BAB 3repository.upi.edu/6456/6/S_MTK_0807614_Chapter3.pdf · Tujuan dari goal programming adalah untuk mendekati target-target yang telah direncanakan sedekat mungkin dan jika terjadi

21 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB 3

LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING

3.1 DESKRIPSI UMUM LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING

Lexicographic goal programming adalah salah satu jenis dari goal

programming. Model ini adalah model paling umum digunakan dalam goal

programming. Pada umumnya, formula awal dari goal programming digunakan

jenis lexicographic goal programming (Lee, 1972). Lexicographic goal

programming kadang-kadang disebut pre-emptive (pengutamaan) goal

programming dalam beberapa literatur. Apabila terdapat tujuan yang berlainan

dan tujuan-tujuan tersebut saling bertentangan maka dapat dimungkinkan untuk

menentukan tujuan yang diutamakan atau diprioritaskan. Misalnya tujuan yang

paling penting ditentukan sebagai prioritas pertama, tujuan yang kurang begitu

penting ditentukan sebagai prioritas kedua, demikian seterusnya. Pembagian

prioritas inilah yang dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu

mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuan yang telah diberikan

prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas

berikutnya. Jadi harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut prioritasnya.

Kelengkapan yang membedakan lexicographic goal programming dengan jenis

goal programming lainnya adalah keberadaan dari suatu tingkat prioritas. Setiap

tingkat prioritas mengandung sejumlah variabel deviasional yang tidak diinginkan


untuk diminimumkan. Model ini juga sering disebut Non-Archimedean Goal

Programming.

Untuk mengetahui model umum lexicographic goal programming,

misalkan terdapat tujuan, masing-masing maka dapat

dituliskan sebagai berikut :

Tujuan dari goal programming adalah untuk mendekati target-target yang telah

direncanakan sedekat mungkin dan jika terjadi penyimpangan, maka

penyimpangan itu harus seminimal mungkin. Karena tidak mungkin dapat

mencapai seluruh target, maka perlu didefinisikan sebuah fungsi objektif

menyeluruh untuk goal programming yang berkaitan dengan tujuan mencapai

beberapa target. Asumsikan bahwa penyimpangannya bisa bernilai positif dan

negatif, maka fungsi objektif menyeluruhnya :


Meminimumkan :

(3.1)

Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai fungsi

pencapaian terbatas kepada penyimpangan target.

Definisikan :

Maka persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai :

Meminimumkan : (3.2)

Karena bisa bernilai positif ataupun negatif, maka variabel bisa diganti

dengan 2 variabel non negatif dan , dengan , dimana

.

dan disebut variabel deviasional dimana merepresentasikan tingkat

pencapaian di bawah target (underachievement of goal) dan merepresentasikan

tingkat pencapaian di atas target (overachievement of goal). Adapun hubungan

dan adalah :


Persamaan di atas mengartikan bahwa salah satu variabel deviasional pasti

bernilai nol jika variabel deviasional lain mempunyai nilai lebih besar dari 0, atau

kedua nilai dan adalah 0.

Dengan demikian formulasi umum dari goal programming dapat ditulis secara

lengkap sebagai :

Meminimumkan :

Berdasar :

Jika dan

direpresentasikan

sebagai fungsi yang bergantung pada variabel deviasional dan atau bisa

ditulis sebagai , maka formulasi goal programming

menjadi :

Meminimumkan :

Berdasar :


Jika terdapat tujuan yang berlainan dan tujuan tersebut bertentangan, maka dapat

dimungkinkan untuk menentukan terlebih dahulu tujuan yang diutamakan atau

diprioritaskan. Andaikan sebagai suatu faktor prioritas dengan ,

masing-masing dengan hubungan tiap prioritas :

Dimana simbol ini berarti “ jauh lebih penting daripada”. Hubungan

prioritas diatas dapat diartikan bahwa walaupun faktor prioritas di atas dikalikan

sebanyak kali ( dimana ), namun faktor yang diprioritaskan teratas akan

tetap menjadi teratas. Dengan kata lain bahwa prioritas di bawahnya tidak akan

menjadi lebih tinggi daripada prioritas di atasnya, walaupun sudah dikalikan

sebanyak kali. Jadi hubungan tidak akan mungkin terjadi.

