(Statmat II) BAB I Distribusi Kontinue.pdf

Bab I Distribusi Khusus Tipe Kontinue

Arika Indah Kristiana, S.Si, M.Pd 1

BAB I

DISTRIBUSI KHUSUS TIPE KONTINUE

1.1 DISTRIBUSI GAMMA

Beberapa nilai dan sifat dalam fungsi gamma:

1. Γ(1) = 1

Karena Γ (1) = ∫ 푒∞ 푥1 1푑푥

= ∫ 푒∞ 푥0푑푥

= ∫ 푒∞ . 1푑푥

= 1

2. Jika 푟 > 1, berlaku (r) = (r – 1) (r – 1)

Dimana Γ(푟) = ∫ 푒 푥 1푑푥∞0 dengan menggunakan integral parsial, kita

misalkan :

푢 = 푥 1 ; 푑푢 = (푟 − 1)푥 2푑푥

푑푣 = 푒 ; 푣 = −푒

Γ(푟) = ∫ 푒 푥 1푑푥∞0 = 푥 1.−푒 − ∫ −푒 (푟 − 1)푥 2푑푥∞

0

= −푥 1푒 ∞0 + (푟 − 1)∫ 푒 푥( 1) 1푑푥∞

0

= 0 + (푟 − 1)∫ 푒 푥( 1) 1푑푥∞0

Dapat dituliskan sebagai Γ(푟) = (푟 − 1)Γ(푟 − 1)

3. Untuk n bilangan asli maka Γ (n) = (푛 − 1)!

Bukti :

untuk r bilangan asli sampai ke n

Γ (1) = 1

Γ (2) = (푟 − 1) Γ (푟 − 1)

Γ(푟) = 푒∞

0푥 1푑푥,푟 > 0

Definisi 1.1

Fungsi gamma dengan parameter r didefinisikan sebagai berikut:



= ( 2 – 1) Γ (2 − 1) = 1 . Γ (1) = 1!

Γ (3) = (푟 − 1) Γ (푟 − 1)

= ( 3 – 1) Γ (3 − 1) = 2 . Γ (2) = 2!

Γ (4) = (푟 − 1) Γ (푟 − 1)

= ( 4 – 1) Γ (4 − 1) = 3 . Γ (3) = 3. 2! = 3!

⋮

Γ (n) = (푛 − 1)!

4. Γ 12

= √휋

Bukti:

Γ(푟) = ∫ 푒 푥 1푑푥∞0 , r > 0

Γ12 = 푒 푥

12 1 푑푥

∞

0

Γ 12

= ∫ 푒 푥12 푑푥∞

0 ....................... pers (1)

Misal : 푥 = 푢2 푑푥 = 2푢푑푢

Substitusikan ke persamaan (1)

훤12 = 푒 2(푢2)

12 2푢푑푢

∞

0

= 푒 2푢 12푢푑푢∞

0

= 2푒 2 푑푢∞

0

Kuadratkan kedua ruas

훤12

2

= 4푒 2 푒 2푑푢푑푢∞

0

∞

0

Misalkan 푢 = 푣, maka

훤12

2

= 4푒 2푒 2푑푢푑푣∞

0

∞

0

훤12

2

= 4푒 2 2 푑푢푑푣∞

0

∞

0

Dalam kalkulus III, persamaan diatas tidak akan dapat diselesaikan

tanpa pertolongan koordinat kutub. Maka untuk mempermudah



penyelesaian, kita ubah dulu ke dalam bentuk persamaan koordinat

kutub. Kita ketahui bahwa 푢2 + 푣2 sebagai lingkaran,

Misal : 푢 = 푟 cos 휃 dan 푣 = 푟 sin 휃

Maka akan diperoleh persamaan

훤12

2

= 4 푒 2푟푑푟푑휃∞

0

2

0

Kita kerjakan terlebih dahulupengintegralan terhadap (푟)

푒 2푟푑푟 = … … . ?∞

0

Misal:

푟2 = 푢 2푟푑푟 = 푑푢 atau 푑푟 =2

Maka,

푒 2푟푑푟 = 푒∞

0푟

∞

0

푑푢2푟

=12 푒

∞

0푑푢

=12

(−푒) ]0∞

=12

Γ12

2

= 412 푑휃

2

0

Γ12

2

= 2 푑휃2

0

Γ12

2

= 2휃]02

Γ12

2

= 2휋2

Γ12

2

= 휋



훤 12

= √휋 (terbukti)

