Az összetett hajlítás képleteiről Bevezetés Az elemi szilárdságtan ismereteit a tankönyvek szerzői általában igyekeznek úgy kifejteni, hogy a kezdő számára se okozzanak komolyabb matematikai nehézségeket. A húzásra / nyomásra és ferde hajlításra igénybe vett egyenes tartókban ébredő szigma - feszültségek és egyéb mennyiségek számításával kapcsolatban egy érdekes levezetés található [ 1 ] - ben, mellyel máshol még nem találkoztunk. A jelen dolgozatban ezt a némiképpen rendhagyó, az elemi matematikát ötletesen alkalmazó számítási eljárást nézzük meg közelebbről. A képletek levezetése, ill. manipulálása Az elemi szilárdságtan szerint az N normálerővel és M hajlítónyomatékú erőpárral terhelt egyenes tengelyű rúd normálfeszültségei – a szokásos feltevések mellett – a szuperpozíció alkalmazásával határozható meg:

össz N M , ( 1 ) ahol még

y zM M M . ( 2 ) A továbbiakban alkalmazott jelöléseket segít értelmezni az 1. ábra, ahol a súlyponti főtengelyrendszerben végzendő munkát készítjük elő.

1. ábra Részletesebben kifejtve:

2

NN ;A

( 3 )

y

yM

y

Mz;

I ( 4 )

z

zM

z

M y;I

( 5 )

majd fentiekkel:

y zössz

y z

MN Mz y.A I I

( 6 )

Írjuk fel ( 6 ) - ot így:

össz a b y c z ; ( 7 ) az együtthatók összehasonlításából:

Na ;A

( a )

z

z

Mb ;I

( b )

y

y

Mc .

I ( c )

Tudjuk, hogy – idézet [ 1 ] - ből – : „ A hajlítás tengelye azon egyenes, mely a szelvény síkjában van, annak súlypontján megy keresztül, fekvése pedig olyan, hogy a vele párhuzamos sávokban a derékfeszültség állandó és arányos a sávnak a hajlítás tengelyétől mért távolságával.” A továbbiakhoz tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra

3

Most ( 1 ), ( 2 ), ( 7 ) és a mondottak alapján: össz a A m, ( 8 )

ahol a fentiek szerint: A m b y c z . ( 9 ) Most fejezzük ki y - t és z - t ( m, n, φ ) - vel! A 2. ábra szerint:

y r sin r sin cos cos sin

r sin cos r cos sin .

( 10 )

Hasonlóan:

z r cos r cos cos sin sin

r cos cos r sin sin .

( 11 )

Most figyelemmel az r cos m,r sin n ( 12 )

kapcsolatokra is, ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: y n cos m sin ;z m cos n sin . ( 13 )

Most ( 9 ) és ( 13 ) - mal: A m b n cos m sin c m cos n sin . ( 14 )

Átrendezve: A m m b sin c cos n b cos c sin . ( 15 )

Az együtthatók összehasonlításából: A b sin c cos ; ( 16 ) 0 b cos c sin . ( 17 ) Most ( 17 ) - ből:

btg ;c

( 18 )

Most a ( b ), ( c ), ( 18 ) képletekkel: z

yzz

y y z

y

MIMItg , tehátM M I

I

yz

y z

IMtg .M I

( 19 )

Most nézzük a 3. ábrát!

4

3. ábra Leolvasható, hogy

z

y

M tg ,M

( 20 )

így ( 19 ) és ( 20 ) szerint az összetett hajlítás egyik alapképlete:

y

z

Itg tg .

I ( 21 )

Ezután a 3. ábra szerint felírjuk, hogy

2 2

2 2

bsin ,b c

ccos ;b c

( 22 )

majd ( 16 ) és ( 22 ) - vel: 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

b c b cA b c .b c b c b c

( 23 )

Most ( 23 ), ( b ) és ( c ) - vel:

2 2y z

y z

M MA .I I

( 24 )

Ezután ( 8 ), (a ), ( 24 ) képletekkel:

Megjegyzés:

Minthogy y 1

z 2

I I 1,I I

ezért ( 21 ) alapján fennáll, hogy

.

5

2 2y z

összy z

MN Mm .A I I

( 25 )

A ( 25 ) képlet az összetett hajlítás másik alapképlete. Most határozzuk meg a semleges tengely helyét! A σössz = 0 feltételből, ( 25 ) - tel:

2 2y z

0y z

MN Mm 0 ,A I I

( 26 )

innen:

0 2 2y z

y z

Nm .M MAI I

( 27 )

Látjuk, hogy N > 0, azaz húzás esetén m0 < 0. A semleges tengely általában párhuzamos a hajlítás tengelyével, attól | m0 | távolságra helyezkedik el. Most vonjuk ki egymásból a ( 25 ) és ( 26 ) egyenleteket!

