BA201 Chapter 2 Differentiation

B2001/UNIT 6/1 PEMBEZAAN

PEMBEZAAN

OBJEKTIF Objektif Am : Memahami konsep pembezaan peringkat kedua. Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :

Menyatakan tatatanda pembezaan peringkat kedua.

Menggunakan petua-petua pembezaan untuk menghasilkan pembezaan peringkat kedua.

UNIT 6

download@http://math2ever.blogspot.com


6.0 PENGENALAN KEPADA PEMBEZAAN PERINGKAT KEDUA

Di dalam Unit 2 hingga 5, petua-petua asas pembezaan telah pun diperkenalkan dengan panjang lebarnya. Daripada hasil pembezaan tersebut, didapati bahawa pembezaan suatu fungsi akan menghasilkan suatu fungsi yang lain. Proses ini dapat diteruskan kepada pembezaan peringkat kedua, ketiga dan seterusnya hingga ke peringkat ke n.

Dalam unit 6, pembezaan peringkat kedua akan dibincangkan dan dalam unit-unit seterusnya akan dibincangkan tentang penggunaan pembezaan di dalam kehidupan seharian.

INPUT



6.1 PEMBEZAAN PERINGKAT KEDUA

Jika y adalah fungsi dalam x , maka pembezaan peringkat pertama bagi ditulis

sebagai dxdy Membezakan

dxdy bagi kali kedua ditulis sebagai 2

2

)(dx

yddxdy

dxd

= di

mana ini dikenali sebagai Pembezaan Peringkat Kedua. Secara amnya tatatanda bagi

pembezaan Peringkat Pertama ditulis sebagai dxdy atau f '(x) manakala bagi

Pembezaan Peringkat Kedua ditulis sebagai 2

2

dxyd atau f "(x).

Contoh 6.1

Cari dxdy dan 2

2

dxyd jika

a. y = 2x3 + x - x3 b. y = ( 1 - x 2 ) 3

Penyelesaian

a. y = 2x3 + x - 3x -1 Menggunakan petua pembezaan

dxdy = 6x 2 + 1 - ( -3x - 2 )

= 6x 2 + 1 +3x - 2

1−= nnxdxdy

INPUT



Membezakan sekali lagi terhadap x ,

2

2

dxyd = 12x + ( -6x -3 )

= 12x - 6x -3 => 6 ( 2x - x - 3 )

b. y = ( 1 - x 2 ) 3

Dengan menggunakan Petua Rantai

dxdy = 3 ( 1 - x 2 ) 2 ( -2x )

= -6x ( 1 - x 2 ) 2

Oleh kerana pembezaan peringkat pertama menghasilkan fungsi hasil darab, maka untuk pembezaan peringkat kedua, Petua Hasil darab digunakan. Kaedah alternatif yang boleh digunakan ialah dengan mengembangkan kedua-dua ungkapan tersebut.

Katakan u = -6x dan v = ( 1 - x 2 ) 2

Maka dxdu = -6 )2)(1(2 2 xx

dxdv

−−=

2

2

dxyd = -6x (- 4x) (1 - x 2 ) + ( 1 - x 2 ) 2 ( -6 )

= 24x 2 ( 1 - x 2 ) - 6 ( 1 - x 2 )2

= 6 ( 1 - x 2 )[ 4x2 - ( 1 - x 2 ) ] = 6 ( 1 - x 2 )( 5x2 - 1 ) => 6 ( 5x 2 + x2 - 5x 4 - 1 ) = 6 ( - 5x 4 + 6x 2 - 1 )

atau dengan mendarabkan kedua ungkapan

dxdy = -6x ( 1 - x 2 ) ( 1- x2 )

= -6x + 12x 3 - 6x 5

dan dengan menggunakan pembezaan biasa, maka

dudy

dxdu

dxdy

•=

dxdvu

dxduv

dxdy

+=



2

2

dxyd = - 6 + 36 x 2 - 30 x 4

= 6 ( - 5 x 4 + 6 x 2 – 1 )

Contoh 6.2

Jika y = 2x 3 - 21 x2 + 74x - 86, dapatkan nilai-nilai bagi dxdy dan 2

2

dxyd

apabila x = 1.

Penyelesaian

y = 2x 3 - 21 x2 + 74x - 86

Menggunakan petua pembezaan biasa

dxdy = 6x 2 - 42 x + 74

Apabila x = 1 , dxdy = 6 (12 ) - 42 (1) + 74 = 38

2

2

dxyd = 12 x - 42

Apabila x = 1 , 2

2

dxyd = 12 ( 1 ) - 42 = - 30



Aktiviti 6.1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! 1. Dapatkan pembezaan peringkat pertama dan kedua bagi ungkapan-ungkapan di

bawah

a. y = 3x3 - 2x2 - 4x + 1

b. y = 5x 4- 6x2 - 1

c. y = 2)12(x

+

d. p = ( q 2 - 1 ) 2

e. f(t) = 45t + 11t 2 - t 3

f. y = (5 - 3 x 2 ) 3



Maklum Balas Aktiviti 6.1

1 a. 449 2 −−= xxdxdy

)29(22

2

−= xdx

yd

b. 1220 3 −= xdxdy

)15(12 22

2

−= xdx

yd

c. )12(22 xxdx

dy+−=

432

2 68xxdx

yd+=

d. )1(4 2 −= qqdqdp

)13(4 22

2

−= qdq

pd

e. f ' ( t ) = 45 + 22t - 3t2 f " ( t ) = 22 - 6t

f. 22 )35(18 xxdxdy

−−=

)5918(90 422

2

−−= xxdx

yd



PENILAIAN KENDIRI 6

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…

1. Dapatkan terbitan pertama dan kedua bagi fungsi-fungsi berikut:

a. 10x 4 b. x5 + 2x + 1 c. 5x + 1

2. Dapatkan terbitan kedua bagi fungsi-fungsi berikut:

a. x ( x 2 + 3 ) b. t 2 - 3t c. ( x + 1 )( 2x - 3)

