UNIT TIGAKEBARANGKALIAN

OBJEKTIF :Selepas mempelajari unit ini, diharap pelajar dapat

1. memberikan contoh ujikaji, ruang sampel, peristiwa dan titik sampel.2. mentakrifkan semula konsep persilangan, saling eksklusif, kesatuan dan

pelengkap bagi beberapa peristiwa.3. memahami konsep prinsip asas membilang, pilihatur, gabungan dan peristiwa

tak bersandar.4. mengira kebarangkalian bagi sesuatu peristiwa.

3.0 PENGENALANKebiasaannya pelajar merasa takut bila perkataan kebarangkalian disebut. Sebenarnya kebarangkalian adalah unit ukuran seperti ukuran-ukuran yang lain; umpamanya untuk mengukur hitung panjang tinggi pelajar UPM, kita akan gunakan ukuran min, serakan cerapan daripada minnya kita akan gunakan varians dan begitu jugalah dengan ukuran kebarangkalian.

Pada dasarnya kebarangkalian ialah satu ukuran kuantitatif kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Kebarangkalian yang biasa digunakan setiap hari adalah suatu ukuran kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa yang nilainya semata-mata bergantung kepada darjah kepercayaan seseorang terhadap sesuatu peristiwa itu akan berlaku.

Contoh 3.1Seseorang menyatakan kemungkinan hujan pada hari tersebut adalah 80%. Seorang yang lain menyatakan kemungkinan Pasukan Bolasepak Johor akan menang adalah 30%. Keputusan ini bergantung kepada darjah kepercayaan seseorang terhadap sesuatu peristiwa tersebut.

Perlu diingatkan di sini bahawa kebarangkalian yang akan dipelajari dalam bab ini, nilainya ditentukan oleh ujikaji rawak. Sebelum takrif formal kebarangkalian diberi beberapa takrif penting perlu dibincangkan terlebih dahulu.

TAKRIF-TAKRIF PENTING BAGI RUANG SAMPEL DAN PERISTIWATakrif 3.1Ujikaji ialah sebarang proses yang menghasilkan cerapan-cerapan. (Hasil ujikaji dipanggil kesudahan).

Contoh 3.2Melemparkan sekeping syilling, hasil yang didapati sama ada ‘bunga’ atau ‘kepala’.

30

Contoh 3.3Melemparkan sebiji dadu sekali, hasil yang didapati adalah nombor yang timbul di atas permukaan dadu. Contoh 3.4Mengeluarkan 2 biji guli daripada sebuah kotak yang mengandungi 2 guli biru dan 3 guli merah, hasil yang didapati ialah sama ada mendapat guli berwarna biru atau merah. Contoh 3.550 keping cakera komputer dipilih secara rawak daripada 1000 keping cakera, hasilnya ialah bilangan cacatan yang dicerap.Contoh 3.6Merekodkan banyaknya petrol yang digunakan oleh pelanggan pada hujung minggu.Contoh 3.7Daripada lot mentol lampu, 50 dipilih secara rawak dan catatkan hayatnya.Takrif 3.2Ruang sampel ditanda dengan S ialah set yang mengandungi semua kesudahan/hasil/keputusan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji.Contoh 3.8Rujuk kepada Contoh 3.2, S = {H, T}Contoh 3.9Rujuk kepada Contoh 3.3, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Contoh 3.10Rujuk kepada Contoh 3.4, S = {BB, MM, BM, MB}Contoh 3.11Rujuk kepada Contoh 3.5, S = {0, 1, 2, …}Contoh 3.12Rujuk kepada Contoh 3.6, S = {Semua ukuran petrol yang diambil} misalnya

dalam liter.} = {20, 15, 12, 30, 31, 24, …}

Takrif 3.3Set nul atau ruang kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur, ditanda dengan .Takrif 3.4Peristiwa ditanda dengan sebarang abjad ialah subset S ataupun sehimpunan kesudahan bagi suatu ujikaji. Perlu ditegaskan di sini bahawa subset adalah peristiwa. Dengan itu, subset termasuk dan S.Contoh 3.13Rujuk Contoh 3.9, A = {peristiwa nombor genap yang timbul}, maka unsur-unsur dalam A = {2, 4, 6}.Takrif 3.5Titik sampel ialah titik-titik yang mewakili satu kesudahan ujikaji.Contoh 3.14, Rujuk contoh 3.9, setiap satu titik yang ada di ruang sampel adalah titik sampel.

31

Takrif 3.6Peristiwa ringkas ialah subset ruang sampel yang terdiri daripada satu titik sampel sahaja.

