Fundamentos de Mecânica dos

Fluidos Computacional

Juan Bautista Villa Wanderley

Rio de Janeiro Abril de 2007

ÍNDICE

1.0 Introdução 1 2.0 Equações Governantes 1

2.1 Equações de Navier – Stokes 1 2.2 Equações de Reynolds 3 2.3 Equações de Euler 5 2.4 Equação de Laplace 5 2.5 Escoamentos Levemente Compressíveis 6 2.6 Coordenadas Generalizadas 8

3.0 Introdução à Mecânica dos Fluidos Computacional 10 3.1 Equações Modelo 10 3.2 Classificação Matemática 11 3.3 Tipos de Condições de Contorno 12 3.4 Diferenças Espaciais em Forma de Série de Taylor 13 3.5 Operadores Pontuais e Matriciais 16 3.6 Esquemas Centrados e Upwind 18 3.7 Conceito de Equação Modificada 22 3.8 Esquemas Hermicianos e Aproximações de Padé 23

4.0 Precisão e Estabilidade de Métodos Numéricos 25 4.1 Solução Exata de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes 25 4.2 Equações de Diferenças Finitas Lineares 29 4.3 Teorema do Isolamento e a Equação Representativa 33 4.4 Relação entre λ e σ 36 4.5 Inicialização de Métodos com Raízes Espúrias 37 4.6 Exemplo de um Método de uma Raiz 39 4.7 Tipo de Métodos de Marcha no Tempo 40 4.8 Exemplos de Métodos de Marcha no Tempo 42 4.9 Método de Lax-Wendroff 44 4.10 Precisão de Métodos de Marcha no Tempo 47 4.11 Estabilidade de Métodos de Marcha no Tempo 52 4.12 Estabilidade de Métodos Explícitos 60 4.13 Conceito de “Stifness” 96 4.14 Estabilidade de Métodos Implícitos 72 4.15 Teste de Estabilidade de von Neumann ou Fourier 75

5.0 Métodos de Relaxação 76 5.1 Teoria de Relaxação 76 5.2 Relaxação Clássica em 1-D 77 5.3 Esquemas de Relaxação Aplicados à Equação de Laplace 86 5.4 Métodos ADI e Fatoração Aproximada 87

6.0 Implementação de Métodos Implícitos 90 6.1 Solução de Tridiagonal Escalar 92 6.2 Solução de Tridiagonal de Bloco 92 6.3 Implementação de Métodos Implícitos para Sistemas não Lineares 93

7.0 Esquemas Upwind e Dissipação Artificial 95 8.0 Coordenadas Generalizadas 99

8.1 Equação do Tipo Poisson em Coordenadas Generalizadas 101

8.2 Equação de Burger em Coordenadas Generalizadas 104 9.0 Método de Fatoração Aproximada Aplicado à Equação de Laplace 106 10.0 Método de Beam and Warming Aplicada à Equação de Burger 108

10.1 Esquema de Fatoração Aproximada de Beam and Warming 108 10.2 Matrizes Jacobianas de Fluxo 110 10.3 Discretização dos Termos Viscosos 110

11.0 Solução das Equações de Navier Stokes Incompressíveis 111 11.1 Método da Projeção 111 11.2 Método do Escoamento Levemente Compressível 111 11.3 Método de Beam and Warming 113 11.4 Método de MacCormack 114

12.0 Volumes Finitos 116 12.1 Formulação Matemática 116 12.2 Formulação Numérica 117 12.3 Termos de Dissipação Artificial 121 12.4 Formulação Matemática para Malhas Deformáveis 122

13.0 Método dos Volumes Finitos com Malhas não Estruturadas 123 13.1 Cálculo do Volume de Cada triângulo 124 13.2 Cálculo do Vetor Área 125 13.3 Interpolação Linear dos Termos Invíscidos 125 13.4 Interpolação dos Termos Viscosos 126 13.5 Dissipação Artificial não Linear 127 13.6 Método de MacCormack 128 13.7 Interpolação Upwind de Primeira Ordem 129 13.8 Malha Deformável 129

14.0 Equação Governante com Modelo de Turbulência 132 14.1 Equação de Navier-Stokes com Modelo de Turbulência 133 14.2 Modelo k-ε 135 14.3 Modelo de Baldwin – Lomax 136

15.0 Implementação de Condições de Contorno com Equações Características 138 15.1 Equações de Euler não-Concervativas e Relações Características 138 15.2 Equações de Euler Bidimensionais não-concervativas e

Relações Características 141 15.3 Relações Características em Coordenadas Curvilíneas Gerais 145 15.4 Exemplo de Implementação de Condições de Contorno 146 16.0 Separação de Vetor de Fluxo 148 17.0 Métodos de Alta Resolução para Equações Escalares 152 17.1 Esquemas Monotônicos 153 17.2 Compatibilidade de Dados 154 17.3 Variação Total 154 17.4 TVD e Esquemas de Preservação de Monotonicidade 156 17.5 Método dos Limitadores de Fluxo 158 17.5.1 Versão TVD do Método do Fluxo Médio Ponderado 159 17.5.2 Limitador de Fluxo Geral 164 17.5.3 Esquemas TVD Upwind com Limitadores de Fluxo 166 17.5.4 Esquemas TVD Centrados com Limitadores de Fluxo 171 18.0 Métodos de Alta Resolução para Sistemas de Equações de Conservação 178

18.1 Esquema de Roe-Swebt 178

1

1.0 - INTRODUÇÃO

A mecânica dos Fluidos Computacional vem se mostrando uma ferramenta poderosa para o estudo de escoamentos sutis que numa investigação experimental exigiria a aquisição de instrumentos sofisticados e caros que acabam onerando muito este tipo de investigação. Com o avanço da tecnologia, computadores de grande desempenho estão cada vez mais fáceis de serem adquiridos tornando convidativa e accessível a investigação numérica de escoamentos complexos.

Entretanto, o atual estado da arte dos métodos numéricos ainda não permite que confiemos totalmente nos resultados numéricos a ponto de abandonarmos por inteiro as investigações experimentais. Existe ainda um longo caminho a ser percorrido em termos de métodos numéricos e geração de malha, antes que possamos confiar plenamente nos resultados numéricos. No atual estado da arte, as investigações numérica e experimental caminham lado a lado de modo a reduzir o número de ensaios experimentais e verificar a validade dos resultados numéricos. Dados numéricos podem ser utilizados para checar a calibração de instrumentos, verificar a qualidade dos resultados experimentais e reduzir o número de ensaios em laboratório, reduzindo assim o custo deste tipo de investigação. Por outro lado, dados experimentais podem ser utilizados para verificar a validade e precisão dos resultados obtidos numericamente, contribuído para o desenvolvimento de métodos numéricos mais precisos e confiáveis. 2.0 - EQUAÇÕES GOVERNANTES

Neste livro não vamos deduzir as equações governantes, pois estas deduções podem ser encontradas em qualquer livro de Mecânica dos Fluidos. Além do mais, nosso objetivo principal é de apresentar os métodos numéricos utilizados para resolver as seguintes equações:

• Equações de Navier-Stokes incompressíveis (N-S); • Equações de Reynolds (RANS); • Equações de Euler; • Equação de Laplace. 2.1 – Equações de Navier-Stokes.

Começaremos apresentando as equações de Navier-Stokes incompressíveis em coordenadas Cartesianas e na forma não conservativa. Este sistema de equações é constituído de uma equação de conservação de massa (continuidade) e três equações da quantidade de movimento, e são restritas a meios contínuos e fluidos Newtonianos, veja as Eq. (2.1).

2

zyxzp

zww

ywv

xwu

tw

zyxyp

zvw

yvv

xvu

tv

zyxxp

zuw

yuv

xuu

tu

zw

yv

xu

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

τττρ

τττρ

τττρ

0

(2.1) onde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

∂∂

=

xw

zu

xv

yuxu

xz

xy

xx

μτ

μτ

μτ 2

(2.2)

Substituindo a Eq. (2.2) na Eq. (2.1) e levando em consideração a hipótese de escoamentos incompressíveis, resulta a Eq. (2.3).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=+++

=++

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

0

zw

yw

xw

zp

zww

ywv

xwu

tw

zv

yv

xv

yp

zvw

yvv

xvu

tv

zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

zw

yv

xu

∂∂

∂∂

∂∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.3)

A forma conservativa, matematicamente falando, é equivalente à forma não

conservativa. Entretanto, numericamente, elas são significativamente diferentes. A forma conservativa garante não somente a conservação de massa e quantidade de movimento local, mas também a conservação global em todo o domínio físico. Isto significa que globalmente não há geração numérica de massa e quantidade de movimento. A forma conservativa das equações de Navier-Stokes incompressíveis é mostrada na Eq. (2.4).

3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

0

0

0

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+−+

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

=−+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

=++

zyx

zyx

zyx

wpwz

wvwy

wuwxt

w

vvwz

vpvy

vuvxt

v

uuwz

uuvy

upuxt

uzw

yv

xu

νρ∂

∂ν∂∂ν

∂∂

∂∂

ν∂∂ν

ρ∂∂ν

∂∂

∂∂

ν∂∂ν

∂∂ν

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.4)

2.2 – Equações de Reynolds As equações de Navier-Stokes não podem ser resolvidas apropriadamente para

capturar os efeitos de turbulência de alta freqüência, pois os recursos computacionais atuais não permitem a geração de malhas suficientemente refinadas para resolver apropriadamente os vórtices de pequena escala de comprimento. Por esta razão, atualmente os esforços na Mecânica dos Fluidos Computacional estão direcionados à solução das equações de Reynolds. Estas equações são obtidas utilizando-se a definição de média temporal, veja a Eq. (2.5).

∫Δ+

Δ=

tt

t

fdtt

f0

0

1(2.5)

onde Δt tem que ser suficientemente grande quando comparado com o período das flutuações aleatórias, mas pequeno em relação a qualquer variação do escoamento não estacionário. Utilizando a Eq. (2.5), podemos separar as propriedades do escoamento em termos de suas médias e flutuações temporais, conforme as Eq. (2.6).

wwwvvvuuuppp′+=′+=

′+=′

,,= +

(2.6) onde

∫Δ+

=′Δ

=′tt

t

dtft

f0

0

01(2.7)

Utilizando as definições de média e flutuação temporal, podemos demostrar as propriedades mostradas nas Eq. (2.8), que serão utilizadas posteriormente na dedução das equações de Reynolds.

4

tf

tf

xf

xf

gfgf

gfgf

gf

∂∂

=∂∂

=

+=+

=

=′

∂∂

∂∂

0

(2.8)

As equações de Reynolds são obtidas ao substituirmos as Eq. (2.6) nas Eq. (2.1), fazendo-se a média temporal das equações resultantes e usando as propriedades mostradas nas Eqs. (2.8). O resultado final em duas dimensões é mostrado nas Eqs. (2.9).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′−∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−

∂∂

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=+

vvyv

yvu

xv

yu

xyp

yvv

xvu

tv

vuxv

yu

yuu

xu

xxp

yuv

xuu

tu

yv

xu

ρμρμρ

ρμρμρ

∂∂

∂∂

2

2

0

(2.9)

Observe que as Eqs. (2.9) são parecidas às Eq. (2.1), exceto pelos termos vu ′′− ρ , uu ′′− ρ , vv ′′− ρ , etc. conhecidos como tensões de Reynolds. As equações de

Reynolds possuem mais incógnitas do que equações. Temos agora três tensões de Reynolds distintas, a pressão média e as duas componentes médias de velocidade, somando um total de seis incógnitas para somente três equações. Esta disparidade entre o número de incógnitas e o número de equações é conhecida como o problema do fechamento. Esta dificuldade pode ser contornada lançando-se mão da hipótese de Boussinesq da viscosidade efetiva, onde a viscosidade efetiva é a soma da viscosidade laminar (molecular) e a viscosidade turbulenta. A Eq. (2.10) mostra a hipótese de Boussinesq escrita compactamente na forma indicial.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=+′′−i

j

j

itjiji x

uxukuu μδρρ ,3

2(2.10)

A viscosidade turbulenta é calculada usando-se um modelo de turbulência, que

será discutido em detalhes no Capítulo 10. Incorporando a hipótese de Boussinesq às Eqs. (2.9), obtemos as Eqs. (2.11).

5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

Γ∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

Γ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

Γ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=+

yv

yxv

yu

xkp

yyvv

xvu

tv

xv

yu

yxu

xkp

xyuv

xuu

tu

yv

xu

232

232

0

ρρ

ρρ

∂∂

∂∂

(2.11)

onde tl μμ +=Γ

(2.12)

2.3 – Equações de Euler

Em muitos escoamentos de interesse prático, os efeitos viscosos são muito pequenos e podem ser desprezados. Neste caso, podemos obter um sistema de equações mais simples ao desprezarmos os termos viscosos das equações da quantidade de movimento. Estas equações simplificadas são conhecidas como as equações de Euler, e são mostradas nas Eqs. (2.13).

zp

zww

ywv

xwu

tw

yp

zvw

yvv

xvu

tv

xp

zuw

yuv

xuu

tu

zw

yv

xu

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

1

1

1

0

−=+++

−=+++

−=+++

=++

(2.13)

2.4 – Equação de Laplace

Uma simplificação maior das Eqs. (2.1) pode ser obtida se, além de desprezarmos os termos viscosos, assumirmos que o escoamento é irrotacional. Fisicamente, dizemos que um escoamento é irrotacional quando os elementos de fluido não possuem movimento de rotação. A irrotacionalidade do escoamento é expressa matematicamente conforme a Eq. (2.14).

0=×∇ vr (2.14)

Uma conseqüência interessante da irrotacionalidade do escoamento é que o campo de velocidade pode ser representado pelo gradiente de uma função escalar, veja a Eq. (2.15).

6

φ∇=rrv (2.15)

Combinado a Eq. (2.15) com as Eqs. (2.13), da equação da conservação de

massa, obtemos a equação de Laplace, e das equações da quantidade de movimento, obtemos a equação de Bernoulli, conforme as Eqs. (2.16), respectivamente.

( ) )(21

0

2

2

2

2

2

2

2

tHpt

zyx

=+∇+

=++

ρφ

∂∂φ

∂φ∂

∂φ∂

∂φ∂

r

(2.16)

2.5 – Escoamentos Levemente Compressíveis

Na presente seção, apresentamos uma equação para o campo de pressão apropriada para escoamentos de baixa compressibilidade, que considera a compressibilidade dos fluidos apesar de muito pequena. Esta equação junto com as equações da quantidade de movimento incompressíveis forma um sistema de equações que, além de representar corretamente os escoamentos de baixa compressibilidade, pode ser facilmente resolvido numericamente, pois a equação do campo de pressão possui um termo de derivada temporal da pressão que facilita substancialmente a implementação de qualquer método de marcha no tempo.

A equação do campo de pressão é obtida combinando-se a equação da

continuidade compressível e a definição de compressibilidade isotérmica. A equação da continuidade em coordenadas Cartesianas e a definição de compressibilidade isotérmica são mostradas nas Eqs. (2.17) e (2.18), respectivamente.

(2.17)

0=+++zw

yv

xu

t ∂∂ρ

∂∂ρ

∂∂ρ

∂∂ρ

Tp ⎟⎟⎠

⎞=

∂∂ρ

ρτ 1

(2.18)

onde ( )

( )⎩⎨⎧

=×=

=−

−

atmpáguaNmatmparNm

1,/1051,/10

210

25

τ (2.19) Podemos reescrever a Eq. (2.18) de forma mais conveniente, conforme mostra a Eq. (2.20). Integrando a Eq. (2.20) assumindo que as variações da pressão do escoamento são pequenas de modo que o coeficiente de compressibilidade isotérmica possa ser considerado constante e considerando somente escoamentos isotérmicos, onde a densidade é função somente da pressão, resulta a Eq. (2.21).

( )[ ]

Tp ⎟⎟⎠

⎞∂∂

= ρτ ln (2.20)

7

)( ∞−

∞= ppeτρρ (2.21)

Fazendo uma expansão em série de Taylor da Eq. (2.21), obtemos a Eq. (2.22).

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−+= ∞∞∞ L

22

211 pppp ττρρ (2.22)

Substituindo os dois primeiros termos (linearização) da Eq. (2.22) na Eq. (2.17),

obtemos a Eq. (2.23).

( ) vpzpw

ypv

xpu

tp r

⋅∇−−=+++ ∞τ∂

∂τ∂∂τ

∂∂τ

∂∂τ 1 (2.23)

A forma adimensional da Eq. (2.23) é mostrada na Eq. (2.24), onde o símbolo

asterisco significa que a variável é adimensional.

( ) ***

**

*

**

*

**

*

*

1 vpzwp

yvp

xup

tp r

⋅∇−−=+++ ∞∂∂∂

∂∂

∂∂ ∂

(2.24)

onde

∞∞∞

===aww

avv

auu *** ,,

(2.25)

Lzz

Lyy

Lxx === *** ,, (2.26)

τρρτ

∞∞

∞∞∞

====1,

/, *

2* a

aLtt

appp (2.27)

Com a intenção de simplificar a escrita das equações, vamos eliminar o símbolo de asterisco utilizado para representar as variáveis adimensionais. Desde que o nosso objetivo é obter os coeficientes de sustentação, arrasto, momento e pressão, o valor adotado para a pressão do escoamento livre pode ser arbitrado. Um valor conveniente para a pressão do escoamento livre é p∞=1, pois simplifica a Eq. (2.24). Portanto, a forma final da Eq. (2.24) é mostrada na Eq. (2.28).

0=+++z

pwy

pvx

putp

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.28)

A Eq. (2.28) junto com as equações da quantidade de movimento incompressíveis formam um sistema de equações para escoamentos de baixa compressibilidade e conveniente para soluções numéricas, veja a Eq. (2.29) escrita na forma conservativa e vetorial.

( ) ( ) ( ) 0=−+−+−+ zveyvexvet GGFFEEQ (2.29)

onde

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=vup

Q

(2.30)

⎭⎩w

8

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+

=

pwwvwupw

G

vwpv

vupv

F

uwuv

pupu

E eee

2

2

2

,,

(2.31)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

= ∞∞∞

z

z

z

Lv

y

y

y

Lv

x

x

x

Lv

wvu

RMG

wvu

RMF

wvu

RME

0

,

0

,

0

(2.32)

∞

∞

∞

∞∞ ==

νLuR

auM L, (2.33)

2.6 – Coordenadas Generalizadas

As equações governantes em coordenadas Cartesianas são de pouca utilidade para o cálculo de escoamentos ao redor de geometrias complexas, tais como: carros, barcos, aviões, etc. Para o estudo de escoamentos ao redor de corpos tridimensionais ou bidimensionais complexos, temos que trabalhar em coordenadas generalizadas. Para tanto, assumimos uma transformação do tipo mostrada na Eq. (2.34) que transforma as coordenadas (x,y) do plano físico para as coordenadas (ξ,η) do plano computacional.

( )( )yx

yx,,

ηηξ =ξ

(2.34) =

Utilizando a regra da cadeia e as Eqs. (2.34), podemos obter uma relação entre

as derivadas parciais em x e y no plano físico em termos das derivadas parciais em ξ e η no plano computacional, veja as Eq. (2.35). Substituindo as Eq. (2.35) nas equações governantes, transformamos as equações do plano físico para o plano computacional e passamos a trabalhar no plano computacional, que é retangular e facilita substancialmente a solução do escoamento ao redor de corpos de geometria complexa.

∂η∂η

∂ξ∂ξ

∂∂

∂η∂η

∂ξ (2.35)

A seguir, mostraremos a Eq. (2.29) escrita em coordenadas generalizadas. Fica como exercício para o leitor esta dedução, pois é importante que o leitor se familiarize com o procedimento de transformação das equações. Portanto, gaste todo o tempo que

∂ξ∂∂

yy

xx

y

x

+=

+=

9

for necessário. A Eq. (2.29) escrita em coordenadas generalizadas é mostrada na Eq. (2.36).

( ) ( ) ( ) 0=−+−+−+ ζηξ vevevet GGFFEEQ (2.36)

onde Q é o vetor de variáveis conservadas definido na Eq. (2.37).

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

wvup

JQ 1

(2.37)

Os termos Ee , Fe , Ge , Ev , Fv e Gv são os vetores de fluxo inviscidos e viscosos mostrados nas Eqs. (2.38), (2.39) e (2.40), respectivamente.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++

=

z

y

xe

z

y

xe

z

y

xe

pwWpvWpuW

pW

JG

pwVpvVpuV

pV

JF

pwUpvUpuU

pU

JE

ζζζ

ηηη

ξξξ 1,1,1

(2.38)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++++

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++++

= ∞∞

ζηξ

ζηξ

ζηξ

ζηξ

ζηξ

ζηξ

wAwAwAvAvAvAuAuAuA

JRMF

wAwAwAvAvAvAuAuAuA

JRME

Lv

Lv

542

542

542

321

321

321

0

,

0

(2.39)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++++

= ∞

ζηξ

ζηξ

ζηξ

wAwAwAvAvAvAuAuAuA

JRMG

Lv

653

653

653

0

(2.40)

Os termos U, V e W são as velocidades contravariantes definidas nas Eqs. (2.41) e A1, A2,etc. são os termos de métricas definidos nas Eq. (2.42).

zyx

zyx

zyx

wvuWwvuVwvuU

ζζζ

ηηη

ξξξ

++=

++=

++=(2.41)

10

2226

5

2224

3

2

2221

zyx

zzyyxx

zyx

zzyyxx

zzyyxx

zyx

A

AA

AAA

ζζζ

ζηζηζη

ηηη

ζξζξζξ

ηξηξηξ

ξξξ

++=

++=

++=

++=

++=

++=

(2.42)

onde ξx, ξy, ξz, ηx, ηy, ηz, ζx, ζy e ζz são as métricas e J é o Jacobiano da transformação definido na Eq. (2.43).

zyx

zyx

zyx

Jζζζηηηξξξ

=

(2.43)

Neste capítulo, vimos as equações que estaremos interessados em resolver

utilizando os métodos de diferenças finitas e volumes finitos. No próximo capítulo, vamos apresentar as ferramentas que serão utilizadas para resolver as equações. Apresentaremos o conceito de diferenças finitas, a construção de aproximações espaciais e temporais de diferenças finitas. 3.0 – INTRODUÇAO À MECÂNICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL Neste capítulo, vamos começar apresentar o ferramental necessário para estudar as equações governantes discutidas no Capítulo 2 e os diversos métodos numéricos aplicáveis a elas. Para simplificar o nosso estudo, vamos desenvolver o nosso ferramental inicialmente sobre equações modelo simples e representativas dos fenômenos físicos característicos dos escoamentos. Desta forma, será fácil estudar quais os métodos numéricos mais indicados para cada equação associada a um determinado fenômeno físico. A tabela abaixo mostra as equações modelo e o fenômeno físico que elas representam. Tabela 3.1 – Equações modelo.

Equação Modelo Física Classificação ∂∂

α∂∂

ut

ux

+ = 0 Convecção Hiperbólica

∂∂

ν∂∂

ut

ux

=2

2 Difusão Parabólica

∂ φ∂

∂ φ∂

2

2

2

2 0x y

+ = Potencial

Elíptica

11

3.2 – Classificação Matemática

A classificação matemática das equações diferenciais parciais (PDE) é feita segundo a equação diferencial parcial de segunda ordem mostrada na Eq. (3.1). Os coeficientes a, b, c, d, e e f podem ser funções de x, y, φ, φx, φy. Isto significa que esta classificação pode ser aplicada à equações quasi-lineares, ou seja, equações que são lineares em termos das derivadas de segunda ordem.

(3.1) ),( yxgfedcba yxyyxyxx =+++++ φφφφφφ

Dizemos que uma equação diferencial parcial é elíptica, parabólica ou hiperbólica quando o discriminante Δ, Eq. (3.2), é menor, igual ou maior que zero, respectivamente.

(3.2) acb 42 −=Δ

Vamos classificar a equação de convecção mostrada na Tabela (3.1) conforme o discriminante definido na Eq. (3.2). Podemos demonstrar que a equação de convecção é equivalente a equação da onda. Derivando a equação de convecção com relação ao tempo, obtemos a Eq. (3.3).

0

2

2

2

=+xtu

tu

∂∂α

∂∂ ∂

(3.3) Invertendo a ordem da derivada temporal com a derivada espacial do segundo termo da Eq. (3.3) e substituindo a equação de convecção, obtemos a Eq.(3.4).

02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

xu

xtu

∂∂α

∂∂α

∂∂

ou

02

22

2

2

=−x

utu

∂∂α

∂∂ (3.4)

Comparando a Eq. (3.4) com a Eq. (3.1), concluímos que a=1, b=0, c=-α2, d=e=f=g=0. Portanto, o valor do discriminante definido na Eq. (3.2) é Δ=4α2>0. O que significa que, de acordo com a classificação matemática discutida acima, a equação da convecção é do tipo hiperbólica. Façamos o mesmo agora com a equação da difusão. Comparando a equação da difusão mostrada na Tabela (3.1) com a Eq. (3.1), concluímos que a=0, b=0, c=-ν, d=1, e=f=g=0. Portanto, o valor do discriminante é Δ=0, o que significa que a equação da difusão é do tipo parabólica. Finalmente, comparando a equação do potencial com a Eq. (3.1), concluímos que a=1, b=0, c=1, d=e=f=g=0. Portanto, o valor do discriminante é Δ=-4, o que significa que a equação de Laplace é do tipo elíptica.

12

A Tabela (3.1) mostra as equações modelo e suas classificações matemáticas. O leitor deve manter em mente as classificações matemáticas das equações modelo e a física que elas representam. Posteriormente, quando estudarmos as equações governantes dos escoamentos, poderemos ter o sentimento da física predominante das equações através de suas classificações matemáticas.

3.3 – Tipos de Condições de Contorno Para resolvermos as equações modelo, precisamos saber as condições na fronteira do domínio físico, ou seja, precisamos especificar as condições de contorno. Chamamos condição de Dirichlet a condição de contorno onde o valor da função que desejamos determinar é conhecido na fronteira do domínio físico. Vamos considerar, por exemplo, o problema da difusão de calor dado pela Eq. (3.5), pelas condições de contorno de Dirichlet e pela condição inicial, conforme as Eqs. (3.6) e (3.7), respectivamente.

2

2

xT

tT

∂∂ν

∂∂

= (3.5)

( ) ( )( ) ( )tgtT

tgtT

1

0

,1,0==

(3.6)

( ) ( )xfxT =0, (3.7)

Dizemos que a condição de contorno é do tipo Neumann quando a derivada da função é conhecida no contorno do domínio físico. Portanto, o nosso problema de difusão de calor fica da forma mostrada nas Eqs. (3.8).

2

2

xT

tT

∂∂

∂∂

=ν

(3.8)

( )

( )tgxT

tgxT

x

x

11

00

=⎟⎠⎞

=⎟⎠⎞

=

=

∂∂∂∂

( ) ( )xfxT =0,

Dizemos que a condição de contorno é periódica quando o valor da função se

repete periodicamente. Portanto, o nosso problema de difusão de calor fica da forma mostrada nas Eqs. (3.9).

13

2

2

xT

tT

∂∂

∂∂

=ν

( ) ( )tTtT ,0,1 = (3.9)

( ) ( )xfxT 0, = 3.4 – Diferenças Espaciais em Forma de Série de Taylor

Nesta seção, vamos mostrar como aproximar derivadas espaciais em termos de diferenças finitas de primeira e segunda ordem de precisão utilizando expansões em série de Taylor. Posteriormente, mostraremos uma forma sistemática de obtermos aproximações de ordens de precisão maiores. Para começar, façamos uma discretização do espaço unidimensional com N pontos, conforme mostra a Fig. 3.1.

Figura 3.1 – Domínio Unidimensional Discretizado

O espaço unidimensional [0,1] está dividido em N-1 elementos iguais de

dimensão Δx e desejamos calcular as derivadas de primeira e segunda ordem da função u(x) no ponto xi. Expandindo em série de Taylor a função u(x) na vizinhança do ponto xi, obtemos o seguinte:

L+Δ⎟⎟

⎠

⎞+Δ⎟⎟

⎠

⎞+Δ⎟

⎠⎞+=+

33

32

2

2

1 61

21 x

xux

xux

xuuu

iiiii ∂

∂∂∂

∂∂

(3.10)

L+Δ⎟⎟

⎠

⎞−Δ⎟⎟

⎠

⎞+Δ⎟

⎠⎞−=−

33

32

2

2

1 61

21 x

xux

xux

xuuu

iiiii ∂

∂∂∂

∂∂ (3.11)

onde

( )( )( )11

11

−−

++

===

ii

ii

ii

xuuxuu

xuu

(3.12)

Subtraindo a Eq. (3.11) da Eq. (3.10) e dividindo por 2Δx, obtemos a Eq. (3.13).

14

L+Δ⎟⎟

⎠

⎞+⎟

⎠⎞=

Δ− −+ 2

3

311

61

2x

xu

xu

xuu

ii

ii

∂∂

∂∂

ou

( )211

2xO

xuu

xu ii

i

Δ+Δ−

=⎟⎠⎞ −+

∂∂

(3.13)

A Eq. (3.13) é uma aproximação de segunda ordem da primeira derivada da função u(x) no ponto xi. Agora, se somarmos as Eq. (3.10) e (3.11), subtrairmos 2ui dos dois lados e dividirmos por Δx2, obtemos a Eq. (3.14).

ou

L+Δ⎟⎟

⎠

⎞+⎟⎟

⎞

⎠=

Δ+− −+ 2

4

4

2

2

211

1212 x

xu

xu

xuuu

ii

iii

∂∂

∂∂

( )2

211

2

2

xOx

uuux

u iii

i

Δ+Δ

+−=⎟⎟

⎠

⎞ −+

∂∂ (3.14)

A Eq. (3.14) é uma aproximação de segunda ordem da segunda derivada da função u(x) no ponto xi. Podemos também obter aproximações de primeira ordem para a primeira derivada da função u(x). Se subtrairmos ui de ambos os lados da Eq. (3.10) e dividirmos tudo por Δx, obtemos a Eq. (3.15).

ou

L+Δ⎟⎟

⎠

⎞+⎟

⎠⎞=

Δ−+ x

xu

xu

xuu

ii

ii2

21

21∂∂

∂∂

( )xO

xuu

xu ii

i

Δ+Δ−

=⎟⎠⎞ +1

∂∂ (3.15)

Por outro lado, se subtrairmos ui de ambos os lados da Eq. (3.11) e dividirmos tudo por -Δx, obtemos a Eq. (3.16).

ou

L+Δ⎟⎟

⎠

⎞−⎟

⎠⎞=

Δ− − x

xu

xu

xuu

ii

ii2

21

21∂∂

∂∂

( )xO

xuu

xu ii

i

Δ+Δ−

=⎟⎠⎞ −1

∂∂

(3.16)

A dedução das aproximações das derivadas por diferenças finitas, até o momento, foi relativamente fácil, pois as expressões eram simples. Entretanto, quando desejamos trabalhar com maior ordem de precisão, as expressões das aproximações podem ficar muito extensas e tornar a dedução um pouco trabalhosa e tediosa. Vamos apresentar a seguir uma forma sistemática de obter as aproximações em diferenças finitas que facilita muito o trabalho de dedução. Suponha que desejamos obter uma aproximação da primeira derivada utilizando três pontos da malha computacional, conforme a Eq. (3.17).

15

( )n

iiii

xOuauauaxu

Δ=+++⎟⎠⎞

+−− 11011∂∂

(3.17)

A idéia é obter os coeficientes ai para se obter a máxima ordem de precisão. Isto é conseguido anulando-se o máximo número de colunas da Tabela (3.2). Podemos garantir que pelo menos três colunas podem ser anuladas. Na primeira coluna da Tabela (3.2), colocamos os quatro termos da Eq. (3.17), e na primeira linha, colocamos as derivadas da expansão em série de Taylor da função u(x). O restante das linhas da Tabela (3.2) são preenchidas com os coeficientes das expansões em série de Taylor dos termos da Eq. (3.17).

Tabela 3.2 – Forma Sistemática para Obter as Aproximações em Diferenças Finitas

ui ∂∂ux i

⎞⎠⎟ ∂

∂

2

2

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂

3

3

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂

4

4

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂ux i

⎞⎠⎟

0 1 0 0 0

a ui− −1 1 a−1 − −Δxa 1 Δx a21 2− / −Δx a3

1 6/ Δx a41 24− /

a ui0 a0 0 0 0 0 a ui1 1+ a1 Δxa1 Δx a2

1 2/ Δx a31 6/ Δx a4

1 24/

Vamos tentar anular as três primeiras colunas da Tabela (3.2), pois temos três incógnitas e precisamos de três equações para determina-las. Desta forma, obtemos as Eq. (3.18).

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=Δ−Δ=++

−

−

−

010

11

11

101

aaxaxaaaa

(3.18)

A solução do sistema de equações acima é:

xa

xa

a

Δ−=

Δ=

=

−

21

21

0

1

1

0

(3.19)

O erro de truncamento da nossa aproximação é o termo mais baixo acima das colunas zeradas da Tabela (3.2). O erro de truncamento e a aproximação da primeira derivada da função u(x) em diferenças finitas são mostrados nas Eqs. (3.20) e (3.21), respectivamente.

( )23

32

61 xO

xuxe

irt Δ=⎟⎟

⎠

⎞Δ−=

∂∂

(3.20)

16

( )211

2xO

xuu

xu ii

i

Δ+Δ−

=⎟⎠⎞ −+

∂∂ (3.21)

Obtivemos a mesma aproximação de segunda ordem obtida anteriormente para a

primeira derivada da função u(x), Eq. (3.13). Isto significa que, com três pontos da malha computacional, conseguimos no máximo uma aproximação de segunda ordem para a primeira derivada. Para conseguirmos aproximações com ordem de precisão superior, temos que usar um número maior de pontos. No caso geral, podemos obter uma aproximação de ordem (p+q) da primeira derivada da função u(x) utilizando a Eq. (3.22).

( )qpq

pkkik

i

xOuaxu +

−=+ Δ=+⎟

⎠⎞ ∑∂

∂(3.22)

3.5 – Operadores Pontuais e Matriciais Nesta seção, vamos aplicar o método das diferenças finitas a uma equação diferencial parcial, mas antes disso, vamos definir alguns operadores pontuais de diferenças finitas. De acordo com as aproximações em diferenças finitas obtidas na seção anterior, podemos definir os seguintes operadores pontuais:

xuuu ii

ix Δ−

= −+

211δ (3.23)

2112 2

xuuuu iii

ix Δ+−

= −+δ (3.24)

x

uuu iiix Δ

−=Δ +1

(3.25)

xuuu ii

ix Δ−

=∇ −1

(3.26)

Suponha agora que queremos resolver o problema da difusão de calor no domínio unidimensional [0,1] com condições de contorno de Dirichlet.

(3.26)

2

2

xu

tu

∂∂ν

∂∂

=

( )( ) b

a

utuutu

==

,1,0

(3.27)

( ) )(0, xgxu = (3.28)

Discretizando o espaço unidimensional [0,1], conforme a Fig. (3.1). Depois, aproximando a Eq. (3.26) utilizando o operador pontual definido na Eq. (3.24), obtemos a Eq. (3.29).

ixi

udtdu 2νδ≅⎟

⎠⎞

17

ou

( )112 2 −+ +−Δ

≅⎟⎠⎞

iiii

uuuxdt

du ν (3.29)

Não estamos mais usando a notação de derivada parcial temporal na Eq. (3.29), pois a derivada espacial foi eliminada da equação ao aproxima-la pelo operador pontual δ x

2 . Avaliando a Eq. (3.29) em todos os pontos internos da malha computacional mostrada na Fig. 3.1, obtemos o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:

(3.30)

( )

( )

( )

( )2121

34524

23423

2322

2

2

2

2

−−−

+−Δ

=⎟⎠⎞

+−Δ

=⎟⎠⎞

+−Δ

=⎟⎠⎞

+−Δ

=⎟⎠⎞

NNbN

a

uuuxdt

du

uuuxdt

du

uuuxdt

du

uuuxdt

du

ν

ν

ν

ν

M

Podemos escrever o sistema de equações diferenciais ordinárias mostrado na Eq. (3.30) na forma matricial. Desta forma, obtemos a Eq. (3.31).

[ ] buAdtud rrr

+= (3.31) onde

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−1

4

3

2

Nu

uuu

(3.32)

uM

r

[ ]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

−

Δ=

21000

021001210012

2

MLMMM

L

L

L

xA ν

(3.33)

18

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ=

b

a

u

u

xb

M

r00

2

ν

(3.34)

Podemos representar a matriz [A] em uma forma compacta e conveniente, conforme a Eq. (3.35).

[ ] ( )1,2,12 −Δ

=νA B (3.35) x

Usando a notação mostrada na Eq. (3.35), o nosso sistema de equações

diferencias ordinárias pode ser escrito da seguinte forma:

( ) buBxdt

ud rrr

+−Δ

= 1,2,12

ν(3.36)

Dizemos que B(1,-2,1) é um operador matricial. 3.6 – Esquemas Centrados e Upwind Para começar a nossa discussão sobre que tipo de esquema devemos utilizar para resolver um determinado problema, vamos considerar a equação de Euler compressível unidimensional, onde apresentaremos o conceito de velocidades características, veja a Eq. (3.37). Desacoplando as equações de Euler em três equações da onda, mostraremos que as velocidades características são na verdade as velocidades de propagação das informações dentro do escoamento.

