B. B - img6.kybimg.comimg6.kybimg.com/assets/2016zt_resources/xkb_1/shuxue(li).pdf · 理科数学第1 页（共18 页）一、选择题（本大题共12 个小题,每小题5 分,共60

理科数学第 1 页（共 18 页）

一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合

题目要求的）．

1．设集合 2log 2A x y x ， 2| 3 2 0B x x x ，则 AB （）

A． ( ,1) B． ( ,1] C． (2, ) D．[2, )

【命题意图】本题考查函数的定义域，一元二次不等式的解法，集合补集的概念等基础知识，意在考查学

生的基本运算能力．

【答案】B

【解析】

试题分析： 2log 2 | 2A x y x x x ， 2| 3 2 0 |1 2B x x x x x ，所以

| 1AB x x ，故答案为 B.

2. 在复平面内，复数2 3i

3 2iz

对应的点的坐标为 2, 2 ，则 z 在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义，复数的运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．

【答案】D

【解析】

3. 函数4 lg | |

| |

x xy

x 的图象大致是（）

【命题意图】本题考查函数的图象等基础知识，意在考查学生的识图能力，分析问题、解决问题的能力．

【答案】D

【解析】


试题分析：易知当 1x 或 1x 时， 0y ，故排除 A、B；又当 0x 时，函数4 lg | |

| |

x xy

x 的值也趋近

于 0，故排除 C，故选 D．

4. 如图网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A．12 B．18 C．20 D．24

2

2

4

6

8

10

12

14

16

15 10 5 5 10 15

俯视图

侧视图正视图

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和

基本运算能力．

【答案】D

【解析】


5. 设 , | 0 ,0 1A x y x m y ， s 为 e 1n

的展开式的第一项（e 为自然对数的底数）， nm s ,

若任取 ,a b A ，则满足 1ab 的概率是( )

A．2

e B．

1

e C.

e 2

e

D．

e 1

e

【命题意图】本题考查二项式定理,几何概型等基础知识，意在考查分析问题与解决问题的能力，数形结合

思想和基本运算能力．

【答案】C

【解析】

6. 已知 ABC△ 中，sin 2sin cos 0A B C ， 3b c ，则 tan A的值是( )

A．3

3 B．

2 3

3 C. 3 D．

4 3

3

【命题意图】本题考查正、余弦定理，解三角形等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力，

基本运算能力及推理能力．

【答案】A

【解析】

试题分析： sin 2sin cos 0A B C ， 2 cos 0a b C ，2 2 2

2 02

a b ca b

ab

，

2 2 22 0a b c .

由于2

2

1tan 1

cosA

A ，

2 2 2 2 2 2

2

3 6 3cos

2 4 24 3

b c a b c bA

bc bc b

，所以

2 1tan

3A ，则

tan3

3A ．故选 A．

7. 若 ,z f x y 称为二元函数，已知 ,f x y ax by ，

1, 2 5 0

1,1 4 0

3,1 10 0

f

f

f

，则 1,1z f 的最大值

等于( )

A．2 B． 2 C. 3 D． 3


【命题意图】本题考查线性规划、新定义等基础知识，意在考查学生的数形结合思想，逻辑思维能力及基

本运算能力.

【答案】B

【解析】

8. 已知双曲线2 2

2 21( 0, 0)

x ya b

a b 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且焦点与椭圆

2 2

136 2

x y 的焦点

相同，离心率为34

5e ，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点 2F 的距离为18，N 为 2MF 的中点，O为

坐标原点，则 NO 等于（）

A．2

3 B．1 C．2 D．4

【命题意图】本题考查椭圆的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题与解

决问题的能力、基本运算能力及推理能力．

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意可得2 2 2 34

34,5

ca b c e

a ，则 5, 3a b ，故双曲线的方程为

2 2

125 9

x y .

如图，由双曲线的定义可知 1 2 2 18 10 8MF MF a ，由三角形中位线知识可知1

14

2NO MF ，

故选 D.


9. 运行如图所示的程序框图，若输出的结果为1008

2017，则判断框内可以填（）

A． 2016?k B． 2016?k C． 2017?k D． 2017?k

【命题意图】本题考查数列求和,程序框图等基础知识，意在考查学生的读图能力，分析问题、解决问题的

能力以及基本运算能力.

