Bab 13B

Bab 13B

Nonparametrik: Data Peringkat 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bab 13BNONPARAMETRIK: DATA PERINGKAT II

A. Pendahuluan

1. Pendahuluan

• Pembahasan tentang uji hipotesis Wilcoxon dan Mann-Whitney

• Menggunakan data tanda dan peringkat

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Pengujian Hipotesis

Uji Wilcoxon mencakup

• Uji median (rerata) melalui satu sampel• Uji kesamaan dua populasi melalui sampel berpasangan

Uji Mann-Whitney mecakup

• Uji kesamaan dua populasi melalui sampel tidak perlu berpasangan

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

B. Uji Wilcoxon Satu Sampel

1. Tujuan Pengujian Hipotesis

• Pengujian hipotesis dilakukan terhadap median, apakah median sama dengan suatu nilai tertentu

M > M0 M < M0 M ≠ M0

• Pengujian dapat juga dilakukan terhadap rerata (walaupun pengujian rerata dapat dilakukan secara parametrik), apakah rerata sama dengan suatu nilai tertentu

> 0 < 0 ≠ 0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Pembentukan Kelompok Peringkat

Data X dikelompokkan berdasarkan letak mereka pada

X M0 atau X 0

Kelompok di atas nilai itu diberi tanda + Kelompok di bawah nilai diberi tanda Kelompok yang sama dengan nilai median/rata-rata diberi tanda 0

Selanjutnya data dengan tanda 0 diabaikan (sampel berkurang)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 1

Data 10 13 14 13 15 11 10 9 12 9 11 13 16

Jika median M0 = 12,5 maka

Data Simpangan Data Simpangan X X M0 X X M0

10 2,5 9 3,5 13 0,5 12 0,5 14 1,5 9 3,5 13 0,5 11 1,5 15 2,5 13 0,5 11 1,5 16 3,5 10 2,5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat

Urutan Pering- Peringkat Tanda peringkat simpangan kat sementara + 0,5 1 2,5 2,5 0,5 2 2,5 2,5 0,5 3 2,5 2,5 0,5 4 2,5 2,5 1,5 5 6 6 1,5 6 6 6 1,5 7 6 6 2,5 8 9 9 2,5 9 9 9 2,5 10 9 9 3,5 11 12 12 3,5 12 12 12 3,5 13 12 12 34,5 56,5 J+ J

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut

99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125

Untuk median M0 = 107

Data simpangan Data simpangan X X 107 X X 107 99 8 119 + 12 100 7 104 3 90 17 127 + 20 94 13 109 + 2135 + 28 117 + 10108 + 1 105 2107 0 125 + 18111 + 4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Urutan Peringkat Peringkat Tanda peringkat simpangan sementara + 1 1 1 1 2 2 2,5 2,5 2 3 2,5 2,5 3 4 4 4 4 5 5 5 7 6 6 6 8 7 7 7 10 8 8 8 12 9 9 9 13 10 10 10 17 11 11 11 18 12 12 12 20 13 13 13

28 14 14 14 64,5 40,5 J+ J

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bab 13B------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

Contoh 3 (dikerjakan di kelas)

Hitunglah jumlah peringkat + dan terhadap median = 3,50 pada sampel berikut

1,80 3,30 5,65 2,25 2,50 3,50 2,75 3,25 3,10 2,70 3,00

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 4


93,6 89,1 97,7 84,4 97 8 94,5 88,3 97,5 83,7 94,6 85,5 82,6

Contoh 5


8,30 9,50 9,60 8,75 8,40 9,10 9,25 9,80 10,05 8,15 10,00 9,60 9,80 9,20 9,30

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Uji Hipotesis Sampel Besar Tanpa Peringkat Sama

Distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke

Distribusi probabilitas normal dengan

• Rerata

• Kekeliruan baku

4

1)(

nnJ

24

121 ))((

nnnJ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pengujian hipotesis pada sampel besar