0=+xE

tQ

∂∂ ∂

(3.37) ∂onde

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

upepu

uE

euQ 2, ρ

ρρρ

(3.38)

Escrevendo a Eq. (3.37) na forma não conservativa, obtemos a Eq. (3.39).

0=+xQA

tQ

∂∂ ∂

(3.39) ∂onde

( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

−−−

==

uueueu

uuQEA

γγργγ

ργ

γγγ∂∂

23

2

2131

132

3010

(3.40)

19

O sistema (3.39) é hiperbólico no ponto (x,t,Q) se existir uma transformação similar dada pela matriz T que diagonaliza a matriz jacobiana de fluxo A, conforme a Eq. (3.41).

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

(3.41)

onde u

==Λ −

3

2

11

000000

λλ

λATT

−=+= (3.42)

são os autovalores da matriz jacobiana de fluxo. Desacoplando as Equações de Euler pré-multiplicando a Eq. (3.39) por T-1 e pós-multiplicando por T, o resultado final é mostrado na Eq. (3.43).

(3.43)

onde (3.44)

Observe que a Eq. (3.43) é composta de três equações da onda desacopladas. Se escrevermos essas equações separadamente, obtemos as Eqs. (3.45).

(3.45)

Observe que temos três equações da onda, onde λ1, λ2 e λ3 são as velocidades de propagação das ondas. Lembre-se que λ1, λ2 e λ3 são também os autovalores da matriz jacobiana de fluxo das equações de Euler compressíveis. Portanto, fica fácil entender que os autovalores são na verdade as velocidades com que as informações se propagam dentro do escoamento. Por este motivo, os autovalores são chamados também de velocidades características.

De acordo com as Eq. (3.42), vemos que no caso subsônico, duas velocidades características são positivas e uma é negativa. Isto significa que, no caso subsônico, teremos informações do escoamento propagando-se no mesmo sentido do escoamento e também no sentido contrário. Por outro lado, se o escoamento for supersônico, todas as velocidades características serão positivas. Isto significa que as informações do escoamento se propagam somente no sentido do escoamento, veja a Fig. 3.2.

auau

=

3

2

1

λλλ

0=Λ+x

Wt

W∂

∂ ∂∂

QTTW 1−=

0

0

0

33

3

22

2

11

1

=+

=+

=+

xw

tw

xw

tw

xw

tw

∂∂λ

∂∂

∂∂λ

∂∂

∂λ

∂∂ ∂

20

u Escoamento u+a As informações caminham subsônico u-a nos dois sentidos

i Sentido do escoamento

Escoamento u

Supersônico u+a As informações caminham u-a num único sentido i Sentido do escoamento

Figura 3.2 – Sentido de Propagação das Informações

Um esquema upwind é um esquema que respeita o sentido de propagação das informações do escoamento, ou seja, é um esquema em que as derivadas são aproximadas usando-se diferenças one-sided, segundo as velocidades características do escoamento. Por outro lado, um esquema centrado é um esquema em que as derivadas são aproximadas usando-se diferenças centradas sem levar em consideração as velocidades características. Como ilustração, vamos analisar a equação de convecção (equação da onda de primeira ordem) mostrada na Tabela 3.1 no espaço unidimensional [0,1], conforme a Eq. (3.46).

0,0 >=+ α

∂∂α

∂∂

xu

tu

(3.46)

(3.47) autu =),0(

)()0,( xgxu = (3.48)

Observe que não podemos especificar uma condição de contorno em x=1, pois a velocidade característica é positiva (α>0), o que significa que as condições naquele ponto são determinadas pelas condições no interior do domínio físico. Se optarmos por um esquema upwind, teremos que utilizar obrigatoriamente uma diferença “backward” de modo a respeitar o sentido da velocidade característica. Deste modo, o nosso esquema ficaria do seguinte modo:

0=∇+⎟

⎠⎞

ixi

udtdu αou

(3.49)

01 =Δ−

+⎟⎠⎞ −

xuu

dtdu ii

i

α

21

A Eq. (3.49) deve ser avaliada em todos os pontos interiores à malha computacional, inclusive o contorno em x=1, veja a Fig. 3.1. Se manipularmos algebricamente a Eq. (3.49), podemos chegar a Eq. (3.50).

2

1111 222 x

uuuxxuu

tu iiiii

i Δ+−Δ

=Δ−

+⎟⎠⎞ −+−+α

∂∂ α (3.50)

De acordo com a Eq. (3.50), a aproximação da derivada espacial da Eq. (3.46)

por uma diferença “backward” é equivalente a aproximarmos a derivada por uma diferença centrada com a adição implícita de um termo de dissipação artificial. Este termo de dissipação artificial tende a estabilizar o esquema. Se tivéssemos utilizado uma diferença “forward” em vez de uma “backward” para aproximar a derivada espacial, obteríamos a Eq. (3.50), porém com um sinal negativo na frente do termo de dissipação artificial, veja a Eq. (3.51).

2

1111 222 x

uuuxxuu

tu iiiii

i Δ+−Δ

−=Δ−

+⎟⎠⎞ −+−+ αα

∂∂

(3.51)

O esquema será instável, pois uma dissipação negativa, além de não ter significado físico, causa instabilidade ao esquema. Este esquema será estável somente quando α<0. Isto significa que a velocidade característica tem sentido contrário à anterior e, portanto, uma diferença “forward” é a aproximação correta para a derivada espacial da Eq. (3.46).

Por outro lado, podemos aproximar a derivada espacial da Eq. (3.46) utilizando um esquema centrado, ou seja, utilizando uma diferença centrada. Deste modo, obtemos a Eq. (3.52).

0

211 =

Δ−

+⎟⎠⎞ −+

xuu

tu ii

i

α∂∂

(3.52)

A Eq. (3.52) deverá ser avaliada em todos os pontos interiores à malha computacional e a condição de contorno em x=1 deverá ser obtida através de uma extrapolação dos valores dos pontos interiores. Deste modo, obteremos um sistema de equações diferenciais ordinárias com N-2 equações. Este tipo de esquema centrado será provavelmente instável, pois não existe um termo de dissipação artificial implícito como no esquema “upwind”. Para garantir a estabilidade do esquema, será necessário adicionar explicitamente um termo de dissipação artificial ao lado direito da Eq. (3.52).

O leitor deve ter em mente que esquemas “upwind” possuem implicitamente um termo de dissipação artificial, e os esquemas centrados necessitam da adição de dissipação artificial para garantir a estabilidade do esquema. Esta conclusão, obtida para a equação modelo de convecção, se aplica também às equações governantes dos escoamentos, como será discutido posteriormente neste livro.

22

3.7 – Conceito de Equação Modificada O conceito de equação modificada está diretamente relacionado com o que foi discutido na seção 3.6, onde aproximamos a derivada parcial espacial da equação de convecção por uma diferença “one-sided” e após alguma manipulação algébrica obtivemos um esquema centrado com um termo de dissipação artificial. Nesta seção, vamos fazer exatamente a mesma coisa somente que vamos aproximar a derivada espacial da equação de convecção utilizando uma representação geral de diferenças finitas, conforme a equação (3.53).

(3.53)

( ) ( )[ ]11 1212

1+− −+++−

Δ= iiiix uuu

xu βββδ

Observe que obtemos uma diferença centrada, “backward” ou “forward” para os valores de β=0, 1 e –1, respectivamente. Aproximando a derivada espacial da equação de convecção utilizando a Eq. (3.53), obtemos a Eq. (3.54).

(3.54)

( ) ( )[ ] 01212 11 =−+++−Δ

+⎟⎠⎞

+− iiii

uuuxt

u βββα∂∂

Vamos agora eliminar os termos ui-1 e ui+1 dentro do colchete da Eq. (3.54) através da expansão em série de Taylor da função u(x), veja a Eq. (3.55).

(3.55)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L

L

+⎟⎟⎠

⎞Δ−+⎟⎟

⎠

⎞Δ−+⎟

⎠⎞Δ−+−=−

−⎟⎟⎠

⎞Δ++⎟⎟

⎠

⎞Δ+−⎟

⎠⎞Δ+++−=+−

+

−

iiiii

iiiii

xux

xux

xuxuu

xux

xux

xuxuu

3

33

2

22

1

3

33

2

22

1

61

21111

61

21111

∂∂β

∂∂β

∂∂βββ

∂∂β

∂∂β

∂∂βββ

Substituindo as Eq. (3.55) na Eq. (3.54), após alguma manipulação algébrica, obtemos a Eq. (3.56).

L+

Δ+

Δ−

Δ=+ 4

43

3

32

2

2

2462 xux

xux

xux

xu

tu

∂∂βα

∂∂α

∂∂βα

∂∂α

∂∂

(3.56)

A Eq. (3.56) é a equação que estamos realmente resolvendo quando aproximamos a derivada espacial da equação de convecção utilizando a equação (3.53). Por esta razão, a equação (3.56) é chamada de equação modificada. Observe que quando β=0 (esquema centrado) as derivadas pares desaparecem da Eq. (3.56), ou seja, os termos de dissipação artificial implícita desaparecem. Por outro lado, quando β=-1 (forward) ou β=1 (backward), as derivadas pares permanecem na Eq. (3.56). Observe que as derivadas pares da Eq. (3.56) funcionam como termos de dissipação somente quando αβ>0. Isto significa que quando a velocidade característica α é positiva, devemos utilizar obrigatoriamente diferença “backward” e quando α é negativo, devemos utilizar obrigatoriamente diferença “forward”. Observe também que a diferença centrada pode ser utilizada em ambos os casos, pois os termos de dissipação desaparecem.

23

3.8 – Esquemas Hermicianos e Aproximações de Padé Nesta seção, vamos apresentar uma outra forma de se obter uma aproximação da primeira derivada espacial. Com apenas três pontos da malha computacional, podemos obter uma aproximação de quarta ordem de precisão às custa de uma inversão de matriz tridiagonal. Suponha que desejamos obter uma aproximação da primeira derivada espacial utilizando três pontos da malha computacional, conforme a Eq. (3.57).

( )?11011

11

11 xOuauaua

xub

xu

xub iii

iii

Δ=+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+−

− ∂∂

∂∂

∂∂

(3.57)

Novamente, usamos a tabela de Taylor para determinar os coeficientes da Eq. (3.57), conforme discutido na Sec. 3.4.

ui ∂∂ux i

⎞⎠⎟ ∂

∂

2

2

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂

3

3

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂

4

4

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂

5

5

ux

i

⎞

⎠⎟

∂∂

6

6

ux

i

⎞

⎠⎟

bux i

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

1

∂∂

0 b−1 − −b x1Δ b x−1

2

2Δ

− −b x13

6Δ b x−1

4

24Δ

− −b x15

120Δ

∂∂ux i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 1 0 0 0 0 0

bux i

11

∂∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

0 b1 b x1Δ b x1

2

2Δ

b x1

3

6Δ

b x1

4

24Δ

b x1

5

120Δ

a ui− −1 1 a−1 − −a x1Δ a x−12

2Δ

− −a x13

6Δ a x−1

4

24Δ

− −a x15

120Δ

a x−1

6

720Δ

a ui0 a0 0 0 0 0 0 0 a ui1 1+ a1 a x1Δ a x1

2

2Δ

a x1

3

6Δ

a x1

4

24Δ

a x1

5

120Δ

a x1

6

720Δ

Agora, vamos anular a soma dos elementos das cinco primeiras colunas, pois temos cinco coeficientes a determinar na Eq. (3.57). Desta forma, obtemos o sistema de equações algébricas mostrado na Eq. (3.58).

0

(3.58)

A solução do sistema de equações acima é:

(3.59)

044033022

1

1111

1111

1111

1111

101

=+−Δ+Δ+=++Δ+Δ−=+−Δ+Δ+−=++Δ+Δ−

+ + =+

−−

−−

−−

−−

−

bbxaxabbxaxabbxaxa

bxaxaaaa

b

41,

41

43,0,

43

11

101

==

Δ−==

Δ=

−

−

bb

xaa

xa

24

Portanto, substituindo as Eqs. (3.59) na Eq. (3.57), resulta a Eq. (3.60).

( ) ( )411

11 43

41

41 xOuu

xxu

xu

xu

iiiii

Δ=−Δ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+− ∂

∂∂∂

∂∂

(3.60)

onde

irt x

uxe ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ= 5

54

1201

∂∂

(3.61)

Se avaliarmos a Eq. (3.60) nos pontos internos da malha computacional mostrada na Fig. 3.1, podemos obter o sistema de equações (3.62) escrito na forma de matriz de banda.

( ) ( ) buBxx

uBrr

r

+−Δ

≅ 1013141∂∂

(3.62) onde

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Δ−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−

bb

aa

Nxuu

x

xuu

x

b

u

uuu

u

∂∂

∂∂

3

00

3

,

1

4

3

2

M

r

M

r

(3.63)

Se dividirmos a Eq. (3.62) por seis, obtemos a Eq. (3.64).

( ) ( ) buBxx

uBrr

r

61101

21141

61

+−Δ

≅∂∂

(3.64)

Observe que no lado direito da Eq. (3.64), temos uma aproximação de segunda ordem para a primeira derivada da função u(x). A matriz de banda do lado esquerdo da Eq. (3.64) faz com que a Eq. (3.64) seja uma aproximação de quarta ordem para a primeira derivada espacial. A matriz de banda do lado esquerdo da Eq. (3.64) é conhecida como correção de Padé. Multiplicando a Eq. (3.62) por B(1,4,1)-1, obtemos a Eq. (3.65).

( ) ( ) ( ) bBuBB

xxu rrr

11 1411011413 −− +−Δ

≅∂∂

(3.65)

Com apenas três pontos da malha computacional mostrada na Fig. 3.1, conseguimos obter uma precisão de quarta ordem para a primeira derivada espacial às custas da inversão de uma matriz tridiagonal. Repetindo o mesmo procedimento seguido para obter a Eq.(3.65), podemos obter também uma aproximação de quarta ordem para a segunda derivada espacial, veja a Eq. (3.66).

25

(3.66) ( ) ( ) ( ) ( )411

22

2

1101121110112 xObBuBBxx

uΔ++−

Δ= −−

rrr

∂∂

onde

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

− b

a

N u

u

xb

u

uuu

uM

r

M

r 00

12, 2

1

4

3

2

(3.67)

4.0 – PRECISÃO E ESTABILIDADE DE MÉTODOS NUMÉRICOS Neste capítulo, vamos estudar a precisão e estabilidade de métodos numéricos de marcha no tempo através da análise de Fourier. Ressaltamos que até o momento somente apresentamos e discutimos aproximações de derivadas espaciais. Pela primeira vez neste livro, vamos apresentar os métodos de marcha no tempo e estudar a estabilidade de cada um deles. Entretanto, antes de começarmos propriamente dito o nosso estudo, vamos apresentar algumas ferramentas que serão necessárias no decorrer deste capítulo. 4.1 – Solução Exata de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes Nesta seção, vamos obter as soluções analíticas de equações diferenciais ordinárias (ODE) lineares de primeira e segunda ordem e também de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. a) Solução analítica da equação diferencial ordinária (ODE) linear de primeira ordem

com coeficientes constantes, mostrada na Eq. (4.1).

taeudtdu μλ += (4.1)

Multiplicando toda a Eq. (4.1) por e-λt e passando o primeiro termo do lado direito da Eq. (4.1) para o lado esquerdo, obtemos a Eq. (4.2).

( )ttt aeue

dtdue λμλλ λ −−− =− (4.2)

Usando agora a regra da derivada do produto na Eq. (4.2), obtemos a Eq. (4.3).

( ) ( )tt aeue

dtd λμλ −− = (4.3)

Integrando a Eq. (4.3) e multiplicando o resultado por eλt, obtemos a Eq. (4.4).

26

tt eaCetu μλ

λμ −+=)( (4.4)

onde C é a constante de integração a ser determinada ao especificarmos uma condição inicial.

b) Solução analítica da equação diferencial ordinária de segunda ordem linear e

homogênea com coeficientes constantes mostrada na Eq. (4.5).

0012

2

=++ uadtdua

dtud

(4.5)

Admitindo uma solução do tipo u=Ceλt e substituindo na Eq. (4.5), obtemos a Eq. (4.6).

(4.6) 001

2 =++ ttt CeaeCaeC λλλ λλ

Cancelando o termo Ceλt da Eq. (4.6), obtemos a Eq. (4.7).

(4.7) 0012

=++ aa λλ

A solução da Eq. (4.7) é mostrada na Eq. (4.8).

24

24

0211

2

0211

1

aaa

aaa

−−−=

−+−=

λ

λ (4.8)

Como a Eq. (4.5) é linear, a sua solução é a superposição das duas soluções possíveis, conforme mostra a Eq. (4.9).

(4.9) tt eCeCtu 21

21)( λλ +=

c) Solução analítica do sistema linear de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, mostrado na Eq. (4.10).

2221212

2121111

uauadt

du

uauadt

du

+=

+= (4.10)

Escrevendo a sistema (4.10) na forma matricial, obtemos a Eq. (4.11).

uAdtud rr

= (4.11) onde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2221

1211

2

1 ,aaaa

Auu

ur (4.12)

27

Admitindo uma solução do tipo mostrada na Eq. (4.13) e substituindo na Eq. (4.11), obtemos a Eq. (4.14).

( ) texCtu λrr

= (4.13)

tt exCAexC λλλ rr= (4.14)

Eliminando o termo Ceλt da Eq. (4.14), passando tudo para o lado esquerdo e multiplicando por –1, obtemos a Eq. (4.15).

( ) 0=− xIA rλ (4.15)

Veja que caímos num problema de autovalor e autovetor. Resolvendo a Eq. (4.15), obtemos os pares ( ) e (λ1 1,

rx )λ2 2,rx . Desde que o sistema (4.11) é linear, a sua

solução é a superposição das duas soluções possíveis, veja a Eq. (4.16).

( ) tt exCexCtu 212211

λλ rrr+= (4.16)

No caso geral, onde temos m equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, a solução do sistema é dada pela Eq. (4.17).

( ) ∑

=

=m

i

tii

iexCtu1

λrr(4.17)

onde ( ) mixIA ii ,,3,2,1,0 K

r==− λ (4.18)

d) Transformação da equação diferencial ordinária de segunda ordem mostrada na Eq.

(4.19) em um sistema linear de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem segundo a transformação definida na Eq. (4.20).

0012

2

=++ uadtdua

dtud

(4.19)

(4.20)

Substituindo as Eqs. (4.20) na Eq. (4.19), obtemos a Eq. (4.21).

(4.21)

onde

(4.22)

Como foi visto no item (c) da presente seção, a solução da Eq. (4.21) é mostrada na Eq. (4.23).

(4.23)

dtduu

u

=

u=

2

1

uAdtud rr

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=102

1 10,

aaA

uu

ur

tt exCexCtu 212211)( λλ rr

+=

28

onde ( ) 2,1,0 ==− ixIA ii

rλ (4.24)

d) Solução geral do sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias (ODE’s) lineares com coeficientes constantes (A e f são constantes) mostrado na Eq. (4.25).

fuA

dtud rrr

−= (4.25)

Seja X a matriz cujas colunas são os autovetores associados à matriz A da Eq. (4.25). Seja Λ a matriz diagonal cujos elementos são os autovalores associados à matriz A da Eq. (4.25). Veja as Eq. (4.26) e (4.27).

[ ]mxxxxX rL

rrr321= (4.26)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Λ

mλ

λλ

λ

L

MOMMM

L

L

L

000

000000000

3

2

1

(4.27)

Se a matriz X é não singular, ou seja, se o determinante da matriz X é diferente de zero, podemos diagonalizar a matriz A, conforme mostra a Eq. (4.28).

(4.28) AXX 1−=Λ

Vejamos agora como é obtida a solução geral dos sistemas de equações diferenciais ordinárias. Multiplicando ambos os lados da Eq. (4.25) pela matriz X-1, obtemos a Eq. (4.29).

fXuAXdtudX

rrr

111 −−− −= (4.29)

Lembrando que I=XX-1, podemos obter a Eq. (4.30).

ou

fXuAXXXdtudX

rrr

1111 −−−− −=

gwdtwd rrr

−Λ= (4.30) onde

gXf

w(4.31)

Veja que começamos com um sistema de equações diferenciais acopladas, Eq. (4.25), e chegamos a um sistema desacoplado, conforme mostra a Eq. (4.30). Vamos agora obter a solução de cada equação do sistema (4.30) e depois transformar o resultado

Xurr

r r=

=

29

para as variáveis iniciais. Vamos resolver a Eq. (4.32) conforme o que foi visto no item (a) da presente seção.

iii

i gwdt

dw−= λ (4.32)

De acordo com o que foi visto no item (a), obtemos a Eq. (4.33) que é a solução da Eq. (4.32).

i

itii

geCtw i

λλ +=)( (4.33)

Escrevendo a Eq. (4.33) na forma matricial, obtemos a Eq. (4.34).

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

mmt

m

t

t

t

m g

ggg

eC

eCeCeC

w

www

λ

λλλ

λ

λ

λ

λ

MMM33

22

11

3

2

1

3

2

1

1

3

2

1

(4.34)

Agora, vamos obter a solução do sistema original multiplicando a Eq. (4.34) pela matriz X. Desta forma, obtemos a Eq. (4.35).

fXXexCtu

m

i

tii

ri

rr 11

1

)( −−

=

Λ+= ∑ λ

(4.35)

4.2 – Equações de Diferenças Finitas Lineares

Na seção anterior, nós obtivemos a solução analítica de sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes. Na presente seção, nós vamos obter a solução exata das equações algébricas de diferenças finitas correspondentes às equações diferenciais ordinárias estudadas anteriormente, pois posteriormente neste capítulo, vamos comparar as duas soluções com o objetivo de estudarmos o erro introduzido pela aproximação em diferenças finitas das equações diferenciais.

Para começar, vamos definir o operador deslocamento (shift operator) que será utilizado para obter as soluções das equações em diferenças finitas. O operador deslocamento é definido na Eq. (4.36).

L++++== 3322

61

211 DhDhDeE hD h (4.36)

onde

thdtdD

Δ=

= (4.37)

30

Quando aplicarmos o operador deslocamento a uma função, obtemos a sua expansão em série de Taylor, veja a Eq. (4.38).

ou

( ) L++++= nnnnn uDhuDhhDuuuE 3322

61

21

( ) L+⎟⎟⎠

⎞Δ+⎟⎟

⎠

⎞Δ+⎟

⎠⎞Δ+=

nnnnn dt

udtdt

udtdtdutuuE 3

33

2

22

61

21

(4.38)

Portanto, fica claro que:

nnn

kkn

nn

bEbuEu

Euu

αα

=

+

+

+1

(4.39) =

=

Agora, vamos utilizar o operador deslocamento para resolver equações de diferenças finitas lineares.

a) Solução da equação de diferenças finitas de primeira ordem e não homogênea

mostrada na Eq. (4.40).

(4.40) nnn abuu +=+ σ1

Vamos obter primeiro a solução da forma homogênea da Eq. (4.40), mostrada na Eq. (4.41).

(4.41) nn uu σ=+1

Por inspeção, podemos dizer que a solução da Eq. (4.41) é da forma mostrada na Eq. (4.42a).

(4.42a) nn Cu σ1=

Agora, vamos obter a solução particular da Eq. (4.40). Vamos admitir que a solução particular é da forma mostrada na Eq. (4.42b).

u C bnn= 2

(4.42b)

Substituindo a Eq. (4.42) na Eq. (4.40), podemos obter o valor da constante C2, conforme a Eq. (4.43).

nnn abbCbC +=+ σ21

2

ou

σ−=

baC2 (4.43)

Substituindo a Eq. (4.43) na Eq. (4.42b), obtemos a solução particular da Eq. (4.40), conforme mostra a Eq. (4.44).

31

σ−

=babu

n

n (4.44)

Finalmente, a solução total da Eq. (4.40) é a superposição das soluções homogênea e particular mostradas nas Eqs. (4.42a) e (4.44), respectivamente, veja a Eq. (4.45).

nnn b

baCuσ

σ−

= 1 + (4.45)

onde a constante C1 é determinada ao satisfazermos a condição inicial.

b) Solução da equação de diferenças finitas de segunda ordem linear e homogênea mostrada na Eq. (4.46).

(4.46) 00112 =++++ nuanuanu

Aplicando o operador deslocamento à Eq. (4.46), obtemos a Eq. (4.47).

0012 =++ nnn uaEuauE

ou ( ) 001

2 =++ nuaEaEou

(4.47) 0)( =nuEP Agora, vamos assumir que a solução da Eq. (4.46) é do tipo mostrada na Eq. (4.48).

nCnu σ= (4.48)

Substituindo a Eq. (4.48) na Eq. (4.46), obtemos a Eq. (4.49).

001

12 =++++ nCanCanC σσ σ

ou (4.49) 001

2 =++ aa σσ

Comparando a Eq. (4.49) com a Eq. (4.47), vemos que P(σ)=0 é o polinômio característico da Eq. (4.46). Posteriormente, vamos utilizar o operador deslocamento para obter o polinômio característico das equações de diferenças finitas, pois é uma forma prática que facilita bastante a solução de equações mais complexas que a Eq. (4.46). Resolvendo a Eq. (4.49), obtemos os autovalores associados à Eq. (4.46) e a sua solução, conforme mostra a Eq. (4.50).

(4.50) nn

n ccu 2211 σσ +=

onde as constantes c1 e c2 são determinadas ao satisfazermos as condições iniciais.

c) Solução do sistema de equações de diferenças finitas de primeira ordem mostrado na Eq. (4.51).

32

(4.51) Podemos escrever o sistema (4.51) na forma matricial, conforme mostra a Eq. (4.52).

(4.52)

onde

(4.53)

Agora, vamos obter a solução do sistema (4.52) utilizando o operador deslocamento, conforme mostra a Eq. (4.54).

ou

ou

(4.54) Resolvendo o problema de autovalor e autovetor mostrado na Eq. (4.54), obtemos a solução do sistema (4.52), conforme mostra a Eq. (4.55).

(4.55) onde

ou

(4.56)

é o polinômio característico do sistema (4.52). Quando a equação for não homogênea do tipo mostrada na Eq. (4.57), a sua solução será a soma da solução homogênea e particular, conforme mostra a Eq. (4.58).

(4.57)

(4.58)

onde up é a solução particular da Eq. (4.57).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nnn

nnn

ucucuucucu

2221211

2

2121111

1

+=

+=+

+

nuCnu rr=+1

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2221

1211

2

1 ,cccc

Cuu

u n

n

nr

nn uCuE rr=

d) Solução numérica exata da equação diferencial ordinária de primeira ordem com coeficientes constantes mostrada na Eq. (3.59).

( ) 0=− nuEIC r

( ) 0=− xIC rσ

222111 xCxCu nnn

rrr σσ +=

( ) ( ) 0det =−= ICP σσ

( ) ( ) 01221221122112 =−++− cccccc σσ

nnn fuCurrr

+=+1

∑=

+=2

1mpm

nmmn uxcu rrr σ

33

nabu

dtdu

+= λ (4.59)

Aplicando algum método numérico de marcha no tempo à Eq. (4.59), obtemos uma equação de diferenças finitas do tipo mostrada na Eq. (4.60).

(4.60) ( ) ( ) nn abEQuEP =

onde P(E) é o polinômio característico, Q(E) é o polinômio particular. Vamos obter agora a solução particular da Eq. (4.60). Para tanto, vamos admitir uma solução do tipo mostrada na Eq. (4.61).

(4.61) ( ) nnp bu α=

Substituindo a Eq. (4.61) na Eq. (4.60), obtemos a Eq. (4.62).

( ) ( ) nn abEQbEP =αou

( ) ( )bQabbPb nn =αou ainda

( )( )bPbQa=α (4.62)

Substituindo a Eq. (4.62) na Eq. (4.61), obtemos a solução particular mostrada na Eq. (4.63).

( ) ( )( )bPbQabu nn

p = (4.63)

Em geral, o termo forçante não é função do tempo. Para obtermos esta condição, basta substituir b=1 na Eq. (4.63). Assim, obtemos a Eq. (4.64).

( ) ( )( )11

PQau n

p = (4.64)

Finalmente, a solução total da Eq. (4.60) é a soma das soluções homogênea e particular, conforme mostra a Eq. (4.65).

( )

( )bPbQabCu n

n += σ1 (4.65)

onde C1 é determinado ao satisfazermos a condição inicial. Portanto, a Eq. (4.65) é a solução numérica exata da Eq. (4.59).

4.3 – Teorema do Isolamento e a Equação Representativa Nesta seção, vamos obter a equação representativa que será utilizada no nosso estudo de estabilidade dos métodos numéricos de marcha no tempo. No Capítulo 3,

34

aproximamos as derivadas parciais espaciais das equações modelo utilizando diferenças finitas e chegamos a um sistema de equações diferenciais ordinárias do tipo mostrado na Eq. (4.66).

fuAdtud rrr

−= (4.66)

Na presente seção, vamos desacoplar o sistema (4.66) de modo a obtermos um sistema de equações diferenciais ordinárias desacopladas do tipo mostrado na Eq. (4.67).

migwdt

dwiii

i ,,2,1, K=+= λ (4.67)

O nosso estudo dos métodos de marcha no tempo será feito sobre uma equação do tipo mostrada na Eq. (4.67), onde o parâmetro λ contém toda informação sobre a física da equação modelo original e sobre a forma como ela foi espacialmente aproximada. Assim, saberemos quais os métodos de marcha no tempo apropriados para cada equação modelo representativa de um determinado fenômeno físico. Para começar, vamos transformar a Eq. (4.66) numa equação de diferenças finitas utilizando o método de marcha no tempo chamado “leap Frog”, veja a Eq. (4.68).

n

nn dtudhuu ⎟⎠⎞

r

= −+ +rr 211 (4.68)

Eliminando a derivada temporal da Eq. (4.68) utilizando a Eq. (4.67), resulta a

Eq. (4.69).

( )nnnn fuAhuurrrr

−+= −+ 211(4.69)

Aplicando o operador deslocamento à Eq. (4.69), resulta a Eq. (4.70).

nnnn fhuhAuEuErrrr 221 −+= −

ou ( )

nn fuIhEEA

rr=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−−

2

1

(4.70)

Relembrando o que foi visto no item (d) da seção 4.1, onde a matriz X foi definida, pré-multiplicando a Eq. (4.70) por X-1 e lembrando também que I=XX-1, obtemos a Eq. (4.71).

ou

nn fXuX

hEEAXXX

rr 111

11

2−−

−−− =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

nn gwI

hEE rr

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−Λ

−

2

1(4.71)

35

onde

nn

nn

fXg

uXwrr

rr

1

1

−

−

=

=(4.72)

Observe que a matriz entre chaves na Eq. (4.71) é uma matriz diagonal, portanto, o sistema (4.71) é um sistema de equações algébricas desacopladas. Portanto, podemos escrever a Eq. (4.71) na forma indicial, conforme mostra a Eq. (4.73).

ou

( ) ( ) ( )ni

nii gw

hEE

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−

2

1

λ

( ) ( ) ( ) ( )( )ni

nii

ni

ni gwhww −+= −+ λ211 (4.73)

Agora, vamos escrever a Eq. (4.73) na forma de equação diferencial ordinária. Desta forma, obtemos a Eq. (4.74).

iii

i gwdt

dw−= λ (4.74)

Veja que o sistema (4.74) é a versão desacoplada do sistema de equações

diferenciais ordinárias mostrado na Eq. (4.66). Portanto, fica evidente que aplicar um método de marcha no tempo à Eq. (4.66) é equivalente à aplicar o mesmo método individualmente à todas as equações desacopladas do mesmo sistema. Daqui em diante, a nossa análise de métodos de marcha no tempo será realizada sobre uma equação do tipo mostrada na Eq. (4.74) chamada de equação representativa. Vamos considerar somente termos forçantes da forma mostrada na Eq. (4.75).

∑∞

=

=−1

)(k

iktkm eatg (4.75)

A solução da Eq. (4.74) com o termo forçante mostrado na Eq. (4.75) é mostarda

na Eq. (4.76).

∑∞

= −+=

11

k m

ikt

kt

m ikeaeCw m

λλ

(4.76)

Como a Eq. (4.74) é linear e o termo forçante é o somatório de modos normais de oscilação, a solução da Eq. (4.74) é a soma das soluções homogênea e particular, composta do somatório das contribuições dos modos normais do termo forçante. Portanto, podemos restringir a nossa análise somente a uma parcela do termo forçante, pois o resultado final pode ser obtido através de um somatório. Finalmente, a equação representativa que vamos estudar é mostrada na Eq. (4.77).

taewdtdw μλ += (4.77)

36

4.4 – Relação entre λ e σ. Nesta seção, vamos obter a solução numérica exata da equação representativa (4.77) e comparar com a sua solução analítica para verificar o erro introduzido na equação ao resolve-la numericamente utilizando novamente o método de marcha no tempo conhecido como “Leap Frog”. Vamos primeiro obter a solução analítica da Eq. (4.77) sem o termo forçante, conforme mostra a Eq. (4.78).

udtdu λ= (4.78)

A solução da Eq. (4.78) é mostrada na Eq. (4.79).

(4.79) teCtu λ1)( =

Façamos agora uma expansão em série de Taylor da Eq. (4.79), conforme mostra

a Eq. (4.80).

nhn hhhCeCtu ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++== L3322

11 61

211)( λλλλ

(4.80)

Observe que a Eq. (4.80) é a solução analítica da Eq. (4.78). Vamos obter a solução numérica exata da Eq. (4.78) usando o método de marcha no tempo “Leap Frog” e compara-la com a Eq. (4.80). O método de marcha no tempo “Leap Frog” é mostrado na Eq. (4.81).

nnn dt

duhuu ⎟⎠⎞+= −+ 211 (4.81)

Substituindo a Eq. (4.78) na Eq. (4.81), eliminamos a derivada temporal da Eq.

(4.81) e obtemos a Eq. (4.82).

(4.82) nnn uhuu λ211 += −+

Vamos obter a solução exata da equação de diferenças finitas (4.82) utilizando o

operador deslocamento, conforme mostra a Eq. (4.83).

nnn uhuEEu λ21 += −

( ) 0122 =−− nuEhE λou

(4.83) 0)( =nuEP

Portanto, o polinômio característico da Eq. (4.82) é P(σ)=0, conforme mostra a Eq. (4.84).

(4.84) 0122 =−− σλσ h

A solução da equação de segundo grau, Eq. (4.84), é mostrada na Eq. (4.85).

37

222

221

1

1

hh

hh

λλσ

λλσ

+−=

++=(4.85)

Portanto, a solução da Eq. (4.82) é mostrada na Eq. (4.86).

n nn CCu 2211 σσ +=

ou ( ) ( )nn

n hhChhCu 222

221 11 λλλλ +−+++= (4.86)

Façamos uma expansão binomial da Eq. (4.86), conforme mostra a Eq. (4.87).

nn

n hhhChhhCu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++= LL 4422

24422

1 81

211

81

211 λλλλλλ (4.87)

Comparando a Eq. (4.87) com a Eq. (4.80), vemos que σ1 é a raiz que mais

aproxima a solução numérica exata (4.87) à solução analítica (4.80). Por este motivo, σ1 é chamada de raiz principal e σ2 é chamada de raiz espúria, pois ela não tem nenhum significado físico e sua origem está relacionada ao erro introduzido ao aproximarmos a Eq. (4.78) pela Eq. (4.82) utilizando o método numérico de marcha no tempo chamado “Leap Frog”. Este método é dito de segunda ordem, pois a raiz principal tenta aproximar a solução analítica até o termo de segunda ordem, conforme mostra a Eq. (4.87). De um modo geral, o método será de ordem l quando a raiz principal reproduzir a solução analítica até o termo de ordem l, conforme mostra a Eq. (4.88).

KK +++++= llh

lhh λλλσ

!1

211 22

1 (4.88)

4.5 – Inicializando Métodos com Raízes Espúrias. Comparando as Eqs. (4.80) e (4.87), vemos que a solução numérica exata da equação representativa possui uma constante de integração a mais do que a sua solução analítica. Esta constante adicional está relacionada à raiz espúria associada ao método de marcha no tempo escolhido para resolver a equação representativa. Nesta seção, vamos apresentar uma forma de inicializar métodos com raízes espúrias utilizando o método de Euler explícito para inicializar a marcha no tempo, e assim, determinarmos o valor da constante adicional. Veja o método de Euler explícito na Eq. (4.89).

n

nn dtduhuu ⎟

⎠⎞=+1 + (4.89)

Substituindo a Eq. (4.78) na Eq. (4.89) para eliminar a derivada temporal, obtemos a Eq. (4.90).

38

nnn huuu λ+=+1

ou ( ) nn uhu λ+=+ 11 (4.90)

Avaliando a Eq. (4.90) para n=0, obtemos a Eq. (4.91).

( ) 01 1 uhu λ+= (4.91)

Se u0 é conhecido, podemos determinar u1 e assim, obtermos uma condição inicial a mais para determinar a constante de integração adicional da solução numérica exata, conforme mostra a Eq. (4.92).

( ) 0

0

1)()0(

uhhuuu

λ+==

(4.92)

Avaliando a Eq. (4.86) para os valores mostrados na Eq. (4.92), obtemos as Eqs. (4.93).

( ) 02211

021

1 uhCCuCC

λσσ +=+=+

(4.93)

Resolvendo as Eqs. (4.93), obtemos os valores das constantes de integração C1 e C2, conforme mostra a Eq. (4.94).

