BAB V. GAYA AKSIAL PADA BATANG

Metode elemen hingga dapat di aplikasikan untuk analisis baik struktur distrik

maupun kontinyu. Struktur distrik adalah struktur yang menpunyai batang-batang

individu sepertipadda truss, beam dan frame kaku. struktur kontinyu adalah

struktur tipe plat, cangkang dan juga komponen-komponen mesin dan struktur

yang harus di analisis menggunakan teori elastisitas. Disini hanya pendekatan

prinsip energy potensial minimum akan digunakan.

5.1 Model satu dimensi

Gride elemen hingga untuk suatu system batang mendapat gaya aksial adalah

identik dengan permasalahanyang akan di biacarakan pada bab II.struktur ini

terdiri dari segmengaris lurus dengan titik-titik dimana saya ada perubahan sifat

material atau luas penampang melintang.Dismping itu titik nodal juga harus

ditempatkan dimana saja ada gaya luar. Ini dilakukan untuk menyederhanakankan

kalkulasi ungkapan kerja ( work term) dalam persamaan energy potensial. Dengan

menempatkan titik nodal setiap ada gaya luar, kerja dilakukam oleh gaya itu

dapat di tulis sebagai perkalian anatar gaya dan simpangan. Ide ini di ilustrasikan

pada gambar 5.1, dimana system dibagi mejadi tiga elemen walaupun batang tidak

mengalami perubahan sifat material atau luasan penampang lintang.

Perbedaan menyolok antara grid batang mendapat gaya aksial dengan

solusi pendekkatan pada (2.1) adalah konsep penghalusan grid. Solusi elemen

hingga untuk simpangan pada strukturdistrik menghasilkan harga eksak. Tidak ad

perbaikan hasildapat di peroleh dengan membagi masng-masing batang menjadi

beberapa elemen. Masing-masing batang di wakili oleh sbuah elemen tunggal

kecuali jika ada beban di aplikasikan pada ujung-ujungnya.

Hasil perhitungan dalam analilsis elemen hingga untuk struktur dari distrik

atau kontinyu adalah simpangan. Simpangan-simpangan nodal dan gaya-gaya

ekesternal sering ditunjukan dengan anak panah ( gamabar 5.1). simpangan positif

slalu dalam arah koordinat positif. Disin simpangan translasi dan rotasi diberi

notasi U.

Gambar 5.1. Titik nodal di tempatkan pada setiap gaya eksternal

5.2. Prinsip energy potensial minimum

Persamaan yang menghasilkan simpangan sambungan system struktur dapat

diturunkan menggunakan prinsip energy potensial minimum. Prinsip energy

potensial minimum menyatakan bahwa : diantara semua persamaan-persamaan

displacement yang memnuhi persyaratan komptibilitas internal dan kondisi-

kondisi batas , maka persamaan-persamaan displacement tersebut juga memenuhi

peryaratan persamaan-persamaan kesetimbangan yang membuat energy potenisal

minimum dalam suatu system yang stabil.

Prinsip diatas mengimplikasikan hal-hal berikut :

1. Tulis persamaan simpangan untuk setiap batang. persamaan ini harus

kompatibel. Persamaan-persamaan ini mensyaratkan bahwa semua

anggota batang tersambung secara kaku dan terotasi dengan besar yang

sama untuk beam mempunyai derivative pertama kontinyu.

2. Persatukan kondisi-kondisi batas (penumpu) sedemikian sehingga

memenuhi semua persyaratan kondisi-kondisi tumpuan secara fisik.

3. Tulis suatu persamaan untuk energy potensial dalam system struktur

dalam ungkapan simpangan-simpangan yang belum di ketahui.

4. Minimalkan energy potensial terhadap displacement yang belum di

tentukan persamaan persimpangan-persimpangan.

Penyempurnaan empat langkah ini menunju suatu system persamaan

keseimbangan untuk menyelesaikan simpangan-simpangan sambungan. Sekali

simpangan sambungan diketahui, maka gaya internal atau momen setiap batang

dapat di ketahui, maka gaya internal atau momen setiap batng dapat di hitung.

Proses minimisasi jelas mengimplikasikan perlunya untuk menulis persamaan

energy potensial dalam ungkapan-ungkapan simpangan. Energy potensial dalam

struktur elastis adalah energy yang mengandung distorsi elastic dan kapasitas

beban-beban untuk melakukan kerja. Energy potensial mengandung distorsi

elastis adalah regangan. Kapasitas suatu beban terkonsentrasi untuk melakukan

kerja adalah P kali U, dimana P adalah beban terkonsentrasi dan U adalah

simpangan. Gaya dan simpangan positif slalu mempunyai arah yang sama.