Takrif 3.7Peristiwa majmuk ialah subset ruang sampel yang terdiri daripada lebih daripada satu titik sampel atau peristiwa yang dapat dinyatakan sebagai kesatuan peristiwa-peristiwa ringkas.

Contoh 3.15Satu ujikaji telah dijalankan dengan mengeluarkan sebiji bola daripada satu kotak yang mengandungi 3 biji bola bertanda 1, 2, 3. Senaraikan Ruang Sampel, subset, peristiwa ringkas dan peristiwa majmuk.

PenyelesaianS = {1, 2, 3}

Subset yang boleh dibentuk adalah ; , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, S.Peristiwa ringkas ialah, {1}, {2}, {3}Peristiwa majmuk ialah, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, S.

3.1 OPERASI DENGAN PERISTIWATakrif 3.8Persilangan 2 peristiwa A dan B ialah peristiwa yang mengandungi semua unsurnya yang sepunya kepada A dan B, ditanda A B.Perlu ditegaskan di sini bahawa hubungan di antara peristiwa dan ruang sampel yang berpadanan dapat digambarkan secara graf dengan Gambarajah Venn. Dalam Gambarajah Venn, kita gambarkan ruang sampel sebagai satu segiempat tepat dan peristiwa digambarkan dengan bulatan yang dilukis di dalam segiempat tepat itu.

Contoh 3.16A = {4, 2, 1, 3} B = {2, 4, 6, 8}A B = {2, 4}

32

Ruang Sampel

Titik Sampel

A B

Takrif 3.92 peristiwa A dan B adalah saling eksklusif jika A B = (tidak terkandung unsur-unsur yang sama diperistiwa A dan B) ataupun A dan B tidak boleh berlaku serentak.

Takrif 3.10Kesatuan 2 peristiwa A dan B ditanda dengan A B ialah peristiwa yang mengandungi semua unsur yang dipunyai oleh samada A atau B atau kedua-duanya.

Contoh 3.17 A = {4, 2, 1, 3} B = {2, 4, 6, 8}

A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

Takrif 3.11Pelengkap bagi satu peristiwa terhadap S ialah set bagi semua unsur S yang bukan dalam A, ditandakan dengan atau A’

Contoh 3.18Ujikajinya ialah melempar sebiji dadu sekali Jika A dan B diberi oleh;

B = {2, 4, 6}, A = {1, 3, 5}, selesaikan masalah i) – iv)

Penyelesaian S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

i) A B = = { }, A dan B saling eksklusifii) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Siii) A= B iv) B = A

33

A B

A B

A

S

AA

3.2 TEKNIK MEMBILANGMasalah penting dalam pengiraan kebarangkalian ialah memastikan bilangan titik dalam ruang sampel S dan juga bilangan titik dalam suatu peristiwa. Untuk menangani masalah ini diperlukan prinsip asas membilang sebagai panduan bagi membilang titik-titik sampel.

Teorem 3.1Jika satu ujikaji/operasi boleh menghasilkan satu daripada m kesudahan/cara dan operasi yang lain selepasnya pula boleh menghasilkan satu daripada n kesudahan/cara, maka bilangan kesudahan/hasil yang mungkin berlaku akibat daripada operasi pertama yang diikuti pula oleh operasi kedua ialah m x n.

Contoh 3.19Sekiranya sebiji dadu digolekkan 2 kali, golekan yang pertama menghasilkan 6 kesudahan dan golekan yang kedua menghasilkan 6 kesudahan maka, bilangan kesudahan yang mungkin ialah = 6 x 6 = 36 titik sampel.

Teorem 3.2 Lanjutan Prinsip Asas MembilangJika satu operasi boleh menghasilkan satu daripada n1 kesudahan dan operasi yang lain selepasnya pula boleh menghasilkan satu daripada n2

kesudahan dan operasi yang lain selepasnya pula boleh menghasilkan satu daripada n3

kesudahan, dan seterusnya operasi yang lain selepasnya pula boleh menghasilkan satu daripada nk kesudahan, maka bilangan kesudahan yang mungkin akibat daripada operasi pertama yang diikuti pula oleh operasi kedua dan seterusnya ialah n1 x n2 x n3 x … nk.

Contoh 3.20Melemparkan sekeping syilling 3 kali maka bilangan hasil yang ada ialah sebanyak 2 x 2 x 2 = 8.

Contoh 3.21Dalam satu perhimpunan agung, 9 orang AJK (Ahli Jawatankuasa) telah dipilih dan diserahkan kepada ahli-ahli untuk menentukan presiden, setiausaha dan bendahari di antara mereka. Berapa carakah penentuan ini boleh dibuat supaya seseorang itu tidak boleh memegang lebih daripada satu jawatan.