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

++−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

++=

22

22

02

22

22

01

1211

1211

hhuC

hhuC

λλ

λλ

(4.94) Fazendo uma expansão binomial das Eqs. (4.94), obtemos as Eqs. (4.95).

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

L

L

2202

2201

41

411

huC

huC

λ

λ (4.95)

Substituindo as Eqs. (4.95) na Eq. (4.86), obtemos a solução numérica exata da equação representativa, conforme mostra a Eq. (4.96).

nnn huhuu 2

2201

220 4

1411 σλσλ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= KK (4.96)

Salientamos que, ao utilizarmos o método de Euler explícito para inicializar a

marcha no tempo da equação de diferenças finitas, reduzimos a precisão do método de segunda para primeira ordem, pois, apesar do método “Leap Frog” ser de segunda ordem, o método de Euler explicito é um método de primeira ordem. Um outro aspecto que queremos ressaltar é que a primeira parcela da Eq. (4.96) é a única que possui

39

significado físico, pois tenta reproduzir a solução analítica da equação representativa. Entretanto, a primeira parcela não consegue reproduzir a condição inicial, pois a contribuição da raiz espúria para a solução não permite. Portanto, a contribuição da raiz espúria para a solução numérica exata somente atrapalha e é completamete indesejável. Na próxima seção, vamos apresentar um método numérico de marcha no tempo que não possui raízes espúrias e, portanto é melhor que o “Leap Frog”.

4.6 – Exemplo de Método de uma Raiz Na seção anterior, vimos que o método de marcha no tempo “Leap Frog” possui uma raiz espúria que torna o método ineficiente para reproduzir a física associada à equação representativa. Na presente seção, vamos apresentar um método de marcha no tempo que não possui raízes espúrias e, portanto é melhor que o método “Leap Frog”. O método que vamos apresentar é conhecido como método de Runge-Kutta de segunda ordem, e é uma combinação dos dois métodos apresentados na seção anterior, Euler Explícito e “Leap Frog”, conforme mostra a Eq. (4.97), respectivamente.

2/11

2/1

~21~

++

+

⎟⎠⎞+=

⎟⎠⎞+=

nnn

nnn

dtudhuu

dtduhuu

(4.97)

Substituindo a equação representativa (4.78) nas Eqs. (4.97) para eliminar a derivada temporal, obtemos as Eqs. (4.98).

2/11

2/1

~21~

++

+

+=

+=

nnn

nnn

uhuu

huuu

λ

λ (4.98)

Aplicando o operador deslocamento às Eqs. (4.98), obtemos as Eqs. (4.99).

ou

nnn

nnn

uhEuEu

huuuE

~21~

2/1

2/1

λ

λ

+=

+=

( )0

~

1211

2/1

2/1

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

n

n

uu

EhE

hE

λ

λ(4.99)

Portanto, o polinômio característico do sistema de equações de diferenças finitas (4.98) é dado por:

40

)1(

)211()(

2/1

2/1

−−

+−=σσλ

λσσh

hP ou

)211()( 222/1 hhP λλσσσ −−−= (4.100)

Resolvendo a equação P(σ)=0, obtemos uma única raiz do polinômio

característico, conforme mostra a Eq. (4.101).

22

211 hh λλσ ++= (4.101)

Portanto, a solução numérica exata da equação representativa é dada por:

n

n Cu σ1=ou

n

n hhCu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 22

1 211 λλ (4.102)

Comparando as Eqs. (4.102) e (4.80), vemos que a solução numérica exata

(4.102) tenta reproduzir a solução analítica da equação representativa até o termo de segunda ordem, portanto, o método de Runge-Kutta de segunda ordem é, como o seu nome diz, de segunda ordem. O método de Runge-Kutta não possui raízes espúrias, o que o torna um excelente método de marcha no tempo. 4.7 – Tipos de Métodos de Marcha no Tempo Os métodos de marcha no tempo podem ser divididos nas três seguintes categorias: métodos “multistep” lineares, métodos “predictor-corrector” e métodos de Runge-Kutta. Nesta seção, vamos apresentar as características dos métodos pertencentes a cada categoria. a) Métodos “multistep” lineares.

Os Métodos “multistep” lineares possuem a forma geral mostrada na Eq. (4.103).

k

(4.103) kn

Substituindo a equação representativa (4.77) na Eq. (4.103), para eliminar a derivada temporal, obtemos a Eq. (4.104).

kk

k

kknk dt

duhu+==

+ ∑∑ ⎟⎠⎞=

maxmax

00βα

α ( )∑∑=

++

=+ +=

maxmax

0

)(

0

k

k

hknknk

k

kknk aeuhu μλβ

ou

∑ ∑ ∑= = =

+++ +=

max max max

0 0 0

)(k

k

k

k

k

k

hnkkknkknk ehauhu μββλα (4.104)

41

Aplicando o operador deslocamento à Eq. (4.104), obtemos a Eq. (4.105).

E∑ ∑ ∑= = =

+=max max max

0 0 0

k

k

k

k

k

k

nhkkn

kkn

kk eEhau

ou u (4.105)

huE μββλα

=0EhE μβλβα( )∑ ∑

=

=−max max

0

k

k

k

k

nhkkn

kk

kk eEha

Comparando a Eq. (4.105) com a Eq. (4.60), vemos que:

( )

∑

∑

=

=

=

−=

max

max

0

0

)(

)(

k

k

kk

k

k

kkk

EhaEQ

EhEP

β

λβα (4.106)

De acordo com o que foi visto no item (d) da seção 4.2, a solução da Eq. (4.104) é dada por:

∑=

+=max

1 )()(k

kh

hnhn

kkn ePeQaeCu μ

μμσ (4.107)

onde (4.108) max,,2,1,0)( kkP k K==σ

Retornando a forma compacta dos métodos “multistep” lineares mostrada na Eq.

(4.103), vemos que se βkmax é diferente de zero, o método é implícito, enquanto que se βkmax for igual à zero, o método é explícito. b) Métodos “predictor-corrector”. Os métodos “predictor-corrector” são uma seqüência de métodos “multistep” lineares. Sua forma geral é mostrada na Eq. (4.109).

∑

∑−

= ++

++

−

= +++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞+−+⎟

⎠⎞=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞+−=

1

0

1

0

~~

~~~

km

k knkknk

kmnkmkmn

km

k knkknkkmn

dtudhu

dtudhu

dtduhuu

βαβ

βα (4.109)

A primeira das Eqs. (4.109) é chamada de intermediária e a segunda de principal. Substituindo a equação representativa na Eq. (4.109), para eliminar a derivada temporal, obtemos as Eqs. (4.110).

(4.110) [ ]

[ ]∑

∑−

=++++

−

=+++

+−+=

+−=

1

0

1

0

~~

~~~

km

kknkknkkmnkmkmn

km

kknkknkkmn

uhuuhu

uhuu

λβαλβ

λβα

Aplicando o operador deslocamento às Eqs. (4.110), obtemos a Eq. (4.111).

42

[ ]

[ ] [∑∑

∑−

=

−

=

−

=

+−+=

+−=

1

0

1

0

1

0

~~

~~~

km

kn

kkn

km

k

kkn

kmkmn

km

n

km

k

kk

kkn

km

uEhuEuEhuE

uEhEuE

βλαλβ

λβα

] ou

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−

∑∑

∑−

=

−

=

−

=

00~

~~

1

0

1

0

1

0

n

nkm

k

kk

kmkm

k

kk

kmkm

km

k

kkk

km

uu

EEEEh

EhE

αββλ

βλα (4.111)

Portanto, o polinômio característico do sistema de equações de diferenças finitas (4.110) é dado por:

( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=

∑∑

∑−

=

−

=

−

=1

0

1

0

1

0

~~

)( km

k

kk

kmkm

k

kk

kmkm

km

k

kkk

km

h

hP

σασσβσβλ

σβλασσ

(4.112)

Resolvendo a equação P(σ)=0, obtemos as raízes do polinômio característico. Portanto, a solução numérica exata da equação representativa é mostrada na Eq. (4.113).

∑=

=km

j

njjn Cu

2

1

σ (4.113)

d) Métodos de Runge-Kutta.

Os métodos de Runge-Kutta são métodos de uma única raiz que reproduz a solução analítica até a ordem do método. Por exemplo, a raiz do método de Runge-Kutta de quarta ordem é mostrada na Eq. (4.114).

443322

241

61

211 hhhh λλλλσ +++= + (4.114)

4.8 – Exemplos de Métodos de Marcha no Tempo Nesta seção, vamos apresentar os métodos de marcha no tempo mais utilizados na solução de equações diferenciais. As possibilidades são infinitas, pois existe um número infinito de métodos de marcha no tempo. Porém, na hora de escolher o método indicado para resolver o nosso problema, devemos considerar o balanço entre custo e benefício. Quanto mais preciso o método, maior será o tempo necessário para se obter a solução do problema e maior será a quantidade de memória necessária para armazenar as informações. Os métodos de marcha no tempo que vamos apresentar são um compromisso entre custo e benefício considerando-se os recursos computacionais atuais.

43

a) Método “Multistep” linear consistente de dois passos.

( ) ( )[ ] ( )[ ]1111 1211 −+−+ ′−′+−+′+−+=+ nnnnnn uuuhuuu φφθθξξξ (4.115)

O método é de segunda ordem quando:

(4.116) 21+−= θξφ

O método é de terceira ordem quando:

652

21−=+−=

θξφ ξ θ

(4.117)

O método é de quarta ordem quando:

(4.118) 613 =−=−= ξφθ

b) Métodos explícitos simples. Euler explícito:

(4.119) nnn uhuu ′+=+1

Leap Frog:

(4.120) nnn uhuu ′+= −+ 211

Adams – Bashforth (AB2):

( )11 321

−+ ′−′+= nnnn uuuu h (4.121)

c) Métodos implícitos simples. Euler implícito:

(4.122) 11 +′+=+ nuhnunu

Trapezoidal (Crank – Nicholson): ( )nnnn uuhuu ′+′+= ++ 11 2

1(4.123)

Backward differentiation: ( )111 24

31

+−+ ′+−= nnnn uhuuu (4.124)

d) Seqüências predictor – corrector: MacCormack:

44

( )111

1

~~21

~

+++

+

′++=

′+=

nnnn

nnn

uhuuu

uhuu(4.125)

Adams – Moulton:

(4.126)

e) Métodos de Runge – Kutta.

( )

( )111

11

8~5121

321~

−++

−+

′−′+′+=

′−′+=

nnnnn

nnnn

uuuhuu

uuhuu

RK2:

211

21

~21~

++

+

′+=

′+=

nnn

nnn

uhuu

uhuu (4.127) RK4:

(4.128)

( )[ ]nnnnnn

nnn

nnn

nnn

uuuuhuu

uhuu

uhuu

uhuu

′+′+′+′+=

′+=

′+=

′+=

++++

++

++

+

212111

211

2121

21

~2ˆ61

ˆ

~2121~

4.9 – Método de Lax-Wendroff. O método de Lax-Wendroff não pertence a nenhuma das categorias discutidas na seção 4.7, onde somente aparecem derivadas temporais de primeira ordem em suas expressões. No presente método, trabalhamos com derivadas temporais de ordem superior, pois o método é baseado na expansão em série de Taylor da função u(t) que queremos determinar. Podemos trabalhar com qualquer ordem de precisão que desejarmos desde que consigamos determinar as derivadas temporais de ordem superior que aparecem na expansão em série de Taylor, veja a Eq. (4.129).

)(

!1

21

2

22

1l

nl

ll

nnnn hhO

tuh

ltuh

tuhuu +⎟⎟

⎠

⎞++⎟⎟

⎠

⎞+⎟

⎠⎞+=+ ∂

∂∂∂

∂∂

K (4.129)

Como exemplo, vamos resolver o problema da convecção definido pela equação modelo de convecção, Eq. (4.130), utilizando o método de Lax-Wendroff de segunda ordem.

0=+xuc

tu∂ ∂∂ ∂

ou

xuc

tu

∂∂

∂∂

−= (4.130)

45

Derivando a Eq. (4.130) em relação ao tempo e invertendo a ordem da derivada espacial com a derivada temporal, obtemos a seguinte equação:

xtuc

tu

∂∂∂

∂∂ 2

2

2

−=ou

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tu

xc

tu

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

(4.131)

Substituindo a Eq. (4.130) na Eq. (4.131), para eliminar a derivada temporal dentro dos parênteses do lado direito da Eq. (4.131), obtemos uma expressão para a segunda derivada temporal em termos da segunda derivada espacial, conforme mostra a Eq. (4.132).

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

xuc

xc

tu

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

ou

2

22

2

2

xuc

tu

∂∂

∂∂

= (4.132)

Substituindo as Eqs. (4.130) e (4.132) na expressão do método de Lax-Wendroff de segunda ordem mostrada na Eq. (4.133), obtemos a Eq. (4.134).

)(

21 2

2

22

1 hhOtuh

tuhuu

nnnn +⎟⎟

⎠

⎞+⎟

⎠⎞+=+ ∂

∂∂∂

(4.133)

)(

21 2

2

222

1 hhOxuch

xuhcuu

nnnn +⎟⎟

⎠

⎞+⎟

⎠⎞−=+ ∂

∂∂∂

(4.134)

Dando continuidade ao desenvolvimento do método de Lax-Wendroff, podemos aproximar as derivadas espaciais da Eq. (4.134) utilizando diferenças finitas centradas de segunda ordem, conforme mostra a Eq. (4.135).

)(2

)(2

22

112

2

211

xOx

uuuuxu

xOxuuu

xu

iiixx

iix

Δ+Δ

+−=≅

Δ+Δ−

=≅

−+

−+

δ∂∂

δ∂∂

(4.135)

Substituindo as aproximações de diferenças centradas mostradas na Eq. (4.135) na Eq. (4.134), obtemos a expressão final do método de Lax-Wendroff aplicado à equação modelo de convecção, veja a Eq. (4.136).

(4.136) ( ) ( ) )2()2(121

2

2

1112

11 xOhhOniun

iuniu

x

hcniun

iux

hcniun

iu Δ++−+−+Δ+−−+Δ

−=+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

A Eq. (4.136) é a expressão de um método de segunda ordem no tempo e no

espaço. O coeficiente entre parênteses da Eq. (4.136) é conhecido como número de Courant-Friedrichs-Lewy ou simplesmente como número de CFL. O CFL está inteiramente relacionado com a estabilidade do método e será discutido com mais detalhe na seção 4.11, onde falaremos sobre a estabilidade de métodos numéricos de

46

marcha no tempo. Vamos mostrar que o método de Lax-Wendroff é equivalente ao método “predictor-corrector” de MacCormack. Para tanto, devemos nos lembrar que

2ixix

ix

ixxixx

uuu

uu∇+Δ

=

Δ∇=

δ

δ(4.137)

onde

xuuu

xuuu

xuuuu

xuuu

iiix

iiix

iiiixx

iiix

Δ−

=∇

Δ−

=Δ

Δ+−

=

Δ−

=

−

+

−+

−+

1

1

211

11

22

δ

δ

(4.138)

A expressão para o método de Lax-Wendroff de segunda ordem, Eq. (4.136), escrita utilizando-se os operadores δx e δxx toma a seguinte forma:

( ) nixx

nix

ni

ni uchuhcuu δδ 221

212

21

+−=+

ou

( ) nixxx

ni uchhcu ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=+ δδ 221

212

211

ou ainda

( )[ ]{ } nixxx

ni uchhcu δδ 221 211

21

+−+=+(4.139)

Substituindo as Eqs. (4.137) na Eq. (4.139), resulta a Eq. (4.140).

ou

( )[ ] nixxxx

ni uchhchcu Δ∇+∇−Δ−+=+ 221 11

21

(4.140) ( )([ ] nixx

ni uhchcu Δ−∇−+=+ 111

211 )

Agora, podemos fazer o seguinte:

( )

( )[ ]11

1

~1211~

++

+

∇−+=

Δ−=

nix

ni

ni

nix

ni

uhcuu

uhcu(4.141)

Se substituirmos a primeira equação na segunda das Eqs. (4.141), obtemos novamente a Eq. (4.140). Substituindo as duas últimas das Eqs. (4.138) nas Eqs. (4.141), obtemos o seguinte:

47

( )

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

Δ−+=

−Δ

−=

+−

+++

++

11

111

11

~~~21

~

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

uux

hcuuu

uux

hcuu (4.142)

Partimos do método de Lax-Wendroff de segunda ordem, Eq. (4.136), e chegamos ao método predictor-corrector de MacCormack, conforme mostra a Eq. (4.142), mostrando assim a equivalência entre os dois métodos. 4.10– Precisão de Métodos de Marcha no Tempo Nesta seção, vamos apresentar a definição de erro dos métodos de marcha no tempo. Vamos utilizar a definição de erro para determinar a precisão dos métodos. Como exemplo, vamos estudar a precisão dos métodos “multistep” lineares e o método “predictor-corrector” de MacCormack aplicados à equação representativa, Eq. (4.77).

(4.77) taeuu μλ +=′

a) Erro da solução transiente.

(4.143) 1σλ

λ −= heer

b) Erro para o caso de movimento harmônico.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

−

r

ifase

amp

tgher

er

σσω

σ

1

11(4.144)

onde

(4.145) ir i

iσσσ

ωλ+=

=

1

c) Erro da solução particular.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= 1

exata

num

SPSPher λμμ (4.146)

onde

)()(

h

hnh

num

t

exata

ePeQaeSP

aeSP

μ

μμ

μ

λμ

=

−=

(4.147)

O método é dito ser de ordem k quando

{ }21,kkmenork = (4.148)

48

onde

(4.149)

)(

)(2

1

k

k

hOerhOer

=

=

μ

λ

Como exemplo, vamos verificar a ordem de precisão do método “multistep” linear consistente mostrado na Eq. (4.150).

( )[ ] ( )[ ]1111 121)1( −+−+ ′−′+−+′+−+=+ nnnnnn uuuhuuu φφθθξξξ (4.150)

Vamos nos restringir ao caso explícito de terceira ordem. Para tanto, de acordo

com as Eqs. (4.117), temos que:

3165

0

−=

−=

=

φ

ξ

θ

(4.151)

Substituindo as Eqs. (4.151) na Eq. (4.150), obtemos a expressão do método

“multistep” linear explícito de terceira ordem, conforme mostra a Eq. (4.152).

(4.152)

( )111 2254 −−+ ′+′++−= nnnnn uuhuuu

Queremos verificar se realmente o método acima é de terceira ordem. Para tanto, vamos utilizar o método de marcha no tempo mostrado na Eq. (4.152) para resolver a nossa equação representativa, Eq. (4.77), mostrada abaixo.

(4.77) taeuu μλ +=′

Substituindo a Eq. (4.77) na Eq. (4.152), resulta a equação abaixo.

( )[ ]1111 22254 −

−−+ +++++−=nh

nnh

nnnn eauaeuhuuu μμ λλ (4.153)

onde (4.154) nht =

O próximo passo é obter a raiz principal da Eq. (4.153). Para tanto, vamos

aplicar o operador deslocamento à Eq. (4.153). Veja a Eq. (4.155).

(4.155) ( )nhn

nhnnnn ehaEuhEhaehuuEuEu μμ λλ 111 224454 −−− +++++−=

ou

(4.156) nhn aeEQuEP μ)()( =

onde

49

( ) (

)(361 344 hhOher == Lμμ +

(4.157)

)( )122)(

2514)( 2

+=+−−=

EhEQhEhEEP λλ −

Resolvendo o polinômio característico da equação de diferenças finitas (4.153), P(σ)=0, obtemos as seguintes raízes:

(4.158) ( ) ( )hhh λλλσ 239213122,1 −−±+=

Fazendo uma expansão binomial da raiz σ1, obtemos a seguinte expressão para a raiz principal.

L+++++= 4433221 72

161

211 hhhh λλλλσ (4.159)

Portanto, de acordo com a definição apresentada na Eq. (4.143), o erro da solução transiente é dado por:

(4.160)

)(361 344 hhOher =+= Lλλ

Agora, vamos obter o erro da solução particular da equação de diferenças finitas (4.153). De acordo com a Eq. (2.147) e as Eqs. (2.157), a solução particular numérica da Eq. (4.153) é dada por:

( (4.161)

)( ) ( )

Substituindo a Eq. (4.161) na definição do erro da solução particular, Eq. (4.146), obtemos a Eq. (4.162).

heheehaeSP hh

hnh

num λλ μμ

μμ

2514122

2 +−−−+

=

( ) (4.162)

Fazendo uma expansão binomial da Eq. (4.162), obtemos a expressão para o erro da solução particular, conforme mostra a Eq. (4.163). Observe que, no caso em que μ=0 (estado estacionário), o erro obtido para a solução particular é nulo.

(4.163)

Finalmente, comparando o erro da solução transiente e o erro da solução particular da equação de diferenças finitas, Eq. (4.153), mostrados nas Eqs. (4.160) e (4.163), respectivamente, podemos concluir que o método “multistep” linear dado pela Eq. (4.152) é realmente de terceira ordem de precisão. Agora, vamos obter o erro do método de MacCormack para determinar a sua ordem de precisão. Como vimos na seção 4.8, o método de MacCormack pertence à classe de métodos “predictor-corrector” e é dado pela Eq. (4.164).

( )( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−−−+

−= 12514

122 hehe

eher hh

h

λλλλμ μμ

μ

μ−μ2h

50

[ ]111

1

~~21

~

+++

+

′++=

′+=

nnnn

nnn

uhuuu

uhuu(4.164)

Substituindo a equação representativa, Eq. (4.77), nas Eqs. (4.164), obtemos as Eqs. (4.165).

(4.77) taeuu μλ +=′

(4.165)

[ ])1(111

1

~~21

~

++++

+

+++=

++=

nhnnnn

nhnnn

haeuhuuu

haehuuu

μ

μ

λ

λ

Agora, queremos obter as raízes do polinômio característico do sistema de

equações de diferenças finitas, Eq. (4.165). Para isto, vamos aplicar o operador deslocamento às Eqs. (4.165). O resultado pode ser visto nas Eqs. (4.166).

(4.166)

[ ]nhnnnn

nhnnn

haEeuhEuEuEu

haehuuuE

μ

μ

λ

λ

+++=

++=

~~21

~

Reescrevendo as Eqs. (4.166) na forma matricial, obtemos o seguinte:

nh

n

n aehEh

uu

EEh

hEμ

λ

λ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

+−

21

~

)21()1(

21

)1((4.167)

onde

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

+−= )

21()1(

21

)1(det)( EEh

hEEP λ

λ ou

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−= 22

211)( hhEEEP λλ (4.168)

Resolvendo a equação P(σ)=0, obtemos as raízes do polinômio característico.

As raízes são mostradas abaixo, Eq. (4.169).

0211

2

221

=

++=

σ

λλσ hh (4.169)

Portanto, de acordo com a Eq. (4.143), o erro da solução transiente é dado por

λλ −= heer 1σou

)(61 233 hhOher =+= Lλλ (4.170)

51

Agora, vamos obter o erro da solução particular. Para obter o operador Q(E),

substituímos a segunda coluna da matriz da Eq. (4.167) pelo vetor coluna do lado direito da mesma equação. Finalmente, calculamos o determinante da matriz resultante, conforme mostra a Eq. (4.171).

ou

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= hEEh

hEEQ

21)1(

21det)( λ

)1(21)( hEhEEQ λ++= (4.171)

Portanto, conforme a Eq. (4.147) e as Eqs. (4.168) e (4.171), a solução particular

da Eq. (4.167) é mostrada na Eq. (4.172).

)()(

h

hnh

num ePeQaeSP μ

μμ=

ou

)211(2

)1(22hhe

heaheSPh

hnh

num

λλ

λμ

μμ

−−−

++= (4.172)

Finalmente, de acordo com a Eq. (4.146), o erro da solução particular da Eq. (4.167) é dado por

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−++−= 1

)211(

))(1()(22hhe

heahherh

h

λλ

λμλλμμ

μ

μ

(4.173)

Fazendo uma expansão binomial da Eq. (4.173), obtemos a seguinte expressão para o erro da solução particular:

)()(121 233 hhOher =+−= Lμλμμ (4.174)

Finalmente, comparando o erro da solução transiente e o erro da solução

particular da equação de diferenças finitas, Eq. (4.167), mostrados nas Eqs. (4.170) e (4.174), respectivamente, podemos concluir que o método de MacCormack é de segunda ordem de precisão.

52

4.11 – Estabilidade de Métodos de Marcha no Tempo

Na presente seção, vamos apresentar o conceito de estabilidade inerente e numérica. Vamos estudar a estabilidade numérica de vários métodos de marcha no tempo aplicados às equações modelo de convecção (hiperbólica) e difusão (parabólica). Com isto, vamos adquirir um sentimento de quais os métodos são aplicáveis a um determinado fenômeno físico ou outro, convecção ou difusão. O sentimento adquirido na presente seção poderá ser aplicado diretamente quando resolvermos as equações mais complexas da mecânica dos fluidos, equações de Euler (hiperbólica) e Navier-Stokes (parabólica). Estabilidade inerente – Dizemos que um sistema de equações diferenciais ordinárias é inerentemente estável quando a sua solução homogênea é limitada quando o tempo tende a infinito. A condição necessária para que um sistema de equações diferenciais ordinárias seja estável é que a parte real de todos os seus autovalores seja não positiva, ou seja:

( ) Mme m ,,3,2,1,0 K=≤ℜ λ (4.175)

Equação modelo de convecção – Quando aproximamos a derivada espacial da equação modelo de convecção, Eq. (4.176), por uma diferença centrada e avaliamos a equação resultante em todos os pontos interiores da malha computacional, obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias mostrado na Eq. (4.177). Para obter a Eq. (4.177), utilizou-se condição de contorno de Dirichlet.

0=+xuc

tu

∂∂ ∂

(4.176) ∂

cbuA

dtud rrr

+= (4.177) onde

( )1,0,12

−Δ

−= Bx

cA (4.178)

Os autovalores da matriz A são mostrados na Eq. (4.179).

1,,2,1,0,2sen −=⎟

⎞⎠

⎜⎝⎛

Δ−= Mm

Mm

xcim K

πλ (4.179)

Observe na Eq. (4.179) que a parte real dos autovalores da matriz A é nula. Isto significa, obviamente, que o sistema mostrado na Eq. (4.177) satisfaz a condição necessária de estabilidade inerente dada pela Eq. (4.175). A Fig. 4.1 mostra o lugar geométrico dos autovalores da matriz A definida na Eq. (4.178).

53

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00Real( )

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00 Imag( )

Figura 4.1 – Lugar Geométrico dos Autovalores.

Equação modelo de difusão - Quando aproximamos a derivada espacial da equação modelo de difusão, Eq. (4.180), por uma diferença centrada e avaliamos a equação resultante em todos os pontos interiores da malha computacional, obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias mostrado na Eq. (4.181). A Eq. (4.181) foi obtida utilizando-se condição de contorno de Dirichlet.

2

2

xu

tu

∂∂υ

∂∂

= (4.180)

cbuA

dtud rrr

+= (4.181) onde

( )1,2,12 −Δ

= Bx

A υ(4.182)

Os autovalores da matriz A são dados pela seguinte expressão:

Mm

Mm

xm ,,2,1,)1(2

sen4 22 L=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−=πυλ (4.183)

Observe na Eq. (4.183) que a parte real dos autovalores da matriz A é negativa.

Isto significa, obviamente, que o sistema mostrado na Eq. (4.181) satisfaz a condição necessária de estabilidade inerente dada pela Eq. (4.175). A Fig. 4.2 mostra o lugar geométrico dos autovalores da matriz A definida na Eq. (4.182).

54

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00Real( )

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00 Imag( )

Figura 4.2 – Lugar Geométrico dos Autovalores.

Vamos discutir agora a estabilidade numérica de métodos de marcha no tempo. A condição necessária para que um método de marcha no tempo seja estável é que o valor absoluto de todas as raízes do polinômio característico associado à equação de diferenças finitas seja menor ou igual à unidade, ou seja:

kk ∀≤ ,1σ

(4.183)

A Fig. 4.3 mostra a região no plano complexo σ onde a condição de estabilidade dada pela Eq. (4.183) é satisfeita.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Figura 4.3 – Região de Estabilidade no Plano Complexo.

Agora, vamos estudar o comportamento da raiz principal do polinômio característico associado à equação de diferenças finitas obtida quando utilizamos um método de marcha no tempo para resolver a equação representativa. Sabemos que a raiz

55

principal tenta reproduzir a solução analítica da equação representativa, conforme mostra a Eq. (4.184).

(4.184) heλσ ≈1

Vamos supor que a raiz principal consiga reproduzir exatamente a solução

analítica da equação representativa. Qual seria o lugar geométrico da raiz principal no plano complexo à medida que variamos o passo de tempo h? Portanto, para verificar graficamente o lugar geométrico da raiz principal, vamos assumir temporariamente que:

(4.185) heλσ =1

Para λ real e não positivo, a Fig. 4.4 mostra o lugar geométrico da raiz principal

no plano complexo σ.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Figura 4.4 – Lugar Geométrico da Raiz Principal para λ Real.

Para λ complexo com a parte real não positiva, a Fig. 4.5 mostra o lugar

geométrico da raiz principal no plano complexo σ.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Figura 4.5 – Lugar Geométrico da Raiz Principal para λ Complexo.

56

Para λ imaginário puro, a Fig. 4.6 mostra o lugar geométrico da raiz principal no

plano complexo σ.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Figure 4.6 – Lugar Geométrico da Raiz Principal para λ Imaginário Puro.

Entretanto, a raiz principal não tem um comportamento tão regular como mostrado nas Figs. 4.4, 4.5 e 4.6, pois ela não reproduz exatamente a solução analítica da equação representativa. Infelizmente, o lugar geométrico da raiz principal em geral sai da região de estabilidade fazendo com que o método de marcha no tempo utilizado se torne instável. Como exemplo, vamos estudar o lugar geométrico da raiz principal de alguns métodos de marcha no tempo.

Para λ real e não positivo, a Fig. 4.7 mostra o lugar geométrico da raiz principal do método explícito de Euler no plano complexo σ , Eq. (4.186).

(4.186) hλσ += 11

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Principal

h

Figura 4.7 – Lugar Geométrico da Raiz Principal para λ Real.

57

Para λ complexo com parte real não positiva, a Fig. 4.8 mostra o lugar

geométrico da raiz principal do método de Runge-Kutta de segunda ordem no plano complexo σ, Eq. (4.187).

221 2

11 hh λλσ ++= (4.187)

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Figura 4.8 – Lugar Geométrico da Raiz Principal para λ Complexo.

Para λ imaginário puro, a Fig. 4.9 mostra o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal, Eq. (4.188), do método de marcha no tempo de Runge-Kutta de quarta ordem.

4433221 24

161

211 hhhh λλλλσ +++= + (4.188)

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Figura 4.9 – Lugar Geométrico da Raiz Principal para λ Imaginário Puro.

58

Ressaltamos que os lugares geométricos no plano complexo σ vistos nas Figs. 4.7. 4.8 e 4.9 são válidos somente para a raiz principal dos métodos de marcha no tempo. As raízes espúrias possuem um comportamento totalmente imprevisível. Observando o lugar geométrico da raiz principal, fica claro que a condição necessária para estabilidade, Eq. (4.183), é satisfeita apenas para alguns valores de λh. Por exemplo, para o método explícito de Euler, os valores de λh para a estabilidade estão localizados dentro da circunferência de centro (-1,0) e raio unitário, conforme pode ser deduzido ao substituirmos a Eq. (4.186) na condição de estabilidade dada na Eq. (4.183). O resultado pode ser visto na Eq. (4.189) e visualizado no plano complexo λh mostrado na Fig. 4.10.

(4.189) 11 ≤+ hλ

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.10 – Região de Estabilidade do Método de Euler Explícito.

Portanto, o método explícito de Euler é estável somente para os valores de λh dentro da circunferência achurada da Fig. 4.10. Dentro deste contexto, é oportuno introduzirmos agora o conceito de estabilidade incondicional. Dizemos que um método de marcha no tempo é incondicionalmente estável quando as seguintes condições são satisfeitas:

( ) ( )⎩

⎨⎧

≤ℜ∀=

≤0,

,3,2,1,1

λλλσ

hk

hk

K(4.190)

Qualquer método explícito é condicionalmente estável, conforme pudemos

verificar nas Fig. 4.7, 4.8 e 4.9. Os métodos explícitos nunca satisfazem as condições acima. Por outro lado, os métodos implícitos são incondicionalmente estáveis, como podemos verificar na Fig. 4.11, onde mostramos a região de estabilidade do método implícito de Euler, cuja raiz principal é mostrada na Eq. (4.191).

hλ

σ−

=1

11 (4.191)

59

Substituindo a Eq. (4.191) na condição de estabilidade, Eq. (4.183), obtemos a

Eq. (4.192) que define a região de estabilidade do método implícito de Euler, mostrada na Fig. 4.11.

(4.192) 11 ≥− hλ

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.11 – Região de Estabilidade do método de Euler Implícito.

Observando a Fig. 4.11, podemos concluir que o método implícito de Euler satisfaz a condição de estabilidade incondicional dada pela Eq. (4.190). Veja que para ℜ(λ)≤0 (estabilidade inerente), o método implícito de Euler é sempre estável.

Por outro lado, existem métodos de marcha no tempo que nunca satisfazem a condição de estabilidade incondicional dada pela Eq. (4.190). Um exemplo deste tipo de método é o método “multistep” linear de dois passos consistente explícito de terceira ordem mostrado na Eq. (4.193). Quando utilizamos este método para resolver a equação representativa, resultam as raízes principal e espúria mostradas nas Eqs. (4.194).

( )111 2254 −−+ ′+′++−= nnnnn uuhuuu (4.193)

K

K

+−+−=

+++++=

222

4433221

2135

721

61

211

hh

hhhh

λλσ

λλλλσ (4.194)

Os lugares geométricos das raízes principal e espúria, Eqs. (4.194), no plano complexo σ são mostrados na Fig. 4.12.

60

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00Real( )

-8.00

-4.00

0.00

4.00

8.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Lugar Geométricoda Raiz Espúria

Figura 4.12 – Lugar Geométrico das Raízes Principal e Espúria

do Método “Multistep” Linear de Terceira Ordem.

Este é um exemplo de estabilidade catastrófica. Não adianta termos uma ordem de precisão elevada, pois a raiz espúria estraga o método. O lugar geométrico da raiz principal está dentro da região de estabilidade, mas a raiz espúria é altamente instável e prejudica a estabilidade do método. 4.12 – Estabilidade de Métodos Explícitos

Vamos agora estudar a estabilidade dos métodos explícitos mais utilizados aplicados às equações modelo de difusão e convecção. Assim, poderemos desenvolver um sentimento físico do comportamento dos métodos estudados aplicados a um determinado fenômeno. A seguir, vamos listar os métodos explícitos que serão estudados juntamente com suas raízes e posteriormente aplicaremos cada método à equação modelo de difusão e convecção. Euler Explícito:

(4.195) hλσ += 11

Leap-frog:

K

K

++−+−=

+−++=

44222

44221

81

211

81

211

hhh

hhh

λλλσ

λλλσ (4.196)

61

Adams-Bashforth:

K

K

+=

+−++=

h

hhh

λσ

λλλσ

21

41

211

2

33221 (4.197)

Runge-Kutta de Segunda Ordem:

221 2

11 hh λλσ ++= (4.198)

Runge-Kutta de Quarta Ordem:

4433221 24

161

211 hhhh λλλλσ +++= + (4.199)

Vamos estudar agora o comportamento destes métodos de marcha no tempo

sobre a equação modelo de difusão. Os autovalores associados à equação modelo de difusão são mostrados nas Eqs. (4.200).

( ) MmMmsin

xm ,,3,2,1,12

4 22 K=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−=υλ π

(4.200)

Euler Explícito - Substituindo a Eq. (4.200) na Eq. (4.195), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal do método explícito de Euler, conforme mostra a Fig. 4.13. Observe na Fig. 4.13 que o método em questão é estável para difusão somente para –2≤λh≤0, ou seja, dentro da região de estabilidade.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região de

Estabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Principal

h

Figura 4.13 – Lugar Geométrico da Raiz Principal do Método Explícito de Euler Aplicado à Equação Modelo de Difusão.

Leap-Frog - Substituindo a Eq. (4.200) nas Eqs. (4.196), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ das raízes principal e espúria do método Leap-Frog, conforme mostra a Fig. 4.14. Observe na Fig. 4.14 que o método em questão é sempre instável para difusão, pois apesar da raiz principal ser estável, a raiz espúria é sempre instável.

62

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Lugar Geométricoda Raiz Espúria

Região deEstabilidade

Figura 4.14 - Lugar Geométrico da Raiz Principal e Espúria do Método Leap-Frog Aplicado à Equação Modelo de Difusão.

Adams-Bashforth - Substituindo a Eq. (4.200) nas Eqs. (4.197), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ das raízes principal e espúria do método de Adams - Bashforth, conforme mostra a Fig. 4.15. Observe na Fig. 4.15 que o método em questão é estável para difusão somente para -1≤λh≤0, pois apesar da raiz principal ser sempre estável, a raiz espúria é estável somente neste intervalo de valores de λh.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Lugar Geométricoda Raiz Espúria

Figura 4.15 - Lugar Geométrico da Raiz Principal e Espúria do Método

de Adams-Bashforth Aplicado à Equação Modelo de Difusão.

