Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 AYUDANTI AS MECANI CA DE FLUI DOS I MPT 210 I NG.CI VI L EN OBRAS CI VI LES Fer nando Echever r a P.2008 Fel i pe Ol i var es R. 2009 - 1 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 I NDI CE Ecuacin de estado Viscosidad1 a 6 Manmetros7 a 9 Compuertas 10 a 15 Empuje 17 a 18 Balance de masa 19 a 20 Balance cantidad de Movimiento lineal 21 a 29 Balance de Energa 30 a 32 Flujo potencial 33 a 34 Ecuacin diferencial de continuidad 36 a 38 Bernoulli sin perdidas 39 a 41 Bernoulli con perdidas 42 a 45 Bomba, cuerva HQ y NQ 33 Perdida de carga, curva 46 a 47 - 2 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ecuaci n de Est ado Ej er ci ci o 1 Evaluar la densidad del aire en condiciones estndar. Condiciones estndar implica presin de 1 atmsfera y temperatura de 20C. Solucin: Las ecuaciones necesarias para resolver este problema son: 1.Ecuacin de estado de los gases T R m V P = 2. Vm= 3.Relacin de densidad Paso 1:Hallar la relacin algebraica que da solucin al problema. T RP= Uniendo la ecuacin 1 y 2 y despejando la densidad llegamos a Solo basta dejar los tres trminos en unidades que se puedan simplificar entre s, o sea: -Unidades de P: | || || || |2 22 2103300001 . 011033 . 11mkgfmcmatmcmkgfatm P = ((

= ((

=((

((

((

=KmKcalm KgJKcalK kgJR264 . 29 4272 . 418619 . 286-Unidades de R: | | ( ) | | | | K K C T 15 . 293 20 15 . 273 20 = + = =-Unidades de T: Finalmente reemplazamos en la ecuacin planteada y simplificamos las unidades: | |((

=((

((

==32204 . 1 15 . 293264 . 2910330mkgfKKmmkgfT RP - 3 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Vi scosi dad yf l ui dos New t oni anos Un fluido se define como una sustancia que se deforma continuamente bajo la accin de unesfuerzodecorte.Estos,puedenclasificarsedeacuerdoalarelacinentreelesfuerzode corte aplicado y la relacin de deformacin. Demostracin: dtdRo=- Relacin de deformacin: - Dejar la relacin de deformacin en trminos de fcil medicin. - dy d dL =o(1). - dt dU(2). dL =dydUdtd=o- Igualando (1) y (2) y reordenando se tiene: - Entonces cuando un elemento de fluido se somete a un esfuerzo de corte t, -experimenta una relacin de deformacin dada por: dydUR = -Aquellosfluidosenlosqueelesfuerzodecorteesdirectamenteproporcionalalatasade deformacin, son llamados fluidos newtonianos, o sea: dydUyx t - La constante de proporcionalidad esta dada por un valor constante: - As, finalmente los fluidos newtonianos pueden ser expresados segn la siguiente relacin: dydUyx = t - 4 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 2 Un viscosmetro de cilindros concntricos es accionado por una masa M, su claro anular esllenadoconunlquidoainvestigar.Despusdeuninstantemuypequeolamasacaecon velocidad constante. Desarrolle una expresin algebraica para la viscosidad del fluido en el dispositivo. La masa cae con velocidad constante, lo que implica una aceleracin nula a=0 y=0. Al hacer sumatoria de momentos con respecto al eje vertical del viscosmetro tenemos: 0 = + =ozz T R ZI r F R F M Donde Izz corresponde a la inercia rotacional del cuerpo, 221R m Izz =

(Inerciarotacionalequivalealaresistenciaqueoponeuncuerpoacambiarsuvelocidadde rotacin). Resolviendo para=0: 0 = r F R FT R A travs del cable se transmite la fuerza producida por la masa M y la aceleracin de gravedad g. g M FT = As: Reemplazando y despejando la fuerza de roce tenemos: Rr g MFR = - 5 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Adems se tiene que el esfuerzo de corte corresponde a: H RRr g MAF = =tt2 H Rr g M =22 tt , y la tasa de deformacin, dydU se puede expresar de la forma, yUAA y esta expresin para ste caso corresponde a avR Donde vR lo obtenemos de la igualdad siguiente: rvRvr R= Considerando que la velocidad vr es equivalente a la velocidad de la masa expresamosvr como vm. As se tiene entonces:rR vvmR=y, a rR vyUm=AA Finalmente resolvemos para: yUAA=tmmv H Ra r g Ma rR vH Rr g MyU = =AA=32222ttt mv H Ra r g M =322 t - 6 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ahora para las dimensiones del viscosmetro, el valor de la masa y su velocidad, se tiene: Donde: R = 50 mm. r = 25 mm. H = 50 mm. a = 0.2 mm. vm = 40 mm./seg. m = 0.1 Kg. ( )| | ( ) | | ||| | ||((

|.|

\||.|

\||.|

\| |.|

\||.|

\|((

= =smm mm msmKgv H Ra r g Mm100040100050100050210002 . 010002581 . 9 1 . 023322232tt | || | cPPoiseseg mKg06 . 7807806 . 007806 . 0==((

= - 7 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 3 Un bloque de masa M se desliza sobre una pelcula delgada de Aceite de espesor h, el rea de contacto, entre el bloque y la superficie, es A. La masa M provoca una aceleracin del bloque. Desprecie la friccin en la polea y la resistencia del aire. -Desarrolle una expresin algebraica para la fuerza viscosa vF que acta sobre el bloque, cuando este se mueve a una velocidad V. -Obtenga una expresin para la velocidad mxima del bloque. Solucin: dydU = tRelacin esfuerzo de corte y viscosidad: Expresin para la fuerza viscosa: AFv= tSe sabe que As, igualando las expresiones anteriores se tiene: AhVFAdydUFAFdydUvvv = == Cuando el bloque se mueve con velocidad mxima, ste ya no se ve sometido a aceleracin: Ah g mVAhVg mF g ma a m F g mvv == = = = max000 T = m g vF - 8 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Si se quisiera considerar a0, y en funcin del tiempo, se tendra: ( )dtdVg Vh mAdtdVm F g mt f a a m F g mvv= |.|

\| = = = Expresin a resolver. - 9 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 4 Se muestra una placa que desliza sobre un plano inclinado. La placa pesa 20 lbm. y mide 20x40 in., y tiene una velocidad de 0.5 pie/seg. Determine la separacin entre la placa y el plano si entre stos se encuentra un Aceite SAE10W, y si la temperatura del Aceite es de 50 F. SupongaunavelocidadlinealdelAceiteenlaseccintransversaldelcitadoespacioy comportamiento como fluido newtoniano. Solucin: La aceleracin que provoca la fuerza y el movimiento corresponde a la componente x relativa de la aceleracin de gravedad gx. As, la fuerza viscosa producida es| |((

=((

= =2222011 20segpielbm Fsegpielbm Fa m F - 10 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Estaexpresinladejamosenunidadesdelbf.(libra-fuerza)convirtiendolaunidadpieen pulgada, o sea: | | lbf Fsegpulbm Fpiepusegpielbm F2640lg2640lg12 22022=((

=((

((

= yUyAFAA = = t tAdems: Con lo cual igualando y despejando y A se tiene: FA Uy A = A El valor de la viscosidad lo obtenemos de la tabla mostrada a continuacin. 26lg10 38puseglbf = | || | lbfpuF 2640lg2segpupuseglbfA Uy40 20lg6lg10 3826 ((

((

= A = A- 11 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 As: | | lg 10 9 . 65pu y = A - 12 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 5 El aceite entre el cojinete de un eje y el propio eje es un fluido newtoniano. La prdida de potencia es el producto de la velocidad angular del eje y el par de torsin entre el aceite y el eje. Calcule la prdida de potencia. Solucin: yUdydUA FR FPAA = = = = TT = A tte Se sabe que: As, R AyUP ||.|

\|AA = A e La velocidad tangencial inicial es: ((

=smUi0 y, la velocidad angular final es: y, la velocidad tangencial final es: Por lo tanto: El espesor de la capa de fluido es ||((

= ((

= =smmsradr U f707 . 15 25 . 0 8 . 62 e((

= = AsradU U Ui f707 . 15((

srad=((

((

((

=revradsrev8 . 6212 min601min600te|| m y 00025 . 0 = A- 13 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 El rea de contacto entre el fluido y la superficie del rotor es || ||| |2338 . 3125 . 2 25 . 0 22m Am m AL r A= = =tt Reemplazando se tiene: | | | || | || | |((

= A((

((

= T = A = = = T= ((

= =((

=AA = =sJoulePsm NsradPm N m N R FN mmNA FmNyUdydU164711 . 262 8 . 621 . 262 25 . 0 58 . 104858 . 1048 338 . 3 14 . 31414 . 314222et t - 14 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 6: Los datos para determinar la variacin de la viscosidad del agua en funcin de la temperatura, se correlacionan en forma apropiada mediante la ecuacin siguiente: 1406 , 570510 414 , 2 =Te Donde eslaviscosidaddinmicaen yeslatemperaturaabsolutaenKelvin. Calculelaviscosidaddelaguaaydetermineeltiempodeescurrimientodelaguaenun viscosmetroCanoncomoelvistoenlaboratorio,considerandoquesuconstantees0.03 .2/ m s N TC 20s cSt / 0 , 1 = GS Solucin: Conversin de Temperatura:K C T = = 293 20Calculo de Viscosidad Dinmica:((

= =23140 2936 , 570510 0 , 1 10 414 , 2ms Ne Para los viscosmetros se tiene: kttku u= =Dondecorresponde a la constante del Viscosmetro Tipo Canon.k La densidad del fluido es: ((

=((

= =3 31000 1000 0 , 1mkgmkgGSAgua La viscosidad esttica es:((

=((

((

= =smmkgmssm kg2632 2310 0 , 1100010 0 , 1u El tiempo de escurrimiento es: | || | sscmscmcStsmt 35 , 3310 03 , 010 10 103 , 010 0 , 12224 626=((

((

=((

= - 15 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Medi dor es de Pr esi n,Manmet r os. Manmetro:esteelementomidepresionesutilizandolarelacinqueexisteentreun cambio de presin y un cambio de elevacin en un fluido esttico. La relacin fundamental para la resolucin se basa en la ecuacin diferencial siguiente: dz g dP = Donde P representa el diferencial de presin, la densidad del fluido en anlisis, g es la fuerza gravitatoria y dz corresponde al diferencial de profundidad (en el fluido). Al integrar en los lmites mostrados en la figura se tiene: ( )( ) ( )0 00 00 00 0z z g P z Pz z g P Pdz g dPdz g dPdz g dPzzPPzzPP + = = = = =} }} } Dependiendo del valor de las condiciones de borde (valores de P0 y z0) se puede llegar a una expresin ms simple, as es el caso de la figura, donde podemos considerar z0=0 dado que se encuentra en el limite del fluido. ( ) z g P z P + = 0 ElvalorP0correspondientealapresinactuanteenelbordeolmitedelfluidoes conocidoparaestecasocomopresinatmosfrica.Porconvenienciaenciertoscasosse establece el sistema de coordenadas en un punto tal que en l es conocido el valor de la presin P0, en este caso se facilit utilizar el origen del sistema de coordenadas en el borde del fluido ya que el valor de la presin P0 es conocido. Cuandoseutilizaunmanmetro,seestmidiendounavariacindepresinentredos puntos en funcin de la diferencia de elevacin, por lo cual calculamos el valor de z g de la expresin anterior. Al resolver un manmetro, es conveniente utilizar la expresin de manera completa, esto es, utilizando el trmino P0, pues es de gran ayuda al momento de fabricarlas. - 16 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 7 UtilizandolafiguracalcularlapresinenelpuntoA.Elmanmetroestaformadopor agua y mercurio. Solucin: Para facilitar la solucin al problema, se consideraran los dos supuestos siguientes: El fluido se mantiene esttico. El fluido es incompresible. Utilizamos la ecuacin propuesta ( dz g dP = ) en su forma integrada: ( ) z g P z P + = 0 Definimos los puntos importantes como sigue: 341 2 El sistema de ecuacin a resolver es el siguiente: 44 33 21 24 . 025 . 02P Pg P PP Pg P PAO HHg= = = = - 17 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Finalmente se tiene: || ||| || | KPa PPa Ps mkgPmsmmkgmsmmkgPg g PAAAAO H Hg A28 . 298 . 292828 . 292824 . 0 81 . 9 1000 25 . 0 81 . 9 135404 . 0 25 . 022 3 2 32==((