Untuk M > M0 J+ diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau

J diharapkan < J diuji pada ujung bawah

Untuk M < M0 J diharapkan > J diuji pada ujung atas, atau

J+ diharapkan < J diuji pada ujung bawah

Untuk M M0 J+ dan J diuji pada dua ujung dengan ½

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 6

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi lebih dari 100. Sampel adalah

99 98 97 96 95 106 93 108 91 110 89 112 113 114 85 116 117 118 119 120 79 122 123 76 125 126 127 128 129 130

Hipotesis H0 : M = 100

H1 : M > 100

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sampel M0 = 100

Data simpangan Data simpangan Data simpangan 99 1 89 11 79 21 98 2 112 + 12 122 + 22 97 3 113 + 13 123 + 23 96 4 114 + 14 76 24 95 5 85 15 125 + 25 106 + 6 116 + 16 126 + 26 93 7 117 + 17 127 + 27 108 + 8 118 + 18 128 + 28 91 9 119 + 19 129 + 29 110 + 10 120 + 20 130 + 30

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Peringkat + Peringkat +

1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 n = 30 4 4 19 19 5 5 20 20 J+ = 363 6 6 21 21 7 7 22 22 J = 102 8 8 23 23 9 9 24 24 10 10 25 25 11 11 26 26 12 12 27 27 13 13 28 28 14 14 29 29 15 15 30 30

363 102

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Distribusi probabilitas pensampelan

Distribusi probabilitas normalRerata

Kekeliruan baku

52324

13030

4

1,

))(()(

nnJ

624824

613130

24

121,

))()(())((

nnnJ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji

Di sini kita menggunakan J+

• Kriteria pengujian

Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atasNilai kritis z(0,95) = 1,645

Tolak H0 jika z > 1,645

Terima H0 jika z 1,645

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

6826248

5232363,

,

,

J

JJz

------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

Pada taraf signifikansi 0,05, uji median M < 500, jika sampel acak menunjukkan

n = 35 J+ = 210 J = 420

Hipotesis H0 : M = 500

H1 : M < 500

Sampel n = 35 J+ = 210 J = 420

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Distribusi probabilitas pensampelan

DPP : DP normal Rerata

Kekeliruan baku

3154

)36)(35(

4

)1(

nnJ

053,6124

)71)(36)(35(

24

)12)(1(

nnnJ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji

Di sini kita menggunakan J





• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

720,1053,61

315420

J

JJz

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M lebih dari 500 apabila sampel menunjukkan bahwa

n = 50 J+ = 650 J = 625

------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 9

Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M lebih dari 500 jika sampel acak menunjukkan bahwa

n = 45 J+ = 530 J = 505

Contoh 10

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median kurang dari 200 jikan sampel acak menunjukkan bahwa

n = 27 J+ = 178 J = 200

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M kurang dari 400 jika sampel acak menunjukkan bahwa

n = 40 J+ = 350 J = 470

Contoh 12

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median M tidak sama dengan 320 jika sampel acak menunjukkan bahwa

n = 35 J+ = 330 J = 300

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bab 13B-------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis Sampel Besar dengan Peringkat Sama

• Diperlukan koreksi peringkat sama pada kekeliruan baku

• Selain koreksi ini, pengujian hipotesis adalah sama seperti pada kasus tanpa peringkat sama

• Koreksi peringkat sama untuk setiap peringkat sama

Pada peringkat sama terdapat t data koreksi sebesar: t= banyaknya data dengan suatu nilai tertentu yang memiliki peringkat yang

sama(baik yang selisihnya positif maupun negatif)

Kekeliruan baku menjadi

48

3 ttT

Tnnn

J 24

121 ))((

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 13

Pada taraf signifikansi 0,05, diuji M0 ≠ 100, dengan sampel menunjukkan peringkat sebagai berikut

Peringkat + Peringkat + 1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 5 5 20 20 5 5 20 20 5 5 20 20 7 7 22 22 8 8 23 23 9,5 9,5 24 24 9,5 9,5 25,5 25,5 11 11 25,5 25,5 12 12 27 27 13,5 13,5 28 28 13,5 13,5 29 29 15 15 30 30 289 139