Runge-Kutta de Segunda Ordem - Substituindo a Eq. (4.200) na Eq. (4.198), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal do método de Runge-Kutta de segunda ordem, conforme mostra a Fig. 4.16. Observe na Fig. 4.16 que o método em questão é estável para difusão somente para –2≤λh≤0.

63

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade λh=-2

Figura 4.16 - Lugar Geométrico da Raiz Principal do Método

de Runge-Kutta de Segunda Ordem Aplicado à Equação Modelo de Difusão.

Runge-Kutta de Quarta Ordem - Substituindo a Eq. (4.200) na Eq. (4.199), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal do método de Runge-Kutta de quarta ordem, conforme mostra a Fig. 4.17. Observe na Fig. 4.17 que o método em questão é estável para difusão somente para –2.8≤λh≤0.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade λh=-2.8

Figura 4.17 - Lugar Geométrico da Raiz Principal do Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem Aplicado à Equação Modelo de Difusão.

Vamos estudar agora o efeito destes métodos de marcha no tempo sobre a equação modelo de convecção. Os autovalores associados à equação modelo de convecção são mostrados nas Eq. (4.201).

1,,2,1,0,2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−= Mm

Mmsin

xic

m Kπλ (4.201)

64

Euler Explícito - Substituindo a Eq. (4.201) na Eq. (4.195), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal do método explícito de Euler, conforme mostra a Fig. 4.18. Observe na Fig. 4.18 que o método em questão é sempre instável para convecção.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Figura 4.18 – Lugar Geométrico da Raiz Principal do Método Explícito de Euler Aplicado à Equação Modelo de Convecção.

Leap-Frog - Substituindo a Eq. (4.201) nas Eqs. (4.196), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ das raízes principal e espúria do método Leap-Frog, conforme mostra a Fig. 4.19. Observe na Fig. 4.19 que o método em questão é estável para convecção somente para alguns valores de λh, pois apesar da raiz espúria ser sempre estável, a raiz principal se torna instável para um valor limite de λh.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Lugar Geométricada Raiz Espúria

Figura 4.19 – Lugar Geométrico das Raizes Principal e Espúria do Método Leap-Frog Aplicado à Equação Modelo de Convecção.

65

Adams-Bashforth - Substituindo a Eq. (4.201) nas Eqs. (4.197), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ das raízes principal e espúria do método de Adams - Bashforth, conforme mostra a Fig. 4.20. Observe na Fig. 4.20 que o método em questão é sempre instável para todos os valores de λh, pois apesar da raiz espúria ser sempre estável, a raiz principal é sempre instável para todos os valores de λh.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Lugar Geométricada Raiz Espúria

Figura 4.20 – Lugar Geométrico das Raízes Principal e Espúria do Método de Adams-Bashforth Aplicado à Equação Modelo de Convecção.

Runge-Kutta de Segunda Ordem - Substituindo a Eq. (4.201) na Eq. (4.198), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal do método de Runge-Kutta de segunda ordem, conforme mostra a Fig. 4.21. Observe na Fig. 4.21 que o método em questão é sempre instável para a convecção, pois a raiz principal é sempre instável.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Figura 4.21 – Lugar Geométrico da Raiz Principal do Método de Runge-Kutta de Segunda Ordem Aplicado à Equação Modelo de Convecção.

66

Runge-Kutta de Quarta Ordem - Substituindo a Eq. (4.201) na Eq. (4.199), obtemos o lugar geométrico no plano complexo σ da raiz principal do método de Runge-Kutta de quarta ordem, conforme mostra a Fig. 4.22. Observe na Fig. 4.22 que o método em questão é estável para convecção somente para um intervalo limitado de λh.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Lugar Geométricoda Raiz Principal

Região deEstabilidade

Figura 4.22 – Lugar Geométrico da Raiz Principal do Método de Runge-Kutta de Quarta

Ordem Aplicada à Equação Modelo de Convecção

Podemos observar nas figuras anteriores que dos métodos explícitos estudados até agora, o único método que é estável para a convecção e difusão simultaneamente é o método de Runge-Kutta de quarta ordem. No caso da mecânica dos fluidos, onde temos convecção e difusão nas equações governantes, o único método explícito que parece ser indicado é, portanto, o método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Vimos até o momento que os métodos explícitos de marcha no tempo podem ou não serem estáveis, dependendo do valor de λh. Portanto, para melhor entender este fato, vamos a seguir estudar graficamente as regiões de estabilidade no plano complexo λh dos métodos explícitos estudados até agora. Com isto, ficará claro porque um método de marcha no tempo pode ser bom para um problema de convecção e ruim para um problema de difusão ou vice versa. Método Explícito de Euler – A região de estabilidade do método em questão é obtida ao substituirmos a Eq. (4.195) na Eq. (4.183). A expressão resultante é mostrada na Eq. (4.202) e a região de estabilidade pode ser observada na Fig. 4.23. Observando a figura em questão, fica claro porque o método explícito de Euler é bom para resolver o problema de difusão (λ real e não positivo) e não é bom para o problema da convecção (λ imaginário puro).

(4.202) 11 ≤+ hλ

67

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.23 – Região de Estabilidade do método Explícito de Euler.

Método Leap - Frog – A região de estabilidade do método em questão é obtida ao substituirmos as Eqs. (4.196) na Eq. (4.183). As expressões resultantes são mostradas nas Eqs. (4.203) e a região de estabilidade pode ser observada na Fig. 4.24. Observando a figura em questão, fica claro porque o método Leap - Frog não é bom para resolver o problema de difusão (λ real e não positivo) e é bom para o problema da convecção (λ imaginário puro).

11

11

22

22

≤+−

≤++

hh

hh

λλ

λλ(4.203)

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.24 – Região de Estabilidade do método Leap - Frog.

Método de Adams - Bashforth – A região de estabilidade do método em questão é obtida ao substituirmos as Eqs. (4.197) na Eq. (4.183). As expressões resultantes são mostradas nas Eqs. (4.204) e a região de estabilidade pode ser observada na Fig. 4.25. Observando a figura em questão, fica claro porque o método de Adams – Bashforth é bom para resolver o problema de difusão (λ real e não positivo) e não é bom para o problema da convecção (λ imaginário puro).

68

1491

21

43

21

1491

21

43

21

22

22

≤++−+

≤++++

hhh

hhh

λλλ

λλλ

(4.204)

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.25 – Região de Estabilidade do método de Adams - Bashforth.

Método de Runge – Kutta de Segunda Ordem – A região de estabilidade do método em questão é obtida ao substituirmos as Eqs. (4.198) na Eq. (4.183). A expressão resultante é mostrada na Eq. (4.205) e a região de estabilidade pode ser observada na Fig. 4.26. Observando a figura em questão, fica claro porque o método de Runge – Kutta de segunda ordem é bom para resolver o problema de difusão (λ real e não positivo) e não é bom para o problema da convecção (λ imaginário puro).

1211 22 ≤++ hh λλ (4.205)

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00Real( )

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.26 – Região de Estabilidade do método de Runge – Kutta de Segunda Ordem.

69

Método de Runge – Kutta de Quarta Ordem – A região de estabilidade do método em questão é obtida ao substituirmos as Eqs. (4.199) na Eq. (4.183). A expressão resultante é mostrada na Eq. (4.206) e a região de estabilidade pode ser observada na Fig. 4.27. Observando a figura em questão, fica claro porque o método de Runge – Kutta de quarta ordem é bom para resolver o problema de difusão (λ real e não positivo) e convecção (λ imaginário puro).

1

241

61

211 243322 ≤++++ hhhh λλλλ (4.206)

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00Real( )

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.27 – Região de Estabilidade do método de Runge – Kutta de Quarta Ordem.

4.13 – Conceito de “Stifness”

O conceito de “stifness” está relacionado à evolução no tempo da solução transiente. Quando estudamos a estabilidade dos métodos explícitos, vimos que a estabilidade está restrita a um valor máximo de λh. Se os autovalores forem muito diferentes entre si, o autovalor maior ditará a estabilidade do método e a física associada ao autovalor menor evoluirá muito lentamente no tempo. Esta diferença entre os autovalores está relacionada ao gradiente das propriedades físicas do campo.

Para entendermos melhor o significado do conceito de stiffness, vamos analisar o seguinte exemplo: suponhamos que o limite de estabilidade de um determinado método seja λh=-2 e suponhamos também que o primeiro autovalor seja –1 e o último autovalor seja -1x105. Isto significa que para garantir a estabilidade do método, o passo de tempo tem que satisfazer as seguintes desigualdades:

5102

2−≤

≤

xhh

(4.207)

Portanto, o método será estável quando h≤2x10-5. O que significa que o último autovalor dita o limite de estabilidade do método. Por outro lado, a física associada ao

70

primeiro autovalor evoluirá muito lentamente no tempo. Apesar dos últimos autovalores não influírem muito na solução, precisamos considera-los, pois na prática o sistema está acoplado quando programamos.

∑=

=M

mm

tm xeCu m

1

rλ

ou

Mp

M

pmm

tm

p

mm

tm xeCxeCu mm λλλλ <<+= ∑∑

=

−

=

,1

1

rr(4.208)

O primeiro somatório da Eq. (4.208) determina a solução transiente, seus

autovalores são chamados de “driving eigenvalues”. O segundo somatório não influencia significativamente a solução transiente, seus autovalores são chamados de autovalores parasitas. Quando a condição apresentada na Eq. (4.208) acorre, dizemos que o sistema é “stiff”. O quanto um sistema é “stiff” é determinado pelo grau de “stiffness” do sistema, conforme mostra a Eq. (4.209).

p

MrC

λλ

= (4.209)

onde

0<Cr<102 → moderadamente stiff 103<Cr<105 → fortemente stiff 106<Cr<108 → extremamente stiff 109<Cr → patologicamente stiff

No caso da difusão, os autovalores são dados pela seguinte equação:

( ) MmMmsin

xm ,,2,1,12

4 22 K=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−=πυλ (4.210)

Portanto, o primeiro autovalor é dado por:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−=12

4 221 M

sinx

πυλ ou

1

,2

4 221 +

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−=

Mxxsin

xπυλ (4.211)

Levando em consideração que Δx é em geral muito pequeno, obtemos a seguinte equação:

νυλ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−≈

2

21 24 xx (4.212)

71

Por outro lado, o último autovalor é dado por:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−=12

4 22 M

MsinxM

πυλ (4.213)

Levando em consideração que M é um número muito grande, obtemos a seguinte equação para o último autovalor:

2

4xM Δ

−≈υλ (4.214)

Substituindo as Eqs. (4.212) e (4.214) na Eq. (4.209), obtemos uma estimativa

do grau de stiffness da equação modelo de difusão, conforme mostra a Eq. (4.215). Veja na Eq. (4.215) que o refinamento de malha piora o “stiffness”.

2

4x

Cr Δ= (4.215)

No caso da convecção, os autovalores são mostrados na Eq. (4.216). O segundo

autovalor é mostrado na Eq. (4.217).

1,,2,1,0,2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−

= MmMmsin

xic

m Kπλ (4.216)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−=

Msin

xic πλ 2

1ou

( )

Mxxsin

xic πλ 2,1 =ΔΔΔ

−= (4.217)

Levando em consideração que Δx é em geral muito pequeno, obtemos a Eq.

(4.218) para o segundo autovalor associado à equação de convecção.

λ1 ≈ −icx

xΔ

Δ

ou λ1 ≈ ic

(4.218)

O autovalor m=M/4 é dado por:

24/πλ sin

xic

M −=Δ

ou

xic

M Δ−=4/λ (4.219)

72

Portanto, substituindo as Eqs. (4.218) e (4.219) na Eq. (4.209), obtemos o grau de “stiffness” para o problema da convecção, conforme mostra a Eq. (4.220).

x

Cr Δ=

1(4.220)

Observe na Eq. (4.220) que o grau de “stiffness” piora quando refinamos a

malha. Comparando as Eqs. (4.215) e (4.220) vemos que nos dois casos analisados, o refinamento da malha piora o grau de “stiffness” e que o problema da difusão é mais crítico do que o problema de convecção.

Do que foi visto nesta seção, os métodos explícitos são altamente sensíveis ao grau de “stiffness” associado a um determinado problema físico. Das análises feitas na presente seção, quanto maior o refinamento da malha, maior será o grau de “stiffness” e maior será a restrição sobre passo de marcha no tempo dos métodos explícitos. A solução para o problema de “stiffness” são os métodos implícitos que serão discutidos na próxima seção. 4.14 – Estabilidade de métodos Implícitos

Nesta seção, vamos estudar a estabilidade de métodos implícitos, em particular, os métodos de Euler e Crank-Nicholson. Veremos que os métodos implícitos são incondicionalmente estáveis e, portanto, insensíveis ao grau de “stiffness” associado a um determinado problema físico. Isto torna os métodos implícitos bastante convidativos para o estudo de escoamentos viscosos, onde a malha computacional precisa ser bem refinada próxima a superfície do corpo de modo a capturar os efeitos viscosos dentro da camada limite.

a) Euler implícito.

11

++ ⎟

⎠⎞+=

nnn dt

duhuu (4.221)

Substituindo a equação representativa, Eq. (4.77), sem o termo forçante, na Eq. (4.221), obtemos a Eq. (4.222). Vamos agora utilizar o operador deslocamento para obter o polinômio característico associado à equação de diferenças finitas (4.222). O resultado é mostrado na Eq. (4.223).

(4.222) 11 ++ += nnn uhuu λ

nnn EuhuEu λ= +

ou (4.223) 0)( =nuEP

onde ( ) 11)( −−= EhEP λ (4.224)

O polinômio característico associado à Eq. (4.222) é dado por P(σ)=0, cuja raiz

é mostrada abaixo na Eq. (4.225).

73

λ

σh−

=1

1(4.225)

Substituindo a Eq. (4.225) no critério de estabilidade dado na Eq. (4.183),

obtemos a seguinte expressão que define a região de estabilidade no plano complexo hλ do método implícito de Euler.

1≤σ

ou

(4.226) 11 ≥− λh

A Fig. 4.28 mostra a região de estabilidade do método implícito de Euler. O

método de Euler possui a sua região de estabilidade quase em todo plano complexo com exceção de um círculo de centro (1,0) e raio unitário. A região de estabilidade do método estende-se numa região de instabilidade dos sistemas. Isto faz com que o método de Euler tenda a estabilizar sistemas instáveis. Vemos também que o método de Euler é sempre estável para os problemas com estabilidade inerente, ou seja, para os problemas em que ℜ(λ)≤0. Portanto, o método de Euler é incondicionalmente estável.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figure 4.28 - Região de Estabilidade do método de Euler Implícito.

b) Método de Crank-Nicholson.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞+⎟

⎠⎞+=

++

11 2

1

nnnn dt

dudtduhuu (4.227)

Substituindo a equação representativa (4.77), sem o termo forçante, na Eq.

(4.227), obtemos a Eq. (4.228). Vamos agora utilizar o operador deslocamento para obter o polinômio característico associado à equação de diferenças finitas (4.228). O resultado é mostrado na Eq. (4.229).

( )11 21

++ ++= nnnn uuhuu λ (4.228)

74

( )nnnn EuuhuEu ++= λ21

ou

(4.229) 0)( =nuEP

onde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= λλ hEhEP

211

211)( (4.230)

O polinômio característico associado à Eq. (4.228) é dado por P(σ)=0, cuja raiz

é mostrada abaixo na Eq. (4.231).

λ

λσ

h

h

211211

−

+= (4.231)

Substituindo a Eq. (4.231) no critério de estabilidade dado na Eq. (4.183), obtemos a seguinte expressão que define a região de estabilidade no plano complexo hλ do método de Crank-Nicholson.

1≤σ

ou

λλ hh211

211 −≤+ (4.232)

A Fig. 4.29 mostra a região de estabilidade do método de Crank-Nicholson. O

método em questão possui a sua região de estabilidade na metade do plano complexo coincidente com a região de estabilidade inerente dos sistemas,ℜ(λ)≤0. Portanto, o método de Crank-Nicholson também é incondicionalmente estável.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00Real( )

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00 Imag( )

Região deEstabilidade

Figura 4.29 – Região de Estabilidade do Método de Crank-Nicholson.

75

4.15 – Teste de Estabilidade de von Neumann ou Fourier O teste de estabilidade de von Neumann é semelhante à analise por σ−λ feita anteriormente, somente que neste caso, assumimos condição de contorno periódica (pela série de Fourier). Dado um método já discretizado no tempo e no espaço, assumimos uma solução do tipo:

ibyiaxtnkj eeeλφ =,

(4.233) onde

ykyxjxtnt

Δ=Δ=Δ=

(4.234)

Substituímos a Eq. (4.233) no método, encontramos o fator de amplificação G, definido na Eq. (4.235).

( )

t

tt

eeG

λ

λ Δ+

=

(4.235) O método em estudo será estável quando o valor absoluto do fator de amplificação G for menor ou igual a um. Este teste somente é valido para sistemas lineares ou localmente lineares.

76

5.0 – MÉTODOS DE RELAXAÇÃO No presente capítulo, vamos estudar os métodos iterativos utilizados para resolver equações algébricas lineares. Estes métodos também são conhecidos como métodos de relaxação. Os métodos de relaxação podem ser ainda divididos em métodos iterativos de ponto (ou explícitos) ou métodos iterativos de bloco (ou implícitos). Nos métodos iterativos de ponto, o mesmo algoritmo simples é aplicado a todos os pontos individualmente em sucessivas iterações de varredura. Nos métodos iterativos de bloco, um grupo de incógnitas é obtido de uma vez só por esquemas de eliminação num procedimento iterativo global. 5.1 – Teoria de Relaxação

Vamos aplicar a teoria de relaxação ao sistema de equações diferenciais ordinárias (5.1) lembrando que aqui estamos interessados somente na solução do estado estacionário.

[ ] fuAdtud rrr

−= (5.1)

A solução do estado estacionário da Eq. (5.1) é mostrada abaixo na Eq. (5.2). A condição de existência do estado estacionário do sistema é que todos os seus autovalores sejam negativos, conforme mostra a Eq. (5.3).

[ ] fAurr 1−= (5.2)

( ) Nii ,,3,2,1,0 K=<ℜ λ (5.3)

A condição (5.3) pode ser verificada observando-se a solução geral do sistema

(5.1) dada pela Eq. (5.4). Se a condição (5.3) é satisfeita, a solução geral se aproxima da solução estacionária a medida que o tempo cresce, ou seja, a solução transiente se aproxima de zero, uma vez que os autovalores são negativos. Além disso, a matriz diagonal dos autovalores (ou a matriz [A]), que aparece na solução estacionária, é não singular e pode ser invertida, uma vez que os autovalores não são nulos.

[ ][ ] [ ] fXXxeCum

mt

mm

rrr 11 −−Λ+= ∑ λ

(5.4)

Uma vez que estamos interessados somente na solução estacionária, podemos precondicionar o lado direito do sistema (5.1) com a matriz [Mc], conforme mostra a Eq. (5.5).

[ ] [ ]( )fuAMdtud

c

rrr

−= (5.5)

77

O objetivo deste precondicionamento é de acelerar o processo de convergência. Note que o precondicionamento não altera a solução do estado estacionário. Neste ponto, restam as seguintes perguntas: Qual será a matriz [Mc]? Qual o método numérico indicado? Estas perguntas serão respondidas na seguinte seção. Para encerrar a presente seção, vamos definir os vetores erro e resíduo. Vetor erro:

[ ] fAue nn

rrr 1−−= (5.6)

Vetor resíduo: [ ] fuAR nn

rrr−= (5.7)

5.2 – Relaxação Clássica em 1-D Nesta seção, vamos aplicar a teoria de relaxação clássica à equação diferencial parcial unidimensional, mostrada na Eq. (5.8). Aproximando a segunda derivada espacial da Eq. (5.8) por uma diferença centrada de segunda ordem, e avaliando a equação resultante em todos os pontos interiores da malha computacional, obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias mostrado na Eq. (5.9).

)(2

2

2

xfux

utu

−−= ω∂∂

∂∂

(5.8)

( ) fb

xuB

xdtud

c

rrrr

−Δ

+−Δ

= 22

11,/2,11 α (5.9)

onde

2222

ωα

xΔ+= (5.10)

(5.11) [ ]bac uub 0000 L

r=

A solução do estado estacionário da Eq. (5.9) é dada por

( )gBSS r1/211 α−= − (5.12)

onde cbfxgrrr

−Δ= 2 (5.13)

78

Tendo em mente que estamos interessados somente na solução do estado estacionária da Eq. (5.9), podemos transformar este sistema de equações diferenciais num outro sistema de equações diferenciais diferente que possui a mesma solução do estado estacionário da Eq. (5.9), veja a Eq. (5.14).

[ ] ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ−−

Δ= g

xB

xM

dtd

crr

r

22

11/2,11 ϕαϕ(5.14)

Inicialmente, vamos assumir que:

[ ] [ ]IxM c2Δ= γ

(5.15)

Calculando os autovalores da matriz resultante do sistema (5.14) utilizando a Eq. (5.16), resultam os autovalores para o problema em estudo, conforme mostra a Eq. (5.17).

( ) MmMmacbcbaB m ,,2,1,

1cos2,, K=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=→

πλ (5.16)

Mm

Mm

m ,,2,1,1

cos12 K=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−=

πα

γλ (5.17)

Vamos analisar o comportamento do erro ao aplicarmos o método explicito de Euler para obter a solução do estado estacionário da Eq. (5.14). Vimos no Capitulo 4 que a raiz do método explícito de Euler é dada pela Eq. (5.18).

(5.18) hmm λσ += 1

Substituindo a Eq. (5.17) na Eq. (5.18), obtemos a Eq. (5.19). Observando a

definição de erro dada pela Eq. (5.6), podemos concluir que o erro na verdade é dado pela solução transiente, Eq. (5.20).

Mm

Mmhh

m ,,2,1,1

cos221 K=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−=

πγαγσ (5.19)

∑=

=M

mm

nmmn xCe

1

rr σ (5.20)

Podemos observar na Eq. (5.20) que o erro é proporcional às raízes σm dadas pela Eq. (5.19). Portanto, podemos estudar o comportamento do erro através do comportamento das raízes σm, conforme mostra a Fig. 5.1.

79

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00m

0.00E+0

4.00E-1

8.00E-1

1.20E+0

|σ|

γ<α/2

γ=α/2

γ>α/2

Figura 5.1 – Comportamento das Raízes

Observando a Fig. 5.1, podemos concluir que o valor ótimo de γ é α/2, pois a

curva correspondente a esta igualdade está sempre entre as outras duas curvas. Observe que para m<(M+1)/2, os valores ótimos são obtidos para valores de γ maiores que α/2. Por outro lado, para m>(M+1)/2, os valores ótimos são obtidos para valores de γ menores que α/2. Como todos os valores de σ participam da solução, fica claro que o valor ótimo de γ é α/2.

2αγ = (5.21) ótimo

Substituindo a Eq. (5.21) na Eq. (5.19) e assumindo que h=1, podemos obter o

valor máximo de σm, conforme mostra a Eq. (5.22).

p

MMm =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+===

1cos1max

πασσσ (5.22)

Assumindo uma malha igualmente espaçada onde

1+

=ΔM

x π(5.23)

Substituindo a Eq. (5.23) na Eq. (5.22), obtemos uma equação importante que

relaciona o erro ao refinamento da malha computacional, conforme mostra a Eq. (5.24).

(5.24) )cos( xp Δ= α

Façamos um exemplo para ilustrar o problema. Vamos supor que

80

50040

1

===

NMα

(5.25)

Substituindo os valores dados em (5.25) na Eq. (5.22), obtemos a seguinte estimativa para o erro após 500 iterações:

23.0

41cos500500 ≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=πp (5.26)

Observando a Eq. (5.26), vemos que o erro obtido após 500 iterações é

proporcional a 0.23. O ideal seria que o erro fosse nulo. Portanto, a matriz (5.15) não é a matriz de precondicionamento ideal. A seguir, vamos tentar obter uma matriz de precondicionamento mais eficiente que a matriz (5.15).

Retornando ao método explícito de Euler aplicado ao problema dado pela Eq. (5.14), obtemos a seguinte equação:

ghnhBnnrrrr

γϕγϕϕ −+=+1 (5.27)

Passando da forma matricial para a forma ponto a ponto e utilizando o valor ótimo de γ dado pela Eq. (5.21), obtemos a Eq. (5.28). O método iterativo abaixo é conhecido como “Point-Jacobi”. A figura abaixo mostra a molécula computacional do método, onde podemos visualizar melhor o esquema de iteração.

j

nj

nj

nj

nj

nj g

22

2 111 αϕϕ

αϕαϕϕ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=− +−

+

ou

[ ]jnj

nj

nj g− (5.28)

Figure 5.2 – Molécula Computacional do Método Point – Jacobi

n

n+1

j j+1 j+2j-1j-2

>Sentido de cálculo espacial

^Sentido

decálculo

temporal

ψ n+1j

nj-1

n

j+1

+= +− 112ϕϕαϕ

81

Neste método utilizamos dois pontos da malha no instante n para calcular o valor

no instante n+1. Podemos tentar melhorar o método utilizando um ponto da malha no instante n+1 e um no instante n para o cálculo do próximo ponto da malha no instante n+1. Veja a Fig. 5.3.

n

n+1

j j+1 j+2j-1j-2

>Sentido de cálculo espacial

^Sentido

decálculo

temporal

ψ n+1j

n+1j-1

nj+1

Figura 5.3 – Molécula Computacional do Método Gauss – Seidel

Resulta assim a expressão para o método conhecido como Gauss – Seidel, Eq. (5.29). Escrevendo o método de Gauss – Seidel na forma matricial, resulta a equação vetorial mostrada na Eq. (5.30).

[ ]jnj

nj

nj g−+= +

+−

+1

11

1

2ϕϕαϕ (5.29)

gEEB nrr

22,,

2αϕαα

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − (5.30)

Repetindo o mesmo procedimento feito anteriormente para determinar a

estimativa do erro associado ao método Point - Jacobi, chega-se à seguinte expressão para a estimativa do erro do método Gauss - Seidel:

2

1cos ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

Mm

mπασou

22

max 1cos p

Mm =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

πασ (5.31)

A pergunta que fazemos neste ponto é: quantas iterações são necessárias para obtermos o mesmo erro obtido anteriormente para o método Point – Jacobi para o

82

mesmo exemplo dado na Eq. (5.25)? A resposta para esta pergunta é: são necessárias 250 iterações, conforme mostra a Eq. (5.32).

( ) 23.02502p =(5.32)

O método Gauss – Seidel converge para 23% com N=250. Obviamente, isto não

é suficiente. Vamos tentar melhorar o método partindo da expressão do método Point – Jacobi, conforme mostra a Eq. (5.33).

[ ]jnj

nj

nj g−+= +−+

111

2ϕϕαϕ

ou [ ] j

nj

nj

nj

nj

nj g−+−=− +−+

111 22 ϕϕ

αϕϕϕ

α (5.33)

gnBnB rrr

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− ϕ

αϕ

α1212

(5.34)

Vamos desta vez pré-condicionar o lado esquerdo da Eq. (5.34). Observe que a matriz B(-2/α) tenta reproduzir a matriz B(1,-2/α,1). Portanto, vamos desta vez utilizar a matriz B(1,-2/α,1) para pré-condicionar o problema, conforme é mostrado na Eq. (5.35).

gnBnB rrr

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− ϕα

ϕα

121121 ou

gBnrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+ 1211

1 αϕ (5.35)

O leitor deve observar que ao usarmos a matriz B(1,-2/α,1) para pré-condicionar

o problema, chega-se ao estado estacionário com um único passo de iteração. A dificuldade deste método é que precisamos inverter uma matriz tri-diagonal, que muitas vezes é de ordem bem elevada, dependendo do refinamento da malha computacional. Para resolvermos o problema ponto a ponto também fica muito difícil, pois é necessário conhecermos a propriedade ϕ no tempo n+1 em dois pontos da malha para obtermos o terceiro valor desejado. Portanto, a forma mais geral da matriz [Mc]-1 é a matriz B(a,b,0), pois não conhecemos ϕn+1 no ponto j+1. Portanto, vamos agora tentar precondicionar o problema com a matriz B(1,-2/α,0), conforme mostra a Eq. (5.36).

gnBnB rrr

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− ϕα

ϕα

121021 (5.36) Reescrevendo na forma pontual.

( ) jgnj

nj

nj

nj

nj

nj

nj −++−−−=−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−−+−− 11

21

121

11 ϕϕ

αϕϕϕ

αϕϕ

83

ou

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

−=+jgn

jnj

nj

r1

112

1 ϕϕαϕ (5.37)

O leitor deve observar que chegamos novamente ao método de Gauss-Seidel. Vamos tentar agora obter algo melhor que o método de Gauss-Seidel através da relaxação sucessiva – S.O.R. pelo pré-condicionamento do lado esquerdo da Eq. (5.36) com a matriz B(1, -2/αω, 0), conforme mostra a Eq. (5.38).

gnBnB rrr

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ϕ

αϕ

αω121021ou

gnBnBnB rrrr

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− ϕα

ϕαω

ϕαω

1210211021 (5.38)

Aplicando o operador deslocamento à Eq. (5.38), obtemos a Eq. (5.39). Calculando o determinante da matriz do sistema dado pela Eq. (5.39), obtermos o polinômio característico do sistema e posteriormente suas raízes, Eq. (5.40).

( ) gnEEB rr=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

− ϕωαω

112(5.39)

0

21

2det =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

ωαωωα EEB (5.40)

( )

214

12cos22

1cos

41

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+±⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= ωπαωπωασ

Mm

Mm

m

Fazendo uma análise rápida, vemos que |σm| será mínimo quando a expressão dentro do radical da segunda das Eqs. (5.40) for menor ou igual a zero, conforme a Eq. (5.41). Quando isto ocorre, o módulo de σm é dado pela Eq. (5.42).

( ) 0141

2cos22 ≤−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ωπαω

Mm

(5.41) 1−= ótimom ωσ

(5.42) onde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

1cos

21122

Mp

ppótimo

πα

ω (5.43)

84

Observe que p definido na Eq. (5.43) é o valor de |σm|max obtido quando pré-condicionamos o problema com a matriz [Mc]=γΔx2[I], Eq. (5.15). Vamos repetir o mesmo exemplo feito anteriormente, conforme os dados apresentados na Eq. (5.25) e repetidos abaixo na Eq. (5.44).

K997.0

41cos

401

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

== πα

pM (5.44)

Portanto,

K

K

K

212.010

max

857.0max

856.1

=

=

=

m

m

ótimo

σ

σ

ω

(5.45)

A Tab. 5.1 apresenta um resumo com as razões de convergência dos métodos discutidos até o momento. Podemos observar que o S.O.R é 50 vezes mais rápido que o Point-Jacobi para mesma precisão.

Tabela 5.1 – Razão de convergência dos métodos discutidos.

Método N° de Iterações Precisão (%) Point-Jacobi 500 23 Gauss-Seidel 250 23

S.O.R. 10 21

Voltando agora para a versão pontual da Eq. (5.37) para termos uma idéia do que está sendo feito no método S.O.R., conforme a Eq. (5.46). Desenvolvendo-se mais um pouco a Eq. (5.46), chega-se à expressão do S.O.R., conforme mostra a Eq. (5.47).

jgn

jnj

nj

nj

nj −++−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−−Δ− 1

21

21 ϕϕ

αϕ

αωϕ ϕ (5.46)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

−=

njj

nj

nj

jgnj

njj

ϕϕωϕϕ

ϕϕαϕ

~1

1112

~(5.47)

onde

deestabilidaPararelaxaçãoSub

relaxaçãoSobre

,20,1,1

≤<<>

ωωω

(5.48)

85

Existe uma forma compacta de escrever a Eq. (5.47) que nos permite separar a parte física do problema que está sendo resolvido e o tipo de método utilizado para obter a solução. Para isto, definimos na Eq. (5.49) o operador deslocamento espacial Ex. Aplicando este operador `a Eq. (5.46), obtemos a Eq. (5.50).

E(5.49)

(5.50)

onde Resíduo:

(5.51)

Correção: (5.52)

Operador (S.O.R.):

(5.53)

Observe o leitor que na Eq. (5.50), fizemos α=1 e gj=0, pois estaremos interessados, posteriormente na Seção 5.3, em aplicar estes métodos para resolver a equação de Laplace, onde estes parâmetros assumem estes valores. De forma análoga, o operador N para os métodos Point-Jacobi e Gauss-Seidel são mostrados nas Eqs. (5.54) e (5.55), respectivamente.

(5.54)

(5.55)

No pré-condicionamento feito anteriormente, que resultou no método S.O.R., usamos a matriz de banda -B(1, -2/αω, 0) para pré-condicionar o lado esquerdo da Eq. (5.36). Entretanto, salientamos que pode-se chegar a resultados melhores se usarmos uma matriz de pré-condicionamento mais geral -B(β, -2/αω, 0). Uma outra tentativa de melhorar o método é levar em consideração que quando há convergência. Isto permite a geração de quantos métodos quisermos alterando o lado esquerdo da Eq. (5.36), como o exemplo mostrado na Eq. (5.56).

nln ϕϕrr

≅±

(5.56)

jxEj

jxj

ϕϕ

ϕ ϕ

11

1−=−

=+

0=+ njLn

jCN ϕ

=nL ϕ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++−−Δ

nj

nj

njxj 1212

1 ϕϕϕ

nj

njC ϕΔ=

2/21

xxE−

NΔ

−=

ω

22

xN

Δ−=

221

xxE

NΔ

−−=

jgnj

nj

nj

nj

nj

njbn

jnja −++−−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

12

112111 ϕϕ

αϕϕϕϕϕϕ

86

Observe que o lado esquerdo da Eq. (5.56) se anula quando o método converge. Na realidade, o que estamos resolvendo é a Eq. (5.57). Como estamos interessados somente no estado estacionário, não faz diferença nenhuma a forma que escolhemos para o lado esquerdo da Eq. (5.57).

gB

dt

dbdtda rr

rr

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+ ϕ

αϕϕ 12,12

2(5.57)

5.3 – Esquemas de Relaxação Aplicados à Equação de Laplace.

Como foi visto no primeiro capítulo deste livro, a equação de Laplace governa os escoamentos incompressíveis, não viscosos e irrotacionais. Esta equação não possui nenhuma derivada parcial em relação ao tempo que permita a sua integração direta. Por outro lado, não podemos integrar espacialmente a equação de Laplace por se tratar de uma equação elíptica. Para superar estas dificuldades, vamos recorrer ao que foi visto na Seção 5.2, onde podemos acrescentar qualquer termo do lado esquerdo da equação de Laplace desde que este termo se aproxime de zero à medida que o algoritmo converge, conforme a Eq. (5.58).

01 =++ nijLn

ijCN φ(5.58)

onde n

ijyynijxx

nijL φδφδφ +=

(5.59)

(5.60)

2

,1,2,1

x

nji

nji

njin

ijxx Δ

−+−+=φφφ

φδ

21,,21,

y

nji

nji

njin

ijyy Δ

−+−+=φφφ

φδ (5.61)

nji

nji

nijC ,

1, φφ −+=

(5.62)

Observe que para N=-1, a Eq. (5.58) equivale à equação de difusão bidimensional mostrada na Eq. (5.63). Como a nossa intenção é resolver a equação de Laplace, somente estamos interessados na solução do estado estacionário da Eq. (5.63). Neste caso, a solução transiente não tem nenhum significado físico. Dizemos que a variável t é um “pseudo-tempo”.

yyxxt

φφφ+=

∂∂

(5.63)

Fazendo uma extensão do caso unidimensional estudado na Seção 5.2, os métodos Point-Jacobi, Gauss-Seidel e S.O.R. para resolver a equação de laplace tomam a forma apresentada nas Eqs. (5.64), (5.65) e (5.66), respectivamente.

87

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Δ+

Δ−= 2

22

2

yxN (5.64)

2

21

221

y

yE

xxE

NΔ

−−

+Δ

−−= (5.65)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ=

ωω21

2121

21

yEyxE

xN (5.66)

Métodos de Linha. Os métodos de linha são obtidos no caso bidimensional quando pré-condicionamos uma das direções (x ou y) com a matriz ideal. Desta forma resultam os métodos Line-Jacobi, Line-Gauss-Seidel e Successive Line over Relaxation – S.L.O.R., conforme apresentados nas Eqs. (5.67), (5.68) e (5.69), respectivamente.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−= yyx

N δ22

(5.67)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

Δ= yyxE

xN δ21

21

(5.68)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ= yyxE

xN δ

ω21

21

(5.69)

5.4 – Métodos ADI e Fatoração Aproximada.

Vimos na Seção 5.2 que no pré-condicionamento do lado esquerdo da Eq. (5.35), se o operador N for igual ao operador L, a convergência do método é rápida. Entretanto, o processo de solução de um pré-condicionamento deste tipo é muito caro. Para melhorar a eficiência numérica deste tipo de pré-condicionamento, fazemos uma fatoração aproximada do operador N. Neste processo, obtemos o operador L e mais uma parcela de erro Δ, conforme a Eq. (5.70).

(5.70) Δ+=≅ LNNN 21

Alternating Direction Implicit AF1. No método ADI AF1, o operador N tem a forma mostrada na Eq. (5.71). Veja que ao efetuarmos o produto dos fatores da Eq. (5.70), obtemos o operador L e mais um termo adicional de erro, conforme a Eq. (5.72). No momento, não vamos nos preocupar com este termo adicional, pois este não afeta a solução do estado estacionário.

( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−= yyxxAFN δαδα

α1

1 (5.71)

88

LyyxxAFN +−−= δδα

α 1(5.72) 1

onde α é um parâmetro de aceleração de convergência.

Substituindo o operador da Eq. (5.71) na Eq. (5.58), resulta a Eq. (5.73). A forma programável da Eq. (5.73) é mostrada nas Eqs. (5.74) e (5.75). Observe que se substituirmos a Eq. (5.75) na Eq. (5.74) eliminando a variável f, obtemos a Eq. (5.73). No primeiro passo, resolvemos a Eq. (5.74) em todos os pontos interiores da malha computacional e determinamos os valores de f. No segundo passo, resolvemos a Eq. (5.75) em todos os pontos interiores da malha computacional e obtemos os valores de C. Finalmente, atualizamos o potencial φ com a Eq. (5.76).

( ) nijLn

ijCyyxx φαωδαδα =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −− (5.73)

Passo1: ( ) n

ijLnijfxx φαωδα =−

(5.74) Passo2:

⎜⎛ nijfn

ijCyy =⎟⎠⎞

⎝− δα (5.75)

n

ijCnij

nij +=+φ 1 φ

(5.76)

Expandindo as Eqs. (5.74) e (5.75), obtemos as Eqs. (5.77) e (5.78). A Eq. (5.77), para um valor fixo do índice j e o índice i variando de 2 até Imax-1, representa um sistema tri-diagonal, que pode ser facilmente resolvido utilizando-se o algoritmo de Thomas. Da mesma forma, a Eq. (5.78), para um valor fixo do índice i e o índice j variando de 2 até Jmax-1 , representa também um sistema tri-diagonal.

njiLn

jifxn

jifxn

jifx ,,121

,22

,121 φαωα =+Δ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+−Δ

− (5.77)

njif

njiC

yn

jiCy

njiC

y ,1,21

,22

1,21

=+Δ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

Δ+−Δ

− α (5.78)

Alternating Direction Implicit AF2. No método ADI AF2, o operador N tem a forma mostrada na Eq. (5.79). Veja que ao efetuarmos o produto dos fatores da Eq. (5.79), obtemos o operador L e mais um termo adicional de erro, conforme a Eq. (5.80).

( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −∇Δ−−= yyxxAFN δαα

α1

2 (5.79)

LyyxxAFN +Δ−∇−= δα

α 12 (5.80)

onde α é um parâmetro de aceleração de convergência.

89

Substituindo o operador da Eq. (5.79) na Eq. (5.58), resulta a Eq. (5.81). A

forma programável da Eq. (5.81) é mostrada nas Eqs. (5.82) e (5.83). Observe que se substituirmos a Eq. (5.83) na Eq. (5.82) eliminando a variável f, obtemos a Eq. (5.81). No primeiro passo, resolvemos a Eq. (5.82) em todos os pontos interiores da malha computacional e determinamos os valores de f. No segundo passo, resolvemos a Eq. (5.83) em todos os pontos interiores da malha computacional e obtemos os valores de C. Finalmente, atualizamos o potencial φ com a Eq. (5.84).

( ) nijLn

ijCyyxx φωδααα

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −∇Δ−

−1(5.81)

Passo1: ( ) n

ijLnijfx φαωα =Δ−

(5.82)

Passo2: ⎜⎛ n

ijfnijCyyx =⎟

⎠⎞

⎝−∇ δα (5.83)

(5.84) n

ijCnij

nij +=+ φφ 1

Veja que expandindo as Eqs. (5.82) e (5.83), obtemos as Eqs. (5.85) e (5.86). A Eq. (5.85), para um valor fixo do índice j e o índice i variando de Imax-1 até 2, permite o cálculo de f sem a necessidade de inversão de matriz. Por outro lado, a Eq. (5.86), para um valor fixo do índice i e o índice j variando de 2 até Jmax-1, representa um sistema tri-diagonal, que pode ser resolvido utilizando-se o algoritmo de Thomas.

njiLn

jifxn

jifx ,,11

,1 φαωα =+Δ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Δ (5.85)

n

jiCx

njif

njiC

yn

jiCxy

njiC

y ,1,1,21

,22

1,21

−Δ+=+Δ

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Δ+

Δ+−Δ

−αα (5.86)

90

6.0 – IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS IMPLÍCITOS

Vamos iniciar o estudo de implementação de métodos implícitos com o sistema linear do tipo mostrado na Eq. (6.1). Aplicando o método implícito de Euler, Eq. (6.3), ao sistema linear definido na Eq. (6.1), resulta a equação de diferenças finitas mostrada na Eq. (6.4).

[ ] fuAdtud rrr

−=(6.1)

onde

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

nu

uu

uM

r 2

1

(6.2)

(6.3) 11 ++ ′+= nnn uhuu

[ ]( ) 11 ++ −=− nnn fhuuAhI

rrr (6.4)

Passando para a forma delta,

[ ] [ ]( ) [ ] 1+−=Δ− nnn fhuAhuAhIrrr (6.5)

Façamos agora a mesma coisa com o método trapezoidal definido na Eq. (6.6).

Substituindo a Eq. (6.1) na Eq. (6.6), obtemos a equação de diferenças finitas mostrada na Eq. (6.7).

( )11 21

++ ′+′+= nnnn uuuu h(6.6)

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )11 22 (6.7)

Passando para a forma delta,

(6.8)

Em geral, a função f não depende do tempo e, portanto chamamos de f a media

das funções, conforme a Eq. (6.9).

(6.9)

Façamos uma aplicação do que foi discutido acima ao sistema linear obtido

quando discretizamos o domínio unidimensional da Fig. 3.1 e aproximamos a segunda derivada da equação modelo de difusão utilizando diferenças finitas. A equação modelo

121

++ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − nnnn ffhuAhIuAhI

r rrr

[ ] [ ] [ ]( )fuAhuAhI nn

rrr−=Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21

21++

= nn fffr r

r

91

de difusão esta mostrada na Eq. (6.10) e o sistema linear de equações diferenciais ordinárias resultante está mostrado na Eq. (6.11).

( ) 2

2

xux

tu

∂∂

=∂∂ ν (6.10)

[ ] fuA

dtud rrr

+= (6.11) onde

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

44

333

222

11

20020

02002

aaaaa

aaaaa

A(6.12)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

b

a

u

u

f00r

(6.13)

2x

a ii Δ=ν

(6.14)

Aplicando o método implícito de Euler, resulta o sistema linear de equações algébricas mostrado na Eq. (6.15).

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

=

Δ

Δ

Δ

Δ

+−

−+−

−+−

−+

bu

au

h

n

uuuu

aaaaa

aaaaa

h

n

uuuu

hahahahaha

hahahahaha

00

5432

424003323002222

00112

5432

421400332130

022212

001121

(6.15)

Vamos aplicar o método implícito de Euler à equação de Euler unidimensional mostrada na Eq. (6.16). Utilizando esquema centrado com dois pontos, obtemos o sistema matricial de bloco mostrado na Eq. (6.17).

( )QAxt

Q∂ (6.16)

(6.17a)

onde

(6.17b)

∂−=

∂∂

( )

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ΔΔΔΔ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

+

+

1

6

1

1

5

4

3

2

4

53

42

3

5

4

3

2

4

53

42

3

ˆ

ˆ

0ˆ00

ˆ0ˆ00ˆ0ˆ00ˆ0

ˆ00

ˆˆ00ˆˆ00ˆ

n

nn

QA

QA

QQQQ

AAA

AAA

QQQQ

IAAIA

AIAAI

Ax

hA =2

ˆΔ

92

6.1 – Solução de Sistema Tridiagonal Escalar

Nesta seção, vamos apresentar o algoritmo de Thomas utilizado para resolver sistemas de matrizes tridiagonais do tipo mostrado na Eq. (6.18). O que queremos é transformar a matriz tridiagonal numa matriz da forma mostrada na Eq. (6.19).

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

4

3

2

1

43

432

321

21

000

000

ffff

uuuu

bacba

cbacb

(6.18)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1

1000100

010001

yyyy

uuuu

xx

x

(6.19)

O processo de obtenção da matriz acima, Eq. (6.19), é chamado de “forward sweep”. A expressão geral é mostrada na Eq. (6.20).

1

21 b

cx =

(6.20)

O segundo passo é chamado de “backward sweep”, conforme a Eq. (6.21).

(6.21)

6.2 – Solução de Sistema Tridiagonal de Bloco

A solução de sistemas tridiagonais de bloco é muito parecida ao caso escalar. Entretanto, devemos substituir a divisão por escalares por multiplicação de matrizes inversas. O processo “forward sweep” é apresentado nas Eqs. (6.22).

(6.22)

{ } [ ] [ ][ ]( ) { } [ ]{ }( )111

11 −−−

−− −−= iiiiiii YAFXABY

( )11

1

−−

+

−=

iii

ii xab

cx

11

11

−−

−−

−−

=iii

iiii xab

yafy

1+−==

iiii

nn

uxyuyu

[ ] [ ] [ ]21

11 CBX −=

] {[ ] [ }11

11 FBY −=

[ ] [ ] [ ][ ]( ) [ ]11

11 +−

−−−= iiiii CXABX

93

O processo “backward sweep” é mostrado na Eq. (6.23).

{ } { }nn YQ =(6.23)

[ ]{ } { } { }1+= − iiii QXYQ

6.3 – Implementação de Métodos Implícitos para Sistemas não Lineares

Nesta seção, vamos mostrar como é feita a implementação de métodos implícitos para sistemas não lineares do tipo mostrado na Eq. (6.24). Expandindo as funções F(u,t) e u(t) da Eq. (6.24) em série de Taylor, obtemos as Eqs. (6.25). O termo u-un na Eq. (6.25b) é de ordem h. Portanto, podemos escrever a Eq. (6.25a) da forma mostrada na Eq. (6.26).

( )tuF

dtdu ,=

(6.24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) L+−∂

∂+−−

∂∂

∂

+−∂

∂+−

∂

∂+−

∂

∂+=

⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞

⎟⎟⎠

⎞⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

22

2

2

12

22

2

2

1,,

ntt

nt

Fnttnuu

ntu

F

nuu

nu

Fntt

nt

Fnuu

nu

FntnuFtuF

(6.25a)

(6.25b)

( ) ( ) L+−⎟⎟⎠

⎞∂∂

+−⎟⎠⎞

∂∂

+= 22

2

21

nn

nn

n tttutt

tuuu

( ) ( ) ( ) ( )2, hOtttFuu

uFFtuF n

nn

nn +−⎟

⎠⎞

∂∂

+−⎟⎠⎞

∂∂

+= (6.26)

Utilizando o método trapezoidal para integrar a Eq. (6.24), obtemos a Eq. (6.27). Substituindo Fn+1 na Eq. (6.27) por sua expansão em série de Taylor, Eq. (6.26), obtemos a Eq. (6.28). Passando a Eq. (6.28) para a forma delta, obtemos a Eq. (6.29).

( ) ( )

(6.27) ( ) ( )211

211

2121

hOFFhuu

hOuuhuu

nnnn

nnnn

+++=

+′+′+=

++

++

( ) ( )211 2

1 hOFhtFuu

uFFhuu n

nnn

nnnn +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

∂∂

+−⎟⎠⎞

∂∂

++= ++ (6.28)

nnn

n tFhhFu

uFh ⎟

⎠⎞

∂∂

+=Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

∂∂

− 2

21

211 (6.29)

94

Quando a função é uma função implícita do tempo, a última derivada parcial em relação ao tempo se anula, resultando a Eq. (6.30).

nn

n

hFuuFh =Δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

∂∂

−211 (6.30)

Vamos agora transformar a equação diferencial de terceira ordem, Eq. (6.31),

num sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Utilizando as Eqs. (6.32), podemos transformar a Eq. (6.31) no sistema de equações diferenciais de primeira ordem apresentado na Eq. (6.33).

01

2

2

2

3

3

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++

dtdf

dtfdf

dtfd β (6.31)

2

2

1 dtfdu =

(6.32) dt

dfu =2

f=u3

( )

323

212

122131 1

FuuFuu

Fuuuu

==′==′

=−−−=′ β(6.33)

Veja que o sistema (6.33) pode ser escrito na forma vetorial, conforme mostra a Eq. (6.34).

Fdtud rr

=(6.34)

onde ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −−−=

2

1

2213 1

uu

uuuF

βr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

uuu

ur

(6.35)

Aplicando o método de diferenças finitas usado no caso de sistemas lineares, chega-se ao mesmo resultado mostrado na Eq. (6.30), repetida abaixo como Eq. (6.36).

[ ] nn hFuAh =Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

211 (6.36)

onde

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

uF

uF

uF

uF

uF

uF

uF

uF

uF

uFA r

r (6.37)

95

A matriz acima é conhecida como matriz Jacobiana. Para a Eq. (6.34) a matriz (6.37) é mostrada na Eq. (6.38).

2[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−=

010001

123 uuuA

β(6.38)

Substituindo a matriz (6.38) na Eq. (6.36), resulta o sistema de equações algébricas mostrado na Eq. (6.39).

( ) nn

n

huhu

uhuhu

uuu

h

h

uhhuuh

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔΔ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−+

2

1

2231

3

2

1123 1

12

0

012

221

ββ

(6.39)

7.0 – Esquemas Upwind e Dissipação Artificial Neste capitulo, vamos discutir os aspectos relacionados com as diferenças entre esquemas centrados e upwind e a necessidade de se adicionar explicitamente dissipação artificial nos esquemas centrados. Já os esquemas upwind, não necessitam da adição de termos de dissipação, pois estes possuem implicitamente estes termos. Para tanto, vamos retornar ao assunto da equação modificada abordado no Capitulo 3.0. Ao aproximarmos a primeira derivada da equação modelo de convecção (7.1) utilizando uma expressão geral para o operador de diferenças finitas (7.2), obtemos a Eq. (7.3).

xuc

tu

∂∂

−=∂∂

(7.1)

(7.2)

( ) ( ) ( )[ ]11 1212

1+− −+++−

Δ=≅⎟

⎠⎞

∂∂

iiiixi

uuux

uxu βββδ

(7.3) ( ) ( )[ ]11 1212 +− −+++−Δ

−=⎟⎠⎞

∂∂

iiii

uuux

ctu βββ

onde

β=0, esquema centrado. β≠0, esquema “one-sided”.

Expandindo em serie de Taylor os termos do lado direito da Eq. (7.3), obtemos as Eqs. (7.4).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

+−⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

++⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

+−⎟⎠⎞

∂∂

Δ+++−=+− −

iiiiii x

uxxux

xux

xuxuu 4

44

3

33

2

22

1 241

61

21111 ββββββ

(7.4) ii uu ββ 22 =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

−+⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

−+⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

−+⎟⎠⎞

∂∂

Δ−+−=− −

iiiiii x

uxxux

xux

xuxuu 4

44

3

33

2

22

1 241

61

21111 ββββββ

96

Somando as Eqs. (7.4), obtemos a Eq. (7.5).

( )[ ]tcxiteetxu222 )(),( γωωτωνω −−+−=

(7.5)

Substituindo a Eq. (7.5) na Eq. (7.3), resulta a Eq. (7.6) mostrada abaixo.

(7.6)

Ao aproximarmos a derivada espacial da equação de convecção pelo operador de diferenças finitas, a equação que estamos resolvendo não é mais a equação de convecção, mas sim a Eq. (7.6). Vamos repetir a Eq. (7.6), mas desta vez com coeficientes simplificados para facilitar a nossa análise.

(7.7)

Admitindo que a Eq. (7.8) seja solução da Eq. (7.7), após a substituição, obtemos a Eq. (7.9) que nos permite determinar os coeficientes a e b em termos dos coeficientes da Eq.(7.7).

(7.8)

(7.9)

Substituindo os valores de a e b obtidos na Eq. (7.9) na Eq. (7.8), chega-se ao resultado mostrado na Eq. (7.10). O primeiro termo do lado direito da Eq. (7.10) é a amplitude de oscilação que é controlada pelas derivadas pares (dissipação). O segundo termo é a fase de oscilação que é controlada pelas derivadas impares (dispersão).

(7.10) Se ν e τ >0, a amplitude decai; Se ν=τ=0, a amplitude é constante; Se ν ou τ<0, a amplitude cresce. Vamos verificar o comportamento do termo de fase. Para isto, vamos admitir que ν=τ=0. Assumindo inicialmente que γ=0, obtemos a Fig. (7.1) para o deslocamento de uma onda sem dispersão de fase.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

−⎟⎟⎠

⎞∂∂Δ

+⎟⎟⎠∂

∂Δ−⎟

⎠⎞

∂∂

ΔΔ

= L4

44

3

33

2

22

1232

21

xux

xux

xux

xux

xu

iiiix ββδ

⎞

L+∂∂Δ

+∂∂Δ

−∂∂Δ

+∂∂

−=∂∂

4

43

3

33

2

2

2462 xuxc

xuxc

xuxc

xuc

tu ββ

4

4

3

3

2

2

xu

xu

xu

xuc

tu

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

−=∂∂ τγν

tbiaxi eetxu )(),( += ω

τωγωνωω 432 +−−−=+ icibia

97

Figura 7.1 – Deslocamento de Onda sem Dispersão de Fase

Façamos agora para γ>0, obtemos a Fig. (7.2) para o deslocamento de uma onda com dispersão de fase.

Figura 7.2 – Deslocamento de Onda com Dispersão de Onda

O método numérico resolve a equação modificada. O esquema centrado (β=0) só causa erro de fase, não mudando a natureza do fenômeno. Um esquema não centrado (upwind), modifica a natureza do fenômeno adicionando implicitamente dissipação artificial. Nos problemas não lineares ocorre o cascateamento de freqüência onde freqüências maiores são geradas a partir de freqüências menores. Pode ocorrer que a malha computacional não seja suficientemente refinada e não consiga resolver as freqüências altas provocando instabilidade, veja a ilustração mostrada na Fig. (7.3).

Figura 7.3 – Onda de Alta Freqüência não Resolvida pela Malha Computacional

Este problema pode ser eliminado introduzindo-se viscosidades numéricas. A dissipação numérica pode ser benéfica para resolução de problemas com comportamento não linear, ou seja, com cascateamento de freqüência. A Fig. (7.4) mostra o Espectro de energia. O quanto adicionar de dissipação artificial depende do fenômeno. Como regra geral, colocar o mínimo suficiente para resolver o problema.

98

Figura 7.4 – Espectro de energia

99

8.0 – COORDENADAS CURVILÍNEAS GERAIS

Até agora, somente trabalhamos com equações em coordenadas Cartesianas. Para estudar escoamentos ao redor de geometrias mais complexas, o uso de coordenadas generalizadas permite a utilização de malhas computacionais não uniformes adaptadas ao contorno do corpo que facilitam bastante a implementação de condições de contorno. Para tanto, precisamos transformar as equações governantes do plano físico para o plano computacional, conforme mostra a Fig. 8.1.

Figura 8.1 – Plano físico e computacional

Para transformarmos uma equação em coordenadas Cartesianas para coordenadas

generalizadas, assumimos a existência da transformação direta do tipo mostrada na Eq. (8.1) e da transformação inversa mostrada na Eq. (8.2).

( )( )

tttyxtyx

=

==

ˆ,,,,

ηηξξ

(8.1)

( )( )

tttyytxx

ˆ,,

ˆ,,ξ

=

==

ηξη

(8.2)

Diferenciando as Eqs. (8.1) e (8.2) obtemos os seguintes sistemas matriciais que relacionam as coordenadas do plano físico com as coordenadas do plano computacional, conforme as Eqs. (8.3) e (8.4).

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

dtdydx

tddd

tyx

tyx

100ˆηηηξξξ

ηξ

(8.3)

100

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

tddd

yyyxxx

dtdydx

t

t

ˆ100ˆ

ˆ

ηξ

ηξ

ηξ(8.4)

Substituindo a Eq. (8.4) na Eq. (8.3), podemos eliminar o vetor (dx,dy,dt) das duas equações e obtermos o sistema matricial mostrado na Eq. (8.5).

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

tddd

yyyxxx

tddd

t

t

tyx

tyx

ˆ100100ˆˆ

ˆ

ηξ

ηηηξξξ

ηξ

ηξ

ηξ

ou

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++++++++

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

tddd

yxyxyxyxyxyx

tddd

ttytxyxyx

ttytxyxyx

ˆ100ˆˆˆ

ˆˆ

ηξ

ηηηηηηηξξξξξξξ

ηξ

ηηξξ

ηηξξ(8.5)

Note que a matriz do sistema acima é na verdade a matriz identidade, pois multiplicando esta matriz por um vetor e obtendo o mesmo vetor como resultado significa que a matriz em questão somente pode ser a matriz identidade. Desta forma, resulta o seguinte sistema de equações envolvendo os termos de métricas.

0

1

0

0

0

1

ˆˆ

ˆˆ

=++

=+

=+

=++

=+

=+

ttytx

yx

yx

ttytx

yx

yx

yxyxyxyxyxyx

ηηη

ηη

ηη

ξξξ

ξξ

ξξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

(8.6)

Resolvendo o sistema de equações (8.6), obtemos relações convenientes entre os termos de métricas que serão utilizadas posteriormente ao transformarmos as equações em coordenadas Cartesianas para coordenadas generalizadas. As Eqs. (8.7) mostram estas relações.

101

ηξηξ

ηη

ξξ

ξ

η

xyyxJ

Jxyyx

Jyxxy

ttt

ttt

−=

=−

=−

1

ˆˆˆ

ˆˆ

Jy

Jx

Jx

Jy

x

y

y

x

η

η

ξ

ξ

ξ

ξ

η

η

−=

=

−=

=

(8.7)

Na prática, não calculamos diretamente os termos de métricas ξx, ηx, ξy e ηy. O que podemos calcular, são os termos xξ, xη, yξ e yη,, conforme mostra a Eq. (8.8). Depois, utilizamos as Eqs. (8.7) para obter as métricas ξx, ηx, ξy e ηy e o Jacobiano J.

(8.8)

8.1 – Equação do Tipo Poisson em Coordenadas Curvilíneas Gerais

A equação de Poisson que estamos interessados em trabalhar está relacionada com o método da projeção que será visto em detalhes na seção 11.0. A Eq. (8.9) mostra a equação que estamos interessados em transformar de coordenadas Cartesianas para coordenadas generalizadas. Usando a regra da cadeia, podemos obter a Eq. (8.10). Derivando mais uma vez a Eq. (8.10) em relação a x, obtemos a Eq. (8.11).

(8.9)

(8.10)

(8.11)

Da mesma forma,

(8.12)

2

21,1,

,1,1

−+

−+

−=

−=

jiji

iji

xxx

xxx

η

ξj

tV

yp

xp

Δ⋅∇

=∂∂

+∂∂

r

2

2

2

2

xxx ppp ηξ ηξ +=

( ) ( ) xxxxxxxx ppppp ηηξξηξηηξξηξ +++=

( ) ( ) yyyyyyyy ppppp ηηξξηξηηξξηξ +++=

102

Somando as Eqs. (8.11) e (8.12) e dividindo ambos os lados por J, obtemos a Eq. (8.13). Lembrando das Eqs. (8.7), podemos reescrever a Eq. (8.13) da forma mostrada na Eq. (8.14).

( ) ( ) ( ) ( )J

pppp

J

pppp

Jpp yyyyyyxxxxxxyyxx

ηηξξηξηηξξηξηηξξηξηηξξηξ +++

++++

=+

(8.13)

(8.14) ( ) ( ) ( ) ( ) ξηηξηξηξξηηξηξηξ ηξηξηξηξ xppxppyppyppJ

ppyyyyxxxx

yyxx +++−+−+=+

Observe que:

( )[ ] ( ) ( ) ξηηξηξηξξηηξ ηξηξηξ yppyppypp xxxxxx + = + + +

(8.15)

( )[ ] ( ) ( ) ξηηξξηηξηξηξ ηξηξηξ yppyppypp xxxxxx +−+−=+−( )[ ] ( ) ( ) ξηηξηξηξξηηξ ηξηξηξ xppxppxpp yyyyyy +−+−=+−

( )[ ] ( ) ( ) ξηηξξξηξηξηξ ηξηξηξ xppxppxpp yyyyyy + = + + +

Somando as Eqs. (8.15) e comparando o resultado com a Eq. (8.14), podemos escrever a Eq. (8.16).

(8.16)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

ηξηξξηξξηηξηηξ ηξηξηξηξ yppxppxppyppJ

ppxxyyyyxx

yyxx +−+++−+=+

Lembrando novamente das Eqs. (8.7), a Eq. (8.16) pode ser reescrita da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )η

ηξηξ

ξ

ηξηξ ηηξηηξξηξξηξ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++=

+

Jpppp

Jpppp

Jpp xxxyyyyyyxxxyyxx (8.17)

Finalmente, após uma pequena manipulação algébrica,

η

ηξ

ξ

ηξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+

JpApA

JpApA

Jpp yyxx 3221

(8.18) onde

223

2

221

yx

yyxx

yx

A

AA

ηη

ηξηξ

ξξ

+=

+=

+=

(8.19)

103

Portanto, transformamos o lado esquerdo da Eq. (8.8) para coordenadas

generalizadas. Vamos agora transformar o lado direito, ou seja:

yv

xuV

∂∂

+∂∂

=⋅∇r

(8.20)

Utilizando a regra da cadeia,

yy

xx

vvyv

uuxu

ηξ

η(8.21)

Substituindo as Eqs. (8.21) na Eq. (8.20) e dividindo ambos os lados por J, resulta a Eq. (8.22).

(8.22)

Lembrando novamente das Eqs. (8.7),

(8.23)

Somando as Eqs. (8.23) e substituindo o resultado na Eq. (8.22), obtemos o lado direito da Eq. (8.8).

(8.24)

Finalmente, substituindo as Eqs. (8.18) e (8.24) na Eq. (8.8), obtemos a equação de Poisson desejada em coordenadas generalizadas.

(8.25)

ξ

ηξ

ηξ

+=∂∂

+=∂∂

Jvvuu

Jvu yyxxyx ηξηξ ηξη ++ +

=+ ξ

ξηη

η

η

η

ξηξ

ξ

ξ

ξ

ξηη

η

η

η

ξηξ

ξ

ξ

ξ

ηηηη

ξξξξ

ηηηη

ξξ ξξ

vxJ

vJ

vJ

vJ

v

vxJ

vJ

vJ

vJ

v

uyJ

uJ

uJ

uJ

u

uyJ

uJ

uJ

uJ

u

yyyy

yyyy

xxxx

xxxx

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ηξ

ηηξξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎞

⎠⎜⎜⎝

⎛ +=

⋅∇J

vuJ

vuJV yxyx

r

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

ηξη

ηξ

ξ

ηξ ηηξξJ

vuJ

vutJ

pApAJ

pApA yxyx13221

104

Podemos dar as seguintes interpretações físicas aos coeficientes da Eq. (8.25). J ∝ 1/volume (sempre positivo) A2 ∝ (não ortogonalidade da malha) A1 e A3 ∝ (alongamento das células)

8.2 – Equação de Burger em Coordenadas Generalizadas

Nesta seção, vamos transformar a equação de Burger de coordenadas Cartesianas para coordenadas generalizadas. Para iniciar, apresentamos a equação de Burger em coordenadas Cartesianas, mas escrita na forma conservativa e vetorial, conforme mostra a Eq. (8.26).

(8.26) 0=++ yxt FEQ

onde

(8.27) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=y

y

x

x

vvuuv

Fvuvuu

Evu

Qνν

νν

2

2

,,

Usando a regra da cadeia,

ttttt

yyy

xxx

QQtQQ

FFFEEE

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

++=

+=

+=

ˆˆ

(8.28)

Substituindo as Eqs. (8.28) na Eq. (8.26) e dividindo tudo por J, resulta a Eq. (8.29).

0ˆ =

++++++

JFFEEQQQ yyxxttt ηξηξηξ ηξηξηξ

(8.29)

Lembrando novamente das Eqs. (8.7), podemos obter as seguintes equações:

( )tttt

ttt

t

yxxyxyxyQJ

QJJ

QJ

QJQ

ˆˆˆˆˆ

2ˆˆ

ˆξηηξξηξη −−++=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(8.30a)

( )tttttttt xyxyyxyxQ

JQ

JQ

JQ

JQ

ξηηξξηξηξξ

ξξ

ξξξξ−−++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

( )tttttttt yxyxxyxyQ

JQ

JQ

JQ

JQ

ˆˆˆˆ ηξξηηξξηηη

ηη

ηηηη−−++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

105

ηξξ

ξξ

ξ

ξξξξ EyJ

EJ

EJ

EJ

E xxxx +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ξηηη

ηη

ηηηη EyJ

EJ

EJ

EJ

E xxxx −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(8.30b)

ηξξξ

ξξ

ξξξξFx

JF

JF

JF

JF yyyy −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξηηη

ηη

ηηηηFx

JF

JF

JF

JF yyyy +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Somando as Eqs. (8.30) e substituindo o resultado na Eq. (8.29), resulta a transformação desejada, conforme mostra a Eq. (8.31).

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ηξ

ηηηξξξJ

FEQJ

FEQJQ yxtyxt

t(8.31)

Substituindo o vetor de variáveis conservadas Q, os vetores de fluxo E e F na Eq. (8.31), obtemos a versão final da equação de Burger em coordenadas generalizadas, conforme mostra a Eq. (8.32).

( ) ( ) 0=−+−+ ηξ vevet FFEEQ (8.32)

onde

(8.33) ⎭

⎬⎫

(8.34)

(8.35)

(8.36)

⎩⎨=

vu

JQ 1 ⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ηξ

ηξνvAvAuAuA

JE

vUuU

JE ve

21

21,1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ηξ

ηξνvAvAuAuA

JF

vVuV

JF ve

32

32,1

223

2

221

yx

yyxx

yx

yxt

yxt

A

AA

vuVvuU

ηη

ηξηξ

ξξ

ηηη

ξξξ

+=

+=

+=

++=

++=

106

9.0 – MÉTODO DE FATORAÇÃO APROXIMADA APLICADO À EQUAÇÃO DE LAPLACE

Neste capítulo, vamos apresentar os dois métodos mais populares para a solução da

equação de Laplace em coordenadas generalizadas, o AF1 e o AF2. A forma geral do esquema de iteração é mostrada na Eq. (9.1). O operador N para o esquema AF1 é apresentado na Eq. (9.2).

(9.1) 0,, =+ nji

nji LpNC ω

( )( ) njiji

nji CAANC ,,

ˆˆ1ηηξξ αα

α∇Δ−∇Δ−−= (9.2)

onde

2/1,

3

,2/1

1

ˆ

ˆ

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

jij

jii

JAA

JAA

(9.3)

Este operador envolve a inversão de duas tridiagonais, uma em ξ e outra em η. A sua implementação é dividida em dois passos. Primeiramente, resolvemos a Eq. (9.4) para todos os pontos interiores da malha computacional marchando na direção η para obter os valores de fi,j. Posteriormente, resolvemos a Eq. (9.5) para todos os pontos interiores da malha, marchando na direção ξ com os valores obtidos para fi,j no primeiro passo para obter os valores de Ci,j.

( ) nji

njii LpfA ,,

ˆ αωα ξξ =∇Δ−(9.4)

( ) nji

njij fCA ,,

ˆ =∇Δ− ηα η (9.5) onde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+∇+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +Δ∇=

JpApA

JpApA

Lpnji

ηξη

ηξξ

δδ 3221,

ˆˆ(9.6)

( )jijijiji ppppp ,1,11,11,14

1ˆ−++−++ −+−=ξδ

(9.7) ( )1,1,1,11,141ˆ

−+−+++ −+−= jijijiji pppppηδ

107

O operador N para o esquema AF2 é apresentado na Eq. (9.8).

)( ( ) njiji

nji CAANC ,,

ˆˆ1ηηξξ αα (9.8) α

∇Δ−∇Δ−−=

O operador acima também é dividido em dois passos como no caso do operador

AF1. Primeiramente, avaliamos a Eq. (9.9) para todos os pontos interiores da malha computacional para obter os valores de fi,j, marchando na direção η sem a necessidade de inversão de matriz tridiagonal. Posteriormente, avaliamos a Eq. (9.10) para todos os pontos interiores da malha, marchando na direção ξ, mas desta vez, precisamos inverter matrizes tridiagonais.

( ) nji

njii LpfA ,,

ˆ αωα ξ =Δ− (9.9)

( ) nji

njij fCA ,,

ˆ =∇Δ−∇ ηηξα (9.10)

Com a análise de estabilidade de Fourier, chegamos às seguintes condições de estabilidade:

0

20≥

≤≤α

ω(9.11)

A análise de estabilidade de Fourier assume uma condição de contorno periódica.

Se levarmos em consideração a condição de contorno real do problema, obtemos às seguintes condições de estabilidade:

20

3

≤≤≥

ωωα A

(9.12)

Um procedimento muito usado para acelerar a convergência do método é utilizar uma seqüência de α`s, conforme mostra a Eq. (9.13).

Mk

Mk

H

LHk ,,3,2,1,

(9.13)

11

L=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

αααα

O valor de M não precisa ser igual ao número de iterações. Para o caso do esquema AF2,

(9.14)

xH

L

Δ≅

≅1

1α

α

108

10.0–MÉTODO DE BEAM AND WARMING APLICADO À EQUAÇÃO DE

BURGER 10.1 – Esquema de Fatoração Aproximada de Beam and Warming

Neste capitulo, vamos apresentar todos os detalhes da dedução do esquema de fatoração aproximada de Beam and Warming. O primeiro passo da dedução é a escolha do método de integração ou marcha no tempo que será usado. O método de Euler implícito mostrado na Eq. (10.1) é uma escolha muito conveniente não apenas pela sua simplicidade, mas também por não possuir as restrições dos métodos explícitos quanto ao passo de integração. Eliminando a derivada temporal da Eq. (10.1) utilizando a Eq. (8.31), resulta a Eq. (10.2).

( )tOtQtQQ

nnn Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Δ+=+

+1

1 (10.1)

( )111 +++ +Δ−= nnnn FEtQQ ηξ (10.2)

Na Eq. (10.2), os vetores de Fluxo E e F são avaliados no nível de tempo n+1, onde ainda não conhecemos as propriedades do escoamento. Para contornar esta dificuldade, executamos a linearização de Newton na Eq. (10.2) para obter os vetores de fluxo no nível de tempo n, conforme as Eqs. (10.3).

L

L

+Δ⎟⎟⎠

⎞

∂∂

+Δ⎟⎟⎠

⎞∂∂

+=

+Δ⎟⎟⎠

⎞

∂∂

+Δ⎟⎟⎠

⎞∂∂

+=

+

+

ηη

ξξ

QQFQ

QFFF

QQEQ

QEEE

nnnn

nnnn

1

1

(10.3)

onde (10.4) JQQ =

Substituindo a Eq. (10.3) na Eq. (10.2), obtemos a seguinte equação:

[ ] [ ] [ ]ηηηξξξηξ QMQBtQMQAtFEtQQ nnnnnnnn Δ−ΔΔ−Δ−ΔΔ−+Δ−=+ ˆˆ1 (10.5)

Vamos aproximar as derivadas espaciais por diferenças finitas. Os termos

convectivos serão aproximados por diferenças centradas e os termos viscosos por diferenças “one-sided”. Após passarmos os termos em ΔQ para o lado esquerdo, resulta a Eq. (10.6).

[ ] ( )n

jinnnn RHSQJMtBtJMtAtI =ΔΔ∇Δ−Δ+Δ∇Δ−Δ+ ,

ˆˆηηηηξξξξ δδ (10.6)

109

onde

( ) [ ]nv

ne

nv

ne

n FFEEtRHS ηηξξ δδ ∇−+∇−Δ−=

(10.7)

n

vnn

en

QEM

QEJA ⎟

⎟⎠

⎞

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞∂∂

=ξ

ξ,ˆ

n

vnn

en

QFM

QFJB ⎟

⎟⎠

⎞

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞∂∂

=η

η,ˆ

A matriz da Eq. (10.6) é uma matriz pentadiagonal de bloco e esparsa. Portanto, este sistema é muito caro para ser resolvido, ou seja, não existem procedimentos eficientes de solução. Para contornar esta dificuldade fazemos uma fatoração aproximada, conforme mostra a Eq. (10.8).

[ ][ ] ( )nnnnn RHSQJMtBtIJMtAtI =ΔΔ∇Δ−Δ+Δ∇Δ−Δ+ ηηηηξξξξ δδ ˆˆ (10.8)

Observe que no primeiro fator do lado esquerdo da Eq. (10.8), somente existem derivadas em ξ e no segundo fator somente derivadas em η. Portanto, podemos dividir o problema em dois passos, conforme mostram as Eqs. (10.9) e (10.10).

[ ] ( )nji

nn RHSfJMtAtI =Δ∇Δ−Δ+ ,ˆ

ξξξξδ (10.9)

[ ] jijinn fQJMtBtI ,,

ˆ =ΔΔ∇Δ−Δ+ ηηηηδ (10.10)

O problema agora ficou reduzido à solução de dois sistemas tridiagonais de bloco, que podem ser resolvidos eficientemente utilizando-se o algoritmo de Thomas, discutido no Cap. 6. No primeiro passo, resolvemos a Eq. (10.9) para obter o valor de f em todos os pontos interiores da malha computacional, marchando na direção η, ou seja, j=2,3,...,Jmax-1. Para cada valor de j, temos que resolver um sistema tridiagonal de bloco. No segundo passo, resolvemos a Eq. (10.10) para obter o valor de ΔQ em todos os pontos internos da malha computacional, marchando na direção ξ, ou seja, i=1,2,3,..., Imax-1. Com o valor de ΔQ obtido no segundo passo, podemos atualizar o vetor de variáveis conservadas Q.