3. Dapatkan nilai-nilai terbitan kedua bagi fungsi-fungsi berikut apabila x = 2.

a. 1 - 2x - 5x 4

b. x 3 - 3x + 4x c. 1+x



Maklum Balas Penilaian Kendiri 6 Adakah anda telah mencuba dahulu????..Jika “YA”, sila semak jawapan anda.

1. a. 40x 3 , 120x2 b. 5x 4 + 2 , 20x3

c. 5 , 0

2. a. 3x2 + 3 , 6x b. 2t – 3 , 2 c. 4x – 1 , 4

3. a. –240 b. 6

c. 274

1−

TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda….



PEMBEZAAN

OBJEKTIF

Objektif Am : Memahami konsep pembezaan dan idea had serta boleh melakukan pembezaan dengan cara Prinsip Ppertama.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda pelajar :

Menyatakan pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti terhadap suatu kuantiti yang lain.

Mencari had dengan menggunakan jadual.

Mencari had dengan menggunakan kaedah gantian memusat.

Mendapatkan pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan

idea had.

Mendapatkan pembezaan dengan kaedah Prinsip Pertama.

UNIT 2



2.0 PENGENALAN PEMBEZAAN

Pembezaan adalah proses mencari kadar perubahan suatu kuantiti terhadap suatu kuantiti yang lain. Ia adalah satu cabang ilmu Kalkulus yang mula diperkenalkan sejak kurun ke 17. Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam pelbagai bidang misalnya kejuruteraan, perubatan, perdagangan, pertanian dan lain-lain.

Pada setiap hari Rabu, Unit Polibriged politeknik dikehendaki berjogging mendaki sebuah anak bukit berhampiran politeknik tersebut. Ahmad, seorang ahli Polibriged terpaksa berjogging dengan hati-hati kerana kecerunan bukit yang berbeza-beza. Kadangkala Ahmad bergerak perlahan kerana tanahnya yang curam dan kadang kala dia memecut kerana tanahnya lebih landai.

Kecerunan bukit pada titik-titik tertentu Ahmad menapak boleh ditentukan

dengan proses yang dinamakan PEMBEZAAN.

INPUT

Istilah 'terbitan' boleh juga digunakan untuk perkataan 'pembezaan'. P

•

δ

TAHNIAH !!! Semoga kejayaan sentiasa mengiringi

Perubahan dalam x

Perubahan dalam y



Kecerunan bukit boleh ditentukan dengan mempertimbangkan perubahan pada nilai menegak, y terhadap perubahan nilai mengufuk, x. Kecerunan bagi satu garis lurus ditakrifkan sebagai: Kecerunan = Perubahan pada y Perubahan pada x

Untuk fungsi linear, kecerunannya sentiasa tetap iaitu tiada kadar perubahan. Jika fungsi bukan linear dipertimbangkan, didapati bahawa kadar perubahannya tidak tetap. Oleh kerana kecerunan pada setiap titik Ahmad menapak sentiasa berubah, adalah lebih mudah nilai kecerunan ini diterangkan dengan proses pembezaan. Proses menentukan perubahan y berbanding x ialah proses pembezaan dan boleh

ditulis sebagai dxdy .

Konsep pembezaan boleh diaplikasikan dalam konsep halaju dan sesaran.

Halaju, v ialah bezaan sesaran, s terhadap masa, t dan ditulis sebagai dtds

sementara, pecutan , a ialah bezaan halaju, v terhadap masa, t dan ditulis sebagai

dtdv

.

Jika y ialah suatu fungsi x iaitu y= f(x), pembezaan y terhadap x, dxdy

boleh ditulis juga sebagai f '(x) , dxdy

= f '(x).



2.1 IDEA HAD Di sekitar kampus PSA, had laju maksimum bagi kenderaan bermotor ialah 30 km/j. Pemandu yang melebihi had laju tersebut akan disaman. Daripada situasi ini, had laju kenderaan ialah 30 km/j. Apakah yang dimaksudkan dengan istilah 'had'. Idea had ini boleh digunakan untuk menerangkan pembezaan Contoh 2.1 Pertimbangkan persamaan linear f(x) = 2x – 1. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan had apabila x menghampiri 0. Penyelesaian Dari kiri

x -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0 y -1.2 -1.02 -1.002 -1.0002 -1

Dari kanan

x 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 y -1 -0.9998 -0.998 -0.98 -0.8

