21 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB 3
LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING
3.1 DESKRIPSI UMUM LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING
Lexicographic goal programming adalah salah satu jenis dari goal
programming. Model ini adalah model paling umum digunakan dalam goal
programming. Pada umumnya, formula awal dari goal programming digunakan
jenis lexicographic goal programming (Lee, 1972). Lexicographic goal
programming kadang-kadang disebut pre-emptive (pengutamaan) goal
programming dalam beberapa literatur. Apabila terdapat tujuan yang berlainan
dan tujuan-tujuan tersebut saling bertentangan maka dapat dimungkinkan untuk
menentukan tujuan yang diutamakan atau diprioritaskan. Misalnya tujuan yang
paling penting ditentukan sebagai prioritas pertama, tujuan yang kurang begitu
penting ditentukan sebagai prioritas kedua, demikian seterusnya. Pembagian
prioritas inilah yang dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu
mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuan yang telah diberikan
prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas
berikutnya. Jadi harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut prioritasnya.
Kelengkapan yang membedakan lexicographic goal programming dengan jenis
goal programming lainnya adalah keberadaan dari suatu tingkat prioritas. Setiap
tingkat prioritas mengandung sejumlah variabel deviasional yang tidak diinginkan
22 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
untuk diminimumkan. Model ini juga sering disebut Non-Archimedean Goal
Programming.
Untuk mengetahui model umum lexicographic goal programming,
misalkan terdapat tujuan, masing-masing maka dapat
dituliskan sebagai berikut :
Tujuan dari goal programming adalah untuk mendekati target-target yang telah
direncanakan sedekat mungkin dan jika terjadi penyimpangan, maka
penyimpangan itu harus seminimal mungkin. Karena tidak mungkin dapat
mencapai seluruh target, maka perlu didefinisikan sebuah fungsi objektif
menyeluruh untuk goal programming yang berkaitan dengan tujuan mencapai
beberapa target. Asumsikan bahwa penyimpangannya bisa bernilai positif dan
negatif, maka fungsi objektif menyeluruhnya :
23 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Meminimumkan :
(3.1)
Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai fungsi
pencapaian terbatas kepada penyimpangan target.
Definisikan :
Maka persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai :
Meminimumkan : (3.2)
Karena bisa bernilai positif ataupun negatif, maka variabel bisa diganti
dengan 2 variabel non negatif dan , dengan , dimana
.
dan disebut variabel deviasional dimana merepresentasikan tingkat
pencapaian di bawah target (underachievement of goal) dan merepresentasikan
tingkat pencapaian di atas target (overachievement of goal). Adapun hubungan
dan adalah :
24 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Persamaan di atas mengartikan bahwa salah satu variabel deviasional pasti
bernilai nol jika variabel deviasional lain mempunyai nilai lebih besar dari 0, atau
kedua nilai dan adalah 0.
Dengan demikian formulasi umum dari goal programming dapat ditulis secara
lengkap sebagai :
Meminimumkan :
Berdasar :
Jika dan
direpresentasikan
sebagai fungsi yang bergantung pada variabel deviasional dan atau bisa
ditulis sebagai , maka formulasi goal programming
menjadi :
Meminimumkan :
Berdasar :
25 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Jika terdapat tujuan yang berlainan dan tujuan tersebut bertentangan, maka dapat
dimungkinkan untuk menentukan terlebih dahulu tujuan yang diutamakan atau
diprioritaskan. Andaikan sebagai suatu faktor prioritas dengan ,
masing-masing dengan hubungan tiap prioritas :
Dimana simbol ini berarti “ jauh lebih penting daripada”. Hubungan
prioritas diatas dapat diartikan bahwa walaupun faktor prioritas di atas dikalikan
sebanyak kali ( dimana ), namun faktor yang diprioritaskan teratas akan
tetap menjadi teratas. Dengan kata lain bahwa prioritas di bawahnya tidak akan
menjadi lebih tinggi daripada prioritas di atasnya, walaupun sudah dikalikan
sebanyak kali. Jadi hubungan tidak akan mungkin terjadi.
