Upload
vanphuc
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Penentuan Waktu Pengamatan Secara Acak
Berulang kali telah disebutkan bahwa kunjungan-kunjungan untuk melakukan
pengamatan dilakukan dalam waktu-waktu yang ditentukan secara acak. Untuk
itu, biasanya satu hari kerja dibagi kedalam satu-satuan waktu yang besarnya
ditentukan oleh pengukur. Biasanya panjang satu-satuan waktu tidak terlalu
singkat dan juga tidak terlalu panjang. Berdasarkan satu-satuan waktu inilah, jam
kunjungan dapat ditentukan dengan menggunakan tabel acak/random.
Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menentukan waktu pengamatan
adalah:
• Menentukan panjang satu-satuan waktu pengamatan yang diinginkan
(artinya sekali pengamatan dilakukan selama selang waktu yang telah
ditentukan tersebut), misalnya 5 menit.
• Menghitung panjang satu-satuan waktu yang dibutuhkan selama satu hari
kerja. Jika satu hari kerja selama tujuh jam, artinya dalam sehari ada
waktusatuansatu _84560*7
−= . Artinya, jumlah kunjungan per hari
tidak boleh lebih dari 84 kali kunjungan.
• Penentuan jumlah kunjungan per hari yang diinginkan oleh pengukur.
Misalnya 36 kali kunjungan.
• Lalu, dengan menggunakan tabel bilangan acak/random, dapat ditentukan
jam-jam kunjungan. Cara melihat angka pada tabel bilangan acak/random
adalah dengan mengikuti dua-dua sampai 36 kali dan harus memenuhi
syarat bahwa pasangan-pasangan dua buah angka tersebut besarnya tidak
lebih dari 84 dan tidak boleh terjadi pengulangan.
• Misalkan angka yang didapat dari tabel bilangan acak/random adalah 39,
65,75,dst. Jika jam kerja dimulai pukul 8.00 dan berakhir pukul 16.00,
maka untuk mendapatkan waktu/jam pastinya adalah dengan cara 39 x 5
menit (panjang satu-satuan waktu yang telah ditentukan) = 195 menit (3
jam 15 menit). Maka, kunjungan pertama adalah pada pukul 8.00 + 3 jam
15 menit = pukul 11.15. Begitu seterusnya sampai selesai jumlah
pengamatan yang dibutuhkan.
2.2 Distribusi Probabilitas
Ada 2 jenis distribusi probabilitas yaitu:
• Continuous (untuk data variabel)
Apabila karakteristik yang diukur dapat membicarakan berbagai nilai
(ketepatan pengukuran proses), distribusi probabilitasnya disebut distribusi
probabilitas continuous (continuous probability distribution). Ada berbagai
bentuk distribusi probabilitas yang biasa digunakan, misalnya distribusi
probabilitas normal, distribusi probabilitas eksponensial, distribusi
probabilitas beta dan distribusi probabilitas weibull. Distribusi probabilitas ini
menemukan hal-hal yang berkaitan dengan kejadian-kejadian dari nilai-nilai
karakteristik yang sesungguhnya. Sedangkan distribusi probabilitas yang sama
adalah t, F dan Chi Square yang digunakan dalam analisis data tetapi tidak
membantu secara langsung dalam memprediksi probabilitas terjadinya nilai-
nilai yang sesungguhnya.
• Discrete (untuk data atribut)
Apabila karakteristik yang diukur hanya membicarakan nilai-nilai tertentu
(misalnya 0,1,2,3), distribusi probabilitasnya disebut dengan distribusi
probabilitas discrete (discrete probability distribution). Sebagai contoh,
distribusi untuk banyaknya kesalahan pada sampel yang berisi 5 unit
merupakan distribusi probabilitas discrete karena kesalahan hanya 0,1,2,3,4
atau 5. Distribusi probabilitas discrete ada 2 jenis yaitu distribusi poisson dan
binomial.
Beberapa distribusi probabilitas yang sering digunakan yaitu:
1. Distribusi Seragam
12)(var
2
0,)(
,1)(
2abians
abmean
bXabaXXF
bxaab
xf
x
−=
+=
≤≤−−
=
≤≤−
=
2. Distribusi Eksponensial Negatif
Distribusi probabilitas normal dan eksponensial memiliki bentuk yang
berbeda. Pada distribusi probabilitas eksponensial, daerah yang berada di
bawah rata-rata lebih besar daripada yang berada di atas rata-rata. Kurva
eksponensial juga digunakan dalam penjelasan distribusi kegagalan waktu
yang kompleks. Yang sangat menarik dari distribusi eksponensial adalah
deviasi standar sama dengan rata-rata.