Jadual 2.1

30

INPUT



Daripada jadual 2.1, didapati bahawa apabila nilai x menghampiri 0 dari kiri atau dari kanan, had fungsi f(x) = 2x –1 ialah tetap –1. Oleh itu, nilai had f(x) ialah –1. Secara am, persamaan matematik untuk menulis idea had ini ialah

had ( 2x – 1 ) = -1 δx 0

Selain daripada kaedah jadual, kita juga boleh mengira had suatu fungsi dengan cara menggunakan sifat-sifat had. Contoh 2.2

Kirakan had abgi fungsi-fungsi berikut:

a. had ( x + 2 ) b. had ( 2x 2 + 5 ) x →1 x → 0

Penyelesaian

a. had ( x + 2 ) = had x + had 2 = 0 + 2 = 2 x → 0 x → 0 x → 0

b. had ( 2x 2 + 5 ) = 2 had x2 + had 5 = 2(1) + 5 = 7

x →1 x → 1 x → 1

Dibaca had 2x - 1 apabila δx menghampiri 0 ialah -1

Sifat-Sifat Had : 1. had [f(x) + g ( x )] = had f (x ) + had g (x ) x→a x → a x → a

2. had [f(x) - g ( x )] = had f (x ) - had g (x ) x→a x → a x → a

3. had f(x).g ( x ) = had f (x ) . had g (x ) x→a x → a x → a 4. had c = c dimana c ialah pemalar x→a

5. had c . g(x ) = c had g(x) dimana c ialah x→a pemalar 6 had xn = an



Aktiviti 2.1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..!

1. Dengan menggunakan jadual, tentukan nilai had fungsi-fungsi berikut: a. y = 2x +1, apabila x menghampiri 0 b. y = x2 + 4 apabila x menghampiri 1

2. Dengan menggunakan sifat-sifat had, tentukan nilai had bagi fungsi-fungsi berikut: a. s = 2t +7, apabila t menghampiri 0 b. y = x3 + 1, apabila x menghampiri 2 c. y = ½ x + 4 , apabila x menghampiri 1




1. a. x 0 ← -0.001 -0.01 -0.1 y 1← 0.998 0.98 0.8

b.

x 1 ← 0.99 0.95 0.9 y 5← 4.98 4.90 4.81

2. a. had 2t +7 = 2 had t + had 7 x →0 x →0 x →0 = 2 ( 0 ) + 7 = 7

b. had x 3 + 1 = had x3 + had 1 x →2 x →2 x →2 = 23 + 1 = 9 c. had ½ x + 4 = 1/2 had x + had 4 x → 1 x →1 x →1 = 1/2 (1 ) + 4

= 4.5



2.2 PEMBEZAAN MENGGUNAKAN PRINSIP PERTAMA

Pertimbangkan y= f(x) dan titik P (x , y ) di atas lengkung pada rajah 2.1.

Jika x bertambah sebanyak δx, y bertambah sebanyak δy, maka koordinatnya menjadi satu titik baru iaitu Q ( x + δx , y + δy ). Perhatikan apabila Q menghampiri P, δx menghampiri sifar,ditulis sebagai δx 0.

Oleh yang demikian, daripada idea had, pembezaan dxdy mewakili kecerunan

lengkung pada suatu titik dan kita akan memperolehi bahawa

dxdy

≅xyhad

x δδ

δ 0→

y

P( x , y )

Rajah 2 1

y = f ( x )

x

Q ( x + δx , y + δy )

δx

δy

INPUT



Dengan demikian, dxdy boleh diterbitkan sebagai had

xyδδ apabila x menghampiri

sifar.

Kaedah mencari pembezaan menggunakan idea had dikenali sebagaai kaedah Prinsip Pertama.

Contoh 2. 3

Dengan menggunakan prinsip pertama, bezakan y terhadap x bagi persamaan y = x 2 + 1.

Penyelesaian

y = x 2 + 1 persamaan (1) y + δy = ( x + δx )2 + 1 y + δy = x2 +2x δx +( δx)2 + 1 persamaan 2 Gantikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) x 2 + 1 + δy = x2 +2x δx +( δx)2 + 1 δy = 2x δx +( δx)2 = δx(2x + δx)

Bahagikan δy dengan δx

xxxy δδδ

+= 2

xyhad

x δδ

δ 0→= 2x + 0

dxdy = 2x

Tambahkan y = y + δy x = x + δ




Aktiviti 2.2 UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! 1. Dengan menggunakan Prinsip Pertama, bezakan yang berikut:

a. y = 2x2 b. y = x2 + 2x – 4

c. x

y 3=




1. a. y = 2x 2 (1) y + δy = 2( x + δx )2 ( 2 )

= 2x2 + 4x δx + 2( δx)2

Gantikan persamaan (1) ke dalam persamaan ( 2 ) 2x 2 + δy = 2x2 +4x δx + 2( δx)2 δy = 4x δx +2( δx)2 = δx( 4x + 2δx)


xxxy δδδ

+= 4

Oleh kerana xyhad

dxdy

dx δδ

0→=

xyhad

dx δδ

0→= 4x + 0

dxdy = 4x

b. 2x + 2

c. 2

3x

−

Bagi soalan (b) dan (c), ikut seperti soalan 1(a)



PENILAIAN KENDIRI 2

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga anda berjaya!!!… 1. Dengan membina jadual yang sesuai, cari nilai bagi setiap had yang berikut:

a. had ( x2 – 3 ) b. had (2 x2 + 1 )

x 0 x 0 2. Dengan menggunakan sifat-sifat had , cari nilai bagi setiap had yang berikut:

a. had ( 5x + 1 ) b. had 2x( 3x + 2 )

x 0 x 0

3. Dengan menggunakan kaedah prinsip pertama, bezakan yang berikut:

a. f(x) = 3x2

b. f(t) = t2

4. Cari kecerunan f(x) = 3x + 5. Apakah kecerunan f(x) apabila x =7 dan x = -2 Apakah yang anda boleh simpulkan mengenai f(x) ?

