Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 1 Clculo diferencial das funes reais de varivel real. Funo implcita . Noo de funo implcita . Suponhamos que os valores de duas variveisxeyso ligados entre si por uma equao qual, geralmente, pode ser dada na forma 0 ) , ( = y x F ,(1) passando todos termos para o lado esquerdo. Geralmente qualquer valor dexpodecorresponder pela equao0 ) , ( = y x Fmais do que um valor deyou qualquer valor deypodecorresponder pela equao mais do que um valor dex . Diz-se que a equao0 ) , ( = y x Fdefineycomo funo dex(ouxcomo funo dey ) se qualquer valor dex , num certo domnioI , corresponde pela equao um e s um valor deynumdomnioJ(se a um valor de y , num certo domnio 1J, corresponde pela equao um e s um valor dexnumdomnio 1I ) e neste caso diz-se que a equao (1) define uma funo implcita) (x f y =(ou) ( y g x = ) e tem-se0 )) ( , ( = x f x F (ou 0 ) ), ( ( = y y g F ). Porexemploaequao0 12222= +byax,quenumsistemadecoordenadas cartesianasdefineumelipse,aoqualquerponto[ ] a a x , fazcorresponderdois pontos[ ] b b y , , 2 2x aaby = eaoqualquerponto[ ] b b y , faz corresponder dois pontos [ ] a a x , ,2 2y bbax = . Neste caso tem-se: Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 2 0 1222 222= ||

\| +bx aabax e0 1222 222= ||

\| +bx aabax, isto a equao no define implicitamenteycomo funo dex ; 0 122222 2= +||

\| byay bba e0 122222 2= +||

\| byay bba, isto a equao no define implicitamentexcomo funo de y . No entanto, considerando uma restrio do conjunto dos valores da varivel y ,por exemplo[ ] b y , 0 , obtemos que a equao 0 12222= +byax define implicitamenteycomo funo de argumento xe aexpresso analtica dela 2 2) ( x aabx f y = =com[ ] a a Df, =e[ ] b CDf, 0 = , econsiderando[ ] 0 , b y obtemosqueaequaodefineimplicitamenteoutrafuno 1yde argumento xe aexpresso analtica dela 2 21 1) ( x aabx f y = =com[ ] a a Df,1 =e[ ] 0 ,1b CDf = . Analogamente,considerandoumarestriodoconjuntodosvaloresdavarivelx ,por exemplo[ ] a x , 0 , obtemos que a equao0 12222= +byax define implicitamentexcomo funo de argumento ye aexpresso analtica dela 2 2) ( y bbay g x = =com[ ] b b Df, =e[ ] a CDf, 0 = , econsiderando[ ] 0 , a x obtemosqueaequaodefineimplicitamenteoutrafunoxde argumento ye aexpresso analtica dela 2 21 1) ( y bbay g x = =com[ ] b b Dg,1 =e[ ] 0 ,1a CDg = . Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 3 Nestecasoconseguimosobterasexpressesanalticasdasfunes (considerandorestriessobreosvaloresdasvariveiseresolvendoaequaoem relaovarively ouvarivelx ).Geralmentenosemprepossvelresolvera equao em relao as variveis, por exemplo 0 2 = + +y x ey x, 0 2 ) 2 (2 2= + y x y x seny. Definio 1.A funo) (x f y =diz-se na forma implcita, se dadaatravs da equao0 ) , ( = y x F noresolvidaemrelaovarively .Resolvendoaequao 0 ) , ( = y x F emrelaovarively (casopossvel)obtm-seafunonaforma explcita,) (x f y = .Aresoluodaequaoemordemavarively diz-se explicitao da funo. Por exemplo: a)0 4 3 2 = + x y funonaformaimplcitaeresolvendoemrelaovarivelyobtemos a funo na forma explcita 223 = x y . b)0 2 = + x sen y x funo na forma implcita e resolvendo em relao varivel yobtemos a funo na forma explcitaxx senxy2 1 = . c)0 42 3= + x y x funonaformaimplcitaeresolvendoemrelaovarivel yobtemos a funo na forma explcita324xxy= . d)0 42= + y x x umaequaoquedefineimplicitamenteafuno) (x f y = e resolvendo em relaovarivelyobtemos afuno naformaexplcitaxxy24 = . Mas a equao no define implicitamente funo xde varively . Resolvendo emMatemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 4 relaovarivelx obtemos 2162+ =y yx ,isto,qualquervalordeycorrespondepelaequaodoisvaloresdex .Noentantoconsiderandosovalor positivodaraizquadrada,162+ y ,obtm-seumafuno 2162+ + =y yx e considerandosovalornegativodaraizquadrada,162+ y ,obtm-setambmuma funo 2162+ =y yx . e)0 2 = + +y x ey x. No podemos resolver analiticamente a equao em relao xnememrelaoy eportantonopodemosconcluirseaequaodefine implicitamente uma funo ) (x f y =ou) ( y g x = . Vamosdarumainterpretaogeomtricadoproblemadeexplicitaodeuma funo dada pela equao0 ) , ( = y x F . Geralmente a equao0 ) , ( = y x Fdetermina no plano uma linha,assim como a equao0 12222= +byax num sistema de coordenadas cartesianas define um elipse. O problema de explicitao consiste emdeterminao da possibilidade de representar a linha (ou uma parte dela) dada por0 ) , ( = y x Fatravs de umafunonaformaexplcita.Geometricamenteistosignificaqueumarectaparalela ao eixoy Ointersecta a linha(ou uma parte dela) s num ponto. Diz-sequenumavizinhana) (c Vdoponto) , (0 0y x c = pertencentelinhaa equao0 ) , ( = y x Fdefine implicitamente uma funo ) (x f y =seR x V ) (0 tal que a equao0 ) , ( = y x F , resolvida em relao varively ,tem uma e s uma raiz, isto,qualquerrectaquepassaporumponto) (0x V x eparalelaaoeixoy Ointersecta a linha s num ponto. Na figura temos que: navizinhana) (c Vdoponto) , (0 0y x c = aequaodefineimplicitamenteuma funo ) (x f y =porqueR x V ) (0 tal que qualquer recta que passa por um ponto ) (0x V xe paralela ao eixoy Ointersecta a linha s num ponto.Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 5 na vizinhana) (a V do ponto) 0 , (a a =a equao no defineimplicitamente uma funo) (x f y = porquenoR a V ) (talquequalquerrectaquepassaporum ponto[ ] a a a V x , ) ( I e paralela ao eixoy Ointersecta a linha em doispontos.

