BAB II Distribusi

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Peubah Acak

Peubah Acak1 ialah deskripsi numerik dari suatu percobaan acak.

Sebagaimana diketahui percobaan ialah sembarang proses yang membangkitkan

data (any process that generate data). Percobaan dibagi dua yaitu Percobaan

Deterministik dan Percobaan Acak/Stokastik. Percobaan deterministik ialah

percobaan yang hasilnya dapat dipastikan, jika diulang-ulang hasilnya tepat sama.

Percobaan acak atau stokastik ialah percobaan yang hasilnya tidak dapat

dipastikan, jika diulang-ulang akan memberikan hasil yang berbeda. Kejadian

Peluang termasuk kejadian yang bersifat acak karena didapatkan dari hasil suatu

percobaan yang acak.

Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh

sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata disebut : peubah acak = variabel

acak = random variable (beberapa buku juga menyebutnya sebagai stochastic

variable ). Biasanya peubah acak dinotasikan sebagai X (X kapital) sedangkan

nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x). contohnya pelemparan

sekeping mata uang setimbang sebanyak 3 Kali

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

dimana G = gambar dan A = angka

X: setiap satu sisi gambar bernilai satu (G = 1)

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} 3 2 2 2 1 1 1 0Perhatikan bahwa X{0,1,2,3}

Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3

Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi

1. Peubah Acak Diskrit

1 http://www.ilmustatistik.com/2008/11/17/peubah-acak-dan-fungsi peluang/#more-190

Peubah acak diskrit nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan

terhingga. Digunakan untuk hal-hal yang dapat dicacah

Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah

Banyak pegawai yang di-PHK = 5 orang

2. Peubah Acak Kontinu

Peubah acak kontinu nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung

dan tidak terhingga (memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)

digunakan untuk hal-hal yang diukur (jarak, waktu, berat, volume)

Misalnya Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km

Waktu produksi per unit = 15.07 menit

Berat bersih produk = 209.69 gram

Volume kemasan = 100.00 cc

2.2. Distribusi Peluang Diskrit

2.2.1. Distribusi Seragam2

Di antara semua sebaran peluang diskrit, yang paling sederhana adalah

sebaran sebaran diskrit. Dalam sebaran ini, setiap nilai peubah acak mempunyai

peluang terjadi yang sama.

Bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai X1, X2, X3, …, Xk, dengan

peluang yang sama, maka sebaran seragam diskrit dtentukan oleh :

F (x;k) = , untuk x = x1, x2, …, xk

Penggunaan notasi f (x;k) sebagai pengganti f (x) untuk menunjukkan bahwa

sebaran seragam itu bergantung pada parameter k.

Misalnya, jika sebuah dadu dilempar, maka setiap elemen dari ruang

sampelnya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} terjadi dengan peluang yang untuk muncul yaitu

1/6, sehingga kita mempunyai distribusi uniform: f(x; 6) =1/6; x = 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Dengan demikian, histogram contoh tersebut dapat digambarkan seperti berikut.

22 Walpole, Ronald E. Pengantar Statistika (Jakarta: Gramedia, 1997), hal. 152.

Gambar 2.8. Histogram dari Pelemparan Dadu

Sumber: Walpole, Ronald E. Pengantar Statistika (Jakarta: Gramedia, 1997), hal. 152.

2.2.2. Distribusi Binomial3

Suatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan, dan masing-

masing mempunyai kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil atau

gagal. Misalkan saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali,

hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka, kita dapat

menentukan salah satu di antara keduanya sebagai “berhasil”. Begitu pula, bila 5

kartu diambil berturut-turut kita dapat memberi label “berhasil” bila yang terambil

adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Bila setiap

kartu dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya, maka kedua percobaan

yang disebutkan di atas mempunyai ciri-ciri yang sama yaitu bahwa ulangan-

ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap

sama yaitu sebesar 1/2. Percobaan semacam ini dinamakan percobaan binom.

Distribusi binomial mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan terdiri atas n ulangan.

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal.

3. Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah

sama, tidak berubah-ubah.

4. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain.

Peubah X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan

suatu percobaan binom disebut peubah acak binom. Sebagai peluang bagi peubah


acak diskrit disebut sebaran binom, dan nilai-nilainya akan dilambangkan dengan

b (x; n, p), karena nilai-nilai ini bergantung pada banyaknya ulangan dan peluang

keberhasilan pada suatu ulangan.

