Ay t mod6

73Álgebra y trigonometría

Una función es una representación de un proceso.

3Polinomios.Polinomiocuadrático

Módulo 6Polinomios

Módulo 7El polinomio cuadrático

Módulo 8Raíces de una ecuación cuadrática

EjerciciosCapítulo 3, módulos 6 al 8

Capítulo 3

Presentación

Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos loscontextos científicos y tecnológicos. Las funciones polinómicas son útiles paramodelar muchas situaciones reales; por ejemplo, la ecuación de movimiento de uncuerpo en caída libre puede expresarse mediante una función polinómica cuadrática.

En este capítulo se introduce el concepto de polinomio y se estudian las operacio-nes básicas con polinomios, los productos notables y la factorización completa depolinomios. Además se estudia el polinomio cuadrático y las raíces de la ecuacióncuadrática.

Contenido breve

74


Introducción

En esta sección se introducen los conceptos de polinomio, grado de un polinomioy polinomio primo sobre un sistema numérico. Se estudia también el concepto defactorización completa sobre un campo.

Objetivos

1. Definir el concepto de polinomio.2. Definir las operaciones básicas con polinomios.3. Definir los productos notables principales.

Preguntas básicas

1. ¿Cómo se define un polinomio?2. ¿Qué es el grado de un polinomio?3. ¿En qué consiste la factorización completa?4. ¿Cuáles son los principales productos notables?5. ¿Qué es un polinomio primo?

Contenido

6.1 Polinomios6.2 Grado de un polinomio6.3 Operaciones básicas

6.3.1 Suma de polinomios6.3.2 Resta de polinomios6.3.3 Multiplicación de polinomios

6.4 Productos notables y factorización6.4.1 Productos notables6.4.2 Polinomios primos6.4.3 Factorización completa

Vea el módulo 6 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

6Polinomios

Évariste Galois (1811-1832)

Entre 1829 y 1830 hizo conocer sus primeros trabajos sobrefracciones continuas, cuestiones de análisis, teoría de lasecuaciones y teoría de números, así como un resumen deuna segunda memoria presentada a la Academia de Cienciasde Francia para optar al gran premio de matemática. En1831, envuelto en los acontecimientos políticos, fueexpulsado de la escuela normal, donde entonces estudiaba,y con el propósito de dedicarse a la enseñanza privadaanunció un curso de álgebra superior que abarcaría «unanueva teoría de los números imaginarios, la teoría de lasecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números yla teoría de las funciones elípticas, tratadas por álgebrapura». El curso no tuvo oyentes y Galois ingresó en el ejército,a la vez que redactó una memoria, la última, hoy llamada«Teoría de Galois», que remite a la Academia y que SimeónPoisson califica de «incomprensible». Más tarde fuedetenido y pasó casi un año en la cárcel. Al recobrar lalibertad se vio envuelto en una cuestión de honor por una«infame coqueta» y murió en el duelo subsiguiente.

76

Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático6.1 Polinomios

Un polinomio real en la variable x es cualquier expresión de la forma:1 2

1 2 1 0...n n nn n na x a x a x a x a− −

− −+ + + + +

donde los coeficientes ia son números reales para 1, 2, 3,...i n= y n es un entero

no negativo.

El polinomio será polinomio complejo en la variable x si los coeficientes ia son

números complejos.

6.2 Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el mayor exponente que aparece en el polinomio, en untérmino con coeficiente diferente de cero.

Ejemplo 1

42 1x + es un polinomio de grado 4.

5 43 7x x+ − es un polinomio de grado 5.

2 8x + es un polinomio de grado 1 o lineal.5 es un polinomio de grado 0 o constante. Lo anterior es consistente con la defini-

ción porque 05 5 .x=2 12 7x x−+ + no es un polinomio porque aparece un exponente negativo.