5. Fungsi gamma dapat juga digeneralisasi dengan mensubstitusi variabel

baru 푥 = →푑푥 = 1푑푦, dimana s > 0, sehingga menghasilkan

Γ(푟) = ∫ 푒 푥 1푑푥∞0 , r > 0

Γ(푟) = 푒푦푠

1 1푠 푑푦

∞

0

Γ(푟) =푦푠

1푒

1푠 푑푦

∞

0

Akan ditunjukkan f(x) adalah pdf

1. Apakah f(x) = 0?

karena 훼 > 0,훽 > 0; danΓ(α) > 0maka푓(푥) ≥ 0

2. Apakah ∫ 푓(푥) = 1∞∞ ?

∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 푓(푥)푑푥 + ∫ 푓(푥)푑푥∞0

0∞

∞∞

∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 1Γ( )

1 푥 1푒∞0 푑푥

= 1Γ( ) ∫

1푒∞

01 푑푥

misalkan푥 = 푦;훼 = 푟;훽 = 푠

= 1Γ( )∫

1푒∞

01푑푦

= 1Γ( )

Γ(푟)

= 1Γ( )

Γ(푟) = 1

= 1

Definisi 1.2

Peubah acak X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter > 0

dan > 0 jika X mempunyai pdf

푓(푥) = 1

Γ( )푥 1푒 ,untuk푥 > 0

0,untuk푥yanglain



Sehingga terbukti bahwa 푓(푥) = 1


0,untuk푥yanglain adalah pdf.

푀(푡) = 푒

푓(푥)푑푥

= ∫ 푒∞0

1

Γ( )푑푥

= ∫1

1

Γ( )∞

0 푑푥

= ∫1 ( 1)

Γ( )∞

0 푑푥

Misal : 푧 = (1 − 푡훽) 푑푧 = (1 − 푡훽)

푥 = (1 )

푑푥 = (1 )

푀(푡) = ∫ ( )푒 푑푧

= 1Γ( ) ∫ 1

∞0 푧 1푒 푑푧

= 1Γ( ) (1 ) ∫ 푧 1∞

0 푒 푑푧

= 1Γ( )(1 )

Γ(훼)

푀(푡) = 1

(1 − 훽푡)

Teorema 1.1

Fungsi pembangkit momen, mean dan varians dari pa X yang

berdistribusi Gamma dengan parameter dan adalah

1. Fungsi Pembangkit Momen, 푀(푡) = 1(1 )

2. Mean, =

3. Varians, 2 = 2

Bukti



Mean, =

휇 = 퐸(푥) = ∫ 푥푓(푥)푑푥∞∞

= ∫ 푥1

Γ( )∞

0 푑푥

= ∫ Γ( )∞

0 푑푥

= 1Γ( )

∫ 푥∞0 푒 푑푥

= Γ( 1) 1

Γ( )

= !( 1)!

퐸(푥) = 훼훽

Varians, 2 = 2

퐸(푥2) = Γ( 2) 2

Γ( )

= ( 1) 2( 1)!( 1)!

= 훼2훽2 + 훼훽2

휎2= 퐸(푥2) − 퐸(푥) 2

= 훼2훽2 + 훼훽2 − (훼훽)2

= 훼2훽2 + 훼훽2 − 훼2훽2

= 훼훽2

Contoh 1.1

Apabila X adalah Pa berdistribusi gamma dengan parameter = 2 dan = 3,

tentukan fungsi densitasnya!

Penyelesaian :

= 2 dan = 3, dari 푓(푥) = 1


0,untuk푥yanglain

Bukti

Bukti



Diperoleh 푓(푥) = 1

Γ(2)32 푥2 1푒 3 = 19푥푒 3 ,untuk푥 > 0

0,untuk푥yanglain

Contoh 1.2

Apabila Pa. Kontinue berdistribusi:

푓(푥) = 14푥푒 2 ,untuk푥 > 0

0,untuk푥yanglain , buktikan bahwa f(x) merupakan fungsi

densitas gamma!

