aysun Umay

Hacettepe niversitesi Eitim Fakltesi Dergisi 24 : 234-243 [2003]

ZET

nsanlar dier canllardan ayran en temel zellii d-nebilme yeteneidir. Muhakeme, btn etmenleri dikka-te alarak dnp aklc bir sonuca ulama srecidir. Birkonuda muhakeme yapabilenler, o konuda yeterli dzeydebilgi sahibidir ve yeni karlat durumu tm boyutlarylainceler, kefeder, mantkl tahminlerde, varsaymlarda bu-lunur, dncelerini gerekelendirir, baz sonulara ular,ulat sonucu aklayabilir...

Matematiksel muhakeme yaklamlar nelerdir? Birey-lerin matematiksel muhakeme yaklamlar neye gre de-imektedir? Kltr farkllklar muhakeme biiminin de-imesinde etken midir? Kiilerin belli bir muhakeme sti-li var mdr, yoksa hangi muhakeme yaklamn kullana-ca duruma gre mi deimektedir? Herkes kendine enuygun muhakeme tarzn nasl bulabilir? Bu makalede busorularn yantlar tartlmaktadr.

Anahtar Szckler: muhakeme, matematiksel muhakemeyetenei, matematiksel dnme

ABSTRACT

The most fundamental features of the human being iscapable of thinking. Reasoning is a process to reach a conc-lusion by taking all related factors into account. Individualswho have reasoning ability on a subject are knowledgeableon the related discipline and can analyze new situationwhich are faced in all aspects, explore, make logical as-sumptions, explain his thoughts, reach conclusions and de-fense his conclusions.

In this paper the following questions will be discussed.What are the mathematical reasoning approaches? How in-dividuals mathematical reasoning approach does change?Is cultural differences effect change of reasoning styles?Whether individuals have certain reasoning styles or whichreasoning approaches they will use according to the situati-on? How can people find the most suitable reasoning stylesfor themselves?

Keywords: reasoning, mathematical reasoning abilitymathematical thinking

1. GRMatematik, dnmeyi gelitirdii bilinen en

nemli aralardan biridir. Bilindii gibi insandier canllardan ayran temel zellii dne-bilme, olaylardan anlam kartp koullar ken-dine uygun olarak yeniden dzenleyebilme yete-neidir. Bu nedenledir ki matematik eitimi te-mel eitimin nemli yap talarndan birini, bel-ki de en nemlisini oluturur. Matematik eitimisaylar, ilemleri retmekten, gnlk yaamnvazgeilmez bir paras olan hesaplama beceri-lerini kazandrmaktan te bir ilev slenmekte,her geen gn biraz daha karmaklaan yaamsavanda ayakta kalmamz salayan dnme,olaylar arasnda ba kurma, akl yrtme, tah-minlerde bulunma, problem zme gibi nemlidestekler salamaktadr.

Deien yaam koullar gereksinim duyulaninsan tipini de deitirmektedir. Gnmzde, eli-nin en kk hareketlerini bile kontrol edebildiiiin byk beeni toplayan nl usta cerrahlar ye-rini, hibir insan elinin halledemeyecei ayrnt-larda hareket edebilen elektronik aletleri naslkullanacan iyi bilen gen meslektalarna b-rakmaktadr. En sradan kark hesaplar bile ha-tasz yapabilen usta muhasebecilere de gereksi-nim giderek azalmaktadr. Artk yeni yetien cer-rahlar dikkatlerini el becerilerini gelitirmeye,muhasebeciler ilemlere deil, ama daha nemlibir eye, daha iyi dnmeye younlatrmakta-dr. Zaman, akln kullanan, hzla ama etraflcadnen, isabetli kararlar veren, yaratc, yeni fi-kirler retebilen bireylerin zamandr.

2. MUHAKEME1 VE DNME

Muhakeme, bir baka deyile usavurma ya da* Do. Dr., Hacettepe niversitesi Eitim Fakltesi lkretim Bl. Matematik Eitimi ABD, Ankara1 ngilizcede reasoning olarak geen kavram dilimize muhakeme, usa vurma yada akl yrtme olarak evrilmektedir. Arapa

kkenli muhakeme szc, mahkeme ile ayn kktendir ve eldeki bilgilere dayanarak dnp yansz bir karar verme de-mektir. Usa vurma akla, manta yakn olup olmadna bakma, akl yrtme ise genellemeler yapma ve tahminlerde bulun-ma anlamna gelir. Reasoning kavram bu anlamlarn hepsini kapsamaktadr. Bu makalede reasoning kavram, yaygn kulla-nma uyularak dilimize muhakeme olarak evrilmitir.

MATEMATKSEL MUHAKEME YETENE

MATHEMATICAL REASONING ABILITY

Aysun UMAY*

235Matematiksel Muhakeme Yetenei2003]akl yrtme, btn etmenleri dikkate alarak d-np aklc bir sonuca ulama srecidir. Bir ko-nuda muhakeme yapabilenler, o konuda yeterlidzeyde bilgi sahibidir ve yeni karlat duru-mu tm boyutlaryla inceler, kefeder, mantkltahminlerde, varsaymlarda bulunur, dncele-rini gerekelendirir, baz sonulara ular, ulat- sonucu aklayabilir ve savunabilir...