【答案】C

【解析】


10. 已知三棱锥P ABC 的各顶点都在同一球面上，且PA平面 ABC ，若该棱锥的体积为2 3

3，

2AB ， 1AC ， 60BAC ，则此球的表面积等于（）

A．5 B．20 C. 8 D．16

【命题意图】本题主要考查几何体的体积，几何体的外接球，球的表面积公式等基础知识，意在考查学生

的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．

【答案】B

【解析】

11. 已知函数 22sin 2 2cos 14 8

f x x x

，把函数 f x 的图象向右平移8

个单位，得到函

数 g x 的图象，若 1 2,x x 是 0g x m 在 0,2

内的两根，则 1 2sin( )x x 的值为（）

A．2 5

5 B．

5

5 C．

5

5 D．

2 5

5

【命题意图】本题考查图象的交点，三角函数的图象及其变换，三角函数的化简，对称问题等基础知识，

意在考查学生的分析问题、解决问题的能力及推理能力．

【答案】A

【解析】

试题分析： 2sin 2 cos 2 5 sin(2 )4 4 4

f x x x x

，其中2 1

cos ,sin5 5

.

将函数 f x 的图象向右平移8

个单位，得到 5 sin(2 )g x x 的图象.由 1 2,x x 是 0g x m 在

0,2

内的两根，知方程 5sin(2 ) 0x m 在 0,2

内有两个根，即直线 y m 与

5 sin(2 )y x 的图象在 0,2

内有两个交点，且 1 2,x x 关于直线4 2

x

对称，所以 1 2x x ＝


2

，所以

1 2

2 5sin( ) sin( ) cos

2 5x x

．

12. 若对 0x ，不等式 2 2

ln 1 12

x x ax x a

x

R 恒成立，则a 的取值范围是（）

A． 1, B． 1, C． 2, D． 2,

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以

及运算求解的能力，并考查转化与化归思想．

【答案】C

【解析】

二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）

13. 已知1 3

,2 2

a ， 2cos ,2sin b ，a 与b 的夹角为60，则 2 a b ____________．

【命题意图】本题主要考查平面向量的模及数量积等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．

【答案】 13

【解析】

试题分析：由题意得： 1a ， 2b ，故2 2 22 4 4 1 16 4 1 2 cos60 13 a b a b a b ,

所以 2 13 a b .

14. “MN 是经过椭圆2 2

2 21

x y

a b （a＞b＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦OP MN ，则

2 2 2

2 1 1 1

| | | |a MN OP a b .”类比椭圆的性质，可得“MN 是经过双曲线

2 2

2 21

x y

a b （a＞0，b＞0）的

焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心 O 的半弦OP MN ，则 .”


【命题意图】本题考查类比推理等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力及推理能力．

【答案】2 2 2

2 1 1 1

| | | |a MN OP a b

15.若点 0 0,P x y 为抛物线2 4y x 上一点，过点P 作两条直线 ,PM PN ，分别与抛物线相交于点M 和点

N ，连接MN ，若直线PM ，PN ，MN 的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ，则

1 2 3

1 1 1

k k k ．

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查学生的分析问

题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力.

【答案】 0

2

y

【解析】

试题分析：设点 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，因为点 0 0( , )P x y 在抛物线2 4y x 上，所以

2

00( , )

4

yP y ，故直线PM

的方程为2

00 1( )

4

yy y k x ，由

2

00 1

2

( ),4

4 ,

yy y k x

y x

得 2 2

0 0

1 1

4 40y y y y

k k ，此方程的两个根分

别为 0y y ， 1y y ，0 1

1

4y y

k ，∴

1 0

1

4y y

k ，

22

0 111 2

1

(4 )

4 4

y kyx

k

，

2

0 102

1 1

(4 ) 4( , )

4

y kM y

k k

，

同理可得2

0 202

2 2

(4 ) 4( , )

4

y kN y

k k

．

0 0

1 23 2 2

0 1 0 2

2 2

1 2

4 4( )

(4 ) (4 )

