Bab 3

BAB II : PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SERENTAK

11Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa

Numerik

Bentuk Umum :

nnnnn2n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

::::

bxa...xaxa

bxa...xaxa

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

b

:

b

b

x

:

x

x

a..aa

::

a..aa

a..aa

Dimana a adalah koefisien-koefisien konstanta, b adalah konstanta-konstanta dan n adalah banyaknya persamaan.

Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan dengan cara :1.Eliminasi Eliminasi Gaus, Gauss Jordan2.Iterasi Iterasi Jacobi, Gauss seidel3.Dekomposisi Lower-Upper(LU), Cholesky4.Inverse

1. Eliminasi Gauss Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan-persamaan Strategi : Mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu bilangan unknown agar tereliminasi bilamana dua persamaan digabungkan. Kebutuhan : pemahaman operasi Matrix


Numerik

Skema langkah eliminasi Gauss

)E.....(

)E.....(

)E(.....

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

3

2

1

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

3

2

1

33

2322

131211

''b

'b

b

x

x

x

''a00

'a'a0

aaa

Forward Elimination

Upper Triangular System

BackSubstitution

1131321211

2232322

3333

a/xaxabx

'a/x'a'bx

"a/"bx

(E1) disebut Pivot Equation, a11 disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama a21/a11 sbg normalisasi

Langkah eliminasi maju 1. Eliminasikan x1 dari (E2) dan (E3), asumsi a11≠0

11

3131

11

2121 a

am;

aa

m

kurangkan (m21x(E1) pada (E2)) dan dan kurangkan (m31x(E1) pada (E3)) sehingga didapat :

3333232

2323222

1313212111

'bx'ax'a

'bx'ax'a

bxaxaxa

Nb. Tanda petik (΄) menyatakan persamaan tersebut telah dimodifikasi 1 kali.

2. Eliminasikan x2 dari (E3), asumsi a22≠0

22

3232 'a

'am

kurangkan (m32x(E2) pada (E3)) shg :

3333

2323222

1313212111

''bx''a

'bx'ax'a

bxaxaxa

Nb. Tanda petik (΄΄) menyatakan persamaan tersebut telah dimodifikasi 2 kali.


Numerik

Langkah Subsitusi mundur

3333 "a/"bx

Dapat dirumuskan :

)1n(nn

1nn

n ab

x

Menghitung x sisanya :

1131321211

2232322

a/xaxabx

'a/x'a'bx

Dapat dirumuskan :

)1i(ii

n

1ijj

)1i(ii

)1i(i

i a

xab

x

Dengan i=n-1,n-2,…,1

Untuk memudahkan dapat dipakai matrix dalam bentuk kombinasi yang disebut dengan Augmented Matrix (matrix yang diperbesar).

3333231

2232221

1131211

b:aaa

b:aaa

b:aaa

Augmented Matrix

Masalah : Harus menghindari pembagian dengan nol, shg muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.

Teknik untuk memperbaiki penyelesaian eliminasi Gauss :

1.PivotingSebelum tiap baris dinormalkan ,

maka dilakukan penentuan koefisien terbesar yang tersedia. Kemudian baris-baris tersebut dipertukarkan sehingga elemen terbesar tersebut merupakan elemen pivot.

2.ScalingBerguna untuk peminimalan galat

pembulatan untuk kasus dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien-koefisien yang jauh lebih besar dari lainnya.


Numerik

Contoh Soal :

Selesaikan persamaan simultan sbb :

15x2x2x3

6xx3x4

4xxx2

321

321

321

Penyelesaian :

15223

6134

4112

Augmented matrix

13

12

Ex)2/3(E

Ex)2/4(E

921

27

0

2350

4112

23 Ex5

2/7E

552

513

00

2350

4112

Dengan menggunakan subsitusi mundur akan diperoleh x1, x2 dan x3

4135

x5

52x

552

x5

13

3

3

2x

10x5

2)4(3x5

2x3x5

2

2

2

32

1x

2x2

442x2

4xxx2

1

1

1

321

Nilai x diberikan :

4

2

1

x

x

x

3

2

1


Numerik

2. Eliminasi Gauss-Jordan Merupakan variasi dari eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk menghitung

matrix invers.