Dengan demikian fungsi objektif goal programming dengan adanya

prioritas dapat dirumuskan dalam model berikut :

Meminimumkan :

Berdasar :


di mana :

= variabel keputusan

Q = banyaknya tujuan yang dipertimbangkan

= fungsi tujuan ke-q dengan variabel keputusan

=

= variabel deviasional dengan jenis underachievement

of goal ke-q

= variabel deviasional dengan jenis overachievement

of goal ke-q

= nilai sisi kanan suatu persamaan kendala tujuan

(goal constraint) ke- q

Formulasi di atas disebut model umum dari salah satu jenis goal programming

yaitu lexicographic goal programming.

3.2 METODE PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL

PROGRAMMING

Model lexicographic goal programming termasuk dalam model linear

programming. Teknik – teknik penyelesaian masalah linear programming dapat

diterapkan untuk menyelesaikan model lexicographic goal programming.


Perbedaan antara model linear programming dan model lexicographic goal

programming hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasional yang

berguna untuk menampung deviasi dari tujuan-tujuan yang diinginkan dan adanya

prioritas serta tujuannya yaitu meminimumkan variabel deviasionalnya.

3.3 CONTOH-CONTOH KASUS LEXICOGRAHPIC GOAL

PROGRAMMING

1. PT ABX adalah sebuah perusahaan yang bergerak dibidang pembuatan

mangkuk dan mug. Untuk pembuatan sebuah mangkuk dibutuhkan waktu

1 jam dan untuk membuat sebuah gelas mug dibutuhkan waktu 2 jam

dengan waktu yang tersedia sebanyak 40 jam. Untuk pembuatan setiap

mangkuk membutuhkan tanah liat sebanyak 4 pound tanah liat dan setiap

mug membutuhkan 3 pound tanah liat dengan ketersediaan tanah liat

sebanyak 120 pound. Perusahaan memperoleh keuntungan dari pembuatan

mangkuk dan mug sebesar $40 untuk tiap mangkuk dan $50 untuk tiap

mug.

Bila permasalahan ekonomi di atas dimodelkan ke dalam model

matematika, maka :

Maksimumkan :

Berdasar :


dimana :

= jumlah produksi mangkuk

= jumlah produsi gelas mug

Persoalan di atas memiliki satu tujuan saja yaitu memaksimumkan keuntungan

yang ada, maka dari itu model di atas termasuk ke dalam linear programming.

Misalkan bahwa perusahaan mempunyai tujuan yang banyak, dengan urutan

prioritas yaitu:

1. Perusahaan tidak menginginkan jumlah jam kerja pada kendala pertama

tidak melebihi 40 jam

2. Perusahaan menginginkan keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan

mangkuk dan mug adalah $1600 per harinya

3. Perusahaan menginginkan pemakaian tanah liat untuk pembuatan tiap

mangkuk dan mug tidak melebihi 120 pound per harinya

Dimana untuk setiap prioritas berlaku prioritas 1 prioritas 2 prioritas 3 , jadi

prioritas pertama harus dipenuhi terlebih dahulu setelah itu dilanjutkan untuk

memenuhi prioritas berikutnya.

Karena kasus yang ada sudah berubah, yaitu perusahaan memiliki banyak tujuan

yang harus dipenuhi, maka permasalahan di atas jika dimodelkan ke dalam

permasalahan matematika kembali menjadi :

Meminimukan :

Berdasar :


Dari kasus di atas terlihat bahwa kasus yang ada memiliki banyak tujuan,

sehingga kasus di atas termasuk ke dalam goal programming. Perusahaan

memiliki prioritas-prioritas dalam pemenuhan setiap tujuan-tujuan yang ada di

mana untuk tingkat prioritas yang ditempatkan lebih tinggi dianggap lebih penting

daripada tingkat prioritas yang rendah. Sehingga pengerjaan prioritas 1

didahulukan nantinya dan dilanjutkan dengan prioritas lainnya. Model di atas

termasuk ke dalam goal programming dengan jenis lexicographic goal

programming. Ciri dari lexicographic goal programming adalah adanya prioritas

dalam setiap kasusnya.

