Embed Size (px)
Citation preview
BAB I
Rangkaian Transient
Oleh :Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
1.1 Pendahuluan
� Pada pembahasan rangkaian listrik, arus maupun tegangan yangdibahas adalah untuk kondisi steady state/mantap. Akan tetapisebenarnya sebelum rangkaian mencapai keadaan steady state,arus maupun tegangan pada rangkaian mengalami transisi(transient), dan apabila transisi ini berakhir maka dikatakanlah arusmaupun tegangan pada rangkaian tersebut telah mencapai keadaanmaupun tegangan pada rangkaian tersebut telah mencapai keadaansteady state.
� Adapun yang dibahas pada materi kuliah ini hanya mencakuprangkaian-rangkaian yang linear yang memiliki persamaan
diferensial orde satu dan dua dengan konstanta sembarang.
1.2 Kondisi Awal
� Dalam analisa rangkaian transient perlu dibedakan tiga daerahwaktu yaitu:� Sesaat sebelum dilakukan perubahan pada rangkaian (pada
kuliah ini yang dimaksud perubahan adalah posisi dari saklarpada rangkaian) yang dilambangkan pada saat t(0-).
� Saat terjadinya perubahan yang dilambangkan pada saat t(0).Sesaat setelah terjadinya perubahan yang dilambangkan� Sesaat setelah terjadinya perubahan yang dilambangkanpada saat t(0+).
� Keadaan awal sangat diperlukan agar konstanta sembarangyang muncul dalam penyelesaian umum dari persamaandiferensial dapat dihitung.
� Sebagaimana diketahui bahwa penyelesaian umum suatupersamaan diferensial orde suatu akan berisikan satu konstantasembarang dan untuk persamaan diferensial orde dua akanberisikan dua buah konstanta sembarang sedangkan untuk orden persamaan diferensial akan memiliki n buah konstantasembarang.
1.3 Kondisi Awal Komponen Rangkaian
� Komponen R
iR(0-) ≠ iR(O) ≠ iR(0+)
� Komponen L� Komponen L
iL(0-) = iL(0) = iL(0+)
� Komponen C
[v0 = q0/c] dimana q0 adalah muatan awal
Adapun sifat dari ketiga komponen tersebut
secara ringkas dapat diperlihatkan sebagai berikut:
1.4 Kondisi Awal Dari Turunan Pertama
Rangkaian R-L Seri
Misalkan suatu rangkaian seri seperti dibawah ini :
Gambar 1.1 Rangkaian seri RL
maka menurut hukum Kirchoff, persamaan tegangan pada rangkaian di atas adalah :
atau
Persamaan ini memperlihatkan variasi turunan arus dengan
Voi.Rdt
diL =+ ( )R.iVo
L
1
dt
di−=
Persamaan ini memperlihatkan variasi turunan arus denganwaktu dan sebagaimana diketahui bahwa sesaat setelah saklarditutup, pada rangkaian tidak mengalir arus (karena sifatinduktor yang tidak bisa berubah dengan seketika) makasesaat setelah penutupan saklar, arus pada rangkaian adalahnol, sehingga persamaan berbentuk :
( )L
Vo0
dt
di=+
Laju perubahan arus terhadap waktu dinyatakan
dengan :
( ) ( )R.iVoL
1t
dt
di11 −=
Gambar 1.2 Kurva pendekatan kondisi awal arus pada rangkaian RL
seri
Adapun langkah-langkah untuk kondisi awaldari suatu turunan pada rangkaian:
� Gantikan semua induktor dengan denganrangkaian terbuka atau dengan sumber arusyang memiliki arus sebesar arus yang mengalirpada saat t(0+).
� Gantikan semua kapasitor dengan hubungansingkat atau dengan sumber tegangan sebesarbila terdapat muatan awal (q0).
� Resistor/tahanan dibiarkan tetap tanpa adaperubahan.
Jawab :
Karena sifat L yang tidak bisa berubah dengan seketika,maka rangkaian ekivalen dari rangkaian di atas saat saklarditutup adalah :
maka terlihat bahwa i(0+) = 0.
Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah penutupan
saklar adalah :
vi.Rdt
diL =+
( ) ( ) V0i.R0dt
diL =+ ++ atau ( ) V0.R0
dt
diL =++
(a)
atau: ( ) 101
10
L
V0
dt
di===+ Amp/det
untuk mendapatkan , ( )+0dt
id2
2
maka persamaan (a) dideferensialkan satu kali :
( ) ( ) ( ) ( ) 0det/Amp101000dt
id0
dt
di.R0
dt
idL
2
2atau
2
2
=+ →+ +++
↓321
atau : ( ) det/Amp10000dt
id2
2
−=+
Amp/det. 10↓
Contoh
Rangkaian di bawah ini sudah dalam
keadaan steady state.
Pada saat t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2, carilah i(0+) ;
( )+0dt
didan ( )+0
dt
id2
2
.
Jawab :
Adapun bentuk rangkaian ekivalen dalam
keadaan steady state :
( ) Amp210
20
R
Vi ===∞
Maka sewaktu saklar di posisi 1 besar arus pada
rangkaian adalah :
Adapun bentuk rangkaian setelah saklar di posisi 2
adalah :
( ) ( ) .20 Ampii =∞=+
Karena sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka :
Saklar di posisi 2, maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
( ) ( ) ( ){
0
Amp 2
0i.RR0dt
diL 21 =++
↓
++ (a)
atau : ( ) ( )02.
L
RR0
dt
di 21 =+
++
atau :
atau ( ) .det/Amp600dt
di−=+
( ) ( )2.
1
20100
dt
di +−=+
Bila persamaan (a) di diferensialkan satu kali maka diperoleh :
atau :
( ) ( ) ( ) ( )( ) 221
2
2
det/Amp18001
.det/Amp602010
L
det/Amp60RR0
dt
id−=
+−=
×+−=+
( ) ( ) 0
Amp 60-
0dt
diRR
dt
idL 212
2
=++
↓
+43421
1.5 Kondisi awal dari turunan pertama
rangkaian R-L-C seri.
Gambar 1.3 Rangkaian RLC seri
+0
Karena kondisi awal dari elemen pasif diasumsikan nol,
maka sesaat setelah saklar ditutup yaitu pada saat t = ,
rangkaian ekivalennya adalah :
Gambar 1.4 rangkaian ekivalen Gambar 1.3 pada saat t = 0+
Dari Gambar 1.3 bilamana saklar ditutup,maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah:
0VidtC
1i.R
dt
diL =++ ∫
+0Untuk t = , maka persamaan (1.6) berbentuk :
1di
Maka terlihat bahwa :
( ) 0V0dt
diL =+
atau : ( )L
V0
dt
di 0=+
( ) ( ) ( ) 0V
0
dt0iC
1
0
0i.R0dt
diL =+++++ ∫
↓↓321321
Selanjutnya untuk mencari , maka diferensialkan( )+0dt
id2
2
sebelumnya satu kali untuk t = ,sehingga diperoleh :+0
( ) ( ) ( )}
0C
0
0i0
dt
di.R0
dt
idL
2
2
=++
↑
+++ atau : ( ) 0
L
V.R0
dt
idL 0
2
2
=++( ) ( )C
Vo/L
dtdt 2
↓
++43421
( ) 0L
0dt
L2
=++
atau :
( )L
V.R0
dt
id 0
2
2
=+
( )+0dt
di
Contoh :
Dengan mengasumsikan semua kondisi awal dari elemen pasifRangkaian di bawah ini, dan pada saat t = 0 saklar ditutup,maka carilah : i(0+) ; dan
( )+0dt
id2
2
Jawab :
Adapun rangkaian ekivalen setelah saklar ditutup adalah :
( ) 00i =+
maka terlihat dari rangkaian bahwa :
Saat saklar ditutup rangkaiannya adalah :
maka persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
VidtC
1i.R
dt
diL =++ ∫ (a)
+0Untuk t = , maka persamaan (a) menjadi :
( ) ( ){
( ){
Vdt
0
0iC
1
0
0i.R0dt
diL =++ ∫
↓↓
+++
( ) .det/Amp201
20
L
V0
dt
di===+
Sehingga :