Energi potensail total pada batang yang mendapat gaya aksial

(5.1)

Dimana A Mewakili enegi regangan dan W adalah kerja dilakukan oleh gaya luar.

Jika ada beberapa batang dan gaya luar

(5.2)

Dimana enrergi regangan merupakan jumlah dari elemen-elemen, n, dan kerja

merupakan jumlah dari titik-titik nodal, p. tanda negative muncul pada ungkapan

kerja karena masing-maasing gaya kehilangan kapasitasnya untuk melakukan

kerja jika batang menyimpang padda arah dimana bekerja.

Persamaan (5.2) digunaka dalam system-sistem dalam dalm bab ini.

Ungkapan kerja dalam (5.2) melibatkan sebuah simpangan, tetapi energy

regangan harus ditulis dalam ungkapan-ungkapan simpangan titik nodal.

5.3. Persamaan Energy Regangan

Persamaan yang memberikan energy regangan pad batang yang mendapat gaya

batang aksial adalah

(5.3)

Dimana σ xx dan εxx mewakili komponen-komponen tegangan dan regangan.

Persaman ini dapat di tulis baik dalam ungkapan tegangan maupun regangan,

dengan menggunakan bukum Hooke.

(5.4)

sehingga persamaan (4.3) menjadi

(5.5a,b)

Dengan mengevaluasi satu dari integral dalam (4.5), maka persamaan energi

regangan ditulis dalam ungkapan simpangan-simpangan titik nodal dapat

diperoleh

Batang mendapat gaya aksial dimodelkan dengan sebuah segmen garis

lurus (Gambar 5.2), dengan simpangan pada setiap ujung, Ui dan Uj. Apabila

batang mempunyai luasan penampang melintang A; modulus elastisitas E;

koefisien ekspansi panas α ; panjang L; dan gaya luar F(e), sedangkan dari

mekanika dasar

(5.6)

dimana exx adalah regangan total dan u adalah persamaan simpangan. Regangan

total exx tidak sama dengan εxx dalam (5.5b), dan hubungannya adalah

(5.7)

Regangan total adalah jumlah dari regangan elastis, εxx hasil dari aplikasi beban-

beban dan regangan ini juga dihasilkan dari perubahan termal, εT, sehingga

(5.8)

dan substitusi (5.6) menghasilkan

(5.9)

Gambar 5.2. Batang mendapat gaya aksial

Karena εT = αδT , dimana δT adalah perubahan suhu. Substitusikan (5.9)

kedalam (5.5b) memberikan persamaan energy regangan

(5.10)

Dimana incremental dv = dAdx dan integral-integral volume dapat dig anti

dengan

(5.11)

Asumsikan bahwa luasan penampang melintang adalah konstan, sehingga integral

(5.10) menjadi

(5.12)

Langkah terakhir adalah memilih persamaan simpangan. Harga konstan εxx

mengimplikasikan bahwa simpangan aksial adalah persamaan linear. Bentuk

umum dari persamaan linear seperti telah di jelaskan dalam bab 2 (2.6) adalah

(5.13)

Dalam kasus ini, Xi = 0, dan Xj = L

Derivatif persamaan simpangan adalah

(5.14)

Karena du/dx adalah konstan, sehingga dapat dikeluarkan dari integral (5.12), dan

integrasinya ,mengahsailkan

(5.15)

Substitusikan (5.14) menghasilkan energy regangan untuk batang mendapat gaya

aksial ditulis dengan ungkapan

(5.16)

Simpangan-simpangan titik nodal adalah belum diketahui dalam persamaan

energy regangan. Besarnya dapat ditentukan dengan mencari satu set harga yang

membuat energj potenisal maksimum. Ungkapan terakhir (5.16) tidak terhubung

dengan harga-harga nodal dan tidak muncul selama proses minimisasi, karena

konstanta tidak mempengaruhi harga-haga terakhir, dan biasanya diabaikan dan

(5.16) ditulis sebagai berikut.

(5.17)

5.4 sistem batang-batang mendapat gaya aksial

Aplikasi (5.17) dalam hubunganya dengan (5.2) diilustrasikan melalui suatu

masalah yang terdiri dari tiga batang mendapat sepasang gaya aksial

terkonsentrasi dan perubahan suhu(gambar 5.3) system tersebut di modelkan

dengan tiga elemen dan empat titik nodal.