Strategi : Langkah eliminasi menghasilkan matrix satuan, sehingga tidak diperlukan proses subsitusi mundur.

Skema langkah eliminasi Gauss-Jordan

3333231

2232221

1131211

b:aaa

b:aaa

b:aaa …………… ( E1 )

…………… ( E2 )…………… ( E3 )

Elimination

*3

*2

*1

b:100

b:010

b:001Matrix Satuan

NO BackSubstitution

*33

*22

*11

bx

bx

bx


Numerik

Contoh Soal :

Selesaikan persamaan simultan sbb :

15x2x2x3

6xx3x4

4xxx2

321

321

321

Penyelesaian :

15223

6134

4112

Augmented matrix

1Ex21

15223

6134

221

21

1

13

12

xE3E

xE4E

921

21

30

2350

221

21

1

2xE51

921

21

30

52

53

10

221

21

1 21 xE21

E

23 xE21

3E

52

1053

200

52

53

10

54

151

01

3xE135

410052

53

10

54

151

01

32

31

xE53

E

xE51

E

4100

2010

1001

4x

2x

1x

3

2

1


Numerik

3. Iterasi Gauss-Seidel

Bentuk umum persamaan linear serentak :

nnnn44433n22n11n

2nn3434333232131

2nn2424323222121

1nn1414313212111

bxa...xaxaxaxa

::::::

bxa...xaxaxaxa

bxa...xaxaxaxa

bxa...xaxaxaxa

Dapat diubah bentuknya menjadi :

)xa...xaxab(a1

x

::::::

)xa...xaxab(a1

x

)xa...xaxab(a1

x

)xa...xaxab(a1

x

)1n()1n(n33n11nnnn

n

nn3333131333

3

nn2323121222

2

nn1313212111

1


Numerik

Langkah-langkah iterasi Gauss-Seidel.

1.Asumsikan x2=x3=……=xn=0, sehingga dapat diperoleh :

11

11 a

bx

2. Hasil dari ’x1’ tersebut dimasukkan persamaan 2 untuk mendapatkan harga x2

(dimana x3=……=xn=0), maka akan diperoleh :

)xab(a1

x 121222

2

3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai xn dan selesaikan

proses iterasi yang pertama. Kemudian hasil proses tersebut dimasukkan

kembali kepersamaan untuk mendapatkan harga ‘unknown’ dari x1,x2,x3, .. ,xn

pada proses iterasi kedua, ketiga dan seterusnya.

4. Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi terakhir sama dengan atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya. Ini merupakan kelemahan metode iterasi gauss-seidel yaitu proses akhir iterasi menjadi meragukan.

Contoh soal : diambil dari contoh yang sama

15z2y2x3

6zy3x4

4zyx2

……. (1a)

……. (1b)

……. (1c)


Numerik

Penyelesaian :

Persamaan tadi dapat diubah bentuknya menjadi :

)y2x315(21

z

)zx46(31

y

)zy4(21

x

……… (2a)

……… (2b)

……… (2c)

Iterasi pertama

1.Asumsikan y=z=0, sehingga dari persamaan (2a) diperoleh :

2.Hasil dari x1 tersebut dimasukkan ke pers. (2b) untuk mendapatkan harga y1 (asumsi z=0).

2)4(21

x1

66667,0))2(46(31

y1

3. Masukkan hasil x1 dan y1 ke dalam pers. (2c).

166667,5))66667.0(2)2(315(21

z1

Iterasi kedua

9305,3))944,4(2)916.0(315(2

1

944,4))1667,5)91667,0(46(3

1

91667,0)1667,5667,04(2

1

3

2

2

z

y

x

Iterasi x y z1 2 -0.66667 5.1666672 -0.91667 4.944447 3.9305563 2.506946 -0.03241 3.771994 0.0978 3.12693 4.226375 1.45028 1.475083 3.8494976 0.812793 2.199442 4.0813697 1.059026 1.948422 3.9630398 0.992692 1.997424 4.0135389 0.991943 2.015255 3.9968310 1.009213 1.98666 3.99952111 0.99357 2.008414 4.001231


Numerik

4. Iterasi Jacobi

Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan :

,....2,1k;n...,,2,1i;xaba1

xn

ij,1j

)k(jiji

ij

)1k(i

Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang sederhana,

sedangkan kelemahannya adalah :

1.Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear serentak dengan

orde tinggi.