4 4

y yk k

ky k y k

k k

，化简得 1 23

1 2 0 1 2

2

2( )

k kk

k k y k k

，故

0

3 1 2

1 1 1

2

y

k k k .∴ 0

1 2 3

1 1 1

2

y

k k k ．

16. 以下四个命题中：


①某地市高三理科学生有 15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布 2(100, )N ，已知

40.0)10080( P ，若按成绩分层抽样的方式抽取 100份试卷进行分析，则应从 120分以上（包括

120 分）的试卷中抽取15份；

②已知命题 : ,sin 1p x x R ，则 p ： ,sin 1x x R ；

③在 4 3 ，上随机取一个数m ，能使函数 2 2 2f x x mx 在 R 上有零点的概率为3

7；

④设 ,a bR ，则“ 2 2log loga b ”是“2 1a b ”的充要条件.

其中真命题的序号为 .

【命题意图】本题主要考查命题真假的判断,正态分布，充要条件的判断，函数的零点，命题的否定等基础

知识，意在考查考生熟练运用数学知识,分析问题、解决问题的能力、以及推理能力和基本运算能力.

【答案】②③

【解析】

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分 12分）已知等差数列{ }na 中,公差 0d , 7 35S ，且 2 5 11, ,a a a 成等比数列.

（1）求数列{ }na 的通项公式；

（2）若 nT 为数列1

1{ }

n na a

的前n 项和，且存在n N ，使得 1 0n nT a 成立，求实数的取值范围.


【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、数列求和、等比数列的性质等基础知识，意在考查学生

的基本运算能力．

18. （本小题满分 12分）如图，在四棱锥 ABCDP 中， BCAD// ，AD CD ，Q是 AD 的中点，M

是棱PC 上的点， 2 PDPA ， 12

1 ADBC ， 3CD ， 6PB .

（1）求证：平面 PAD 底面 ABCD ；


（2）设 tMCPM ，若二面角 CBQM 的平面角的大小为03 ，试确定 t 的值.

【命题意图】本题主要考查空间直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与直线垂直的判定与性质，二面

角等基础知识，考查学生的空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化

思想．

(2) 解：∵ 2 PDPA ,Q是 AD 的中点,∴ ADPQ .∵平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平

面 ADABCD ，∴ PQ 平面 ABCD .如图，以Q为原点建立空间直角坐标系.

则平面BQC 的法向量为 0,0,1n = . )0,0,0(Q ， )3,0,0(P ， )0,3,0(B ， )0,3,1(C .……7分

设 ),,( zyxM ，则 )3,,( zyxPM ， ),3,1( zyxMC ，∵ tMCPM ，∴ MCtPM ，

则

)(3

)3(

)1(

ztz

yty

xtx

，即t

tx

1，

3 3,

1 1

ty z

t t

.在平面MBQ中， )0,3,0(QB ，

)1

3,

1

3,

1(

tt

t

t

tQM

，设平面MBQ的法向量为 ( , , )p q fm ，由

0

0

QB

QM

m

m，得


3 0

3 30

1 1 1

q

t tp q f

t t t

，取 f t ，得 3p .∴平面MBQ的一个法向量为 ( 3,0, )tm . …

10 分

∵二面角 CBQM 的平面角的大小为03 ，∴

2

3

03||||03cos

2

t

t

mn

mn ，解得 3t .……

12 分. 学科网

19.（本小题满分 12分）“中国人均读书 4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的 11本、法国的 20本、

日本的 40本、犹太人的 64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出

现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传

统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进

一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看

书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段：[20,30），[30,40），

[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：

（1）估计在 40 名读书者中年龄分布在[40,70）的人数；

（2）求 40 名读书者年龄的平均数和中位数；

（3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取 2 名，求这两名读书者年龄在[30,40）的人数 X 的分布列及数学

期望．

【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的识别与计算、样本的数字特征、超几何分布，随机变量的期

望，以及考查识图能力、审读能力、获取信息的能力、分类讨论思想．

【解析】（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为 0 020 0 030 0 025 10 0 75 （．．．）．，所以 40