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa ∫ 푓(푥)∞∞ 푑푥 = 1

∫ 14푥푒 2

∞∞ 푑푥 = ∫ 1

4푥푒 2

0∞ 푑푥 + ∫ 1

4푥푒 2

∞0 푑푥

= 0 + ∫ 14푥푒 2

∞0 푑푥

= 14∫ 푥푒 2

∞0 푑푥

Dengan menggunakan penyelesaian integral parsial, maka didapat

∫ 14푥푒 2

∞∞ 푑푥 = 1

4 .4 = 1 hal ini menunjukkan bahwa f(x) merupakan fungsi

densitas, sekarang tinggal membuktikan f(x) merupakan fungsi densitas

gamma,

푓(푥) = 1


0,untuk푥yanglain

Jika = 2 dan = 2 maka 푓(푥) = 1

Γ(2)22 푥2 1푒 2 = 14푥푒 2 ,untuk푥 > 0

0,untuk푥yanglain

Jadi, terbukti bahwa f(x) merupakan fungsi densitas gamma dengan = 2 dan

= 2.

1.2 DISTRIBUSI BETA

퐵(푚,푛) = 푥 1(1 − 푥) 1푑푥1

=Γ(푚)Γ(푛)Γ(푚 + 푛)

Definisi 1.3

Fungsi beta dengan parameter 푚,푛 didefinisikan sebagai



Untuk fungsi beta kita memperoleh hasil sebagai berikut

1. 퐵(푚, 푛) = 퐵(푛,푚)

Bukti :

퐵(푛,푚) = ∫ 푥 1(1 − 푥) 1푑푥10

Misal : 푥 = 1 − 푦 푑푥 = −푑푦

maka,

퐵(푛,푚) = ∫ (1 − 푦) 1 1 − (1 − 푦) 1(−푑푦)10

퐵(푛,푚) = −∫ (1 − 푦) 1(푦) 1푑푦01

퐵(푛,푚) = ∫ (푦) 1(1 − 푦) 1푑푦10

Terbukti bahwa 퐵(푚,푛) = 퐵(푛,푚)

2. 퐵(1,1) = 1

Bukti :

퐵(푚,푛) = ( ) ( )( )

퐵(1,1) = (1) (1)(1 1)

= 1.1(2)

= 1

Terbukti bahwa 퐵(1,1) = 1

3. 퐵 12

, 12

= 휋

Bukti :

퐵(푚, 푛) = ( ) ( )( )

퐵 12

, 12

=12

12

12

12

= √ √(1)

=1

Terbukti bahwa 퐵 12

, 12

= 휋

Definisi1.4

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Beta dengan parameter m dan

n jika X mempunyai pdf :

푓(푥) = 1

( , )푥 1(1 − 푥) 1푚, 푛0, 0 ≤ 푥 ≤ 1

0, 푥yanglain



Bukti f(x) adalah pdf :

1) f(x) 0

Terbukti m,n 0 syarat distribusi beta, dan 0 untuk m,n yang lain karena

kalau dimasukkan f(x) 0, maka m,n = negative karena 0

2) ∫ 푓(푥)∞∞ 푑푥 = 1

∫ 푓(푥)∞∞ 푑푥 = ∫ 푓(푥)0

∞ 푑푥 + ∫ 푓(푥)10 푑푥 + ∫ 푓(푥)∞

1 푑푥

= ∫ 1( , )

푥 1(1 − 푥) 110 푑푥

= 1( , )∫ 푥 1(1− 푥) 1푑푥1

0

= 1( , )

. 퐵(푚,푛)

= 1

Dengan demikian, f(x) merupakan pdf untuk distribusi beta.

퐸(푋) = ∫ 푥. 1( , )

푥 1(1 − 푥) 1푑푥10

= ∫( 1) 1(1 ) 1

( , )푑푥1

0

= ( 1, )( , ) ∫

( 1) 1(1 ) 1

( 1, )푑푥1

0

= ( 1, )( , )

= Γ( 1)Γ( )Γ( 1)

. Γ( )Γ( )Γ( )

= ( 1 1)!Γ( )( 1 1)!Γ( )

. Γ( )Γ( )

= ; m,n N

Sehingga diperoleh 휇 = , untuk variansi silahkan Anda coba sebagai

latihan soal.

Teorema 1.2

Rataan dan variansi dari ditribusi beta adalah

휇 = dan휎2 =( )( 1)

Bukti :



1.3 DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Akan ditunjukkan bahwa f(x) adalah pdf

Ingat distribusi Gamma, f(x) = 1( )

. 푥 1 . 푒

Dari Definisi 3, distribusi eksponensial merupakan distribusi gamma dengan

α = 1 dan β, sehingga Pa X berdistribusi eksponensial dengan parameter

mengikuti pernyataan dari distribusi gamma.