Penyelesaian:9 x 8 x 7 = 5084 cara.

Takrif 3.12Satu pilihatur ialah satu susunan semua objek atau sebahagian daripada satu set objek.

34

Teorem 3.3Bilangan pilihatur n objek yang berlainan ialah n! = n x (n – 1) …. x 1

Contoh 3.22Pertimbangkan tiga objek yang berlainan, iaitu ABCBilangan pilihatur kesemua huruf A, B, C ialah 3! = 3 x 2 x 1 = 6.Susunannya = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}.Teorem 3.4Bilangan pilihatur bagi n objek yang berlainan diambil r pada setiap kali ambil, dengan mementingkan giliran atau tertibnya dipanggil pilihaturan

ditanda dengan .

Contoh 3.23Berapakah susunan huruf-huruf yang boleh dibentuk jika 2 huruf dipilih daripada perkataan CAT

Penyelesaian

Susunannya adalah CA AC AT TA CT TC

Perhatian, Perlu ditegaskan di sini bahawa mementingkan tertib bermakna mana-mana susunan katakan dengan 2 objek, apabila di tukarkan kedudukan memberi tertib atau susunan yang berlainan.

Contoh 3.24Berapa carakah boleh dipilih 2 orang AJK daripada 4 orang AJK untuk menjadi presiden dan setiausaha?

Penyelesaian

4P2 =

Susunannya ialahAB, AC, AD, BC, BD, BA, CA, DA, CB, DB.

Dalam kebanyakan masalah, kita berminat kepada bilangan cara memilih objek tanpa memperdulikan tertibnya. Pemilihan begini dipanggil gabungan.

Teorem 3. 5Bilangan gabungan n objek yang diambil r pada setiap kali ambil tanpa mementingkan susunan/tertibnya dipanggil gabungan, ditanda dengan

.

35

Contoh 3.25Sebuah syarikat memerlukan 3 orang pekerja baru. Berapa cara pengurus syarikat boleh memilih jika terdapat 10 orang yang layak bagi Jawatan tersebut.

Penyelesaian

cara

3.3KEBARANGKALIAN BAGI SESUATU PERISTIWASeperti yang telah saya nyatakan dahulu, kebarangkalian yang akan dipelajari adalah satu ukuran/sukatan kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa yang ditentukan oleh ujikaji rawak.

Takrif 3.13Jika A adalah suatu peristiwa daripada ruang sampel S yang dihasilkan daripada suatu ujikaji di mana setiap titik sampel sama bolehjadi (berkemungkinan sama untuk terjadi), maka kebarangkalian bagi suatu peristiwa A ditandakan dengan

P(A) = bilangan titik sampel dalam A bilangan titik sampel dalam S

Bagi sebarang peristiwa yang mungkin bagi A,i) 0 P(A) 1 ii) P(S) = 1 iii) P() = 0

P(A) = P(S) = 1 peristiwa yang pasti akan berlaku P(A) = P() = 0 peristiwa yang mustahil akan berlaku

Contoh 3.25Sebiji dadu dikeluarkan daripada sebuah kotak yang mengandungi 4 guli merah dan 6 guli biru. Tanpa membezakan objek, cari kebarangkalian mendapat guli merah.

Penyelesaian:S = {4M, 6B}

A = {warna merah}P(A) = 4/10

Contoh 3.26Golekan sebiji guli sekali, andaikan peristiwa A mewakili nombor timbul kurang daripada 5, cari kebarangkalian A.

PenyelesaianS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {1, 2, 3, 4} P(A) = 4/6

36

Contoh 3.27Katakan kita perlu memilih 3 orang daripada 10 pelajar untuk merebut 3 hadiah pelajar terbaik. Anggapkan setiap pelajar daripada 10 orang mempunyai peluang yang sama untuk mendapat hadiah. Jika terdapat 6 pelajar lelaki dan 4 pelajar perempuan, apakah kebarangkalian memilih 2 pelajar lelaki dan 1 pelajar perempuan.

Penyelesaian:Bilangan titik sampel dalam Peristiwa A = {bilangan 2 pelajar lelaki dan 1 pelajar perempuan apabila 3 pelajar

dipilih secara rawak}.