2
1var
10,1)(
0,0,)(
µ
µ
µµµ
µ
=
=
>−=
>>=−
−
ians
mean
XeXFxexf
Xx
x
3. Distribusi Erlang dan Gamma
Jika parameter bentuk α adalah sebuah integer positif, distribusi ini disebut
Erlang. Jika tidak, nilai-nilai noninteger dari α mendefinisikan distribusi
gamma yang umum. Distribusi gamma adalah penjumlahan α independen dan
merupakan eksponensial yang didistribusikan secara identik dengan mean
1/µ..
4. Distribusi Normal
Pada distribusi ini, nilai Fx(X) tidak memiliki bentuk tertutup. Oleh karena
itulah, tabel normal biasanya diberikan untuk kasus standar dengan mean nol
dan deviasi standar 1. Konversi dari setiap variabel acak normal x ke normal
standar dilakukan dengan menggunakan rumus σµ−
=xz . Konversi ini
memungkinkan penggunaan tabel normal standar dengan setiap variabel acak
normal. Distribusi ini sering digunakan untuk melakukan perkiraan atau
prediksi. Prediksi tersebut menghendaki adanya 2 perkiraan yaitu perkiraan µ
adalah x dan perkiraan σ adalah s dan sebuah tabel. Ciri-ciri distribusi normal
adalah:
• Kurvanya mempunyai puncak tunggal
• Kurvanya berbentuk seperti lonceng
• Rata-rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di
sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata
• Kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tak pernah memotong
sumbu horisontal
5. Distribusi Lognormal
Sebuah variabel acak x dikatakan mengikuti fungsi kepadatan lognormal jika,
dan hanya jika, Ln x mengikuti distribusi normal dengan mean µ dan varians
σ².
6. Distribusi Weibull
Fungsi kepadatan Weibull serupa dengan fungsi gamma untuk berbagai
parameter α. Untuk α = 1, fungsi kepadatan Weibull menjadi fungsi
eksponensial negatif. Distribusi ini mempunyai formula:
βγαβγαβ )(1)( −−−−= XeXy
Di mana:
α = parameter skala
β = parameter bentuk
γ = parameter lokasi
kurva distribusi Weibull ini akan bervariasi tergantung pada nilai-nilai
numerik parameter-parameternya. Yang terpenting adalah parameter bentuk β
yang menunjukkan model kurva. Dalam praktik, β bervariasi dari sekitar 1/3
sampai 5. Sementara itu, skala parameter α berkaitan dengan puncak kurva.
Apabila α berubah, maka kurva akan menjadi lebih datar atau lebih
memuncak. Sedangkan parameter lokasi γ adalah nilai terkecil yang paling
mungkin untuk X. Nilai ini sering diasumsikan dengan 0, karena akan
menyederhanakan persamaan tersebut.
7. Distribusi Beta
Variabel acak beta hanya didefinisikan dalam kisaran (0,1) saja. Transformasi
di sepanjang kisaran (a,b) dapat diberlakukan dengan menggunakan hubungan
.)( xabay −+= Distribusi ini bersifat serba guna yang dapat memiliki
berbagai bentuk. Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan
waktu penyelesaian, yaitu:
• Optimistic time (a) adalah waktu terpendek untuk menyelesaikan
kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dari waktu ini
sangat kecil.
• Most Likely Time (m) adalah waktu yang paling mungkin untuk
menyelesaikan kegiatan. Jika kegiatan macam ini berulang kali terjadi,
ini merupakan waktu yang paling sering terjadi.
• Pessimistic time (b) adalah waktu terlama untuk menyelesaikan
kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini
sangat kecil.
Ciri-ciri distribusi beta adalah bermodus (berpuncak) tunggal, kontinu dan
dapat berbentuk simetrik maupun condong ke kiri atau ke kanan.
8. Distribusi Segitiga
Distribusi segitiga didefinisikan setelah ketiga parameter a, b, c (a ≤ b ≤ c)
diketahui. Hal ini membuat distribusi ini terutama berguna sebagai
aproksimasi awal dari situasi di mana data yang andal tidak tersedia.
9. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson menggambarkan variabel acak diskrit. Oleh karena itu, kita
menggunakan p(x) dan Px(X) sebagai pengganti f(x) dan Fx(X) yang
digunakan dalam distribusi kontinu. Distribusi ini digunakan dalam model
antrian untuk menjabarkan jumlah pemunculan (kedatangan atau
keberangkatan) dalam satu periode waktu tertentu, di mana λ akan mewakili
jumlah pemunculan per unit waktu. Distribusi ini juga digunakan dalam
menghitung probabilitas yang berkaitan dengan prosedur pengambilan
sampel.
2.3 Antrian
2.3.1 Teori Antrian
Antrian adalah kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-
hari. Antrian dapat dilihat dalam berbagi situasi yang terjadi sehari-hari,
seperti :
• Kendaraan yang menunggu pada traffic light
• Pelanggan menunggu pada checkout cashier di supermarket
• Pasien yang menunggu di suatu klinik kesehatan
• Pesawat terbang menunggu untuk take off di pelabuhan udara
• Kapal laut menunggu untuk merapat ke dermaga
• Mesin industri yang menunggu perbaikan dari montir ahli
• Program software menunggu untuk diproses pada computer
• Tumpukan surat yang menunggu untuk diketik sekretaris, dll.
Analisis antrian pertama kali diperkenalkan oleh A.K. Erlang (1913)
yang mempelajari fluktuasi permintaan fasilitas telepon dan keterlambatan
pelayanannya. Analisis antrian memberikan informasi probabilitas yang
dinamakan Operating Characteristics, yang dapat membantu pengambil
keputusan dalam merancang fasilitas pelayanan antrian untuk mengatasi
permintaan pelayanan yang fluktuatif secara random dan menjaga
keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya menunggu.
Tujuan sebenarnya dari teori antrian adalah meneliti kegiatan dari
fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi random dari suatu sistem
antrian yang terjadi. Untuk itu, pengukuran yang logis akan ditinjau dari 2
bagian yaitu:
• Berapa lama para pelanggan harus menunggu, yang dalam hal ini
dapat diuraikan melalui waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh
pelanggan untuk menunggu hingga mendapatkan pelayanan.?
• Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk memberikan
pelayanan itu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur?
Sehingga dapat dibayangkan bahwa bila pelanggan membutuhkan waktu
menunggu yang cukup lama maka akan diperoleh angka persentase
menganggur yang kecil, yang berarti sama sekali tidak ada waktu
menganggur pada pelayanan tersebut.
Proses antrian dimulai saat pelanggan-pelanggan yang memerlukan
pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut
Sumber Masukan. Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri
atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang
pada sistem untuk dilayani. Proses antrian sendiri merupakan suatu proses
yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas
pelayanan, menunggu dalam baris antrian jika belum dapat dilayani,
dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut sesudah dilayani.
Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan
suatu aturan yang mengatur pelayanan kepada pelanggan. Sedangkan
keadaan sistem menunjuk pada jumlah pelanggan yang berada dalam suatu
fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Salah satu populasi adalah
jumlah pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan. Besarnya populasi
merupakan jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan.
Dalam proses antrian, banyaknya populasi dibedakan menjadi 2 yaitu
populasi terbatas (finite) dan populasi tidak terbatas (unfinite). Populasi
terbatas dapat ditemukan pada suatu perusahaan yang mempunyai sejumlah
mesin yang memerlukan perawatan atau perbaikan pada periode tertentu.
Populasi yang tidak terbatas merupakan pelanggan yang tidak terhingga
contohnya dapat dilihat pada suatu supermarket yang setiap hari melayani
pelanggan yang datang secara random dan tidak dapat ditentukan dengan
pasti.
2.3.2 Komponen Proses Antrian
Dalam sistem antrian, ada 5 komponen dasar yang harus diperhatikan
agar penyedia fasilitas pelayanan dapat melayani para pelanggan yang
berdatangan, yaitu:
• Bentuk kedatangan pelanggan (pola kedatangan)
Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki
sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu
mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang
konstan ataupun acak/random (yaitu berapa banyak individu-individu
per periode waktu). Bentuk kedatangan para pelanggan biasanya
diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan, yaitu waktu antara
kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas
pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung maupun tidak pada jumlah
pelanggan yang berada dalam sistem.
Distribusi probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi
Poisson, di mana kedatangan bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh
kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson
menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak dan
mempunyai rata-rata kedatangan sebesar lamda (λ). Bila pola
kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson,
maka waktu antarkedatangan atau interarrival time (yaitu waktu antar
kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti suatu
distribusi eksponensial.