=((

((

((

((

= = - 18 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 8 UtilizandolafiguracalcularlapresinenelpuntoA.Elmanmetroestformadopor aceite, agua y mercurio. Solucin: La solucin a este ejercicio es de manera similar al anterior, slo ms extenso. Se propone resolver con 8 puntos importantes. AAcHgO HHgP Pg P PP Pg P PP Pg P PP Pg P P= = = = = = = = 88 77 65 65 44 33 21 2375 . 005 . 01 . 0475 . 02 La solucin es la siguiente: | | KPa Pg g g PAHg O H Hg A442 . 6505 . 0 1 . 0 475 . 02= + = gAc375 . 0 - 19 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 9: Considereunmanmetroconectadocomoseindica.Calculeladiferenciadepresinentrelos puntos centrales de la tubera en funcin de la diferencia de altura medida entre los meniscos de benceno Solucin: Se fijarn puntos que sean tiles para la determinacin de la diferencia de presin. Ahora determinamos la diferencia de presin entre 1 y 2 en funcin de la presin en A y B. ( ) c b p pc p pb p pBenceno A BAgua bAgua A + = + = + =21 Al efectuar se tiene: 2 1p p ( ) ( )( ) ( ) c b p pc b c b p pc p b p p pBenceno AguaBenceno AguaAgua b Agua A = = + = 2 12 12 1 - 20 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Reemplazando los datos se tiene: ( )||| | Pa p pmNp pmmsmkgp pmsmmkgmkgp p89 . 55789 . 55747 . 0 118761 . 0 08 . 1 81 . 9 879 10002 122 1322 12 3 3 2 1= ((

= ((((

= |.|

\| = - 21 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Compuer t as, Fuer za Resul t ant e } =ARA d p F La explicacin se realizara a travs del ejercicio siguiente: Ej er ci ci o 10: Una compuerta est inclinada a lo largo de A y tiene 5 metros de Ancho. Determine La fuerza resultante que ejerce el agua sobre la compuerta. Solucin: La expresin a utilizar es la siguiente: } =ARA d p F dz g dp = con: Se debe representar la presin en funcin de la direccin del plano de la compuerta, para que tenga sentido resolver la integral de la Fuerza resultante Debido a la geometra y a las condiciones propuestas anteriormente se ve que un buen punto para ubicar el sistema de coordenadas es en la bisagra de esta compuerta, dado que en el se conoce la presin P0 como se muestra en la figura: - 22 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 As, la ecuacin de presin ( ) z g P z P + = 0, queda: ( ) ( ) 300sen y g P y P + = Cong P = 20 Finalmente la expresin a resolver es: ( )} }} + = =LwRARk dy dx sen y g P FA d p F0 00 30 Al resolver se tendr: ( ) kLsen L w g FR2 30 22||.|

\| + = | | k N FR588600 =Reemplazando los datos se tiene: - 23 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Compuer t as,Coor denadas delcent r o de pr esi n: RAFdA p yy} = 'RAFdA p xx} = ' Ej er ci ci o 11: Determinar el centro de presin del ejercicio anterior. Solucin: La expresin FR corresponde a la fuerza resultante sobre la compuerta en su forma NO vectorial. Del ejemplo anterior se tiene: | | N FR588600 = La ecuacin de presin a la que se lleg en la etapa anterior es:( ) z g P z P + = 0 Expresando z en funcin de y, se tiene:( ) ( ) 300sen y g P y P + = La compuerta presenta un ancho de w mts. El diferencial de rea queda:dy dx dA = As,lacoordenadadelpuntodeaplicacindelafuerzaenladireccinyquedardela siguiente forma: ( ) ( )RLwFdy dx y sen y g Py += ' } }0 00 30 y, en la direccin x: La solucin para es la siguiente:y'( ) ( )RL wFdy dx x sen y g Px += ' } }0 00 30 ( )RFL sen g L Pwy||.|

\| += '3 3023 20 - 24 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 y, para:x'( )RFL sen gL Pwx||.|

\| + = '2 302202 ||||| | N FsegmgmKgm Lm wR58860081 . 910004523=((

=((

===Evaluando los datos siguientes datos: || || m x m y 5 . 2 22 . 2 = ' = 'Se tiene: (Nota: notar que la coordenada,queda en la mitad del ancho total)x' - 25 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 12: ElniveldeAguasecontrolamedianteunacompuertaplanadeespesoruniformey despreciable. El ancho de la compuerta es w. Determine la masa m necesaria para mantener el nivel del agua a una profundidad H o menor | |||||| ||| m ws m gm bm am kg048 . 381 . 9 30285 . 2762 . 0100023======u Datos: Solucin: Planteamos la ecuacin que dar solucin a nuestro problema. = 00M( ) 0 cos = a g m c FRu ( )a gc FmR =u cosAs, la masa m esta dada por: De la cual solo no conocemos: c y FR ParaelclculodelafuerzaresultanteFR debemosestablecerunsistemadecoordenadas,se recomendar establecerlo con el origen en un lugar donde se conozca la presin. De manera similar al ejercicio anterior, la ecuacin de presin queda de la siguiente forma: ( ) ( ) y sen g y P = u - 26 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Fabricamos la integral para el clculo de la fuerza resultante y resolvemos: ( ) ( )( )| |k N Fkbsen g w Fk dy dx y sen g FA d p FRRbwRAR39029220 0 = = = =} }} u u Dada la geometra se tiene que. y b c ' = Calculamos el centro de aplicacin : Por lo tanto: ( )( )( )( )322322320 02bbsen g wbw sen gbsen g wdy dx y sen gyFdA p yybwRA= = = ' = '} }}u u u u y'332bcbb c= =( )( )( )| | kg mab wma gb bsen g wm45926tancos3 232= = ||.|

\| =u uu || m c 76 . 0 =- 27 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 13: EncuentrelafuerzatotalsobrelacompuertaABcausadaporlosfluidos.Suponga DRAceite=0.6, La ancho w de la compuerta es 4 pies. Solucin: Al haber fluido a ambos lados de la compuerta se deben calcular 2 fuerzas, una ejercida por el Agua F1 y otra por el Aceite F2. La Ecuacin que define la fuerza sobre el rea A es: entonces para la fuerza F1 del agua se tendr: X Y } =ARA d p F }} = =Ay Agua yAAgua ydA p Fj A d p F11}} = =Ay Aceite yAAceite ydA p Fj A d p F22Y para la fuerza F2 del Aceite: - 28 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 El valor de el rea diferenciales posible expresarla como ydA w dx La Fuerza neta es: ( )}} } = + =+ =BAAgua Aceite NetaBAAceiteBAAgua Netay y Netadx w p p Fdx w p dx w p FF F F2 1 Las presiones del agua y el aceite son: ( ) ( ) + + = + =60 ' 101sen x g p ph g p pAgua man Aire AguaAgua man Aire Agua ( ) ( ) + = =60 ' 402sen x g ph g pAceite AceiteAceite Aceite Considerando los lmites de integracin:( )} =' 22' 10dx w p p FAgua Aceite Neta( ) ( ) ( ) ( ) ( )} + + =' 22' 1060 ' 10 60 ' 40 dx w sen x g p sen x g DR FAgua man Aire Agua Aceite Neta Resolviendo la integral: ( ) ( )' 22' 102 2602' 10 602' 40||.|

\|||.|

\| + ||.|

\| + = senxx g w x w p w senxx g DR FAgua man Aire Agua Aceite Neta Reemplazando los valores siguientes entregados como datos:2 2231440 102 . 326 . 626 . 0pielbinlbpspiegpielbDRman AireAguaAceite= ==== Se obtiene:| | lbf FNeta749176 = El signo negativo del resultado indica que la direccin de la fuerza es en el sentido negativo del eje X. - 29 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 14: Sevaaconstruirunarepresaaloanchodeunroempleandolaseccintransversal indicada. Para una altura del agua de H=2.5 mts., calcule la magnitud y la lnea de accin de la fuerzaverticaldelaguasobrelacaracurvadelarepresa,supongaqueelanchodestaes w=50 mts. Solucin: Talcomoseestablecaunarelacinentrelainclinacindelacompuertaylavertical,enlos ejercicios anteriores, ahora debemos establecer una relacin para la compuerta curva. La ecuacin de la curva corresponder a la siguiente: 4 . 09 . 0=xy La ecuacin con la cul calculamos la fuerza resultante en los ejercicios anteriores, ser aplicada parastasolucin,peroseconsiderarsloelreaproyectadaenlahorizontalutilizandola ecuacin correspondiente, o sea: } =xAx xdA p Fx xA d p F d = A d p F d = y yA d p F d = } =yAy ydA p F - 30 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Delacualutilizamoslavertical(laqueresultadeaplicarpresinenelreacontenidaenel plano horizontal) FRY FRX As, la funcin de presin es: h g p = y, al considerar h como y se tiene:|.|

\| =4 . 09 . 0xH g p Por lo tanto la ecuacin a resolver es: }}}|.|

\| = |.|

\| =|.|

\| =2 . 27 . 02 . 27 . 04 . 09 . 04 . 09 . 04 . 09 . 0dxxH w g Fdx wxH g FdAxH g FRxRxxARxx| | N FRx78 . 1048402 = Que tiene por resultado: La ubicacin del punto de accin se calcula basada en la fuerza actuante como se muestra en las ecuaciones deducidas siguientes: RyAyFdA p yyy} = 'RxAxFdA p xxx} = ' Dadoquesepidehallarlalneadeaccindelafuerzaverticaldebemosutilizarlaprimerade estas ecuaciones, que da por resultado el punto siguiente: || m x 61 . 1 = ' - 31 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 15: Unasuperficiecurvaesformadacomounarcocircularconm R 75 . 0 = .Delamaneraquese indica.Elanchodelasuperficieesm w 55 . 3 = .Aladerechadelasuperficiecurvahayagua conunaprofundidadde.Calculelafuerzahidrostticaverticalsobrelasuperficie curva. m H 65 . 0 = Solucin: El valor de la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta es: } =AA d p F La componente vertical de la fuerzaFes: ( ) dA sen p dA p j A d p FA AyAvv = = =} } }u Escribiendo el diferencial de rea en coordenadas polares se tiene: ( )}== + =00u uuu w d R p h g Fatm v Lapresinatmosfricaes| | Pa patm101234 = ,elvalordelngulo 0u es60,yconsiderando que( ) u sen R H h =- 32 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Reemplazando y resolviendo la integral: ( ) ( )|| | | || || m d m Pa m sensmmkgFv55 . 3 75 . 0 101234 75 . 0 65 . 0 81 . 9 1000002 3 ||.|