2.Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak yang

menenuhi syarat berikut :

n,...,2,1i;aan

ij,1jijij

Iterasi akan berhenti dengan ketentuan :

.n,...,2,1i;x

xxatauxx

)k(i

)k(i

)1k(i)k(

i)1k(

i


Numerik

Contoh :

Dari persamaan simultan yang sama :

;2x3x6x2

;32x7xx2

;1x2xx5

321

321

321

).xx232(71

x

);x3x22(61

x

;)x2x1(51

x

213

312

321

Untuk memenuhi syarat maka baris 2 ditukar dengan baris ke-3, menjadi |aii|> |aij| maka;

Iterasi pertama diambil x1 =x2=x3=0

dilanjutkan ke iterasi kedua dstnya.

.5714,4)0)0(232(71

x

;3333,062

))0(3)0(22(61

x

;2000,051

))0(2041(51

x

)2(3

)2(2

)2(1

.5810,4)3333,0)2000,0(232(71

x

;6857,2))5714,4(3)2000,0(22(61

x

;5619,1))5714,4(23333,01(51

x

)3(3

)3(2

)3(1

Iterasi ke-3

Iterasi x1 x2 x3

1 0,0000 0,0000 0,0000

2 -0,2000 0,3333 4,5714

3 1,5619 2,6857 4,5810

4 1,0952 2,1032 3,7415

5 0,8760 1,8390 3,9580

6 1,0154 2,0204 4,0584

;32x7xx2

;2x3x6x2

;1x2xx5

321

321

321

Pers. Diatas diekspresikan sbb:

Bila dilanjutkan x1=1, x2=2, x3 =4 pada iterasi 16 (tergantung ε)


Numerik

5. Dekomposisi LU

Dengan cara memembentuk matrik segitiga atas (Upper) dan matrix segitiga bawah (Lower) dari matrix koefisien A serta membentuk vektor matrix dari matrix hasil dengan aturan tertentu.

Kelebihannya adalah sangat efektif untuk menghasilkan persamaan linear serentak ordo tinggi, dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya . Konsekuensinya metode ini memerlukan cara yang cukup kompleks.

Dekomposisi

[A] {X} = {B}

[U] [L]

[L] {Z} = {B}

[U] {X} = {Z}

{Z}

{X}

Maju

Mundur

Pensubtitusian


Numerik

Langkah-langkah Dekomposisi LU

1. Membentuk matrik koefisien [A], matrik variabel {X} dan matik hasil {B} dari persamaan simultan.

[A] {X} = {B}2. Mencari matrik segitiga bawah [L] dari matrix segitiga atas [U] dari matrik

koefisien [A] dengan aturan berikut :lil = ail ; i=1,2, … , n

- Untuk j=2,3, … ,n-1

3. Mencari matrik {Z} dengan aturan berikut :

4. Membentuk Augmented Matrix {UZ} dan penyelesaiannya diperoleh:

n,...,3,2j;a

a

l

aU

ll

lj

ll

ljlj

1n

1kknnknnnn

jj

1j

1iikjijk

jk

1j

1kkjikijij

Uialdann,...,2j,1jk;l

UlaU

n,...,1j,ji;Ulal

n,...,3,2iuntukl

zlbz;

lb

zii

1i

1kkiki

i11

11

.1,2,...,2n,1ni;XUzxdanzxn

1ikkikiinn


Numerik

Sebagai ilustrasi diambil matrik 3x3 dengan metode Crout’s sbb:

)lulul()lul(l

)ulul()lul(l

)ul()ul(l

aaa

aaa

aaa

332332133132123113

2322132122122112

1311121111

333231

232221

131211

100

u10

uu1

lll

0ll

00l

aaa

aaa

aaa

23

1312

333231

2221

11

333231

232221

131211

Perkalian matrik persamaan disebelah kanan didapat :

Dari persamaan matrik di atas dapat ditemukan elemen matrik [L] dan [U]

233213313333333323321331

22

132123232323221321

11

13

11

1313131311

12313232323212311221222222221221

11

12

11

1212121211313121211111

ululalalulul

lula

uaulul;aa

la

uaul

ulalalul;ulalalul

aa

la

uaul;al,a1,al

Dengan demikian ini merupakan contoh pernyataan dari pencarian perhitungan pada prosedur 2 dstnya.