J+ J-

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis H0 : M = 100 H1 : M ≠ 100

• Sampel n = 30 J+ = 289 J = 139


Didekatkan ke distribusi probabilitas normalKoreksi peringkat sama

Peringkat t (t3 – t) / 48 5 3 0,5 9,5 2 0,125 13,5 2 0,125 20 3 0,5 25,5 2 0,125 Σ T = 1,375

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rerata

Kekeliruan baku

• Statistik uji

60,48375,124

)61)(31)(30(

24

)12)(1(

T

nnnJ

52324

3130

4

1,

))(()(

nnJ

163,160,48

5,232289

J

JJz

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------


Taraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujungNilai kritis z(0,025) = 1,960

z(0,975) = 1,960

Kriteria pengujian Tolak H0 jika z < 1,960 atau z > 1,960

Terima H0 jika 1,960 z 1,960

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

Catatan: Selain menghitung koreksi peringkat sama, pengujian hipotesis sama dengan pengujian hipotesis pada tanpa peringkat sama

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis Sampel Kecil

Sampel adalah kecil jika n 25

Ada dua kemungkinan untuk menentukan batas yakni

• nilai besar di atas rerata untuk ditabelkan (tidak dibuat tabel)• Nilai kecil di bawah rerata untuk ditabelkan (dibuat tabel)

Disediakan tabel nilai kritis khusus untuk J, yakni nilai yang terkecil di antara J+ dan J-

Kriteria pengujian adalah

Tolak H0 jika J < Jtabel

Terima H0 jika J Jtabel

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon

n = 0,01 = 0,05 n = 0,01 = 0,05 6 -- 0 16 20 30 7 -- 2 17 23 35 8 0 4 18 28 40 9 2 6 19 32 46 10 3 8 20 38 52 11 5 11 21 43 59 12 7 14 22 49 66 13 10 17 23 55 73 14 13 21 24 61 81 15 16 25 25 68 89

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pengujian hipotesis pada sampel kecil






yang terkecil diuji pada ujung bawah

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 14

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi kurang dari 12,5 jika sampel adalah

10 13 14 13 15 11 10 9 12 9 11 13 16

Hipotesis H0 : M = 12,5

H1 : M < 12,5

Sampel (dari contoh 1) n = 13 J+ = 34,5 J = 56,5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Statistik uji

Untuk M < 12,5 J kecil adalah J+ sehingga statisik uji adalah

J+ = 34,5Kriteria pengujian

Taraf signifikansi = 0,05 n = 13 dari tabel J = 17 Tolak H0 jika J+ < 17 Terima H0 jika J+ 17

KeputusanTerima H0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi lebih dari 107 jika sampel adalah

99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 16

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi kurang dari 3,50 jika sampel adalah

1,80 3,30 5,65 2,25 2,50 3,50 2,75 3,25 3,10 2,70 3,00

Contoh 17

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi tidak sama dengan 97,5 jika sampel adalah

93,6 89,1 97,7 84,4 97 8 94,5 88,3 97,5 83,7 94,6 85,5 82,6

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 18

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa median populasi tidak sama dengan 8,41 jika sampel adalah

8,30 9,50 9,60 8,75 8,40 9,10 9,25 9,80 10,05 8,15 10,00 9,60 9,80 9,20 9,30

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

C. Uji Wilcoxon Sampel Berpasangan

1. Pendahuluan

• Sampel berpasangan berarti bahwa setiap data di dalam sampel adalah berpasangan

Misal Harga Toko X Toko Y beras Xberas Yberas

gula Xgula Ygula

sabun Xsabun Ysabun

• Nilai pasangan sampel dikurangi satu dari lainnya maka diperoleh satu nilai selisih

• Selanjutnya nilai selisih ini dapat diperlakukan seperti pada uji Wilconxon satu sampel