Bilangan titik sampel dalam A = (6C2)(4C1) =

Maka P(A) =

=

Beberapa Hukum Kebarangkaliani) Jika A dan B adalah sebarang 2 peristiwa maka

P(A B) = P(A) +P (B) – P(A B)ii) Jika A dan B saling eksklusif, maka A B = dengan itu

P(A B) = P(A) +P (B) iii) Jika A1 A2 … An peristiwa-peristiwa saling eksklusif maka

P(A1 A2 …. An) =

iv) Jika A dan A’ peristiwa-peristiwa pelengkap maka P(A’) = 1-P(A)

Contoh 3.28Sepasang dadu digolekkan.

Golekan Kedua 1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Takrifkan peristiwa-peristiwa seperti berikut:

37

Golekanpertama

A : peristiwa jumlah lebih besar dari 7.B : peristiwa jumlah genap = {(1, 1), (1, 3) ……}C : peristiwa jumlah kurang daripada 6D : peristiwa jumlah ganjil

P(A) = 15/36 P(B) = 18/36

P(C) = 10/36 P(A C) = tidak boleh berlaku serentak (saling eksklusif)

P (A B) = 9/36P(A B) = 15/36 + 18/36 – 9/36 = 24/36P(A C) = 15/36 + 10/36 = 25/36

= 1 – P(B) = 1 – 18/36 = 18/36P (D) = 18/36

Contoh 3.29Apabila sebiji dadu digolekkan dan takrifkan Ai : peristiwa no. i timbul.i = 1, 2, 3, ….. 6maka A1 , A2 ,…. ,A6 adalah peristiwa yang saling eksklusif. P(Ai) = 1/6.

P(A1 atau A2 atau A3) timbul ialah P(A1 A2 A3) =

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6.

Kebarangkalian BersyaratKebarangkalian kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa kadang-kadang bergantung kepada berlakunya satu atau lebih peristiwa lain. Misalnya A, adalah peristiwa diserang penyakit jantung dan B adalah, peristiwa menghisap rokok. Seperti yang telah diketahui umum, mereka yang menghisap rokok lebih besar kemungkinannya untuk diserang penyakit jantung berbanding dengan yang tidak menghisap rokok. Jadi jelaslah di sini bahawa peristiwa A dan B berkait. Ini bermakna Jika B telah berlaku, ia akan memberi maklumat tambahan kepada berlakunya peristiwa A. Ini mengimplikasikan bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa A setelah diketahui B, akan lebih besar daripada kebarangkalian A itu sendiri. Secara simbolnya ia boleh ditulis, P(A/B) > P(A). Perbincangan inilah yang disebut kebarangkalian bersyarat:

Takrif 3.14Katakan A dan B adalah 2 peristiwa dengan P(A) 0, P(B) 0, maka kebarangkalian berlakunya A setelah/diberi/ dengan syarat B telah berlaku

ditandakan dengan P(A/B) = dan sebaliknya.

Contoh 3.30Andaikan ruang sampel S adalah terdiri daripada 100 orang tua yang ada di rumah orang-orang tua di mana 60 orang dan 40 orang masing-masing

38

berlatarbelakangkan merokok dan tidak merokok. Daripada suatu pemeriksaan, didapati 20 orang daripada mereka berpenyakit jantung. 15 orang dikesan berpenyakit jantung dan mempunyai latar belakang menghisap rokok. Jika seorang daripada mereka dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian yang ia berpenyakit jantung setelah diketahui ianya menghisap rokok.

Penyelesaian:Tumpukan perhatian kepada peristiwa yang menarik minat kita.Katakan A adalah peristiwa diserang penyakit jantung Katakan B adalah peristiwa menghisap rokokPeristiwa-peristiwa ini boleh ditunjukkan seperti berikut :

AB 15 45 60

5 35 4020 80 100

= = .25

Teorem 3.6Jika dalam satu ujikaji, peristiwa-peristiwa A dan B kedua-duanya boleh berlaku maka P(A B) = P(A).P(B/A)

Teorem 3.7Jika di dalam suatu ujikaji, peristiwa A1, A2, A3 … dan seterusnya boleh berlaku maka P(A1 A2 A3 ….) = P(A1)P(A2/A1).P(A3/A1 A2) ….

Contoh 3.31Sebuah kotak mengandungi 20 fius yang 5 daripadanya rosak. 2 fius dipilih secara rawak dan dipindahkan dari kotak itu berturut-turut tanpa menggantikan yang pertama. Cuba kirakan kebarangkalian bahawa kedua-dua fius yang dipilih rosak.