A análise de estabilidade linear de von Neumann do esquema centrado de fatoração aproximada de Beam and Warming mostra que dissipação artificial deve ser adicionada explicitamente para garantir a estabilidade do esquema. A dissipação artificial elimina freqüências altas e controla ou elimina o desacoplamento impar-par inerente aos esquemas de diferenças centradas. Podemos adicionar explicitamente um termo de dissipação de quarta ordem no lado direito da Eq. (10.9) e um termo de dissipação de segunda ordem no lado esquerdo das Eqs. (10.9) e (10.10). O resultado é mostrado na Eq. (10.11).

(10.11)

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] jijinn

nji

nn

fQDJMtBtI

DRHSfDJMtAtI

,,2

4,

2

ˆ

ˆ

=Δ+Δ∇Δ−Δ+

+=+Δ∇Δ−Δ+

ηηηηη

ξξξξξ

δ

δ

onde

110

Jξ

( )

( )

( ) ( ) ( )[ ] ne

i

i

JQtJD

JtJD

tJD

2214

12

12

ηηξξ

ηηη

ξξ

ε

ε

ε

Δ∇+Δ∇Δ−=

Δ∇Δ−=

Δ∇Δ−=

−

−

−

(10.12)

10.2 – Matrizes Jacobianas de Fluxo

Para a implementação do esquema de fatoração aproximada de Beam and Warming é necessário conhecermos as matrizes Jacobianas de fluxo. Nesta seção, apresentamos essas matrizes para a equação de Burger, que no Cap. 11 será utilizada no método das projeções.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

yx

yx

yy

yx

vVvuuV

BvUv

uuUA

ηηηη

ξξξξ ˆ,ˆ (10.13)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3

3

1

1

00

,0

0A

AJ

MA

AJ

M ννηξ (10.14)

10.3 – Discretização dos Termos Viscosos

Na discretização dos termos viscosos do lado direito da Eq. (10.6) utilizamos uma diferença “backward” para aproximar as derivadas espaciais dos vetores de fluxo viscosos. Portanto, dentro dos vetores de fluxo viscosos, as derivadas espaciais deverão ser aproximadas utilizado-se diferenças “forward”, conforme mostram as Eqs. (10.15) e (10.16).

(10.15)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

++

++

vJAv

JA

uJAu

JA

E

jiji

jijiv

ηξ

ηξ

δ

δν

ˆ

ˆ

,2/1

2

,2/1

1

,2/1

2

,2/1

1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

Δ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

++

++

vJA

vJA

uJA

uJA

F

jiji

jijiv

ηξ

ηξ

δ

δν

2/1,

3

2/1,

2

2/1,

3

2/1,

2

ˆ

ˆ

(10.16)

onde ( )jijijiji uuuuu ,1,11,11,14

1ˆ−++−++ −+−=ξδ (10.17)

( )1,1,1,11,1

1ˆ−+−+++ −+−= jijijiji uuuuuηδ

4

111

(10.18) 11.0 – SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER – STOKES INCOMPRESSÍVEIS 11.1 - Método da Projeção

Nos capítulos anteriores, vimos como resolver numericamente as equações elípticas e as equações de Burger utilizado o método de fatoração aproximada, Cap. 9.0 e 10.0, respectivamente. No presente capítulo, vamos utilizar o que foi aprendido nos dois capítulos anteriores para a solução das equações de Navier – Stokes incompressíveis utilizando o método da projeção.

Na formulação original do método da projeção proposto por Chorin, os termos do gradiente de pressão são omitidos das equações de conservação da quantidade de movimento no primeiro passo. As equações de Burger não estacionárias, cuja solução em coordenadas generalizadas foi discutida no Cap. 10.0, são integradas no tempo para obter –se um campo de velocidade provisório V*. Num segundo passo, este campo de velocidade provisório é corrigido levando-se em consideração o gradiente de pressão e a equação da continuidade. Isto é feito considerando-se a Eq. (11.1) sujeita à equação da continuidade (11.2).

01

*1

= (11.1)

(11.2)

Calculando o divergente da Eq. (11.1) sujeito à equação da continuidade (11.2), obtemos a equação de Poisson (11.3), cuja solução em coordenadas generalizadas foi discutida no Cap. 9.0.

(11.3)

O procedimento de solução consiste em primeiramente calcular o campo de

velocidade V* utilizando as equações de conservação da quantidade de movimento sem os termos do gradiente de pressão, ou seja, as equações de Burger. Posteriormente, a equação de Poisson para a pressão (11.3) é então resolvida para o campo de pressão. Finalmente, o campo de velocidade é corrigido utilizando-se a Eq. (11.1). 11.2 – Método do Escoamento Levemente Compressível

O método do escoamento levemente compressível leva em consideração a compressibilidade do fluido somente na equação da continuidade. A equação da continuidade compressível e a definição de compressibilidade isotérmica são mostradas nas Eqs. (11.4) e (11.5), respectivamente.

(11.4)

∇+Δ

− ++

nn

pt

VVr r

01 =⋅∇ +nVr

tVpn

Δ⋅∇

=∇ +*

12

r

( ) 0=⋅∇+∂∂ V

tr

ρρ

112

Tp ⎟⎟⎠

⎞∂∂

=ρ

ρτ 1

(11.5)

Restringindo o nosso estudo para escoamentos isotérmicos com coeficiente de compressibilidade constante, podemos integrar a Eq. (11.5) para obter a Eq. (11.6).

(11.6) ( )∞−∞= ppeτρρ

Fazendo uma expansão em série de Taylor da Eq. (11.6), obtemos a Eq. (11.7).

( ) ( ) K+−+−+= ∞∞∞∞∞22

21 pppp τρτρρρ

(11.7)

Considerando que a compressibilidade isotérmica é muito pequena, vamos considerar somente os dois primeiros termos da Eq. (11.7). Substituindo a Eq. (11.7) (com apenas os dois primeiros termos) na equação da continuidade compressível, resulta a Eq. (11.8).

( ) ( ) 01 =⋅∇−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅∇+

∂∂

∞∞∞ VpVptp rr

τρτρ (11.8)

Na formulação incompressível, onde assume-se que a compressibilidade isotérmica é nula, a Eq. (11.8) se reduz à Eq. (11.9), que é a equação da continuidade no caso de fluidos incompressíveis.

0=⋅∇ Vr (11.9)

Felizmente, uma equação mais conveniente pode ser obtida se considerarmos a

compressibilidade isotérmica diferente de zero. Observe que a equação da continuidade (11.8) pode ser satisfeita se

τ1

=∞p(11.10)

( ) 0=⋅∇+∂∂ Vp

tp r

(11.11)

Nas equações da conservação da quantidade de movimento, não levamos em consideração a compressibilidade isotérmica do fluido. A forma adimensional da Eq. (11.11) juntamente com as equações de conservação da quantidade de movimento são apresentadas a seguir em coordenadas generalizadas, na forma conservativa e vetorial.

( ) ( ) 0=−+−+ ηξ vevet FFEEQ (11.12)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

vup

JQ 1 (11.13)

113

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++= ∞

ηξ

ηξ

ξξ

vAvAuAuA

JRME

pvUpuU

pU

JE

ev

y

xe

21

21

0,1

(11.14)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++= ∞

ηξ

ηξ

ηη

vAvAuAuA

JRMF

pvVpuV

pV

JF

ev

y

xe

32

32

0,1

(11.15)

onde

yxt

yxt

vuVvuUηηη

ξξξ

++=

++=(11.16)

223

2

221

yx

yyxx

yx

A

AA

ηη

ηξηξ

ξξ

+=

+=

+=

(11.17)

A forma adimensional é importante numericamente falando, pois garante que as variáveis terão valores entre zero e a unidade. A Eq. (11.12) foi adimensionalizada de acordo com as seguintes definições, onde o símbolo de * significa que a variável é dimensional:

∞∞

==avv

auu

**

, (11.18)

LUtt

Lyy

Lxx ∞===

***

,, (11.19)

τρρ ∞

∞∞∞∞

===1,1,2

*

apa

pp (11.20)

∞

∞∞

∞

∞∞ ==

μρ LUR

aUM e, (11.21)

11.3 – Método de Beam and Warming

O método de fatoração aproximada de Beam and Warming apresentado no Cap. 10 para resolver a equação de Burger pode ser utilizado eficientemente para resolver a Eq. (11.12), conforme mostra a Eq. (11.22).

114

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] jijinn

nji

nn

fQDJMtBtI

DRHSfDJMtAtI

,,2

4,

2

=Δ+Δ∇Δ−Δ+

+=+Δ∇Δ−Δ+

ηηηηη

ξξξξξ

δ

δ(11.22)

onde

( ) [ ]nv

ne

nv

ne

n FFEEtRHS ηηξξ δδ ∇−+∇−Δ−= (11.23)

( )

( )

( ) ( ) ( )[ ] ne

i

i

JQtJD

JtJD

JξtJD

2214

12

12

ηηξξ

ηηη

ξξ

ε

ε

ε

Δ∇+Δ∇Δ−=

Δ∇Δ−=

Δ∇Δ−=

−

−

−

(11.24)

As matrizes Jacobianas de fluxo são apresentadas a seguir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=

yxy

yxx

yxn

yxy

yxx

yxn

vVvuuVppV

BvUv

uuUppU

Aηηη

ηηηηη

ξξξξξξξξ

, (11.25)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= ∞∞

3

3

1

1

0000000

,00

00000

AA

JRMM

AA

JRMM

e

n

e

nηξ (11.26)

12.4 – Método de MacCormack O método de MacCormack pertence à classe de métodos predictor – corrector. No primeiro passo (predictor), as derivadas dos termos convectivos são aproximadas utilizando-se diferenças “backward”. No segundo passo (corrector), as derivadas dos termos convectivos são aproximadas utilizando-se diferenças “forward”. Os termos viscosos são aproximados com diferenças centradas tanto no predictor como no corrector. O resultado final é um método de precisão de segunda ordem tanto espacial como temporal. As Eq. (11.27) e (11.28) apresentam o passo predictor e corrector, respectivamente.

[ ]nv

nv

ne

ne

nji

nji FEFEtQQ ηξηξ ∇−∇−∇+∇Δ−=+

,1

,(11.27)

(11.28)

[ ]{ }nv

nv

ne

ne

nji

nji

nji FEFEtQQQ ηξηξ ∇−∇−Δ+ΔΔ−+= ++

,1

,1

, 21

onde

115

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

++

++

∞

vJAv

JA

uJAu

JA

RME

jiji

jijiev

ηξ

ηξ

δ

δ

ˆ

ˆ0

,2/1

2

,2/1

1

,2/1

2

,2/1

1(11.29)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

++

++

∞

vJA

vJA

uJA

uJA

RMF

jiji

jijiev

ηξ

ηξ

δ

δ

2/1,

3

2/1,

2

2/1,

3

2/1,

2

ˆ

ˆ0

(11.30)

( )jijijiji uuuuu ,1,11,11,141ˆ

−++−++ −+−=ξδ (11.31)

( )1,1,1,11,141ˆ

−+−+++ −+−= jijijiji uuuuuηδ

116

12.0 – VOLUMES FINITOS

Neste capítulo, algumas idéias fundamentais sobre o método dos volumes finitos

são estudadas. A forma apropriada das equações governantes é obtida na Seção 12.1 e o método dos volumes finitos é aplicado às equações na Seção 12.2. 12.1 –Formulação Matemática

A Eq. (12.1) mostra as equações de Burger em coordenadas Cartesianas escritas na forma vetorial e conservativa.

∂∂

∂∂

∂∂

Qt

Ex

Fy

+ + = 0 (12.1)

onde

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=vu

Q ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=x

x

vuvuu

Eνν2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=y

y

vvuuv

Fνν

2

Para aplicarmos o método dos volumes finitos, a Eq. (12.1) é transformada para a

forma integral. Utilizando a definição do vetor P dada na Eq. (12.2), podemos escrever a Eq. (12.1) na forma apresentada na Eq. (12.3).

jFiEPrrr

+= (12.2)

PtQ rr

⋅∇−=∂∂

(12.3)

Integrando a Eq. (12.3) num volume de controle V, conforme a Eq. (12.4), e aplicando o teorema de Gauss ao lado direito da Eq. (12.4), resulta a Eq. (12.5). vdP∫ ⋅−= (dv

tQ

vv∫ ∇ )

rr

∂∂

(12.4) ∫ ∫ ⋅=⋅∇

v s

dsnPdvP )()( rrrr

(12.5)

Substituindo a Eq. (12.5) na Eq. (12.4), a forma integral da equação de Burger é obtida, conforme mostra a Eq. (12.6).

∫ ∫ ⋅−=∂∂

v s

dsnPdvtQ )( rr

(12.6a)

117

Para o caso de volumes finitos rígidos e não deformáveis, podemos passar o símbolo de derivada temporal para fora do sinal de integração. O resultado é mostrado na Eq. (12.6b).

∫ ∫ ⋅−=∂∂

v s

dsnPQdvt

)( rr(12.6b)

12.2- Formulação Numérica

Nesta Seção, vamos avaliar a Eq. (12.6) em cada volume finito obtido ao discretizarmos o espaço bidimensional em retângulos, conforme mostrado abaixo na Fig. 12.1.

i,j+1

i,j

i,j-1

i+1,ji-1,j

Figura 12.1 – Discretização do espaço bidimensional em retângulos.

O valor médio do vetor Q é definido dentro do volume Vi,j, conforme a Eq. (12.7). Substituindo a Eq. (12.7) na Eq. (12.6), obtemos finalmente a Eq. (12.8), que será avaliada em cada volume finito obtido da discretização do espaço bidimensional. ∫=jQ 1

jiVjii QdV

V,,

,(12.7)

∫∫ ⋅−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ 1∂

jiji SjiVji

dSnPV

QdVVt

,,

)(1

,,

rr

∂ ou ∫ ⋅−=j n(1 r∂

jiSji

i dSPVt

Q

,

),

, r

∂ (12.8)

Esta é a forma conveniente da equação de Burger para o método dos volumes finitos. Esta equação deve ser avaliada em todos os volumes finitos obtidos da

118

discretização do espaço físico. Dada uma condição inicial e condições de contorno, a Eq. (12.8) pode ser resolvida por algum método de integração como; Euler explícito, Crank-Nicolson, Euler implícito, Runge-Kutta, etc. Vamos aplicar, por exemplo, o método de Euler Explícito, Eq. (12.9), à Eq. (12.8), conforme mostra a Eq. (12.10).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+=+

tQ

tQQn

jinji

nji ∂

∂ ,,

1, (12.9)

(12.10) ∫ ⋅Δ

−= nn QQ (+

jiSjijiji dSnP

Vt

,

),

,1

,rr

i,j

(x,y) i+1,j+1

S j+1/2

S i+1/2

S j-1/2

S i-1/2

(x,y) i,j

(x,y) i,j+1

(x,y) i+1,j

Figura 12.2 – Volume finito obtido pela discretização do espaço físico bidimensional

Aplicando a Eq. (12.10) ao volume finito mostrado na Fig. 12.2, obtemos a Eq. (12.11).

(12.11) [ ]2/12/12/12/1,

,1

, )()()()( −−+++ ⋅+⋅+⋅+⋅

onde

r r rS S i Sx y= + j

Δ−= nn QQ jiji

jijiji SPSPSPSP

Vt r r r rr r r r

1,1,1,,1,1,11,1,1,

,1,1,1,1,1,1,1,1,,

)()()(21

)()()(21

+++++++−+

++++++++

−+−+−+

−+−+−=

jijijijijijijijiji

jijijijijijijijijiji

yxxyxxyxx

yxxyxxyxxV

119

SURFACE SX SY

S I+1/2

S I-1/2

S J+1/2

S J-1/2

(Y I+1,J+1 -Y I+1,J)

-(Y I,J+1 -Y I,J)

-(Y I+1,J+1 -Y I,J+1)

(Y I+1,J -Y I,J)

-(X I+1,J+1 -X I+1,J)

(X I,J+1 -X I,J)

(X I+1,J+1 -X I,J+1)

-(X I+1,J -X I,J)

Note que:

syx

yx

yx

qvSuSSq

jviuq

FSESSP

jSiSjFiE

Separando os vetores de fluxo E e F nas partes viscosas e não viscosas, a Eq. (12.12) é obtida para a parte não viscosa e a Eq. (12.13) para a parte viscosa.

,

(12.12)

,

(12.13)

Finalmente, combinando as Eqs. (12.12) e (12.13), obtemos a Eq. (12.14) para r rP S⋅

total.

(12.14)

SP =⋅

=+=⋅

+=

+=⋅

+⋅+

rr

rrr

rr

rrr r r r)()(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

=⋅s

s

yy

yxe vq

uqSvuvS

uvSSuSP 2

2rr

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⋅yyxx

yyxx

Lv SvSv

SuSuR

SP 1rr

( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+−=⋅

yyxxL

s

yyxxL

s

SvSvR

vq

SuSuR

uqSP 1

1rr

⎭⎬⎨=E =F⎫ ⎧

⎩

⎧

uvu

e

2

2vuv

e⎭⎬⎫

⎩⎨

⎭⎬

⎩⎨⎧

=x

x

Lv v

uR

E 1 ⎫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=y

y

Lv v

uR

F 1

120

O vetor é somente conhecido no meio do volume finito. Este vetor é obtido sobre

uma dada superfície pelos valores de

rP r

P dentro dos volumes finitos separados pela aquela superfície. Por exemplo, para a malha computacional mostrada na Fig. 12.1, o valor

rP na

fronteira poderia ser obtido pela média aritmética dos valores de rP nos volumes finitos

adjacentes, conforme a Eq. (12.15).

)(21

,1,2/1 jijii PPP ++ +=rrr

(12.15) Vamos agora obter

r rP S⋅ sobre a superfície i+1/2 da figura 12.1.

)(2

)(21

)(21)(

,1,,1,

2/1,12/1,2/12/12/1

jijijiji

ijiijiiii

EEyyEyE

SPSPSPSP

++

++++++

+Δ

=Δ+Δ=

+=⋅=⋅rrrrrrrr

(12.16)

Da mesma forma,

)(2

)( ,,12/1 jijii EEySP +Δ

−=⋅ −−

rr

(12.17) Então,

[ ]

jixjiji

jijijijiiiji

ExEE

EEyEEyyx

SPSPV

,,1,1

,,1,1,2/12/1,

2

)(2

)(2

1)()(1

δ=Δ

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Δ−+

ΔΔΔ

=⋅+⋅

−+

−+−+

rrrr

(12.18)

Da mesma forma, [ ] jiyjj

ji

FSPSPV ,2/12/1

,

)()(1 δ=⋅+⋅ −+

rrrr

(12.19)

De acordo com as Eqs. (12.18) e (12.19), o cálculo do vetor de fluxorP sobre uma

interface entre dois volumes finitos adjacentes pela média é equivalente a uma derivada centrada em diferenças finitas. Por outro lado, usando o método de MacCormack não é necessário fazer a média do vetor de fluxo

rP.

121

Predictor:

[ ]

nji

nji

nji

jnjijjii

njii

nji

ji

nji

QQQ

SPSPSPSPV

tQ

,,1

,

2/1,2/11,2/1,2/1,1,

,

Δ+=

⋅+⋅+⋅+⋅Δ

−=Δ

+

−++−++

rrrrrrrr Corrector:

[ ]

[ ]1,

1,,

1,

2/111,2/1

1,2/1

1,12/1

1,

,

1,

21 +++

−+−+

+−

+−+

++

Δ++=

⋅+⋅+⋅+⋅Δ

−=Δ

nji

nji

nji

nji

jnjij

njii

njii

nji

ji

nji

QQQQ

SPSPSPSPV

tQrrrrrrrr

12.3 – Termos de Dissipação Artificial

Para suprimir a tendência de ocorrência de desacoplamento de pontos pares e impares e para prevenir o aparecimento de oscilações em regiões contendo gradientes de pressão severos na vizinhança de pontos de estagnação, prova-se necessária a adição de termos de dissipação artificial ao esquema de volumes finitos, conforme mostra a Eq. (12.20).

(12.20)

[ ]

{ })33()(

)()(

)()()(

)()()()()(

,1,,1,2)4(

,2/1,,1)2(

,2/1,2/1

,2/1

2/1,2/1,,

,2/1,2/1,

,,,

,2/12/12/12/1,

,

jijijijijijijijiji

ji

jijijiy

jijijix

jiyjixji

jijijiji

ji

QQQQQQt

Vd

ddQDddQD

QDQDQD

QDSPSPSPSPt

QV

−++++++

+

−+

−+

−−++

−+−−−Δ

=

−=

−=

+=

+⋅+⋅+⋅+⋅−=

εε

∂∂ rrrrrrrr

onde

)](,0max[

),max(

2

2

)2(,2/1

)4()4(,2/1

,,1)2()2(

,2/1

,1,,1

,1,,1,

jiji

jijiji

jijiji

jijijiji

k

k

ppp

ppp

++

++

−+

−+

−=

=

++

+−=

εε

ννε

ν

(12.21)

Os valores típicos das constantes são mostrados na Eq. (12.22). ,

(12.22)

21) =k k ( )2( 4 1

256=

122

12.4 – Formulação Matemática para Malhas Deformáveis Na Seção 12.2, deduzimos a formulação matemática utilizada no método dos volumes finitos para malhas estacionárias. Se a malha se deforma, precisamos utilizar uma formulação que considere a deformação dos volumes finitos. Vamos iniciar a dedução da equação governante aplicada a volumes finitos deformáveis a partir da Eq. (12.6a), deduzida na Seção 12.2 e apresentada abaixo.

∫ ∫ ⋅−=∂∂

v s

dsnPdvtQ )( rr

(12.23)

A Eq. (12.23) não é muito adequada para integração numérica, pois o símbolo de derivada temporal está dentro do símbolo de integral. O teorema de Leibnitz permite modificarmos a Eq. (12.23) para uma forma mais conveniente para integração numérica. O teorema de Leibnitz é mostrado na Eq. (12.24) aplicado ao vetor de variáveis conservadas Q.

∫ ∫∫ ⋅+

∂∂

=v sv

sdwQdvtQQdv

dtd rr

(12.24)

Substituindo a Eq. (12.23) na Eq. (12.24), obtemos a versão adequada para a simulação numérica de volumes finitos deformáveis, conforme a Eq. (12.25), onde w é a velocidade local na superfície do volume de controle.

( ) ( )dsnwQdsnPQdvdtd

ssv∫∫∫ ⋅+⋅−=

rrrr

ou

( .(12.25)

Em volumes finitos, costuma-se trabalhar com o valor médio das variáveis conservadas atribuído ao centróide do volume. Na Eq. (12.26), apresentamos a definição do vetor médio de variáveis conservadas em cada volume finito.

(12.26)

Substituindo a Eq. (12.26) na Eq. (12.25), obtemos a formulação integral em termos do vetor médio de variáveis conservadas, conforme mostra a Eq. (12.27).

(12.27)

onde

(12.28)

) dsnwQPQdvdtd

sv

rrr⋅−−= ∫∫

∫=v

QdvV

Q 1

( ) dsnwQPdtQd

s

rrr⋅−−= ∫

~

QVQ =~

123

13.0 – MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS COM MALHAS NÃO ESTRUTURADAS Nesta seção, vamos apresentar a implementação do método dos volumes finitos para malhas não estruturadas. Vamos iniciar o nosso desenvolvimento supondo que a malha já tenha sido gerada pelo método de triangularização de Delaunay e que temos todas as informações de conectividade de cada volume finito. Vamos restringir o nosso estudo ao caso bidimensional com elementos triangulares de profundidade unitária. Ou seja, o volume do nosso elemento é dado pela área do triângulo multiplicada pela profundidade unitária.

Figura 13.1 – Esquema de Conectividade de uma Malha não Estruturada Para que uma malha não estruturada possa ser utilizada para a solução de um escoamento, é necessário o armazenamento de informações de conectividade dos pontos que formam cada elemento da malha computacional e os elementos vizinhos a cada volume finito. No processo de geração da malha, segundo o método de triangularização de Delaunay, os pontos que vão compor a malha são gerados aleatoriamente e quando esses pontos são aceitos, eles recebem um número de identificação, conforme mostra a Fig. 12.2. Da mesma forma, à medida que os elementos vão sendo gerados, eles também recebem um número de identificação, que é mostrado na figura acima entre colchetes. Cada elemento, também recebe uma numeração local dos pontos que o formam no sentido anti-horário de 1 à 3. As coordenadas x e y de cada ponto da malha são armazenadas em duas variáveis indexadas x(j) e y(j), onde j é o índice identificador dos pontos da malha computacional. Os pontos que formam um determinado elemento são armazenados em três variáveis indexadas fp1(i), fp2(i) e fp3(i), onde i é o índice identificador de cada volume finito. As células vizinhas a um determinado elemento são armazenadas em três variáveis indexadas nei1(i), nei2(i) e nei3(i). Por exemplo, para o elemento i=3 da Fig. 12.2, são armazenadas as seguintes informações:

(13.1)

1)3(3,5)3(32)3(2,2)3(2

6)3(1,4)3(1

====

==

fpneifpneifpnei

124

Para aplicarmos as equações governantes aos elementos da malha, armazenamos o vetor de variáveis conservadas numa variável indexada Q(i,k), onde k é o índice das propriedades do escoamento. O vetor Q é o vetor médio de variáveis conservadas em cada volume, que é atribuído ao centróide do elemento. O centróide de cada volume finito é armazenado em duas variáveis indexadas xc(i) e yc(i). Com todas estas informações devidamente conhecidas e armazenadas, podemos implementar o algoritmo de solução das equações governantes. A Eq. (13.2) mostra a forma discretizada da Eq. (12.27), onde o método de Euler explícito é utilizado para a integração no tempo.

(13.2)

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }3,2,1,

1 ~~iii

ni

ni SwQPSwQPSwQPtQQ

rrrrrrrrr⋅−+⋅−+⋅−Δ−=+

13.1 – Cálculo do Volume de Cada Triângulo Para calcular o volume de cada elemento, vamos definir os vetores V1 e V2, conforme mostra a Fig. (13.2). O volume do elemento triangular é dado pela Eq. (13.3).

Figura 13.2 – Definição dos Vetores V1 e V2 para o Cálculo de Volume

2,1,21

iii VVV ×= (13.3)

onde

( ) ( )( ) ( jyyixxV

jyyixxV

iiiii

iiiii

ˆˆ

ˆˆ

3,2,3,2,2,

3,1,3,1,1,

−+−=

−+−=r

r

(13.4) )

Substituindo as Eq. (13.4) na Eq. (13.3), resulta a Eq. (13.5) que deve ser utilizada para o cálculo do volume de cada elemento i.

( ) ( ) ( ) 3,2,1,1,3,2,2,1,3,21

iiiiiiiiii yxxyxxyxxV −+−+−= (13.5)

125

13.2 – Cálculo do Vetor Área Para aplicarmos a Eq. (13.2) aos elementos da malha computacional, é necessário conhecermos o vetor área das faces dos elementos. A Eq. (13.6) mostra o vetor área e suas componentes nas direções x e y. A Tabela 13.1 mostra as componentes do vetor área de cada face do elemento triangular.

jSiSS yxˆˆ +=

r(13.6)

Tabela 13.1 – Componentes do Vetor Área Superfície xS yS

1,iSr

3,2, ii yy − ( )3,2, ii xx −−

2,iSr

1,3, ii yy − ( )1,3, ii xx −−

3,iSr

2,1, ii yy − ( )2,1, ii xx −−

13.3 – Interpolação Linear dos Termos Invíscidos Os termos invíscidos na face dos elementos são obtidos a partir dos valores das propriedades médias definidas no centróide dos elementos. Uma forma bastante simples e muito utilizada para obter esses valores é fazer uma interpolação linear das propriedades de dois elementos adjacentes. Este procedimento de interpolação equivale em diferenças finitas a uma diferença centrada de segunda ordem de precisão. Conhecendo-se as propriedades nas interfaces, podemos determinar os termos da Eq. (13.2) para resolver numericamente a equação de Borgers, conforme a Eq. (13.7).

( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⋅−s

se vq

uqSwQP rr

(13.7) onde

( ) ( ) ysxss SvvSuuq −+−= (13.8)

jviuw ssˆˆ +=

r

Para obter as propriedades na face 1 do elemento 3 mostrado na Fig. (13.1), interpolamos linearmente as propriedades médias definidas nos centróides dos elementos 4 e 3, conforme as Eq. (13.9).

(13.9)

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )21,3

21,3221,3 33

3232

323 ycyxcxycycxcxc

uuuu −+−−+−

−+=

(13.10) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )2

1,32

1,3221,3 333232

323 ycyxcxycycxcxc

vvvv −+−−+−

−+=

126

13.4 – Interpolação dos Termos Viscosos Os termos viscosos nas faces dos elementos são obtidos calculando-se a média aritmética dos vetores de fluxo viscosos dos elementos adjacentes àquela face, conforme a Eq. (13.11).

( ) ( ) ( ) yvvxvvv SFFSEESP 43431,3 21

21

+++=⋅rr

(13.11)

Conhecendo-se as velocidades médias nos centros das faces dos elementos, podemos calcular as derivadas das componentes de velocidade u e v em relação à x e y. Vamos tomar como exemplo o elemento 3 da Fig. (13.2). Pelo teorema de Gauss, a derivada de u em relação à x é mostrada na Eq. (13.12).

Figura 13.2 – Malha computacional não estruturada

( )3

13 3

1i x

i i

u u Sx V =

∂ ⎞ =⎟∂ ⎠∑ (13.12)

De forma análoga, podemos obter também a derivada de u em relação à y, conforme mostra a Eq. (13.13).

( )3

133

1i y i

i

u u Sy V =

⎞∂=⎟∂ ⎠

∑ (13.13)

127

De forma completamente análoga, podemos calcular as derivadas da componente de velocidade u em relação à x e y no centróide do volume 4, conforme mostra a Eq. (13.14).

( )

( )

3

14 4

3

144

1

1

i x ii

i y ii

u u Sx V

u u Sy V

=

=

∂ ⎞ =⎟∂ ⎠

⎞∂=⎟∂ ⎠

∑

∑

(13.14)

Finalmente, as derivadas na face entre os triângulos 4 e 3 são dadas pela média aritmética dos valores obtidos para os volumes 4 e 3, conforme mostra a Eq. (13.15).

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞∂∂

+⎟⎟⎠

⎞∂∂

=⎟⎟⎠

⎞∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

∂∂

+⎟⎠⎞

∂∂

=⎟⎠⎞

∂∂

434,3

434,3

21

21

yu

yu

yu

xu

xu

xu

(13.15)

Fica como exercício demonstrar que esta é uma aproximação de segunda ordem para as derivadas na face entre os triângulos 3 e 4.

13.5 – Dissipação Artificial não Linear O processo de interpolação feito acima equivale em diferenças finitas a um esquema centrado. Nós vimos nos capítulos anteriores que esquemas centrados não possuem termos de dissipação artificial implícitos. Portanto, precisamos adicionar explicitamente termos de dissipação artificial ao nosso esquema para filtrar ondas de instabilidade numéricas de alta freqüência para garantir a estabilidade do método. A Eq. (13.16) mostra a formulação numérica discretizada espacialmente para elementos triangulares e utilizando o método de Euler explicito para a integração no tempo com a adição explicita de um termo de dissipação artificial não linear típico. Vamos tomar como exemplo o elemento 3 da Fig. (13.1).

(13.16) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ){ }33,32,31,33

13

~~ QDSwQPSwQPSwQPtQQ nn +⋅−+⋅−+⋅−Δ−=+rrrrrrrrr

onde

(13.17)

( ) [ ]{ })2(3

)2(2

)2(4

)2(5

)4(3

)2(3

)2(3

33 3DDDDD

tVQD −++−Δ

= εε

46133)2(

4

3245)2(

3

3

3

QQQQDQQQQD

−++=

−++=(13.18)

128

( )[ ])2(3

)4()4(3

3)2()2(

3

,0max εε

νε

−=

=

KK

(13.19)

3245

32453 3

3pppp

pppp+++

−+=

+ν (13.20)

2561

21

)4(

)2(

=

=

K

K (13.21)

13.6 – Método de MacCormack O método de MacCormack é um esquema amplamente utilizado para resolver as equações dos escoamentos. Ele pertence à classe de métodos predictor – corrector. No primeiro passo (predictor), o vetor de fluxo invíscido é obtido na interface dos elementos de forma semelhante ao que seria em diferenças finitas uma aproximação forward, seguindo a orientação do vetor área, conforme mostra a Eq.(13.22). No segundo passo (corrector), o vetor de fluxo invíscido é obtido de forma semelhante a uma aproximação backward, seguindo a orientação do vetor área, de acordo com a Eq. (13.24). Os termos viscosos são calculados da mesma forma discutida na seção (13.4). O resultado final é um método de segunda ordem de precisão espacial e temporal Predictor:

( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )⎭⎬⎫+++

++++

++++

++

++

++

++

++

++Δ

−=Δ

3,33,3

2,22,2

1,11,1

3,33,

3,33,

2,22,

2,22,

1,11,

1,11,

21

21

21

21

21

21

,0max,0min

,0max,0min

,0max,0min

,0max,0min

,0max,0min

,0max,0min

iyvivixviv

iyvivixviv

iyvivixviv

iyeiyie

ixeixie

iyeiyie

ixeixie

iyeiyie

ixeixiei

ni

SFFSEE

SFFSEE

SFFSEE

SFSF

SFSE

SFSF

SFSE

SFSF

SESEV

tQ

(13.22)

(13.23) n

ini

ni QQQ Δ+=+1

129

Corrector:

( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )⎭⎬⎫+++

++++

++++

++

++

++

++

++

++Δ

−=Δ +

3,33,3

2,22,2

1,11,1

3,33,

3,33,

2,22,

2,22,

1,11,

1,11,1

21

21

21

21

21

21

,0min,0max

,0min,0max

,0min,0max

,0min,0max

,0min,0max

,0min,0max

iyvivixviv

iyvivixviv

iyvivixviv

iyeiyie

ixeixie

iyeiyie

ixeixie

iyeiyie

ixeixiei

ni

SFFSEE

SFFSEE

SFFSEE

SFSF

SFSE

SFSF

SFSE

SFSF

SESEV

tQ

(13.24)

[ ]111

21 +++ Δ++= n

in

ini

ni QQQQ (13.25)

13.7 – Interpolação Upwind de Primeira Ordem Na interpolação upwind de primeira ordem, o vetor de fluxo invíscido é calculado na interface entre dois volumes adjacentes tomando-se o valor do vetor de fluxo de um dos volumes de acordo com a direção do vetor velocidade do escoamento. Por exemplo, se quisermos obter o vetor de fluxo invíscido na face 1 do volume 3, mostrado na Fig. 13.1, atribuiremos a este o vetor de fluxo do volume 3 ou 4 dependendo da direção do vetor velocidade, conforme a Eq. (13.26).

( ) ( )

( )⎩⎨⎧

<⋅>⋅

=0,0,

4

31,3 nVE

nVEE

e

ee rr

rr

(13.26) onde n é o vetor normal à face 1 do volume 3. 13.7 – Malha Deformável Para o estudo de corpos em movimento, é necessário deslocar os pontos da malha. No caso, de malhas não estruturadas podemos imaginar que os pontos da malha encontram-se conectados por molas. Quando os pontos que definem o corpo se movimentam, os pontos da malha se deformam segundo a constante elástica das molas que unem os pontos, com os pontos da fronteira externa fixos. A Fig. (13.3) mostra dois triângulos adjacentes com molas unindo os pontos que definem os triângulos. A Eq. (13.27) mostra uma

130

definição das constantes das molas comumente utilizada. Na Eq. (13.28), L é a distância inicial entre os pontos da malha e θ é o ângulo oposto.

Figura 13.3 – Pontos de uma Malha Triangular Unidos por Molas

(13.27) ASji KKK +=,

onde

LKA

jiS

sinsinK

LK

θθ 22

,

11

1

+=

=

(13.28)

Quando os pontos que definem o corpo se movem, a nova posição dos pontos da malha é determinada por equilíbrio de forças, conforme a Eq. (13.29). A posição final do ponto i é determinada por equilíbrio de forças devidas as molas que conectam o ponto aos seus pontos vizinhos. Na Fig. (13.4), o ponto i é conectado por molas a quatro pontos vizinhos, j=1, 2, 3, 4.

(13.29) ∑

=

=4

1, 0

jjiF

ronde

jijiji rkF ,,,rr

Δ= (13.30)

oji

fjiji rrr ,,, −=Δ

r (13.31)

( ) ( ) jyyixxr ijijjiˆˆ

, −+−=r (13.32)

131

Figura 13.4 – Equilíbrio de Forças Agindo num Ponto da Malha

A posição final dos pontos da malha é determinada iterativamente seguindo-se os seguintes passos: • Calculam-se todos os o

jir ,r , conforme a Eq. (13.33);

• Calculam-se todos os , conforme a Eq. (13.34); Sjik ,

• Calculam-se todos os , conforme a Eq. (13.35); Ajik ,

• Calcula-se iterativamente a posição de cada ponto, conforme a Eq. (13.36), que foi obtida a partir da Eq. (13.29).