5. Apakah kecerunan f(x) = 2x 2 + 4x – 1 apabila x = 0.



Maklum Balas Penilaian Kendiri 2

Adakah anda telah mencuba dahulu???..Jika “YA”, sila semak jawapan anda. 1. a. b.

2. a. 1 b. 0

3. a. 6x b. 2

2t

−

4 3, 3 ; f(x) adalah suatu garislurus 5. -1

x 2x2 + 1 2.5 12.50 2.6 14.52 2.7 15.58 2.8 16.68 2.9 17.82

2.99 18.82 3.0 19.90

x (x2 - 3) 1.0 -2.00 0.8 -2.36 0.6 -2.64 0.4 -2.84 0.2 -2.96 0.1 -2.99 0 -3.00

TAHNIAH !!! Semoga mengiringi



PEMBEZAAN

OBJEKTIF

Objektif Am : Memahami petua asas yang diperlukan untuk membezakan fungsi algebra.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :

Menyatakan petua asas pembezaan.

Menggunakan petua asas untuk membezakan fungsi

algebra.

Menggunakan petua asas dalam pembezaan hasil tambah dan hasil tolak fungsi algebra.

Menggunakan petua rantai dalam pembezaan fungsi gubahan.

UNIT 3



3.0 PETUA ASAS PEMBEZAAN

Seperti yang telah dibincangkan dalam unit 2, membezakan sebarang fungsi dengan kaedah Prinsip Pertama adalah panjang dan kadangkala merumitkan . Satu kaedah yang lebih ringkas boleh dicapai dengan mengkaji pola-pola berikut:

y = x 1 , dxdy = 1x 0 = 1

y = x 2 , dxdy = 2x 1 = 2x

y = x 3 , dxdy = 3x2 = 3x 2

Daripada pola di atas, kita boleh menjangkakan bahawa jika y = x4 ,

dxdy = 4x3.

Ciri-ciri penting yang dapat diperhatikan dalam pembezaan di atas ialah:

i. Indek bagi x berkurang 1 unit ii. Hasil pembezaan didarab dengan indeks asal bagi x

Secara amnya, jika y = nx, maka dxdy = nx n –1 dan pernyataan ini adalah benar jika

n ialah sebarang nombor nyata.

INPUT



Contoh 3.1

Cari dxdy dalam setiap kes berikut :

a. y = x6 b. y = - 2x5 c. y = x5

d. y = x 1/3 e. y = 4 Penyelesaian

a. y = x6 b. y = - 2x5.

dxdy = 6x6 – 1

dxdy = 5 x ( -2 ) x5 – 1

= 6x5 = - 10x4

c. y = x5

= 5x –1, dxdy = -1 (5x –1 – 1 ) = -5x –2 atau 2

5x

−

d. y = 31

x

32

31 −

= xdxdy

e. y = 4

= 4 x 0

dxdy = 0 (4) x 0 – 1 = 0

Daripada contoh (e) di atas, didapati bahawa pembezaan bagi sebarang pemalar

ialah 0.

Maka, boleh disimpulkan,

Jika y = a

Maka dxdy = 0

11 −= xx



Aktiviti 3.0


1. Carikan hasil pembezaan bagi setiap yang berikut:

a. 4x b. 2x5

c. x6 d. x –8

e. 10

2. Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x:

a. 4x –5 b. 6

52 x

c. 341x

d. 2

3x−

e. 2512x




1. a. dy = 4 dx

b. dy = 10x4 dx

c. dxdy = 2

6x−

d. dxdy = - 8x – 9

e. dxdy = 0

2. a. dxdy = –20x –6

b. dxdy = 5

512 x

c. dxdy = 44

3x

−

d. dxdy = 3

6x

e. dxdy = 35

24x

−



3.1 PEMBEZAAN BAGI FUNGSI-FUNGSI HASIL TAMBAH DAN HASIL TOLAK Kaedah asas pembezaan juga digunakan untuk mencari hasil pembezaan yang melibatkan hasil tambah dan hasil tolak suatu ungkapan algebra. Misalnya, bagi fungsi f(x ) = 4x + x2, pembezaan bagi f(x) = 4x ialah 4 manakala pembezaan bagi f(x)= x2 ialah 2x. Oleh yang demikian f ′(x) = 4 + 2x.