Penyelesaian:Andaikan A = peristiwa fius pertama rosak.Andaikan B = peristiwa fius kedua rosak.Maka, peristiwa kedua-dua fius rosak ialah P(A B)P(A) = 5/20 = ¼Selepas fius rosak pertama diambil, peristiwa mengambil fius kedua juga rosak ialah P(B/A) dan P(B/A) = 4/19.Oleh itu P(A B) = P(A) P(B/A)

= (1/4) (4/19) =

39

1/19

Peristiwa tak bersandarKita telah lihat Contoh pada 3.30 bahawa apabila pengetahuan mengenai peristiwa B telah berlaku, memberi maklumat tambahan mengenai kebarangkalian berlakunya peristiwa A. Walaubagimana pun akan wujud keadaan di mana dengan mengetahui B telah berlaku tidak memberi sebarang maklumat tambahan pada berlakunya kebarangkalian A. Iaitu P(A/B) = P(A). Dalam keadaan yang seperti ini, adalah manasabah untuk menyatakan bahawa peristiwa A dan B dikatakan sebagai tak bersandaran atau merdeka.

Takrif 3.15A dan B adalah peristiwa yang merdeka jika berlakunya peristiwa A tidak mempengaruhi pada berlakunya B dan sebaliknya. Dua peristiwa A dan B tidak bersandar jika salah satu daripada pernyataan di bawah adalah betul.i) P(A B) = P(A) P(B) atauii) P(B/A) = P(A) atauiii) P(B/A) = P(B)

Contoh 3.32Sepasang dadu digolekkan 2 kali dan andaikanAi = peristiwa mendapat jumlah 7 pada golekan i , i = 1,2Bi = peristiwa mendapat jumlah 11 pada golekan i, i = 1, 2.Adakah peristiwa A1 dan B1 saling eksklusif?Adakah peristiwa A1, A2, B1, B2 saling tak bersandaran?

PenyelesaianA1 = {peristiwa mendapat jumlah 7 pada golekan 1}A2 = {peristiwa mendapat jumlah 7 pada golekan 2}B1 = {peristiwa mendapat jumlah 11 pada golekan 1}B2 = {peristiwa mendapat jumlah 11 pada golekan 2}

A1 dan B1 adalah saling eksklusif kerana dua peristiwa ini tidak boleh berlaku serentak. Apabila jumlah 7 sudah didapati, tidak mungkin jumlah 11 boleh berlaku pada lambungan yang sama.

Oleh kerana setiap lambungan, sepasang dadu tidak saling mempengaruhi di antara satu sama lain, secara intuisi, pertistiwa A1 dan A2 adalah merdeka dan B1, B2 merdeka.

Contoh 3.33Sebuah syarikat mempunyai 100 orang jurutaip yang terdiri daripada 60 perempuan dan 40 lelaki. Daripada 100 orang jurutaip ini, didapati 16 orang jurutaip lelaki dan 24 jurutaip perempuan yang masih bujang. Jika seorang jurutaip dipilih secara rawak,

i) Apakah kebarangkalian yang terpilih adalah jurutaip yang masih bujangii) Jurutaip yang masih bujang dengan syarat ianya lelaki.

40

PenyelesaianPeristiwa yang menarik minat kita ialahA : jurutaip lelaki terpilih bujangB : jurutaip lelakiP(A) = 40/100 = 0.4P(A/B) = P(AB)/P(B) = (16/100)/(40/100) = 0.4

Daripada keputusan di dapati maklumat tambahan bahawa jurutaip yang terpilih adalah lelaki tidak mengubah kebarangkalian yang ianya masih bujang, iaitu P(A) = (A/B). Dengan itu kita boleh katakan bahawa kedua-dua peristiwa itu iaitu masih bujang dan lelaki dalam kumpulan ini adalah tak bersandaran.

Teorem 3.8 :Teorem BayesJika B1, B2,… ,Bk, … Bn adalah peristiwa yang saling eksklusif bagi ruang

sampel S dengan dan jika A adalah sebarang peristiwa di

ruang sampel S sedemikian hingga P(A) 0, maka

Peristiwa-peristiwa ini dapat digambarkan seperti di bawah

Perhatikan, daripada rajah ini ruang sampel dipenuhi dengan peristiwa B1, B2 ….. Bn yang saling eksklusif. Juga setiap peristiwa B i berkait dengan peristiwa A. Teorem ini memberikan rumus bagi mencari kebarangkalian berlakunya peristiwa B yang tertentu, di mana A adalah penyebabnya dan A juga berkait dengan setiap peristiwa B di dalam ruang sampel.Contoh 3.34

41

A

B1

B2B3

Bn

Ruang sampel S

3 orang kerani diberi tugas untuk memproses borang yang masuk ke pejabat. Kerani 1 memproses 40% borang, kerani 2 memproses 35% borang dan kerani 3 memproses 25% borang. Didapati kesilapan dalam kadar 0.04 jika diproses oleh kerani 1, 0.06 jika diproses oleh kerani 2 dan 0.03 jika diproses oleh kerani 3. Jika satu borang yang telah diproses dipilih secara rawak dan didapati mengandungi kesilapan, apakah kebarangkalian yang borang itu diproses oleh kerani 1, 2, 3?