(13.33)

(13.34)

(13.35)

( ) ( ) jyyixxr oi

oj

oi

oj

oji

ˆˆ, −+−=r

oji

Sji r

k,

,1r=

( ) ( )Lji

Kji

Aji sinsin

k,

2,

2,11θθ

+=

( )

( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

Δ−=

Δ−=

N

jji

N

j

oji

fjji

fi

N

jji

N

j

oji

fjji

fi

k

yyky

k

xxkx

1,

1,,

1,

1,,

(13.36)

132

onde

( )( )

Aji

Sjiji

oi

oj

oji

oi

oj

oji

kkk

yyy

xxx

,,,

,

,

+=

−=Δ

=Δ −

(13.37)

14.0 – EQUAÇÃO GOVERNANTE COM MODELO DE TURBULÊNCIA

No primeiro capítulo deste livro, apresentamos as equações de Reynolds e observamos que as Eqs. (1.5) eram parecidas às equações de Navier-Stokes (1.2) exceto pelos termos conhecidos como tensões de Reynolds. Salientamos que as equações de Reynolds possuem mais incógnitas do que equações. Temos seis tensões de Reynolds distintas, a pressão média e as três componentes médias de velocidade, somando um total de dez incógnitas e somente quatro equações no caso tridimensional. Dissemos também que esta disparidade entre o número de incógnitas e o número de equações é conhecida como o problema do fechamento. Esta dificuldade pode ser contornada usando-se a hipótese de Boussinesq da viscosidade efetiva, onde a viscosidade efetiva é a soma da viscosidade laminar (molecular) e a viscosidade turbulenta. A viscosidade turbulenta é obtida usando-se modelos de turbulência, que serão discutidos no presente capítulo.

A Fig. (14.1) ilustra um perfil de velocidade típico de uma camada limite turbulenta.

Podemos identificar que a camada limite turbulenta é dividida em duas camadas, a camada interna e a camada externa. Na camada externa, os eventos dinâmicos que produzem as tensões de Reynolds são não-viscosos e as tensões viscosas são desprezíveis. Na camada interna, as tensões de Reynolds e as tensões viscosas são igualmente importantes. A camada interna é subdividida em subcamada viscosa, região de amortecimento e região logarítmica. A região externa é subdividida em região de esteira e região logarítmica. Na região logarítmica a camada interna e a camada externa se superpõem e existe uma solução analítica para o perfil de velocidade. Millican (1938) e Isakson (1937) foram os primeiros a obter a lei logarítmica usando o argumento de superposição entre a camada interna e a camada externa. Na subcamada viscosa, o escoamento é totalmente laminar e existe uma solução analítica para o perfil de velocidade. Na região logarítmica o escoamento é totalmente dominado pela turbulência e a viscosidade laminar desempenha um papel secundário. Na região de amortecimento entre a subcamada viscosa e a região logarítmica, a viscosidade laminar e as tensões de Reynolds são igualmente importantes.

133

Figura 14.1 – Perfil de Velocidade Típico de uma Camada Limite Turbulenta

14.1 – Equação de Navier-Stokes com Modelo de turbulência

Vamos tomar como exemplo a equação de Navier-Stokes para escoamentos levemente compressíveis. Fazendo o procedimento de obtenção da equação média discutido no Cap. 2 e usando a hipótese de Boussinesq, resulta a seguinte equação com modelo de turbulência implementado na forma adimensional.

( ) ( ) HFFeEEQ yvxvet =−+−+ (14.1)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

(14.2)

⎪⎨

⎩

⎪⎪⎪⎧

=

srvup

Q

134

(14.3)

( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

xs

t

L

xr

t

L

yxtL

xtL

ve

sR

rR

uvR

uR

E

usuruv

kpu

pu

E

Pr1

Pr1

1

210

,322

μ

μ

μ

μ

( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

ys

t

L

yr

t

L

ytL

xytL

ve

sR

rR

vR

vuR

F

vsvr

kpvuvpv

F

Pr1

Pr1

21

10

,322

μ

μ

μ

μ

(14.4)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

s

r

HH

H 000

(14.5)

No caso de um modelo algébrico,

0

0==

==

sr HHsr

(14.6)

No caso de um modelo de uma equação,

00

0

=≠

==

s

r

HKsr k

(14.7)

135

No caso de um modelo de duas equações,

00

≠≠

==

ε

ε

HHs

kr

k

(14.8)

14.2 – Modelo k -ε

Para o modelo k - ε adimensionalizado, os termos do vetor H são apresentados nas Eqs. (14.9).

2

2

2

121

2

fk

fCPk

CH

kR

PH

k

ekk

−−=

−−=

εε

ηε

εεε

(14.9)

onde

(14.10)

2 2 22 2 22 23 3k t

u v u v u v uP k

vx y y x x y x

μ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ y

∂+

2/

222 +−= η

ηε e

Rf

e(14.11)

(14.12) ( )26/

1 22.1 etRef −−=

(14.13)

ε

2kRR eet =

Conhecendo-se a energia cinética turbulenta (k) e a dissipação de energia (ε), a viscosidade turbulenta é obtida pela Eq. (14.14).

ε

μ μμ

2kfCt = (14.14) onde

(14.15) +−−= ημ

115.01 ef

w

w

w ρτ

υηη =+ (14.16)

136

1 20.09, 1.44, 1.92, 1.0, 1.3, 0.9rk r rtC C C P P Pμ ε ε ε= = = = = = (14.17)

onde η é a distância normal à superfície do corpo. 14.3 – Modelo de Baldwin – Lomax

O modelo de Baldwin – Lomas é um modelo de turbulência algébrico de duas camadas, que leva em consideração a camada interna e a camada externa da camada limite turbulenta, conforme ilustra a Fig. (14.1). A Eq. (14.18) mostra que no modelo de Baldwin – Lomax são utilizadas duas expressões para o cálculo da viscosidade turbulenta. Temos uma expressão para a região interna e outra para a região externa. O limite entre a região interna e a externa é definido pelo ponto de interseção entre as duas curvas, conforme mostra a Fig. (14.2).

( )( )⎩

⎨⎧

>≤

=crossoveroutt

crossoverintt ηημ

ηημμ

,,

(14.18)

Figura 14.2 – Modelo Algébrico de Duas Camadas

A formulação interna é uma combinação do modelo de Prandtl e a função de amortecimento de van Driest, conforme mostra a Eq. (14.19).

(14.19) ( ) ωρμ 2Linnert =

onde

(14.20) 222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=xw

zu

zv

yw

yu

xvω

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= +

+

AkL ηη exp1

⎦⎣

137

(14.21)

ww

w

τρμηη =+

(14.22)

264,0

=

=+A

k(14.23)

A formulação externa é apresentada na Eq. (13.24).

( ) klebwakecpoutert FFkC ρμ = (14.24)

onde

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

max

2max

maxmax

minF

UCF

F dfwkwake ηη

(14.25)

( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= +

+

AF ηωηη exp1 (14.26)

A função F é mostrada na Fig. (13.3), onde η é a distância entre um ponto do escoamento e a superfície do corpo.

Figura 14.3– Distância Normal à Superfície do Corpo onde a Função F é Máxima.

( ) ( )min222

max2222 wvuwvuUdf ++−++= (14.27)

( )16

max

5,51

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

ηηη kleb

klebklebCFF (14.28)

25.0

0168,0=

=

klebCwkC

k(14.29)

3,0=

138

15. IMPLEMENTAÇÃO DE CONDIÇÃO DE CONTORNO COM EQUAÇÕES CARACTERÍSTICAS Nesta seção, vamos discutir a implementação de condições de contorno utilizando-se equações características. As equações características permitem a implementação de condições de contorno nas seções de entrada e saída, considerando-se o sentido das velocidades características. Desta forma, saberemos quais as propriedades que serão extrapoladas do interior do escoamento para as seções de entrada e saída e quais as propriedades que serão especificadas. 15.1 – Equações de Euler não-conservativas e relações características As equações de Euler unidimensionais em coordenadas cartesianas são mostradas abaixo na Eq. (15.1).

(15.1) 0=

∂∂

+∂∂

xE

tQ e

onde

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

euQ ρ

ρ

(15.2)

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

upepu

uEe

2ρρ

(15.3)

( ) iep ργ 1−= (15.4)

2

21 uee i ρ+= (15.5)

(15.6) ργ pa =2

Escrevendo a Eq. (15.1) na forma não conservativa, resulta a Eq. (15.7).

0=

∂∂

+∂∂

xVA

tV

(15.6) onde

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

puVρ

(15.7a)

139

(15.7b)

γ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

upu

uA ρ

ρ

0/100

Resolvendo o problema de autovalor e autovetor mostrado na Eq. (15.8), obtemos os autovalores e autovetores associados a matriz A, mostrados na Eq. (15.9) e Eq. (15.10), respectivamente.

( ) 0det =− IA λ (15.8)

auau

u

−=+=

=

3

2

1

λλλ

(15.9)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

2/12/1

2/1,

2/12/12/1

,001 2

3

2

21 aa

Xaa

XX ρρrrr

(15.10)

Podemos definir a matriz X cujas colunas são os autovetores associados à matriz A, conforme mostra a Eq. (15.11). A Eq. (15.12) apresenta a matriz inversa da matriz X.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=2/12/102/12/10

2/12/11 22

aaaa

X ρρ (15.11)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−

1010/101 2

1

aa

aX

ρρ (15.12)

Pré-multiplicando a Eq. (15.6) por X-1, obtemos o sistema desacoplado mostrado na Eq. (15.13).

0111 =∂∂

+∂∂ −−−

xVAXXX

tVX (15.13a)

0=

∂∂

Λ+∂

∂x

Wt

W(15.13b)

140

onde

(15.14)

VXW 1−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+=Λ

auau

u

000000

(15.15)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

www

W (15.16)

Definindo uma derivada do tipo mostrada na Eq. (15.17).

xt i

i ∂∂

+∂∂

=∂∂ λζ (15.17)

As Eq. (15.13) podem ser escritas da seguinte forma mostrada na Eq. (15.18).

0

0

0

3

2

1

=∂∂

=∂∂

∂

(15.18) Substituindo a Eq. (15.14) na Eq. (15.18), resultam as Eq. (15.19).

(15.19)

=∂

−

+

ζ

ζ

ζ

w

w

wo

0

0

012

=∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

−−

++

ζρ

ζ

ζρ

ζ

ζζρ

uap

uap

pa oo

141

onde

( )

( )x

aut

xau

t

xu

to

∂∂

−+∂∂

=∂

∂∂∂

++∂∂

=∂

∂∂∂

+∂∂

=∂

∂

−

+

ζ

ζ

ζ

(15.20)

A Fig. (15.1) mostra as direções das velocidades características no caso subsônico e supersônico no espaço unidimensional.

Figura 15.1 – Direção das Velocidades Características

Substituindo a Eq. (15.20) na Eq. (15.19), resultam as relações características unidimensionais associadas às equações de Euler apresentadas na Eq. (15.1).

( )

( ) 0

0

01122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−+∂∂

−∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

xua

xpau

tua

tp

xua

xpau

tua

tp

xp

axu

tp

at

ρρ

ρρ

ρ ρ

(15.21)

142

15.2 – Equações de Euler bidimensionais não-conservativas e relações características As equações de Euler bidimensionais em coordenadas cartesianas são mostradas abaixo na Eq. (15.22).

0=

∂∂∂

+∂∂

+ (15.22) ∂ yF

xE

tQ ee

onde

(15.23)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

evu

Qρρρ

( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

+=

upeuv

puu

Ee ρρ

ρ2

(15.24)

( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

=

vpepv

uvv

Fe 2ρρρ

(15.25)

Passando para a forma não conservativa, obtemos a Eq. (15.26).

0~~

=∂∂

(15.26)

onde

(15.27)

(15.28)

+∂∂

+∂ y

VBxVA

tV∂

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

pvu

V

ρ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

upu

uu

A

00000/10000

~

γ

ρρ

143

(15.29)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

vpv

vv

B

γρ

ρ

00/10000000

~

Se calcularmos os autovalores e os autovetores das matrizes A e B podemos montar as matrizes diagonais dos autovalores e as matrizes dos autovetores mostradas nas Eq. (15.30), (15.31), (15.32) e (15.33).

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

=Λ

auau

uu

A

000000000000

(15.30)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

=Λ

avav

vv

B

000000000000

(15.31)

2

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

2/12/10000102/12/100

2/1/101 22

aaaa

X Aρρ (15.32)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=−

1001000100/1001 2

1

aa

a

X B

ρρ

(15.33)

Quando utilizamos as relações características para satisfazer condições de contorno em escoamentos bidimensionais, utilizamos as relações características unidimensionais. Estas equações são obtidas quando desprezamos uma das derivadas espaciais na Eq. (15.26).

144

0~

≅∂ (15.34)

Pré-multiplicando a Eq. (15.34) pela matriz X-1, obtemos o sistema desacoplado mostrado na Eq. (15.35).

0111 =∂∂

+∂∂ −−−

xVAXXX

tVX

ou

(15.35)

Escrevendo o sistema desacoplado na forma escalar, obtemos as relações características unidimensionais para escoamentos bidimensionais, mostradas nas Eqs.(15.36).

(15.36)

A Fig. 15.2 ilustra as direções de propagação das informações no caso subsônico e supersônico de acordo com as relações características.

∂+

∂∂

xVA

tV

011 =∂∂

Λ+∂∂ −−

xV

tVX A X

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−−=∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

xua

xpau

tua

tp

xua

xpau

tua

tp

xvu

tv

xp

axu

tp

at

ρρ

ρρ

ρρ22

11

145

Figura 15.2 – Direção de Propagação de Informação

Relações características unidimensionais para escoamentos bidimensionais também podem ser obtidas de forma análoga para a direção y, conforme mostra a Eq. (15.37).

(15.37)

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−−=∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

yva

ypav

tva

tp

yva

ypav

tva

tp

yuv

tu

yp

ayv

tp

at

ρρ

ρρ

ρρ22

11

15.3 – Relações Características em Coordenadas Curvilíneas Gerais

Pode-se estender o que foi visto neste capítulo para coordenadas curvilíneas gerais em três dimensões. A equação de Euler em coordenadas curvilíneas gerais e em três dimensões é mostrada na Eq. (15.38).

0=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ζηξτeee GFEQ

(15.38)

Os autovalores associados às matrizes Jacobianas de fluxo A, B e C podem ser escritos como mostra a Eq. (15.39).

(15.39) WkVkUkk zyxt +++=== 321 λλλ

onde U, V e W são as velocidades contravariantes e k pode ser ξ, η ou ζ dependendo se os autovalores estão associados às matrizes Jacobianas de fluxo A, B ou C, respectivamente.

22215

22214

zyx

zyx

kkka

kkka

++−=

+++=

λλ

λλ(15.40)

146

As relações características unidimensionais para escoamentos tridimensionais em coordenadas curvilíneas gerais são mostradas na Eq.(15.41).