Secara amnya, jika y = f(x ) + g(x ) maka =dxdy f ′(x) + g′(x)

dan jika y = f(x ) - g(x ) maka =dxdy f ′(x) – g ′(x)

Contoh 3.2 Bezakan fungsi berikut terhadap x:

a. y = 2x4 + 6x b. y = x

xx 323 +−

Penyelesaian

a. =dxdy (4)(2)x3 + 1(6)x0 b. =

dxdy 3(x)2 – 2 (x)0 + 3( -1)x-2

= 8x3 + 6 = 3x2 - 2 -3x – 2

INPUT



Aktiviti 3.1


1. Bezakan setiap yang berikut:

a. y = x2 – 2x5

b. 21

31

2 tts +=

c. xx

y324

2 +=

d. x

xy +=

3

e. m = 2n2(n – 1) f. p = ( q - 2 )( 2q + 3 )

2. Bezakan setiap yang berikut berbanding x:

a. y = 3x5 + x 4 – 5

b. y = 8x -5 - x

c. xx

xy 24

2 +=

d. 2

83x

xy −=

e. y = x ( x3 + 2x-4 )

f. )39

2(53

+=xxy



Maklum Balas Aktiviti 3.1 1. a. 2x – 10x4

b. tt 2

13

23/2 +

c. 23 328xx

−−

d. e. 2n(3n - 2) f. 4q - 1

2. a. 15 x4

+ 4x3

b. – 40 x –6 – 1 c. 2x - 2x –2

d. 3 + 16 x – 3 e. 4x 3 - 6x –4

f. 159

40 3

+x

xx 21

2

33 +−



3.2 PEMBEZAAN FUNGSI GUBAHAN

Pembezaan bagi fungsi-fungsi algebra seperti y=(1+x)4 atau 21 xy += tidak dapat dilakukan menggunakan kaedah-kaedah seperti yang dibincangkan di atas. Fungsi di atas dikenali sebagai fungsi gubahan dan untuk melakukan pembezaan bagi fungsi tersebut, Petua Rantai digunakan. Petua ini kadangkala dikenali sebagai “ Pembezaan menggunakan Gantian “. Jika y = f (u), di mana u adalah fungsi dalam x, maka

. Contoh 3.3

Cari dxdy bagi fungsi

a. y = ( 2x + 3 )4 b. 42 += xy

Penyelesaian

a. y = ( 2x + 3 )4

Katakan u = 2x + 3 maka y = u 4

2=dxdu 34u

dudy

=

)4(2 3udxdy

= => 8 ( 2x + 3 )3

dxdu

dudy

dxdy .=

INPUT



b. 42 += xy

Katakan u = 42 +x maka y = 21

u

2=dxdu x 2

1

21 −

= ududy

)21(2 2

1−

= uxdxdy => 2

12 )4(

−+xx

= 42 +x

x

Daripada contoh-contoh di atas, didapati bahawa pembezaan fungsi gubahan dapat dilakukan tanpa menggunakan Petua Rantai. Berikut adalah alternatif penyelesaian kepada contoh-contoh di atas.

SEMAK !

a. 4)32( +xdxd = 14)32(4 −+x )32( +x

dxd

= 2)32(4 3+x

= 3)32(8 +x

b. 42 +xdxd = 2/12 )4( +x

dxd = )4()4(

21 22/12 ++ − x

dxdx

= xx 2)4(21 2/12 −+

= 42 +x

x

Secara amnya ,

)()()( 1 baxdxdbaxkbax

dxd nknkn ++=+ −

11 )( −− += knn baxkanx



Contoh 3.4

Dengan menggunakan pola di atas, bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x:

a. y = ( 2x + 3 )4 b. y = ( 2 + x2 )3

Penyelesaian

a. )32()32(4 3 ++= xdxdx

dxdy

= )2()32(4 3+x = 8(2x + 3)3

b. )2()2(3 222 xdxdx

dxdy

++=

= 3( 2 + x2 ) 2 ( 2x ) = 6x (2 +x 2 )2 = 6x ( 4 + 4x2 + x 4 ) = 24 x + 24x3 +6x5



Aktiviti 3.2


1. Cari dxdu ,

dudy dan

dxdy bagi

a. 8)2( xx

y +=

b. y = (5x – x3 )5

c. xy −= 2 d. )3( += xxy

e. 3

12 −

=x

y

f. 23 2

xxy +=




1. a. 122 +−

x, 8u7, )12()2(8 2

7 +−+x

xx

b. 5 – 3x2, 5u4, 5(5x – x3 )4 ( 5 – 3x2 )

c. –1, 21

21 −

u , x−

−221

d . 2x + 3, 21

21 −

u , )32()3(21 2

12 ++

−xxx

e. 2x , 23

21 −

− u , 23

2 )3(−

−− xx

f. 3x2 - 4x –3, 21

21 −

u , 23

32

2243

−

−

+

−

xxxx



PENILAIAN KENDIRI 3

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…

1. Cari dxdy bagi setiap yang berikut:

a. y = 10x5

b. y = 3

41 x

c. 5x –3

d. y = - 6x -2

2. Bezakan terhadap pembolehubah masing-masing bagi persamaan-persamaan berikut:

a. y = 2x2 – x + 1 b. y = ( x – 4 )2 c. s = t3 ( t + 4 )

d. x

xxy 23 +=

e. z = ( k + 1 )( 2k – 3)

f. p = )32(2

qqq +

3. Cari dxdy bagi setiap yang berikut:

a. y = ( 7x – 3 )5 b. p = 5 ( q – 3 )3

c. 5)23(4

xy

−=

d. y = ( 3x2 –5 )7

e. )12(

1+

=x

y

f. x

xy 33 −=



Maklum Balas Penilaian Kendiri 3 Adakah anda telah mencuba dahulu???..Jika “YA”, sila semak jawapan anda.

