B A D C K M - Hoc360.net

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Đáp án:

ABK = CBM (c/h-g/n) => ABK = CBM��

= (T/C của hình thoi)

Suy ra: Tia BD nằm trong góc KBM nên BD là pg của góc

KBM

Câu 32: Tứ giác ABCD có Gọi E, F, M, N theo thứ tự là

trung điểm của AB, CD, BD, CD. Tính:

a) EFD�

b) EFC�

Đáp án:

a) Vì E,N lần lượt là trung điểm của AB,AC nên EN là đường tb của tam giác ABC

EN//BC,EN=�

�BC

CMTT:ME//AD;ME= AD

DA

B

C

K M

D

AB

C

E

F

MN

��

�� − �� = �� − ��

�� = ��

C� = 40�;�� = 80�;AD=BC

1

2



O

FN//AD;FN=�

�AD

MF//BC;MF=12� BC

Mà AD=BC nên ME=EN=NF=FM .Suy ra MENF là hình thoi

=>FE là phân giác của góc MFN

=>

=>

=>

Câu 33: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua

B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt

nhau ở K.

a) Chứng minh rằng AB=OK. b) Tứ giác ABKO là hình gì? Vì sao?

Đáp án:

a) Ta có BK//OC (gt); BO//CK(gt)

�� =1

2 ��

�� = �� = 80�

�� = 180� − �� − �� = 60�

�� = �� = 40�

�� =1

260� = 30�

�� = �� + �� = 110�; �� = 70�

A

B

C

K

D



⇒ OBKC là hình bình hành mà BOC�=900 (vì ABCD là hình thoi) ⇒OBKC là hình

chữ nhật ⇒BC=OK (1)

vì ABCD là hình thoi ⇒ AB=BC (2)

Từ (1), (2) ⇒ OK=AB ⇒ Đpcm.

b) Ta có OBKC là hình chữ nhật (c.m.câu a) ⇒ BK=OC vì O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD nên OA=OC

⇒ BK=OA mà OK=AB (c.m.câu a) ⇒ tứ giác ABKO là hình bình hành .

Câu 34: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB và A�=600. Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của BC, AD.

a) Chứng minh rằng tứ giác ECDF là hình thoi. b) Chứng minh tam giác AED là tam giác vuông

Đáp án:

a) Vì E là trung điểm của BC(gt) ⇒EC=1/2BC (1)

Vì F là trung điểm của AD(gt) ⇒FD=1/2AD (2)

Mà tứ giác ABCD là hình bình hành (gt) ⇒BC=AD (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ EC=FD

Ta lại có BC//AD(cạnh đối hình bình hành)

Mà E∈BC; F∈AD ⇒ EB//FD do đó tứ giác ECDF là hình bình hành (4)

Mặt khác BC=2AB=2CD⇒ CD=1/2BC =EC (5)

Từ (4),(5) ⇒ ECDF là hình thoi ⇒ Đpcm.

D F

C E B

A

60�



E O

B D

A

F

C

b) Vì ECDF là hình thoi (c.m.câu a)

⇒ EF=FD và AF=FD=1/2AD ⇒ AF=FD=EF=1/2AD

⇒ ∆AEDvuông tại E ⇒ Đpcm.

Câu 35:Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt

AB ở E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F.

a) Chứng minh :EF là tia phân giác của góc AED. b) Nếu cho AE= 5cm; AD=8cm. Tính EF?

Đáp án:

Ta có DF//AE(gt), DE//AF(gt) nên tứ giác AEDF là hbh

Hbh AEDF có AD là phân giác của góc EAF nên tứ giác AEDF là hình thoi.

Do đó EF là phân giác của góc AED

EF vuông góc với AD tại O (T/c đường chéo hình thoi)

Xét tam giác vuông AOE có OA� + OE� = AE� (đl Pi-ta-go )

⇒OE= 2 2AE AO =√5� − 4� =√25 − 16 =√9 =3

EF = 2OE=2.3=6cm

Câu 36: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của

AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh

rằng PHQK là hình vuông.

Đáp án:



Có: APQD và BCQP là hình vuông, suy ra PHQK là hình chữ nhật. mặt khác

HP = HQ. vậy hình chữ nhật PHQK có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

Câu 37: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Qua M dựng đường thẳng song song

với AB cắt AC tại D, qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao ? b) Tìm điều kiện của tam giác ABC và vị trí của điểm M để tứ giác ADME là hình vuông.