As condies de existncia da funo implcita) (x f y =so dados no Teorema 1. Se 1)a equao0 ) , ( = y x Fdetermina uma linha continua numa vizinhana) (c V do ponto) , (0 0y x c = ; 2)noponto) , (0 0y x c = aequaotransforma-senumaidentidade,isto, 0 ) , (0 0= y x F ; 3)existeumavizinhanaR x V ) (0 correspondente) (c V,talquepara qualquer 0xconstante de) (0x V a funo) , ( ) (0y x F y= montona;ento a)navizinhana) (c Vdoponto) , (0 0y x c = aequaodefineimplicitamente uma funo ) (x f y = ; b)para 0x x = tem-se) (0 0x f y = ; c)a funo ) (x f y = continua em) (0x V. Derivadadafuno implcita . Seja0 ) , ( = y x Fdefine implicitamente uma funo ) (x f y =numa vizinhana ) (c V do ponto) , (0 0y x c = . Regra de clculo da derivada.Para calcular a derivada) (x f y = no ponto 0x x = deriva-seambas partes da equao0 ) , ( = y x F considerandoque) (x y umafunocomposta,isto,y a funo principal na funo composta ex a funo intermediriana funo composta. Neste sentido tem-se: a)( ) ) ( 1 ) ( ) ( ) ( x y x y x x y x y = = =; b)se) (x y afunointermedirianafunocomposta)) ( ( x y g ,ento ( ) ) ( )) ( ( )) ( ( x y x y g x y g =. Comoresultadodederivaodasambaspartesaequao0 ) , ( = y x Ftransforma-senoutraequao0 ) , , (1= y y x F esubstituindonela 0x x = e) (0 0x f y =facilmente conseguimos calcular) (0x y .Notamos que na pratica no necessrio levar a equao forma 0 ) , ( = y x F . Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 6 Exemplos. 1)Calcular primeira e segundaderivada da funo. xyarctg y x n l = + ) (2 2 em ) 0 , 1 ( ) , (0 0= y x . Primeira derivada. Derivamos ambas partes da equao.( )||

\|=+xyarctg y x n l ) (2 2. Nas ambas partes temos para calcular derivadas das funes compostas: A funo logaritmo natural (funo principal) composta com a funo 2 2y x +(funo intermediar)eafunoarcotangente(funoprincipal)compostacomafuno xy (funo intermediar).Na continuao temos: ( ) ( ) ( ) ||

\|+=((

++||

\|||

\|+=+ +2 22 22 2 22 22 211 111 1xx y x yxyy xy x xyxyy xy xComoy funo (no varivel independente) temos: [ ] y x y y y xxy x yy xxy y xy x = + += + + 2 2 2 212 2 222 2. Resolvendo a ultima equao em relao ayobtemos y xy xx dy dy + = = 22. (Notamos que a primeira derivadadepende dexey ) Portanto20 2 10 1 222) 1 ( ) (0 00 0100= + = + = = = =y xy xx dy dy x yx. Segundaderivada. Levando em conta a definio da segunda derivada temos: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )= + + =|||