1. a. 50x4

b. 2

43 x

c. –15x –4 d. 12x -3

2. a. 14 −= xdxdy

b. )4(2 −= xdqdp

c. )3(4 2 += ttdtds

d. xdxdy 2=

e. 14 −= kdkdz

f. 36 2 += qdqdp

3. a. 35 ( 7x –3 ) 4 b. 15(q – 3 )2

c. 40(3 – 2x )-6 d. 42x(3x2 –5)6

e. 3)12(

1+

−

x

f . 2

32x

x +




PEMBEZAAN

OBJEKTIF

Objektif Am : Memahami petua hasil darab dan hasil bahagi pembezaan. Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :

Menyatakan petua hasil darab dan hasil bahagi pembezaan.

Menentukan fungsi algebra yang boleh dibezakan dengan fungsi hasil darab dan fungsi hasil bahagi.

Menggunakan petua-petua tersebut untuk melakukan

pembezaan terhadap sebarang fungsi algebra.

UNIT 4



4.0 PENGENALAN

Pembezaan bagi fungsi-fungsi yang berbentuk hasil tambah atau hasil tolak suatu ungkapan algebra dapat dilakukan dengan membezakannya secara satu demi satu.

Walau bagaimanapun, bagi fungsi-fungsi seperti y = x( x 2 + 3)5 atau y = 3)4( +xx ,

kita tidak dapat melakukan pembezaan terhadap fungsi-fungsi tersebut dengan menggunakan kaedah dalama unit 3. Oleh yang demikian, untuk membezakan fungsi seperti di atas, Petua Hasil Darab dan Petua Hasil Bahagi perlu digunakan.

4.1 PETUA HASIL DARAB

Jika y = uv, di mana u dan v adalah fungsi-fungsi bagi x, maka

dxduv

dxdvu

dxdy

+=

Perhatikan u ialah satu rangkap yang mengandungi sebutan x dan y ialah rangkap lain yang juga mengandungi sebutan x.

INPUT

INPUT



Contoh 4.1

Cari dxdy jika

a. y = x4 ( 3x + 5 )6 b. y = ( x – 4 )2( 2x3 – 3x + 5 ) Penyelesaian a. y = x4 ( 3x + 5 )6

Katakan u = x4 dan v = ( 3x + 5 )6

34xdxdu

= dan )3()53(6 5+= xdxdv

maka )4()53()53)(18( 3654 xxxxdxdy

+++=

= )4()53()53(18 3654 xxxx +++

= [ ])53(29)53(2 53 +++ xxxx

= [ ]1069)53(2 53 +++ xxxx

= [ ]1015)53(2 53 ++ xxx b. y = ( x – 4 )2( 2x3 – 3x + 5 ) Katakan u = ( x – 4 )2 dan v = 2x3 – 3x + 5

)1)(4(2 −= xdxdu 36 2 −= x

dxdv

)4(2)532()36()4( 322 −+−+−−= xxxxxdxdy

)]532(2)36)(4[()4( 32 +−+−−−= xxxxx

)1064324126[)4( 323 +−+−−+−= xxxxxx

)2292410()4( 23 +−−−= xxxx

dxduv

dxdvu

dxdy

+=

(3x +5)5 – Faktor Sepunya Terbesar



Aktiviti 4.1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! Bezakan terhadap x

a. y = x ( 4 – x )8 b. ( 3x + 1 )3 ( x + 2 )5

c. y = xx 5)12( +

d. xx −− 6)12( 2 e. y = ( x – 3 )( 5 – 2x )6




a. (4 – x )7 (4 – 9x )

b. (3x + 1 )2 ( x + 2 )4(24x + 23)

c. x

xx2

)122()12( 4 ++

d. x

xx−−−

62)1049)(12(

e. (5 – 2x )5 (41 – 14x)



4.2 PETUA HASIL BAHAGI

Jika y = vu , di mana u dan v adalah fungsi-fungsi bagi x maka

Contoh 4.2

Bezakan terhadap x :

a. y = 10)1( +xx b. y =

1)12( 43

−+

xx

Penyelesaian

a. y = 10)1( +xx

Katakan u = x dan v = ( x + 1)10

1=dxdu dan 9)1(10 += x

dxdv

Menggunakan 2vdxdvu

dxduv

dxdy −

= ,

2vdxdvu

dxduv

dxdy −

=

INPUT



Maka 210

910

))1((10)1()1()1(

++−+

=x

xxxdxdy

210

910

))1(()1(10)1(

++−+

=x

xxx => ])1(10)1([)1( 20

9

+−+

+x

xxx

= 11)1()91(

xx

+−

b. y = 1

)12( 43

−+

xx

Katakan u = ( 2x 3 + 1 )4 dan v = x – 1

)6()12(4 233 xxdxdu

+= dan 1=dxdv

Menggunakan 2vdxdvu

dxduv

dxdy −

=

Maka,

2

43332

)1()1()12()12)(24)(1(

−+−+−

=x

xxxxdxdy

2

323

)1(])12()1(24[)12(

−+−−+

=x

xxxx

= 2

3233

)1(]122424[)12(

−−−−+

xxxxx

= 2

3233

)1(]122422[)12(

−−−−+

xxxxx



Aktiviti 4.2

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…!