PenyelesaianB : {peristiwa 3 orang memproses borang}B1 : {kerani 1 memproses borang}B2 : {kerani 2 memproses borang}B3 : {kerani 3 memproses borang}P(B1) = 0.4, P(B2) = .35, P(B3) = .25A : {peristiwa membuat kesilapan}P(A/B1) = 0.04, P(A/B2) = 0.03, P(A/B3) = 0.03

P(A) = = (0.04 )(0.4) + (0.03) (0.35) + (0.03) (.25)

= 0.016 + 0.021 + 0.0075 = 0.0445

i)

ii)

iii)

Contoh 3.35Satu projek membina sebuah ampangan akan dilaksanakan bergantung kepada kejayaan Syarikat Sabrina mendapatkan pinjaman dari sebuah bank tertentu. Kebarangkalian Syarikat Sabrina mendapat pinjaman tersebut ialah 0.6. Sekiranya pinjaman diluluskan, Syarikat sabrina akan melaksanakan projek tersebut dengan kebarangkalian 0.95, tetapi sekiranya pinjaman tidak diperolehi, Syarikat Sabrina akan melaksanakan projek itu dengan kebarangkalian 0.4. Cari kebarangkalian bahawa pinjaman tidak diluluskan walaupun telah diketahui projek itu akan dilaksanakan.

Penyelesaian.Peristiwa yang menarik minat kita ialah peristiwa melaksanakan projek dan peristiwa mendapat pinjaman atau tidak.

A : peristiwa melaksanakan projekB1 : peristiwa mendapat pinjamanB2 : peristiwa tidak mendapat pinjamanDaripada maklumat yang didapati, peristiwa A dan B berkait.Gunakan tatanda kebarangkalian bersyarat;

42

P(A/B1) = 0.95, P(A/B2) = 0.4 P(B1) = 0.6 P(B2) = 0.4

Maka

P(B2/A) = (0.4) (0.4) = 0.219 (0.4) (0.4)+(0.6) (0.95)

LATIHAN UNIT TIGA

1. Jika S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 4, 5} D = {1, 6, 7}i) Cari pasangan-pasangan peristiwa yang saling eksklusif ii) Cari P(A C) , P(A C) , P{(C D) B} (2/10, 7/10, 5/10)

2. Sepasang dadu, satu berwarna merah dan satu lagi berwarna hijau dilontar.a) Senaraikan unsur-unsur bagi ruang sampel S.b) Senaraikan unsur-unsur bagi A di mana A adalah peristiwa jumlah adalah

lebih besar dari 5.c) Senaraikan unsur-unsur bagi C di mana C adalah peristiwa nombor 2

muncul di dadu berwarna hijau.

3. Dipercayai bahawa 3 daripada 4 bahan masakan memberi khasiat yang terbaik jika bahan-bahan itu dimasukkan dengan tertib yang tertentu tiap-tiap 5 minit. Berapa kalikah masakan mesti dibuat dalam ujian seperti ini? (24)

4. Jika A dan B peristiwa saling eksklusif, P(A) = 0.4 dan P(B) = 0.5, carii) P(AB) (0.9)ii) P( ) (0.6)iii) P(AB) (0.5)

5. Diketahui bahawa A dan B adalah dua peristiwa mungkin di mana P(A) = 0.4 dan P(B) = 0.5i) Kirakan P(A B) sekiranya A dan B adalah peristiwa saling eksklusif. (0.9)ii) Kirakan P(A B) sekiranya A dan B peristiwa merdeka. (0.7)

6. i) Berapakah cara 5 soalan objektif yang menyediakan 5 pilihan (A, B, C, D, E) boleh dijawab oleh seorang pelajar? (3125)

ii) Berapakah bilangan nombor 3 angka dapat dibentuk daripada angka-angka

43

0, 1, 2, 3, 4, 5 jika setiap angka hanya digunakan sekali dan digit pertama 0 tidak dikira sebagai suatu nombor? (100)

iii) Berapakah cara susunan kedudukan 11 orang pemain-pemain bolasepak jika ada 15 orang yang semuanya boleh bermain untuk mana-mana kedudukan? (15P11)