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Perhitungan J

Ada perhitungan untuk sampel

• Tanpa peringkat sama• Ada peringkat sama

• Cara perhitungan sama dengan cara pada sampel median

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 19 (tanpa peringkat sama)

Sampel

X Y selisih Data Peringkat + 30 10 + 20 10 1 1 40 15 + 25 + 15 2 2 n = 8 35 20 + 15 + 20 3 3 10 20 10 + 25 4 4 J+ = 27 45 10 + 35 + 30 5 5 J = 9 15 60 45 + 35 6 6 50 20 + 30 + 40 7 7 50 10 + 40 45 8 8 27 9

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 20 (ada peringkat sama)

Sampel

X Y selisih Data Per Sem Pering + 12 17 5 1 1 1 1 10 15 5 5 2 2,5 2,5 n = 8 20 10 + 10 5 3 2,5 2,5 15 30 15 + 9 4 4 4 J+ = 17 13 26 13 + 10 5 5 5 J = 19 19 10 + 9 13 6 6,5 6,5 14 27 13 13 7 6,5 6,5 21 22 1 + 15 8 8 8 17 19

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hitunglah J+ dan J pada sampel berpasangan berikut ini

(a) X 85 90 75 65 70 50 60 50 Y 60 70 85 70 45 85 90 90

(b) X 3,2 2,7 2,2 2,8 2,4 2,9 2,6 3,3 Y 2,9 2,9 2,5 2,5 2,8 3,0 2,4 2,7

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 22

Hitunglah J+ dan J pada sampel berpasangan berikut ini

(a) UTS 66 60 64 78 19 51 25 44 65 71 68 35 UAS 77 71 76 61 38 77 10 57 82 85 86 56

(b) UTS 64 72 42 59 74 44 48 74 36 45 71 72 UAS 76 70 70 82 90 20 49 82 53 49 78 70

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Pengujian Hipotesis Kesamaan Populasi

Pengujian hipotesis sama dengan pengujian hipotesis pada antrian dan bilangan acak

Ada ujian hipotesis pada sampel besar (n > 25)• Tanpa peringkat sama• Dengan peringkat sama

Ada uji hipotesis sampel kecil (n 25)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pengujian hipotesis pada sampel besar






-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pengujian hipotesis pada sampel kecil






yang terkecil diuji pada ujung bawah

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 23

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan populasi Y apabila 30 pasangan sampel acak adalah

X 17 16 21 14 17 20 21 19 23 16 25 16 20 19 17 Y 19 16 21 13 17 20 17 15 22 15 20 13 15 16 18

X 20 20 17 23 25 19 21 17 19 24 28 24 18 21 19 Y 19 21 12 15 23 17 19 20 21 23 24 16 16 18 20

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 24

Pada taraf signifikansi uji hipotesis bahwa populasi X lebih besar dari populasi Y, jika sampel adalah

X 30 40 35 10 45 15 50 50 Y 10 15 20 20 10 60 20 10

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 25

Pada taraf signifikansi uji hipotesis bahwa populasi X kurang dari populasi Y, jika sampel adalah

(a) X 85 90 75 65 70 50 60 50 Y 60 70 85 70 45 85 90 90

(b) X 3,2 2,7 2,2 2,8 2,4 2,9 2,6 3,3 Y 2,9 2,9 2,5 2,5 2,8 3,0 2,4 2,7

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

D. Uji U Mann-Whitney pada Dua Sampel Independen

1. Pendahuluan

• Pengujian dilakukan dengan data jumlah peringkat seperti pada uji Wilconxon

• Pengujian dilakukan pada dua populasi independen untuk kesamaan median (atau rerata)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Cara perhitungan statistik U

• Dua sampel, misalkan X dan Y, digabung dan disusun dalam satu peringkat

• Peringkat untuk X dan Y dipisahkan dan masing-masing dijumlahkan sebagai jumlah peringkat

• Dari jumlah peringkat ini dihitung statistik U yang digunakan untuk pengujian hipotesis

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Jumlah Peringkat dan Statistik U