Dnme ise anmsama, basit dnme,eletirel dnme ve yaratc dnme gibibasitten karmaa, ok daha geni bir yelpaze-de karmza kar (Krulik ve Rudnick, 1999).

Anmsama, basit ilemleri, l birimlerini,geometrik ekilleri anmsama gibi en alt dzey-deki dnme trdr. Basit dnme, verilen-leri formlde yerine koyma, altrma zme gi-bi anmsamaya gre biraz daha kapsaml, amakritik ve yaratc dnmelere gre ok daha d-k performanslar gerektirir. Her toplumun iin-de, yaam boyunca daha fazlasn yapmadanyaayan pek ok insan bulunur. Eletirel dn-me bilgileri toplamay, gerekenleri anmsamay,organize etmeyi ve zmleyebilmeyi ierir.Yaratc dnme ise ok daha karmak bir s-retir ve yaratc dnme srasnda fikirlerinsentezlenmesi, yeni fikirler retilmesi, bunlarnetkilerinin belirlenmesi, kararlar verilmesi vebaz yeni rnlerin ortaya konulmas gerekir(Krulik ve Rudnick, 1993).

Muhakeme, eitli dnme tarzlarn ierenbir etkinliktir (Peresini ve Webb, 1999). Yukar-daki niteliklerine bakldnda kolayca grlebi-lecei gibi, kritik dnme ve yaratc dnmeolmadan muhakeme gerekletirilemez. Bir ba-ka deyile muhakeme, ancak dnmenin ileribasamaklarnda ortaya kan bir yetenek ve be-ceridir. Ancak gzden karmamak gerekir kiher kritik dnme ya da yaratc dnme sre-ci muhakeme zellii tamaz. Eer ileri d-zeylerde de olsa bir dnce bilgi temeline da-yanmyorsa, gerekelendirilemiyorsa, mantklyaklamlar iermiyorsa muhakeme olarak ka-bul edilemez. zellikle yaratc dnmenin ge-litirilmesi zemininde ekillenen gzel sanatlareitiminde mantn snrlamalarndan kurtul-mak iin yollar arand dnlrse sylenmekistenen daha iyi anlalacaktr.

Muhakeme yetenei, acaba baz insanlarn da-ha doarken kazand bir armaan mdr? Yoksasonradan da edinilebilir mi? Herkesteki potansi-yel ayn mdr? Az da olsa herkeste var mdr?Gelitirilebilir mi? Ne kadar gelitirilebilir?

Bu sorulara kesin yantlar vermek en azndangnmz iin pek olas grnmyor. Bugn iinmuhakeme yapabilmenin bir yetenek olduu, is-ter doutan, ister evresel olarak edinilsin ei-timle gelitirilebildii kabul edilmekte bu ne-denle de eitimcilerin ve psikologlarn ilgi oda- olmay srdrmektedir (Steen, 1999; Resnickve Ford, 1984).

3. MATEMATKSEL MUHAKEME

Muhakemenin en youn olarak kullanldalanlardan biri, belki de birincisi matematiktir.Matematiksel muhakeme, matematiin temelinioluturur. Matematik saylar, ilemleri, cebiri,geometriyi, oranty, alan hesaplamay ve dahabirok konuyu retirken doas gerei rnt-leri kefetmeyi, akl yrtmeyi, tahminlerde bu-lunmay, gerekeli dnmeyi, sonuca ulamayda retir.

Bir problem iyice incelenip sorulan anlal-madan zme balanamaz, dayanaklar, gerek-eleri gsterilmeden matematiksel fikirler savu-nulamaz... Matematikte bir ispat yaplrken, s-recin banda baz kabuller yapp bunlarn doruyada yanl olduunu gstermek en sk bavuru-lan yntemlerden biridir. Her ne kadar eitimsistemimizdeki bozukluklar nedeniyle rnekleri-ni grmekte zorlansak da kavramlar arasndaba kurup ilikileri kefetmek, duruma zel, ye-ni zm yollar retmek nemli matematiinolmazsa olmaz zelliklerindendir. Hatta bir in-sann toplama ve arpma ilemlerini yapabildiihalde nerede toplama, nerede arpma yapaca-n saptayamamas yada gerektiinde kullanmaydnememesi onun matematikte iyi olmad-nn gstergesi saylr.

Yukarda saylan zelliklerinden dolaydr ki,matematik eitimi (zellikle temel eitimde)muhakeme yeteneinin gelitirilmesinde nemlibir yer tutar. Ancak bu katk daha ok, matema-tiin z itibariyle muhakeme yeteneini kul-lanmay gerektirmesinden kaynaklanmaktadr.

236 Aysun Umay J. ofEd 24[

Kendiliinden ortaya kan bu katky arttra-bilmek ve muhakeme eitiminin nasl olmas ge-rektiine karar verebilmek iin matematikselmuhakemenin, nasl bir yap oluturduu iyi bi-linmelidir.

Matematiksel muhakeme yaklamlar neler-dir? Bireylerin matematiksel muhakeme yakla-mlar neye gre deimektedir? Kltr farkl-lklar muhakeme biiminin deimesinde etkenmidir? Kiilerin belli bir muhakeme stili varmdr, yoksa hangi muhakeme yaklamn kul-lanaca duruma gre mi deimektedir? Herkeskendine en uygun muhakeme tarzn nasl bula-bilir?