• Bentuk fasilitas pelayanan
Bentuk pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu
yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan.
Besaran ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang telah
berada di dalam fasilitas pelayanan ataupun tidak bergantung pada
keadaan tersebut.
Pelayanan dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas
pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai satu atau lebih
saluran atau tempat pelayanan yang disebut dengan servers. Apabila
terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan maka pelanggan dapat
menerima pelayanan melalui suatu urutan tertentu atau fase tertentu.
Bentuk pelayanan dapat konstan dari waktu ke waktu. Rerata
pelayanan (mean server rate) diberi simbol µ merupakan jumlah
pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu, sedangkan rerata
waktu yang digunakan untuk melayani setiap pelanggan diberi simbol
1/µ unit (satuan).
• Jumlah pelayan atau banyaknya tempat service
• Kapasitas fasilitas pelayanan untuk menampung para pelanggan
Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup
yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang dapat
ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Sebuah
sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas
pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tak terhingga, sedangkan
suatu sistem yang membatasi jumlah pelanggan yang ada di dalam
fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas.
• Disiplin antrian yang mengatur pelayanan kepada para pelanggan
sejak pelanggan itu datang sampai pelanggan tersebut meninggalkan
tempat pelayanan.
Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian
tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentu antrian lain
yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antrian adalah aturan dalam
mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan yang memuat urutan
para pelanggan menerima layanan. Aturan pelayanan menurut urutan
kedatangan ini dapat didasarkan pada :
1. Pertama Masuk Pertama Keluar (FIFO)
FIFO (First In First Out) merupakan suatu peraturan di mana yang
akan dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang terlebih
dahulu. FIFO ini sering juga disebut FCFS (First Come First Served).
Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket-loket penjualan karcis
kereta api.
2. Yang Terakhir Masuk, Pertama Keluar (LIFO)
LIFO (Last In First Out) merupakan antrian di mana yang datang
paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau terlebih dahulu.
LIFO ini sering juga disebut LCFS (Last Come First Served).
Contohnya adalah pada sistem bongkar muat di dalam truk, di mana
barang yang masuk terakhir justru akan keluar terlebih dahulu.
3. Pelayanan dalam Urutan Acak (SIRO)
SIRO (Service In Random Order) adalah pelayanan yang dilakukan
secara acak. Sering juga dikenal sebagai RSS (Random Selection For
Serviced). Contohnya adalah pada arisan, di mana pelayanan
dilakukan berdasarkan undian (random).
4. Pelayanan Berdasarkan Prioritas (PRI)
Adalah sebuah bentuk pelayanan di mana pelayanan yang dilakukan
didasarkan pada prioritas khusus. Contohnya, dalam suatu pesta di
mana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan dilayani terlebih
dahulu.
2.3.3 SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN
2.3.3.1 Sistem-sistem antrian
Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi
sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering
diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman
adalah:
• Sistem pelayanan komersial
Merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian
seperti restoran, cafeteria, toko-toko, butik, supermarket, dll.
• Sistem pelayanan bisnis-industri
Mencakup lini produksi, sistem material handling, sistem
penggudangan dan sistem-sistem informasi komputer.
• Sistem pelayanan transportasi
• Sistem pelayanan sosial
Merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-
kantor dan jawatan-jawatan lokal maupun nasional seperti
kantor tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK, kantor
pos, rumah sakit, puskesmas, dll.
2.3.3.2 Struktur Dasar Proses Antrian
Banyaknya saluran (channel) dalam proses antrian adalah jumlah
pelayanan pararel yang tersedia/jumlah jalur untuk memasuki sistem
pelayanan/jumlah fasilitas pelayanan, sedangkan banyaknya tahap
(phase) menunjukkan jumlah pelayanan berurutan yang harus dilalui
oleh setiap kedatangan.
Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam 4
struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanannya, yaitu:
• Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel – Single Phase)
Struktur antrian ini adalah struktur yang paling sederhana.
Single Channel artinya hanya ada satu jalur untuk memasuki
sistem pelayanan (ada satu fasilitas pelayanan), Single Phase
menunjukkan bahwa hanya ada satu station pelayanan atau
sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan, setelah
menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem.
Contoh struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian
tiket kereta api yang dilayani oleh 1 loket, seorang pelayan
toko.