\|+ ((

((

= }u uu ( ) ( )| | N FFvv29024155 . 3 75926 cos 5513 4778000 00= + = u u uu Si no se considera el valor de la presin atmosfrica, el valor de la fuerza vertical es: | | N Fv7894 = - 33 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 16: Uncanaldelongitudunitariacontieneagua.Unslidoconformaidnticaestaen contacto directo con la superficie libre y se mueve directamente hacia abajo una distanciao tal comoseindica.CuleslafuerzasobrelacompuertaAB,quetieneunanchounitario,en funcin deo ?, Qu pasa cuando1 m o ?. Considere solamente la fuerza gravitacional que acta sobre el agua. Solucin: Considerando solo la fuerza gravitacional del agua sobre la compuerta se tiene: Escribiendo esta ecuacin con respecto a AF p dA = }el problema se llega a: AByyF g h wd = }y Donde, entonces:(45 h y sen = )( )( )( )24545452ABABAyyyyyy BF g wy sen dyF g wsen y dyyF g wsen= = = }} - 34 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Losvaloresdelasprofundidades ealmoverseelcuerposeobtienendela geometra del problema: AyBy ( )2245Ahysen= + 0.2B Ay y = El valor es posible dejarlo en 2hFuncin deo igualando los volmenesdesplazados. ( )( )1 221 22212 tan 452tan 45V Vh hhhoo=== Yen funcin de 1h o : 11 h o = As:( )222 1hoo= y ( ) ( )222 1 45Aysenoo= + ( ) ( )22 02 1 45Bysenoo= + .2 Reemplazando en la ecuacin de fuerza en la compuerta, finalmente se tiene una expresin para la fuerza en funcin deo ( )( ) ( )20.11 45 senoo| | | |45 0.2 2 0.02 F g wsen = + \ . - 35 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 17: Elbloque(colorrojo)quesemuestraenlafiguratieneunamasade5Kg.,ysus dimensionesson10x10x50cm.Labarradesoporteesdemasadespreciableytieneuna longitud de 1 mt., y un dimetro de 5 cm. Encuentre la profundidad D. Elvolumendelasarticulacionessepuededespreciar,ysupongaqueelbloque permanece vertical. Solucin: Para resolver este ejercicio es necesario considerar el empuje del fluido. Establecemos la condicin de equilibrio siguiente: YZ X - 36 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Realizamos sumatoria de momentos con respecto al eje Z: * ( ) ( ) ( )| || || || | N Esmmkgm EN D Esmmkgm D Eg desplaz Vol Eg M PsenLE sen L E sen L Pfluido261 . 1981 . 9 1000205 . 011 . 9881 . 9 1000 1 . 0 1 . 0222 332212 3312 1=((

((

|.|

\| = =((

((

= = = + = tu u u Reemplazando en * y despejando D se obtiene: || m 4018 . 0 D = - 37 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 18 Un sistema de tuberas pasa por un estanque lleno de agua. El estanque esta cerrado en la parte superior con aire a una presin manomtrica de P1=200 KPa. Dentro de la tubera existe un gas esttico con una presin manomtrica de P2=500 KPa. Encuentre la fuerza producida por el gas esttico dentro de la tubera. EncuentrelafuerzaproducidaporelaguayelaireapresinP1sobrelasuperficie externa de la tubera. t= 6mm 30mm Dato: Volumen d e Tronco de cono =( )h A A A ASUP INF SUP INF + + 31 Solucin: Consideracin importante: Si el gas estuviese totalmente encerrado (extremos del ducto sellados) la resultante de lapresinqueejerceraelgasseriacero,puesseanularanlascomponentesdela presin en todas las posibles direcciones. a) Para este caso los extremos no se encuentran sellados, sino que estn totalmente abiertos y existegasejerciendopresinatrapandoelgasdentrodelducto,comosemuestraenlafigura siguiente: - 38 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 En la abertura de la izquierda la fuerza resultante es: ( )| | | || |i N Fi m KPa FA P F3021201 . 0 2 1 . 0101 50012211 1 1 =||.|

\||.|

\| + = =t y, en la abertura inferior: ( )| | | || | j N Fj m KPa FA P F1532006 . 0 2 03 . 0101 50022221 1 2 =||.|

\||.|

\| + = =t Fuerza total del gas esttico dentro de la tubera: | | N j i FF F FGASGAS15330212 1+ =+ = b) La fuerza que ejerce el agua sobre el ducto corresponde al Empuje: | || | j NmgDESPLAZ9 121 . 0203 . 021 . 0203 . 0313203 . 03203 . 05 . 221 . 032 2 2 2 2 2 23||.|

\|||.|

\||.|

\||.|

\|+|.|

\|+|.|

\| + |.|

\| + |.|

\| + |.|

\| ((t t t t t t tEmkgEV EAGUA2699231000=

= = - 39 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Y la fuerza que ejerce la presin P1 sobre el ducto la calculamos con la expresin siguiente:Para la cara izquierda: ( )| | | || || | | || |i N Fi m KPa FA P FKPa PPaKPaPa KPa Ph g P P259521 . 043 . 33043 . 330001 . 0 3 81 . 9 1000 101 20012211 1 1111 0 1 =|.|

\| = ==((

+ + = + =t Para la cara inferior: ( )| | | || || | | || | j N Fj m KPa FA P FKPa PPaKPaPa KPa Ph g P P3 . 261203 . 067 . 36967 . 369001 . 0 7 81 . 9 1000 101 20022222 2 2222 0 2 =|.|

\| = ==((

+ + = + =t Finalmente la fuerza ejercida por el agua y la presin P1 sobre el ducto es: | || | N j i FN j i jP EP E26966225953 . 261259526992311,,+ = = F - 40 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 19 A travs de una tubera de 12 pulgadas fluye un caudal de agua des pie35 ; luego de dirige a travs de una seccin cnica de 60. Cual es la velocidad promedio en la regin desde C hasta E como funcin de n y d?. Evale para d=2 y n=16. Solucin: Supuestos: -Rgimen estacionario; Volumen de control constante, = cte. -Flujo uniforme. Balance de masa: Aplicando los supuestos:Q V A v A vs s e e= = =

0 = + cc} }A d v dVtC CS V La forma de dejar las reas de salida en funcin de oy qes la siguiente: Se establece una lnea vertical que pase sobre qy se calcula el rea de salida: - 41 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 El rea a calcular es la que queda entre la seccin del cono (color azul) y el borde achurado: Geomtricamente definimos) 30 cos(*2 2 = A A Para" 16 = q ," 2 = o y spieQ35 =( )( ) ( ) | | ( ) + = = = =30 cos 30 tan30 cos2 2 2*2 222 2q o q tQvAQAQvA v Qpiepupiepupiepupiepu17 . 0lg 121lg 233 . 1lg 121lg 16= == =oqConvirtiendo a pulgadas a pies estos valores: Finalmente la velocidad en la seccin 2 es: ( ) | | | |((

= + ((

=spievpiespiev8 . 6) 30 cos( 33 . 1 ) 30 tan( 17 . 0 33 . 1522 2 232t - 42 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 20: La figura muestra un pulverizador de carbn en una planta de generacin de energa. En corrientesseparadas,entranalpulverizadortrozosdecarbnyaire.Elcarbnsemuelehasta convertirlo en un polvo fino y se mezcla con el aire. La mezcla carbn-aire sale del pulverizador como una sola corriente. El polvo de carbn es tan fino y est tan bien mezclado con el aire, que la corriente se salida se puede considerar como un fluido continuo. Calcule el caudal msico de aire que entra alpulverizador. La relacin msica de carbn a aire es de 1:1. Si la temperatura ylapresindelacorrientesesalidaconlasmismasquelasdelairequeentra,Culesla densidadaproximadadelamezclacarbn-aire?Calculetambinlavelocidaddelamezcla carbn-aire en la tubera de salida. La densidad del carbn es de 50 lbm./pie3. Solucin: Supuesto: Rgimen estacionario Balance de masa: c aem m mm+ = Flujo carbnFlujo mezcla salida Flujo aire entrada Calculo de Flujo de aire de entrada: aem ae e e em A v = Densidad del aire de entrada e | |2 214.7 1.033 10330ekg kgp psiacm m ( = = =( (( ( ) | || |5300 32 2739421.88eeT KT K= + = - 43 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 29.3kg mRkg K ( = ( | |231033029.3 4220.835e eee eekgm pmV RT kg mKkg Kkgm ( ( = = =( ( (= ( rea de entrada eA : | | | |22 0.3048 3 0.30480.5574eem mA pie piepie pieA m ( = ( ( Velocidad de entrada: ev( ( = | || |0.3048100 30.481empie mvs pie s ((= = (( As, el flujo o caudal msico de aire de entrada es: Dadoquelarelacindecaudalmsicoentreelcarbnyelairecalienteeslamisma entonces: 230.835 0.5574 30.4814.186ae e e eaeaem A vkg mm ms mkgms = ( ( = ( (( (= ( Calculo de la densidad aproximada de la mezcla carbn-aire: 1114.186c aecm mkgms= (= ( mezcla c c as asx x = + cx= fraccin volumtrica de carbn en mezcla asx =fraccin volumtrica de aire en mezcla Los valores cx y asx conforman el 100% de la mezcla, por lo tanto se deduce que: 1as cx x = - 44 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Los volmenes especficos de cada materia prima y de la mezcla son: Por lo cual la fraccin volumtrica de carbn en la mezcla ser:

As, la densidad de la mezcla es: Calculo de la velocidad de salida: Por lo tanto: 31 10.00125799esp carboncarbonmvkg k

3gm(= = = ( ( ( 331 11.1980.835esp aire salidaairemvkg kgm (= = = ( ( ( 3 3m m30.00125 1.198 1.19925esp mezclamvkg kg kg (((= + = ((( 330.001250.0010431.19925cm carbonxm mezcla ( = = ( ( )3 333799 0.001043 0.835 1 0.0010430.833 0.8341.667mezclamezclamezclakg kgm mkgmkgm ((= + (( (= + ( (= ( 14.186 14.18628.372m m sm s skg kgm As skgA vs ((sv + = = (( ( = ( | | | || |2314.186 14.18628.3722.5 0.30481.6672 137.321m m s smsm sskg kgm A vs skgm svApie mkgpie mmvsegt ((+ = = (( ( ( = =| | ( | ( | \ . (= ( - 45 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 21: Atravsdelaparatomostradofluyeaguaconunatasapermanente.Seconocelasiguiente informacin: lg 4lg 8lg 15/ 20/ 10. 20321211pu Dpu Dpu Ds pies vs pies vman psi p====== Calcule el empuje horizontal ejercido por el agua y el aire sobre el aparato. El volumen de Control a definir para la solucin es: Supuestos: -Volumen de control constante -Densidad constante -Flujo uniforme. 0 = + cc} }A d v dVtC CS V Balance de masa: - 46 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Aplicando los supuestos se llega a la siguiente expresin: 32 2 1 133 3 2 2 1 1AA v A vvA v A v A v = + = Reemplazando y calculando se obtiene: 3v | | | || |((

= ((

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=spievininspieinspiev6 . 6024 20 5 . 7 1032 22 2 2 23tt t Para calcular la fuerza horizontal ejercida por al aire y el agua sobre el aparatose debe utilizar la ecuacin Balance de Cantidad de Movimiento Lineal. La presin total ejercida por la atmsfera es:0 = }AatmA d p Ecuacin BCML en eje X: Reemplazando se tiene: | || | | | | || |((

||.|

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=2222 2 2222 2 2222 2 22232 222 . 3216 . 60 2 20 4 10 5 . 71446 . 625 . 7 20spie lblbfspieinspieinspieinpieinpielbininlbRxt t tt} } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC ( ) () ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 2 1 1 1, ,3 2 1A v v A v v A v R i A d pxA A Aman + + = } )3v 2 2 2v A v A v A A p R + + = 3 3 2 2 1 1 1 1man x|| lb Rx124 . 4 =- 47 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 22: Se tiene una reduccin en el sistema de tubos dela figura. El volumen interno del reductor es 0.2 m3 y su masa es de 25 kg. Evale la fuerza horizontal que deben proporcionar los tubos a la reduccin para mantenerla en su lugar. El fluido es gasolina. Supuestos: -Volumen de control indeformable -Rgimen estacionario -Fluido incompresible -Flujo uniforme -0 = }AatmA d p Volumen de Control: Ecuacin de Balance de Cantidad de Movimiento Lineal } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC Aplicando los supuestos se tiene: } = +AS CA d v v F F En la direccin X: ( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 2 1 1A v v A v v A p A p Rman man x + = + Despejando la reaccin se tiene: - 48 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 121 222 1 1 2 2A v A v A p A p Rman man x + = ( )| | | | | | | || | | |222223222223222224 . 03 1000 72 . 022 . 012 1000 72 . 024 . 07 . 5822 . 0234 . 101 109msmmkgmsmmkgm kPa m kPa Rx|.|