Pek ok aratrmac bu sorularn yantlarnaratrm yada halen aratrmaktadr. Bu neden-le de bu sorular yantlayabilme konusunda mu-

hakemenin yapsna ilikin sorulara oranla birazdaha ansl olduumuz sylenebilir.

3.1. eitli matematiksel muhakeme yak-lamlar

Matematiksel muhakeme bireysel bir etkin-liktir ve pek ok ekilde yaplabilir. Herkesinkendine zg dnme stratejileri vardr ve biri-si iin kolay gelen dnme biimi bir bakasiin kark ve zor olabilir.

Bir rnek zerinde inceleyelim. Yolles(2001) yapt almada, verdii basit proble-min rencileri tarafndan nasl 6 farkl yoldanzmlendiini aktaryor. Bu problem ve ren-cilerin kendi zmlerini nasl bulduuna ili-kin aklamalar ekil 1de gsterilmitir.

SORU : Joe 6 saat alp 27 $ kazanyor. Ayn koullarda 90 $ kazanmas ka s aatini alr?

A) 40,5 B) 20 C) 15 D) 3 _

1. RENCNN ZM27 : 6 = 4,5 90 : 4,5 = 20 nce s aat bana den creti, sonra da 90 $ iin

gereken zaman hesapladm.

2. RENCNN ZM6 2712 5418 8124 90n zerine kt iin 18 ile 24 arasndaki seenei iaretledim.

3. RENCNN ZM27 : 6 = 4,5 4,5 x 20 = 90 Ben yantm tahminle buldum. nk 4,5 $ 5 $a

yaknd ve 5 x 20 = 100 idi. Denedim, uydu.

4. RENCNN ZM

Ben orant kurdum ve iler-dlar 90

x

27

6 = 90 x 6 = 540 540 : 27 = 20

arpm yaptm.

5. RENCNN ZM

313

310

2790 == 20

360

310

x16 == 90 27ye blp 6 ile arptm.

6. RENCNN ZM

9s23

27

3

s6 === 2 s x 10 = 20 s 9 x 10 = 90 nce 3e blerek 6 saatten 2 saate ve

27 $dan 9 $a sadeletirdim,

sonra iki taraf 10 ile arptm.

ekil 1: Bir problem ve alt yoldan zlmesi

237Matematiksel Muhakeme Yetenei2003]Yazar makalesinde 1. rencinin zmnn

en ok yinelenen, 4. rencinin zmnn iseikinci sk kullanlan yaklam olduunu bildiri-yor. 5. ve 6. rencilerin zmlerinin ise yal-nzca birer renci tarafndan daha kullanld-n aktaryor ve rencilerinin dnme yakla-mlarnn eitlilii ve yaratcl karsndaher defasnda hayranlk duyduunu belirtiyor(Yolles, 2001).

Hepsi de doru ama farkl olan, kimisi da-ha yaygn, kimisi daha bireysel yukardaki -zmler, bu muhakemeyi yapanlar iin kukusuzen makul dnme tarzdr. Bu nedenledir kihzla deien dnyann yeni eitim anlay iin-de bireyler kendilerini daha fazla tanmaya vekendi dnme biimlerini kefetmeye zendi-rilmektedir.

3.2. Bilinen matematiksel muhakeme yak-lamlar

Muhakeme yaklamlar belli balklar altn-da toplanabilir, snflandrlabilir mi? Muhake-me bireysel, hatta kimi zaman kiisel olduu gi-bi bu yaklamlar adlandrmak, yaplan muha-kemeye damgasn vuran zelliin ne olduunakarar vermek de deerlendiren kiinin bak a-na gre deiecektir. Nitekim muhakemeyle il-gili makalelerde yazarlar muhakemeleri adland-rrken kimi zaman cebirsel, orantsal, geometrik,istatistiksel gibi konuyu temel almakta, kimi za-man da zmsel (analitik), btnsel (holistik)gibi bak asna, yada pratik, soyut gibi dn-me tarzna gre bir ayrm yapmaktadr. (Akkukla ve Duatepe 2002; Bishop, Otto ve Lubins-ki , 2001).

zmsel yaklam, yaplar zmlemek veparalar ayr ayr incelemek, hesaplamak ve so-nuca ulamak temelinde kurulan, daha oktmdengelimsel (dedktif) dnmeye dayalmuhakeme tarzdr. zmlemeci dnen vemuhakeme yapan insanlar gerek yaamda olay-

lardaki yada simgesel nesnelerdeki rntlere,yapya yada kurallara dikkat ederler; tm burntlerin kazara m yoksa belli bir nedendendolay m ortaya ktn sorarlar (NCTM,2000). Btnsel yaklamda ise yaplara birazyukardan, bir btn olarak bakar, deyim yerin-deyse, teker teker aalarla deil, ormanla ilgi-lenirler.

zm yntemi baz alndnda ise pratikve soyut muhakeme yaklamlarndan szedilmektedir. Pratik muhakeme yaklamlargnlk yaamda ve matematiin dier alanlar-daki uygulamalarnda daha ok kullanlr (Stern-berg, 1999). zellikle hesaplama becerileri ge-rektiren mesleklerde alanlarn (esnaf, tccar,mhendis, ekonomist, ev kadn, garson) kimizaman kendi pratik matematiksel muhakemele-rini kullanarak, matematikilerin uzun hesapla-malar sonucunda ulaabildikleri noktaya kolay-ca ulatklarna tank olup aranlarn says hide az deildir.