Gambar 2.1 Gambar Struktur Dasar Antrian Single Channel –
Single Phase
• Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel – Single Phase)
Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi bila ada 2 atau
lebih fasilitas pelayanan yang dialiri oleh antrian tunggal.
Contohnya adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari
satu loket pelayanan, pelayanan pemotongan rambut oleh
beberapa tukang potong, dll.
Gambar 2.2 Gambar Struktur Dasar Antrian Multi Channel –
Single Phase
• Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase)
Multi Phase menunjukkan adanya dua atau lebih pelayanan
yang dilaksanakan secara berurutan. Contohnya lini produksi
massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dll.
Gambar 2.3 Gambar Struktur Dasar Antrian Single Channel –
Multi Phase
• Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel – Multi Phase)
Setiap sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada
setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani
pada suatu waktu. Contohnya, proses registrasi para mahasiswa
di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari
pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran.
Gambar 2.4 Gambar Struktur Dasar Antrian Multi Channel –
Multi Phase
2.3.4 Notasi Kendall
Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda akan
digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering
digunakan karena beberapa alasan yaitu karena notasi merupakan alat yang
efisien untuk mengidentifikasi model-model antrian dan asumsi-asumsi
yang harus dipenuhi. Selain itu, hampir semua buku (literature) yang
membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Kendall’s Notation :
(a/b/c):(d/e/f)
Di mana:
a = distribusi kedatangan (arrival distribution)
b = distribusi tingkat pelayanan (distribusi keberangkatan atau waktu
pelayanan)
untuk a dan b, M menunjukkan distribusi Poisson
Ek menunjukkan distribusi Erlang
D menunjukkan konstanta atau deterministik atau konstan
c = banyaknya atau jumlah pelayanan pararel dalam sistem
d = disiplin antri pelayanan, seperti FCFS, LCFS, prioritas atau random
e = jumlah maksimum pengantri dalam sistem
f = jumlah sumber kedatangan (jumlah pelanggan yang ingin memasuki
sistem sebagai sumber)
untuk notasi e dan f, hanya ada 2 kemungkinan yaitu terbatas (F) dan tidak
terbatas (I)
Dengan Notasi Kendall tersebut, ada empat model yang paling sering
muncul yaitu:
• Model 1: M/M/1/FCFS/I/I
Probabilitas n pengantri dalam sistem
,...2,1,0__1/_dim,)1( =≤=−= ndanRanaRRP nn µλ
Probabilitas k atau lebih pengantri dalam sistem
kkn RP =≥
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
∑∞
= −==
0 1n RRnPnL
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian
RRLq −
=1
2
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan)
λµ −=
1W
Rata-rata waktu antri
)( λµµλ−
=qW
Proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri)
RIatauPa −= 1__
• Model 2: M/M/S/FCFS/I/I
Proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri)
∑−
= −+
=1
0 )/1(!)/(
!)/(
1c
n
cno
ccn
P
µλµλµλ
Probabilitas n pengantri dalam sistem
cnjikaPn
P o
n
n ≤= _,!
)/( µλ
cnjikaPcc
P ocn
n
n >= − _,!
)/( µλ
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian
2)/1(!/)/(µλ
µλµλcc
cPLc
oq −=
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
µλ
+= qLL
Rata-rata waktu antri
λq
q
LW =
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan)
µ1
+= qWW
• Model 3: M/M/1/FCFS/I/F
Probabilitas n pengantri dalam sistem
nQnP )/(
)/(1)/(1
1 µλµλµλ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= +
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−+−=
−
Q
qQQL
)/(1)/1()/)(1()/(1)/(
12
µλµλµλµλµλ
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
[ ][ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−+−= +
−
1
12
)/(1)/(1)/)(1()/(1)/( Q
qQQL
µλµλµλµλµλ
• Model 4: M/M/S/FCFS/F/I
Model ini hampir sama dengan model 2, bedanya model ini memiliki
sumber populasi yang terbatas. Contohnya, sejumlah mesin-mesin dalam
suatu departemen produksi yang rusak atau memerlukan penyesuaian
atau sejumlah pasien dalam suatu rumah sakit yang memerlukan tipe-
tipe perawatan tertentu. Contoh ini merupakan sistem yang mempunyai
jumlah individu terbatas yang memerlukan pelayanan. Karena formula
antrian dengan populasi terbatas sulit untuk dipecahkan, maka
