo del precio original? 3. Halle qu porcentaje es 51 de 170. RTA: 30%. 4. El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta 20%, mientras que la altura disminuye 12%. Determine en qu porcentaje vara el volumen, especificando si ste aumenta o disminuye. 5. De los 600 alumnos de una escuelaA, 432 ganaron todos los exmenes, y de los 650 de otra escuela B lo lograron 455. Cul de las dos escuelas obtuvo un mejor resultado porcentual en ganar todos los exmenes? RTA:A, con el 72%. 6. Al precio de venta de un artculo se le rebaja el 10%. Determine en qu porcentaje sera necesario aumentar el precio rebajado para que el nuevo precio coincida con el original. 7. El agua de mar en cierta zona contiene un 5% de sal y se tienen 80 kg de dicha agua. Determine qu cantidad de agua destilada ser necesario mezclar con los 80 kg, de modo que la mezcla resultante contenga 2% de sal. RTA: 120 kg. 8. Una magnitud variable aument, en una primera etapa, 40% de su valor y, en una segunda, disminuy 30% del valor que tena al finalizar la primera etapa. Cul era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa era de 9.860? 9. Un grupo de 20 obreros realiza una obra consistente en un muro de 80 m de largo, 1 m de ancho y 5 m de altura. Luego, 16 de ellos, trabajando con la misma eficiencia de antes, construyen un muro anlogo al anterior, pero de 50 m de largo y 4 m de altura. Qu ancho tena ese segundo muro? RTA: 1.6 m. 10. Determine el descuento nico equivalente a dos descuentos sucesivos de 40 y de 25%. 11. Halle de qu nmero es 1.092 el 30% ms. RTA: 840. 12. Determine el porcentaje de incremento nico, equivalente a dos incrementos sucesivos de 20% y de 25%. 13. Halle qu tanto por ciento de 240 es 26.4. RTA: 11%. 14. Dieciocho hombres pueden hacer una obra en diez das trabajando cada da durante ocho horas. a. Cuntos hombres ms harn falta trabajando con la misma eficiencia, para hacer la obra en dos das? b. Con cuntos hombres menos hubiera sido posible culminar la obra en 30 das? 15. Halle de qu nmero es 522.6 el 22% menor. RTA: 670. 16. Halle qu porcentaje es 63 de 180. 17. Al precio de venta de un artculo se le han hecho dos descuentos sucesivos del 12% y del 20% respectivamente. Si despus del segundo descuento el precio de venta es de 528 pesos, cul es el precio de venta original? RTA: 750 pesos. 18. Halle de qu nmero es 408 el 70% ms. Ejercicios del captulo 1 (mdulos 1 al 4) 8. 52 19. Una magnitud variable aument, en una primera etapa, en el 30% de un valor y, en una segunda, disminuy en el 20% del valor que tena al finalizar la primera etapa. Cul era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa era de 8.840? RTA: 8.500. 20. Halle de qu nmero es 546 el 9% menos. 21. Determine el porcentaje de incremento nico, equivalente a dos incrementos sucesivos del a1 % y del a2 % por ciento. RTA: 1 2 1 2 %. 100 a a a a+ + 22. En un examen de matemticas se presentaron todos los alumnos de un grupo. El 10% del total obtuvo calificacin 2, 40% calificacin 3, 20% calificacin 4 y los 27 restantes calificacin 5. Determine el nmero de alumnos que formaban el grupo. 23. El radio de una esfera aumenta en el 30%. Determine en qu porcentaje aumenta su rea. RTA: 69%. 24. Entre los locales A y B hay almacenados en total de 2.000 sacos de azcar. Si del local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habr el mismo nmero de sacos. Cuntos sacos haba en cada local? 25. Si el primero y el dcimo trmino de una progresin aritmtica son 10 y 30 respectivamente, encuentre el trmino 64. RTA:150. 26. Halle el trmino de lugar 7 de la progresin aritmtica 10, 6, 2, ... 27. Encuentre la suma de los primeros 26 trminos de la progresin aritmtica cuyo primer trmino es 7 y su diferencia comn es 3. RTA: 793. 28. Si el quinto trmino de una progresin aritmtica es 18 y el noveno es 34, encuentre el primer trmino. 29. Encuentre la suma de todos los nmeros impares entre el 51 y el 99, inclusive ambos. RTA: 1.875. 30. Encuentre una progresin aritmtica de siete trminos cuyo primer trmino es 1/2 y cuyo ltimo trmino es 13/2. 31. Encuentre el sptimo trmino de la progresin geomtrica 1 1 1, , , 2 4 RTA: 1 . 64 32. Dada una progresin geomtrica donde r = 4 y a1 = 2, halle el sexto trmino. 33. Encuentre la suma de los primeros 20 trminos de una progresin geomtrica, si el primer trmino es 1 y la razn es 2. RTA: 20 1 2 . 