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

kvk

kuka

kpkaUvkukap

kvk

kuka

kpkaUvkukap

kvk

kukUvkuk

kp

akUp

a

yxkyx

yxkyx

xykxy

k

~~~~

~~~~

~~~~

1122

ρττ

ρτ

ρττ

ρτ

ττ

ρττ

ρ

(15.41)

onde

22

~

~

yx

yy

xx

kkk

kk

k

kkk

+=

=

=

(15.42) 15.4 – Exemplo de Implementação de Condições de Contorno Para exemplificar, vamos utilizar as relações características para implementar as condições de contorno na fronteira de saída de uma malha computacional Cartesiana para a simulação de um escoamento subsônico. As relações características unidimensionais em coordenadas Cartesianas na direção x são mostradas na Eq. (15.43).

(15.43)

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−−=∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

xua

xpau

tua

tp

xua

xpau

tua

tp

xvu

tv

xp

axu

tp

at

ρρ

ρρ

ρρ22

11

147

Observando as Eqs. (15.43), podemos concluir que existem três velocidades características positivas e uma negativa para o caso de escoamentos subsônicos. Isto indica que somente podemos fixar uma propriedade do escoamento na fronteira de saída e as outras três propriedades deverão ser obtidas por extrapolação das propriedades no interior da malha computacional. Em geral, fixamos a pressão e extrapolamos as outras propriedades utilizando as relações características. Então, precisamos de três relações características para extrapolar as duas componentes de velocidade e a densidade, as relações características na forma discretizada são mostradas nas Eqs. (15.44).

(15.44)

( )

( )

( )[ ] 31,1,

1,1

1,1

1,1,

3

3,

1,1

1,1,

21,1,

1

1,

11,1,

2

1,1

1,1,

1

1,

2

1,1

,1

1

1

11

1

Ruuappuap

Rvvv

Rppa

pa

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njIn

jI

njI

njI

njIn

jI

njI

=−+−+

−=+

=−+

−=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−+

−

+−+

−−

ρλ

λδρδ

λλδ

ρρλ

λδδρ

onde

( )jIjI

njI

njI

jIjI

njI

xxtau

xxtu

,1,

1,1

1,1

3

,1,

1,1

1

−

+−

+−

−

+−

−

Δ+=

−

Δ=

λ

λ (15.45)

Resolvendo o sistema mostrado na Eq. (15.44), podemos atualizar as propriedades do escoamento na fronteira de saída, conforme mostra a Eq. (15.46).

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

njI

vvv

uuu

ppp

,,1

,

,,1

,

,,1

,

,,1

,

δ

δ

δρρρ

δ

+=

+=

+=

+=

+

+

+

+

(15.46)

onde

2,

1,1

1,1

3,

1,

, 0

Rv

aRu

R

p

njI

njI

njI

njI

njI

njI

=

=

=

=

+−

+−

δ

ρδ

δρ

δ

(15.47)

148

16. SEPARAÇÃO DE VETOR DE FLUXO Neste capítulo, vamos apresentar a implementação de esquemas upwind com separação de vetor de fluxo às equações de Navier-Stokes compressíveis. Estas equações possuem uma propriedade que os vetores de fluxo são funções homogêneas de grau um do vetor de variáveis conservadas. Isto permite a implementação de esquemas upwind com separação de vetor de fluxo na forma conservativa das equações. Na nossa análise, vamos utilizar o método implícito de Euler para a integração das equações governantes, conforme mostra a Eq. (16.1).

( )tOtQtQQ

nnn Δ+⎟

⎠⎞

∂∂

Δ+=+

+1

1 (16.1)

Substituindo a equação governante na Eq. (16.1) para eliminar a derivada temporal do vetor de variáveis conservadas, resulta a Eq. (16.2).

( )111 +++ +Δ−= nnnn FEtQQ ηξ (16.2) onde

111

111 ,+++

+++

−=

−=n

vn

en

nv

ne

n

FFFEEE (16.3)

Os vetores de fluxo na Eq. (16.2) são avaliados no tempo n+1, onde não conhecemos as propriedades do escoamento. Para contornar esta dificuldade, fazemos uma linearização de Newton, conforme mostra a Eq. (16.4).

L

L

+Δ⎟⎟⎠

⎞

∂∂

+Δ⎟⎟⎠

⎞∂∂

+=

+Δ⎟⎟⎠

⎞

∂∂

+Δ⎟⎟⎠

⎞∂∂

+=

+

+

ηη

ξξ

QQFQ

QFFF

QQEQ

QEEE

n

vn

enn

n

vn

enn

1

1

(16.4)

Substituindo a Eq. (16.4) na Eq. (16.2), resulta a Eq. (16.5), onde passamos para o lado esquerdo todos os termos em ΔQ.

( )nnnnnnn

FEtQMBt

MAtI ηξηξ

ηηξξ+Δ−=Δ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

Δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

Δ+ (16.5)

149

onde

n

vn

n

vn

nen

nen

QFM

QEM

QFB

QEA

⎟⎟⎠

⎞

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞

∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞∂∂

=⎟⎟⎠

⎞∂∂

=

ηη

ξξ ,

,

(16.6)

Utilizando o fato de que o vetor de fluxo não-viscoso é uma função homogênea de grau um do vetor de variáveis conservadas Q, Steger e Warming (1981), podemos separar o vetor de fluxo não-viscoso num conjunto de vetores de fluxo associados com velocidades características específicas. A Eq. (16.7) mostra a separação do vetor de fluxo E em dois subvetores E+ e E- de modo que o primeiro é associado com velocidades características positivas e o último com velocidades características negativas.

−+ += eee EEE (16.7)

Como conseqüência dos vetores de fluxo serem funções homogêneas do vetor de

variáveis conservadas, podemos expressar o vetor de fluxo como o produto da matriz jacobiana de fluxo e o vetor de variáveis conservadas, conforme a Eq. (16.8).

(16.8) QTTAQEe

1−Λ==

A matriz T é formada pelos autovetores da matriz A e Λ é a matriz diagonal cujos elementos são os autovalores da matriz A. Os autovalores da Matriz A das equações de Navier-Stokes compressíveis são mostrados na Eq. (16.9).

yx

yx

au

au

uu

ξξλ

ξξλ

λλ

+−=

++=

==

4

3

2

1

(16.9)

Podemos escrever os autovalores mostrados na Eq. (16.9) de uma forma conveniente para o nosso estudo de esquemas upwind com separação de vetor de fluxo, conforme mostra a Eq. (16.10).

(16.10) −+ += iii λλλonde

150

2,

2ii

iii

i

λλλ

λλλ

−=

+= −+ (16.11)

De acordo com a Eq. (16.10), podemos separar a matriz diagonal Λ da forma mostrada na Eq. (16.12), onde Λ+ e Λ- são matrizes diagonais com elementos λ+

i e λ-i,

respectivamente. A Eq. (16.8) pode ser reescrita como mostra a Eq. (16.13).

(16.12) −+ Λ+Λ=Λ

( ) ( ) −+−+−−+ +=+=Λ+Λ= eee EEQAAQTTE 1 (16.13) onde , 11

,, QAEQAE −−++ ==

TTATTA

ee

−−−−++ Λ=Λ= (16.14)

−+

−+

+=

+=

eee EEEAAA ,

(16.15)

Podemos substituir a Eq. (16.15) na Eq. (16.5) e aproximarmos as derivadas

espaciais utilizando diferenças “backward” ou “forward” respeitando o sentido das velocidades características, conforme mostra a Eq. (16.16).

( ) ( ){ }( )n

vvef

eb

ef

eb

nnn

FEFFEEt

QMBBtMAAtI

ηξηηξξ

ηηηξξξξ

δδδδδδ

δδ

−−+++Δ−

=Δ−Δ+∇Δ+−Δ+∇Δ+−+−+

−+−+ (16.16)

Os símbolos Δ e ∇ são aproximações forward e backward de primeira ordem e os símbolos δb e δf são aproximações backward e forward de segunda ordem, conforme mostra a Eq. (16.17).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) jijiji

jijijif

jijijib

jiji

jiji

,1,,1

,2,1,

,2,1,

,,1

,1,

2

5.025.1

5.025.1

−+

++

−−

+

−

+−=

−+−=

+−=

−=Δ

−=∇

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

δ

δ

δ

(16.17)

151

A Eq. (16.16) representa um sistema pentadiagonal de bloco. Os métodos numéricos existentes para resolver este tipo de sistema não são muito eficientes em termos de tempo de processamento. Para melhorar a eficiência do esquema iterativo, fazemos uma fatoração aproximada na Eq. (16.16), conforme mostra a Eq. (16.18). Maiores detalhes sobre fatoração aproximada podem ser encontrados em Beam e Warming (1978). ( ){ } ( )

( ){ } nnnn

nnn

fQMBBtI

RHSfMAAtI

=Δ−Δ+∇Δ+

=−Δ+∇Δ+−+

−+

ηηη

ξξξξ

δ

δ (16.18) onde

( ) ( )nvve

fe

be

fe

bn FEFFEEtRHS ηξηηξξ δδδδδδ −−+++Δ−= −+−+ (16.19)

A primeira equação mostrada na Eq. (16.18) é resolvida para cada linha η=const., marchando na direção η. Após obter o valor de fn em todos os pontos interiores da malha computacional, resolvemos a segunda equação da Eq. (16.18) para cada linha ξ=const., marchando na direção ξ. Em cada passo do esquema de iteração, as matrizes tridiagonais de bloco resultantes são resolvidas utilizando-se o algoritmo de Thomas (Anderson, Tannehill and Pletcher, 1984).

152

17.0 Métodos de Alta Resolução para Equações Escalares. Neste capítulo, vamos discutir duas questões contraditórias em métodos numéricos, alta ordem de precisão e falta de oscilações espúrias na vizinhança de gradientes altos. Sabe-se que esquemas lineares de precisão alta produzem oscilações espúrias na vizinhança de gradientes altos. Por outro lado, os métodos monotônicos não produzem oscilações espúrias. Entretanto, métodos monotônicos são no máximo de primeira ordem de precisão e são, portanto, de uso limitado. Uma forma de resolver a contradição entre esquemas lineares de alta ordem de precisão e a ausência de oscilações espúrias é construir métodos não-lineares. Métodos de redução de variação total (TVD) formam uma classe proeminente de métodos não-lineares. Neste Capítulo, estaremos interessados em resolver a lei de conservação escalar mostrada na Eq. (17.1).

(17.1) 0)( =+ xt ufu

onde u=u(x,t) e f(u) é uma função escalar de fluxo. A Eq. (17.2) mostra um método conservativo explicito para resolver a lei de conservação escalar mostrada na Eq. (17.1). Neste método, a propriedade u é considerada constante no interior do elemento i, conforme mostra a Fig. 17.1.

(17.2) [ ]2/12/11

+−+ −

ΔΔ

+= iini

ni ff

xtuu

Figura 17.1 – Discretização do Espaço Unidimensional

153

17.1 – Esquemas Monotônicos Uma classe de métodos bem sucedidos para resolver uma lei de conservação escalar do tipo mostrado na Eq. (17.1) são os esquemas monotônicos. A seguir, apresentamos a definição de esquemas monotônicos. Definição 17.1 – Esquemas Monotônicos. Um esquema do tipo mostrado na Eq. (17.3) é dito monotônico se a função H satisfizer a condição dada na Eq. (17.4). Isto é, H é uma função não decrescente de cada um de seus argumentos.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +−

+ nli

nli

ni RL

uuHu ,,1 L (17.3)

kuH

nk

∀≥∂∂ ,0 (17.4)

Teorema 17.2. Dado o conjunto de dados {un

i}, se o conjunto solução {un+1i} é obtido com

um método monotônico, então:

{ } { }{ } { }n

ii

nii

nii

nii

uu

uu

minmin

max1

1

≥

≤

+

+ max(17.5)

Teorema 17.3 – Monotonicidade e Fluxo. Um esquema de três pontos do tipo mostrado na Eq. (17.2) para a lei de conservação não-linear, Eq. (17.1), é monotônico se as duas condições apresentadas na Eq. (17.6) forem satisfeitas.

0),(

0),(

1

12/1

12/1

≤∂

∂

≥∂

∂

+

++

++

ni

ni

nii

ni

ni

nii

uuuf

uuf u

(17.6)

Teorema 17.4 – Positividade de Coeficientes. Um esquema do tipo mostrado na Eq. (17.7) para a equação da convecção linear é monotônico se e somente se todos os coeficientes bk forem não negativos, isto é bk≥0 ∀ k.

∑−=

++ =

kr

klk

nkik

ni ubu 1 (17.7)

Teorema 17.5 – Teorema de Godunov. Não existem esquemas monotônicos lineares de segunda ordem ou superior para a equação de convecção linear.

154

17.2 – Compatibilidade de dados Uma das primeiras tentativas de fornecer uma abordagem racional para contornar o teorema de Godunov foi feita por Roe. A idéia central é de construir algoritmos adaptativos que se ajustem à natureza local da solução. Isto resultou em esquemas de coeficientes variáveis (não-lineares), até mesmo quando aplicados à equações lineares. Definição 17.2 – Compatibilidade de dados. Um esquema é compatível com um dado conjunto de dados {un

i} se a solução dada pelo algoritmo un+1i em cada ponto i satisfizer a

condição dada na Eq. (17.8).

{ } { }n

in

sini

ni

nsi uuuuu ,max,min 1

−+

− ≤≤ (17.8)

onde

(17.9) )()( asigncsigns ==

Proposição 17.1 – Compatibilidade de Dados. A condição de compatibilidade de dados dada na Eq. (17.8) é equivalente à condição dada na Eq. (17.10).

(17.10)

10

1

≤−−

≤−

+

ni

nsi

ni

ni

uuuu

17.3 – Variação Total Dada uma função u=u(x), a variação total de u é definida como

( ) ( ) ( )dxxuxuSupuTV ∫

∞−→

−+= δδδ

1lim0

∞

(17.10)

Se a função u(x) for suave, a Eq. (17.10) é idêntica a

( ) ( )dxxuuTV ∫

∞

∞−

′= (17.11)

Além disso, se un ={uni} é uma função discretizada, então a variação total de un é definida

como

( ) ∑∞

−∞=+ −=

i

ni

ni

n uuuTV 1 (17.12)

Vamos considerar o resultado da Fig. 17.2, onde são mostrados resultados numéricos em t=1. Fica claro que nos resultados obtidos pelo método de Lax-Wendroff (a), a variação total da solução numérica é maior do que aquela da solução exata, soluções

155

altamente oscilatórias possuem alta variação total. Dos resultados numéricos mostrados, o obtido utilizando o método de Lax-Friedrichs (f) possui a menor variação total.

Figura 17.2 – Resultados Numéricos para Seis Esquemas Numéricos; Símbolos Denotam Solução Numérica e Linhas Denotam Solução Exata: (a) Lax-Wendroff; (b) Método não

Monotônico de Primeira Ordem; (c) Godunov Centrado de Primeira Ordem não Monotônico; (d) Godunov de Primeira Ordem upwind; (e) Centrado de Primeira Ordem

(FORCE); (f) Lax-Friedrichs

156

Uma propriedade fundamental da solução exata de um problema do valor inicial para a lei de conservação escalar e não-linear, Eq. (17.1), quando os dados iniciais possuem variação total limitada, é

i) Novos extremos em x não são criados; ii) O valor de um mínimo local aumenta e o valor de um máximo local diminui.

Disto, segue que a variação total TV(u(t)) é uma função decrescente do tempo, ou seja,

( )( ) ( )( ) 1212 tttuTVtuTV ≥∀≤ (17.13)

Esta propriedade da solução exata é a propriedade que queremos imitar quando projetamos métodos numéricos. 17.4 – TVD e Esquemas de Preservação de Monotonicidade Considere o esquema numérico da forma

( ),,,11 n

sin

rini uuHu ++−+ = K (17.14)

onde r e s são dois inteiros não negativos, para resolver a lei de conservação escalar (17.1). Motivados pela propriedade (17.13), introduzimos a seguinte definição Definição 17.3 – Esquemas TVD. O esquema (17.14) é dito ser de Diminuição de Variação Total (TVD) se

( ) ( ) nuTVuTV nn ∀≤+ ,1 (17.15)

Definição 17.4. Esquema da forma (17.14) para a lei de conservação escalar e não-linear (17.1) são ditos ser de preservação de monotonicidade se quando o conjunto {ui

n} for monotônico, a solução {ui

n+1} é monotônica no mesmo sentido. Um resultado importante que relaciona esquemas monotônicos, TVD e de preservação de monotonicidade para a lei de conservação escalar e não-linear (17.1) é dado pelo seguinte teorema. Teorema 17.6. Em geral, o conjunto Smon de esquemas monotônicos está contido no conjunto Stvd de esquemas TVD e este por sua vez está contido no conjunto Smpr de esquemas de preservação de monotonicidade, isto é

(17.16) mprtvdmon SSS ⊆⊆

157

Para esquemas lineares para resolver a equação de convecção linear, podemos provar que esquemas monotônicos são equivalentes a esquemas a esquemas de preservação de monotonicidade, como o seguinte teorema atesta. Teorema 17.7. Um esquema linear (17.7) quando aplicado à equação de convecção linear (17.1) é de preservação de monotonicidade se e somente se os coeficientes bk forem não-negativos, ou seja, bk≥0 ∀k. Lembrando que um esquema linear monotônico (17.7) para resolver a equação de convecção linear (17.1) é monotônico se e somente se bk≥0. Portanto, neste caso, esquemas monotônicos são equivalentes a esquemas de preservação de monotonicidade e por (17.16), eles são equivalentes também a esquemas TVD. A classe de métodos TVD é de grande utilidade, pois possui propriedades matemáticas precisas permitindo a demonstração da convergência. A condição TVD também permite a construção prática de métodos numéricos tendo a propriedade TVD. Considere a classe de esquemas não-lineares do tipo apresentado na Eq. (17.17).

(17.17) 2/12/12/12/11

++−−+ Δ+Δ−= iiii

ni

ni uDuCuu

onde

(17.18) ni

nii uuu −=Δ ++ 12/1

e os coeficientes Ci-1/2 e Di+1/2 são em geral funções dos dados. Pode-se demonstrar o seguinte teorema: Teorema 17.8. Para qualquer esquema da forma (17.17) resolver (17.1), a condição suficiente para o esquema ser TVD é que os coeficientes satisfaçam as condições mostradas na Eq. (17.19).

100;0

2/12/1

2/12/1

≤+≤≥≥

++

++

ii

ii

DCDC

(17.19)

Demonstração: Aplicar o esquema (17.17) para duas células consecutivas i e i+1. Obtemos o seguinte:

( ) ( )ni

nii

ni

nii

ni

ni uuDuuCuu −+−−= ++−−+

12/112/11 (17.20)

( ) ( )n

inii

ni

nii

ni

ni uuDuuCuu 122/312/11

11 ++++++++ −+−−= (17.21)

Subtraindo (17.20) de (17.21), resulta o seguinte:

( )( ) ( ) ( )ni

nii

ni

niiii

ni

ni

ni

ni uuDuuCDCuuuu 122/312/12/12/11

111 1 +++−−+++

+++ −+−+−−−=− (17.22)

158

Tomando o valor absoluto em ambos os lados da Eq. (17.22), obtemos:

ni

nii

ni

niiii

ni

ni

ni

ni

uuD

uuCDCuuuu

122/3

12/12/12/1111

1 1

+++

−−+++++

+

−+

+−+−−−≤−(17.23)

Aplicando as condições apresentadas na Eq. (17.19), resulta a Eq. (17.24).

(17.24)

ni

nii

ni

nii

ni

nii

ni

nii

ni

ni

ni

ni

uuDuuC

uuDuuCuuuu

122/312/1

12/112/1111

1

+++−−

+++++++

+

−+−+

+−−−−−≤−

Fazendo o somatório em i, obtemos a Eq. (17.25).

(17.25) ∑∑

∑∑

∑∑

+++−−

+++++++

+

−+−+

+−−−−−≤−

i

ni

nii

i

ni

nii

i

ni

nii

i

ni

nii

i

ni

ni

i

ni

ni

uuDuuC

uuDuuCuuuu

122/312/1

12/112/1111

1

Obviamente, o segundo e o terceiro somatório se cancelam. Da mesma forma, o quarto e o quinto somatório também se cancelam. O resultado final é mostrado na Eq. (17.26).

( ) ( )nn uTVuTV ≤+1 (17.26)

Os coeficientes C e D no Teorema 17.8 podem ser em geral dependentes dos dados. Portanto, o teorema aplica-se a esquemas não-lineares. Este fato pode ser usado para driblar o teorema de Godunov, que é somente aplicado a esquemas lineares. O Teorema 17.8 oferece uma ferramenta muito útil para a construção de esquemas de alta resolução. 17.5 – Métodos dos Limitadores de Fluxo Nesta seção, construímos métodos de diminuição da variação total (TVD) seguindo a abordagem de limitadores de fluxo. Na Seção 17.5.1, consideramos um método particular, a versão TVD do método do fluxo médio ponderado. Em seguida apresentamos a abordagem do limitador de fluxo geral aplicado a famílias de métodos numéricos. Na Seção 17.5.2, apresentamos métodos de limitadores de fluxo baseados em esquemas upwind. Na Seção 17.5.3, apresentamos métodos de limitadores defluxo para esquemas centrados.

159

17.5.1 – Versão TVD do Método do Fluxo Médio Ponderado (WAF) Considere o exemplo no qual o esquema conservativo (17.2) tem o fluxo numérico dado pela Eq. (17.27), que depende de um parâmetro livre α. Vários valores fixos de α reproduzem famílias de esquemas. Pode-se utilizar α considerando-o função de u e restrito a alguma condição TVD para construir esquemas de segunda ordem não-lineares e livres de oscilações espúrias.

( )( ) ( )( )ni

nii aucaucf 12/1 21

2121

21

++ −++= ααα

(17.27) onde

xtaCFLc

ΔΔ

== (17.28)

De fato, esta é a abordagem que seguiremos aqui para construir a versão TVD do esquema básico WAF utilizado para resolver a equação de convecção linear. Por conveniência, introduzimos um novo parâmetro φ e reescrevemos o fluxo WAF (17.27) da seguinte forma:

( )( ) ( )( )n

inii auauf 12/1 1

211

21

++ −++= φφ (17.29)

onde três escolhas particulares de φ podem ser:

(17.30)

( )( ) instávelnalmenteincondicioMétodo

upwindGodunovWendroffLax

asinal

asinalc −

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=φ

O objetivo é encontrar o campo de variação apropriado de φ em função de uma variável dependente dos dados ui

n que produza uma versão TVD do esquema básico WAF. Baseado nos casos extremos acima mencionados, podemos restringir φ de modo a satisfazer a seguinte condição:

(17.31) 11 ≤≤− φ

Outras escolhas para os limites de φ também são possíveis. Introduzindo uma notação apropriada para φ nas interfaces, o fluxo nas interfaces esquerda e direita de uma célula pode ser representado conforme a Eq. (17.32).

( )( ) ( )( )nii

niii auauf 12/12/12/1 1

211

21

++++ −++= φφ (17.32)

( )( ) ( )( )nii

niii auauf 2/112/12/1 1

211

21

−−−− −++= φφ (17.33)

160

Portanto, para cada interface i+1/2, procuramos um valor φi+1/2 que produz o fluxo WAF modificado conduzindo a um esquema TVD.

Aplicação da Compatibilidade de Dados. Em vez de utilizar o Teorema 17.8, vamos impor uma condição um pouco mais rigorosa incorporada na condição de compatibilidade de dados (17.10). Primeiramente, vamos assumir que a>0 na equação de convecção linear. Substituindo os fluxos (17.32) e (17.33) na formula conservativa, após uma pequena manipulação algébrica para obter a razão (17.10), obtemos o seguinte:

( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

−−

−++−

+

1112 2/12/1

2/11

1

iii

ni

ni

ni

ni

rc

uuuu φφ (17.34)

onde

ni

ni

ni

ni

i uuuur−−

=+

−+

1

12/1 (17.35)

A aplicação direta da condição (17.10) ao lado direito da Eq. (17.34) conduz à Eq. (17.36).

( )c

cr ii

i

−≤+−≤− −+

+

2111 2/12/12/1

φφ (17.36)

Para velocidade do som negativa, chega-se ao mesmo resultado (17.36), com o CFL substituído pelo seu valor absoluto e ri+1/2 definido como mostra a Eq. (17.37).

ni

ni

ni

ni

i uuuur

−−

=+

+++

1

122/1 (17.37)

Portanto, para velocidade do som positiva ou negativa na equação de convecção linear, a Eq. (17.36) toma a seguinte forma:

( )

cc

r iii

−≤+−≤− −+

+

2111 2/12/1

2/1

φφ (17.38)

com

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−−

>−−

=

+

++

+

−

+

0,

0,

1

12

1

1

2/1

auuuu

auu

uu

r

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

i (17.39)

Portanto, ri+1/2, Eq. (17.40), é sempre a razão da variação upwind, conforme mostra a Eq. (17.41), pela variação local, Eq. (17.42).

161

loc

upwrΔΔ

=+ 2/11 (17.40)

onde

⎩⎨⎧

<−>−

=Δ++

−

0,0,

12

1

auuauu

ni

ni

ni

ni

upw (17.41)

(17.42)

ni

niloc uu −=Δ +1

A razão ri+1/2 é agora considerada como um parâmetro do escoamento que fará com que o parâmetro φ se ajuste às condições locais dos dados. Até o momento, identificamos duas grandezas que podem ser consideradas como variáveis independentes da função φ, a saber |c| e o parâmetro do escoamento ri+1/2. Portanto, definimos

( )criii ,2/12/12/1 +++ = φφ (17.43)

Construção da Região TVD. O objetivo aqui é encontrar o intervalo de variação adequado de φi+1/2 em função de ri+1/2 e |c|. Para este fim, selecionamos duas desigualdades, uma para φi+1/2 e outra para φi-1/2 de modo que ambas sejam automaticamente satisfeitas em (17.38).

( ) ( )

cc

rL i

i

−≤−≤−− +

+

12111 2/1

2/1

φ (17.44)

(17.45) 12/1 ≤≤ −iL φ

O limite inferior L pertence ao intervalo [-1,|c|]. Isto permitirá alguma liberdade na seleção de quanto downwinding será permitido. Para L=-1, downwinding completo é permitido; para L=0, downwinding não é permitido. Note que adicionando (17.44) e (17.45), reproduzimos a Eq. (17.38). Vamos estudar a Eq. (17.44) em detalhe. Subscritos serão omitidos por conveniência. A desigualdade esquerda da Eq. (17.44) contém dois casos, que são considerados na Eq. (17.46) e na Eq. (17.47).

( ) ( )crrLr L ,110 φφ ≡++≤⇒> (17.46)

( ) ( )crrLr L ,110 φφ ≡++≥⇒< (17.47)

162

A desigualdade direita da Eq. (17.44) tem dois casos, que são considerados na Eq. (17.48) e Eq. (17.49).

( ) ( )crrc

cr R ,

1210 φφ ≡

−−≥⇒> (17.48)

( ) ( )crrc

cr R ,

1210 φφ ≡

−−≤⇒< (17.49)

Figura 17.3 – Região TVD para o Método WAF para um Valor Fixo de CFL A Fig. 17.3 mostra a região TVD obtida (zona escura) no plano r-φ que satisfaz que satisfaz as condições (17.44) e (17.45). Existe uma região TVD para r<0 e uma região TVD para r>0. A escolha do limite inferior L determina a região TVD esquerda; para L=-1 esta região converge para a linha φL(r,|c|)=1 (Godunov upwind de primeira ordem). Qualquer valor fixo da função limitadora φ(r,|c|) resulta num esquema com viscosidade numérica αφ.. Para |c|≤φ(r,|c|)≤1 esta viscosidade numérica é positiva e resulta no espalhamento da descontinuidade e no aparecimento de extremos. Para L≤φ(r,|c|)≤|c|, a viscosidade numérica é negativa e resulta na acentuação das descontinuidades. Obviamente, o caso φ(r,|c|)=|c| não adiciona nenhuma viscosidade numérica extra e corresponde ao método de Lax-Wendroff. A função limitadora φ=φ(r,|c|) pode ser construída dentro da região TVD e qualquer escolha produzirá um esquema livre de oscilações com fluxo (17.29); a única restrição é

163

( ) cc =,1φ (17.50)

Isto garante precisão de segunda ordem para valores de r próximos de 1, isto é, quando a variação upwind for comparável à variação local (na parte suave da solução). Construção de Função Limitadora WAF. Existe lugar para a imaginação ao construirmos funções φ(r,|c|). Aqui, apresentamos cinco funções limitadoras.

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−≥−

−≤≤

−−

≤

=

cc

rse

cc

rsec

rcrse

crua

11

10

121

01

,φ

(17.50)

( )( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥−≤≤−−≤≤

≤≤−−≤

=

2122111

12/12/10121

01

,

rsecrserc

rsecrserc

rse

crsaφ (17.51)

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

−−

≤= 0

112

1

01, rse

rrc

rsecrvlφ

(17.52)

(17.53)

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

+−−

≤= 0

1112

1

01,

2 rser

rrcrse

crvaφ

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≤≤−−

≤=

11011

01,

rsecrserc

rsecrmaφ (17.54)

Cada um destas funções limitadoras do WAF acima corresponde aos bem conhecidos limitadores de fluxo ULTRABEE, SUPERBEE, VANLEER, VANALBADA e MINBEE, que serão estudados na Seção 17.5.2. Portanto, demos aos limitadores do WAF nomes análogos. A função φua(r,|c|) (ULTRAA) corresponde ao limitador de fluxo ULTRABEE; φsa(r,|c|) (SUPERA) corresponde ao limitador de fluxo SUPERBEE;

164

φvl(r,|c|) (VANLEER) corresponde ao limitador de fluxo VANLEER; φva(r,|c|) (VANALBADA) corresponde ao limitador de fluxo VANALBADA; φma(r,|c|) (MINA) corresponde ao limitador de fluxo MINBEE. A Fig. 17.4 ilustra a função limitadora SUPERA. Note que φua(r,|c|) não satisfaz a condição de segunda ordem dada na Eq. (17.50).

Figura 17.4 – Função Limitadora SUPERA do WAF

17.5.2 – Limitador de Fluxo Geral Uma abordagem bem estabelecida para construir esquemas TVD de alta precisão é o limitador de fluxo. Isto requer um fluxo de alta ordem de precisão associado a um esquema de precisão maior ou igual a segunda ordem e um fluxo de baixa ordem associado a um esquema de primeira ordem monotônico. Vamos apresentar a abordagem em termos da lei de conservação modelo (17.55), resolvida por (17.56).

( ) ( ) auufufu xt ==+ ;0 (17.55)

(17.56)

Então, definimos o fluxo TVD de alta ordem como mostra a Eq. (17.57).

(17.57)

onde φi+1/2 é uma função limitadora de fluxo ainda por ser determinada. Para preservar alguma generalidade, assumiremos que os fluxos de alta e baixa precisão são dados da seguinte forma:

(17.58)

[ ]2/12/11

+−+ −

ΔΔ

+= iini

ni ff

xtuu

[ ]LOi

HIii

LOi

TVDi ffff 2/12/12/12/12/1 +++++ −+= φ

⎭⎬⎫

+=+=

++

++ni

ni

HIi

ni

nio

LOi

auaufauauf

1102/1

112/1

ββαα

165

A escolha

( ) ( )ss −=+= 121;1

21

10 αα (17.59)

com s=sinal(a), reduz o fluxo de baixa ordem ao fluxo de Godunov upwind de primeira ordem. Para a escolha

( ) ( )212

0 141;1

41 c

cc

c−−=+= αα (17.60)

o fluxo de baixa ordem torna-se o fluxo do método FORCE. Para a escolha

( ) ( )cc

cc

−−=+= 121;1

21

10 αα (17.61)

produz o fluxo de Lax-Friedrichs. O extenso de dois pontos do fluxo de alta ordem significa que este fluxo está associado ao método de Lax-Wendroff, para o qual

( ) ( )cc −=+= 121;1

21

10 ββ (17.62)

Portanto, os coeficientes β0 e β1 para o fluxo de alta ordem são fixos, mas os coeficientes α0 e α1 para o fluxo de baixa ordem são gerais. Substituindo (17.58) em (17.57) resulta a Eq. (17.63).

( )[ ]( ) ( )[ ]( )nii

nii

TVDi auauf 12/11112/10002/1 ++++ −++−+= φαβαφαβα (17.63)

Substituindo (17.63) em (17.57) produz

(17.64) 2/12/1

1+−

+ Δ+Δ−= iini

ni uDuCuu

onde ( )[ ]

( )[ ]2/1111

2/1000

+

−

−+−=−+=

i

i

cDcC

φαβαφαβα (17.65)

ni

nii

ni

nii

uuu

uuu

−=Δ

−=Δ

++

−−

12/1

12/1(17.66)

Na próxima seção, especializamos a abordagem do limitador de fluxo para escolhas particulares dos esquemas de baixa e alta ordem de precisão.

166

17.5.3 – Esquema TVD upwind com Limitador de Fluxo Aqui, assumimos que o fluxo de baixa ordem corresponde ao esquema upwind de primeira ordem de Godunov e o fluxo de alta ordem correspondente ao esquema de Lax-Wendroff. A derivação do esquema TVD consiste em identificar a direção upwind. Os limitadores de fluxo são agora denotados por ψi+1/2(r). Primeiramente, assumimos que a>0 na equação da lei de conservação modelo (17.55). Então,

( )[ ]

( ) ( )cc

cDcC

c

i

i

−=+=

−=−+=

>==

+

−

121;1

21

110;0;1

10

2/11

2/10

10

ββ

ψβψβ

αα

(17.67)

Agora, reescrevemos (17.64) da seguinte forma:

(17.68) 2/1

1 ˆ−

+ Δ−= ini

ni uCuu

onde

(17.69) r

DCC −=ˆ

2/1

2/1

+

−

ΔΔ

=i

i

uur (17.70)

Aplicando a condição TVD (17.19) do teorema de Harten, obtemos a seguinte desigualdade:

( ) 11110 2/112/10 ≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+≤ +− r

c ii ψβψβ (17.71)

Agora, imporemos a restrição global, independente de r, sobre a função limitadora desejada, a saber:

(17.72) riTiB ∀∀≤≤ − ,,2/1 ψψψ

Esta restrição pode ser reescrita como segue:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]BiT ccc ψβψβψβ 111111 02/100 −+≤−+≤−+ − (17.73)

Agora, consideramos a seguinte desigualdade:

(17.74) ( )[ ] ( )[ ]BiT c

rcc ψβψβψβ 111111 02/110 −+−≤≤−+− +

167

Note que (17.73) e (17.74), quando somados, reproduzem a condição TVD (17.71) identicamente. Como (17.73) é equivalente a (17.72), trabalharemos somente com a desigualdade (17.74) para encontrar a função limitadora ψi+1/2 na interface i+1/2. Analisando o lado esquerdo da desigualdade (17.74) conduz ao seguinte resultado:

( ( ) )( )⎩

⎨⎧

<≤>≥

+ 00

2/1 rserrser

rL

Li ψ

ψψ (17.75)

onde

( ) rr TL ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1

1β

ψψ (17.76)

A análise da desigualdade direita da Eq. (17.74) produz a restrição (17.77).

( ( ) )( )⎩

⎨⎧

<≥>≤

+ 00

2/1 rserrser

rR

Ri ψ

ψψ (17.77)

onde

( ) ( ) r

ccr BR ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

1

1β

ψψ (17.78)

Usando as restrições (17.72) junto com (17.75)-(17.78), podemos obter a região TVD para o limitador de fluxo ψi+1/2(r) para o caso a>0.

Antes disso, consideramos o caso a<0. Agora, a direção upwind está no lado direito da célula relevante. O esquema pode ser escrito da seguinte forma:

(17.79)

2/11 ˆ

++ Δ+= i

ni

ni uDuu

onde

2/1

2/1

ˆ

−

+

ΔΔ

=

−=

i

i

uur

rCDD

(17.80)

Agora, consideramos a posição i-1/2 como a posição local tal que r permanece a razão das variações upwind e local. A condição TVD (17.19) de Harten conduz ao resultado mostrado na Eq. (17.81).

( ) 11110 2/102/11 ≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−≤ −+ r

c ii ψβψβ (17.81)

Agora impomos a restrição global, conforme mostra a Eq. (17.82).

168

(17.82) TiB ψψψ ≤≤ + 2/1

Seguindo os mesmos passos como no caso a>0, chega-se à condição mostrada na Eq. (17.83).

(17.83) ( )[ ] ( )[ ]BiT c

rcc ψβψβψβ 111111 12/101 −++≤−≤−+ −

para a função limitadora de fluxo ψi-1/2 na interface i-1/2. Note que ao substituirmos c pelo seu valor absoluto |c|, a condição (17.83) é equivalente à condição (17.74), com a devida interpretação da posição da interface local. Portanto, as condições (17.72) junto com (17.75)-(17.78) aplicam-se para ambos os casos a>0 e a<0, desde que, substituamos c por |c| e interpretemos corretamente a razão r. Portanto, a função limitadora na posição da interface genérica i+1/2, satisfaz as seguintes equações:

( ) TB r ψψψ ≤≤ (17.84)

( )( )⎩

⎨⎧

<≤>≥

00

rserrser

L

LB ψ

ψψ (17.85)

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

<≥>≤

00

rserrser

rR

R

ψψ

ψ (17.86)

( ) r

cr TL ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

12ψψ (17.87)

( ) rc

r BR ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2ψψ (17.88)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−−

>−−

=ΔΔ

=

+

++

+

−

0

0

1

12

1

1

aseuuuu

aseuu

uu

r

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

loc

upw (17.89)

A escolha dos limites inferior e superior ψB e ψT em (17.84) determina as funções ψL e ψR em (17.87) e (17.88) e conseqüentemente a região TVD. A Fig. 17.5 mostra a região TVD resultante para os limites definidos na Eq. (17.90).

169

cc TB −

≤−≥1

2;2 ψψ (17.90)

Figura 17.5 – Região TVD Geral (escura) para Esquemas de Limitadores de Fluxo Baseados no Método upwind de Primeira Ordem de Godunov e o Esquema de Lax-

Wendroff

Como na derivação da região TVD do método WAF, a escolha dos limites inferior e superior depende de qual esquema queremos reproduzir como esquemas limites. A escolha mostrada na Eq. (17.91) permite esquemas entre o upwind de primeira ordem de Godunov e o esquema downwind. Neste caso, a região TVD para r<0 converge para ψ(r)=0 (esquema upwind de primeira ordem de Godunov, r<0). A região TVD de Sweby é obtida se tomarmos os limites mostrados na Eq. (17.91) e substituirmos 2/|c| por 2 em ψR. Veja a Fig. 17.6.

0;,

122 =∀−

≤= BT cc

ψψ (17.91)

Figura 17.6 – Região TVD de Sweby

170

Cinco funções limitadoras de fluxo são apresentadas a seguir:

ULTRABEE (17.92) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎨ ≤≤

crserub 02⎪

⎪⎪⎧

−≥

−

−

≤

=

cc

rsec

cc

rse

r

112

1

00

ψ

SUPERBEE (17.93)

( ) ⎪⎨ ≤≤ 1211 rsesb

VANLEER (17.94)

VANALBADA (17.95)

MINBEE (17.96)

A Fig. 17.7 ilustra quatro destes limitadores de fluxo construídos utilizando a região TVD de Sweby: ULTRABEE, SUPERBEE, VANLEER e MINBEE.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎧

≥≤≤

≤≤≤

=

2221

/2/102

00

rserser

rserrse

rψ

⎪⎩

⎪( ) ⎨ ≥ 02 rsevl

⎧

+

≤=

1

00

rr

rserψ

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤ 0r

≥++= 0

110

2 rserrr

servaψ

( ) ⎪⎨ ≤≤ 10 rsemb⎪⎩

⎧

≥

≤=

11

00

rser

rserψ

171

Figura 17.7 – Quatro Funções Limitadoras de Fluxo Construídas da Região TVD da Fig. 17.6: ULTRABEE, SUPERBEE, VANLEER e MINBEE

Estas são relacionadas às funções limitadoras do método WAF dadas em (17.50)-(17.54). Há de fato uma correspondência direta entre os limitadores de fluxo WAF e os limitadores de fluxo desta seção. Tal correspondência é dada na Eq. (17.97). Para qualquer função limitadora de fluxo convencional, existe uma função limitadora WAF correspondente e vice-versa.

( ) ( ) ( )rcr ψφ −−= 11 (17.97)

17.7.4 – Esquemas TVD Centrados com Limitadores de Fluxo Vamos seguir a abordagem do limitador de fluxo geral discutido na Seção 17.5.2. O fluxo de baixa ordem de precisão é assumido ser um fluxo centrado, com coeficientes gerais α0 e α1 em (17.58). O fluxo de alta ordem de precisão é ainda aquele associado ao método de Lax-Wendroff. Critério TVD para esquemas centrados. Condições TVD convenientes para construir esquemas TVD centrados são primeiro apresentados. Tais condições são uma generalização da clássica condição de compatibilidade de dados e a condição necessária do Teorema de Harten. Considerando o esquema (17.56) expresso como em (17.64), onde os coeficientes C e D são, em geral, dependentes dos dados. Definindo (17.99), o esquema (17.98) produz (17.100), onde s=sinal(a).

(17.98) 2/12/1

1+−

+ Δ+Δ−= iini

ni uDuCuu

172

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<ΔΔ

>ΔΔ

=Δ

Δ=

−

+

+

−

0,

0,

2/1

2/1

2/1

2/1

auu

auu

uu

r

i

i

i

i

dow

upwi

(17.99)

⎩⎨⎧

<−>−

=−−

=−

+

0/0/1

)(

aserCDaserDC

uuuuR

i

ini

nsi

ni

nis

i(17.100)

A seguir, estabelecemos as condições suficientes para que o esquema (17.98) seja TVD. Teorema 17.9. O esquema (17.98) para a equação de convecção linear (17.55) é TVD se:

(17.101)

010

0

00

)(

)(

<−−≤≤

>≤≤−

ii

si

iLs

ii

R

rser

R

rseRr

εε

ε ε

(17.102)

onde εL, ε0, εR são reais satisfazendo

(17.103) 1,,0 0 ≤≤ RL εεε

Observação. A condição TVD (17.101) relaciona-se a pontos afastados de extremos e é mais relaxada do que a condição de compatibilidade de dados (17.104), a qual, como discutido previamente, é perfeitamente adequada para derivar funções limitadoras para o caso em que o esquema de primeira ordem é o método upwind de primeira ordem de Godunov. Entretanto, para o caso em que o esquema de primeira ordem é centrado, a aplicação direta de (17.104) conduz a uma região TVD altamente restritiva que pode realmente excluir o esquema monotônico de primeira ordem. A condição TVD (17.102) é mais restritiva do que (17.104), mas desde que esta condição se relaciona a extremos, onde o esquema é localmente de primeira ordem de precisão, as condições TVD (17.101)-(17.102) são de um modo geral mais relaxadas do que (17.104).

(17.104) 10 )( ≤≤ siR

Região TVD. Primeiramente, provaremos um resultado que trata da construção da região TVD para esquemas de limitadores de fluxo centrados. Teorema 17.10. Para garantir que um esquema é TVD, os limitadores φ(r) devem pertencer a uma região (a região TVD) satisfazendo as seguintes restrições:

( ) TB r φφφ ≤≤ (17.105)

(17.106) ( ) ( ) ( ) 0, >≤≤ ++ rrrr RL φφφ

173

(17.107) ( ) ( ) 0, ≤≤≤ −− rrr LR φφφ

( ) ( )rSr TLL φφ +=+ (17.108)

( ) ( )rSr BRgR φφφ ++= ++ (17.109)

(17.110) ( ) ( )rSr TLgL φφφ ++=−

( ) ( )rSr BRR φφ += −− (17.111)

Aqui, φB, φT são limites inferior e superior globais e as definições para os parâmetros SL, φg, SR

+, SR- são dados na Tabela 17.1.

Tabela 17.1. Parâmetros importantes para o esquema FORCE, esquema de Lax-Friedrichs,

e o método upwind de primeira ordem de Godunov.

0>a 0<a FORCE Lax-Friedrichs Godunov LS

11

0

βαα−

00

1

βαα−

cc

−

+

11

c−11

c−12

gφ 11

1

βαα−

00

0

βαα−

cc

+

−

11

c+11

0

+RS

11

0 /1βα

α−

− c

00

1 /1βα

α−

− c

cc

+

+

13

c+11

c2

−RS

11

10 /1βα

αα−

−− c

00

01 /1βααα

−

−− c 2 0 c2

A região TVD é determinada pelas desigualdades envolvendo seis linhas retas, a saber os limites horizontais φB, φT e as funções definidas em (17.108)-(17.111). A Fig. 17.8 mostra a região TVD geral definida pelo teorema. Escolhemos φB=0 e φT constante com uma inclinação não-positiva para φL

-(r) e φL+(r). De fato, é suficiente tomar estas funções

como constantes e podemos, portanto estabelecer o seguinte:

0;

11

0 >−

−= aT βααφ

(17.112)

0;00

1 <−

−= aT βααφ

e

174

( ) 0=+ rLφ (17.113)

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

>−=≡−

0,

0,

00

0

11

1

a

ar gL

βααβα

α

φφ (17.114)

A Tabela lista expressões para várias quantidades envolvidas, para três esquemas de primeira ordem, incluindo o método upwind de primeira ordem de Godunov. Observação: Durante a demonstração do teorema anterior, encontramos que os valores convenientes para os parâmetros εL, ε0 e εR nas equações (17.101) e (17.102) são os seguintes:

(17.115) 10,1 αεεε cRL −===

Figura 17.8 – Região TVD para Limitadores de Fluxo de Esquemas Centrados

Se tivéssemos imposto a condição usual de compatibilidade de dados, teríamos obtido ε0=εR=0 e portanto a região TVD na Fig. 17.8 teria excluído funções limitadoras de fluxo φ(r) com φ(r)≤φg>0, exceto para o caso especial |c|=1, para o qual φg=0. Até mesmo o caso básico φ(r)=0 que reproduz o esquema monotônico de baixa ordem em (17.57) seria excluído. Para métodos upwind, esta dificuldade não ocorre, desde que o coeficiente downwind (α1 para a>0 e α0 para a<0) é zero e, portanto φg=0 ∀c.

Construção de limitadores. A meta adiante é construir limitadores de fluxo φ(r) para serem usados no esquema de limitadores de fluxo (17.57). Neste contexto, o seguinte resultado se aplica.

175

Teorema 17.11. O fluxo TVD centrado (17.116), onde fi+1/2lo é o fluxo de algum esquema

monotônico centrado de primeira ordem e fi+1/2lw é o fluxo do método de Lax-Wendroff,

reduz-se ao fluxo upwind de primeira ordem de Godunov (17.117) quando φ(r)=φg e os limitadores de fluxo upwind ψ(r) são relacionados aos limitadores de fluxo centrados φ(r) pela equação (17.120).

( ) ( )( )LOi

LWii

LOi

ci ffrff 2/12/12/12/12/1 +++++ −+= φ (17.116)

( ) ( )( ) ( )( )n

ini

gi auSauSf 12/1 1

211

21

++ −++= (17.117) onde

(17.118)

( )asinalS =

( ) gr φφ = (17.119)

( ) ( ) ( )rr gg ψφφφ −+= 1 (17.120)

Observação. Baseado no resultado acima, chamamos φg o ponto Godunov, veja a Tabela 17.1. Note que as condições TVD convencionais (17.104), enquanto cabíveis para esquemas TVD upwind, não admitem limitadores de fluxo abaixo de φg. Isto é, esquemas que possuem viscosidade numérica alta tal como o método FORCE e o Lax-Friedrichs, não são incluídos na região TVD. Baseado no primeiro resultado do Teorema (17.11), podemos generalizar o método upwind de primeira ordem de Godunov para leis de conservação não lineares simplesmente por definir um fluxo em (17.116) com φi+1/2(r)=φg. Tal extensão depende do fluxo de baixa ordem centrado particular fLO

i+1/2 usado e do número de Courant c; este pode ser obtido da velocidade característica (local) ou do coeficiente CFL (global). Uma escolha local seria dada pela Eq. (17.121), onde ai+1/2 é uma velocidade característica na interface i+1/2. Notamos que tal extensão não requer a solução de um problema de Riemann local, como requer o método upwind de primeira ordem de Godunov.

2/12/1

2/12/1 , ++

++ =

ΔΔ

= iii

i aSx

tSc (17.121)

Antes de construirmos limitadores de fluxo φ(r), notamos que os parâmetros SL, φg, S+

R, S-R em (17.108)-(17.111) definem a região TVD e eles dependem do número de

Courant |c|; veja a Tabela 17.1. Pela identificação de possíveis mínimos e máximos valores de |c|, isto é

cc

cc

max

min

max

min

=

=(17.122)

176

Construímos uma região TVD baseada nas condições mais restritivas. Os valores correspondentes para os parâmetros relevantes são:

( )

(17.123)

lembrando que especificamos φ+L(r)=0; φ-

L(r)=φg e SL em (17.108), (17110) é definido uma vez que φT é escolhido. Para a equação modelo (17.55), interpretamos (17.122) como significando cmin=0 e cmax=1, conduzindo a uma região TVD independente do número de Courant mostrada na Fig. 17.9. Segue que as únicas possibilidades para limitadores de fluxo são do tipo MINBEE, o exemplo mais popular sendo o mostrado na Eq. (17.124).

Figura 17.9 – Região TVD para Limitadores de Fluxo Centrados, que é Independente do Número de Courant

(17.124)

Note que φmb(r) é o limitador de fluxo convencional MINBEE (17.96). Isto é perfeitamente adequado para a maioria das aplicações realísticas, mas tem a desvantagem de ser altamente difusivo. Em geral, valores altos de φ(r) adicionam menos viscosidade numérica do que valores baixos. Portanto, é desejável preservar pelo menos parte da região TVD acima de φ=1. Usando a relação (17.120) entre limitadores de fluxo upwind convencionais ψ(r) e os limitadores de fluxo centrados procurados φ(r), construímos estes da seguinte forma:

( )( )max

max

min

cSS

cc

Rg

gg

TT

++ =

=φ = φ

φφ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≤≤

≤=

1,110,

0,0)(

rrr

rrmbφ

177

( ) ( ) ( )rr gg ψφφφ −+= 1ˆ (17.125)

onde

( )⎩

⎨⎧

≥=≤

=1,1,0ˆ

max rcr

ggg φφ

φ (17.126)

pela escolha dos limitadores de fluxo upwind ULTRABEE, SUPERBEE, VANLEER e VANALBADA, obtemos limitadores de fluxo centrados correspondentes.

( ) { }⎩⎨⎧

>+≤

= + 0,,min0,0

rrSr

rRgT

ub φφφ (17.126)

( )

( ){ }⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+≤≤

≤≤≤

=

1,1,2min12/1,12/10,2

0,0

rrr

rrr

r

gg

sb

φφ

φ (17.127)

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥+

−+

≤≤+

≤

=

1,112

10,12

0,0

rr

r

rr

rr

r

gg

vl

φφ

φ (17.128)

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥+

+−+

≤≤++

≤

=

1,1

11

10,11

0,0

2

2

rr

rr

rrrr

r

r

gg

va

φφ

φ (17.129)

Estressamos que os limitadores centrados (17.126)-(17.129) são somente análogos aos limitadores upwind, eles não são equivalentes.

178

18.0 Métodos de Alta Resolução para Sistemas de Equações de Conservação. No capítulo anterior, discutimos a aplicação de métodos TVD para a equação de conservação escalar. A extensão para sistemas de equações é imediata e será apresentada neste capítulo. 18.1 Esquema de Roe-Sweby. O esquema de Roe-Sweby aplicado a sistemas de equações de conservação é na realidade o esquema TVD upwind que utiliza o método upwind de primeira ordem de Godunov e o método de Lax-wendroff de segunda ordem, o qual foi discutido no capítulo anterior quando foi aplicado à lei de conservação escalar unidimensional. Para melhor entendermos a aplicação deste esquema a sistemas de equações de conservação, devemos transformas o sistema de equações para o espaço de ondas, onde o sistema é formado por equações de conservação desacopladas e os autovalores da matriz Jacobiana de fluxo do sistema original são as velocidades de propagação das ondas. O esquema de Roe-Sweby aplicado à equação de conservação escalar unidimensional é mostrado abaixo, onde o fluxo de baixa ordem é obtido com o método de Godunov e o fluxo de alta ordem é obtido com o método de Lax-Wendroff de segunda ordem. Nas equações abaixo, a é a velocidade de propagação da onda.

(18.1)

( ) ( )

( ) ( )

( )

LOi

HIii

LOi

TVDi

iiiiHI

i

iiiiLO

i

ffff

uuaxtfff

uuafff

2/12/12/12/12/1

12

12/1

112/1

21

21

21

21

+++++

+++

+++

−+=

−ΔΔ

−+=

−−+=

ψ

No caso de sistemas de equações de conservação, devemos transformar as equações e aplicar o esquema de Roe-Sweby no espaço de ondas, onde os autovalores da matriz Jacobiana de fluxo do sistema original são as velocidades com as quais as ondas se propagam. Consideremos as equações de Euler compressíveis unidimensionais mostradas abaixo.

0=

∂∂

+∂∂

xE

tQ e

(18.2) onde

(18.3) ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

upepu

uE

euQ e

2, ρρ

ρρ

( ) i

i

ep

uee

ργ

ρ

121 2

−=

+=

(18.4)

179

A matriz Jacobiana de fluxo, os autovalores e autovetores associados são mostrados abaixo.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

∂∂

=up

uu

QEA e

γρ

ρ

0/100

(18.5)

auau

u

−=+=

=

3

2

1

λλλ

(18.6)

(18.7)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

2/12/1

2/1,

2/12/12/1

,001 2

2

2

21 aa

xaa

xx ρρ

Podemos definir a matriz T cujas colunas são os autovetores associados à matriz

Jacobiana de fluxo A, conforme mostra a equação abaixo.

(18.8)

rrr

=2/12/102/12/10

2/12/11 22

aaaa

T ρρ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

Pré-multiplicando o sistema de equações diferenciais por T-1, obtemos o sistema desacoplado no espaço de ondas mostrado abaixo.

0111 =∂∂

+∂∂ −− −

(18.9) xQATTT

tQT

ou seja,

0=∂∂

Λ+∂∂

xW

tW

(18.10) onde

(18.11)

QTW 1−=

180

ou ainda

(18.12)

0

0

0

33

3

22

2

11

1

=∂

Podemos observar que agora temos três equações escalares de conservação desacopladas iguais àquela que foi estudada no Capítulo 17, onde discutimos a aplicação de esquemas TVD. Vamos aplicar o esquema conservativo discutido no Capítulo 17 a cada equação individualmente.

(18.13)

onde

(18.14)

O fluxo TVD será obtido usando o método upwind de primeira ordem de Godunov e o método de Lax-Wendroff de segunda ordem, conforme as equações abaixo.

(18.15)

onde

(18.16) ou seja

(18.17)

Reescrevendo agora as equações acima na forma matricial, resulta a seguinte equação matricial:

(18.18)

∂+

∂

=∂

+∂∂

=+∂∂ ∂

∂∂

x∂w

tw

xw

tw

xw

tw

λ

λ

λ

( )ni

ni

ni

ni ff

xtww 2/12/1

1−+

+ −Δ

−=Δ

wf λ=

( )LOi

HIii

LOi

TVDi ffff 2/12/12/12/12/1 +++++ −+= ψ

( ) ( )

( ) ( )iiiiHI

i

iiiiLO

i

wwxtfff

wwfff

−ΔΔ

−+=

−−+=

+++

+++

12

12/1

112/1

21

21

21

21

λ

λ

( )iiiLO

iTVD

i wwxtff −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ΔΔ

−= ++++ 12

2/12/12/1 21 λλψ

( ) ( ) ( )iiLOTVD WWWW −Λ−Λ=Λ +1

ˆ21

181

onde a matriz é diagonal com os seguintes termos: Λ̂

(18.19)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ΔΔ

= jjjj xt λλψλ

2ˆ

Pré-multiplicando a equação matricial acima pela matriz T, resulta o seguinte:

( )( ) ( (18.20) ) ( )iiLOTVD WWTTTTWTTTWTT −Λ−Λ=Λ +

−−−1

111 ˆ21

ou seja

(18.21)

( ) ( ) ( )iiLOTVD QQAAQAQ −−= +1

ˆ21

O vetor de fluxo das equações de Euler é uma função homogênea de grau um do vetor de variáveis conservadas, portanto, podemos escrever o seguinte:

(18.22)

( )iiLOTVD QQAFF −−= +1

ˆ21

De forma completamente análoga, podemos também escrever o seguinte:

( ) ( )iiiiLO QQAFFF −−+= ++ 11

~21

21

(18.23) onde

(18.24)

1

1

~~ˆˆ

−

−

Λ=

Λ=

TTA

TTA

As matrizes diagonais acima são compostas dos seguintes termos:

(18.25)

jj

jjjj xt

λλ

λλψλ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ΔΔ

=

~

ˆ 2

O valor do limitador de fluxo ψ deve ser obtido individualmente para cada equação no espaço de ondas em função de r, conforme é mostrado abaixo.

( ) ( )( ) ( )

(18.26)

( ) ( )( ) ( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−

−

>−

−

=Δ

Δ=

+

++

+

−

0

0

1

12

1

1

jnij

nij

nij

nij

jnij

nij

nij

nij

loc

upwj

seww

ww

seww

ww

rλ

λ

182

Os mesmos limitadores de fluxo obtidos para a equação escalar no Capítulo 17 podem ser aplicados diretamente para as equações desacopladas no espaço de ondas.

ULTRABEE (18.27) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎨ ≤≤

crserub 02⎪

⎪⎪⎧

−≥

−

−

≤

=

cc

rsec

cc

rse

r

112

1

00

ψ

SUPERBEE (18.28)

( ) ⎪⎨ ≤≤ 1211 rsesb

VANLEER (18.29)

VANALBADA (18.30)

MINBEE (18.31)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎧

≥≤≤

≤≤≤

=

2221

/2/102

00

rserser

rserrse

rψ

⎪⎩

⎪( ) ⎨ ≥ 02 rsevl

⎧

+

≤=

1

00

rr

rserψ

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤ 0r

≥++= 0

110

2 rserrr

servaψ

( ) ⎪⎨ ≤≤ 10 rsemb⎪⎩

⎧

≥

≤=

11

00

rser

rserψ

183

Referências:

1. Anderson, W., Thomas, J. L., and Van Leer, B., “A Comparison of Finite Volume Flux Vector Splitting for the Euler Equations,” AIAA Paper 85-0122, 1985.

2. Baldwin, B. S., and Lomax, H., “Thin Layer Approximation and algebraic Model for separated Turbulent Flows,” AIAA Paper 78-257, Huntsville, Alabama, Jan. 1978.

3. Beam, R. M., and Warming, R. F., “ An Implicit Finite-Difference Algorithm for Hyperbolic Systems in Conservation-Law Form, Journal of Computational Physics, Vol. 22, Sept. 1976, pp. 87-110.

4. Beam, R. M., and Warming, R. F., “An Implicit Factored Scheme for the Compressible Navier-Stokes Equations,” AIAA Journal, Vol. 16, No. 4, April 1978, pp. 393-402.

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7. Chaussee, D. S., and Pulliam, T. H., “Two-Dimensional Inlet Simulation Using a Diagonal Implicit Algorithm,” AIAA Journal, Vol. 19, No. 2, Feb. 1981, pp. 153-159.

8. Coakley, T. J., “Implicit Upwind Methods for the Compressible Navier-Stokes Equations,” AIAA Journal, Vol. 23, No. 3, July 1983, pp. 374-380.

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