dibutuhkan tabel-tabel antrian terbatas. Oleh karena itu, ada beberapa
variabel yang perlu diketahui yaitu:
U = waktu rata-rata antar kedatangan per unit
T = waktu rata-rata pelayanan per unit
H = jumlah rata-rata yang sedang dilayani
J = jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi
N = jumlah unit dalam populasi
M = jumlah channel pelayanan
X = Faktor Pelayanan/proporsi waktu pelayanan yang diperlukan
D = probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu
F = faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian)
Faktor Pelayanan/proporsi waktu pelayanan yang diperlukan (X)
UTTX+
=
Rata-rata waktu antri
)1( FNWq −=
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan)
HWJNW q +=−=
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian
q
qq WN
UTWL
−
+=
)(
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
TWN
UTWL
q
q +−
+=
)(
Jumlah rata-rata yang sedang dilayani (H)
FNXH =
Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi (J)
)1( XNFJ −=
2.3.5 Minimasi Biaya
Kebanyakan analisis masalah antrian akhirnya sampai pada pertanyaan
bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berapa tingkat pelayanan
yang seharusnya disediakan. Jika variabel keputusannya adalah tingkat
pelayanan, maka model harus mengidentifikasi hubungan antara tingkat
pelayanan dengan parameter dan variabel-variabel yang relevan. Kriteria
evaluasi keputusan dari model ini adalah total expected cost, yang
merupakan jumlah dari dua biaya yang berlainan yaitu biaya pelayanan dan
biaya menunggu. Jadi jelas bahwa tingkat pelayanan yang disarankan adalah
yang menyebabkan total expected cost terendah. Namun, tidak berarti
analisis ini dapat menentukan biaya total terendah secara tepat sebab
operating characteristics yang diperoleh hanya merupakan angka rata-rata
sehingga tidak pasti. Dengan demikian, analisis antrian bukan suatu teknik
optimasi melainkan hanya penyedia informasi.
Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan
waktu menunggu. Walaupun biaya menunggu mungkin dapat dikurangi
dengan menambah fasilitas pelayanan, tetapi hal ini akan menaikkan biaya
penyediaan pelayanan. Biaya pelayanan dapat mencakup biaya tetap
investasi awal dalam peralatan atau fasilitas, biaya pemasangan dan latihan
bagi karyawan, biaya-biaya variabel seperti gaji karyawan dan pengeluaran
tambahan untuk pemeliharaan. Selain itu, jika tingkat pelayanan bertambah,
waktu menganggur pelayan diperkirakan juga bertambah yang berarti suatu
kenaikan dalam opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke
kegiatan produktif yang lain.
Ternyata, dalam keadaan sebenarnya sulit menyatakan secara eksplisit
biaya menunggu per unit waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara
sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya
turunnya produktivitas bagi pekerja, biaya kehilangan penjualan, biaya
kehilangan langganan, tingkat persediaan yang berlebihan, kehilangan
kontrak, kemacetan sistem atau kehilangan kepercayaan dalam manajemen.
Dalam kasus-kasus tertentu, seperti bila individu yang menunggu berasal
dari sistem internal (misal, persediaan atau karyawan) biaya menunggu
dapat langsung diukur. Tetapi dalam kasus-kasus lain, biaya menunggu
dapat menjadi sangat sulit ditentukan (misal biaya langganan yang
menunggu).
Rumus Total Expected Cost of Service per periode waktu →
)( sCE adalah ss ScCE =)( .
Di mana :
S = jumlah server (fasilitas pelayanan)
sc = biaya pelayanan/biaya menambah jumlah server yang digunakan
(biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan)
Rumus Total Expected Waiting Cost per periode waktu → )( wCE adalah
wtw cnCE =)( .
Di mana :
tn = jumlah pelanggan/individu yang mengantri dalam antrian yang
diharapkan/dalam sistem.
wc = biaya menunggu per satuan waktu per fasilitas pelayanan
Rumus Total Expected Cost per periode waktu yang digunakan adalah:
wtswst cnScCECECE +=+= )()()(
Apabila Total Expected Cost of Service, Total Expected Waiting Cost
dan Total Expected Cost digambarkan dalam satu buah grafik, maka ketiga
biaya tersebut akan membentuk grafik seperti grafik ordering, carrying dan
total costs yang merupakan fungsi dari jumlah order (grafik inventory)
seperti di bawah ini :
Gambar 2.5 Grafik Ordering Cost, Carrying Cost dan Total Costs sebagai Fungsi
Dari Jumlah Order (Grafik Inventory)