Ingeniería Comercial

Administración de Operaciones I

Ayudantía N°2

Problema 1

Considere el siguiente problema (P):

(P)

1. Grafique el problema, especificando claramente las restricciones, función objetivo y área factible.

Encuentre el punto óptimo y calcule z* (función objetivo evaluada en el punto óptimo). 2. Resuelva el problema utilizando Simplex en Tableau, comenzando desde un punto que estime conveniente 3. Compruebe que obtiene el mismo resultado utilizando Simplex Matricial 1 4. Suponga que se agrega una tercera restricción al problema:

Muestre gráficamente porqué no es posible usar el origen como base inicial. ¿Qué se debe hacer en este caso? (solo indique, no resuelva).

Problema 2

Un granjero esta engordando cerdos para luego venderlos en la primera feria ganadera del milenio y desea determinar las cantidades de cada tipo de alimento disponible que deben darse a cada cerdo para satisfacer con los requerimientos nutricionales a un costo mínimo. Para ello cuenta con la siguiente información:

Ingrediente Nutritivo

Maíz [Kg.] Residuos Grasos [Kg.]

Requerimiento Diario Mínimo

Carbohidratos 80 20 200

Proteínas 10 80 180

COSTO 21 18 -

1 Considere:

Profesora: Patricia Jarufe

Ayudante: Cristóbal Salas

1. Plantee el modelo de programación lineal que resuelve el problema del granjero y escríbalo en forma estándar.

2. Plantee el programa dual asociado al problema del granjero 3. Se ha encontrado la solución óptima para el problema: :

a. Indique los recursos escasos y los recursos abundantes. Fundamente su respuesta. b. Utilice el teorema de holgura complementaria para encontrar los valores de las variables duales en el

punto óptimo. Interprete.

Tabla de Tucker

Problema 3

1. ¿Puede existir un óptimo de un Problema de Programación Lineal que no sea un vértice del poliedro factible? Si la respuesta es sí, dé un ejemplo y grafíquelo. Si la respuesta es no, explique el por qué.

2. De 3 ejemplos de problemas lineales tal que uno sea no acotado, otro tenga un único óptimo y otro tenga infinitos óptimos, con la condición de que el conjunto factible se mantenga invariante entre los 3 problemas y sólo la función objetivo varíe. Debe escribir los problemas y graficarlos.

3. Suponga que ha resuelto un problema de programación lineal y se le avisa que un valor del vector c (de costos o beneficios) debe ser modificado. ¿Puede el óptimo del problema original dejar de ser factible? ¿Puede el óptimo del problema original dejar de ser óptimo? Justifique su respuesta.

Problema 1

1. Grafique el problema, especificando claramente las restricciones, función objetivo y área factible. Encuentre el punto óptimo y calcule z* (función objetivo evaluada en el punto óptimo).

El gráfico del problema se muestra a continuación:

Del gráfico se observa que el punto óptimo se encuentra en la intersección de las restricciones (1) y (2), por lo tanto resolviendo el sistema asociado a ambas restricciones se obtiene que el punto óptimo es

(32/7,11/7) y z* = 118/7.

2. Resuelva el problema utilizando Simplex en Tableau, comenzando desde un punto que estime conveniente NOTA: Se puede partir desde cualquier punto. Se comenzará desde el origen por comodidad, ya que ahí la matriz básica es la matriz identidad.

Primero se debe llevar el problema a la forma estándar:

Forma estándar:

(2)

(1)

Tableau con los coeficientes de las variables en el problema:

VB

LD

3 4 1 0 20

1 -1 0 1 3

-3 -2 0 0 0 Iteración 1:

VB

LD salida

3 4 1 0 20 20/3

1 -1 0 1 3 3/1=3

-3 -2 0 0 0

Entra la variable y sale la variable

Iteración 2:

VB

LD salida

0 7 1 -3 11 11/7

1 -1 0 1 3 3/-1

0 -5 0 3 9

Entra la variable y sale la variable

Iteración 3: VB

LD

0 1 1/7 -3/7 11/7

1 0 1/7 4/7 32/7

0 0 5/7 6/7 118/7

Como ambas variables no básicas tienen costo reducido no negativo se ha encontrado el punto óptimo:

3. Compruebe que obtiene el mismo resultado utilizando Simplex Matricial Se comienza desde el origen, por lo que las variables no básicas son . Las variables básicas son .