[A] {B} = {B}[A] = [U] [L]


Numerik

Contoh : diambil dari contoh di depan

15x2x2x3

6xx3x4

4xxx2

321

321

321

223

134

112

aaa

aaa

aaa

]A[

333231

232221

131211

3l,4l,2l 312111

27

21

32l

521

43l,21

u

32

2212

53

521

41U,

21

u 2313

513

53

27

21

32l33

Matrik [L] dan [U] yang terbentuk adalah

10053

10

21

21

1

]U[;

513

27

3

054

002

L

Langkah Selanjutnya adalah mencari matrik B, prosedur ke-3.

[A] {X}=[L] [U] {x} = {B}

dimana : {Z} = [U]{X}; dan [L]{Z}={B}

dapat diekspresikan sbb :

.bzl...zlzlzl

:

,bzlzlzl

,bzlzl

,bzl

nnnn33322n11n

3333232131

2222121

1111


Numerik

Dari soal yang sama maka prosesur 3 didapat :

4

513

52

27

)2)(3(15

lzlzlb

z

;52

5)2)(4(6

lzlb

z

;224

lb

z

33

23213133

22

12122

11

11

Prosedur 4 diekspresikan sbb :

nn

1nnn,1n1n

3nn33

2nn23232

1nn13132121

zx

zxux

:

zxu...x

zxu...xux

zxu...xuxux

Dan prosedur 4 didapat :

1421

221

2

xuxuzx

;2453

52

xuzx

;4zx

31321211

32322

33


Numerik

6. Dekomposisi Cholesky

Didasarkan bahwa matrik simetrik yaitu matrik dengan aij (untuk semua i dan j) dapat didekomposisi dalam bentuk : [A] = [U]T [U] yaitu faktor-faktor segitiga yang dihasilkan saling bertranspose. Dimana suku-suku persamaan tersebut dapat dikalikan dan ditetapkan satu sama dengan yang lain. Hasilnya dapat dinyatakan dalam hubungan berulang. (Upper triangular matrix)

nn

33

n22322

n1131211

u...000

.......

.......

.......

....u00

u...uu0

u...uuu

]U[

ji;0u

;n...,,2i,1ij;n...,,3,2i;uuau1

u

;n,...,3,2i;uau

n,...,3,2j;u

au;)a(u

ij

1i

1kkjkiij

iiij

1i

1k

2kiiiii

11

j1j11111

21

21


Numerik

541

461

114

aaa

aaa

aaa

]A[

333231

232221

131211

Contoh :

.5180.15639,15,02uuau

;5639,15,05,043979,21

uuau1

u

;3979,25,06uau;5,021

ua

u

;5,021

ua

u;24)a(u

21

21

21

21

21

22223

2133333

13122322

23

22122222

11

1313

11

12121111

5180,100

5639,13979,20

5,05,02

]u[

5180,100

5639,13979,20

5,05,02

5180,15639,15,0

03979,25.0

002

541

461

114

]A[

Matrix [A] dapat juga didekomposisi sebagai lower triangular matrix [A] = [L] [L]T


Numerik

7. Invers Matrik

Langkah-langkah invers matrik [A] :

1.Menghitung determinan matrik [A] dan kofaktor

kofaktor aij = βij =(-1)i+j Mij ,

dimana Mij adalah minor dari aij , contoh kofaktor dari elemen a32 dari

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

]A[detA 2321

131132

532 aa

aaM)1(

211222112321

1211 aaaaaa

aaNilai M32 =

Nilai dari jumlah n determinan |[A]| ditentukan sbb :

jkolomsetiapuntuk,badanibarissetiapuntuk,ba]A[detn

1iijij

n

1jijij

nn2n1n

n22221

n11211

a..aa

.....