Suatu percobaan sering kali terdiri dari ulangan-ulangan, masing-masing

mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil atau gagal.

Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang

kegagalan q = 1-p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X, yaitu

banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas adalah:

b (x; n, p) =

Sebaran binom mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa ke-(n+1)

suku dalam penguraian binom (q+p)n ternyata merupakan berbagai nilai dari

b(x; n, p) untuk x = 0, 1, 2, …, n. Perhatikan bahwa :

(q + p)n = b (0; n, p) + b (1; n, p) + b (2; n, p) + … + b (n; n, p)

Karena p + q = 1, maka kita peroleh = 1, suatu syarat yang harus

berlaku untuk sebaran peluang apapun.

Bila setiap peluang menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan E1,

E2, …, Ek, dengan peluang p1, p2, …, pk, maka sebaran peluang bagi peubah

acak X1, X2, …, Xk, yang menyatakan berapa kali E1, E2, …, Ek terjadi dalam n

ulangan yang bebas, adalah :

F (x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n ) =

dengan = n dan = 1

Sebaran multinom mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa suku-

suku penguraian multinom (P1 + P2 + … + Pk)n berpadanan dengan semua

kemungkinan nilai f (X1, X2, …, Xk; P1, P2, …, Pk, n ).

Gambar 2.9. Grafik Binomial

Sumber: www.boost.org

2.2.3. Distribusi Hipergeometrik4

Jika peluang terambilnya x keberhasilan dari k benda yang diberi label

“berhasil” dan n-x kegagalan dari N-k benda yang diberi label “gagal”, bila suatu

contoh berukuran n diambil dari sebuah populasi terhingga beukuran N.

percobaan ini dikenal sebagai percobaan hipergeometrik.

Percobaan hipergeometrik bercirikan dua sifat berikut:

1. Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N.

2. K dari N benda yang diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda

diklasifikasikan sebagai gagal.

Banyaknya keberhasilan X dalam suatu percobaan hipergeometrik

disebut peubah acak hipergeometrik. Dengan demikian, sebaran peluang bagi

peubah acak hipergeometrik disebut sebaran hipergeometrik dan nilai-nilainya

dilambangkan dengan h (x; N, n, k), karena nilai-nilai itu bergantung pada

banyaknya keberhasilan k di antara n benda yang diambil dari populasi N benda.

Bila dalam populasi N benda, k benda di antaranya diberi label “berhasil”

dan N – k benda lainnya diberi label “gagal”, maka sebaran peluang bagi peubah

44 Walpole, Ronald E dan Raymond Meyers. Ilmu Peluang dan Statistika untuk

Insinyur dan Ilmuwan (Bandung: Penerbit ITB, 1986), hal. 99.

acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh

acak berukuran n, adalah :

h (x; N, n, k)= , untuk x = 0,1,2,….,k

Gambar 2.10. Grafik Hipergeometrik

Sumber: zoonek2.free.fr

2.2.4. Distribusi Binom Negatif5

Percobaan pada distribusi ini mempunyai ciri yang sama dengan

percobaan binom, kecuali jika ulangan diulang terus sampai terjadi sejumlah

tertentu keberhasilan. Jadi, alih-alih menentukan peluang x keberhasilan alam n

ulangan, dengan n telah ditetapkan lebih dulu, sedangkan dengan peluang bahwa

keberhasilan ke-k terjadi pada ulangan ke-x. Percobaan semacam ini disebut

sebagai percobaan binom negatif.

Distribusi binom negatif adalah jika ulangan yang bebas dan berulang-

ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluan p dan kegagalan dengan

peluang q = 1- p, maka sebaran peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya

ulangan sampai terjadinya k keberhasilan, diberikan menurut rumus:


b* (x; k,p) =

untuk x = k, k + 1, k + 2,…

Sebaran binom negatif memperoleh namanya dari kenyataan bahwa setiap

suku dalam penguraian pk(1 – p)x-k berpadanan dengan nilai-nilai b* (x; k,p) untuk

x = k, k + 1, k + 2,…

Gambar 2.11. Grafik Binom Negatif


2.2.5. Distribusi Geometrik6

Distribusi geometrik adalah jika tindakan yang bebas dan berulang- ulang

dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan

peluang q = 1 – p, maka sebaran peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya

ulangan sampai munculnya keberhasilan yang pertama, diberikan menurut rumus:

g(x;p) = pqx-1, untuk x = 1, 2, 3,...