2. PT XYZ bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun

batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah

zat kimia yang tersedia adalah A= 200 kg dan B = 360 kg. untuk membuat

1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. untuk membuat 1 kg

sabun batang diperlukan 5 kg A dan 3 kg B. keuntungan yang akan

diperoleh setiap membuat 1 kg sabun bubuk adalah $3 sedangkan setiap 1

kg sabun batang adalah $2. Berdasarkan pengalaman, perusahaan

menginginkan laba yang diterima sebesar $100 dan pemakaian zat kimia

yang tersedia digunakan seminimal mungkin.


3.4 CONTOH PENYELESAIAN KASUS LEXICOGRAPHIC GOAL

PROGRAMMING

Misalkan batas mingguan produksi dua buah barang sudah ditentukan.

Misalkan kriteria pertama berhubungan dengan jumlah jam pekerja per minggu

yang digunakan untuk memproduksi dua buah barang, yaitu barang A dan barang

B. Asumsikan bahwa variabel keputusannya adalah :

: Jumlah produk tipe A yang diproduksi setiap minggu

: Jumlah produk tipe B yang diproduksi setiap minggu

Dan untuk setiap produk tipe A membutuhkan waktu 4 jam dan untuk setiap

produk tipe B membutuhkan waktu 3 jam. Fungsi untuk jumlah jam tenaga kerja

yang digunakan adalah :

Sekarang untuk melengkapi formulasi goal constraint ( kendala tujuan ) maka

ditambahkan dua buah variabel deviasional dan nilai pencapainnya. Misalkan

bahwa pembuat keputusan menginginkan memberi penalti variabel deviasional di

atas 120 jam kerja (artinya bahwa pembuat keputusan menginginkan total jumlah

kerja dibawah 120 jam) , berarti variabel yang dikenai penalti adalah variabel

deviasional . Sehingga formulasi goal constraint yang pertama menjadi :


Sekarang misalkan kriteria yang lain berhubungan dengan batas keuntungan yang

diinginkan dan rencana strategi produksi. Keuntungan masing-masing barang A

dan barang B adalah $100 dan $150. Perusahaan menginginkan keuntungan

minimal $7000 per minggunya. Sehingga formulasi goal constraint yang kedua

menjadi :

Selain itu perusahaan menginginkan beberapa strategi untuk produksi

mingguannya. Perusahaan ingin mempertahankan produksi paling sedikit 40 unit

dalam tiap produknya. Sehingga formulasi goal constraint menjadi :

Perusahaan juga mempunyai dua buah hard constraint. Hard constraint yang

pertama adalah berhubungan dengan penggunaan bahan material yang digunakan

untuk memproduksi suatu produk. Perusahaan harus membeli minimal 50 untuk

menghasilkan produksi setiap minggunya. Setiap barang A membutuhkan 2 untuk

menghasilkan produksi dan barang B membutuhkan 1 untuk menghasilkan

produksi. Hard constraint yang kedua adalah berhubungan dengan waktu

produksi, dimana kedua produk tersebut memiliki waktu maksimum sebesar 75

per minggu dalam produksinya. Sehingga jika digambarkan dalam sebuah

formulasi hard constraint , maka :


Kumpulkan kembali goal constraint dan hard constraint dan tambahkan pembatas

untuk menghindari produksi yang negatif. Sehingga kendala-kendala yang ada

menjadi :


Grafik 3.1 menyatakan daerah fisibel (feasible region) awal, maka :

Grafik 3.1 Daerah fisibel (feasible region) awal

Sekarang misalkan bahwa perusahaan memiliki sebuah clear order ( dimana

pesanan yang ada tidak ada yang bertambah atau pun berkurang ) dan perusahaan

menginginkan beberapa prioritas tujuan untuk dipenuhi :