• Sampel data X dan sampel data Y digabung dan disusun ke dalam peringkat

• Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wX

• Peringkat untuk Y dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wY

• Dengan wX dan wy dihitung statistik uji UX, UY, dan statistik U

• Statistik U digunakan untuk pengujian hipotesis pada taraf signifikansi tertentu

2

12

1

)(

)(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 26 (tanpa peringkat sama)

Sampel X dan Y adalah sebagai berikut

X 1,9 0,5 2,8 3,1Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9

Digabung dan disusun ke dalam peringkat dan dipilah

Asal Data Peringkat Per X Per Y X 0,5 1 1 Y 0,9 2 2 Y 1,4 3 3 X 1,9 4 4 Y 2,1 5 5 X 2,8 6 6 X 3,1 7 7 Y 4,6 8 8 Y 5,3 9 9 18 27 wX wY

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Statistik U

nX = 4 wX = 18

nY = 5 wY = 27

122

6527

2

1

82

5418

2

1

))(()(

))(()(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan populasi X dan Y melalui uji Mann-Whitney jika sample adalah

X 22,1 24,0 26,3 25,4 24,8 23,7 26,1 23,3 Y 24,1 20,6 23,1 22,5 24,0 26,2 21,6 22,2 21,9 25,4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 28

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan populasi X dan Y melalui uji Mann-Whitney jika sampel adalah

(a) X 34 28 46 42 56 85 48 25 37 49 Y 43 49 41 55 39 45 65 50 47 51

(b) X 102 114 127 111 122 108 117 115 Y 105 114 120 124 132 118 125 125 123

(c) X 64 59 47 74 48 55 48 71 59 63 64 Y 73 58 55 72 64 62 63 72 49 55

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 27 (ada peringkat sama)

Hitunglah wX dan UX serta wY dan UY pada sampel berikut X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

Asal Data Peringkat Per X Per Y Asal Data Peringkat Per X Per Y Y 10 1 1 X 19 9 9 Y 11 2 2 X 20 10 10 Y 12 3 3 X 21 11,5 11,5 X 13 4 4 Y 21 11,5 11,5 X 16 5,5 5,5 X 24 13,5 13,5 X 16 5,5 5,5 Y 24 13,5 Y 17 7 7 Y 25 15 X 18 8 8 Y 32 16 16 67 54

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Statistik U

nX = 8 wX = 67

nY = 8 wY = 54

182

)9)(8(54

2

)1(

312

)9)(8(67

2

)1(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini

X 15 18 14 22 25 16 Y 23 11 26 24 17 19 15

Contoh 29


(a) X 43 38 39 44 53 42 55 47 Y 41 40 52 48 46 51 57 45

(b) X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 30


X 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60 65 63 30 35 25 20 Y 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30

90 80 50 30 66 83

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Pengujian hipotesis

• Bergantung kepada ukuran sampel, pengujian hipotesis dipilah menjadi tiga kategori

(1) nterbesar 8

(2) 9 nterbesar 20

(3) nterbesar > 20

• Kategori (1) 1 menggunakan tabel khusus langsung ke nilai probabilitas

• Kategori (2) menggunakan tabel khusus

• Kategori (3) menggunakan distribusi probabilitas pensampelan yang didekatkan ke distribusi probabilitas normal

------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Uji Hipotesis pada n > 20 Tanpa Peringkat Sama

• Distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke distribusi probabilitas normal dengan

Rerata

Kekeliruan baku

• Rarata U terletak sama jauh dari Ux dan UY sehingga pengujian hipotesis dapat menggunakan

U yang besar untuk pengujian pada ujung atas

U yang kecil untuk pengujian pada ujung bawah

2YX

U

nn

12

1)( YXYX

U

nnnn

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 31

Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel acak

Asal Peringkat Per X Per Y Asal Peringkat Per X Per Y X 1 1 Y 11 11 Y 2 2 Y 12 12 Y 3 3 X 13 13 Y 4 4 Y 14 14 X 5 5 Y 15 15 Y 6 6 Y 16 16 Y 7 7 Y 17 17 Y 8 8 Y 18 18 Y 9 9 X 19 19 Y 10 10 Y 20 20