Gambar 2.12. Grafik Geometrik


2.2.6. Distribusi Poisson7

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu,

disebut percobaan Poisson. Selang waktu tersebut dapat berapa saja panjangnya,

misalnya semenit, sehari, seminggu, sebulan atau bahkan setahun. Dengan

demikian percobaan Poisson dapat saja membangkitkan pengamatan-pengamatan

bagi peubah acak X yang menyatakan banyaknya dering telepon di suatu

kantor,jumlah hari sekolah ditutup karena turunnya salju di musim dingin atau

banyaknya pertandingan yang tertunda karena hujan selaa suatu musim kompetisi

sepakbola dll.

Percobaan Poisson memiliki cirri-ciri sebagai berikut:

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang

singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung

pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah

tersebut.



3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang

waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat

diabaikan.

Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu

percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson dan sebaran peluangnya disebut

sebaran Poisson diberikan menurut rumus:

, untuk x = 0,1,2,......

Gambar 2.13. Grafik Poisson


2.3. Distribusi Peluang Kontiniu

2.3.1. Distribusi Normal8

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi

probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan

simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve)

karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.


http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kepekatan_probabilitas

http://id.wikipedia.org/wiki/Simpangan_baku

http://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata

http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_probabilitas&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_probabilitas&action=edit&redlink=1

Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika,

misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi

populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak

digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian

hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Jika X adalah peubah acak normal dengan nilai tengah μ dan ragam σ2,

maka persamaan dari kurva normal adalah:

Jika suatu peubah acak X menyebar secara normal dengan μx=0 dan σ2x=1,

maka peubah acak tersebut dinamakan peubah acak normal baku serta diberi

lambang Z. Sebaran dari peubah acak Z ini disebut sebaran normal baku, dengan

fungsi peluangnya:

Dengan peubah acak normal baku Z didefinisikan sebagai berikut:

Ada empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang

paling penting:

1. Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti diuraikan sebelumnya banyak

peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal.

2. Beberapa variabel acak yang itdak berdistribusi secara normal dapat dengan

mudah ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

3. Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistic yang

bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi

normal.

Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal

pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara

random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Untuk menghitung probabilitas P(a ≤ x ≤ b) dari suatu variabel acak

kontiniu X yang berdistribusi secara normal dengan parameter μx dan σx maka

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengujian_hipotesis&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengujian_hipotesis&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_sampling&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika

harus diintegral mulai dari x = a sampai x = b. Namun tidak ada satupun dari

teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan

integral tersebut. Untuk itu para ahli statistic/matematik telah membuat sebuah

penyederhanaan dengan memperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas

normal khusus dengan nilai mean (μx) = 0 dan deviasi standard (σx) = 1.

Distribusi khusus ini dikenal sebagai distribusi normal standard (standard normal

distribution). Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya

dinotasikan dengan Z.

Dengan menerapkan ketentuan di atas, maka fungsi kepadatan probabilitas

dari distribusi normal standard variabel acak kontiniu Z adalah

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi normal standard

ini dinyatakan sebaga:

Bentuk kurva fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi kumulatif

normal standard ditunjukkan oleh Gambar 2.14.

Gambar 2.14. Distribusi Normal

Sumber: www.wikipedia.org

2.3.2. Distribusi T9

Di dalam suatu sebaran, bila n 30, maka nilai-nilai masih

menyebar menghampiri sebaran normal baku. Namun bila ukuran contohnya

n<30, maka nilai s2 berfluktuasi cukup besar dari satu contoh ke contoh lainnya

dan sebaran tidak lagi normal baku. Bila demikian halnya, kita

sesungguhnya berhadapan dengan sebaran suatu statistik yang disebut T yang

nilai-nilainya yaitu:

Sebaran t menyerupai sebaran z, dalam hal keduanya setangkup di sekitar

nilai tengah nol. Kedua sebaran tersebut berbentuk genta namun, sebaran t lebih

bervariasi, berdasarkan kenyataan bahwa nilai t bergantung pada fluktuasi dua

besaran yaitu x dan s2, sedangkan nilai z bergantung pada perubahan x dari satu

contoh ke contoh lainnya. Sebaran bagi t berbeda dengan sebaran bagi z dalam hal

ragamnya bergantung pada ukuran contoh n dan selalu lebih besar dari 1. Hanya

bila ukuran contoh kedua sebaran itu menjadi sama.