Bezakan ungkapan berikut terhadap pembolehubah masing-masing:

a. x−2

3

b. 2321

t+

c. 1

2−zz

d. 1

12 ++

xx

e. 432

−+

xx

f. 112

+−

kk




a. 2)2(3x−

b. 22 )32(6

tt

+−

c. 2)1(2

−−

z

d. 22

2

)1(12

++−−

xxx

e. 2)4(11−

−x

f. 3)1(2

52

+

+

k

k



PENILAIAN KENDIRI 4 Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri

ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya.

1. Dengan menggunakan petua hasildarab atau sebagainya, bezakan terhadap x a. 5)1( −xx

b. 1+xx

c. 5)3)(2( −+ xx

d. 132 −xx

e. 722 )3( −xx

f. )3()52( 22 +− xx

2. Dengan menggunakan petua hasilbahagi atau sebagainya, terbitkan ungkapan berikut:

a. 2)1( −xx

b. 22 )3( +kk

c. 1

3−ll

d. 1

1−+

pp

e. )1(

512

2

mm

−+

f. 152

+−

zz



Maklum Balas Penilaian Kendiri 4

Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika “YA”…, sila semak jawapan anda.

1. a. ( x –1 )4 ( 6x – 1)

b. 12

23++x

x

c. ( x – 3 )4 ( 6x + 7 )

d. 13

29−−

xx

e. 2x( x2 – 3 ) 6 ( 8x2 - 3 ) f. 2 (2x – 5 ) ( 4x2 – 5x + 6 )

2 a. 3)1(1

−−−

xx

b. 3

2

)1()1(3

+−

kk

c. 2)1(2

23−−

ll

d. 2)1(2−

−p

e. 22 )1(14

mm

−

f. 3)1(2)32(3

+

+

zz




PEMBEZAAN

OBJEKTIF Objektif Am : Memahami konsep pembezaan bagi fungsi-fungsi trigonometri

mudah, fungsi logarithma dan fungsi eksponen.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :

Menyelesaikan pembezaan bagi fungsi trigonometri mudah.

Menggunakan kaedah-kaedah pembezaan untuk melakukan

pembezaan fungsi trigonometri yang lebih kompleks.

Menyelesaikan pembezaan bagi fungsi logarithma.

Menyelesaikan pembezaan bagi fungsi eksponen.

Menggunakan kaedah-kaedah pembezaan untuk melakukan

pembezaan fungsi logarithma dan fungsi eksponen.

UNIT 5



5.0 Pengenalan

Selain fungsi algebra yang telah dibincangkan di atas, pembezaan juga boleh dilakukan ke atas fungsi-fungsi trigonometri, logarithma dan eksponen. Penggunaan pembezaan dalam fungsi-fungsi banyak digunakan dalam bidang-bidang kejuruteraan, perubatan dan penyelidikan.

5.1 Pembezaan Fungsi Trigonometri

Pembezaan bagi fungsi-fungsi trigonometri dapatlah diringkaskan seperti berikut :

Contoh 5.1

Cari dxdy jika

a. y = sin 3x b. y = kos ( 3x +1 ) c. y = tan ( x 2 + 2 )

Penyelesaian a. y = sin 3x

Mengunakan petua rantai dudy

dxdu

dxdy .=

Katakan u = 3x maka y = sin u

kosxxdxd

=sin

xkosxdxd sin−=

xsekxdxd 2tan =

INPUT



3=dxdu dan ukos

dudy

=

ukos

dxdy 3=

xkos

dxdy 33=

b. y = kos ( 3x + 1)

Katakan u = 3x + 1 maka y = kos u

3=dxdu u

dudy sin−=

)sin(3 udxdy

−= => )13(sin3 +−= xdxdy

c. y = tan (x 2 + 2 ) Katakan u = x 2 + 2 maka y = tan u

xdxdu 2= usek

dudy 2=

usekxdxdy 22= => )2(2 22 += xsekx

dxdy

Daripada contoh-contoh di atas didapati bahawa

)()sin( baxkosabaxdxd

+=+

)sin()( baxabaxkosdxd

+−=+

)()tan( 2 baxsekabaxdxd

+=+



Bandingkan contoh 5.1(b) dengan menggunakan kaedah di atas: Jika y = kos ( 3x + 1), maka a = 3 dan b = 1

dan )13sin(3)13( +−=+ xxkosdxd

Dengan menggunakan Petua Rantai juga, pembezaan fungsi-fungsi trigonometri

dapat dicapai menggunakan petua-petua berikut:

kosxxnxdxd nn 1sinsin −=

xxkosnxkosdxd nn sin1−−=

xsekxnxdxd nn 21tantan −=

dan seterusnya

)()(sin)(sin 1 baxkosbaxanbaxdxd nn ++=+ −

)sin()()( 1 baxbaxkosanbaxkosdxd nn ++−=+ −

)()(tan)(tan 21 baxsekbaxanbaxdxd nn ++=+ −



Aktiviti 5 .1 UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.

