Azione di un campo magnetico su una spira percorsa da corrente

La spira circolare

Nellultima lezione abbiamo trattato il problema per una spira rettangolare, usando il formalismo

vettoriale. Tale approccio risulta certamente meno intuitivo rispetto a quello proposto dal nostro testo,

tuttavia si presta ad essere facile mete generalizzato nel caso di una spira circolare piana.

Supponiamo che la spira sia descritta dalle seguenti equazioni parametriche:

( ) cos

( ) sin , 0;2 .

( ) 0

x r

y r

z

Per calcolare il momento risultante delle forze agenti sulla spira rispetto al suo centro di massa (lorigine del

nostro SR) useremo la legge:

( ).

G

circonf

d r I dl B

Si tratta di un integrale di linea, che per potete valutare in modo relativamente semplice scrivendo il

vettore dl tangente al circuito; sufficiente costruire il differenziale del vettore posizione relativo ad un

elemento di circuito cos sin .r r i j Si ottiene sin cosdl r d i d j .

Risulter anche particolarmente utile la seguente identit che trasforma un doppio prodotto vettoriale

nella somma di due contributi in cui appare il prodotto scalare:

a b c a c b a b c ,

che potrete facilmente verificare scrivendo i vettori per componenti.

Eseguiamo allora il calcolo:

( )

2

2 2 2

cos sin sin cos

sin cos sin cos sin cos

G

x y

x y x y

d r I dl B I B r dl I r dl B I B r dl

Ir B B d i d j

Ir B B d i B B d j

Vi baster allora ricordare il risultato di alcuni integrali definiti quasi immediati, cio

2

2 2

0 0 0

sin cos 0 , sin , cosd d d

per concludere che ( ) 2.

G

circonf

d r I dl B r I k B B .

Rimane da calcolare la forza risultante agente sulla spira. E nulla come nel caso di spira rettangolare?

Riflettete poi su questa questione: se la spira non risultasse piana, come si potrebbe definire un momento

magnetico?

Dovrebbe esserci, tra gli esercizi del nostro testo, uno che vi potrebbe suggerire qualcosa al riguardo!