Dengan demikian fungsi objektif goal programming dengan adanya
prioritas dapat dirumuskan dalam model berikut :
Meminimumkan :
Berdasar :
26 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
di mana :
= variabel keputusan
Q = banyaknya tujuan yang dipertimbangkan
= fungsi tujuan ke-q dengan variabel keputusan
=
= variabel deviasional dengan jenis underachievement
of goal ke-q
= variabel deviasional dengan jenis overachievement
of goal ke-q
= nilai sisi kanan suatu persamaan kendala tujuan
(goal constraint) ke- q
Formulasi di atas disebut model umum dari salah satu jenis goal programming
yaitu lexicographic goal programming.
3.2 METODE PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL
PROGRAMMING
Model lexicographic goal programming termasuk dalam model linear
programming. Teknik – teknik penyelesaian masalah linear programming dapat
diterapkan untuk menyelesaikan model lexicographic goal programming.
27 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Perbedaan antara model linear programming dan model lexicographic goal
programming hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasional yang
berguna untuk menampung deviasi dari tujuan-tujuan yang diinginkan dan adanya
prioritas serta tujuannya yaitu meminimumkan variabel deviasionalnya.
3.3 CONTOH-CONTOH KASUS LEXICOGRAHPIC GOAL
PROGRAMMING
1. PT ABX adalah sebuah perusahaan yang bergerak dibidang pembuatan
mangkuk dan mug. Untuk pembuatan sebuah mangkuk dibutuhkan waktu
1 jam dan untuk membuat sebuah gelas mug dibutuhkan waktu 2 jam
dengan waktu yang tersedia sebanyak 40 jam. Untuk pembuatan setiap
mangkuk membutuhkan tanah liat sebanyak 4 pound tanah liat dan setiap
mug membutuhkan 3 pound tanah liat dengan ketersediaan tanah liat
sebanyak 120 pound. Perusahaan memperoleh keuntungan dari pembuatan
mangkuk dan mug sebesar $40 untuk tiap mangkuk dan $50 untuk tiap
mug.
Bila permasalahan ekonomi di atas dimodelkan ke dalam model
matematika, maka :
Maksimumkan :
Berdasar :
28 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dimana :
= jumlah produksi mangkuk
= jumlah produsi gelas mug
Persoalan di atas memiliki satu tujuan saja yaitu memaksimumkan keuntungan
yang ada, maka dari itu model di atas termasuk ke dalam linear programming.
Misalkan bahwa perusahaan mempunyai tujuan yang banyak, dengan urutan
prioritas yaitu:
1. Perusahaan tidak menginginkan jumlah jam kerja pada kendala pertama
tidak melebihi 40 jam
2. Perusahaan menginginkan keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan
mangkuk dan mug adalah $1600 per harinya
3. Perusahaan menginginkan pemakaian tanah liat untuk pembuatan tiap
mangkuk dan mug tidak melebihi 120 pound per harinya
Dimana untuk setiap prioritas berlaku prioritas 1 prioritas 2 prioritas 3 , jadi
prioritas pertama harus dipenuhi terlebih dahulu setelah itu dilanjutkan untuk
memenuhi prioritas berikutnya.
Karena kasus yang ada sudah berubah, yaitu perusahaan memiliki banyak tujuan
yang harus dipenuhi, maka permasalahan di atas jika dimodelkan ke dalam
permasalahan matematika kembali menjadi :
Meminimukan :
Berdasar :
29 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Dari kasus di atas terlihat bahwa kasus yang ada memiliki banyak tujuan,
sehingga kasus di atas termasuk ke dalam goal programming. Perusahaan
memiliki prioritas-prioritas dalam pemenuhan setiap tujuan-tujuan yang ada di
mana untuk tingkat prioritas yang ditempatkan lebih tinggi dianggap lebih penting
daripada tingkat prioritas yang rendah. Sehingga pengerjaan prioritas 1
didahulukan nantinya dan dilanjutkan dengan prioritas lainnya. Model di atas
termasuk ke dalam goal programming dengan jenis lexicographic goal
programming. Ciri dari lexicographic goal programming adalah adanya prioritas
dalam setiap kasusnya.