1 2 34. Si en una progresin geomtrica el noveno trmino es 64 y el cuarto es 2, halle los cuatro primeros trminos. 35. Un objeto en reposo que cae en el vaco cerca de la superficie de la Tierra recorre 16 m durante el primer segundo, 48 m durante el segundo, 80 m durante el tercero, 112 m durante el cuarto y as sucesivamente. Qu distancia recorrer el objeto durante el segundo 11? Cul es la distancia que recorre en t segundos? RTA: 336 m; 16 t2 m. 36. Con el smbolo sumatoria escriba 3 6 9 12 15 18 2 5 8 11 14 17 .x x x x x x+ + + + + 9. 53lgebraytrigonometra 37. Empleando la notacin sumatoria escriba 1 1 1 1 1 1 , 2 3 4 5 6 + + comenzando el ndice de la sumatoria en k = 1. RTA: ( ) 1 6 1 1 . k k k + = 38. Con el smbolo sumatoria escriba ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 25 3 2 4 2 5 2 ... 27 2 .x x x x + + + + 39. Empleando la notacin sumatoria escriba 1 1 1 1 1 1 , 2 3 4 5 6 + + comenzando el ndice de la sumatoria en k = 0. RTA: ( )5 0 1 . 1 k k k= + 40. Escriba la suma correspondiente a la notacin sumatoria indicada: ( ) 5 1 4 2 . i i = + 41. Usando la notacin sumatoria escriba 2 4 8 16 1 , 3 9 27 81 + + comenzando el ndice de la sumatoria con k = 1. RTA: 15 1 2 . 3 k k = 42. Escriba la suma correspondiente a la notacin sumatoria indicada: ( ) 9 4 2 2 . i i x = + 43. Usando la notacin sumatoria escriba 2 4 8 16 1 , 3 9 27 81 + + comenzando el ndice de la sumatoria con k = 0. RTA: 4 0 2 . 3 k k = 44. Dos cilindros tienen igual volumen. El cilindroAtiene 4 m de altura y 2 m de radio. Si el radio del cilindro B es 4 m, cul es su altura? 45. Usando la notacin sumatoria escriba 1 4 + 9 16 + 25. RTA: ( ) 5 1 2 1 1 . k k k + = 46. Camilo tiene 7 aos y su padre 49. Si Juan guarda con su padre la misma proporcin que Camilo y su padre, y el padre de Juan tiene 25 aos, cuntos aos tiene Juan. 47. Usando la notacin sumatoria escriba 1 2 3 4 5 . 2 5 10 17 26 + + + + RTA: 5 2 1 . 1k k k= + 48. Si el radio de un crculo aumenta en 4, en cunto aumenta su rea. 49. Usando el smbolo sumatoria escriba 3 11 18 27 38 2 . 2 4 5 6 7 + + + + + RTA: 26 1 2 . 1k k k= + + 10. 54 50. Cuntos trminos de la progresin 5, 7, 9, hay que sumar para obtener 572. 51. Obtenga el valor de 3 2 1 . k k = RTA: 14. 52. Un teatro tiene 50 filas de asientos, y en la primera fila hay 30 butacas, 32 en la segunda, 34 en la tercera y as sucesivamente. Calcule la cantidad total de asientos. 53. Obtenga el valor de ( )( ) 4 1 1 2 . k k k k = + + RTA: 210. 54. A un seor le ofrecen un trabajo con salario de $400.000 mensuales y le prometen aumentos mensuales de $3.000. Calcule los ingresos devengados despus de cinco aos de trabajo. 55. Obtenga el valor de ( ) 10 2 1 1 1 . k k i i = = + RTA: 1.265. 56. Demuestre que un tringulo rectngulo cuyos lados forman una sucesin aritmtica es semejante a un tringulo con lados de 3, 4, 5 de longitud. 57. Usando el smbolo de sumatoria escriba 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8. + + + RTA: ( )( )( ) 4 1 2 3 4 . k k k k = + + + 58. Una pelota se deja caer desde una altura de 80 m. Su elasticidad es tal que rebota hasta llegar a las tres cuartas partes de la altura desde la que cay. A qu altura llega la pelota en el quinto rebote? Deduzca una frmula para hallar la altura a la que llega en el rebote ensimo. 59. Encuentre el valor de 3 0 2 . 1 k k k= + RTA: 16 . 3 60. Un cultivo tiene al principio 5.000 bacterias y su tamao aumenta 8% cada hora. Cuntas bacterias hay al final de cinco horas? Deduzca una frmula para calcular el nmero de bacterias que hay n horas despus. 61. Encuentre el valor de 3 1 4. i= RTA: 12. 62. Una mujer muy paciente quiere ser millonaria. Se apega a un esquema sencillo: ahorra un peso el primer da, dos el segundo, cuatro el tercero y as sucesivamente. Cuntos das se demorar para tener un milln de pesos? 63. Usando el smbolo sumatoria escriba 3 5 7 9 1 1 1 1 . 1 4 9 16 + + + + + + + RTA: 4 2 1 2 1 1 . k k k= + + 64. Intercale tres medias geomtricas entre 5 y 80, es decir, halle una progresin geomtrica de cinco trminos tal que 5 sea el primero y 80 el ltimo. 11. 55lgebraytrigonometra 65. Escriba ( ) 1 3 n k k = + como una sumatoria con el ndice de la sumatoria comenzando en k = 4. RTA: 3 4 . n k k + = 66. Cunto dinero hay que invertir al 12% anual compuesto mensualmente para tener cuatro millones de pesos en ao y medio?