Karena distribusi eksponensial sesuai dengan distribusi gamma dengan

= 1, sehingga :

Rataan distribusi eksponensial

Distribusi gamma µ = αβ

Distribusi eksponensial α = β

Varians distribusi eksponensial

Distribusi gamma σ2 = α훽2

Distribusi eksponensial = σ2 = 훽2

Contoh 1.3

Pa X berdistribusi eksponensial dengan f(x) = 2 e-2x, untuk x > 0 dan f(x) = 0

untuk x yang lain. Tentukan rataan dan variansinya!

Definisi 1.5

Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter

β, jika ia berdistribusi Gamma dengan parameter α=1danβ

푓(푥) =1 푒 / , 푥 > 0

0, 푥yanglain

Teorema 1.3

Jika Pa X berdistribusi eksponensial dengan parameter , maka rataan

= dan variansi 2 = 2.

Bukti



Penyelesaian:

f(x) = 2 e-2x berarti = ½ karena f(x) = 1/ e-x/ , sehingga

= ½ dan 2 = ¼

1.4 DISTRIBUSI CHI-KUADRAT

Definisi 1.6

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat

kebebasan r, dinotasikan 2(r) , jika ia berdistribusi Gamma dengan

parameterα=2 danβ=2.

Ingat, distribusi Gamma

f(x) = α 1.

xβ

(α)βα , untuk α,β>0

maka, distribusi Chi-Kuadrat dengan parameterα=2 danβ=2adalah

f(x) = r2 1.

x2

( r2)2

r2

, untuk α=2, β=2>0dan0≤x≤∞

Distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf:

1) Apakah f(x) ≥0?

YA,karenaα=2 > 0, β=2>0dan0≤x≤∞ sehingga f(x) =

r2 1.

x2

( r2)2

r2

≥0

2) Apakah ∫ 푓(푥)∞∞ = 1?

f(x) = 푥r2−1.푒−

x2

훤( r2)2

r2

Misal, x = 2

dx = 2

Γ(r2

) = ∫ (y2

)r2 1. 푒

y2. dy

2∞

0

Γ(r2

) = ∫ (푦)r2 1. 푒

y2. (1

2)

r2 1. (1

2)1푑푦∞

0

Γ(r2

) = ∫ (푦)r2 1푒

y2. (1

2)

r2푑푦∞

0



Γ(r2

) = ∫ y2.( )

r2 1

2r2

푑푦∞0

Γ(r2

) = ∫ y2.( )

r2 1

2r2

푑푦∞0

Γ( r2)

Γ( r2)

= ∫ y2.( )

r2 1

2r2

. 1Γ( r2)푑푦∞

0

1 = ∫ y2.( )

r2 1

Γ r2 .2

r2

푑푦∞0

Oleh karena x = y, maka ∫ x2.( )

r2 1

Γ r2 .2

r2

푑푥∞0 = 1

Dengan demikian f(x) merupakan pdf distribusi Chi-Kuadrat

M(t) = E(푒 )

= ∫ 푒 .푓(푥)푑푥∞0

= ∫ 푒 .∞0

x2.( )

r2 1

Γ r2 .2

r2

푑푥

= ∫ .x2.( )

r2 1

Γ r2 .2

r2

∞ 푑푥

= ∫ x2(1 2t).( )

r2 1

Γ r2 .2

r2

∞ 푑푥

Misal, z = 2

(1 – 2t)

x = 2

(1 2 )

: Γ(

)

Teorema 1.4

Fungsi Pembangkit Momen (M(t)) dari distribusi Chi-Kuadrat adalah

M(t) = (1– 2t) 2 , t < 12

Bukti:



dx = 2

(1 2 ) dz

maka, ∫ x2(1 2t).( )

r2 1

Γ r2 .2

r2

∞ 푑푥

= ∫ z.( 2

(1 2 ))r2 1

Γ r2 .2

r2

∞ . ( 2(1 2 )) dz

= 1

Γ r2 .2

r2

∫ 푒 z. ( 2(1 2 )

)r2 1∞ . ( 2

(1 2 )) dz

= 1

Γ r2 .2

r2

∫ 푒 z. (푧)r2 1. ( 2

(1 2 ))

r2 1∞ . ( 2

(1 2 ))1 dz

= 1

Γ r2 .2

r2

∫ 푒 z. (푧)r2 1. ( 2

(1 2 ))

r2

∞ dz

= 1

Γ r2 .2

r2

. ( 2(1 2 )

)r2 ∫ 푒 z. (푧)

r2 1∞ dz

= 1

Γ r2 .2

r2 . 2

r2

(1 2 )r2

. Γ r2

= 1

(1 2 )r2

= (1– 2t) 2

Jadi, terbukti bahwa M(t) = (1– 2t) 2 , t < 12

Mean (µ) distribusi Chi-Kuadrat Mean untuk distribusi Chi-Kuadrat (χ 2) adalah turunan pertama M(t) pada

saat t = 0.