2. PT XYZ bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun
batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah
zat kimia yang tersedia adalah A= 200 kg dan B = 360 kg. untuk membuat
1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. untuk membuat 1 kg
sabun batang diperlukan 5 kg A dan 3 kg B. keuntungan yang akan
diperoleh setiap membuat 1 kg sabun bubuk adalah $3 sedangkan setiap 1
kg sabun batang adalah $2. Berdasarkan pengalaman, perusahaan
menginginkan laba yang diterima sebesar $100 dan pemakaian zat kimia
yang tersedia digunakan seminimal mungkin.
30 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3.4 CONTOH PENYELESAIAN KASUS LEXICOGRAPHIC GOAL
PROGRAMMING
Misalkan batas mingguan produksi dua buah barang sudah ditentukan.
Misalkan kriteria pertama berhubungan dengan jumlah jam pekerja per minggu
yang digunakan untuk memproduksi dua buah barang, yaitu barang A dan barang
B. Asumsikan bahwa variabel keputusannya adalah :
: Jumlah produk tipe A yang diproduksi setiap minggu
: Jumlah produk tipe B yang diproduksi setiap minggu
Dan untuk setiap produk tipe A membutuhkan waktu 4 jam dan untuk setiap
produk tipe B membutuhkan waktu 3 jam. Fungsi untuk jumlah jam tenaga kerja
yang digunakan adalah :
Sekarang untuk melengkapi formulasi goal constraint ( kendala tujuan ) maka
ditambahkan dua buah variabel deviasional dan nilai pencapainnya. Misalkan
bahwa pembuat keputusan menginginkan memberi penalti variabel deviasional di
atas 120 jam kerja (artinya bahwa pembuat keputusan menginginkan total jumlah
kerja dibawah 120 jam) , berarti variabel yang dikenai penalti adalah variabel
deviasional . Sehingga formulasi goal constraint yang pertama menjadi :
31 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Sekarang misalkan kriteria yang lain berhubungan dengan batas keuntungan yang
diinginkan dan rencana strategi produksi. Keuntungan masing-masing barang A
dan barang B adalah $100 dan $150. Perusahaan menginginkan keuntungan
minimal $7000 per minggunya. Sehingga formulasi goal constraint yang kedua
menjadi :
Selain itu perusahaan menginginkan beberapa strategi untuk produksi
mingguannya. Perusahaan ingin mempertahankan produksi paling sedikit 40 unit
dalam tiap produknya. Sehingga formulasi goal constraint menjadi :
Perusahaan juga mempunyai dua buah hard constraint. Hard constraint yang
pertama adalah berhubungan dengan penggunaan bahan material yang digunakan
untuk memproduksi suatu produk. Perusahaan harus membeli minimal 50 untuk
menghasilkan produksi setiap minggunya. Setiap barang A membutuhkan 2 untuk
menghasilkan produksi dan barang B membutuhkan 1 untuk menghasilkan
produksi. Hard constraint yang kedua adalah berhubungan dengan waktu
produksi, dimana kedua produk tersebut memiliki waktu maksimum sebesar 75
per minggu dalam produksinya. Sehingga jika digambarkan dalam sebuah
formulasi hard constraint , maka :
32 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Kumpulkan kembali goal constraint dan hard constraint dan tambahkan pembatas
untuk menghindari produksi yang negatif. Sehingga kendala-kendala yang ada
menjadi :
33 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Grafik 3.1 menyatakan daerah fisibel (feasible region) awal, maka :
Grafik 3.1 Daerah fisibel (feasible region) awal
Sekarang misalkan bahwa perusahaan memiliki sebuah clear order ( dimana
pesanan yang ada tidak ada yang bertambah atau pun berkurang ) dan perusahaan
menginginkan beberapa prioritas tujuan untuk dipenuhi :