Soyut yada teorik matematiksel muhakemeyaklamlar ise matematik aratrmaclarnnher gn, pek ok kez kullandklar bir muhake-me tarzdr ki toplumda zaman zaman matema-tikilerle ilgili olarak yaplan akalarn da kay-nan oluturur2.

Bazen bir birey tarafndan birden ok muha-keme yaklamn, hem de ayn anda kullanlabi-lir (Malloy, 1999) . Bir duruma btnsel muha-keme kurarak yaklaan biri, hesaplarnda pratikyada zmsel muhakeme yaklamlarn kar-trarak uygulayabilir. rnein yukarda verilen2. renci, sorunun oktan semeli test biimin-de verilmesinden yararlanarak btnsel yak-lam, ayrca cebirsel dnerek sonuca ula-mtr. 3. renci, hesaplama, tahmin, snama-yanlma gibi stratejileri kullanrken hem pratikhem de analitik bir bak as kullanmtr.

2 Prof. Dr. Nazif Tepedelenliolunun yllar nce Matematiin sorunlar sizin sorununuzdur; onlarla ilgilenin, onlara sahip kndemek amacyla yaynlad ve matematiin gzel yznn onu gremeyenlere gsterildii ilk Trke kitaplardan biri olan KimKorkar Matematikten? kitabnda yer alan bir fkra: Bir grup Macar soylusu Alp Dalarnda yry yaparken yollarn kaybet-miler. Bunlardan biri sylendiine gre - bir harita karm ve uzun bir sre inceledikten sonra muzafferane bir tavrla Nere-de olduumuzu buldum arkadalar! demi. tekiler de heyecanla Neredeyiz? diye sormular. u ilerdeki byk da gr-yor musunuz? te tam onun tepesindeyiz! (Tepedelenliolu, 1983). Sizce de Macar soylusu yerine matematiki demek dahadoru olmaz m?


3.3. Farkllklarnn matematiksel muha-keme yaklamlar zerindeki etkisi

nsanlar ilgileri, zevkleri, yetenekleri, bellek-leri, bilgi birikimleri ksaca bireysel zellikleribakmndan farkldr. Ayn olay izleyen kiilerbir bakasna anlatrken farkl noktalara dikkatekerler, kendilerince nemli yada ilgin bulma-dklarn belleklerine kaydetmezler. Yeni edini-len bir bilgi herkesin zihninde, gemite edinil-mi olan farkl bilgilere dayanp farkl biimdeyerleir. rnein mr boyunca hi deniz gr-memi birine deniz anlatldnda hayalinde olu-ann nasl bir deniz olduu bilinemez.

Hibir insann zellikleri, gemii bir baka-s ile birebir benzemediinden zihinsel emala-rnn da tamamen ayn olmas beklenmez. Ei-timde yeni bir konuya gemeden nceden edinil-mi bilgiler arasndaki fark azaltmak amacylan renmelerin yoklanmasnn nedeni de bu-dur.

Bireyler, ayn durum karsnda farkl tepki-ler verirler. Bu durum benzer renme yetenei-ne sahip, benzer hazr bulunuluk dzeyindekihomojen gruplar iin de ayndr. Acaba bu fark-llklar duraan, bireysel zelliklere, eilimleremi balanmaldr, yoksa bireylerin o konudakibilgi ve deneyimlerinin o anki sonucu olarak mkabul edilmelidir? Her iki konuda da yaplmpek ok aratrma ve retme teorileri iinde iki-si lehine de baz yantlar bulunabilir (Resnick veFord, 1984).

Farkllklar gnmzde zenginlik olarak ka-bul edilmekte ortadan kaldrlmasna yada yoksaylmasna deil, su yzne karlmasna al-lmaktadr. nk bylece herkes kendine dahauygun dnme biimlerini bulabilir, dnyaydaha iyi anlayabilir. Gnmz matematik eiti-minde de farkl dnme ve renme biimleri-nin, farkl muhakeme yaklamlarnn aratrl-masna byk nem verilmektedir (Malloy,1999; NCTM, 1989). Bireylerin matematikselmuhakeme yaklamlar neye gre belirlenmek-tedir? Kltrel altyap eitlilii muhakeme yak-lamlarnn oalmasna neden olabilir mi?Kltr farkllklar bireyin muhakeme biiminisemesinde etken midir?

Daha adn bilmiyor da olsalar insanlar okulabalarken rendikleri pek ok matematikselkavram da beraberlerinde getirirler. rneinsofra kurarken bir ataln eksik olduunu farkeden bir ocuk bire-bir, bisikletinin tekeri e-rildiinde dzeltebilen bir ocuk ember kav-ramlarn biliyor demektir. Bilgi gemi birikim-ler zerine kurulduuna gre insanlarn, iindeyaadklar kltrn unsurlarn altyaplarndaokula tamalar ise kanlmazdr. Kendi kltr-leri iinde sofrada atalla yemek yeme yoksa ya-da bisikletle daha nce karlamamsa ocukayn kavramlar kazanmam yada farkl rnek-lerden renmi olabilir. Bir baka deyile o-cuk, okula balarken baz matematik kavramla-ryla birlikte ailesiyle, arkadalaryla ve evrey-le etkileimi sonucu rendii, muhakeme be-cerilerine dayal kltrel sezgilerini de getirir.(Nieto, 1996; Atkinson, 1992; Malloy, 1999)

Muhakeme yetenei gelitirilebilen bir zel-lik olduundan iinde yaanlan kltrn bireyinmuhakeme yaklamlarn etkilemesi, zenginle-tirmesi ve bu etkinin kalc olmas beklenir. Ter-sine olarak kapal kltrlerde muhakeme yakla-mlarnn eitliliinin azalmas da doal kabuledilmelidir.