6.3 Operaciones básicas

El tema de los polinomios carecería de utilidad si no ahondáramos en sus propieda-des. Los polinomios, como los números enteros, cumplen la ley clausurativa para lasuma, la resta y la multiplicación que se definirán más adelante. Es decir, la suma,resta y producto de polinomios es un polinomio.

6.3.1 Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios, se suman coeficientes de términos con el mismo expo-nente. El polinomio suma es la suma algebraica de todos los términos resultantes.

Ejemplo 2

Realice la suma de los polinomios 5 32 4 2 1x x x+ − + y 6 33 4 5.x x x− + −

Solución

El polinomio suma será:


Módulo 6: Polinomios

( ) ( ) ( )6 5 32 4 3 2 4 1 5 .x x x x+ + − + − + + −

Por tanto, el polinomio suma es:

( )6 5 32 4 3 2 4.x x x x+ + − + −

6.3.2 Resta de polinomios

Para restar dos polinomios, se cambian los signos de los términos del polinomiorestado; el más se cambia por menos y el menos por más y se suman algebraicamente.

Ejemplo 3

Del polinomio 7 34 2 5 6x x x− + − reste el polinomio 7 33 6.x x x+ − +

Solución

Como el polinomio a restar es 7 33 6,x x x+ − + al cambiar de signo cada término se

convierte en el polinomio 7 33 6.x x x− − + − Se suman luego 7 34 2 5 6x x x− + − y

7 33 6.x x x− − + − El polinomio resultante es: 7 33 5 6 12.x x x− + −

6.3.3 Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por el otropolinomio, utilizando las leyes de los exponentes; después se agrupan términos deexponentes iguales usando la operación suma definida anteriormente.

Ejemplo 4

Multiplique los polinomios siguientes: 32 7 8x x− + y 23 4.x −

Solución

Multiplicamos cada término del polinomio 32 7 8x x− + por el polinomio 23 4.x −

El proceso es el siguiente:

( ) ( ) ( )3 2 2 22 3 4 7 3 4 8 3 4 .x x x x x− − − + −

Realizando operaciones se tiene que:5 3 3 26 8 21 28 24 32.x x x x x− − + + −

Simplificando se tiene que el producto es el polinomio:5 3 26 29 24 28 32.x x x x− + + −

Escuche Galois y los tresproblemas clásicos de la

matemática griega en sumultimedia de Àlgebra y

trigonometría

78

6.4 Productos notables y factorización

6.4.1 Productos notables

Algunos productos aparecen con tal frecuencia que es importante tenerlos presen-tes. Los tres productos más conocidos son los siguientes:

( )( ) 2 2 ,x a x a x a+ − = −

( )2 2 22 ,x a x xa a+ = + +

( )2 2 22 .x a x xa a− = − +

En los tres productos anteriores, se supone que x es la variable y a es la constante.Si se supone que en vez de a se encuentra la variable y, entonces las expresiones de

la forma 2 2x y− , 2 22 ,x xy y+ + 2 22x xy y− + se llaman polinomios de dos varia-

bles.

Si tenemos en cuenta polinomios en dos variables, los productos notables másutilizados los muestra la tabla 6.1.

Tabla 6.1. Fórmulas de productos notables

6.4.2 Polinomios primos

Se dice que un polinomio es primo con respecto a un conjunto dado de números si:

1. Los coeficientes son de ese conjunto de números.

2. No se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivocon coeficientes en ese conjunto.

Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático

Fórmulas de productos notables

a(x + y + z) = ax + ay + az

(x + a) (x+ b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y− = − + −

2 2 2( ) 2x a x xa a− = − +

2 2( )( )x a x a x a+ − = −

3 3 2 2( )( )x y x y x xy y+ = + − +3 3 2 2( )( )x y x y x xy y− = − + +


Módulo 6: PolinomiosEjemplo 5

El polinomio 2 2x − es un polinomio primo en los enteros pero no es polinomio

primo en los reales porque ( ) ( )2 2 2 2 .x x x− = − +

6.4.3 Factorización completa

Se dice que un polinomio no primo está completamente factorizado con respecto aun conjunto dado de números si es el producto de polinomios primos respecto aese conjunto determinado.