M(t) = (1-2t)-r/2 , t < ½

M’(t) = (-r/2).(1-2t)-r/2-1 . (-2) , t < ½

Teorema 5

Pa X berdistribusi Chi-Kuadrat, maka rataan = r dan variansi 2 = 2r

Bukti :



= r.( 1-2t)-r/2-1 , t < ½

M’(0) = r.( 1-2.0)-r/2-1 = r

Sehingga rataan, µ=r

Varians (σ2) distribusi Chi-Kuadrat

Varians untuk distribusi Chi-Kuadrat (χ 2) adalah turunan kedua M(t)

dikurangi kuadrat turunan pertama pada saat t = 0.

M(t) = (1-2t)-r/2 , t < ½

M’(t) = r.(1-2t)-r/2-1 , t < ½

M’’(t) = r.(-r/2-1) .(1-2t)-r/2-1-1 . (-2) , t < ½

= (r2 + 2r). (1-2t)-r/2-2 , t < ½

M’’(0) = (r2 + 2r). (1-2.0)-r/2-2 , t < ½

= r2 + 2r

Sehingga σ2 = M’’(0) – (M’(0)2) = r2 + 2r - r2 = 2r

Contoh 1.4

Jika diketahui pa X berdistribusi 2(r) dengan 푓(푥) =1

16푥2푒 /2, 푥 > 00, 푥yanglain

Tentukan a) derajat kebebasan, b) rataan, dan c) variansi

Penyelesaian

Bentuk umum fungsi densitas 2(r) adalah 푓(푥) = 1

Γ 2 22푥2 1푒 /2 sehingga

a) (r/2) – 1 = 2 r = 6

b) = r = 6

c) 2 = 2r = 12

1.5 DISTRIBUSI NORMAL

Suatu distribusi yang sangat banyak digunakan dalam statistika

inferensial adalah distribusi normal. Tetapi pada kenyataannya distribusi ini

merupakan distribusi yang sangat ideal. Dikatakan demikian karena

beberapa alasan misalnya mempunyai rataan nol, simetri terhadap garis

x = akibatnya mean, median dan modusnya sama. Dalam kenyataannya kita



sulit untuk menemukan satu peristiwa yang mempunyai distribusi normal.

Yang dapat ditemukan maksimal adalah distribusi yang hampir normal.

Akan ditunjukkan f(x) sebagai pdf

Dengan menggunakan fungsi gamma,

Dimisalkan :

y = 12 ( µ )2 dy = 1

2 . 2 ( µ ) ( 1 ) dx

2y = ( µ )2 dy = 1 ( µ ) dx

2y = ( µ ) dx = 휎 ( µ

) dy

12y

= µ

∫ 푓(푥)∞∞ dx = 1

√2π ∫ 푒∞

∞ - 12

( µ )2 dx

= 1√2π

∫ 1 푒∞∞

-y 휎 ( µ

) dy

= 1√2π

∫ 푒∞∞

-y ( 12y

) dy

= 1√2

1√π

∫ 푒∞∞

-y ( 1√2

) 1y dy

= 12 1√π

.2 ∫ 푒∞0

-y y -12 dy

= 1√π

∫ 푒∞0

-y y -12 dy

= 1√π

Γ(12 )