3.4. Kiisel muhakeme stilleri

eitli almalar insanlarn farkl ekillerderendiklerini ortaya koymaktadr. renmestilleri, baz insanlarn somut yaantlarla (hisse-derek), bazlarnn soyut kavramsallatrmayla(dnerek) renmeye; yine bazlarnn aktifyaantlarla (yaparak), bazlarnn ise yanstcgzlemlerle (izleyerek) renmeye daha yatknolduunu gstermektedir (Akar ve Akkoyunlu1993).

Acaba kiilerin renme stili gibi, belli birmuhakeme stili de var mdr? renme gibi d-nme ve muhakemenin de birikim, alkanlk-lar, genetik yap, iinde yaanlan kltr gibi ki-ilik ve evresel zelliklerden etkilendii bilin-mektedir. Bu nedenle bireylerin kendi kiilikzelliklerini yanstan matematiksel muhakemeyaklamlarn benimsemesi beklenir. Literatr-de bu konuda yaplm herhangi bir aratrmasonucuna rastlanmam olmakla birlikte, somut

239Matematiksel Muhakeme Yetenei2003]ve aktif yaantlarla renmeyi tercih eden bi-reylerin pratik, buna karlk yine somut yaan-tlarla ancak bu kez soyut kavramsallatrma ilerenmeyi tercih edenlerin zmsel muhakemeyaklamn daha ok kullanmalarnn srprizolmayaca sylenebilir. Ayrca, farkl yakla-mlarn ortaya kmasnda konu ve probleminkendisi de nemlidir. Baz problemler eitli d-nme yaklamlarna frsat verirken bazlarnnfazla dnme seenei brakmayacak ekildesnrl yollardan, tekdze zmler gerektirmek-tedir. (Bu konuya ilerde, Uygulama : ki prob-lem iki sonu bal altndaki blmde yeni-den deinilmektedir).

Henz olduka belirsiz olan bu konularn,yaplan aratrmalar sonulandka aydnlanaca- ve sorulara daha ak yantlar bulunacaumulur.

3.5. Herkesin kendine uygun matematikselmuhakeme stilini bulmas ve muhakeme yete-neinin gelitirilmesi

Herkesin kendine en uygun muhakeme stilinibulmas byk lde deneme-yanlma ynte-miyle gerekleir (NCTM, 2000). Dncelerinakland, aka, korkusuzca tartld, fark-l fikirlerin nemsendii, birlikte dnme iinaba harcanan ortamlar deiik muhakeme yak-lamlarnn daha yakndan tannmalarn salar.nsanlar byle ortamlarda hem kendilerini hemde farkl muhakeme biimlerini tanr, dener...Kendisine uygun olanlar benimser, kendi stilinibulabilir.

ada eitim anlaynda herkesin kendinedaha yakn bulduu muhakeme yntemlerinikullanmasnn zendirilmesi istenmektedir. Bu-nun iin ncelikle insanlarn kendi muhakemestilini bulmas ve muhakeme yeteneini gelitir-mesi gerekir. Bu noktada eitimcilere nemligrevler der. retmenler her eyden nce s-nflarnda, rencilerinin matematikle ilgili ken-dilerine kar olan olumsuz dncelerini, kay-g ve korkularn ortadan kaldracak, kendilerineolan inanlarn glendirecek esnek, rahat tar-tma ortamlar yaratmaldr. Bylece matema-tiksel muhakemenin gelitirilmesini yavalatanyada engelleyen ilk engeli ortadan kaldrm

olur. Daha sonra rencilerinden kendi zmyaklamlarnda kullandklar muhakemeyi ak-lamalarn isteyerek farkl dnme seenekleri-nin tannmasna yardm eder. Ayrca kendisi detartlmak zere snfa, farkl muhakemelerinretilmesine olanak veren problemler getirerekfarkl sosyo-ekonomik ve kltrel altyaplardangelen, farkl zellikler tayan rencilerinin or-tamda aktif olarak yer almasn salar. Btnrencilerin aktif olarak katlabildii, kendi mu-hakeme stillerini bildii renci merkezli ren-me ortamlar, matematiksel muhakeme yetenek-lerinin gelitirilmesi iin uygun zeminlerdir.

Matematiksel muhakeme yeteneinin geliti-rilebilmesi iin rencilerin farkl muhakemeyaklamlaryla tantrlmas yetmez. retimsrasnda, muhakeme becerilerini arttraca bili-nen davranlar zerinde dikkatle durulmas ge-rekir.