名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为40 0.75 30 ．……………………2分

（3）年龄在[20,30）的读书者有0.005 10 40 2 人，年龄在[30,40）的读书者有0.01 10 40 4 人，

所以 X 的所有可能取值是 0，1，2．

2 0

2 4

2

6

C C 1( 0)

C 15P X ，

1 1

2 4

2

6

C C 8( 1)

C 15P X ，

0 2

2 4

2

6

C C 6( 2)

C 15P X ， X 的分布列如下：

X 0 1 2

P 1

15

8

15

6

15

…………10 分

数学期望1 8 6 4

0 1 215 15 15 3

EX ．……………………12分

20.（本小题满分 12分）已知椭圆2 2

2 21( 0)

x ya b

a b 的左、右焦点分别为 1 2,F F ，上、下顶点分别是

1 2,B B ，点C 是 1 2B F 的中点，若 1 1 1 2 2B F B F ，且 1 1 2CF B F .

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过 2F 的直线 l 与椭圆C 交于不同的两点 A D、，求 1F AD△ 的面积的最大值.

【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，构建代数方法解决几何问题等基础知识，意

在考查学生的转化与化归能力，综合分析问题、解决问题的能力，推理能力和运算能力．

【解析】（1）由题意可得 1 2 1 2,0 , ,0 , 0, , 0, , ,2 2

c bF c F c B b B b C

，

1 1 1 2 , ,B F B F c b c b 2 2 2c b ①,由 1 1 2CF B F ,可得 1 1 2 0CF B F ,即有

2

23 3, , 0

2 2 2 2

c b bc b c

②,由①②解得2 21, 3, 2c b a b c ,．．．．．．．． 3分


故椭圆C 的标准方程为2 2

14 3

x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

21. （本小题满分 12分）已知函数 2 ln 2f x ax x ．

（1）若aR ，讨论函数 f x 的单调性；

（2）曲线 2g x f x ax 与直线 l 交于 1 1,A x y ， 2 2,B x y 两点，其中 1 2x x ，若直线 l 斜率为 k ，

求证：1 2

1x x

k ．

【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调性、极值、最值，函数与方程、不等式等基础知识，意在考

查学生的综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．

【解析】（1） 2 ln 2f x ax x ， 21 2 1

2ax

f x axx x

（ 0x ），当 0a 时，恒有 0f x ，


f x 在区间 0, 内是增函数；当 0a 时，令 0f x ，即 22 1 0ax ，解得1

02

xa

，令

0f x ，即 22 1 0ax ，解得1

2x

a ，综上，当 0a 时， f x 在区间 0, 内是增函数；当

0a 时， f x 在1

0,2a

内是增函数，在

1,

2a

内是减函数．………………5分

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目

计分．

22.（本小题满分 10分）选修 4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线 1C 的极坐标方程是24

4cos 3sin

，以极点为原点O，极轴为 x 轴正半轴（两坐

标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线 2C 的参数方程为：cos

sin

x

y

（为参数）．

（1）求曲线 1C 的直角坐标方程与曲线 2C 的普通方程；

（2）将曲线 2C 经过伸缩变换2 2

2

x x

y y

后得到曲线 3C ，若 ,M N 分别是曲线 1C 和曲线 3C 上的动点，求


| |MN 的最小值．

【命题意图】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、参

数方程与普通方程的互化等基础知识，意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思

想.

23. （本小题满分 10分）选修 4－5：不等式选讲

设函数 ( ) | 2 | | 3 |f x x x .

（1）求不等式 ( ) 3f x 的解集；

（2）若不等式 ( ) 3f x a 对任意 xR 恒成立，求实数a 的取值范围.

【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法，恒成立问题等基础知识，意在考查学生综合分析问题、

解决问题的能力以及运算求解能力．

【解析】（1）由已知得 2 3 3x x ，当 3x 时，2 3 3x x ，解集为空集；当 3 2x 时，

2 3 3x x ，解得 2 2x ；当 2x 时， 2 3 3x x ，解得 2x .…… 4分

综上所述，所求不等式的解集为 | 2x x .……5分

（2）不等式 ( ) 3f x a 等价于 2 3 3x x a . 2 3 2 3 5x x x x ，∴

3 5a ，∴ 2a .…… 10分



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