BAB 2

PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIS

Model matematis digunakan untuk mengetahui bagaimana perubahan variabel

output terhadap waktu akibat pengaruh perubahan variabel eksternal dan

manipulated variabel.

Dua pendekatan :

1. Pendekatan eksperimen

Kelemahan :

- Butuh waktu lama

- Biaya mahal karena butuh sejumlah eksperimen yang banyak.

2. Pendekatan Teoritis

Pendekatan ini menggunakan persamaan matematis (differensial, atau

aljabar) yang menghasilkan penyelesaian sifat dinamik atau statik output

variabel. Pendekatan ini digunakan untuk merancang sistem pengendalian.

Permodelan matematis digunakan dalam proses pengendalian karena

dapat mendeskripsikan bagaimana reaksi proses terhadap input dengan

cepat tanpa membutuhkan percobaan.

Perancangan Integral Controller untuk Stirred Tank Heater.

Temperatur, T dalam tanki dikendalikan dengan sistem controller dengan

temperatur inlet T iyang mengalami perubahan.

Stirred tank Heater

Beroperasi dengan F i=F atau volume, V konstan. Jika stirred tank heater

tersebut dioperasikan pada kondisi ajeg (sterdy-state).

O=FρC P (T i , S−T S )+QS (1)

Dimana :

T i , S , T S∧QS : Nilai T i , T S dan Q pada steady – state.

Jika T i naik maka T mengalami perubahan.

Gambar 2.6. Temperatur Step Change

Transient Energy balance :

VρC PdTdt

=FρC P (T i−T )+Q(2)

Persamaan (2) – Persamaan (1)

VρCP

d (T−T S )dt

=FρCP [ (T i−T i , S )−(T−T S) ]+(Q−QS )(3)

Error :

∈=T−T S

Nilai Q input :

Q=−α (T−T S )+QS (4)

Persamaan (4) = Proportional Control.

α = proportional gain

Q−QS=−α (T−T S ) (4a)

Substitusi Persamaan (4a) ke (3)

VρCP

d (T−T S )dt

=FρCP [ (T i−T i , S )−(T−T S) ]−α (T−T S )(5)

Pengendalian dilakukan agar T−T S=O . Persamaan (5) diselesaikan dengan

berbagai variasi α

α=O (tidak ada pengendalian, karena Q=QS ), yaitu Q tidak dimanipulasi.

Propotional Control tidak diterima, karena tidak ada nilai α yang memenuhi

T−T S=O .

Integral Control :

Q=−α '∫0t

(T−T S )dt+QS (6)

Persamaan (6) disubtitusi kepersamaan (3) menghasilkan

VρCP

d (T−T S )dt

=FρCP [ (T i−T i , S )−(T−T S) ]−α '∫0

t

(T−T S) dt(7)

Penyelesaian Persamaan (7) menghasilkan temperatur response :

Integral Control diterima karena T−T S=O pada α '>1

Proportional – Integral Control

Q=−α (T−T S )−α '∫0t

(T−T s )dt+QS (8)

State Variable

State variable adalah variabel bebas yang mendefinisikan keadaan sistem proses.

State variable berasal dari massa ( ρ , c ) , energy (T ) dan momentum seperti

tekanan.

State variale dihubungkan dengan variable lainnya menggunakan prinsip

konservasi.

Prinsip Konservasi

[ Akumulasi S ¿ ]¿¿

¿¿¿¿

¿¿

Kwantitas S

Massa Total

Massa Komponen

Energi Total

Momentum

System

Q

Outlet

Inlet

Ws

Total Mass Balance

d ( ρV )dt

= ∑i=inlet

ρiF i− ∑j=outlet

ρ j F j(4.1a)

Neraca Massa Komponen A

d (nA )dt

=d (cA V )

dt= ∑

i=inlet

C AiF i− ∑j=outlet

C AjF j±rV(4.1b)

Total Energy Balance

dEdt

=d (U+K+P )

dt= ∑

i=inlet

ρi F ihi− ∑j=outlet

ρ jF jh j±Q±W S(4.1c)

State Variabel dan State Equation Stirred Tank Heater

Aliran melalui stirred tank heater :

Total Mass Balance :

d ( ρ Ah )dt

= ρ F i−ρ F(4.4)

V = Ah

A , ρ=konsta n

Adhdt

=F i−F(4.4.a)

Total Energy Liquid dalam Tanki

E=U+K+P

Karena tanki tidak bergerak

dKdt

=0 ;dPdt

=0

(Perubahan energy kinetik dan potensial diabaikan)

dEdt

=dUdt

Untuk aliran

dUdt

≃dHdt

Total entalpy liquid, H

H=ρ V Cp (T−Tref )H=ρ Ah Cp (T−Tref )

Total Energy Balance

dHdt

=ρ F i hi−ρ F h+Q

d [ p Ah Cp (T−Tref ) ]dt

= ρ F i Cp (T−Tref )−ρ F Cp (T−Tref )+Q(4.5)

Dimana hi=

H i

V=

H i

Ah

hi= specific entalphi material

Q= jumlah steam yang disuplai per unit waktu.

Asumsi Tref = 0

Ad (hT )dt

= Fi T i−FT+ QρCP (4.5a)

Ad (hT )dt

=AhdTdt

+ATdhdt

Adhdt

= F i −F (4.4a)

Ad (hT )dt

=AhdTdt

+T (Fi−F )

=F i −T i−FT+QCp

AhdTdt

=Fi −T i−FT

+ QCp

−FiT + FT

AhdTdt

=Fi (T i−T )+ QCp (4.5b)

State Equation

AhdTdt

=Fi −F

AhdTdt

=Fi (T i−T )+ QρCp (4.5b)

State variabel = h ,T

Output variabel = h ,T

Input variabel =

Diturbance = T i ,F i

Manipulated variabel = Q ,F (Untuk Feedback Control)

Manipulated variabel = F i(Untuk Feedforward Control)

Parameter = A , ρ ,Cp

Kondisi Steady – State

F i, S−FS=O

F i, S (T i

, S−T S)+

QS

ρCp=O

Jika Input variabel mengalami perubahan, sistem tersebut mengalami perubahan.

1) Jika T i turun 10% dari T i

, S , Respon T mengalami penurunan,

Respons ditentukan dengan menyelesaikan

AhdTdt

=Fi (T i−T )+ QρCp

Dengan kondisi awal

T (t=0 )=T S

2) Jika F i turun 10%, h turun, T naik

Respons diperoleh dengan menyelesaikan Pers. (4.4a) dan (4.5b).