Forma estándar:

3 2 0 0

0

0

0

3

2

3

3 2 0 0

3 2 0 0

Iteración 1:

Identificación A, b, B, xB, xj , cB, cj:

Calculo

Calculo

Determinar variable no básica que entra a la base:

o

o

Ambos son menores a 0, entonces no estamos en el óptimo o

Determinar variable básica que sale de la base:

o , entonces

Iteración 2:

Identificación A, b, B, xB, xj , cB, cj:

Calculo

Calculo

Determinar variable no básica que entra a la base:

o

o

Uno de ellos es menor a 0, entonces no estamos en el óptimo o

Determinar variable básica que sale de la base:

o , entonces

Iteración 3:

Identificación A, b, B, xB, xj , cB, cj:

Calculo

Calculo

Determinar variable no básica que entra a la base:

o

o

Ambos son mayores que 0, entonces se ha encontrado el óptimo:

4. Suponga que se agrega una tercera restricción al problema:

Muestre gráficamente porqué no es posible usar el origen como base inicial. ¿Qué se debe hacer en este caso? (solo indique, no resuelva).

El nuevo gráfico es:

Claramente se puede ver que el punto (0,0) no es factible, por lo que el origen no será una base factible inicial. En este caso se debe utilizar Fase I de Simplex, donde se crea un problema auxiliar con variables artificiales. Cuando se encuentra el valor óptimo de este problema auxiliar (que debe ser 0), se toma aquella base óptima como la base factible inicial para comenzar a iterar la Fase II de Simplex (Simplex Habitual).

(3)

(2)

(1)

Problema 3

1. ¿Puede existir un óptimo de un Problema de Programación Lineal que no sea un vértice del poliedro factible? Si la respuesta es sí, dé un ejemplo y grafíquelo. Si la respuesta es no, explique el por qué.

Sí puede existir. Ejemplo:

Observación: Cualquier ejemplo donde la pendiente de la función objetivo es igual a la pendiente de una de las restricciones es admisible.

2. De 3 ejemplos de problemas lineales tal que uno sea no acotado, otro tenga un único óptimo y otro tenga infinitos óptimos, con la condición de que el conjunto factible se mantenga invariante entre los 3 problemas y sólo la función objetivo varíe. Debe escribir los problemas y graficarlos.

Sea el conjunto factible dado por:

Caso problema no acotado: Función objetivo:

Caso problema con óptimo único: Función objetivo:

Caso problema con infinitos óptimos: Función objetivo:

3. Suponga que ha resuelto un problema de programación lineal y se le avisa que un valor del vector c (de costos o beneficios) debe ser modificado. ¿Puede el óptimo del problema original dejar de ser factible? ¿Puede el óptimo del problema original dejar de ser óptimo? Justifique su respuesta.

El óptimo del problema original no puede dejar de ser factible puesto que al modificar el vector c no se altera el conjunto factible. Alternativamente, se puede argumentar que, al desarrollar simplex, el vector c no interviene en el criterio de factibilidad.

Sin embargo, el óptimo del problema original sí puede dejar de ser óptimo. Esto porque al modificar el vector c, se puede alterar la pendiente de la función objetivo, con lo que el vértice óptimo puede cambiar. Alternativamente, se puede argumentar que, al desarrollar simplex, el vector c interviene directamente en el criterio de optimalidad, pudiendo ocurrir que alguno de los costos reducidos cambie su signo por lo que la solución dejaría de ser óptima.