össz össz0 ; részletezve: 2 22 2

y yz z0 össz

y z y z

M MN M N Mm mA I I A I I

Rendezve:

2 2

y zössz 0

y z

M Mm m .I I

( 28 )

Bevezetve a 0t m m ( 29 )

jelölést, ( 28 ) és ( 29 ) - cel:

2 2y z

összy z

M Mt .I I

( 30 )

Minthogy t a semleges tengelytől merőlegesen mért távolság, kimondható: a normálfeszültség egyenesen arányos a semleges tengelytől mért távolsággal.

6

Az arányossági tényező a σ - sík esésvonalának meredeksége: tgψ. A fentieket a 4. ábrán szemléltetjük.

A 4. ábrán a szigmafeszültségi síkot „élből” szemlélhetjük, ahol a húzás + ferde hajlítás egy esetét ábrázoltuk. A feszültségi síkot akkor látjuk így, ha az n – n hajlítás tengelye irányából nézzük. Most oldjunk meg egy mintafeladatot – v.ö.: [ 2 ]! Feladat Adott az 5. ábra szerinti kialakítású és terhelésű tartó.

5. ábra Határozzuk meg a normálfeszültségek eloszlását, és ábrázoljuk is azt!

Az ábra szerint:

össz t tg , ( 31 ) ahol ( 30 ) alapján

2 2y z

y z

M Mtg .I I

( 32 ) 4. ábra

7

Megoldás: ~ Az igénybevételi komponensek – bármely keresztmetszetben – , a súlypontra redukálva: N F; ( P 1 )

yhM F ;2

( P 2 )

zbM F .2

( P 3 )

A keresztmetszeti jellemzők: A b h; ( P 4 )

3 2

yb h hI A ;12 12

( P 5 ) 3 2

zh b bI A .12 12

( P 6 )

~ A feszültség függvény - alakja, ( 6 ) - tal és fentiekkel is:

y zössz 2 2

y z

h bF FMN M F 2 2z y z yh bA I I A A A12 12

F z y 1 6 6 ,A h b

tehát

összF z y1 6 6 .A h b

( P 7 )

~ A hajlítás tengelyének helyzetéhez, ( 19 ) - cel:

2

yz2

y z

b hF AIM h2 12tg ,h bM I bF A2 12

tehát

8

htg .b

( P 8 )

A munkát szerkesztéssel folytatjuk – ld. a 6. ábrát!

6. ábra Először megrajzoljuk a hajlítás tengelyének ( h. t. ) egyenesét az S súlyponton keresztül, majd kijelöljük az ettől a tengelytől legtávolabb elhelyezkedő A és B pontokat, melyeken keresztül e tengellyel párhuzamosokat húzunk. A ( h. t. ) - re merőlegesen felvett K – K

keresztmetszetre rajzoljuk rá a össz

N

- ábrát. Ehhez kiszámítunk két függvényértéket,

az A és B pontnak megfelelően.

A Nb h F Fy ;z 1 3 3 7 7 ,2 2 A A

azaz

A

N

7.

( P 9 )

9

B Nb h F Fy ; z 1 3 3 5 5 ,2 2 A A

azaz

B

N

5.

( P 10 )

A ( P 9 ) és ( P 10 ) kiszámított értékekkel megrajzoltuk a 6. ábra szerinti szigma -

egyenest. Ellenőrzés: az S ( 0 ; 0 ) pontban össz

N

1

kell, hogy teljesüljön. ☺

A kész ábra alapján berajzoltuk a keresztmetszet ( s. t. ) semleges tengelyét is. Végül axonometrikus szemléltető képet készítettünk a feszültségeloszlásról – ld. 7. ábra!

7. ábra Zárszó Ebben a dolgozatban igyekeztünk bemutatni egy másfajta, talán ritkábban előforduló megoldási módot is, az összetett igénybevételek között igen fontos szerepet játszó fenti esetre. A számítások során egyes mennyiségekről kiderült, hogy egyszerű és szemléletes geometriai jelentésük van, így segíthetik a szerkesztéses megoldás megértését is. Azt javasoljuk, hogy a tanuló egyaránt használja a „szokásos” és az itteni megközelítési módot, a célszerűséget szem előtt tartva!

10

Irodalomjegyzék [ 1 ] – Kövesi Antal: Szilárdságtan és gyakorlati példák gyűjteménye Nehézipari Könyvkiadó, 1951. [ 2 ] –Sigurd Falk: Műszaki mechanika III. A rugalmas test mechanikája Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. augusztus 24.