Đáp án :

a) AD// ME và AE//DM nên ADME là hình bình hành.

b) Để ADME là hình vuông thì: �ADME là hình chữ nhật

ADME là hình thoi

Khi và chỉ khi �A� = 90°

M là giao điểm của tia phân giác góc A với BC

Vậy với tam giác ABC vuông tại A và M là giao điểm của tia phân giác góc A với

BC thì tứ giác ADME là hình vuông.

Câu 38: Cho hình vuông ABCD. Các điểm E, F lần lượt trên các cạnh BC, CD sao cho EAF� =

45o . Trên tia đối của tia DC lấy M sao cho DM = BE. Chứng minh rằng:

a) ∆ABE = ∆ADM, MAF�= 45o b) Chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông ABCD.

Đáp án:

KH

Q

PA B

DC

D

E

A

B C

M



a) ∆ABE = ∆ADM (c.g.c)

=> BAE � = DAM� => MAE� = 90o

Do đó: MAF�= 45o

b) ∆AEF = ∆AMF (c.g.c) => EF = MF

EF = MD+DF =BE+DF

Chu vi(CEF) = CE +EF+CF= CE+BE+DF+CF

= BC + CD = �

� chu vi ( ABCD)

Câu 39: Cho hình vuông ABCD. M thuộc đường chéo AC. Vẽ ME vuông góc AD tại E, MF

vuông góc CD tại F. Gọi N là giao điểm của ME và BC. Chứng minh rằng:

a) MEDF là hình chữ nhật, MFCN là hình vuông. b) ∆ABE = ∆DAF , BE AF

Đáp án:

a) Tứ giác MEDF có MED� =90o, MFD� =90o, EDF� =90o nên là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MFCN có CM là đường phân giác nên là hình vuông.

b) ∆ABE = ∆DAF (c.g.c)

Gọi K là giao điểm của AF và BE

EAK� + AEK� = ABE� + AEK� = 90o

=> ∆KEA vuông tại K

45

B

C

A

D

E

M

F

K

B

C

A

D

M

F

EN



Câu 40: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC>AB). Trên tia đối của AB lấy điểm M, trên tia đối của AC lấy điểm N sao cho BM = CN (= a). Gọi D,E,P,Q là trung điểm của BC, MN, MC, BN. Hỏi tứ giác DPEQ là hình gì?

A: Hình chữ nhật B: Hình thoi C: Hình vuông D: Đáp án khác

Đáp án: C: Hình vuông.

Câu 41: Cho tam giác ABC vuông tại A. TrênBC lấy điểm M, từ M kẻ MH // AC ( H thuộc AB)

MK // AB ( K thuộc AC).

a) Tứ giác AHMK là hình gì?

b) Tìm điều kiện của M để tứ giác AHMK là hình vuông.

Đáp án: a)Ta có MH // AC và MH // AB suy ra Tứ giác AHMK là hình bình hành (1)

Lại có A = 900 (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác AHMK là hình chữ nhật.

b) Tứ giác AHMK là hình vuông => AM là phân giác A => Khi AM là phân giác A hay M là chân đường phân giác A thì Tứ giác AHMK là hình vuông .

Q

PE

D

N

M

C

B

A

K

HM

C

B

A



Câu 42: Cho tứ giác ABCD có C + D = 1800 và AD = BC. Gọi M,N,I,K thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD.

Chứng minh rằng: Tứ giác MNIK là hình vuông.

Đáp án:

Ta có AM = MB (gt) và AN = NC (gt) => MN là đường trung bình của tam giác ABC =>

MN // = 2

1 BC.

Tương tự ta có KI // = 2

1 BC. Và MK = 2

1 AD = 2

1

BC

Nên suy ra Tứ giác MNIK là hình thoi (1)

Mặt khác Vì C + D = 1800=> AD BC mà MN // BC và MK // AD từ đó suy ra MN MK (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác MNIK là hình vuông.

Câu 43: Cho hình vẽ có AB = 70cm ; BC = 40cm. Diện tích đa giác AEGFCD bằng 2400 cm2. Tìm x.

Ta có SABCD = 40.70 = 2800(cm2)

SEBFG = x2

SABCD = SEBFG + SAEGFCD

SEBFG = SABCD – SAEGFCD x2 = 2800 – 2400 = 400 x = 20 (cm)

Câu 44. Cho tam giác ABC cân tại A. Các phân giác tại các góc B và C cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: BMNC là hình thang.