Definisi 1.7

Pa X dikatakan berdistribusi normal dengan rataan dan variansi 2

yang dinotasikan dengan X N(, 2) jika fungsi densitas dari X adalah

푓(푥) = 1√2

푒12

2

,−∞ < 푥 < ∞



= 1√π

√휋 = 1

Dengan menggunakan koordinat kutub

Dimisalkan 푦 = → 푑푦 = 1 푑푥 dengan kata lain 푑푥 = 휎푑푦

푓(푥)푑푥 =∞

∞

1휎√2휋

∞

∞.푒

12

2

푑푥

=1

√2휋

1휎

∞

∞.푒

12

2휎푑푦

=1

√2휋 푒

12

2∞

∞푑푦 = 퐼

Ambil y = z

퐼2 =1

√2휋

2

푒12

2 2푑푦푑푧

∞

∞

∞

∞

Misal : 푦 = 푟 cos 휃 , 푧 = 푟 sin 휃

Maka,

퐼2 =1

2휋 푒12

2∞

0

푟푑푟푑휃2

0

Misal : 푢 = − 12푟2 , 푑푢 = −푟푑푟

= 12∫ ∫ −푒 푑푢푑휃 = 1∞

02

0

1) Fungsi pembangkit momen

Teorema 1.6

Fungsi pembangkit, mean dan variansi dari Pa X yang berdistribusi

normal dengan parameter dan adalah

1) Fungsi pembangkit momen, 푀(푡) = 푒푥푝 휇푡 +2 2

2

2) Mean, E(X) =

3) Variansi = 2

Bukti :



푀(푡) = ∫ 1√2

exp − 12

2∞

∞ . exp 푡푥 푑푥

= ∫ 1√2

exp − 12

2+ 푡푥 ∞

∞ 푑푥

= ∫ 1√2

exp −2 2 2

2 2 + 푡푥 ∞∞ 푑푥

= ∫ 1√2

exp −2 2 2 2 2

2 2∞∞ 푑푥

= ∫ 1√2

exp2 2

2 2∞∞ . exp

2 2 2

2 2 푑푥

= exp2 2 2

2 2 ∫ 1√2

exp2 2

2 2∞∞ 푑푥

푀(푡) = exp 휇푡 +2 2

2

2) Mean

푀′(푡) = (휇 + 휎2푡) exp 휇푡 +2 2

2

Untuk t = 0, diperoleh, M’(0) = ( + 0) e0 =

3) Variansi

Silahkan Anda coba buktikan sebagai latihan.

Sifat-sifat grafik fungsi normal:

1. Simetris pada sumbu vertikal yaitu 푥 = 휇, artinya rataan pada grafik

fungsi normal akan simetris terhadap sumbu vertikal.

2. Maksimum pada titik 휇, 1√2

3. Sumbu 푥 sebagai asimtot datar, artinya sumbu 푥 ini tidak akan pernah

bersinggungan dengan grafik fungsi normal.

4. Titik infleksi pada 푥 = 휇 ± 휎, artinya nilai kisaran infleksi antara

푥 = 휇 + 휎 dan 푥 = 휇 − 휎.

5. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar 푥, artinya grafik fungsi normal

selalu ada di atas sumbu datar 푥

6. Luas daerah grafik selalu sama dengan 1 unit persegi, artinya luasan 1

unit persegi sama dengan peluang keseluruhan = 1



Transformasi Z

Pdf normal yang sering digunakan dalam statistik adalah distribusi normal

bakudenganµ=0dan atau dinotasikan dengan N(0,1) sehingga didapat

푓(푥) = 1√2

푒2

2

Dengan 푍 = yang disebut dengan Transformasi Z

Andai c1 < c2 dan P(X = c1) = 0 maka

푃(푐1 < 푋 < 푐2) = 푃(푋 < 푐2) − 푃(푋 < 푐1)

= 푃 < 2 − 푃 < 1

= ∫ 1√2

푒2

2 푑푥2

∞ − ∫ 1√2

푒2

2 푑푥1

∞

= 푁 2 −푁 1

Diketahui, ∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞∞ = 1 sehingga

∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ + ∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ = 1

∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ −∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ = 1

푁(푥) − ∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ = 1

x =

rataan

Teorema 1.7

Bila 푁(푥) = ∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ maka berlaku N(-x) = 1 – N(x)

Bukti:



푁(푥) = 1 + ∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞

푁(푥) = 1 −∫ 1√2

푒2

2 푑푥∞ , Sehingga didapat, N(-x) = 1 – N(x)

Contoh 1.5

Andaikan X N(2, 25) tentukan P(-8 < x < 1)

Penyelesaian :

Diketahui:

1

2

2

2 11 2

81

225 5

1 2 8 28 15 5

0, 2 2

8 1 1 0,579 1 0,977 0, 421 0,023 0,39

CC

C CP C x C N N

P x N N

N N

P x

8

, 8 1 0,398Jadi P x

Documents

(Statmat II) BAB I Distribusi Kontinue.pdf