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\| =t tt t | | | | | | | | N N N N Rx301 . 814 203 . 3257 46 . 7376 976 . 243 + = | | N Rx581 . 4689 = Ladireccinqueseleasignalafuerzafuehacialaderecha,elresultadoaldarnegativo implica que la fuerza se dirige hacia la izquierda y se confirma el ser una reaccin al movimiento solicitante. xR - 49 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 23: Un sistema vertical conduce un caudal de agua de 1 m3/seg. desde un gran embalse. En la T localizada en B, 1/3 m3/seg. Se dirige hacia la izquierda y 2/3 m3/seg. Hacia la derecha. LatuberaEBpesa1kN/m,latuberaABpesa0.6kN/mylatuberaBCpesa0.8kN/m. Encuentrelascomponentesverticalyhorizontaldelafuerzatotalqueactasobrelatubera, producto del flujo de agua, el aire y la gravedad que acta sobre el agua y la tubera. En A y C se tiene chorros libres y la presin absoluta en E es 390.4 kPa. Sol uci n: Definimos R como la fuerza TOTAL ejercida sobre la tubera con sus respectivas componentes Rx y Ry. El Volumen de control estar definido como Tubera+Agua. Supuestos: Rgimen Estacionario, Fluido Incompresible y Flujo uniforme. Balance de masas: C A Em m m + = - 50 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Simplificando la densidad se tiene: segmsegmsegmv A v A v AV V VC C A A E EC A E3 3 332311 + = + = + = Alconocerlosdimetrosdetuberassepuedenobtenerlasvelocidadescomosemuestraa continuacin:segmu ysegmmsegmAVvsegmu ysegmmsegmAVvsegmu ysegmmsegmAVvCCCCAAAAEEEE4 . 29 4 . 29217 . 0321 . 25 1 . 25213 . 0311 . 14 1 . 1423 . 01223223223= =|.|

\|= = = =|.|

\|= = = =|.|

\|= =ttt Lasvelocidadesucorrespondenalasvelocidadesconsusigno(sentido)conrespectoael sistema vectorial global. Ecuacin de balance de Fuerzas: } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC Rgimen estacionario implica: } = +AS CA d v v F F FuerzasdeCampo:noexistenfuerzasdecampoaconsiderarendireccinX,elpesodela tubera y peso del Agua Ambos poseen solo componente Y. FuerzasdeSuperficie:presinatmosfricaqueseconsideraranuladebidoalpequeotamao de las secciones donde acta, presin manomtrica ejercida por el fluido del estanque sobre el inicio de la tubera, el esfuerzo de corte producido por el fluido circulante sobre la pared interior de la tubera que se considerar nulo por su valor irrelevante y la componente R que sostiene la tubera en la base del estanque (ver figura). - 51 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ecuacin General: } } } } = + + + + +A A AmanAatm Tuberia AguaA d v v R dA A d P A d P W W t Las componentes se muestran a continuacin: Componente X: ( ) ( )| | N RsegmmkgsegmsegmmkgsegmRA v u A v u RXXA A A C C C X11233311000 1 . 25321000 4 . 293333=((

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= + + = Componente Y: ( )E E E E Y E man E Tuberia AguaA v u R A P W W = + Ordenando se tiene: ( )E man E Tuberia Agua E E E E YA P W W A v u R + + + = Donde: ( ) | || ||| || || | |( ) | | | | | | N m Pa A PN mmNmmNmmNWNsmmkgWNsmmkgsmA v uE man ETuberiaAguaE E E E2044023 . 0101234 390400258000 50 800 30 600 200 1000153725 20023 . 050217 . 030213 . 081 . 9 100014100 1 1000 1 . 14222 2 22 333= |.|

\| = = ((

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== ||.|

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= tt - 52 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Sumando los valores obtenidos calculamos: YR ( ) | || | N RN RYY44626520440 258000 153725 14100=+ + + = Finalmente, las componentes de la fuerza R obtenidas corresponden a la reaccin en la base E del sistema de tuberas. El valor de la fuerza total que acta sobre la tubera producto del flujo de agua, el aire y la gravedad corresponde simplemente al valor opuesto a la reaccin calculada. | | | | j N i N R44626511233 = - - 53 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 24: Atravsdeunaboquilladeformacnicaquepesa500Nfluyeagua.Eldimetrode entrada a la boquilla es de 1 mt. Y el de salida 0.3 mt. La velocidad de flujo hacia la boquilla es de 1 m/seg. Si la fuerza de apriete entre la boquilla y el tubo de entrada debe ser de 1000 N con el fin de prevenir fugas, Cul es la deformacin mnima en los 10 pernos que unen el sistema? El dimetro de cada perno es 25 mm. y su modulo de Young es de Pa. 1110 2 Hg H2O Solucin: ||||| || |((

=====smvN PN FmmeBoquillaApriete150010003 . 0121||Resumen de Datos: Ecuacin de Conservacin de Masa (E.C.M.): 0 = + cc} }A d v dVtC CS V Supuestos: Flujo incompresible, = cte. Rgimen Estacionario (Volumen de control indeformable),0 = cc}CVdVt Por lo tanto la E.C.M. queda: 0 = }A d vCS Al considerar los signos del vector de rea y el de velocidad, la integral da: - 54 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 s s e es s e eA ASA v A vA v A vA d v A d vA d vS EC = = + = + = } }}000 Primera relacin utilizable para resolver el problema | | | || | | |((

=((

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= smvsmvmsmv msmmsmv msmA v A vsssss s e e1 . 113 . 013 . 0 1 143 . 041122 2 22222t t Velocidad de Salida Dadoquedebemostrabajarconfuerzas,sernecesarioplantearlaecuacindeBalancede Cantidad de Movimiento Lineal (B.C.M.L.) y ver su utilidad en el caso: } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC DadoquelaecuacinB.C.M.L.estdemaneravectorial,sernecesarioestablecerunsistema coordenado. Y X Z Revisamos las fuerzas de campo y superficie existentes: Fuerzas de Campo: - 55 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 | || | | || | k N FsmmmkgN Fg V N FP P FCCBoquilla CFluido Boquilla C83 . 514081 . 9 473 . 0 1000 500500233=((

((

+ = + =+ = Fuerzas de Superficie: R A P A P A d P Fs s e e atm S+ + + = } Comosesabe,laintegralcerradadelapresinatmosfricasobrelaboquilladarnula,yla fuerza R corresponder a la fuerza que ejecutan los pernos sobre la superficie de la boquilla. La fuerza R es la buscada para calcular la deformacin de los pernos. Lasuperficiedesalidaseencuentrasometidaalapresinatmosfrica,presinque consideraremos como nula. ( )| | k N R Fk R k A g g FR A P FR A P A P A d P FSO H O H Hg Hg Se e Ss s e e atm S93 . 30664 12 2 = A A =+ =+ + + =} El trmino encerrado corresponde a la relacin neta de flujo del momento que sale a travs de la superficie de control: | | N A d v vA v v A v v A d v vAs s s e e eA5 . 7932 = + = }} } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC Finalmente reemplazando los trminos en la ecuacin B.C.M.L. se tiene: | || | k N Rk N R278735 . 7932 83 . 5140 93 . 30664 == + El signo corrobora que los pernos ejecutan una fuerza en direccin Z para sostener la boquilla. Finalmente la fuerza sobre cada uno de los pernos ser: | | N F 3 . 2887 3 . 2787 100 = + =- 56 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Y la deformacin en cada perno: | || | | |((

= == =mmPa mNE AFE511 2 210 94 . 210 2 0125 . 03 . 2887ctoc - 57 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 25: La tobera mostrada descarga una capa de agua a travs de un arco de 180, la velocidad de salida de agua es de 15 m/s y el espesor del chorro es de 0.03 m. a una distancia radial de 0.3 m. de la lnea central de la tubera de alimentacin. Encuentre: El flujo volumtrico del agua en la capa del chorro, y La componente Y de la fuerza requerida para mantener fija la tobera. Solucin: Flujo volumtrico: } =AA d v QA v Q = Pero es necesario conocer la velocidad de salida. Este valor se obtiene haciendo un balance de masa: Supuestos: Rgimen estacionario Fluido incompresible Flujouniforme(lamagnituddelosvectoresdevelocidadeslamismaparacadapunto perteneciente al rea donde ocurre el flujo) 0 = + cc} }A d v dVtC CS V Finalmente: La fuerza requerida para mantener fija la tobera es considerada como una fuerza de superficie tal como el ejercicio anterior. ((

= =((

=smV t R Qsmvss3424 . 015t } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC - 58 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Dado que las dimensiones del volumen de control son despreciables, el peso del fluido contenido en su interior tambin lo ser, y considerando que la presin de entrada es despreciable se tiene que: ( )| | j N RR t v Rd R t v sen v RA d v v FyyyAS4050220= = = =}}u ut Se recomienda leer seccin 4.4 libro Introduccin a la mecnica de fluidos Robert W. Fox - 59 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 26: 500lts/seg.deaguafluyenatravsdelatubera.Elflujosaleatravsdeunrea rectangular de longitud 0.8 mt. y ancho 40 mm. El perfil de velocidades es parablico. La tubera pesa 100 N/mt. Y su dimetro interno es de 250 mm. Halle velocidades de entrada y salida del ducto Cuales son las fuerzas sobre la tubera en el punto de empotramiento A? Supuestos: Rgimen estacionario Fluido incompresible No hay Flujo uniforme en seccin de salida (la magnitud de los vectores de velocidad no es la misma para cada punto perteneciente al rea donde ocurre el flujo) 0 = + cc} }A d v dVtC CS V 0 = }A d vCS0 = }A d vCSBalance de masa Debidoaqueladistribucindevelocidadesenelreadesalidaposeeunaformavariablela funcin velocidad se debe integrar. - 60 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Como se trata de una parbola, su ecuacin relativa queda: V0 ( )2208 . 0yvvy' =' y0.8 0 = }A d vCSy d w dA ' = }' ' = 8 . 002208 . 0y d w yvA ve e 38 . 004 . 08 . 0500 001 . 03202 =((

((

vsegltsltsm ((

=((

=smvsmve2 . 109 . 460 Para hallar las reacciones utilizamos B.C.M.L. } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC En cada componente se tiene: 000===ZYXRRR } } + cc= +A VS CA d v v dVtF v F C} } } + cc= + + S e CAs sAe e eVZ O H TuberiadA v v dA v v dV vtR A P W W 1 12s|| || | | | | | |225 , 0100000225 , 03 , 2 81 , 9 1000 3 , 2 100022222 3= + |.|

\| + |.|

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((

ZR m Pa m msmmKgmmNt t ...| | | | | | N N N 14077 18 , 1501 05 , 5107 ... + =| | k N RZ2 , 7469 =- 61 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 27: Un velero viaja a 20 Km./hr.(Relativa a la costa), con un viento de popa de 30Km./hr., en un ro que tiene una velocidad absoluta y constante de 5 Km./hr. en la misma direccin que el velero. La figura muestra una estimacin del patrn de flujo del aire. -Encuentre las velocidades de entraday salida de un volumen de control que se mueve con el velero, para un observador que se mueve con el ro. -Encuentre la fuerza del aire sobre el velero. Solucin: Supuesto 1:El volumen de control se mueve con el velero. Se requiere conocer con certeza la velocidad de entrada al volumen de control. La velocidad que impulsa al velero (estando detenido) es de 25 km./hr. La velocidad que mantiene el velero en movimiento es de 10 km./hr. 0 = + cc} }A d v dVtC CS V Bal ance de Masa: Supuestos: -Fluido incompresible. -Rgimen estacionario. -Flujo uniforme. 0 = }A d vCS - 62 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Dada la geometra se tiene: 1 1A v3 3 2 2A v A v + = A2 A3 Para facilitar el problema se considerar: 1 3 23 2A A AA A= += v3 v2 A1 As se llega a: 3 2 13 2v v vv v= ==v1 Clculo de la fuerza del aire sobre el velero Dado que para el problema el velero se encuentra en movimiento, debemos utilizar la velocidad de entrada que lo mantiene en movimiento, o sea: ((