Geleneksel olarak matematik, dorusal, d-zenli, zmsel yolla, sunu yoluyla retilmek-te ve renciler retim srasnda, ayrntlar ze-rinde odaklama, planl ve ardk dnmeyikullanma, soyut fikirleri ve ilgili olmayan detay-lar anmsama gibi birok konuda cesaretlendi-rilmektedir. Ancak, btn bunlar rencilerintmne bir yarar salamaz. nk yalnzca -zmsel muhakeme yaklamyla renenleriin dzenlenmitir. Farkl muhakeme stillerinesahip bireylerde matematiksel muhakeme yete-neinin gelitirilebilmesi iin matematik eitimibtnsel, alan baml, birbirine bal renen-lere, yani tm dier muhakeme stillerine sahiprenciler gre deitirilmelidir. (Malloy,1999).

4. UYGULAMA: K PROBLEM

K SONU

Bireysel ve deneyimsel farkllklarn mate-matiksel muhakeme yaklamlarnn seimindefarkllklara neden olduu bilindiine gre, budurumun bir uygulama zerinde grlmesininmatematiksel muhakeme ile ilgili aklamalartamamlayaca dnlmtr.

Bu amala bir problem oluturulmu ve l-


kretim Matematik retmenlii programnadevam eden 35 renciden, verilen problemi s-ra numaras vererek, dnebildikleri tm yol-larla zmeleri istenmitir. Bylece rencilerinproblemin zmne ulamada ka farkl muha-keme biimi kullanabildiklerinin ve hangi mu-hakeme yaklamlarn daha ok benimsedikleri-nin anlalabilecei umulmutur.

Problem ve rencilerin bulabildikleri -zm yollar ekil 2de gsterilmitir.

Uygulama sonucunda karlalan durumgerek bir d krkldr. nk doru yantaulaan rencilerin tm (29 kii) problemi -zerken ilk srada ayn yntemi (1. zm) kul-lanmlardr. Bu rencilerden 8 tanesi bakahibir yol bulamadn belirtmi, 21 tanesiikinci, 1 tanesi de nc yol iin zorlama birgayret iine girmiler farkl bir eyler yapmayaalmlardr (2. ve 3. zmler). Ancak -zmler incelendiinde bu rencilerin abala-rnda baarl olduklar ve gerekten de farklmuhakeme tarzlar retebildikleri sylenemez.

Bu durumun iki nedeni olabilir. Bunlardanbirincisi, rencilerin gemi renim yaantla-rnn onlar tek tip dnmeye altrm, farkl

dnme becerilerini trplemi olmasdr. Buolduka can skc ve umut krc bir durumdur.kinci olaslk ise problemin farkl muhakemeyaklamlar retmeye uygun nitelikler tama-masdr. Nitekim bu iddia daha nce de dile ge-tirilmi ve kullanlan muhakeme yaklamlarnneitliliinin probleme de bal olabilecei vur-gulanmt (Bkz: 3.4. Kiisel Muhakeme Stille-ri). Bunu snamann yolu, farkl muhakeme yak-lamlarna ak olduu daha nceden belirlen-

mi olan bir problemle uygulamann yinelenme-sidir.

kinci uygulama, geniletilerek ayn gruplayaplm, yukarda sonularndan sz edilen Yol-lesin (2001) problemi hibir noktas deitiril-meden uygulanmtr. Bir karklk yaratmamakiin Trkiyedeki rencilerce kullanlan muha-keme yaklamlar da katlar deerlendirilirkenYollesin rencilerinin kullandklar numara-larla kodlanmtr.

Uygulama sonular ikinci nedenin, yani kul-lanlan muhakeme yaklamnn eitliliininprobleme de bal olduu gereini kukuya yerbrakmayacak biimde ortaya karmtr.

SORU :

Yoku kmakta olan bir adam, her 200 metrede, bir ncekinin yars hzla ilerliyor. Yokuunuzunluu 1 km olduuna gre adamn ortalama hz, balangtakinin ka katdr?

1. ZM (29 renci)

v (ort) = v80

31

5.16

vv2v4v8v16

516

v

8

v

4

v

2

vv

=++++

=++++

2. ZM (21 renci)

v (ort) =5

vvvvv 54321 ++++ v1=16 m/s v2= 8 m/s v3=4 m/s v4= 2 m/s v5= 1 m/s

v (ort) = (16 + 8 + 4 + 2 + 1) /5 = 31/5 m/s O da ilk hz olan v1=16 m/s nin (31/5).(1/16) = 31/80i dir.

3. ZM (1 renci)

v (ort) =

v v v v v v v v v v v+ + + +

= + + + + =2 4 8 165

16 8 4 216 5

3180.

v v v v v1 2 3 4 5

5+ + + +

v v v v vv

. . . . .2002

2004

2008

20016

200

10003180

+ + + +=

ekil 2 : Problem ve rencilerin bulabildikleri zm yollar

241Matematiksel Muhakeme Yetenei2003]kinci uygulamaya 18 erkek ve 53 kz olmak

zere toplam 71 renci katlmtr. rencile-rin ka farkl muhakeme yaklam bulabilmiolduu cinsiyetler de dikkate alnarak Tablo 1de gsterilmitir.