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Asal Peringkat Per X Per Y X 21 21 Y 22 22 nx = 8 wX = 134

X 23 23 nY = 22 wY = 331 Y 24 24 X 25 25 Y 26 26 UX = 134 – (8)(9)/2 = 98

X 27 27 UY = 331 – (22)(23)/2 = 78

Y 28 28 Y 29 29 Y 30 30 134 331

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis H0 : Populasi X dan Y sama

H1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel nX = 8 wX = 134 UX = 98

nY = 22 wY = 331 UY = 78


Distribusi probabilitas normal dengan Rerata

Kekeliruan baku

882

)22)(8(

2 YX

U

nn

32,2112

)31)(22)(8(

12

)1(

YXYX

U

nnnn

------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji





• Keputusan


(Catatan: pengujian dapat juga dilakukan pada ujung bawah dengan mengambil Ukecil)

47,032,21

8898

U

UbesarUz

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis pada n > 20 dengan Peringkat Sama

• Adanya peringkat sama menyebabkan dilakukannya koreksi karena peringkat sama

• Pada suatu peringkat sama terdapat t data maka koreksi menjadi

• Kekeliruan baku mengalamai koreksi sehingga menjadi

12

3 ttT

YX

YXU

nnn

Tnn

nn

nn

121

3

)(

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 32

Pada taraf signifikansi 0,05, melalui Mann-Whitney, uji hipotesis kesamaan populasi X dan Y

X 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60 65 63 30 35 25 20 Y 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30

90 80 50 30 66 83

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Uji Hipotesis pada Ukuran Sampel 9 nbesar 20

• Dasar pengujian hipotesis adalah sama dengan pengujian pada sampel besar

• Hipotesis H0 menunjukkan bahwa ada keseimbangan di antara UX dan UY

• Jika salah satu U terlalu besar, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak

• Jika salah satu U terlalu kecil, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak

• Batas ini disusun dalam tabel nilai kritis sebagai kriteria pengujian hipotesis

• Batas yang ditabelkan adalah U yang kecil sehingga dalam pengujian hipotesis ini U adalah nilai terkecil di antara UX dan UY

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik UPada Uji Mann-Whitney

= 0,001 pada satu ujung atau = 0,002 pada dua ujung

n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 3 5 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 6 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 3 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 8 5 6 8 9 11 12 14 15 17 18 20 21 9 7 8 10 12 14 15 17 19 21 23 25 26 10 8 10 12 14 17 19 21 23 25 27 29 32 11 10 12 15 17 20 22 24 27 29 32 34 37 12 12 14 17 20 23 25 28 31 34 37 40 42 13 14 17 20 23 26 29 32 35 38 42 45 48 14 15 19 22 25 29 32 36 39 43 46 50 54 15 17 21 24 28 32 36 40 43 47 51 55 59 16 19 23 27 31 35 39 43 48 52 56 60 65 17 21 25 29 34 38 43 47 52 57 61 66 70 18 23 27 32 37 42 46 51 56 61 66 71 76 19 25 29 34 40 45 50 55 60 66 71 77 82 20 26 32 37 42 48 54 59 65 70 76 82 88

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------



n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 7 8 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 7 9 11 12 14 16 17 19 21 23 24 26 28 8 11 13 15 17 20 22 24 26 28 30 32 34 9 14 16 18 21 23 26 28 31 33 36 38 40 10 16 19 22 24 27 30 33 36 38 41 44 47 11 18 22 25 28 31 34 37 41 44 47 50 53 12 21 24 28 31 35 38 42 46 49 53 56 60 13 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 14 26 30 34 38 43 47 51 56 60 65 69 73 15 28 33 37 42 47 51 56 61 66 70 75 80 16 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 82 87 17 33 38 44 49 55 60 66 71 77 82 88 91 18 36 41 47 53 59 65 70 76 82 88 94 100 19 38 44 50 56 63 69 75 82 88 94 101 107 20 40 47 53 60 67 73 80 87 93 100 107 114