=hrkmve10 B.C.M.L. En la direccin del movimiento se tiene: -Fuerzas de Campo: En la direccin del movimiento solo se tiene la aceleracin a,que para este problema es nula, pues se considera una velocidad constante, por lo tanto: La nica fuerza de superficie actuante es la que impulsa el velero, se despreciar la resistencia que opone el aire en contra, por lo tanto se tiene: Considerando los supuestos propuestos anteriormente la Ecuacin B.C.M.L queda: } } + cc= +A VS CA d v v dV vtF FC Z k g m j a m i FC 0 =X Y j FC0=j R FS=} =AA d v v R } }+ =s eAsAe e ev A d v v R sA d v s LocalLocal GlobalGlobal - 63 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )j A v v A v v Rv A v v A v v R 45 cos 2 45 cos 45 cos2 2 2 1 1 13 2 2 2 1 1 1 + = + + = )j A v3 3 1 3 23 2A A AA A= +=3 2 13 2v v vv v= == ( ) ( )j 45 cos A v R 11+ = 21 | | j N R669 = El flujo otorga una fuerza R al volumen de control que lo hace desplazar. - 64 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 28: Aguafluyeestacionariamentedescargndosealaatmsfera.Calculelacomponente horizontal de la fuerza en la brida de unin. Indique si la brida esta en tensin o compresin. XSupuestos: -Flujo estacionario. -Fluido incompresible. -Flujo uniforme. Bal ance de masa: 0 = + cc} }A d v dVtC CS V1212vAAv = Bal ance Cant i dad de Movi mi ent o Li neal : } } + cc= +A VS Cv v dV vtF FC A d -La fuerza de campo es la provocada por la masa de fluido y el ducto, pero su vector esta en direccin distinta a la direccin de X, por lo tanto la fuerza de campo total es cero. -Existenreaccionesdesuperficieendistintasdirecciones,peroenestecaso solo se pide analizar la horizontal. P1A1 Rx - 65 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 } = AX SA d v v R FX Por lo tanto: ( ) ( )( )( )| | | || | lbf Rlbf lbf RA P A vAAA v RA vAAA v R A PA vAAvAAA v v R A PXXXXX214 . 206798 . 279 584 . 73 30 cos 30 cos 30 cos1 1 2212112122121121 1 12 1211211 1 1 1 1=+ = +||.|

\| ||.|

\| + = ||.|

\| + = ||.|

\| ||.|

\| + ||.|

\| + = La brida se encuentra en tensin - 66 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 29: Se muestra un codo reductor de 30. El fluido es agua. Evale las componentes de la fuerza que debe ser suministrada por los tubos adyacentes para evitar que el codo se mueva. Solucin: Supuestos: A2=0.0081 2 m -Densidad constante -Rgimen estacionario Para calcular las velocidades de ingreso y egreso del agua en el codo reductor se debe efectuar un balance de masa: 0 = + cc} }C CS VCA d v dVt Aplicando los supuestos se llega a: V A v A v= = 2 2 1 1 Por lo tanto: | || |((

=((

= =((

=((

= =smmsmAVvsmmsmAVv58 . 130081 . 011 . 0044 . 60182 . 011 . 023222311 Para calcular las fuerzas que realizan los tubos adyacentes es necesario plantear un Balance de cantidad de Movimiento Lineal: } } + = +C CV SC S CA d v v dV v F F Aplicando los supuestos se llega a: } = +CSS CA d v v F F - 67 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Las fuerzas de campo sobre el volumen de control la componen el peso del agua y el peso propio del codo: | | | || | | || | j N Fj N j N FjsmKg jsmmKgm FW W FCCCCodo Agua C = + = ((

+ ((

((

=+ =96 . 1561 . 98 86 . 5881 . 9 10 81 . 9 1000 006 . 02 2 33 Las fuerzas de superficie son las producidas por la presin atmosfrica, la presin de entrada y de salida del codo y la fuerza ejercida por los tubos adyacentes: R A p A p A d p Fs s e e atm S + + + =} La integral cerrada de la presin atmosfrica tiene valor cero, por lo tanto: | | | | ( )| | ( )| | | | R j N i N FR j sen mmNi mmNi mmNFR A p A p FSSs s e e S + + =+ ((

+ ((

((

=+ + =53 . 148 62 . 81030 0081 . 0 3667530 cos 0081 . 0 36675 0182 . 0 58675222222 Relacin neta de flujo del momento que sale a travs de la superficie de control: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) j sen A v i A v A v A d v vj sen A v v i A v v i A v v A d v vs s s s e eSs s s s s s e e eSCC + + = + + + = }}30 30 cos30 30 cos2 2 2 Reemplazando los datos: ( ) ( ) ( ) ( ) | | N j sen i A d v vCS + + = }30 0081 . 0 1000 58 . 13 30 cos 0081 . 0 1000 58 . 13 0182 . 0 1000 044 . 62 2 2 | | N j i A d v vCS 88 . 746 8 . 628 = } Uniendo las expresiones calculadas anteriormente se tiene: | | | | | | | | N j i R j N i N j NA d v v F FCSS C 88 . 746 8 . 628 53 . 148 62 . 810 96 . 156 = + + + = + } - 68 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Despejando y resolviendo para la fuerzaR: | | N j i R 45 . 738 82 . 181 = - 69 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Bal ance de Ener ga Ener gas Ex i st ent es: Almacenadas o 221v m EC = Energa Cintica oz g mEnerga PotencialEP =o T c Energa Internam Ee i = En Trnsito oQCalor oWTrabajo Ecuaci n de Bal ance par a un vol umen de cont r olVc } } + cc= A VA d v e dV etW Q Energa Entrante Flujo Neto de Energa que atraviesa el rea A Energa o Trabajo Saliente (Si fuese trabajo entrante, sera +W) Variacin c/r al tiempo de Energa en el Vc El trmino e, corresponde a la densidad de energa almacenada dada por: Ph g T cvep+ + + =22 Donde: pc :CalorespecficodelfludoaPresionconstante.Eslacantidaddecalorquedebe aadirse a una masa unitaria de fluido para aumentar su temperatura en una unidad. ((

K KgJoulecp: Para gases ideales se tiene: v pc c R = Donde: R : constante de los gases. vc : Calor especifico del fluido a Vomulen constante. - 70 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 30: El caudal volumtrico a travs de la bomba es de 2 pie3/s. Los dimetros de los ductos son los que se indican en la figura: Calcule la elevacin de presin de la bomba en lb/pie2. Ignore las prdidas de energa mecnica. Solucin: Se pide i fP P P = A Para este problema es bueno establecer el volumen de control en el cual se plantear la ecuacin de energa de la siguiente manera: La ecuacin de energa se plantea entre los puntos 1 y 2, que son los extremos de la bomba, puntos en los cuales se calcular la elevacin de presin de sta. - 71 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Dado que la ecuacin de energa requiere informacin que no se posee del todo en los puntos 1 y2,esnecesarioestablecer2puntosextrascomosemuestraacontinuacin,quearrojarn informacin suficiente. Supuestos: oFluido Incompresible oFlujo Estacionario oFlujo Uniforme oRgimen Adiabtico Entre (0) y (1): No hay transferencia de calor y trabajo, por lo tanto: , y por ser rgimen estacionario, queda: Integrando se tiene: Considerando que: oBalance de masa entre (0) y (1) oFlujo incompresible entre (0) y (1) oLa velocidad del flujo en el estanque tiende a 0 } } + cc= A VA d v e dV etW Q } } + cc=A VA d v e dV et 0} =AA d v e 0} ||.|

\|+ + + =ApA d vPh g T cv 2021A 1 1111 1210 0 0000 0202 2vPh g T cvA vPh g T cvp p ||.|

\|+ + + = ||.|

\|+ + + 1 1 0 0 1 0A v A v V V = = 1 0 =- 72 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 00 ,0 1 1 0 0 = A si A v A v v oLa temperatura del fluido no vara 1 0T T =oLa seccin (0) se encuentra expuesta a la presin atmosfrica solamente 00 = P La ecuacin de energa entre los puntos (0) y (1) queda: 112102Ph gvh g + + = Despejando la presin P1 en funcin de los datos de (0) y (1) ( )2211 0 1vh h g P = Entre (2) y (3): Utilizando los mismos supuestos para el balance de energa entre (2) y (3) se tiene: 3 3 3333 3232 2 2222 2222 2A vPh g T cvA vPh g T cvp p ||.|

\|+ + + = ||.|

\|+ + + y, considerando: oFlujo incompresible oBalance de masa entre (2) y (3) oLa temperatura del fluido no vara oLa seccin (3) se encuentra expuesta a la presin atmosfrica solamente oh2 = h3 La ecuacin de energa entre los puntos (2) y (3) queda: 2 223 222v P v= + Despejando la presin P2 en funcin de los datos de (2) y (3) 222232v vP = Finalmente, la variacin de presin entre (1) y (2) ser: ( )||.|

\| ||.|

\| = = A2 2211 022231 2vh h gv vP P P Reordenando: ( )2 2 2211 02223vh h gv vP + = A - 73 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Incorporandoelconceptodequelasbombassoloaumentanlapresion,noaslavelocidad (v1=v2), queda: * ( )1 0232h h gvP = A Finalmente con los datos del problema se termina que la velocidad en la seccin 3 es: | |((

=((

=((

|.|

\||.|

\|((

= = =spievspiepupiepuspieAVv A v V77 . 146677 . 1466lg 121lg25 . 02322222333 3 3t y, las alturas h0 y h1: | || | pie hpie h5 . 7010 == Reemplazando en * se llega a que la diferencia de presion es: ((

= A22091467pielbfP - 74 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 31: Si en la bomba que se ilustra deben circular 10 pie3/s., cul debe ser la potencia de la bomba? Desprecie la friccin. Solucin: Supuestos: oFluido Incompresible oFlujo Estacionario oFlujo Uniforme oRgimen Adiabtico Entre (1) y (2): } } + cc= A VA d v e dV etW Q } =AA d v e W 2 2A v 2222 2221 1 1111 1212 2Ph g T cvA vPh g T cvWp p B ||.|

\|+ + + + ||.|

\|+ + + = Considerando que: oBalance de masa entre (0) y (1) V A v A v= = 1 1 0 0oFlujo incompresible entre (0) y (1) 2 1 =oLa velocidad del flujo en el estanque tiende a 0 ,0 1 1 0 0 = A si A v A v 01 v oLa temperatura del fluido no vara 1 0T T =oLa seccin (0) se encuentra expuesta a la presin atmosfrica solamente - 75 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 00 = PoLavelocidaddelfluidoenlaseccin(2)sepuedecalcularapartirdelflujo volumtrico: | |((

=|.|

\|((

= =spievpiespieAVv7 . 203225 . 010222322t La ecuacin de energa entre los puntos (1) y (2) queda: ( )| | Hp Wspielbf Wv P Ph h g V WBBB88010 84 . 42522 1 21 2=((