O

K

I

N

M

D

C

BA

A B

C D

x

x

E

F G



Đáp án:

Chứng minh được MCB = NBC ( g.c.g)

suy ra MB = NC, lại chứng minh được MA = NA => AMN cân tại A Cm được góc AMN = góc ABC => MN // BC suy ra : BMNC là hình thang

IV. VẬN DỤNG CAO.

Câu 1:Tứ giác ABCD có AC là tia phân giác của góc A, BC = CD, AB < AD.

a) Lấydiểm E trêncạnh ADsaocho AE = AB. Chứng minh rằng ABC AEC

b) Chứng minh rằng ˆ ˆB D =1800 C

B

A E D

Đápán: a) ABC AEC ( c - g – c) nên B̂ AEC (1)A

b) ABC AEC suyra BC= CE mà BC = CD nên CE = CD .

Suyra D̂ CED (2) .

Ta lạicó 0180AEC CED nêntừ (1) và (2) suyra ˆ ˆB D =1800

Câu 2:Tứgiác ABCD có ˆ ˆC D =900 . Chứng minh rằng: AC2 + BD2 = AB2 + CD2

Đápán: Gọi O làgiaođiểmcủa AD và BC ta có ˆ ˆC D =900nên 0ˆ 9 0O

ÁpdụngđịnhlýPy –ta –go, ta có AC2 = OA2 + OC2 ; BD2 = OB2 +OD2

Nên AC2 + BD2 = ( OA2 + OB2) + ( OC2 + OD2 ) = AB2 + CD2

NM

A

B C



O

B

A

D C

Câu 3:Cho tứgiác ABCDcó 0ˆ ˆ 50A B . Cáctiaphângiáccủacácgóc C và D cắtnhautại O

vàgóc COD = 1150..Tínhcácgóc Avà B.

Đápán: Ta tínhđược 0ˆ ˆ 130C D , do đó 0ˆ ˆ 230A B ta lạicó 0ˆ ˆ 50A B . Từđó 0ˆ 140A , 0ˆ 90B

B

A

O

D C

Câu4. Chứng minh rằng trong 1 tứ giác tổng 2 đường chéo lớn hơn 2 cạnh đối Gọi tứ giác đó là ABCD. Giao điểm 2 đường chéo AC và DB là O. Có OA+OD>AD (BĐTTG). CMTT có OB+OC>BC => AD+BC<DB+AC

Câu 5. Cho tứ giác ABCD, trong đó AB + BD ≤AC + CD. Chứng minh rằng AB < AC. Đáp án Vẽ trong tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối nên AB + CD < AC + BD (1) AB + BD ≤ AC + CD (2) Cộng vế với vế của (1) và(2) suy ra : 2AB + CD + BD <2AC + BD +CD

→ AB < AC.



Câu 6. Đố em tìm thấy vị trí của “kho báu” trên hình 11, biết rằng “kho báu” nằm tại giao

điểm các đường chéo của tứ giác ABCD, trong đó các đỉnh của tứ giác có toạ độ như sau :

A(3 ; 2), B(2 ; 7), C(6; 8), D(8 ; 5).

Đáp án

Vẽ tứ giác ABCD và các đường chéo AC, BC cắt nhau tại H(5 ; 6). Đó chính là vị trí “kho

báu”.

Câu 7: Cho tam giác vuông cân tại A. BC = 2cm. Vẽ tam giác ACE vuông cân tại E ( E, B

khác phía đối với AC)

a) CMR tứ giác AECB là hình thang vuông. b) Tính các góc và các cạnh của tứ giác AECB Đáp án: a) AE // BC, E = 900 nên AECB là hình thang vuông

A

C

B

E x x

y

y



b) Ta có

E =

C = 900 .

B = 450

BAE = 1350

Đặt AB = AC = x, ta có 2x2 = 4=> x2 = 2 => x =

2 Đặt AE = EC = y , ta có 2y2 = x2 = 2 nên y2 = 1, y = 1.