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------



n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 37 42 47 53 59 64 70 75 81 87 93 98 17 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119 20 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------



n2 n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 0 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 5 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 23 25 6 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 7 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39 8 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47 9 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 10 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62 11 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69 12 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77 13 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84 14 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92 15 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100 16 42 48 54 60 65 71 77 83 89 92 101 107 17 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115 18 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123 19 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130 20 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 33

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y, pada sampel acak yang berbentuk peringkat berikut

Asal Peringkat Per X PerY Asal Peringhkat Per X Per Y Y 1 1 Y 10 10 X 2 2 X 11 11 Y 3 3 Y 12 12 X 4 4 Y 13 13 Y 5 5 Y 14 14 X 6 6 Y 15 15 Y 7 7 Y 16 16 Y 8 8 32 104 X 9 9 wX wY

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel

nX = 5 wX = 32 nY = 11 wY = 104

Yang terkecil di antaranya dijadikan U U = 17

382

)12)(11(104

2

)1(

172

)6)(5(32

2

)1(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Kriteria pengujianTaraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujungDari tabel pada = 0,05 dua ujung untuk n1 = 5 dan n2 = 11

Utabel = 9

Tolak H0 jika U < 9

Terima H0 jika U 9

• Keputusan


-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Uji Hipotesis pada ukuran Sampel nbesar 8

• Pengujian hipotesis untuk sampel 8 menggunakan tabel nilai kritis khusus

• Tabel nilai kritis ini telah langsung dihitung dalam bentuk probabilitas P(U)

• Nilai p ditemukan melalui n1, n2, dan U; di sini U adalah yang terkecil di antara UX dan UY

• Nilai p langsung dibandingkan dengan taraf signifikansi dengan

Tolak H0 jika P(U) <

Terima H0 jika P(U)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U

Pada Uji Mann-Whitney

n2 = 3 n2 = 4

n1 n1

U 1 2 3 U 1 2 3 4 0 0,250 0,100 0,050 0 0,200 0,067 0,028 0,014 1 0,500 0,200 0,100 1 0,400 0,133 0,057 0,029 2 0,750 0,400 0,200 2 0,600 0,267 0,114 0,057 3 0,600 0,350 3 0,400 0,200 0,100 4 0,500 4 0,600 0,314 0,171 5 0,650 5 0,429 0,243 6 0,571 0,343 7 0,443 8 0,557

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik UPada Uji Mann-Whitney

n2 = 5 n1

U 1 2 3 4 5 0 0,167 0,047 0,018 0,008 0,004 1 0,333 0,095 0,036 0,016 0,008 2 0,500 0,190 0,071 0,032 0,016 3 0,667 0,286 0,125 0,056 0,028 4 0,429 0,196 0,095 0,048 5 0,571 0,286 0,143 0,075 6 0,393 0,206 0,111 7 0,500 0,278 0,155 8 0,607 0,365 0,210 9 0,452 0,274 10 0,548 0,345 11 0,421 12 0,500 13 0,579

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------



n2 = 6 n1 U 1 2 3 4 5 6 0 0,143 0,036 0,012 0,005 0,002 0,001 1 0,286 0,071 0,024 0,010 0,004 0,002 2 0,428 0,143 0,048 0,019 0,009 0,004 3 0,571 0,214 0,083 0,033 0,015 0,008 4 0,321 0,131 0,057 0,026 0,013 5 0,429 0,190 0,086 0,041 0,021 6 0,571 0,274 0,129 0,063 0,032 7 0,357 0,176 0,089 0,047 8 0,452 0,238 0,123 0,066 9 0,548 0,305 0,165 0,090 10 0,381 0,214 0,120 11 0,457 0,268 0,155 12 0,545 0,331 0,197 13 0,396 0,242 14 0,465 0,294 15 0,535 0,350 16 0,409 17 0,469 18 0,531