=||.|

\|++ = - 76 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 32 Esta fluyendo agua a 10C con un caudal de 115 Lt/min. por el motor de fluido que se encuentra en la figura. La presin en A es de 700 KPa. Y en B en B es 125 KPa. Seestima que debido a la friccin en la tubera existe una perdida de energa de 4 Nm/N en el agua que fluye. a)Calcule la potencia transmitida al motor de fluido por el agua. b)Si la eficiencia mecnica del motor es de 85% calcule la cada de potencia al eje. A B Sol uci n: Efectuando un balance de Energa se puede resolver el problema: Supuestos: Fluido incompresible Flujo estacionario Flujo uniforme Estado Adiabtico Balance de masa: 3115 0.001916min3.91 3.91A BA A B BA BV VLt mA v A vsegm mv y vseg seg= ( ( = = = ( ( ((= = (( ((

=smvB434 . 0 } } + cc= A VA d v e dV etW Q Balance de Energa: Eliminando los trminos nulos se tiene: } = AidealA d v e W Perdidas Motor idealW W W + =Considerando que: ( ) } = + A d v e W WAPerdidas Motor - 77 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Reescribiendo se tiene: PerdidasAMotorW A d v e W = } VpEWpPerdida = La energa perdida corresponde a: La expresin expandida para la energa del motor es: VpEmvz gPT cvz gPT c WpAAAA VBBBB V Motor (((

||.|

\|+ + + ||.|

\|+ + + = 2 22 2 Reordenando: VpEmvz gPT cvz gPT c WpBBBB VAAAA V Motor ||.|

\|+ + + ||.|

\|+ + + = 2 22 2 ( ) VpEmv vz z gP PWpB AB AB AMotor ||.|

\|+ += 22 2 ( ) | |( )||((

((

((

((

((

|||||.|

\|||.|

\|((

||.|

\|((

+ ((

+((

=smsmmKgmm NsmmKg smsmmsmmKgPaWMotor32 332 2233001916 . 0 81 . 9 1000 4001916 . 0 1000243 . 0 91 . 30 8 . 1 81 . 9100010 125 700 ((3 | | KW WsmN WMotorMotor078 . 18 . 1074=((

= b) Para una eficiencia del 85% del motor se tiene que la potencia de salida real es: 15 . 085 . 0 = =Motor Turbina en PerdidaMotor SalidaW WW W | || | KW WKW WSalidaSalida914 . 085 . 0 078 . 1= =Asi, la potencia transferida al eje es - 78 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 33: Uncilindrodeperodespreciableseponeenmovimientomedianteunacuerdaquees enrollada en l, y luego tirada horizontalmente, tal como se muestra en la figura. Si la cuerda es tirada cuidadosamente el cilindro se eleva como resultado de una fuerza verticalproducidaporlarotacin.Esteproblemapuedeseranalizadocomounflujopotencial alrededordeuncilindroquegira,elcual,correspondealasuperposicindeunflujopotencial sobre un cilindro estacionario y un flujo tipo vrtice. El vrtice se caracteriza por un perfil de velocidades del tipo: rV I=tu2 - 79 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Si el flujo alrededor de un cilindro estacionario est dado por la funcin de corriente: ( ) u senrrr Vest cil||.|

\| =20. Encuentrelaubicacindelospuntosdeestancamientodeflujo,S1yS2paraelflujo propuesto. Solucin: Flujo sobre el cilindro con rotacin: V est cil rot cil + =. . Donde la funcin de corriente del vrtice la determinamos por la relacin siguiente: s, el flujo sobre el cilindro con rotacin es: rVcc =u A ()() uutttK rK drrr rVV+ I =+ I =cc = I}) ln(222 ( )() utu K r senV est cil rot cil+ |. \+ =) ln(2. .rrr Vrot cilI||

| =20.- 80 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Destaexpresin,paralafuncincorrientesepuededeterminarlascomponentesVryVdel ujo utilizando las expresiones siguientes: l valor deo determinamos con lafl rVrVrcc =cc =uu1 (())||

||

=ur V Vrcos10.|\|cc+|\|uuKrr2 E) (uK clcondicin de0 =rVen el flujo tipo vrtice: ara un flujo vrtice,inalmente: V(): ara hallar el punto de estancamie ir.r u cc=(1KrVruucc =)1rVVr 0 =rV P F ,y P nto se debe cumpl 0 = V, o sea: e la solucin de Vr se ve que en D 0) (0 ==r r rV para cualquier uuuucc=cc=) (10Kr) (0K( )||.|

\|||.| | = u cos12rVr

\ 0rrr VrVcc =u( )|.

\ |.

\+ =rsenrr V Vtuu||

|I+||

|r22000=rVVu =- 81 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 De la solucin de V haciendo r=r0 e igualando a 0 y despejando se tiene la solucin: ( ) Es siempre mse est en el 1e( ) ayor que 0, por lo tanto r y 2do cuadrante. ||.|

\| I=||.|

\| I==||.|

\| I+ ||.|

\|+ =V rarcsenV rsenrsenrrr V V000 0200421202tututuu- 82 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 34: Paraelflujodeairebidimensionalybidireccionalsobreelcilindromostradolascomponentes dial y tangencial de la velocidad, estn dadas, respectivamente por:ra ParaR r > ,dondeV eslavelocidadaguasarriba luido.Considerandounfe la( ) ( )|.

\|.

\ 2 2r rr u||

|+ = ||

| =2 21 1 cosRsen V VRV V u udelf lujo codeterminfuncin de corriente del fluido mpresible ( ) u , r , inempleando: Usando las ecuaciones propuestas se ti rVrVrcc =cc =uu1 Solucin: ene: ( )||.|

\| c = VrVru =c221 cos1rRu Despejando : ( ) r K d rrR( ) ( ) V r = }u u + ||.|

\| u 221Resolviendo la integral cos ,( ) ( ) ( ) r rrsen V r + ||.

\ =21 , u u KR | |2AhoradeterminamossilafuncindependerealmentedeK r usandoladosecuaciones propuestas para: uV( )||.|

\|+ =221rRsen V V uu * ( ) ( )||.|

\|+ ||.|

\| cc =cc =r K rrRsen Vr rV221 uu ( ) ( ) r Krsen V V +||

+ =21 uuR'.|\|2** funcinIgualando * y ** se obtiene: ( ) 0 = ' r K( ) rse mantiene constante para cualquier valor deK Con lo cual se concluye que la r . Su nueva anotacin serKsolamente. - 83 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 ( ) 0 , = = u R rlcin de borde para obDado que en la coordenadaa funcin de corriente toma valor nulo, utilizaremos esta coordenada como Condi ner el definitivo valor deK te( ) ( )KK RR |.

\2Rsen V R r=+ ||

| = = =01 0 0 ,2u Finalmente la funcin de corriente queda: ( ) ( )||.

\ =rr sen V r, u u| | R2 La funcin de corriente se pudo haber obtenido anlogamente utilizando inicialmente la ecuacin r cc =Vu y despejando - 84 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 35: Considereunmanmetroconectadocomoseindica.Deduzcaunaexpresinparaobtenerel perfil de velocidades del flujo de agua que se tiene en la tubera, en funcin de la diferencia de alturamedidaentrelosmeniscosdebenceno.Ladistanciaentrelospuntosdemedicinde resinesconocidaaligualquesudimetro.Asumaquesetratadeunflujolaminar le fijarn puntos que sean tiles para la determinacin de la diferencia de presin. Ahora determinamos la diferencia de presin entre 1 y 2 en funcin de la presin en A y B. pp enamente desarrollado. Solucin: S ( )c p pb p pBencenoAgua bAgua A + = + =21 c b p pA B + = Al efectuar se tiene: )2 1p p ( ) (pc b c b p pc p b p p pAgua b Agua A = ( ) ( ) c b pBenceno AguaBenceno Agua = + = 2 12 1 2 1Paraunflujoenunatuberacircular,enrgimenlaminar,desarrolladoyestacionariocon cte = se tiene la siguiente ecuacin: - 85 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 ( )||.| || |2r

\|.