Ejemplo 6

El polinomio ( ) ( )4 2 24 2 2x x x− = − + está completamente factorizado en los ente-

ros, pero no está factorizado completamente respecto a los reales. Respecto a los

reales, el polinomio 4 4x − se factoriza completamente así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 24 2 2 2 2 2 .x x x x x x− = − + = − + +

Este polinomio no está factorizado completamente respecto a los números comple-jos. Respecto a los complejos, se factoriza completamente así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )4 2 24 2 2 2 2 2 2x x x x x x i x i− = − + = − + + − ,

donde i es la unidad imaginaria, es decir, 1.i = −

Ejemplo 7

Factorice completamente en los enteros 2 5 14.x x− −

Solución

Si se piensa en que ( ) ( ) ( )2 ,x a x b x a b x ab+ + = + + + se debe cumplir que:

5a b+ = − y 14.ab = −

Por simple inspección se observa que 7a = − y 2.b =

Por tanto, ( )( )2 5 14 7 2 .x x x x− − = − +

No siempre es posible encontrar dos enteros a y b tales que:

( ) ( ) ( )2 .x a x b x a b x ab+ + = + + +

Cuando ello ocurre, el polinomio ( )2x a b x ab+ + + es primo en los enteros.

80

Ejemplo 8

Factorice completamente en los enteros 2 2 24 4 .x xy y z− + −

Solución

En este caso se trata de buscar agrupamientos de la forma siguiente:

( )( )( ) ( )

( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

4 4 4 4

2

2 . 2

2 2 .

x xy y z x xy y z

x y z

x y z x y z

x y z x y z

− + − = − + −

= − −

= − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − + − −

Ejemplo 9

Factorice completamente, sobre los enteros, el polinomio 4 4.x +

Solución

Aunque no es fácil de observar a simple vista, se trata de reescribirlo sumando yrestando 4x2, y después agrupando.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

4 4 2 2

24 2

2 22

2 2

2 2

4 4 4 4

4 4 2

2 2

2 2 . 2 2

2 2 2 2 .

x x x x

x x x

x x

x x x x

x x x x

+ = + + −

= + + −

= + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + − +

El polinomio anterior no está factorizado completamente en los reales y en loscomplejos.

Ejemplo 10

Factorice completamente sobre los enteros el polinomio 1 .n nx ax bx ab+ − − +

Solución

Si se utilizan la técnica de agrupamiento y la ley distributiva, se tiene que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 1

.

n n n n

n

n

x ax bx ab x ax bx ab

x x a b x a

x a x b

+ +− − + = − − −

= − − −

= − −

Si no se cumple simultáneamente que b sea cuadrado perfecto y n sea par, elpolinomio está completamente factorizado sobre los enteros.



Módulo 6: PolinomiosEn el caso de que b sea cuadrado perfecto y n sea par se tiene que:

( ) 2 2 .n n

nx b x b x b⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 11

Factorice completamente sobre los enteros 2 2 2 24 4 3 .n nx x x+ +− −

Solución

2 2 2 2 2 2

2

4 4 3 (4 4 3)

(2 1)(2 3).

n n n n

n n

x x x x x x

x x x

+ +− − = − −= + −

Ejemplo 12

Dados los polinomios 4 3( ) 1p x x x x= + − + y 3 2( ) 5 5,q x x x x= − − + halle la

suma y la multiplicación de estos polinomios.