1. Bezakan setiap yang berikut terhadap x: a. sin 5x

b. kos 4x

c. tan 3x

d. 2 tan x + 3 sin 2x

e kos ( 2x – 5 )

f. sin x + tan ( 2x + 1)

g. sin ( 3 – 4x3 )

h. kos ( 3x 2 + 2 )

i. tan ( 2x2 + 3x + 1 )

2. Bezakan fungsi trigonometri berikut terhadap x:

a. sin 3 4x

b. kos 6 2x

c. tan 2 3x

d. kos 2 ( x 2 + 1 )

e. sin 2 ( 2x + 1 )

f. kos ( x 3)




1. a. 5 kos 5x

b. 4

sin41 x

−

c. 3 sek 2 3x d. 2 sek 2 x + 6 kos 2x

e. – 2 sin ( 2x – 5 )

f. kos x + 2 sek 2 ( 2x + 1 )

g. – 12 x2 kos ( 3 – 4x3 )

h. - 6x sin ( 3x2 + 2 )

i. ( 4x + 3 ) sek2 (2x2 + 3x + 1 ) 2. a. 12 sin 2 4x kos 4x

b. –12 kos 5 2x sin 2x

c. 6 tan 3x sek2 3x d. – 4x kos (x 2 + 1 ) sin ( x 2 + 1 )

e. 4 sin ( 2x + 1 )kos ( 2x + 1) f. –3x 2 sin ( x3 )



5.2 Pembezaan Bagi Fungsi Logarithma

xx

dxd 1ln =

bax

abaxdxd

+=+ )ln(

Contoh 5.2 Bezakan setiap yang berikut terhadap x a. ln x4 b. ln ( 2x2 + 5 )3

c. ln x31− d. ln x2

Penyelesaian a. y = ln x4 => y = 4 ln x Menggunakan petua pembezaan ln, maka

)1(4xdx

dy= =>

x4

b. y = ln ( 2x2 + 5 )3 => 3 ln ( 2x2 + 5 )

)52

4(3 2 +=

xx

dxdy

5212

2 +=

xx

INPUT

xx

dxd 1ln =



c. y = ln x31− => )31ln(21 x−

)313(

21

xdxdy

−−

=

)31(2

3x−

−=

d. y = ln x2 => ln 2 – ln x

xdx

dy 10 −=

x1

−=



Aktiviti 5.2

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.

1. Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x:

a. ln 3x

b. ln ( 1 – 2x )

c. 4)35(3ln

x−

d. )34(

9lnx−

e. ln (x –1 )(x + 2)5




1. a. x1

b. x21

2−

−

c. x35

12−

d. x34

3−

e. )2)(1(

)12(3+−

−xx

x



5.3 Pembezaan Fungsi Eksponen

Jika y = ex , maka xx eedxd

=

dan axax aeedxd

=

baxbax aeedxd ++ =

Contoh 5.3

Bezakan setiap yang berikut terhadap x

a. e3x b. e 2x +1 c. e 1 – 2x

Penyelesaian

a. y = e3x c. y = e1 - 2x

xedxdy 33= xe

dxdy 212 −−=

b. y = e 2x +1

122 += xedxdy

INPUT



Aktiviti 5 .3

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.

1. Bezakan terhadap x

a. e 2x b. e x/3 c. e 3x + 1 d. e 1 – 2x e. 2e3x + 8e –2x f. e x – e –x




1. a. 2e 2x

b. 3

31 x

e

c. 3e 3x + 1

d. -2e 1 – 2x

f. 6e3x -16e –2x

g. e x + e–x



PENILAIAN KENDIRI 5

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya.

1. Bezakan yang berikut terhadap x

a. kot x

b. x

xsin

c. tan 2 ( 5x + 3 ) d. sin 2 x + 2 kos 2( x- 1)

2. Bezakan terhadap x a. ln 7x b. 1ln 2 +x

c. 2)34(2ln−x

d. ln (2x –3)(x + 5)4

3. Bezakan terhadap x

a. e x + 1 b. ex + e-x c. ( ex + e-x )2

d. x

x

ee+− −

21



Maklum Balas Penilian Kendiri 5

Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika “YA”…, sila semak jawapan anda.

1. a. – kosek2 x

b. 2

sinx

xxkosx −

c. Katakan y = tan 2 ( 5x + 3 )

Menggunakan pola pembezaan trigonometri di halaman 4/4, maka dy/dx = 5(2) tan (5x + 3 ) sek2 (5x + 3 ) = 10 tan ( 5x + 3 ) sek 2 ( 5x + 3 ) .

d. sin 2x – 10 kos4 (x – 1 ) sin ( x – 1)

2. a. x1

b. 12 +x

x

c. 34

8−

−x

e. Katakan y = ln (2x –3)(x + 5)4

Menggunakan petua log, y = ln ( 2x – 3) + 4 ln (x + 5 )

maka dy/dx = )5

1(4)32(

)2(1+

+− xx

=)5)(32(

)32(4)5(2+−−++

xxxx ⇒

)5)(32(128102

+−−++

xxxx



d. )5)(32(

)15(2+−

−xx

x

3. a. e x + 1 b. ex - e-x

c. Katakan y = ( ex – e –x ) 2 Kembangkan ⇒ y = ex . e x + e –x . e - x – e –x ex – e –x e x = e 2x + e – 2x – 2 dy/dx = 2e 2x +(-2 ) e – 2x = 2 ( e2x – e-2x )

d. 2)2(22

x

xx

eee

+−+−



Documents

BA201 Chapter 2 Differentiation