AB =

2 cm, AE = EC = 1cm. Câu 8: Hình thang ABCD ( AB//CD) có AB = 2cm, CD = 5cm. CMR AD + BC > 3 cm Đáp án: kẻ BE// AD thì AD = BE, DE = AB =2cm => EC = 3cm. Xet tam giác BEC: BE + BC > EC = 3cm. => AD + BC > 3cm. Câu 9: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có các tia phân giác của các góc A và D gặp nhau tại I thuộc cạnh BC. chứng minh rằng AD bằng nửa tổng hai đáy. Đáp án: Ta có : A1 + D1 = 900. Gọi E là giao điểm của AI và DC. Tam giác ADE cân ( vì đường p/g DI là đường cao) Nên AI = IE, AD = DE. AIB = EIC ( c.g.c) nên AB = EC. Do đó AD = DC + CE = DC + AB. ( ĐPCM). Câu 10. Hình thang ABCD ( AB // CD ) có E là trung điểm của BC, góc AED = 900. Chứng minh DE là tia phân giác của góc D

Đáp án:

E

A B

CD K

A B

C D E

A B

D

E

C

D 1

2

1

2



Gọi K là giao điểm của AE và DC, chứng minh được tam giác ABE = tam giác KCE (g.c.g)

=> AE = EK . vậy tam giác ADK cân, góc CDE = góc EDA

hay DE là tia phân giác của góc D

Đáp án:

Gọi K là giao điểm của AE và DC, chứng minh được tam giác ABE = tam giác KCE (g.c.g)

AE = EK

DE là đường trung tuyến của tam giác ADK

Mà DE ┴ AK

DE đồng thời là đường cao của tam giác ADK

tam giác ADK cân tại D

DE đồng thời là tia phân giác của góc D

Câu 11.Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có các tia phân giác của các góc A và D gặp nhau tại I thuộc cạnh BC. chứng minh rằng AD bằng tổng hai đáy.

Đáp án:

E

A B

CD K



Ta có : A1 + D1 = 900. Gọi E là giao điểm của AI và DC.

Tam giác ADE cân ( vì đường p/g DI là đường cao)

Nên AI = IE, AD = DE.

AIB = EIC ( c.g.c) nên AB = EC.

Do đó AD = DC + CE = DC + AB.

Câu12.Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có CD = AD + BC. Chứng minh giao điểm của các đường phân giác góc A và góc B nằm trên CD.

Đáp án:

Gọi M là giao điểm của tia phân giác góc A với CD. Ta sẽ chứng minh MB là phân giác của góc B.

Ta có góc AMD = góc MAD ( cùng = góc MAB)

do đó tam giác DAM cân => DA = DM.

Kết hợp với giả thiết CD = AD + BC Suy ra được CM = BC => tam giác BCM cân

nên góc DMA = góc MBC

Lại có góc BMC = góc MBA ( so le trong) nên góc CBM = góc MBA

I

A

ED

B

C

M

A B

D C



Vậy BM là tia phân giác của góc B.

Đáp án:

Gọi M là giao điểm của tia phân giác góc A với CD. Ta sẽ chứng minh MB là phân giác của góc B.

Ta có góc AMD = góc MAD ( cùng = góc MAB)

do đó tam giác DAM cân => DA = DM.

Kết hợp với giả thiết CD = AD + BC Suy ra được CM = BC => tam giác BCM cân

nên góc BMC = góc MBC

Lại có góc BMC = góc MBA ( so le trong) nên góc CBM = góc MBA

Vậy BM là tia phân giác của góc B.

Câu 13: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD).

Chứng minh rằng AB + CD < 2 AC

Đáp án: Gọi O là giao điểm của AC và BD

∆�� có AB < AO+ OB

∆�� có CD< OD + OC

Do đó : AB + CD < AO + OC + OD+ OB

AB + CD < AC + BD A B

Mặt khác: AC = BD( ABCD là hình thangcân)

Vậy: AB + CD < 2 AC

D C

Câu 14: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có ��<��.

M

A B

D C

O



Chứng minh rằng: AC > BD

Đáp án:

Vẽ tia Cx nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD Có chứa A sao cho: �� = �� , Cx cắt AB tại E

Suy ra :AEDC là hình thang cân

Suy ra: AC = ED, �� = ��

Mà: �� >�� và ��>��

nên �� >�� => ED > BD hay AC >BD x

A B E

D C

Câu 15: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên AD = 5cm, các cạnh đáy AB =6 cm, và CD = 14 cm.

Đáp án:Kẻ AH CD, BK CD thì AH// BK nên hình thang ABKH có 2 cạnh bên sog song

Áp dụng nhận xét hình thang có 2 cạnh bên song song vào hình thang ABKH, ta được.

AH = BK, AB = HK = 6cm.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ADH vuông tại H

AD2 = DH2 + AH2 hay 52 = 42 + AH2 A B

AH2 = 32 suy ra AH = 3cm ( vì AH > 0)

D H K C

Câu 16: Cho hình bình hành ABCD . Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với đường chéo BD cắt các tia CB và CD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy. Đáp án:

A B

C D

E

F

Documents

B A D C K M - Hoc360.net