.....

a..aa

a..aa

A


Numerik

2. Membentuk Adjoin dari matrik :

Adjoin matrik dari suatu matrik bujur sangkar (square matrix) [A]= aij dibentuk

dari transpose matrik dari elemen-elemen kofaktor.

nnn2n1

2n2212

1n2111T

nn2n1n

n22221

n11211

..

.....

.....

..

..

..

.....

.....

..

..

]A[Adjoin

3. Menghitung invers matrik :Invers matrik bujur sangkar [A] ditulis sebagai [A]-1 dengan hubungan [A]-1 [A] =[A][A]-1 = [I] dapat dihitung dengan :

]A[det]A[intadjo

]A[ 1

Dalam menghitung persamaan linier invers matrik dapat digunakan dengan hubungan sbb:

}B{]A[}X{}B{}X{]A[ 1


Numerik

Contoh soal : diambil dari soal terdahulu :

15x2x2x3

6xx3x4

4xxx2

321

321

321

223

134

112

aaa

aaa

aaa

]A[

333231

232221

131211

3113

31

2112

211111

11

312111

313121211111

M)1(

M)1(,M)1(

3a,4a,2a

aaaA

23113

11M

42)2(22

11M

8)2(622

13M

31

21

11

26)2(3)4(4)8(2A

Dengan cara yang sama dapat dihitung β12 ,

β13 , β22 , β23 , β32, β33. maka adjoin [A] sbb:

1071

6111

248

1062

714

1118

]A[Adj

TT

333231

232221

131211

Invers matrik [A] adalah sbb :

]A[det]A[intadjo

]A[ 1

1071

6111

248

261

4

2

1

15

6

4

1071

6111

248

261

x

x

x

3

2

1

8. Inverse Matrik Melalui Eliminasi Gaus-Jordan

Dengan menambahkan elemen matrik identitas [I] contoh soal eliminasi gaus jordan

15x2x2x3

6xx3x4

4xxx2

321

321

321


Numerik

;

223

134

112

]A[

100223

010134

001112

]I[]A[]C[

100223

010134

0021

21

21

1

13

12

xE3E

xE4E

1023

21

27

0

012350

0021

21

21

1

2xE51

1Ex21

100223

010134

001112

1023

21

27

0

051

52

53

10

0021

21

21

1 21 xE21

E

23 xE21

3E

1107

101

21

00

051

52

53

10

0101

103

51

01

3xE135

100

010

001

]I[


Numerik

135

267

261

100

051

52

53

10

0101

103

51

01

32

31

xE53

E

xE51

E

135

267

261

100

133

261

2611

010

131

132

134

001

Dengan demikian sebelah kiri adalah matrik identitas dan sebelah kanan adalah invers matrik

1071

6111

248

261

A 1

Untuk megklarifikasi kebenarannya hasil invers matrik dikalikan dengan matrik [A] didapat sbb :

223

134

112

1071

6111

248

261

]A[]A[ 1

100

010

001

2600

0260

0026

261

Menghitunga nilai {x} dapat dilakukan dengan hubungan :

[A]{X} = {B}

{X} = [A]-1 {B}

9. Inverse Matrik Simetrik


Numerik

T111T11T1 ]U[]U[]U[]U[]U[]U[]A[

Inverse matrik A didapat dengan komposisi ;

Elemen-elemen , λij , dari [U]-1 ditentukan dari [U][U]-1 =[I] dimulai dari;

ji;0

;ji;u

u

;u1

ij

ii

j

1ikkjik

ij

iiii

541

461

114

]A[Dari contoh :

5180,100

5639,13979,20

5,05,02

]U[

Didapat matrik upper triangular (Choleski’s):

0

;0573,06588,0x5,04297,0x5,021

uuu1

;4297,03979,2

6588,0x5639,1u

u1

;1042,02

)4170,0)(5,0(u

u1

;6588,05180,11

u1

;4170,03979,21

u1

;5,021

u1

323121

3313231211

13

332322

23

221211

12

3333

2222

1111

4340,02831,00377,0

2831,03585,00188,0

0377,00188,02641,0

6588,04297,00573,0

04170,01042,0

005,0

6588,000

4297,04170,00

0573,01042,05,0

]A[ 1

Maka elemen λij didapat :


Numerik

Inverse matrik =[A]-1= [U]T [U]

Documents

Bab 3