\| + = = 222 2 2 222y xy x y x y x y xy xy xy y ( ) ( ) ( ) ( )( )222 1 2 2 2y xy y x y x y + += . (Notamos que a segundaderivadadepende dex ,yey ) Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 7 Portanto ( ) ( ) ( ) ( )( )= + += = = =21022022 1 2 2 2) 1 ( ) (y xy y x y x yx dy dy x yx ( ) ( ) ( ) ( )( )100 2 12 2 1 0 1 2 0 2 1 2 22= + += . 2)Calcular primeira derivada da funo ( ) 12+ =+y x arcsen ey n l x em ) 1 , 0 ( ) , (0 0= y x . Derivamos ambas partes da equao. ( ) ( ) ( )+ =+12y x arcsen ey n l x. Nas ambas partes temos para calcular derivadas das funes compostas: Afunoexponencial(funoprincipal)compostacomafunoy n l x +2(funo intermediar)eafunoarcoseno(funoprincipal)compostacomafunoy x (funo intermediar).Na continuao temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + =+ + =+ +1 122 2y x arcsen y n l x e y x arcsen ey n l x y n l x ( ) ( ) ( )( )( ) + =((

+ +011222y xy xy n l x ey n l x Comoy funo (no varivel independente) temos: ( ) ( )2 222 22112112y xy x yyyx ey xy x y xyyx ey n l x y n l x +=((

+ + =((

+ + +. Resolvendo a ultima equao em relao ayobtemos y n l xy n l xeyy xxy xye xx dy dy++ = = 22 22 221112. (Notamos que a primeira derivadadepende dexey ) Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 8 Portanto e eeex dy dy x yn ln lx1 1111 0 101 0 110 2) 0 ( ) (1202 22 2120000== = = = ++=. 3)Considere que a equao 0 = y os c x ey x define implicitamente defineimplicitamente uma funo ) (x f y =numa vizinhana do ponto ) 0 , 1 ( ) , ( = y x . 3.1)Determine1 = xx dy de 122= xx dy d,e mostre que31221 = += = x xx dy dx dy d. 3.2)Determineaequaodarectatangenteeaequaodarectanormalao grfico da funo no ponto) 0 , 1 ( ) , ( = y x Resoluo. 3.1) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 0 0 0 y os c x e y os c x e y os c x ey x y x y x ( ) ( ) ( ) ( ) =((

+ + =((

+ 0 0 y os c x y os c y x y x e y os c x y os c x y x ey x y x ( ) [ ] 0 = + y sen y x y os c y x y ey x. Substituindo1 = xe0 = yobtemos

( ) [ ] [ ] 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 00 0 1= = = + y y y e sen y os c y e . Para calcular a segunda derivada derivamos ambas partes da equao ( ) [ ] 0 = + y sen y x y os c y x y ey x. ( ) [ ] ( ) ( ) = + 0 y sen y x y os c y x y ey x ( ) ( ) ( ) = + 0 y sen y x y os c y x y ey x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + 0 y sen y x y os c y x y e y x y ey x y x Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 9 ( ) ( ) ( )( ) = + ++ + ||

\| + + + 0) (y sen y x y sen y xy sen y x y y sen y x y e y x y y x ey x y x ( ) ( ) ( ) ( ) = + ++ + + + + + + + 0 ) (y osy c y x y sen y xy sen y y y sen y x y x y e y x y y x y x ey x y x ( ) ( )( ) = + ++ + + + + 0 ) ( 2 222osy c y x y sen y xy sen y y x y e y x y ey x y x Substituindo1 = x , 0 = ye 1 = y obtemos ( ) ( )( ) = + ++ + + + + 0 ) 0 ( 1 1 0 1 0 1 2 1 1 2 1 1 020 1 2 0 1os c sen ysen y e e 4 0 1 2 1 = = + + + y y . Portanto 3 ) 4 ( 11221 = + = += = x xx dy dx dy d. 3.2) Como) ( ) ( ) (0 0 0x x x f x f yan t + = e) () (1) (000x xx fx f yn = so, respectivamente,asequaesdarectatangenteedarectanormalaogrficodafuno no ponto( ) ) ( ,0 0x f xobtemos: 1 ) 1 ( 1 0 ) ( ) ( ) (0 0 0 = + = + = x x x x x f x f yan t. 1 ) 1 (110 ) () (1) (000+ = = = x x x xx fx f yn.