1. Prioritas pertama = terpenuhinya keuntungan

2. Prioritas kedua = terpenuhinya strategi produksi

3. Prioritas ketiga = terpenuhinya jam kerja

Dalam lexicographic goal programming permasalahan di atas dapat dinyatakan

dalam sebuah formulasi sebagai berikut :


Meminimumkan :

Berdasar :

Perhatikan bahwa pada formulasi lexicographic goal programming dapat dilihat

bahwa prioritas pertama untuk kasus perusahaan ini adalah meminimasi ,

prioritas kedua adalah meminimasi , dan prioritas yang terakhir adalah

meminimasi . Sesuai dengan ketentuan dari lexicographic goal programming

bahwa prioritas tertinggi harus dikerjakan terlebih dahulu maka dari itu terlebih

dahulu meminimasi , selanjutnya meminimasi , dan yang terakhir

adalah meminimasi . Berikut adalah tahap-tahap untuk menyelesaikan model di

atas, yaitu :


1. Langkah 1 : meminimumkan

Perhatikan bahwa,

Meminimumkan :

Berdasar :

Nilai optimum untuk permasalahan ini adalah . karena nilai

dari maka dari itu nilai minimal dari . Selanjutnya

dimasukkan menjadi kendala pada perhitungan selanjutnya, yaitu pada

minimasi prioritas kedua. Daerah layak (feasible region) untuk prioritas

selanjutnya dapat dilihat pada grafik 3.2.


Grafik 3.2 Daerah fisibel (feasible region) untuk prioritas ke-2

Pada grafik 3.2 daerah fisibel mengecil dikarenakan penyesuaian dengan

kendala tujuan pada prioritas pertama, yaitu memberikan penalti terhadap

sehingga daerah dibawah fungsi harus

dieliminasi. Grafik ini akan digunakan pada perhitungan selanjutnya.


Perhatikan bahwa,

Meminimumkan :

Berdasar :


Perhatikan grafik 3.3, jika dilihat pada grafik 3.3 bahwa seharusnya

daerah di bawah garis dan harus dieliminasi, akan tetapi

tidak bisa karena harus mempertimbangkan prioritas yang lebih tinggi

sebelumnya, sementara daerah fisibel (feasible region) seperti yang terlihat

pada grafik 3.2. Daerah fisibel (feasible region) untuk selanjutnya yaitu :


Grafik 3.3 Daerah fisibel untuk prioritas ke-3 dan titik optimumnya


Perhatikan bahwa,

Meminimumkan :

Berdasar :


Dalam prioritas terakhir ini, jika dilihat dalam grafik 3.3 bahwa

seharusnya daerah di atas garis seharusnya dieliminasi,

akan tetapi daerah layak berada di garis seperti yang

terlihat pada grafik 3.3 , maka dari itu diambil solusi yang sedekat

mungkin dengan prioritas 3 sehingga prioritas 1 dan prioritas 2 pun

terpenuhi. Solusi optimumnya yaitu berada di titik A seperti terlihat pada

grafik 3.3 dengan dan . Jika dibuat tabel, maka solusi-

solusinya sebagai berikut :

Tabel 3.1 Solusi optimum permasalahan lexicographic goal programming

Goal Deskripsi Sasaran Terpenuhi Nilai

optimum

1 Jam kerja 120 Tidak 260

2 Keuntungan 7000 Iya 9500

3 Produksi

barang A

40 Tidak 35

4 Produksi

barang B

40 Iya 40


Hasil di atas menggambarkna bahwa dengan memproduksi barang A

sebanyak 35 buah dan memproduksi barang B sebanyak 40 buah maka

pengusaha akan mendapatkan keuntungan sebesar $9500 per minggunya

dengan total jam kerja sebanyak 260 jam. Sesuai sasaran di awal bahwa

goal untuk jumlah jam kerja dan jumlah produksi barang A tidak

memenuhi sasaran.

Documents

BAB 3repository.upi.edu/6456/6/S_MTK_0807614_Chapter3.pdf · Tujuan dari goal programming adalah untuk mendekati target-target yang telah direncanakan sedekat mungkin dan jika terjadi