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


n 2 = 7

n1

U 1 2 3 4 5 6 7 0 0,125 0,028 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 1 0,250 0,056 0,017 0,006 0,003 0,001 0,001 2 0,375 0,111 0,033 0,012 0,005 0,002 0,001 3 0,500 0,167 0,058 0,021 0,009 0,004 0,002 4 0,625 0,250 0,092 0,036 0,015 0,007 0,003 5 0,333 0,133 0,055 0,024 0,011 0,006 6 0,444 0,192 0,082 0,037 0,017 0,009 7 0,556 0,258 0,115 0,053 0,026 0,013 8 0,333 0,158 0,074 0,037 0,019 9 0,417 0,206 0,101 0,051 0,027 10 0,500 0,264 0,134 0,069 0,036 11 0,583 0,324 0,172 0,090 0,049 12 0,394 0,216 0,117 0,064 13 0,464 0,265 0,147 0,082

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------


n2 = 7

n1

U 1 2 3 4 5 6 7 14 0,538 0,319 0,183 0,104 15 0,378 0,223 0,130

16 0,438 0,267 0,159 17 0,500 0,314 0,191 18 0,562 0,365 0,228 19 0,418 0,267 20 0,473 0,310 21 0,527 0,355 22 0,402 23 0,451 24 0,500 25 0,549

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


n2 = 8n1

U 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,111 0,022 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 1 0,222 0,044 0,012 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 2 0,333 0,089 0,024 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 3 0,444 0,133 0,042 0,014 0,005 0,002 0,001 0,001

4 0,556 0,200 0,067 0,024 0,009 0,004 0,002 0,001 5 0,267 0,097 0,036 0,015 0,006 0,003 0,001 6 0,356 0,139 0,055 0,023 0,010 0,005 0,002 7 0,444 0,188 0,077 0,033 0,015 0,007 0,003 8 0,556 0,248 0,107 0,047 0,021 0,010 0,005 9 0,315 0,141 0,064 0,030 0,014 0,007 10 0,387 0,184 0,085 0,041 0,020 0,010 11 0,461 0,230 0,111 0,054 0,027 0,014 12 0,539 0,285 0,142 0,071 0,036 0,019 13 0,341 0,177 0,091 0,047 0,025 14 0,404 0,217 0,114 0,060 0,032 15 0,467 0,262 0,141 0,076 0,041 16 0,533 0,311 0,172 0,095 0,052

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------



n2 = 8 n1

U 1 2 3 4 5 6 7 8 17 0,362 0,207 0,116 0,065 18 0,416 0,245 0,140 0,080 19 0,472 0,286 0,168 0,097 20 0,528 0,331 0,198 0,117 21 0,377 0,232 0,139 22 0,426 0,268 0,164 23 0,475 0,306 0,191 24 0,525 0,347 0,221 25 0,389 0,253 26 0,433 0,287 27 0,478 0,323 28 0,522 0,360 29 0,399 30 0,439 31 0,480 32 0,520

Contoh 34

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel

X 1,9 0,5 2,8 3,1 Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9

• Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama

H1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel Dari contoh 26 diketahui

nx = 4, nY = 5, wX = 18, wY = 27,

Ux = 8, UY = 12 sehingga U = 8

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Taraf signifkansi = 0,05Dari tabel n2 = 5, n1 = 4, dan U = 8,

ditemukan bahwa P(U) = 0,365

P(U) > 0,05

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------


Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis kesamaan populasi X dan Y melalui uji Mann-Whitney, jika sampel adalah

X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 36

Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Mann-Whitney, uji kesamaan populasi X dan Y, jika sampel adalah

(a) X 15 18 14 22 25 16 Y 23 11 26 24 17 19 15

(b) X 43 38 39 44 53 42 55 47 Y 41 40 52 48 46 51 57 45

(c) X 16 20 13 24 18 21 19 16 Y 25 32 17 11 24 12 21 10

Documents

Bab 13B