Analisis masalah secara fisik menunjukan bahwa U1 = U4 = 0 karena tumpuan

jepit dan P1 = P4 = 0, P1 = 10000 N, dan P3 = -20000 N (ingat gaya positif bekerja

dalam arah yang sama seperti simpangan positif).

Gambar 5.3. system tiga batang mendapata gaya aksial

Energy potensial sistim di berikan oleh (5.2) dengan n=3 dan p=4. Kebangkan

(5.2) diperoleh

(5.18)

Atau

(5.19)

Karena harga-harga U1, U2, P2, dan P3 diketahui, maka energi regangan untuk

setiap batang di berikan oleh (5.17). informasi elemen diperlukan untuk (5.17)

diringkas dalam tabel berikut

Gunakan informasi elemen dalam tabel, di peroleh

(5.20)

(5.12)

Dan

(5.22)

Persaamaan-persamaan untuk A(1) dan A(3) disederhanakan menjadi

(5.23)

Dan karena U1 = U4 = 0, maka

(5.24)

Substitusikan persamaan (5.21), (5.23), dan (5.24) kedalam (5.19)

menghasilkan

(5.25)

Atau

(5.26)

Harga-harga U2 dan U3 yang membuat Π minimum adalah

(5.27)

Dan

(5.28)

Selesaikan sepasang persamaan ini memberikan

U2 = -0.0005900 cm dan U3= -0.003480 cm (5.28)

Tanda-tanda negative menunjukan kedua titik nodal tersebut bergerak kekiri.

Biasanya dalam menganalisis struktur diperlukan untuk menghitung

tegangan dalam setiap batang. Gaya aksial setiap batang harus diketahui untuk

melakukan ini. Gaya-gaya aksial dapat dikalkulasikan sekalim simpangan titik

nodal di ketahui. Karena kalkulasi ini mungkin terjadi pada setiap analisis, maka

lebih baik mempunyai persamaan umum yang di berikan gaya aksial dalam

ungkapan simpangan-simpangan titik nodal.

Gaya aksial dalam suatu elemen adalah

(5.29)

Dimana σxx adalah tegangan normal. Tegangan normal dapat di ungkapkan dalam

tegangan normal dengan menggunakan hokum Hook sebagai berikut

(5.30)

Dan

(5.31)

Regangan normal di hubungkan dengan simpangan dan perubahan suhu oleh

(5.19); sehingga

(5.32)

Ganti ungkapan derivative du/dx dengan (5.14) memberikan

(5.33)

Persaman (5.33) memberikan gaya aksial internal S(e) dalam ungkapan simpangan

titik nodal dan perubahan suhu.

Aplikasi persamaan (5.33) terhadap sistim dalam gambar 5.2 memberikan

Dan

Harga-harga negative untuk S(1), S(2) dan S(3) menunjukan bahwa setiap batang

mengalami gaya tekan.

Sambungan dua :

Sambungan tiga :

Gambar 5.4. diagram bodi bebas pada batang secara individu

Solusi masalah-masalah struktur yang melibatkan elemen-elemen diskrit

dapat dicek dengan menganalisi kesetimbangan sambungan internal dan atau

keseimbangan struktur secara utuh. Apabila sambungan tidak dalam

keseimbangan, berarti perhitugan sebelumnya salah. Diagram-diagram bodi bebas

dari sambungan-sambungan pada contoh diperlihatkan pada gambar (5.4). jumlah

gaya-gaya harus sama dengan nol.

5.5 Notasi Matriks

Sistim persamaan (5.17) dapat ditulis menggunakan notasi matriks.secara umum

persamaan matriks untuk persoalan struktur adalah

(5.23)

Dimana {K} adalah matriks kekakuan, {F} dan {P} adalah vector-vektor gaya.

Vector gaya {F} berasal dari kontribusi elemen dan biasanya sebagai hasil dari

perubahan-perubahan termal. Vector gaya {P} mengandung gaya-gaya luar pada

sambungan-sambungan.

Persamaan (5.17) dapat di tulis dalam bentuk(5.34) dengan memisahkan

gaya-gaya termal dari gaya-gaya luar. Kembali ke persamaan (5.25), kita dapat

menulis Π sebagai

(5.35)

Dideferensialkan (5.35) masing-masing terhadap U2 dan U3 menghasilkan

Dan (5.36b)

Sepasang persamaan diatas dapat ditulis

(5.37)

Yang bentuknya sama seperti (5.34)