1. Prioritas pertama = terpenuhinya keuntungan
2. Prioritas kedua = terpenuhinya strategi produksi
3. Prioritas ketiga = terpenuhinya jam kerja
Dalam lexicographic goal programming permasalahan di atas dapat dinyatakan
dalam sebuah formulasi sebagai berikut :
34 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Meminimumkan :
Berdasar :
Perhatikan bahwa pada formulasi lexicographic goal programming dapat dilihat
bahwa prioritas pertama untuk kasus perusahaan ini adalah meminimasi ,
prioritas kedua adalah meminimasi , dan prioritas yang terakhir adalah
meminimasi . Sesuai dengan ketentuan dari lexicographic goal programming
bahwa prioritas tertinggi harus dikerjakan terlebih dahulu maka dari itu terlebih
dahulu meminimasi , selanjutnya meminimasi , dan yang terakhir
adalah meminimasi . Berikut adalah tahap-tahap untuk menyelesaikan model di
atas, yaitu :
35 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
1. Langkah 1 : meminimumkan
Perhatikan bahwa,
Meminimumkan :
Berdasar :
Nilai optimum untuk permasalahan ini adalah . karena nilai
dari maka dari itu nilai minimal dari . Selanjutnya
dimasukkan menjadi kendala pada perhitungan selanjutnya, yaitu pada
minimasi prioritas kedua. Daerah layak (feasible region) untuk prioritas
selanjutnya dapat dilihat pada grafik 3.2.
36 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Grafik 3.2 Daerah fisibel (feasible region) untuk prioritas ke-2
Pada grafik 3.2 daerah fisibel mengecil dikarenakan penyesuaian dengan
kendala tujuan pada prioritas pertama, yaitu memberikan penalti terhadap
sehingga daerah dibawah fungsi harus
dieliminasi. Grafik ini akan digunakan pada perhitungan selanjutnya.
2. Langkah 2 : meminimumkan
Perhatikan bahwa,
Meminimumkan :
Berdasar :
37 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Perhatikan grafik 3.3, jika dilihat pada grafik 3.3 bahwa seharusnya
daerah di bawah garis dan harus dieliminasi, akan tetapi
tidak bisa karena harus mempertimbangkan prioritas yang lebih tinggi
sebelumnya, sementara daerah fisibel (feasible region) seperti yang terlihat
pada grafik 3.2. Daerah fisibel (feasible region) untuk selanjutnya yaitu :
38 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Grafik 3.3 Daerah fisibel untuk prioritas ke-3 dan titik optimumnya
3. Langkah 3 : meminimumkan
Perhatikan bahwa,
Meminimumkan :
Berdasar :
39 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Dalam prioritas terakhir ini, jika dilihat dalam grafik 3.3 bahwa
seharusnya daerah di atas garis seharusnya dieliminasi,
akan tetapi daerah layak berada di garis seperti yang
terlihat pada grafik 3.3 , maka dari itu diambil solusi yang sedekat
mungkin dengan prioritas 3 sehingga prioritas 1 dan prioritas 2 pun
terpenuhi. Solusi optimumnya yaitu berada di titik A seperti terlihat pada
grafik 3.3 dengan dan . Jika dibuat tabel, maka solusi-
solusinya sebagai berikut :
Tabel 3.1 Solusi optimum permasalahan lexicographic goal programming
Goal Deskripsi Sasaran Terpenuhi Nilai
optimum
1 Jam kerja 120 Tidak 260
2 Keuntungan 7000 Iya 9500
3 Produksi
barang A
40 Tidak 35
4 Produksi
barang B
40 Iya 40
40 Hendrik Dermawan, 2013 PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Hasil di atas menggambarkna bahwa dengan memproduksi barang A
sebanyak 35 buah dan memproduksi barang B sebanyak 40 buah maka
pengusaha akan mendapatkan keuntungan sebesar $9500 per minggunya
dengan total jam kerja sebanyak 260 jam. Sesuai sasaran di awal bahwa
goal untuk jumlah jam kerja dan jumlah produksi barang A tidak
memenuhi sasaran.