\ A=214 RRLprz Paraa ecuacin queda: v2 1p p p = A l( )( ) ( )||.|

\||.|

\| =2214 Rr RLc br vBenceno Aguaz - 86 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 36: Unfluidonewtonianoincompresiblefluyeatravsdedostubosconcntricos,segnse l gradiente nsidere Ecuacin de continuidad: -La velocidad solo tiene componente z, las componentes muestra en la figura. El tubo interior es de radio kR y el exterior es de radio R.Determine el perfil de velocidades a travs de la seccin anular, en funcin dee presin, las propiedades fsicas del fluido y los parmetros geomtricos conocidos. Co0 = PL . dP ( ) ( ) ( ) 1 10r zr v v vu c c c ct r r r z u+ + + =c c c c Supuestos: uy r no existen. -El fluido es incompresible La ecuacin de continuidad queda: ireccin z, el perfil de velocidades a lo largo e z se mantiene constante. mientoentrminosdelgradientedevelocidadparaunfluido newtoniano con densidad y viscosidad constantes: 10zv La velocidad vz no varia en funcin de la dd EcuacindeMovi Componente uComponente r Componente z zc= Kc0zv cz =c( )( )2 2 22 2 2 221 1 21 1 1r r r r r rr z r rrr zv v v v p v v vv v r v gt r r r z r r r r r r zv v v v v v v pv v r vt r r r z r r r r ru u uu u u u u uu u u u u u| |( c c c c c c c c c c | | + + + = + + + + |(|c c c c c c c c c c \ . \ . c c c c c c c c | |+ + + + = + + |c c c c c c c \ .v v| | |\ .2 22 2 22 22 2 221 1rz z z z z z zr z zv v vgr zv v v v v p v v vv v r gt r r z z r r r r zu uuuu u u u ( c c+ + + (c c c ( c c c c c c c c c | | | | + + + = + + + + (||c c c c c c c c c \ . \ . - 87 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Alreemplazarlossupuestosestablecidosanteriormenteylacondicinobtenidadela ecua n de continuidad, las componentes de la ecuacin de movimiento quedan: R pu componentes en direccin z, pero si en direccin r y ci01010rzzpgrpgrp vr gz r r ruu c= + cc= + ccc c ( | |= + + |(c c c\ . Componente r Componente uComponente z eordenando: El terminozg se hace ceroes la gravedad no posee u El gradiente de presin pzccse puede expresar como: Por lo tantomiento queda: la componente z de la ecuacin de movi* Lasecuacionescorrespondientesalascomponentesryu ,noposeentrminosde elocidadesv ,rv vuo por lo tanto no son indicadoras de un perfil ocidad. l integrar la ecuacin * dos veces con respecto a r se tiene: ** 1 y C2 corresponden a constantes de integracin que pueden ser funciones de r y zv ,de velA C u . 00 00LP P p p c A0L Lz z z z z z= = = = c A 10zvr r r r c c ( | |= |(c c\ . ( )1 2lnzv C r C = +Componente r Componente uComponente z 1zrpgrpr gp vr cc c ( | |= |(z r r ruuc= cc= cc c c\ . - 88 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Losvaloresdeestasconstantessedeterminangraciasalassiguientescondicionesde orde del problema: Fabricandounsistemadeecuaci ascondicionesdebordeen**,se ega a: Finalmente los valo el perfil de velocidades es: Agrupando: b ( )0r R zv== onesalreemplazarlll res de C1 y C2 son: y ( ) r kR zv V==( )2R C +10 ln C = ( )1 2ln V C kR C = +( )1 2Cln V R Vln lny CR RkR kR= = | | | | ||\ . \ .( ) ( )( ) ( ) ( )ln lnln lnln lnlnzzV r V RvR RkR kRVv r RRkR = | | | | ||\ . \ .= | | |\ .- 89 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 37: Resolver el ejercicio anterior para las mismas condiciones pero con el ducto inclinado un Angulo o o Solucin: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )02 2 2 2ln ln4 4 ln lnLzP Pg senLr R KR Rv rR KR o ( | | (|R ( | || | \ . ( = + | | | ( \ .\ . - 90 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 38: Para el cojinete mostrado en la figura que rota con velocidad angular , se pide plantear unaexpresinparaeltorqueproporcionadoporelejerotatorio,juntoconlascondicionesde borde: Ecuacin de continuidad: ( ) ( ) ( ) 1 10r zr v v vt r r r zu uc c c c+ + + =c c c c Supuestos: -La velocidad solo tiene componente u , las componentes z y r no existen. -El fluido es incompresible ( ) 10vruuc =cLa ecuacin de continuidad queda: 0vuuc=cLavelocidadvnovariaenfuncindeladireccin,enotraspalabraselperfilde velocidades se mantiene constante cuando varia para un radio constante. EcuacindeMovimientoentrminosdelgradientedevelocidadparaunfluido newtoniano con densidad y viscosidad constantes: Componente uComponente r ( )( )Componente z 2 2 22 2 2 221 1 21 1 1r r r r r rr z r rrr zv v v v v v p v v vv v r v gt r r r z r r r r r r zv v v v v v v pv v r vt r r r z r r r r ru u uu u u u u uu u u u u u| |( c c c c c c c c c c | | + + + = + + + + |(|c c c c c c c c c c \ . \ . c c c c c c c c | | | | + + + + = + + ||c c c c c c c \ . \ .2 22 2 22 22 2 221 1rz z z z z z zr z zv v vgr zv v v v v p v v vv v r gt r r z z r r r r zu uuuu u u u ( c c+ + + (c c c ( c c c c c c c c c | | | | + + + = + + + + (||c c c c c c c c c \ . \ . - 91 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Alreemplazarlossupuestosestablecidosanteriormenteylacondicinobtenidadela ecuacin de continuidad, las componentes de la ecuacin de movimiento quedan: ( )21 100rv pgr rpr v gr r r rpzuu u u| | c = + |c\ .cc c ( | |= + + |(c c c\ . c= cComponente uComponente r Componente z Las condiciones de borde sern las siguientes: ( )( ) 00ii r Rrv Rvuue=== = Considerando que la tensin de corte sobre la cara del cilindro interior es: irr Rvrr ruut = c ( | |= |(c \ . Y que la fuerza resultante debido a esta tensin es (A es el rea de contacto): rF Aut = El Torque resultante es:iT F R = La expresin final para el torque ser: - 92 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 39: En un banco de ensayos de laboratorio, se desea usar un tubo de Pitot en el centro de unatuberaparamedirlavelocidaddeunflujodeaguaa20Cyluegocalcularelcaudal volumtrico.EltuboseconectaaunmanmetrodiferencialenU,talcomosemuestra,con fluido manomtrico mercurio (Hg). La diferencia de altura h que indica el manmetro es 30 mm. Deduzca una expresin para el clculo de velocidad del agua, considerando que el fluido conducido en la tubera es agua y el fluido manomtrico es mercurio. Determineelcaudalvolumtricoenlatubera,sistatieneundiametrode3, verificando previamente si el rgimen es laminar o turbulento. La viscosidad del agua a 20C es 1 cP. La presin esttica del agua en el punto de medicin es 1 kg/cm2. Solucin: Ecuacin de Bernoulli: cte zgv P= ++121112 Carga debida a presin esttica local Carga debida a presin Dinmica local Carga debida a elevacin - 93 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Se definen los puntos 1 y 2, de tal forma que estn en la misma lnea de corriente, entonces se tiene: 2 1B B = 22222121112 2zgv Pzgv P++ = ++ 22222121112 2zgv Pzgv P++ = ++ Dado que el punto 2 es de estancamiento, entonces se tendr que: 2 1220z zP P Pvnto Estencamie S== == Reemplazando stas condiciones en la igualdad de Bernoulli se tiene: Despejando v1: La diferencia de presin P2-P1, se determina por hidrosttica igualando presiones en el nivel mas bajo del mercurio como sigue: 2 1 221 12Pgv P= + Agua = =2 1( )1 2 12P PgvAgua =Agua Agua Agua Hg Agua Aguah y x P h y x P + + = + + 2 1( )Agua Hgh P P = 1 2- 94 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Finalmente la expresin para la velocidad queda: ( )Agua HgAguahgv =21 smv 72 . 21 =Reemplazando los datos: ParadeterminarelCaudal,utilizamoslaexpresinA v Q = o ,dondeo correspondeal coeficiente de energa cintica de la ecuacin de Bernoulli. ( ) ( ) | o , , , Re v f f = = ( )( )e e=+2300 , 0 Re 2Im, 4000 Re 1predecible o | v = Re Con los datos se tiene: | |207264 Re001 . 072 . 2lg0254 . 0 lg 3 1000Re3=((

((

((

((

=seg mKgsmpumpumKg , y para este nmero de Reynolds se tiene1 = o , por lo tanto A v Q =1 smQmsmQ3220124 . 020254 . 0 372 . 2 1=|.|

\| = t - 95 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 40: La figura muestra un esquema que permite determinar velocidades en tuberas. En este caso particular, una tubera de 0.15 mt.de dimetro en inclinada se conecta a otra de 0.1 mt. de dimetro por medio de una reduccin. El fluido de la tubera es agua y el del manmetro diferencial es mercurio.Despreciando los efectosviscosos entre la seccin 1 y 2. Determine la velocidad media en 2. Solucin: Aplicando Bernoulli y suponiendo un flujo ideal sin prdidas entre los puntos 1 y 2, se tiene: ( )2 12 121222 12z zP Pgv vB BAgua +== - 96 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Conlaecuacindecontinuidadestablecemoslasrelacionesentrelasvelocidadesdel flujo: 2 2 1 1v A v A = 2 1221225 . 2121 . 0215 . 0v vv v = |.|

\| = |.|

\| t t Reemplazando esta relacin en la ecuacin de Bernoulli propuesta, se tiene: ( )2 12 12222225 . 21z zP Pgv vAgua +=|.|

\| Despejando v2: ( )||.|

\| +=2 12 12802 . 02z zP P gvAgua Por esttica se determina la diferencia de presin entre 1 y 2: | | ( )Agua Hgcm x P PAgua + = 122 1 Adems: 1 2z z x = Reemplazando en la ecuacin de se tiene: 2v | | ( )||((

=|||||.|

\|((

((

||.|

\|((

((

((

((

((

=||.|

\| =smvsmmkgsmmkgsmmkgmsmvcmgvAguaAgua Hg082 . 681 . 9 100081 . 9 1000 81 . 9 13600 12 . 0802 . 081 . 9 212802 . 0222 32 3 2 3222 - 97 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 41: EnlafigurasemuestraelesquemadeuntuboVenturiempleadoparamedirflujosen tuberas,elcualasuvezutilizaunmanmetrodiferencial.Determineunaexpresinparael clculo del caudal en la tubera en trminos de deflexin h. Solucin: Se establecen lo puntos donde se aplicara la ecuacion de Bernoulli Modificada, para este caso el punto 1 y 2 se proponen en los extremos de la tubera izquierdo (1) y derecho (2). 1 2B B = + AConsiderando los supuestos: Rgimen estacionario Flujo incompresible Flujo viscoso Se tiene: 2 21 1 2 21 1 2 22 2P v P vz zg go o + + = + + + A Estableciendo un balance de masa se obtiene una velocidad en funcin de la otra: 1 2m m = 1 1 1 2 2 2v A v A = 22 21 2 21 1221 21Av v vADv vD||| |= = |\ .| |= |\ .- 98 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Reemplazando el valor de 1ven funcin de 2v y despejando 2vse llega a: * Por Hidrosttica se obtiene una expresin para 1 2P P : Reemplazando en la ecuacin *, se tiene: El clculo del caudal se obtiene de: 2 2V A v = 1 22422 12P PgvDDo o1 ( A ( =| | |\ .1 1 12 2 21 2 HgP P hP P hP P' = + ' = + ' '= + h1( )( )( )1 2 1 2 21 21 2HgHgP P P P h hP P h hP P h ' ' = + = + = ( )2422 112HghgvDD o o ( ( A ( =| | |\ .( )2 222422 1124HgV A vhgDVDD to o= ( ( A ( = | | |\ .- 99 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 42: Silapresinmanomtricaalasalidadelabombaes250KPa.ylapresinabsoluta deseada en B es de 221 KPa. Cul es el mayor ngulo permitido para estas condiciones y para una velocidad v=1 m/s. El fluido es agua a 20C. LatuberaesdeAcerocomercialydedimetrointeriorD=100mm.Sulongitudes L=500 m., usar Patm=101 KPa. Sol uci n: Primerpaso:establecerlospuntosAyBentreloscualesseevaluarlaprdidade carga. El punto A se define entre la bomba y el primer codo Ecuacin de Bernoulli Modificada: A T BB B A =2 22 2A A B BA A T BP v P v Bz zg go o + + A = + + Reordenando se tiene: 2 22 2A B A BB A A B TP P v vz zg go o = + A Debido a las dimensiones del estanque: 0Bv La diferencia de presiones es: ( )| | |La velocidad en A es: 1Amvs (=( | (250 101) (221) 130abs A abs BP P KPa = + = KPa La diferencia de altura entre A y B es Bz zA , y puede ser expresada como ( )B Az z L sen o = - 100 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Las prdidas entre A y B se conforman por perdidas por longitud y singularidades: iL LA = APrdidas por longitud: 22ei iLi iiL vfD gA = Existe solo un tramo de 500 metros | || |5000.11eL mD mmvs== (= ( Determinamos el factor de friccin: Numero de Reynolds: | |351000 1 0.1Re0.001Re 10 1AKg mmv D m sKgmsTurbulentoo (( (( = = ( ( = = | | 3.937 lg0.0004D pueD Acero Comercial =~`)Rugosidad relativa: Factor de friccin: 0.02ReRugosidad relativaf~`) La prdida por longitud ser entonces: | || || |222215000.022 0.12 9.815.096eLLmm L v sfm D g msm ( ( A = = ( ( A = iS SA = APrdidas por singularidades: 22ei iSi iiL vfD gA = Existen tres singularidades, que poseen la misma velocidad por lo tanto se puede factorizar de la siguiente manera: iv 2 312eiS iiv Lfg DA = iei iiLK fD= Para este caso considerar: - 101 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 2 312S ivKgA = Por lo tanto: ( )| |22210.6 0.6 0.42 9.810.0815SSmsmsm ( ( A = + + ( ( A = Finalmente las prdidas totales sern: | | 5.178T LTmSA = A + AA = Reemplazando todos los trminos en la ecuacin de Bernoulli se tiene el ngulo mximo: 2 22 2A B A BB A A B TP P v vz zg go o = + A | | ( ) | || |22223 2 21300001500 1 5.1781000 9.81 2 9.810.0162 1mKgsmmsm sen mKg m mm s sradoo ( ( ( ( ( ( = + ((( ((( ~ ~ - 102 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 43: El sistema entrega fertilizante para pasto en forma liquida. La boquilla que se encuentra enelextremodelamanguerarequiere140Kpadepresin(absoluta)paraoperardemanera efectiva.Lamangueraestahechadeplsticolisoytieneundimetrointeriorde25mm.La solucinfertilizantetieneunagravedadespecificade1.1yunaviscosidaddinmicade . Si la Longitud de la manguera es 85 metros, determine: 32 10 Pa seg La potencia transferida por la bomba a la solucin La presin a la salida de la bomba Desprecie las perdidas de energa en la lado correspondiente a la succin de la bomba. El flujo volumtrico es 95 Lt./min. Sol uci n: Para determinar la potencia transferida por la bomba en necesario determinar la energa que la bomba proporciona al sistema: Se establecen los puntos apropiados para aplicar la ecuacin de Bernoulli modificada. Ecuacin de Bernoulli modificada: 3 0B B H = + A Despejando H (energa proporcionada por la bomba) se tiene: 3 0H B B = + A - 103 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Dado que no existen perdidas por singularidades ( 0KA = ) se tiene entonces que las prdidas totales son las producidas por la friccin en el tramo de 85 metros, dado por: 22eLL vfD gA = A= Se tiene que la energa proporcionada por la bomba es: ( )2 2 23 0 3 03 02 2eP P v v L vH z z fg D ( = + + + (g Supuestos: La velocidad 0v tiende a valer 0 Calculo de la perdida por friccin: La velocidad dentro de la manguera es: | |33231 min95 0.001min 603.225512510002lt mlt segV mvA smmmmmt (( ( (( ( eg ( = = = ( | |( | ( | | |\ . - 104 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Rugosidad relativa: Material: Tubera lisa Dimetro: 25 mm. 1 pulg. La rugosidad relativa ser: Numero de Reynolds: Rev D =0.00006De =| || |31100 3.2255 0.025Re 44350.60.002kg mms mPa s (( (( = = (Flujo turbulento) - 105 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 ConelnmerodeReynoldsylarugosidadrelativasepuedeobtenerelvalordelfactorde friccin propuesto por Moody segn el siguiente grafico: El factor de friccin ser: 0.022 f = Luego la energa proporcionada por la bomba es: ( )| || || | | || |2 22 22 23 2 2 2140000 101325 3.2255 85 3.225510 1.5 1.2 0.0221100 9.81 2 9.81 0.025 2 9.813.584 7.3 0.53 39.6651.07m mPas sH mKg m m mm s s sH m mH m (( ( (( ( ( ( = + + + ( ( ( (( ( ( (((( ( = + + += Y la potencia proporcionada ser: | || |33 21 min1100 9.81 95 0.001 51.07min 60872.50.872N V Hkg m lt mN mlt seg m sN mNsegN Kwatt = | |(( (((= | (( ((( \ . ( = ( =- 106 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 La presin a la salida de la Bomba puede ser determinada estableciendo la ecuacin de Bernoulli modificada entre los puntos 2 y 3. 3 2 LB B = A 2 23 3 2 23 22 2LP v P vz zg g ((+ + = + + A (( Despejandose tiene: 2P Pero, por lo tanto: 3v v =( )2 23 22 3 3 22Lv vP P z zg = + + + A 2( )2 3 3 2 LP P z z = + + A Reemplazando valores se tiene: | | ( )| | | || || |23 2 3 222140000 10 1.5 1100 9.81 39.66 1100 9.81659695659.7kg m kg mP Pa m mm s m sP PaP KPa ((( = + + ( (((( == - 107 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 44: Dosdepsitosdeaguaestnconectadospormediodetuberadehierrogalvanizado,comose indicaenlafigura.Suponga, . 75mm DA = . 50mm DB =y . 5 . 10 m h =Lalongituddeambas tuberasesde100m.ComparelasprdidasdecargaenlastuberasAyB.Calculeelflujo volumtrico en cada una de ellas. Considere solo un clculo para el caudal en el proceso iterativo eindiquelospasosaseguirparaobtenerlasolucinfinal.Utilice, 5 . 0 =aK 0 . 1 =cK . Considerequeloscodosenbtienenunfactordelongitudequivalentepordimetrode 30 =DLe Solucin: Consideraciones. -Rgimen estacionario -Flujo Viscoso incompresible -Flujo uniforme Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 para cada uno de los circuitos en serie: Tubera A: A TuberiaB B A + =2 1 Tubera B: B TuberiaB B A + =2 1 Dadoqueelpotencialenergticoesigualparaambastuberas B AB B A = A ,entonceslas prdidas sern iguales por ambos circuitos: B Tubera A TuberaA = A Calculo del Flujo Volumtrico en cada circuito: Tubera A: A Tuberahgv phgv pA + + + = + +22222121112 2oo - 108 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Dado que: 02 12 1=v y vp p* Entonces la ecuacin queda: A Tuberiah h A + =2 1 Con se llega a:h h h = 2 1A AA TuberiagvkgvDLf hh + =A =2 22 2 Tubera B: Para la tubera B, se llega a la misma conclusin utilizando *: B BB TuberiagvkgvDLf hh + =A =2 22 2 La rugosidad relativa de ambos circuitos es: Tubera A: 002 . 0 =eD Tubera B: 003 . 0 =eD Asumiendo un flujo plenamente turbulento se obtienen los factores de friccin: Tubera A: 023 . 0 =AfTubera B: 0255 . 0 =BfReemplazando en las ecuaciones se tiene: Tubera A: ( )81 . 9 20 . 1 5 . 081 . 9 230 300254 . 0 3100023 . 0 5 . 102 2 + +|.|