Tablo 1den grlebilecei gibi en az 1, enok 5 farkl muhakeme yaklam olmak zererenciler ounlukla 2-3 farkl muhakeme tar-z bulabilmilerdir. Yaplan almann bir ara-

trma nitelii tamad, bir rneklem zerindeallmad, bu nedenle de nemli sonular -karmann doru olmayaca unutulmadan bulu-nanlara bir gz atlrsa, erkeklerin farkl muha-keme yaklamlar retmek konusunda az farklada olsa kzlardan biraz daha nde grndsylenebilir.

rencilerin yantlar baka ilgin konulardada nemli ipular vermektedir. Yolles (2001)ABDde yapt almada rencilerinin 6 fark-l muhakeme yaklam bulduundan sz etmek-

tedir. Trkiyede yaplan aratrmada ek olarak,azmsanamayacak kadar sk kullanlmakta olan2 yeni muhakeme yaklam daha ortaya km,buna karlk Yollesin aratrmasnda 3. ren-cinin kulland yaklama hi rastlanmamtr.

Trkiyedeki rencilerin ek olarak kullan-dklar muhakeme yaklamlar ekil 3de gste-rilmitir.

Trkiyedeki renciler Yollesin rencile-rinden farkl olarak onun 4. rencisinin muha-keme yaklamn en ok kullanmlar, en favorizm olduunu syledii 1. rencisinin mu-hakeme yaklamn ikinci sraya atmlardr.Trkiyede yaplan uygulamada rencilerinkullandklar zmlerin kullanm sklklar vesralar Tablo 2de gsterilmitir.

Tablo 1. rencilerin bulabilmi olduu farkl muhakeme yaklamlar

MUHAKEME YAKLAIMI SAYISI Toplam Ortalamarenci Muhakeme

1 2 3 4 5 Says SaysCNS E 1 6 9 2 - 18 2,67

K 5 22 23 2 1 53 2,47

Toplam 6 28 32 4 1 71 2,52

SORU : Joe 6 saat alp 27 $ kazanyor. Ayn koullarda 90 $ kazanmas ka s aatini alr?

A) 40,5 B) 20 C) 15 D) 3 _

7. ZM

( sadeletirdim)

Tablo yapalm. 90, 9un 10 kat olduuna gre, 2nin 10 kat da20 olur.

Saat 2 4 6 8 xdolar 9 18 27 36 90

8. ZM

1 dolar iin 2/9 saat almal. O halde 90 dolar iin saat alacak.

627

29

=

29

90 20. = 627

29

=

ekil 3 : Trkiyedeki rencilerin ek olarak kullandklar muhakeme yaklamlar


Tablo 2. Trkiyede Yaplan Uygulamada ren-cilerin Kullandklar zmlerin Kulla-nm Sklklar Ve Sralar

Muhakeme Yaklam Kullanm

skl Sra no

1. ZM 32 2.

2. ZM 11 7.

3. ZM - -

4. ZM 67 1.

5. ZM 12 6.

6. ZM 14 5.

7. ZM (yeni) 23 3.

8. ZM (yeni) 20 4.

Tablo 2den de grlecei gibi rencilerezici bir ounlukla 4. zm yaklamn kul-lanmtr. Tm renciler iinde bu yola yer ver-meyen yalnzca 4 renci bulunmaktadr. Bununyan sra bu zm rencilerin % 86s tarafn-dan ilk zm olarak kullanlmtr. Bu gzlemmuhakeme yaklamlarnn belirlenmesindekltr farklarnn etkili olabilecei savn b-yk lde glendirmektedir. Bu iddia farklkltrlerin eitim programlarnn yaklam fark-llklar olarak da nitelenebilir. NitekimABDliler iin de yaygn bir yaklam olmamak-la birlikte, dier tm yaklamlarn kullanlmas-na karn 3. zmn Trkiyeli renciler tara-fndan hi tercih edilmemi olmas dikkat eki-cidir. Ancak unutmamak gerekir ki ABDli -renciler gibi Trkiyeli rencilerin de en okkulland muhakeme yaklamlar 4. ve 1. -zmlerdir. Bu sonu ise kltr farkllklarnaramen ortak bir alan bulunabileceine iareteder.

rencilerin setikleri yntemlerin kombi-nasyonlar incelendiinde gze arpan bir iliki-ye rastlanmamtr. Cinsiyet faktrnn de ya-ratt dikkate deer bir farkllk yoktur. Geli-mi bat lkelerinde cinsiyetler aras farkllklarzerinde olduka sk durulan bir konudur. rne-in bu lkelerde kadnlarn matematik ve fen ileilgili alanlara fazla ilgi gstermedii iddias, bulkelerden uluslararas kongrelere katlan kat-

lmclarn ounun erkek olmas ile de dorulan-maktadr. Oysa Trkiyede tm alanlar gz n-ne alndnda arpc bir fark grlmemektedir.Matematik retmen adaylarndan uygulamayakatlan rencilerin % 75inin kz olmas da buduruma bir rnek oluturabilir.

Btn bu konularn net olarak aa karla-bilmesi, farkl ya ve cinsiyetlerden, farkl gelirgruplarndan, farkl kltrlerden seilen denek-ler ile derinlemesine, kapsaml aratrmalar ya-plmasyla mmkndr.