Selanjutnya untuk mendapatkan diferensialkan( )+0dt
id2
2
persamaan (a) satu kali:
0C
i
dt
di.R
dt
idL
2
2
=++
untuk t = , maka :+00
( ) ( ) ( )0
0
C
0i
Amp/det. 20
0dt
di.R0
dt
idL
2
2
=++
↑
↓
+++
876
321
Sehingga :
( ) ( ) ( ).det/Amp2000
1
.det/Amp.20100
L
.det/Amp.20R0
dt
id
2
2
−=−=−=+
Contoh :
Rangkaian di bawah ini telah mencapai keadaan steady statesebelumnya, maka pada saat t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.Carilah : i(0+) ; ( )+0
dt
didan ( )+0
dt
id2
2
Jawab :
Sewaktu saklar di posisi 1, rangkaian telah dalam keadaan steady state, sehingga rangkaian ekivalennya adalah :
maka arus pada rangkaian adalah :
( ) 00i =+
Pada saat saklar di posisi 2 rangkaian ekivalennya adalah :
maka persamaan tegangan pada rangkaian :
CVidtC
1
dt
diLi.R =++ ∫
+0Dan untuk t = , persamaan ini berbentuk :
( ){
( ) ( ){ CVdt
0
0iC
10
dt
diL
0
0i.R =++ ∫↓↓
+++
maka diperoleh :
( ) 100di
L =( ) 100dt
diL =+
atau :
( ) .det/Amp101
10
L
100
dt
di===+
Selanjutnya untuk menghitung diferensialkan( )+0dt
id2
2
Persamaan (a) satu kali :
0C
i
dt
idL
dt
di.R
2
2
=++
+0Pada t = , maka persamaan ini menjadi :0
+0Pada t = , maka persamaan ini menjadi :
( ) ( ) ( )0
0
C
0i0
dt
idL
Amp/det. 10
0dt
di.R
2
2
=++
↑
↓
+++
876
321
( ) 2
2
2
det/amp.100dt
id−=+
Sehingga :
1.6 Kondisi awal Rangkaian RLC dua Loop
Perhatikan rangkaian di bawah ini :
Gambar 1.5 Rangkaian RLC Dua Loop
Karena semua kondisi awal dari setiap elemen pasif diabaikan,maka saat saklar ditutup rangkaian ekivalen berbentuk :
Gambar 1.6 Rangkaian Ekivalen sesaat saklar ditutup
( )1
0
1R
V0i =+
dan : i2(0+) = 0
Terlihat bahwa :
Dari rangkaian Gambar 1.5 bila sakalar ditutup, maka persamaan tegangan setiap loop adalah :
Loop 1 :
∫∫ −+= dtiC
1dti
C
1RiVo 2111 atau : ( )dtii
C
1RiVo 2i11 ∫ −+=
Loop 2 :
dt
diLRidti
C
1dti
C
10 2
2212 ++−= ∫ ∫atau : ( )
dt
diLRidtii
C
10 2
2222 ++−= ∫
+0Untuk t = , maka persamaan menjadi :
( )( ) ( ) ( ) 00dt
diL
0
iR
0
dtiiC
1 2022021 =+++−
↓↓
++∫ 321444 3444 21
Sehingga :
( ) 00dt
di2 =+
Sehingga :
Untuk mendapatkan maka deferensialkan :( )+0dt
di1
t = 0+, maka :
( )dtiiC
1RiVo 2i11 ∫ −+=
01R0V
↑↑
( ) ( ) ( )876876
0
C
0i
1
C
0iR0
dt
di0 21
11
↑↑
+−
++⋅+=
sehingga : ( )2
1
01
CR
V0
dt
di−=+
t = 0+, maka :
Untuk mendapatkan maka deferensialkan :( )+0dt
id2
1
2
C
i
C
iR
dt
di0 21
11 −+=
0
21CR/0V
−
sehingga :
( )( ) ( )
48476484760
C
0dt
di
C
0dt
di
0dt
idR0
21
12
1
↑↑
+−
+++=
( )3
1
2
0
2
1
2
RC
V0
dt
id=+
t = 0+, maka :
Untuk mendapatkan maka deferensialkan :( )+0dt
id
22
2
C
i
C
iR
dt
di0 21
11 −+=
1R/Vo0
sehingga :
( ) ( ) ( ) ( )++++−=
↓
↑↑
++0
dt
idL
0
0dt
diR
1
C
i
0
C
i0
2
22
22
0102
43421
876876
( )1
0
2
2
2
LCR
V0
dt
id=+
1.7 Kondisi Awal Rangkaian RLC Yang Terdiri
Dari Tiga Loop
Perhatikan rangkaian RLC yang terdiri dari tiga loop dibawah ini.