7. Satu jawatankuasa 3 orang akan dipilih dari 8 orang yang terdiri dari 5 orang lelaki dan 3 orang perempuan. Kirakan bilangan jawatankuasa yang mungkin dibentuk.i) Apabila tiada sekatan dikenakan kepada cara pemilihan AJK itu. (56)ii) Apabila ditentukan AJK itu mesti terdiri daripada seorang perempuan dan

2 orang lelaki. (30)iii) Apabila tujuan pemilihan 3 orang AJK itu ialah untuk jawatan Presiden,

Naib Presiden dan Bendahari. (336)

8. Samad perlu memilih 3 helai kemeja T dari beg pakaiannya yang mengandungi kemeja T berwarna putih dan 3 helai berwarna merah. Apakah kebarangkalian yang terpilih?i) Semuanya putih? (24/210)ii) Semuanya merah? (6/210)iii) 2 putih dan 1 merah? (108/210)

9. 5 peserta lelaki dan 4 peserta wanita telah berjaya ke pertandingan suku akhir peraduan memasak. (Setiap peserta mempunyai peluang yang sama untuk dipilih). Berapa carakah penganjur boleh memilih?i) 3 orang peserta sebagai pemenang (84)ii) 3 orang peserta lelaki dan 3 orang peserta wanita untuk memenangi hadiah

pertama, kedua dan ketiga bagi kedua-dua kategori iaitu kategori lelaki dan kategori wanita. (40)

10. Sekeping syiling dilemparkan 3 kali. Apakah kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya 2 kepala setelah diketahui balingan pertama adalah kepala. (3/4)

11. 15 penuntut telah ditemuduga untuk mengetahui tentang kegiatan mereka pada sebelah petang. 6 penuntut mengatakan bermain tenis, 10 bermain badminton dan 3 penuntut tidak bermain sebarang jenis permainan. Jika seorang penuntut dipilih secara rawak, cari kebarngkalian bahawa penuntut tersebut bermain tenis dan badminton. (4/15)

12. Kebarangkalian seorang pelajar lulus MAT adalah 2/3 dan lulus Fizik 4/9. Jika

kebarangkalian untuk lulus sekurang-kurangnya satu kursus ialah 4/5, cari kebarangkalian pelajar itu akan lulus kedua-dua kursus tersebut. (14/45)

13. Diketahui bahawa, di dalam sebuah universiti, 60% daripada pelajar lelakinya melibatkan diri dalam bola sepak, 50% pula dalam bola keranjang dan 30% pula

44

di dalam kedua-dua permainan tersebut. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak dan kemudiannya ditemuduga, apakah peluang yang beliau :-i) Bermain bola sepak atau bola keranjang (0.8)ii) Tidak bermain bola sepak mahupun bola keranjang (0.2)

14. Terdapat 100 pelajar di dalam sebuah kelas di mana 51 daripadanya pelajar perempuan dan 40 orang daripada 100 pelajar tersebut adalah cacat. Diketahui bahawa 10 orang pelajar yang cacat itu adalah pelajar perempuan. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak.i) Cari kebarangkalian yang pelajar itu cacat diketahui yang ianya

perempuan. (10/51)ii) Cari kebarangkalian bahawa pelajar itu perempuan dan cacat. (10/100)iii) Cari kebarangkalian bahawa pelajar itu tidak cacat diketahui yang ia

perempuan (41/51)iv) Cari kebarangkalian pelajar itu cacat dengan syarat bahawa ia bukan

perempuan. (30/49)v) Cari kebarangkalian pelajar itu tidak cacat atau pelajar itu lelaki. (90/100)vi) Adakah pelajar yang cacat itu bergantung kepada pelajar perempuan. (Ya)

15. Bagi sebuah keluarga yang mempunyai tiga orang anak, apakah peluang untuk mendapatkana) Sekurang-kurangnya seorang anak perempuan (7/8)b) Sekurang-kurangnya sepasang anak perempuan (4/8)c) Sekurang-kurangnya dua anak perempuan, diberi bahawa anak sulongnya

adalah perempuan. (3/4)

16. Sebuah kotak mengandungi 120 helai baju kanak-kanak iaitu 40 helai bersaiz L, 20 bersaiz M dan 60 bersaiz S. Dua helai baju diambil dari kotak tersebut (tanpa gantian). Apakah kebarangkalian kedua-dua helai baju yang didapati mempunyai saiz yang sama? (137/357)

17. Katakan seorang pelajar baru universiti mesti mengambil satu kursus sains, satu kursus pengajian kemasyarakatan dan satu kursus matematik. Jika dia boleh pilih satu daripada tiga kursus sains, satu daripada empat kursus pengajian kemasyarakatan dan satu daripada dua kursus matematik, berapa banyak carakah dia boleh menyusun program pengajiannya? (24)