\|+ + =A Av v ((

=smvA61 . 2 Tubera B: ( )81 . 9 20 . 1 5 . 081 . 9 230 300254 . 0 21000255 . 0 5 . 102 2 + +|.|

\|+ + =B Bv v - 109 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 ((

=smvB033 . 5As, el flujo volumtrico (Caudal) para ambas velocidades calculadas es: Flujo en Tubera A: | |((

=((

|.|

\| =smVsmm VAA322012 . 061 . 220254 . 03t Flujo en Tubera B: | |((

=((

|.|

\| =smVsmm VBB322010 . 0033 . 520254 . 02t El procedimiento a seguir para las prximas iteraciones son: -Recalcular las velocidades medias Avy Bvpero evaluando el numero de Reynolds: D v = Re-EstenumerodeReynoldsindicaraquevalorconsiderareneldiagramadeMoodyyas elegir junto con la rugosidad relativa el nuevo factor de friccin - 110 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 - 111 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 45: Aguafluyedesdeungrandepsitocomosemuestraenlafigura.Latuberaesdehierro fundido,condimetrointeriorde.Elflujoesm 2 . 0 s m314 . 0 yladescargaesalapresin atmosfrica. La temperatura media para el flujo es de; el sistema completo se encuentra aislado.Determinelapresinmanomtrica, ,requeridaparaproducirelflujo.Calculeel aumento de temperatura del lquido entre la superficie del fluido y la salida. C 101p Sol uci n: UtilizandolaecuacindeBernoullientreelniveldeaguadeldepsito(1)yelextremodela tubera donde descarga a presin atmosfrica (2), se tiene: A + =2 1B B En su forma extendida: A + + + = + +222 2121 12 2zgv pzgv p Asumiendo que la velocidad de entrada y la presin de salida son nulas ( ) ||.|

\|A + + =1 22212z zgvp2vse conoce a partir del flujo volumtrico y la seccin de salida: ((

=|.|

\|= =smAVv 456 . 422 . 014 . 0222t las cotas y peso porson: 3m||||((

= ===3129810100150mNgm zm z

- 112 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Prdidas Totales: S fA + A = A Prdidas por friccin: gvDLff22 = APara la tubera de hierro fundido de dimetro 0.2 m. la rugosidad relativa es001 . 0 =eD Para una temperatura de 10la viscosidad del agua esC ((

=ms N20015 . 0 El nmero de Reynolds es: 600000 5941330015 . 02 . 0 456 . 4 1000Re ~ = = = D v Utilizando el Diagrama de Moody se obtiene el valor del factor de friccin02 . 0 = fAs la prdida por friccin es: ( )|||| mmff022 . 8681 . 9 2456 . 42 . 0200 150 50002 . 02= A+ + = A Las perdidas singulares sonlas producidas por una entrada a la tubera y dos codos. Para la entrada consideramos y para cada uno de los codos5 . 0 = K 30 =DLe Entonces las prdidas singulares sern: ( ) || |||| mmgmgSS72 . 12456 . 45 . 02456 . 430 30 02 . 02 2= A + + = A Las prdida total ser: || |||| mm m742 . 8772 . 1 022 . 86= A+ = A Finalmente calculamos la presin en el estanque: ( )( ) | || || | kPa pPa pPa pz zgvp13619 . 13611769810 742 . 87 100 15081 . 9 2456 . 4211211 2221==||.|

\|+ +=||.|

\|A + + = Paracalcularlavariacindetemperaturaentrelasuperficiedelfluidoylasalidaesnecesario realizar un balance integral energtico: } = AA d v e W Q Dadoquenohayintercambiodetrabajoycalorenelproblema,ladensidadsemantiene constante y el flujo volumtrico en (1) es el mismo que en (2) la ecuacin anterior se reduce a: - 113 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 2 1e e = Desarrollndola se tiene: 22 222 11 1212 2ph g T cv ph g T cvp p+ + + = + + +Aplicando los supuestos anteriores y despejando la variacin de temperatura: ( )( )| | K TK KgJsmsmsmTcph h gvTp = A((

((

((

+((

= A += A2509 . 0200010001361100 150 81 . 92456 . 42222222 211 222 cp= 4180 - 114 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 - 115 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 46: Los datos obtenidos en el ensayo de una bomba se muestran en la tabla siguiente: Caudal( l t s/ mi n)Pr esi n en l a Succi n ( Psi g)Pr esi n en l a descar ga ( Psi g)0-3.253.8 1900-3.748.8 3040-4.242.8 3800-5.234.8 4180-5.731.8 4560-6.227.8 5320-7.215.8 5700-7.97.8 Observebienlaposicindelosmanmetros,talcomoseindicaenlafigura.Las seccionesdeaspiracinydescargadeaguaenlabombasonmuysimilares.Aplicandola ecuacin de Bernoulli y un balance de masa, construya la curva caracterstica de la bomba H-Q (Alturadeelevacincaudal).Determineademslacurvadepotenciamecnicaentregadaal fluido, en funcin del caudal. Solucin: En consideracin de la informacin entregada por el problema es conveniente establecer lospuntos1y2inmediatamenteenlaentradaysalidadelabombacomosemuestraenla figura: Aplicando la ecuacin de Bernoulli se tiene: 2 1B B H = + Para fabricar la curva de potencia entregada por la bomba es necesarioconocer la energa que la bomba entregaal flujo, por lo cual nuestra incgnita ser H: 2 12 22 1 2 2 12 12H B BP P v vH z zgo o= = + +1 - 116 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Dado que los puntos 1 y 2 estn ubicados a la misma altura y por balance de masa se obtiene que las velocidades de entrada y salida de la bomba son iguales, la expresin anterior se reduce a: 2 1P PH= ConsiderandoquelaspresionesP2yP1sepuedenobtenergraciasalaspresiones manomtricas PD y PS arrojadas por los barmetros se tiene: 2131DSP PP P' = + ' = + Se obtiene una expresin para la energa entregada por la bomba: 2D SP PH Finalmente se obtiene la ecuacin que representar la potencia entregada por la bomba ser: Se construye la curva para los valores de caudales y presiones dadas, como se muestra: Caudal( l t s/ mi n)Pr esi nenl a Succi n ( Psi g)Pr esi nenl a descar ga ( Psi g)Ener gi a ( f t )Pot enci a ( HP)0-3.253.81340 1900-3.748.812416 3040-4.242.811123 3800-5.234.89524.7 4180-5.731.88925.4 4560-6.227.88125.3 5320-7.215.85520 5700-7.97.83814.8 ' = +2D SN V HP PN V= | |' = + |\ .- 117 - Fernando EcheverraAyudantasMecnica deFluidos IMPT 210 Ej er ci ci o 47: Determine la curva de perdida de carga, en Pa., de la expansin gradual que se muestra enlafiguraenfuncindelavelocidadaguasabajodelflujo,enm/s.Losdatosobtenidosde laboratoriosonlossiguientes:Variacindealturadelestanquereceptordeflujo=10cm. Seccintransversaldelestanque30cm.x50cm.Tiempodemedicindeflujo=10seg.Los dimetros internos de la tubera, aguas arriba y aguas abajo son, respectivamente, 25.3 mm. y 73.8mm.Elmanmetrodiferencialdepresinindica1yelfluidomanomtricoesmercurio (DR=13.6) Solucin: La ecuacin de perdida de carga es: * 22vp vkg A= El valor de se determina con los datos del laboratorio.k Para determinar la velocidadv del flujo es necesario determinar el caudal de ste, de la siguiente forma: | | | | | || |30.1 0.3 0.5100.0015estqllenadotransvllenadoVar Vol Vtm m m h AVt segmVseg= A = = (= ( La velocidad del flujo en el tramo n2 es: sec