Gambar 1.6.Rangkaian RLC yang terdiri dari tiga loop
Sebelum dilihat kondisi pada t = 0+ , maka harus dilihat terlebihdahulu kondisi pada t = 0- (sesaat sebelum saklar ditutup).Adapun rangkaian ekivalen sebelum saklar ditutup adalah :
Gambar 1.7.Rangkaian ekivalen dari Gambar 6.pada t = 0-
( ) ( )21
02R0LRR
VII
+== −−
Dalam keadaan steady state induktor L bersifat hubungan singkatsedangkan kapasitor C1- danC2, sehingga arus yang mengalir padainduktor L adalah :
( ) ( )21
02R0LRR
VII
+== −−
Sedangkan tegangan pada terminal kapasitor-kapasitor adalah :
VR
21
2
2C1CRR
VRvv
+=+ atau:
2C
21
2
1C vRR
V.Rv −
+=
Karena muatan pada kapasitor yang terhubung seri adalah sama,maka diperoleh :
2C1C qq = atau : 2C21C1 v.Cv.C =
dan apabila dimisalkan , maka dapatDituliskan : 2
21
1C
1Ddan
C
1D ==
2
1
2C
1C
D
D
v
v= atau :
1
1C2
2CD
v.Dv =
Karena :21
2
2C1CRR
VRvv
+=+ Maka : V.
RR
R
D
v.Dv
21
2
1
1C2
1C +=+
21 RR + RRD 211 +
Sehingga :
Dan :
++=
21
1
21
2
1CDD
D
RR
V.Rv
++=
21
1
21
22C
DD
D
RR
V.Rv
Dengan demikian rangkaian ekivalen pada saat t = 0+ adalah :
+
-V
R1
R3
R2
C1
C2
i2(0+)
i3(0+)
i1(0+)
+
+
-
-
VR1 + R
2
V = R1.i1(0+) + vC1 + vC2
Gambar 1.8 Rangkaian ekivalen dari Gambar.6.pada t = 0+
Persamaan tegangan pada rangkaian ini adalah:
Catatan : Rangkaian resistor seri sebagai pembag
( ) ( )2C1C2C1C11 vvVvvV0i.R +−=−−=+
( )21
2
11
.0.
RR
VRViR
+−=+
( )4434421
43421
21
11R
1R
RR
VRV
21
2
V
11RR
VRV0iR
+=
+−=+
maka : ( )21
1RR
V0i
+=+
Oleh karena arus pada L tidak bisa berubah dengan seketika, maka :
( ) ( )21
2 00RR
Vii L +
=−=+
Demikian pula karena tegengan pada kapasitor tidak dapat berubahdengan seketika, maka tegangan pada kapasitor C2 adalah :
( ) ( ) ( )[ ]+−+++= 0i0iR0i.Rv 233322C
( )( ) ( ) 322C323 R0ivRR.0i ++=++
( )( )21
3
21
2
21
2
323RR
V.R
DD
D.
RR
V.RRR.0i
++
++=++
( )( )( )
+
+++=+ 3
21
22
3221
3 RDD
D.R
RRRR
V0iSehingga :