18. Suatu penghantaran 10 peti televisyen mengandungi 3 peti TV yang rosak. Cari berapa banyakkah cara sebuah hotel boleh membeli empat buah TV yang mana terdapat sekurang-kurangnya dua peti TV yang rosak? (70)

19. Seorang pemain bola keranjang dapat menyumbat gol 50% daripada lontarannya. Apakah kebarangkalian terdapat tepat tiga sumbatan daripada empat lontaran berikutnya? (4/16)

45

20. Kebarangkalian seorang suami menonton suatu siri televisyen ialah 0.4 dan kebarangkalian seorang isteri menonton siri tersebut ialah 0.5. Kebarangkalian si suami menonton siri tersebut, diberikan si isteri jua menonton ialah 0.7, carii) Kebarangkalian sepasang suami isteri menonton siri tersebut. (0.35)ii) Kebarangkalian isteri menonton siri tersebut dengan syarat suami juga

menonton siri tersebut. (0.875)

21. Dari sebuah kotak yang mengandungi lima bola hitam dan tiga bola hijau, tiga bola dikeluarkan dengan pengembalian.i) Apakah kebarangkalian ketiga-tiga bola mempunyai warna serupa?(19/64)ii) Apakah kebarngkalian kedua-dua jenis warna didapati? (45/64)

22. Sepasang dadu dilontar. Jika diketahui satu dadu menunjukkan 4, apakah kebarangkalian yangi) Jumlah dikedua-dua dadu, menunujukkan 5? (2/11)ii) Jumlah kedua-dua lebih besar dari 7? (5/11)

23. Satu ujian telah dijalankan untuk mengesan penyakit kanser. Di dalam sebuah hospital didapati bahawa 97% daripada pesakit-pesakit kanser dan 5% daripada pesakit-pesakit tidak berkanser telah menunjukkan kesan yang positif terhadap ujian tersebut. Jika 2% daripada pesakit-pesakit di hospital mengidap penyalit kanser, apakah kebarngkalian bahawa seorang pesakit yang dipilih secara rawak berpenyakit kanser diketahui bahawa ianya menunjukkan kesan yang positif terhadap ujian tersebut.

24. Sekeping syiling dilontar 6 kali. Cari kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya 1 kepala. (63/64)

25. Satu nombor dua digit telah dibentuk dengan memilih 2 digit secara rwak daripada digit-digit 1, 3, 5, 7, 9.i) Cari kebarangkalian bahawa jumlah digit daripada nombor yang terbentuk

apabila dibahagi dengan 5 memberi hasilbahagi bersamaan 2, jika mana-mana nombor tidak boleh mempunyai digit yang sama. (4/20)

ii) Cari kebarangkalian bahawa jumlah digit daripada nombor yang terbentuk apabila dibahagi dengan 5 memberi hasil bahagi bersamaan 2, jika mana-mana nombor boleh mempunyai digit yang sama. (5/25)

26. Jika kebarangkalian Ah Chong akan membeli kereta Honda Accord ialah 0.7 dan kebarangkalian Bakar akan membeli kereta Honda Accord ialah 0.6i) Apakah kebarangkalian kedua-duanya akan membeli kereta Honda

Accord. (0.42) ii) Apakah kebarangkalian bahawa Ah Chong atau Bakar tidak akan membeli

kereta Honda Accord. (0.12)

46

27. Sebuah hospital ada dua buah ambulan yang digunakan secara bebas. Kebarangkalian bahawa terdapat sebuah ambulan tertentu apabila diperlukan ialah 0.8.i) Apakah kebarangkalian bahawa terdapat sebuah ambulan apabila

diperlukan. (0.96)ii) Apakah kebarangkalian bahawa tidak terdapat sebuahpun ambulan apabila

diperlukan. (0.04)

28. Kotak buah-buahan yang dipunggah daripada kapal telah dihantar ke 2 destinasi iaitu pasaraya A dan pasaraya B. Kebarangkalian kotak buah-buahan itu dihantar ke pasaraya A adalah 0.70. Label pada kotak buah-buahan itu telah hilang. 2/3 daripada kotak buah-buahan yang sampai ke pasaraya A didapati mrngandungi limau, manakala 3/7 daripada kotak buah-buahan yang sampai ke pasaraya B mengandungi limau. i) Cari kebarangkalian kotak tersebut sampai ke pasaraya B dan

mengandungi limau.ii) Jika sebuah kotak dipilih secara rawak dan diketahui mengandungi limau,

apakah kebarangkalian yang ianya daripada Pasaraya A.

47