Gambar 2.15. Distribusi T

Sumber: geodesy.gd.itb.ac.id

2.3.3. Distribusi F10

Uji F adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi

observasi yang benar-benar terjadi/aktual dengan frekuensi harapan/ekspektasi.

Selain itu, distribusi F juga memperbandingkan dua variance, uji harga rata-rata

tidak mencukupi (deviasinya sangat besar, sehingga nilai rata-rata sulit dijadikan

ukuran) oleh karena itu digunakan uji variance yang mengikuti distribusi F.

Fungsi distribusi f yaitu:

dan

Bila S dan S adalah ragam dua contoh acak bebas berukuran n1 dan n2 yang

ditarik dari populasi normal dengan ragam σ dan σ22 maka:

Gambar 2.16. Distribusi F



2.3.4. Distribusi Chi-Kuadrat11

Uji chi kuadrat atau chi-square antara frekuensi yang teramati dengan

frekuensi harapan yang didasarkan pada besaran yang terjadi. Fungsi distribusi chi

kuadrat diberikan sebagai berikut:

χ2 =

Z adalah chi-square dengan variabel acak m derajat kebebasan.Ada dua

jenis chi-square distribusi. Yang pertama adalah saat yang diperoleh X2 memiliki

nol berarti dan dinamakan pusat distribusi chi-square. Yang kedua adalah yang

diperoleh ketika X2 yang tidak nol berarti disebut non-pusat distribusi chi-square.

Contoh yang paling sederhana dari chi square adalah variabel acak

dimana X adalah Gaussian random variable dengan zero mean dan variance .

PDF yang X adalah

Dengan definisi, maka fungsi distribusi kumulatif dari Z adalah

Sederhanakan ini ke

Uji chi-square acak variabel dengan satu derajat kebebasan adalah

Chi- square random variabel dengan 2 derajat kebebasan ini diberikan sebagai

berikut:

,


Dimana, X dan Y independen adalah variabel acak Gaussian dengan mean nol

dan varians . Dalam nilai pada variabel random Rayleightelah ditunjukkan

variabel acak , di mana yaitu:

Sehingga dilakukan analisa menjadi:

Diferensiasi dua sisi menjadi:

Maka uji chi square acak variabel dengan dua derajat kebebasan adalah:

Probabilitas fungsi kepadatan:

Dimana gamma yang berfungsi didefinisikan sebagai berikut:

’,

sebuah integer> 0

.

Gambar 2.17. Distribusi Chi-Kuadrat


2.3.5. Distribusi Weilbull12

Distribusi Weibull (Waloddi Weibull, Swedish, 1939) banyak digunakan

dalam analisis keandalan yang barkaitan dengan umur (rentang waktu), contohnya

rentang waktu dimana sebuah peralatan mungkin akan rusak (tidak berfungsi).

Variabel random kontinu T berdistribusi. Distribusi Weibull sering digunakan

untuk memodelkan waktu hingga terjadi kegagalan teknis dari suatu alat.

Dalam aplikasinya, distribusi ini sering digunakan untuk memodelkan

“waktu sampai kegagalan (time to failure)” dari suatu sistem fisika. Ilustrasi yang

khas, misalnya yaitu pada sistem di mana jumlah kegagalan meningkat dengan

berjalannya waktu (misalnya keausan bantalan), berkurangnya dengan berjalannya

waktu (misalnya daya hantar beberapa semikonduktor) atau kegagalan yang

terjadi oleh suatu kejutan (shock) pada sistem.

Jika sebuah variabel acak kontiniu X memiliki distribusi Weibull dengan

parameter bentuk α dan faktor skala β, di mana α > 0 dan β > 0, maka fungsi

kepadatan probabilitas dari X adalah :

0 yang lain

Fungsi di atas mudah untuk diintegralkan, sehingga diperoleh fungsi

distribusi kumulatif Weibull.

12 Herinaldi. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains (Jakarta: Penerbit

Erlangga, 1997), hal 106.

,;xFw

x

exa

10x

Tanpa pembuktian secara matematik, berikut ini diberikan rumusan

beberapa uuran statistik deskriptif untuk distribusi Weibull.