Solución

4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

( ) ( ) ( 1) ( 5 5)

(1 1) ( 5) ( 1 1) (1 5)

2 5 2 6.

p x q x x x x x x x

x x x x

x x x x

+ = + − + + − − += + + + − + − − + += + − − +

4 3 3 2

4 3 2 3 3 2

3 2 3 2

7 6 5 4 6 5 4 3

4 3 2 3 2

7 6 5 4 3

( ) ( ) ( 1)( 5 5)

( 5 5) ( 5 5)

( )( 5 5) ( 5 5)

( 5 5 ) ( 5 5 )

( 5 5 ) ( 5 5)

( 5 1) ( 1 5) (5 1 1) (5 5 1)

(1 5

p x q x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

⋅ = + − + − − +

= − − + + − − + +

− − − + + − − += − − + + − − + +

− + + − + − − +

= + − + + − − + − − + + ++ − 2

7 6 5 4 3 2

) ( 5 1) 5

4 6 3 11 4 6 5.

x x

x x x x x x x

+ − − +

= − − + + − − +

Ejemplo 13

Factorice completamente en los enteros, los reales y los complejos las siguientesexpresiones:

a. 2 26 9 .x x y− + −

82

Solución

2 2 2 2

2 2

6 9 ( 6 9)

( 3)

( 3 )( 3 ).

x x y x x y

x y

x y x y

− + − = − + −

= − −= − − − +

Factorización completa en los enteros, en los reales y en los complejos.

b. 2 5 6.x x− −

Solución

2 25 6 6 6

( 6) ( 6) ( 1)( 6).

x x x x x

x x x x x

− − = − + −= − + − = + −

Factorización completa en los enteros, en los reales y en los complejos.

c. 4 23 5 2.x x− +

Solución

4 2 4 2 2

2 2 2

2 2

2

3 5 2 3 3 2 2

3 ( 1) 2( 1)

(3 2)( 1)

(3 2)( 1)( 1).

x x x x x

x x x

x x

x x x

− + = − − += − − −= − −= − − +

Factorización completa en los enteros.

( 3 2)( 3 2)( 1)( 1).x x x x= − + − +

Factorización completa en los reales y en los complejos.

d. 4 2 1.x x+ +

Solución

4 2 4 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 ( 2 1)

( 1)

[( 1) ][( 1) ]

( 1)( 1).

x x x x x

x x

x x x x

x x x x

+ + = + + −= + −= + − + += − + + +

Factorización completa en los enteros y en los reales.



Módulo 6: Polinomios

2 2

2 2

2 22 2

1 3 1 3

4 4 4 4

1 3 1 3

2 4 2 4

1 3 1 3

2 2 2 2

1 3 1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x

x x

x i x i

x i x i x i x i

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

= − + − − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

.⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Factorización completa en los complejos.

e. 3 3 38 .x y z+

Solución

3 3 3 3 3

2 2 2

8 (2 )

( 2 )( 2 4 ).

x y z x yz

x yz x xyz y z

+ = +

= + − +


2 2 2

2 2

( 2 )( 2 ( ) 3( ) )

( 2 )([ ] [ 3 ] )

( 2 )( 3 )( 3 ).

x yz x xyz yz yz

x yz x yz i yz

x yz x yz i yz x yz i yz

= + − + +

= + − −

= + − − − +


f. 4 3 27 27.x x x+ − −

Solución

4 3 3

3 3 3

2

27 27 ( 1) 27( 1)

( 27)( 1) ( 3 )( 1)

( 1)( 3)( 3 9).

x x x x x x

x x x x

x x x x

+ − − = + − +

= − + = − += + − + +


84

2

22

9 27( 1)( 3) 3

4 4

3 27( 1)( 3)

2 2

3 27 3 27( 1)( 3) .

2 2 2 2

x x x x

x x x i

x x x i x i

⎛ ⎞= + − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟= + − + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞

= + − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


g. 4 22 5 12.y y− −

Solución

4 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2

2 5 12 2 8 3 12

2 ( 4) 3( 4) (2 3)( 4)

(2 3)( 2)( 2).

y y y y y

y y y y y

y y y

− − = − + −= − + − = − −= + − +


( 2 3)( 2 3)( 2)( 2).y i y i y y= − + − +



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