5. TARTIMA

Pek ok insan bir matematik problemini z-mek iin bir tek doru yol olduuna inanr(NCTM, 2000). Oysa pek ok problem iin kii-ler kendi zelliklerine uygun muhakeme biim-leri ve zm yollar bulunabilir. Ayn gnlkyaamda olduu gibi

Deien dnyada kendini ve evresini iyi ta-nyan, nasl ve ne ekilde dndn bilen in-sanlara gereksinim duyulmaktadr. Byle birey-leri yetitirmenin yolu, yaplar zmleyebil-me, iindeki ilikileri grebilme, olaylar arasn-da neden-sonu ilikisi kurabilme, ksaca muha-keme becerileri kazandrmay hedefleyen yenieitim anlaylarndan geer.

Matematik hesaplama becerilerini retmek-ten ibaret deildir. Muhakeme matematiin te-melini oluturur.

Matematiksel muhakeme rencilerin d-ncelerini rahata ortaya koyabildikleri snf-larda geliebilir. Snftaki rencilerin ve ret-menin sorulara, tepkilere, eletirilere, ak olma-lar gerekir. rencilerin kendi fikirlerini akla-maya ve doruluunu gstermek iin savunma-ya, dncelerindeki eksiklikleri fark edebilmeve bakalarnn dncelerini eletirmeyi ren-meye ihtiyalar vardr. Ayrca geerli iddialarretebilmek ve bakalarnn iddialarn deer-lendirebilmek iin iyi bir klavuza, zamana, e-itli ve zengin deneyimlere gereksinim duyar-lar. (NCTM, 2000).

243Matematiksel Muhakeme Yetenei2003]KAYNAKLAR

Akku kla, O. ve Duatepe, A. (2002). lkretim ma-tematik retmen adaylarnn orantsal akl y-rtme becerileri zerine niteliksel bir aratrmaHacettepe niversitesi Eitim Fakltesi Der-gisi. Say 23, ss. 32-40.

Akar, P. ve Akkoyunlu, B. (1993). Kolb renme stilienvanteri Eitim ve Bilim. Say 87. ss. 37-47.

Atkinson, S. (1992). Mathematics with reason : TheEmergent approach to primary maths.London: Hodder and Stoughton.

Bishop, J. W, Otto, A. D ve Lubinski C. A. (2001). Pro-moting algebraic reasoning: Using studentsthinking. Mathematics Teaching In The Midd-le School. NCTM. v.6, n.9, May 2001.

Howe, R. (2002). Hermione Grangers solution? Mat-hematics Teacher. NCTM. v.95, n.2, February2002.

Krulik, S. ve Rudnick, J. A. (1993). Reasoning andproblem solving. A handbook for elementaryschool teachers. Needham Heights. Mass: AllynAnd Bacon, Inc.

Krulik, S. ve Rudnick, J. A. (1999). Innovative tasks toimprove critical and creative thinking skills. De-veloping mathematical reasoning in grades K-12.(Lee V. Stiff, 1999 yearbook editor), NationalCouncil of Teachers of Mathematics, Reston:Virginia.

Malloy, C.E. (1999). Developing mathematical reaso-ning in the middle grades recognizing diversityDeveloping mathematical reasoning in grades K-12 (Lee V. Stiff, 1999 yearbook editor), Nati-onal Council of Teachers of Mathematics,Reston: Virginia.

National Council of Teachers of Mathematics (1989).Curriculum and evaluation standards forschool mathematics. Reston, Virginia.

National Council of Teachers of Mathematics, (2000).Principles and standards for school mathema-tics. Reston, VA 20191-9988.

Nieto, S. (1996). Affirming diversity. New York:Longman.

Peresini, D. ve Webb, N. (1999). Analyzing mathemati-cal reasoning in students responses across mul-tiple performance assessment tasks. Developingmathematical reasoning in grades K-12. (Lee V.Stiff, 1999 yearbook editor), National Councilof Teachers of Mathematics, Reston: Virginia.

Resnick L.B. ve Ford, W.W. (1984). The psychology ofMathematics for instruction. New Jersey:Lawrence Erlbaum associates publishers.

Rubenstein, N. R. (2001). Mental mathematics beyondthe middle school: Why? What? How? Mathe-matics Teacher. NCTM. v. 94, n. 6, September.

Russell, S. J. (1999). Mathematical Reasoning in theelementary grades. Developing mathematical re-asoning in grades K-12. (Lee V. Stiff, 1999 year-book editor), National Council of Teachers ofMathematics, Reston: Virginia.

Steen, L.A. (1999) Twenty questions about mathemati-cal reasoning. Developing mathematical reaso-ning in grades K-12. (Lee V. Stiff, 1999 yearbo-ok editor), National Council of Teachers ofMathematics, Reston: Virginia.

Sternberg, R. J. (1999). The nature of mathematical Re-asoning. Developing mathematical reasoning ingrades K-12. (Lee V. Stiff, 1999 yearbook edi-tor), National Council of Teachers of Mathe-matics, Reston: Virginia.

Tang E. P. (1999). Young childrens mathematical re-asoning a psychological view. Developing mat-hematical reasoning in grades K-12. (Lee V.Stiff, 1999 yearbook editor), National Councilof Teachers of Mathematics, Reston: Virginia.

Tepedelenliolu, N. (1983). Kim korkar matematik-ten. Bilim ve Sanat Yaynlar. Ankara.

Yolles, A. (2001). A simple solution or is it? Mathe-matics Teaching In The Middle School.NCTM. v. 7, n. 4, December.

Documents

aysun Umay