1. Mean (Nilai Harapan) :

2. Varians :

3. Kemencengan (skewness) :

4. Keruncingan (kurtosis) :

Gambar 2.18. Distribusi Weibull

Sumber: www.weibull.com

2.3.6. Distribusi Lognormal13

Distribusi lognormal adalah probabilitas dengan satu ujung pada variabel

acak dimana data berdistribusi mendekati distibusi normal. Jika X adalah variabel

acak dengan distribusi normal kemudian Y = exp(x) merupakan distribusi

lognormal. Untuk y jika berdistribusi lognormal, maka log Y akan berdistribusi

normal. Fungsi kepadatan probabilitas dari sebuah variabel acak yang memenuhi

distribusi lognormal jika ln(X) erdistribusi normal dengan parameter dan

adalah:



Sedangkan fungsi distribusi kumulatif lognormalnya adalah:

dan adalah mean dan satndar deviasi dari ln(X) dan bukan dari X.

Karena ln(X) memiliki sebuah distribusi normal, maka fungsi distribus kumulatif

dari X dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif normal

standar F(z), dengan transformasi sebagai berikut:

Tanpa pembuktian secara matematik, berikut ini diberikan rumusan

beberapa ururan statistik deskriptif untuk distribusi lognormal.

1. Mean (Nilai Harapan) :

2. Varians :

3. Kemencengan (skewness) :

4. Keruncingan (kurtosis) :

Gambar 2.19. Distribusi Distribusi Lognormal

Sumber: upload.wikimedia.org

2.3.7. Distribusi Gamma14

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas

dalam bidang matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh ∫ untuk α > 0.

Dengan memvariasikan nilai kedua parameter, yaitu shape parameter β dan scale

parameter α maka ada banyak jenis sebaran data yang dapat diwakili oleh

distribusi Gamma. Untuk eksperimen probabilitas yang hasilnya menunujukkan

suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup

signifikan, distribusi gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak

digunakan.

Didefinisikan untuk α > 0, fungsi gamma (α) adalah:

Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah:

1. Untuk sebuah bilangan bulat positif n, (n) = (n – 1)!

2. didefinisikan :

3. Untuk setiap α > 1 berlaku (α) = (α - 1). (α - 1)

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi gamma

dengan parameter bentuk α dan parameter skala β dimana α > 0 dan β > 0 jika

fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah:

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif gamma adalah:



Gambar 2.13. Grafik Distribusi Gamma

2.3.8. Distribusi Eksponensial15

Distibusi eksponensial digunakan pada saat menghitung peristiwa sambil

menunggu (kata kuncinya: waktu). Distribusi Eksponensial memiliki tipe data

kontinu. Sebagai contoh dari distribusi eksponensial adalah berapa selang waktu

antar mobil yang lewat di pintu tol. Fungsi dari distribusi eksponensial dapat

dilihat sebagai berikut:

Dimana yang merupakan parameter sebaran.

Fungsi kumulatif distribusi diberikan sebagai berikut:

dan



Gambar 2.21. Distribusi Eksponensial

Sumber: upload.wikimedia.org

2.4. Teori Pengujian Distribusi dengan Metode Chi-Square16

Untuk peubah acak kontinu z (z ≥ 0):

n = 1, 2, ... = derajat kebebasan

Gambar 2.22. Gambar Grafik Metode Chi-Square

Sumber: www.andrews.edu

Selain itu, terdapat uji kesesuaian dengan chi-square yang digunakan pada

uji frekuensi kejadian dari suatu eksperimen atau pengamatan. Tabel observasi

pengamatan dapat dilihat pada Tabel 2.1.

16 Siregar, Syafaruddin. Statistik Terapan (Jakarta: Grasindo, 2004), hal 175.

Tabel 2.1. Data Observasi

Kategori A1 A2 ... A3

Observasi (Oi) O1 O2 ... O3

Diharapkan (Ei) E1 E2 ...

Nilai statistik χ2 pada tabel tersebut adalah:

Atau

Langkah-langkah dalam metode ini adalah sebagai berikut :

1. Tentukan Ho (Hipotesa nol/awal)

2. Tentukan Hi (Hipotesa alternatif)

3. Tentukan taraf signifikan (α)

4. Tentukan wilayah kritik dengan nilai z yang diperoleh dari nilai α

5. Lakukan perhitungan z dan tentukan wilayah jatuhnya nilai z hitung.

6. Tarik kesimpulan dan buat keputusan dengan ketentuan Tolak Ho jika nilai z

yang dihitung berada dalam wilayah kritik sedangkan Terima Ho jika nilai z

yang dihitung berada di luar wilayah kritik.

Documents

BAB II Distribusi